两条直线的位置关系(2)
两条直线的位置关系 (2)
∴a＝1，
故 a＝1 是直线 y＝ax＋1 和直线 y＝(a－2)x－1 垂直的
典 充要条件．
例 探 究 · 提
(2)由 3a－(a－2)a2＝0 得 a(a2－2a－3)＝0，
课
∴a＝－1 或 0 或 3.检验当 a＝0 或－1 时两直线平行，
后 作
当 a＝3 时两直线重合．
业
知
能
【答案】 (1)C (2)D
高 考
主
体
落 实 ·
(2)当m=0时,显然l1不平行于l2;当m≠0时,由m 2 = m8 ≠ n1 得
验 · 明
固
考
基
础
m m 8 2 0, m 4, m 4,
8 1 n m 0, ∴ n 2. 或 n 2
情
即m=4,n≠-2或m=-4,n≠2时,l1∥l2.
体 验
实
·
· 固
－2＝0平行的直线方程是( )
明 考
基
础
A．x－2y－1＝0
B．x－2y＋1＝0
情
C．2x＋y－2＝0
D．x＋2y－1＝0
典
例
课
探
后
究
作
· 提
【变式】若改成垂直，则所求直线方程为（ ）
业
知
能
菜单
2018届文科数学第一轮复习
自 （1）【答案】 A
高 考
主 落 实
【解析】 ∵所求直线与直线 x－2y－2＝0 平行，
典 例
(3)当且仅当m·2+8·m=0,即m=0时,l1⊥l2.
课
探
后
究 · 提
又 8n=-1,∴n=8.
作 业
第讲两直线的位置关系
从而得两条直线的交点为(9，－4)， 又当 x＝9，y＝－4 时，有 9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5， 即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 上， 故直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 都通过定点(9，－4)．
证法二：∵(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5， ∴m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0. 则直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 都通过直线 x＋2y－1＝0 与 x＋y－5＝0 的交点． 由方程组xx＋ ＋2y－y－51＝＝00. ， 解得 x＝9，y＝－4，即过点(9，－4)． 所以直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 经过定点(9，－4)．
(1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1，l2重合． 解题思路：根据两直线的位置关系列式再求解．
解析：(1)由已知1×3≠m(m－2)， 即m2－2m－3≠0，解得m≠－1且m≠3. 故当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交． (2)当 1·(m－2)＋m·3＝0，即 m＝12时，l1⊥l2. (3)当m－1 2＝m3 且26m≠m3 ，即 m＝－1 时，l1∥l2.
等于( D )
A．2
B．1
C．0
D．－1
4．(2010年上海)圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线 3x＋4y＋4＝0 的距离 d＝__3__.
5．原点在直线l上的射影是P(－2,1)，则l的斜率为__2_. 解析：kOP＝－12＝－12，则 kl＝2.
考点1 两直线的平行与垂直关系
例1：已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0， 求m的值，使得：
证法三：∵(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5， ∴m(x＋2y－1)＝x＋y－5. 由 m 为任意实数，知关于 m 的一元一次方程 m(x＋2y－1)＝ x＋y－5 的解集为 R， ∴xx＋ ＋2y－y－51＝＝00. ， 解得 x＝9，y＝－4. 所以直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 都通过定点(9，－4)．
2.1两条直线的位置关系2(余、补角)
C
E
D
三、对顶角及其性质 例3、如图，直线AB、CD相交于点O， ∠EOC=80°，OA平分∠EOC，求∠BOD 的度数。
E D
A O C
B
1、AB、CD、EF相交于点0，AB⊥CD， OG平分∠AOE，∠FOD=28°， 求∠AOG的度数。
判断下列说法是否正确： 1、有公共点，且相等的角是对顶角。 2、一个角的补角必大于这个角。 3、若∠1+∠2+∠3=180°，则它们互为 补角。
4、两条直线相交，构成两对对顶角。
1、如图，直线AB、CD、EF都过点O， 且∠AOC=25°，∠COE=45 °，则 ∠EOB=_______，∠BOC=_______， ∠DOF=___________， F A ∠FOA=__________。
C O D
B E
2、若∠1与∠2是对顶角，∠3与∠2互补， ∠3=60°，那么∠1=_________。
3、∠A与∠B互为补角，且∠A>∠B，则∠B 的余角是( )
1 A. A B； 2 1 C. A B； 2
1 B. A ； 2 1 D. B 2
一、概念应用
例1、已知一个角的补角比这个角的余 角的3倍大10°，求这个角的度数。
学习助跑：
（1）互为余角：如果两个角的和是直角，那么称 这两个角互为余角。 （2）互为补角：如果两个角的和是平角，那么称 这两个角互为补角。 知道：余角、补角与两个角的大小有关系，与他 们的位置没有关系。 （3）对顶角：两条直线相交所形成的四个角中， 如果有两个角，它们有公共的顶点且两边 互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。 （1）同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。 （2）对顶角相等。
两条直线的位置关系(2)
)；
此时该直线不过第二象限 。 当a≠2时 ，直线方程化为：
a 1 3a 1 y x a2 a2
若直线不过第二象限，则满足
3a 1 a2 0 1 0 a 2
解得a>2 ，
综上得，当a≥2时，直线不过第二象限．
例4. 下面三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2： mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0不能构成 三角形，求m的取值集合． 解：（1）三条直线交于一点时：
2. 平行直线系： 直线y=kx+b (其中k为常数，b为参数)， 如直线y=3x+b表示的是斜率为3的所有直 线，这样的直线系方程叫做平行直线系方 程。
例1: 求过两直线x－2y+4=0和x+y－2=0的 交点，且满足下列条件的直线l的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x－4y+5=0垂直。 （1）解: 设过两直线交点的直线方程为：
即前两条直线的交点为
k 6 1 ( , ) k 4 k 4
因为三直线交于一点，所以第三条直线 必过此定点，
k 6 1 故 3k ( ) 4( )5 k 4 k 4
16 解得k=1或k= 3
例3. 已知直线(a－2)y=(3a－1)x－1. (1)求证无论a为何值，直线总过第一象限; (2)为使这直线不过第二象限，求a的范围. 解： (1)将方程整理得为
a(3x－y)+(－x+2y－1)=0， 由直线系方程知对任意实数a，该直线恒 过直线3x－y=0与x－2y+1=0的交点。 1
x 5 联立3x－y=0与x－2y+1=0解得 y 3 5
∴直线恒过第一象限内的定点(
1 (2)当a=2时，直线为 x= 5
北师大版七年级数学下册2.1《两条直线的位置关系(第2课时)》习题含答案
2.1《两条直线的位置关系（第二课时）》习题含答案一、选择题1.如图，直线AB 和直线CD 相较于点O ，E 是∠AOD 内一点，已知OE ⊥AB,∠BOD =40°，则∠COE 的度数是（ ） A.120 ° B.140 ° C.150° D.130°2.OA ⊥OB ，OC ⊥OD,则下列叙述正确的是（ ） A.∠AOC =∠AOD B.∠AOD =∠BODC.∠AOC =∠BODD.以上都不对3．如图，∠BAC =90°，AD ⊥BC ，则下列的结论中正确的个数是（ ） ①点B 到AC 的垂线段是线段AB ；②线段AC 是点C 到AB 的垂线段； ③线段AD 是点D 到BC 的垂线段；④线段BD 是点B 到AD 的垂线段．A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个4．如图，把水渠中的水引到水池C ，先过C 点向渠岸AB 画垂线，垂足为D ，再沿垂线CD 开沟才能使沟最短，其依据是（ ） A. 垂线最短 B.过一点确定一条直线与已知直线垂盲 C.垂线段最短 D.以上说法都不对5.P 为直线l 外一点，点A,B,C 为直线l 上三点，PA=5cm,PB=4cm,PC=2cm ，则P 到直线l 的距离（ ）A.2cmB.小于2cmC.不大于2cmD.4cm6．如图，已知0A ⊥m ，OB ⊥m ，所以OA 与OB 重合，其理由是（ ） A.过两点只有一条直线 B.过一点只能作一条垂线C.平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直D.垂线段最短7.画一条线段的垂线，垂足在（ ） A. 线段上 B. 线段的端点 C. 线段的延长线上 D. 以上都有可能1题图2题图3题图4题图6题图8.下列说法正确的是( )A.平面内过直线l 上一点做l 的垂线不止一条B.直线l 的垂线有无数条C.如果两条线段不相交，那么这两条线段就不能互相垂直D.以上说法都不对 二、填空题9.如图，直线a ⊥b ，∠1=50°，则∠2= 度．10.如图，点A ，B ，C 在一条直线上，已知∠1=53°，∠2=37°，则CD 与CE 的位置关系是 _________ ．11.如图，已知BA ⊥BD ，CB ⊥CD ，AB=8，BC=6，则点A 到BD 的距离为_________ ，点B 到CD 的距离为_________ .12．如图，两条直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠BOC ，OF ⊥CD ，∠COE =65°，∠AOF 等于_________ .9题图10题图11题图 12题图13.如图，∠ADB =90°，用“＜”连接AB ，AC ，AD ，结果是 _________ ．三、解答题14.如图，OA ⊥OB ，OB 平分∠MON ，若∠AON =120°，求∠AOM 的度数．15.如图，直线AB ，CD 相交于O 点，OM ⊥AB 于O ． （1）若∠1=∠2，求∠NOD ；（2）若∠BOC =4∠1，求∠AOC 与∠MOD ．16.如图，直线AB ，CD 相交于O 点，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF =65°,求∠BOE 和∠AOC 的度数？17.如图，点O 为直线AB 上一点，OC 为一射线，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ． （1）若∠BOC =50°，试探究OE ，0F 的位置关系； （2）若∠BOC 为任意角α（0°＜α＜180°），（1）中OE ，OF 的位置关系是否仍成立？请说明理由．由此你发现什么规律？18.如图，直线AB ，CD 相交于O 点，Q 是CD 上的一点. (1) .过点Q 画直线AB 的垂线，垂足为E; (2) .过点O 画直线CD 的垂线.19.如图，一辆汽车在直线形公路AB 上由A 向B 行驶，M ，N 是分别位于公路AB 两侧的两所学校．（1）汽车在公路上行驶时，噪声会对两所学校教学都造成影响，当汽车行驶到何处时，分别对两所学校影响最大？请在图上标出来．（2）当汽车从A 向B 行驶时，在哪一段上对两学校影响越来越大？在哪一段上对两学校影响越来越小？在哪一段上对M 学校影响逐渐减小而对N 学校影响逐渐增大？2.1《两条直线的位置关系（第二课时）》习题答案二、填空题9.40°10.垂直11.8；6.12.40°13.AD＜AC＜AB三、解答题14.解:∵OA⊥OB∴∠AOB=90°∵∠AON=120∴∠BON=120°-90°=30°∵OB平分∠MON∴∠MOB=∠NOB=30°,∴∠AOM=90°-30°=60°15.解:(1)∵OM⊥AB,∴∠1+∠AOC=90°又∠1=∠2∴∠2+∠AOC=90°,∴∠NOD=180°-(∠2+∠AOC)=180°-90=90°(2)由已知∠BOC=4∠1,即90°+∠1=4∠1,可得∠1=30°所以∠AOC=90°-30°=60°,由对顶角相等得∠BOD=60°故∠MOD=90°+60°=150°16.解:(1)∵OF ⊥AB,∴∠BOF =90° ∵∠DOF =65°,∴∠BOD =∠BOF -∠DOF =90°-65=25° ∵OE ⊥CD, ∴∠DOE =90°,那么∠BOE =∠DOE -∠BOD =90°-25°=65°(2)直线AB 与CD 相交于点O,∠AOC 与∠BOD 是对顶角 即∠AOC =∠BOD =25° 17.解:(1)OE ⊥OF ∵∠BOC =50°,∴∠AOC =180°-50°=130 ∵OE 平分∠AOC ,OF 平分∠BOC ∴∠EOC =21∠AOC =65°,∠COF =21∠COB =25° ∴∠EOF =65°+25°=90° ∴OE ⊥OF(2)∵∠BOC =a ∴∠AOC =180-a∵OE 平分∠AOC ,OF 平分∠BOC ∴∠EOC =21∠AOC =90°-21a, ∠COF =21∠COB =21a ∴∠EOF =90°-21a+21a=90° ∴OE ⊥OF规律：邻补角的角平分线互相垂直 18.解：(1)直线QE是所求的直线(2)直线OF是所求的直线19.解：（1）作MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，所以在C处对M学校的影响最大，在D处对N学校影响最大；（2）由A向C行驶时，对两学校影响逐渐增大；由D向B行驶时，对两学校的影响逐渐减少；由C向D行驶时，对M学校的影响减小，对N学校的影响增大。
