2012年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题(word版)
2012各省高中数学联赛预赛试题汇编(续)(含答案)(精)
山东省2012届高中数学夏令营数学竞赛（及答案）一.填空题(本题共5道小题,每小题8分,满分40分)1.函数f(x)=题)解:f(x)=立,所以,f(x)最大=.2.如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称a为“吉祥数”, 将所有吉祥数从小到大排成一列a1,a2,…,an.若an=2012.则n=_______________. (王继忠供题)解:设x1x2 xm为吉祥数,则x1+x2+…+xm=5,由x1≥1和x2,…,xm≥0得44Cm+2个吉(x1-1)+x2+…+xm=4,所以,x1x2 xm为第Cm+3个吉祥数.1x2 xm为第的最大值是________________ ; (王泽阳供≤,=即x=12时成祥数.由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共C54C6=154=5个,三位吉祥数共个,=15因以1为首位的四位吉祥数共C64数为:个,以2为首位的前两个四位吉祥2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38.3.已知f(x)是2011次多项式,当n=0,1,…,2011时,f(n)=nn+1.则f(2012)=______; (王林供2012各省高中数学竞赛预赛汇编第 1 页交流学习提高题)解:当n=0,1,…,2011时, (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x有2012个根, 设(x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2)…(x-2011). 取x=-1,则1=2012!a.故a=12012!,x(x-1)(x-2) (x-2011)2012!(x+1)2012!2012!2013+20122013=20132013f(x)=+xx+1,f(2012)==1.4.将圆周上5个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆时针方向,第1步转过1个间隔将到达的那个点染红,第2步转过2个间隔将到达的那个点染红,第k步转过k个间隔将到达的那个点染红.一直进行下去,可得到_________个红点. (龚红戈供题)解:将5个点依次编号0—4,且不妨设开始染红的是0号点,则第1步染红的是1号点,第2步染红的是3号点,第3步染红的又是1号点.故共可得3个红点.5.如图，设O,I分别为∆ABC的外心、内心，且∠B=60 ，AB＞BC，∠A的外角平分线交⊙O于D，已知AD=18,则OI=_____________.(李耀文供题)解: 连接BI并延长交⊙O于E,则E为弧AC的中点.连OE、AE、CE、OC，由∠B=60 ，易知∆AOE、∆COE均为=IE=CE正三角形.由内心的性质得知：AEA,所以、O、I、C四点共圆,且圆心为E.再延长AI交⊙O于F,=2∠OAI由题设知D、O、F共线，于是∠OEI,∠AOD=2∠AFD=2∠OAI,2012各省高中数学竞赛预赛汇编第 2 页交流学习提高又OA=OD=OE=IE, 从而∆OAD≌∆EOI, 故OI=AD=18.二.解答题(本题共5道小题,每小题20分,满分100分)6.证明:对任给的奇素数p,总存在无穷多个正整数n使得p|(n2n-1).(陈永高供题)证明:取n=(p-1)k,则由费尔马小定理知2(p-1)k⇔(p-1)k∙2(p-1)k≡1(modp),所以, p|(n2n-1)≡1(modp)⇔(p-1)k≡1(modp)⇔k≡-1(modp).2(p-1k)取k=pr-1(r∈N*),即n=(p-1)(pr-1),就有(p-1)k∙p|(n2n-1).≡1(mopd)即7.如图，已知P是矩形ABCD内任意一点，延长BP交AD于E，延长DP交AB 于F，延长CP中豪供题)证法1: 设CG交AD于Q,由∠∠AGB＝∠CGD知△ABG∽△QDG交于R，由AD∥BR, AD=BC得AFFB=BCBR①BCBR=QEED又由△CPB∽△QPE及△RPB∽△DPE得由①,②得AFFB=QEED②,表明F,E是△ABG,△QDG的相似对应点,故得△FBG∽△EDG.所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900, 即GE⊥GF. 2012各省高中数学竞赛预赛汇编第 3 页交流学习提高证法2:联结GB,GD,令∠GCB=α,∠GCD=β, 由正弦定理得:=BFsin∠BFPGBGD⋅=sinαsinβ=BPsin∠PBCDPsin∠PDCBFDEsin∠PBCDEsin∠DEPsin∠PDC=,由∠GBF＝∠GDE得△FBG∽△EDG.所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900, 即GE⊥GF.8.对于恰有120个元素的集合A.问是否存在子集A1,A2,…,A10满足: (1)|Ai|=36,i=1,2,…,10; (2)A1∪A2∪…∪A10=A;(3)|Ai∩Aj|=8,i≠j.请说明理由. (刘裕文供题) 解:答案:存在.3考虑长度为10的0,1数列.其中仅3项为1的恰有C10=120个,每个作为集合A的一个元素.2对每个j=1,2,…,10,第j项为1的0,1数列恰有C9=36个,它们是集合Aj的36个元素.对每对i,j∈{1,2,…,10}(i<j),第i项与第j项均为11的0,1数列恰有C8=8个,它们是Ai∩Aj的元素.综上知,存在满足条件的10个子集.9.求最小的正整数m,n(n≥2),使得n个边长为m的正方形,恰好可以割并成n个边长分别为1,2,…,n的正方形. (邹明供题)解:依题意n个边长为m的正方形,恰好可以割并成n个边长分别为2012各省高中数学竞赛预赛汇编第 4 页交流学习提高1,2,…,n的正方形⇔12+22+…+n2=nm2,即6m2=(n+1)(2n+1),则(n+1)(2n+1)=2n2+3n+1≡0(mod6),由n2≡0,1,3,4(mod6)知n≡±1(mod6).若6|n+1,设n=6k-1(k∈N),得m2=k(12k-1),因(k,12k-1)=1,所以k与12k-1都是完全平方数,但12k-1≡3 (mod4)矛盾!若6|n-1,设n=6k+1(k∈N),得m2=(3k+1)(4k+1),因(3k+1,4k+1)=1,所以,3k+1=v2,4k+1=u2,消去k得4v2-3u2=1,v=u=1时,k=0,n=1,但n≥2,故u>1,v>1.由4v2-3u2≡1(mod8)知u,v为奇数,直接计算得umin=15,vmin=13,k=56,所以,m最小=15³13=195,n最小=337.10.设实系数三次多项式p(x)=3x+ax+bx+c32有三个非零实数根.求证:6a3+10(a2-2b)2题) -12ab≥27c. (李胜宏供证明:设α,β,γ为p(x)=0的三个根,由根与系数关系⎧α+β+γ=-a⎪⎨αβ+βγ+γα=b⎪αβγ=-c⎩222得: 3a-2b=α+β+γ.原式⇔6a(a-2b)+10(a-2b)2≥27c3222222222⇔6(α+β+γ)(α+β+γ)-10(α+β+γ)2≤27αβγ ①.222若α+β+γ=0,则①成立.2012各省高中数学竞赛预赛汇编第 5 页交流学习提高若α2+β2+γ2>0,不妨设|α|≤|β|≤|γ|,由①的齐次性,不妨设α+β+γ222=9,则γ2≥3,2αβ≤α+β22=9-γ2≤6.①⇔2(α+β+γ)-αβγ≤10.因[2(α+β+γ)-αβγ]=[2(α+β)+(2-αβ)γ]≤[4+(2-αβ)][(α+β)+γ]232 =[8-4αβ+(αβ)](9+2αβ)=2(αβ)+(αβ)-20(αβ)+72 22222=(αβ+2)(2αβ-7)+100≤100,所以,2(α+β+γ)-αβγ≤10.故原式2成立.二Ｏ一二年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷(2012 年6 月24 日上午9:00-11:30)考生注意: 1、本试卷共两大题(12 道小题),全卷满分120 分.2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3、解题书写不要超出装订线.4、不能使用计算器.一、填空题( 本题满分56 分,每小题7 分)1. 空间四点 A ，B ，C ，D两两间的距离均为1，点P 与点Q分别在线段AB 与CD上运动，则点 P 与点Q间的最小距离为____________；⎧⎪0≤OP⋅OA≤1,则点2.向量OA=(1,0),OB=(1,1),O为坐标原点，动点P(x,y)满足⎨⎪⎩0≤OP⋅OB≤2Q(x+y,y)构成的图形的面积为3. 设有非空集合A⊆{1,2,3,4,5,6,7}且当a∈A时，必有8-a∈A，这样的集合A的个数是_____________；⎧⎪x-[x],x≤0,其中[x]表示不超过x的最大整数，4.设f(x)=⎨若f⎪⎩f(x-1),x>0(x)=kx+k(k>0)有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是5. 11位数的手机号码，前七位数字是1390931，若余下的4 个数字只能是1、3 、5 且都至少出现1 次, 这样的手机号码有___________个；6.若tanx1⋅tanx2⋅⋅tanx2012=1,则sinx1⋅sinx2⋅⋅sinx2012的最大值是2012各省高中数学竞赛预赛汇编第 6 页交流学习提高7.设函数f:R→R，满足f(0)=1且对任意x,y∈R都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则f(x)= ；8.实数x,y,z满足x2+y2+z2=1，则xy+yz的最大值为二、解答题( 本题满分 64 分, 第 9、10 题每题14 分，第11、12 题每题18 分)9.已知数列{an}满足an+1+an-1an+1-an+1=n(n∈N*)，且a2=6。
2012年全国高中数学联赛各省预赛试题分类汇编3——三角函数
y =cos ∣x∣
y =−ln∣sinx∣
二、填空题
1.（天津）函数 y =1 cosx , x ∈[− , ] 的图像与 x 轴围成的区域的面积为 2.（天津）如果对一切正实数 x，y 都有不等式 则实数 a 的取值范围是 y 9 − cos 2 x ≥a sinx – 成立， 4 y
3.（河北高三）在∆ABC 中，角 A、B、C 的对边为 a、b、c， S = a2 − b− c 2 ， A 则 tan = 2 4.（吉林）已知∆ABC 中，D 为 AC 的中点，AB=3，BD=BC，∆ABC 的面积为 3， 则角 A 的大小等于 5.（山东）函数 y =cos 2x 2sinx , x ∈ 0 , 2 的单调递减区间为 6.（福建）已知函数 f x = 3 sin 2 x 2cos2 x a ，若 f x 在区间 最小值为-1，则 a 的值为
5.（江苏）解关于 x 的方程
cos 2
3 x 3 cos 2 − 4 x sin = 0 2 2
6.（安徽）已知∆ABC 的周长为 1，并且 sin2A sin2B = 4 sinA sinB 。 （1）证明：∆ABC 是直角三角形； （2）求∆ABC 面积的最大值。
ห้องสมุดไป่ตู้
tan
2
2 ，则角 的度数为
9.（湖北）已知 3 sin 2 2sin 2 =1 ， 3 sin cos 2− 2 sin cos 2=1 ， 则 cos = 10.（四川）已知锐角 A、B 满足 tan(A+B)=2tanA，则 tanB 的最大值是 11.（甘肃）若 tanx 1⋅tanx 2⋅⋯⋅tanx 2012 =1 ， 则 sinx 1⋅sinx 2⋅⋯⋅sinx 2012= 1 的最大值为 12.（黑龙江）函数 f x =2sin x 0 在 最大值是
