2018考研数学冲刺模拟卷-试题数学二
2018考研数学模拟题完整版及参考答案(数二)
2018考研数学模拟题完整版及参考答案（数二）一、选择题：1－8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（ ）(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .（2）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()d x f t t ⎰是（A ）连续的奇函数.（B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数（D ）在0x =间断的偶函数. （ ）（3）设函数()g x 可微，1()()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===，则(1)g 等于（ ） （A ）ln 31-. （B ）ln 3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-（4）函数212e e e x x x y C C x -=++满足的一个微分方程是 [ ] （A ）23e .x y y y x '''--= （B ）23e .x y y y '''--=（C ）23e .x y y y x '''+-=（D ）23e .x y y y '''+-=（5）设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（）（Ａ）(,)d xx f x y y . （B ）0(,)d x f x y y .(C)(,)d yy f x y x . (D)(,)d y f x y x .（6）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（）(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠.(C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. （7）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 [ ](A) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关.（8）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（）（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=. （Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）T C PAP =.一．填空题 （9）曲线4sin 52cos x xy x x+=- 的水平渐近线方程为（10）设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a =（11）广义积分22d (1)x xx +∞=+⎰. （12） 微分方程(1)y x y x-'=的通解是 （13）设函数()y y x =由方程1e yy x =-确定，则d d x y x==（14）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 试确定,,A B C 的值，使得23e (1)1()x Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小. （16）（本题满分10分）求 arcsin e d e xxx ⎰. （17）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰ （18）（本题满分12分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<== （Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算11lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. （19）（本题满分10分） 证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（20）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式. （21）（本题满分12分）已知曲线L 的方程221,(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程；（III ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积. （22）（本题满分9分） 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =； （Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解. （23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ.2018可锐考研数学答案（四）1. A 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日定理求解：0000()()(),y f x x f x f x x x x ξξ'∆=+∆-=∆<<+∆因为()0f x ''>，所以()f x '单调增加，即0()()f f x ξ''>，又0x ∆>， 则 0()()d 0y f x f x x y ξ''∆=∆>∆=>，即0d y y <<∆.定义一般教科书均有，类似例题见《数学复习指南》（理工类）P .165【例6.1】，P .193【１（３）】.2. B 【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去计算0()()d x F x f t t =⎰，然后选择正确选项.【详解】取,0()1,0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩. 则当0x ≠时，()2220011()()d lim d lim 22x xF x f t t t t x x εεεε++→→===-=⎰⎰， 而0(0)0lim ()x F F x →==，所以()F x 为连续的偶函数，则选项（Ｂ）正确，故选（Ｂ）.【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.符合题设条件的函数在多教科书上均可见到，完全类似例题见2006文登最新模拟试卷（数学三）（8）.3. C 【分析】题设条件1()()e g x h x +=两边对x 求导,再令1x =即可. 【详解】1()()e g x h x +=两边对x 求导,得1()()e ()g x h x g x +''=.上式中令1x =，又(1)1,(1)2h g ''==，可得1(1)1(1)1(1)e (1)2e (1)ln 21g g h g g ++''===⇒=--，故选（C ）.【评注】本题考查复合函数求导，属基本题型. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例12】，《数学复习指南》理工类P.47【例2.4】，《数学题型集粹与练习题集》理工类P.1【典例精析】.4. D 【分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为121,2λλ==-.则对应的齐次微分方程的特征方程为2(1)(2)0,20λλλλ-+=+-=即. 故对应的齐次微分方程为 20y y y '''+-=.又*e xy x =为原微分方程的一个特解，而1λ=为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式()e x f x C =（C 为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D ）. 【评注】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题，关键是要掌握对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式..完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第7讲第2节【例9】和【例10】，《数学复习指南》P .156【例 5.16】，《数学题型集粹与练习题集》（理工类）P .195（题型演练3），《考研数学过关基本题型》（理工类）P.126【例14】及练习.5. C 【分析】 本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】 由题设可知积分区域D 如右图所示，显然是Y 型域，则原式0(,)d yy f x y x =.故选（Ｃ）.【评注】 本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第2节例4，《数学复习指南》（理工类）P.286【例10.6】，《考研数学过关基本题型》（理工类）P .93【例6】及练习.6. D 【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠），若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.【评注】 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法.相关定理见《数学复习指南》（理工类）Ｐ.251定理1及Ｐ.253条件极值的求法.7. A 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记12(,,,)s B ααα= ，则12(,,,)s A A A AB ααα= .所以，若向量组12,,,s ααα 线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα 也线性相关，故应选(Ａ).【评注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.8. B 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得110110110110,010********1001001001B AC B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 而 1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.【评注】（１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A 施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系. 完全类似例题及性质见《数学复习指南》（理工类）P.381【例2.19】，文登暑期辅导班《线性代数》第2讲例12.9. 【分析】 直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.【详解】 4s i n 14s i n1l i m l i m 2c o s 52c o s 55x x x x x x xx x x →∞→∞++==--.故曲线的水平渐近线方程为 15y =.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在，为什么？完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（理工类）P.180【例6.30】，【例6.31】.10. 【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可.【详解】 由题设知，函数()f x 在 0x =处连续，则 0lim ()(0)x f x f a →==，又因为 2203200sin d sin 1lim ()limlim 33xx x x t t x f x x x →→→===⎰. 所以 13a =. 【评注】遇到求分段函数在分段点的连续性问题，一般从定义入手.本题还考查了积分上限函数的求导，洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本知识点，属基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第1讲第1节【例13】，《数学复习指南》（理工类）P.35【例1.51】.88年，89年，94年和03年均考过该类型的试题，本题属重点题型.11. 【分析】利用凑微分法和牛顿－莱布尼兹公式求解.【详解】2022222200d 1d(1+)111111lim lim lim (1)2(1)21+21+22b bb b b x x x x x xb +∞→∞→∞→∞==-=-+=++⎰⎰.【评注】 本题属基本题型，对广义积分，若奇点在积分域的边界，则可用牛顿－莱布尼兹公式求解，注意取极限.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第5讲第6节【例1】，《数学复习指南》（理工类）P.119【例3.74】.12 .【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】 原方程等价为d 11d y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 两边积分得 1ln ln y x x C =-+，整理得e xy Cx -=.（1e CC =）【评注】 本题属基本题型.完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P .139.13. 【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对x 求导（注意y 是x 的函数），一阶微分形式不变性和隐函数存在定理求解.【详解】 方法一：方程两边对x 求导，得e e y y y xy ''=--.又由原方程知，0,1x y ==时.代入上式得d e d x x y y x=='==-.方法二：方程两边微分，得d e d e d yyy x x y =--，代入0,1x y ==，得0d e d x y x==-.方法三：令(,)1e yF x y y x =-+，则()0,10,10,10,1ee,1e 1yy x y x y x y x y F F x xy========∂∂===+=∂∂，故0,10,1d e d x y x x y F y xF xy=====∂∂=-=-∂∂.【评注】 本题属基本题型.求方程确定的隐函数在某点处的导数或微分时，不必写出其导数或微分的一般式完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例14】，《数学复习指南》（理工类）P.50【例2.12】.14. 【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有()2B A E E -= 于是有 4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =. 【评注】 本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题2005年考过.完全类似例题见文登暑期辅导班线性代数第1讲例6，《数学复习指南》（理工类）P .378【例2.12】15.【分析】题设方程右边为关于x 的多项式，要联想到e x 的泰勒级数展开式，比较x 的同次项系数，可得,,A B C 的值.【详解】将e x的泰勒级数展开式233e 1()26xx x x o x =++++代入题设等式得 233231()[1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ⎡⎤++++++=++⎢⎥⎣⎦整理得233111(1)()1()226B B x B C x C o x Ax o x ⎛⎫⎛⎫+++++++++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭比较两边同次幂系数得11021026B A B C B C ⎧⎪+=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得132316A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩. 【评注】题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时，要想到用麦克劳林公式或泰勒公式求解.要熟练掌握常用函数的泰勒公式.相应公式见《数学复习指南》理工类P .124表格.16.【分析】题设积分中含反三角函数，利用分部积分法.【详解】arcsin e d arcsin e de e arcsin e e e x x x x x x xx x x --=-=-+⎰⎰⎰－e arcsin e x x x -=-+.令t =221ln(1),d d 21tx t x t t =-=--， 所以21111d d 1211x t t t t t ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭⎰⎰111ln ln 212t C t -=+=+.【评注】被积函数中为两种不同类型函数乘积且无法用凑微分法求解时，要想到用分部积分法计算；对含根式的积分，要想到分式有理化及根式代换.本题为基本题型，完全相似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第3讲第3节【例6】，《数学复习指南》理工类P.79【例3.21】.17. 【分析】 由于积分区域D 关于x 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】 积分区域D 如右图所示.因为区域D 关于x 轴对称，函数221(,)1f x y x y=++是变量y 的偶函数，函数22(,)1xyg x y x y =++是变量y 的奇函数.则112222220011ln 2d d 2d d 2d d 1112DD r x y x y r xy x y r ππθ===+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22d d 01Dxyx y x y =++⎰⎰， 故22222211ln 2d d d d d d 1112D D Dxy xy x y x y x y x y x y x y π+=+=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第1节例1和例2，《数学复习指南》（理工类）P .284【例10.1】18. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果.【详解】 （Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<. 可推得 10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<= ，则数列{}n x 有界. 于是1sin 1n nn nx x x x +=<，（因当0sin x x x ><时，）， 则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim n n x l →∞=，在1s i n n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即l i m 0n n x →∞=.（Ⅱ） 因 22111sin lim lim nn x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知该极限为1∞型， 令n t x =，则,0n t →∞→，而222sin 111111sin 1000sin sin sin lim lim 11lim 11tt t t t t t t t t t t t t t t -⋅-→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又 33233000()1sin sin 13!lim 1lim lim 6t t t t t o t tt t t t t t t →→→-+--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭. （利用了sin x 的麦克劳林展开式）故 2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.19. 【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<，则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时），故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.20利用复合函数偏导数计算方法求出2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂即可得（I ）.按常规方法解（II ）即可.【详解】 （I ）设u =((z z f u f u x y ∂∂''==∂∂. 22()()z f u f u x ∂'''=+∂()22322222()()x y f u f u x y x y '''=⋅+⋅++，()2223222222()()z y x f u f u y x yxy∂'''=⋅+⋅∂++.将2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂得 ()()0f u f u u'''+=. （II ） 令()f u p '=，则d d 0p p u p u p u'+=⇒=-，两边积分得1ln ln ln p u C =-+，即1C p u =，亦即 1()C f u u'=. 由(1)1f '=可得 11C =.