《正弦定理》(人教)
高中数学人教版必修5课件：1.1.1正弦定理(系列三)
典型例题 例1 已知一三角形中a＝2 3 ，b＝6，A＝30°，判断三角形是
否有解，若有解，解该三角形．
解 a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90°.
又因为bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，
所以本题有两解，由正弦定理得，
sinB＝bsian
A＝6sin 2
30°＝ 3
23，故B＝60°或120°.
跟踪训练1 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、
c，已知A＝60°，a＝ 3，b＝1，则c等于
(B )
A．1 B．2 C. 3－1 D. 3
解析 由正弦定理sina A＝sinb B，可得sin 630°＝sin1 B，
∴sinB＝12，故∠B＝30°或150°.由a>b，
得∠A>∠B，∴∠B＝30°，故∠C＝90°，
由勾股定理得c＝2.
例2 在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC 的面积．
解 如图，由正弦定理，
得sin
1720°＝sin5
， C
∴sinC＝5143，且∠C为锐角(∠A＝120°)．∴cosC＝1114. ∴sinB＝sin(180°－120°－∠C)＝sin(60°－∠C) ＝ 23cosC－12sinC＝ 23×1114－12×5143＝3143.
证明 作AD⊥BC，垂足为D， 则AD＝AB·sinB，又AD＝AC·sinC，
∴csinB＝bsinC.
∴S△ABC＝12BC·AD ＝12acsinB＝12absinC. 同理S△ABC＝12absinC＝12bcsinA.
∴S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.
人教版正弦定理说课稿(共14篇)
人教版正弦定理说课稿〔共14篇〕篇1：《正弦定理》说课稿大家好，今天我向大家说课的题目是《正弦定理》。
下面我将从以下几个方面介绍我这堂课的教学设计。
一、教材分析^p本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角的根本关系有亲密的'联络与断定三角形的全等也有亲密联络，在日常生活和工业消费中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联络在高考当中也时常考一些解答题。
因此，正弦定理和余弦定理的知识非常重要。
根据上述教材内容分析^p ，考虑到学生已有的认知构造心理特征及原有知识程度，制定如下教学目的：认知目的：通过创设问题情境，引导学生发现正弦定理的内容，掌握正弦定理的内容及其证明方法，使学生会运用正弦定理解决两类根本的解三角形问题。
才能目的：引导学生通过观察，推导，比拟，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维才能，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题。
情感目的：面向全体学生，创造平等的教学气氛，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，激发学生学习的兴趣。
教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及根本应用。
教学难点：两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
二、教法根据教材的内容和编排的特点，为是更有效地突出重点，空破难点，以学业生的开展为本，遵照学生的认识规律，本讲遵照以老师为主导，以学生为主体，训练为主线的指导思想，采用探究式课堂教学形式，即在教学过程中，在老师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为根本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开场，到猜测的得出，猜测的探究，定理的推导，并逐步得到深化。
三、学法指导学生掌握“观察――猜测――证明――应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。
高中数学正弦定理教案5篇
高中数学正弦定理教案5篇高中数学正弦定理教案篇1一、教材分析《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容，也是三角形理论中的一个重要内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。
在此之前，学生已经学习过了正弦函数和余弦函数，知识储备已足够。
它是后续课程中解三角形的理论依据，也是解决实际生活中许多测量问题的工具。
因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际应用中灵活变通。
二、教学目标根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：知识目标：理解并掌握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。
能力目标：探索正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论，并能掌握多种证明方法。
情感目标：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。
三、教学重难点教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。
教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
四、教法分析依据本节课内容的特点，学生的认识规律，本节知识遵循以教师为主导，以学生为主体的指导思想，采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，并且运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。
即指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法。
学生采用自主式、合作式、探讨式的学习方法，这样能使学生积极参与数学学习活动，培养学生的合作意识和探究精神。
五、教学过程本节知识教学采用发生型模式：1、问题情境有一个旅游景点，为了吸引更多的游客，想在风景区两座相邻的山之间搭建一条观光索道。
已知一座山A到山脚C的上面斜距离是1500米，在山脚测得两座山顶之间的夹角是450，在另一座山顶B测得山脚与A山顶之间的夹角是300。
人教版高中数学必修2《正弦定理》PPT课件
2．正弦定理的常见变形：
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R 为△ABC 外接圆的半径)．
(2)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR(R 为△ABC 外接圆的半径)．
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
题型一 已知两角及一边解三角形
【学透用活】
[典例 1] (1)在△ABC 中，c＝ 3，A＝75°，B＝60°，则 b 等于 ( )
32 A. 2
3 B.2 2
3
6
C.2
D. 2
(2)在△ABC 中，已知 BC＝12，A＝60°，B＝45°，则 AC＝_________.
[解析] (1)因为 A＝75°，B＝60°，
[方法技巧] 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角
三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正
弦定理判断三角形形状的方法如下：
(1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：①a＝2Rsin A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C(R
为△ABC
＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为
()
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
解析：由射影定理得 bcos C＋ccos B＝a，则 a＝asin A，于是 sin A＝ 1，即 A＝90°，所以△ABC 的形状为直角三角形．
答案：B
[应用二] 设△ABC 的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c.已知 bcos
形，故选 D.