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（陕西卷）
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（陕西卷）无
【期刊名称】《新高考：高二数学》
【年(卷),期】2012(000)007
【总页数】7页(P88-91,I0044-I0046)
【作者】无
【作者单位】不详
【正文语种】中文
【中图分类】G41
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2012年全国高中数学联赛加赛试题(A)及参考答案word版
２０１２年全国高中数学联赛加试试题（A 卷）一、（本题满分４０分）如图，在锐角ABC ∆中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得.BAM CAN ∠=∠设ABC ∆和AMN ∆的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A三点共线。
证明：如图.连接12,AO AO ,过A 点作1AO 的 垂线AP 交BC 的延长线于点P ,则AP 是1O 的切线.因此B PAC ∠=∠……………………………10分因为,BAM CAN ∠=∠所以AMP B BAM PAC CAN PAN ∠=∠+∠=∠+∠=∠…………20分AB因而AP 是AMN 的外接圆2O 的切线…………………30分 故2.AP AO ⊥所以12,,O O A 三点共线。
………………………………40分二、（本题满分４０分）试证明：集合{}22,2,,2,n A = 满足（１）对每个a A ∈，及b N *∈，若21b a <-，则(1)b b +一定不是2a 的倍数； （２）对每个a A ∈（其中A 表示A 在Ｎ 中的补集），且1a ≠，必存在b N *∈，21b a <-，使(1)b b +是2a 的倍数．证明:对任意的a A ∈,设2,,k a k N *=∈则122,k a +=如果b 是任意一个小于21a -的正整数,则121b a +≤-………………………………………10分由于b 与1b +中,一个为奇数,它不含素因子2,另一个是偶数,它含素因子2的幂的次数最多为k ,因此(1)b b +一定不是2a 的倍数；…………………20分 若a A ∈,且1,a ≠设2,k a m =⋅其中k 为非负整数,m 为大于1的奇数, 则122k a m +=⋅……………………………………………………………30分 下面给出(2)的三种证明方法:证法一:令1,12,k b mx b y +=+=消去b 得12 1.k y mx +-= 由于1(2,)1,k m +=这方程必有整数解;1002k x x ty y mt+⎧=+⎪⎨=+⎪⎩其中00,(,)t z x y ∈为方程的特解. 把最小的正整数解记为(,),x y **则12k x *+<,故21,b mx a *=<-使(1)b b +是2a 的倍数．……………………40分证法二:由于1(2,)1,k m +=由中国剩余定理知,同余方程组10(mod 2)1(mod )k x x m m +⎧=⎨=-⎩在区间1(0,2)k m +上有解,x b =即存在21,b a <- 使(1)b b +是2a 的倍数．……………………………………40分证法三:由于(2,)1,m =总存在(,1),r r N r m *∈≤-使21(mod )r m = 取,t N *∈使1,tr k >+则21(mod )tr m =存在1(21)(2)0,,tr k b q m q N +=--⋅>∈使021,b a <<-此时1,21,k m b m ++因而(1)b b +是2a 的倍数．……………40分 三、（本题满分５０分）设012,,,,n P P P P 是平面上1n +个点，它们两两间的距离的最小值为(0)d d > 求证：01020()3n dP P P P P P ⋅⋅>证法一:不妨设01020.n P P P P P P ≤≤≤先证明:对任意正整数k ,都有0k P P >显然,0k P P d ≥≥对1,2,,8k = 均成立,只有8k =时右边取等号……10分所以,只要证明当9k ≥时,有0k P P >即可.以(0,1,2,,)i P i k = 为圆心,2d为半径画1k +个圆,它们两两相离或外切;以0P 圆心，02k dP P +为半径画圆，这个圆覆盖上述1k +个圆………………20分所以2200()(1)()1)222k k d d dP P k P P ππ+>+⇒>……………………30分由9k ≥易知>40分所以0kP P >对9k ≥时也成立.综上,对任意正整数k 都有0k P P >.因而01020()3n dP P P P P P ⋅⋅> (50)分证法二: 不妨设01020.n P P P P P P ≤≤≤以(0,1,2,,)i P i k = 为圆心,2d为半径画1k +个圆,它们两两相离或外切;…10分 设Q 是是圆i P 上任意一点,由于00000013222i ii k k k d P Q P P PQ P P P P P P P P ≤+=+≤+=……………………………20分因而,以0P 为圆心,032k P P 为半径的圆覆盖上述个圆…………………30分故22003()(1)()1,2,,)22k k d P P k P P k n ππ>+⇒>= ……………………40分所以01020()3n dP P P P P P ⋅⋅> ………………………………………50分四、（本题满分５０分） 设1112n S n=+++ ，ｎ是正整数．证明：对满足01a b ≤<≤的任意实数,a b ，数列{[]}n n S S -中有无穷多项属于(,)a b ．这里，[]x 表示不超过实数ｘ的最大整数． 证法一:(1)对任意n N *∈,有21111232n n S =++++ 121111111()()2212212n n -=++++++++22111111()()22222n n >+++++++111112222n =++++> (10)分令001[]1,[]1,n N m S b a =+=+-则00011,,n N b a S m m n b a N <<-<≤+-……………………………20分又令(1)12t m N +=,则(1)121,t m NS S m m b +=>+≥+因此存在01,,n N N n N *∈<<使得,n m a S m b +<<+所以[](,)n n S S a b -∈…………………………………………………..30分 不然一定存在0,N k <使得1,,k k S m a S m b -≤+≥+因此1,k k S S b a --≥- 这与1011k k S S b a k N --=<<-矛盾.所以一定存在,n N *∈使得[](,)n n S S a b -∈ (40)分(2)假设只有有限个正整数12,,,,k n n n 使得[](,),(1)jj n n S S a b j k -∈≤≤令{}1[],min jj nn j kc S S ≤≤=-则,a c b <<则不存在,n N *∈,n N *∈使得[](,),n n S S a c -∈这与（1）的结论矛盾. 所以数列{}[]n n S S -中有无穷多项属于(,)a b .终上所述原命题成立………………………………………50分证法二:(1)21111232n n S =++++ 121111111()()2212212n n -=++++++++22111111()()22222n n >+++++++ 111112222n =++++> (10)分因此,当n 充分大时,n S 可以大于如何一个正数, 令01[]1,N b a =+-则01,N b a>-当0k N >时, 1011k k S S b a k N --=<<-……………………………………20分因此,对于如何大于0N S 的正整数,m 总存在0,n N >使(,),n S m a b -∈ 即,n m a S m b +<<+否则,一定存在0,k N >使1,k S m a -≤+且,k S m b ≥+ 这样就有1,k k S S b a --≥- 而1011,k k S S b a kN --=<<-矛盾. 故一定存在0,n N >使得,n m a S m b +<<+…………………30分 令0[](1,2,3,),i N m S i i =+= 则0,i N m S >故一定存在10,n N >使ii n i m a S m b +<<+,因此[]ii i ni n n a S m S S b <-=-< (40)分这样的i 有无穷多个,所以数列{}[]n n S S -中有无穷多项属于(,)a b ……………50分。
2012年全国高中数学联赛模拟卷(5)(一试+二试,附详细解答)
2012年全国高中数学联赛模拟卷(5)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）__________1. 正八边形87654321A A A A A A A A 边长为1，任取两点j i A A ，则21A A A A j i ⋅最大值为__________2. 若ii ikk k kxa x x f C-==∑∑=--=20072007020072007)3()1()(，则∑=20071k ka＝_________3. 若关于x 的方程0142)6(22222=+-+++-+-b a b a x b b a x 的两个实数根21,x x 满足,1021≤≤≤x x 则4422+++a b a 的最小值为______________, 最大值分别为____________4. 设P 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1右支上一动点，过P 向两条渐近线作垂线，垂足分别为点B A ,，若点B A ,始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e 的取值范围是___________. 5. 对于实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数。
对于某个整数k ，恰存在2008个正整数200821,,,n n n ，满足[][][]320083231n n n k ====，并且k 整除)2008,2,1( =i n i，则k =___________.6. A 、B 两队进行乒乓球团体对抗赛，每队各三名队员，每名队员出场一次。
A 队的三名队员是321,,A A A ，B 队三名队员是B 1, B 2, B 3,，且i A 对j B 的胜率为ii +j(1≤i , j ≤3)，A 队得分期望的最大可能值是________.7. △ABC 的三边长分别为13, 14, 15, 有4个半径同为r 的圆O , O 1, O 2, O 3放在△ABC 内，并且⊙O 1与 边AB 、AC 相切，⊙O 2与边BA 、BC 相切，⊙O 3与边CB 、CA 相切，⊙O 与⊙O 1, O 2, O 3相切, 则r =_________. 8. 设,a b都是正整数，且(1001a +=，则ab 的个位数字是__________二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．已知：实数),,2,1(n i a i =满足1(1,2,,)ia i n i≥= ，证明：1212112(1)()()(12)2(1)!nn na a a a a na n n +++≥+++++10. 已知数列}{n a 由222*11112,,()3n nn a a a a a n N +-==++∈ 确定, 若对于任意*N n ∈，12111111nM a a a ++<+++ 恒成立。