高二数学下 11.3《两条直线位置关系》教案(2)沪教版
11.3(2) 两条直线的夹角教学目标设计理解直线夹角公式的推导，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法..通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力教学重点及难点理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角.教学用具准备多媒体设备教学流程设计一、复习引入1．引例：判断下列各组直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标（课本p16例1）．（1）01243:1=-+y x l ， 01127:2=--y x l ；（2）01243:1=--y x l ， 3:2=x l ；（3）01243:1=--y x l ， 0586:2=+-y x l ．解：（参考课本p16~17）[说明]复习判断两直线的平行、重合、相交，以及求相交直线的交点坐标的方法.由此引出新的课题.思考并回答下列问题1．（对于上述（1）、（2）这样），当两条直线相交时，用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？教具演示：两条直线相交，使其中一条直线绕定点旋转，让学生观察这两条直线的关系. 解答：两条直线的夹角.2．回顾旧知：在初中平面几何中“两直线夹角”的定义是什么？解答：角是有公共端点的两条射线所组成的几何图形（如右图）．[说明]在复习旧知的基础上引人新课.二、学习新课关于两直线的夹角1、概念形成两条直线的夹角如右图，两条直线相交，一共构成几个角？它们有什么关系？怎样定义两条直线的夹角呢？平面上两条直线1l 和2l 相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π ，而两条相交直线夹角的取值范围是（]2,0π. 现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定，那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？[说明]①为什么规定锐角或直角为两直线的夹角，说明其合理性；②提出问题，给学生造成认知冲突，激发学生探索欲2、夹角公式的推导分析：直线的方向——方向向量——斜率——倾斜角——夹角之间的关系.由于直线的方向是由直线的方向向量或者斜率决定的，下面我们借助于这两条直线的方向向量来求得两直线的夹角.[说明] 引导学生画图分析，寻找夹角、倾斜角、方向向量之间的关系.通过类比，寻求思路.设两条直线的方程分别为1l ：0111=++c y b x a （11,b a 不全为零）2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）.设1l 与2l 的夹角为α，1l 与2l 的一方向向量分别为1d 与2d ，其夹角为θ，且1d =),(11a b -,2d =),(22a b -，当]2,0[πθ∈时，则θα=如图甲所示;当],2(ππθ∈时，则θπα-=,如图乙所示.于是得:2222212121212121|||||||||cos |cos b a b a b b a a d d d d +⋅++=⋅⋅==θα.即为直线1l 与2l 的夹角公式.特别地,当且仅当02121=+b b a a 时, 1l 与2l 的夹角为2π,即1l 与2l 垂直.也就是说:1l ⊥2l ⇔1d 垂直2d ⇔1n 垂直2n ⇔02121=+b b a a (其中1n ,2n 分别为1l 与2l 的一个法向量)而由02121=+b b a a ,易得当0,021≠≠b b 时,有12211-=⋅b a b a ,即当两条直线的斜率都存在时, 1l 与2l 垂直的充要条件是,121-=k k 其中21,k k 分别为直线1l 与2l 的斜率.[说明]①培养学生周密分析，严格论证的能力.由于直线的夹角与两个向量的夹角有区别,前者的范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π.后者的范围是],0[π,因此必须考虑两种情况]2,0[πθ∈与],2(ππθ∈;② 允许学生从斜率的角度考虑,但是不作为本课的重点,可留做课后探讨.3、例题分析例1：（回到引例）求下列各组直线的夹角：（1）01243:1=-+y x l ， 01127:2=--y x l ；（2）01243:1=--y x l ， 3:2=x l ；解：设1l 与2l 的夹角为α，则由两条直线的夹角公式得 (1),9651932712743|)12(473|cos 2222=+⋅+-⨯+⨯=α 96519327arccos =∴α即为所求; (2) 53arccos ,530143|0)4(13|cos 2222=∴=+⋅+⨯-+⨯=αα即为所求. [说明]①解决本课开头提出的问题, 本环节的设计目的是使学生熟悉夹角公式的初步应用;②鼓励学生一题多解,对于小题(2),由于直线2l 的斜率不存在,还可以数形结合(图略)，求得1l 的倾斜角43arctan =θ,得出1l 与2l 的夹角为43arctan 2-π）． 例2：若直线1l ：313--=x a y 与2l ：01)1(2=+++y a x 互相垂直，求实数a 的值.（补充） 解：先把直线1l 的方程化为一般形式1l ：013=++y ax .∵两直线垂直,∴0)1(32=++a a ，∴53-=a 为所求． [说明] 通过练习强调两条直线垂直的充要条件，指出公式适合的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，以便确定系数．例3：已知直线l 过点)1,4(-P ，且与直线013:=+-y x m 的夹角为10103arccos，求直线l 的方程.(补充)解：（方法一）设l 的方程为0)1()4(=-++y b x a （其中),(b a n =为l 的一法向量），则,10103)1(3|3|2222=-++-b a b a 即|3|322b a b a -=+ 化简为0)43(=+b a b 解方程，得b a b 43,0-== 当0=b 时，则0≠a ，此时方程为4-=x当043≠-=b a 时，方程为0)1(3)4(4=--+y x ，即01934=+-y x综上, l 的方程是4-=x 或01934=+-y x .（方法二）设点斜式，按直线l 的斜率是否存在分两类讨论① 若直线l 的斜率不存在，则过点)1,4(-P 直线l 的方程为4-=x ，设它与直线013:=+-y x m 的夹角α，则10103arccos ,101030113|0)1(13|cos 2222=∴=+⋅+⨯-+⨯=αα，满足题意. ②若直线l 的斜率存在，那么设直线l 的方程为)4(1+=-x k y ,即014=++-k y kx ,设它与直线013:=+-y x m 的夹角α，则则,10103)1(3)1(|13|2222=-+-++k k 即|13|132+=+k k ,解得34=k , 所以直线l 的方程为)4(341+=-x y ,化简得 01934=+-y x , 由①②可知, l 的方程是4-=x 或01934=+-y x .[说明] ①启发学生探讨“求过某定点P ，且与已知直线夹角为α的直线方程”这类基本问题的处理方法；②一般地, 求直线方程时,往往采用待定系数法:先设出的直线方程，再利用直线的夹角公式列式，求解；③分析思路，启发学生一题多解.若设点斜式，学生可能只求出一条直线，启发学生从平面几何分析，应有两条直线.但为什么有的学生求到只有一条呢？让学生在矛盾中顿悟：需要按斜率是否存在分两类讨论，而且利用直线的夹角公式时，都必须先化为直线方程的一般形式.④例3类同于教材中的例4，教材中例4给出的夹角为特殊值3π，本例为10103arccos ，目的让学生熟悉反三角的表示. 例4：已知ABC ∆的三个顶点为)5,5(),1,6(),1,2(C B A(1)求ABC ∆中A ∠的大小;(2)求A ∠的平分线所在直线的方程. （补充）解:（1）方法一:直线AB 的方程为:1=y ，直线AC 的方程为:0534=--y x ,设它们的夹角为α,又A ∠为锐角,所以A ∠=α， 则53arccos ,53cos =∴=A A 即为所求; 方法二:数形结合,因为34arctan ,34,0=∠∴==A k k AC AB 即为所求. （2）方法一：设角平分线所在直线方程0)1()2(=-+-y b x a ，即02=--+b a by ax .由角平分线与两边AC AB ,成等角，运用夹角公式得 |,34|||55|34|||2222b a b b a b a b a b -=⇒+-=+解得 b a b a =-=22或,由题意,舍b a 2=所以角平分线的方程为：02=-y x .方法二: 数形结合,利用半角公式先求角平分线所在直线的斜率为212(2122tan =∴--==k A k ），舍或, 又已知它过点（2，1）， 所以，角平分线的方程为：02=-y x[说明]①巩固提高.因为本题中,直线AB 的方程为:1=y ,因此采用方法二更简洁些.但是方法一却是解决此类问题的基本方法.②小题（1）,求三角形的内角,一般先求过A 的两条边所在直线方程，由夹角公式可求得.需要注意夹角公式所得的角是三角形内角或其补角；③小题（2）,注意结合图形,正确取舍.三、巩固练习练习11.3（2） ----1,3四、课堂小结1．本节课研究了两条直线的夹角，推导出两条直线的夹角公式的方法，要理解、体会其中的思想方法；2．会用两条直线垂直的充要条件解决与垂直有关的问题；3．熟练运用夹角公式求两条直线的夹角.注意不垂直的两条相交直线的夹角为锐角；4．进一步讨论了求直线方程的方法：运用待定系数法时，可设直线方程为点法向式、或点斜式方程，而在用点斜式方程时，需要分类讨论.五、作业布置1、书面作业：练习11.3（2） ----2,4习题11.3 A 组----10,11,122、思考题：光线沿直线l 1：022=-+y x 照射到直线l 2：022=++y x 上后反射，求反射线所在直线3l 的方程.解 由)2,2(022022-⎩⎨⎧=++=-+，得反射点的坐标为y x y x . 设3l 的方程为0)2()2(=++-y b x a （其中),(b a n =为一法向量，b a ,不同时为零）由反射原理,直线1l 与2l 的夹角等于2l 与3l 的夹角，得b a b a b a ba 211252552222-==⇒+⋅+=⋅+或,舍去b a 2=(否则与l 1重合) ,所以b a 112-=,得3l 的方程为026112=--y x . 3．思考题：在y 轴的正半轴上给定两点A （0，a ），B （0，b ），点A 在点B 上方，试在x 轴正半轴上求一点C ，使∠ACB 取到最大值.答：ab C =.[说明] ①作业1是课本习题，通过它来反馈知识掌握效果，巩固所学知识，强化基本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；②作业2、3设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间，学生可以根据实际情况选用.。
2.1 两条直线的位置关系(第2课时)
自主探学
探究活动3 垂线段和点与直线的距离 【活动内容3】 体育课上老师是怎样测量跳远成绩的?能说出其中的道理吗? 与同伴交流.
