(完整版)线面平行证明的常用方法
证明线面平行的三种方法
证明线面平行的三种方法一、平行线的定义在欧几里得几何中，平行线是指在同一个平面中，永不相交的两条直线。
如果两条直线在平面上的任意一点处的夹角都相等，则这两条直线是平行线。
二、方法一：同位角定理同位角定理是证明线面平行中常用的一种方法。
同位角是指两条平行线被一条横截线所切割的角，它们在同一边的对应角。
1.假设有两条直线AB和CD，以及一条平行于AB和CD的横截线EF。
2.判断同位角：观察EF与AB和CD所形成的角，如果这些角相等，则可以得出AB和CD是平行线。
3.证明同位角相等：可以利用已知角度相等的定理，如垂直角定理（两条直线相交时，所形成的四个角中相对的角度相等）或同旁内角互补定理（两条直线切割同位角时，同位内角和邻补角的和为180度）来证明同位角相等。
三、方法二：转角定理转角定理也是证明线面平行中常用的一种方法。
该定理表明，如果两条直线所形成的转角相等，则这两条直线是平行线。
1.假设有两条直线AB和CD，以及一条与AB相交的横截线EF。
2.观察EF与AB和CD所形成的转角，如果这些转角相等，则可以得出AB和CD是平行线。
3.证明转角相等：可以利用已知角度相等的定理，如同位角定理、垂直角定理或同旁内角互补定理来证明转角相等。
四、方法三：等边三角形法等边三角形法是证明线面平行的另一种常用方法。
该方法利用了等边三角形的性质，即等边三角形的对边是平行的。
1.假设有两条直线AB和CD，以及一条与AB相交的横截线EF。
2.构造一个等边三角形AEF，其中AE=EF=AF，使得EF与CD重合。
3.由于AEF是等边三角形，所以DE=DF。
4.由于DE=DF且EF与CD重合，可以得出DE与CD重合，即DE和CD是平行线，从而得出AB和CD是平行线。
五、总结通过同位角定理、转角定理和等边三角形法，我们可以方便地证明线面平行的关系。
这些证明方法在几何学中的应用非常广泛，可以帮助我们研究和解决与平行线有关的问题。
在实际生活中，平行线的概念和性质也有着广泛的应用，如建筑、制图等领域。
判断或证明线面平行的或垂直常用方法
同学们早上先把下面知识点看完然后做后面的四个题。
做完后再看看另一个知识点解析几何常见题型。
都发布在作业里面。
线线平行的证明方法：三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。
判断或证明线面平行的常用方法包括：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．【垂直类证明方法总结】证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90度、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；1.．如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC1，AB⊥B1C.（1）求证：AO⊥平面BB1C1C；（2）若BB1=2，且∠B1BC=∠B1AC=60°，求三棱锥C1−ABC的体积.2.如图，四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥底面ABCD，△PDC是等边三角形，底面ABCD 为梯形，且∠DAB=60°，AB△CD，DC=AD=2AB=2.（△）证明：BD⊥PC△（△）求A到平面PBD的距离.3.如图，在几何体ABCDEFG中，底面四边形ABCD是边长为4的菱形，AC∩BD=O，∠ABC= 60°，AF//DE//CG，AF⊥平面ABCD，且AF=DE=4，CG=1.（1）证明：平面FBD⊥平面GBD；（2）求三棱锥G−DEF的体积.4.已知数列{a n}的通项公式为a n=n，S n为其前n项和，则数列{a n+1S n S n+1}的前8项和为__________．答案1.（1)∵四边形BB1C1C是菱形，∴B1C⊥BC1,∵AB⊥B1C,AB∩BC1=B,∴B1C⊥平面ABC1，又AO⊂平面ABC1，∴B1C⊥AO．∵AB=AC1,O是BC1的中点，∴AO⊥B1C，∵B1C∩BC1=O，∴AO⊥平面BB1C1C.（2）菱形BB1C1C的边长为2，又∠B1BC=60°,∴ΔBB1C是等边三角形，则B1C=2.由（1）知，AO⊥B1C，又O是B1C的中点，∴AB1=AC，又∠B1AC=60°,∴ΔAB1C是等边三角形，则AC=AB1=B1C=2.在RtΔACO中，AO=√AC2−CO2=√32×2=√3，∴V C1−ABC =V A−BCC1=13SΔBCC1⋅AO=13×12⋅2⋅2⋅sin120°⋅√3=12.（Ⅰ）由余弦定理得BD=√12+22−2×1×2cos60°=√3，∴BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，BD⊥AB,∵AB//DC,∴BD⊥DC.又平面PDC⊥底面ABCD，平面PDC∩底面ABCD=DC，BD⊂底面ABCD，∴BD⊥平面PDC，又PC⊂平面PDC，∴BD⊥PC.（Ⅱ）设A到平面PBD的距离为ℎ.取DC中点Q，连结PQ,∵△PDC是等边三角形，∴PQ⊥DC.又平面PDC⊥底面ABCD，平面PDC∩底面ABCD=DC，PQ⊂平面PDC，∴PQ⊥底面ABCD，且PQ=√3，由（Ⅰ）知BD⊥平面PDC，又PD⊂平面PDC，∴BD⊥PD.∴V A−PBD=V P−ABD，即13×12×√3×2×ℎ=13×12×1×√3×√3.解得ℎ=√32.3.（1）因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥BD，又AC⊥BD，AF∩AC=A，所以BD⊥平面AOF，所以BD⊥OF.