数学建模与数学实验课后习题答案

P59
4.学校共1002名学生，237人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。

学生要组织一个10人的委员会，使用Q 值法分配各宿舍的委员数。

解:设P 表示人数，N 表示要分配的总席位数。

i 表示各个宿舍（分别取A,B,C ），i p 表示i 宿舍现有住宿人数，i n 表示i 宿舍分配到的委员席位。

首先，我们先按比例分配委员席位。

A 宿舍为:A n =
365.2100210
237=⨯
B 宿舍为:B n =323.3100210
333=⨯
C 宿舍为:C n =311.41002
10
432=⨯
现已分完9人，剩1人用Q 值法分配。

5.9361322372
=⨯=A Q
7.9240433332
=⨯=B Q
2.93315
44322
=⨯=C Q
经比较可得，最后一席位应分给A 宿舍。

所以，总的席位分配应为：A 宿舍3个席位，B 宿舍3个席位，C 宿舍4个席位。

商人们怎样安全过河
由上题可求：4个商人，4个随从安全过河的方案。

解：用最多乘两人的船，无法安全过河。

所以需要改乘最多三人乘坐的船。

如图所示，图中实线表示为从开始的岸边到河对岸，虚线表示从河对岸回来。

商人只需要按照图中的步骤走，即可安全渡河。

总共需要9步。

P60
液体在水平等直径的管内流动，设两点的压强差ΔP 与下列变量有关：管径d,ρ,v,l,μ,管壁粗糙度Δ，试求ΔP 的表达式
解：物理量之间的关系写为为()∆=∆,,,,,μρϕl v d p 。

各个物理量的量纲分别为
[]32-=∆MT L p ，[]L d =，[]M L 3-=ρ，[]1-=LT v ，[]L l =，[]11--=MT L μ，
Δ是一个无量纲量。

⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⨯031010001111001002
111317
3A
其中0=Ay 解得
()T
y 00012111---=，
()T
y 00101102--=，
()T
y 01003103--=，
()T
y 10000004=
所以
l v d 2111---=ρπ，μρπ112--=v ，p v ∆=--313ρπ，∆=4π
因为()0,,,,,,=∆∆p l v d f μρ与()0,,,4321=ππππF 是等价的，所以ΔP 的表达式为：
()213,ππψρv p =∆
P77
1. 在一块边长为m 6的正方形空地上建造一个容积为350m ，深m 5的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为137元和100元，那么水池的最低总造价为多少元？
设:建立优化模型。

v 表示为水池容积，h 表示为水池深度，1C 表示水池池底每平方米造价，
2C 表示水池池壁每平方米造价，Z 表示总造价，x 表示池底长度，y 表示池底宽度。

解:建立模型:)(221y x h C C h
v
Z +⋅⋅+=
，其中35≥x ，6≤x 。

代入数值，可化简为:x
x Z 10000
10001370+⨯+=，)635(≤≤x
模型求解:使用matlab 编程求解可得: function f=fun(x)
f=1370+1000*x+10000/x; end
x=5/3:0.1:6;
fplot('fun',[5/3,6])
[x,fval]=fminbnd('fun',5/3,6) A=vpa(fval,6)
其中a 的结果为A = (sym) 7694.56
所以水池的最低总造价为7694.56元
2. 对边长为m 2的正方形铁板，在4个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，则该如何剪使水槽的容积最大？
设:建立优化模型。

v 表示体积，l 表示正方体的边长，x 表示剪去的正方体的边长。

解:建立模型:x x l v ⋅-=2
)2(，其中0>x ，1<x 。

代入数值，可化简为:x x x v 4842
3
+-=。

其中)10(<<x 。

模型求解:使用matlab 编程求解可得: function f=fun(x)
f=-(4*x^3-8*x^2+4*x); end
x=0:0.01:1; fplot('fun',[0:1])
[x,fval]=fminbnd('fun',0:1) a=vpa(x,6) b=vpa(fval,6)
其中a 与b 的值分别为a =0.333320，b =-0.592593
所以水槽的容积最大0.592593立方米。

3. 生产某种电子原件，如果生产一件合格品，可获利200元，如果生产一件次品则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是37
43+⋅⋅=
x x
p
)(︒∈N x 。