解:体育课上,老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
合作研学
探究活动4 垂线的应用
1.如图所示,直线AB与直线CD相交于点O,OE⊥AB,垂足为O,
∠EOD＝40o,则∠BOC＝ 130° .
自主探学
探究活动2 垂线的画法 2.如果只有直尺,你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗?
说出你的画法和理由.
自主探学
探究活动2 垂线的画法
3.你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗,试试看!
自主探学
探究活动3 垂线段和点与直线的距离 【活动内容1】 如图(1)所示,点A在直线l上,过点A画直线l的垂线,你能画出多少条? 如图(2)所示,如果点A在直线l外呢?动手画一画,与同伴交流.
结论:平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
自主探学
探究活动3 垂线段和点与直线的距离 【活动内容2】 如图(1)所示,点P是直线l外一点,PO⊥l,点O是垂足.点A,B,C在 直线l上,比较线段PO,PA,PB,PC的长短,你发现了什么?
结论:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短. 如图(2)所示,过点A作l的垂线,垂足为B,线段AB的长度叫做 点A到直线l的距离.
3.点到直线的距离是指垂线段的长度,若点在直线上, 我们认为点到直线的距离为零.
检测评学
1.画一条直线l,在直线l上取一点A,在直线l外取一点B,分别经过 点A , B用三角尺或量角器画直线l的垂线．
解:作图如下：
检测评学
2.分别找出下列图中互相垂直的线段．
高中数学同步教学 两条直线的位置关系 第2课时 两条直线垂直的条件
目标导航
课标要求 素养达成
1.理解两条直线垂直的条件. 2.会利用斜率判断两条直线垂直.
通过两条直线垂直的学习,培养了学生的数形结合 思想的养成,促进数学抽象、数学运算等核心素养 的达成.
新知探求 课堂探究
新知探求·素养养成
知识探究
1.已知两条直线:l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线垂直的条件 是: A1A2+B1B2=0 ,反之若满足A1A2+B1B2=0,则 两条直线垂直 . 2.已知两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则两条直线垂直的条件是:
类型三 对称问题
【例3】 已知直线l:x+2y-2=0,试求: (1)点P(-2,-1)关于直线l的对称点坐标;
解:(1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′(x0,y0),则线段 PP′的中点 M 在直线
l
上,且
PP′⊥l.所以
y0 x0
1 2
1 2
1
x0 2
2
2
y0 1 2
2
所以 kl=- 1 =- 4 ,所以直线 l 的方程为 y-2=- 4 x,即 4x+3y-6=0.
k3 3
3
法三 设过l1与l2交点的直线l的方程为 x-2y+4+λ(x+y-2)=0, 即:(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.※ 又l与l3互相垂直,所以(1+λ)×3+(λ-2)×(-4)=0, 解得:λ=11,代入※得:4x+3y-6=0.
(A)60° (B)180°
11.3.1两条直线的位置关系(2)
几个结论：
（1） “ D 0”是“l1与l2 相交” 充要 条件. （2） “ D 0”是“l1与l2 平行”必要非充分 条件. （3） “ a1a2 b1b2 0”是“l1 与l2 垂直”充要 条件.
二、综合应用
例 1．已知三条直线：
1 2
l3 : mx 3 y 5 0 （1） 若三条直线有且仅有两个交点， 值范围.
（3） 求 MA MB的最大值及此时直线l 的方程.
y B
.
M(2,1)
O
A
x
三、一类最值问题的解答
练一练
已知直线l 过点 2,3， 且与 x 轴负半轴，y 轴的正半轴分别交于 A, B两点， （1）求 AOB的最小值时，直线的方程； （2）求截距之积最大时，直线的方程；
y
M(-2,3)
.
O
x
四、课堂小结
l : x y 1 0； l : 2 x y 8 0；
练一练
当 m为何值时，三条直线 l1 : 4 x y 4；
2 3
l : mx y 0; l : 2 x 3my 4不能构成三角形？
二、综合应用 例 2． 已知直线l 的方程为 kx y 2k 3 0， 求证：对于任意实数 k ，直线l 恒过定点 M ， 并指出定点 M 的坐标. 练一练
当 D Dx Dy 0 时，两直线重合；
当 D 0, Dx 0 或 Dy 0 时，两直线平行.
练一练
已知直线l1 : m 3x 4 y 3m 5 0 及直线l2 : 2 x m 5 y 8 0 当 m为何值时，l1与l2 （1）相交？（2）平行？ （3）重合？（4）垂直？
两条直线的位置关系
两条直线的位置关系 Ting Bao was revised on January 6, 20021两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.选择题：设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 充分性：当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行； 必要性：当直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行时有a ＝－2或1； 所以“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) B ．2－ 2 －1 ＋1解析 依题意得|a －2＋3|1＋1＝1，解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2，∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．－1或－7解析 l 1的斜率为－3＋m 4，在y 轴上的截距为5－3m 4，l 2的斜率为－25＋m ，在y 轴上的截距为85＋m .又∵l 1∥l 2，由－3＋m 4＝－25＋m得，m 2＋8m ＋7＝0，得m ＝－1或－7.m ＝－1时，5－3m 4＝85＋m ＝2，l 1与l 2重合，故不符合题意；m ＝－7时，5－3m 4＝132≠85＋m ＝－4，符合题意已知两条直线l 1：(a －1)·x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( ) A ．－1 B ．2 C ．0或－2 D ．－1或2解析 若a ＝0，两直线方程为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0.当a ≠0时，若两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或a ＝2，选D.已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a 3 B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0解析 若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0，若∠B ＝π2，根据垂直关系可知a 2·a 3－b a ＝－1，所以a (a 3－b )＝－1，即b －a 3－1a ＝0，以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件．已知过点A (m ＋1，0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4，3)，D (0，5)的直线平行，则m 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．1 解析 由题意得：k AB ＝m －0－5－m ＋1＝m －6－m ，k CD ＝5－30－－4＝12.由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以m－6－m ＝12，所以m ＝－2当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 解方程组⎩⎨⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0＜k ＜12，所以k k －1＜0，2k －1k －1＞0，故交点在第二象限．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2经过定点( )A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)解析 直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0 解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．填空题：已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为_____解析 由于直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，所以a (b －3)＝2b ，即2a ＋3b＝1(a ，b 均为正数)，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ·a b ＝25(当且仅当ba＝ab ，即a ＝b ＝5时取等号)若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________ 解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________. 解析 ∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即a2＝－1，解得a ＝－2.已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________解析由方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1， 又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k 2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为______ 解析 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________解析 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________解析 l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________解析由题意得⎩⎨⎧a ＋ba －1＝0，4a 2＋－b 2＝|b |a －12＋1.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝2经检验，两种情况均符合题意，∴a ＋b 的值为0或83已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝______；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为_______ 解析 若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan45°＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－－3|1＋1＝2 2.已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________解析 设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎪⎫－3313，413.解答题：已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，求α的值，使得： (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解 (1)当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2. 当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α，要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22. 所以α＝k π±π4，k ∈Z ，此时两直线的斜率相等．故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件，所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程．解 与l 1、l 2平行且距离相等的直线方程为x ＋2y －2＝0.设所求直线方程为(x ＋2y －2)＋λ(x －y －1)＝0，即(1＋λ)x ＋(2－λ)y －2－λ＝0.又直线过(－1,1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0，解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x ＋7y －5＝0.正方形的中心为点C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程 解 点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)，则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程 解 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)．∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l 的方程． 解 依题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0 (c ≠1)， 又因为直线过点(1，2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解 解方程组⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0，2)．因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解 依题意知：k AC ＝－2，A (5，1)，∴l AC 为2x ＋y －11＝0， 联立l AC 、l CM 得⎩⎨⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4，3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎨⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．解 (1)易知l 不可能为l 2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，∵点A (5,0)到l 的距离为3，∴|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝12，∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤PA (当l ⊥PA 时等号成立)．∴d max ＝PA ＝5－22＋0－12＝10.专项能力提升若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是 ( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．23 解析 因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0.欲求m 2＋n 2的最小值可先求m －02＋n －02的最小值，而m －02＋n －02表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小为2.所以m 2＋n 2的最小值为4.已知直线l ：y ＝12x －1，(1)求点P (3,4)关于l 对称的点Q ； (2)求l 关于点(2,3)对称的直线方程．解 (1)设Q (x 0，y 0)，由于PQ ⊥l ，且PQ 中点在l上，有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－4x 0－3＝－2，y 0＋42＝12·x 0＋32－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝295，y 0＝－85，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫295，－85.(2)在l 上任取一点，如M (0，－1)，则M 关于点(2,3)对称的点为N (4,7)．∵当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，∴所求直线过点N 且与l 平行， ∴所求方程为y －7＝12(x －4)，即为x －2y ＋10＝0.。
11.3两条直线的位置关系(2)
5.直线l过点M(0,-2)且与直线l1:x+y-3=0和x2y+4=0分别交于点P、Q，若M恰为线段PQ的 中点，求直线l的方程. 解 设点P(m,n),由中点公式,得Q(-2m,-4-2n)， m 2n 2 0 又点P、Q分别在l1、l2上,列方程组, 2(2m) (4 2n) 2 0 解m=6,n=-3, x 6 y 12 0为所求. 6. 已知三角形ABC的顶点A(3,-1),AB边的中线 所在的直线方程为6x+10y-59=0,∠B的平分线 所在直线的方程为x-4y+10=0,求BC边所在直 线的方程. 2 x 9 y 65 0
(3) l1:x-y +1 =0, l2:x+4=0
已知两条直线的方程分别为: l1: a1x + b1y +c1=0 l2: a2x + b2y + c2=0 求这两条直线的夹角.