所以有 1()f u u'=，两边积分得 2()ln f u u C =+， 由(1)0f =可得 20C =，故 ()ln f u u =.【评注】 本题为基础题型，着重考查多元复合函数的偏导数的计算及可降阶方程的求解.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第8讲第1节【例8】，《数学复习指南》（理工类）P.336【例12.14】,P .337【例12.15】21. 【分析】 （I ）利用曲线凹凸的定义来判定；（II ）先写出切线方程，然后利用 (1,0)-在切线上 ； （III ）利用定积分计算平面图形的面积.【详解】 （I ）因为d d d d 422d 2,421d d d d 2d yx y y t t t t x t t x t tt-==-⇒===-2223d d d 12110,(0)d d d d 2d y y t x x t x t tt t⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=-<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故曲线L 当0t ≥时是凸的.（II ）由（I ）知，切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，设2001x t =+，20004y t t =-，则220000241(2)t t t t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即23200004(2)(2)t t t t -=-+ 整理得 20000020(1)(2)01,2(t t t t t +-=⇒-+=⇒=-舍去）.将01t =代入参数方程，得切点为（2，3），故切线方程为231(2)1y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1y x =+.（III ）由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为(1,0),(2,0),(2,3),(1,0)A B C D -，设L 的方程()x g y =，则()3()(1)d S g y y y =--⎡⎤⎣⎦⎰ 由参数方程可得2t =，即(221x =+.由于（2，3）在L 上，则(2()219x g y y ==+=--.于是(309(1)d S y y y ⎡⎤=----⎣⎦⎰3(102)d 4y y y =--⎰⎰()()3233208710433y yy =-+-=. 【评注】 本题为基本题型，第3问求平面图形的面积时，要将参数方程转化为直角坐标方程求解.完全类似例题和公式见《数学复习指南》（理工类）P.187【例6.40】.22. 【分析】 （I ）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II ）利用初等变换求矩阵A 的秩确定参数,a b ，然后解方程组.【详解】 （I ） 设123,,ααα是方程组Ax β=的3个线性无关的解，其中111114351,1131A a b β-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则有 1213()0,()0A A αααα-=-=. 则1213,αααα--是对应齐次线性方程组0Ax =的解，且线性无关.（否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾）.所以 ()2n r A -≥，即4()2()2r A r A -≥⇒≤.又矩阵A 中有一个2阶子式111043=-≠，所以()2r A ≤. 因此 ()2r A =. （II ） 因为11111111111143510115011513013004245A a b a a b a a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又()2r A =，则42024503a a b a b -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩. 对原方程组的增广矩阵A 施行初等行变换，111111024243511011532133100000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故原方程组与下面的方程组同解.13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩.选34,x x 为自由变量，则134234334424253x x x x x x x x x x =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故所求通解为12242153100010x k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,k k 为任意常数.【评注】 本题综合考查矩阵的秩，初等变换，方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖. 这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P .427【例4.5】，P.431【例4.11】.23. 解： 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q .【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T (1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交. 取11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛ ⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 令 []123,,Q ηηη=，则1T Q Q -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦.。
考研数学二模拟题2018年(62)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(62)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.积分的值等于______．SSS_FILL该问题分值: 42.交换积分次序f(x，y)dx=______．SSS_FILL该问题分值: 43.交换二次积分的积分次序SSS_FILL该问题分值: 44.设区域D为x 2 +y 2≤R 2，则SSS_FILL该问题分值: 45.微分方程y"+ytanx=cosx的通解为______．SSS_FILL该问题分值: 4y=(x+C)cosx；6.微分方程xy"+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为______．SSS_FILL该问题分值: 4xy=2；7.微分方程xy"+3y"=0的通解为______．SSS_FILL该问题分值: 4y=C1 x -2 +C2；8.微分方程y"-2y"+2y=e x的通解为______．SSS_FILL该问题分值: 4y=e x (C1 cosx+C2sinx)+e x；9.设y=e x (C1 sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为______．SSS_FILL该问题分值: 4y"-2y"+2y=0．二、选择题1.已知为某函数的全微分，则a等于______SSS_SINGLE_SELA -1．B 0．C 1．D 2．该问题分值: 4答案:D2.设函数，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:B3.二元函数f(x，y)在点(x0，y)处两个偏导数f"x(x，y)，f"y(x0，y)存在是f(x，y)在该点连续的______SSS_SINGLE_SELA 充分条件而非必要条件．B 必要条件而非充分条件．C 充分必要条件．D 既非充分条件又非必要条件．该问题分值: 4答案:D4.二元函数在点(0，0)处______SSS_SINGLE_SELA 连续，偏导数存在．B 连续，偏导数不存在．C 不连续，偏导数存在．D 不连续，偏导数不存在．该问题分值: 4答案:C5.考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y)处连续；②f(x，y)在点(x0，y)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y)处可微；④f(x，y)在点(x0，y)处的两个偏导数存在．若用“P Q”表示可由性质P推出性质Q，则有______A．② ③ ①．B．③ ② ①．C．③ ④ ①．D．③ ① ④．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:A6.设有三元方程xy-zlny+e xz =1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程______SSS_SINGLE_SELA 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x，y)．B 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=z(x，y)．C 可确定两个具有连续偏导数的隐函数z=x(y，z)和z=z(x，y)．D 可确定两个具有连续偏导数的隐函数,x=x(y，z)和y=y(x，2)．该问题分值: 4答案:D7.已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且，则______SSS_SINGLE_SELA 点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B 点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C 点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D 根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．该问题分值: 4答案:A8.设可微函数f(x，y)在点(x0，y)取得极小值，则下列结论正确的是______SSS_SINGLE_SELA f(x0，y)在y=y0处的导数等于零．B f(x0，y)在y=y0处的导数大于零．C f(x0，y)在y=y0处的导数小于零．D f(x0，y)在y=y0处的导数不存在．该问题分值: 4答案:A9.设f(x，y)连续，且，其中D是由y=0，y=x 2，x=1所围区域，则f(x，y)等于______A．xy．B．2xy．C．D．xy+1．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:C10.设f(x)为连续函数，，则F"(2)等于______SSS_SINGLE_SELA 2f(2)．B f(2)．C -f(2)．D 0．该问题分值: 4答案:B11.设，其中D={(x，y)|x 2 +y 2≤1}，则______SSS_SINGLE_SELA I3＞I2＞I1．B I1＞I2＞I3．C I2＞I1＞I3．D I3＞I1＞I2．该问题分值: 4答案:A12.是设D是xOy平面上以(1，1)，(-1，1)和(-1，-1)为顶点的三角形区域，D1D在第一象限的部分，则等于______A．B．C．D．0．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:A13.累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr可以写成______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:D14.设非齐次线性微分方程y"+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1 (x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是______SSS_SINGLE_SELA C[y1(x)-y2(x)]．B y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]．C C[y1(x)+y2(x)]．D y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]．该问题分值: 4答案:B15.设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y"+p(x)y"+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是______SSS_SINGLE_SELA C1y1+C2y2+y3．B C1y1+C2y2-(C1+C2)y3．C C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3．D C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3．该问题分值: 4答案:D16.若连续函数f(x)满足关系式，则f(x)等于______ •**．•**．•**+ln2．**+ln2．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:B1。
考研数学二模拟题2018年(44)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(44)(总分100, 做题时间90分钟)一、选择题1.设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的______ SSS_SINGLE_SELA 充分必要条件．B 充分但非必要条件．C 必要但非充分条件．D 既非充分又非必要条件．分值: 2.5答案:A2.设f(x)是连续函数，且，则F"(x)等于______• A.-e-x f(e-x)-f(x)．• B.-e-x f(e-x)+f(x)．•**(e-x)-f(x)．**(e-x)+f(x)．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2.5答案:A3.已知函数f(x)具有任意阶导数，且f"(x)=[f(x)] 2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数f (n) (x)是______•**![f(x)]n+1．•**[f(x)]n+1．C.[f(x)]2n．**![f(x)]2n．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2.5答案:A4.设函数对任意x均满足f(1+x)=af(x)，且f"(0)=b，其中a，b为非零常数，则______SSS_SINGLE_SELA f(x)在x=1处不可导．B f(x)在x=1处可导，且f"(1)=a．C f(x)在x=1处可导，且f"(1)=b．D f(x)在x=1处可导，且f"(1)=ab．分值: 2.5答案:D5.设f"(x)=3x 3 +x 2 |x|，则使f (n) (0)存在的最高阶导数n为______ SSS_SINGLE_SELA 0．B 1．C 2．D 3．分值: 2.5答案:C6.设函数y=f(x)在点x0处可导，当自变量x由x增加到x+Δx时，记Δy为f(x)的增量，dy为f(x)的微分，等于______SSS_SINGLE_SELA -1．B 0．C 1．D ∞．分值: 2.5答案:B7.设在x=0处可导，则______SSS_SINGLE_SELA a=1，b=0．B a=0，b为任意常数．C a=0，b=0．D a=1，b为任意常数．分值: 2.5答案:C8.设f(0)=0，则f(x)在x=0处可导的充要条件为______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2.5答案:B9.设函数f(x)在(-∞，+∞)上可导，则______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2.5答案:D10.设函数f(x)在x=a处可导，则函数|f(x)|在x=a处不可导的充分奈件是______ SSS_SINGLE_SELA f(a)=0且f"(a)=0．B f(a)=0且f"(a)≠0．C f(a)＞0且f(a)＞0．D f(a)＜0且f"(a)＜0．分值: 2.5答案:B二、计算题1.讨论函数在x=0处的连续性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 当α≤0时，不存在，所以x=0为第二类间断点；当α＞0时，，所以β=-1时，f(x)在x=0连续；β≠-1时，x=0为第一类跳跃间断点．2.设f(x)在x=0的某邻域内二阶可导，且，求f(0)，f"(0)，f"(0)及SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解]所以，在x=0的某邻域内二阶可导，所以f(x)，f"(x)在x=0处连续．因此3.y=ln[cos(10+3x 2 )]，求y"．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解]4.已知f(u)可导，，求y"．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解]5.已知，求y"．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解]6.设y为x的函数是由方程确定的，求y"．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解]x+yy"=y"x-y，所以7.已知SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解]8.设x=y 2 +y，u=(x 2 +x) 3/2，求SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] dx=(2y+1)dy，9.设函数f(x)二阶可导，f"(0)≠0，且SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 由题意知：10.设曲线x=x(t)，y=y(t)由方程组确定．求该曲线在t=1处的曲率k．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 由已知，其中g(x)有二阶连续导数，且g(0)=1SSS_TEXT_QUSTI11.确定a的值，使f(x)在x=0点连续；分值: 5[解] f(x)在x=0点连接，所以SSS_TEXT_QUSTI12.求f"(x)．分值: 5所以13.已知当x≤0时，f(x)有定义且二阶可导，问a，b，c为何值时是二阶可导．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] F(x)连续，所以，所以c=f(-0)=f(0)；因为F(x)二阶可导，所以F"(x)连续，所以b=f"_(0)=f"(0)，且，F"(0)存在，所以F"_(0)=F"+(0)，所以所以14.已知SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解]f (2k+1) (0)=0，k=0，1,2，…，f 2k (0)=n!，k=0,1,2，…15.设y=xlnx，求f (n)…(1)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 使用莱布尼茨高阶导数公式所以f (n) (1)=(-1) n-2 (n-2)!．16.证明y=(arcsinx) 2满足方程(1-x 2 )y (n-1)…-(2n-1)xy (n) -(n-1) 2 y (n-1) =0．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 因为y=(arcsinx) 2，所以所以(1-x 2 )y"=2+xy".对上式二边求n-1阶导数．按莱布尼茨公式有所以(1-x 2 )y (n+1) -(2n-1)xy (n) -(n-1) 2 y (n-1) =0．1。