(1)、将该产品的日盈利额t （元）表示为日产量x 的函数 (2)、为获最大利润，该厂的日产量应定为多少件？
设:建立优化模型。

x 表示日生产量。

1C 表示为生产一件合格品的获利金额。

2C 表示为生产一件次品损失的金额。

t 表示为日盈利额。

解:建立模型:xp C p x C t 21)1(+-=。

代入数值，可化简为37
433002002
+⋅-=x x x t 。

模型求解:使用matlab 编程求解可得:
function f=fun(x)
f=-(200*x-900*x^2/(4*x+37)); end
x=0:100;
fplot('fun',[0,100])
[x,fval]=fminbnd('fun',0,100)
其中的结果为: x =18.5000,fval =-925.0000;
所以为获最大利润，该厂的日产量应定为19件.
1、某饲养场用n 种原料配合成饲料喂鸡，为了让鸡生长得快，对m 种营养成分有一个最低标准，即对m i ， ,2,1=,要求第i 种营养成分在饲料中的含量不少于i b ，若每单位的第j 种原料中含第i 种营养成分的量为ij a ，第j 种原料的单价为j c ，问应如何配制饲料才能是成本最低？
解：设原料中j 的量为j x ,j c 为第j 种原料的单价,j b 为第i 种营养成分在饲料中的含量的最低值,z 为配制饲料的最低成本。

目标函数为： Min z =j j n
j c x *∑=1
S.t. i ij n
j b a ≥∑=1
，i =1,2,3,...m
0≥j x ,j =1,2,3,...n
2、拟分配甲，乙，丙，丁4人去做4项工作，每人做且仅做一项。

他们做各自工作的御用天数见下表，应如何分配才能是总用工天数最少？ 天数 工作 1 2 3 4 甲 10 9 7 8 乙 5 8 7 7 丙 5 4 6 5 丁
2
3
4
5
解:设i =1,2,3,4分别对应甲乙丙丁，j =1,2,3,4分别对应工作1,2,3,4，其中1=ij x 表示第i 名工人做了第j 分工作，0=ij x 表示第i 名工人没做第j 分工作，ij c 表示第i 名工人做了第j 分工作的天数，z 表示为总用工天数的最小值。

目标函数为: Min ∑∑==*=
414
1
j ij i ij
c x
z
S.t.
4,3,2,1,14
1==∑=j x
i ij
4,3,2,1,14
1
==∑=i x
j ij
()1,0∈ij x
工人
3、某校经预赛选出A ，B ，C ，D 4名学生。

将派他们去参加该地区各学校之间的竞赛，此次竞赛的4门功课考试将在同一时间进行，因而每人只能参加一门比赛，比赛结果将以团队总分计名次（不计个人名次）。

设下表是4名学生选拔时的成绩，应如何组队较好？
课程
数学
物理
化学
外语
A 90 95 78 83
B 85 89 73 80
C 93 91 88 79 D
79
85
84
87
解:设i =1,2,3,4分别分别对应同学A,B,C,D ，j =1,2,3,4分别对应数学，物理，化学，外语，其中1=ij x 表示选了第i 名同学的第j 门课程，0=ij x 表示不选择第i 名同学的第j 门课程，
ij c 表示第i 名同学做了第j 门功课的成绩，z 表示为成绩之和的最大值。

目标函数为: Max ∑∑==*=
414
1
j ij i ij
c x
z
S.t.
4,3,2,1,14
1==∑=j x
i ij
4,3,2,1,14
1
==∑=i x
j ij
()1,0∈ij x
8、要从宽度分别为3 m 和5 m 的B1型和B2型两种标准卷纸中，沿着卷纸伸长的方向切割出宽度分别为1.5 m ，2.1 m 和2.7 m 的A1型、A2型和A3型3种卷纸3000 m ，10000 m 和6000 m 。

如何切割才能使耗费的标准卷纸的面积最少？ 解:找出切割的各种方案； 方案 标准卷纸类型
1.5
2.1 2.7 余料 1 B1 2 0 0 0 2 0 1 0 0.9 3 0 0 1 0.3 4 B2 3 0 0 0.5 5 1 1 0 1.4 6 1 0 1 0.8 7 0 2 0 0.8 8
1
1
0.2
学生
设821....,x x x 分别表示方案1到方案8，z 表示剩下的余料面积。