因为四边形ABCD是边长为4的菱形，∠ABC=60°，所以ΔABC与ΔADC均为等边三角形，AC=4.所以OG2=OC2+GC2=5，OF2=OA2+AF2=20，FG2=AC2+(AF−GC)2=25，则OG2+OF2=FG2，所以OF⊥OG，又BD⊥OF，OG∩BD=O，所以OF⊥平面GBD，又OF⊂平面FBD，所以平面FBD⊥平面GBD.（2）因为GC//DE，DE⊂平面ADEF，GC⊄平面ADEF，所以GC//平面ADEF，所以V G−DEF=V C−DEF，取AD的中点H，连接CH，则CH=√32×4=2√3，CH⊥AD，由AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CH，又AF∩AD=A，所以CH⊥平面ADEF.所以V C−DEF=13SΔDEF⋅CH=13×12×4×4×2√3=163√3.即三棱锥G−DEF的体积为163√3.4.由等差数列前n 项和公式可得：S n =n(n+1)2，则S n+1=(n+1)(n+2)2，由数列的通项公式可得：a n+1=n +1，∴a n+1S n S n+1=4n(n+1)(n+2)=2[1n(n+1)−1(n+1)(n+2)]，则数列{a n+1Sn S n+1}的前8项和为： 2[(11×2−12×3)+(12×3−13×4)+⋯+(18×9−19×10)]=2×(12−190)=4445.【点睛】本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．。
线面平行的判定和证明
线面平行
一、基础知识：
线线平行⇒线面平行；面面平行⇒线面平行。
二、方法：
三角形法、平行四边形法、平行截面法。
三、典例：
（一）三角形法：在直线和平面外找一个点，作（找）这个点和直线上两个点的连线，再作（找）出两条连线与平面的交点，证明两个交点连线与已知直线平行，即可证明线面平行。
例1、如图，在正四棱锥ABCD P -中，a AB PA ==,点E 在棱PC 上。
问点E 在何处时，EBD //PA 平面，
练：
1⑴求证：A 1C
正三棱柱Ｃ＝2
C
图5
（三）平行截面法：过直线作（找）一个平面与已知平面平行，即可证明线面平行。
2、已知正方体
，O 是底面ABCD 对角线的交点。
求证：⑴
1、如图,
2、四边形
3、如图，11C 的中点。
（Ⅰ）证明：MN ∥平面11ACC A ；（Ⅱ）求三棱锥MNC A 1-的体积。
E
C 1
A
B
C
M
N
A 1
B 1
4、如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2。
（I）证明：直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E-PAC的体积。
5
AD
6、如图，在DM
C P
A
B
D
E。
立体几何证明方法证线面平行
方法二：面面平行，则线面平行
b
// 推理过程： b // b
二如何证明直线与平面平行：
方法三：如果两条平行线中 的一条平行于一个平面， 那么另一条直线也平行于这个平面。
a b
a // b 推理过程： a // b // b
方法演练一：
如图，在三棱锥 S ABC 中， E，F 分别是侧棱 SA，SB 的中点。 求证： EF // 平面ABC .
E F A C B S
关键点：找三角形平面
方法演练二：
如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， 点 M、N 在分别是 BC1、B1D1 的中点。 求证:MN//平面 AA1B1B
关键：构造三角形平面 A 四边形平面 面面平行
D1 N B1 D B M
C1
1
C
A
构造三角形平面
方法演练二：
如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， 点 M、N 在分别是 BC1、B1D1 的中点。 求证:MN//平面 AA1B1B
D1
构造平行 四边形平面
A1
N
G
C1 B1
D A
H
M C B
总结证明线面平行的常用方法
BC DA 1B 1C 1D 1图２AFE GαabA图1总结证明线面平行的常用方法空间直线与平面平行问题是立体几何的一个重要内容，也是高考考查的重点，下面就常见的线面平行的判定方法介绍如下：方法一、反证法【例1】求证：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．（直线与平面平行的判定定理）已知：,,a b a αα⊄⊂∥b ，如图1．求证：a ∥α．【分析】要证明直线与平面平行，可以从直线与平面平行的定义入手，但从定义来看，必须说明直线与平面无公共点，这一点直接说明是困难的，但我们可以借助反正法来证明．【证明】假设直线a 与平面α不平行，又∵a α⊄，∴a A α=．下面只要说明aA α=不可能即可．∵a ∥b ，∴a ，b 可确定一平面，设为β． 又aA α=， ∴,A a A β∈∈．又b ,A αα⊂∈，∴平面α与平面β中含有相同的元素直线b ，以及不在直线b 上的点Ａ， 由公理２的推论知，平面α与平面β重合． ∴a α⊂，这与已知a α⊄相矛盾． ∴a A α=不可能．故a ∥α．方法二、判定定理法【例2】正方体1AC 中，Ｅ、G 分别为BC 、11C D 的中点，求证：EG ∥平面11BDD B 【分析】要证明EG ∥平面11BDD B ，根据线面平行的判定定理，需在平面11BDD B 内找到一条与EG 平行的直线，充分借助Ｅ、G 为中点的条件．