考研数学二模拟题2018年(18)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(18) (总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.若线性方程组有解，则常数a1，a2，a3，a4应满足条件______．SSS_FILL 该问题分值: 5a1 +a2+a3+a4=0；2.设其中ai ≠aj(i≠j，i，j=1，2，…，n)，则线性方程A T x=B的解是______．SSS_FILL该问题分值: 5利用克莱姆法则，得唯一解(1，0，…，0) T；3.设A=(aij )3×3是实正交矩阵，且a11=1，b=(1，0，0) T，则线性方程组Ax=b的解是______．SSS_FILL该问题分值: 5(1，0，0) T；4.设方程有无穷多个解，则a=______．SSS_FILL该问题分值: 5-2．5.矩阵的非零特征值是______．SSS_FILL该问题分值: 54；6.矩阵的非零特征值是______．SSS_FILL该问题分值: 54．二、选择题1.设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零解的充分必要条件是______SSS_SINGLE_SELA r=n．B r≥n．C r＜n．D r＞n．该问题分值: 5答案:C2.设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是______SSS_SINGLE_SELA A的列向量线性无关．B A的列向量线性相关．C A的行向量线性无关．D A的行向量线性相关．该问题分值: 5答案:A3.设A为n阶实矩阵，A T是A的转置矩阵，对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：A T Ax=0必有______SSS_SINGLE_SELA (Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B (Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．C (Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．D (Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．该问题分值: 5答案:A4.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0SSS_SINGLE_SELA 当n＞m时仅有零解．B 当n＞m时必有非零解．C 当m＞n时仅有零解．D 当m＞n时必有非零解．该问题分值: 5答案:D5.设n阶矩阵A的伴随矩阵A *≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系______SSS_SINGLE_SELA 不存在．B 仅含一个非零解向量．C 含有两个线性无关的解向量．D 含有三个线性无关的解向量．该问题分值: 5答案:B6.设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是______SSS_SINGLE_SELA 若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解．B 若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解．C 若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解．D 若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解．该问题分值: 5答案:D7.非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则______SSS_SINGLE_SELA r=m时，方程组Ax=b有解．B r=n时，方程组Ax=b有唯一解．C m=n时，方程组Ax=b有唯一解．D r＜n时，方程组Ax=b有无穷多解．该问题分值: 5答案:A8.设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且r(A)=3，α1 =(1，2，3，4) T，α2+α3=(0，1，2，3) T，C表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x为______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 5答案:C9.设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A *的特征值之一是______• A.λ-1|A|n．• B.λ-1|A|．• C.λ|A|．• D.λ|A|n．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 5答案:B10.设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 5答案:B11.设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P -1 AP) T属于特征值λ的特征向量是______•**α．•**α．•**α．D.(P-1)Tα．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 5答案:B12.n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的______SSS_SINGLE_SELA 充分必要条件．B 充分而非必要条件．C 必要而非充分条件．D 既非充分也非必要条件．该问题分值: 5答案:B13.设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则______SSS_SINGLE_SELA λE-A=λE-B．B A与B有相同的特征值和特征向量．C A与B都相似于一个对角矩阵．D 对任意常数t，tE-A与tE-B相似．该问题分值: 5答案:D14.设矩阵．已知矩阵A相似于B，则r(A-2E)与r(A-E)之和等于______SSS_SINGLE_SELA 2．B 3．C 4．D 5．该问题分值: 5答案:C1。
考研数学二模拟题2018年(28)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(28)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.已知f"(lnx)=1+lnx，则f(x)=______．SSS_FILL该问题分值: 4x+e x +C；2.已知∫(x)dx=arcsinx+C，则SSS_FILL该问题分值: 43.设SSS_FILL该问题分值: 44.已知f(x)的一个原函数为ln 2 x，则∫xf"(x)dx=______．SSS_FILL该问题分值: 42lnx-ln 2 x+C；5.已知f"(e x )=xe -x，且f(1)=0，则f(x)=______．SSS_FILL该问题分值: 46.SSS_FILL该问题分值: 47.SSS_FILL该问题分值: 48.SSS_FILL该问题分值: 49.SSS_FILL该问题分值: 4 ln3；10.设f(x)有一个原函数SSS_FILL该问题分值: 411.SSS_FILL该问题分值: 412.SSS_FILL该问题分值: 42(1-2e -1 )；二、选择题1.设f(x)有二阶连续导数，且f"0)=0，，则______SSS_SINGLE_SELA f(0)是f(x)的极大值．B f(0)是f(x)的极小值．C (0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．D f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点．该问题分值: 4答案:B2.设周期函数f(x)在(-∞，+∞)内可导，周期为4，又，则曲线y=f(x)在(5，f(5))点处的切线斜率为______A．B．0．C．-1．D．-2．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:D3.设函数f(x)在点x=a处可导，则函数|f(x)|在点x=a处不可导的充分条件是______SSS_SINGLE_SELA f(a)=0且f"(a)=0．B f(a)=0且f"(a)≠0．C f(a)＞0且f"(a)＞0．D f(a)＜0且f"(a)＜0．该问题分值: 4答案:B4.设f"(x)在[a，b]上连续，且f"(a)＞0，f"(b)＜0，则下列结论中错误的是______SSS_SINGLE_SELA 至少存在一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＞f(a)．B 至少存在一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＞f(b)．C 至少存在一点x0∈(a，b)，使得f"(x0)=0．D 至少存在一点x0∈(a，b)，使得f(x0)=0．该问题分值: 4答案:D5.设f(x)的导数在x=a处连续，又，则______SSS_SINGLE_SELA x=a是f(x)的极小值点．B x=a是f(x)的极大值点．C (a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点．D x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点．该问题分值: 4答案:B6.设函数f(x)在[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内可导，则______ A．当f(a)f(b)＜0时，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0．B．对任何ξ∈(a，b)，有．C．当f(a)=f(b)时，存在ξ∈(a，b)，使f"(ξ)=0．D．存在ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:B7.使函数f(x)=2x 3 -9x 2 +12x-a恰好有两个不同的零点的a等于______ SSS_SINGLE_SELA 2．B 4．C 6．D 8．该问题分值: 4答案:B8.设f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是______A．f(0)是极大值，是极小值．B．f(0)是极小值，是极大值．C．f(0)是极大值，也是极大值．D．f(0)是极小值，也是极小值．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:B9.以下四个命题中，正确的是______SSS_SINGLE_SELA 若f"(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．B 若f(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．C 若f"(x)在(0，1)内有界，则f(x)在(0，1)内有界．D 若f(x)在(0，1)内有界，则f"(x)在(0，1)内有界．该问题分值: 4答案:C10.设f"(x0 )=f"(x)=0，f"""(x)＞0，则下列选项正确的是______ SSS_SINGLE_SELA f"(x0)是f"(x)的极大值．B f(x0)是f(x)的极大值．C f(x0)是f(x)的极小值．D (x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．该问题分值: 4答案:D11.设函数f(x)在x=0处连续，且，则______SSS_SINGLE_SELA f(0)=0且f"-(0)存在．B f(0)=1且f"-(0)存在．C f(0)=0且f"+(0)存在．D f(0)=1且f"+(0)存在．该问题分值: 4答案:C12.设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则是______SSS_SINGLE_SELA 连续的奇函数．B 连续的偶函数．C 在x=0间断的奇函数．D 在x=0间断的偶函数．该问题分值: 4答案:B13.设函数g(x)可微，h(x)=e 1+g(x)，h"(1)=1，g"(1)=2，则g(1)等于______ SSS_SINGLE_SELA ln3-1．B -ln3-1．C -ln2-1．D ln2-1．该问题分值: 4答案:C1。
★试卷3套精选★陕西省名校2018年考前冲刺必刷卷数学试题二
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示互为相反数的点是A ．点A 和点CB ．点B 和点DC ．点A 和点DD ．点B 和点C【答案】C【解析】根据相反数的定义进行解答即可.【详解】解：由A 表示-2，B 表示-1，C 表示0.75，D 表示2.根据相反数和为0的特点，可确定点A 和点D 表示互为相反数的点.故答案为C.【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数和为0是解答本题的关键.2．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图，则符合这一结果的实验可能是（ ）A ．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B ．抛一枚硬币，出现正面的概率C ．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率D ．任意写一个整数，它能被2整除的概率【答案】C【解析】解：A ．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为16，故此选项错误； B ．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项错误； C ．从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：11123=+≈0.33；故此选项正确； D ．任意写出一个整数，能被2整除的概率为12，故此选项错误． 故选C ． 3．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象经过点A ，B ，C ．现有下面四个推断：①抛物线开口向下；②当x=－2时，y 取最大值；③当m<4时，关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c=m 必有两个不相等的实数根；④直线y=kx+c(k≠0)经过点A，C，当kx+c> ax2＋bx＋c时，x的取值范围是－4<x<0；其中推断正确的是（）A．①②B．①③C．①③④D．②③④【答案】B【解析】结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案．【详解】解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以①正确；②若当x=-2时，y取最大值，则由于点A和点B到x=-2的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点A和点B的纵坐标显然不相等，所以②错误，从而排除掉A和D；剩下的选项中都有③，所以③是正确的；易知直线y=kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜-4或x＞0，从而④错误．故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式的关系，属于较复杂的二次函数综合选择题．4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c ＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】试题解析：∵图象与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，①正确；∵﹣=﹣1，∴b=2a，∵a+b+c＜0，∴b+b+c＜0，3b+2c＜0，∴②是正确；∵当x=﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，③错误；∵由图象可知x=﹣1时该二次函数取得最大值，∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1）．∴m（am+b）＜a﹣b．故④正确∴正确的有①②④三个，故选C．考点：二次函数图象与系数的关系．【详解】请在此输入详解！5．下列计算正确的是（）A．2a2﹣a2＝1 B．（ab）2＝ab2C．a2+a3＝a5D．（a2）3＝a6【答案】D【解析】根据合并同类项法则判断A、C；根据积的乘方法则判断B；根据幂的乘方法判断D，由此即可得答案.【详解】A、2a2﹣a2＝a2，故A错误；B、(ab)2＝a2b2，故B错误；C、a2与a3不是同类项，不能合并，故C错误；D、(a2)3＝a6，故D正确，故选D．【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方，合并同类项，熟练掌握各运算的运算性质和运算法则是解题的关键．6．如图，AD是半圆O的直径，AD＝12，B，C是半圆O上两点．若AB BC CD==，则图中阴影部分的面积是（）A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π【答案】A 【解析】根据圆心角与弧的关系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，根据扇形面积公式计算即可．【详解】∵AB BC CD ==，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°.∴阴影部分面积=2606=6360⨯ππ. 故答案为：A.【点睛】本题考查的知识点是扇形面积的计算，解题关键是利用圆心角与弧的关系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=60°. 7．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示互为倒数的点是（ ）A ．点A 与点BB ．点A 与点DC ．点B 与点D D ．点B 与点C 【答案】A【解析】试题分析：主要考查倒数的定义和数轴，要求熟练掌握．需要注意的是：倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据倒数定义可知，-2的倒数是-12，有数轴可知A 对应的数为-2，B 对应的数为-12，所以A 与B 是互为倒数．故选A ．考点：1．倒数的定义；2．数轴．8．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】B 【解析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．【详解】综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有1个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是5个．故选：B．【点睛】此题考查由三视图判断几何体，解题关键在于识别图形9．不等式5+2x ＜1的解集在数轴上表示正确的是( ).A．B．C．D．【答案】C【解析】先解不等式得到x＜-1，根据数轴表示数的方法得到解集在-1的左边．【详解】5+1x＜1，移项得1x＜-4，系数化为1得x＜-1．故选C．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：先求出不等式组的解集，然后根据数轴表示数的方法把对应的未知数的取值范围通过画区间的方法表示出来，等号时用实心，不等时用空心．10．利用运算律简便计算52×（–999）+49×（–999）+999正确的是A．–999×（52+49）=–999×101=–100899B．–999×（52+49–1）=–999×100=–99900C．–999×（52+49+1）=–999×102=–101898D．–999×（52+49–99）=–999×2=–1998【答案】B【解析】根据乘法分配律和有理数的混合运算法则可以解答本题．【详解】原式=－999×（52+49-1）=－999×100=－1．故选B．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在反比例函数kyx（x＜0）的图象上，则k= ．【答案】-43.【解析】过点B作BD⊥x轴于点D，因为△AOB是等边三角形，点A的坐标为（-4，0）所∠AOB=60°，根据锐角三角函数的定义求出BD及OD的长，可得出B点坐标，进而得出反比例函数的解析式.【详解】过点B作BD⊥x轴于点D，∵△AOB是等边三角形，点A的坐标为（﹣4，0），∴∠AOB=60°，OB=OA=AB=4，∴OD= OB=2，BD=OB•sin60°=4×3=23，2∴B（﹣2，23），∴k=﹣2×23=﹣43．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、等边三角形的性质、解直角三角函数等知识，难度适中．12．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为cm．__________2【答案】16【解析】分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．详解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；根据三视图知：该圆锥的母线长为6cm，底面半径为2cm，故表面积=πrl+πr2=π×2×6+π×22=16π（cm2）．故答案为：16π．点睛：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．13．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=__．【答案】40°【解析】直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7的度数，进而得出答案．【详解】如图所示：∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，∴∠6+∠7=140°，∴∠5=180°-（∠6+∠7）=40°．故答案为40°．【点睛】主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键．14．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面下降2.5m，水面宽度增加_____m．【答案】1.【解析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-1.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半1米，抛物线顶点C坐标为（0，1），设顶点式y=ax1+1，把A点坐标（-1，0）代入得a=-0.5，∴抛物线解析式为y=-0.5x1+1，当水面下降1.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=-1.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=-1.5代入抛物线解析式得出：-1.5=-0.5x1+1，解得：x=±3，1×3-4=1，所以水面下降1.5m，水面宽度增加1米．故答案为1．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．