2018数学复习-第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 (五十九) 二项分布与正态分布

课时达标检测（五十九） 二项分布与正态分布一、全员必做题1．若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是( )A.125729B.80243C.665729D.100243解析：选C 一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－13＝1－49＝59，设X 为3次试验中成功的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，59，故所求概率P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 03×⎝⎛⎭⎫590×⎝⎛⎭⎫493＝665729，故选C. 2．(2017·石家庄模拟)设X ～N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC 中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )附：(随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4)．A ．12 076B ．13 174C ．14 056D ．7 539 解析：选B 由题意得，P (X ≤－1)＝P (X ≥3)＝0.022 8， ∴P (－1<X <3)＝1－0.022 8×2＝0.954 4， ∵P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4，∴1－2σ＝－1，故σ＝1，∴P (0<X <1)＝12P (0<X <2)＝0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为20 000×(1－0.341 3)＝13 174，故选B.3．在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为( )A.14B.89C.116D.532解析：选D 两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1向上，故两次数字乘积为偶数的概率为1－⎝⎛⎭⎫262＝89；若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的情况为(1,2)或(2,1)或(2,2)，概率为13×16×2＋16×16＝536.故所求条件概率为53689＝532.4．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和数学期望． 解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A ，则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1,2,3.又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 的分布列为所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.5．小辛参加某次知识竞赛，对于5道高难度的四选一的选择题，前3道题小辛做对每个题目的概率都为12，后2道题由于不会，就都随便选择一个答案，已知每个题目能否做对是相互独立的．(1)求这5道题目小辛至少做对1道的概率；(2)若用X 表示小辛做对的题目数，试求X 的分布列和数学期望． 解：(1)5道题全做错的概率P ＝⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫342＝9128， 故至少做对1道的概率为1－P ＝1－9128＝119128. (2)由题意可知X 的所有可能的取值为0,1,2,3,4,5. P (X ＝0)＝9128；P (X ＝1)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫342＋⎝⎛⎭⎫123×C 12×14×34＝33128； P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫342＋C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫122×C 12×14×34＋⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫142＝46128＝2364； P (X ＝3)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫142＋C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫121×C 12×14×34＋⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫342＝30128＝1564；P (X ＝4)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫123×C 12×14×34＝9128； P (X ＝5)＝⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫142＝1128. 故X 的分布列为所以E (X )＝0×9128＋1×33128＋2×2364＋3×1564＋4×9128＋5×1128＝2. 二、重点选做题1．为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km /h 的有40人，不超过100 km/h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km /h 的有20人，不超过100 km/h 的有25人．(1)完成下面2×2列联表，并判断有多大的把握认为“平均车速超过100 km/h 与性别有关”？附：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .(2)2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(3)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的车辆数为X ，求X 的分布列和数学期望E (X )．解：(1)完成的2×2列联表如下：K 2＝100×(40×25－15×20)55×45×60×40≈8.249>7.879，所以有99.5%的把握认为“平均车速超过100 km/h 与性别有关”．(2)平均车速不超过100 km/h 的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C 240，记“这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为C 115C 125，所以所求的概率P (A )＝C 115C 125C 240＝15×2520×39＝2552.(3)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的概率为40100＝25，故X ～B ⎝⎛⎭⎫3，25. 所以P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫250⎝⎛⎭⎫353＝27125； P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫25⎝⎛⎭⎫352＝54125； P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫252⎝⎛⎭⎫35＝36125； P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫253⎝⎛⎭⎫350＝8125. 所以X 的分布列为E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65⎝⎛⎭⎫或E (X )＝3×25＝65. 2．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．解：(1)X 可能的取值为10,20,100，－200.根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38， P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18，P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为(2)设“第i i 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512. (3)数学期望E (X )＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明，获得分数X 的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． 三、冲刺满分题1．甲、乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛．双方约定： ①比赛采取五场三胜制(先赢三场的队伍获得胜利，比赛结束)；②双方各派出三名队员，前三场每位队员各比赛一场．已知甲俱乐部派出队员A 1，A 2，A 3，其中A 3只参加第三场比赛，另外两名队员A 1，A 2比赛场次未定；乙俱乐部派出队员B 1，B 2，B 3，其中B 1参加第一场与第五场比赛，B 2参加第二场与第四场比赛，B 3只参加第三场比赛．根据以往的比赛情况，甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如下表：(1)若甲俱乐部计划以3∶012两名队员的出场顺序，使得取胜的概率最大？(2)若A 1参加第一场与第四场比赛，A 2参加第二场与第五场比赛，各队员每场比赛的结果互不影响，设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望E (X )．解：(1)设A 1，A 2分别参加第一场，第二场，则P 1＝56×23×23＝1027，设A 2，A 1分别参加第一场、第二场，则P 2＝34×23×23＝13，∴P 1>P 2，∴甲俱乐部安排A 1参加第一场，A 2参加第二场，则以3∶0取胜的概率最大．(2)比赛场数X 的所有可能取值为3,4,5，P (X ＝3)＝56×23×23＋16×13×13＝718，P (X ＝4)＝56C 12×23×13×23＋16×⎝⎛⎭⎫233＋16C 12×13×23×13＋56×⎝⎛⎭⎫133＝1954，P (X ＝5)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝727，∴X 的分布列为 ∴E (X )＝3×718＋4×1954＋5×727＝20954. 2．某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间相互独立，且都是整数(单位：分钟)．现统计该茶楼服务员以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间t ，结果如表所示．注： (1)求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；(2)用X 表示至第4分钟末服务员已准备好了泡茶工具的顾客数，求X 的分布列及均值． 解：(1)由题意知t 的分布列如下．设A 表示事件“”，则事件A 对应两种情形：①为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟，且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟；②为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟，且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟．所以P (A )＝P (t ＝2)×P (t ＝3)＋P (t ＝3)×P (t ＝2)＝15×310＋310×15＝325.(2)X 的所有可能取值为0,1,2，X ＝0对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间超过4分钟，所以P (X ＝0)＝P (t ＞4)＝P (t ＝6)＝110；X＝1对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间超过2分钟，或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟，或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为4分钟，所以P(X＝1)＝P(t＝2)·P(t＞2)＋P(t＝3)＋P(t＝4)＝15×45＋310＋25＝4350；X＝2对应为两位顾客准备泡茶工具所需的时间均为2分钟，所以P(X＝2)＝P(t＝2)·P(t＝2)＝15×15＝125.所以X的分布列为所以X的均值E(X)＝0×110＋1×4350＋2×125＝4750.。