答案：D
人教版高中数学必修五正弦定理和余弦定理课件
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 ㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知
解：
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解：
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 [0, ]上是增函数 2
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z)
0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是
人教版高中数学必修五正弦定理
唯一 AAS
题型2 已知两边及一边的对角解三角形
例2：已知△ABC 中，a＝ ，b＝ ，B＝45°，求 A，C和 c.
练习2．已知 b＝6，c＝9，B＝45°，求 C，a，A.
练习3．已知
则（ C ）
通过正弦定理的应用,培养学生严谨的思维品质;体会生活 中的数学，激发学生的学习兴趣
教学重难点：
正弦定理的推导及应用正弦定理解三角形
一.课前预习扫描
1.在△ABC中，
的对边分别为
则
(1)
(2)
A<B
(3) 若 是最小角，则 的取值范围是
若 是最大角，则 的取值范围是
2.在△ABC中，
的对边分别为
则
(1)
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角
三.利用正弦定理求三角形的边和角
题型一:已知两角及一边解三角形
例1 ：在△ ABC 中，已知 a＝10，B＝60°，C＝45°，求 A，b，c.
思维突破：已知两角及一边，可直接用正弦定理及三角形内角和定理得到.
练习1．已知△ABC中，A＝30°，B＝45°, b＝ ，则 a＝（ B）
【课堂检测】
2．在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且B ＝30°，c＝2 ，b＝2，求 A，C 和 a.
【课堂小结与感悟】
1.了解了正弦定理的推导过程． 2.掌握了正弦定理的内容． 3.会根据条件用正弦定理解三角形．
三角形内角和定理 大边对大角
会要对，对要全，全要美
【作业设置：已知三角形的两边及其中一边的对角，此类问题可能 出现一解、两解或无解的情况，常用的判断方法是什么?
高中数学人教A版_正弦定理(15张PPT)
LsinA=s nB= sin C
文字叙述
在一个三角形中，各边和它所对角的_正弦的比相 等
正弦定理
以上我们利用向量方法获得了正弦定理。事 实上，探索和证明这个定理的方法很多，有些方 法甚至比上述方法更加简洁。你还能想到其他方 法吗?
利用三角形的高证明正弦定理(1)当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD, 根据锐角三角 函数的定义，有CD=asin B,CD=bsin A。
6.4平面向量的应用 6.4.3第二讲正弦定理
(1)在△ABC 中，若A=30°,B=45° ,AC=4, 你还能直接运用余弦定理求出边BC吗?[提示] 不能。(2)在直角三角形中，边与角之间的关系是什么?
因此我们由那视频可以得出：
B
C
定理推导
又因为sin C=sin 90°=1
同理，过点C 作与CB垂直的单位向量m, 可
【提示】 成立，如图，当△ABC为钝角三角形时，不妨设A为钝 角。过点A作与AC 垂直的单位向量j,则j与AB 的夹角为A; 与CB 的 夹角为 C.仿照上述方法，同样可得：
在钝角三角形中的这个边角关系成立吗?
条件
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c
如图，△ABC 为锐角三角形，过点A 作与AC 垂直的单位向量j, 则j 与AB 的夹角 ,j 与CB的 夹 角
也即asin C=csin A,即因
因为AC+CB=AB, 所以 j·(AC+CB)=j·AB. 由分配律，得j·AC+j·CB=j·AB,
利用向量法证明正弦定理
4, 请你用正弦定理来求出
练一练
B
在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等。
高中数学人教A版必修(第二册)(正弦定理)
c sinC
B
当△ABC是钝角三角形时(如右图)，同理可 j
得
a
b
c
sinA sinB sinC
A
C
高 中数学 人教A版 必（修20（19 第）二必册修 ）（第二( 册正）弦6定. 4理.3) 第2课时 (正弦 定理)（ 共10张 PPT）
三、正弦定理 高中数学人教A版必（修20（19第）二必册修）（第二(册正）弦6定.4理.3) 第2课时(正弦定理)（共10张PPT）
二、探究新知 高中数学人教A版（2019）必修（第二册）6.4.3 第2课时(正弦定理)（共10张PPT）
余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边
直接解三角形的公式. 如果已知两角和一边，是否也有相应的直
接解三角形的公式呢？先看下面实例.
探险队为了测定帐篷A到山峰B的距离，在帐 •B
篷旁边选定100米长的基线AC，并测得∠C=90°，
1.正弦定理：
a=b=c sinA s的问题？ ①可以解决已知两角和一边，解三角形问题； ②可以解决已知两边和其中一边的对角，解三角形问题.
高 中数学 人教A版 必（修20（19 第）二必册修 ）（第二( 册正）弦6定. 4理.3) 第2课时 (正弦 定理)（ 共10张 PPT）
正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即
a=b=c sinA sinB sinC
你能用其他方法 证明正弦定理吗？课
外完成.
这个公式表达形式的 统一性、对称性，不仅使 结果更加和谐优美，而且 更突显了三角形边角关系 的本质.
利用正弦定理可以解决三角形的哪些问题？ ①可以解决已知两角和一边，解三角形问题； ②可以解决已知两边和其中一边的对角，解三角形问题.