2012年高考数学理科陕西卷-答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学答案解析【解析】{|M x ={|1M N x =【提示】根据集合的表示法（描述法）即可求出集合的交集． 【考点】集合的基本运算（交集）1(2,2,1)AB ∴=-，1(0,2,BC =11cos ,AB BC =故选A ．【提示】根据空间直角坐标系用空间向量即可求出异面直线夹角的余弦值．【解析】()(1f x '=1,)-+∞递增，．12)20C =．【解析】15r r T C +=【提示】根据二项式定理及其性质求出【考点】二项式定理【解析】1()f x x'=其中最优解是(0,1)-【提示】根据导函数求出切线方程，【解析】Rt DEF △DF BD ， 又由相交弦定理得=155DE AE EB =⨯=，5DF BD ∴=．DF DB ，然后根据相交弦定理求出结果．（坐标系与参数方程）【答案】3 【解析】（Ⅰ）13A +=又函数图象相邻对称轴的距离为半个周期，π，（Ⅱ）2f α⎛⎫= ⎪⎝⎭62α-=⎪⎭π02α<<， 6α∴-<πα∴-=【答案】（Ⅰ）5a ，3a ，3q ，10a ≠（Ⅱ）证法一：（等差中项法）k +∈N ，证法二：（公式法）2(1)21k k a q S q-=-，21)(1k q a q ++0(2)q =-，【答案】（Ⅰ）证法一：（向量法）如图过直线b 上任一点作平面方向向量分别为a ，b ，c ，n ，则b ，c ，n 共面，使c b n λμ=+， 0a c a b n a b a n λμλμ∴=+=+=（）（）（）， πa ⊂，πn ⊥， 0a n ∴=， 0a c ∴=，a c ∴⊥；证法二：（利用垂直关系证明）如图，c b A =，a b ⊥，PO b P =， c ⊂平面a c ∴⊥；32e =，21a ∴-216a ∴=，2OB OA =，O ∴，A ，∴设直线AB 方程为14k +2OB OA =，214x x ∴=216164k ∴=+1(1)2f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ∴在又当x ∈。
2012年全国高中数学联赛试题详细解析
2012年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．1.设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向 直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值是 ．2.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=， 则tan tan AB的值是 .3.设,,[0,1]x y z ∈，则M =是 .4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的 两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ， 则||||MN AB 的最大值是 . 5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45o，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是 ．6.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 7.满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是 ． 8.某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）已知函数131()sin cos 2,,022f x a x x a a R a a =-+-+∈≠ （1）若对任意x R ∈，都有()0f x ≤，求a 的取值范围； （2）若2a ≥，且存在x R ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围．10.（本小题满分20分）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23331212()n n a a a a a a +++=+++L L（1）当3n =时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ;（2）是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20132012?a =-若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． 11.（本小题满分20分）如图，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==．（1）求证：||||OA OC ⋅为定值；（2）当点A 在半圆22(2)4x y -+=（24x ≤≤）上运动时， 求点C 的轨迹．2012年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40分）如图，在锐角ABC ∆中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得.BAM CAN ∠=∠设ABC ∆和AMN ∆的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A三点共线。
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案2012年全国高中数学联赛一试及加试试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．21.设P 是函数y x （x 0 ）的图像上任意一点，过点P 分别向x直线y x 和y 轴作垂线，垂足分别为 A B ，则PA PB 的值是_____________. 32.设ABC 的内角A B C 的对边分别为a b c ，且满足a cos B b cos A c ，5 tan A则的值是_____________. tan B3.设x y z 01 ，则M x y y z z x 的最大值是_____________.4.抛物线y 2 px p 0 的焦点为F ，准线为l ， A B 是抛物线上的2两个动点，且满足AFB ．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，3 MN 则的最大值是_____________. AB 5．设同底的两个正三棱锥P ABC 和Q ABC 内接于同一个球．若正三棱锥P ABC 的侧面与底面所成的角为45 ，则正三棱锥Q ABC 的侧面与底面所成角的正切值是_____________.6.设f x 是定义在R 上的奇函数，且当x 0 时，f x x ．若对任意的x a a 2 ，不等式f x a 2 f x 恒成立，则实数a 的取值范围是_____________. 1 17．满足sin 的所有正整数n 的和是_____________. 4 n 38．某情报站有A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使用 A 种密码的概率是_____________.（用最简分数表示）二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．1 3 19．（本小题满分16分）已知函数 f x a sin x cos 2 x a a R a 0 2 a 2（1）若对任意x R ，都有f x 0 ，求 a 的取值范围；（2）若 a 2 ，且存在x R ，使得f x 0 ，求a 的取值范围．10．（本小题满分２０分）已知数列an 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有a1 a2 an 2 a13 a2 an 3 3（1）当n 3 时，求所有满足条件的三项组成的数列a1 a2 a3 （2）是否存在满足条件的无穷数列an ，使得a2013 2012 若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．11．（本小题满分20分）如图5，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为 4 ，OB OD 6 ．且（1）求证：OA OC 为定值；（2）当点A在半圆x 2 y 4 （2 x 4 ）上运动时，求2 2点C 的轨迹．2012 年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40 分）如图，在锐角ABC 中，AB AC M N 是BC 边上不同的两点，使得BAM CAN . 设ABC 和AMN 的外心分别为O1 O2 ，求证：O1 O2 A 三点共线。
2012年全国各地高中数学竞赛试题(不含答案)
2012年高中数学竞赛试题2012年北京市高中数学初赛（高一） (2)2012年北京市高中数学复赛（高一） (4)2012年湖北省高中数学预赛（高一） (5)2012年湖北省高中数学预赛（高二） (6)2012年福建省高中数学预赛（高一） (7)2012年河南省高中数学预赛（高一） (9)2012年江苏高中数学竞赛（初赛） (11)2012年上海市高中数学竞赛（新知杯） (12)2012年四川省高中数学预赛 (13)2012年陕西省高中数学预赛 (15)2012年河北省高中数学预赛 (17)2012年甘肃省高中数学预赛 (19)2012年安徽省高中数学预赛 (20)2012年山东省高中数学预赛 (21)2012年浙江省高中数学预赛 (23)2012年北京市高中数学初赛（高一）一、 选择题（满分36分=6×6分）1． f (x )=�2+x ,x >05, x =02x , x <0,则f (−2)+f (0)+f (1)+f (3)的值为（A ）8 （B ）11 （C ）1314（D ）15122． 一个锐角的正弦和余弦恰是二次三项式ax 2+bx +c 的不同的两个根，则a ,b ,c 之间的关系是（A ）b 2=a 2−4ac （B ）b 2=a 2+4ac （C ）b 2=a 2−2ac （D ）b 2=a 2+2ac3． 定义域为R 的函数f (x )满足f (x +2)=3f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )=x 2−2x ，则f (x )在x ∈[−4,−2]上的最小值为（A ）−19（B ）−13（C ）13（D ）194． 定义在正整数集Z +上的函数f ，对于每一个n ∈Z +和无理数π=3.14159265358⋯满足f (x )=�k 2的末位数字，（的小数点后第n 位数字k ≠0时）3. 若函数的值域记为M ，则（A ）1∉M （B ）5∉M （C ）6∉M （D ）9∉M 5． 如图，在△ABC 中，∠A =30°,∠C =90°，以C 为圆心，CB 为半径作圆交AB 边于M ，交AC 边于N ，P 为CM 与BN 的交点.若AA =1，则S △CCC −S △BCC 等于（A ）18（B ）√38（C ）14（D ）√346． 定义在(−1,1)上的函数f (x )满足f (x )−f (y )=f (x−y1−xy )，且当x ∈(−1,0)时，f (x )>0.若P =f �14�+f �15�,Q =f �16�,R =f (0)；则P ,Q ,R 的大小关系为（A ）R >P >Q （B ）R >Q >P （C ）P >R >Q （D ）Q >P >R 二、 填空题（满分64分=8×8分） 1. 求log 2sin π3+log 2tan π6+log 2cos π4的值.2. 已知f (x )是四次多项式，且满足f (i )=1i,i =1,2,3,4,5，求f (6)的值.3. 