连续周期信号的频谱

Cn 是n0 的函数, Cn Cn (n0 )简写为 Cn
连续周期信号的频谱
~x (t)
Cn e jn0t
n=
x(t)
C0 +C1e j0t
C e j0t 1
C2e j20t
C e j20t 2
... CN e jN0t
C e jN0t N
...
直流分量
基波分量
N 次谐波分量
Cn 反映了周期信号 x(t) 中各次谐波的分布 Cn 称为周期信号x(t)的频谱，x(t)与Cn存在一一对应关系。
连续周期信号的频谱
~x(t)
Cn e jn0t
n=
C 1 T0 t0 ~x (t)e jn0t dt
T n
t0
0
Cn Cn e jn
幅度频谱
相位频谱
连续周期信号的频谱
[例] 计算周期矩形信号指数形式的傅里叶级数，并画出频谱图。
~x(t)
解：周期矩形信号在一个周期内的定义为：
A
A,
x(t)
0 ,
|t|
2
|t|>
2
1
Cn T0
T0 2
x(t)e jn0tdt
T0
2
1 T0
T0
2 A e jn0tdt
T0 2
T0
O
T0
t
2
2
A
T0(jn0 )
e jn0t
2
2
A
2
sin(n0
)
T0n0
2
Cn
A
T0
Sa( n0 )
2 /(nπ)2, n为奇数
Cn
~x(t)
Cn
1/
2,
n 0
1/ 2
-2 1 0 2
t
周期三角波信号的时域波形
3 0 0
0
30
2 / 9π2
2/ π2 0 2/ π2
2 / 9π2
周期三角波信号的频谱
连续周期信号的频谱特性
~x(t) A
T0
O
T0
t
2
2
Cn
A
T0
Sa( n0 )
2
Cn AT0
~x(t)
-2 1 0 2
t
解:
Cn
1 T0
T0 2
x(t)e jn0t dt
1
T0
2
2
1 x(t)e jn0t dt
1
1 2
0 1
(
t)e jn0t dt
1 0
te
jn0t
dt
Cn
1 (nπ) 2
(cosnπ
1)
2 /(nπ)2 , n为奇数
1/ 2,
n 0
连续周期信号的频谱
2π
2π
0
0 2π T0
周期矩形信号的频谱
连续周期信号的频谱特性
离散特性：周期信号的频谱是由间隔为0 的谱线组成
Cn AT0
2π
2π
0
0 2π T0
连续周期信号的频谱特性
衰减特性： 幅度频谱|Cn|随谐波n0增大时逐渐衰减，
并最终趋于零
Cn AT0
2π
2π
0
0 2π T0
连续周期信号的频谱特性
2
2
x(t)
3 0
t
-3
根据指数形式傅里叶级数的定义可得
C1
1 2
ej4 ,
C1
1 2
e j4 ,
C3 ej2 ,
Cn 0, n 1；n 3.
C3 e j2
连续周期信号的频谱
x(t)
3 0
t
-3
x(t) cos(0t 4) 2cos(30t 2)
C1
1 2
ej4 ,
Fra Baidu bibliotek
C1
1 2
e j4 ,
[例] 计算周期三角波信号指数形式的傅里叶级数展开式。
~x(t)
Cn
1/ 2
-2 1 0 2
t
3 0 0 0
0
30
2 / 9π2
2 / 9π2
Cn
1 (nπ) 2
(cosnπ
1)
2 /(nπ)2 , n为奇数
1/ 2,
n 0
2/ π2
2/ π2
周期三角波信号的频谱
x(t) 1 e jt e jt e j3t e j3t ...
有效带宽
~x(t) A
T0
O
T0
t
2
2
Cn AT0
2π
2π
0
0 2π T0
通常将包含主要谐波分量的频率范围(0 ~ 2π/ )
称为周期矩形信号的有效频带宽度
B
2
信号的有效带宽和时域持续时间成反比。
连续周期信号的频谱特性
丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响
x(t) 1
Cn AT0
...
...
1 1
t
40
40
2π
2π
0
A=1，T0=1/4， = 1/20， 0= 2/T0 =8
0 2π T0
Cn 0.2Sa (n0 / 40) 0.2Sa (nπ / 5)
第一个零点出现在
2
40
8
连续周期信号的频谱
谢谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来 源于多种媒体及同事、同行、朋友的交流，难以一一注明出处， 特此说明并表示感谢！
2
0
连续周期信号的频谱
[例] 已知周期信号 x(t) cos(0t 4) 2cos(30t 2)，求其频谱Cn 。
解:
x(t) cos( t 4) 2cos(3 t 2)
0
0
1 2
e j(0t 4)
e j(0t4)
+ e j(30t 2)
e j(30t 2)
1 e j4e j0t 1 e j4e j0t +e j2e j30t e j2e j30t
2
连续周期信号的频谱
[例] 计算周期矩形信号指数形式的傅里叶级数，并画出频谱图。
Cn
~x(t)
AT0
A
T0
O
T0
t
2
2
A, x(t)
0,
|t|
2
|t|>
2
2π
2π
0
0 2π T0
Cn
A
T0
Sa( n0 )
2
周期矩形信号的频谱
连续周期信号的频谱
[例] 计算周期三角波信号指数形式的傅里叶级数展开式。
主讲人：陈后金 电子信息工程学院
连续周期信号的频域分析
连续周期信号的频域表示 连续周期信号的频谱 连续傅里叶级数的性质
连续周期信号的频谱
~x (t)
Cn
e
0
jn t
n=
指数形式的傅里叶级数
Cn
1 T0
T0 x(t)e jn0t dt
0
周期信号 x(t) 可以表示为无数个虚指数信号的线性叠加
C3 ej2 ,
C3 e j2
Cn 0, n 1；n 3.
| Cn |
幅度谱
1
1
1
1
2
2
30
0 0 0
30
n
4 相位谱
2
30
0
0 0
30
2
4
连续周期信号的频谱
~x(t) A
Cn
A
T0
Sa( n0 )
2
Cn AT0
T0
O
T0
t
2
2
周期矩形信号的时域波形
2π
2π
0
0 2π T0
周期矩形信号的频谱