【金版新学案】高考数学总复习 课时作业19 简单的三角恒等变 换试题 文 新人教A版

课时作业(十九) 简单的三角恒等变换
A 级
1．如果α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.
42
5 B ．－425
C.
32
5
D ．－325
2．(2012·山东卷)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A.3
5 B.45 C.74
D.34
3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2
α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( ) A ．－25
5
B ．－3510
C ．－31010
D.25
5
4．(2013·中山模拟)已知角A 为△ABC 的内角，且sin 2A ＝－3
4，则sin A －cos A ＝( )
A.72
B ．－72
C ．－12
D.12
5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪
a b c
d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，
0<β<α<π
2，则β等于( )
A.π
12 B.π
6 C.π4
D.
π3
6．化简－α1－tan
2
－α
·
sin αcos α
cos 2α－sin 2
α
＝________. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 8．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.
9．化简1＋sin 2θ－cos 2θ
1＋sin 2θ＋cos 2θ
＝________.
10．已知tan α2＝12，求1＋sin 2α
1＋sin 2α＋cos 2α的值．
11．求证：tan α＋1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＝1
cos α.
B 级
1．已知实数a ，b 均不为0，a sin α＋b cos αa cos α－b sin α＝tan β，且β－α＝π6，则b
a
等于( )
A. 3
B.3
3 C ．－ 3
D ．－
33
2．计算：cos 10°＋3sin 10°
1－cos 80°＝________.
3．设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2
x .
(1)求函数f (x )的最大值；
(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－1
4，且C 为锐角，求sin A .
答案：
课时作业(十九)
A 级
1．D ∵sin α＝45，π2＜α＜π，∴cos α＝－35，而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2cos α＝－325.
2．D ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π.
∴cos 2θ＝－1－sin 2
2θ＝－18，
∴sin θ＝
1－cos 2θ2＝3
4
. 3．A 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13.又－π
2<α<0，
所以sin α＝－
10
10
. 故2sin 2
α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4
＝
2sin αα＋cos α22α＋cos α
＝22sin α＝－25
5
.
4．A ∵A 为△ABC 的内角且sin 2A ＝2sin A cos A ＝－3
4<0，
∴sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0. 又(sin A －cos A )2
＝1－2sin A cos A ＝74.
∴sin A －c os A ＝
72
. 5．D 依题意有sin αcos β－cos αsin β ＝sin ()α－β
＝
33
14
，
又0<β<α<π2，∴0<α－β<π
2，
故cos(α－β)＝1－sin
2
α－β＝
13
14
， 而cos α＝17，∴sin α＝43
7，
于是sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αs in(α－β) ＝437×1314－17×3314＝3
2，
故β＝π
3
，选D.
6．解析： 原式＝1
2tan(90°－2α)·1
2sin 2αcos 2α
＝1
2
－2α－2α
·1
2sin 2αcos 2α
＝12cos 2αsin 2α·12sin 2αcos 2α＝14. 答案： 14
7．解析： 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αc os β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，
即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0. 又α、β为锐角，则sin β＋cos β>0， ∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1. 答案： 1
8．解析： 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.
又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π
3.
答案：
π3
9．解析： 原式＝
1＋2sin θ·cos
θ－
－2sin 2
θ
1＋2sin θ·cos θ＋2
θ－
＝2sin θ·cos θ＋2sin 2
θ2sin θ·cos θ＋2cos 2
θ＝2sin θθ＋sin θ2cos θ
θ＋cos θ
＝tan θ.
答案： tan θ
10．解析： ∵tan α2＝12，∴tan α＝2tan
α21－tan 2α
2＝11－
14＝4
3.
∴1＋sin 2α1＋sin 2α＋cos 2α＝sin 2
α＋cos 2
α＋2sin αcos α
2sin αcos α＋2cos 2
α ＝sin α＋cos α2cos α＝tan α＋12＝76
.
11．证明： 左边＝sin αcos α＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π4＋α2sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫π4＋α2
＝sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＋cos αcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α2cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2－αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2
＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π4＋α2cos αsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α2＝1cos α＝右边．
∴原式得证．
B 级
1．B 由β－α＝
π6得β＝α＋π6，∴tan β＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6＝tan α＋
3
3
1－3
3
tan α
＝
3tan α＋33－3tan α＝3sin α＋3cos α3cos α－3sin α与已知比较可设a ＝3t ，b ＝3t ，t ≠0，故b a ＝33，选
B.
2．解析：
cos 10°＋3sin 10°
1－cos 80°
＝＋2sin 2
40°
＝
2sin 40°2sin 40°
＝ 2.
答案：
2
3．解析： (1)f (x )＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x
2
＝12cos 2x －32sin 2x ＋12－12cos 2x ＝12－3
2sin 2x . 所以，当2x ＝－π
2
＋2k π，k ∈Z ，
即x ＝－π4＋k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝1＋3
2.
(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，即12－32sin C ＝－14，
解得sin C ＝
32，又C 为锐角，所以C ＝π3
. 由cos B ＝13求得sin B ＝22
3
.
因此sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝s in B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋3
6.。