2012年长春市高中毕业班第二次调研测试数学理科答案
高考数学 考前查缺补漏系列 热点06 概率与统计问题,你能渡过“事理关”和“数理关”吗？
概率与统计问题，你能渡过“事理关”和“数理关”吗？【常见题型】在概率中，事件之间有两种最基本的关系，一种是事件之间的互斥(含两个事件之间的对立)，一种是事件之间的相互独立的，互斥事件至少有一个发生的概率等于各个事件发生的概率之和，相互独立事件同时发生的概率等于各个事件各自发生的概率之积，在概率计算中正确地把随机事件进行分拆是正确解决问题的根本所在．概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的．一．概率与茎叶图相联系例1【河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试】（理）某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（I ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（II ）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分次数X 的分布列和均值．（Ⅰ）x-甲＝ 1 8(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， x -乙＝ 1 8(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s 2甲＝ 1 8[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s 2乙＝ 1 8[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4分（Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p 1＝ 38，p 2＝ 1 2，两人得分均超过15分的概率分别为p 1p 2＝316，依题意，X ～B (2，316)，P (X ＝k )＝C k 2(316)k(1316)2－k ，k ＝0，1，2， …7分X 的分布列为…10分 X 的均值E (X )＝2×316＝8． …12分（文）某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（I ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小：（II ）从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到恰好有1场得分不足10分的概率． 解：（Ⅰ）x-甲＝ 1 8(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， x -乙＝ 1 8(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s 2甲＝ 1 8[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s 2乙＝ 1 8[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4分 （Ⅱ）题设所述的6个场次乙得分为：7，8，10，15，17，19． …7分二．频率分布表、频率分布直方图与概率相结合 例2【2012年长春市高中毕业班第二次调研测试】 对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如 下：【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布表、频率分布直方图、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法. 【试题解析】⑴由题可知 50.25M =，12n M =，m p M =，10.05M= 又 5121m M +++=解得 20M =，0.6n =，2m =，0.1p =则[15,20)组的频率与组距之比a 为0.12. (4分)⑵由⑴知，参加服务次数在区间[15,20)上的人数为3600.6216⨯=人. (6分) ⑶所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值可能为0元、20元、40元、60元，则 22251222201066177(0)190190C C C P C ++++===， 111111512122212206024286(20)190190C C C C C C P C ++++===， 111152121220101222(40)190190C C C C P C ++===， 11512205(60)190C C P C ==.(10分)()0(0)20(20)40(40)60(60)E X P P P P =⋅+⋅+⋅+⋅7786225290020406019019019019019=⨯+⨯+⨯+⨯= (12分)（文）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：⑴求出表中M 、p 及图中a 的值；三、排列组合和概率相结合例3【2012东城区普通高中示范校高三综合练习（二）】（理）某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的培训次数 1 2 3 参加人数 5 15 20（1的概率； （2）从40人中任选两名学生，用X 表示这两人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列及数学期望EX . 解：（1）这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率为494419134012011515=-=C C C C P . ……………………5分(2)由题意知X =0,1,222251520240111151515202401152024061(0);15675(1);1565(2).39C C C P X C C C C C P X C C C P X C ++===+====== 则随机变量X 的分布列：分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25 [15,20) 25 n [20,25) m p [25,30) 2 0.05 合计M1X0 12P15661 15675395012.156********X EX =⨯+⨯+⨯=所以的数学期望 ……………………13分样本容量与总体中个体数的比为,181905= 所以从,,A B C 三个工作组分别抽取的人数为2，2，1. ------------------5分（II ）设12,A A 为从A 组抽得的2名工作人员，12,B B 为从B 组抽得的工作人员，1C 为从C 组抽得的工作人员，若从这5名工作人员中随机抽取2名，其所以可能的结果是：),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(112112221211211121C B B B C A B A B A C A B A B A A A21(,)B C ,共有10种， ------9分其中没有A 组工作人员的结果是：121121(,),(,),(,)B B B C B C 有3种，--------------------------11分 所以从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，此时这两名工作人员中没有A 组工作人员的概率310P =。
2012年长春市试考数学试题及答案
2012年长春市初中毕业生学业考试网上阅卷模拟训练数 学本试卷包括七道大题，共26小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题（每小题3分，共24分） 1．计算 6(3)--的值是（A ）－9． （B ）－3． （C ）3． （D ）9．2．2011年某市居民人均收入达到36 200元．将36 200这个数字用科学记数法表示为 （A ）362×102． （B ）3.62×104． （C ）3.62×105． （D ）0.362×105． 3．右图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，其左视图是4．吉林省2007～2011年全省粮食产量统计结果如图所示（单位：万吨）．这组粮食产量数据的中位数是 （A ）2 454． （B ）2 460． （C ）2 840．（D ）3 171．5．不等式24x -≤0的解集在数轴上表示为（A ） （B ）（C ） （D ）正面（第3题）2 4542 8402 4602 8423 1712007年 2008年 2009年 2010年 2011年 （第4题）（A ） （B ） （C ） （D ）6．如图，AB 、CD 都是⊙O 的弦，且AB ⊥CD .若∠CDB =62︒，则∠ACD 的大小为 （A ）28︒. （B ）31︒. （C ）38︒. （D ）62︒.7．如图，在正六边形ABCDEF 中，△ABC 的面积为2，则△EBC 的面积为 （A ）4． （B ）6． （C ）8． （D ）12．8．如图，在平面直角坐标系中，若点A （2，3）在直线12y x b =-+与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成的三角形内部，则b 的值可能是（A ）3-． （B ）3． （C ）4． （D ）5． 二、填空题（每小题3分，共18分）9．写出一个在2和3之间的无理数： ． 10．分解因式：23a a -= ．11．购买m 千克苹果花费p 元，则按同样的价格购买n 千克苹果，需花费 元（用含p 、m 、n 的代数式表示）．12．如图，在四边形ABCD 中，∠A =90︒，BD ⊥CD ，∠ADB =∠C ．若AB =4，AD =3，则BC 的长为 ．（第12题） （第13题） （第14题）13．如图，在∠MON 的两边上分别截取OA 、OB ，使OA =OB ；分别以点A 、B 为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C ；连结AC 、BC 、AB 、OC ．若AB =2cm ，四边形OACB 的面积为42cm ．则OC 的长为 cm ．14．将矩形纸片ABCD 按如图方式折叠，DE 、CF 为折痕，折叠后点A 和点B 都落在点O 处．若△EOF 是等边三角形，则ABAD的值为 ． （第7题）A B CO MN AEFACD（第8题）（第6题） ABCDO .三、解答题（每小题5分，共20分）15．先化简，再求值：2(1)2(1)3a a +---，其中a =．16．A 、B 两车间生产同一种材料，B 车间每天比A 车间多生产20吨，A 车间生产25吨与B 车间生产35吨所用时间相同．A 车间每天生产这种材料多少吨？17．如图，四边形ABCD 是矩形，以AD 为直径的⊙O 交BC 边于点E 、F ，AB =4，AD =12．求线段EF 的长．18．小丹有3张扑克牌，小林有2张扑克牌，扑克牌上的数字如图所示．两人用这些扑克牌做游戏，他们分别从自己的扑克牌中随机抽取一张，比较这两张扑克牌上的数字大小，数字大的一方获胜．请用画树状图（或列表）的方法，求小丹获胜的概率．四、解答题（每小题6分，共12分）19．图①、图②和图③均是边长为1的正方形网格，按要求画出顶点在格点上的图形. （1）用若干个图①中的三角形拼出一个梯形，在图②中画出拼得的梯形.（2）用若干个图①中的三角形、图②中的梯形拼出一个是中心对称但不是轴对称的四边形，在图③中画出拼得的四边形，并画出所用三角形和梯形的各边.图① 图② 图③小林小丹 小林小丹20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 、B 分别落在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点C 在第一象限，BC 与x 轴平行.已知BC =2，△ABC 的面积为1. （1）求点C 的坐标.（2）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90︒，△ABC 旋转到△A 1B C 的位置，求经过点1B的反比例函数关系式.五、解答题（每小题6分，共12分）21．为了解全校学生登录校社团网站的情况，学生会在全校学生中随机抽取了n 名学生，对他们一周当中登陆校社团网站的次数进行了调查，并将调查结果绘制成如下条形统计图．（1）这次被调查的学生人数n 为 ．（2）全校有2 100名学生，估计一周登录 校社团网站超过3次的人数．（3）估计全校2 100名学生一周登录校社团 网站的总次数会达到多少次?22.从水平地面到水平观景台之间有一段台阶路和一段坡路，示意图如下．台阶路AE共有8个台阶，每个台阶的宽度均为0.5m ，台阶路AE 与水平地面夹角∠EAB 为28︒．坡路EC 长7m ，与观景台地面的夹角∠ECD 为15︒．求观景台地面CD 距水平地面AB 的高度BD (精确到0.1m)．【参考数据：sin28°=0.47，cos28°=0.88，tan28°=0.53；sin15°=0.26，cos15°=0.97，tan15°=0.27】.n 名学生一周登录校社团网站23．甲、乙两辆货车分别从A 、B 两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车每小时行驶75千米．两车相遇后，用2小时互换货物，然后甲车沿原路原速度返回，乙车沿原路返回，途经C 地，用0.8小时卸下部分货物后返回B 地．甲车回到A 地时，乙车恰好回到B 地．下图表示乙车离B 地的路程y （千米）与出发时间x （时）的函数图象． （1）求两车相遇前乙车行驶的速度． （2）求A 、B 两地之间这条公路的长．（3）求乙车从C 地返回到B 地行驶过程中y 与x 的函数关系式．24．感知：如图①，在菱形ABCD 中，AB =BD ，点E 、F 分别在边AB 、AD 上.若AE =DF ，易知△ADE ≌△DBF .探究：如图②，在菱形ABCD 中，AB =BD ，点E 、F 分别在BA 、AD 的延长线上.若AE =DF ，△ADE 与△DBF 是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．拓展：如图③，在□ABCD 中，AD =BD ，点O 是AD 边的垂直平分线与BD 的交点，点E 、F 分别在OA 、 AD 的延长线上. 若AE =DF ，∠ADB =50︒，∠AFB 32=︒，求∠ADE 的度数.图① 图② 图③CDFABCD EFA BCDOE Fy (千米x (时)25．如图，点A 、B 分别为抛物线2143y x bx =-++、2126y x x c =-+与y 轴交点，两条抛物线都经过点C （6，0）．点P 、Q 分别在抛物线2143y x bx =-++、2126y x x c =-+上，点P 在点Q 的上方，PQ 平行y 轴．设点P 的横坐标为m ． （1）求b 和c 的值．（2）求以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时m 的值．（3）当m 为何值时，线段PQ 的长度取得最大值？并求出这个最大值． （4）直接写出线段PQ 的长度随m 增大而减小的m 的取值范围．26．如图，在△AOB 中，∠AOB =90︒，OA =OB =6．C 为OB 上一点，射线CD ⊥OB 交AB于点D ，OC =2．点P 从点AAB 方向运动，点Q 从点C 出发以每秒2个单位长度的速度沿CD 方向运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 到达到点B 时停止运动，点Q 也随之停止．过点P 作PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F ，得到矩形PEOF ．以点Q 为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN ，斜边MN //OB ，且MN =QC ．设运动时间为t （单位：秒）． （1）求t =1时FC 的长度． （2）求MN =PF 时t 的值．（3）当△QMN 和矩形PEOF 有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S 与t 的函数关系式．（4）直接写出△QMN 的边与矩形PEOF 的边有三个公共点时t 的值．数学试题参考答案及评分标准1．D 2．B 3．B 4．C 5．C 6．A 7．A 8．D 二、填空题（每小题3分，共18分） 9．5（答案不唯一） 10．)3(-a a 11．m np 12．425 13．4 1415．解：原式322122-+-++=a a a 2a =．当10=a 时，原式2)10(= 10=． 备注: 2)1(+a 展开正确得1分；2(1)a --去括号正确得1分．16．解：设A 车间每天生产这种材料x 吨．根据题意，得xx 252035=+． 解得x =50． 经检验，50=x 是原方程的解，且符合题意． 答：A 车间每天生产这种材料50吨．17．解：作OM ⊥BC 于M ，连结OE ．∴EF MF ME 21==． ∵AD =12，∴6=OE在矩形ABCD中，OM ⊥BC ，∴OM =AB =4． 在△OEM 中，=∠OME 90°，∴ME ==∴线段EF 的长度为54．18．解：∴P （小丹获胜）=63=21．2 6 93 8 3 8 3 8 小林小丹或19．解：（1）以下答案供参考．（2）以下答案供参考．备注：（2）中图形正确，但没有画出所用三角形和梯形各边得2分，所画边不全或多画得2分．20．解：（1）作CD ⊥x 轴于D ． （1分）∵BC 与x 轴平行，∴CD BC S ABC ⋅=∆21， ∵BC =2，1=∆ABC S ，∴1=CD ． （2分）∴ C （2，1）． （3分）（2）由旋转得CB 1=CB =2，∴ B 1（2 ，3）． （4分）设经过点B 1（2，3）的反比例函数为xky =，∴23k =． 解得k =6．∴经过点B 1的反比例函数为xy 6=． 21．解：（1）150．（2）∵150502100⨯700=（人）， ∴全校一周登录校社团网站超过3次的大约有700人． （3）∵366145364163322401=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，∴51241503662100=⨯． ∴全校学生一周登录校社团网站的总次数大约可以达到5 124次．22．解：作EM ⊥CD 于M ，EN ⊥AB 于N ．在△ANE 中，∠ENA =90°，ANENEAN =∠tan ， ∵∠BAE =28°，AN =0.5×8=4，∴tan EN AN =⋅28°=4×0.53=2.12．在△CME 中，∠CME =90°，CEMEECM =∠sin ， ∵∠DCE =15°，EC =7，∴sin ME CE =⋅15°=7×0.26=1.82．∴NE +ME =2.12+1.82=3.94 ≈ 3.9． 答：水平地面到观景台的高度约为3.9m ．23．