浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考数学试题(解析版)

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1812杭二中高三月考数学试卷

杭州二中2018学年第一学期高三年级12月月考数学试题答案与解析选择题部分(共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}{}，，21|1|≤≤-=-==x x B x y x A 则=B A （）A.{}21|≤x x ＜ B.{}10|≤≤x x C.{}21|≤≤x x D.{}20|≤≤x x （答案提供：杭州黄超）【答案】：C2.已知y x 、都是实数,则“y x ≤”是“y x ≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（答案提供：杭州黄超）【答案】：D3.下列函数中,既是偶函数又在区间()∞+，0上单调递增的函数为（）A.1-=x y B.x y 2log = C.x y = D.2x y -=（答案提供：杭州黄超）【答案】：C4.过点(1,3)且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（）A.012=-+y x B.052=--y x C.072=+-y x D.250x y +-=（答案提供：杭州黄超）【答案】：D5.若y x 、满足约束条件，⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-≥+0220201y x y x 则y x z +=的最大值是（）A.-5 B.1 C.2 D.4（答案提供：杭州黄超）【答案】：D6.函数()x e x f x ln ∙=的大致图象为（）（答案提供：杭州黄超）【答案】：A7.各项都是正数的等比数列{}n a 中,13221a a a 、、成等差数列,则5443a a a a ++的值为（）A.215+ B.215- C.251- D.251215-+或（答案提供：杭州黄超）【答案】：B8.若正实数y x 、满足()，y x y x ln ln 2ln +=+则y x +2取最小值时,=x （）A.5B.3C.2D.1（编辑与解析提供：绍兴徐浙虞）【答案】B【解析】由()ln 2ln ln x y x y +=+可得()20,0x y xy x y +=>>，即211x y+=，故()2122259y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当x y =取相等，代入求得3x =，选B.9.已知21e e 、为不共线的单位向量,()，，R k e k e b ∈+==2143若对任意的向量均有43≥-成立,则向量21e e 、夹角的最大值是（）A.3π B.32π C.43π D.65π（编辑与解析提供：绍兴徐浙虞）【答案】B【解析】因为a b a b -≥- ，又因为4a b -≥ 恒成立，故min 4a b -≥ ，即4a b -≥ ，可求2b ≥ ，即()222232cos 1cos sin 4b k k k θθθ=+⋅+=++≥ ，所以sin 2θ≥，即233ππθ≤≤，选B.10.若方程()xa x a ax x 4422223-=++-有四个不相等的正根,则实数a 的取值范围是（）A.23>a B.22>a C.2322<<a D.2323<<-a （编辑与解析提供：浙江绍兴金春江）【答案】A 【解析】方程32242(2)4x ax a x a x-++=-有四个不相等的正根等价于方程43222(2)440x ax a x ax -++-+=有四个不相等的正根等价于()22222x ax x -+=有四个不相等的正根等价于22x ax -+=，22x ax -+=各有两个正根由22x ax -+=两个正根，可得00a a ∆>⎧⎪⇒>⎨>⎪⎩同理可得22x ax -+=两个正根，可得a >综合可得a >，故选A非选择题部分(共110分)二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)11.=9log 3_______，若，3log 4=a 则=a 2_______.（答案提供：绍兴魏莹莹）【答案】：212.函数()x x f -=11的定义域为________，值域为__________.（答案提供：绍兴魏莹莹）【答案】：∞（-,1），+∞（0，）13.已知，，R b a ∈复数i a z -=且bi i z +=+11(i 为虚数单位),则=ab _____，=z _____.（答案提供：绍兴魏莹莹）【答案】：6-14.若()()，απαπ+=-sin 32cos 则=αtan _______，=α2tan _______.（答案提供：绍兴魏莹莹）【答案】：13-，34-15.已知关于x 的不等式012<-+mx x 的解集是{}，n x x <<-2|则=+n m _____.（编辑与解析提供：浙江绍兴金春江）【答案】2m n +=【解析】由题意得221n m n -+=-⎧⎨-=-⎩，解得3212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2m n +=16.设点P ()y x ，是圆C:012222=+-++y x y x 上任意一点,若a y x y x --+++-212为定值,则实数a 的取值范围为_____________.（编辑与解析提供：春晖中学林国夫）【答案】(,3-∞-【解析】问题等价于：对任意的,x y 满足222210x y x y ++-+=，恒有20x y a --≥，从而()min 2a x y ≤-.由于22222210(1)(1)1x y x y x y ++-+=⇔++-=，则设1cos ,x θ=-+1sin y θ=+，则22cos sin 2132cos sin x y θθθθ-=---=-+-，从而3a ≤-.故实数a的取值范围为(,3-∞--.17.已知()，a x x x f ++=22若函数()()()x f x f f y -=有且有3个零点,则实数a 的取值集合是___________.（编辑与解析提供：春晖中学林国夫）【答案】{0}【解析】设()t f x =，则()()()y f f x f x =-的零点即为()()()f f x f x =的根.设方程()f t t =的根为12,t t ，则()()()f f x f x =的根即为方程12(),()f x t f x t ==的根的和.考虑到()()()f f x f x =的根只有3个，从而12(),()f x t f x t ==的根的个数的情况为2个和1个.不妨设1()f x t =有两个根，2()f x t =只有一个根.则222()20f x t x x a t =⇔++-=只有一个根，从而1x =-为其根，且，故21t a =-又是方程2()0f x x x x a =⇔++=的根，从而2(1)(1)0a a a -+-+=，故20a =，即0a =.综合上述实数a 的取值集合为{0}.三、解答题(本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(本题满分14分)已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>>+=200sin πϕωϕω，，A x A x f 的部分图象如图所示:(1)求函数()x f 的解析式；(2)若锐角α满足，58122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-παf 角β满足()135sin =-βα求βsin 的值。

浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷2(答案+解析)

浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷2参考公式：如果事件,A B 互斥，那么柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+V Sh =如果事件,A B 相互独立,那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P AB P A P B =锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ,那么n 13V Sh =次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为其中S 表示锥体的底面积h 表示锥体的高()()10,1,2),,(k k n k n n P k C p p k n -==⋯－球的表面积公式台体的体积公式24S R =π121()3V S S h =球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，343V R =πh 表示为台体的高其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U =R ，集合{}|11A x x =-<<，则U C A =（） A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．[1,1]-D ．(,1][1,)-∞-+∞2．复数34ii +(i 是虚数单位)的模是（） A ．4B ．5C ．7D ．253．若实数,x y 满足约束条件0,30,20,y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩+--≥≤≥则2z x y =+的取值范围是（）A ．[4,)+∞B ．[0,6]C ．[0,4]D ．[6,)+∞4．已知互相垂直的平面,αβ交于直线l ．若直线,m n 满足//m α，n β⊥，则（） A ．//l mB ．//m nC ．n l ⊥D ．m n ⊥5．函数cos sin 2xxy =的大致图像为（） A ．B ．C ．D ．6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（） A ．186盏B ．189盏C ．192盏D ．96盏7．安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（） A ．1440种B ．720种C ．480种D ．240种8．已知向量,a b 满足||4a b +=，||3a b -=，则||||a b +的范围是（） A ．[3,5]B ．[4,5]C ．[3,4]D ．[4,7]9．设{}1,2,3,,100U =，f 是U U →的映射，则“{}()U f x x U =∈”是“当12x x ≠时，12()()f x f x ≠”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．已知函数2()f x x ax b =++的两个零点12,x x ，满足1202x x <<<，则(0)(2)f f 的取值范围是（） A ．(0,1) B ．(0,2)C ．(1,2)D ．(1,4)二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．抛物线2x y =的焦点坐标是，离心率是． 12．已知随机变量的分布列是：X则m =，()E X =．13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是，最长棱的长度（单位：cm ）是．14．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2a =，4B π=，tan 7C =，则s i n A =，ABC S =△．15．若二项式6((0)ax a >的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若4A B =，则B =． 16．已知向量,,a b c 满足||1a =，||b k =，||2c k =-且0a b c ++=，则b 与c 夹角的余弦值的取值范围是．17．如图，已知正四面体D ABC -，P 为线段AB 上的动点（端点除外），则二面角D PC B --的平面角的余弦值的取值范围是．三、解答题: 本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本题满分14分）已知向量(sin ,sin )ax x ωω=，(sin ,cos )(0)b x x ωωω=>．函数()f x a b=⋅的图像相邻两条对称轴的距离为4π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）当[0,]4x π∈时，求函数()f x 的值域．19．（本题满分15分）如图，已知三棱锥D ABC -，2DC DA AB BC ===，AC BC ⊥，ABD CBD ⊥平面平面，M 是BD 中点．（Ⅰ）证明：BC MAC ⊥平面；（Ⅱ）求直线BD 与平面ABC 所成的角的正弦值．20．（本题满分15分）已知函数()e (1)x f x a x =++．A（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 有最小值且最小值大于2a a +时，求a 的取值范围．21．（本题满分15分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）记斜率为k 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，椭圆C 上存在点p 满足OP OA OB =+，求四边形OAPB 的面积．22．（本题满分15分）数列{}n a 满足11a =，121(1)(*)nn a a n n n +=+∈+N ．证明：当*n ∈N（Ⅰ）1n n a a +>；（Ⅱ）2e 11n n na n n ++≤≤．【参考答案】一、选择题【解析】(][),11,U C A =-∞-+∞.2．B【解析】3+4i43i 5i=-==. 3. B 4．C【解析】因为l αβ=，所以l β⊂，又因为n β⊥，所以n l ⊥.5. A 【解析】cos sin 2x x y =是奇函数，π(0,)2x ∈时，0y >，故选A. 6. C.【解析】设塔的底层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为12的等比数列. 71(1())2381112x -=-，解得192x =. 7. D【解析】完成一件事情：一人完成两项工作，其余三人每人完成一项工作2353C A 240=. 8. B【解析】{}max ,4a b a b a b +≥+-=，222()25a b a b a b +≤++-=，所以5a b +≤.9. C ．【解析】“{}()U f x x U =∈”等价于“()y f x =是一一映射”，故选C ． 10. A.【解析】设函数212()()()f x x ax b x x x x =++=--，则12(0)f x x =，12(2)(2)(2)f x x =--. 一方面：(0)(2)0f f >，x x另一方面：2211221212112222(0)(2)(2)(2)(2)(2)()122x x x x f f x x x x x x x x +-+-⎛⎫⋅=--=--≤= ⎪⎝⎭“”的条件是121x x ==，但1202x x <<<，所以“”取不到. 所以(0)(2)f f ⋅的取值范围是()0,1. 二、填空题11. 1(0,)4，1.12.1243【解析】1111632，，m m ++=∴=1114()0126323E x =⨯+⨯+⨯=.13.83，【解析】该几何体是四棱锥，体积为83，最长棱的长度为方体的对角线14.45，74【解析】π4sin sin()45A B =+=，由正弦定理知：sin sin a b A B=，所以b =117sin 22244ab C =⨯⨯=. 15. 60【解析】36662166(1)C ()(1)C r rrrr r r rr T ax a x ---+=-=-，令3632r -=得2r =，则4246C 15A a a ==，令3602r -=得4r =，则42426(1)C 15B a a =-=，==又由4A B =得4215415a a =⨯，则2a =,60B =. 16. 1[1,]2--【解析】法一：设b c 与的夹角为θ，由题b c a +=-，2221b c b c ∴++⋅=，即2222433cos 1242(1)2k k k k k θ-+==+---，||||||a b c b c =+≥-，|22|1k ∴-≤，1322k ∴≤≤，11cos 2θ∴-≤≤-.法二：设,,a AB b BC c CA ===，|||2CA CB +=，点C 的轨迹为以A B 、为焦点的椭圆.根据椭圆的对称性，当点在椭圆的顶点处取得最值.（注意向量夹角的定义）17．11(,)33-【解析】当点P 从A 运动到B ，二面角D PC B --的平面角逐渐增大，二面角D PC B --的平面角最小趋近于二面角D AC B --的平面角，最大趋近于二面角D BC A --的平面角的补角，故余弦值的取值范围是11(,)33-．三、解答题18. 解：（Ⅰ）2111()sin sin cos sin 2cos 2222f x x x x x x ωωωωω=+⋅=-+，由题知π24T =，π2π,222T ωω∴==∴=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1π()),02424f x x x =-+≤≤，因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,ππ3π4,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,πsin()442x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1()2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.19. 解：（Ⅰ）由AD AB =得AM BD ⊥，由ABD CBD ⊥平面平面得AM CBD ⊥平面，所以AM BC ⊥，∴C又因为AC BC ⊥，所以BC MAC ⊥平面．（Ⅱ）过M 作ME AC ⊥且ME AC E =，连结EB ．由BC MAC ⊥平面得MAC ABC ⊥平面平面，所以ME ABC ⊥平面，故MBE ∠为直线BD 与平面ABC 所成的角．不妨设22DC DA AB BC ====．由AC BC ⊥得AC =．由222AM MC AC +=，222AM MB AB +=， 22222()MC MB CD CB +=+得32AM =，MC =MB =所以34ME =，sin MBE ∠=，故直线BD 与平面ABC20. 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R ，()e xf x a '=+，若0a ≥，则()0f x '>，在R 上是单调递增的；若0a <，则当(,ln())x a ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 在(,ln())a -∞-上是单调递减；当(ln(),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，()f x 在(ln(),)a -+∞上是单调递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）知当0a ≥时()f x 在R 无最小值, 当0a <时()f x 在ln()x a =-取得最小值,最大值为()()ln()ln()1ln()f a a a a a a -=-+-+=-，因此()2ln()ln()10f a a a a a ->+⇔---<.令()ln()1g a a a =---,则()g a 在(),0-∞是减函数(1)0g -=,于是,当10a -<<时,A)(x f()0g a <,当1a <-时()0g a >,因此的取值范围是()1,0-.21.解：（Ⅰ）1,2,c a b ===的方程是：22143x y +=. （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)P x y ，直线:AB y kx m =+，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立，消去y ，可得222(34)84120k x kmx m +++-=，故2248(43)0k m ∆=+->且122212283441234km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，由OP OA OB =+，可得012012x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，且点P 在椭圆C 上.所以221212()()143x x y y +++=，其中122834km x x k -+=+，121226()234m y y k x x m k +=++=+ 代入221212()()143x x y y +++=可得22434m k =+.12AB x =-=,o l d -=. 所以四边形AOBP的面积221234o l m S AB d m -====. 22. 解：（Ⅰ）用数学归纳法证明0n a >．（1）当1n =时，110a =>；（2）假设当n k =时，0k a >，则1n k =+时，121(1)0k k a a k k+=+>+．由（1）（2）得，当*n ∈N 时，0n a >．a C所以121(1)(*)n n n a a a n n n+=+>∈+N . （Ⅱ）用数学归纳法证明21n n a n +≥．（1）当1n =时，12111a =+≥；（2）假设当n k =时，21k k a k +≥，则1n k =+时，212212(1)2(1)(1)(1)2k k k k k a a k k k k ++++=++++≥≥．由（1）（2）得，当*n ∈N 时，21n n a n +≥．由121(1)n n a a n n +=++得1221111ln ln ln(1)1n n a a n n n n n n +-=+=-+++≤，所以11e ln 11ln(1)ln 1n n a n n n --+=+≤≤，所以e 1n n a n +≤．综上，当时，． *n ∈N 2e 11n n n a n n ++≤≤。

浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷19(答案+解析)

浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷19参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,...,)kkn kn n P k p p k n -=-=．球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径．球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．台体的体积公式121()3V h S S =，其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集=U R ，集合}0|{≥=x x A ，}032|{2<--=x x x B ，则()U C A B ⋂=（） A ．}03|{<<-x x B ．}01|{<<-x x C ．}10|{<<x xD ．}30|{<<x x2．已知复数i m z 21+=，i z -=22，若21z z 为实数，则实数m 的值为（） A ．1 B ．1- C ．4 D ．4- 3．已知πcos(-)+sin =6αα354，则7sin(+π)6α的值是（）A ．－532 B ．532 C ．－54D ．544．在52)1(xx +的展开式中x 的系数为（）A ．5B ．10C ．20D ．405．数列}{n a 前n 项和为n S ，则“02>a ”是“数列}{n S 为递增数列”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知1F ，2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若21MF F ∠为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（） A ．)2,1(B ．),2(∞+C ．)2,1(D ．),2(∞+8．从集合{}1,2,3,...,10中任取5个数组成集合A ，则A 中任意两个元素之和不等于11的概率为（） A ．9451B ．634 C ．638 D ．6316 9．已知函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则的取值情况不可能的是（） A ． B ． C ．D ．10.已知A ,D 是平面α外两个定点，B ,C 分别是平面α内的定点与动点，已知AB 与平面α所成的角为π4，若AB 与CD 所成的角为π4，则动点C 的轨迹是( ) A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆二、填空题：本题共7道小题,11题每空3分，其他每题5分，共36分.11．已知)(x f 为奇函数，且当0>x 时x x f 2log )(=，则=)0(f ▲=-)4(f ▲ ．1()1f x x=-x 2()()0f x bf x c ++=,b c 10,0b c -<<=10,0b c c ++>>10,0b c c ++<>10,01b c c ++=<<12．已知直线b x y +=交圆122=+y x 于A 、B 两点，且o 60=∠AOB （O 为原点），则实数b 的值为 ▲ ．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ▲ ．14．若实数x 、y 满足014y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则|42|z x y x y =-++的最小值为▲.15．将3个小球随机地放入3个盒子中，记放有小球的盒子个数为X ，则X 的数学期望=)(X E ▲ ． 16．已知正数满足,则ab b a 4422++的最大值为 ▲ ．17.在1,ABC ACB BC ∆∠==中，为钝角,AC CO xCA yCB =+且1x y +=，函数()f m CA mCB =-的最小值为2，则CO 的最小值为▲. 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）已知函数在区间上的最大值为. (Ⅰ)求常数的值; (Ⅱ)在中,角所对的边长分别为,若,,面积为,求边长.19.（本小题满分15分）如图,已知长方形中,,为的中点. 将沿折起,使得平面平面.(1)求证:；(2)点是线段上的一动点,当二面角大小为时,试确定点的位置.20.(本题满分15分)已知 ,0>a ,函数2()=+|ln -|,[1,e ]af x x a x x∈. （1）当3=a 时，求曲线)(x f y =在点))3(,3(f 处的切线方程；（2）若23)(≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围.21．(本题满分15分)（本小题满分15分）椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点2F 与抛物线x y42=的焦点重合，过2F 作与x 轴垂直的直线l 与椭圆交于T S ,两点，与抛物线交于D C ,两点，且22=STCD .（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点)0,2(M 的直线与椭圆E 相交于两点B A ,，设P 为椭圆E 上一点，且满足t =+0(为坐标原点）352<时，求实数t 的取值范围.22. (本题满分15分)已知数列{a n }满足11=a ，na a n n 11=⋅+ (n ∈N *)．求证： (1)12+=+n an a n n ； (2)n a n a a n n ≤++++≤-++243)1(1...3121)11(2.【参考答案】一、选择题 1．B【解析】(1B =-，)2，(()1U C A B ⋂=-，)0． 2．D 【解析】122i 2(1)(4)i2i 5z m m m z +-++===-实数．所以40m +=，4m =-． 3． C 4．B【解析】2(5)103155C C r r r r r r T x x x ---+==．令3r =得：345C 10T x x ==．5．B 6．D 7．D【解析】由题：易得M （2c ，2bca-）．当21MF F ∠为锐角时，必有12OM OF OF >=成立．（因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外）．c >，整理得：22214b e a =+>，即：2e >．8．C【解析】分组考虑：（1，10），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6）．若A 中任意两个元素之和不等于11，则5个元素必须只有每组中的一个．故所求概率为：551028C 63P ==．9．B 10．C 二、填空题 11．0，-212．【解析】如图易得：d==．所以：b =． 13．14．3 15．919【解析】将3个小球随机地放入3个盒子中，有方法：3111133233A +A A A +A 27=种． X 的取值可能为：1，2，3．故：()33A 327P X ==；()111323A A A 227P X ==；()13A 127P X ==．所以：=)(X E ()31199i i P x i =⨯==∑． 161217．21 三、解答题 18．解：(1)，因为,所以，所以当即时,函数在区间上取到最大值，此时,,得. (2)因为,所以,即,解得(舍去)或，因为,,所以.因为面积为, 所以,即.-----②由①和②解得，因为,所以.19.解：取AM的中点O,AB的中点B,则两两垂直,以O为原点建立空间直角坐标系,如图.根据已知条件,得,,,.(1)由于,则,故.(2)设存在满足条件的点E,并设, 则，则点E的坐标为.(其中)易得平面ADM的法向量可以取,设平面AME的法向量为,则,，则，则,取，由于二面角大小为,则,由于,故解得.故当E 位于线段DB 间,且时,二面角大小为.20.解：（Ⅰ）当3=a 时，x x x f ln 33)(-+=，∴x xx f 13)(2'--=，32)3('-=f ，又3ln 4)3(-=f ，∴曲线)(x f y =在点))3(,3(f 处的切线方程为：)3(32)3ln 4(--=--x y ，即：3ln 632-+-=x y ．（Ⅱ）由],1[2e x ∈得]2,0[ln ∈x ， ①当2≥a 时，x a x ax f ln )(-+=，01)(2<--='x xa x f ，∴)(x f 在],1[2e 上递减，∴232)1()(max ≤==a f x f ，∴43≤a ，此时a 不存在；②当20<<a 时，若a e x ≤≤1时，x a xax f ln )(-+=由①得)(x f 在],1[a e 上递减，43,232)1()(max ≤∴≤==∴a a f x f ，此时430≤<a ．若2e x e a ≤<时x xa x f a x x a x f 1)(,ln )(2+-='∴-+=．令0)(='x f 得a x =，又x e x g x -=)(在)2,0(递增，故1)0(=>-g x e x ． ∴a e a <，当2e x e a <<时0)(>'x f ，∴)(x f 在(]2,e e a 递增，∴232)()(22max ≤-+==a eae f x f ．)1(222-≥e e a ，2)1(222<-e e ，∴2)1(222<≤-a e e ，又43)1(2121)1(2222<-+=-e e e ，∴43)1(222≤≤-a e e ．综上知，实数a 的取值范围⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-43,)1(222e e ． 21.解：（1）设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距为c b a ,,，则1=c ，且ab ST CD 22,4==，2222==∴ba ST CD，又122=-b a ，1,2==∴b a ，1222=+∴y x . （2）由题，直线l 斜率存在，设直线l ：)2(-=x k y ，联立1222=+y x ，消y 得：由①②得：21412<<k ，则AB 的中点)212,214(222k k k k D +-+， t ==+∴2，得))21(4,)21(8(222tk k t k k P +-+代入椭圆方程得： 1)21(16)21(3222222224=+++t k k t k k ，即21162116)21(163222222242+=+=++=kk k k k k t ，21412<<k ，4382<<∴t ，即)362,2()2,362(--⋃∈t . 22．高考模拟数学试题11 由b 1＝a 1＝1，b 2＝2，易得b n >0，由③－④，得1b n＝b n ＋1－b n －1(n ≥2)， ∴b 1<b 3<…<b 2n －1，b 2<b 4<…<b 2n ，得b n ≥1. 根据b n ·b n ＋1＝n ＋1，得b n ＋1≤n ＋1， ∴1≤b n ≤n .∴1a 1＋12a 2＋…＋1na n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝1b 1＋(b 3－b 1)＋(b 4－b 2)＋…＋(b n －b n －2)＋(b n ＋1－b n －1) ＝1b 1＋b n ＋b n ＋1－b 1－b 2 ＝b n ＋b n ＋1－2.∵b n ＋b n ＋1－2≥2b n b n ＋1－2＝2(n ＋1－1)，且由1≤b n ≤n 可知，b n ＋b n ＋1－2＝b n ＋n ＋1b n －2≤min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋n ＋1－2，n ＋n ＋1n －2≤n ， ∴原不等式成立．。

2018届高三4月教学质量检测(二模)数学试题含答案

2018学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷选择题部分（共40分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（） A ．{0,1,2} B ．{1,1,2}- C ．{1,0,2}- D ．{1,0,1}-2.设1iz i =-（i 为虚数单位），则1||z =（）A B ．12 D ．23.设α，β是两个不同的平面，m 是一条直线，给出下列命题：①若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥；②若//m α，αβ⊥，则m β⊥.则（） A ．①②都是假命题B ．①是真命题，②是假命题C ．①是假命题，②是真命题D ．①②都是真命题4.设1k ，2k 分别是两条直线1l ，2l 的斜率，则“12//l l ”是“12k k =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.设方程ln()x ax -（0a ≠，e 为自然对数的底数），则（） A ．当0a <时，方程没有实数根B. 当0a e <<时，方程有一个实数根C. 当a e =时，方程有三个实数根D. 当a e >时，方程有两个实数根 6.若实数a ，b ，c ，满足对任意实数x ，y 有345x y ax by c +-≤++≤345x y ++，则（）A. a b c +-的最小值为2B. a b c -+的最小值为-4C. a b c +-的最大值为4D. a b c -+的最大值为67.设倾斜角为α的直线l 经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，设点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方.若||||AF m BF =，则cos α的值为（）A ．11m m -+ B ．1m m + C.1m m - D 8.设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和.若正整数i ，j ，k ，l 满足()i l j k i j k l +=+≤≤≤，则（）A ．i l j k a a a a ≤B ．i l j k a a a a ≥ C.i l j k S S S S ≤ D ．i l j k S S S S ≥9.设函数2()f x x ax b =++(,)a b R ∈的两个零点为1x ，2x ，若12||||2x x +≤，则（） A ．||1a ≥ B ．||1b ≤ C. |2|2a b +≥ D ．|2|2a b +≤10.在等腰直角ABC ∆中，AB AC ⊥，2BC =，M 为BC 中点，N 为AC 中点，D 为BC 边上一个动点，ABD ∆沿AD 翻折使BD DC ⊥，点A 在面BCD 上的投影为点O ，当点D 在BC 上运动时，以下说法错误的是（）A. 线段NO 为定长B ．||[1CO ∈C. 180AMO ADB ∠+∠>︒ D ．点O 的轨迹是圆弧非选择题部分（共110分）二、填空题：（本大题共7小题，第11-14题，每小题6分，15-17每小题4分，共36分）11.双曲线2212y x -=的渐近线方程为；离心率等于． 12.若21(2)nx x-的展开式中所有二项式系数和为64，则n = ；展开式中的常数项是．13.已知随机变量ξ的概率分布列为：则E ξ= ，D ξ= .14.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ，表面积是 2cm.15.设P 为ABC ∆所在平面上一点，且满足34PA PC mAB +=(0)m >.若ABP ∆的面积为8，则ABC ∆的面积为 .16.设a ，b ，c 分别为ABC ∆三内角A ，B ，C 的对边，面积212S c =.若ab =222a b c ++的最大值是 .17.设函数22cos ,||1,()21,||1x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩，若|()(f x f x lf x f x++-+-+2(l ≥>对任意实数x 都成立，则l 的最小值为 .三、解答题：（本大题共5小题，共74分）18.设函数()2cos (cos )f x x x =()x R ∈. （1）求函数()y f x =的周期和单调递增区间；（2）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值.19.如图，已知ABCD 是矩形，M ，N 分别为边AD ，BC 的中点，MN 与AC 交于点O ，沿MN 将矩形MNCD 折起，设2AB =，4BC =，二面角B MN C --的大小为θ.（1）当90θ=︒时，求cos AOC ∠的值；（2）点60θ=︒时，点P 是线段MD 上一点，直线AP 与平面AOC 所成角为α.若sin 7α=，求线段MP 的长.20. 设函数()f x =. （1）求函数()f x 的值域；（2）当实数[0,1]x ∈，证明：21()24f x x ≤-. 21. 如图，设点A ，1F ，2F 分别为椭圆22143x y +=的左顶点和左，右焦点，过点A 作斜率为k 的直线交椭圆于另一点B ，连接2BF 并延长交椭圆于点C .（1）求点B 的坐标（用k 表示）；（2）若1FC AB ⊥，求k 的值. 21. 已知数列{}n a 的各项均为非负数，其前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈，都有212n n n a a a +++≤. （1）若11a =，5052017a =，求6a 的最大值；（2）若对任意*n N ∈，都有1n S ≤，求证：+120(1)n n a a n n ≤-≤+.2018学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1-5:BBBCD 6-10:AAABC二、填空题（本大题共7小题，第11-14题，每小题6分，15-17每小题4分，共36分）11.y =；240 13.1，1214.4015.1416.417.三、解答题18.解：（1）因为()2cos (cos )f x x x x ==2sin(2)16x π++.2226k x πππ-≤+≤22k ππ+，36k x k ππππ∴-≤≤+，∴函数()y f x =的单调递增区间为：(,)36k k ππππ-+()k Z ∈；（2）[0,]3x π∈，72[,]666x πππ∴+∈，1sin(2)[,1]62x π∴+∈-，()2sin(2)16f x x π∴=++的最大值是3.19.解：如图，设E 为AB 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）当90θ=︒时，(2,1,0)A -，(0,1,2)C ，(2,1,0)OA ∴=-，(0,1,2)OC =，1cos 5||||OA OC AOC OA OC ⋅∴∠==-⋅.（2）由60θ=︒得(1,1C，(1,1D -，(0,1,0)M -，(1MD ∴=，设(01)MP MD λλ=≤≤，则(,1)OP OM MP λ=+=-，()AP OP OA λ∴=-=-，设平面AOC 的法向量为(,,)n x y z=，0n OA ⋅=，0n OC ⋅=，20x y x y -=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，取(1,2,n =，由题意，得14||7||||AP n AP n ⋅=⋅，即231030λλ-+=， 13λ∴=或3λ=（舍去）， ∴在线段MD 上存在点P ，且1233MP MD ==.20.解：（1）函数()f x的定义域是[1,1]-，'()f x =，当'()0f x ≥时，解得0x ≤，()f x ∴在(0,1)上单调递增，在(1,0)-上单调递减，min ()(1)(1)f x f f ∴==-=max ()(0)2f x f ==，∴函数()f x 的值域为.（2）设21()24h x x =-，[0,1]x ∈，(0)0h =， 1122111'()(1)(1)222h x x x x --=--+++，1[12x =，=2，'()0h x ∴≤.()h x ∴在(0,1)上单调递减，又(0)0h =，21()24f x x ∴≤-. 21.解：（1）设点(,)B B B x y ，直线AB 的方程为(2)y k x =+，联立22143x y +=得， 2222(34)1616120k x k x k +++-=，221612234B k x k -∴-=+，即228634B k x k -+=+，212(2)34B B ky k x k ∴=+=+，即2228612(,)3434k k B k k-+++. （2）易知2(1,0)F ，22414BF k k k =-，11BF k k=-，所以直线2BF ，1CF 方程分别为24(1)14k y x k =--，1(1)y x k=-+，由21(1)4(1)14y x k k y x k ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得2(81,8)C k k --，代入22143x y +=，得4219220890k k +-=，即22(241)(89)0k k -+=，得2124k =，所以k =. 22.解：（1）由题意知121n n n n a a a a +++-≤-，设1i i i d a a +=-(1,2,,504)i =，则123504d d d d ≤≤≤≤，且1235042016d d d d ++++=，1255d d d +++≤67504409d d d +++=1252016()409d d d -+++，所以12520d d d +++≤，61125()21a a d d d ∴=++++≤.（2）若存在*k N ∈，使得1k k a a +<，则由212n n n a a a +++≤，得112k k k k a a a a +++≤-≤，因此，从n a 项开始，数列{}n a 严格递增，故12n a a a +++≥1k k n a a a ++++≥(1)k n k a -+，对于固定的k ，当n 足够大时，必有121n a a a +++≥，与题设矛盾，所以{}n a 不可能递增，即只能10n n a a +-≥. 令1k k k b a a +=-，*()k N ∈，由112k k k k a a a a +++-≥-，得1k k b b +≥，0k b >，故121n a a a ≥+++=122()n b a a a ++++=12332()n b b a a a +++++，122n n b b nb na ==++++(1)(12)2n n n n n b b +≥+++=，所以2(1)n b n n ≤+，综上，对一切*n N ∈，都有120(1)n n a a n n +≤-≤+.。

浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真模拟考试数学试题(解析版)

1．B【解析】分析：解一元二次不等式求得集合B，之后应用交集中元素的特征，求得集合，再根据全集R，求出，从而求得结果.详解：由可得，所以，从而可求得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，注意把握交集和补集的概念，即可求得结果，属于基础题目.点睛：该题考查的是数列的有关问题，涉及到的知识点有三个数成等差数列的条件，等比数列的性质等，注意题中的隐含条件.3．D【解析】分析：由函数的周期求得，再由平移后的函数图像关于直线对称，得到，由此求得满足条件的的值，即可求得答案.详解：因为函数的最小正周期是，所以，解得，所以，将该函数的图像向右平移个单位后，得到图像所对应的函数解析式为，由此函数图像关于直线对称，得：，即，取，得，满足，所以函数的解析式为，故选D.点睛：该题考查的是有关三角函数的图像的性质，涉及到的知识点有函数的周期，函数图像的平移变换，函数图像的对称性等，在解题的过程中，需要注意公式的正确使用，以及左右平移时对应的原则，还有就是图像的对称性的应用，结合题中所给的范围求得结果.4．C【解析】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值.详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则，所以平面区域的面积，解得，此时，由图可得当过点时，取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.6．D【解析】分析：从两个方向去判断，先看能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.详解：由题意可得，在中，因为，所以，因为，所以，，点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.7．C【解析】分析：直线恒过点，由此推导出，根据题意，求出点A的坐标，从而能求出k的值.详解：设抛物线C：是准线为，直线恒过点，过分别作于，于，由，所以点为的中点，连结，则，所以，点A的横坐标为，所以点的坐标为，把代入直线，解得，故答案是.点睛：该题考查的是直线与椭圆相交的有关问题，在解题的过程中，需要充分利用题的条件，灵活运用抛物线的定义，能够发现直线所满足的条件，联立求得点的坐标，代入求得k的值，即得结果.8．A【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.9．C【解析】分析：首先结合正四面体的特征以及等腰直角三角形在旋转的过程中对应的特点，得到相关的信息，结合题中所给的条件，以及相关的结论，认真分析，逐一对比，得到结果.详解：根据正四面体的特征，以及等腰直角三角形的特征，可以得到当直角边绕斜边旋转的过程中，存在着最高点和最低点，并且最低点在底面的上方，所以四面体E BCD的体积有最大值和最小值，故(1)正确；要想使，就要使落在竖直方向的平面内，而转到这个位置的时候，使得满足，但是就不满足是等腰直角三角形了，所以(2)不正确；利用二面角的平面角的定义，找到其平面角，可以判断得出设二面角的平面角为，则，所以(3)是正确的；根据平面截圆锥所得的截面可以断定，AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆，所以(4)正确；故正确的命题的个数是3个，故选C.点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.10．D【解析】分析：根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案.点睛：该题考查的是利用指数函数的单调性比较大小的问题，在解题的过程中，要时刻关注指数幂中底数的取值范围和指数的大小关系，从而求得结果.11． 6ab =- 10z =z a i =-且11zbi i=++ ∴()()()()1111122a i i a a ia i bi i ----+-===++ ∴112{ 12a ab -=+-= ∴3{2a b ==-∴6ab =-， ()223110z =+-=故答案为6-，1012． 6 【解析】由题得所以焦距,故第一个空填6.由题得渐近线方程为.故第二个空填.13． 720 1【解析】分析：首先根据题中所给的二项展开式的特征，利用其展开式的通项，求得对应项的系数，再者就是分析式子的特点，对x 进行赋值，从而求得结果.点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式的通项，利用通项求特定项的系数，赋值法求值等，在解题的过程中，需要时刻注意所用结果的正确性，不能记混了.14．【解析】分析：首先设出相应的直角边长，利用余弦勾股定理得到相应的斜边长，之后应用余弦定理得到直角边长之间的关系，从而应用正切函数的定义，对边比临边，求得对应角的正切值，即可得结果.详解：根据题意，设，则，根据，得，由勾股定理可得，根据余弦定理可得，化简整理得，即，解得，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余弦值，利用余弦定理得到相应的等量关系，求得最后的结果.15．【解析】分析：首先根据图形的特征，建立适当的平面直角坐标系，根据正方形的边长，设出点P 的坐标，利用终点坐标减去起点坐标，得到对应向量的坐标利用向量数量积坐标公式求得结果；再者就是利用向量相等得到坐标的关系，将其值转化为对应自变量的函数关系，结合自变量的取值范围，求得最小值.根据，可得，即，从而可以求得，所以，因为，所以，所以当取得最大值1时，同时取得最小值0，这时取得最小值为，所以的最小值是.点睛：该题考查的是有关向量的问题，在解题的过程中，注意建立相应的坐标系，将向量坐标化，从而容易求解，再者就是利用向量相等的条件是坐标相等，得到关于的关系式，利用三角式子的特征求得相应的最值.点睛：该题考查的是有关分类加法计数原理和分步乘法计数原理，在解题的过程中，需要逐个的将对应的过程写出来，所以利用列举法将对应的结果列出，而对于第一个选哪个是机会均等的，从而用乘法运算得到结果.17．【解析】分析：首先利用绝对值的意义去掉绝对值符号，之后再结合后边的函数解析式，对照函数值等于2的时候对应的自变量的值，从而得到分段函数的分界点，从而得到相应的等量关系式，求得参数的值.详解：根据题意可知，可以发现当或时是分界点，结合函数的解析式，可以判断0不可能，所以只能是是分界点，故，解得，故答案是.点睛：该题考查的是有关函数的最值问题，在解题的过程中，需要先将绝对值符号去掉，之后分析函数解析式，判断函数值等于2时对应的自变量的值，再利用其为最小值，得到相应的分段函数的分界点，从而得到结果. 18．（1）（2）【解析】分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C；(2)运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值.详解：（1），，点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.19．（1）见解析（2）【解析】分析：(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面BDEF；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求CF与平面ABCD所成角的正弦值；也可以应用常规法，作出线面角，放在三角形当中来求解.详解：（Ⅰ）在△ABD中，∠ABD＝30°，由AO2＝AB2+BD2－2AB·BD cos30°，解得BD＝，所以AB2+BD2=AB2，根据勾股定理得∠ADB＝90°∴AD⊥BD.又因为DE⊥平面ABCD，AD平面ABCD，∴AD⊥DE.又因为BD DE＝D，所以AD⊥平面BDEF，又AD平面ABCD，∴平面ADE⊥平面BDEF，（Ⅱ）方法一：如图，由已知可得，，则，则三角形BCD为锐角为30°的等腰三角形.则.过点C做，交DB、AB于点G，H，则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG，则，DE⊥平面ABCD，则平面.过G做于点I，则BF平面，即角为二面角C BF D的平面角，则60°.则，，则.（Ⅱ）方法二：可知DA、DB、DE两两垂直，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 设DE＝h，则D(0，0，0)，B(0，，0)，C(－，－，h).，.设平面BCF的法向量为m＝(x，y，z)，则所以取x=，所以m＝(，-1，－)，取平面BDEF的法向量为n＝(1，0，0)，由，解得，则，又,则，设CF与平面ABCD所成角为，则sin=.故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为点睛：该题考查的是立体几何的有关问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，线面角的正弦值，在求解的过程中，需要把握面面垂直的判定定理的内容，要明白垂直关系直角的转化，在求线面角的有关量的时候，有两种方法，可以应用常规法，也可以应用向量法.20．（1）（2）【解析】分析：(1)先断定在曲线上，从而需要求，令，求得结果，注意复合函数求导法则，接着应用点斜式写出直线的方程；(2)先将函数解析式求出，之后借助于导数研究函数的单调性，从而求得函数在相应区间上的最值.令，，则在单调递减，因为，所以在上增，在单调递增.,,因为，所以在区间上的值域为.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线在某个点处的切线方程的求法，复合函数求导，函数在给定区间上的最值等，在解题的过程中，需要对公式的正确使用.21．（1），（2）（Ⅱ）设直线的斜率分别为，则MA：，与椭圆方程联立得：，得，得,，所以同理可得.所以,从而可以求得因为，所以，不妨设，所以当最大时，，此时两直线MA，MB斜率的比值.点睛：该题考查的是有关椭圆与直线的综合题，在解题的过程中，注意椭圆的对称性，以及其特殊性，与y轴的交点即为椭圆的上顶点，结合椭圆焦点所在轴，得到相应的参数的值，再者就是应用离心率的大小找参数之间的关系，在研究直线与椭圆相交的问题时，首先设出直线的方程，与椭圆的方程联立，求得结果，注意从函数的角度研究问题.22．（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】分析：(1)用反证法证明，注意应用题中所给的条件，有效利用，再者就是注意应用反证法证题的步骤；(2)将式子进行相应的代换，结合不等式的性质证得结果；(3)结合题中的条件，应用反证法求得结果.故对任意，都有成立；（Ⅱ）由得，则，由（Ⅰ）知，，即对任意，都有；.（Ⅲ）由（Ⅱ）得：，由（Ⅰ）知，，∴，∴，即，若，则,取时，有，与矛盾.则. 得证.点睛：该题考查的是有关命题的证明问题，在证题的过程中，注意对题中的条件的等价转化，注意对式子的等价变形，以及证题的思路，要掌握证明问题的方法，尤其是反证法的证题思路以及证明步骤.。