目标函数为:
Min 8765432*2.0*8.0*8.0*4.1*5.0*3.0*9.0x x x x x x x z ++++++= S.t 3000)*3*2(*5.16541≥+++x x x x
10000*2*1.28752≥+++）（x x x x
6000)(*7.2863≥++x x x
0,...
,821≥x x x
9、某储蓄所每天的营业时间是 9:00--17:00。

根据经验，每天不同时间段所需要的服务员人数见表5.27。

表5.27 不同时间段所需要的服务员数量 时间段/h 9-10
10-11
11-12
12-13
13-14
14-15
15-16
16-17
服务员人数
4
3
4
6
5
6
8
8
储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员，全时服务员每天报酬100元，从9:00--17:00工作，但12:00--14:00之间必须安排1h 的午餐时间。

储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4h ，报酬40元。

该储蓄所应如何雇佣全时和半时服务员？如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？
解:设雇佣的全日制服务员为a 人，在12:00到13:00吃饭的全日制服务员为b 人，在13:00到14:00吃饭的全日制服务员为c 人。

54321,,,,x x x x x 分别表示9点，10点，11,点，12点，13点上班的半日制服务员人数，z 表示雇佣的最少费用。

目标函数为:
Min )(*40*10054321x x x x x a z +++++= S.t 41≥+x a 321≥++x x a 4321≥+++x x x a 64321≥++++x x x x c 55432≥++++x x x x b
6543≥+++x x x a
854≥++x x a 85≥+x a
3
54321≤++++x x x x x
c b a +=
P153
4.某工厂生产两种标准件，A 种标准件每个可获利0.3元，B 中标准件每1x 个可获利0.15元。

若该厂仅生产一种标准件，每天可生产A 种标准件800个或B 种标准件1200个，但A 种标准件还需要某种特殊处理，每天最多处理600个，A,B 标准件最多每天包装1000个。

该厂应如何安排生产计划，才能使每天获利最大？
解:先设:1x 为生成标准件A 的件数，2x 为生成标准件B 的件数，3x 为特殊处理的标准件A 的件数。

z 为每天的获利。

建立模型:
Max 2315.03.0x x z *+*= S.t 8001≤x 12002≤x 6003≤x 13x x ≤ 100032≤+x x
7.已知某厂3名工人生产5种产品的有关参数见下表：
原料
单位消耗
产品 A B C D E 限额/kg 甲 0.1 0 0.2 0.3 0.1 600 乙 0.2 0.2 0.1 0 0.3 500 丙 0 0.3 0 0.2 0.1 300 单价/元
4
3
6
5
8
（1）、求最优生产方案； （2）、根据市场情况，计划A 至少生产500件，求相应生产方案。