15．在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m，n），向量OP可以用点P的坐标表示为OP=（m，n），已知：OA=（x1，y1），OB=（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2=0，那么OA与OB互相垂直，下列四组向量：①OC=（2，1），OD=（﹣1，2）；②OE=（cos30°，tan45°），OF=（﹣1，sin60°）；③OG=3﹣2，﹣2），OH=32，12）；④OC=（π0，2），ON=（2，﹣1）．其中互相垂直的是______（填上所有正确答案的符号）．【答案】①③④【解析】分析：根据两个向量垂直的判定方法一一判断即可；详解：①∵2×(−1)+1×2=0，∴OC 与OD 垂直;②∵33cos301tan45sin60322⨯+⋅=+=， ∴OE 与OF 不垂直.③∵()()()13232202-++-⨯=， ∴OG 与OH 垂直.④∵()02210π⨯+⨯-=，∴OM 与ON 垂直.故答案为:①③④.点睛：考查平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义.16．如图，这是一幅长为3m ，宽为1m 的长方形世界杯宣传画，为测量宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为___________________m 1．【答案】1.4【解析】由概率估计图案在整副画中所占比例，再求出图案的面积.【详解】估计宣传画上世界杯图案的面积约为3×1×0.4=1.4m 1．故答案为1.4【点睛】本题考核知识点：几何概率. 解题关键点：由几何概率估计图案在整副画中所占比例.17．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC ，则线段 AC 的长为________．【答案】2【解析】已知BC=8， AD 是中线，可得CD=4， 在△CBA 和△CAD 中， 由∠B=∠DAC ，∠C=∠C ， 可判定△CBA ∽△CAD ，根据相似三角形的性质可得 AC CD BC AC= ， 即可得AC 2=CD•BC=4×8=32，解得2.18．一元二次方程()21210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________． 【答案】2k <且1k ≠【解析】根据一元二次方程的根与判别式△的关系，结合一元二次方程的定义解答即可.【详解】由题意可得，1−k≠0，△＝4+4(1−k)＞0，∴k ＜2且k≠1.故答案为k ＜2且k≠1.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解题中要注意不要漏掉对二次项系数1-k≠0的考虑．三、解答题（本题包括8个小题）19．已知：如图，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF=CE ，DF=BE ，DF ∥BE ．求证：（1）△AFD ≌△CEB ．（2）四边形ABCD 是平行四边形．【答案】证明见解析【解析】证明：（1）∵DF ∥BE ，∴∠DFE=∠BEF ．又∵AF=CE ，DF=BE ，∴△AFD ≌△CEB （SAS ）．（2）由（1）知△AFD ≌△CEB ，∴∠DAC=∠BCA ，AD=BC ，∴AD ∥BC ．∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS ），这一判定定理容易证明△AFD ≌△CEB ．（2）由△AFD ≌△CEB ，容易证明AD=BC 且AD ∥BC ，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．20．已知：正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转至正方形AEFG ，连接CE DF 、.如图，求证：CE DF =；如图，延长CB 交EF 于M ，延长FG 交CD 于N ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出如图中的四个角，使写出的每一个角的大小都等于旋转角.【答案】（1）证明见解析；（2）,,,DAG BAE CNF FMC ∠∠∠∠.【解析】（1）连接AF 、AC ，易证∠EAC=∠DAF ，再证明ΔEAC ≅ΔDAF ，根据全等三角形的性质即可得CE=DF ；（2）由旋转的性质可得∠DAG 、∠BAE 都是旋转角，在四边形AEMB 中，∠BAE+∠EMB=180°，∠FMC+∠EMB=180°，可得∠FMC=∠BAE ，同理可得∠DAG=∠CNF ，由此即可解答.【详解】(1)证明：连接,AF AC ，∵正方形ABCD 旋转至正方形AEFG∴DAG BAE ∠∠=，45BAC GAF ∠=∠=︒∴BAE BAC DAG GAF ∠+∠=∠+∠∴EAC DAF ∠=∠在EAC ∆和DAF ∆中,AE AD EAC FAD AC AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴EAC DAF ∆≅∆∴CE DF =(2).∠DAG 、∠BAE 、∠FMC 、∠CNF ；由旋转的性质可得∠DAG 、∠BAE 都是旋转角，在四边形AEMB 中，∠BAE+∠EMB=180°，∠FMC+∠EMB=180°，可得∠FMC=∠BAE ，同理可得∠DAG=∠CNF ，【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定与性质，证明ΔEAC ≅ΔDAF 是解决问题的关键. 21．某商场用24000元购入一批空调，然后以每台3000元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完，商场又以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，每台的售价也上调了200元．商场第一次购入的空调每台进价是多少元？商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？【答案】（1）2400元；（2）8台．【解析】试题分析：（1）设商场第一次购入的空调每台进价是x 元，根据题目条件“商场又以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，每台的售价也上调了200元”列出分式方程解答即可；（2）设最多将y 台空调打折出售，根据题目条件“在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售”列出不等式并解答即可．试题解析：（1）设第一次购入的空调每台进价是x 元，依题意，得 52000240002,200x x=⨯+ 解得2400.x = 经检验，2400x =是原方程的解．答：第一次购入的空调每台进价是2 400元．（2）由（1）知第一次购入空调的台数为24 000÷2 400＝10（台），第二次购入空调的台数为10×2＝20（台）．设第二次将y 台空调打折出售，由题意，得()()()()30001030002000.95300020020122%2400052000y y ⨯++⨯⋅+⋅-≥+⨯+（），解得8y ≤． 答：最多可将8台空调打折出售．22．如图，已知，等腰Rt △OAB 中，∠AOB=90°，等腰Rt △EOF 中，∠EOF=90°，连结AE 、BF ．求证：（1）AE=BF ；（2）AE ⊥BF ．【答案】见解析【解析】（1）可以把要证明相等的线段AE ，CF 放到△AEO ，△BFO 中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO ，OE=OF ，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE 的结果，所以相等，由此可以证明△AEO ≌△BFO ；（2）由（1）知：∠OAC=∠OBF ，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE ⊥BF【详解】解：（1）证明：在△AEO 与△BFO 中，∵Rt △OAB 与Rt △EOF 等腰直角三角形，∴AO=OB ，OE=OF ，∠AOE=90°-∠BOE=∠BOF ，∴△AEO ≌△BFO ，∴AE=BF；（2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF．23．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CP＝CQ ＝2，将三角板CPQ绕点C旋转(保持点P在△ABC内部)，连接AP、BP、BQ．如图1求证：AP＝BQ；如图2当三角板CPQ绕点C旋转到点A、P、Q在同一直线时，求AP的长；设射线AP与射线BQ相交于点E，连接EC，写出旋转过程中EP、EQ、EC之间的数量关系．【答案】（1）证明见解析（2142（3）EP+EQ= 2EC【解析】（1）由题意可得：∠ACP=∠BCQ，即可证△ACP≌△BCQ，可得AP=CQ；作CH⊥PQ 于H，由题意可求2，可得2，根据勾股定理可求14，即可求AP 的长；作CM⊥BQ 于M，CN⊥EP 于N，设BC 交AE 于O，由题意可证△CNP≌△ CMQ，可得CN=CM，QM=PN，即可证Rt△CEM≌Rt△CEN，EN=EM，∠CEM=∠CEN=45°，则可求得EP、EQ、EC 之间的数量关系．【详解】解：（1）如图1 中，∵∠ACB=∠PCQ=90°，∴∠ACP=∠BCQ 且AC=BC，CP=CQ∴△ACP≌△BCQ（SAS）∴PA=BQ如图 2 中，作CH⊥PQ 于H∵A、P、Q 共线，PC=2，∴PQ=22，∵PC=CQ，CH⊥PQ∴CH=PH= 2在Rt△ACH 中，AH=22= 14AC CH∴PA=AH﹣PH= 14-2解：结论：EP+EQ=2EC理由：如图 3 中，作CM⊥BQ 于M，CN⊥EP 于N，设BC 交AE 于O．∵△ACP≌△BCQ，∴∠CAO=∠OBE，∵∠AOC=∠BOE，∴∠OEB=∠ACO=90°，∵∠M=∠CNE=∠MEN=90°，∴∠MCN=∠PCQ=90°，∴∠PCN=∠QCM，∵PC=CQ，∠CNP=∠M=90°，∴△CNP≌△CMQ（AAS），∴CN=CM ，QM=PN ，∴CE=CE ，∴Rt △CEM ≌Rt △CEN （HL ），∴EN=EM ，∠CEM=∠CEN=45°∴EP+EQ=EN+PN+EM ﹣MQ=2EN ，，∴EC【点睛】本题考查几何变换综合题，解答关键是等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，添加恰当辅助线构造全等三角形．24．先化简：2222421121x x x x x x x ---÷+--+，然后在不等式2x ≤的非负整数解中选择一个适当的数代入求值. 【答案】21x +；2. 【解析】先将后面的两个式子进行因式分解并约分，然后计算减法，根据题意选择x=0代入化简后的式子即可得出答案.【详解】解：原式=()()()()222121112x x x x x x x ---⋅++-- =()21211x x x x --++ =21x + 2x ≤的非负整数解有：2,1,0,其中当x 取2或1时分母等于0，不符合条件，故x 只能取0∴将x=0代入得：原式=2【点睛】本题考查的是分式的化简求值，注意选择数时一定要考虑化简前的式子是否有意义.25．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点A 、C 的坐标分别为()4,5-，(1,3)-．请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；请作出ABC ∆关于y 轴对称的'''A B C ∆；点'B 的坐标为 ．ABC ∆的面积为 ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）'(2,1)B ；（4）4.【解析】（1）根据C 点坐标确定原点位置，然后作出坐标系即可；（2）首先确定A 、B 、C 三点关于y 轴对称的点的位置，再连接即可；（3）根据点B'在坐标系中的位置写出其坐标即可（4）利用长方形的面积剪去周围多余三角形的面积即可．【详解】解：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）结合图形可得：()B'2,1；（4）ΔABC 111S 34231224222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 123144=---=.【点睛】此题主要考查了作图−−轴对称变换，关键是确定组成图形的关键点的对称点位置．26．如图，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF ，求证：AB ∥DE ．【答案】详见解析.【解析】试题分析：利用SSS 证明△ABC ≌△DEF ，根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF ，再由平行线的判定即可得AB ∥DE ．试题解析：证明：由BE ＝CF 可得BC ＝EF ，又AB ＝DE ，AC ＝DF ，故△ABC≌△DEF（SSS），则∠B=∠DEF，∴AB∥DE．考点：全等三角形的判定与性质.中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列各式计算正确的是( )A．633-=B．1236⨯=C．3535+=D．1025÷=【答案】B【解析】A选项中，∵63、不是同类二次根式，不能合并，∴本选项错误；B选项中，∵123=36=6⨯，∴本选项正确；C选项中，∵35=35⨯，而不是等于3+5，∴本选项错误；D选项中，∵10102=5÷≠，∴本选项错误；故选B.2．今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用的时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（）A．小明中途休息用了20分钟B．小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米C．小明在上述过程中所走的路程为6600米D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度【答案】C【解析】根据图像，结合行程问题的数量关系逐项分析可得出答案.【详解】从图象来看，小明在第40分钟时开始休息，第60分钟时结束休息，故休息用了20分钟，A正确；小明休息前爬山的平均速度为：28007040=（米/分），B正确；小明在上述过程中所走的路程为3800米，C错误；小明休息前爬山的平均速度为：70米/分，大于休息后爬山的平均速度：380028002510060-=-米/分，D正确．故选C．考点：函数的图象、行程问题．3．把不等式组24030xx-≥⎧⎨->⎩的解集表示在数轴上，正确的是()A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分并在数轴上表示出来即可．【详解】2x40 30x-≥⎧⎨-⎩①＞②由①，得x≥2，由②，得x＜1，所以不等式组的解集是：2≤x＜1．不等式组的解集在数轴上表示为：．故选A．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．4．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABCC．AB2=AD•AC D．AD AB AB BC=【答案】D【解析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2=AD•AC，∴AC ABAB AD=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、ADAB=ABBC不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选D．【点睛】点评：本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．5．如图，甲圆柱型容器的底面积为30cm2，高为8cm，乙圆柱型容器底面积为xcm2，若将甲容器装满水，然后再将甲容器里的水全部倒入乙容器中（乙容器无水溢出），则乙容器水面高度y（cm）与x（cm2）之间的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意可以写出y关于x的函数关系式，然后令x=40求出相应的y值，即可解答本题．【详解】解：由题意可得，y=308x⨯=240x，当x=40时，y=6，故选C．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，根据题意列出函数解析式是解决此题的关键．6．如图分别是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数的分布直方图和扇形统计图(两图都不完整),下列结论错误的是( )A．该班总人数为50 B．步行人数为30C．乘车人数是骑车人数的2.5倍D．骑车人数占20%【答案】B【解析】根据乘车人数是25人，而乘车人数所占的比例是50%，即可求得总人数，然后根据百分比的含义即可求得步行的人数，以及骑车人数所占的比例．【详解】A 、总人数是：25÷50%=50（人），故A 正确；B 、步行的人数是：50×30%=15（人），故B 错误；C 、乘车人数是骑车人数倍数是：50%÷20%=2.5，故C 正确；D 、骑车人数所占的比例是：1-50%-30%=20%，故D 正确．由于该题选择错误的，故选B ．【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．7．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b 与反比例函数y=c x在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：∵二次函数图象开口方向向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线2b x a=-＞0，∴b ＞0，∵与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，∴y ax b =+的图象经过第一、二、四象限，反比例函数c y x=图象在第一三象限，只有C 选项图象符合．故选C ．考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象；3．反比例函数的图象．8．将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2不一定互补的是（ ）A．B． C． D．【答案】D【解析】A选项：∠1+∠2=360°－90°×2=180°；B选项：∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，∵∠1+∠4=180°，∴∠1+∠2=180°；C选项：∵∠ABC=∠DEC=90°，∴AB∥DE，∴∠2=∠EFC，∵∠1+∠EFC=180°，∴∠1+∠2=180°；D选项：∠1和∠2不一定互补.故选D.点睛：本题主要掌握平行线的性质与判定定理，关键在于通过角度之间的转化得出∠1和∠2的互补关系. 9．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为4的等边三角形，以O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，那么点A′的坐标为（）A ．（2，23）B ．（﹣2，4）C ．（﹣2，22）D ．（﹣2，23）【答案】D 【解析】分析：作BC ⊥x 轴于C ，如图，根据等边三角形的性质得4,2,60OA OB AC OC BOA ====∠=，则易得A 点坐标和O 点坐标，再利用勾股定理计算出224223BC =-=，然后根据第二象限点的坐标特征可写出B 点坐标；由旋转的性质得60,AOA BOB OA OB OA OB ∠'=∠'==='='，则点A′与点B 重合，于是可得点A′的坐标．详解：作BC ⊥x 轴于C ，如图，∵△OAB 是边长为4的等边三角形∴4,2,60OA OB AC OC BOA ====∠=，∴A 点坐标为(−4,0),O 点坐标为(0,0)，在Rt △BOC 中,224223BC =-=，∴B 点坐标为(2,23)-；∵△OAB 按顺时针方向旋转60,得到△OA′B′，∴60,AOA BOB OA OB OA OB ∠'=∠'==='='，∴点A′与点B 重合,即点A′的坐标为(2,3)-，故选D.点睛：考查图形的旋转，等边三角形的性质.求解时，注意等边三角形三线合一的性质.10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密后传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为，明文a ，b 对应的密文为a ＋2b ，2a －b ，例如：明文1，2对应的密文是5，0，当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是( )A ．3，－1B ．1，－3C ．－3，1D ．－1，3【答案】A【解析】根据题意可得方程组2127a b a b +=⎧⎨-=⎩，再解方程组即可． 【详解】由题意得：2127a b a b +=⎧⎨-=⎩， 解得：31a b =⎧⎨=-⎩， 故选A ．二、填空题（本题包括8个小题）11．不等式组20262x x ->⎧⎨->⎩①②的解是________． 【答案】x ＞4【解析】分别解出不等式组中的每一个不等式，然后根据同大取大得出不等式组的解集.【详解】由①得:x ＞2;由②得 :x ＞4;∴此不等式组的解集为x ＞4;故答案为x ＞4.【点睛】考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为A(1,0)，等腰直角三角形ABC 的边AB 在x 轴的正半轴上，∠ABC=90°，点B 在点A 的右侧，点C 在第一象限。