正弦定理-高二数学人教版(必修5)
第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1．正弦定理在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即____________．正弦定理对任意三角形都成立．2．解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的____________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________．K 知识参考答案：1．sin sin sin a b c ==A B C2．元素 解三角形K —重点 正弦定理的变形和推广、正弦定理在解三角形中的应用 K —难点 三角形解的个数的探究、三角形形状的判断K —易错 解三角形时要明确角的取值范围，同时注意对角的讨论正弦定理的常见变形及推广（1）sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c ======． （2）sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++． （3）::sin :sin :sin a b c A B C =． （4）正弦定理的推广：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC △外接圆的半径． （1）已知△ABC 中，sin :sin :sin =1:2:3A B C ，则a:b:c =_____________；（2）已知△ABC 中，∠A =60︒，3a ，则++sin +sin +sin a b cA B C=_____________．【答案】（1）1:2:3；（2）2．【解析】（1）根据正弦定理的变形，可得=sin :sin :sin =1:2:3a:b:c A B C ． （2）方法1：设=sin sin a b A B ==(>0)sin ck k C，则有sin sin sin a k Ab k Bc k C ===，，， 从而sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c k A k B k C k A B C A B C ++++++++==，又32sin sin60a k A ===︒，所以sin sin sin a b c A B C ++++=2． 方法2：根据正弦定理的变形，可得2sin sin sin sin a b c aA B C A++++==．【名师点睛】熟记正弦定理的变形，可使解题过程更加简捷，从而达到事半功倍的效果．在ABC △中，求证：22sin 2sin 22sin a B b A ab C +=．【答案】证明见解析．【解析】设ABC △外接圆的半径为R ，则2sin ,2sin ,a R A b R B == 于是222222sin 2sin 2(2sin )sin 2(2sin )sin 28sin sin (sin cos cos sin )8sin sin sin 22sin 2sin sin 2sin ,a Bb A R A B R B A R A B A B A B R A B CR A R B C ab C +=+=+==⋅⋅⋅=所以22sin 2sin 22sin a B b A ab C +=． 【解题技巧】===2sin sin sin a b c R A B C的两种变形的应用： （1）（边化角）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； （2）（角化边）sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===． 正弦定理在解三角形中的应用、三角形解的个数的探究1．正弦定理可以用来解决下列两类解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 2．三角形解的个数的探究（以已知a b ，和A 解三角形为例） （1）从代数角度来看①若sin sin 1b AB=a >，则满足条件的三角形的个数为0，即无解； ②若sin sin 1b AB=a=，则满足条件的三角形的个数为1；③若sin sin 1b AB=a<，则满足条件的三角形的个数为1或2． 注：对于（3），由sin 0sin 1b AB=a<<可知B 可能为锐角，也可能为钝角，此时应由“大边对大角”、“三角形内角和等于180°”等进行讨论． （2）从几何角度来看①当A 为锐角时：一解一解 两解 无解②当A 为钝角或直角时：一解 一解 无解 无解（1）已知在ABC △中，10,45,30c A C ==︒=︒，则a =_______，b =_______，B =_______；（2）已知在ABC △中，3,60,1b B c ==︒=，则a =_______，A =_______，C =_______； （3）已知在ABC △中，6,45,2c A a ==︒=，求b 和,B C ．【答案】（1）102，5652+，105︒；（2）2，90︒，30︒；（3）见解析． 【解析】（1）10,45,30180()105c A C B A C ==︒=︒∴=︒-+=︒，，由sin sin a c A C =，得sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯︒===︒， 由sin sin b c B C =，得sin 10sin10562205652sin sin 304c B b C ⨯︒+===⨯=+︒．（2）∵sin 1sin 601,sin sin sin 23b c c B C B C b ⨯︒=∴===， ,60,b c B C B >=︒∴<，C 为锐角，30,90C A ∴=︒=︒，∴222=+=c b a ．（3）sin 6sin 453,sin sin sin 22a c c A C A C a ⨯︒=∴===， sin ,60c A a c C <<∴=︒或120︒，∴当60C =︒时，sin 6sin 7575,31sin sin 60c B B b C︒=︒===+︒，当120C =︒时，sin 6sin1515,31sin sin 60c B B b C ︒=︒===-︒． 31,75,60b B C ∴=+=︒=︒或31,15,120b B C =-=︒=︒．【解题技巧】（1）已知三角形的两角与一边解三角形时，由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，由正弦定理可计算出三角形的另两边．（2）已知两边和其中一边的对角解三角形时，先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中“大边对大角”看能否判断所求这个角是锐角，①当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角；②当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两解，再分别求解即可；③然后由三角形内角和定理求出第三个角；④最后根据正弦定理求出第三条边．三角形形状的判断判断三角形形状的常用方法——边化角，已知条件中同时包含边角关系，判断三角形形状时，将边化为角，从三角变换的角度来研究角的关系和特征，进而判断三角形的形状．一般来说，这种方法能够判断的三角形都是特殊的三角形，如直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形．在ABC △中，已知sin sin sin a b Ba B A+=-，且cos()cos 1cos 2A B C C -+=-，则ABC △是 A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】B【解析】设ABC △的外接圆半径为R ，由正弦定理的推广，得sin 2a A R =，sin 2bB R=，代入sin sin sin a b B a B A +=-，可得a b ba b a+=-，即22b a ab -=． 