数学建模与数学实验课后习题答案

P59

4.学校共1002名学生，237人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生要组织一个10人的委员会，使用Q 值法分配各宿舍的委员数。

解:设P 表示人数，N 表示要分配的总席位数。i 表示各个宿舍（分别取A,B,C ），i p 表示i 宿舍现有住宿人数，i n 表示i 宿舍分配到的委员席位。

首先，我们先按比例分配委员席位。

A 宿舍为:A n =

365.2100210

237=⨯

B 宿舍为:B n =323.3100210

333=⨯

C 宿舍为:C n =311.41002

10

432=⨯

现已分完9人，剩1人用Q 值法分配。

5.9361322372

=⨯=A Q

7.9240433332

=⨯=B Q

2.93315

44322

=⨯=C Q

经比较可得，最后一席位应分给A 宿舍。

所以，总的席位分配应为：A 宿舍3个席位，B 宿舍3个席位，C 宿舍4个席位。

商人们怎样安全过河

由上题可求：4个商人，4个随从安全过河的方案。

解：用最多乘两人的船，无法安全过河。所以需要改乘最多三人乘坐的船。

如图所示，图中实线表示为从开始的岸边到河对岸，虚线表示从河对岸回来。商人只需要按照图中的步骤走，即可安全渡河。总共需要9步。

P60

液体在水平等直径的管内流动，设两点的压强差ΔP 与下列变量有关：管径d,ρ,v,l,μ,管壁粗糙度Δ，试求ΔP 的表达式

解：物理量之间的关系写为为()∆=∆,,,,,μρϕl v d p 。 各个物理量的量纲分别为

[]32-=∆MT L p ，[]L d =，[]M L 3-=ρ，[]1-=LT v ，[]L l =，[]11--=MT L μ，

Δ是一个无量纲量。

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⨯031010001111001002

111317

3A

其中0=Ay 解得

()T

y 00012111---=，

()T

y 00101102--=，

()T

y 01003103--=，

()T

y 10000004=

所以

l v d 2111---=ρπ，μρπ112--=v ，p v ∆=--313ρπ，∆=4π

因为()0,,,,,,=∆∆p l v d f μρ与()0,,,4321=ππππF 是等价的，所以ΔP 的表达式为：

()213,ππψρv p =∆

P77

1. 在一块边长为m 6的正方形空地上建造一个容积为350m ，深m 5的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为137元和100元，那么水池的最低总造价为多少元？

设:建立优化模型。v 表示为水池容积，h 表示为水池深度，1C 表示水池池底每平方米造价，

2C 表示水池池壁每平方米造价，Z 表示总造价，x 表示池底长度，y 表示池底宽度。

解:建立模型:)(221y x h C C h

v

Z +⋅⋅+=

，其中35≥x ，6≤x 。

代入数值，可化简为:x

x Z 10000

10001370+⨯+=，)635(≤≤x

模型求解:使用matlab 编程求解可得: function f=fun(x)

f=1370+1000*x+10000/x; end

x=5/3:0.1:6;

fplot('fun',[5/3,6])

[x,fval]=fminbnd('fun',5/3,6) A=vpa(fval,6)

其中a 的结果为A = (sym) 7694.56

所以水池的最低总造价为7694.56元

2. 对边长为m 2的正方形铁板，在4个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，则该如何剪使水槽的容积最大？

设:建立优化模型。v 表示体积，l 表示正方体的边长，x 表示剪去的正方体的边长。 解:建立模型:x x l v ⋅-=2

)2(，其中0>x ，1

代入数值，可化简为:x x x v 4842

3

+-=。其中)10(<

模型求解:使用matlab 编程求解可得: function f=fun(x)

f=-(4*x^3-8*x^2+4*x); end

x=0:0.01:1; fplot('fun',[0:1])

[x,fval]=fminbnd('fun',0:1) a=vpa(x,6) b=vpa(fval,6)

其中a 与b 的值分别为a =0.333320，b =-0.592593

所以水槽的容积最大0.592593立方米。

3. 生产某种电子原件，如果生产一件合格品，可获利200元，如果生产一件次品则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是37

43+⋅⋅=

x x

p

)(︒∈N x 。

(1)、将该产品的日盈利额t （元）表示为日产量x 的函数 (2)、为获最大利润，该厂的日产量应定为多少件？

设:建立优化模型。x 表示日生产量。1C 表示为生产一件合格品的获利金额。2C 表示为生产一件次品损失的金额。t 表示为日盈利额。

解:建立模型:xp C p x C t 21)1(+-=。代入数值，可化简为37

433002002

+⋅-=x x x t 。

模型求解:使用matlab 编程求解可得:

function f=fun(x)

f=-(200*x-900*x^2/(4*x+37)); end

x=0:100;

fplot('fun',[0,100])

[x,fval]=fminbnd('fun',0,100)

其中的结果为: x =18.5000,fval =-925.0000;

所以为获最大利润，该厂的日产量应定为19件.