考研数学二模拟题2018年(2)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(2)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.曲线y=x 2 e -x2的渐近线方程为______．SSS_FILL分值: 1y=0．[解析] 由于，原曲线仅有一条水平渐近线y=0．2.曲线的渐近线方程为______．SSS_FILL分值: 1． [解析] 计算可得曲线不存在水平渐近线和铅直渐近线．故此曲线的渐近线方程为．3.曲线的斜渐近线方程为______．SSS_FILL分值: 1y=2x+1． [解析]所以斜渐近线方程为y=2x+1．4.曲线的斜渐近线方程为______．SSS_FILL分值: 1． [解析] 因为故斜渐近线方程为．5.曲线的水平渐近线方程为______．SSS_FILL分值: 1． [解析] 因为故曲线的水平渐近线方程为．6.曲线的渐近线方程为______．SSS_FILL分值: 1y=2x． [解析] 由于函数连续，所以曲线无铅直渐近线；又因为都不存在，所以曲线无水平渐近线．考虑到所以曲线有斜渐近线y=2x．7.曲线y=x 2 +x(x＜0)上曲率为的点的坐标是______．SSS_FILL分值: 1(-1，0)． [解析] 将y"=2x+1，y"=2代入曲率公式，得整理后有x 2 +x=0，由于x＜0，故取x=-1，从而y| x=-1 =0，故所求点的坐标为(-1，0)．8.曲线的斜渐近线方程为______．SSS_FILL分值: 1． [解析]则斜渐近线方程为．二、选择题1.当x＞0时，曲线SSS_SINGLE_SELA 有且仅有水平渐近线．B 有且仅有铅直渐近线．C 既有水平渐近线，也有铅直渐近线．D 既无水平渐近线，也无铅直渐近线．分值: 1答案:A[解析] 由于，又，则原曲线在(0，+∞)有且仅有水平渐近线y=1．2.曲线的渐近线有SSS_SINGLE_SELA 1条．B 2条．C 3条．D 4条．分值: 1答案:B[解析] 由可知原曲线有水平渐近线．又，则原曲线有铅直渐近线x=0，虽然原题中当x=1，x=-2时分母为零，但都不是∞，故原曲线的渐近线有两条．3.曲线渐近线的条数为SSS_SINGLE_SELA 0．B 1．C 2．D 3．分值: 1答案:D[解析]所以x=0是一条铅直渐近线．又所以沿x→+∞方向没有水平渐近线．又所以沿x→+∞方向有斜渐近线y=x．再看沿x→-∞方向：所以沿x→-∞方向该曲线有水平渐近线y=0．即然沿x→-∞方向已有水平渐近线，此曲线当然不可能再有斜渐近线．故共有3条渐近线，应选D．对于(*)式中极限还有如下处理：，或者令e x =t，然后再处理．4.曲线的渐近线的条数为SSS_SINGLE_SELA 0．B 1．C 2．D 3．分值: 1答案:C[解析] 因为所以故x=1是曲线的铅直渐近线，且是唯一的一条铅直渐近线．因为所以y=1是曲线的水平渐近线．综上可知，曲线有两条渐近线．5.下列曲线中有渐近线的是A．y=x+sinx．B．y=x 2 +sinx．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析] 对于，可知．又，所以有斜渐近线y=x，因此应选C．6.曲线上对应于t=1的点处的曲率半径是A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析] 曲线在点(x，f(x))处的曲率公式，曲率半径．本题中，所以，对应于t=1的点处有y"=3，y"=-1，所以，曲率半径．应选C．7.设函数f(x)在[0，1]上f"(x)＞0，则f"(1)，f"(0)，f(1)-f(0)或f(0)-f(1)的大小顺序是SSS_SINGLE_SELA f"(1)＞f"(0)＞f(1)-f(0)．B f"(1)＞f(1)-f(0)＞f"(0)．C f(1)-f(0)＞f"(1)＞f"(0)．D f"(1)＞f(0)-f(1)＞f"(0)．分值: 1答案:B[解析] 由于f"(x)＞0，x∈[0，1]，则f"(x)单调增加，又f(1)-f(0)=f"(c)，c∈(0，1)，从而f"(1)＞f"(c)＞f"(0)，即f"(1)＞f(1)-f(0)＞f"(0)．8.设函数f(x)，g(x)是大于零的可导函数，且f"(x)g(x)-f(x)g"(x)＜0，则当a ＜x＜b时，有SSS_SINGLE_SELA f(x)g(b)＞f(b)g(x)．B f(x)g(a)＞f(a)g(x)．C f(x)g(x)＞f(b)g(b)．D f(x)g(x)＞f(a)g(a)．分值: 1答案:A[解析] 看起来，选项眼花缭乱，其实仔细审题发现，A，B两项是在区间(a，b)内的值与两端点处的值比大小，C，D两项是f(x)g(x)在区间(a，b)内的值与两端点处的值比大小．题干中含有某种形式的导数的不等式，就想到用单调性．题干中表述的是谁的导数呢?经验算，故应选A．9.已知函数f(x)在区间(1-δ，1+δ)内具有二阶导数，f"(x)严格单调减少，且f(1)=f"(1)=1，则SSS_SINGLE_SELA 在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＜x．B 在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＞x．C 在(1-δ，1)内，f(x)＜x，在(1，1+δ)内，f(x)＞x．D 在(1-δ，1)内，f(x)＞x，在(1，1+δ)内，f(x)＜x．分值: 1答案:A[解析] 由选项看出，题目是要确定x与f(x)在所讨论区间内的大小关系，因此，构造辅助函数F(x)=f(x)-x．由题目的条件知F(1)=0，F"(1)=0，f"(x)=f"(x)＜0，∈(1-δ，1+δ)，故F(x)在x=1处取得极大值，即F(1)=0在区间(1-δ，1+δ)内为极大值，从而f(x)-x＜0，x∈(1-δ，1)∪(1，1+δ)，即A正确．三、解答题1.对函数填写下表．单调减区间单调增区间极值点极值凹区间凸区间拐点渐近线SSS_TEXT_QUSTI分值: 6解单调减区间(-∞，-2)，(0，+∞) 凹区间(-3，0)，(0，+∞) 单调增区间(-2，0) 凸区间(-∞，-3)极值点-2 拐点极值渐近线x=0和y=0 2.设，求(1)函数的增减区间及极值；(2)函数图像的凹凸区间及拐点；(3)渐近线；(4)作出其图形．SSS_TEXT_QUSTI分值: 7解定义域(-∞，0)∪(0，+∞)．当时，y=0．(1) ，故驻点为x=2．又x (-∞，0) (0，2) 2 (2，+∞)y" + - 0 +y ↗ ↘ 3 ↗所以，(-∞，0)及(2，+∞)为增区间，(0，2)为减区间，x=2为极小值点，极小值为y=3．(2) ，故(-∞，0)，(0，+∞)均为凹区间，无拐点．(3)因所以，x=0为铅直渐近线，y=x为斜渐近线．(4)函数的图形如图所示．3.如图所示，设曲线L的方程y=f(x)，且y"＞0，又MT，MP分别为该曲线在点M(x0，y)处的切线和法线．已知线段MP的长度为(其中y"=y"(x0 )，y"=y"(x))，试推导出点P(ξ，η)的坐标表达式．SSS_TEXT_QUSTI分值: 7解由题设①又PM⊥MT，所以②由①，②式得．由于y"＞0，曲线L是凹的，故y-η＜0，从而．又，于是得因此P点坐标为4.已知函数，求(Ⅰ)函数的增减区间及极值；(Ⅱ)函数图形的凹凸区间及拐点；(Ⅲ)函数图形的渐近线．SSS_TEXT_QUSTI分值: 7解所给函数的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)．，令y"=0，得驻点x=0及x=3．，令y"=0，得x=0．列表讨论如下：x (-∞，0) 0 (0，1) (1，3) 3 (3，+∞)y" + 0 + - 0 +y" - 0 + + + +y ↗ 拐点↗ ↘ 极小值↗由此可知：(Ⅰ)函数的单调增加区间为(-∞，1)和(3，+∞)，单调减少区间为(1，3)；极小值为(Ⅱ)函数图形在区间(-∞，0)内是凸的．在区间(0，1)，(1，+∞)内是凹的，拐点为点(0，0)．(Ⅲ)由知，x=1是函数图形的铅直渐近线．又故y=x+2是函数图形的斜渐近线．5.证明：当x＞0时，有不等式．SSS_TEXT_QUSTI分值: 7证考虑函数x＞0，有所以f(x)在(0，+∞)上是单调减少的．又，知当x＞0时，，即．6.利用导数证明：当x＞1时，SSS_TEXT_QUSTI分值: 7证令f(x)=(1+x)ln(1+x)-xlnx，则，故在[1，+∞)内f(x)为严格增函数．又f(1)=2ln2＞0，所以有f(x)＞0，x＞1．从而得7.设f"(x)＜0，f(0)=0，证明对任何x1＞0，x2＞0，有f(x1+x2)＜f(x1 )+f(x2)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 7证法1 令F(x)=f(x)+f(x2 )-f(x+x2)，F(0)=0，又F"(x)=f"(x)-f"(x+x2)=f"(ξ)(-x2)＞0．ξ∈(x，x+x2)(拉格朗日中值定理)，故F(x1)＞F(0)=0，x1＞0，即f(x1)+f(x2)-f(x1+x2)＞0．证法2 不妨设x1≤x2(x2≤x1时类似可证)，则由拉格朗日中值定理可得f(x1 )-f(0)=x1f"(ξ1)，0＜ξ1＜x1，f(x1 +x2)-f(x2)=x1f"(ξ2)，x2＜ξ2＜x1+x2．又已知f"(x)＜0，故f"(ξ2 )＜f"(ξ1)．比较以上两式即得f(x1 +x2)＜f(x1)+f(x2)．证法1采用把其中一个常量字母x1改为变量x(常数变量化)转化为函数不等式，再利用单调性的手段加以证明，这种方法是证明这类常数不等式常用的一种方法．8.设x＞0，常数a＞e．证明：(a+x) a＜a a+x．SSS_TEXT_QUSTI分值: 7证由函数y=lnx的单调性，只需证aln(a+x)＜(a+x)lna．设f(x)=(a+x)lna-aln(a+x)，则f(x)在[0，+∞)内连续、可导，且所以f(x)在[0，+∞)内单增．又f(0)=0．从而得f(x)＞0，x＞0，即aln(a+x)＜(a+x)lna，x＞0．所以(a+x) a＜a a+x，x＞0．9.设，且f"(x)＞0，证明：f(x)≥x．SSS_TEXT_QUSTI分值: 7证法1 因f(x)连续且具有一阶导数，故由知f(0)=0．．由f(x)的泰勒公式得，ξ在0与x之间．因f"(ξ)＞0，所以f(x)≥x．证法2 易推知f(0)=0，f"(0)=1，令F(x)=f(x)-x，则F"(x)=f"(x)-1，f"(x)=f"(x)＞0，有F"(0)=f"(0)-1=0，则x=0是唯一的极小值点，也是最小值点，于是F(x)=f(x)-x≥F(0)=0．证毕．设x∈(0，1)，证明：SSS_TEXT_QUSTI10.(1+x)ln 2 (1+x)＜x 2；分值: 3.5证令φ(x)=(1+x)ln 2 (1+x)-x 2，有φ(0)=0，φ"(x)=ln 2 (1+x)+2ln(1+x)-2x，还看不出在(0，1)内φ"(x)是否定号．为此，再计算φ"(0)=0．再计算φ"(0)=0，于是φ"(x)在(0，1)内严格单调减少，又φ"(0)=0，所以在(0，1)内φ"(x)＜o．于是φ"(x)在(0，1)内严格单调减少，又φ"(0)=0，故在(0，1)内φ"(x)＜0．因此φ(x)在(0，1)内严格单调减少，又φ(0)=0，故在(0，1)内φ(x)＜0．证毕．SSS_TEXT_QUSTI11.分值: 3.5证令有由上一小题知，当x∈(0，1)时f"(x)＜0，于是在(0，1)内f(x)严格单调减少，，故当x∈(0，1)时，不等式左边证毕．又故当x∈(0，1)时，．不等式右边证毕．函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式．SSS_TEXT_QUSTI12.求导数f"(x)；分值: 3.5解由题设知上式两边对x求导，得(x+1)f"(x)=-(x+2)f"(x)．设u=f"(x)则有解之得由f(0)=1及f"(0)+f(0)=0，知f"(0)=-1，从而C=-1．因此SSS_TEXT_QUSTI13.证明：当x≥0时，成立不等式：e -x≤f(x)≤1．分值: 3.5证当x≥0时，f"(x)＜0，即f(x)单调减少，又f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1．设φ(x)=f(x)-e -x，则当x≥0时，φ"(x)≥0，即φ(x)单调增加，因而φ(x)≥φ(0)=0，即有f(x)≥e -x．综上所述，当x≥0时，不等式e -x≤f(x)≤1成立．14.设0＜a＜b，证明不等式SSS_TEXT_QUSTI分值: 7证先证右边的不等式．设因为故当x＞a时φ(x)单调减少，又φ(a)=0，所以，当x＞a时，φ(x)＜φ(a)=0，即特别地，当x=b＞a时，便有即其次证明左边的不等式．设f(x)=lnx(x＞a＞0)，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点ξ∈(a，b)，使由于0＜a＜ξ＜b，故又由于a 2 +b 2＞2ab，所以，从而有1。
考研数学二模拟题2018年(50)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(50)(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.下列反常积分收敛的是______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:B[解析] 因为且α=1≥1，所以发散．因为且α=1≤1，所以发散；对任意的ε＞0，，由得发散．选B．2.设f(x)连续，且，则下列结论正确的是______．SSS_SINGLE_SELA f(1)是f(x)的极大值B f(1)是f(x)的极小值C (1，f(1))不是曲线y=f(x)的拐点D f(1)不是f(x)的极值，但(1，f(1))是曲线y=f(x)的拐点该问题分值: 4答案:B[解析] 因为，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜|x-1|＜δ时，有，即当x∈(1-δ，1)时，f"(x)＜0；当x∈(1，1+δ)时，f"(x)＞0．根据极值的定义，f(1)为f(x)的极小值，选B.3.设f(x)在[a，+∞)内二阶可导，f(a)=A＞0，f"(a)＜0，f"(x)≤0(x＞a)，则f(x)在[a，+∞)内______．SSS_SINGLE_SELA 无根B 有两个根C 有无穷多个根D 有且仅有一个根该问题分值: 4答案:D[解析] ，其中ξ介于a与x之间．因为f(a)=A＞0，，所以f(x)在[a，+∞)上至少有一个根．由单调不增，所以当x＞a时，在[a，+∞)为单调减函数，所以根是唯一的，选D.4.下列结论正确的是______．SSS_SINGLE_SELA 若f(x)可导且单调增加，则f"(x)＞0B 若f(x)，g(x)皆可导且f"(x)＞g"(x)，则f(x)＞g(x)C 若f(x)，g(x)皆可导且f(x)＞g(x)，则f"(x)＞g"(x)D 若f"(x)＞0，则f(x)单调增加该问题分值: 4答案:D[解析] f(x)=x 3为单调增加的函数，f"(x)=3x 2，因为f"(0)=0，所以f"(x)≥0，A不对；令f(x)=x，g(x)=2(x＜1)，显然f"(x)＞g"(x)，但f(x)＜g(x)，B不对；令f(x)=2，g(x)=x(x＜2)，显然f(x)＞g(x)，但f"(x)＜g"(x)，C不对；由微分中值定理得f(x2 )-f(x1)=f"(ξ)(x2-x1)，因为f"(x)＞0，所以x2 -x1与f(x2)-f(x1)同号，即f(x)单调增加，选D.5.设t＞0，则当t→0时，是t的n阶无穷小量，则n为______．SSS_SINGLE_SELA 2B 4C 6D 8该问题分值: 4答案:C[解析]因为所以，即n=6，选C．6.设y1 (x)，y2(x)是微分方程y"+py"+qy=0的解，则由y1(x)，y2(x)能构成方程通解的充分条件是______．•**"1y2-y1y"2=0•**"1y2-y1y"2≠0•**"1y2+y1y"2=0**"1y2+y1y"2≠0SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:B[解析] y1 (x)，y2(x)能构成微分方程y"+py"+qy=0通解的充分必要条件是不是常数，即，选B．7.设A为三阶矩阵，为非齐次线性方程组的解，则______SSS_SINGLE_SELA 当t≠2时，r(A)=1B 当t≠2时，r(A)=2C 当t=2时，r(A)=1D 当t=2时，r(A)=2．该问题分值: 4答案:A[解析] 方法一：当t≠2时，为AX=0的两个线性无关的解，从而3-r(A)≥2，r(A)≤1，又由A≠0得r(A)≥1，即r(A)=1，选A．方法二：令，由已知条件得，r(AB)=1，当t≠2时，B为可逆矩阵，从而r(AB)=r(A)=1，选A．8.设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，γn)，令向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βn；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，若向量(Ⅲ)线性相关，则______．SSS_SINGLE_SELA 向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)都线性相关B 向量组(Ⅰ)线性相关C 向量组(Ⅱ)线性相关D 向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)至少有一个线性相关该问题分值: 4答案:D[解析] 当向量组(Ⅰ)线性相关时，r(A)＜n，由r(AB)≤r(A)得r(AB)＜n，即向量组(Ⅲ)线性相关；同理，当向量组(Ⅱ)线性相关时，r(B)＜n，由r(AB)≤r(B)得r(AB)＜n，即向量组(Ⅲ)线性相关，选D．二、填空题1.设D：(x 2 +y 2 ) 2≤4(x 2 -y 2 )，则SSS_FILL该问题分值: 4[解析] 由对称性得令则于是2.设t＞0，Dt={(x，y)|0≤x≤y，t≤y≤1}，则SSS_FILL该问题分值: 4[解析] 由得3.SSS_FILL该问题分值: 4[解析]4.设z=f(x，y)连续，且，则dz|(1，2)=______．SSS_FILL该问题分值: 42dx-dy [解析] 令，由f(x，y)连续得f(1，2)=3，由得f(x，y)-2x+y-f(1，2)=o(ρ)，即Δz=f(x，y)-f(1，2)=2(x-1)-(y-2)+o(p)，故dz|(1，2)=2dx-dy.5.SSS_FILL该问题分值: 4[解析] 令于是故6.设A为三阶实对称矩阵，为方程组AX=0的解，为方程组(2E-A)X=0的一个解，|E+A|=0，则A=______．SSS_FILL该问题分值: 4[解析] 显然为A的特征向量，其对应的特征值分别为λ1 =0，λ2=2，因为A为实对称阵，所以，解得k=1，于是又因为|E+A|=0，所以λ3 =-1为A的特征值，令λ3=-1对应的特征向量为，由即得令，由三、解答题共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.计算极限SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 9[解] 当x→0时，，则2.设u=f(x+y，x-y，z)由确定z为x，y的函数，又f连续可偏导，p可导，且p(y+z)-p(x+z)-1≠0，求．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 9[解] 将u=f(x+y，x-y，z)及两边对x求偏导得解得故3.设f(x)在[0，2]上二阶可导，且f"(x)＜0，f"(0)=1，f"(2)=-1，f(0)=f(2)=1．证明：SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 11[解] 首先f"(x)＜0，所以f(x)在(0，2)内不可能取到最小值，从而f(0)=f(2)=1为最小值，故f(x)≥1(x∈[0，2])，从而．又因为f"(x)＜0，所以有所以设抛物线y=x 2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a 2 )(a＞0)．SSS_TEXT_QUSTI4.求S=S(a)的表达式；该问题分值: 5[解] 设另一个切点为，则抛物线y=x 2的两条切线分别为因为L1⊥L2，所以，两条切线L1，L2的交点为y1=ax，L1，L2及抛物线y=x 2所围成的面积为SSS_TEXT_QUSTI5.当a取何值时，面积S(a)最小?该问题分值: 5[解]因为当时，S"(a)＜0，当时，S"(a)＞0，所以当时，面积S(a)取最小值．6.计算，其中D={(x，y)|x 2 +y 2≤1，x≥0，y≥0}．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 11[解]7.设曲线y=y(x)位于第一卦限且在原点处的切线与x轴相切，P(x，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为l1，点P处的切线与y轴交于点A，点A，P之间的距离为l2，又满足x(3l1+2)=2(x+1)l2，求曲线y=y(x)．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 10[解] 由已知条件得y(0)=0，y"(0)=0，P(x，y)处的切线为Y-y=y"(X-x)，令X=0，则Y=y-xy"，A的坐标为(0，y-xy")，由x(3l1 +2)=2(x+1)l2得两边对x求导整理得1+y "2 =2(x+1)y " y "，令y"=p，，代入得变量分离得积分得ln(1+p 2 )=ln(x+1)+lnC1，即1+p 2 =C1(x+1)，由初始条件得C1=1，即，从而，再由y(0)=0得C2=0，故所求的曲线为．设曲线y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y"-y=(4-6x)e -x的一个特解，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于x轴．SSS_TEXT_QUSTI8.求曲线y=y(x)的表达式；该问题分值: 4[解] 微分方程的特征方程为2λ 2+λ-1=0，特征值为λ1=-1，，则微分方程2y"+y"-y=0的通解为令非齐次线性微分方程2y"+y"-y=(4-6x)e -x的特解为y(x)=x(ax+b)e -x，代入原方程得a=1，b=0，故原方程的特解为y(x)=x 2 e -x，原方程的通解为由初始条件y(0)=y"(0)=0得C1 =C2=0，故y=x 2 e -x．SSS_TEXT_QUSTI9.求曲线y=y(x)到x轴的最大距离；该问题分值: 4[解] 曲线y=x 2 e -x到x轴的距离为d=x 2 e -x，令d"=2xe -x -x 2 e -x =x(2-x)e -x =0，得x=2．当x∈(0，2)时，d"＞0；当x＞2时，d"＜0，则x=2为d=x 2 e -x的最大值点，最大距离为SSS_TEXT_QUSTI10.计算积分该问题分值: 4[解]设非齐次线性方程组有三个线性无关解α1，α2，α3．SSS_TEXT_QUSTI11.证明系数矩阵的秩r(A)=2；该问题分值: 5.5[解] 令r(A)=r，因为系数矩阵至少有两行不成比例，所以r(A)≥2．α1-α2，α1-α3为对应的齐次线性方程组的两个解．令k1(α1-α2)+k2(α1-α3)=0，即(k1+k2)α1-k1α2-k2α3=0．因为α1，α2，α3线性无关，所以k1=k2=0，即α1-α2，α1-α3线性无关，于是对应的齐次线性方程组的基础解系至少含两个线性无关解向量，即4-r≥2或r≤2，故r(A)=2．SSS_TEXT_QUSTI12.求常数a，b的值及通解．该问题分值: 5.5[解]因为，所以解得a=2，b=-3，于是通解为13.设，其中A T =A．又且AB=O．求正交矩阵Q，使得X T AX在正交变换X=QY下化为标准二次型，SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 11[解] ，由AB=O得B的列为AX=0的解，令，由Aα1=0α1，Aα2=0α2得λ1=λ2=0为A的特征值，α1，α2为λ1=λ2=0对应的线性无关的特征向量．又由λ1+λ2+λ3=tr(A)=6得λ3=4，令为λ3=4对应的特征向量，由A T =A得λ3=4对应的线性无关的特征向量为．令单位化得1。