因为cos()cos 1cos 2A B C C -+=-，所以2cos()cos()2sin A B A B C -++=， 即2sin sin sin A B C =． 由正弦定理的推广可得2()222a b cR R R⋅=，所以2ab c =， 由22b a ab -=及2ab c =可得222b a c =+，所以ABC △是直角三角形． 故选B ．【名师点睛】注意到a ，b ，c 在条件式中是齐次线性关系，因此可以考虑利用正弦定理将边化为角．通过角的特征或者关系来判断三角形的形状．忽略角的取值范围而出错在ABC △中，若3C B =，求cb的取值范围． 【错解】由正弦定理，可得22sin sin 3sin 2cos cos 2sin =2cos cos 24cos 1sin sin sin c C B B B B B B B B b B B B +===+=-， 220cos 1,14cos 13B B ≤<∴-≤-<，由0,0b c >>，可得03cb<<． 故cb的取值范围为(0,3)． 【错因分析】错解中没有考虑角B 的取值范围，误认为角B 的取值范围为(0,180)︒︒． 【正解】由正弦定理可得22sin sin 3sin 2cos cos 2sin =2cos cos 24cos 1sin sin sin c C B B B B B B B B b B B B +===+=-， 2180,3,045,cos 12A B C C B B B ++=︒=∴︒<<︒<<， 214cos 13B ∴≤-<，即13cb<<， 故cb的取值范围为(1,3)． 【名师点睛】解三角形时要注意三角形的内角为正角且必须满足三角形内角和定理，这是解题中的隐含条件，应特别注意．忽略对角的讨论而出错已知在ABC △中，4,22,30,a b B ===︒ 求角,A C 和边c ．【错解】由正弦定理sin sin a b A B =可得422sin sin 30A =︒， 2sin ,452A A ∴==︒，1803045105C ∴=︒-︒-︒=︒，62,sin105sin sin 4c b C B +=︒=，sin 232sin b C c B ∴==+． 【错因分析】错解中由正弦定理求出角A 的正弦值后误认为角A 是锐角，从而导致错误． 【正解】由正弦定理,sin sin a b A B =得422sin sin 30A =︒， 2sin ,2A ∴=,45a b A >∴=︒或135︒．当45A =︒时，1803045105C =︒-︒-︒=︒，62sin ,sin105,232sin sin 4sin c b b Cc C B B+=︒=∴==+；当135A =︒时，1803013515C =︒-︒-︒=︒，62sin ,sin15,232sin sin 4sin c b b Cc C B B-=︒=∴==-． 综上，45,105,232A C c =︒=︒=+或135,15,232A C c =︒=︒=-．【名师点睛】在ABC △中，已知两边和其中一边的对角解三角形时，可先用正弦定理求出另一边的对角，此时解的个数可能不确定，应注意讨论，避免漏解导致错误．1．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，83,6,60a b A ===︒，则sin B = A ．2B 6C 2D 32．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =45B =︒，2b =，则A =A ．30︒或150︒B ．30︒C ．150︒D ．45︒3．在ABC △中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝AC ＝A ．B ．CD 4．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A :B :C ＝1:2:3，则a :b :c ＝A ．1:2:3B ．C ．D ．5．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =，4B π∠=，tan A =，则a =A ．210B ．C ．10D ．26．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △的形状为A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定7．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，15,18,30a b A ===︒，则此三角形解的个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．不能确定8．已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A :cos B ＝b :a ，则ABC △是 A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形9．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若8a =，60B =︒，75C =︒，则b =______________．10．在ABC △中，角A ，C 的对边分别为a ，c ，其中1=a ，33=c 3A π=，则角=C ______________．11．在ABC △中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则ABC △的周长为______________． 12．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，己知A −C =90°，a +c =2b ，求C ．13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B = A 5 B 5C 5 D 5 14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知π,3,23A a b ===，则B = A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．π215．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知π3,6,3a b A ===，则角B 等于 A ．π4B ．3π4C ．π4或3π4D ．以上都不正确16．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC △是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形17．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos cos A B Ca b c==，则ABC △是 A ．有一内角是30°的三角形 B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形18．在ABC △中，已知31,6,15b c B =-==︒，则边长a =A ．31+或2B ．31+C ．2D ．2319．在ABC △中，已知2AB AC =，30B =︒，则A =______________．20．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD ．为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得15DAC ∠=︒，沿山坡前进50m 到达B 处，又测得45DBC ∠=︒．根据以上数据计算可得cos θ=______________．21．如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，π72cos 42CAD AC ADB ∠==∠=，，． （1）求sin C 的值；（2）若5BD =，求AD 的长．22．（2017山东理）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B =D ．