浙江省杭州二中高三高考热身考数学试卷及参考解析2018.6

)
A．19
B．17
C．16
D．14
1
5．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A． 2
B． 2 2
3
3
2
C． 2
D． 2 2
1
1
正视图
1 侧视图
6．若随机变量满足 E(1 ) 4 ， D(1 ) 4 ，则下列说法正确的是( )
2
2
A． E 4, D 4
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。
参考公式：
球的表面积公式： S 4R2 ，球的体积公式： V 4 R3 （其中 R 表示球的半径） 3
锥体的体积公式：V 1 Sh （其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高） 3
B．若 m //, n , m n,则 //
C．若 m //, n , m // n,则
D．若 m //, n , m // n,则 //
4．已知整．数．x ， y 满足 2xx2yy75>00，，则 3x 4y 的最小值是(
16．已知点 M 为单位圆 x2 y2 1上的动点，点 O 为坐标原点，点 A 在直线 x 2 上，则 AM AO 的最
小值为
．
17．已知函数 f (x) x2 2mx m 2 , g(x) mx m ，若存在实数 x0 R ，使得 f (x0 ) 0 且 g(x0 ) 0
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 P {x 1 x 2 }，集合 Q {x 0 x 5 }，则 P Q ( ) 2

2018届浙江省杭州二中高三上学期第二次月考理科数学试题及答案

R), 又f ( )
2, f ( )
0, 且
-
的最小值等于
，则正 2
的值为
14. 已知正实数 a、 b 满足 2 a
b
1 ，则 4a
2
b
2
1 ab
的最小值为
.
15. 记数列
an 的前 n 和为
sn ，若
sn an
是公差为 d 的等差数列，则
an 为等差数列时 , d 的值
为
.
16. 设实数
x1 、 x2 、
f (0) f( 1 2 )
log x 1 ，则下列结论正确的是（
f (3) f (0)
Ｂ.
Ａ. Ｃ.
f( f (3)
1 2
)
f (0)
f( f (0)
1 2
) f(
f (3) 1 2 )
Ｄ . f (3)
4．将函数 y （）
f ( x) sin x 的图象向左平移
B． 2 sin x
4
个单位，得到函数
、
xn 中的最大值为 max x1， x2，， xn ，最小值
ABC 的三边长分别为 a b c ，，，设 a b c a a、 b、 c ，且 a b c ，设 ABC 的倾
min x1， x2，， xn ，设
斜度为
t
max
a b c ，， b c a
min
2 ，则 t 的取值范围是
.
D. 对于实数 x
) ，不等式 xf ( x)
7 小题，每小题
二．填空题（本大题有
11. 已知 cos( 12. 平面向量 13. 函数数
4 分，共 28 分）

浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目教学质量检测数学试题(解析版)

1．A【解析】分析：根据集合交集的定义进行求解即可求出结果.详解：∵，，∴，故选A.点睛：本题主要考查集合的基本运算，根据交集的定义是解决本题的关键，比较基础.2．B【解析】分析：利用复数代数形式的乘法运算展开，根据实数的特征得虚部为0即可求得值.详解:，∵，∴，解得，故选：B点睛：本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的基本概念，是基础题.点睛：本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．4．A【解析】分析：根据圆的方程的特征分别计算出两圆的圆心与半径，计算处圆心距，根据可得两圆位置关系.详解：由题意知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为两圆心距为，又，则，所以两圆的位置关系为相离，故正确答案为A.点睛：此题主要考查解析几何中圆的标准方程，两圆的位置关系，以及两点间的距离公式的应用等有关方面的知识与技能，以属于中低档题型，也是常考考点.判断两圆的位置关系，有两种方法，一是代数法，联立两圆方程，消去其中一未知数，通过对所得方程的根决断，从而可得两圆关系；一是几何法，通计算两圆圆心距与两圆半径和或差进行比较，从而可得两圆位置关系.5．D【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过时，值最小，没有最大值．详解：由题意，先作出约束条件的可行域图，如图所示，将目标函数转化为，作出其平行直线，将其在可行域范围内上下平移，则当平移至顶点时，截距取得最小值，即，故正确答案为D.点睛：本题考查了画不等式组表示的平面区域，利用数形结合求函数最值的应用问题.点睛：本题考查了对数的运算性质，特值法在选择题中的应用，属于基础题7．A【解析】分析：由随机变量的分布列，推导出，从而当增大时，增大；，由，得到当增大时，增大.详解：由随机变量的分布列，得，∴当增大时，增大；，∵，∴当增大时，增大，故选A．点睛：本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题8．C【解析】分析：对函数求导，令，得或，根据函数的图象可得方程有解，由此根据函数的单调性和极值的关系得到函数既有极大值，又有极小值.详解：由题意，，由，得或，由方程，结合函数图象，作出和的图象，结合图象得和的图象有交点，∴方程有解，由此根据函数的单调性和极值的关系得到：函数既有极大值，又有极小值具有极大值，也有极小值，故选C.点睛：本题考查函数的极大值和极小值的判断，考查导数的几何意义、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.点睛：此题主要考查平面向量的模、数量积的坐标表示及运算，以及坐标法、圆的方程的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是常考考点.在解决此类问题中，需要根据条件，建立合理的平面直角坐标系，将向量关系转化为点位置关系，通对坐标运算，将其结果翻译为向量结论，从而问题可得解.10．A【解析】分析：设三角形的高分别为，三棱锥的高为，易知，根据正弦函数的定义可得结果．详解：由题意，设三角形的高分别为，三棱锥的高为，易知，根据正弦函数的定义得，，所以，又均为锐角，所以，故正确答案为A.点睛：本题考查二面角的余弦值的求法的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.11．【解析】由可得双曲线的渐近线方程是，且双曲线中，.点睛：本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.13．【解析】分析：由已知中的三视图，可知该几何体左侧是球的四分之一，右侧是一个半圆锥，然后求解几何体的体积，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得几何体的体积，累加各个面的面积可得，几何体的表面积．学科&网详解：由三视图知，该几何体是由四分之一球与半个圆锥组合而成，则该组合体的体积为，表面积为，故答案为和.点睛：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状及熟记几何体的体积及表面积公式.14．【解析】分析：由正弦定理得，设，利用余弦定理能求出；当时，，根据的面积公式可求出结果．详解：由题意，根据正弦定理得，，设，根据余弦得，；由，则，又，根据三角形面积公式得，故答案为及.点睛：本题考查角余弦值的求法，考查三角形面积的求法等基础知识，考查运用求解能力，是中档题.15．32【解析】分析：根据题意，按6个球取出的数目分6种情况讨论，分析求出每一种情况的取法数目，由加法原理计算可得答案.详解：由题意，一次可以取球的个数为1，2，3，4，5，6个，则若一次取完可由1个6组成，有1种；二次取完可由1与5，2与4，3与3组成共5种；三次取完由1，1，4或1，2，3或2，2，2组成共10种；四次取完有1，1，1，3或1，1，2，2组成共10种；五次取完，由1，1，1，1，2个组成共5种；六次取完由6个1组成共有1种，综上得，共有32种，故答案为32.点睛：此题主要考查数学中计数原理在实际问题中的应用，属于中档题型，也是常考考点.计数原理是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解计数问题最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具.点睛：本题考查了绝对值不等式的性质与解法、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.17．【解析】分析：由题意知，，所以，由此可知，当时取得最大值．详解：由题意知，，对任意，不等式恒成立恒成立边上的高大于等于恒成立，∵，∴，所以，由此可知，当时取得最大值．点睛：本题考查余弦定理及其应用，解题时要认真审题，不等式恒成立边上的高大于等于恒成立，是解题关键．18．(1)见解析;(2)(＋2kπ，＋2kπ)（k∈Z）．【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，根据诱导公式，可将函数的解析式进行化简整理，再根据正弦函数周期的计算公式，可求出原函数的最小正周期，根据正弦函数的值域，可求出原函数的最大值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数的解析式，根据正弦函数的单调减区间，从而问题可得解.（Ⅱ）因为f (－x)＝2sin(x－)，所以单调递减区间为(＋2kπ，＋2kπ)（k∈Z）．点睛：此题主要考查三角函数中诱导公式的应用，以及三角函数的最小正周期、单调区间、最值等有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考考点.解决此类问题过程中，常需要通过诱导公式、三角恒等变换公式将函数解析式进行化归，即含一种三角函数名、一个角的解析式，再进行求解运算.19．(1)见解析;(2).【解析】分析：（Ⅰ）由题意，可根据面面垂直的判定定理进行求解，将问题转化为线面垂直，再转化为线线垂直，即先证，，则平面，从而问题可得解（Ⅱ）由题意，可作出所求线面角，再根据正弦函数值的定义进行求解，从而问题可得解，或可采用向量法进行求解亦可.详解：（Ⅰ）有题意知AM⊥BD，又因为AC′⊥BD，所以BD⊥平面AMC，因为BD平面ABD，所以平面AMC⊥平面ABD．（Ⅱ）在平面AC′M中，过C′作C′F⊥AM交AM于点F，连接F D．由（Ⅰ）知，C′F⊥平面ABD，所以∠C′DF为直线C′D与平面所成的角．解得，x＝2－2，即AF＝2－2．所以C′F＝2．故直线与平面所成的角的正弦值等于＝．点睛：本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.20．(1);(2)见解析.【解析】分析：（Ⅰ）由题意，根据函数导数的计算公式、法则进行运算，从而问题可得解；（Ⅱ）由题意，可将不等式的证明转化为求函数的单调性、最值的问题，通过研究函数的单调性，求出函数的最值，再根据最值点的范围，从而问题可得解.详解：（I）．（Ⅱ）设，则函数g(x)在单调递减，且，，所以存在，使g(x0)＝0，即，所以x0＋1－(2x0＋1)ln x0＝0，所以f′(x)＝0，且f (x)在区间(0，x0)单调递增，区间(x0，＋∞)单调递减．所以f (x)≤f (x0)＝＝．点睛：本题考查函数的导数的求法，考查不等式的证明，考查导数的运算法则、导数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识和应用意识，是中档题21．(1)y＝2x0x－;(2).【解析】分析：（Ⅰ）由题意，根据导数的几何意义，求出切线的斜率，再根据直线的点斜式进行运算求解，从而问题可得解；（Ⅱ）由（Ⅰ）可根据切线的方程求线段的中点，联立直线与抛物线方程消去,根据韦达定理，可得点纵坐标的关系式，利用重心坐标性质建立关系式，从而求出点的纵坐标，从而问题可得解.详解：（Ⅰ）因为y′＝2x，所以直线AB的斜率k＝y′＝2x0．所以直线AB的方程y－x0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－．由韦达定理，得y1＋y2＝4y2＝，y1y2＝3．所以，解得mx0＝．所以点D的纵坐标y D＝，故．点睛：本题考查了抛物线的性质，直线方程，联立直线与抛物线的方程，运用韦达定理是解题的关键，属于中档题. 22．(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，可采用数学归纳法，以及放缩法对不等式进行证明，从而问题可得解；（Ⅱ）在第（i）中，根据（Ⅰ）的结论，采用放缩法对数列的通项进行放大，再用累加法进行求解即可；在第（ii）中，对参数进行分段讨论，结合（i）中的结论，从而问题可得解.（Ⅱ）（ⅰ）当n≥m时，a n≥a m，＝a n＋≤a n＋，所以a n＋1所以a n－a n≤，累加得a n－a m≤(n－m)，＋1所以．（ⅱ）若，当时，，所以．所以当时，．所以当时，，矛盾．所以．因为，所以．点睛：此题主要考查数列中递推公式的应用，以及数学归纳法在证明有关数列不等式中的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是常考考点.数学归纳法是解决有关数列不等式问题的一种重要方法，只有理解数学归纳法中的递推思想，理解数学归纳法的原理与实质，掌握两个步骤，才能灵活地运用数学归纳法解决有关数列问题.。

浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考数学试题(精编含解析)