【证明】如图２，取BD 的中点为Ｆ，连结EF ，1D F ． ∵Ｅ为BC 的中点， ∴ EF ∥CD 且12EF CD =又∵G 为11C D 的中点， ∴ 1D G ∥CD 且112D G CD =∴ EF ∥1D G ，且1EF D G =B C DA 1B 1C 1D 1AＮＭE Ｆ图３故四边形1EFD G 为平行四边形．∴ 1D F ∥EG又1D F ⊂平面11BDD B ，且EG ⊄平面11BDD B ， ∴ EG ∥平面11BDD B 【评注】根据直线与平面平行的判定定理证明直线和平面平行的关键是在平面内找到 一条直线和已知直线平行，常用到中位线定理 、平行四边形的性质、成比例线段、平行转移法、投影法等.具体应用时,应根据题目条件而定.方法三、运用面面平行的性质定理【例3】在正方体1111ABCD A B C D -中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：MN ∥平面11AA BB ．【分析】若过MN 能作一个平面与平面11AA BB 平行，则由面面平行的性质定理，可得MN 与平面11AA BB 平行．【证明】如图3，作MP ∥1BB ，交BC 与点Ｐ，联结NP ． ∵ MP ∥1BB ，∴1CM CPMB PB=． ∵1BD B C =，DN CM =，∴1B M BN =， ∵1CM DN MB NB =，∴DN CPNB PB= ∴NP ∥CD ∥AB ， ∴面MNP ∥面11AA BB ． ∴MN ∥平面11AA BB【评注】本题借助于成比例线段，证明一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，得到这两个平面平行，进而得到线面平行，很好地体现了线面、线线、面面平行关系之间的转化思想．。
线面平行证明的常用方法
线面平行证明的常用方法线面平行的常用证明方法有以下几种：1.直线斜率法：对于一条直线和一个平面，我们可以通过计算直线的斜率和平面的法向量来判断它们是否平行。
如果直线的斜率与平面的法向量垂直，那么它们就是平行的。
举个例子，如果一条直线的斜率为m，并且平面的法向量为N(x,y,z)，那么直线和平面平行的条件是m*N=0。
2.距离法：使用距离的概念，我们可以通过计算一条直线到一个平面的距离来判断它们是否平行。
如果直线到平面的距离为0，那么它们就是平行的。
假设直线的方程为ax + by + cz + d = 0，平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，直线上任意一点的坐标为(x₀, y₀, z₀)，那么直线到平面的距离可以通过以下公式计算：distance = ，A * x₀ + B * y₀ + C * z₀ + D， / sqrt(A^2 + B^2+ C^2)如果直线到平面的距离为0，那么它们就是平行的。
3.两向量法：我们可以通过计算直线的方向向量和平面的法向量的点积来判断它们是否平行。
如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，那么它们就是平行的。
假设直线的方向向量为V(a,b,c)，平面的法向量为N(x,y,z)，那么直线和平面平行的条件是V·N=a*x+b*y+c*z=0。
4.三点共线法：对于一个包含直线上三个不同点的平面，如果这三个点共线，那么直线和平面是平行的。
假设直线上的三个点为A(x₁,y₁,z₁)，B(x₂,y₂,z₂)，C(x₃,y₃,z₃)，可以计算三个向量AB，AC和平面的法向量N进行叉乘，得到一个新的向量M。
如果M的长度为0，那么直线和平面是平行的。
5.平行线与交线法：如果两个平行的直线分别与一个平面的交线平行，并且交线不在这两条直线上，那么这两条直线和平面是平行的。
假设平行直线的方程为l₁: ax + by + cz + d₁ = 0，l₂: ax + by + cz + d₂ = 0，平面的方程为π: Ax + By + Cz + D = 0。
线面平行证明的常用方法
求证： PB // 平面 AEC .
D
分析： P
A C
E
B
G
A
B
E
D
O
C
如图⑴
如图⑵
_O
_M E
F
_A
_B
_N
如图⑶
_D _C
方法二：构造平行四边形，找平行线
例 2、如图⑵, 平行四边形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面相交，BE 分析：过点 E 作
EG O ABCD
ABCD M
OA
N
BC
MN‖ 平面OCzD
证明：如图，建立空间直角坐标系 D xyz ．
设 A(a，0，0)，S(0，0，b) ，则 B(a，a，0)，C(0，a，0)，
E
a，a 2
，0 ，F
0，a 2
，b 2
，
EF
a，0，b 2
．
因为 y 轴垂直与平面 SAD，故可设平面的法向
量为 n =（0，1，0）
则： EF
n
a，0，b 2
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线面平行证明的常用方法 张磊
立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平
行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂探讨：
方法一：中位线型：找平行线。
例 1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥 P ABCD 中，点 E 是 PD 的中点.
（0，1，0）=0
因此 EF n 所以 EF ∥平面 SAD ．
2
S
MN‖平面 BCE.