解：（1）两车相遇前乙车行驶的速度为606360=千米/时． （2）75×6=450千米，360+450=810千米． ∴A 、B 两地之间的这条公路长为810千米． （3）乙车从C 地返回到B 地行驶过程中，设y 与x 之间的函数关系式为b kx y +=，根据题意，y 与x 之间的函数图象经过（10.8，240），（14，0）两点，∴⎩⎨⎧+=+=.140，8.10240b k b k 解得⎩⎨⎧=-=.1050，75b k∴乙车从C 地返回到B 地行驶过程中，y 与x 的函数关系式为105075+-=x y ． 24． 探究：△ADE 和△DBF 全等．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =AD ．∵AB =BD ，∴AB =AD =BD ．∴△ABD 为等边三角形． ∴∠DAB =∠ADB =60°．∴∠EAD =∠FDB =120°．MN∵AE =DF ，∴△ADE ≌△DBF ．拓展：∵点O 在AD 的垂直平分线上，∴OA=OD ．∴∠DAO=∠ADB=50︒．∴∠EAD=∠FDB ． ∵AE =DF ，AD =DB ，∴△ADE ≌△DBF ．∴∠DEA=∠AFB =32︒． ∴∠EDA=18°．25．解：（1）∵两条抛物线都经过点C (6，0)，∴21664=03b -⨯++，解得34=b ．21626=06c ⨯-⨯+，解得=6c ． （2）根据题意，点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（0，6），∴AB =2. ∵点P 的横坐标为m ， ∴P (m ,434312++-m m ). ∵PQ 平行于y 轴，∴Q (m ,62612+-m m ). ∴PQ =)43431(2++-m m )6261(2+--m m 2310212-+-=m m ．∴当PQ AB =时，2310212-+-m m 2=． 解得372101+=m ,372102-=m . ∴以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时， m 值为37210+或37210-．（3）由（2）知，PQ =2110223m m -+-932)310(212+--=m ， ∴当m =310时，线段PQ 的长度最大，线段PQ 的最大长度为932．（4）线段PQ 的长度随m 的增大而减小的取值范围是310≤m ＜6. 备注：（4）中只写m ＜6不得分，只写m ≥310或m ＞310得1分，写310＜m ＜6得2分．数学试题 第 页（共6页） 11 26．解：（1）根据题意，△AOB 、△AEP 都是等腰直角三角形． ∵t AP 2=， OF = EP =t ， ∴当t =1时，FC =1．（2）∵t AP 2=，AE =t ，PF =OE =t -6，MN =QC =t 2，∴t -6=t 2，t =2． 当t =2时，∴PF MN =．（3）当1≤t ≤2时，S =2422+-t t ，如图①．当2<t ≤38时，S =32302132-+-t t ，如图②． 当38<t ≤3时，S =t t 622+-，如图③． （4）t =2或38，如图④，如图⑤．图① 图② 图③图④图⑤。
2012年吉林高考理科数学(新课标卷)试题及答案
2012年全国卷新课标——数学理科（适用地区：吉林 黑龙江 山西、河南、新疆、宁夏、河北、云南、内蒙古） 本试卷包括必考题和选考题两部分，第1-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22题~第24题，考生根据要求作答.一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为 A. 3 B. 6 C. 8 D. 10【解析】选D.法一：按x y -的值为1，2，3，4计数，共432110+++=个；法二：其实就是要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x ，小的是y ，共2510C =种选法.2. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种 【解析】选A.只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共1224C C 种安排方案.3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题： :1P 2||=z:2P i z 22= :3P z 的共轭复数为i +1:4P z 的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ，3PB. 1P ，2PC. 2P ，4PD. 3P ，4P【解析】选C.经计算， 221,21 z i z i i ==--=-+.4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23ax =上的一点，12PF F △是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为A.21 B.32 C.43 D.54 【解析】选C.画图易得,21F PF △是底角为30的等腰三角形可得212PF F F =，即3222a c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 所以34c e a ==. 5. 已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a a A.7B. 5C.5-D. 7-【解析】选D.472a a +=,56478a a a a ==-,474,2a a ∴==-或472,4a a =-=,14710,,,a a a a 成等比数列，1107a a ∴+=-.6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N )2(≥N 和实数N a a a ,,,21 ，输出A ，B ，则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数 【解析】选C.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【解析】选B.由三视图可知，此几何体是底面为俯视图三角形，高为3的三棱锥，113932V =⨯⨯=.8. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B ，两点，34||=AB ，则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 8【解析】选C.易知点(4,-在222x y a -=上，得24a =，24a =. 9. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(【解析】选A. 由322,22442Z k k k ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈得，1542,24Z k k k ω+≤≤+∈， 15024ωω>∴≤≤ .10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为【解析】选B.易知ln(1)0y x x =+-≤对()1,x ∈-+∞恒成立，当且仅当0x =时，取等号.11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为A.62 B.63 C.32 D.22 【解析】选A.易知点S 到平面ABC 的距离是点O 到平面ABC 的距离的2倍.显然O ABC -是棱长为11312O ABC V -==，26S ABC O ABC V V --== 12. 设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为A. 2ln 1-B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+【解析】选B.12x y e =与ln(2)y x =互为反函数，曲线12x y e =与曲线ln(2)y x =关于直线y x =对称，只需求曲线12x y e =上的点P 到直线y x =距离的最小值的2倍即可.设点1,2x P x e ⎛⎫⎪⎝⎭，点P 到直线y x =距离d =.令()12x f x e x=-，则()112xf x e '=-.由()0f x '>得ln 2x >；由()0f x '<得ln 2x <，故当ln 2x =时，()f x 取最小值1l n 2-.所以d=1x e x -=，min d =所以)min min ||21ln 2PQ d ==-.二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 夹角为︒45，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .【解析】由已知得，()22222244||-=-=-a b a b a a b +b 2244cos 45=- a a b +b2410=-=+b，解得=b14. 设yx,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-31yxyxyx则yxZ2-=的取值范围为.【解析】[]3,3-.画出可行域，易知当直线2Z x y=-经过点()1,2时，Z取最小值3-；当直线2Z x y=-经过点()3,0时，Z取最大值3.故2Z x y=-的取值范围为[]3,3-.15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布)50,1000(2N，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.【解析】38.由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为211311228⎡⎤⎛⎫--⨯=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.16. 数列}{na满足12)1(1-=-++naannn，则}{na的前60项和为.【解析】1830.由1(1)21nn na a n++-=-得，22143k ka a k--=-……①21241k ka a k+-=-……②,再由②-①得,21212k ka a+-+=……③由①得, ()()()214365S S a a a a a a-=-+-+-+奇偶…()6059a a+-159=+++ (117)+()11173017702+⨯==由③得, ()()()3175119S a a a a a a =++++++奇…()5959a a ++21530=⨯=所以, ()217702301830S S S S S S =+=-+=+⨯=60奇奇奇偶偶.三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分） 已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，0s i n 3c o s =--+c b C a C a .(Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c .解：(Ⅰ)法一:由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=,()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=,sin cos sin sin 0A C A C C --=,sin 0C > ,cos 10A A --=,2sin 106A π⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,0A π<< ，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=3A π∴=法二:由正弦定理可得sin sin a C c A =，由余弦定理可得 222cos 2a b c C ab +-=.再由cos sin 0a C C b c --=可得，222sin 02a b c a A b c ab+-⋅+--=，即2222sin 220a b c A b bc +-+--=，2222sin 220a b c A b bc +-+--=22212b c a A bc +--+=cos 1A A -=，2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 0A π<< ，5666A πππ∴-<-<， 66A ππ∴-=3A π∴=(Ⅱ)ABC S = △，1sin 24bc A ∴==4bc ∴=， 2,3a A π==， 222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=， 228b c ∴+=. 解得2b c ==.18. （本小题满分12分） 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由. 解：(Ⅰ) ()()1080,1580,16 n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（n N ∈）； (Ⅱ) （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 的分布列为X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X 的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.XX 的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花.19. （本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 (Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.(Ⅰ) 证明：设112AC BC AA a ===， 直三棱柱111C B A ABC -，1DC DC ∴==， 12CC a =，22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥.又1DC BD ⊥ ，1DC DC D = ，1DC ∴⊥平面BDC .BC ⊂ 平面BDC ,1DC BC ∴⊥.(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，1DC =，1BC ，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=. 在Rt ABD △中，,,90BD AD a DAB =∠= ，AB ∴=.222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥.法一：取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ， 已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C DE △中，1111sin 2C EC DE C D∠===，130C DE ∴∠= .即二面角11C BD A --的大小为30.法二：以点C 为坐标原点，为x 轴，CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B aD a a C a .()()1,,,,0,DB a a a DC a a =--=- ，设平面1DBC 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111110n DB ax ay az n DC ax az ⎧=-+-=⎪⎨=-+=⎪⎩,不妨令11x =,得112,1y z ==,故可取()11,2,1n = . 同理,可求得平面1DBA 的一个法向量()21,1,0n =.设1n 与2n 的夹角为θ,则1212cos 2n n n n θ⋅===, 30θ∴= . 由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角11C BD A --的大小为30.20. （本小题满分12分）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点(Ⅰ) 若90BFD ∠=︒，ABD △面积为24，求p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BD p =.点A 到准线l的距离d FB FD ===.由ABD S =△,11222BD d p ⨯⨯=⨯=2p ∴=.圆F 的方程为()2218x y +-=.(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y 在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,90o ADB ∠=,2BD p ∴=,32A y p ∴=,代入抛物线:C py x 22=得A x . 直线m的斜率为AF k ==.直线m的方程为02x +=. 由py x 22= 得22x y p=,x y p '=.由x y p '==, x p =.故直线n 与抛物线C的切点坐标为6p ⎫⎪⎪⎝⎭, 直线n的方程为0x =.所以坐标原点到m ，n3=.21. （本小题满分12分） 已知函数121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+. (Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间；(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值 解: (Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f e f x -''=-+,令1x =得,(0)1f =,再由121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+,令0x =得()1f e '=. 所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+.()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔< 所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞.(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立, 即()()21()102xh x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立，()()1x h x e a '=-+ ,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时, ()h x →-∞,不合题意;(2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=;(3)当10a +>时, ()()1xh x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+,故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-. 