数字信号处理DSP第七章3

第七章 有限长单位脉冲响应（FIR）数字滤波器的设计
2）采用优化设计法，以便根据设计指标选择优化参 数（过渡带采样点的个数m和h(n)的长度N）进行优化 设计。 基本思想： 将过渡带采样值设为自由量，用一种优化算法改 变它们的取值，最终使阻带最小衰减最大。 过渡点的个数和幅度可用计算机辅助设计经验数据： m 1 44~54dB 2 65~75dB 3 85~95dB
内插函数
1 sin (ω N / 2 ) ϕ (ω ) = e N sin(ω / 2)
⎛ N −1 ⎞ − jω ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
实际设计的滤波器的频率响应：
2π H ( e ) = ∑ H d ( k )ϕ (ω − k) N k =0
jω N −1
=e
⎛ N −1 ⎞ − jω ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
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H (ω )
频域幅度采样及内插波形H(ω)
Hg (ω)
H (ω)
ω
2π N
主要表现：间断点变成倾斜下降的过渡带曲线，过渡 带宽近似为2π/N；通带和阻带内产生震荡波纹，且间 断点附近震荡幅度最大，使得阻带衰减减小。
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即Hg(k)关于N/2奇对称，且Hg(N/2)=0。
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对于理想低通滤波器，截止频率为ωc ,采样点数N，则 N为奇数时
H dg (k ) = H dg ( N − k ) = 1, k = 0,1,..., kc
H dg (k ) = 0,
k = kc + 1, kc + 2,..., N − kc − 1
Hd(ejω) =Hdg(ω)e-j ω(N-1)/2
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(4)对理想频率响应进行采样，离散采样点满足对称约束 N −1 πk − 2 π jω N
Hd (k ) = Hd (e )
ω=
2π k N
= Hdg (
N
k ) = Hg (k )e
, k = 0,1,2,", N −1
H g (0) = 1,
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对理想低通进行采样
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32 32 θ (0) = 0, θ (k ) = − π k , θ (33 − k ) = π k , k = 1, 2, ⋅⋅⋅,8 33 33
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2、设计线性相位滤波器对Hd(k)的约束条件 第一类线性相位，h(n)=h(N-n-1)且为实序列。 其频率响应满足：
H d (e ) = H d g (ω )e
N −1 θ (ω ) = − ω 2
jω
jθ (ω )
H dg (ω ) = H dg (2π − ω )，N = 奇数
k = 0,1,..., N − 1
N −1 θ (k ) = − π k, N
kc为[0, 2π]内第一个通带内最后一个采样点序号。 kc=| Nωc /2 π |
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N为偶数时
H dg (k ) = 1, k = 0,1,..., kc
H dg (k ) = 0, k = kc + 1, kc + 2,..., N − kc − 1
k=0时，单独取值！
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满足线性相位的频域采样条件：
N − 1 2π N −1 θ (k ) = − πk k=− 2 N N N为奇数时
H dg (k ) = H dg ( N − k )
即Hg(k)关于N/2偶对称。 N为偶数时
H dg (k ) = − H dg ( N − k )
采样点频率特性
采样点相位特性
H d ( k ) = H g ( k )e
jθ ( k )
所设计滤波器的冲激响应为
2π 其中 an = ( n − 16 ) , 33
h(n) = IDFT [ H d (k ) ] 1 2 = + [cos an + cos 3an + cos 5an + cos 7 an 33 33 + cos bn + cos 2bn + cos 3bn + cos 4bn ]
H dg ( N − k ) = −1,
N −1 θ (k ) = − π k, N
kc=| Nωc /2 π |
k = 1, 2， ..., kc
k = 0,1,..., N − 1
注意：高通和带阻滤波器，N只能取奇数。