求证：
F E
N
F
B
M A
C D
D
Cy
A
EB
证明面面平行的方法
证明面面平行的方法要证明两条线段或者两个平面是平行的，我们可以通过多种方法来进行证明。
下面将介绍几种常见的方法来证明面面平行的情况。
1. 同位角相等法。
同位角是指两条直线被一条截线分成两段，而且这两段位于两条平行线的同侧，那么这两个同侧的角就是同位角。
同位角相等是平行线的一个重要性质，也是证明两条线段或者两个平面平行的重要方法之一。
在证明过程中，我们可以利用同位角相等的性质来进行推导，如果两个角相等，那么可以得出两条线段或者两个平面是平行的结论。
2. 交叉线法。
交叉线法是通过画一条与已知线段或者平面相交的线段或者平面，然后利用同位角相等或者其他性质来证明两条线段或者两个平面是平行的。
通过交叉线法，我们可以找到一些相等的角或者相等的边，从而得出两条线段或者两个平面是平行的结论。
3. 平行线的性质法。
平行线有许多重要的性质，比如平行线上的对应角相等、平行线上的内错角相等、平行线上的同位角相等等。
通过利用这些性质，我们可以证明两条线段或者两个平面是平行的。
在证明过程中，我们可以根据已知条件利用平行线的性质来进行推导，从而得出结论。
4. 转化为等价命题法。
有时候，我们可以将证明两条线段或者两个平面平行的问题转化为等价命题来进行证明。
比如，我们可以将证明两条线段平行的问题转化为证明两个三角形相似的问题，然后利用相似三角形的性质来进行证明。
通过转化为等价命题，我们可以更容易地得出结论。
综上所述，证明两条线段或者两个平面平行的方法有很多种，可以根据具体情况选择合适的方法来进行证明。
在证明过程中，我们需要充分利用已知条件和平行线的性质，通过推导和演算来得出结论。
希望以上介绍的方法能够帮助大家更好地理解和应用平行线的性质，从而更准确地进行证明。
证明线面平行的三种措施
探索探索与与研研究究线面平行指的是直线与平面平行，是一种较为常见的空间位置关系.证明线面平行问题侧重于考查线线平行、面面平行、线面平行的定义以及定理.下面主要介绍三种证明线面平行的思路.一、利用线面平行的判定定理线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.利用线面平行的判定定理证明线面平行，关键在于找到一组平行线，使其分别位于平面内外.可从下面两个角度寻找：1.利用中位线的性质三角形的中位线有一个重要的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.在证明线面平行时，可根据几何图形的特点，寻找或选取中点，并添加辅助线，构造出三角形的中位线，以根据中位线的性质找到一组平行线，使两条直线分别在平面内外，即可利用线面平行的判定定理证明线面平行.例1.如图1所示，在直三棱柱ABC -AB C 1中，D ,E 分别是AB ,BB 1的中点，AA 1=AC =CB =AB ，证明：BC 1∥平面A 1CD .图1证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为A 1C 的中点，因为D 是AB 的中点，连接DF ，则在△ABC 1中，DF 是△ABC 1的中位线，所以BC 1∥DF ，又因为DF ⊂平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .观察图形，可以发现BC 1∥DF .而D ,E 分别是线段AB ,BB 1的中点，于是依次连接AC 1和DF .此时线段DF 为△ABC 1的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边的性质可得出BC 1∥DF ，即可根据线面平行的判定定理证明BC 1∥平面A 1CD .2.利用平行四边形的性质我们知道，平行四边形的两组对边平行且相等.在证明线面平行时，可以将平面内的一条直线平移到平面外的某一点，使两条直线成为平行四边形的一组对边，即可根据平行四边形的性质：一组对边平行且相等，构造出一组平行线，就可以直接根据线面平行的判定定理证明线面平行.例2.如图2所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB =2CD ，点M 为AB 的中点，求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1.图2证明：连接AD 1，因为底面ABCD 为等腰梯形，所以AB ∥CD ，因为点M 为AB 的中点，所以CD 平行且等于MA ，因为在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CD 平行且等于C 1D 1，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，所以C 1M ∥D 1A ，又D 1A ⊂平面A 1ADD 1，C 1M ⊄平面A 1ADD 1，51所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.连接AD 1，构造出平行四边形AMC 1D 1，即可得到一组平行线C 1M 、D 1A .此时AD 1为平面A 1ADD 1内的一条直线，C 1M 为平面A 1ADD 1外的一条直线，根据线面平行的判定定理，即可证明C 1M ∥平面A 1ADD 1.二、利用面面平行的性质当无法直接根据线面平行的判定理证明线面平行时，可以先根据面面平行的判定定理找到或证明两个平面平行；然后利用面面平行的性质：如果两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面，来证明线面平行.例3.如图3，线段AC 、DF 分别为正方形ABCD 和正方形CDEF 的对角线，M ,N 分别是线段AC 、DF 上的点，且AM =12MC ，DN =12NF ，证明：MN ∥平面BCF .