2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第14章_第75讲_随机变量及其概率分布、超几

【解析】(1)ξ=1 , 2 , 3.
P(ξ=1) =
1
A
1 3
1 3
;
P(ξ=2)=
A
1 2
1
A
2 3
1 3
;
P(ξ=3)=
A
2 2
1
A
3 3
1 3
.
所以ξ的概率分布表是
ξ
1
2
3
P
1
1
1
3
3
3
(2)射球次数ξ的概率分布表是
ξ1 P1
3
2
3
4
5
2 1 ( 2 )2 1 ( 2 )3 1 ( 2 )4 33 3 3 3 3 3
A
1 7
A1 10源自=7 ，P ( X 10
=
2) =
7， 30
P (X
=
3) =
A
2 3
A
1 7
A
3 1
0
=
7 ，P ( X 120
=
4 )＝ 1 - 7 10
7 --
7
＝
1
.
30 120 120
所 以 ， X的 概 率 分 布 表 为
X
1
P7 10
2
3
4
7
7
1
3 0 120
120
超几何分布
【例2】某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加， 其中有5名男同学，3名女同学.因为活动的需要，要 从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊 任务，记其中有X名男同学.
(1)求X的概率分布； (2) 若 X=3 ， 2 ， 1 ， 0 时 ， 该 工 人 将 分 别 获 得 200，100，100，0元的奖励，求该工人所得奖励 Y(元)的概率分布.
【解析】(1)X~B(3 , 0.9), P(X=0)= C300.130.0,01 P(X=1)= C310.90.120.027, P(X=2)= C320.920.10.243, P(X=3)= C330.930.720 .
故X的概率分布表为
X
0
1
2
3
P 0.001 0.027 0.243 0.720
(2)Y可以取0，100，200.
P(Y=0)=P(X=0)=0.001 ,
P(Y=100)=P(X=1)+P(X=2)=0.27,
P(Y=200)=P(X=3)=0.729. 故Y的概率分布表为：
Y
0
100
200
P
0.001 0.27 0.729
1求X的概率分布表； 2求去执行任务的同学中有男有女的概率.
【解析】(1)X~H(3 , 5 , 8)，X可取0，1，
2，3. P(XCC=8333 0)=516
,P(X=C151)=C
2 3
C
3 8
15 56
P(X所=2以)=X的C 52C概83C 31率 分1258 布, 表P(为X=3)=
C
243
解 析 ： PX2C 5 2(1 3)3(3 2)22 4 4 0 3
古典概型的随机变量 的概率分布
【例1】袋子中有1个白球和2个红球.
1每次取1个球，不放回，直到取到白球为止.
求取球次数的概率分布；
2每次取1个球，放回，直到取到白球为止，
但抽取次数不超过5次.求取球次数的概率分布；
(3)每次取1个球，放回，共取5次.求取到白球次 数ξ的概率分布.
【变式练习2】老师要从10篇课文中随机抽 取3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2 篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇， 试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率 分布表；
(2)他能及格的概率.
【解析】(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，
则随机变量X可取的值为0，1，2，3，且X服从
超几何分布.
3 5
C
3 5
5 28
， .
X
0
1
2
3
1 P
15
15
5
56
56
28
28
(2)去执行任务的同学中有男有女的概 率为P(X=1)+P(X=2)= 15 15 45 .
56 28 56
超几何分布中的概率问题属于古典 概型的范畴，这类问题在古典概型中 占较大的比例，因而归纳为一种常用 的概率分布.用好超几何分布的概率公 式有助于提高正确率，缩减思维量.
1 若该硬币均匀，试求P1与P2； 2若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为p(0
p
1 2
)，试比较P1与P2的大小．
【解析】1抛掷硬币一次正面向上的概率为P 1 ，
2 所以正面向上的次数为奇数的概率为
P1 P15 1 P15 3 P15 15
根据公式P(X=m)= C
m M
C
nm N M
算出其相应
C
n N
的概率，得X的概率分布表为
X
0
1
2
3
1
3
1
1
P 30
10
2
6
(2)他能及格的概率为 P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=
11 2 26 3
.
二项分布
【例3】某工人生产的产品的正品率是0.9，从该
工人生产的产品中任抽3件检验，记其中的正品的 件数为X.
4.已知随机变量X的分布列为：
5 则P(|X-3|=1)= ___1 _2 ___ .
解析：由1m1 1 1得，m 1.
3 46
4
所以P X 3 1 PX 2PX 4
11 5 . 4 6 12
5.一次测量中出现正误差和负误差的概率分别 是2，1，在5次测量中恰好2次出现正误差的概
33 率是 4 0 (用分数作答)．
(3)因为ξ~B (5 ,
1
3 ),
所以P(ξ=k)=
C5k
(1)k 3
( 2)5k ,
3
其中k=0
,
1
,
2
,
3 , 4 , 5.
求随机变量的分布列，一要注意弄清什 么是随机变量，建立它与随机事件的关系； 二要把随机变量的所有值找出，不要遗漏； 三是准确求出随机变量取每个值的概率.对于 抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别.
【解析】1由题意知，
P(X＝2)
A31 A11 A2
n3
3n n 3n 2
7， 30
化简得7n2-55n42=0，即(7n-6)(n-7) 0.
因为nN*，所以n 7.
【 解 析 】 2 由 题 意 知 ， X 的 可 能 取 值 为 1 , 2 , 3 , 4 ，
所 以 P (X
= 1) =
同样是建立在独立重复试验上，X 服从二项分布，而Y不服从二项分布， 只有在独立重复试验中反映事件 A 在 n 次试验中发生的次数的随机变量才服 从二项分布，注意区分.
【变式练习3】将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷
互不影响．记正面向上的次数为奇数的概率为P1， 正面向上的次数为偶数的概率为P2.
【 变 式 练 习1】 口 袋 中 有 n(n N * )个 白 球 ，3个 红 球 ． 依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么 继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白 球 ， 就 停 止 取 球 ． 记 取 球 的 次 数 为 X .若 P ( X 2)＝ 7 ， 求 ：
30
1 n的 值 ； 2 X的概率分布表．