11.示范教案(2.3.4 平面与平面垂直的性质)

2.3.4 平面与平面垂直的性质整体设计教学分析空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：（1）它是立体几何中最难、最“高级”的定理.(2)它往往又是一个复杂问题的开端，即先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题.因此，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理. 三维目标1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能力.2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力.3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 重点难点教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 课时安排 1课时教学过程复习（1）面面垂直的定义.如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直. （2）面面垂直的判定定理. 两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 两个平面垂直的判定定理符号表述为：⇒⎭⎬⎫⊂⊥αβAB AB α⊥β.两个平面垂直的判定定理图形表述为：图1导入新课思路1.(情境导入)黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 思路2.(事例导入)如图2，长方体ABCD —A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平面ABCD 垂直,直线A′A 垂直于其交线AD.平面A′ADD′内的直线A′A 与平面ABCD 垂直吗？图2推进新课 新知探究 提出问题①如图3,若α⊥β,α∩β=CD,AB ⊂α,AB ⊥CD,AB∩CD=B. 请同学们讨论直线AB 与平面β的位置关系.图3②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明.③设平面α⊥平面β,点P ∈α,P ∈a,a ⊥β,请同学们讨论直线a 与平面α的关系. ④分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点. ⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀.活动:问题①引导学生作图或借助模型探究得出直线AB 与平面β的关系. 问题②引导学生进行语言转换.问题③引导学生作图或借助模型探究得出直线a 与平面α的关系.问题④引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点. 问题⑤引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀.讨论结果：①通过学生作图或借助模型探究得出直线AB 与平面β垂直,如图3. ②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图4.图4两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⋂⊥=⋂⊂⊥B CD AB CDAB CD AB βααβαAB ⊥β.两个平面垂直的性质定理证明过程如下：图5如图5，已知α⊥β,α∩β=a,AB ⊂α，AB ⊥a 于B. 求证：AB ⊥β.证明：在平面β内作BE ⊥CD 垂足为B,则∠ABE 就是二面角αCDβ的平面角.由α⊥β,可知AB⊥BE.又AB⊥CD，BE与CD是β内两条相交直线,∴AB⊥β.③问题③也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为：求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.下面给出证明.如图6,已知α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.求证：a⊂α.图6证明：设α∩β=c，过点P在平面α内作直线b⊥c，∵α⊥β,∴b⊥β.而a⊥β，P∈a,∵经过一点只能有一条直线与平面β垂直,∴直线a应与直线b重合.那么a⊂α.利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b，不易想到，二是证明直线b和直线a 重合，相对容易些.点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上.④我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁，而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最重要的定理.⑤应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.应用示例思路1例1 如图7，已知α⊥β，a⊥β,a⊄α,试判断直线a与平面α的位置关系.图7解:在α内作垂直于α与β交线的垂线b,∵α⊥β,∴b⊥β.∵a⊥β,∴a∥b.∵a⊄α,∴a∥α.变式训练如图8,已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线b.