考研数学二模拟题2018年(1)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(1)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.SSS_FILL分值: 1．[解析]2.设f(x)连续，且，则f(7)=______．SSS_FILL分值: 1． [解析] 等式，两边对x求导，得3x 2 f(x 3 -1)=1．令x=2得12f(7)=1，则．3.SSS_FILL分值: 1-3f(cos3x)sin3x．[解析] 由变上限积分求导法可知4.设f(x)连续，则SSS_FILL分值: 1xf(x 2 )． [解析] 令u=x 2 -t 2，du=-2tdt．当t=0时，u=x 2，当t=x 时，u=0．故本题属于要先作换元然后才能求导的类型．5.设函数f(x)连续，．若φ(1)=1，φ"(1)=5，则f(1)=______．SSS_FILL分值: 12． [解析] 改写，由变限积分求导法得由得f(1)=2．6.由曲线y=xe x与直线y=ex所围成图形的面积S=______．SSS_FILL分值: 1． [解析] 由xe x =ex可知x(e x -e)=0．则x=0或x=1．故二、选择题1.设，其中f(x)连续，s＞0，t＞0，则I的值SSS_SINGLE_SELA 依赖于s，t．B 依赖于s，t，x．C 依赖于t，x，不依赖于s．D 依赖于s，不依赖于t．分值: 1答案:D[解析] ，由此可见，I的值只与s有关，所以应选D．2.设函数记，0≤x≤2，则A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:B[解析] 当0≤x≤1时，；当1＜x≤2时，．由此可见应选B．f(x)在[0，2]上可积，则在[0，2]上连续，于是排除A，C，D．3.设f(x)连续，，则F"(x)等于•**(x4)．•**(x4)．•**(x4)．**(x2)．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析] 由知F"(x)=2xf(x 4 )．故应选C．4.已知设，则F(x)为A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D[解析]所以应选D．f(x)在[0，2]上可积，则在[0，2]上连续，于是排除A，B，C．5.设函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D[解析] 设，则即F(x)是偶函数，D是正确的．类似方法可以证明A，C均为奇函数．而对B中的函数，因为由所给条件不能推出为偶函数．6.设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则是SSS_SINGLE_SELA 连续的奇函数．B 连续的偶函数．C 在x=0间断的奇函数．D 在x=0间断的偶函数．分值: 1答案:B[解析] 解法1 取函数它满足题设条件，则是一个连续的偶函数，从而排除了选项A，C，D，故选B．解法2 显然f(x)在任何有限区间[a，b]上都可积，于是连续；又因f(x)是奇函数，则是偶函数，故选B．7.设函数y=f(x)在区间[-1，3]上的图形如图所示．则函数的图形为A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D[解析] 根据题中函数y=f(x)的图形，可知函数在除了x=0，x=2两点外可导，且F"(x)=f(x)．由此可知：函数F(x)在(-1，0)内单调递增，在(0，1)内单调递减，在(1，2)内单调递增，在(2，3)内恒为常数．由于函数F(x)连续，且F(0)=0，所以正确选项只能是D．8.设函数，则SSS_SINGLE_SELA x=π是函数F(x)的跳跃间断点．B x=π是函数F(x)的可去间断点．C F(x)在x=π处连续但不可导．D F(x)在x=π处可导．分值: 1答案:C9.曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴所围图形面积可表示为A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析] y=x(x-1)(2-x)与x轴的交点为x=0，x=1，x=2，因此该曲线与x轴围成的面积为所以应选C．10.由曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:B[解析]11.曲线与x轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为A．B．π．C．D．π 2．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析]12.设f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且g(x)＜f(x)＜m(m为常数)，由曲线y=g(x)，y=f(x)，x=a及x=b所围平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积为A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:B[解析] 先画草图如图所示，对x积分。
考研数学二模拟题2018年(13)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(13)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.设矩阵，B=A 2 -3A+2E，则B -1 =______．SSS_FILL该问题分值: 52.设A，B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵．已知AB=2A+B，，则(A-E) -1 =______．SSS_FILL该问题分值: 53.设n维向量α=(a，0，…，0，a) T，a＜0；E为n阶单位矩阵，矩阵A=E-αα T，其中A的逆矩阵为B，则a=______．SSS_FILL该问题分值: 5-1；4.设矩阵A，B满足A * BA=2BA-8E，其中，E为单位矩阵，A *为A的伴随矩阵，则B=______．SSS_FILL该问题分值: 55.已知AB-B=A，其中，则A=______．SSS_FILL该问题分值: 56.设矩阵，且r(A)=3，则k=______。
SSS_FILL该问题分值: 5-3；7.设4阶方阵．则A的逆矩阵A -1 =______．SSS_FILL该问题分值: 58.设矩阵A满足A 2 +A-4E=0，其中E为单位矩阵，则(A-E) -1 =______．SSS_FILL该问题分值: 59.已知α=[1，2，3]，，设A=α Tβ，其中α T是α的转置，则A n =______．SSS_FILL该问题分值: 510.设3阶方阵A、B满足关系式：A -1 BA=6A+BA，且，则B=______．SSS_FILL该问题分值: 511.设，其中ai ≠0，bi=0(i=1，2，…，n)，则矩阵A的秩为r(A)=______．SSS_FILL该问题分值: 51；12.设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而，则r(AB)=______．SSS_FILL该问题分值: 52．二、选择题1.设A和B均为n×n矩阵，则必有______• A.|A+B|=|A|+|B|．•**=BA．C.|AB|=|BA|．• D.(A+B)-1=A-1+B-1．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:C2.设A，B为n阶矩阵，满足等式AB=0，则必有______SSS_SINGLE_SELA A=0或B=0．B A+B=0．C |A|=0或|B|=0．D |A|+|B|=0．该问题分值: 4答案:C3.设n维行向量，矩阵A=E-α Tα，B=E+2α Tα，其中E为n阶单位矩阵，则AB等于______•**．B.-E．•**．**+αTα．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:C4.设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A *是A的伴随矩阵，则______• A.(A*)*=|A|n-1A．• B.(A*)*=|A|n+1A．• C.(A*)*=|A|n-2A．• D.(A*)*=|A|n+2A．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:C5.设A是任-n(n≥3)阶方阵，A *是A的伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA) *等于______•***．•***．•***．***．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:B6.设A，B为n阶矩阵，A *，B *分别是A，B对应的伴随矩阵，分块矩阵，则C的伴随矩阵C *等于______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:D7.设A，B，A+B，A -1 +B -1均为n阶可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1等于______ •**+B-1．•**+B．•**(A+B)B-1．D.(A+B)-1．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:C8.设，其中A可逆，则B -1等于______•**．•**．•**．**．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:C9.设n阶矩阵A与B等价，则必有______SSS_SINGLE_SELA 当|A|=a(a≠0)时，|B|=a．B 当|A|=a(a≠0)时，|B|=-a．C 当|A|≠0时，|B|=0．D 当|A|=0时，|B|=0．该问题分值: 4答案:D10.设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r ，则______1SSS_SINGLE_SELA r＞r1．B r＜r1．C r=r1．D r与r1的关系依C而定．该问题分值: 4答案:C1。
2018考研数学冲刺模拟卷答案与解析(数学二)
2018考研数学冲刺模拟卷（数学二）答案与解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数210(),0x f x ax b x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） (A)14ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =【答案】A.【解析】222001114lim lim ,()4x x xf x ax ax a++→→==在0x =处连续11.44b ab a ∴=⇒=选A.（2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-=-=且''()0f x <，则（ ）(A)11()0f x dx ->⎰（B ）11()0f x dx -<⎰（C ）11()()f x dx f x dx ->⎰⎰ （D ）11()()f x dx f x dx -<⎰⎰【答案】A.【解析】()f x 为偶函数时满足题设条件，此时011()()f x dx f x dx -=⎰⎰，排除C,D.取2()21f x x =-+满足条件，则()112112()2103f x dx xdx --=-+=>⎰⎰，选A. （3）设数列{}n x 收敛，则（ ）（A ）当lim tan 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞= （B）当lim(0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=（C ）当2lim()0n n n x x →∞-=时，lim 0n n x →∞= （D ）当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=【答案】D.【解析】特值法：（A ）取n x π=，有lim tan 0,lim n n n n x x π→∞→∞==，A 错；取1n x =-，排除B,C.所以选D.（4）微分方程244(1sin 2)xy y y e x '''-+=+的特解可设为*y =（ ） （A ）22(cos 2sin 2)xx Aee B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++（C ）222(cos 2sin 2)xx Ax ee B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++【答案】C.【解析】特征方程为：21,24402λλλ-+=⇒=， 因为2()(1sin 2)xf x e x =+，故*222(cos 2sin 2)xx y Ax ee B x C x =++，选C.（5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂<>∂∂，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < 【答案】C. 【解析】(,)(,)0,0(,)f x y f x y f x y x y∂∂<>⇒∂∂是关于x 的单调递减函数，是关于y 的单调递增函数，所以有(0,1)(0,0)(1,0)f f f >>，故答案选C.（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙超过上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）（A ）010t =（B ）01520t <<（C ）025t =（D ）025t >【答案】D.【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要超过甲，则210(t)v (t)10t v dt ->⎰，当025t >时满足，故选D.（7）设A 为m n 阶矩阵，且r A m n ，则下列结论正确的是（A ）A 的任意m 阶子式都不等于零 （B ）A 的任意m 个列向量线性无关 （C ）方程组AX b 一定有无穷多解 （D ）矩阵A 经过初等行变换可化为m E O【答案】C.【解析】对于选项C ，=min ,m r Ar A m n m r A m n 所以选项C 正确,对于选项A 和B ，r(A)=m ，由秩的定义可得，存在一个m 阶行列式不为零，从而m 阶行列式所在的列向量组线性无关，所以选项A 和B 不正确对于选项D ，矩阵A 经过初等行变换和列变换才可化为m E O ，所以选项D 不正确 （8）设1122331,0,2,,0,2,1,,1,2,3,TTTc c c ，41,0,1,0T,其中1,2,3i c i为任意实数，则（A ）1234,,,必线性相关 （B ）1234,,,必线性无关（C ）123,,必线性相关（D ）234,,必线性无关【答案】D.【解析】1234312101101100000001c cc 经初等行变换所以12344r，从而选项A 和B 均不正确1233r，从而选项C 不正确利用排除法可得正确答案为D对于选项D ，23411001100100经初等行变换，从而可得2343r 向量的个数，所以234,,必线性无关二、填空题：9 14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9) 曲线21ln(1)x y x e x=++的斜渐近线方程为_______ 【答案】2y x = 【解析】()222ln(1)ln(1)lim lim(1)2,lim 2lim 0,2x x x x x x y e e y x x x x x y x→∞→∞→∞→∞⎛⎫++=+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭∴=(10) 设函数()y y x =由参数方程()0sin ttux t e y u e du ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，则220t d y dx ==______ 【答案】38【解析】()'220322sin sin ,11sin 1(cos )(1)(sin )381t t ttt tt t t t t t dy dx dy t e t e e dt dt dx e t e e d y t e e t e e d y dx dx dx e dt=+=+=+⇒=+⎛⎫+ ⎪+++-+⎝⎭⇒==⇒=+(11)21ln xdx x+∞=⎰_______ 【答案】-1 【解析】122111ln 111ln ln 1x dx xd x dx x x xx+∞+∞+∞+∞=-=-⋅+=⎰⎰⎰(12) 设函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数，且,(1)y y f fye x y e x y∂∂==+∂∂，(0,0)0f =， 则(,)_______f x y =. 【答案】yxye .【解析】,(1),(,)(),yyy y x y f ye f x y e f x y ye dx xye c y ''==+==+⎰故 ()y y y y y f xe xye c y xe xye ''=++=+，因此()0c y '=，即()c y C =，再由(0,0)0f =，可得(,).yf x y xye =（13）已知1tan ()x tf x dt t=⎰，则10()______f x dx =⎰.【答案】ln cos1-.【解析】交换积分次序：1()f x dx =⎰11110000tan tan tan ln cos1t x t t dt dx dt dx tdt t t ⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰.（14）设,为四维非零的正交向量，且TA，则A 的所有特征值为 .【答案】0,0,0,0【解析】设矩阵A 的特征值为，则2A 的特征值为2由,为四维非零的正交向量0T从而20TTTTA所以2A 的特征值20A 的特征值为所以4阶矩阵A 的4个特征值均为0.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题．．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求极限lim x t x dt du+→【答案】23.【解析】0lim x t x dt du+→=t x dt →x t u -=，则有t x u x u xdt du du --=-=⎰⎰⎰330022322=limlim2lim332x uxu x x ux x duedu xxdu xx --→→-→→====⎰⎰⎰原式（16）（本题满分10分）设函数()f u 在()0,+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22222212z z z z x y z x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂ +=++ ⎪ ∂∂+∂∂⎝⎭⎝，若()()00,01,f f '==求函数()f u 的表达式.【解析】(I)由于题目是验证，只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了zzf f xy∂∂''==∂∂()22222zxf f x x y ∂'''=+∂+()()22322222x y f f x y x y '''=+++同理()()2223222222zy x f f y x y x y ∂'''=+∂++代入22222212z z z z x y z x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂ +=-++ ⎪ ∂∂+∂∂⎝⎭⎝，得2f f f '''+=，即 ()()2()f u f u f u '''+=.则对应的特征方程为220r r +-=，121,2r r ==-，故212()x x f u C e C e -=+.由()()00,01,f f '==得1211,33C C =-=，即211()33x x f u e e -=-+ （17）（本题满分10分）求()()21ln ln limnn k k n k n n→∞=+-∑【答案】14. 【解析】原式=21112212000111111lim ln(1)ln(1)ln(1)(ln(1))2214nn k k k x x x dx x dx x x dx nn x →∞=-++=+=+=+⋅-=+∑⎰⎰⎰.（18）（本题满分10分）设函数()f x 连续，且()2013arccot 2xtf x t dt x -=⎰.已知()21f =，求()32f x dx ⎰的值.【解析】令3u x t =-，则3t x u =-，所以dt du =-代入()2013arccot 2xtf x t dt x -=⎰ 得()()()230323(3)(3)x xxxxtf x t dt x u f u du x u f u du -=--=-⎰⎰⎰()()3322213arccot 2xx x xx f u du uf u du x =-=⎰⎰ 将等式()()3322213arccot 2xx xx xf u du uf u du x -=⎰⎰两边对x 求导得()34233[3(3)2(2)][3(3)32(2)2]1xx xf u du x f x f x xf x xf x x+--⋅-⋅=-+⎰ 化简得 ()34232(2)1xxxf u du xf x x =-+⎰令1x =得，()32132(2)11f u du f =-+⎰，化简得 ()3212f u du =⎰ （19）（本题满分10分）设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数，()f x 在区间(0,1)内可导,且2()(),f x f x x'>-试证明在(0,1)内，1()()0x xf x f t dt -=⎰存在唯一实根.【解析】(1)要证0(0,1)x ∃∈,使0100()()x x f x f x dx =⎰；令1()()()xx xf x f t dt ϕ=-⎰,要证0(0,1)x ∃∈,使0()0x ϕ=.可以对()x ϕ的原函数0()()x x t dt ϕΦ=⎰使用罗尔定理：(0)0Φ=,11111111000(1)()()(())()()()0,xx x x x dx xf x dx f t dt dxxf x dx x f t dt xf x dx ϕ==Φ==-⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分部又由()f x 在[0,1]连续()x ϕ⇒在[0,1]连续,()x Φ在[0,1]连续,在(0,1)可导.根据罗尔定理,0(0,1)x ∃∈,使00()()0x x ϕ'Φ==.(2) 由()()()()()2()0x xf x f x f x xf x f x ϕ'''=++=+>,知()x ϕ在(0,1)内单调增,故(1)中的0x 是唯一的.（20）（本题满分11分）已知平面区域(){}22,|2,D x y xy x =+≤计算二重积分()21Dy dxdy +⎰⎰。