依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥,即()()11ln 1b a a a ≤+-++,10a +> ,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++,令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-,()00()0u x x u x x ''>⇔<<⇔,所以当x =, ()u x 取最大值2e u =.故当12a b +==时, ()1a b +取最大值2e . 综上, 若b ax x x f ++≥221)(，则 b a )1(+的最大值为2e .请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC △的 外接圆于F ，G 两点.若AB CF //，证明：(Ⅰ) BC CD =；(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.证明：(Ⅰ) ∵D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，∴//DE BC .//CF AB ,//DF BC ,CF BD ∴ 且 =CF BD ，又∵D 为AB 的中点，CF AD ∴ 且 =CF AD ，CD AF ∴=.//CF AB ，BC AF ∴=.CD BC ∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BC GF ，GB CF BD ∴==， BGD BDG DBC BDC ∠=∠=∠=∠ BCD GBD ∴△∽△.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π.(Ⅰ)点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围. 解：(Ⅰ)依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为.所以点A ，B ，C ，D 的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-； (Ⅱ) 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则 2222||||||||PD PC PB PA +++())2212cos 3sin ϕϕ=-+()()222cos 13sin ϕϕ++- ()()2212cos 3sin ϕϕ+--+)()222cos 13sin ϕϕ++-- 2216cos 36sin 16ϕϕ=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集； (Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围.解：(Ⅰ) 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔ |3||2|3x x -+-≥⇔ ()()2323x x x ≤⎧⎪⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥.所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥.(Ⅱ) ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立，即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立，即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立， 所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩，即30a -≤≤. 所以a 的取值范围为[]3,0-.。
2012长春高三二模理综答案
2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012年长春市高中毕业班第二次调研测试理科综合能力测试参考答案及评分标准一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【参考答案】A【命题立意】本题考查对细胞的增殖、生长、分化及凋亡相关知识的理解和分析能力。
【解析】细胞生长，物质运输的效率不一定会增强，故A选项错误。
2．【参考答案】C【命题立意】本题主要考查有关生物膜的知识。
【解析】细胞间的信息交流方式主要有三种，不一定都需要糖蛋白；叶肉细胞进行光反应的场所是囊状结构薄膜，属于生物膜；线粒体内膜含有的蛋白质种类和数量比外膜高，故A、B、D选项错误。
3．【参考答案】D【命题立意】本题考查酶和A TP及相关知识的分析运用能力。
【解析】ATP在线粒体、细胞质基质、叶绿体中均可合成，酶的化学本质是蛋白质或RNA，不只在核糖体中合成，也不一定含有肽键，酶的合成也需要消耗能量，人体成熟的红细胞没有细胞核及各种细胞器，所以不能合成酶。
所以D选项正确。
4．【参考答案】C【命题立意】本题考查实验操作基本能力。
【解析】根尖分生区可作为观察细胞有丝分裂的材料是因为该区细胞正在进行有丝分裂，探究培养液中酵母菌种群数量变化时，应使用血球计数板进行计数，使溴麝香草酚蓝水溶液由蓝变绿再变黄的是二氧化碳，在绿叶中色素的提取实验中，研磨时可用有机溶剂，如无水乙醇溶解色素。
所以C选项正确。
5．【参考答案】B【命题立意】本题考查生长素的生理作用和实验探究能力。
【解析】10—6mol/L的NAA也促进胚芽鞘生长，因为胚芽鞘增长长度比对照组大，所以B选项错误。
6．【命题立意】本题考查了细胞增殖方式、染色体行为变化和生物进化的知识。
【参考答案】C【解析】小鼠睾丸中既能进行方式甲（有丝分裂）也能进行方式乙（减数分裂），所以C选项错误。
7．【试题答案】D【命题立意】本题考查无机化合物相互反应的相关知识。
2012吉林高考理科数学试题及答案word
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）()A ()B()C 4 ()D 8（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
吉林省长春市2012届高三数学第一次模拟试题 理 (附解析)
2012年长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题卷(理科)考生须知：1.本试卷分试题卷和答题纸，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题纸密封区内填写学校、班级、姓名和准考证号.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束，只需上交答题纸. 参考公式：柱体体积公式：Sh V =,其中S 为底面面积,h 为高.锥体体积公式：Sh V 31=,其中S 为底面面积,h 为高. 第Ⅰ卷 (选择题,共60分）一、选择题（本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题纸上）1. 设集合{}2,A xx x =∈R ≤，{}2|,12Byy x x ==--≤≤，则∁R ()A B 等于 A.RB.(2)(0,)-+∞C.(,1)(2,)-∞-+∞D.∅ 2. 若复数2)(i a +在复平面内对应的点在y A.1B.1-C.23. “2a <-”是“函数()3f x a x =+在区间[1,2]-上存在零点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件的值为，A B C ∠=C.4πD.6π 6. 设a b 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥α； ②若a ∥α，a ⊥β，则α⊥β；③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α或a ⊂α； ④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β. 其中正确命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 7. 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为2A.3π2B.2πC.3πD.4π 8. 函数c o s ()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<为奇函数，该函数的部分图像如图所示，A 、B 分别为最高点与最低点，且||AB=A.2π=xB.2π=xC.2x =D.1x =9. 在△ABC 中，P 是B C 边中点，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若0c A C a P A b P B ++=，则△ABC 的形状为A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰三角形但不是等边三角形.10. 类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：()xxS x a a -=-，()x xC x a a-=+，其中0a >，且1a ≠，下面正确的运算公式是 ①()()()()()S x y S x C y C x S y +=+；②()()()()()S x y S x C y C x S y -=-；③2()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ④2()()()()()S x y S x C y C x S y -=-.A.①②B.③④C.①④D.②③的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公P F F F =,则D.1都有(1)(1)0f x f x -++=恒成立. 2(8)0f n n -<，那么22m n +的取D. (9, 49)分）每个试题考生都必须作答，). n 524=a .14. 已知直线1l 与圆2220x y y ++=相切，且与直线2:l 3460x y +-=平行，则直线1l 的方程是 .15. 设2,[0,1]1(),(1,]x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩(e 为自然对数的底数)，则0()ef x dx ⎰的值为 . 16. 已知函数,0()2,0x e x f x x x ⎧=⎨-<⎩≥，则关于x 的方程()[]0=+k x f f 给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有1个实根；②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实根；③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根.其中正确命题的序号是（把所有满足要求的命题序号都填上）.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．⑴如果A、B两点的纵坐标分别为45、1213，求c o sα和sinβ⑵在⑴的条件下，求c o s()βα-的值；⑶已知点C(1-，求函数()f O A O Cα=⋅的值域．18.（本小题满分12分）已知数列{}n a满足11a=，121(*)n na a n+=+∈N.⑴求数列{}n a的通项公式；⑵若数列{}n b满足()31231112144441nnb nbb bna----⋅⋅⋅⋅=+，求数列{}n b的通项公式.19.（本小题满分12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P A B C D-中9ADBC ABC∠=，∥°，P D⊥平面A B C D，A D=1，A B4B C=．⑴求证：B D⊥P C；⑵求直线AB与平面PDC所成的角；⑶设点E在棱P C上，P E P Cλ=，若DE∥平面PAB，求λ的值.20.（本小题满分12分）已知点(1,0)A- ，(1,0)B，动点M的轨迹曲线C满足2A MBθ∠=，2c o s3A MB Mθ⋅=，过点B的直线交曲线C于P、Q两点.(1)求A M B M+的值，并写出曲线C的方程；(2)求△APQ面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数()1(0,)xf xeax a e=-->为自然对数的底数.⑴求函数()f x的最小值；⑵若()f x≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；⑶在⑵的条件下，证明：121()()()()(*)1n n n nn n enn n n n e-++⋅⋅⋅++<∈-N其中.APECDB用心爱心专心34请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图，⊙O 内切△ABC 的边于D 、E 、F ，AB =AC ，连接AD 交⊙O 于点H ，直线HF 交BC 的延长线于点G . ⑴证明：圆心O 在直线AD 上； ⑵证明：点C 是线段GD 的中点.23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲. 在极坐标系中, O 为极点, 半径为2的圆C 的圆心的极坐标为(2,)3π.⑴求圆C 的极坐标方程；⑵P 是圆C 上一动点，点Q 满足3O P O Q=，以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，求点Q 的轨迹的直角坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲. 已知函数()|1||22|.f x x x =-++⑴解不等式()5f x >；⑵若不等式()()f x a a <∈R 的解集为空集，求a 的取值范围.2012年长春市高中毕业班第一次调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分）1．B 2．B 3．A 4． B 5． C 6． D 7．A 8．D 9．C 10．B 11．A 12．C 简答与提示：1. B 化简A 为[2,2]-，化简B 为[4,0]-，故()A B =R ð(,2)(0,)-∞-+∞.2. B ai a i a 21)(22+-=+在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则210,a -=且0a <，∴1.a =-3. A()3f x a x =+在区间[1,2]-上存在零点，则(1)(2)0f f -<，即(3)(23)0a a -+<，∴3a >或32a <-，∴“2a <-”是“3a >或32a <-”的充分不必要条件，∴“2a <-”是“函数()3f x a x =+在区间[1,2]-上存在零点”的充分不必要条件. 4. B()sin3n f x π=的函数值构成周期为6的数列，且(1)(2)(3)(4)(5f f f f f f +++++=，则(1)(2)(2011)f f +++= (2011)f =(1)f =s i n3π= 5. C由正弦定理sin C =，又3B C =，A B ，∴A C >，则C 为锐角，故4C π=.BG C D H FAO E用心 爱心 专心56. D 由空间线面位置关系容易判断①②③④均正确.7. A 几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，全面积为21132()21222πππ+⨯⨯=. 8. D 由c o s ()y x ωϕ=+为奇函数，得2k πϕπ=+()k ∈Z ，又0ϕπ<<，∴2πϕ=.结合图象知14T =，∴2πω=，∴c o s ()s i n 222y x xπππ=+=-，当1x =时，s in 12y π=-=-，∴1x =是其一条对称轴. 9. C 由题意知11()()022c A Ca A B A C b A B A C -++-=， ∴()022a b a b c A C A B +---=，∴()22a b a b c A C A B+--=， 又A B 、A C 不共线，∴0202a ba b c -⎧=⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩，∴.a b c ==10. B 经验证，只有③④正确.11. A 设1212||,||,||2P F m P F n F F c ===，不妨设m n >.由1212P F P F F F +=知，∠1290F P F =︒,则2224m n c +=,∴12c e m n =+，22ce m n=-， ∴2222212112()24mn e e c ++===. 12. C 由(1)(1)0f x f x -++=得(1)(1)f x f x -=-+， 又22(623)(8)0f m m f n n -++-<，∴22(623)[1(81)]f m m f n n -+<-+--，∴222(623)[1(81)](28)f m m f n n fn n -+<---=-+. ∵()f x 是R 上的增函数，∴2623m m -+＜228n n-+， ∴22(3)(4)4m n -+-< 又3m >为半圆22(3)(4)4(3)m n m -+-=>内的点到原点的距离，故7<，∴221349.m n <+< 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分） 13. 7 14. 3410x y +-=或3490x y ++= 15.4316. ①② 简答与提示：13. 7 依题意35a =，23a =，则2d =，∴47.a =14. 3410x y +-=或3490x y ++= 设直线1:340l x y b ++=，与圆22(1)1x y ++=相切，故|4|1,5b -=∴9b =或1,b =-∴所求直线方程为3410x y +-=或3490x y ++=.615. 43132100011114()l n 1.3ee ex fx d x x d x d x x x =+=+=+=⎰⎰⎰ 16. ①② 由()f x 的图象知()0f x >,则2,0[()],0x xe e xf f x e x -⎧⎪=⎨<⎪⎩≥, 根据[()]f f x 的图象(如图)可知，①②正确.三、解答题（本大题必做题5小题,三选一中任选1小题,共70分）17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查三角函数的定义，两角和、差的正余弦公式的运用，以及三角函数的值域的有关知识，同时还考查了向量的数量积的运算等知识【试题解析】解：（1）根据三角函数的定义，得4sin 5α=，sin β又α是锐角，所以3cos 5α=．