解:由l1 ,l2的方程,可构造l1 ,l2的法向量: n1=(a1, b1)和n2=(a2, b2), 于是l1 ,l2的方向向量是: d1=(b1, -a1)和d2=(b2, -a2)
例4.光线沿直线l1：2x+y-2=0照射到直线l2： x+2y+2=0上后反射，求反射线l3所在直线的 方程.
2 x 11y 26 0
练习.在y轴的正半轴上给定两点A(0，a)，B(0， b)，点A在点B上方，试在x轴正半轴上求一 点C，使∠ACB取到最大值.
C ab
11.3(3)两条直线的位置关系
(2)l1与l2 的法向量坐标n1=(2m,3),n2=(1,-1),由 夹角公式 |2m-3| 2 cos45o=--------=--, 2 求得m=0
北师大版七年级数学下册2.1两条直线的位置关系(第二课时)课件
ZYT
探究新知
如图 ，过点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，线段AB的长度 叫做点 A 到直线 l的距离．
ZYT
探究新知
你知道体育课上老师是怎样测量跳远成绩的？你能说说 其中的道理吗？
线段PO的长度即为所求
O P
ZYT
典例精析
例2 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘 能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
探究新知
垂线的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直. 提示： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
ZYT
探究新知
知识点 3 点到直线的距离
如图 ，点 P 是直线 l 外一点，PO⊥l，点 O 是垂足．点 A，B，C 在直线 l 上，比较线段 PO，PA，PB，PC 的长 短，你发现了什么？
A
M
B ∴直线MF为所求垂线.
D CNF
ZYT
典例精析
例2 如图,量出 （1）村庄A与货场B的距离, （2）货场B到铁道的距离.
C
8m B
0m 10m 20m 30m
A 25m
ZYT
巩固练习
马路两旁两名同学A、B，若A同学到马路对边怎样走最近？若
A同学到B同学处怎样走最近？
解：过点A作AC⊥BC，垂足为C，A
ZYT
探究新知
知识点 1 垂线的定义
观察下面图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么 特殊的位置关系？
a
b
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么 称这两条直线互相垂直 ，其中的一条直线叫做另一条直线 的垂线，它们的交点叫做垂足.
2.1两条直线的位置关系(2)
O
D
B
2、如图，OA⊥OC，OB⊥OD，∠BOC=30°，求∠AOB，∠COD，∠AOD
B A C
O
3、如图，要把水渠中的水引到水池 C 中，在渠岸的什么地方开沟，水沟 的长度才能最短？请画出图来，并说明理由
D
水渠 C
4、点 C 在直线 AB 上,过点 C 引两条射线 CE、CD，且∠ACE=32°， ∠DCB=58°，则 CE、CD 有何位置关系关系？为什么？
七年级数学导学案第 18 课时 主备人：曹晓磊
审核人：
施晓海
审批人：王文锦
Hale Waihona Puke 课题：2.1 两条直线的位置关系(2)
学习目标：1、了解垂直的概念，能说出垂线的性质；2、会用三角 尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
一、自主预习：
互余 对应图 形 数量关 系 性质 互补
C
1 ∠3 2 与 ∠4
3 3
对顶角
O B D
b a 1 2 4 3
D A C
B
线段 PO 的长度 叫做点 P 到直线 l 的距离。
AB＝5cm，那么点 B 到直线 AC 的距离等于 的距离等于 ，A、B 两点间的距离等于
七年级数学导学案第 18 课时 主备人：曹晓磊
审核人：
施晓海
审批人：王文锦
四、总结反思： 五、课后练习： 1、已知钝角∠AOB，点 D 在射线 OB 上 （1）画直线 DE⊥OB (2) 画直线 DF⊥OA，垂足为 F
E A C
D B
D C
5、如图，AO⊥OB，OD 平分∠AOC，∠BOC=150°，求∠DOC 的度数
A
O
B
课后反思：
4
高考数学一轮复习第8章解析几何第2讲两条直线的位置关系
第二讲 两条直线的位置关系知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,l 2：y ＝k 2x ＋b 2,l 1∥l 2⇔k 1＝k 2,且b 1≠b 2． 对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0, l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0,且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,l 2：y ＝k 2x ＋b 2,l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0__． 知识点二 两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．相交⇔方程组有__唯一解__； 平行⇔方程组__无解__； 重合⇔方程组有__无数个解__． 知识点三 三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22．特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|＝x 2＋y 2． (2)点P(x 0,y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2． (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2． 重要结论1．求解距离问题的规律运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式；运用两平行线间的距离公式时,需先把两平行线方程中x,y 的系数化为相同的形式．2．对称问题的求解规律(1)中心对称：转化为中点问题处理．(2)轴对称：转化为垂直平分线问题处理．特殊地：点P(a,b)关于直线x ＋y ＋m ＝0对称的点坐标为(－b －m,－a －m),点P(a,b)关于直线x －y ＋m ＝0对称的点坐标为(b －m,a ＋m)．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两直线的斜率相等,则两直线平行,反之,亦然．( × )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直,那么它们的斜率之积一定等于－1．( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),若直线l 1⊥l 2,则A 1A 2＋B 1B 2＝0．( √ )(4)点P(x 0,y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b|1＋k2．( × ) (5)若点A,B 关于直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0)对称,则直线AB 的斜率等于－1k ,且线段AB 的中点在直线l上．( √ )题组二 走进教材2．(课本习题改编)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．(必修2P 110B 组T2)已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1,则a 等于( C ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1[解析] 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1．解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2． ∵a ＞0,∴a ＝－1＋2． 题组三 走向高考4．(2020·高考全国Ⅲ)点(0,－1)到直线y ＝k(x ＋1)距离的最大值为( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2 [解析] 解法一：由y ＝k(x ＋1)可知直线过定点P(－1,0),设A(0,－1),当直线y ＝k(x ＋1)与AP 垂直时,点A 到直线y ＝k(x ＋1)距离最大,即为|AP|＝2,故选B ．解法二：因为点(0,－1)到直线y ＝k(x ＋1)距离d ＝|1＋k|k 2＋1＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2kk 2＋1；∵要求距离的最大值,故需k ＞0；可得d ＝1＋2k ＋1k≤2,当且仅当k ＝1时取等号,故选B ．5．(2018·全国)坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为__(6,－6)__． [解析] 设坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(a,b),则⎩⎪⎨⎪⎧b a ×1＝－1a 2－b2－6＝0,解得a ＝6,b ＝－6,∴坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(6,－6)．考点突破·互动探究考点一 两条直线平行、垂直的关系——自主练透例1 (1)(2021·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( A )A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)“m＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2021·青岛调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行,则m ＝( C ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3(4)(多选题)等腰直角三角形斜边的中点是M(4,2),一条直角边所在直线的方程为y ＝2x,则另外两边所在直线的方程为( CD )A ．3x ＋y －14＝0B ．x ＋2y －2＝0C ．x －3y ＋2＝0D ．x ＋2y －14＝0[解析] (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32,所以所求直线l的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,化为一般式,得6x －4y －3＝0．(2)由l 1⊥l 2,得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0,∴m ＝3或m ＝－2,∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m m ＋1＝6，4m≠－4，解得m ＝2或－3．故选C ．(4)设斜边所在直线的斜率为k,由题意知tan π4＝2－k 1＋2k ＝1,∴k ＝13,∴斜边所在直线方程为y －2＝13(x －4),即x －3y ＋2＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x x －3y ＋2＝0可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45,∴A 关于M 的对称点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫385，165,∴另一条直角边的方程为y －165＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －385,即x ＋2y －14＝0,故选C 、D ．名师点拨(1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 〔变式训练1〕(1)(2021·吉林长春模拟)曲线f(x)＝2sin x 在x ＝π3处的切线与直线ax ＋y －1＝0垂直,则a ＝__1__．(2)(2012·浙江)设a ∈R,则“a＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由题得f′(x)＝2cos x,∴k ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1．所以1×(－a)＝－1,∴a ＝1． (2)l 1∥l 2⇔a 2＋a －2＝0⇔a ＝1或－2,∴a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．故选A ． 考点二 两直线的交点、距离问题——师生共研例2 (1)两条垂直直线l 1：2x ＋y ＋1＝0与l 2：ax ＋4y －6＝0的交点到原点的距离为__2__．(2)已知点P(2,－1)．①求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少？③是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在,求出方程；若不存在,请说明理由． (3)(2020·上海)已知直线l 1：x ＋ay ＝1,l 2：ax ＋y ＝1,若l 1∥l 2,则l 1与l 2的距离为__2__． [解析] (1)kl 1＝－2,kl 2＝－a 4,由l 1⊥l 2知－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1,∴a ＝－2,∴l 2：x －2y ＋3＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0x －2y ＋3＝0得交点A(－1,1),∴|AO|＝2．(2)①过点P 的直线l 与原点的距离为2,而点P 的坐标为(2,－1),显然,过点P(2,－1)且垂直于x 轴的直线满足条件,此时l 的斜率不存在,其方程为x ＝2． 若斜率存在,设l 的方程为y ＋1＝k(x －2), 即kx －y －2k －1＝0．由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2,解得k ＝34． 此时l 的方程为3x －4y －10＝0．综上,可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0．②作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线,如图． 由l ⊥OP,得k l k OP ＝－1, 所以k l ＝－1k OP＝2．由直线方程的点斜式,得y ＋1＝2(x －2),即2x －y －5＝0．所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线,最大距离为|－5|5＝5．③由②可知,过点P 不存在到原点的距离超过5的直线,因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．(3)直线l 1：x ＋ay ＝1,l 2：ax ＋y ＝1, 当l 1∥l 2时,a 2－1＝0,解得a ＝±1；当a ＝1时l 1与l 2重合,不满足题意； 当a ＝－1时l 1∥l 2,此时l 1：x －y －1＝0,l 2：x －y ＋1＝0； 则l 1与l 2的距离为d ＝|－1－1|12＋－12＝2．