若[x ]表示不超过x 的最大整数，求满足方程[n lg2]+[n lg5]=2012的自然数n 的值.4. 如图，半径为1的两个等圆相交，在两圆的公共部分作一内接正方形ABCD .如果圆心距O 1O 等于1，试求正方形ABCD 的面积.5.求1272−7×2012+1×20122+⋯+52−5×2012+1×20122+7232−3×2012+1×20122+5212−1×2012+1×20122+322011220112−2011×2012+1×20122的值.以1为半径画弧，如图所示，交点为M,N,L,K，求阴影部分的面积.7.已知二次函数f(x)满足f(−10)=9,f(−6)=7,f(2)=−9，求f(100)的值.8.上底BC=2，下底AD=3的梯形ABCD的对角线相交于点O，彼此外切于点O的两个圆分别切直线AD于点A和点D，交BC分别于点K,L，求AA2+DD2的值.一、填空题（本题共5个小题，每小题8分，满分40分）1.函数y=x4−13x2+36(x−3)(x+2)的图像与平行于x轴的直线y=c恰有一个交点，则c能取到的所有值的乘积等于________.2.如图，锐角△ABC内接于半径为R的⊙O，H是△ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OO⊥AO,BC=10,OA=6，则OM=___________.3.二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个交点A和B，顶点为C，如果△ACB恰是直角三角形，那么判别式Δ的值是______.4.如图，半圆O的半径为1，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，且AC=2,BD=3，P是半圆上任意一点，则封闭图形ABDPC的面积的最大值为___________.5.和为111的两个自然数x和y，使得等式√x cccπy2x+�y cinπx2y=0成立，满足这个条件的一组自然数(x,y)是_____________.二、（本题满分15分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4以B为中心，将△ABC 顺时针旋转，使点A落在CB延长线上的点A1处，此时点C落在点C1的位置.连接AA1,CC1相交于OCC1交AB于D，AA1交BC1于E，求四边形BDOE的面积.三、（本题满分15分）（1）如果整数a、b和c满足关系式a2+b2=2c2−2，求证：144|abc.（2）试写出不定方程a2+b2=2c2−2的一组正整数解，并对这组正整数解验证144|abc.四、（本题满分15分）在边长都是正整数的三角形中，周长是2009的三角形与周长是2012的三角形哪一种数量多？说明理由.五、（本题满分15分）在锐角△ABC中，O是外心，I是内心，连接AI，BI和CI的直线交△ABC的外接圆分别于点A1，B1和C1.求证：S△ABCS△A1B1C1=2r R.（其中R是外接圆的半径，r是内切圆的半径）一、填空题（本题满分64分，每小题8分.直接将答案写在横线上.）1．已知集合A={x|x≤a},B={x|x>b},a,b∈A，且A∩B∩A={1}，则a+ b=___________．2．已知正项等比数列{a n}的公比q≠1，且a2,a4,a5成等差数列，则a1+a4+a7a3+a6+a9=_________．3．函数f(x)=�x+1x2+4x+7的值域为__________．4．已知3sin2α+2sin2β=1，3(sinα+cosα)2−2(sinβ+cosβ)2=1，则cos2(α+β)=_________．5．已知数列{a n}满足：a1为正整数，a n+1=�a n, a n为偶数3a n+1, a n为奇数如果a1+a2+a3=29，则a1=_________．6．在△ABC中，角A,B,C的对边长a,b,c满足a+c=2b，且C=2A，则sin A=___________．�����⃗=pAB�����⃗+qAC�����⃗，则p q的7．在△ABC中，AB=BC=2,AC=3．设O是△ABC的内心，若AO值为___________．8．设x1,x2,x3是方程x3−x+1=0的三个根，则x15+x25+x35的值为____________．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列{a n}满足�a n a n+1+a n a n+2=4�a n a n+1+a n+12+3�a n a n+1且a1=1,a2=8，求{a n}的通项公式．10．已知正实数a,b满足a2+b2=1，且a3+b3+1=m(a+b+1)3，求m的最小值．11．设f(x)=log a(x−2a)+log a(x−3a)，其中a>0且a≠1．若在区间[a+3,a+4]上f(x)≤1恒成立，求a的取值范围．一、 填空题（本题满分64分，每小题8分.直接将答案写在横线上.） 1． 函数f (x )=�x+1x +4x+7的值域为__________．2． 已知3sin 2α+2sin 2β=1，3(sin α+cos α)2−2(sin β+cos β)2=1，则cos 2(α+β)=_________．3． 已知数列{a n }满足：a 1为正整数，a n+1=�a n2, a n 为偶数3a n +1, a n 为奇数如果a 1+a 2+a 3=29，则a 1=_________．4． 设集合S ={1,2,3,⋯,12}，A ={a 1,a 2,a 3}是S 的子集，且满足a 1<a 2<a 3,a 3−a 2≤5那么满足条件的子集A 的个数为_______． 5． 过原点O 的直线l 与椭圆C :x 2a +y 2b =1(a >b >0)交于M ,A 两点，P 是椭圆C 上异于M ,A的任一点．若直线PM ,PA 的斜率之积为−13，则椭圆C 的离心率为____．6． 在△ABC 中，AB =BC =2,AC =3．设O 是△ABC 的内心，若AO�����⃗=pAB �����⃗+qAC �����⃗，则p q的值为___________．7． 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，已知AC =1,B 1C =√2,AB 1=p ，则长方体的体积最大时，p 为_______．8． 设[x ]表示不超过x 的最大整数，则∑�2012+2k 2�=2012k=0_____．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9．已知正项数列{a n }满足�a n a n+1+a n a n+2=4�a n a n+1+a n+12+3�a n a n+1 且a 1=1,a 2=8，求{a n }的通项公式．10．已知正实数a ,b 满足a 2+b 2=1，且a 3+b 3+1=m (a +b +1)3，求m 的取值范围． 11．已知点E (m ,n )为抛物线y 2=2px (p >0)内一定点，过E 作斜率分别为k 1,k 2的两条直线交抛物线于A ,B ,C ,D ，且M ,A 分别是线段AB ,CD 的中点． （1）当n =0且k 1⋅k 2=−1时,求△EMA 的面积的最小值; （2）若k 1+k 2=λ(λ≠0,λ为常数),证明：直线MA 过定点．一．选择题（每小题6分，共36分）1.已知集合A={x|1≤x≤4},B={y|y=log2x,x∈A}，则A⋂B=(A) [0,2] (B) [0,1] (C) [1,2] (D) [2,4]2.已知直线x=2,x=4与函数lcl4x的图像交于A、B两点，与函数y=ln x的图像交于C、D两点，则直线AB与CD(A) 相交，且交点在第一象限(B) 相交，且交点在第二象限(C) 相交，且交点在第四象限(D) 相交，且交点在坐标原点3.已知集合A，如果存在实数x0，使得对任意整数a，都存在x∈A，使得0<|x−x0|<a，则称x0为集合A的“聚点”.给出下列四个集合：①�n n+1�n∈Z,n≥0�②{x│x∈R,且x≠0}③�1n�n∈Z,n≠0�④Z. 其中以0为“聚点”的集合有(A) ②③ (B) ①② (C) ①③ (D) ②④4.已知四面体ABCD四个顶点的坐标分别为A(2,0,0)、B(0,2,0)、C(0,0,1)、D(0,0,0)，则直线DC与平面ABC所成角的正弦值为(A) 13 (B) √33 (C) 23 (D) √635.已知x,y是两个不相等的正数，且满足条件x3−y3=x2−y2，则[9xy]的最大值为（符号[x]表示不超过x的最大整数）(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 16.函数f(x)=√2x−6+√18−3x的最大值为(A) √2√√ (D)√二．填空题（每小题6分，共36分）7.已知过点A(3,−2)的直线l交x轴正半轴于点B，交直线l1:x−2y=0于点C，且|AB|=2|BC|，则直线l在y轴上的截距为__________.8.若关于x的不等式2x+3x−k⋅6x≥0在区间[1,2]上有解，则k的最大值为___________.9.在三棱锥D-ABC中，已知AB=BC=AD=√BD=AC=2,BC⊥AD，则三棱锥D-ABC外接球的表面积为______.10.三个半径都是2的圆，其圆心分别为A(1,1),B(3,6),C(7,12)，直线l斜率为k，且过点(1,1).若⊙A、⊙B、⊙C位于直线l某一侧的部分的面积和等于位于直线l另一侧的部分的面积和.则k=__________.11.已知函数f(x)=�2x−1 x≤0f(x−1)x>0，则方程f(x)=x在区间(0,10)内所有实根的和为________.12.符号[x]表示不超过x的最大整数，符号{x}表示x的小数部分即{x}=x−[x].若实数x 满足[2x]+[4x]+[6x]+[8x]=2012，则{x}的最小值为_______.三．解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13.已知f(x)=x2+2px−2在区间[−2,0]上的最小值为l(p).（1）求l(p)的表达式；（2）当l(p)=−3时，求f(x)在区间[−2,0]上的最大值.14.已知圆C：(x−2)2+(y−2)2=m，点A(4,6),B(c,t)，（1）若3c−4t=−12，且直线AB被圆C截得的弦长为4，求m的值；（2）若s，t为正整数，且圆C上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值λ(λ>1)，求m的值.15.对任意的正整数n，以及任意n个互不相同的正整数a1,a2,⋯,a n，若不等式(1a1)λ+(1a2)λ+⋯+(1a n)λ<2恒成立.求整数λ的最小值.O的割线，C、D为割线与圆O的交点.过C作直线交AB于点E、交AD于点F，且CE=EE.求证：CE∥PA17.在直角坐标平面xOy内有2012个点，记这2012个点组成的点集P中任何两点的连线与坐标轴既不平行也不重合.证明：在点集P中，存在E、G两点，使得以EG为对角线，且边与坐标轴平行或重合的矩形EFGH内（不包括边界）至少含有点集P中的402个点.2012年河南省高中数学预赛（高一）一． 填空题（共10小题，每小题6分，满分60分）1. 已知非空集合A ⊆{1,2,⋯,2012}，且满足：当a ∈A 时，有2013−a ∈A ，则符合题意的集合A 共有_____.2. 已知P (a ,b )关于直线l 的对称点为P (b +1,a −1)，则圆C :x 2+y 2−6x −2y =0关于直线l 对称的圆C 的标准方程为_________.3. 已知分段函数f (x )=�3−x ,x ≤0f (x −1),x >0，若f (x )=x +a 有且仅有三个实数解，则实数a 的取值范围是_________.4. 设a ,b 分别是方程log 513x +x −2012=0和513x +x −2012=0的根，则a +b =_______.5. 