分) n s i n ()13βα=-． ( 8分) ，(1O C =-，3s O C = ( 12分) ( 5分) n2n，( 7分) ∴()23212322n n nb b b b n=-++++ ， 即()n n nb b b b n23222321+=++++ ，① 当2n ≥时，221212[2(1)](1)2(1)1n b bn b n n n -+++-=-+-=-，② ①－②得()2212n n b n n =+≥，()1122n b n n=+≥． （10分）可验证1=n 也满足此式，因此nb n 211+=． （12分）用心 爱心 专心719. (本小题满分12分)【命题意图】本小题将直四棱锥的底面设计为梯形，考查平面几何的基础知识.同时题目指出一条侧棱与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计，考查了空间平行、垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：【方法一】（1）证明：由题意知D C = 则222B C D B D C B D D C+∴⊥=，， P D A B C D B D P D P D C D D ⊥∴⊥=面而，，，..B D P DC P C PD C B D P C ∴⊥∴⊥面在面内， （4分） （2）∵DE ∥AB ，又P D ⊥平面AB C D . ∴平面PDC ⊥平面A B C D . 过D 作DF //AB 交B C 于F过点F 作F G ⊥C D 交C D 于G ,则∠FDG 为直线AB 与平面PDC 所成的角.在Rt △DFC 中，∠90D F C =︒，3D F C F =，∴t a n F D ∠60F D G =︒. 即直线AB 与平面PDC 所成角为60︒. （8分）（3）连结EF ，∵DF ∥AB ，∴DF ∥平面PAB .又∵DE ∥平面PAB ， ∴平面D E F ∥平面PAB ，∴EF ∥AB .又∵1,4,1,A DB CB F === ∴1,4P E B F P CB C ==∴14PE PC =，即1.4λ= （12分）【方法二】如图，在平面ABCD 内过D 作直线DF //AB ，交BC 于F ，分别以DA 、DF 、DP 所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.（1）设P D a =，则(1,3,0),(3,)B D PC a =--=--， ∵330BD P C ⋅=-=，∴B D P C⊥. （4分） （2）由（1）知B D P D C D B ⊥面就是， 由条件知A （1，0，0），B （10），(0,3,0),(1,30)A B D B ==.设A B P D C 与面所成角大小为，则||si n ||||23D B A B D B A B θ⋅==⋅ 09060,θθ︒<<︒∴=︒， 即直线A B P D C 与平面所成角为60︒. （8分） （3）由（2）知C （－3，3，0），记P （0，0，a ），则A B =），(0,0,)D P a =，P A a =（1，0，-），P C a =--）， 而P E P Cλ=，所以P E a =-（，）， D E D P P E D P P C λ=+=+(0,0,)(33)a a λλλ=+--，，=3,.aa λ--）设n x y z =（，，）为平面PAB 的法向量，则00A B n P A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0x az =-=⎪⎩，即0y x a z =⎧⎨=⎩.PEFB CDA GP E B C DA B81z x a==取，得， 进而得,,n a =（01），由//D E P A B 平面,得0D En ⋅=，∴30a a a λλ+=--，10.4a λ≠∴=而， （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的定义及标准方程，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1)设(,)M x y ，在△M A B 中，2AB =，2A M B θ∠=，根据余弦定理得222c o s 24A M B MA M B M θ+-⋅=. （2分） 即2()2(1c o s 2)4A MB M A M B M θ+-⋅+=. 22()4c o s 4A MB MA M B M θ+-⋅=. 而2c o s 3A M B M θ⋅=，所以2()434A M B M +-⨯=.所以4A M B M +=. （4分） 又42A M B M A B+=>=因此点M 的轨迹是以A 、B M 在x 轴上也符合题意），2a =，1c =.所以曲线C 的方程为24x + （624)690y m y ++-=. ① 2)y ,则1212122A P Q S y y y y ∆=⨯⨯-=-，122934y y m =-+. （9所以2221212122233()()448(34)m yy y y y y m +-=+-=⨯+. 令233t m =+，则3t ≥，21248()12y y t t-=++.由于函数1()t t tϕ=+在[3,)+∞上是增函数.所以1103t t +≥，当2333t m =+=，即0m =时取等号.用心 爱心 专心9所以21248()91023y y -=+≤，即12y y -的最大值为3.所以△APQ 面积的最大值为3，此时直线P Q 的方程为1x =. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题意0,()xa f x e a '>=-， 由()0xf x e a '=-=得l n x a =. 当(,l n)x a ∈-∞时, ()0f x '<；当(l n,)x a ∈+∞时，()0f x '>. ∴()f x 在(,l n )a -∞单调递减，在(l n ,)a +∞单调递增. 即()f x 在l n x a =处取得极小值，且为最小值， 其最小值为l n (l n )l n 1l n 1.af a e a a a a a =--=-- （4分）（2）()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，即在x ∈R 上，m i n()0f x ≥. 由（1），设()l n 1.g a a aa =--，所以()0g a ≥.由()1l n 1l n 0g a a a '=--=-=得1a =. ∴()g a 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减， ∴()g a 在1a =处取得极大值(1)0g =.因此()0g a ≥的解为1a =，∴1a =.（8分）（3）由（2）知，因为1a =，所以对任意实数x 均有1xe x --≥0，即1xx e +≤.令k x n =- (*,0,1,2,3,1)n k n ∈=-N …,，则01kn ke n- <-≤. ∴(1)()k n n kn k e en - --=≤. ∴(1)(2)21121()()()()1n n n n n n n n e e e e n n n n-------+++++++++≤ (11)11111ne ee e e ----=<=---. （12分） 22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到三角形内心的定义，以及弦切角定理等知识.【试题解析】证明⑴：∵,,A B A C A F A E ==∴C F B E =. 又∵,,C F CD B D BE ==∴.C D B D = 又∵△ABC 是等腰三角形，A B A C =,∴AD 是角∠CAB 的平分线. ∴内切圆圆心O 在直线AD 上. (5分) ⑵连接DF ，由⑴知，DH 是⊙O 的直径，90,90.D F H F D H F H D ∴∠=∴∠+∠= 90,G F H D ∠+∠=又.F D H G ∴∠=∠ ,O A C F 与相切于点 ,A F H G F C F D H ∴∠=∠=∠.G F C G ∴∠=∠ ,C G C F CD ∴==∴点C 是线段GD 的中点. (10分) 23. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲BG C DH FA OE10【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程的求解，以及轨迹方程等内容.【试题解析】解：（1）设M ),(θρ是圆C 上任一点，过C 作C H O M⊥于H 点，则在R t △CO H 中，c o s O H O C C O H =⋅∠，而3C O H C O M πθ∠=∠=-，1122O H O M ρ==，2O C =，所以12c o s 23πρθ=-，即4co s ()3πρθ=-为所求的圆C 的极坐标方程. ( 5分)（2）设(,)Q ρθ点的极坐标为，由于3O P O Q =，所以1(,)3P ρθ点的极坐标为代入⑴中方程得14c o s ()3πρθ=-，即6c o s i nρθθ=， ∴26c o ss i n ρ=，226x y x +=, ∴点Q 的轨迹的直角坐标方程为2260x y x =. (10分) 24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式的解法及性质等内容.【试题解析】解：(1)根据条件311()311,1x x f x x x x +>⎧⎪=+-⎨<-≤≤，，，当1x >时，5)(>x f 41,;3x x ⇔>>所以当11x -≤≤时，5)(>x f 1;x ≤≤此时无解-1， 当1x <-时，5)(>x f 3,1,2.x x x ⇔--<-<-又所以 综上，5)(>x f 的解集为4{|3x x >或2}x <-. （5分） (2)由于311()311,311x x f x x x x x +>⎧⎪=+-⎨⎪--<-⎩≤≤，，，可得()f x 的值域为∞[2,+). 又不等式()()f x a a <∈R 的解集为空集，所以a ∞的取值范围是(-,2]. （10分）。
2012高二理科答案
2012年高二理科数学参考答案一.ABBA DAAB二910 11 12 13 14 15 501i -+ 2 3 1e 52 PCPB PA C P B P A P ⋅⋅'⋅'⋅'16.（1）设{}n b 的公比为q则由已知可得：411216231227a q a q a q ⎧++==⎧⎪⇒⎨⎨=++=⎪⎩⎩ 12,12-=-=n n n b n a .(6分)（2）32312n n n C b --==，18n nC C += }{n C ∴是首项12C =公比为8的等比数列，2(81)7n n S =-. (12分) 17.设每周生产空调x 台、彩电y 台、则生产冰箱(120)x y --台,产值z (千元). 目标函数为432(120)2240z x y x y x y =++--=++所以题目中包含的限制条件为111(120)402341202000x y x y x y x y ⎧++--≤⎪⎪⎪--≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ 即: 31201000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 可行域如图.解方程组3120100x y x y +=⎧⎨+=⎩ 得点M 的坐标为(10,90)所以2240350man z x y ==++=(千元)18. 解：（1）若40x =千米/小时，每小时耗油量为7y =升/小时. (1分) 共耗油100717.540⨯=升. 所以，从甲地到乙地要耗油17.5升. (5分) （2）设当汽车以x 千米/小时的速度匀速行驶时耗油量最少，()0120x <≤，耗油量为S 升.(6分) 则321001318001581280008012804S x x x x x ⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭，(8分) 21800'640S x x=-，(9分) 令'0S =，解得，80x =.列表：所以，当汽车以升. (12分)19. 证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2A B C D P M ．（3分 （1）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC|||2,cos ,||||AC PB AC PB AC PB AC PB AC PB ⋅==⋅=<>==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故所以 所以，AC 与PB …………………………………6分 （2）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ=..21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC 1400,.25AN MC x z λ=-==u u u r u u u u r g 即解得 0),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ 0,0,.AN MC BN MC AN MC BN MC ⋅=⋅=⊥⊥u u u r u u u u r u u u r u u u u r 由得从而MC ⊥平面ABN ,所以当45NC MC =u u u r u u u u r 时,有MC ⊥平面ABN (13分)20. (1)由已知得222222242313a b a a c b a b c c =⎧⎧=⎪⎪+=+⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (5分) (说明:列出方程组4分) (2)显然直线0x =不符合条件,故设直线l 的方程为11222,(,)(,)y kx A x y B x y =+、(5分)由22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩221212221216(16)48(14)0,,1414k k k x x x x k k ⇒∆=-+=+=-++f ……(*) (8分) 由112212121212(,)(,)00(2)(2)0OA OB x y x y x x y y x x kx kx ⊥⇒⋅=⇒+=⇒+++= 21212(1)2()40k x x k x x ⇒++++= (10分)将(*)式代入得222212(1)32401414k k k k+-+=++ 解得2k =± 当2k =±时, 22(16)48(14)0k k ⇒∆=-+f故所求直线l 有两条,其方程为22y x =+和22y x =-+ (13分)21. 解：（1）由题意得()2ln 2q p f e pe e qe e e =--=-- 1()()0p q e e ⇒-+= 而10e e+≠，所以p 、q 的关系为p q = (1分) （2）由（1）知()2ln 2ln q p f x px x px x x x=--=--， 2'2222()p px x p f x p x x x -+=+-= (2分) 令2()2h x px x p =-+，要使()f x 在其定义域(0,)+∞内是单调函数，只需()h x 在(0,)+∞内满足：()0()0h x h x ≥≤或恒成立. (4分)①当0p =时，()2h x x =-，因为x ＞0，所以()h x ＜0，'22()x f x x =-＜0， ∴()f x 在(0,)+∞内是单调递减函数，即0p =适合题意； (5分)②当p ＞0时，2()2h x px x p =-+，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为1(0,)x p =∈+∞，∴min 1()h x p p =-，只需10p p-≥，即'1()0,()0p h x f x ≥≥≥时， ∴()f x 在(0,)+∞内为单调递增函数，故1p ≥适合题意. (7分)③当p ＜0时，2()2h x px x p =-+，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为1(0,)x p=∉+∞，只要(0)0h ≤，即0p ≤时，()0h x ≤在(0,)+∞恒成立，故p ＜0适合题意.综上所述，p 的取值范围为10p p ≥≤或.(8分)另解:由22()01x h x p x ≥⇒≥+,220,011x x x ≤+Q f p 当时,1p ∴≥ 由22()01x h x p x≤⇒≤+, ,0p ∴≤ 故p 的取值范围为10p p ≥≤或.(8分)（3）∵2()e g x x=在[]1,e 上是减函数， ∴x e =时，min ()2g x =；1x =时，max ()2g x e =，即[]()2,2g x e ∈(9分)①当0p ≤时，由（2）知()f x 在[]1,e 上递减max ()(1)0f x f ⇒==＜2，不合题意；(10分)②当0＜p ＜1时，由[]11,0x e x x∈⇒-≥，又由（2）知当1p =时，()f x 在[]1,e 上是增函数，∴1111()()2ln 2ln 2ln 2f x p x x x x e e e x x e e =--≤--≤--=--＜2，不合题意；(11分)③当1p ≥时，由（2）知()f x 在[]1,e 上是增函数，(1)0f =＜2，又()g x 在[]1,e 上是减函数，故只需max ()f x ＞min ()g x ，[]1,x e ∈ ，而max 1()()()2ln f x f e p e e e==--，min ()2g x =， 即 1()2ln p e e e --＞2， 解得p ＞241e e - (12分) 综上，p 的取值范围是24()1e e +∞-，. (13分)。
吉林省长春市高考理综毕业班第二次调研测试(化学部分)
2012年长春市高中毕业班第二次调研测试理科综合测试化学部分2012.3.17一、选择题(每小题只有一个选择符合题意，每小题6分，共42分)7．下列实验过程中，始终无明显现象的是( )A．HCl通入Fe(NO3)2溶液中 B．SO2通入溴水中C．NH3通入CuSO4溶液中 D．CO2通入Ba(NO3)2溶液中8．现有两个热化学反应方程式：下列说法不正确的是( )A．①②都属于加成反应B．在通常条件下，①②都能自发进行C．①吸热、②放热的事实说明苯环中含有的并不是碳碳双键D．①②中的所有有机物均可使溴水层褪色，但褪色原理不完全相同9．分子式为C3H7OC1，且分子中含有羟基的同分异构体的数目为(不考虑立体异构)( )A．3 B．4 C．5 D．610．常温下，pH=3的醋酸溶液和pH=13的氢氧化钠溶液等体积混合后(不考虑混合后溶液体积的变化)，恰好完全反应。
下列说法不正确的是（）A．所用醋酸溶液的浓度大于所用氢氧化钠溶液的浓度B．两溶液混合后所得的溶液呈碱性C．原醋酸溶液中有l％的醋酸电离D．反应后的溶液中c(CH3COO-)+c(CH3COOH)=0.05mol·L-1A．NaHSO4溶液与Ba(OH)2溶液反应至中性：H++SO42-+Ba2++OH-=BaSO4↓+H2OB．NaClO溶液与FeCl2溶液混合：Fe2++2C1O-+2H2O=Fe(OH)2↓+2HClOC．NH4HSO3溶液与足量NaOH溶液反应：NH4++OH-=NH3·H2OD．将lmol/L NaAlO2溶液和1.5mol/L的HCl溶液等体积均匀混合：Array 6A1O2-+9H++3H2O=5Al(OH)3↓+A13+13．下图装置中，小试管内为红墨水，具支试管内盛有pH=4久置的雨水和生铁片。
