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对 X[m]直接进行IDFT 可以求得序列x[k] ，验证以上结果。 时间抽取FFT
= {1, -1-j, 3.5+7.5j, -2.5–1.5j, 2, -2.5+1.5j, 3.5–7.5j, -1+j} X2[m]=1/(2j){Y[m]- Y*[(-m)8]} = {-3, 5+j, -0.5+0.5j, -3.5+1.5j, 5, -3.5-1.5j, -0.5-0.5j, 5-j} 由y[k]=IDFT{Y[m]}=x1[k]+jx2[k]，可得x1[k]和x2[k]分别为 x1[k] = {0.375, -1.2929, -0.625, 1.9268, 2.215, -2.7071, -0.375, 1.5732} x2[k] = {0.500, -0.0643, 0.500, -2.8195, -0.250, -2.1875, 0.250, 1.0695} 对x1[k]和x2[k]分别进行DFT，即可验证X1[m]和X2[m]的结果。 时间抽取FFT
算序列x[k]={1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0}的DFT。
解： N=8基2时间抽取的FFT流图如图所示。
3-3. 利用N=8基2时间抽取的FFT流图计算序列x[k]={1, 0, 1, 0, 1, 0,
1, 0}的DFT。比较习题3-1，3-2，3-3计算结果，有何结论？
解：利用N=8基2时间抽取的FFT流图计算序列x[k的DFT如图：
其中 X1[m], X2[m]和X3[m] 分别表示3-1，3-2，3-3的计算结果。
3-4. 画出N=4基2频率抽取的FFT流图，并利用该流图计
算序列x[k]={1, -1, 1, -1}的DFT。
解： N=4基2频率抽取的FFT流图如图所示。
序列x[k]={1, -1, 1, -1}的DFT 为X[m]={0, 4, 0, 0}。
时间抽取FFT
3-7. 已知复序列的y[k]=x1[k]+jx2[k]的8点DFT为：Y[m]={1-3j,
-2+4j, 3+7j, -4 - 5j, 2+5j, -1-2j, 4 - 8j, 6j}, 试确定实序列 x1[k]和x2[k]的8点DFT X1[m]和X2[m]，并由Y[m]的DFT验 证。 解： X1[m]=1/2{Y[m]+ Y*[(-m)8]}
3-12. 已知某4点序列x[k]的DFT为：
X[m]={1+2j, 2+3j, 3+4j, 4+5j}, 试由FFT计算 X[m]的IDFT x[k] ，并通过IFFT验证。
解： 由于
N 1 1 mk X [ m ]W N x[ k ] N m 0


3-1. 画出N=4基2时间抽取的FFT流图，并利用该流图计
算序列x[k]={1, 1, 1, 1}的DFT。
解： N=4基2时间抽取的FFT流图如图所示。
序列x[k]={1, 1, 1, 1}的DFT 为X[m]={4, 0, 0, 0}。
3-2. 画出N=8基2时间抽取的FFT流图，并利用该流图计
由FFT计算N点X[m] 的IDFTx[k]的过程为： X[m] { }*N
根据X [m]可得
X*[m] = {1-2j, 2-3j, 3-4j, 4-5j}
对X* [m]进行FFT，可得 4x*[k] = {10-14j, 4j, -2+2j, -4} 最后可得 x[k] = {2.5+3.5j, -j, -0.5-0.5j, -1}
比较习题3-1，3-2，3-3计算结果，有以下结论：
在序列补零后，不改变信号频谱X(ejΩ)，但可以从其DFT 中获得X(ejΩ)在[0,2π)上更多的样点频率信息。 在序列之间插零（即信号内插运算），将改变信号频谱 X(ejΩ)，相当于序列的时域扩展，其对应的频谱为原来频谱 的压缩。 因此上述序列的DFT存在下列关系： X2[2m]= X1[m], X3[m] = X1[m], X3[m] = X1[m-4], m=0, 1, 2, 3 m=0, 1, 2, 3 m=4, 5, 6, 7