名师点拨距离的求法(1)点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离：①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； ②利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时,应把直线方程化为一般形式,且使x 、y 的系数分别相等． 〔变式训练2〕(1)(2021·西南名校联盟联考)设直线l 1：3x －y －1＝0与直线l 2：x ＋2y －5＝0的交点为A,则A 到直线l ：x ＋by ＋2＋b ＝0的距离的最大值为( C )A ．4B ．10C ．3 2D ．11(2)(多选题)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0距离相等,则m 的值可以为( AC ) A ．－6 B ．－12C ．12D ．1(3)(2021·绵阳模拟)若P,Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点,则|PQ|的最小值为( C )A ．95B ．185C ．2910D ．295[解析] (1)解法一：显然l 1与l 2的交点A(1,2),又直线l 过点B(－2,－1),∴所求最大距离为|AB|＝32,故选C ．解法二：显然l 1与l 2的交点为A(1,2),则A 到直线l 的距离d ＝|1＋2b ＋2＋b|1＋b2＝31＋b 2＋2b1＋b2＝31＋2b 1＋b2≤32(当且仅当b ＝1时取等号),故选C ． (2)直线mx ＋y ＋3＝0与直线AB 平行或过AB 中点,∴－m ＝4－2－1－3＝－12,即m ＝12；AB 中点(1,3),∴m＋3＋3＝0即m ＝－6,故选A 、C ．(3)因为36＝48≠－125,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即|－24－5|62＋82＝2910,所以|PQ|的最小值为2910． 考点三 对称问题——多维探究 角度1 线关于点的对称例3 (2021·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M,则直线2x ＋3y －6＝0关于M点对称的直线方程为( D )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0[解析] 由ax ＋y ＋3a －1＝0,可得y －1＝－a(x ＋3),所以M(－3,1),M 不在直线2x ＋3y －6＝0上,设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c≠－6),则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c|4＋9,解得c ＝12或c ＝－6(舍去),所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0,故选D ．另解：在直线2x ＋3y －6＝0上取点A(0,2)、B(3,0),则A 、B 关于M 的对称点分别为A′(－6,0),B′(－9,2),又k A′B′＝2－0－9－－6＝－23,故所求直线方程为y ＝－23(x ＋6),即2x ＋3y ＋12＝0．故选D ．角度2 点关于线的对称例4 (2021·长沙一模)已知入射光线经过点M(－3,4),被直线l ：x －y ＋3＝0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为__6x －y －6＝0__．[解析] 设点M(－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M′(a ,b),则反射光线所在直线过点M′,所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1,b ＝0．又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1,即6x －y －6＝0． (代入法)当x ＝－3时,由x －y ＋3＝0得y ＝0, 当y ＝4时,由x －y ＋3＝0得x ＝1．∴M(－3,4)关于直线l 的对称点为M′(1,0)．又k NM′＝6－02－1＝6,∴所求直线方程为y ＝6(x －1),即6x －y －6＝0．[引申]本例中入射光线所在直线的方程为__x －6y ＋27＝0__．[解析] N(2,6)关于直线l 的对称点N′(3,5),又k MN′＝5－43－－3＝16,∴所求直线方程为y －4＝16(x＋3),即x －6y ＋27＝0．角度3 线关于线的对称例5 (2021·合肥模拟)已知直线l ：x －y －1＝0,l 1：2x －y －2＝0．若直线l 2与l 1关于l 对称,则l 2的方程是( B )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0[解析] 解法一：因为l 1与l 2关于l 对称,所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上,故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0,－2)为l 1上一点,设它关于l 的对称点为(x,y),则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0),(－1,－1)为l 2上两点,可得l 2的方程为x －2y －1＝0．解法二：在l 1上取两点A(0,－2),B(1,0),则A 、B 关于l 的对称点分别为A′(－1,－1),B′(1,0),∴k A′B′＝0－－11－－1＝12．∴l 2的方程为y －0＝12(x －1),即x －2y －1＝0．故选B ．解法三：设P(x,y)是直线l 2上任一点,则P 关于直线l 的对称点为P′(y＋1,x －1),又P′∈l 1,∴2(y ＋1)－(x －1)－2＝0,即直线l 2的方程为x －2y －1＝0．故选B ．名师点拨对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题,都可以转化为对称问题,关于对称问题,一般常见的有： (1)中心对称①点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y′＝2b －y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称 ①点A(a,b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点A′(m ,n),则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×－AB＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．特别地,当对称轴的斜率为±1时,可类比关于y ＝x 的对称问题采用代入法,如(1,3)关于y ＝x ＋1的对称点为(3－1,1＋1),即(2,2)．〔变式训练3〕已知直线l ：2x －3y ＋1＝0,点A(－1,－2)．求： (1)(角度2)点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；(2)(角度3)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； (3)(角度1)直线l 关于点A(－1,－2)对称的直线l′的方程． [解析] (1)设A′(x ,y),由已知条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413．(2)在直线m 上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l 的对称点M′必在直线m′上． 设对称点M′(a ,b),则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013．设直线m 与直线l 的交点为N,则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3),∴由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0． (3)设P(x,y)在l′上任意一点,则P(x,y)关于点A(－1,－2)的对称点为P′(－2－x,－4－y), ∵点P′在直线l 上,∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0, 即2x －3y －9＝0．名师讲坛·素养提升 巧用直线系求直线方程例6 (1)求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R)恒过定点,并求出定点坐标；(2)求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P,且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．[解析] (1)证明：解法一：令m ＝0,则直线方程为 3x ＋y ＋1＝0．再令m ＝1时,直线方程为6x ＋y ＋4＝0．①和②联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A(－1,2)的坐标代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中,(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0, 故动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A ．解法二：将动直线方程按m 降幂排列整理,得m 2(x －y ＋3)＋m(2x ＋y)＋3x ＋y ＋1＝0,① 不论m 为何实数,①式恒为零, ∴有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故动直线恒过点A(－1,2)．(2)解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P(0,2)．因为l 3的斜率为34,且l ⊥l 3,所以直线l 的斜率为－43,由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2,即4x ＋3y －6＝0．解法二：设所求直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0,将解法一中求得的交点P(0,2)代入上式可得m ＝－6, 故所求直线方程为4x ＋3y －6＝0．解法三：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x＋y －2)＝0, 即(1＋λ)x＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0．又∵l ⊥l 3,∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0,解得λ＝11．∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0．[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”,则直线l 的方程为__3x －4y ＋8＝0__．名师点拨1．确定方程含参数的直线所过定点的方法：(1)将直线方程写成点斜式y －y 0＝f(λ)(x－x 0),从而确定定点(x 0,y 0)．(2)将直线方程整理成关于参数的方程,由方程中各项系数及常数项为0确定定点．(3)给参数取两个不同值,再解直线方程构成的方程组,从而确定定点坐标．2．直线系的主要应用(1)共点直线系方程：经过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0,其中A 1B 2－A 2B 1≠0,待定系数λ∈R ．在这个方程中,无论λ取什么实数,都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,因此它不能表示直线l 2．(2)过定点(x 0,y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．(3)平行直线系方程：与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m(m 为参数且m≠b)；与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C ,λ是参数)．(4)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ为参数)．如果在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,那么可选用直线系方程来求解． 〔变式训练4〕(1)(2021·启东模拟)不论m 为何值时,直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( D )A ．⎝⎛⎭⎪⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3) D ．(9,－4)(2)与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程是__5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0__．[解析] (1)解法一：由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5,得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得定点坐标为(9,－4),故选D ．解法二：令m ＝1,则y ＝－4；令m ＝12,则－12x ＝－92,即x ＝9,∴直线过定点(9,－4),故选D ． 解法三：将直线方程化为(2m －1)(y ＋a)＝(1－m)(x ＋b),则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－52a ＋b ＝－1,即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－9,∴y ＋4＝1－m 2m －1(x －9),故直线过点(9,－4),故选D ．(2)设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0,则|c－6|52＋122＝2,解得c＝32或－20,故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．。
2.1.2两条直线的位置关系七年级数学下册同步精品课堂(北师版) (1)
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
问题：这样画l的垂线可以画几条？ 无数条
讲授新课
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
1.放
B
2.靠
3.移
4.画
l
A
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
问题：这样画l的垂线可以画几条？ 一条
讲授新课
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
根据以上操
作，你能得
1.放
出什么结论
2.靠
A
3.移
4.画
l
B
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
讲授新课
总结归纳 垂线的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直.