实验时观察到：开始时导管内液面下降，一段时间后导管内液面回升，略高于小试管内液面。
以下有关实验现象解释合理的是( )A．生铁片中的碳是原电池的阳极，发生还原反应 B．雨水酸性较强，生铁片仅发生析氢腐蚀C．墨水回升时，碳极反应式为：O2+2H2O+4e-=4OH-D．具支试管中溶液pH逐渐减小二、非选择题26.(14分)．a 0(Fe和CO2的起始物质的量均为4mol，10min后达到平衡状态，平衡时CO2的转化率为。
长春市高中毕业班第二次调研试题数学试题卷理科修订稿
长春市高中毕业班第二次调研试题数学试题卷理科Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-2014年长春市高中毕业班第二次调研试题数学试题卷(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分 钟，其中第II 卷22题一24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡 一并交回.第I 卷 (选择题60分)一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 设集合M= {x|x <2 },集合N ={ x |0<x <1},则下列关系中正确的是( ) (A).M ∪N =R (B) .M ∪C R N=R (C).N ∪C R M=R (D). M ∩N=M 2设i 是虚数单位，则|1-i-2I | =( )(A). 0 (B). 4 (C) . 2 (D) . √23.已知向量a =(1,2), b =(1,0),c =(3,4),若λ为实数，(b+λa )⊥c,则λ的值为( )A). − 311 (B)− 113 (C) 12 (D) 35 4.已知命题P ：函数y=2−a x +1 的图象恒过定点(1，2),命题q ：若函数y=f(x-1)为偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称. 则下列命题为真命题的是 ( )(A). p ?q (B). p ?q (C) . ┐p ?q (D).p ?┐q 5.运行如图所示的程序框图，若输出S 为254，则图中的①应为( )(A).n ≤5 (B). n ≤6(C). .n ≤7 (D). n ≤8 6.以下四个命题：①.从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②．若两个变量的线性相关越强，则它们的相关系数的绝对值越接近1; ③．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)( σ>0),若ξ位于区域(0,1)内的概率为，则ξ位于区域(0,2)内的概率为;④．对分类变量X,Y 的随机变量k 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大. 其中真命题的序号为( )( A). ①④ (B). ②④ (C). ①③ (D). ②③7.已知直线l 1:4x −3y +6=0和直线l 2:x =−1,抛物线y 2=4x上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为( ) ( A).3√55( B). 2 (C). 115(D).38.计划将排球、篮球、乒乓球3个项目比赛安排在四个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的方案共有( A). 60种 ( B). 42种 (C).36种 (D).24种9.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( ) ( A).2+1+√52π (B ).2+1+2√52π (C).2+(1+√5) π(D ).2+2+√52π 10.已知函数f(x)=x 2+2X +1−2X ,则函数y=f(x)的图象大致为( )第9题图俯视图左视图正视图11.已知直线l 与双曲线C 交于A,B 两点(A,B 在同支上)F 1,F 2是双曲线的两个焦点，则F 1,F 2在(A). 以A,B 为焦点的椭圆上或线段AB 的垂直平分线上. (B). 以A,B 为焦点的双曲线上或线段AB 的垂直平分线上. (C). 以A,B 为直径的圆上或线段AB 的垂直平分线上. (D). 以上说法均不正确.12.设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数，其导函数为f′(x ),且有2f(x)+x f′(x )>x 2,则不等式(x+2014)2 f(x+2014)-4f(-2)>0的解集为 (A). (−∞,−2012) (B). (−2012,0) (C). (−∞,−2016) (D). (−2016,0)第二卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作 答，第22题-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).(A)中，三个内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若sin 2A+sin 2C-sin 2B=√14.设(1X +x 2)3的展开式常数项a ，则直线y=ax 与曲线y =x 2围成图形的面积为 。
2012年长春市高中毕业班第二次调研测试数学文科答案
2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012年长春市高中毕业班第二次调研测试数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.C2.B3. B4. A5.B6.A7.B8.D9.C 10.C 11.C 12.D 简答与提示：1. C {}1,4U B =ð，{}()1,2,4U A B =U ð.故选C.2. B13(13)(1)24121(1)(1)2i i i ii i i i +++-+===-+--+，实部与虚部之和为121-+=. 故选B.3. B 由题意可知，3sin 5α=，3sin()sin 5απα+=-=-.故选B. 4. A 由题意可知，该几何体为一个四棱锥，底面面积为32，高为1，体积为1311322V =⋅⋅=.故选A.5. B 代入中心点(,)x y ，可知 1.45a =.故选B.6. A 因为函数的最大值为1，最小值为1-，且在区间2[,]63ππ上单调递减，又函数值从1减小到1-，可知2362πππ-=为半周期，则周期为π，222T ππωπ===，此时原式为sin(2)y x ϕ=+，又由函数过(,1)6π点，代入可得6πϕ=，因此函数为sin(2)6y x π=+，令0x =，可得12y =.故选A.7. B i ＝3，打印点(－2,6)，x ＝－1，y ＝5，i ＝3－1＝2；i ＝2，打印点(－1,5)，x ＝0，y ＝4， i ＝2－1＝1；i ＝1，打印点(0,4)，x ＝1，y ＝3， i ＝1－1＝0；0不大于0，所以结束．故选B.8. D 当0x ≥时，1[()]4xf f x =≥，所以4x ≥；当0x <时，21[()]2x f f x =≥，所以22x ≥，x ≥x ≤所以x ∈(,[4,)-∞+∞.故选D.9. C'2()2f x x ax =-，由2a >可知，'()f x 在(0,2)x ∈恒为负，即()f x 在(0,2)内单调递减，又(0)10f =>，8(2)4103f a =-+<，∴()f x 在(0,2)只有一个零点. 故选C.10. C ()()DE DF DO OE DO OF ⋅=+⋅+()()198DO OE DO OE =+⋅-=-=-.故选C.11. C 过M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为(,0)2c ，并设12222MF MO MF t ===，根据勾股定理可知，22221122MFNF MF NF -=-，得到2c t =，而32ta =，则3c e a ==.故选C . 12. D2()f x x ax b '=++， 由题意可知：2222(1)(1)(1)10(1)1110(2)22420(4)441640f a b a b f a b a b f a b a b f a b a b '⎧-=-+-+=-+>⎪'=+⋅+=++<⎪⎨'=+⋅+=++<⎪⎪'=+⋅+=++>⎩所构成的区域即为图中阴影部分，四边形的四个顶点坐标分别为：(3,4),(1,2),(3,2),(5,4),------可验证得：当5,4a b =-=时，2z a b =+取得最大值为3；当3,4a b =-=-时，2z a b =+取得最小值为11-.于是2z a b =+的取值范围是(11,3)-.故选D.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分) 13.[1,)-+∞ 14.2+15.216.24)π简答与提示：13. 如图作出函数()f x x a =+与()1g x x =-的图像，观察图像可知：当且仅当1a -≤，即1a -≥时，不等式()()f x g x ≥恒成立，因此a 的取值范围是[1,)-+∞.14. 由212AF F F=，可知22b c a =.又1a =，b=c =m =即244m m -=，2448m m -+=，2(2)8m -=，解得2m =±又0m >，所以2m =+15. 因为274sincos 222A B C +-=，所以272[1cos()]2cos 12A B C -+-+=.2722cos 2cos 12C C +-+=, 21cos cos 04C C -+=，解得1cos 2C =. 根据余弦定理有2217cos 22a b C ab+-==，227ab a b =+-,222327()725718ab a b ab a b =++-=+-=-=，6ab =.所以11sin 62222S ab C ==⋅⋅=. 16. O 为正方体外接球的球心，也是正方体的中心，O 到平面11AB D 的距离是体对角线的16又球的半径是正方体体对角线长的一半，即为圆锥底面面积为2124S ππ=⋅=；圆锥的母线即为球的半径圆锥的侧面积为2=S l ππ=⋅⋅；因此圆锥的表面积为12+2424)S S S ππ==+=.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查等差数列基本量的求取、等差数列求和公式以及裂项 求和的应用.【试题解析】解：⑴121112323()5311a a a a d a d +=++=+=， 32624a a a =+-即1112(2)54a d a d a d +=+++-得2d =， 11a =，1(1)1(1)221n a a n d n n =+-=+-⨯=-. (6分)⑵2111(1)1(1)222n S na n n d n n n n =+-=⨯+-⨯=，211111(1)1n n b S n n n n n n n ====-++++，111111111()()()...()1122334111n nT n n n n =-+-+-++-=-=+++. (12分) 18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布表、频 率分布直方图以及概率的初步应用. 【试题解析】解：⑴由题可知100.25M =， 25n M =， m p M =， 20.05M=. 又 10252m M +++=，解得 40M =，0.625n =，3m =，0.075=p . 则[15,20)组的频率与组距之比a 为0.125. (5分)⑵参加在社区服务次数在区间[15,20)内的人数为3600.625225⨯=人. (8分)⑶在样本中，处于[20,25)内的人数为3，可分别记为,,A B C ，处于[25,30)内的人 数为2，可分别记为,a b . 从该5名同学中取出2人的取法有(,),(,),(,)A a A bB a (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)B bC a C b A B A C B C a b 共10种；至多一人在 [20,25) 内的情况有(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A a A b B a B b C a C b a b 共7种，所以至多一人参加社区服务次数在区间[)20,25内的概率为710. (12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、 点到平面距离的求法等知识.【试题解析】解：⑴证明：设AC BD O =，取BE 中点G ，连结OG FG 、，则OG ∥DE 且OG ＝12DE . ∵DE AF //，AF DE 2=，∴AF ∥OG 且AF ＝OG ， ∴四边形AFGO 是平行四边形，∴AO FG //. ∵FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF , ∴//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF .(5分)⑵在Rt △BAF中，BF = 在Rt △BDE中，BE ===，在直角梯形ADEF中，EF ===所以1122BEFSBE ==⋅=， 1122222DEF S DE AD =⋅=⋅⋅=，由于B DEF D BEF V V --=,即1133DEF BEF S AB S h ⋅=⋅，3DEF BEF S AB h S ⋅===， 即点D 到平面BEF 的距离为3. (12分) 20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线 方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.【试题解析】解：⑴以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积112222S a b ab =⋅⋅=， 以两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积212222S c b cb =⋅⋅=. 12222S ab a S bc c ===，即2a c =. 可设椭圆方程为2222143x y c c+=，代入3(1,)2点可得21c =. 所求椭圆方程为22143x y += . (5分) ⑵由APB ∠为锐角，得0PA PB ⋅>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)PA x m y =-，22(,)PB x m y =-，21212121212()()()0PA PB x m x m y y x x m x x m y y ⋅=--+=-+++>，联立椭圆方程22143x y +=与直线方程10x y ++=消去y 并整理得27880x x +-=. 所以1287x x =-，1287x x +=-，进而求得1297y y =-，所以22121212889()()0777x x m x x m y y m m -+++ =--⋅-+->，即278170m m +->，解之得m 的取值范围4315(()-+-∞+∞. (12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研 究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.【试题解析】解：⑴当1x <时，2()32f x x ax b '=-++. 因为函数图像在点(2,(2))f --处的切线方程为16200x y ++=. 所以切点坐标为(2,12)-，并且(2)84212,(2)12416,f a b f a b -=+-=⎧⎨'-=--+=-⎩解得1,0a b ==.(4分)⑵由⑴得，当1x <时，32()f x x x =-+，令2()320f x x x '=-+=可得0x =或23x =， ()f x 在(1,0)-和2(,1)3上单调递减，在2(0,)3上单调递增，对于1x <部分：()f x 的最大值为2max{(1),()}(1)23f f f -=-=；当12x ≤≤时，()ln f x c x =⋅，当0c ≤时，ln 0c x ⋅≤恒成立，()02f x <≤， 此时()f x 在[1,2]-上的最大值为(1)2f -=；当0c >时，()ln f x c x =⋅在[1,2]上单调递增，且(2)ln 2f c =⋅.令ln 22c ⋅=，则2ln 2c =，所以当2ln 2c >时，()f x 在[1,2]-上的最大值为(2)ln 2f c =⋅；当20ln 2c <≤时，()f x 在[1,2]-上的最大值为(1)2f -=.综上可知，当2ln 2c ≤时，()f x 在[1,2]-上的最大值为2； 当2ln 2c >时，()f x 在[1,2]-上的最大值为ln 2c ⋅. (8分) ⑶32,(1)()ln ,(1)x x x f x c x x ⎧-+ <=⎨ ⎩≥，根据条件M ，N 的横坐标互为相反数，不妨设32(,)M t t t -+，(,())N t f t ，(0)t >.若1t <，则32()f t t t =-+，由MON ∠是直角得，0OM ON ⋅=，即23232()()0t t t t t -++-+=， 即4210t t -+=.此时无解；(10分)若1t ≥，则()l n f t c t =⋅. 由于MN 的中点在y 轴上，且90MON ∠=，所以N 点 不可能在x 轴上，即1t ≠. 同理有0OM ON ⋅=，即232()ln 0t t t c t -++⋅=，1(1)ln c t t =+. 由于函数1()(1)ln g t t t =+(1)t >的值域是(0,)+∞，实数c 的取值范围是(0,)+∞即为所求. (12分) 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到割线定理以及三角形 相似等内容.【试题解析】解：⑴连结DE ，因为ACED 是圆的内接四边形，所以 BDE BCA ∠=∠. 又DBE CBA ∠=∠，所以△BDE ∽△BCA ，即有BE DEBA CA=.而2AB AC =，所以2BE DE =.又CD 是ACB ∠的平分线，所以AD DE =， 从而2BE AD =. (5分) ⑵由条件得22AB AC ==，设AD t =，根据割线定理得 BD BA BE BC ⋅=⋅，即()2(2)AB AD BA AD AD CE -⋅=⋅+所以(2)22(22)t t t -⨯=+，即22320t t +-=，解得12t =，即12AD =. (10分) 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标 方程与平面直角坐标方程的互化、距离等内容.【试题解析】⑴将cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）化为普通方程得()1122=-+y x ，将()cos sin 10ρθθ-+=化为直角坐标方程得01=+-y x . (5分)⑵ 由⑴知曲线1C 表示圆心为(0,1)，半径为1的圆，曲线2C 表示直线01=+-y x ，并且过圆心(0,1)，所以曲线1C 上的点到曲线2C 上点的最远距离等于圆的半径1. (10分) 24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容.【试题解析】解：⑴原不等式等价于12445x x ⎧<⎪⎨⎪-⎩≤或132225x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤或32445x x ⎧>⎪⎨⎪-⎩≤， 因此不等式的解集为]49,41[-∈x . (5分)⑵由于mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，则0)(=+m x f 在R 上无解.又()|21||23||2123|2f x x x x x =-+---+=≥，)(x f 的最小值为2，所以2m -<，即2m >-.(10分)。
