直线与圆的方程教学案

教学课题： 直线与圆的方程 课时规划：4

教学目标：掌握圆的方程，直线与圆的位置判断，会求弦长。

教学重点：圆的方程，直线与圆的关系

教学难点：直线与圆的综合应用

教学过程

一、 知识链接（包括学情诊断、知识引入和过渡）

1. 复习直线的方程：点斜式、截距式、两点式、斜截式.；

2. 两点之间的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=.

3. 点到线的距离公式：2200B A C

By Ax d +++=，平行线间的距离公式：2221B A C C d +-=.

4. 过两点1

212222111),(),,(x x y y k y x P y x P --=的直线的斜率公式：. 5. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.

圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ；

当0422 F E D -+时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2

422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2

E D . 当0422

F E D -+时，方程无图形（称虚圆）.

6. 点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.

①M 在圆C 内22020)()(r b y a x -+-⇔

②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔

（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x -+-⇔

7. 直线和圆的位置关系：

设圆圆C ：)0()()(222 r r b y a x =-+-； 直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ；

圆心),(b a C 到直线l 的距离22B A C Bb Aa d +++=

.

① r d =时，l 与C 相切；

② r d 时，l 与C 相交；，有两个交点，

③r d 时，l 与C 相离.

8. 求弦长问题：运用勾股定理和点到直线间的距离解决。

9. 圆与圆的位置关系：设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系满足以下关系：

外离⇔d>R ＋r ； 外切⇔d ＝R ＋r ； 相交⇔R －r

内切⇔d ＝R －r ； 内含⇔d

例1 圆C 经过点A(2，－1)，和直线x + y = 1相切，且圆心在直线y = －2x 上，求圆C 的方程；

例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程

例3 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程

例4 已知圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0，且这个圆经过点A （6，1），求该圆的方程.

例5（10山东理） 已知圆C 过点（1，0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线1:-=x y l 被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 。

三、 易错题点拨（找几个易错的例题讲解，包括疑难辨析，跟进练习） 1.如果实数x 、y 满足等式()2

223x y -+=，那么y x 的最大值是 2. 设P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 .

3.已知P(3，0)是圆x 2+y 2-8x-2y+12=0内一点则过点P 的最短弦所在直线方程是 ，过点P 的最长弦所在直线方程是

4.直线02024322=-+=++x y x y x 与的位置关系为（

）

A 、相切

B 、相交

C 、相离

D 、以上都可能

5、直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ） (A)22 (B)4 (C)24 (D)2

6.过点（3，1）作圆1)1(22=+-y x 作圆的两条切线切点为A ，B ，则直线AB 的方程

（A ）032=-+y x （B ）032=--y x

（C ）034=--y x （D ）034=-+y x

7、过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为__________ 四、拓展练习（题目题型训练）

1、圆心为C(3，－5)，且与直线x －7y + 2 = 0相切的圆的方程为

2、已知圆的方程为x 2 + y 2 = 25，则过点(－3，4)的圆的切线方程为

3.过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是

4.已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程

5. 圆2)4()3(22=++-y x 关于直线0=+y x 的对称圆的方程是

6. 已知圆221:2280C x y x y +++-= 与22

2:210240C x y x y +-+-= 相交于,A B 两点，（1）求公共弦AB 所在的直线方程；

7. 已知圆心在直线2x+y=0上，且过点A （2，－1），与直线x －y －1=0相切，求圆的方程。

五、本堂小节

六、作业布置（根据本堂课所讲内容，进行巩固练习的套题）

1.已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB 为直径的圆的方程为

2. 以点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为:

3. 求与圆:C 0222=+-+y x y x 关于直线01:=+-y x l 对称的圆的方程。

4. 已知点M （－3，－3）的直线l 被圆0214:2

2=-++y y x l 所截得的弦长为54，求直线l 的方程。

5. 圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=的点共有 个

6.设圆上的点(2,3)A 关于直线20x y +=的对称点仍在圆上，且与直线10x y -+=相交的弦长为圆的方程为 .