（3）、因E 滞销，计划停产，求相应生产方案。

（4）、根据市场情况，限定C 不超过1640件，求相应生产方案。

（5）、若限定原料价需要剩余至少50kg ，求相应的生产方案。

（6）、若限定生产A 至少1000件，生产B 至少200件，求相应生产方案。

解:设:1x 为生产的产品A 的件数，2x 为生产的产品B 的件数，3x 为生产的产品C 的件数，
4x 为生产的产品D 的件数，5x 为生产的产品E 的件数。

z 为工厂的获利。

（1）、建立模型：Max 54321*8*5*6*3*4x x x x x z ++++= S.t 600*1.0*3.0*2.00*1.05431≤++++x x x x 500*3.00*1.0*2.0*2.05321≤++++x x x x 300*1.0*2.00*3.00542≤++++x x x
（2）、建立模型: Max 54321*8*5*6*3*4x x x x x z ++++= S.t 600*1.0*3.0*2.00*1.05431≤++++x x x x 500*3.00*1.0*2.0*2.05321≤++++x x x x 300*1.0*2.00*3.00542≤++++x x x 5001≥x
（3）、建立模型: Max 4321*5*6*3*4x x x x z +++= S.t 600*3.0*2.00*1.0431≤+++x x x 5000*1.0*2.0*2.0321≤+++x x x 300*2.00*3.0042≤+++x x
（4）、建立模型: Max 54321*8*5*6*3*4x x x x x z ++++= S.t 600*1.0*3.0*2.00*1.05431≤++++x x x x 500*3.00*1.0*2.0*2.05321≤++++x x x x 300*1.0*2.00*3.00542≤++++x x x 16403≤x
（5）、建立模型: Max 54321*8*5*6*3*4x x x x x z ++++=
S.t 550*1.0*3.0*2.00*1.05431≤++++x x x x 500*3.00*1.0*2.0*2.05321≤++++x x x x 300*1.0*2.00*3.00542≤++++x x x （6）、建立模型: Max 54321*8*5*6*3*4x x x x x z ++++= S.t 600*1.0*3.0*2.00*1.05431≤++++x x x x 500*3.00*1.0*2.0*2.05321≤++++x x x x 300*1.0*2.00*3.00542≤++++x x x 10001≥x 2002≥x
11.某公司将甲、乙、丙、丁4种不同含硫量的液体原料混合生产A ，B 两种产品。

按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A 、B 。

已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3%，1%，2%，1%，进货价格分别为6, 16, 10, 15（千元/t ）；产品A 、B 的含硫量本别不能超过2.5%，1.5%，售价分别为9, 15（千元/t ）。

根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50T ，产品A 、B 的市场需求分别为100t ，200t 。

应如何安排生产？
解:设:i 为原料甲乙丙丁，表示为4,3,2,1=i 。

j 为产品A,B ，表示为2,1=j 。

z 表示为公司盈利。

建立模型:
Max ∑∑∑∑∑∑======----+=2
1
421
321
221
141
24
1
1
*15*10*16*6*15*
9j j j j j j j j i i i i x x x x x x
z
S.t ∑=≤+++4
11
41312111*
025.0*01.0*02.0*01.0*03.0i i x
x x x x
∑=≤+++4
1
2
42322212*015.0*01.0*02.0*01.0*03.0i i x
x x x x
504241≤+x x
1004
11
≥∑=i i x
2004
1
2
≥∑=i i x
P205
1、1972年发掘长沙市东郊马王堆一号汉墓时，对其棺外主要用以防潮吸水用的木炭分析了它含14
C 的量约为大气中的0.7757倍，据此，你能推断出此女尸下葬的年代吗？已知
14C 的半衰期为5730年。

解:设:t 为死后年数，y 为14
C 的量。

建立微分方程模型：
5730
y
dt dy -
= 解得：
5730
t
ce
y -
=
在带入初值得：
5730
0*t e
y y -
=
当0*7757.0y y =,求得t =1455.359。

所以该女尸的下葬年代因为：公元517年左右。

2、表7.5是美国1790~1980年每隔10年的人口记录。

年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 人口（610⨯）
3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 年份 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 人口（610⨯）
31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 年份
1930
1940
1950
1960
1970
1980
人口（610⨯） 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5
参照油气产量和可采储量的预测问题，用这些数据检验Malthus 人口指数增长模型和Logistic 模型，根据检验结果进一步讨论人口模型的改进。

解: 模型一：Malthus 人口指数增长模型的假设： 1、人口的增长率为常数，记为r
2、记时刻t 的人口为)(t x ，初始时刻的人口为0x 模型建立：
微分方程为：⎪⎩
⎪⎨⎧==0)0(x
x rx d d t x
有
rdt x d x = 两端积分，并结合初值条件得：)(00)
(t t r e x t x -=
模型二：Logistic 模型人口阻滞增长模型的假设： 1、人口增长率是当时人口数x 的递减函数)(x r 2、m x 表示资源资源和环境条件下的最大人口容量 3、r 表示固有增长率 模型建立：
设ax r x r -=)(，m
x r
a =
所以有)1()(m
m x x r x x r r x r -=-
= 用)(x r 代替Malthus 人口指数增长模型中的r ：
)0()1(0⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=x
x x x x r dt
dx
m 求方程的解为：rt
m m
e x x
x t x --+=
)1(1)(0。