证明：如图3，在DC 上取G 点，使DG =12GC ，连接NG 、MG ，则G 点是DC 上的一个三等分点，所以GC DG =MCAM，所以MG ∥AD ，而AD ∥BC ，可得MG ∥BC ，所以MG ∥平面BCF ，同理可得DG GC =DNNF，所以NG ∥FC ，所以NG ∥平面BCF ，所以平面MNG ∥平面BCF ，又因为MN ⊂平面MNG ，所以MN ∥平面BCF .我们根据题意，在平面BCF 内很难找到一条直线与MN 平行.于是根据AM =12MC ，DN =12NF ，添加辅助线，构造出一个与平面BCF 平行的平面NMG .根据线面平行的判定定理证明平面MNG ∥平面BCF 后，即可根据面面平行的性质定理证明MN ∥平面BCF .三、构造空间向量在证明线面平行受阻时，可以根据几何体的结构特征，构造出空间向量，通过空间向量运算，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，即可证明直线与平面平行.在解题时，要根据几何体的特征，寻找或构造垂直关系，使三条垂线相交于一点，并将其视为三条坐标轴，即可构造出空间直角坐标系.例4.如图4所示，已知四边形ABEF 是矩形，△ABC 是等腰三角形，平面ABEF ⊥平面ABC ，∠BAC =120°，AB =12AF =4，CN =3NA ，M ,P ,Q 分别是AF ,EF ,BC 的中点，求证：直线PQ ∥平面BMN .图4图5证明：以A 为原点、AB 为x 轴、AF 为z 轴，建立如图5所示的空间直角坐标系，可得A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (-2,23,0)，F (0,0,8)，E (4,0,8)，P (2,0,8)，Q (1,3,0)，M (0,0,4)，N (-12)，则 BN =()-920， BM =()-4,0,4，设平面BMN 的法向量n=(x,y,z )，则ìíîn ⋅ BN =0,n ⋅BM =0,得ìíîïï-92x +y =0,-4x +4z =0,令x =1，则ìíîy =33,z =1,所以n =(1,33,1)，因为PQ =(-1,3,-8)，所以n ⋅ PQ =-1+9-8=0，所以n ⊥ PQ ，因为PQ ⊄平面BMN ，所以PQ ∥平面BMN .我们根据平面ABEF ⊥平面ABC ，以A 为原点、AB 为x 轴、AF 为z 轴、垂直于AB 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，求得PQ 以及平面MNB 的法向量，证明二者垂直，即可证明PQ ∥平面BMN .总之，在证明线面平行时，要注意：（1）根据题意寻找平行关系，如中位线、平行四边形的对边；（2）灵活运用线面平行的判定定理、面面平行的性质定理；（3）合理添加辅助线，构造空间直角坐标系.（作者单位：宁夏回族自治区银川市灵武市第一中学）探索探索与与研研究究图352。
证线面平行的常见方法
证线面平行的常见方法1. 用对称性证明线面平行如果两条线段或两个平面之间具有对称性，那么这两者之间的关系就是平行的。
如果两个平面对于某个轴对称，那么它们就是平行的。
如果两条线段相对称，那么就可以通过平移来证明它们平行。
举个例子，如果我们有两个互相垂直的平面，那么它们对于它们的交线具有对称性。
我们可以通过将一个平面上的点对称到另一个平面上来证明这两个平面平行，其中每个点都延伸至它们与交线的距离相等。
另一种证明线面平行的方法是使用投影。
这种方法将两个物体的轮廓投射到同一个平面上，以确定它们是否平行。
如果我们有两条相交的线段，我们可以将它们沿着它们的交点投影到一个新的平面上，然后判断它们是否平行。
如果它们在新平面上的投影是平行的，那么它们本身应该是平行的。
相似三角形定理是在几何学中非常有用的，它可以帮助我们证明三角形之间的相似性以及线面之间的平行性。
当两个三角形中每个角度的大小相等时，它们就是相似的。
根据相似三角形定理，相似的三角形具有相同的比例。
假设我们有两个平行的直线和一条横跨它们的任意直线，如果我们从这条横跨的线上任意选择两个点来与两个平行直线相交，那么与它们相交的各个线段所代表的三角形就是相似的。
因为这些三角形都有相同的角度大小和形状，它们之间的相似性可以用相同的比例来表示。
垂直线性质是在证明线面平行时经常用到的一种方法。
如果一条线段与另外两条直线的夹角均为直角，则这两条直线是平行的。
这个性质也适用于平面上两个直角相交的线。
举个例子，如果我们有两条相交的直线和一条平行于其中一条直线的第三条直线，那么与平行线相交的其他直线的夹角应该是直角，否则平行线将无法保持平行。
这证明了平行线的存在。
向量是另一种证明线面平行的有用工具。
向量的方向和大小定义了一条直线或一个平面的性质。
如果给定两个向量，我们可以通过它们的点积和叉积来计算它们之间的夹角和平行性。
总结：证明线面平行是建立几何学定理的基础之一，在几何学中有重要的应用。
证明线面平行的方法(共10篇)
证明线面平行的方法（共10篇）篇1：证明线面平行一，面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内二，面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调面外三，证明线面无交点四，反证法(线与面相交，再推翻)五，空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量(x1x2-y1y2=0)2【直线与平面平行的判定】定理:平面外的一条直线平行于这个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面。