2012年长春市高中毕业班第二次调研测试文综答案
2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012年长春市高中毕业班第二次调研测试文科综合能力测试参考答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题，共140分）1．【试题答案】C【试题解析】由材料“砂砾岩，赤城层层”可知，山体岩石属于沉积岩。
2．【试题答案】A【试题解析】由上题沉积岩可知，丹霞山先经过外力沉积作用，再经过内力抬升、外力侵蚀作用形成。
3．【试题答案】D【试题解析】由材料“恢复湿地，灌溉水田，为城市供水”等可知，该工程的综合效益有改善生态环境，促进经济发展，满足社会需求。
4．【试题答案】A【试题解析】根据题目要求“水资源使用过程中”最容易出现的环境问题是水污染。
5．【试题答案】A【试题解析】结合所学知识“伊犁河谷所在地的位置和地形”及该地降水特点，可知植被主要为森林、草原。
6．【试题答案】B【试题解析】该地位于西北内陆，结合该地的地形、降水特点可知，补给主要来自大气降水、冰雪融水。
7．【试题答案】B【试题解析】阅读材料“17日气温陡降20℃”，可知在17日前天气比较温暖。
8．【试题答案】C【试题解析】结合所学知识，自然增长率=出生率-死亡率，可知a为自然增长率，b为出生率，c为死亡率。
9．【试题答案】D【试题解析】根据上题结论，c曲线为死亡率，上海市1990年以后死亡率上升可能是由于老龄化严重导致。
10．【试题答案】A【试题解析】根据题目要求“最容易出现用工荒”的工业为劳动力导向型工业，据图可知甲类工业对劳动力的依赖程度为80%，即劳动力导向型工业。
11．【试题答案】C【试题解析】读图可知，甲国第一产业产值比重占80%，第二产业比重较低，可作为产业转移对象国，丙国第二产业产值比重约占30%，第三产业产值比重约占52%，可知丙为发达国家，可作为转移国。
12．【命题立意】本题以纸币发行量为背景，考查学生获取和解读信息的能力以及探究的能力，属于能力立意。
【试题解析】因纸币需求量增加20%，故现在流通中所需要的纸币量为：5×（1+20%）=6（万亿元）。
2012东北三校二模--理科数学
东北三省三校2012届高三数学第二次联考试题 理 新人教A 版本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共24题，满分150分，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．设集合{1,2,3}M =，{2,3,4}N =，则（ C ）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．{2,3}M N =D ．{1,4,5}M N = 2．已知1(z i i =-是虚数单位），则24z z+=（ ） A．2 B ．2i C ．24i + D ．24i -3．在30的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有（ ） A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项4．向量AB 与向量(3,4)a =- 的夹角为π，||10AB =，若点A 的坐标是（1,2），则点B 的坐标为（ ）A ．（-7,8）C ．（-5,10）5A ．34 B ．45C ．56D ．676．已知4sin cos (0)34πθθθ+=<<，则sin cos θθ-的值为（ ）A ．3 B ．3- C ．13 D ．13-7．若,*m n N ∈，则a b >“”是“m nm n n m m n a b a b ab +++>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm ）的体积为33cm，则该几何体的高h 为（ ） A ．cm π B．(cm πC ．(cm π+D ．(3cm π+9．若抛物线2y 2(0)px p =>的值为（ ）A ．2B ．18C ．2或18D ．4或1610.设函数()2sin+4f x x πωω=（）(>0)与函数()cos(2)(||)2g x x πφφ=+≤的对称轴完全相同，则φ的值为（ ）A ．4π B ．4π- C ．2π D ．2π-11.已知半径为5的球O 被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（ ）AC．12.设()f x 在区间(,)-∞+∞可导，其导数为'()f x ，给出下列四组条件（ ） ①()p f x ：是奇函数，':()q f x 是偶函数②()p f x ：是以T 为周期的函数，':()q f x 是以T 为周期的函数③()p f x ：在区间(,)-∞+∞上为增函数，':()0q f x >在(,)-∞+∞恒成立 ④()p f x ：在0x 处取得极值，'0:()0q f x =A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
吉林省长春市2012-2013学年高二上学期期末调研测试数学(理)试题
一、选择题（本大题包括12小题，每小题4分，共48分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1．已知a ，b 是实数，则“0a <且0b <”是“0a b +<且0ab >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．已知抛物线2x ay =的准线方程是3x =-，则a 的值为 A ．12-B ．112-C ．112D ．123．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，26791S S ，==，则4S 的值是 A ．28 B ．32 C ．35D ．494．若平面，αβ的法向量分别为(124)(12)x ---，，和，，，并且αβ⊥，则x 的值为 A ．10- B ．10 C ．12-D ．125．在200m 高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为 A ．4003m Bm CmD ．2003m 6．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为A BCD 7．命题“210x x x R ，∀∈-+>”的否定是 A ．200010x x x R ，∃∈-+< B ．200010≤x x x R ，∃∈-+ C ．210x x x R ，∀∈-+< D ．210≤x x x R ，∀∈-+8．在△ABC 中，若∠A =60°，∠B =45°，BC =，则AC = A ．B ．CD A BCDEA 1B 1C 1D 1 （第6题图）9．已知椭圆2211612x y +=的两个焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上的一点，且122PF PF -=， 则△PF 1F 2的形状是 A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形10．已知m ,n ,x ∈R ，那么下列命题中为真命题的是 A ．若m n >，则22mx nx > B ．若m nx x>，则m n > C ．若33m n >且0mn <，则11m n> D ．若22m n >且0mn >，则11m n< 11．已知椭圆22221(0)2x y a b a b +=>>和双曲线22221(0)x y a b a b-=>>有相同的焦点，则椭圆和双曲线离心率的平方和为A ．74B ．2C ． 94 D ．312．已知数列{}n a 满足110,2n n a a a n +==+，那么2013a 的值是 A ．22011B ．20102009⨯C ．20122011⨯D ．20132012⨯第Ⅱ卷（非选择题，共72分）二、填空题（本大题包括4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在答题卡中的横线上） 13．已知492(00)x y x y ，+=>>，则xy 的最小值是 .14．已知实数x ，y 满足约束条件5x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩ ，则24z x y =+的最小值为 .15．（A ）△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为32，则b = . （B ）在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点A (－4，0)和C (4，0)，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则sin sin sin A C B+= . 16．（A ）已知点P 在椭圆22221(1)x y a b a b+=>≥上运动，点Q 在圆221x y +=上运动，PQ 取值范围为[],m n ，若[][],15m n ⊆，，则椭圆的离心率e 的取值范围是 . （B ）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与椭圆221259x y +=的焦点相同，若过右焦点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则此双曲线的半实轴长的取值范围是 .三、解答题（本大题包括5小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）≥0 ≥0 ≤317．（本小题满分10分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，求△ABC 面积的最大值. 18．（本小题满分10分）如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是 正方形，侧棱BB 1垂直于底面，且2AB =，1BB =4，过 点B 作1B C 的垂线，交侧棱1CC 于点E ，交1B C 于点F . （1）求证：1A C ⊥平面BED ；（2）求1A B 与平面BDE 所成角的正弦值. 19．（本小题满分12分）若抛物线的顶点是双曲线221x y -=的中心，焦点是双曲线的右顶点. （1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l 过点(21)C ，交抛物线于M N ，两点，是否存在直线l ，使得C 恰为弦MN 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，346S a =+，且a 1，a 4，a 13成等 比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .21．（本小题满分12分）（A ）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，O 是椭圆的中心.斜率为1的直线l与椭圆C 交于两点1122(,),(,)A x y B x y . （1）若椭圆的离心率e =l 过点(0)M b ，，且OA OB ⋅=125-，求椭圆C 的方程； FED 1C 1B 1A 1D C BA（第18题图）（2）直线l 过椭圆的右焦点F ，设向量()(0)OP OA OB λλ=+>，若点P 在椭圆C 上，求λ的取值范围.（B ）如图，已知椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，O 是椭圆的中心.左焦点为F ，直线2a x c=-与x 轴的交点为M ，4OM OF =.（1）求椭圆的离心率e ；（2）过左焦点F的直线与椭圆交于A 、B 两点，若2OA OB ⋅=-，求椭圆的方程.（第21题（B ）图）长春市2012～2013学年度第一学期期末调研测试高二数学试题（理科）答案1．C【命题立意】本题主要考查充分必要条件的意义，不等式的基本性质，以及在具体问题中如何恰当地运用所学的相关知识进行判定的能力，从而达到综合考查数学知识的目的.【解析】由0a <且0b <易得0a b +<且0ab >；反过来，由0ab >得,a b 同号，又0a b +<，所以,a b 同负，即0a <且0b <.因此，“0a <且0b <”是“0a b +<且0ab >”的充分必要条件.2．C【命题立意】本题主要考查抛物线的标准方程、几何性质及分析问题和解决问题的能力. 【解析】由2x ay =得抛物线的标准方程为21y x a =，所以准线方程为134x a=-=-，解得a =112. 3．A【命题立意】本题主要考查等比数列中基本量的计算及运算求解能力. 【解析】由已知可得1≠q ，所以212616(1)71(1)911a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，解得213712q a q ⎧=⎪⎨=-⎪-⎩ 解得414(1)7(19)2812a q S q -==-⨯-=-.（本题也可用等比数列{}n a 的前n 项和的性质：24264,,S S S S S --成等比数列进行求 解）4．A【命题立意】本题主要考查利用空间向量知识研究两个平面垂直的条件以及空间向量数量积的运算.【解析】因为αβ⊥，所以，αβ的法向量互相垂直，因此=--⋅-），，（21)421(x ，，280x ---=，解得10-=x .5．A【命题立意】本题主要考查直角三角形中的边角关系，考查分析问题、解决问题的能力以及数形结合的数学思想.【解析】设塔高为h ,山高200AB =m ，所以200tan 60AC DE ==，200200tan30tan30tan 603BE DE =⋅=⋅=， 则20040020033h CD AE AB BE ===-=-=. 所以塔高为4003m. 6．B【命题立意】本题主要考查异面直线所成的角以及空间向量的知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 【解析】如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(0,2,1)A E 1(1,2,0),(0,2,2)B C ，1(1,0,2),(1,2,1)BC AE =-=-.11130cos ,BC AE BC AE BC AE⋅<>==⋅. 7．B【命题立意】本题主要考查含有一个量词的命题的否定. 【解析】全称命题的否定是特称命题. 8．B【命题立意】本题主要考查正弦定理及基本的运算能力.【解析】由正弦定理得sin 45AC，解得AC =. 9．A【命题立意】本题主要考查椭圆的定义、简单几何性质及分析问题、解决问题的能力. 【解析】由椭圆的方程易得椭圆的长轴为8，短轴为，所以焦距124F F =.又因 为P 是椭圆上的一点，由椭圆的定义可得，128PF PF +=，又122PF PF -=，所 以125,3PF PF ==.所以2221212PF PF F F =+，故△12PF F 是直角三角形. 10．C【命题立意】本题主要考查不等式的基本性质.【解析】对于A ，若x =0，则22nx mx =，故A 不正确；对于B ，若0<x ，则n m <，故B 不正确；对于C ，因为0mn <，所以n m ,异号，又33m n >，所以n m >>0，因此11m n>，故C 正确；对于D ，由22m n >且0mn >，得0>>n m ，所以11m n<.若0,0>>n m ，则11m n <，若0,0<<n m ，则nm 11>，故D 不正确. 11．C【命题立意】本题主要考查椭圆和双曲线的几何性质，特别是离心率的求法，同时考查运算求解能力. 【解析】由已知得22222a b a b -=+，解得222a b =，所以椭圆和双曲线离心率的平方和为22222222222224892244a b a b a b b b a a a b -++++===. 12．D【命题立意】本题主要考查累加法求数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式及运算求解能力. 【解析】20131213220132012()()()a a a a a a a a =+-+-++-024402420122013=++++=⨯.二、填空题 13．36【命题立意】本题主要考查利用基本不等式求相关代数式的最值问题.【解析】0,0x y >>，492x y ∴=+≥xy ∴≥36（当且仅当491x y ==，即4,9x y ==时取等号）. ∴xy 的最小值是36.14．6-【命题立意】本题主要考查线性规划问题的求解方法.【解析】在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线02=+y x ，平移该直线，当直线经过该平面区域内的点（3，3-）时，相应直线在y 轴上的截距最小，此时24z x y =+取最小值，最小值是24z x y =+=2×3+4×（3-）=6-.15．（A ）1【命题立意】本题主要考查解三角形、数列的基础知识及分析问题和解决问题的能力. 【解析】由已知得2b =a +c ，cos B =()22222222a c ac ba cb ac ac+--+-==2322b ac ac - 又S △ABC =12ac sin30°=32，得ac =6②由①②解得 b 2 b +1. （B ）54【命题立意】本题主要考查椭圆的简单性质及正弦定理的应用.【解析】在△ABC 中，易知，8,10AC AB BC =+=.结合正弦定理可知，sin sin sin A C B +=10584BC AB AC +==.16．（A）0e < 【命题立意】本题主要考查椭圆与圆的几何性质，考查数形结合的思想以及运算求解能力.【解析】易得min 1PQ b =-，max 1PQ a =+，∴1m b =-，1n a =+.∴[][]1,11,5b a -+⊆，∴1b -≥1且1a +≤5，∴b ≥2且a ≤4，∴b a ≥12，∴222222221c a b b e a a a -===-≤34，∴0e < （B ）24a <<【命题立意】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，双曲线的几何性质以及化归与转化的能力. 