2B A =23．（2017新课标全国Ⅰ文）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C =A ．π12 B ．π6 C ．π4D ．π324．（2017新课标全国Ⅱ文）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B =______________．25．（2017新课标全国Ⅲ文）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C =60°，b ，c =3，则A =______________．26．（2018北京理）在△ABC 中，7a =，8b =，1cos 7B =-． （1）求A ∠；（2）求AC 边上的高．1．【答案】D【解析】∵83,6,60a b A ===，由sin sin a b A B =得sin 3sin .8b A B a ==故选D ． 2．【答案】B【解析】在ABC △中，由sin sin a b A B =得21sin sin sin 4522a A Bb ===︒，由于a b <，所以A B <，所以30A =︒，故选B ． 3．【答案】B【解析】由正弦定理得23sin 60sin 45AC =︒︒，所以AC ＝23sin 452 2.sin 60︒=︒故选B ．4．【答案】C【解析】因为在ABC △中，A ＋B ＋C ＝π，且A :B :C ＝1:2:3，所以A ＝6π，B =3π，C =2π，由正弦定理的变形，得a :b :c ＝sin A :sin B :sin C 13=1=22：：1:3:2．故选C ．6．【答案】B【解析】由已知可得2sin cos cos sin sin B C B C A +=，∴2sin()sin B C A +=，∴sin 1A =，∴π2A =，三角形为直角三角形．故选B ． 7．【答案】C【解析】由正弦定理可得sin 18sin 303sin 155b A B a ︒===，因为b a >，所以30B A >=︒，所以角B 可能是锐角，也可能是钝角，所以此三角形有两解，故选C ．8．【答案】D【解析】由正弦定理可得cos sin cos sin A b BB a A==，即sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin2A ＝sin2B ，即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝2π，故ABC △是等腰或直角三角形．故选D ．9．【答案】46【解析】∵60B =︒，75C =︒，∴45A =︒，∵sin sin a bA B=，∴82322b=，∴46b =． 10．【答案】π6【解析】由正弦定理可得313πsin sin 3C =，即212333sin =⨯=C ，所以π6C =或5π6，又a c <，所以π6C =．12．【答案】o =15C ．【解析】由正弦定理可得sin sin 2A C B +=，又由于o o90=180()A C B A C -=-+，，故cos sin 2)C C A C +=+o 22)22C C =+=，即22sin cos 2,22C C C +=o cos(45)cos 2C C -=． 因为o o 090C <<，所以o 2=45C C -，即o =15C ． 13．【答案】B【解析】由正弦定理，得sin sin a A b B =，所以a ＝52b 可化为sin sin A B ＝52．又A ＝2B ，所以sin 2sin B B ＝52，所以cos B ＝54．故选B ． 14．【答案】D【解析】在ABC △中，由正弦定理可得2πsin sin sin 133b B A a ==⨯=，又0πB <<，所以B =π2，故选D ． 15．【答案】 A【解析】在ABC △中，∵π3,6,3a b A ===，∴36πsin sin sin sin 3a b A B B =⇒=2sin 2B ⇒=，又63b a =<=，∴π03B A <<=，∴π4B =，故选A ．16．【答案】D【解析】由正弦定理和已知条件可得sin sin cos 2sin cos sin cos C A B A A B A -=-， 所以sin()sin cos 2sin cos sin cos ,A B A B A A B A +-=- 即cos (sin sin )0A B A -=，所以cos 0A =或sin sin 0B A -=，即90A =︒或=A B ．故ABC △是等腰三角形或直角三角形． 故选D ．18．【答案】A【解析】由正弦定理可得，sin 63sin 231c B C b ===-， 在ABC △中，c b >，60C ∴=或120．当60C =时，105A =︒，sin 6sin10531sin c A a C ︒∴===； 当120C =时，45A =︒，此时sin 6sin 452sin c A a C ︒∴===． 综上，可得31a =或2．故选A ．19．【答案】105︒或15︒【解析】由正弦定理得sin sin AB AC C B =，得sin 2sin 2sin 302AB B C AC ==︒=， 由AB AC >，得C B >，所以45C =︒或135︒，从而105A =︒或15︒．21．【答案】（1）45；（2）22． 【解析】（1）因为2cos ADB ∠=72sin ADB ∠= 又π4CAD ∠=，所以π4C ADB =∠-， 所以πππ722224sin sin()sin coscos sin 4445C ADB ADB ADB =∠-=∠⋅-∠⋅==． （2）在ACD △中，由sin sin AD ACC ADC =∠，可得sin 22sin AC C AD ADC⋅==∠． 22．【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，故选A ． 23．【答案】B【解析】由sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=可得sin cos cos sin sin sin A C A C A C ++-sin cos 0A C =，即πsin (sin cos )2sin()04C A A C A +=+=，所以3π4A =．由正弦定理sin sin a c A C =可得223πsin sin 4C =，即1sin 2C =，因为c a <，所以C A <，所以π6C =，故选B ． 24．【答案】π3【解析】由正弦定理可得12sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 2B B A C C A A C B B =+=+=⇒=π3B ⇒=． 25．【答案】75︒【解析】由正弦定理sin sin b c B C=，可得36sin 22sin 32b C Bc ⨯===，结合b c <可得45B =︒，则18075A B C =︒--=︒. 26．【答案】（1）π3A ∠=；（2）AC 边上的高为332． 【解析】（1）在△ABC 中，因为1cos 7B =-，所以π(,)2B ∈π，所以243sin 1cos 7B B =-=． 由正弦定理7sin sin sin a b A B A =⇒=8437，所以3sin 2A =． 因为π(,)2B ∈π，所以π(0,)2A ∈，所以π3A ∠=（2）在△ABC 中，3114333sin sin()sin cos sin cos ()272714C A B A B B A =+=+=⨯-+⨯=． 如图所示，在△ABC 中，sin h C BC =，所以3333sin 7142h BC C =⋅=⨯=， 所以AC 边上的高为332．。
第六章6.4.3余弦定理、正弦定理PPT课件(人教版)
训练题
1.［2019·江西九江一中高一检测］若三角形的三边长之比是1∶ 3 ∶2，
则其所对角之比是（ A ） A.1∶2∶3 B.1∶ 3 ∶2 C.1∶ 2 ∶ 3 D. 2 ∶ 3 ∶2
2. ［2019·江西赣州五校高一联考］已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶ 6 ∶
（ 3 +1），求△ABC中各角的度数.