【判断直线与平面平行的方法】(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面3篇2：证明线面平行【直线与平面平行的判定】定理:平面外的一条直线平行于这个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面。
【判断直线与平面平行的方法】(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的`直线必平行于另一个平面。
【平面与直线平行的性质】定理:若一条直线平行于一个平面，则通过该直线的任意平面与该平面的交线平行于该直线。
这个定理揭示了直线与平面的平行性隐含着直线之间的平行性。
可以得出直线平行于平面。
这提供了一种制作平行线的重要方法。
注意:直线平行于平面并不意味着所有的直线都平行于平面，而是直线垂直于平面，所以这条直线垂直于平面中的所有直线。
3本题就用到一个关键概念：重心三分中线设E为BD的中点，连接AE，CE则M在AE上，且有AM=2MEN在CE上，且有CN=2NE在三角形ACE中，因为，EM:EA=1:3EN:EC=1:3所以，MN//ACAC属于平面ACD，MN不在平面ACD内，即无公共点所以，MN//平面ACD本题就用到一个关键概念：重心三分中线设E为BD的中点，连接AE，CE则M在AE上，且有AM=2MEN在CE上，且有CN=2NE在三角形ACE中，因为，EM:EA=1:3EN:EC=1:3所以，MN//ACAC属于平面ACD，MN不在平面ACD内，即无公共点所以，MN//平面ACD篇3：证明线面平行的方法证明线面平行的方法证明线面平行的方法线面平行重点难点剖析线面平行关系的判断和证明是空间线面位置关系的研究重点之一，它包括直线与直线的平行，直线与平面的平行以及平面与平面的平行.本节复习包括首先要系统梳理有关判断、证明线面平行关系的各种依据，其中既包括有关定义、公理，还包括相应的判定定理或性质定理.梳理中不仅要明确有关判断、证明各有哪些依据，还要体会不同的依据在思维策略上给我们的指导.例如判断线面平行可有三种思维策略：(1)从概念考虑，即依据线面平行的'定义作思考，这就需要证明直线和平面没有公共点.证明方法通常选择反证法.(2)从降级角度考虑，即通过证明线线平行来证明线面平行.其依据为：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.证明方法通常是把平面外的这条直线经过平移，移到这个平面中去.(3)从升级角度考虑，即通过证明面面平行来证明线面平行.其依据为：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.证明方法是找出一个与这个平面平行的平面，并且使这条直线正好在所找的平面内.其中思维策略的选择不仅要注意建立这种意识，还要根据不同问题的不同条件，才能作出恰当的选择.在复习中应注意积累这种思考、选择的经验.2题目如图1,已知四边形ABCD,ABEF为两个正方形,MN分别在其对角线BF和AC上,且FM=AN,求证:MN∥平面EBC.一、找“线线平行”思考1如图2,过M作MH∥EF交BE于H,则MHEF=BBMF.过N作NG∥AB交BC于G,则NGAB=CANC.由于四边形ABCD,ABEF为两个全等正方形,则BF=AC,EF=AB,又因为FM=AN,所以MH∥NG且MH=NG,故四边形MHGN为平行四边形,所以MN∥平面EBC.思考2如图3,连结AM并延长交BE于K,则CK在平面EBC内.由题意,知△AFM∽△BKM,则AMMK=BFMM,因为FM=AN,BF=AC,则FMBM=ANNC,所以在△ACK中,有AMMK=ANNC,则MN∥CK,所以MN∥平面EBC.注在平面内找一条直线与平面外直线平行,通常有两种方法可找:①构造平行四边形;②构造三角形,利用对应边成比例.二、找“面面平行”思考3如图4,过M 作MH∥BE,交AB于H,连结NH,则BMBF=BBHA.由于四边形ABCD,ABEF为全等的的正方形,又因为FM=AN,则有BMBF=CCNA,所以在3线面的我已经给你了我来补充线线的1.垂直于同一平面的两条直线平行2.平行于同一直线的两条直线平行3.一个平面与另外两个平行平面相交,那么2条交线也平行4.两条直线的方向向量共线,则两条直线平行篇4：高中数学证明线面平行方法一.线面平行判断方法(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;(3)利用平行平面的性质:如果两个平面平行，则一个平面中的直线一定平行于另一个平面。
线面平行的证明
4. 面面平行模型：
a
例. 如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF,2CE=FD． 求证：BE//平面ADF.
F
E G
D A
C B
证明:
∵ CE // DF , DF 平面ADF , CE 平面ADF ∴ CE // 平面ADF , ∵ 四边形ABCD为矩形 ∴ BC// AD ∵ AD 平面ADF , BC 平面ADF ∴ BC // 平面ADF ∵ BC CE C
F
4. 如图，在三棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC， AA1=AC=2，E、F分别为A1C1、BC的中点.
（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1； （2）求证：C1F//平面ABE； （3）求三棱锥E-ABC的体积.
A1
E
C1
B1
A G
C F B
5. 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，AD=2 ， BA=BD = ， PA=PD= , E、F分别2 是棱AD、PC5的中点.