注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可
以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指
数学（北师大版）
七年级 下册
第二章 相交线与平行线
2.1.2两条直线的位置关系（2）
学习目标
1.了解垂线的有关概念、性质及画法，了解点 到直线的距离的概念； 2.能够运用垂线的有关性质进行运算，并解决 实际问题.
导入新课
同一平面上的两条直线有什么位置关系?
a
b
平行
a b
相交
导入新课
1.3两条直线的位置关系 (2)
类型一 两直线平行的判定及应用
【典例】1.已知直线x+2ay-1=0与直线(a-2)x-ay+2=0
平行,则a的值是 ( )
A. 3
B. 3 或0 C.- 2
D.- 2 或0
2
2
3
3
2.若直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行,则
a=______.
3.判断下列各对直线是否平行,并说明理由: (1)l1:y=2x+3,l2:2x-y+5=0. (2)l1:y=2x+1,l2:x-2y=0. (3)l1:x=3,l2:x=10. (4)l1:y=2x+1,l2:2x-y+1=0.
2.设直线l1:x-y+6=0和直线l2:2x-2y+3=0,则直线l1与直
线l2的位置关系为 ( )
A.平行
B.重合
C.垂直
D.以上都不是
【解析】选A.由已知,l1与l2斜率都等于1,且不是同一 条直线,所以位置关系是平行.
3.已知直线l1经过两点(-2,3),(-2,-1),直线l2经过两
答案:-1
3.(1)设两直线的斜率分别是k1,k2,在y轴上的截距分
别是b1,b2,则k1=k2=2,b1=3,b2=5, b1≠b2,所以l1∥l2.
(2)设两直线的斜率分别是k1,k2,则k1=2,k2=
1 2
,
k1≠k2,所以两直线不平行.
(3)由两直线方程可知,l1∥y轴,l2∥y轴,且两直线在x 轴上截距不相等,所以l1∥l2. (4) 设两直线的斜率分别是k1,k2,在y轴上的截距分别 是b1,b2,则k1=k2=2,b1=b2=1,所以l1与l2重合.
七年级数学北师大版下册课时练第2章《两条直线的位置关系》(含答案解析)(2)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练第2单元相交线与平行线两条直线的位置关系一、基础训练1.下列说法中,正确的个数是()①在同一平面内,不相交的两条线段必平行;②在同一平面内,不相交的两条直线必平行;③在同一平面内,不平行的两条线段必相交;④在同一平面内,不平行的两条直线必相交.A.1B.2C.3D.42.下列选项中,∠1和∠2是对顶角的是()3.如图,直线a,b相交于点O,∠1=110°,则∠2的度数是()A.70°B.90°C.110°D.130°4.若∠A=40°,则∠A的余角是()A.30°B.40°C.50°D.140°5.若∠α=70°,且∠α与∠β互为补角,则∠β的度数是()A.130°B.110°C.30°D.20°6.如图,直线a,b相交于点O,如果∠1+∠2=60°,那么∠3的度数是()A.150°B.120°C.60°D.30°7.如果∠α+∠β=90°,∠γ+∠β=90°,那么∠α与∠γ的关系是()A.相等B.互补C.互余D.无法确定8.如图,直线a,b相交于点O,将半圆形量角器的圆心与点O重合,发现表示60°的刻度与直线a重合,表示138°的刻度与直线b重合,则∠1=°.9.若一个角的补角是这个角的余角的3倍,求这个角为多少度.二、提升训练1.若∠A的余角是50°,则∠A的补角等于()2.当光线从空气中射入水中时,光线的传播方向发生了变化,这种现象叫做光的折射.如图,直线AB与CD相交于点F,一束光线沿CD射入水面,在点F处发生折射,沿FE射入水中.如果∠1=42°,∠2=29°,那么光的传播方向改变了()A.10°B.12°C.13°D.15°3.一副三角板按如图所示的方式摆放,且∠1比∠2大54°,则∠1的度数是()A.18°B.54°C.72°D.70°4.如图,直线AB与CD相交于点O,∠1=∠2,若∠AOE=138°,则∠AOC 的度数是()5.如图,∠AOC与∠BOC互余,∠BOC=15°,OC平分∠AOD,则∠BOD的度数是()A.75°B.65°C.60°D.55°6.在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使∠COD=90°,当∠AOC=50°时,∠BOD的度数是()A.40°B.140°C.40°或140°D.40°或90°7.如图,直线AB与CD相交于点O,∠DOE=78°,∠DOF∶∠AOD=1∶2,OE 平分∠BOF,则∠BOC的度数是()A.30°B.40°C.45°D.48°8.如图,点A,O,E在同一条直线上,OB,OC,OD都是射线,∠1=∠2,∠1与∠4互为余角.(1)∠2与∠3有何关系?请说明理由.(2)∠3与∠4有何关系?请说明理由.(3)试说明:∠3与∠AOD互补.9.如图,直线EF与CD相交于点O,∠AOB=90°,OC平分∠AOF.(1)若∠AOE=40°,求∠BOD的度数;(2)若∠AOE=30°,请直接写出∠BOD的度数;(3)观察(1)(2)的结果,猜想∠AOE和∠BOD的数量关系,并说明理由.参考答案一、基础训练1．B2．C3．C4．C5．B6．A7．A8．789．解:设这个角的度数为x,由题意得,180°-x=3(90°-x),解得x=45°.所以这个角的度数是45°.二、提升训练1．D2．C3．C4．B5．C6．C7．D8．解:(1)∠2与∠3互余.理由如下:由点A,O,E在同一条直线上,知∠1+∠2+∠3+∠4=180°.由∠1与∠4互余,知∠1+∠4=90°,所以∠2+∠3=90°,所以∠2与∠3互余.(2)∠3=∠4.理由如下:由(1)知∠1+∠4=∠2+∠3,因为∠1=∠2,所以∠3=∠4.(3)由(2)知∠3=∠4,因为等角的补角相等,∠4的补角是∠AOD,所以∠3与∠AOD 互补.9．解:(1)因为∠AOE+∠AOF=180°,∠AOE=40°,所以∠AOF=180°-∠AOE=140°.因为OC 平分∠AOF ,所以∠AOC=12∠AOF=12×140°=70°.因为∠BOD+∠AOB+∠AOC=180°,∠AOB=90°,所以∠BOD=180°-∠AOC-∠AOB=180°-70°-90°=20°.(2)∠BOD=15°.(3)猜想:∠BOD=12∠AOE.理由如下:因为OC 平分∠AOF ,所以∠AOC=12∠AOF.因为∠AOE+∠AOF=180°,所以∠AOF=180°-∠AOE.因为∠BOD+∠AOB+∠AOC=180°,∠AOB=90°,所以∠BOD+90°+12∠AOF=180°,所以∠BOD=180°-90°-12∠AOF =90°-12∠AOF=90°-12(180°-∠AOE )=90°-90°+12∠AOE=12∠AOE.。
两条直线的位置关系
两条直线的位置关系1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(i )对于两条不重合的直线l i 、12,假设其斜率分别为k i 、k 2,那么有li//l 2?k i = k 2.(ii)当直线l i 、12不重合且斜率都不存在时,1i//12.②两条直线垂直：(i )如果两条直线l i 、l 2的斜率存在,设为k i 、k 2,那么有l i Xl 2?k i k 2=—i.(ii)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,li,l 2.(2)两条直线的交点直线l i: A i x+B i y+C i = 0, l 2： A 2x+B 2y+C 2= 0,那么l i 与l 2的交点坐标就是方程组 A i x+ B i y+ C i = 0, ■= Ax+ B 2y+ C 2= 02.几种距离⑴两点 P i (x i, y i ), P 2(x 2, y 2)之间的距离 |P i P 2| = M 取2 — x i 彳 + 力2 — y i ?2. ⑵点P 0(x 0, y 0)到直线l: Ax+ By+ C = 0的距离：d= (3)两条平行线Ax+By + C i = 0与Ax+By+C 2=0(其中C/C ?间的距离~=赛福. 选择题:设 aC R,那么 “a=i 〞 是“直线 li ：ax+ 2y —1 = 0与直线 l2：x+ (a+i)y+ 4=0平行〞的( )A,充分不必要条件B,必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析 充分性：当a=i 时,直线li ： x+ 2y —i=0与直线l2： x+ 2y+4 = 0平行; 必要性：当直线li: ax+ 2y —i = 0与直线l 2： x+(a+i)y+ 4= 0平行时有a= — 2或i ； 所以“a=i 〞是“直线li: ax+2y —1=0与直线l 2： x+(a+i)y+4= 0平行〞的充分不必 要条件点(a,2)(a>0)到直线l: x-y+3 = 0的距离为i,那么a 等于()的解.Ax 0+By 0+C|'A 2+ B 2|a- 2+3|解析 依题意得一］ ------- =1,解得 a= — 1 + 42或 a= - 1 —42,a>0, a=- 1 + \2.W+i直线11： (3+m)x+ 4y=5 —3m, I2: 2x+ (5+m)y=8平行,那么实数 m 的值为( ).、13 A. —7B. -1C. — 1 或一7D.W33+ m 5- 3m 21I 的斜率为一,在y 轴上的截距为 —T~, l 2的斜率为― --------- ,在y 轴上的截445+m=—4,符合题意两条直线1I : (a —1)x+2y+1=0, b: x+ay+ 3 = 0平行,那么a 等于( )A. — 1B, 2C. 0 或—2D. — 1 或 2解析 假设a = 0,两直线方程为—x+ 2y+1=0和x= —3,此时两直线相交,不平行,所以 a — 1 2 1aw0.当aw0时,假设两直线平行,那么有 ^1=1W3,解得a= —1或a = 2,选D. 1 a 3 点O(0, 0), A(0, b), B(a, a 3).