杭州二中2018届高三热身考数学试题卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接求两个集合的交集即可．详解：，故选B．点睛：一般地，对于较为复杂的集合的交并补的运算，我们可以借助数轴或韦恩图来求两个集合的交集．2. 已知数列是等比数列，其公比为，则“”是“数列为单调递增数列“的”（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】分析：等比数列的通项公式为，故其单调性不仅取决于的符号，还要考虑还是．详解：取，，则，但为减数列；取，，则，为增数列，但，故“”是“等比数列为单调递增数列”的既不充分又不必要条件，故选D．点睛：一般地，等比数列为单调递增数列的充要条件是或．等差数列为单调递增数列的充要条件是公差．3. 设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若则B. 若则C. 若则D. 若则【答案】C【解析】试题分析：此题只要举出反例即可，A,B中由可得,则,可以为任意角度的两平面,A,B均错误.C,D中由可得，则有,故C正确，D错误.考点：线，面位置关系.4. 已知整数满足则的最小值是（）A. 19B. 17C. 13D. 14【答案】C【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域，通过平移动直线使其与前述区域有公共点来求的最小值．详解：可行域如图所示，当动直线过时，有最大值．又由得，故，故．点睛：二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍，而则表示动点与的连线的斜率．5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：从三视图看，原来的几何体是一个四棱锥，它按如图所示的形式放置．详解：几何体如图所示，其中为等腰直角三角形，平面平面，四边形为矩形且面积为，点到平面的距离为，故体积为，故选B．点睛：本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．6. 若随机变量满足，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：由题意结合随机变量的性质整理计算即可求得最终结果.详解：随机变量满足，，则：，据此可得：.本题选择D选项.点睛：本题主要考查期望的数学性质，方差的数学性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 如图，可导函数在点处的切线为，设，则下列说法正确的是（）A. 是的极大值点B. 是的极小值点C. 不是的极值点D. 是的极值点【答案】B【解析】分析：从图像看，在上，为增函数，在上，是减函数，故可判断为的极小值点．详解：由题设有，故，所以，因为．又当时，有，当时，有，所以是的极小值点，故选B．点睛：函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低”的特性，用数学语言描述则是：“在的附近的任意，有（）”．另外如果在附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点．8. 如图，已知椭圆，双曲线，若以为长轴的直径的圆与的一条渐近线交于两点，且与该渐近线的两交点将线段三等分，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设直线与椭圆在第一象限内的交点为，则且，根据这个关系我们能得到的坐标，从而得到的大小．详解：设直线与椭圆在第一象限内的交点为且设，其中则，故，所以，也就是，所以，选A．点睛：圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．9. 已知△的顶点平面，点在平面同侧，且，若与所成角分别为，则线段长度的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：过作平面的垂线，垂足分别为，则可根据线面角得到的长，而的长度可以用的长度来表示，依据的范围可得到的范围．详解：如图，过过作平面的垂线，垂足分别为，则四边形为直角梯形．在平面内，过作交于．又，，，所以故．又，也即是，所以即，故选B．点睛：空间中线段长度的计算，应归结平面图形中的线段长度的计算，该平面图形的其他量可通过空间中的边角关系得到．10. 设函数，其中表示中的最小者.下列说法错误的（）A. 函数为偶函数B. 若时，有C. 若时，D. 若时，【答案】D【解析】分析：的图像可由三个函数的图像得到（三图垒起，取最下者），然后依据图像逐个检验即可．详解：在同一坐标系中画出的图像（如图所示），故的图像为图中粗线所示．的图像关于轴对称，故为偶函数，故A正确．当时，，；当时，，；当时，，；当时，，此时有，故B成立．从图像上看，当时，有成立，令，则，故，故C成立．取，则，，，故D不成立．综上，选D．点睛：一般地，若（其中表示中的较小者），则的图像是由这两个函数的图像的较低部分构成的．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11. 若复数满足（为虚数单位），则__________；__________．【答案】(1). . (2). .【解析】分析：原等式可化成，利用复数的除法可及．详解：由题设有，故，填及．点睛：本题考查复数的四则运算和复数的模，属于基础题．12. 已知，则__________；__________．【答案】(1). 或.(2). .【解析】分析：先把两边平方得到，利用弦切互化所得方程可以化成关于的方程，解出后可求．详解：由可以得到，故，也就是，整理得到，故或．当时，；当时，．故填或，．点睛：三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.13. 已知多项式，则__________；__________．【答案】(1). 1.(2). 21.【解析】分析：题设中给出的等式是恒等式，可令得到．另外，我们可利用二项式定理求出的展开式中的系数和常数项，再利用多项式的乘法得到．详解：令，则．又，而的展开式中的系数为，常数项为，故的展开式中的系数为即．综上，填，．点睛：二项展开式中指定项的系数，可利用赋值法来求其大小，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来求．14. 在△中，角所对的边分别为，已知，点满足，则__________；__________．【答案】(1). 8.(2). .【解析】分析：由已知利用余弦定理即可求得的值，进而求得的值，利用余弦定理可求的值.详解：如图，，，.∴根据余弦定理得，即.∴或（舍去）∵点满足∴∴在中，由余弦定理可得.∴故答案为，.点睛：本题主要考查余弦定理解三角形. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15. 有6张卡片分别写有数字1,1,1，2,3,4，从中任取3张，可排出不同的三位数的个数是__________．（用数字作答）【答案】34.【解析】分析：三位数的百位、十位和个位上数字可以相同，也可以不同，故分数字彼此相异、有两个相同数字、有三个相同数字三种情况讨论即可．详解：如果三位数的各位数字不同，则有种；如果三位数有两个数字相同，那么有种；如果三位数有三个数字相同，那么有1种（就是111）．综上，共有种，填．点睛：对于排数问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如偶数、奇数等，可考虑末位数字的特点，还有零不能排首位等；（2）先选后排，比如要求所排的数字来自某个范围，我们得先选出符合要求的数字，在把它们放置在合适位置；（3）去杂法，也就是从反面考虑．16. 已知点为单位圆上的动点，点为坐标原点，点在直线上，则的最小值为__________．【答案】2.【解析】分析：题设的都是动点，故可设，，从而可表示关于的函数，求出函数的最小值即可．详解：设，，则，所以．又，故．令，则，又，当即时等号成立，故，填．17. 已知函数，若存在实数，使得且同时成立，则实数的取值范围是__________．【答案】.【解析】分析：从函数形式上看，中的符号容易判断，当时，，当，，因此当，在有解；当时，在有解，故可求出的取值范围．详解：当时，，所以在有解，则或，也即是或（无解），故）．当，，所以在有解，所以，此不等式组无解．综上，的取值范围为．点睛：含参数的不等式组的有解问题，可借助于函数的图像帮助我们寻找分类讨论的起点．另外，问题解决的过程中要关注函数解析式的特点．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 已知函数的部分图像如图.（Ⅰ）求函数的解析式.（Ⅱ）求函数在区间上的最值，并求出相应的值.【答案】(1).(2) 时，，时，.【解析】分析：（Ⅰ）从图像可以得到，故，再利用得出的大小.（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，可先计算当时的取值范围，再利用的性质求在相应范围上的最值.详解：（1）由图像可知，又，故.周期，又，∴.∴..（2），∴.当时，，.当时，，.所以，.点睛：函数在给定范围的值域问题，应先求的范围再利用求原来函数的值域，切记不可代区间的两个端点求函数的值域，除非我们能确定函数在给定的范围上是单调的.19. 如图，在圆锥中，已知，⊙的直径，点在上，且，为的中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析.(2).【解析】分析：（Ⅰ）要证平面，只要证明和，两者都可以通过等腰三角形得到.（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的结论可以得到平面平面，因此过作，垂足为，可证平面，因此就是所求的线面角，其正弦值为.详解：（Ⅰ）因为，是的中点，所以.又底面⊙底面⊙，所以，是平面内的两条相交直线，所以平面；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，又平面，所以平面平面，在平面中，过作于，则平面，连结，则是是平面上的射影，所以是直线和平面所成的角.在中，，在中，点睛：线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20. 已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：.【答案】(1).(2)证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）先求，再求切线的斜率即可得到曲线在处的切线.（Ⅱ）要证，只要，而，故应考虑在上的零点，又，此方程在仅有一个根且为的最小值点，所以待证成立，可估算，故成立.详解：（Ⅰ）所以，则切线方程为.（Ⅱ）令，则，设的两根为，由于，不妨设，则在是递减的，在是递增的.而，所在上存在唯一零点，且，所以在单调递减，在单调递增.所以，，因为，,，所以.点睛：解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.函数不等式的证明，可归结为函数的最值来处理，有时最小值点难以计算时，须估算最小值点的范围.21. 如图，已知圆，抛物线的顶点为，准线的方程为，为抛物线上的动点，过点作圆的两条切线与轴交于.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若，求△面积的最小值.【答案】(1).(2)32.【解析】分析：（Ⅰ）根据抛物线的准线方程可得，故抛物线的方程可求出.（Ⅱ）求出过的圆的切线的方程后可得两点的横坐标，它们可用及其相应的斜率表示，因此也与这三者相关.再利用圆心到直线的距离为半径得到斜率满足的方程，利用韦达定理和消元后可用关于的函数表示，求出该函数的最小值即可.详解：（Ⅰ）设抛物线的方程为，则，∴，所以抛物线的方程是.（Ⅱ）设切线，即，切线与轴交点为，圆心到切线的距离为，化简得设两切线斜率分别为，则=，当且仅当时取等号.所以切线与轴围成的三角形面积的最小值为32.点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过基本不等式或导数等求得.22. 已知正项数列满足.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求证：.【答案】(1).(2) 证明见解析.(3)证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）利用递推关系直接计算.（Ⅱ）因为，结合可以得到，故不等式得证.详解：（Ⅰ）解：，则.（Ⅱ）证明：∵，∴，另一方面，，∴.（Ⅲ），且∴∴时，而∴∵.令，则，故在上为减函数，故当时，恒成立，所以，也就是，故.点睛：与指数、对数有关的数列不等式的证明，往往需要根据数列和的结构特点构建函数不等式，常见的函数不等式有：（1）；（2），这些不等式都可以利用导数去证明.。

精品解析：浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目教学质量检测数学试题(全WORD版)(解析版)

2017-2018 学年杭州市第二次高考科目教学质量检测高三数学检测试卷
考生须知： 1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．答题前，在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束，只需上交答题卷．
选择题部分（共 40 分）一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
圆圆心距与两圆半径和或差进行比较，从而可得两圆位置关系
.
5. 若实数 x， y 满足约束条件
，设 z＝ x＋ 2y ，则（）
A. z≤０ B. 0≤ z≤５C. 3≤ z≤５D. z≥５【答案】 D
【解析】由题意，先作出约束条件的可行域图，如图所示，将目标函数转化为
则当平移至顶点故正确答案为 D.
，则易当变大时，均值
也随之增大，而
与
的差距也越大，故方差
2
8. 已知 a＞ 0 且 a≠１，则函数 f (x)＝(x－ a) lnx（）
A. 有极大值，无极小值
B. 有极小值，无极大值
C. 既有极大值，又有极小值【答案】 C
D. 既无极大值，又无极小值
也增大，故正确答案为 A.
【解析】由题意，
时，截距取得最小值
，即，
6. 设 a＞ b＞ 0， e 为自然对数的底数．若 ab＝ba，则（）
2
A. ab＝ e
B. ab＝
2
C. ab ＞ e
2
D. ab＜ e
【答案】 C
【解析】由题意，对等式两边取自然对数，
，则
，构造函数
，则
得
，由
，得，即当
，有
故选 C.

2018年浙江省杭州市高考数学二模试卷(解析版)

2018年浙江省杭州市高考数学二模试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x＞1}C．{x|x＞2}D．{x|x≥1}2．（4分）设a∈R，若（1+3i）（1+ai）∈R（i是虚数单位），则a＝（）A．3B．﹣3C．D．﹣3．（4分）二项式的展开式中x3项的系数是（）A．80B．48C．﹣40D．﹣804．（4分）设圆C1：x2+y2＝1 与C2：（x﹣2）2+（y+2）2＝1，则圆C1与C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含5．（4分）若实数x，y满足约束条件，设z＝x+2y，则（）A．z≤0B．0≤z≤5C．3≤z≤5D．z≥56．（4分）设a＞b＞0，e为自然对数的底数，若a b＝b a，则（）A．ab＝e2B．ab＝C．ab＞e2D．ab＜e27．（4分）已知0＜a＜，随机变量ξ的分布列如下：﹣a当a增大时，（）A．E（ξ）增大，D（ξ）增大B．E（ξ）减小，D（ξ）增大C．E（ξ）增大，D（ξ）减小D．E（ξ）减小，D（ξ）减小8．（4分）已知a＞0且a≠1，则函数f（x）＝（x﹣a）2lnx（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，又无极小值9．（4分）记M的最大值和最小值分别为M max和M min．若平面向量，，满足||＝||＝•＝•（+2﹣2）＝2．则（）A．||max＝B．||max＝C．||min＝D．||min＝10．（4分）已知三棱锥S﹣ABC的底面ABC为正三角形，SA＜SB＜SC，平面SBC、SCA、SAB与平面ABC所成的锐二面角分别为α1、α2、α3，则（）A．α1＜α2B．α1＞α2C．α2＜α3D．α2＞α3二、填空题（本大题共7小题，第11-14题，每小题6分，15-17每小题6分，共36分）11．（6分）双曲线的渐近线方程是，离心率是．12．（6分）设各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为Sn，若S4＝80，S2＝8，则公比q ＝，a5＝．13．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是，表面积是．14．（6分）在△ABC中，若sin A：sin B：sin C＝2：3：4，则cos C＝；当BC＝1时，则△ABC的面积等于．15．（4分）盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球（取出不放回），取完为止，则共有种不同的取法（用数字作答）16．（4分）设函数f（x）（x∈R）满足|f（x）﹣x2|≤，|f（x）+1﹣x2|≤，则f（1）＝．17．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式||≥||恒成立，则的最大值为．三、解答题：（本大题共5小题，共74分）18．（14分）已知函数f（x）＝sin（x）+cos（x﹣）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）求函数y＝f（﹣x）的单调减区间．19．（15分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，M为线段BC的中点，D为线段BC上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD．（Ⅰ）证明：平面AMC′⊥平面ABD；（Ⅱ）求直线C′D与平面ABD所成的角的正弦值．20．（15分）已知函数f（x）＝（Ⅰ）求函数f（x）的导函数f′（x）；（Ⅱ）证明：f（x）＜（e为自然对数的底数）．21．（15分）如图，过抛物线M：y＝x2上一点A（点A不与原点O重合）作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为△ABC的重心（三条中线的交点），直线CG交y轴于点D．（Ⅰ）设A（x0，x02）（x0≠0），求直线AB的方程；（Ⅱ）当G在抛物线上时，求的值．22．（15分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n+（c＞0，n∈N*），（Ⅰ）证明：a n+1＞a n≥1；（Ⅱ）若对任意n∈N*，都有a n证明：（ⅰ）对于任意m∈N*，当n≥m时，a n（n﹣m）+a m （ⅱ）a n．2018年浙江省杭州市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x＞1}C．{x|x＞2}D．{x|x≥1}【解答】解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}，∴A∩B＝{x|1＜x＜2}故选：A．2．（4分）设a∈R，若（1+3i）（1+ai）∈R（i是虚数单位），则a＝（）A．3B．﹣3C．D．﹣【解答】解：（1+3i）（1+ai）＝1﹣3a+（3+a）i，∵（1+3i）（1+ai）∈R，∴3+a＝0，解得a＝﹣3，故选：B．3．（4分）二项式的展开式中x3项的系数是（）A．80B．48C．﹣40D．﹣80【解答】解：二项式的展开式的通项为＝．取5﹣2r＝3，可得r＝1．∴二项式的展开式中x3项的系数是＝﹣80．故选：D．4．（4分）设圆C1：x2+y2＝1 与C2：（x﹣2）2+（y+2）2＝1，则圆C1与C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含【解答】解：圆心C1：（0，0），C2：（2，﹣2），半径R＝1，r＝1，则|C1C2|＝＝＝4＞1+1，即圆C1与C2的位置关系是相离，故选：A．5．（4分）若实数x，y满足约束条件，设z＝x+2y，则（）A．z≤0B．0≤z≤5C．3≤z≤5D．z≥5【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；作出目标函数z＝x+2y对应的直线，当直线z＝x+2y过A时，其纵截距最小，即z最小，由，解得，即A（3，1），此时z取得最小值为5；所以目标函数z＝x+2y的取值范围是[5，+∞）．故选：D．6．（4分）设a＞b＞0，e为自然对数的底数，若a b＝b a，则（）A．ab＝e2B．ab＝C．ab＞e2D．ab＜e2【解答】解：由a＞b＞0，e为自然对数的底数，设a＝4，b＝2，则a b＝b a，即42＝24，故A，B，D均不正确，∴C正确．故选：C．7．（4分）已知0＜a＜，随机变量ξ的分布列如下：﹣a当a增大时，（）A．E（ξ）增大，D（ξ）增大B．E（ξ）减小，D（ξ）增大C．E（ξ）增大，D（ξ）减小D．E（ξ）减小，D（ξ）减小【解答】解：0＜a＜，由随机变量ξ的分布列，得：E（ξ）＝a﹣，∴当a增大时，E（ξ）增大；D（ξ）＝（﹣1﹣a+）2×+（0﹣a+）2×（﹣a）+（1﹣a+）2×a＝﹣a2+a+＝﹣（a﹣）2+，∵0，∴当a增大时，D（ξ）增大．故选：A．8．（4分）已知a＞0且a≠1，则函数f（x）＝（x﹣a）2lnx（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，又无极小值【解答】解：∵a＞0 且a≠1，函数f（x）＝（x﹣a）2lnx，∴f′（x）＝2（x﹣a）lnx+＝（x﹣a）（2lnx+1﹣），由f′（x）＝0，得x＝a或2lnx+1﹣＝0，由方程2lnx+1﹣＝0，作出g（x）＝2lnx+1和h（x）＝﹣的图象，结合图象得g（x）＝2lnx+1和h（x）＝﹣的图象有交点，∴方程2lnx+1﹣＝0有解，由此根据函数的单调性和极值的关系得到：函数f（x）＝（x﹣a）2lnx既有极大值，又有极小值．故选：C．9．（4分）记M的最大值和最小值分别为M max和M min．若平面向量，，满足||＝||＝•＝•（+2﹣2）＝2．则（）A．||max＝B．||max＝C．||min＝D．||min＝【解答】解：平面向量，，满足||＝||＝•＝•（+2﹣2）＝2，由•＝2×2cos＜，＞＝2，可得cos＜，＞＝，sin＜，＞＝，设＝＝（2，0），＝（1，），＝＝（x，y），可得（x，y）•（4﹣2x，2﹣2y）＝2，即为x（4﹣2x）+y（2﹣2y）＝2，化为x2+y2﹣2x﹣y+1＝0，则C在以圆心P（1，），半径r＝的圆上运动，且|﹣|表示点A与点C的距离，显然最大值为|AC|+r＝+＝；最小值为|AC|﹣r＝﹣＝；且|+|表示点D（﹣2，0）与点C的距离，显然最大值为|DC|+r＝+＝；最小值为|DC|﹣r＝．故选：A．10．（4分）已知三棱锥S﹣ABC的底面ABC为正三角形，SA＜SB＜SC，平面SBC、SCA、SAB与平面ABC所成的锐二面角分别为α1、α2、α3，则（）A．α1＜α2B．α1＞α2C．α2＜α3D．α2＞α3【解答】解：由题意设△SBC的高为h1，△SCA的高为h2，三棱锥S﹣ABC的高为h，∵三棱锥S﹣ABC的底面ABC为正三角形，SA＜SB＜SC，平面SBC、SCA、SAB与平面ABC所成的锐二面角分别为α1、α2、α3，∴h1＞h2，根据正弦函数定义得sinα1＝，sinα2＝，∴sinα1＜sinα2，∵α1，α2都是锐角，∴α1＜α2．故选：A．二、填空题（本大题共7小题，第11-14题，每小题6分，15-17每小题6分，共36分）11．（6分）双曲线的渐近线方程是y＝±x，离心率是．【解答】解：双曲线的渐近线方程是y＝±x，a＝，b＝1，c＝，离心率是＝，故答案为y＝±x，．12．（6分）设各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为Sn，若S4＝80，S2＝8，则公比q ＝3，a5＝162．【解答】解：由各项均为正数的等比数列{a n}，∴q＞0．由S4＝80，S2＝8，则q≠1，∴＝80，＝8，解得：q＝3，a1＝2．a5＝2×34＝162．故答案为：3，162．13．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是，表面积是6+（6+）π．【解答】解：由题意三视图，可知该几何体左侧是球的四分之一，右侧是一个半圆锥，可知几何体的体积为：＝．几何体的表面积为：＝6+（6+）π．故答案为：；6+（6+）π．14．（6分）在△ABC中，若sin A：sin B：sin C＝2：3：4，则cos C＝﹣；当BC＝1时，则△ABC的面积等于．【解答】解：∵在△ABC中，若sin A：sin B：sin C＝2：3：4，∴a：b：c＝2：3：4，设a＝2k，则b＝3k，c＝4k，∴cos C＝＝＝﹣，当BC＝1时，AC＝1.5，∴△ABC的面积S＝＝＝．故答案为：﹣，．15．（4分）盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球（取出不放回），取完为止，则共有32种不同的取法（用数字作答）【解答】解：根据题意，分6种情况讨论：①，若6个球一次取完，即一次取出6个球，有1种取法，②，若6个球分2次取完，有1、5，2、4，3、3，4、2，5、1，共5种取法，③，若6个球分3次取完，有1、1、4，1、2、3和2、2、2三种情况，有10种取法，④，若6个球分4次取完，有1、1、2、2和1、1、1、3两种情况，共有10种取法，⑤，若6个球分5次取完，即其中有1次取出2个球，有5种取法，⑥，若6个球分6次取完，每次取出1个球，只有1种情况，共有1+5+10+10+5+1＝32种不同的取法；故答案为：32．16．（4分）设函数f（x）（x∈R）满足|f（x）﹣x2|≤，|f（x）+1﹣x2|≤，则f（1）＝．【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足|f（x）﹣x2|≤，|f（x）+1﹣x2|≤，∴|f（1）﹣1|≤，|f（1）|≤，则≤f（1）﹣1≤，≤f（1）≤，即≤f（1）≤，≤f（1）≤，∴f（1）＝．故答案为：．17．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式||≥||恒成立，则的最大值为．【解答】解：由题意知cos A＝，b2+c2＝2bc cos A+a2对任意λ∈R，不等式||≥||恒成立⇔（||）min≥||恒成立⇔BC边上的高h大于等于||恒成立．⇔h≥a∵≥，∴a2≤bc sin A，所以b2+c2≤bc（2cos A+sin A），由此可知≤2cos A+sin A≤sin（A+θ），当θ+A＝时取得最大值．三、解答题：（本大题共5小题，共74分）18．（14分）已知函数f（x）＝sin（x）+cos（x﹣）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）求函数y＝f（﹣x）的单调减区间．【解答】解：（Ⅰ）∵sin（x+）＝cos（x﹣），∴f（x）＝2sin（x+）＝﹣2sin （x+）．所以函数f（x）的最小正周期是2π，最大值是2．（Ⅱ）因为f（﹣x）＝2sin（x﹣），令2kπ+≤x﹣≤2kπ+，求得+2kπ≤x≤+2kπ，所以单调递减区间为[+2kπ，+2kπ]（k∈Z）．19．（15分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，M为线段BC的中点，D为线段BC上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD．（Ⅰ）证明：平面AMC′⊥平面ABD；（Ⅱ）求直线C′D与平面ABD所成的角的正弦值．【解答】（本题满分15分）证明：（Ⅰ）由题意知AM⊥BD，又因为AC′⊥BD，所以BD⊥平面AMC，因为BD⊂平面ABD，所以平面AMC⊥平面ABD．…………（7分）解：（Ⅱ）在平面AC′M中，过C′作C′F⊥AM交AM于点F，连接FD．由（Ⅰ）知，C′F⊥平面ABD，所以∠C′DF为直线C′D与平面ABD所成的角．设AM＝1，则AB＝AC＝2，BC＝，MD＝2﹣，DC＝DC′＝3﹣2，AD＝﹣．在Rt△C′MD中，MC'2＝C′D2﹣MD2＝（3﹣2）2﹣（2﹣）2＝9﹣4．设AF＝x，在Rt△C′F A中，AC′2﹣AF2＝MC′2﹣MF2，即4﹣x2＝（9﹣4）﹣（x﹣1）2，解得，x＝2﹣2，即AF＝2﹣2．所以C′F＝2．故直线C′D与平面ABD所成的角的正弦值等于＝．…………（15分）20．（15分）已知函数f（x）＝（Ⅰ）求函数f（x）的导函数f′（x）；（Ⅱ）证明：f（x）＜（e为自然对数的底数）．【解答】（本题满分15分）解：（I）∵函数f（x）＝∴＝．…………（6分）证明：（Ⅱ）令f′（x）＝＝0．得，设g（x）＝﹣lnx＝﹣lnx，则函数g（x）在（0，+∞）单调递减，且g（）＞0，g（e）＜0，所以存在，使g（x 0）＝0，即，所以x0+1﹣（2x0+1）lnx0＝0，所以f′（x）＝0，且f（x）在区间（0，x0）单调递增，区间（x0，+∞）单调递减．所以f（x）≤f（x0）＝＝＜．…………（15分）21．（15分）如图，过抛物线M：y＝x2上一点A（点A不与原点O重合）作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为△ABC的重心（三条中线的交点），直线CG交y轴于点D．（Ⅰ）设A（x0，x02）（x0≠0），求直线AB的方程；（Ⅱ）当G在抛物线上时，求的值．【解答】解：（Ⅰ）由y＝x2可得y′＝2x，直线AB的斜率k＝y′＝2x 0．所以直线AB的方程y﹣x02＝2x0（x﹣x0），即y＝2x0x﹣x02．（Ⅱ）由题意得，点B的纵坐标y B＝﹣x02，所以AB中点坐标为（，0）．设C（x1，y1），G（x2，y2），直线CG的方程为x＝my+x0．联立方程组，得m2y2+（mx0﹣1）y+x02＝0．因为G为△ABC的重心，所以y1＝3y2．由韦达定理，得y1+y2＝4y2＝，y1y2＝3y22＝．∴＝，解得mx0＝﹣3±2．所以点D的纵坐标y D＝﹣＝，故＝||＝4±6．22．（15分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n+（c＞0，n∈N*），（Ⅰ）证明：a n+1＞a n≥1；（Ⅱ）若对任意n∈N*，都有a n证明：（ⅰ）对于任意m∈N*，当n≥m时，a n（n﹣m）+a m（ⅱ）a n．【解答】（本题满分15分）证明：（Ⅰ）因为c＞0，所以a n+1＝a n+＞a n（n∈N*），下面用数学归纳法证明a n≥1．①当n＝1时，a1＝1≥1；②假设当n＝k时，a k≥1，则当n＝k+1时，a k+1＝a k+＞a k≥1．所以，当n∈N*时，a n≥1．所以a n+1＞a n≥1．…………（5分）（Ⅱ）（ⅰ）当n≥m时，a n≥a m，所以a n+1＝a n+≤a n+，所以a n+1﹣a n≤，累加得a n﹣a m≤（n﹣m），所以对于任意m∈N*，当n≥m时，a n（n﹣m）+a m．…………（9分）（ⅱ）若，当m＞时，a m＞（c﹣）•﹣1＝，所以＜c﹣．所以当n≥m时，（c﹣）n﹣1≤a n≤（n﹣m）+a m．所以当n＞时，（c﹣）n﹣1＞（n﹣m）+a m，矛盾．所以c．因为＝≤，所以a n．…………（15分）。