F B
E C
10. 三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直， ∠ABC=90° ， AB=BC=BB1=2，M、N分别是AB、AC1的中点． 求证：MN//平面BCC1B1；
A
M
B
C
N
A1
B1
C1
11.如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC, 且各棱长均相等. D、 E、F分别为棱AB, BC, A1C1的中点. (Ⅰ) 证明：EF//平面A1CD； (Ⅱ) 证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1； (Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
12. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形,PA⊥平面
高中证明线面平行的所有方法
高中证明线面平行的所有方法
要证明线面平行,需要证明两个线在面内的交点平行。
一种常见的方法是通过垂径定理来证明。
垂径定理指出,如果两条直线被一条平面所截,垂径交点是这两条直线的交点,也就是说,如果两条直线相交于一个点,则它们向量方向相同。
接下来,我们来证明两个线在面内的交点平行。
假设两条直线在面内相交于一个点O,我们要证明该点O与面内某个点P平行。
我们可以取一个平面法向量方向为正方向,然后从O点开始沿着该方向向外度量,直到度量到面内的点P。
由于O是两条直线的交点,因此有PO是一个法向量。
我们可以使用垂径定理,假设PO与线AB的法向量方向相同,垂径交点为D。
由于AB与CD是面内的两条直线,因此有BA平行于CD。
因此,从B点沿着BA向量方向的垂线与从C点沿着CD向量方向的垂线相交于D点,也就是说,D点与面内的点P平行。
因此,我们证明了线面平行的结论。
高中数学证明线面平行方法
高中数学证明线面平行方法一.线面平行判断方法(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
>>>二.证明线面平行的方法一，面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内版二，面外一直线上不同两点到面的权距离相等，强调面外三，证明线面无交点四，反证法(线与面相交，再推翻)五，空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量(x1x2-y1y2=0)>>>三.高中数学必考知识点必修一：1、集合与函数的概念 (这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用 (比较抽象，较难理解)首先，在高中必考数学知识点归纳整理，集合的初步知识与其他知识点密切联系。
它们是学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点。
所以同学在集合与函数的概念一定要学扎实。
同学们应该知道，函数在高中是最重要的基本概念之一，老师运用有关的概念和函数的性质，培养学生的思维能力。
必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。
立体几何这部分对高一同学是难点，因为需要同学立体意识较强。
在学习立体几何证明：垂直(多考查面面垂直)、平行在学习空间几何体、点、直线、平面之间的位置关系时，重点要帮助学生逐步形，逐步掌握解决立体几何的相关问题。
必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容。
在学习算法初步、统计等内容的时候，要注意顺序渐进，不可追求一步到位，特别要注意其思想的重要性。
必修四：1、基本初等函数(三角函数：图像、性质、高中重难点)这个是高考中占分最多的题目。
2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。
(完整版)线面平行证明的常用方法
线面平行证明的常用方法张磊立体几安在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；要点观察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们此刻对线面平行这一方面作以下商讨：方法一：中位线型：找平行线。
例 1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD 中，点 E 是 PD 的中点.求证： PB // 平面 AEC .D O剖析：PAEC MA EB GBD OEF A DC如图⑴如图⑵如图⑶ B N C 方法二：结构平行四边形，找平行线例 2、如图⑵ , 平行四边形 ABCD和梯形 BEFC 所在平面订交， BE//CF ，求证：AE// 平面 DCF.剖析：过点 E 作 EG//AD交 FC 于 G， DG 就是平面 AEGD与平面 DCF 的交线，那么只需证明AE//DG即可。
方法三：作协助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已知平面平行的平面例 3、如图⑷，在四棱锥O ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，M 为 OA 的中点， N 为 BC 的中点，证明：直线MN ‖平面 OCD剖析：：取 OB 中点 E，连结 ME ， NE，只需证平面 MEN平面 OCD 。
方法四：利用平行线分线段成比率定理的逆定理证线线平行。
例 4、已知正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在的平面订交于AB ，点 M，N 分别在AC 和 BF 上，且 AM=FN.z求证： MN ‖平面 BCE.SEFF NCBM D C yD AA E B如图⑷如图⑸如图⑹例 5．如图⑸， 已知三棱锥Ｐ —ＡＢＣ， Ａ′， B ′，C ′是△ PBC, △PCA, △PAB的重心 .(1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ； (2)求 S △A ′B ′C ′：S △ ABC .方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，要点：成立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。
证明线面平行的方法
证明线面平行的方法在几何学中，线面平行是一个重要的概念。
在我们的日常生活和工作中，我们经常会遇到需要证明线面平行的问题，因此了解如何证明线面平行的方法是非常重要的。
下面，我将介绍几种常用的证明线面平行的方法。
首先，我们来看一种常用的证明线面平行的方法——同位角相等。
同位角是指两条直线被一条截线所切割，所形成的相对位置相同的角。
当两条直线被一条截线所切割时，如果同位角相等，那么这两条直线就是平行的。
这是由于同位角相等是线面平行的充分必要条件。
因此，当我们需要证明两条直线是平行的时候，可以通过证明它们的同位角相等来实现。
其次，我们可以利用平行线的性质来证明线面平行。
平行线的性质是指，如果一条直线与两条平行线相交，那么它所形成的对应角相等。
这个性质可以用来证明线面平行的方法是非常常用的。
例如，当我们需要证明一条直线与一条平行线平行时，可以通过证明它们所形成的对应角相等来实现。
另外，我们还可以利用垂直线的性质来证明线面平行。
垂直线的性质是指，如果一条直线与一条平行线相交，那么它所形成的对应角互补。
这个性质也可以用来证明线面平行的方法。
例如，当我们需要证明一条直线与一条平行线平行时，可以通过证明它们所形成的对应角互补来实现。
除了以上提到的方法外，我们还可以利用平行线的性质来证明线面平行。
平行线的性质是指，如果一条直线与两条平行线相交，那么它所形成的内角相等，外角相等。
这个性质也可以用来证明线面平行的方法。
例如，当我们需要证明一条直线与一条平行线平行时，可以通过证明它们所形成的内角相等，外角相等来实现。