已知四面体A −BCD 中，AB =CD =2√BC =AD =√AC =BD =√，则该四面体的体积是_____.6. 定义A ∗B =�C (A )−C (B ),C (A )≥C (B )C (B )−C (A ),C (A )<C (B )，已知A ={1,2}，B ={x ||x 2+ax +1|=0}其中C (A )表示集合A 中的元素的个数，若A ∗B =1，由a 的所有可能值构成的集合是S ，那么C (S )=________.7. 已知正三棱锥P −ABC 的侧棱长为√3+1，底面边长为√2，Q 是侧棱PA 的中点，一条折线从点A 出发，绕侧面一周到点Q ，则这条折线长度的最小值是_______.8. 已知函数y =f (x )的定义域是D ，如对于任意的x 1,x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称f (x )函数在D 上为非减函数，设函数y =f (x )在[0,1]上为非减函数，满足条件：①f (0)=0;②f �x3�=12f (x )③f (1−x )=1−f (x ),则f �13�+f �12012�=_________. 9. （选做题）（必修3）在6个产品中有4个正品和2个次品，现每次取出一个作检查（检查完后不放回），直到2个次品都找到为止，则恰好经过4次检查将2个次品全部找到的概率是_______. （必修4）如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 是以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BD 上的任意一点，设向量AC�����⃗=λDE �����⃗+μAP �����⃗(λ,μ∈R )，则λ+μ的最小值是________. 10. 已知m ∈A ，且函数f (x )=2x −m √10−x −m +10存在整数零点，则符合题意的一切m 的取值构成的集合是____________.二． （本题满分20分）如图所示，AD 和AA 是⊙C 的两条切线，其中D ,A 为切点.在AA 的延长线上取一点M ，△AMD 的外接圆与⊙C 的另一交点为P ，MD 和⊙C 的另一交点为R ，延长PR 交MA 于T .过A 作AQ ⊥MD 于Q ，连接QP . 证明：（1）△MTR ∼△PTM （2）∠MPQ =2∠AMD .三．（本题满分20分）如图所示，已知单位正方体ABCD−EEEO的棱长AD和BC上分别有动点Q,P.若直线Array PQ和BD交于点A，直线EQ和平面BDE交于点M，BE的中点是S，设AQ=x(0≤x≤1),MA=y.（1）求证：D,M,S三点共线；（2）求y的最小值关于x的解析式.四．（本题满分20分）（必修3）函数f(x)=log2(4+√16−x2).（1）求函数的值域；（2）若在区间[−4,1]上随机取一个数a，求方程f2(x)+af(x)+1=0有实数根的概率.（必修4）已知对于任意的x∈�0,π2�,sin x<x恒成立，利用此结论证明：（1）存在唯一的实数对(c,d)，其中c,d∈�0,π2�，使sin(cos c)= c,cos(sin d)=d成立；（2）在（1）的条件下证明：c<d.五．（本题满分20分）函数sgn(x)=�1, x>00, x=0−1,x<0，f(x)=x3+x−log2(√x2+1−x).（1）求证：函数f(x)是定义在R上的奇函数；（2）对于任意实数a,b(a+b≠0)，求sgn�f(a)+f(b)a3+b3�的值.2012年江苏高中数学竞赛（初赛）一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1.当x∈[−3,3]时，函数f(x)=|x3−3x|的最大值为______.2.在△ABC中，已知AC�����⃗⋅BC�����⃗=12,AC�����⃗⋅BA�����⃗=−4，则AC=_______.3.从集合{3,4,5,6,7,8}中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率是________.4.已知a为实数，方程x2+(4+i)x+4+ai=0的一个实数根是b（i是虚数单位），则|a+bi|的值为_______.5.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:x212−y24=1的右焦点为E，一条过原点O且倾斜角为锐角的直线l与双曲线C交于A,B两点.若△EAB的面积为8√3，则直线l的斜率为_______.6.设a为正实数，k=a lga,则k的取值范围是_______.7.在四面体ABCD中，AB=AC=AD=DB=5,BC=3,CD=4,该四面体的体积为_________.8.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足:a1+b1=3,a2+b2=7,a3+b3=15,a4+ b4=35,，则a n+b n=______(n∈A∗)9.将27,37,47,48,55,71,75这7个数排成一列，使任意4个数的和为3的倍数，则这样的排法有__________种.10.三角形的周长为31，三边a,b,c均为整数，且a≤b≤c，则满足条件的三元数组的个数为___________.二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11．在△ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c，证明：（1）b cos C+c cos B=a;（2）cos A+cos Ba+b=2sin2C2c.12．已知a,b为实数，a>2函数f(x)=�ln x−a x�+b(xe2−ln2+1.（1）求实数a,b；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）若实数c,d满足c>d,cd=1，求证：f(c)<f(d).13．如图，半径为1的圆O上有一定点M,A为圆O上的动点.在射线OM上有一动点B,AB=1,OB>1.线段AB交圆O于另一点C,D为线段OB的中点.求线段CD长的取值范围.14．设a,b,c,d是正整数，a,b是方程x2−(d−c)x+cd=0的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab的直角三角形.2012年上海市高中数学竞赛（新知杯）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1E 1的边长为1，它的6条对角线又围成一个正六边形A 2B 2C 2D 2E 2E 2，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 ． 2．已知正整数a 1,a 2,⋯,a 10满足：a ja i>32,1≤i <j ≤10，则a 10的最小可能值是 ．3．若tan α+tan β+tan γ=176，cot α+cot β+cot γ=−45，cot αcot β+cot βcot γ+cot γcot α=−175，则tan (α+β+γ)= ．4．已知关于x 的方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 ．5．如图，△AEE 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知∠AEE =90°，AE =a ,EE =b ,a >b ，则x = ．6．方程2m ⋅3n −3n+1+2m =13的非负整数解(m ,n )= ．7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 ．（用数字作答） 8．数列{a n }定义如下：a 1=1,a 2=2,a n+2=2(n+1)n+2a n+1−nn+2a n,n=1,2,⋯.若a m >2+20112012，则正整数m 的最小值为 ．二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB =x ,BC =1，对角线AC 与BD 的夹角∠BOC =45°，记直线AB 与CD 的距离为ℎ(x )．求ℎ(x )的表达式，并写出x 的取值范围． 10．（本题满分14分）给定实数a >1，求函数f (x )=(a+sinx )(4+sinx )1+sinx的最小值．11．（本题满分16分）正实数x ,y ,z 满足9xyz +xy +yz +zx =4；求证：（1）xy +yz +zx ≥43；（2）x +y +z ≥2．12．（本题满分16分）给定整数n (≥3)，记f (n )为集合{1,2,⋯,2n −1}的满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：①1∈A ,2n −1∈A ；②A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求f (3)的值；（2）求证：f (100)≤108．112012年四川省高中数学预赛一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 1、设集合S ={x |x 2−5x −6<0}，T ={x ||x +2|≤3}，则S ∩T = A 、{x |−5≤x <−1} B 、{x |−5≤x <5} C 、{x│−1≤x ≤1} D 、{x |1≤x <5}2、正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中BC 1与截面BB 1D 1D 所成的角是A 、π6B 、π4C 、π3D 、π23、已知f (x )=x 2−2x +3,l (x )=kx −1，则“|k |≤2”是“f (x )≥l (x )在R 上恒成立”的 A 、充分但不必要条件 B 、必要但不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件4、设正三角形△1的面积为S 1，作△1的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为△2，面积为S 2，如此下去作一系列的正三角形△3,△4,⋯，其面积相应为S 3,S 4,⋯，设S 1=1,T n =S 1+S 2+⋯+S n ，则lim n→+∞T n =A 、65B 、43C 、32D 、25、设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，顶点为O ,M 是抛物线上的动点，则|MM ||MM |的最大值为A 、√33 B 、2√33 C 、43D 、√3 6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为r 的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ） A 、rB 、2rC 、√12r 3D 、√15r 3二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 7、如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的中点，AE 与BD 相交于F ，则ED �����⃗⋅DE�����⃗的值是 ． 8、(x 2+x −1x )6的展开式中的常数项是 ．（用具体数字作答） 9、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n =(a n +1)24，则S 20的值为 ．10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 ．11、已知锐角A ,B 满足tan(A +B )=2tan A ，则tan B 的最大值是 ．