训练题
1. 2019·江西九江一中高一检测］设△ABC的内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，且cos A＝ 3 ，cos B＝ 5 ，b＝3，则c＝
5
13
14 5
.
2. ［2019·北京东城区高三二模］在△ABC中，A＝ ，a2+b2-c2＝ab， 4
c＝3，则C＝
3 ，a＝
6.
3.已知两边及一边的对角解三角形 例5在△ABC中，a＝ 3 ，b＝ 2 ，B＝45°，求A，C，c.
【解】 ∵ A＝45°，C＝30°，∴ B＝180°-（A+C）＝105°.
由 a ＝ c 得a＝ csinA ＝10 sin45 ＝10 2 .
sinA sinC
sinC
sin30
由 b ＝ c 得b＝ csinB ＝10 sin105 ＝20sin 75°.
sinB sinC
sinC
sin30
∵ sin 75°＝sin （30°+45°）＝sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°＝
【解】 由正弦定理及已知条件，有 3 ＝ 2 ，得sin A＝ 3 .
sinA sin45
2
∵ a>b，∴ A>B＝45°.∴ A＝60°或120°.
当A＝60°时，C＝180°-45°-60°＝75°，
人教版高中数学必修五 1.1.1 正弦定理
AC 等于( )
A．4 3
B．2 3
C. 3
3 D. 2
【解析】由正弦定理可知，sAinCB＝sBinCA，
所以 AC＝BCsisniAnB＝3
2× 3
2 2 ＝2
3.故选 B.
2
【答案】B
3．在△ABC 中，sinA＝sinC，则△ABC 是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
课堂小结： 1．对正弦定理的理解 (1)三角形中各边的长和它所对角的正弦的比值为三角
形外接圆的直径 2R.即sianA＝sibnB＝sincC＝2R.
(2)结合(1)的结论由正弦定理可得如下变形： ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. ②sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR. 由变形①②可以实现三角形中边与角之间的相互转 化．这是正弦定理除了用于求边、角之外的另一重要功能．
c＝assiinnAC＝2 s3ins3in03°0°＝2 3. ∴B＝60°，C＝90°，c＝4 3或 B＝120°，C＝30°， c＝2 3.
变式训练 2：在△ABC 中，A＝60°，a＝4 3，b＝4 2，
则 B 等于( )
A．45°或 135°
B．135°
C．45°
D．以上答案都不对
【解析】由sianA＝sibnB，
2．解三角形
一般地，把三角形的三个角和它们的_对___边__叫做三角形 的元素．已知三角形的几个元素求_其__他__元__素___的过程叫做解
三角形．
典例探究 类型一 已知两角及一边解三角形 例 1：在△ABC 中，已知 a＝8，B＝60°，C＝75°，求
A，b，c.
解：A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
正弦定理 课件(人教版)
题型一 理解正弦定理
例 1 (1)在 Rt△ABC 中，C＝90°，试根据直角三角形中正弦 函数的定义，证明：sianA＝sibnB＝sincC.
【证明】 在 Rt△ABC 中，C＝90°， 由正弦函数的定义知： sinA＝ac，sinB＝bc，sinC＝1. ∴sianA＝c，sibnB＝c，sincC＝c. ∴sianA＝sibnB＝sincC.
(2)在锐角△ABC 中，根据下图，证明：sianA＝sibnB＝sincC.
【证明】 根据三角函数的定义： sinA＝CbD，sinB＝CaD. ∴CD＝bsinA＝asinB. ∴sianA＝sibnB. 同理，在△ABC 中，sibnB＝sincC. ∴sianA＝sibnB＝sincC成立．
【解析】
(1) 由
正
弦
定
理
sianA ＝
b sinB
，
得
sinA
＝
asinB b
＝
6× 2
2 2＝
3 2.
又 0°<A<180°，∴A＝60°或 120°.
∴C＝75°或 C＝15°.
(2)由正弦定理，得
2 sinB＝bsianA＝
3 3× 2
3 2＝
2 2.
∴B＝45°或 135°，但 B＝135°时，135°＋60°>180°，这与 A
正弦定理
要点 1 正弦定理 (1)在一个三角形中，各边和所对角的 正弦 的比相等，即：
sianA＝sibnB＝sincC
＝2R(其中 R 是△ABC 外接圆的半径)．
(2)正弦定理的三种变形
①a＝2RsinA，b＝ 2RsinB ，c＝ 2RsinC ；
②sinA＝2aR，sinB＝
高中数学 必修2(人教版)6.4.3.2正弦定理
＝cos A＋sin
6π＋A＝cos A＋sin
π 6cos
A＋cos
π 6sin A
＝32cos
A＋
3 2 sin
A＝
3sin A＋π3.