考研数学二模拟题2018年(12)_真题-无答案
考研数学二模拟题2018年(12)(总分100,考试时间90分钟)一、填空题1. 设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)，则f"(0)=______．2. 设y=ln(1+ax)，其中a为非零常数，则y"=______，y"=______．3. 设，则f"(t)=______．4. 设，则y"=______．5. 设y=ln(1+3-x)，则dy=______．6. 设，则y"=______．7. 设，则y"|x=0=______．8. 设，则y"|x=0=______．9. 设y=(1+sinx)x，则dy|x=π=______．10. 设tany=x+y，则dy=______．二、选择题1. 设f(x)在x=a处可导，则等于A. f"(a)．B. 2f"(a)．C. 0．D. f"(2a)．2. 若函数y=f(x)，有，则当Δx→0时，该函数在x=x0处的微分dy是A. 与Δx等价的无穷小．B. 与Δx同阶的无穷小．C. 比Δx低阶的无穷小．D. 比Δx高阶的无穷小．3. 设f(x)在点x=a的某个领域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是A．B．C．D．4. 设则f(x)在x=1处的A. 左、右导数都存在．B. 左导数存在，但右导数不存在．C. 左导数不存在，但右导数存在．D. 左、右导数都不存在．5. 设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)．若F(x)在x=0处可导，则必有A. f(0)=0．B. f"(0)=0．C. f(0)+f"(0)=0．D. f(0)-f"(0)=0．6. 设函数f(x)在区间(-δ，δ)内有定义，若当x∈(-δ，δ)时，恒有|f(x)|≤x2，则x=0必是f(x)的A. 间断点．B. 连续而不可导的点．C. 可导的点，且f"(0)=0．D. 可导的点，且f"(0)≠0．7. 函数f(x)=(x2-x-2)|x3-x|的不可导点的个数为A. 0．B. 1．C. 2．D. 3．8. 设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处A. 极限不存在．B. 极限存在，但不连续．C. 连续，但不可导．D. 可导．9. 设函数f(u)可导，y=f(x2)，当自变量x在x=-1处取得增量Δx=-0.1时，相应的函数增量Δy 的线性主部为0.1，则f"(1)=A. -1．B. 0.1．C. 1．D. 0.5．10. 设函数f(x)连续，且f"(0)＞0，则存在δ＞0，使得A. f(x)在(0，δ)内单调增加．B. f(x)在(-δ，0)内单调减少．C. 对任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)．D. 对任意的x∈(-δ，0)，有f(x)＞f(0)．11. 设函数，则f(x)在(-∞，+∞)内A. 处处可导．B. 恰有一个不司导点．C. 恰有两个不可导点．D. 至少有三个不可导点．12. 设函数y=f(x)具有二阶导数，且f"(x)＞0，f"(x)＞0，Δx为自变量x在点x0处的增量，Δy与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若Δx＞0，则A. 0＜dy＜Δy．B. 0＜Δy＜dy．C. Δy＜dy＜0．D. dy＜Δy＜0．13. 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是A．若存在，则f(0)=0．B．若存在，则f(0)=0．C．若存在，则f"(0)存在．D．若存在，则f"(0)存在．14. 设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则A. -2f"(0)．B. -f"(0)．C. f"(0)．D. 0．15. 设函数f(x)=(ex-1)(e2x-2)…(enx-n)，其中n为正整数，则f"(0)=A.(-1)n-1(n-1)!．B.(-1)n(n-1)!．C.(-1)n-1n!．D.(-1)nn!．16. 设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h"(1)=1，g"(1)=2，则g(1)等于A. ln3-1．B. -ln3-1．C. -ln2-1．D. ln2-1．三、解答题设函数f(x)在(-∞，+∞)内有定义，在区间[0，2]上，f(x)=x(x2-4)，若对任意的x都满足f(x)=kf(x+2)，其中k为常数．1. 写出f(x)在[-2，0)上的表达式；2. 问k为何值时，f(x)在x=0处可导．3. 已知，求y"．4. 设y=sin[f(x2)]，其中f具有二阶导数，求5. 已知y=1+xexy，求y"|x=0及y"|x=0．。
考研数学二模拟题2018年(31)_真题-无答案
考研数学二模拟题2018年(31)(总分150,考试时间90分钟)一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1. 设f(x)=|x|，g(x)=x2-x，则等式f[g(x)]=g[f(x)]成立时，x的变化范围______A. (-∞，1]∪{0}．B. (-∞，0]．C. [0，+∞)．D. [1，+∞)∪{0}．2. 设z=h(x，y)由方程exyz=x+y+z确定，则h(x，y)在点P0(0，1)的两个偏导数______A. 分别等于0和-1．B. 分别等于-1和0．C. 都等于0．D. 都等于-1．3. 设非负可微函数f(x)满足条件f"(x)≤0，收敛，则______A．B．C．D．4. 若F(x)是区间[-1，1]上f(x)的一个原函数，则在[-1，1]上f(x)______A. 有界．B. 无第一类间断点．C. 可积．D. 连续．5. 设函数f(x)单调，且f"(0)≠0．若则______A. f(0)+f"(0)=-1．B. f(0)+f"(0)=1．C. f(0)+f"(0)=0．D. f(0)+f"(0)=2．6. 设y=y(x)是初值问题的解，则______A．x=1是y(x)的极大点，且极限B．x=1是y(x)的极大点，且极限C．x=1是y(x)的极小点，且极限D．x=1是否为y(x)的极值点与参数a有关，且极限7. 关于n阶矩阵A，B有如下命题：①A和AT有相同的特征值．②若A～B，则A，B有相同的特征值．③A，B是实对称矩阵，则AB和BA有相同的特征值．④A是可逆矩阵，则AB和BA有相同的特征值．上述正确的个数是______A. 1．B. 2．C. 3．D. 4．8. 设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是______A.AX=0和A2X=0．**=0和A3X=0．**=0和A4X=0．**=0和A5X=0．二、填空题1. 设δ＞0，f(x)在[-δ，δ]上有定义，f(0)=1，且有则f"(0)=______．2. 设则与直线2x+y=1垂直的曲线y(x)的切线方程为______．3.4.5. 若y(x)满足且y(0)=y"(0)=0，则y(x)=______．6. 设则(A-2E)-1(A*+E)=______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1. 设z=z(x，y)在全平面R2上有连续的二阶偏导数，并且满足方程如果f(-x，x)=-x2，f"1(-x，x)=-x求f"12(-x，x)，f"11(-x，x)，f"22(-x，x)．2. 求定积分的值．3. 计算累次积分4. 设g(x)满足g"(x)+f(x)g(x)=1+x，g(0)=2，求g(x)．5. 若u0=0，u1=1，n=1，2，…．其中α，β是正实数，求的值．设函数集合Ψ，其中每一函数f(x)，满足下列条件：①f(x)是定义在[0，1]上的非负函数，且f(1)=1；②v，u+v∈[0，1]，有f(u+v)≥f(u)+f(v)．6. 证明Ψ中每一函数f(x)都是单调增加的．7. 对所有这一类函数Ψ，求积分的最大取值．8. 已知曲线求曲线C距离xOy面最远的点和最近的点．设向量组(ⅰ)α1=[1，2，-1]T，α2=[1，3，-1]T，α3=[-1，0，a-2]T；(ⅱ)β1=[-1，-2，3]T，β2=[-2，-4，5]T，β3=[1，b，-1]T；记A=[α1，α2，α3，B=[β1，β2，β3．9. 问a，b为何值时，A，B等价；a，b为何值时，A，B不等价；10. 问a，b为何值时，向量组(ⅰ)，(ⅱ)等价；a，b为何值时，向量组(ⅰ)，(ⅱ)不等价．设A，B是n阶矩阵，证明：11. 当A可逆时，AB和BA有相同的特征值；12. 证明AB和BA有相同的特征值．。
考研数学二模拟题2018年(65)_真题-无答案
考研数学二模拟题2018年(65)(总分100,考试时间90分钟)一、填空题1. 微分方程y"+y=-2x的通解为______．2. 微分方程y"+2y"+5y=0的通解为______．3. 微分方程y"-4y=e2x的通解为______．4. 二阶常系数非齐次线性微分方程y"-4y"+3y=2e2x的通解为______．5. 3阶常系数线性齐次微分方程y"""-2y"+y"-2y=0的通解为y=______．6. 已知y1=e3x-xe2x，y2=ex-xe2x=-xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y|x=0=0，y"|x=0=1的解为y=______．7. 设函数y=y(x)是微分方程y"+y"-2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3，则y(x)=______．二、解答题1. 已知y1=xex+e2x，y2=xex-e-x，y3=xex+e2x-e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．2. 利用代换将方程y"cosx-2y"sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解．3. 用变量代换x=cost(0＜t＜π)化简微分方程(1-x2)y"-xy"+y=0，并求其满足y|x=0=1，y"|x=0=2的特解．4. 已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x-1)y"-(2x+1)y"+2y=0的两个解．若u(-1)=e，u(0)=-1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．5. 设，其中f(x)为连续函数，求f(x)．6. 已知函数f(x)在(0，+∞)内可导，f(x)＞0，，且满足求f(x)．7. 设y=y(x)是区间(-π，π)内过点的光滑曲线．当-π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"+y+x=0．求y(x)的表达式．8. 设函数y=f(x)由参数方程所确定，其中ψ(t)具有2阶导数，且，ψ"(1)=6，已知，求函数ψ(t)．已知函数f(x)满足方程f"(x)+f"(x)-2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2ex．9. 求f(x)的表达式；10. 求曲线的拐点．11. 设函数y=y(x)满足微分方程y"-3y"+2y=2ex，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2-x+1在该点的切线重合，求函数y=y(x)．12. 设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该益线的方程，并求函数y=y(x)的极值．设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点．13. 试求曲线L的方程；14. 求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．15. 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点．记α为曲线l在点(x，y)处切线的倾角，若，求y(x)的表达式．16. 设曲线L的极坐标方程为r=r(θ)，M(r，θ)为L上任一点，M0(2，0)为L上一定点．若极径OM0、OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M0、M两点间弧长值的一半，求曲线L的方程．17. 设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y"(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1-S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．18. 如图所示，C1和C2分别是和y=ex的图像，过点(0，1)的曲线C3是一单调增函数的图像．过C2上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly．记C1，C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2，C3与ly所围图形的面积为S2(y)．如果总有S1(x)=S2(y)，求曲线C3的方程x=φ(y)．19. 设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)=1．对任意的t∈[0，+∞)，直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体．若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式．20. 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v|t=0=v0．已知阻力与速度成正比(比例常数为1)，问t为多少时此质点的速度为?并求到此时刻该质点所经过的路程．21. 某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含A的水量为，流出湖泊的水量为．已知1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过．问至多需经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m0以内?(注：设湖水中A的浓度是均匀的．)22. 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数K＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时?23. 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图所示)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m3/min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)．(Ⅰ)根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；(Ⅱ)求曲线x=φ(y)的方程．(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分．)24. 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比．现将一初始温度为120℃的物体在20℃恒温介质中冷却，30min后该物体温度降至30℃，若要将该物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间?25. 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始垂直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)．试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y(v)．26. 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下．现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h．经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0×106)．问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?。
考研数学二模拟题2018年(24)_真题-无答案
考研数学二模拟题2018年(24)(总分100,考试时间90分钟)一、填空题1. 设A是n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，|A|=5，则方阵B=AA*的特征值是______，特征向量是______．2. 三阶方阵A的特征值为1，-1，2，则B=2A3-3A2的特征值为______．3. 设且A的特征值为2和1(二重)，那么B的特征值为______．4. 已知矩阵相似，则x=______，y=______．5. 设A，B为n阶方阵，且|A|≠0，则AB和BA相似，这是因为存在可逆矩阵P=______，使得P-1ABP=BA．二、选择题1. 零为矩阵A的特征值是A为不可逆的______A. 充分条件．B. 必要条件．C. 充要条件．D. 非充分也非必要条件．2. 设λ1与λ2是矩阵A的两个不相同的特征值，ζ，η是A的分别属于λ1，λ2的特征向量，则______A. 对任意k1≠0，k2≠0，k1ζ+k2η都是A的特征向量．B. 存在常数k1≠0，k2≠0，使k1ζ+k2η是A的特征向量．C. 当k1≠0，k2≠0时，k1ζ+k2η不可能是A的特征向量．D. 存在唯一的一组常数k1≠0，k2≠0，使k1ζ+k2η是A的特征向量．3. 设λ0是n阶矩阵A的特征值，且齐次线性方程组(λ0E-A)x=0的基础解系为η1与η2．则A的属于λ0的全部特征向量是______A. η1和η2．B. η1或η2．C. C1η1+C2η2(C1，C2为任意常数)．D. C1η1+C2η2(C1，C2为不全为零的任意常数)．4. 设λ1，λ2为A的两个不相同的特征值，α与β为A的分别属于λ1与λ2的特征向量，则有α与β是______A. 线性相关．B. 线性无关．C. 对应分量成比例．D. 可能有零向量．5. 与n阶单位矩阵E相似的矩阵是______A. 数量矩阵kE(k≠1)．B. 对角矩阵D(主对角元素不为1)．C. 单位矩阵E．D. 任意n阶矩阵A．6. A，B是n阶方阵，且A～B，则______A.A，B的特征矩阵相同．**，B的特征方程相同．**，B相似于同一个对角阵．D.存在正交矩阵T，便得T-1AT=B．三、计算证明题1. 设λ=1是矩阵的特征值，求：①t的值；②对应于λ=1的所有特征向量．2. 求n阶矩阵的特征值与特征向量．3. 假定n阶矩阵A的任意一行中，n个元素的和都是a，试证λ=a是A的特征值，且(1，1，…，1)T是对应于λ=a的特征向量，又问此时A-1的每行元素之和为多少?4. 设A，B均是n阶矩阵，且秩r(A)+r(B)＜n，证明：A，B有公共的特征向量．5. 设三阶矩阵A满足Aαi=iαi(i=1，2，3)，其中列向量α1=(1，2，2)T，α2=(2，-2，1)T，α3=(-2，-1，2)T，试求矩阵A．6. 设矩阵A与B相似，其中①求x和y的值；②求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．7. 设矩阵矩阵B=(kE+A)2，其中k为实数，E为单位矩阵，求对角矩阵Λ，使B与Λ相似，并求k为何值时，B为正定矩阵．8. 设n阶矩阵A的特征值为1，2，…，n，试求|2A+E|．9. 判断矩阵是否可对角化?若可对角化，求出可逆矩阵U，使U-1AU为对角矩阵．10. 设11. 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟工补齐．新、老非熟练工经过培训及实践，至年终考核有成为熟练工，设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为xn和yn，记成向量．(Ⅰ)求的关系式并写成矩阵形式(Ⅱ)验证是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；(Ⅲ)当12. 设λ1，λ2是方阵A的特征根，λ1≠λ2，η1，…，ηr是A的对应于λ1的线性无关的特征向量，ζ1，…，ζs是A的对应于λ2的线性无关的特征向量，证明η1，…，ηr，ζ1，…，ζs 线性无关．。