12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数abcde��������，满足条件“a <b >c <d >e ”的概率是 ．三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）A13、设函数f(x)=sin x+√3cos x+1，（I）求函数f(x)在�0,π2�上的最大值与最小值；（II）若实数a,b,c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意x∈R恒成立，求bcosc a的值．14、已知a,b,c∈R+，满足abc(a+b+c)=1，（I）求S=(a+c)(b+c)的最小值；（II）当S取最小值时，求c的最大值．15、直线y=kx+1与双曲线x2−y2=1的左支交于A、B两点，直线l经过点(−2,0)和AB 的中点，求直线l在y轴的截距b的取值范围．16、设函数f n(x)=x n(1−x)2在�12,1�上的最大值为a n(n=1,2,3,⋯)．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求证：对任何正整数n(n≥2)，都有a n≤1(n+2)2成立；（III）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：对任意正整数n，都有S n<716成立．2012年陕西省高中数学预赛第一试一、填空题（每小题8分，共80分）1.已知集合M={1,3,5,7,9}，若非空集合A满足:A中各元素都加4后构成M的一个子集，A中各元素都减4后也构成M的一个子集，则A=__________.2.已知两条直线l1:y=2,l2:y=4，设函数y=3x的图像与l1,l2分别交于点A,B，函数y=5x的图像与l1,l2分别交于点C,D，则直线AB与CD的交点坐标是_____.3.对于正整数n，若n=p∗q(p≥q,p、q∈A+)，当p−q最小时，我们称p∗q为n的“最佳分解”，并规定f(n)=q p.例如，12的分解有12×1,6×2,4×3，其中4×3为12的最佳分解，则f(12)=34，关于f(n)，有下列四个判断：①f(4)=0;②f(7)=17;③f(24)=38;④f(2012)=4503其中，所有正确判断的序号是________.�����⃗=a+b,AC�����⃗=a−b，若a= 4.已知△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°,且AB(cosθ,sinθ)(θ∈R)，则△ABC的面积等于______.5.在正四面体ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足为O.设M是线段AO上一点，且满足6.如图，Rt△ABC的三个顶点都在给定的抛物线x2=2py(p>0)上，且斜边AB∥x轴，则斜边上的高|CD|=_____.7.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖（参与游戏活动的都有奖），且相应获奖的概率是以a为首项、2为公比的等比数列，相应获得的奖金是以700元为首项、−140为公差的等差数列.则参与这项游戏活动获得奖金的期望是______元.8.设p,q是两个不同的质数，则p q−1+q p−1被p⋅q除的余数是________.9.定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1，且对任意的x∈R，都有f′(x)<12.则不等式f(log2x)>log2x+12的解集为____.10.从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到500m以外的公路边埋栽，在500m处栽一根，然后每间隔50m在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，并返回材料工地，则运输车总的行程最小为_________m.第二试一．（本题满分20分）在△ABC 中，已知AB =2,AC =1,且cos 2A +2sin 2B+C 2=1.（1）求角A 的大小和边BC 的长；（2）若点P 在△ABC 内运动（含边界），且点P 到三边距离之和为d .设点P 到边BC ,CA 的距离分别为x ,y ，试用x ,y 表示d ，并求d 的取值范围. 二．（本题满分20分）在平面直角坐标系中，以点C (t ,2t )为圆心的圆经过坐标原点O ，且分别与x 轴、y 轴交于点A ,B（不同于原点O ）.（1）求证：△AOB 的面积S 为定值；（2）设直线l :y =−2x +4与圆C 相交于不同的两点M ,A ，且|OM |=|OA |，求圆C 的标准方程.三．（本题满分20分） 如图，锐角△ABC 内接于圆O ，过圆心O 且垂直于半径OA 的直线分别交边AB ,AC 于点E ,E .设圆O 在B ,C 两点处的切线相交于点P ，求证：直线AP 平分线段EE . 四．（本题满分30分） 已知数列{a n }满足a 1=12,a n =2a n a n+1+3a n+1(n ∈A ∗)..（1）求数列{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足b n =1+1a n (n ∈A ∗)，且对任意正整数n (n ≥2)，不等式∑1n+log3b kn k=1>m 24恒成立，求整数m 的最大值.五．（本题满分30分）对于任意的正整数n ，证明：13−2+132+22+133−23+⋯+13n +(−2)n<76.2012年河北省高中数学预赛一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1． 已知θ∈�5π4,3π2�，则√1−sin2θ−√1+sin2θ可化简为（ ）A ．2sin θ B. −2sin θ C. −2cos θ D. 2cos θ 2． 如果复数(a +2i )(1+i )的模为4，则实数a 的值为（ ）A. 2B. 2√±2 D. ±2√3． 设A ,B 为两个互不相同的集合，命题p :x ∈A ∩B ， 命题q :x ∈A 或x ∈B ，则p 是q 的（ ） A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件 4． 过椭圆x 22+y 2=1的右焦点E 2作倾斜角为45°弦AB ，则|AB |为（ ）A.2√63 B. 4√63 C. 4√23 D. 4√335． 函数f (x )=�1−5−xx ≥05x−1 x <0，则该函数为（ ） A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）A. 4+5π2B. 4+3π2C. 4+π2D. 4+π7. 某程序框图如右图所示，现将输出(x ,y )值依次记为：(x 1,y 1),(x 2,y 2),⋯,(x n ,y n ),⋯若程序运行中输出的一个数组是 (x ,−10),则数组中的x =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．88. 在平面区域{(x ,y )||x |≤1,|y |≤1}上恒有ax −2by ≤2，则动点P (a ,b )所形成平面区域的面积为（ ）A. 4B.8C. 16D. 329. 已知函数f (x )=sin �2x −π6�−m 在�0,π2�上有两个零点，则m的取值范围为（ ）A. �12,1� B �12,1� C. �12,1) D. �12,1]10.已知a∈[−1,1]，则x2+(a−4)x+4−2a>0的解为（）A. x>3或x<2B. x>2或x<1C. x>3或x<1D. 1<x<3二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11. 函数f(x)=2cin x2−√3cccx的最小正周期为__________.12. 已知等差数列{a n}前15项的和S15=30，则a1+a8+a15=___________.13. 向量a⃗=(1,cinθ),b�⃗=�cccθ,√3�,θ∈R，则�a⃗−b�⃗�的取值范围为 .14. 直三棱柱ABC−A1B1C1，底面△ABC是正三角形，P,E分别为BB1,CC1上的动点（含端点），D为BC边上的中点，且PD⊥PE.则直线AP,PE的夹角为________.15．设x,y为实数，则max5x2+4y2=10x(x2+y2)=___________.16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有__________种.（用组合数符号表示）17. 设x,y,z为整数，且x+y+z=3,x3+y3+z3=3，则x2+y2+z2=______.三、解答题（本大题共3 小题，每小题17 分，共计51 分）18. 设a≤2，求y=(x−2)|x|在[a,2]上的最大值和最小值.19. 给定两个数列{x n},{y n}满足x0=y0=1，x n=x n−12+x n−1(n≥1)，y n=y n−121+2y n−1(n≥1).证明对于任意的自然数n，都存在自然数j n，使得y n=x j n.20. 已知椭圆x252+y242=1，过其左焦点E1作一条直线交椭圆于A,B两点，D(a,0)为E1右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,A.若以MA为直径的圆恰好过E1，求a的值.四、附加题（本大题共2 小题，每小题25 分，共计50 分）21.在锐角三角形ABC中，∠A=π3，设在其内部同时满足PA≤PB和PA≤PC的点P的全体形成的区域E的面积为三角形ABC面积的13.证明三角形ABC为等边三角形.22.设a,b,c∈R+，且√a+√b+√c=3.求证:a+b2+a+b+b+c2+b+c+c+a2+c+a≥32，并指明等号成立的条件.一． 填空题（本题满分56分，每小题7分） 1． 空间四点A ,B ,C ,D 两两间的距离均为1，点P 与点Q 分别在线段AB 与CD 上运动，则点P 与点Q 间的最小距离为______；2． 向量OA �����⃗=(1,0)，OB �����⃗=(1,1)，O 为坐标原点，动点P (x ,y )满足�0≤OP �����⃗⋅OA �����⃗≤10≤OP �����⃗⋅OB �����⃗≤2，则点Q (x +y ,y )构成的图形的面积为_________；3． 设有非空集合A ⊆{1,2,3,4,5,6,7}，且当a ∈A 时，必有8−a ∈A ，这样的集合A 的个数是________；4． 设f (x )=�x −|x |, x <0f (x −1),x >0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，若f (x )=kx +k (k >0)有三个不同的实数根，则实数k 的取值范围是____________；5． 11位数的手机号码，前七位数字时1390931，若余下的4个数字只能是1、3、5且都至少出现1次，这样的手机号码有____________个；6． 若tan x 1⋅tan x 2⋅⋯⋅tan x n =1，则sin x 1⋅sin x 2⋅⋯⋅sin x 2012的最大值是_________； 7． 设函数f :R →R ，满足f (0)=1且对任意x ,y ∈R 都有f (xy +1)=f (x )f (y )−f (y )−x +2，则f (x )=__________；8． 实数x ,y ,z 满足x 2+y 2+z 2=1，则xy +yz 的最大值为____________.二． 解答题（本题满分64分，第9、10题每题14分，第11、12题每题18分） 9． 已知数列{a n }满足a n+1+a n −1a n+1−a n +1=n (n ∈A ∗)，且a 2=6.