【解析】由已知得双曲线的半焦距4=c ，且tan 60ba<，所以 3116222222<-=-=aa a c ab ，24a >，解得2a >，又ac <，所以42<<a .三、解答题 17．（本小题满分10分）【命题立意】本题主要考查解三角形时常用的两个定理：正弦定理和余弦定理以及基本不等式的知识，同时考查分析问题和解决问题的能力.【解析】（1）由已知及正弦定理得222a b c ab +-=．∴2221cos 22a b c C ab +-==， ∵(0,)C π∈，∴3C π=. ………5分（2）由（1）知222a b c ab +=+，∵2c =， ∴224a b ab +=+.又∵222≥a b ab +，∴42≥ab ab +，即4≤ab （当且仅当2a b ==时取“=”）.∴11sin 422≤ABC S ab C ∆=⨯=，即当2a b ==时，△ABC的面积取最大值 ………10分18．（本小题满分10分）【命题立意】本题主要考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.【解析】（1）如图，以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -. 则(000)(200)(220)(020)D A B C ，，，，，，，，，，，，A1111(204)(224)(024)(004)A B C D ，，，，，，，，，，，.设(02,)E t ，，则1(20,)(204)BE t B C =-=--，，，，. 1BE B C ⊥，14040∴BE B C t ⋅=+-=.1(021)(201)∴t E BE =∴=-，，，，，，，又1(224)(220)A C DB =--=，，，，，，14040∴A C BE ⋅=+-=且14400A C DB ⋅=-++=. 1∴A C DB ⊥且1A C BE ⊥．又BDBE B =，1∴A C ⊥平面BDE . ………5分（2）由（1）知1(224)A C =--，，是平面BDE 的一个法向量．又1(024)A B =-，，， 11111130cos ,∴A C A B A C A B AC A B⋅<>==⋅. ∴1A B 与平面BDE . ………10分 19．（本小题满分12分）【命题立意】本题主要考查抛物线的标准方程以及抛物线和双曲线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，并考查用代数方法研究圆锥曲线的性质以及分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.【解析】 （1）抛物线的标准方程为24y x =. ………4分 （2）使得C 恰为弦MN 的中点的直线存在．理由如下：由于以点(21)C ，为MN 中点的直线l 斜率必存在，设为k (0)k ≠，则l 的方程为：1(2)y k x -=-，即12y kx k =+-．将l 的方程与抛物线的方程24y x =联立，消去x 得：24480ky y k -+-=①设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12,y y 是方程①的解.且122y y +=，又由韦达定理得，2∴k =. 经验证2k =时，方程①的方程为230x y --=.…12分（本题也可用点差法求解）20．（本小题满分12分）【命题立意】本题主要考查等差数列、等比数列的概念和通项公式与数列求和的基本方法，考查逻辑推理、等价变形和运算能力.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠，因为346S a =+，所以11323362a d a d ⨯+=++① 因为a 1，a 4，a 13成等比数列，所以2111(12)(3)a a d a d +=+②由①②可得132a d ==，，所以21n a n =+. ………4分 （2）由21n a n =+可知，2(321)22n n nS n n ++==+， 所以11111(2)22n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭. 所以12111nS S S +++ 11111111111232435112n n n n ⎛⎫=+- ⎪++⎝⎭-+-+-++-- 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭2354(1)(2)n nn n +=++.………12分21．（本小题满分12分） （A ）【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量与解析几何的结合等知识，考查综合运用知识解决问题的能力，考查运算求解能力和研究问题的能力.【解析】 （1）∵e =，∴2a b c ，==．由已知可得直线l 的方程为y x b =-. 联立22244y x b x y b =-⎧⎨+=⎩，∴83()(0)55A b b B b ，，，-. ∵125OA OB ⋅=-， ∴231255b -=-，22416b a ，==. ∴椭圆C 的方程为221164x y +=. ………4分 （2）由222222y x c b x a y a b=-⎧⎨+=⎩，得2222222()2()0a b x a cx a c b +-+-=. ∴221212222222,a c b cx x y y a b a b-+=+=++.∴OA OB +22222222a c b c a b a b ，⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，OP 22222222,a c b c a b a b λλ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭. ∵点P 在椭圆C 上，将点P 的坐标代入椭圆方程中，整理得22224a b c λ+=.∵222b c a +=，01ce a<=<，∴22222222211144244a b a c c c e λ+-===->，即12λ>. ………12分 （B ）【命题立意】本题主要考查椭圆的方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量与解析几何的结合等知识，考查综合运用知识解决问题的能力，考查运算求解能力和研究问题的能力.【解析】（1）由已知得2(0)(0)a F c M c ，，，--，由4OM OF =，有2(0)4(0)a c c ，，-=-，则有24a c c=，∴12c e a ==. ………4分（2）设直线AB 为)y x c +，直线AB 与椭圆的交点为1122()()A x y B x y ，，，，由（1）可得222243a c b c ，==，由2223412)x y cy x c ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，得22111640x cx c +-=，212121641111c x x x x c ，+=-=-， ()()11221212OA OB x y x y x x y y ，，⋅=⋅=+，且212121222()2y y x x c x x c =+++.∴2121232()22x x c x x c +++=-，即2221232221111c c c --+=-， ∴21c =，则2243a b ，==．因此椭圆的方程为22143x y +=. ………12分。
吉林省吉林市高三第二次模拟考试(数学理)(2012吉林二模).pdf
一、学习目标 1、能说出什么是压力，会画压力示意图，会计算压力的大小。
2、经历探究压力作用效果的实验过程，知道影响压力作用效果的因素。
3、能说出压强的概念，能用压强公式进行简单的计算。
4、能说出增大和减小压强的方法。
二、重点难点 能用压强公式进行简单的计算。
三、学法指导 使用公式P=F／S计算压强时，要特别注意式中的S是指“受力面积”。
例如，一个边长为10cm的立方体，重为50N，放在面积为1m2的水平桌面中央，则物体对桌面的压力是50N，受力面积是10-3m2。
四、课前检测 1、重力大小的计算公式？ 。
2、弹力的定义、种类。
3、物体所受的合力为0，则物体处于 状态。
五、自主学习 1．学习新知 预习物理课本76页至78页，请自主完成下列问题。
知识探究点一：压力 如图14.1-1所示,请你画出图中对应表面受到的压力。
（1）物体A对水平面的压力； （2）物体B对斜面的压力 ； （3）物体C对竖直墙壁的压力。
一物体质量为10Kg，放在水平地面上，它重为 N，对地面的压力 为 N。
如果在该物体上再放一个5Kg的物体，则该物体对地面的压力 为 N。
(g取10N/kg) 压力是不是等于重力？请举例说明。
在什么情况下压力等于重力？ 知识探究点二：压力的作用效果跟什么因素有关 （1）如图14.1-2所示,，压力的作用效果不同体现在哪里？ （2）乙步骤中，为什么要在小桌上放一个砝码？你会发现什么？你的结论是什么？ （3）丙步骤中，将小桌倒放的目的是什么？你会得到怎样的结论？ （4）本探究用到的研究方法是什么？ 知识探究点三：压强 学习77页例题的讲解，你觉得压强的计算有哪些需要注意的地方？ 知识探究点四：增大和减小压强的方法 增大和减小压强的方法有哪些？请举例说明。
2．我的疑问 六、归纳总结（自己总结本节课学到的知识） 七、巩固提升 1．基础知识 1、下列事例, 属于减小压强的是（ ）A、火车铁轨铺在枕木上B、注射器的针头很尖C、菜刀经常磨一磨才好用D、以上都不是 2、一台质量为6t的履带拖拉机，对地面的压强为3×104Pa，拖拉机履带与地面的接触面积是多大?(g取10N/kg) 3、水平地面上重100N的课桌，桌面规格是40cm×60cm, 每条桌腿与地面的接触面积是25cm2，课桌对地面的压强是 Pa。
2012年长春市高中毕业班第二次调研测试语文答案
2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012年长春市高中毕业班第二次调研测试语文参考答案及评分标准一、（9分）1．【参考答案】C （3分）【命题立意】本题考查的是理解文中重要概念的含义的能力，要求考生能够理解这些概念在论述类文本中特定的含义。
【解析】偷换概念。
本项说的是“喷泉”的而非“水景”的作用，尤其“体现一种浪漫情怀”是“喷泉”的特点。
2．【参考答案】A （3分）【命题立意】本题考查归纳内容要点的能力。
【解析】以偏概全。
“中国古典建筑的庭院乃至园林的布局中没有喷泉的设置，是由中国与西洋不同的文化心理所决定的”，而“东部地区的人们认为水的存在常态是‘泻’和‘平’，只是这种文化心理的一种体现。
而且“没有”一词过于绝对。
3．【参考答案】D （3分）【命题立意】本题考查筛选并整合文中信息的能力。
【解析】张冠李戴。
“全然道不出之所以那样‘嬉水’的美学动机”的只针对“为喷泉而喷泉”而言。
二、（36分）（一）（19分）4.【参考答案】C （3分）【命题立意】本题考查学生理解常见文言实词在文中含义的能力。
【解析】达：明白。
5.【参考答案】B （3分）【命题立意】本题主要考查学生筛选、归纳文章内容的能力。
【解析】⑤是王导的话；⑥表现王述的容忍。
6．【参考答案】C （3分）【命题立意】本题主要考查学生分析、概括文章内容的能力。
【解析】C项中“害怕桓温的权势”“决定说服父亲”的理解不准确。
7．（10分）【参考答案】（1）既然说能胜任，为什么又要谦让呢？别人说你比我强，看来肯定不如我。
（“堪”“让”“胜”各1分，句意 2分）（2）王述所得俸禄和赏赐都分给亲朋故旧，家中的旧用具也较从前没有更新，这才受到世人的赞叹。
（“革”“始”“为……所”各1分，句意2分）【命题立意】本题主要考查学生理解与翻译的能力。
【参考译文】王述字怀祖。
从小失去父亲，以孝顺母亲而闻名。
安于贫贫穷俭约，不求闻达。
性情沉稳恬静，每次碰到座中有人辩论，各种说法相争不下时，王述却无动于衷。
东北三省三校2012年高三第二次联合模拟考试理科数学答案
2012年三校二模理科数学参考答案：一．选择题（1）Ｃ （2）Ａ （3）C （4）Ｄ （5）Ｃ （6）B （7）Ｄ （8）Ｃ （9）C （10）Ｂ （11）D （12）B 二．填空题（13）x y 3±= （14）32 （15）40 （16）(]6,3三．解答题 （17）解:(Ⅰ) 32n a n =-． ……6分 (Ⅱ)23762n n n b -+=． ……12分（18）解：(Ⅰ) 记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E ．则事件A 、B 、C 是相互独立事件，事件C B A 与事件E 是对立事件，于是18172131311)(1)(=⨯⨯-=-=C B A P E P ． ……4分(Ⅱ)ξ的所有可能取值为60,50,40,30．()181)(30===C B A P P ξ，()185)()()(40=++==C B A P C B A P C B A P P ξ， ……6分()188)()()(50=++==BC A P C B A P C AB P P ξ，()184)(60===ABC P P ξ． ……8分所以ξ的分布列为314518460188501854018130=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． ……12分（19）解：如图建立空间直角坐标系.(Ⅰ)设a BC AD CD PD 222====，，则)0,2,(),0,0,1(a a B A -，)2,0,0(),0,2,0(P C ，)1,0,0(M ． ……3分设平面PBC 的一个法向量为),,(z y x n =，则,02)2()2,2,(),,(=--+=--⋅=⋅z a y ax a a z y x PB n,022)2,2,0(),,(=-=-⋅=⋅z y z y x PC n令,1=z 得)1,1,1(=n ． ……7分而)1,0,1(-=AM ，所以0=⋅n AM ，即n AM ⊥，又A M ⊄平面PBC 故//A M 平面PBC ．……9分(Ⅱ))2,0,1(-=PA ，设P A 与平面PBC 所成角为α， 由直线与平面所成角的向量公式有1515351sin ===α． ……12分x（20）解：(Ⅰ)由题意22221c baa b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得⎩⎨⎧==22b a ，所求椭圆方程为12422=+y x ． ……4分 (Ⅱ)联立方程组⎩⎨⎧+==+m kx y y x 4222消去y 得0424)21222=-+++m kmx x k （， ……5分0)6(8)21)(2(241622222>-=+-⨯-=∆m k m m k ，设),(),,(),,(002211y x P y x B y x A ，由韦达定理得 22102122kkm x x x +-=+=，20021km m kx y +=+=．由点P 在直线20x y +=上，得1=k ． ……7分 所以3643622222mm AB -=-=．点)0,2(F 到直线AB 的距离22md +=．三角形F A B ∆的面积10)2FAB S AB d m m ==<≠．……10分设22()(6)(u m m m =-+(0m m <≠)，'()2(2u m m m m ∴=-++-由＝0得：2m =-m =或m =当2m <<-时，'()0u m >；当2m -<<'()0u m <；当m <<'()0u m >m <<'()0u m <又3(,3224u u -==所以当m =时，F A B ∆的面积取最大值83. ……12分（21）解：(Ⅰ) xx f +='11)(，2)(x x b x g +-='，由题意⎩⎨⎧'='=),0()0(,0)0(g f f 解得0=a ，1=b ． ……4分（Ⅱ）令x x x x x g x f x h -+-+=-=232131)1ln()()()( )1(->x111)(2 x x xx h -+-+='13+-=x x． ……5分)0,1()(-在x h 为增函数，在)0(∞+，为减函数． ……6分0)0()(max ==h x h ，0)0()(=≤h x h ，即)((x g x f ≤）． ……8分（Ⅲ）设)()]()()[1()(11x x x f x f x x u ---+=，则)1ln()1ln()(1x x x u +-+='．当),(21x x x ∈时，0)(>'x u ，)(x u 单调递增，又0)(1=x u ，故0)(>x u ，即xx x x f x f +>--11)()(11． ……10分设)()]()()[1()(22x x x f x f x x v ---+=，则)1ln()1ln()(2x x x v +-+='．当),(21x x x ∈时，0)(>'x v ，)(x v 单调递增，又0)(2=x v ， 故0)(<x v ，即xx x x f x f +<--11)()(22．综上，),(21x x x ∈时，>--11)()(x x x f x f 22)()(x x x f x f --． ……12分（22）解：(Ⅰ) 连结ON ，则PN ON ⊥，且OBN ∆为等腰三角形，则ONB OBN ∠=∠，OBN OMB PMN ∠-=∠=∠ 90，ONB PNM ∠-=∠ 90P N M P M N ∠=∠∴，PN PM =∴． ……3分 由条件，根据切割线定理，有 PC PA PN⋅=2，所以PC PA PM⋅=2．……5分 (Ⅱ)2=OM ，在BOM Rt ∆中，422=+=OMOB BM ．延长BO 交⊙O 于点D ，连结DN ．由条件易知BOM ∆∽BND ∆，于是BDBM BNBO =，即34432=BN，得 6=BN ． ……8分所以246=-=-=BM BN MN . ……10分（23）解：(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得051272=--t t设A ，B 对应的参数分别为21,t t ，则 75,7122121-==+t t t t ． ……3分所以771104)(5)4()3(212212122=-+=--+-=t t t t t t AB ． ……5分(Ⅱ)易得点P 在平面直角坐标系下的坐标为)2,2(-，根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为76221=+t t ． ……8分所以由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为73076)4()3(22=⋅-+-=PM ． ……10分（24）解:：(Ⅰ)541≥-+-x x 等价于1255x x <⎧⎨-+≥⎩ 或1435x ≤≤⎧⎨≥⎩ 或4255x x >⎧⎨-≥⎩， 解得：0x ≤或5x ≥．故不等式()5f x ≥的解集为{0x x ≤或5}x ≥． ……5分(Ⅱ)因为: ()1(1)()1f x x x a x x a a =-+-≥---=-（当1x =时等号成立）所以：min ()1f x a =- ……8分由题意得：14a -≥， 解得3-≤a 或5≥a ． ……10分P。
2012高考全国2卷数学理科试题及答案详解