由锐角三角形ABC知，0<A<π2且0<56π－A<π2，
∴π3<A<π2.
∴23π<A＋3π<56π，∴12<sin A＋π3< 23，
∴
3 2<
3sin
A＋π3<32，即
答案：D
方法归纳
(1)已知三角形的两角和任意一边解三角形时，可以先由三角 形三角和定理，计算出三角形的第三个角，然后由正弦定理求出 另外两边．
(2)已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的步骤：
题型二 判断三角形的形状——师生共研 例1 在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且ttaann AB＝ab22，试判断△ABC的形状．
答案：B
2．在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，则A＝( )
A．30° B．60° C．120° D．60°或120°
解析：由正弦定理得
sin A＝asibn B＝
3×sin 45°＝ 2
3× 2
2 2＝
23，
∵a>b，∴A＝60°或120°.
第2课时 正弦定理
[教材要点]
要点 正弦定理及常见变形
文字语言
在一个三角形中，各边和它所对角的___正__弦___的 比相等
符号语言
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝2R(R为△ABC外接圆的半径)
人教版数学必修51.1.1正弦定理
正弦定理应用
1.解三角形（1）已知两角和一边
（2）已知两边及其中一边对角
法一：代数法
数 形
法二：几何法
结 合
2.正弦定理的变形应用
转
化
——统一边角关系 化
归
一.解三角形
C
b
a
1.已知两角和一边 A
c
B
2.已知两边a、b 和其中边 a 的对角 A
思考：利用几何图形，判断何时无解，一解，两解？
C．
a absin A b
a
A
B
B?
1.A为锐角时：
C a
b
C
b
a
AHale Waihona Puke (1) a < b sinA，无解；
A
B
(2) a = b sinA，一个解；
C
C
b
a
a
b
a
A
(2)ABC中，a 6,b 3, A 45,求B B 30 (3)ABC中，a 2,b 6, A 30,求B sin B 3 无解
2
(4)ABC中，a 3,b 1, A 120,求B B 30
注意：1.由值求角，注意标明角的范围 2.ABC中sin B B 两角 取舍 勿漏解，多解
正弦定理（第二课时）
．B
c
A．
b
a
．
C
复习回顾：
1.正弦定理
a
b
c
外接圆
2R 半径
sin A sin B sin C
2.三角形的面积公式
S A B C
1 2
ab sin
C
1 bcsin A 2
1 acsin B 2
数学正弦定理新人教B必修
由
a sin
A
c
=sin C
得
a=a sin A
sin C
10sin 450
= sin 300
=10
由
b
=
c
sin B sin C
得
b=
c sin B sin C
=
10 sin 1050 sin 300
=
20sin750=20×
6 4
2
= 5 6+5 2
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例2、在ΔABC中，b= 3 ,B=600 ,c=1,求 a和A，C
和其他两条边.
aa
bb
c 2R
sin A sin BB sin CC
(2)、已知两边和其中一边的对 角,求另一边的对角(进而求其他 的角和边)
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例题讲解：
例1.已知在ΔABC中，c=10,A=450,C=300,求a,b和B
解：∵c=10 A=450,C=300
∴B= 1800 -(A+C)=1050
在任意一个三角形中，各边和它所对 角的正弦的比相等，即
a
b
c 2R
sin A sin B sin C
（2R是三角形外接圆的直径）
注意：定理适合任意三角形。 正弦定理的应用:
一、解斜三角形； 二、在三角形中实现边角互化.