（1）求数列{a n }的通项公式;（2）设b n =a nn+c (n ∈A ∗)，c 为非零常数，若数列{b n }是等差数列，记c n =b n 2n,S n =c 1+c 2+⋯+c n ，求S n .10． M 是抛物线y 2=2px (p >0)的准线上任意点，过M 点作抛物线的切线，切点分别为A ,B （A 在x 轴上方）.（1）证明：直线AB 过定点；（2）设AB 的中点为P ，求|MP |的最小值.11． 设a ,b ,c 为正实数，且a +b +c =1，求证：(a 2+b 2+c 2)(ab+c +ba+c+ca+b)≥12.12． 某校数学兴趣小组有m 位同学组成，学校专门安排n 为老师作为指导教师.在该小组的一次活动中，每两位同学之间相互为对方提出一个问题，每位同学又向每位指导教师各提出一个问题，并且每位指导教师也向全组提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了51个问题.试求m ,n 的值.一、填空题（每题8分，共64分）1. 设函数f (x )=arcsin (cos (x ))，则f (f (f (x )))的最小正周期为___________.2. 设实数x ,y 满足x 2−8x +y 2−6y +24=0，则x −2y 的最大值为__________.3. cosπ11−cos2π11+cos3π11−cos4π11+cos5π11=_________（用数字作答）. 4. 设两点C ，D 在以线段AB 为直径的半圆弧上，线段AC 和线段BD 相交于点E ，AB =10,AC =8,BD =5√2则△ABE的面积为___________.5. 设两个椭圆x 2t +2t−2+y 2t +t+2=1和x 22t −3t−5+y 2t +t−7=1有公共的焦点，则t =_________. 6. 如图，设正四棱锥P -ABCD 的体积为1，E ，F ，G ，H 分别是线段AB ，CD ，PB ，PC 的中点，则多面体BEG -CFH 的体积为__________.7. 不超过2012且与210的最大公约数是1 的正整数共有__________个.8. 设随机变量X ~A (1,2),Y ~A (3,4).若P (X <0)=P (Y >a )，则a =___________. 二、解答题（第9-10题每题25分，第11-12题每题18分，共86分） 9. 已知△ABC 的周长为1，并且cin 2A +cin 2B =4cinAcinB . （1）证明：△ABC 是直角三角形；（2）求△ABC 面积的最大值. 10. 设无穷数列{a n }满足a 1=1,a n =a n−1+1a n−1(n ≥2).证明：（1）当n ≥2时，a n ≥√2n ；（2）不存在实数C 使得a n <√2n +c 对所有n 都成立. 11. 设n =2m ,m 是正整数。
全国高中数学联赛陕西赛区预赛详细参考答案
2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题参考答案及评分标准第一试1.设A、B是两个非空的有限集，全集错误!未找到引用源。
，且U中含有m个元素.若(错误!未找到引用源。
)错误!未找到引用源。
(错误!未找到引用源。
)中含有n个元素，则错误!未找到引用源。
中所含元素的个数为______.解：错误!未找到引用源。
.注意到，(错误!未找到引用源。
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)=错误!未找到引用源。
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)，由韦恩图知，错误!未找到引用源。
中含有错误!未找到引用源。
个元素.2.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足错误!未找到引用源。
.则错误!未找到引用源。
的值是______.解：错误!未找到引用源。
.由题设及正弦定理，得错误!未找到引用源。
故错误!未找到引用源。
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.3.在直角坐标系错误!未找到引用源。
中，已知三点错误!未找到引用源。
.若向量错误!未找到引用源。
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在向量错误!未找到引用源。
方向上的投影相同，则错误!未找到引用源。
的值是______.解：2.[方法1]向量错误!未找到引用源。
、错误!未找到引用源。
在向量错误!未找到引用源。
方向上的投影分别为错误!未找到引用源。
.依题意得错误!未找到引用源。
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.[方法2]因为向量错误!未找到引用源。
与错误!未找到引用源。
在向量错误!未找到引用源。
方向上的投影相同，所以AB⊥OC，即错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
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，即3a – 4b = 2.4.已知正三棱锥P-ABC的侧棱与底面所成的角为45°，则相邻两侧面所成角的余弦值为______.解：错误!未找到引用源。
.如图1，设正三棱锥P-ABC的底面边长为a，E为AB的中点，则∠PCE为侧棱PC与底面ABC所成的角，即错误!未找到引用源。
2012年全国高中数学联赛陕西赛区预赛
２ ８
中 等 数 学
第 二 试
一
五 、３ （ Ｏ分 ） 于任意 的正整 数 ｎ 证 明 ： 对 ，
１
＋
ｌ
ｉ＋
１
一＋
１
７
＜
、
（０分 ） △ Ａ Ｃ 中 ， 知 Ａ ２ 在 Ｂ 已 Ｂ＝２ ，
ＡＣ＝１ 且 ，
Ｃ Ｓ２ ＋２ ｉ ２— Ｃ Ｏ Ａ ｓｎ Ｂ ＋
对正整数 ，若 ｎ＝ ｑＰ ｇＰｑ ＋ ， ｌ ， ｐ （ ≥ ，、 ∈Ｎ ）
当Ｐ— 最小时 ， ｑ 则称 为 ｎ的“ 最佳分解” ，
ｑ ￣ ２的 分 解 有 １ － ２×１ ， 并规 定 （ ）＝－ （ ｎ１ ｎ 。 ６×２４× ， 中 ， ３为 １ ， ３其 ４× ２的最佳 分 解 ， 则
６ 如 图 １Ｒ ． ， ｔ△ Ａ Ｃ Ｂ
Ｊ二 ｒ ‘
１ 已知集合 Ｍ ＝｛ ， ， ， ， ｝ 若非空 ． １３ ５ ７ ９ ．
集合 Ａ满足 ： 中各 元 素都 加 ４后 构成 的 Ａ
一
的三 个 顶 点 都 在 给 定 的
抛 物 线 ＝２ ｙ（ 面 直角 坐标 系 中 ， 在 以点
｛ ３ 一ｌ １３ ５｝ 一 ， ，，， ，
＝
｛ ｘ＝ ＋ ｍ ∈ Ｍ ｝ Ｉ ｍ ４，
＝
｛ ７ ９ １ ，３ ． ５， ， ，１ １ ｝
由题设 知 ＡＣＭ， ＝｛ ｝ ＿ ｎ ５． 因为 为非 空集合 ， 以 ， 所 Ａ＝｛ ｝ ５．
＝
— — — —
在公路 边栽 一 根． 已知 运 输 车 辆一 次最 多 只 能运 ３根 ， 完 成运 栽 ２ 要 Ｏ根 电线 杆 的 任 务 ， 并 返 回材料工 地 ， 运 输车 总 的行 程 最 小 为 则
2012年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷及解析
2012年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题1.已知集合}.若非空集合A 满足:A 中各元素都加4后构成M 的一个子集,A 中各元素都减4后也构成M 的一个子集,则A =______.2.已知两条直线l 1:y =2,l 2:y =4,设函数y =3x 的图像与l 1、l 2分别交于点A 、B ,函数y=5x 的图像与l 1、l 2分别交于点C 、D .则直线AB 与CD 的交点坐标是______.3.对正整数n ,若n =pq(p ≥q,p 、q ∈N +),当p −q 最小时,则称pq 为n 的“最佳分解”,并规定f (n )=qp (如12的分解有12×1,6×2,4×3,其中,4×3为12的最佳分解,则f (12)=34).关于f (n )有下列四个判断:①f (4)=0;②f (7)=17;③f (24)=38;④f (2012)=4503.其中,正确判断的序号是______.4.已知△ABC 为等腰直角三角形,∠A=90° ,且AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =a +b,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =a −b .若a =(cosθ,sinθ)(θ∈R),则S △ABC =______.5.在正四面体ABCD 中,AO⊥平面BCD ,垂足为O .设M 是线段AO 上一点,且满足∠BMC =90°,则AMMO =______.6.如图,Rt△ABC 的三个顶点都在给定的抛物线x 2=2py (p >0)上,且斜边AB∥x 轴.则斜边上的高|CD |=______.7.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖(参与游戏活动的都有奖),且相应获奖的概率是以a 为首项、2为公比的等比数列,相应获得的奖金是以700元为首项、-140为公差的等差数列则参与这项游戏活动获得奖金的期望是______元8.设p 、q 是两个不同的质数则p q−1+q p−1,被pq 除的余数是______.9.定义在R 上的函数()f x 满足：(1)1f =，且对于任意的x R ∈,都有1'()2f x <，则不等式22log 1(log )2x f x +>的解集为 __________________.10.从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到500m 以外的公路边埋栽,在500m 处栽一根,然后每间隔500m 在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运3根,要完成运栽20根电线杆的任务,并返回材料工地,则运输车总的行程最小为______m.二、解答题11.在ΔABC 中，已知AB=2，AC =1，且cos2A +2sin 2B+C 2=1．（1）求角A 的大小和BC 边的长；（2）若点P 在ΔABC 内运动（包括边界），且点P 到三边的距离之和为d ，设点P 到BC,CA 的距离分别为x,y ，试用x,y 表示d ，并求d 的取值范围．12.在平面直角坐标系中,以点C (t,2t),为圆心的圆经过坐标原点O ,且分别与x 轴、y 轴交于点A 、 B (不同于原点O ). (1)证明:△AOB 的面积S 为定值; (2)设直线l:y =−2x +4与⊙C 交于不同的两点M 、N ,且|OM |=|ON |,求⊙C 的标准方程.13.如图,锐角△ABC 内接于⊙O ,过圆心O 且垂直于半径OA 的直线分别交边AB 、AC 于点E 、F .设⊙O 在B 、C 两点处的切线交于点P .证明:直线AP 平分线段EF .14.已知数列{a n}满足a1=12,a n=2a n a n+1+3a n+1(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=1+1an(n∈N+),且对任意正整数n(n≥2),不等式∑1n+log3b k >m24nk=1恒成立,求整数m的最大值.15.对于任意的正整数n,证明:13−2+132+22+133−23+...+13n+(−2)n<76参考答案1.{5}【解析】1. 设M 1={x|x =m −4,m ∈M}={−3,−1,1,3,5},M 2={x|x =m +4,m ∈M}={5,7,9,11,13}由题设知A⊆M 1∩M 2={5}因为A 为非空集合,所以,A ={5}.2.(0,0)【解析】2.易知,A (log 32,2),B (log 34,4) ,C (log 52,2),D (log 54,4). 