2020版 高考高频考点对点练15 空间几何体的三视图、表面积与体积

A.9π 2
C.5π 2
B.7π 2
D.3π 2
D [依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，如图所示，OA＝
AB·cos 30°＝2× 3＝ 3，所以旋转体的体积为1π·( 3)2·(OC－OB)＝3π.]
2
3
2
5．(2019·汕头模拟)某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各个三角形 面中，最大面积为( )
3
B.
9．已知 E，F 分别是棱长为 a 的正方体 ABCD­A1B1C1D1 的棱 AA1，CC1 的中 点，则四棱锥 C1­B1EDF 的体积为________．
1a3 6
[连接 EF，B1D.
设 B1 到平面 C1EF 的距离为 h1，D 到平面 C1EF 的距离为 h2，则 h1＋h2＝B1D1 ＝ 2a.
16π [由题意知，CD 为该球的直径，由此易知，当顶点 A 在底面的射影为
球心 O 时，且底面 BCD 为等腰直角三角形时，三棱锥 A­BCD 体积最大，所以
1×1·2R·R×R＝8，解得 R＝2，故所求球 O 的表面积为 S＝4πR2＝16π.]
32
3
11．(2019·唐山月考)如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1
A．8 5
B．16
C．4 5 D．4 2
C [由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，底面 ABCD 是正方形，其中
AB＝AD＝4，侧面 PDC⊥底面垂 ABCD.顶点 P 到 ABCD 的距离 PO＝2，可得 PC
＝PD＝2 2，AP＝BP＝ AD2＋DP2＝2 6，∴该多面体的各个三角形面中，面积
2
2， 4
∴V＝VE­ADG＋VF­BCH＋VAGD­BHC
＝2VE­ADG＋VAGD­BHC＝13×
2×1×2＋ 42
2×1＝ 4
2.] 3
5
＋π，则俯视图中圆的半径为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
A [由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为 r，
所以该几何体的表面积 S＝2×2r·2r＋4×2r·r－π·r2＋2π·r2＝16＋π，得 r＝1，故
选 A.]
3．长方体的顶点都在同一球面上，其同一顶点处的三条棱长分别为 3,4,5，
使得平面 ABC⊥平面 ADC，连接 BD，得到三棱锥 B­ACD，则其外接球的体积 为( )
A.500π 9
B.250π 3
C.1000π 3
D.500π 3
D [结合几何体的特征可得，外接球的球心为 AC 的中点，则外接球半径 R
3
＝1 AB2＋BC2＝1 82＋62＝5，则外接球的体积 V＝4πR3＝500π.选 D.]
的正方形，且△ADE，△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的
体积为________．
2 [如图，分别过点 A，B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G，H，连接 DG， 3 CH，
容易求得 EG＝HF＝1，AG＝GD＝BH＝HC＝ 3，
2
2
∴S△AGD＝S△BHC＝12×
2×1＝ 2
2
2
3
3
8．(2019·济宁模拟)已知正三棱柱 ABC­A1B1C1(底面是正三角形，且侧棱垂
直于底面)的底面边长为 4，侧棱长为 2 3，则该正三棱柱外接球的表面积为( )
A.25π 3
B.100π 3
C．25π D．100π
B [如图，取△ABC 的重心 E，△A1B1C1 的重心 E1，取 AC 中点 D，则 EE1
则该球面的表面积为( )
A．25π
B．50π
C．75π
D.125 2π 3
B [设球的半径为 R，由题意可得(2R)2＝32＋42＋52＝50，∴4R2＝50，球的
1
表面积为 S＝4πR2＝50π.] 4．(2019· 黔东南州联考)在△ABC 中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如
图所示)，若将△ABC 绕直线 BC 旋转一周，则形成的旋转体的体积是( )
4
由题意得，V 四棱锥 C1­B1EDF＝V 三棱锥 B1­C1EF＋V 三棱锥 D­C1EF＝
13·S△C1EF ·(h1＋h2)＝16a3.]
10．(2018· 张家界三模)已知球面上有四个点 A，B，C，D，球心为点 O，O
在 CD 上，若三棱锥 A­BCD 的体积的最大值为8，则该球 O 的表面积为________． 3
15 空间几何体的三视图、表面积与体
积
1《. 九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高 1 丈 3 尺 3 1寸，容纳米 2 000 3
斛(1 丈＝10 尺，1 尺＝10 寸，斛为容积单位，1 斛≈1.62 立方尺，π≈3)，则圆
柱底圆周长约为( )
A．1 丈 3 尺
B．5 丈 4 尺
C．9 丈 2 尺
最大的是△ABP，面积为 S＝1×4× 24－4＝4 5.故选 C.] 2
6．(2019· 开封模拟)已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出 的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体
C．6 cm3 D．7 cm3
A [如图三视图复原的几何体是底面为直角梯形，ABCD 是直角梯形，
D．48 丈 6 尺
B [ 设 圆 柱 底 面 圆 的 半 径 为 r ， 若 以 尺 为 单 位 ， 则 2000×1.62 ＝
3r2
10＋3＋1 3
，解得
r＝9(尺)，所以底面圆周长约为
2×3×9＝54(尺)，换算单
位后为 5 丈 4 尺，故选 B.]
2．(2019·南昌模拟)某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为 16
的中点 O 是该正三棱柱外接球的球心，OA 为球半径，∵正三棱柱 ABC­A1B1C1
的底面边长为 4，侧棱长为 2 3，∴OE＝ 3，AE＝BE＝2BD＝2 42－22＝4 3，
33
3
43 ∴R＝OA＝ 32＋ 3 2＝
25，∴该正三棱柱外接球的表面积 S＝4πR2＝ 3
4π×
25 3
2 ＝100π.故选
AB⊥AD，AB＝AD＝2，BC＝4，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，
即 PA⊥ 平 面 ABCD ， PA ＝ 2 ， 所 以 几 何 体 的 体 积 为 1 × AD＋CB ×AB·PA ＝
3
2
2＋4
1× 3
2
×2×2＝4，故选 A.
7.(2019·阜阳模拟)如图，已知矩形 ABCD 中，AB＝4BC＝8，现沿 AC 折起， 3