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正弦定理在解斜三角形中的 两类应用:
(1)、已知两角和任一边,求一角
A> 90°时 A= 90°时 A< 90°时
a>b 1解 a>b 1解 a>b 1解
a=b 无解 a=b 无解 a=b 1解
a<b 无解 a<b 无解 a<b 1、bsinA<a<b 2 解 2、a=bsinA<b 1 解 3、a<bsinA 无 解
新教材人教版高中数学必修第二册 6.4.3 (第2课时)正弦定理(教案)
第六章 平面向量及其应用6.4.3 第2课时 正弦定理一、教学目标1. 了解正弦定理的多种证明方法，尤其是向量证明法；2.掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；3.通过对正弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。
二、教学重难点1.利用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题；2. 正弦定理的证明，正弦定理在解三角形时应用思路。
三、教学过程： 1、创设情境：某游览风景区欲在两山之间架设一条观光索道,现要测的两山之间B 、C 两点的距离,如何求得B 、C 两点的距离?现在岸边选定1公里的基线AB,并在A 点处测得∠A=600，在C 点测得∠C=450,如何求得B.C 两点的距离? 学生活动1探究1：你能把它转化成数学问题，写出已知量和要求的量吗？学生活动2探究2：在ABC ∆中，如何求边BC 的长呢？回忆一下直角三角形的边角关系?（C 为直角）如右图，ABC Rt ∆中的边角关系：=A sin ___c a _____；=B sin ___c b _____； =C sin ____c c=1____； ∴sin a A =____c____；sin b B =____c____；sin cC =____c____； ∴______sin sin sin a b cA B C ==____________________________那么，上述结论，如何证明？ （学生小组活动探究）CABbca探究3：这个关系式对任意ABC ∆也成立吗 二. 建构数学探究4：如何证明这个等式？（教师点拨） (作高法)在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，1.在Rt ΔABC 中，∠C=900, csinA=a,csinB=b ，即sin a A =B b sin =C c sin 。
2. 在锐角ΔABC 中，过C 做CD ⊥AB 于D ，则|CD|=A b sin =B a sin ，即sin aA=Bb sin ，同理得sin aA=Cc sin ，故有sin sin sin a b cA B C ==。
《正弦定理》(人教)
《1.1.1.正弦定理》本节内容与初中学习的三角形的边和角的基本关系、判定三角形的全等都有密切的联系，解三角形问题域前面所学三角函数也紧密相连，两个定理在日常生活和工业生产中有十分广泛的应用，可以说本节既是初中三角形边角关系的延续，又是三角函数知识在三角形中的一个应用，在必修教材中占有十分重要的地位。
【知识与能力目标】通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
【过程与方法目标】让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
【情感态度价值观目标】培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
【教学重点】通过对于三角形的边角关系的探究，证明正弦定理并用它解决有关问题。
【教学难点】已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
一、导入部分如图(图1．1-1)，固定∆ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C 转动。
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数 量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、研探新知，建构概念在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c=，又sin 1c C c==, 则sin sin sin abc c A BC === 。
从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin ab c A B C ==思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abA B =， 同理可得sin sin cb CB =， 从而sin sin abA B =sin c C =思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
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式关系。如图 1．1-2，在 Rt ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦
函数的定义，有
a c
sin
A
，
b c
sin B
，又 sinC
1
c c
,
则
aLeabharlann sinAb sinB
c sinC
c
从而在直角三角形
ABC
中，
a
sin
A
b sin B
c sinC
A
b
c
C
aB
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
a
c
B
(图 1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这
个问题。
4
类似可推出，当△ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
5
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
即
a sin A
b sin B
c sinC
①已知两角与任一边，求其他两边和一角；
已知 a, b 和 A, 用正弦定理求 B 时的各种情况:
⑴ A 为锐角时:
a b sin A 无解
a bsinA 一解(直角) bsinA a b 二解(一锐, 一钝)
a b
一解(锐角)
⑵若
A
为直角或钝角时:
a a
b b
无解 一解(锐角)
9
变式训练
1. 根据下列已知条件，判定有没有解，若有解，判断解的个数：
b sin B
c sinC
等价于
a sin A
b sin B
，
c sinC
b sin B
，
a sin A
c sinC
6
解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边a,b,c叫做三角形的元 素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
例题解析
例 1．在 ABC 中，已知 A32.00 ， B81.80 ， a42.9 cm，解三角形。
第一单元 解三角形
1.1.1正弦定理
1
新课导入
如图，固定△ABC 的边CB 及∠B，使边AC 绕着顶点C 转动。∠C 的 大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？
[解析] 边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
2
探索新知
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等
10
方法小结：
（1）正弦定理：
a sin A
b sin B
c sinC
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任意一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
11
作业：
第10页[习题1.1] A组第1（1）、2（2）题。
12
13
C 1800 (A B)1800 (400 640)760 ，
c
asinC sin A
20sin760 sin 400
30(cm).
C 1800 (A B)1800 (400 1160)240 ，
c
asinC sin A
20sin 240 sin 400
13(cm).
8
探究：利用正弦定理解三角形时，解的个数问题
正弦定理可解决 两类有关解三角 形的问题
②已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角， [理解定理] 进而可求出其他的边和角。
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即
存在正数 k 使 a k sinA ，b k sinB ，c k sinC ；
（2）
a sin A
解：根据三角形内角和定理，
C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ；
根据正弦定理，
b
asin B sin A
42.9sin81.80 sin32.00
80.1(cm)
；
根据正弦定理，
c
asinC sin A
42.9sin66.20 sin32.00
74.1(cm).
（1） a 5， b 4， A 120 ，求 B
（2） a 5， b 4， A 90 ，求 B
（3） a 5， b 10 3 ， A 60 ，求 B （4） a 4 ， b 10 3 ， A 60 ，求 B
3
3
解： （1） A 120 , B 只能为锐角,因此仅有一解. （2） A 90 , B 只能为锐角,因此仅有一解. （3）∵ sin B 1,即 B 90 ,∴仅有一解. （4）由（3）改编，∵ a 4 bsin 60 ，由图知，本题无解)
3
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图 1．1-3，当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函
数的定义，有
CD= asinB
bsinA ,则
a sin A
b sin B
，
同理可得
c sinC
b sin B
，
b
从而
a sin A
b sin B
c sinC
A
C
7
例 2．在 ABC 中，已知 a20cm， b28 cm， A400 ，解三角形（角度精确到10 ，边
长精确到 1cm）。
解：根据正弦定理，
sin
B
bsin a
A
28sin400 20
0.8999.
因为 00 ＜ B ＜1800 ，所以 B640 ，或 B1160.
（1） 当 B640 时，
（2） 当 B1160 时，