则k AB=4−2log34−log 32=2−0log 32−0=k OAk CD =4−2log54−log 52=2−0log 52−0=k OC .所以,O 、A 、B 和O 、C 、D 分别三点共线. 故直线AB 与CD 交于坐标原点O (0,0). 3.②④【解析】3. 注意到,4=2×2,7=7×1,24=6×4,2012=503×4.则f (4)=1,f (7)=17,f (24)=23,f (2012)=4503.故①、③不正确,②、④正确. 4.1【解析】4. 由题设知AB⊥AC,|AB |=|AC |.则{(a +b )⋅(a −b )=0,|a +b |=|a −b | ⇒{|a |=|b |,a ⋅b =0.因为|a |=1,所以,|b |=1.根据向量加、减法的几何意义得|a +b |=|a −b |=√2. 故S △ABC =12|a +b |⋅|a −b |=1. 5.1【解析】5.如图,联结OB .设正四面体ABCD 的棱长为a .则 OB =√33a,MB =√22a .故MO=√MB 2−OB 2=√66a =12AO =AM .从而,AMMO =1.6.2p【解析】6.设A (2pt 1,2pt 12),C (2pt 2,2pt 22).则B (−2pt 1,2pt 12).因为AC⊥BC ,所以,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0 ,即 4p 2(t 2−t 1)(t 2+t 1)+4p 2(t 22−t 12)2=0. 而|t 1|≠|t 2|,则t 22−t 12=−1.故|CD |=2|t 22−t 12|=2p7.500【解析】7.由题设,知获一、二、三等奖的概率分别为P 1=a,P 2=2a,P 3=4a .由P 1+P 2+P 3=1,得a =17.于是,P 1=17,P 2=27,P 3=47. 又获一、二、三等奖的奖金分别为ξ1=700,ξ2=560,ξ3=420.故E ξ=700×17+560×27+420×47=500(元).8.1【解析】8.因为p、q是不同的质数,所以,由费马小定理知p q−1≡1(modq).又q p−1≡0(modq),则p q−1+q p−1≡(modq).同理,p q−1+q p−1≡1(modp).故p q−1+q p−1≡1(modq).9.(0,2)【解析】10.先假设要完成21根电线杆的运栽,每次3根,设第k(k=1,2,…,7)次往返的路程为a k,则a1=2×600=1200,且a k+1=a k+2×150(k=1,2,…,6).所以,{a n}是首项为1200、公差为300的等差数列.故S7=7×1200+7×62×300=14700(m)但实际只运栽20根,那么必有一次运2根,其余6次均运3根.若运2根安排在第k(k=1,2,…,7)次,则a1,a2,…,a k−1均不变,a k,a k+1,…,a7各减少100m.故S7(k)=S7−100(8−k)=13900+100k.显然,当k=1,即第1次运2根,其余各运3根时,总的行程最小为14000m.11.（1）BC=√3;（2）[√32,√3]．【解析】11.试题（1）利用同角三角函数的基本关系式化简，求出A，然后利用余弦定理求得BC 的长；（2）利用三角形的面积相等用x ，y 表示d ，然后利用线性规划知识求得d 的取值范围.试题解析：（1）因为cos2A +2sin 2B+C 2=1，所以cos2A −cos(B +C)=0，即2cos 2A +cosA −1=0．解得：cosA =12或cosA =−1；又因为A∈(0,π)，所以A =π3；由余弦定理得：BC=2+AC 2−2AB •ACcosA =√3．（2）设点P 到AB 边的距离为z ，则有：S ΔABC=S ΔPBC +S ΔPAC +S ΔPAB =12(√3x +y +2z)；注意到：AB 2=AC 2+BC 2，所以ΔABC 是直角三角形；从而S ΔABC =12BC •CA =√32；所以12(√3x +y +2z)=√32，即z=12(√3−√3x −y)；所以d=x +y +z =12[(2−√3)x +y +√3]；又由于x,y 满足条件：{x ≥0y ≥012(√3−√3x −y)≥0；（线性规划问题）所以d 的取值范围是[√32,√3]．12.（1）4；（2）(x −2)2+(y −1)2=5【解析】12. (1)由题设知⊙C 的方程为(x −t )2+(y −2t )2=t 2+4t2即x 2+y 2−2tx −4t y =0.所以,A (2t,0),B (0,4t)故S=12|OA ||OB | =12|2t ||4t|=4(定值).(2)因为|OM |=|ON |,|CM |=|CN |, 所以,直线OC 垂直平分线段MN . 于是,k OC=−1k MN=12则l OC :y =12x 故2t=12t ⇒t =±2 当t=2时,圆心C (2,1),半径|OC |=5,此时,圆心C 到直线l 的距离为d =√5<√5,符合要求. 当t=−2时,圆心C(−2,−1),半径|OC |=√5,此时, 圆心C 到直线l 的距离为d =√5<√5,不符合要求.综上,⊙C 的方程为(x −2)2+(y −1)2=5.13.见解析【解析】13.如图,过点P 作EF 的平行线,分别与AB 、AC 的延长线交于点M 、N 则∠PMB =∠AEO =90°−∠OAE =∠ACB .因为PB 为⊙O 的切线,所以,∠PBM =∠ACB =∠PMB .于是,PM =PB 同理,PN =PC .因为PB=PC ,所以,PM =PN ,即AP 平分线段MN.而EF∥MN,故直线AP 平分线段EF.14.（1）a n =13n −1(n ∈N +)；（2）13【解析】14. (1)由a n =2a n a n+1+3a n+1 ⇒a n+1=a n 2a n +3⇒a n >0.故1an+1−3a n=2⇒1a n+1+1=3(1a n+1) 所以,(1an+1)是首项为3、公比为3的等比数列.故1a n +1=3n ⇒a n =13n −1(n ∈N +) (2)由(1)得b n =1+1a n=3n从而,log 3b k=k(k =1,2,…)故∑1n+log 3b k >m24nk=1⇔1n+1+1n+2+...+1n+n>m 24.令f (n )=1n+1+1n+2+...+1n+n .则f (n +1)−f (n ) =12n+1+12n+2−1n+1=12n+1−12n+2>0.因此,f (n )单调递增. 故f (n )min=f (2)=13+14=712.于是,712>m24⇒m <14. 因此,整数m 的最大值为13. 15.见解析【解析】15. 记a k=13k+(−2)k,S n =∑a k nk=1 先证明:对任意m∈N +,有a 2m +a 2m+1<432m+1事实上,a 2m +a 2m+1=132m+22m+132m+1−22m+1=32m+1−22m+1+32m +22m (32m +22m )(32m+1−22m+1)=4×32m −22m 34m+1+62m −24m+1<4×32m34m+1+62m [1−2(23)2m].因为1−2×(23)2m 单调递增,所以,1−2×(23)2m≥1−2×(23)2>0. 故a 2m +a 2m+1<4×32m 34m+1=432m+1再证明:对任意n ∈N +,有S n <76. 当n=1时,S 1=1<76 ,结论成立当n≥2时, 若n=2m +1(m ∈N +),则S n=S 2m+1=1+∑(a 2k +a 2k+1)mk=1<1+∑432k+1m k=1<1+427⋅11−19=76. 若n=2m(m ∈N +),则S n =S 2m <S 2m+1<76综上,对任意n∈N +,都有S n <76.。
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2012年高中数学联赛陕西赛区预赛试题
(5月20日 上午 8:30---11:00)
第一试
填空题:(每小题8分，共80分)要求直接将答案填在题中的横线上.
1. 已知集合M={1,3,5,7,9},若非空集合A 满足：A 中各元素都加4后构成M 的一个子集，
A 中个元素都减去4后也构成M 的一个子集，则A= .
2. 已知两条直线2:1=y l ，4:2=y l ，设函数x
y 3=的图像与1l 、2l 分别交于点A 、B ，
函数x y 5=的图像与1l 、2l 分别交于点C 、D ，则直线AB 与CD 的交点坐标是 3. 对于正整数n ,若p q p q p n ,(≥⋅=、)+∈N q ,当q p -最小时，我们称q p ⋅为n 的“最
佳分解”，并规定p
q n f =)(.例如，12的分解有12⨯1，6⨯2，4⨯3，其中4⨯3为12的“最佳分解”，则4
3)12(=
f .关于)(n f ，有以下四个判断： ①;0)4(=f ②71)7(=f ； ③83)24(=f ； ④5034)2012(=f . 其中，所有正确判断的序号是 .
4. 已知ABC ∆为等腰直角三角形，︒=∠90A ，且b a AB +=，b a AC -=，若 )sin ,(cos θθ= )(R ∈θ，则ABC ∆的面积等于 .
5. 在正四面体ABCD 中，AO ⊥平面BCD ，垂足为O.设M 是线段AO 上一点，且满足
︒=∠90BMC ，则=MO
AM . 6. Rt ABC ∆的三个顶点都在给定的抛物线)0(22>=p py x 上，且斜边AB//x 轴，则斜边
上的高|CD|= .
7. 某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖（参与游戏活动的都有奖），且相应获奖的概
率是以a 为首项、2为公比的等比数列，相应获得的奖金是以700元为首项、以140-为公差的等差数列.则参与这项游戏活动获得奖金的期望是 元.
8. 设p 、q 是两个不同的质数，则11--+p q q p 被q p ⋅除的余数是 .
9. 定义在R 上的函数)(x f 满足：1)1(=f ，且对于任意的R x ∈，都有21)(<
'x f .则不等式2
1log )(log 22+>x x f 的解集为 . 10. 从公路旁的材料工地沿笔直的公路向同一方向运送电线杆到500米以外的公路边埋栽，
在500米处栽一根，然后每间隔50米在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运三根，要完成运载20根电线杆的任务，并返回材料工地，则运输车总的行程
最小为 米 .
第二试
第一题：（20分）在ABC ∆中，已知AB=2，AC=1，且12
sin 22cos 2=++C B A . （1） 求角A 的大小；和BC 边的长；
（2） 若点P 在ABC ∆内运动（含边界），且点P 到三边距离之和为d,设点P 到边BC 、CA
的距离分别为y x ,，试用y x ,表示d,并求d 的取值范围.
第二题：（20分）在平面直角坐标系中，以点C （t
t 2,
）为圆心的圆经过坐标原点O ，且分别与x 轴、y 轴交于点A 、B （不同于原点O ）.
（1） 求证：AOB ∆的面积S 为定值；
（2） 设直线42:+-=x y l 与圆C 相交于不同的两点M 、N ，且|OM |=|ON|，求圆C 的标
准方程.
第三题：（20分）如图2，锐角三角形ABC 内接于圆O ，过圆心O 且垂直于半径OA 的直线分别交边AB 、AC 于点E 、F.设圆O 在B 、C 两点处的切线相交于点P.
求证：直线AP 平分线段EF .
第四题：满分30分：
已知数列}{n a 满足：2
11=a ，1132+++=n n n n a a a a )(*∈N n 。
（1） 求数列}{n a 的通项公式；
（2） 若数列}{n b 满足：)(11*∈+
=N n a b n
n ，且对任意正整数n(n 2≥), 不等式24log 113m b n n k k
>+∑=恒成立，求整数m 的最大值。
第五题：满分30分
对于任意的正整数n,证明：
6
7)2(31...)2(31)2(312313322<-+++-++-++-n n .。