【全国百强校】浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考数学试题

【全国百强校】浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 已知全集，集合，则=（）A．B．C．D．2. 各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为( )A．B．C．D．或3. 函数f(x)＝sin(wx＋)(w＞0，＜)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线x＝对称，则函数f(x)的解析式为（）A．f(x)＝sin(2x＋) B．f(x)＝sin(2x－)C．f(x)＝sin(2x＋) D．f(x)＝sin(2x－)4. 已知不等式组表示的平面区域的面积为9，若点，则的最大值为（）A．3 B．6 C．9 D．125. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．6. 在中，“”是“为钝角三角形”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7. 已知，则（）A．B．C．D．8. 如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M，N，若，则的值是（）D．A．B．C．9. 已知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有个红球，个蓝球，同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.（b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为.则（）A．B．C．D．10. 等腰直角三角形的斜边AB为正四面体侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E BCD的体积有最大值和最小值；（2）存在某个位置，使得；（3）设二面角的平面角为，则；（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆. 其中，正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、双空题11. 已知，复数且（为虚数单位），则__________，_________．12. 双曲线的焦距为__________，渐近线方程为________．13. 设，则_____，（的值为______．三、填空题14. 在中，，．若，则_________．四、双空题15. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB 为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是________；若向量，则的最小值为_________.五、填空题16. 工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．17. 已知函数的最小值为2，则_________．六、解答题18. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求面积的最大值．19. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠AB D=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF；（Ⅱ）若二面角C BF D的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值．20. 设函数，，（Ⅰ）求曲线在点（1,0）处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．21. 如图，焦点在轴上的椭圆与焦点在轴上的椭圆都过点，中心都在坐标原点，且椭圆与的离心率均为．（Ⅰ）求椭圆与椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点M的互相垂直的两直线分别与，交于点A，B（点A、B不同于点M），当的面积取最大值时，求两直线MA，MB斜率的比值.22. 已知数列满足：，，且对任意的都有,（Ⅰ）证明：对任意，都有；（Ⅱ）证明：对任意，都有；（Ⅲ）证明：.。

浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考数学试题及答案解析

浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考数学试题第Ⅰ卷一、选择题1.已知集合}21|{<≤-=x x P ，集合}250|{≤<=x x Q ，则=Q P （） A ．]25,1[- B ．)2,0( C ．)2,1[- D ．]25,2(2.已知数列}{n a 是等比数列，其公比为q ，则“1>q ”是“数列}{n a 为单调递增数列“的”（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.设n m ,是不同的直线，βα,是不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若,,,//n m n m ⊥⊥βα则βα⊥B ．若,,,//n m n m ⊥⊥βα则βα//C ．若,//,,//n m n m βα⊥则βα⊥D ．若,//,,//n m n m βα⊥则βα//4.已知整数y x ,满足⎩⎨⎧>-+≥-+,052,072y x y x 则y x 43+的最小值是（）A ．19B ．17 C.16 D ．14 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．32 B ．322 C.2 D ．22 6.若随机变量ξ满足4)1(,4)1(=-=-ξξD E ，则下列说法正确的是（） A.4,4=-=ξξD EB.3,3=-=ξξD EC.4,4-=-=ξξD ED.4,3=-=ξξD E7.如图，可导函数)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线为)(:x g y l =，设)()()(x g x f x h -=，则下列说法正确的是（）A.00,0)(x x x h =='是)(x h 的极大值点B.00,0)(x x x h =='是)(x h 的极小值点C.00,0)(x x x h =='不是)(x h 的极值点D.00,0)(x x x h =='是)(x h 的极值点8.如图，已知椭圆111:221=+y x C ，双曲线)0,0(1:22222>>=-b a by a x C ，若以1C 为长轴的直径的圆与2C 的一条渐近线交于B A 、两点，且1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率为（）A ．5B ．5 C.17 D ．7142 9.已知△ABC 的顶点∈A 平面α，点C B ,在平面α同侧，且3,2==AC AB ，若ACAB ,与α所成角分别为ππ,36，则线段BC 长度的取值范围为（） A ．]1,32[- B ．]7,1[ C.]327,7[+ D ．]327,1[+ 10.设函数}2,,2min{)(2+-=x x x x f ，其中},,min{z y x 表示z y x ,,中的最小者.下列说法错误的（）A ．函数)(x f 为偶函数B ．若),1[+∞∈x 时，有)()2(x f x f ≤- C.若R x ∈时，)())((x f x f f ≤D ．若]4,4[-∈x 时，)()2(x f x f ≥-第Ⅱ卷二、填空题11.若复数z 满足i z i +=⋅-3)21(（i 为虚数单位），则=z ；=z ．12.已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=αtan ；=α2tan ． 13.已知多项式1010992210226)13()1(x a x a x a x a a x x +⋅⋅⋅+++=++，则=0a ；=2a ．14.在△ABC 中，C B A ,,角所对的边分别为c b a ,,，已知5,7,3===∠b a A π，点D 满足DC BD 2=，则=c ；=AD ．15.有6张卡片分别写有数字1,1,1，2,3,4，从中任取3张，可排除不同的三位数的个数是．（用数字作答）16.已知点M 为单位圆122=+y x 上的动点，点O 为坐标原点，点A 在直线2=x 上，则AO AM ⋅的最小值为．17.已知函数m mx x g m mx x x f -=++-=)(,22)(2，若存在实数R x ∈0，使得0)(0<x f 且0)(0<x g 同时成立，则实数m 的取值范围是．三、解答题18.已知函数⎪⎭⎫⎝⎛∈<>>+=R x A x A x f ,2,0,0)sin()(πϕωϕω的部分图像如图.（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式.（Ⅱ）求函数)(x f 在区间5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值，并求出相应的x 值.19. 如图，在圆锥PO 中，已知2=PO ，⊙O 的直径2=AB ，点C 在AB 上，且30=∠CAB ，D 为AC 的中点.（Ⅰ）证明：⊥AC 平面POD ；（Ⅱ）求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值. 20.已知函数x xx x f ln 2)(2++=. （Ⅰ）求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：0)(>x f .21.如图，已知圆4)2(:22=-+y x C ，抛物线D 的顶点为)0,0(O ，准线的方程为1-=y ，),(00y x M 为抛物线D 上的动点，过点M 作圆C 的两条切线与x 轴交于B A ,.（Ⅰ）求抛物线D 的方程；（Ⅱ）若40>y ，求△MAB 面积S 的最小值.22.已知正项数列}{n a 满足)(1,1*1211N n na na a a n n n ∈+==++.（Ⅰ）求2a 的值；（Ⅱ）求证：na a n n 101<-<+；（Ⅲ）求证：))(1ln(*N n n a n ∈+>.【参考答案】一、选择题1-5:BDCCD 6-10:BBABD 二、填空题 11.1+7i5；2 12.3或31-；43- 13.1；21 14.8；3612 15.34 16.217.),3(+∞三、解答题18.解：（1）由图像可知2=A ，又0>A ，故2=A . 周期()34134312334T ππππ=⨯-=⨯=，又πωπ==2T ，∴2=ω.∴62323,,2)sin(2)(),2sin(2)(ππππϕϕϕϕ-=<=+=+=f x x f . )2sin(2)(6π-=x x f . （2）],[2],,0[25ππππ-∈-∈x x ， ∴]2,1[)2sin(2],1,[)2sin(6216-∈--∈-ππx x . 当262ππ=-x 时，3π=x ，2)()(3max ==πf x f . 当662ππ-=-x 时，0=x ，1)0()(min -==f x f . 所以2)()(3max ==πf x f ，1)0()(min -==f x f . 19.（Ⅰ）证明：因为OC OA =，D 是AC 的中点，所以OD AC ⊥.又⊥PO 底面⊙⊂AC O ,底面⊙O ，所以PO AC ⊥，PO OD ,是平面POD 内的两条相交直线，所以⊥AC 平面POD ；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，⊥AC 平面POD ，又⊂AC 平面PAC ，所以平面⊥POD 平面PAC ，在平面POD 中，过O 作PD OH ⊥于H ，则⊥OH 平面PAC ，连结CH ，则CH 是OC 是平面PAC 上的射影，所以OCH ∠是直线OC 和平面PAC 所成的角.在POD Rt △中，3222412122=+⨯=+⋅=OD PO OD PO OH 在OHC Rt △中，32sin ==∠OC OH OCH20.（Ⅰ）解：()()()22232222232124)1(1)12(2)(xx x x x x x x x x x x xxx x f +--+=+--+=+++-=' 所以21)1(-='f ，则切线方程为2321+-=x y （Ⅱ）证明：令232)(23--+=x x x x h ，则343)(2-+='x x x h ，设0)(='x h 的两根为21,x x ，由于0121<-=x x ，不妨设0,021><x x ，则)(x h 在),0(2x 是递减的，在)(2∞+，x 是递增的.而0)2(,0)1(,0)0(><<h h h ，所)(x h 在),0(+∞上存在唯一零点，且)2,1(0∈x 所以)(x f 在),0(0x 单调递减，在)(0∞+，x 单调递增所以，00200ln 2)()(x x x x f x f ++=≥，因为)2,1(0∈x ，0ln 0>x ,02)(020>+>x x x f 所以0)(>x f .21.解：（Ⅰ）设抛物线C 的方程为)0(22>=p py x ，则12=p，∴2=p ，所以抛物线C 的方程是y x 42=. （Ⅱ）设切线)(00x x k y y -=-，即000=-+-kx y y kx ，切线与x 轴交点为⎪⎭⎫⎝⎛-0,00k y x ，圆心到切线的距离为212200=+-+-=k kx y d ，化简得04)2(2)4(02000220=-+-+-y y k y x k x设两切线斜率分别为21,k k ，则4,44,4)2(202002021200021>--=---=+y x y y k k x y x k k 42442212102000202002021210200100-=--+=⋅-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y y y y y x y y k k k k y k y x k y x S =328)4(416200≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-y y ，当且仅当80=y 时取等号.所以量切线与x 轴围成的三角形面积S 的最小值为32.22.（Ⅰ）解：01122221>+==a a a a ，，则2512+=a .（Ⅱ）证明：∵=-+n n a a 10,11111211>+=+-+++++n n n n n n a na a na na a ，∴01>-+n n a a ，另一方面，=-+n n a a 1nna a na a n n n n 111111=<+++++，∴na a n n 101<-<+ （Ⅲ）证明：=-+n n a a 1nn n n n n a n na a na na a 1111111211+=+=+-+++++，且11=≥a a n ∴111+≥-+n a a n n ∴)2(131211≥+⋅⋅⋅+++≥n n a n 时，而11≥a∴)(131211*N n na n ∈+⋅⋅⋅+++≥∵1ln 1ln 2ln )1ln(ln ln )1ln()1ln(+-+⋅⋅⋅+--+-+=+n n n n n12ln )1ln(1ln+⋅⋅⋅+-++=n n n n 而n n n n 1)11ln(1ln <+=+ )1ln(131211+>+⋅⋅⋅+++≥n n a n。

【数学】浙江省杭州市2018届高考模拟试卷18(word附答案)

浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷18一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}065{2<+-=x x x A ，}044{2>+-=y y y B ，则=B A C U )(( )A.),3[]2,(+∞-∞B.),3[)2,(+∞-∞C.∅D.),3()2,(+∞-∞2.已知直线02:1=-+y ax l 与02)2(:2=-+-ay x a l 垂直，则=a （） A.1B.0C.1或0D.-1或03.已知⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥01x y x xy ，则12++=y x z 的最小值为（）A.21B.53 C.1 D.35 4.已知)(x f 的导函数)('x f 的图像如图所示，则有（）A.)(x f 有最小值，无最大值B.)(x f 有1个极大值，2个极小值C.)(x f 无极值D.)(x f 无最值5.若函数,sin cos )(2b x a x x f ++=在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ,最小值为m ,则M -m 的值（）A.与a 有关，且与b 有关B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，但与b 有关D.与a 无关，且与b 无关6.下列命题中真命题的个数为（）①若点b 为)(x f 的极值点，则必有)('b f =0的逆命题；②若0122>++ax ax 的解为R ，则10<<a ；③过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面； ④平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线. A.1个B.2个C.3个D.4个7.)ln()(2c bx ax x f ++=的部分图像如图所示，则=+-c b a （）A.-1B.1C.-5D.58.已知抛物线)0(22>=p px y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点2F ,点P是两曲线的一个交点，且5721=PF PF ,其中21,F F 分别为双曲线的左右焦点，则双曲线的渐近线方程为（）A.x y 3±=B.x y 42±= C.x y 3±=或者x y 22±=D.x y 33±=或者x y 42±= 9.已知单位向量→1e 、→2e 满足2121=⋅→→e e ，若→→-p e 1与→→-p e 212的夹角为3π，则→p 的取值范围为（） A.[)+∞,0B.)13,13(+-C.[)13,0+D.[)13,0-10.如图，矩形ABCD 中，AB =1，BC =2，将AD C ∆沿对角线AC 翻折至C AD '∆，使顶点'D 在平面ABC 的投影O 恰好落在边BC 上，连结'BD ，设二面角C AB D --',B AC D --',C AD B --'的大小分别为γβα,,，则有（）A.γβα=+B.γβα>+C.γβα<+D.βγα<+二、填空题：本大题共7小题，第11-14题，每小题6分，15-17题每小题4分，共36分. 11.已知复数(1i)3i z +=-，则=z ，→z 的虚部为12.已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的表面积为，体积为．13已知数列}{n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若43=S ,126=S ,则=q ，=12S . 14.已知32)1()11(x xa ++的各项系数之和为64，则=a ，2x 的系数为 . 15.四个不同球放入四个不同的盒子中，每个盒子中都允许不放球.若记ξ为有球的盒子数，则=ξE .16.已知)(x f 为定义在R 上的奇函数，且)(x f 在R 上单调递增，)()(x xf x g =，则不等式)43()2(2-<-x g x x g 的解集为 .17.已知a,b,c ∈R ，若1cos sin 2≤++c x b x a 对x ∈R 恒成立，则b x a +cos 的最大值为 .三、解答题：本大题共5小题，共74分.18.（本题满分14分）已知)sin cos ,sin 32(x x x a -=→，)sin cos ,(cos x x x b +=→,→→⋅=b a x f )(.（1）求()x f 的最小正周期和单调递增区间.（2）已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，)(x f 在角2A处取到最大值，其中7=a ，14313sin sin =+C B ，求c b -的值.19.（15分）在矩形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BC 边的中点，现将AED ∆、BEF ∆分别沿DE 、EF 折起，使A 、B 两点重合与点P ，连接PC ,已知2=AB ,BC =2.(1)证：DF ⊥平面PEF ；(2)求直线PC 与平面PEF 所成角θ的正弦值.20.（15分）已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x －x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．21.（15分）设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．22.（15分）已知正项等比数列{}n a 满足101<<a ，1sin ()1nn n a a n a *+=∈+N . （1）求证：11<<+n n a a ；（2）设n S 是数列{}na 的前n 项和，求证：12-<n Sn.【参考答案】一、选择题二、填空题11. 5;2 12.74434++;338 13. 312;60 14.2;1015. 64175 16.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,2117 17.2 三、解答题18．解：(1)x x x x x f 22sin cos cos sin 32)(-+=x x 2cos 2sin 3+=π=2sin(2+)6x ，∴)(x f 的最小正周期πT =，由πππ-+2π2++2π()262k x k k ≤≤∈Z ，知ππ-+π+π()36k x k k ≤≤∈Z ，所以)(x f 的单调递增区间为ππ-+π,+π()36k k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z .π()=2sin(+)=226A f A ，ππ+=+π()62A k k ∴∈Z ，πsin 3A ,A ∴== C c B b A a sin sin sin ==，c C b B 143sin ,143sin ==∴， ∴根据,14313sin sin =+C B 知，根据2122)(2cos 22222=--+=-+=bc a bc c b bc a c b A ，知40=bc ， 94)()(22=-+=-∴bc c b c b ，3±=-∴c b .19．解：（Ⅰ）Q PF EP ⊥，PD EP ⊥，∴⊥EP 平面PFD ，∴FD EP ⊥.13=+c b又由题意可知：26=EF ，3=DF ，223=DE ，则FD EF ⊥.∴⊥DF 平面PEF . （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，面⊥PEF 底面CDEF ，EF 为交线，过P 作EF PG ⊥，则⊥PG 底面CDEF ，22=PE ，1=PF ，26=EF ，∴33=PG ，66=EG ，33=FG . 法一：过C 作EF CH ⊥，交EF 延长线于H ，⊥CH 面PEF ，则CPH ∠即为所求线面角.2=PD ，2=CD ，33022=+=CG PG PC ，33==PG CH .sin CH PC θ∴==. 法二：过C 作PG 的平行线CZ ，则⊥CZ 底面CDEF ，以C 为原点，CD ，CF ，CZ 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.则)0,35,32(G ，)33,35,32(P ，)0,2,22(E ，)0,1,0(F ，)33,35,32(=. 取面PEF 法向量)0,1,2(-=n .10103330|03532||,cos |sin =⋅+-=><=n CP θ .20．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)．(ⅰ)若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减．E(ⅱ)若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a .当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增． (2)(ⅰ)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．(ⅱ)若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a ＋ln a .①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0，故f (x )只有一个零点； ②当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1a ＋ln a >0，即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；③当a ∈(0,1)时，1－1a ＋ln a <0，即f (－ln a )<0.又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0，故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点．设正整数n 0满足n 0>ln ⎝⎛⎭⎫3a －1，则f (n 0)＝en n 0(a en ＋a －2)－n 0>en －n 0>2n －n 0>0.由于ln ⎝⎛⎭⎫3a －1>－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点．综上，a 的取值范围为(0,1). 21．解：(1)设F (c,0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |，即1c ＋1a ＝3caa －c，可得a 2－c 2＝3c 2，又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1.因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)，设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3，由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知F (1,0)，设H (0，y H )，有FH ―→＝(－1，y H )，BF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF ―→·FH ―→＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋9k 2＋. 在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简，得x M ≥1，即20k 2＋9k 2＋≥1，解得k ≤－64或k ≥64. 22．解：（1）方法一：令)0(-sin )(>=x x x x f ，0≤1-cos )(x x f =′， ∴)(x f 在（0，+∞）单调递减，∴x x f x f <∴=<sin ,0)0()(. 1sin -1+=+n nn n a a a a ， ∵}{n a 是正项数列，∴n n a a <sin ，∴111sin 1<+<+=+n n n n n a aa a a ，10∴1<<+n a . 0-1-1sin -∴1<+<+=+n n n n n n n n a a aa a a a a . ∴11<<+n n a a ，方法二：①当1=n 时，101<<a 成立.②假设()*n k k =∈N 时，10<<k a 成立，那么n =k +1时，111sin 1<+<+=+k k k k k a aa a a ，10∴1<<+k a . 由①和②可知，10<<n a 对所有正整数都成立. 下同方法一. （2）1sin 11n n n n n a a a a a +=<++Q ，1111+>∴+n n a a .,11-1,2≥∴1->n n a a n 时-1-22111111,,1n n a a a a ->->L ，累加得n a n a n a a n n >+>∴>1111-1,1-1-1，当n =1时，上式也成立. )1--(21-221,2≥∴n n n n n n n a n n =+<+=<时 )2--1-(2∴1-n n a n < )1-2(22<a ，又∵11<a ，累加得1-21)1---2-1(2n n n S n =+++< .。

浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目教学质量检测数学试题(含详细答案)

浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目教学质量检测数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1A x x =>，{}=2B x x <，则A B I =( )A ．{}12x x <<B ．{}1x x >C ．{}2x x >D ．{}1x x ≥2.设a R ∈,若1+3)(1)i ai R +∈（(i 是虚数单位)，则a =( ）A ．3B ．-3C ．13D ．1-33.二项式512)x x -（的展开式中含3x 项的系数是( ）A ．80B ．48C ．-40D ．-804.设圆221:1C x y +=与圆222:-2+2)1C x y +=（）（，则圆1C 与圆2C 的位置关系是( )A ．外离B ．外切 C.相交 D ．内含5.若实数,x y 满足不等式组2390210x y x y +-≥⎧⎨--≤⎩，设2z x y =+,则( ）A ．0z ≤B ．05z ≤≤ C.35z ≤≤ D ．5z ≥6.设0a b >>，e 为自然对数的底数.若b a a b =，则（）A ．2ab e =B ．21ab e =C.2ab e > D ．2ab e < 7.已知10a <<随机变量ξ的分布列如下:当a 增大时（） A ．()E ξ 增大，()D ξ增大 B ．()E ξ减小，D ξ（）增大C.()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ减小，()E ξ减小8.已知0a >，且1a ≠,则函数2()()1f x x a nx =-（）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C.既有极大值，又有极小值 D ．既无极大值，又无极小值9.记M 的最大值和最小值分別为max M 和min M .若平面向量..a b c 满足a b a b c ==•=(222)2a b c •+-=则（）A ．max 37a c +-=B ．max 37a c -+= C.min 37a c +-=D ．min 37a c -+= 10.已知三棱锥S ABC -的底面ABC 为正三角形,SA SB SC <<,平面,,SBC SCA SAB 与平面ABC 所成的锐二面角分别为123,,a a a ，则（）A ．12a a <B ．12a a > C.23a a < D ．23a a >第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题6分，15-17每小题4分，将答案填在答题纸上）11.双曲线2212x y -=的渐近线方程是________，离心率是_________. 12.设各项均为正数的等比数列n a 中,若490a =,210a =则公比q =___________13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________，表面积是．14.设ABC ∆内切圆与外接圆的半径分别为r 与R .且sin :sin :sin 2:3:4A B C =则cos C =_________；当1BC =时，ABC ∆的面积等于．15.盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有________种不同的取法( 用数字作答). ． 16.设函数()()f x x R ∈满足2213(),()144f x x f x x -≤+-≤则(1)f = ． 17.在ABC ∆中，角..A B C 所对的边分别为..a b c 若对任意R λ∈,不等式BA BC BC λ-≥u u u u r u u u r u u u r 恒成立，则c b b c+的最大值为___________. 三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知函数73()sin()cos()44f x x x ππ=+- (Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值;(Ⅱ)求函数()y f x =-的单调减区间19.如图,在等腰三角形ABC 中,,120AB AC A =∠=o为线段BC 的中点，D 为线段BC 上一点,且BD BA =,沿直线AD 将ADC ∆翻折至'ADC ∆,使'AC BD ⊥.(I)证明;平面'AMC ⊥平面ABD ;(Ⅱ)求直线'C D 与平面ABD 所成的角的正弦值.20.已知函数21()nx f x x x=+ (I)求函数()f x 的导函数'()f x ；(Ⅱ)证明:()2f x e e<+(e 为自然对数的底数) 21.如图，抛物线2:M y x =上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB 交y轴于点B ,点C是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为ABC ∆的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D.(Ⅰ)设点02(,)(00)0A x x x ≠求直线AB 的方程: (Ⅱ)求OB OD的值 22.已知数列{}n a 满足111,(0,)n n n c a a a c n N a *+==+>∈ (Ⅰ)证明：11n n a a +>≥；(Ⅱ)若对于任意m N *∈，当n m ≥时，()n m c a n m a am≤-+； (Ⅲ)51n n a -≤2017学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷一、选择题1-5: ABDAD 6-10:CACAA二、填空题11.y =143π；6(6+π 14.-1415. 32 16.34 17.三、解答题18.（Ⅰ）因为73()(44sin x cos x ππ＋＝－），所以732=-2sin()44()(f x sin x x ππ+＝＋）.所以函()f x 的最小正周期是2π，最大值是2．（Ⅱ）因为3()2sin()4f x x -=+，所以单调递减区间为5+2)()4k k z ππ∈（19.（Ⅰ）有题意知'AM BD ⊥，又因为'AC BD ⊥，所以 BD ⊥平面AMC ，因为BD BD ⊂平面ABD ，所以平面AMC ⊥平面ABD ．AB C′DM F（第19题）（Ⅱ）在平面AC M '中，过C ′作C F '⊥AM 交AM 于点F ，连接FD ．由（Ⅰ）知，C F '⊥平面ABD ，所以C DF ∠'为直线C D '与平面ABD 所成的角设1AM ＝，则2AB AC BC ＝＝，2MD ＝DC DC '＝＝2，AD在Rt C MD 'V 中，222222)(2MC C D MD ''=-=-94＝－设AF x ＝，在Rt C FA 'V 中，2222AC AF MC MF ''－＝－，即22 49((1)x x －＝－－－，解得，2x ＝，即2AF ＝．所以C F '＝故直线C D '与平面ABD 所成的角的正弦值等于C F AF '20.（I ）1(21)ln ()22()x x x f x x x +-+'=+．（Ⅱ）设111()ln ln 21242x g x x x x x +=-=+-++，则函数()g x 在(0,)+∞单调递减，且0g >，(e)0g <，所以存在0x ∈，使()00g x ＝，即10ln 00210x x x +-=+，所以 121000()0x x lnx ＋－＋＝，所以 )0(f x '＝，且) (f x 在区间0(0)x ，单调递增，区间()0x ∞，＋单调递减．所以 () (0) f x f x ≤＝ln 0(1)00x x x +＝1(21)00x x <+21.（Ⅰ）因为 2y x '＝，所以直线AB 的斜率20k y x '＝＝．所以直线AB 的方程200(0)y x x x x －＝－，即 20y x x ＝－．（Ⅱ）由题意得，点B 的纵坐标B y ＝－20x ，所以AB 中点坐标为0(,0)2x ．设()(1)122C x y G x y ，，，，直线CG 的方程为0x my x ＝＋．由1,022x my x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，联立得()2210m y mx y ＋－＋1204x ＝0．因为G 为ABC V 的重心，所以312y y ＝．由韦达定理，得4122y y y ＋＝＝102mx m -，312y y ＝220224x y m =．所以22(1)00421612mx x m m -=，解得 0mx＝3-± 所以点D 的纵坐标y D＝202x x m -=，故||||6||y OB B OD y D==±． 22.（Ⅰ）因为0c ＞，所以1n n a a ＋＝＋n c a *n a n ∈N ＞（），下面用数学归纳法证明1n a ≥．①当1n ＝时，111a ≥＝；②假设当n k =时，1a k≥，则当1n k ＝＋时，1a a k k ＝＋＋ca k 1a k ≥＞．所以，当*n ∈N 时，1a n≥．所以 11a a n n ≥＞＋．（Ⅱ）（ⅰ）当n m ≥时，a a n m≥，所以 1a a n n ＝＋＋c a n a n ≤＋ca m ，所以 1a a n n ≤－＋c a m ，累加得 a a n m ≤－c a m()n m －，所以 ()c a n m a n m a m-+≤．（ⅱ）若12c >，当822(21)c m c ->-时， 1822()12221(21)c c a c m c c ->--=--，所以12c c a m<-．所以当n m ≥时，1()1()2c c n a n m a n m a m---+≤≤．所以当112cm a m a m n c c a m+->--时，1()1()2c c n n m a m a m -->-+，矛盾．所以 12c ≤．因为 252222222124c a a c a c c a n n n n a n=++++++≤≤，所以a n。

2018年浙江省杭州二中高考数学模拟试卷(4月份)(J)