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理科数学(全国二卷）一、选择题1、 复数131i i-++= A 2+i B 2-i C 1+2i D 1- 2i2、已知集合A ＝{1.3. }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m=A 0B 0或3C 1D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24y =14 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2BCD 1（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列1n a 1+n a 的前100项和为 (A)100101 (B) 99101(C) 99100 (D) 101100（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a CB =→,b CA=→,a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则=→AD (A)b a 31-31（B ）b a 32-32 (C)b a 53-53 (D)b a 54-54（7）已知α为第二象限角，sin α＋sin β，则cos2α=(A) （B ） (C) （8）已知F 1、F 2为双曲线C ：2-x 22=y 的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45（9）已知x=ln π，y=log 52，12z=e ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x(10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73。
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2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012年长春市高中毕业班第二次调研测试数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.C2.A3. B4. B5.B6.A7.B8.D9.D 10.C 11.C 12.B 简答与提示：1. C A B R ð的意义是在集合A 中去掉属于集合B 的元素后余下的元素构成的集合，所以应当为{2,1}--.故选C. 2. A 由于1(1)(2)(2)(21)2(2)(2)5ai ai i a a ii i i ++-++-==++-为纯虚数，所以205a +=，即2a =-.故选A.3. B 由题意可知，3sin 5α=，3sin()sin 5απα+=-=-.故选B. 4. B 代入中心点(,)x y ，可知 1.45a =.故选B.5. B 由题意可知，该几何体为一个四棱锥，底面面积为32，高为1，体积为1311322V =⋅⋅=.故选B.6. A 因为函数的最大值为1，最小值为1-，且在区间2[,]63ππ上单调递减，又函数值从1减小到1-，可知2362πππ-=为半周期，则周期为π，222T ππωπ===，此时原式为sin(2)y x ϕ=+，又由函数过(,1)6π点，代入可得6πϕ=，因此函数为sin(2)6y x π=+，令0x =，可得12y =.故选A.7. B i ＝3，打印点(－2,6)，x ＝－1，y ＝5，i ＝3－1＝2；i ＝2，打印点(－1,5)，x ＝0，y ＝4， i ＝2－1＝1；i ＝1，打印点(0,4)，x ＝1，y ＝3， i ＝1－1＝0；0不大于0，所以结束．故选B.8. D 当0x ≥时，1[()]4x f f x =≥，所以4x ≥；当0x <时，21[()]2x f f x =≥，所以22x ≥，x x ≤所以x ∈(,[4,)-∞+∞ .故选D.9. D ()()DE DF DO OE DO OF ⋅=+⋅+()()198DO OE DO OE =+⋅-=-=-.故选D.10. C2()f x x ax b '=++， 由题意可知：2222(1)(1)(1)10(1)1110(2)22420(4)441640f a b a b f a b a b f a b a b f a b a b '⎧-=-+-+=-+>⎪'=+⋅+=++<⎪⎨'=+⋅+=++<⎪⎪'=+⋅+=++>⎩所构成的区域即为图中阴影部分，四边形的四个顶点坐标分别为(3,4),(1,2),(3,2),(5,4),------可验证得：当5,4a b =-=时，2z a b =+取得最大值为3；当3,4a b =-=-时，2z a b =+取得最小值为11-.于是2z a b =+的取值范围是(11,3)-.故选C.11. C 过M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为(,0)2c，并设12222MF MO MF t ===，根据勾股定理可知，22221122MF NF MF NF -=-，得到c =，而32t a =，则c e a ==. 故选C.12. B 由(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称可知，()f x 关于点(0,0)对称，即为奇函数. 令3x =-可知，(3)(3)2(3)f f f +-=，进而(3)(3)f f -=，又(3)(3)f f -=-可知(3)0f =，所以(6)()0f x f x ++=，可知()f x 是一个周期为12的周期函数，所以(2012)(4)(4)4f f f =-=-=-.故选B. 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分) 13. 414. y x =16.23π 简答与提示： 13.1122086)6x dx x dx π=+⎰⎰⎰，⎰等于单位圆面积的14，8824πππ=⋅=⎰， 11230622x dx x ==⎰，1122086)622 4.x dx x dx π=+=+=⎰⎰⎰14. 由双曲线的性质可推得2MF b = ，则13MF b =在△1MFO 中，OM a = ，1OF c =， 1cos a F OM c∠=-，由余弦定理可知222(3)2a c b aac c+-=-，又222c a b =+， 可得222a b =，即b a =，因此渐近线方程为y x =.15. 因为274sincos 222A B C +-=，所以272[1cos()]2cos 12A B C -+-+=，2722cos 2cos 12C C +-+=, 即21cos cos 04C C -+=,解得1cos 2C =. 由余弦定理得2217cos 22a b C ab+-==,22727ab a b ab =+--≥，7ab ≤.（当且仅当a b ==“=”成立）从而11sin 722S ab C =⋅=≤，即S16. O 为球心，也是正方体的中心， O 到平面1ACD 的距离h 等于体对角线的16，即为h =， B 到平面1ACD 的距离k 等于体对角线的23，即为k =又球的半径R 等于正方体棱长的一半，即为12R =，由勾股定理可知，截面圆的半径为6r =，圆锥底面面积为21(66S ππ=⋅=，圆锥的母线可利用勾股定理求出：2l =，圆锥的侧面积为2==6622S l πππ=⋅⋅⋅. 圆锥的表面积为122+623S S S πππ==+=.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查等差数列基本量的求取、等差数列求和公式以及裂项 求和的应用.【试题解析】解：⑴121112323()5311a a a a d a d +=++=+=， 32624a a a =+-，即1112(2)54a d a d a d +=+++-，得2d =， 11a =， (3分)1(1)1(1)221n a a n d n n =+-=+-⨯=-.(5分) ⑵2111(1)1(1)222n S na n n d n n n n =+-=⨯+-⨯=， (7分)2211111111()1(1)12(2)22n n b S n n n n n n n +=====--+-+++， (9分) 11111111111(...)2132435112n T n n n n =-+-+-++-+--++111113()212124n n =+--<++ *()n N ∈. (12分)18. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布表、频 率分布直方图、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法. 【试题解析】⑴由题可知50.25M =，12n M =，m p M =，10.05M= 又 5121m M +++=解得 20M =，0.6n =，2m =，0.1p = 则[15,20)组的频率与组距之比a 为0.12.(4分)⑵由⑴知，参加服务次数在区间[15,20)上的人数为3600.6216⨯=人. (6分) ⑶所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值可能为0元、20元、40元、60元，则22251222201066177(0)190190C C C P C ++++===， 111111512122212206024286(20)190190C C C C C C P C ++++===， 111152121220101222(40)190190C C C C P C ++===， 11512205(60)190C C P C ==.(10分)()0(0)20(20)40(40)60(60)E X P P P P =⋅+⋅+⋅+⋅7786225290020406019019019019019=⨯+⨯+⨯+⨯= (12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、 二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用.【试题解析】解：⑴证明：方法一.设AC BD O = ，取BE 中点G ，连结OG FG 、，则OG ∥DE 且OG ＝12DE .∵DE AF //，AF DE 2=， ∴AF ∥OG 且AF ＝OG ，∴AFGO 是平行四边形，∴AO FG //. ∵FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF ,∴//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF . (6分)方法二.如图建立空间直角坐标系，设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n FE n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，而(2,0,1)(0,2,1)FE FB ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，∴2020x z y z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，则1y =，2z =， (1,1,2)n = . ∵(2,2,0)AC =-， ∴n AC ⋅ ＝0，∴n AC ⊥ ， 而AC ⊄平面BEF ，∴//AC 平面BEF . (6分) ⑵设平面ABCD 与平面BEF 所成二面角的平面角为α，由条件知α是锐角由⑴知平面BEF 的法向量为(1,1,2)n =. 又平面ABCD 与z 轴垂直，所以平面ABCD 的法向量可取为1(0,0,1)n =所以111cos |cos ,|||3n n n n n n α⋅=<>===⋅ ，所以tan α=即为所求. (12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线 方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.【试题解析】解：⑴设抛物线方程22y px =(0)p >，直线l 方程2p x ty =+， 联立消去x 得22()2py p ty =+，即2220y pty p --=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122y y pt +=，212y y p =-，进而22121212122222()()()2224()2244p p pt p x x ty ty t y y y y pt p pt p pt =++=+++=⋅-+⋅+=所以22212123344p OA OB x x y y p p ⋅=+=-=-=- ，即2p =， 所求抛物线方程为24y x =. (4分)⑵因为AMB ∠是锐角，所以0MA MB ⋅>恒成立，即1212()()0x m x m y y --+>，2121212()0x x m x x m y y -+++>.由⑴得121x x =，124y y =-，124y y t +=，21212()42x x t y y p t +=++=+.所以221(42)40m t m -++->，而0m <，所以22234m m t m-->对于t ∀∈R 恒成立，所以22304m m m --<.又0m <，所以22300m m m ⎧-->⎨<⎩，解得m 的取值范围1m <-. (8分) ⑶由条件可设P 的坐标为(1,)a -，22a -≤≤，则 121221212121222222(1)(1)()()()1()14214444(2)16,PA PB x x y a y a x x x x y y a y y a t at at at a t a ⋅=+++--=++++-++=+++--+=-+=-=所以24t a -=或24t a +=，而22a -≤≤，所以226t ≤≤或622t --≤≤. 根据抛物线定义可知，以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，所以点Q 的纵坐标为124222y y tt +==，从而点Q 的纵坐标的取值范围是[6,2][2,6]-- . (12分) 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研 究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.【试题解析】解：⑴当1x <时，2()32f x x ax b '=-++.因为函数图象在点(2,(2))f --处的切线方程为16200x y ++=. 所以切点坐标为(2,12)-，并且(2)84212,(2)12416,f a b f a b -=+-=⎧⎨'-=--+=-⎩解得1,0a b ==.(3分)⑵由⑴得32,(1)()ln ,(1)x x x f x c x x ⎧-+ <=⎨ ⎩≥，根据条件M ，N 的横坐标互为相反数，不妨设32(,)M t t t -+，(,())N t f t ，(0)t >.若1t <，则32()f t t t =-+，由MON ∠是直角得，0OM ON ⋅=，即23232()()0t t t t t -++-+=，即4210t t -+=.此时无解；若1t ≥，则()l n f t c t =⋅. 由于MN 的中点在y 轴上，且90MON ∠= ，所以N 点不可能在x 轴上，即1t ≠. 同理有0OM ON ⋅=，即232()ln 0t t t c t -++⋅=，1(1)ln c t t =+，由于函数1()(1)ln g t t t=+(1)t >的值域是(0,)+∞，实数c 的取值范围是(0,)+∞即为所求.(7分)⑶方程()f x kx =，即32,(1)ln ,(1)x x x kx e x x ⎧-+ <=⎨ ⎩≥，可知0一定是方程的根，所以仅就0x ≠时进行研究：方程等价于2,(10)ln ,(1)x x x x k e x x x⎧-+ <≠⎪=⎨ ⎪⎩且≥.构造函数2,(10)()ln ,(1)x x x x k x e x x x⎧-+ <≠⎪=⎨ ⎪⎩且≥对于10x x <≠且部分，函数2()k x x x =-+的图像是开口向下的抛物线的一部分，当12x =时取得最大值14，其值域是1(,0)(0,]4-∞ ；对于1x ≥部分，函数ln ()e x k x x =，令2ln ()0e e xk x x-'==，得x e =， 所以函数()k x 在(1,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以()k x 在x e =时取得最大值1，其值域是[0,1]，(1)0k =，并且当x 无限增大时，其图像在x 轴上方向右无限接近x 轴但永远也达不到x 轴. (10分)因此可画出函数()k x 的图像的示意图如下：可得：①当1k >时，方程()f x kx =只有唯一实根0； ②当1k =时，方程()f x kx =有两个实根0和e ； ③当114k <<时，方程()f x kx =有三个实根；④当14k =时，方程()f x kx =有四个实根； ⑤当104k <<时，方程()f x kx =有五个实根；⑥当0k =时，方程()f x kx =有两个实根0和1； ⑦当0k <时，方程()f x kx =有两个实根.(12分)22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到割线定理以及三角形 相似等内容.【试题解析】⑴连结DE ，因为ACED 是圆的内接四边形，所以BDE BCA ∠=∠，又DBE CBA ∠=∠，所以△BDE ∽△BCA ，即有BE DEBA CA=，而2AB AC =， 所以2BE DE =.又CD 是ACB ∠的平分线，所以AD DE =，从而2BE AD =.(5分)⑵由条件得22AB AC ==，设AD t =，根据割线定理得 BD BA BE BC ⋅=⋅，即()2(2)AB AD BA AD AD CE -⋅=⋅+所以(2)22(22)t t t -⨯=+，即22320t t +-=，解得12t =，即12AD =. (10分) 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标 方程与平面直角坐标方程的互化、直线和圆的位置关系等内容.【试题解析】⑴将cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）化为普通方程得()1122=-+y x ，将()cos sin 10ρθθ-+=化为直角坐标方程得01=+-y x . (5分)⑵ 由⑴知曲线1C 表示圆心为(0,1)，半径为1的圆，曲线2C 表示直线01=+-y x ，并且过圆心(0,1)，所以曲线1C 上的点到曲线2C 上点的最远距离等于圆的半径1. (10分) 24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及 不等式证明等内容.【试题解析】解：⑴原不等式等价于12445x x ⎧<⎪⎨⎪-⎩≤或132225x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤或32445x x ⎧>⎪⎨⎪-⎩≤， 因此不等式的解集为]49,41[-∈x . (5分)⑵由于mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，则0)(=+m x f 在R 上无解.又()|21||23||2123|2f x x x x x =-+---+=≥，)(x f 的最小值为2，所以2m -<，即2m >-.(10分)。