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3、 逼近误差及其改进措施 （1） 时域误差分析 若待设计的滤波器为Hd(ejω), 单位抽样响应为hd(n)，
误差分析： a) 与理想幅度特性Hg(ω)的平滑程度有关，理想频率 响应特性变化越平缓，内插越接近理想值，逼近误 差越小。 例如, 理想特性为一梯形响应，变化很缓 和，因而采样后逼近效果就较好。
H (ω )
ω
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b) 如果采样点之间的理想频率特性变化越陡，则内插值 与理想值的误差就越大；因而在理想频率特性的不连 续点附近，就会产生肩峰和起伏，即Hg(ω)的间断点 处，误差最大。例如一个矩形的理想特性，它在频率 采样后出现的肩峰和起伏就比梯形特性大得多。
H dg (ω ) = − H dg (2π − ω ), N = 偶数
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第二类线性相位，h(n)=-h(N-n-1)且为实序列。 其频率响应满足：
H d (e ) = H dg (ω )e
jω
sin (ω N / 2 − kπ ) H d (k ) sin(ω / 2 − π k / N )
=e
⎛ N −1 ⎞ − jω ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
1 N
sin (ω N / 2 − kπ ) H dg (k ) ∑ sin(ω / 2 − π k / N ) k =0
N −1
H d (k ) = H dg (k )e jθ ( k ) N −1 θ (k ) = − πk N
jθ (ω )
N −1 θ (ω ) = − − ω 2 2
π
H dg (ω ) = − H dg (2π − ω )
N为奇数 N为偶数
H dg (ω ) = H dg (2π − ω )
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我们分析第一类，在ω=0～2π之间等间隔采样N点，
αs
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四、 FIR滤波器的频率采样设计步骤 设所设计滤波器的截止频率为ωc，过渡带宽为Δω， 阻带最小衰减为αs。 （1）根据阻带最小衰减，选择过渡带采样点个数m。 （2）由过渡带宽Δω ，计算滤波器长度 N≥(m+1)(2π/Δω) 。 （3）构造希望逼近的频率响应函数，一般构造幅度特 性函数Hdg(ω)为理想频率响应特性，且满足对称性。
第七章 有限长单位脉冲响应（FIR）数字滤波器的设计
第7章 有限脉冲响应数字滤波器设计
7.1 线性相位FIR滤波器的特点 7.2 用窗函数法设计FIR滤波器 7.3 用频率采样法设计FIR滤波器 7.5 FIR滤波器和IIR滤波器的比较
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7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器
2π ωk = k , k = 0,1, 2, ⋅⋅⋅, N − 1 N
H d (k ) = H d g (k )e jθ ( k )
将其写成k的函数
N − 1 2π N −1 θ (k ) = − πk k=− 2 N N
H dg (k ) = H dg ( N − k ), N = 奇数
H dg (k ) = − H dg ( N − k ), N = 偶数
d
1 h(n) = N
∑H
k =0
N −1
( k )e
j 2 π nk / N
H (z) =
∑ h(n) z
n=0
N −1
−n
2) 内插公式---频率采样型结构
1 − z−N H ( z) = N
∑
k =0
N −1
H d (k ) 1− e
j 2π k N
z −1
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其中
sin (ω N / 2 ) φ (ω ) = N si0,
ω =0 ω = 2π k / N
矩形窗 幅度谱
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采样点上: H(2π k/N)=Hdg(k)误差为0。 采样点之间: H(ω)是Hdg(k)与内插函数相乘叠加, 误差≠0。误差大小取决于理想频率响应曲线形状。
改进措施如何？ 增加采样点数N？图7.3.2
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有效改进措施： 1）在频响间断点附近地插入几个过渡采样点使不连 续点变成缓慢过渡。以加宽过渡带为代价换取通带和 阻带内波纹幅度的减小。 每增加一个过渡点过渡带宽增加2π/N。 过渡带宽度 与N成反比； 与过渡采样点的个数成正比； 阻带衰减 与N无关； 与过渡采样点的个数和幅度有关；
例