2018年浙江省杭州二中高考数学模拟试卷（4月份）(J)副标题一、选择题（本大题共10小题，共10.0分）1.已知，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，则故选：B．先分别求出集合P，由此利用交集定义能求出．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.设，则“”是“直线：直线：平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不允分又不必要条件【答案】A【解析】解：当时，直线：与直线：，显然平行，当直线：直线：平行，，解得或，故“”是“直线：直线：平行”的充分不必要条件，故选：A．把代入可得直线的方程，易判平行；而由平行的条件可得a的值，进而由充要条件的判断可得答案．本题为充要条件的判断，涉及直线的平行的判定，属基础题．3.定义在R上的可导函数，已知的图象如图所示，则的增区间是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意如图的区间是故函数的增区间故选：B．由题意知，欲求函数的增区间，由图象确定出函数导数为非负的区间就可以了，由于是一个指数型的函数，当指数大于0时函数值大于1，故由图象找出函数图象在直线上面的那一部分的自变量的集合即为所求本题考查函数的单调性与导数的关系，由于函数的导数是指数型函数的指数，故可以借助指数函数的图象观察出导数非负的区间，此即为函数的递增区间．4.若X是离散型随机变量，，，且，又已知，，则的值为A. B. C. 3 D.【答案】C【解析】解：，，，解得或舍，．故选：C．根据数学期望和方差公式列方程组解出，．本题考查概率和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望和方差的灵活运用．5.已知O为坐标原点，，若点满足，则向量在方向上投影的最大值是A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，，，由，得，．由图可知，当P与B重合时，向量在方向上投影有最大值，等于，故选：C．由约束条件作出可行域，数形结合得到满足向量在方向上投影最大时的P点，再由投影概念求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查向量在向量方向上投影的概念，是中档题．6.某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为材料利用率新工件的体积原工件的体积A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意，由工件的三视图得到原材料是圆锥，底面是直径为2的圆，母线长为3，所以圆锥的高为，圆锥是体积为；其内接正方体的棱长为x，则，解得，所以正方体的体积为，；所以原工件材料的利用率为：新工件的体积原工件的体积故选：A．由题意，原材料对应的几何体是圆锥，其内接正方体是加工的新工件，求出它们的体积，正方体的体积与圆锥的体积比为所求．本题考查了由几何体的三视图得到几何体的体积以及几何体的内接正方体棱长的求法；正确还原几何体以及计算内接正方体的体积是关键，属于中档题．7.己知是定义域为R的单调函数，且对任意实数x，都有，则不等式的解集是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设，则，由题意可得，，即，解得，即；是定义域为R的单调增函数，且；不等式的解集是．故选：A．设，由求得t的值，写出的解析式，再判断的单调性，从而得出不等式的解集．本题主要考查了求函数的解析式以及根据函数性质解不等式的应用问题，是中档题．8.已知F是抛物线C：的焦点，A，B是抛物线上的两个动点，满足，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则使不等式恒成立的m的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设，，由抛物线定义，得，在梯形ABPQ中，．由余弦定理得，配方得，，又，得到．，由，得，，故选：C．设，，连接AF、由抛物线定义得，由余弦定理可得，进而根据基本不等式，求得的取值范围，进行求解即可．本题着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，考查学生的综合能力．9.如图，面，D为AB的中点，，，P为内的动点，且P到直线CD的距离为，则的最大值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：空间中到直线CD的距离为的点构成一个圆柱面，它和面相交得一椭圆，所以P在内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，，，则，于是A，B为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，故为．故选：B．由题意推出到直线的距离为的P的轨迹是圆柱，得到平面的图形是椭圆，然后的最大值即可．本题是立体几何与解析几何知识交汇试题，题目新，考查空间想象能力，计算能力．10.若实数a，b，c，满足，，则c的最大值是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由基本不等式得，即，所以，令，由可得，所以；因为，所以，即，所以，即c的最大值是．故选：D．由基本不等式得，可求出的取值范围；再由，可用表达，利用不等式的性质求出取值范围．本题考查了指数的运算法则以及基本不等式求最值、不等式的性质等问题，是难题．二、填空题（本大题共7小题，共7.0分）11.若复数，是纯虚数，其中i是虚数单位，则______；______．【答案】2；【解析】解：，是纯虚数，，即．．故答案为：2；．由实部为0且虚部不为0求得a值，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．12.已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，虚轴长为8，焦距为10，则它的离心率是______；标准方程是______．【答案】；【解析】解：根据题意，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，虚轴长为8，焦距为10，即，，则，，则，则该双曲线的离心率；其标准方程为：；故答案为：；．根据题意，分析可得b、c的值，计算可得a的值，由双曲线的离心率公式计算可得e的值，将a、b的值代入双曲线的方程，可得其标准方程，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点的位置．13.设的内角A，B，C，所对边分别为a，b，c，且，则角B的大小为______；若，则的外接圆的面积为______．【答案】；【解析】解：在中，有，由正弦定理得：，又，代入得：，即，又B为的内角，；由正弦定理可得，，故答案为：，．由三角形的内角和为得到，利用诱导公式得到与相等，再由正弦定理化简得到一个关系式，把已知的等式变形后代入这个关系式中，即可求出的值，然后由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；由正弦定理可得，即可求解，此题综合考查了正弦定理，以及三角函数的恒等变形熟练掌握定理、14.设是，且的展开式中x的一次项的系数，则的值为______，化简的结果为______【答案】18；【解析】解：是，且的展开式中x的一次项的系数，再由，可得展开式通项公式为，令，解得，即，，则．根据，，故答案为：18；．利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的幂指数为1求出，再求出，据其特点，利用裂项法求出数列的和．本题考查二项展开式的通项公式、数列求和的方法：裂项法，属于中档题．15.已知是边长为2的正三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值为______．【解析】解：以BC为x轴，以BC边上的高为y轴建立坐标系，则，设，则，，，当，时，取得最小值．故答案为：建立坐标系，设，得出关于x，y的表达式，配方即可得出结论．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．16.由2，0，1，8，6，7六个数字组成的四位效中，若数字可以重复，则含有奇数个6的数共有______个用数字作答．【答案】219【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：，四位效中有1个数字6，需要在2，0，1，8，7五个数字中取出3个，若取出的数字不含0，有种情况，若取出的数字含有0，有种情况，则此时有个符合条件的四位数；，四位效中有3个数字6，需要在2，0，1，8，7五个数字中取出1个，若取出的数字不是0，有种情况，若取出的数字是0，有3种情况；则此时有个符合条件的四位数；故一共个符合条件的四位数；故答案为：219．根据题意，分2种情况讨论：，四位效中有1个数字6，需要在2，0，1，8，7五个数字中取出3个，，四位效中有3个数字6，需要在2，0，1，8，7五个数字中取出1个，由加法原理计算每一种情况下四位数的数目，将其相加即可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意数字是可以重复的．17.已知函数，若集合，则实数m的取值范围为______．【答案】【解析】解：由，由于集合，即存在使，故．故答案为：利用三角函数的有关公式化简，求解的最小值，可得m的范围．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的值域的应用．三、解答题（本大题共5小题，共5.0分）18.设函数求的值；求在上的值域．【答案】解：．；，，，在上的值域为【解析】利用倍角公式及辅助角公式化简．直接取即可求得的值；由x的范围求出的范围，则在上的值域可求．本题考查三角函数中的恒等变换及化简求值，考查倍角公式及辅助角公式的应用，是中档题．19.如图，已知四棱锥中，底面ABCD为菱形，，是边长为2的正三角形，平面平面ABCD，P为AD的中点，Q为BS的中点．求证：平面SCD；求PA与平面PQC所成角的正弦值．【答案】证明：取SC的中点R，连接QR、DR，由题意知：且，且，且，，又平面SCD，平面SCD，平面SCD．解：以P为坐标原点，PA、PB、PS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则0，，，，，0，，0，，0，，，，设平面PQC的法向量y，，则，取，得2，，设PA与平面PQC所成角为，则．与平面PQC所成角的正弦值为．【解析】取SC的中点R，连接QR、DR，由三角形中位线定理可得且，再由已知可得且，得到且，然后由线面平行的判定可得平面SCD．以P为坐标原点，PA、PB、PS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PA与平面PQC所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.已知函数．求在处的切线方程；求在区间上的取值范国【答案】解：由上可知，又，故切点坐标为，由点斜式可知切线方程为，即切线方程为．由上可知，令，，故在上单调递增，又，故时，，故，则单调递减，时，，故0'/>，则单调递增，故，当时，，时，，故．【解析】利用函数求得切点坐标，再求导求得斜率，借助斜截式写出切线方程；即求函数的值域，先求一阶导，再求二阶导，利用二阶导的正负来判断一阶导的单调性，从而知道原函数的单调性，进而求得值域．利用斜截式求切线方程时，每一步的运算都有一定的难度，要特别注意．求得二阶导数时，结合其表达式特征对其使用均值不等式，求得其正负，利用其正负来判断一阶导的单调性和正负，从而知道原函数的单调性，求得值域．本题目的两问的运算都有相当的难度，再者要注意函数的隐含条件．21.如图，已知椭圆C：的一个顶点为，离心率为．求椭圆C的方程；若直线l与椭园C交于M，N两点，直线BM与线BN的斜率之积为，证明：直线l过定点，并求的面积S的最大值．【答案】解：由题意可知解得，，．椭圆C的方程为：．证明：设MN：，，，联立，化为，，，．，，化为，解得或舍去．点B到直线MN的距离．由，，可知：，令，，，当且仅当，即时，．【解析】由题意可知：，解得即可得出椭圆C的方程；设MN：，，，与椭圆方程联立化为，由利用根与系数的关系代入化简可得：，解得再求得，点B到直线MN的距离d，可得，通过换元利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.已知数列满足：，，．证明：当时，；证明：；证明：，其中为自然对数的底数．【答案】证明：，，．利用数学归纳法证明：时，．假设时，．则当时，，成立．综上可得：当时，．由，．可得：，．．，．由递推公式及的结论有：，利用导数可得：．对两边取对数并利用已知不等式得，即，上式从2到求和可得，，，，，而，时也成立．．【解析】，，利用数学归纳法即可证明．由，可得：，可得利用，即可证明．由递推公式及的结论有：，利用导数可得：．对两边取对数并利用已知不等式得，即，上式从2到求和可得，于是，，可得，而即可证明．本题考查了数列递推关系、数列的单调性、累加求和方法、等比数列的公式、裂项求和方法、放缩法、不等式的性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考卷数学试题【解析版】

浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考卷全解全析1．B【解析】分析：直接求两个集合的交集即可．详解：，故选B．点睛：一般地，对于较为复杂的集合的交并补的运算，我们可以借助数轴或韦恩图来求两个集合的交集．点睛：一般地，等比数列为单调递增数列的充要条件是或．等差数列为单调递增数列的充要条件是公差．3．C【解析】试题分析：此题只要举出反例即可，A,B中由可得,则,可以为任意角度的两平面,A,B均错误.C,D中由可得，则有,故C正确，D错误.考点：线，面位置关系.4．C【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域，通过平移动直线使其与前述区域有公共点来求的最小值．详解：可行域如图所示，当动直线过时，有最大值．又由得，故，故．点睛：二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍，而则表示动点与的连线的斜率．5．B【解析】分析：从三视图看，原来的几何体是一个四棱锥，它按如图所示的形式放置．详解：几何体如图所示，其中为等腰直角三角形，平面平面，四边形为矩形且面积为，点到平面的距离为，故体积为，故选B．点睛：本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．6．B【解析】分析：由题意结合随机变量的性质整理计算即可求得最终结果.详解：随机变量满足，，则：，据此可得：.本题选择D选项.点睛：本题主要考查期望的数学性质，方差的数学性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．B【解析】分析：从图像看，在上，为增函数，在上，是减函数，故可判断为的极小值点．点睛：函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低”的特性，用数学语言描述则是：“在的附近的任意，有（）”．另外如果在附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点．8．B【解析】分析：过作平面的垂线，垂足分别为，则可根据线面角得到的长，而的长度可以用的长度来表示，依据的范围可得到的范围．详解：如图，过过作平面的垂线，垂足分别为，则四边形为直角梯形．在平面内，过作交于．又，，，所以故．又，也即是，所以即，故选B．点睛：空间中线段长度的计算，应归结平面图形中的线段长度的计算，该平面图形的其他量可通过空间中的边角关系得到．9．D【解析】分析：的图像可由三个函数的图像得到（三图垒起，取最下者），然后依据图像逐个检验即可．详解：在同一坐标系中画出的图像（如图所示），故的图像为图中粗线所示．的图像关于轴对称，故为偶函数，故A正确．当时，，；当时，，；当时，，；当时，，此时有，故B成立．从图像上看，当时，有成立，令，则，故，故C成立．取，则，，，故D不成立．综上，选D．点睛：一般地，若（其中表示中的较小者），则的图像是由这两个函数的图像的较低部分构成的．点睛：圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．11．. .【解析】分析：原等式可化成，利用复数的除法可及．详解：由题设有，故，填及．点睛：本题考查复数的四则运算和复数的模，属于基础题．12．或..【解析】分析：先把两边平方得到，利用弦切互化所得方程可以化成关于的方程，解出后可求．详解：由可以得到，故，也就是，整理得到，故或．当时，；当时，．故填或，．点睛：三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.13． 1.21.【解析】分析：题设中给出的等式是恒等式，可令得到．另外，我们可利用二项式定理求出的展开式中的系数和常数项，再利用多项式的乘法得到．详解：令，则．又，而的展开式中的系数为，常数项为，故的展开式中的系数为即．综上，填，．点睛：二项展开式中指定项的系数，可利用赋值法来求其大小，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来求．14．8..【解析】分析：由已知利用余弦定理即可求得的值，进而求得的值，利用余弦定理可求的值.详解：如图，，，.∴根据余弦定理得，即.∴或（舍去）∵点满足∴∴在中，由余弦定理可得.∴故答案为，.点睛：本题主要考查余弦定理解三角形. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.点睛：对于排数问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如偶数、奇数等，可考虑末位数字的特点，还有零不能排首位等；（2）先选后排，比如要求所排的数字来自某个范围，我们得先选出符合要求的数字，在把它们放置在合适位置；（3）去杂法，也就是从反面考虑．16．2.【解析】分析：题设的都是动点，故可设，，从而可表示关于的函数，求出函数的最小值即可．详解：设，，则，所以．又，故．令，则，又，当即时等号成立，故，填．点睛：向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量．17．.【解析】分析：从函数形式上看，中的符号容易判断，当时，，当，，因此当，在有解；当时，在有解，故可求出的取值范围．详解：当时，，所以在有解，则或，也即是或（无解），故）．当，，所以在有解，所以，此不等式组无解．综上，的取值范围为．点睛：含参数的不等式组的有解问题，可借助于函数的图像帮助我们寻找分类讨论的起点．另外，问题解决的过程中要关注函数解析式的特点．18．(1).(2) 时，，时，.【解析】分析：（Ⅰ）从图像可以得到，故，再利用得出的大小.（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，可先计算当时的取值范围，再利用的性质求在相应范围上的最值.详解：（1）由图像可知，又，故.周期，又，∴.∴..（2），∴.当时，，.当时，，.所以，.点睛：函数在给定范围的值域问题，应先求的范围再利用求原来函数的值域，切记不可代区间的两个端点求函数的值域，除非我们能确定函数在给定的范围上是单调的.19．(1)证明见解析.(2).【解析】分析：（Ⅰ）要证平面，只要证明和，两者都可以通过等腰三角形得到.（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的结论可以得到平面平面，因此过作，垂足为，可证平面，因此就是所求的线面角，其正弦值为.详解：（Ⅰ）因为，是的中点，所以.又底面⊙底面⊙，所以，是平面内的两条相交直线，所以平面；点睛：线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20．(1).(2)证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）先求，再求切线的斜率即可得到曲线在处的切线.（Ⅱ）要证，只要，而，故应考虑在上的零点，又，此方程在仅有一个根且为的最小值点，所以待证成立，可估算，故成立.详解：（Ⅰ）所以，则切线方程为.（Ⅱ）令，则，设的两根为，由于，不妨设，则在是递减的，在是递增的.而，所在上存在唯一零点，且，所以在单调递减，在单调递增.所以，，因为，,，所以.点睛：解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.函数不等式的证明，可归结为函数的最值来处理，有时最小值点难以计算时，须估算最小值点的范围.21．(1).(2)32.【解析】分析：（Ⅰ）根据抛物线的准线方程可得，故抛物线的方程可求出.（Ⅱ）求出过的圆的切线的方程后可得两点的横坐标，它们可用及其相应的斜率表示，因此也与这三者相关.再利用圆心到直线的距离为半径得到斜率满足的方程，利用韦达定理和消元后可用关于的函数表示，求出该函数的最小值即可.详解：（Ⅰ）设抛物线的方程为，则，∴，所以抛物线的方程是.（Ⅱ）设切线，即，切线与轴交点为，圆心到切线的距离为，化简得设两切线斜率分别为，则=，当且仅当时取等号.所以切线与轴围成的三角形面积的最小值为32.点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过基本不等式或导数等求得.22．(1).(2) 证明见解析.(3)证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）利用递推关系直接计算.（Ⅱ）因为，结合可以得到，故不等式得证.（Ⅲ），因为，故，所以，，我们只需要证明：，故需证：① .我们可证不等式，总成立，故①成立，也就是原不等式成立.详解：（Ⅰ）解：，则.（Ⅱ）证明：∵，∴，另一方面，，∴.（Ⅲ），且∴∴时，而∴∵.点睛：与指数、对数有关的数列不等式的证明，往往需要根据数列和的结构特点构建函数不等式，常见的函数不等式有：（1）；（2），这些不等式都可以利用导数去证明.。

浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷3

浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷3参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式24πS R =()()()P A B P A P B +=+球的体积公式34π3V R = 如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径)()()(B P A P AB P =棱柱的体积公式V Sh =如果事件A 在一次试验中发生的概率是p 棱锥的体积公式13V Sh =那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：棱台的体积公式：()C (1)(01,2)，，，k kn k n n P k P P k n -=-=13V h =（2211S S S S ++）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}14,2P x x Q x x =-<<=<，那么()P C Q ⋂=R （） A ．[)2,4 B ．()1,-+∞ C ．[)2,+∞ D ．(]1,2-2.已知复数z 满足()21i 1i z+=-(i 为虚数单位），则复数z =（）A ．1+iB ．-1+iC ．1-iD ．-1-i 3．等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．下列函数中，是偶函数且在),0(+∞上是增函数的是（）A ．x y cos =B ．21x y -= C ．||log 3x y =D ．e e x xy -=-5.若，满足约束条件，则y x z 3+=的取值范围是（）A ．[0，9]B ．[0，5]C ．[9，D ．[5，6．函数()()()1g x x f x '=-的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（）x y )+∞)+∞A ．B ．C ．D ．7．设m 为正整数，m y x 2)(+展开式的二项式系数的最大值为a ，12)(++m y x 展开式的二项式系数的最大值为b ，若b a 713=，则m 等于（） A ．5 B ．6C ．7D ．88．已知F 是双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点，以坐标原点O 为圆心，以||OF 为半径的圆与该双曲线的渐近线在y 轴右侧的两个交点记为A ,B 两点，且0120=∠AFB ，则双曲线的离心率是（）A ．2B ．3 C. 2 D ．59．如图，已知正四棱锥P ABCD -的各棱长均相等，M 是AB 上的动点（不包括端点），N 是AD 的中点，分别记二面角P MN C --，P AB C --，P MD C --为,,αβγ则（）A ．γαβ<<B ．αγβ<< C.αβγ<< D ．βαγ<<10.已知0>>b a ，当)(222b a b a -+取得最小值c 时，||||||)(c x b x a x x f -+-+-=的最小值为（）A ．3B ．22C ．5D ．24二、填空题:本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上述问题的已知条件，可求得该女子第1天所织布的尺数为．12.已知直线:1l mx y -=,若直线l 与直线()12x m y +-=垂直，则m 的值为．动直线:1l mx y -=被圆22:280C x x y -+-=截得的最短弦长为．13．一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个几何体的体积．．是，表面积．．．是．14．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向下时，就说这次试验成功，则在3次试验中成功的次数X 的均值是，方差是.15．已知ABC ∆三边分别为,,a b c ，且222a cb ac +=+则边b 所对应的角B 大小为，此时，如果AC =的最大值为． 16．某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节目自修课，其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第8节只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有种.（结果用数字表示）17．已知扇环如图所示，0'112022，，，AOB OA OA P ∠===是扇环边界上一动点，且满足OP xOA yOB =+，则2x y +的取值范围为·AB AC三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分14分）已知函数2π()=4cos cos(+)+13f x x x . （Ⅰ）求π()6f 的值；（Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间．19．（本小题满分15分）如图，空间几何体中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，//,1AB EF AF EF BE ===,DF（Ⅰ）求证：BF ⊥平面ADF ；（Ⅱ）求直线BF 与平面DCEF 所成角的正弦值.20． (本小题满分15分) 已知2()ln ,() 3.f x x x g x x ax ==-+-（Ⅰ）对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln e e x x x>-成立.21.（本小题满分15分）已知椭圆134:221=+y x C 左右焦点分别为21F F 、，抛物线x y C 4:22=，直线1-=my x 与椭圆交于B A 、两点，斜率为1k 的直线2AF 与抛物线交于D C 、两点，斜率为2k 的直线2BF 与抛物线交于FE 、两点（D C 、与F E 、分别在2F 的两侧，如图所示）.（Ⅰ）试求点21,F F 的坐标；（Ⅱ）试用m 分别表示2111k k +，211k k 的值；（Ⅲ）若330≤<m ，试用m 表示EF CD ⋅，并求其最大值.22．（本小题满分15分）已知数列{}n a 中，()()1111,ln 1n n n n a a a a a n *++==-+∈N ，求证：（Ⅰ）10n n a a +<<；（Ⅱ）21121n n nn n n a a a a a a ++≤≤++；（Ⅲ）121n a n n ≤≤+.【参考答案】一、选择题1.A2.B3.A4.C5.D6.C7.B8.C9.D10.A 二、填空题11.315 12.213. 14.4916915.0606+ 16.129617.1[,43三、解答题18．解：（Ⅰ）πππ2ππ5π()=4coscos(+)+1=4cos cos +1666366f 21)23(234-=+-⨯⨯=.（Ⅱ）2π1()=4cos cos(+)+1=4cos (-cos )+132f x x x x x xx x x x 2cos 2sin 312sin 3cos 22--=+--=π=-2sin(2+)6x ，所以，f (x )的最小正周期为π，当ππ3π2π+2+2π+()262k x k k ≤≤∈Z 时，f (x )单调递增，即f (x )的单调递增区间为π2π[π+,π+]()63k k k ∈Z .19．（Ⅰ）证明：等腰梯形ABEF 中，π2,13AB EF AF BE FAB ====⇒∠=，故EF AF BF =⊥，在DFB ∆中，222,BF DF BD BF DF +=⊥，所以BF ⊥平面ADF .(也可以先证明DA ⊥平面ABEF )(Ⅱ)法一：作FO AB ⊥于O ，以,OF OB 为,x y 轴建立空间直角坐标系，则333,0,,0,,0,,222F B E C ⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求得平面DCEF 的法向量为2,0,n ⎛= ⎝⎭，又33,02BF ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，所以2cos ,BF n =，即BF 与平面DCEF 法二：作BG FE ⊥于G ，则平面BCG ⊥平面DCEF ，作BH CG ⊥于H ，则BH ⊥平面DCEF，2,BG BC BG BC BH ==⊥⇒=，所求线面角的正弦值为BH BF . 20．解：（Ⅰ）22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x≤++，设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2(3)(1)()x x h x x +-'=， ①(0,1),()0,()x h x h x '∈<单调递减， ②(1,),()0,()x h x h x '∈+∞>单调递增，所以min ()(1)4h x h ==，对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=. (Ⅱ)问题等价于证明2ln ((0,))e exx x x x >-∈+∞，由（1）可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1-e ，当且仅当1ex =时取到，设2()((0,))e e x x m x x =-∈+∞，则1()e x x m x -'=，易知max 1()(1)em x m ==-，当且仅当1x =时取到，从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln e e xx x>-成立. 21．解：（Ⅰ）由题知：)0,1(),0,1(21F F -，(Ⅱ)设),(),,(2211y x B y x A ，联立方程096)3(13412222=--+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=my y m y x my x ， .39,36221221+-=+=+m y y m m y y 由此得212112212112221121)2()2()1()1(1111y y my y my y y y x y x y y x y x k k -+-=-+-=-+-=+ 310)(22)(222121212112my y y y m y y y y y my =+-=+-=，21212121221121)2()2()1()1()1()1(11y y my my y y x x y x y x k k -⋅-=-⋅-=-⋅-=⋅9164)(222121212-=++-=m y y y y m y y m .(Ⅲ)由抛物线的性质知：2||++=D C x x CD ，联立方程：0)42(4)1(212122121=++-⇒⎩⎨⎧=-=k x k x k xy x k y 212121214242k k k x x +=+=+，所以21442||k x x CD D C +=++=，同理2244||k EF +=，由此得到22221212121211111116111621CD EF k k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⋅=++=++-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦24250625112169819m m ⎛⎫⎛⎫=++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以||||EF CD ⋅的最大值为2)9112(. 22．解：（Ⅰ）先证左边，用数学归纳法 ①当1n =时，110a =>成立；②假设n k =时，0k a >当1n k =+时，11ln(1)k k k k a a a a ++=-+，1(1ln(1))0k k k a a a +++=>，因为ln(1)0k a +>所以有10k a +>，由①②可知，对*n ∀∈N ，都有0n a >，再证明右边，由11ln(1)n n n n a a a a ++=-+得，11ln(1)nn n a a a +=++，因为ln(1)0n a +>所以11ln(1)1nn n a a a +=++>，即1n n a a +>，所以10n n a a +<<. (Ⅱ)因为11ln(1)n n n a a a +=++，则111ln(1)1n n n n n n n a a aa a a a +-=-++++，令()ln(1)f x x x =+-(01)x <≤，1()1011xf x x x -'=-=<++，所以，()ln(1)f x x x =+-在]1,0(上为减函数，max ()(0)0f x f →=，则有ln(1)x x +≤在(0,1]上恒成立，即ln(1)n n a a +≤，所以，1011ln(1)1n n n n n n n a a a a a a a +-=-≥++++，即11n n n aa a +≥+. 另一方面，221211ln(1)21n n n n nn n n n a a a a a a a a a +++-=-++++，令()ln(1)1xf x x x =+-+(01)x <≤， 2221111()01(1)1(1)(1)x x x f x x x x x x +-'=-=-=>+++++，所以，函数()ln(1)1xf x x x =+-+在(0,1]上为增函数，min ()(0)0f x f →=，则有ln(1)1xx x +≥+在(0,1]上恒成立，即ln(1)1n n n a a a +≥+，所以，2210211ln(1)21n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++-=-≤++++，即2121n nn n a a a a ++≤+，综上，21121n n nn n n a a a a a a ++≤≤++. (Ⅲ)由（II ）可知11n n n a a a +≤+，则111n n n a a a ++≥，即1111n na a +-≤，当2n ≥时，1111n n a a -≤-，1n n a ≤，所以，1n a n≥，当1n =时，成立，所以，1n a n≥. 另一方面2121n n n n a a a a ++≤+，则21211n n n n a a a a ++≥+因为01n a <≤，所以，2121212n n n n n n a a a a a a +++≥≥+，则11112n n a a +-≥，当2n ≥时，11112n n a a --≥，则111122n n n a -+≥+=，高考模拟数学试题11 所以，21n a n ≤+当1n =时，成立，综上可得，121n a n n ≤≤+.。

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2018年杭州二中高三仿真考数学试卷第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集，集合,，则Cu（A∩B）=（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：解一元二次不等式求得集合B，之后应用交集中元素的特征，求得集合，再根据全集R，求出，从而求得结果.详解：由可得，所以，从而可求得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，注意把握交集和补集的概念，即可求得结果，属于基础题目.2. 各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则的值为（）A. B. C. D. 或【答案】B详解：设的公比为q（），根据题意可知，得，解得，而，故选B.点睛：该题考查的是数列的有关问题，涉及到的知识点有三个数成等差数列的条件，等比数列的性质等，注意题中的隐含条件.3. 函数f(x)＝sin(wx＋)(w＞0，＜)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线x＝对称，则函数f(x)的解析式为（）A. f(x)＝sin(2x＋)B. f(x)＝sin(2x－)C. f(x)＝sin(2x＋)D. f(x)＝sin(2x－)【答案】D【解析】分析：由函数的周期求得，再由平移后的函数图像关于直线对称，得到，由此求得满足条件的的值，即可求得答案.详解：因为函数的最小正周期是，所以，解得，所以，将该函数的图像向右平移个单位后，得到图像所对应的函数解析式为，由此函数图像关于直线对称，得：，即，取，得，满足，所以函数的解析式为，故选D.点睛：该题考查的是有关三角函数的图像的性质，涉及到的知识点有函数的周期，函数图像的平移变换，函数图像的对称性等，在解题的过程中，需要注意公式的正确使用，以及左右平移时对应的原则，还有就是图像的对称性的应用，结合题中所给的范围求得结果.4. 已知不等式组表示的平面区域的面积为9，若点，则的最大值为（）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】C【解析】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值.详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则，所以平面区域的面积，解得，此时，由图可得当过点时，取得最大值9，故选C.5. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】该立方体是由一个四棱锥和半个圆柱组合而成的，所以体积为，故选D。

6. 在中，“”是“为钝角三角形”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】分析：从两个方向去判断，先看能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.详解：由题意可得，在中，因为，所以，因为，所以，，结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为，所以，即，所以，因此，所以是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，反之，若是钝角三角形，也推不出“，故必要性不成立，所以为既不充分也不必要条件，故选D.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.7. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案.详解：因为，所以，所以是减函数，又因为，所以，，所以，，所以A,B两项均错；又，所以，所以C错；对于D，，所以，故选D.点睛：该题考查的是利用指数函数的单调性比较大小的问题，在解题的过程中，要时刻关注指数幂中底数的取值范围和指数的大小关系，从而求得结果.8. 如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M，N，若，则的值是（）A. B.C. D. 2【答案】C【解析】分析：直线恒过点，由此推导出，根据题意，求出点A的坐标，从而能求出k的值.详解：设抛物线C：是准线为，直线恒过点，过分别作于，于，由，所以点为的中点，连结，则，所以，点A的横坐标为，所以点的坐标为，把代入直线，解得，故答案是.点睛：该题考查的是直线与椭圆相交的有关问题，在解题的过程中，需要充分利用题的条件，灵活运用抛物线的定义，能够发现直线所满足的条件，联立求得点的坐标，代入求得k的值，即得结果.9. 已知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有个红球，个蓝球，同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.（b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为.则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.详解：根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，红球的个数就会出现三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是五种情况，所以分析可以求得，故选A.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.10. 等腰直角三角形的斜边AB为正四面体侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E BCD的体积有最大值和最小值；（2）存在某个位置，使得；（3）设二面角的平面角为，则；（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：首先结合正四面体的特征以及等腰直角三角形在旋转的过程中对应的特点，得到相关的信息，结合题中所给的条件，以及相关的结论，认真分析，逐一对比，得到结果.详解：根据正四面体的特征，以及等腰直角三角形的特征，可以得到当直角边绕斜边旋转的过程中，存在着最高点和最低点，并且最低点在底面的上方，所以四面体E BCD的体积有最大值和最小值，故(1)正确；要想使，就要使落在竖直方向的平面内，而转到这个位置的时候，使得满足，但是就不满足是等腰直角三角形了，所以(2)不正确；利用二面角的平面角的定义，找到其平面角，可以判断得出设二面角的平面角为，则，所以(3)是正确的；根据平面截圆锥所得的截面可以断定，AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆，所以(4)正确；故正确的命题的个数是3个，故选C.点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 已知，复数且（为虚数单位），则__________，_________．【答案】(1). (2).【解析】∵复数且∴∴∴∴，故答案为，12. 双曲线的焦距是__________，渐近线方程是_________．【答案】(1). 6(2).【解析】由题得所以焦距,故第一个空填6.由题得渐近线方程为.故第二个空填.13. 设(+x) 10＝a 0 + a1 x + a2 x 2 +…+ a10 x 10，则_______，(a0 + a2 + a4 +…+ a10) 2－(a1 + a3 + a5 +…+ a9) 2 的值为_________．【答案】(1). 720(2). 1【解析】分析：首先根据题中所给的二项展开式的特征，利用其展开式的通项，求得对应项的系数，再者就是分析式子的特点，对x进行赋值，从而求得结果.详解：展开式的通项为，令，得，所以；因为所以，令，得，令，得，所以，两式相乘得.点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式的通项，利用通项求特定项的系数，赋值法求值等，在解题的过程中，需要时刻注意所用结果的正确性，不能记混了.14. 在中，，．若，则_________．【答案】【解析】分析：首先设出相应的直角边长，利用余弦勾股定理得到相应的斜边长，之后应用余弦定理得到直角边长之间的关系，从而应用正切函数的定义，对边比临边，求得对应角的正切值，即可得结果.详解：根据题意，设，则，根据，得，由勾股定理可得，根据余弦定理可得，化简整理得，即，解得，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余弦值，利用余弦定理得到相应的等量关系，求得最后的结果.15. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是________；若向量，则的最小值为_________.【答案】(1). (2).【解析】分析：首先根据图形的特征，建立适当的平面直角坐标系，根据正方形的边长，设出点P的坐标，利用终点坐标减去起点坐标，得到对应向量的坐标利用向量数量积坐标公式求得结果；再者就是利用向量相等得到坐标的关系，将其值转化为对应自变量的函数关系，结合自变量的取值范围，求得最小值.详解：如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，结合题意，可知，所以，因为，所以，所以，所以的范围是；根据，可得，即，从而可以求得，所以，因为，所以，所以当取得最大值1时，同时取得最小值0，这时取得最小值为，所以的最小值是.点睛：该题考查的是有关向量的问题，在解题的过程中，注意建立相应的坐标系，将向量坐标化，从而容易求解，再者就是利用向量相等的条件是坐标相等，得到关于的关系式，利用三角式子的特征求得相应的最值.16. 工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不．能连续．．．固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．【答案】60【解析】分析：首先将选定第一个钉，总共有6种方法，假设选定1号，之后分析第二步，第三步等，按照分类加法计数原理，可以求得共有10种方法，利用分步乘法计数原理，求得总共有种方法.详解：根据题意，第一个可以从6个钉里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号钉的时候，第二个可以选3,4,5号钉，依次选下去，可以得到共有10种方法，所以总共有种方法，故答案是60. 点睛：该题考查的是有关分类加法计数原理和分步乘法计数原理，在解题的过程中，需要逐个的将对应的过程写出来，所以利用列举法将对应的结果列出，而对于第一个选哪个是机会均等的，从而用乘法运算得到结果.17. 已知函数的最小值为2，则_________．【答案】【解析】分析：首先利用绝对值的意义去掉绝对值符号，之后再结合后边的函数解析式，对照函数值等于2的时候对应的自变量的值，从而得到分段函数的分界点，从而得到相应的等量关系式，求得参数的值.详解：根据题意可知，可以发现当或时是分界点，结合函数的解析式，可以判断0不可能，所以只能是是分界点，故，解得，故答案是.点睛：该题考查的是有关函数的最值问题，在解题的过程中，需要先将绝对值符号去掉，之后分析函数解析式，判断函数值等于2时对应的自变量的值，再利用其为最小值，得到相应的分段函数的分界点，从而得到结果.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．18. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C；(2)运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值.详解：（1），，（Ⅱ）取中点，则，在中，，（注：也可将两边平方）即，，所以，当且仅当时取等号．此时，其最大值为.点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.19. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠AB D=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF；（Ⅱ）若二面角C BF D的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面BDEF；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求CF与平面ABCD所成角的正弦值；也可以应用常规法，作出线面角，放在三角形当中来求解.详解：（Ⅰ）在△ABD中，∠ABD＝30°，由AO2＝AB2+BD2－2AB·BD cos30°，解得BD＝，所以AB2+BD2=AB2，根据勾股定理得∠ADB＝90°∴AD⊥BD.又因为DE⊥平面ABCD，AD平面ABCD，∴AD⊥DE.又因为BD DE＝D，所以AD⊥平面BDEF，又AD平面ABCD，∴平面ADE⊥平面BDEF，（Ⅱ）方法一：如图，由已知可得，，则，则三角形BCD为锐角为30°的等腰三角形.则.过点C做，交DB、AB于点G，H，则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG，则，DE⊥平面ABCD，则平面.过G做于点I，则BF平面，即角为二面角C BF D的平面角，则60°.则，，则.在直角梯形BDEF中，G为BD中点，，，，设，则，，则.，则，即CF与平面ABCD所成角的正弦值为．（Ⅱ）方法二：可知DA、DB、DE两两垂直，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 设DE＝h，则D(0，0，0)，B(0，，0)，C(－，－，h).，.设平面BCF的法向量为m＝(x，y，z)，则所以取x=，所以m＝(，-1，－)，取平面BDEF的法向量为n＝(1，0，0)，由，解得，则，又,则，设CF与平面ABCD所成角为，则sin=.故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为点睛：该题考查的是立体几何的有关问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，线面角的正弦值，在求解的过程中，需要把握面面垂直的判定定理的内容，要明白垂直关系直角的转化，在求线面角的有关量的时候，有两种方法，可以应用常规法，也可以应用向量法.20. 设函数，，（Ⅰ）求曲线在点（1,0）处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】分析：(1)先断定在曲线上，从而需要求，令，求得结果，注意复合函数求导法则，接着应用点斜式写出直线的方程；(2)先将函数解析式求出，之后借助于导数研究函数的单调性，从而求得函数在相应区间上的最值.详解：（Ⅰ）当，. ，当，，所以切线方程为.（Ⅱ）,,因为，所以.令，，则在单调递减，因为，所以在上增，在单调递增.,,因为，所以在区间上的值域为.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线在某个点处的切线方程的求法，复合函数求导，函数在给定区间上的最值等，在解题的过程中，需要对公式的正确使用.21. 如图，焦点在轴上的椭圆与焦点在轴上的椭圆都过点，中心都在坐标原点，且椭圆与的离心率均为．（Ⅰ）求椭圆与椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点M的互相垂直的两直线分别与，交于点A，B（点A、B不同于点M），当的面积取最大值时，求两直线MA，MB斜率的比值.【答案】（1），（2）【解析】分析：(1)根据题的条件，得到对应的椭圆的上顶点，即可以求得椭圆中相应的参数，结合椭圆的离心率的大小，求得相应的参数，从而求得椭圆的方程；(2)设出一条直线的方程，与椭圆的方程联立，消元，利用求根公式求得对应点的坐标，进一步求得向量的坐标，将S表示为关于k的函数关系，从眼角函数的角度去求最值，从而求得结果.详解：（Ⅰ）依题意得对：，，得：；同理：.（Ⅱ）设直线的斜率分别为，则MA：，与椭圆方程联立得：，得，得,，所以同理可得.所以,从而可以求得因为，所以，不妨设，所以当最大时，，此时两直线MA，MB斜率的比值.点睛：该题考查的是有关椭圆与直线的综合题，在解题的过程中，注意椭圆的对称性，以及其特殊性，与y轴的交点即为椭圆的上顶点，结合椭圆焦点所在轴，得到相应的参数的值，再者就是应用离心率的大小找参数之间的关系，在研究直线与椭圆相交的问题时，首先设出直线的方程，与椭圆的方程联立，求得结果，注意从函数的角度研究问题.22. 已知数列满足：，，且对任意的都有,（Ⅰ）证明：对任意，都有；（Ⅱ）证明：对任意，都有；（Ⅲ）证明：.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】分析：(1)用反证法证明，注意应用题中所给的条件，有效利用，再者就是注意应用反证法证题的步骤；(2)将式子进行相应的代换，结合不等式的性质证得结果；(3)结合题中的条件，应用反证法求得结果.详解：证明：（Ⅰ）证明：采用反证法，若不成立，则若,则,与任意的都有矛盾；若,则有,则与任意的都有矛盾；故对任意，都有成立；（Ⅱ）由得，则，由（Ⅰ）知，，即对任意，都有；.（Ⅲ）由（Ⅱ）得：，由（Ⅰ）知，，∴，∴，即，若，则,取时，有，与矛盾.则. 得证.点睛：该题考查的是有关命题的证明问题，在证题的过程中，注意对题中的条件的等价转化，注意对式子的等价变形，以及证题的思路，要掌握证明问题的方法，尤其是反证法的证题思路以及证明步骤.。