求证：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ.图8 图9证明：如图9,(1)设α∩γ=AB ，β∩γ=AC.在γ内任取一点P 并在γ内作直线PM ⊥AB ，PN ⊥AC. ∵γ⊥α，∴PM ⊥α.而a ⊂α，∴PM ⊥a. 同理,PN ⊥a.又PM ⊂γ，PN ⊂γ，∴a ⊥γ.(2)在a 上任取点Q ，过b 与Q 作一平面交α于直线a 1，交β于直线a 2.∵b ∥α，∴b ∥a 1. 同理,b ∥a 2.∵a 1、a 2同过Q 且平行于b ，∴a 1、a 2重合.又a 1⊂α，a 2⊂β，∴a 1、a 2都是α、β的交线，即都重合于a. ∵b ∥a 1，∴b ∥a.而a ⊥γ，∴b ⊥γ. 点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑利用性质定理，其口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.例2 如图10，四棱锥P —ABCD 的底面是AB=2，BC=2的矩形，侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD.图10 图11（1）证明侧面PAB ⊥侧面PBC ；（2）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角； （3）求直线AB 与平面PCD 的距离. （1）证明：在矩形ABCD 中，BC ⊥AB,又∵面PAB ⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB,∴BC ⊥侧面PAB. 又∵BC ⊂侧面PBC,∴侧面PAB ⊥侧面PBC.（2）解：如图11,取AB 中点E ，连接PE 、CE,又∵△PAB 是等边三角形,∴PE ⊥AB. 又∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，∴PE ⊥面ABCD. ∴∠PCE 为侧棱PC 与底面ABCD 所成角. PE=23BA=3,CE=22BC BE +=3, 在Rt △PEC 中，∠PCE=45°为所求. （3）解：在矩形ABCD 中，AB ∥CD,∵CD ⊂侧面PCD ，AB ⊄侧面PCD ，∴AB ∥侧面PCD. 取CD 中点F ，连接EF 、PF ，则EF ⊥AB. 又∵PE ⊥AB,∴AB ⊥平面PEF.又∵AB ∥CD, ∴CD ⊥平面PEF.∴平面PCD ⊥平面PEF. 作EG ⊥PF ，垂足为G ，则EG ⊥平面PCD. 在Rt △PEF 中，EG=530=∙PF EC PE 为所求.变式训练如图12，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成60°角，侧面BCC 1B 1⊥面ABC.求平面AB 1C 1与底面ABC 所成二面角的大小.图12活动:请同学考虑面BB 1C 1C ⊥面ABC 及棱长相等两个条件，师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线.解：∵面ABC ∥面A 1B 1C 1，则面BB 1C 1C∩面ABC=BC,面BB 1C 1C∩面A 1B 1C 1=B 1C 1,∴BC ∥B 1C 1，则B 1C 1∥面ABC. 设所求两面交线为AE ，即二面角的棱为AE, 则B 1C 1∥AE ，即BC ∥AE.过C 1作C 1D ⊥BC 于D ，∵面BB 1C 1C ⊥面ABC, ∴C 1D ⊥面ABC ，C 1D ⊥BC. 又∠C 1CD=60°,CC 1=a,故CD=2a,即D 为BC 的中点. 又△ABC 是等边三角形,∴BC ⊥AD. 那么有BC ⊥面DAC 1,即AE ⊥面DAC 1. 故AE ⊥AD ，AE ⊥AC 1,∠C 1AD 就是所求二面角的平面角. ∵C 1D=23a ，AD=23a ，C 1D ⊥AD,故∠C 1AD=45°. 点评:利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键.思路2例1 如图13，把等腰直角三角形ABC 沿斜边AB 旋转至△ABD 的位置，使CD=AC,图13（1）求证：平面ABD ⊥平面ABC ； （2）求二面角CBDA 的余弦值. （1）证明：(证法一):由题设,知AD=CD=BD,作DO ⊥平面ABC ，O 为垂足，则OA=OB=OC. ∴O 是△ABC 的外心，即AB 的中点. ∴O ∈AB ，即O ∈平面ABD.∴OD 平面ABD.∴平面ABD ⊥平面ABC. (证法二):取AB 中点O ，连接OD 、OC,则有OD ⊥AB ，OC ⊥AB ，即∠COD 是二面角CABD 的平面角.设AC=a ，则OC=OD=a 22, 又CD=AD=AC,∴CD=a.∴△COD 是直角三角形，即∠COD=90°. ∴二面角是直二面角，即平面ABD ⊥平面ABC.（2）解:取BD 的中点E ，连接CE 、OE 、OC,∵△BCD 为正三角形，∴CE ⊥BD. 又△BOD 为等腰直角三角形,∴OE ⊥BD.∴∠OEC 为二面角CBDA 的平面角. 同（1）可证OC ⊥平面ABD,∴OC ⊥OE.∴△COE 为直角三角形. 设BC=a ，则CE=23a ，OE=21a,∴cos ∠OEC=33=CE OE 即为所求. 变式训练如图14，在矩形ABCD 中，AB=33,BC=3，沿对角线BD 把△BCD 折起，使C 移到C′，且C′在面ABC 内的射影O 恰好落在AB 上.图14（1）求证：AC′⊥BC′；（2）求AB 与平面BC′D 所成的角的正弦值； （3）求二面角C′BDA 的正切值.（1）证明：由题意,知C′O ⊥面ABD,∵C′O ⊂ABC′, ∴面ABC′⊥面ABD.