假设AOAB 为直角三角形,那么必有( )A . b=a^B. b= a 3+ aC. (b —a 3)〞—a 3—： i= 0D. |b-a 3|+|b -a 3-1| = 0解析 假设以O 为直角顶点,那么B 在x 轴上,那么a 必为0,止匕时O, B 重合,不符合题意； 假设/A=；, 那么b=a 3w0,假设/B = ：,根据垂直关系可知a 2aj = —1,所以a(a 3—b) = —2 2 a 1,即b —a 3—1 = 0,以上两种情况皆有可能,故只有 C 满足条件. a过点A(m+1, 0), B(-5, m)的直线与过点C(-4, 3), D(0, 5)的直线平行,那么 m 的 值为()A. 2B. 2 — 72C. 2-1D. . 2+ 1解析 距为85+ m 又 = 1I // l 2, 3+ m 2 2由一 z — —d, m + 8m+7=0,得1 m — — 1 或一7. 45+mm= — 1 时,5 -3m 8= =5+ m2, 1I 与l 2重合,故不符合题意 m= — 7 时,5-3m 13/ 8A. — 1B. -2C. 2 D, 1m- 0 m 5 - 3 i解析由题意得：k AB= = , k cD= .由于AB//CD, 即k AB—5 — ?m +17 — 6 — m 0 —? — 4?一m 1 一所以 3— = 2",所以m= —26- m 2- 1一当0<k<2时,直线11：kx—y= k—1与直线12：ky—x=2k的父点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限kx- y= k —1, । k 2k_ 1 1解析解方程组彳得两直线的交点坐标为一, -------- ,由于0V k<1I ky- x= 2k 卜—1 k— 1)2k 2—1……厂所以——< 0, ——>0,故交点在第二象限.k-1 k-1假设直线11：y= k(x—4)与直线12关于点(2, 1)对称,那么直线12经过定点( )A. (0, 4)B. (0, 2)C. ( — 2, 4)D. (4, -2)解析直线11：y=k(x —4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线11：y= k(x —4)与直线12关于点(2,1)对称,故直线12经过定点(0,2).从点(2, 3)射出的光线沿与向量a=(8, 4)平行的直线射到y轴上,那么反射光线所在的直线方程为()A. x+ 2y —4 = 0 B, 2x+y—1=0 C, x+6y— 16 = 0 D, 6x+ y — 8=01 ............ ...... .解析由直线与向量a= (8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k= 2,所以直线的方程为y 1—3= 2(x- 2),其与y轴的父点坐标为(0,2),又点(2,3)关于y轴的对称点为(一2,3),所以反射光线过点(一2,3)与(0,2),由两点式知A正确.填空题：a, b 为正数,且直线ax+ by —6 = 0与直线2x+ (b —3)y+5=0互相平行,那么2a+3b 的最小值为 解析 由于直线ax+by —6 = 0与直线2x+(b —3)y+5=0互相平行,所以a(b —3)=2b,即 2 3 2 3 -+r= 1(a, b 均为正数),所以 2a+ 3b=(2a+3b) ；+7 = a b a bb a25(当且仅当g=萨 即a=b=5时取等号) 假设直线(3a+2)x+(1 —4a)y+8=0 与(5a —2)x+ (a + 4)y — 7 = 0 垂直,那么 a=解析 由两直线垂直的充要条件,得(3a+2)(5a —2) + (1—4a)(a+4)=0,解得2=0或2 = 1. 两直线方程分别为l1: x+ y=1, l2： ax+ 2y= 0,假设l1,l2,那么a=,,2-4k ------- >0, 2k+1直线l 过点P(-1, 2)且到点A(2, 3)和点B(-4, 5)的距离相等,那么直线l 的方程为 解析 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-2=k(x+ 1),即kx-y+k+2 = 0.13+靖+#13+6*2患=解析.l 1±l2, ..klk2=— 1, 1 - - a- 2 u直线y=kx+ 2k+1与直线y=1 ................ ......................................................... ___-2x+2的交点位于第一象限,那么实数 k 的取值范围是[y=kx+ 2k+1,解析由方程组1 1(y = 一尹2,解得2-4k6k+ 1直线平行),,交点坐标为必k+1 2k+ 1 2-4kx二 ,6k+1 V=2k+1_ _ 1 … (假设 2k+1=0,即 k= -2,那么两又•••交点位于第一象限,解得一6k+1------ >0,12k+16<k<2.门口 1,即 |3k — 1|=|—3k —3|, . .k= — %31 一. .直线 l 的方程为 y — 2= —a 〔x+ 1〕,即 x+3y — 5 = 0. 3 当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x= —1,也符合题意.过点P(0, 1)作直线1,使它被直线11： 2x+ y-8=0和12： x —3y+ 10=0截得的线段被点P 平分,那么直线1的方程为解析 设11与1的交点为A(a,8-2a),那么由题意知,点A 关于点P 的对称点B(-a,2a-6) 在12上,代入12的方程得—a-3(2a-6)+10 = 0,解得a = 4,即点A(4,0)在直线1上,所 以直线1的方程为x+ 4y —4 = 0与直线11： 3x+2y — 6= 0和直线12： 6x+ 4y —3 = 0等距离的直线方程是3解析12： 6x+4y — 3=0化为3x+2y — ]=0,所以11与12平行,设与11, 12等距离的直线1 3 15的万程为3x+ 2y+c=0,那么：|c+ 6|=|c+]|,解得c=- -,所以1的万程为12x+ 8y-15 =0.两直线1I : ax —by+ 4 = 0和12： (a —1)x+ y+ b=0,假设1I //12,且坐标原点到这两条直 线的距离相等,那么a+b =[a +b ?a —1 ?= 0,解析 由题意得44 _|b|“a 2+ ?二 b?,?a -1y+18种情况均符合题意,- -a+b 的值为0或33...................... ,… ,一,… ……一,一•兀 一 • 直线1I : ax+ y- 1=0,直线12： x —y —3=0,右直线1I 的倾斜角为'那么a=; 假设1I 112,那么a=;假设1I // 12,那么两平行直线间的距离为解析 假设直线11的倾斜角为*那么一a=k=tan45 = 1,故a= — 1;假设11L2,那么ax 1+1 x (—|1-7-3?|1)=0,故a=1;假设1I //12,那么a= — 1, 1I : x — y+1=0,两平行直线间的距离 d= tV 1 + 1由题意知|2k- 3+ k+2| |-4k- 5+ k+ 2|a = 2, 解得b= 一2经检验,两I b = 2= 2 2.直线l:2x —3y+1=0,点A(—1, —2),那么点A 关于直线l 的对称点A'的坐标为(1)11 // 12； (2)11 ±12.解(1)当sin - 0时,直线11的斜率不存在,12的斜率为0, — ― 1 ... ........................ .. 当 sinaw0 时,k 1 = -—, k 2= —2sina,要使 11//12,需一 sin a / /所以a= k ：t^, k€Z,此时两直线的斜率相等.故当 后kJ, k€ Z 时,11//12.(2)由于 A 1A 2+ B 1B 2= 0 是 11 X12 的充要条件,所以 2sin a+ sin a= 0,即 sin a= 0,所以 a= k 九, kCZ. 故当 a= k TT , kC Z 时,11X12.如图,设一直线过点(一1,1),它被两平行直线11： x+ 2y —1 = 0, 12： x+ 2y —3=0所截的线 段的中点在直线13： x —y — 1 = 0上,求其方程.解 与11、12平行且距离相等的直线方程为 x+2y — 2 = 0.设所求直线方程为(x+2y — 2)+ Xx —y —1) = 0,即(1 +姒+(2—?y — 2-入=0.又直线过(一 1,1),1 ................. .... ..•.(1+ 2)(—1)+(2— ) 1—2—入 =0,解得 仁—%..••所求直线方程为 2x+7y- 5=0.3正方形的中央为点C(—1,0), 一条边所在的直线方程是x+ 3y —5 = 0,求其他三边所在直线 的方程解析设33 13'解做题 两直线y +2 2—X3=T,, ,一一x+ 1 3A' (x, y),由得?x 一 1 y 一 233—而解得£ L y —13,11： x+ysina —1=0 和 12： 2x sin a+ y+1=0,求a的值,使得:显然11不平行于12.sin2=一 2sin a,即 sin a= iz^. 2| — 1 — 5| 3A /10解 点C 到直线x+3y — 5 = 0的距离d=,—— —1 + 95设与x+ 3y — 5= 0平行的一边所在直线的方程是 x+ 3y+ m= 0(m w — 5),|— 1 + m| 3^/10那么点C 到直线x+ 3y+m=0的距离d=—/ --------- = * ,解得m= — 5(舍去)或m=7,A/1 + 95所以与x+ 3y- 5=0平行的边所在直线的方程是 x+3y+ 7 = 0. 设与x+3y — 5= 0垂直的边所在直线的方程是 3x —y+n = 0,所以与x+3y — 5=0垂直的两边所在直线的方程分别是 3x-y —3 = 0和3x- y+9 = 0. 