综上所述，证明线面平行的方法有很多种，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来进行证明。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题来选择合适的方法，从而有效地解决问题。
通过掌握这些方法，我们可以更加灵活地应用几何知识，提高解决问题的效率。
希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解和运用证明线面平行的方法。
证明线面平行的条件
证明线面平行的条件一、线面平行的定义线面平行是指一条直线与一个平面没有交点，也就是说，这条直线和平面之间没有共同的点。
二、线面平行的条件要证明一条直线与一个平面平行，需要满足以下条件：1. 直线与平面的法向量平行直线与平面的法向量平行是判断线面平行的基本条件。
如果一条直线的方向向量与平面的法向量平行，那么这条直线与平面平行。
2. 直线上的一点到平面的距离在直线上取一点，然后计算这个点到平面的距离。
如果这个距离是一个常数，那么这条直线与平面平行。
3. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角也可以用来判断线面平行的条件。
如果直线与平面的夹角为零度或180度，那么这条直线与平面平行。
三、证明线面平行的方法1. 使用向量法证明线面平行向量法是证明线面平行最常用的方法之一。
具体步骤如下：1.确定平面的法向量。
2.确定直线的方向向量。
3.判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行。
4.如果直线的方向向量与平面的法向量平行，则可以得出结论，直线与平面平行。
2. 使用距离法证明线面平行距离法也是证明线面平行的一种方法。
具体步骤如下：1.在直线上取一点P。
2.计算点P到平面的距离。
3.移动点P，并再次计算点P到平面的距离。
4.如果这两次计算得到的距离是相等的，那么可以得出结论，直线与平面平行。
3. 使用夹角法证明线面平行夹角法也可以用来证明线面平行的条件。
具体步骤如下：1.确定直线与平面的夹角。
2.判断直线与平面的夹角是否为零度或180度。
3.如果直线与平面的夹角为零度或180度，则可以得出结论，直线与平面平行。
四、线面平行的应用线面平行的概念在几何学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.平行线与平行面的相交关系。
2.平行线与平面的投影关系。
3.平行线与平面的交点计算。
4.平行线与平面的解析几何问题。
五、总结线面平行是几何学中的重要概念，可以通过判断直线与平面的法向量平行、直线上的一点到平面的距离、直线与平面的夹角等条件来证明。
证明线面平行的条件
证明线面平行的条件线面平行是几何学中的一个重要概念，它在很多实际问题中都有着广泛的应用。
线面平行的条件可以通过以下几个方面来进行证明。
我们需要了解线面平行的定义。
在三维空间中，当一条直线与一个平面不存在交点时，我们称这条直线与该平面平行。
那么，我们可以根据这个定义来推导出线面平行的条件。
条件一：直线与平面的法向量平行我们需要知道一个重要的性质：平面上的任意两个非平行向量的叉乘是垂直于这个平面的法向量。
根据这个性质，我们可以得出线面平行的第一个条件：直线的方向向量与平面的法向量平行。
假设直线的方向向量为v，平面的法向量为v，如果v和v平行，那么根据向量的平行性质，我们可以得出直线与平面平行的结论。
条件二：直线上的一点到平面的距离为常数我们需要知道一个关于点到平面距离的重要定理：点到平面的距离等于点到平面上的一点到该平面的垂直距离。
根据这个定理，我们可以得出线面平行的第二个条件：直线上的任意一点到平面的距离为常数。
假设直线上的一点为v，平面上的一点为v，平面的法向量为v，如果点v到平面的距离为常数v，那么根据点到平面的距离定理，点v 到平面的垂直距离也为v。
由于点v在平面上，所以点v到平面的垂直距离为0。
因此，我们可以得出直线与平面平行的结论。
线面平行的条件可以归纳为直线的方向向量与平面的法向量平行，并且直线上的任意一点到平面的距离为常数。
这两个条件同时满足时，我们可以得出直线与平面平行的结论。
线面平行的概念在几何学中有着广泛的应用，例如在计算机图形学中用于进行三维模型的投影和渲染，以及在物理学中用于描述光线的传播和反射等等。
掌握线面平行的条件可以帮助我们更好地理解和应用这些领域的知识。
总结一下，线面平行的条件是直线的方向向量与平面的法向量平行，并且直线上的任意一点到平面的距离为常数。
通过这两个条件的推导和证明，我们可以得出直线与平面平行的结论。
这个结论在几何学中有着广泛的应用，并且对于解决实际问题具有重要意义。
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线面平行证明的常用方法 张磊
立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：
方法一：中位线型：找平行线。
例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC 分析：
如图⑴ 如图⑵ 如图⑶ 方法二：构造平行四边形，找平行线
例2、如图⑵, 平行四边形ABCD 和梯形BEFC 所在平面相交，BE//CF ，求证：AE//平面DCF.
分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG 就是平面AEGD
与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG 即可。
方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已
知平面平行的平面
例3、如图⑷，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 为菱形， M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN OCD 平面‖ 分析：：取OB 中点E ，连接ME ，NE ，只需证平面MEN 平面OCD 。
方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。
例4、已知正方形ABCD 和正方形ABEF AC 和BF 上，且AM=FN. 求证：MN ‖平面BCE.
如图⑷ 如图⑸ 如图⑹
E B A D C G
F F y C B E D A S
z
_ M _ D
_ A B _ O E P E D C B O A B C
D E F N M
例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′，C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心.
(1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ；
(2)求S △A ′B ′C ′：S △ABC .
方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系
（或找空间一组基底）及平面的法向量。
例6、如图⑹，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，
侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．证明EF ∥平面SAD ；
分析：因为侧棱SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。
证明：如图，建立空间直角坐标系D xyz -．
设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，，
00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，，． 因为y 轴垂直与平面SAD ，故可设平面的法向
量为n =（0，1，0）
则：02b EF n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，（0，1，0）=0
因此 EF n ⊥
所以EF ∥平面SAD ．。