又∵AD ⊥AB,面ABC′∩面ABD=AB,∴AD ⊥面ABC′.∴AD ⊥BC′. ∵BC′⊥C′D,∴BC′⊥面AC′D.∴BC′⊥AC′.(2)解:∵BC′⊥面AC′D,BC′⊂面BC′D,∴面AC′D ⊥面BC′D.作AH ⊥C′D 于H,则AH ⊥面BC′D,连接BH,则BH 为AB 在面BC′D 上的射影, ∴∠ABH 为AB 与面BC′D 所成的角.又在Rt △AC′D 中,C′D=33,AD=3,∴AC′=32.∴AH=6.∴sin ∠ABH=32=AB AH ,即AB 与平面BC′D 所成角的正弦值为32. (3)解:过O 作OG ⊥BD 于G,连接C′G ,则C′G ⊥BD,则∠C′GO 为二面角C′BDA 的平面角. 在Rt △AC′B 中,C′O=6''=∙ABBC AC ,在Rt △BC′D 中,C′G=233''=∙BD D C BC .∴OG=22C G C '-'=23.∴tan ∠C′GO=22'=OG O C ,即二面角C′BDA 的正切值为22.点评:直线与平面垂直是立体几何的核心,它是证明垂直问题和求二面角的基础,因此利用平面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线,就显得非常重要了. 例2 如图15,三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=BB 1=1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角，求二面角BB 1CA 的正弦值.图15活动:可以知道，平面ABC 与平面BCC 1B 1垂直，故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线.解：由直三棱柱性质得平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，过A 作AN ⊥平面BCC 1B 1，垂足为N ，则AN ⊥平面BCC 1B 1（AN 即为我们要找的垂线）,在平面BCB 1内过N 作NQ ⊥棱B 1C ，垂足为Q ，连接QA ，则∠NQA 即为二面角的平面角. ∵AB 1在平面ABC 内的射影为AB ，CA ⊥AB ， ∴CA ⊥B 1A.AB=BB 1=1，得AB 1=2.∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角，∴∠B 1CB=30°，B 1C=2. 在Rt △B 1AC 中，由勾股定理,得AC=2.∴AQ=1. 在Rt △BAC 中，AB=1，AC=2，得AN=36. sin ∠AQN=AQ AN =36, 即二面角BB 1CA 的正弦值为36. 变式训练如图16，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC=22，M 为BC 的中点. (1)证明：AM ⊥PM ；(2)求二面角PAMD 的大小.图16 图17(1)证明：如图17,取CD 的中点E ，连接PE 、EM 、EA, ∵△PCD 为正三角形,∴PE ⊥CD ，PE=PDsin ∠PDE=2sin60°=3. ∵平面PCD ⊥平面ABCD,∴PE ⊥平面ABCD. ∵四边形ABCD 是矩形,∴△ADE 、△ECM 、△ABM 均为直角三角形. 由勾股定理可求得EM=3，AM=6，AE=3,∴EM 2+AM 2=AE 2.∴AM ⊥EM.又EM 是PM 在平面ABCD 上的射影,∴∠AME=90°.∴AM ⊥PM. (2)解:由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM, ∴∠PME 是二面角PAMD 的平面角. ∴tan ∠PME=33EM PE =1.∴∠PME=45°. ∴二面角PAMD 为45°.知能训练课本本节练习. 拓展提升(2007全国高考,理18)如图18,在三棱锥S —ABC 中,侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,∠BAC=90°,O 为BC 中点. (1)证明SO ⊥平面ABC;(2)求二面角ASCB 的余弦值.图18 图19(1)证明：如图19,由题设,知AB=AC=SB=SC=SA.连接OA,△ABC 为等腰直角三角形,所以OA=OB=OC=22SA,且AO ⊥BC.又△SBC 为等腰三角形,故SO ⊥BC,且SO=22SA. 从而OA 2+SO 2=SA 2.所以△SOA 为直角三角形,SO ⊥AO.又AO∩BC=O,所以SO ⊥平面ABC.(2)解:如图19,取SC 中点M,连接AM 、OM,由(1),知SO=OC,SA=AC,得OM ⊥SC,AM ⊥SC. 所以∠OMA 为二面角ASCB 的平面角.由AO ⊥BC,AO ⊥SO,SO∩BC=O,得AO ⊥平面SBC. 所以AO ⊥OM.又AM=23SA,故 sin ∠AMO=3632==AMAO. 所以二面角ASCB 的余弦值为33. 课堂小结知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. 作业课本习题2.3 B 组3、4.设计感想线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，尤其是线面垂直问题是立体几何的核心，一个立体几何问题能否解决往往取决于能否作出平面的垂线；面面垂直的性质定理恰好能解决这个问题，因此它是高考考查的重点，本节不仅选用了大量经典好题，还选用了大量的2007高考模拟题以及最新2007全国各地高考真题，相信能够帮助大家解决立体几何中的重点难点问题.。