直线l: 2x-3y+ 1 = 0,求直线m ： 3x-2y —6 = 0关于直线l 的对称直线m'的方程 解 在直线m 上任取一点,如M(2,0),那么M(2,0)关于直线l 的对称点M'必在直线m'上•・M '袅[2x — 3y+1 = 0,设直线m 与直线l 的交点为N,那么由S得N(4,3).[3x-2y-6 = 0,又 经过点N(4,3). .•・由两点式得直线 m'的方程为9x-46y+ 102=0. 求与直线3x+ 4y+ 1 = 0平行且过点(1, 2)的直线l 的方程. 解 依题意,设所求直线方程为3x+ 4y+c= 0 (cw1), 又由于直线过点(1, 2),所以3X1+4X2+c=0,解得c= -11. 因此,所求直线方程为3x + 4y —11 = 0.求经过两直线l1： x-2y + 4 = 0和l2： x+y —2=0的交点P,且与直线l3： 3x-4y+ 5= 0那么点C 至IJ 直线3x —y+n = 0的距离d = I —3+n| 3月,解得n= — 3或n = 9,2Xa+2-3Xb+0+ 1=0,设对称点M' (a , b),那么L 八b —0 a =13.L a-22X3=T,解得 ? 的30 1b =13垂直的直线l的方程.x- 2y+4 = 0,解解方程组i 得P(0, 2).Ix+ y- 2=0,由于13的斜率为3,且U13,所以直线l的斜率为一4,由斜截式可知1的方程为y= —Q X+ 2,即4x+ 3y—6 = 0. 34ABC的顶点A(5, 1), AB边上的中线CM所在直线方程为2x- y- 5=0, AC边上的高BH所在直线方程为x- 2y-5=0,求直线BC的方程.解依题意知：k AC= —2, A(5, 1), ；1AC为2x+ y- 11 = 0,2x+ y—11 = 0,联立1AC、1CM 得 5 ,C(4, 3).2x— y —5 = 0,X0 + 5 y0 + 1设B(x0, y0), AB 的中点M 为(~下一,—2―),(2x0—y0— 1 = 0,代入2x—y—5= 0,得2x0 —y0—1 = 0, •. S .^(-1, —3),1x0- 2y0- 5= 0,6 6；k BC = 5,「.直线BC 的万程为y—3=5(x —4),即6x—5y —9 = 0.直线1经过直线11：2x+ y- 5=0与12：x —2y=0的交点.⑴假设点A(5, 0)到1的距离为3,求1的方程；(2)求点A(5, 0)到1的距离的最大值.解(1)易知1不可能为12,可设经过两直线交点的直线系方程为(2x+ y-5)+ Xx-2y) =0,即(2+ ；)x+(1 —22)y—5 = 0,|10+ 5 b 5|•・•点A(5,0)到1的距离为3,二3,-?2+产+力―2产2 1即2攵—5计2 = 0,「•仁2,或仁2, ..1的万程为x= 2或4x— 3y —5 = 0.2x+ y — 5 = 0,⑵由i 解得交点P(2,1),如图,过P作任一直线l,设d为点A到l的距离,x- 2y=0,那么d& PA(当l,PA时等号成立).•・ dmax= PA=｛巧-2(+ R-11=回.专项水平提升假设点(m, n)在直线4x+ 3y—10=0上,那么m2+n2的最小值是( )A. 2B. 2或C. 4D. 273解析由于点(m, n)在直线4x+ 3y—10=0上,所以4m+3n—10= 0.欲求m2+n2的最小值可先求d,m—07+m―0y的最小值,而■［,加―0*+ ?n —0,?2表示4m+ 3n—10=0上的点(m, n)到原点的距离,如图.当过原点的直线与直线4m+3n—10= 0 垂直时,原点到点(m, n)的距离最小为2.所以m2+n2的最小值为4.直线l: y= 1x-1,⑴求点P(3,4)关于l对称的点Q;⑵求l关于点(2,3)对称的直线方程.r y0 —4I ^=-2,x.一3 一1解(1)设Q(x°, y°),由于PQ±l,且PQ中点在l上,有? 解得y0 + 4 1 x0+ 3-2- = 2 2—— 1,29 x0= 5, y0=-5,⑵在l上任取一点,如M(0, —1),那么M关于点(2,3)对称的点为N(4,7).二.当对称点不在直线上时,关于点对称的两直线必平行, 「•所求直线过点N且与l平行,_ _____ ___ _ 1 …所求万程为y—7 = 2〔x —4〕,即为x-2y+10=0.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五环节 布置作业
教材 P43 页习题 2.2 第 1,2,3 题
小 结： 1.你学到了哪些知识点？ 2.你学到了哪些方法？ 3.你还有哪些困惑 板书设计：
课后反思：
5
2.1
两条直线的位置关系
第 2 课时
2. 学习重、难点：
重点：1.垂线的概念及表示；
2.垂线的性质 难点：会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。
3. 预习提纲：
1
靖远县北滩乡杜寨初级中学集体备课教案
教 学 内 容 第一环节 走进生活 引入课题
活动设计 备 注
1． 请每位同学提前搜集有关“两条直线的位置关系”的图片， 提炼出数学图形，重点关注有关“垂直”的内容，然后小组内 通过亲身 经历提炼 2． 教师提前进行筛选，捕捉出有代表性的题目，课堂上由学生 有 关 数 学 信息的过 本人主讲，最后概括出有关结论。 程，可以让 3． 巩固练习：教师展示下列图片，学生快速回答： 学生在直 观有趣的 （复习两条直线的位置关系） 问题情境 问题：1.观察下面三个图形，你能找出其中相交的直线吗？他们 中 学 到 有 价值的数 有什么特殊的位置关系？ 学。 2．你还能提出哪些问题？. 交流资料，进行合理分类、整理。
3
m
m
靖远县北滩乡杜寨初级中学集体备课教案 这一数学 模型，这是 分散难点 的有效途 径，让学生 在看似“盲 目”的探究 中发现问 题的本质， 增加继续 探究的勇 气！
线段 PO 的长度叫做点 P 到直线 l 的距离
（注意：是数量而不是图形。 ） 垂线的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
第三环节
学以致用
请动手画一画 4： 如图：一辆汽车在直线形的公路上由 A 向 B 行驶，M、N 分别是位 于公路 AB 两侧的两所学校。 问题 1：汽车行驶时，会对公路两旁的学校造成一定的噪音影响。 当汽车行驶到何处时， 分别对两个学校影响最大？在图中标出来。 问题 2：当汽车由 A 向 B 行驶时，在哪一段上对两个学校影响越 来越大？越来越小？ 问题 3：在哪一段对 M 学校影响逐渐减小而对 N 学校影响逐渐增 大？( 用文字表达)
Aห้องสมุดไป่ตู้
这是本节 课的难点， A 图 2.1-3 首先通过 动手画一画 3： 请画出直线 l 和 l 外的一点 P， PO⊥l,O 是垂足， 让 学 生 画 做 “点和直 在直线 l 上取点 A,B,C，比较线段 PPO,PA,PB,PC 的长短，你发现 线 的 位 置 关系” ，让 了什么? 学生在直 观中抽象 出“点在直 线上和点 在直线外”
动手实践，探究新知
你能画出两条互相垂直的直线吗？你有哪些方法？小组交流，相 互点评，用自己的语言描述你的画法。
2
靖远县北滩乡杜寨初级中学集体备课教案 动手画一画 1： “条条大 工具 1：你能借助三角尺或者量角器，在一张白纸上画出两条互 路 通 罗 马” ，相同 相垂直的直线吗？ 的问题可 工具 2：如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直 以 借 助 不 同的工具 线吗？说出你的画法和理由. 不同的方 工具 3：你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗，试试看吧！ 法来解决， 让学生的 请说明理由。 思维得到 充分发散， 引导学生 透过现象 看本质。
动手画一画 2： 问题 1：请画出直线 m 和点 A，你有几种画法？ 问题 2：过 A 画直线 m 的垂线，你能画多少条？请用自己的语言 概括你的发现。 归纳结论： 1.点 A 和直线 m 的位置关系有两种：点 A 可能在直线 m 上，也可 能在直线 m 外。 2.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 ．．．．
a
b c
归纳总结 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两 条直线互相垂直（perpendicular） ，其中的一条直线叫做另一条 直线的垂线。它们的交点叫做垂足。通常用“⊥”表示两直线垂 直。
2.1 -1 记作 AB⊥CD，垂足为点 O.
2.1-2 记作 l⊥m，垂足为点 O.
第二环节
靖远县北滩乡杜寨初级中学集体备课教案
学生预习指导案
课 题： 1. 学习目标：
1.会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 2.通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 3.初步尝试进行简单的推理。 4.激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理，在 解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性。
第四环节
综合应用，开阔视野
问题 1：体育课上老师是怎样测量跳远成绩的？能说说说其中的 道理吗？与同伴交流.
问题串的 提出,可以 满足不同 问题 2：如图 2.1-5 已知∠ACB＝90°，即直线 AC
4
BC；若 BC＝ 层 次 学 生
靖远县北滩乡杜寨初级中学集体备课教案 4cm，AC＝3cm，AB＝5cm，那么点 B 到直线 AC 的距离等于 点 A 到直线 BC 的距离等于 ， B 两点间的距离等于 A、 ， 学习的需 。 要，提出的 问题能激 发学生认 知上的冲
你能求出点 C 到 AB 的距离吗？你是怎样做的？小组合作交流. C
E A
A 2.1—5 B
D B
2.1—6
C
突， 从而促 使他们去
问题 3：如图 2.1—6，点 C 在直线 AB 上,过点 C 引两条射线 CE、 探索，去对 CD，且∠ACE=32°，∠DCB=58°，则 CE、CD 有何位置关系关系？ 自 身 的 认 为什么？ 知结构进 行调整和 变革。