考研数学二模拟题2018年(20)_真题-无答案
考研数学二模拟题2018年(20)(总分150,考试时间90分钟)一、选择题每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 设f(x)在[0，1]连续且非负但不恒等于零，记则它们的大小关系为A. I1＜I2＜I3．B. I3＜I1＜I2．C. I2＜I1＜I3．D. I3＜I2＜I1．2. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f"(x)＞0(x∈(a，b))，又则下列不等式成立的是A. L＞M＞N．B. L＞N＞M．C. M＞L＞N．D. N＞L＞M．3. 设其中1＜λ≤2，则f(x)在x=0处A. 不连续．B. 连续但不可导．C. 可导但f"(x)在x=0不连续．D. 可导且f"(x)在x=0连续．4. 设f(x)是arcsin(1-x)的原函数且f(0)=0，则A．B．C．D．5. 设f(x)在[0，+∞)连续，又f(x)是的解，则A．0.B．a．C．∞．D．6. 设区域D：x2+y2≤1，则可以化成的累次积分为A．B．C．D．7. 已知α1，α2，α3，α4是齐次方程组Ax=0的基础解系，则Ax=0的基础解系还可以是A. α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1．B. α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1．C. α1，α2+α3，α3+α4，α4．D. α1+α2，α2-α3，α3-α4，α4+α1．8. 设矩阵，则A和BA. 合同，但不相似．B. 合同，且相似．C. 相似，但不合同．D. 既不合同，也不相似．二、填空题1. 数列极限2. 设周期函数f(x)在(-∞，+∞)内可导，周期为4，又则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线的斜率为______．3. 函数的值域区间是______．4. 设有摆线则L绕x轴旋转一周所成的旋转面的面积A=______．5. 设u=u(x，y)，则u(x，y)=______．6. 三元二次型xTAx经正交变换x=Qy化为标准型如果矩阵A属于特征值λ=1的特征向量是α=(1，1，-2)T，那么Q=______．三、解答题15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1. 设f(x)在[0，+∞)连续且则在(0，+∞)为常数；2. 设f(x)在(a，b)二阶可导且x∈(a，b)时则lnf(x)在(a，b)为凹函数．已知函数y=y(x)由方程ey+6xy+x2-1=0确定．3. 求证：y(x)在x=0取极值，并判断是极大值还是极小值，又判断曲线y=y(x)在x=0附近的凹凸性；4. 求证：g(y)=ey+6y在(-∞，+∞)有唯一零点，该零点取负值．5. 求证：y(x)在x=1某邻域是单调下降的．已知通过x轴上的两点A(1，0)，B(3，0)的抛物线y=a(x-1)(x-3)，a为参数．6. 求证：两坐标轴与该抛物线所围成的面积等于x轴与该抛物线所围成的面积；7. 计算上述两个平面图形绕x轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比．8. 设曲线Γ的方程为φ(x，y)=0，其中φ(x，y)有一阶连续偏导数且在Γ上任意点处φ"x(x，y)与φ"y(x，y)不同时为零．设点P(x*，y*)为Γ外一点，(Q在Γ上，坐标为(x0，y0))为点P 到曲线Γ的最短距离．求证：必位于曲线Γ在点Q处的法线．9. 计算10. 有一弹性轻绳(即本身的重量可忽略不计)上端固定，下端悬挂一重量为3克的物体，且已知此绳受一克重量的外力作用时伸长厘米．如果物体在绳子拉直并未伸长时放下，问物体向下运动到什么地方又开始上升?设x∈(-∞，+∞)时f(x)有连续的导数，且又数列{xn}如下定义：x1任意给定，xn+1=f(xn)(n=1，2，3，…)，求证：11. 存在；12. 方程x=f(x)有唯一根．已知齐次方程组Ax=0为又矩阵B是2×4矩阵，Bx=0的基础解系为α1=(1，-2，3，-1)T，α2=(0，1，-2，1)T13. 求矩阵B；14. 若Ax=0与Bx=0同解，求a1，a2，a3，a4的值；15. 求方程组Ax=0满足x3=-x4的所有解．16. 已知矩阵只有2个线性无关的特征向量，求a的值并求A的特征值和特征向量．。
考研数学二模拟题2018年(25)_真题-无答案
考研数学二模拟题2018年(25)(总分100,考试时间90分钟)一、填空题1. 设3阶矩阵，三维列向量α=(a，1，1)T．已知Aα与α线性相关，则a=______．2. 设向量组α1=(a，0，c)，α2=(b，c，0)，α3=(0，a，b)线性无关，则盘a，b，c必满足关系式______．3. 已知向量组α1=(1，2，-1，1)，α2=(2，0，t，0)，α3=(0，-4，5，-2)的秩为2，则t=______．4. 已知R3中的两组基为则由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵为______．二、选择题1. 设A，B都是n阶非零矩阵，且AB=0，则A和B的秩______A. 必有一个等于0．B. 都小于n．C. 一个小于n，一个等于nD. 都等于n．2. 设矩阵Am×n的秩r(A)=m＜n，Em为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是______A. A的任意m个列向量必线性无关．B. A的任意一个m阶子式不等于零．C. 若矩阵B满足BA=0，则B=0．D. A通过初等行变换，必可以化为(Em，0)形式．3. 设矩阵Am×n的秩r(A)=m＜n，Em为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是______A. A的任意m个列向量必线性无关．B. A的任意一个m阶子式不等于零．C. A通过初等行变换，必可以化为(Em，0)形式．D. 非齐次线性方程组Ax=b一定有无穷多组解．4. 设n(n≥3)阶矩阵若矩阵A的秩为n-1，则a必为______A．1．B．C．-1．D．5. 设3阶矩阵，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有______A. a=b或a+2b=0．B. a=b或a+2b≠0．C. a≠b且a+2b=0．D. a≠b且a+2b≠0．6. 设矩阵已知矩阵A相似于B，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于______A. 2．B. 3．C. 4．D. 5．7. 设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位矩阵，则必有______A. ACB=E．B. CBA=E．C. BAC=E．D. BCA=E．8. 设，则必有______A. AP1P2=B．B. AP2P1=B．C. P1P2A=B．D. P2P1A=B．9. 已知，P为3阶非零矩阵，且满足PQ=0，则______A. t=6时P的秩必为1．B. t=6时P的秩必为2．C. t≠6时P的秩必为1．D. t≠6时P的秩必为2．10. 设A为n阶方阵且|A|=0，则______A. A中必有两行(列)的元素对应成比例．B. A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合．C. A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合．D. A中至少有一行(列)的元素全为0．11. 若向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则______A. 口必可由β，γ，δ线性表示．B. β必不可由α，γ，δ线性表示．C. δ必可由α，β，γ，线性表示．D. δ必不可由α，β，γ，线性表示．12. 设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则______A. αm不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．B. αm不能由(Ⅰ)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示．C. αm可由(Ⅰ)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示．D. αm可由(Ⅰ)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示．13. 假设A是n阶方阵，其秩r＜n．那么在A的n个行向量中______A. 必有r个行向量线性无关．B. 任意r个行向量都线性无关．C. 任意r个行向量都构成极大线性无关向量组．D. 任何一个行向量都可以由其他r个行向量线性表示．14. 向量组α1，α2，…，αs线性无关的充分条件是A. α1，α2，…，αs均不为零向量．B. α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例．C. α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示．D. α1，α2，…，αs中有一部分向量线性无关．15. 设α1，α2…αm均为n维列向量，那么，下列结论正确的是______A. 若k1α1+k2α2+…+kmαm=0，则α1，α2，…，αm线性相关．B. 若对任意一组不全为零的数k1，k2，…，km，都有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0，则α1，α2，…，αm线性无关．C. 若α1，α2，…，αm线性相关，则对任意一组不全为零的数k1，k2，…，km都有k1α1+k2α2+…+kmαm=0．D. 若0α1+0α2+…+0αm=0，则α1，α2，…，αm线性无关．16. 设有任意两个n维向量组α1，α2，…，αm和β1，β2，…，βm，若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k1，…，km，使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1-k1)β1+…+(λm-km)βm=0，则______A. α1，α2，…，αm和β1，β1，…，βm都线性相关．B. α1，α2，…，αm和β1，β1，…，βm都线性无关．C. α1+β1，…，αm+βm，α1-β1，…αm-βm线性无关．D. α1+β1，…，αm+βm，α1-β1，…，αm-βm线性相关．17. 设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是______A. α1+α2，α2+α3，α3-α1．B. α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3．C. α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1．D. α1+α2+α3，2α1-3α2+2α3，3α1+5α2-5α3．18. 设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论不正确的是______A. 若对于任意一组不全为零的数忌k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关．B. 若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs=0．C. α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s．D. α1，α2，…，αs性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．19. 设向量组α1=(1，-1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，-2，2，0)，α5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是______A. α1，α2，α3．B. α1，α2，α4．C. α1，α2，α5．D. α1，α2，α4，α5．。
2018考研数学冲刺模拟卷(数学二).doc
2018考研数学冲刺模拟卷（数学二）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） (A)14ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =（2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-=-=且''()0f x <，则（ ）(A)11()0f x dx ->⎰（B ）11()0f x dx -<⎰（C ）11()()f x dx f x dx ->⎰⎰ （D ）11()()f x dx f x dx -<⎰⎰（3）设数列{}n x 收敛，则（ ）（A ）当lim tan 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞= （B）当lim(0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=（C ）当2lim()0n n n x x →∞-=时，lim 0n n x →∞= （D ）当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=（4）微分方程244(1sin 2)xy y y e x '''-+=+的特解可设为*y =（ ）（A ）22(cos 2sin 2)xx Aee B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （C ）222(cos 2sin 2)xx Ax ee B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++（5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂<>∂∂，则（ ）（A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < （6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙超过上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）（A ）010t =（B ）01520t <<（C ）025t =（D ）025t >（7）设A 为m n ´阶矩阵，且()r A m n =<，则下列结论正确的是（ ） （A ）A 的任意m 阶子式都不等于零 （B ）A 的任意m 个列向量线性无关（C ）方程组AX b =一定有无穷多解 （D ）矩阵A 经过初等行变换可化为()m E O （8）设()111,0,2,T c a =，()220,2,1,T c a =，()331,2,3,Tc a =，()41,0,1,0Ta =，其中()1,2,3i c i =为任意实数，则（ ）（A ）1234,,,a a a a 必线性相关 （B ）1234,,,a a a a 必线性无关 （C ）123,,a a a 必线性相关 （D ）234,,a a a 必线性无关二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 曲线21ln(1)x y x e x=++的斜渐近线方程为_______ (10) 设函数()y y x =由参数方程()0sin ttux t e y u e du ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，则220t d y dx ==______ (11)21ln xdx x+∞=⎰_______ (12) 设函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数，且,(1)y y f fye x y e x y∂∂==+∂∂，(0,0)0f =， 则(,)_______f x y =.（13）已知1tan ()x tf x dt t=⎰，则10()______f x dx =⎰.（14）设,a b 为四维非零的正交向量，且TA ab =，则A 的所有特征值为 .三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求极限0limx t x dt du+→⎰⎰设函数()f u 在()0,+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22222212z z z z x y z x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂ +=++ ⎪ ∂∂+∂∂⎝⎭⎝，若()()00,01,f f '==求函数()f u 的表达式.（17）求()()21ln ln limnn k k n k n n →∞=+-∑（18）（本题满分10分）设函数()f x 连续，且()2013arccot 2xtf x t dt x -=⎰.已知()21f =，求()32f x dx ⎰的值.（19）（本题满分10分）设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数，()f x 在区间(0,1)内可导,且2()(),f x f x x'>-试证明在(0,1)内，1()()0x xf x f t dt -=⎰存在唯一实根.（20）（本题满分11分）已知平面区域(){}22,|2,D x y xy x =+≤计算二重积分()21Dy dxdy +⎰⎰。
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2018考研数学冲刺模拟卷（数学二）
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）若函数
在
处连续，则（）
(A)
(B)
(C)
(D)
（2）设二阶可导函数
满足
且
，则（）
(A)
（B）
（C）
（D）
（3）设数列
收敛，则（）
（A）当
时，
（B）当
时，
（C）当
时，
（D）当
时，
（4）微分方程
的特解可设为
（）
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）设
具有一阶偏导数，且对任意的
，都有
，则（）
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线
（单位：
），虚线表示乙的速度曲线
，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙超过上甲的时刻记为
（单位：s），则（）
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）设
为
阶矩阵，且
，则下列结论正确的是（）（A）
的任意
阶子式都不等于零（B）
的任意
个列向量线性无关
（C）方程组
一定有无穷多解（D）矩阵
经过初等行变换可化为
（8）设
，
，
，
，
其中
为任意实数，则（）
（A）
必线性相关（B）
必线性无关
（C）
必线性相关（D）
必线性无关
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) 曲线
的斜渐近线方程为_______
(10) 设函数
由参数方程
确定，则
______
(11)
_______
(12) 设函数
具有一阶连续偏导数，且
，
，
则
.
（13）已知
，则
.
（14）设
为四维非零的正交向量，且
，则
的所有特征值为 .
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）求极限
（16）（本题满分10分）设函数
在
内具有二阶导数，且
满足等式
，若
求函数
的表达式.
（17）求
（18）（本题满分10分）设函数
连续，且
.已知
，求
的值.
（19）（本题满分10分）设
是区间
上的任一非负连续函数，
在区间
内可导,且
试证明在
内，
存在唯一实根.
（20）（本题满分11分）已知平面区域
计算二重积分。
（21）（本题满分11分）设
是区间
内的可导函数，且
，点
是曲线L:
上任意一点，L在点P处的切线与x轴相交于点
，法线与y轴相交于点
，若
，求L上点的坐标
满足的方程。
（22）（本题满分11分）设
均为四维列向量，
，非齐次线性方程组
的通解为
(Ⅰ)求方程组
的通解；
(Ⅱ)求方程组
的通解.
（23）设二次型
的矩阵合同于
.
(Ⅰ)求常数
；(Ⅱ)用正交变换法化二次型
为标准形.。