第三节 用正交变换化二次型
线性代数课件-用正交变换化二次型为标准化
1 1 T , ) , 2 2
20 (1, 0, 0)T ,
30 (0,
1 1 T , ) . 2 2
故所求的正交变换矩阵为 0 Q=
1 2 1 2
1 0
0
1 2
且
1Leabharlann 021 0 0 Q 1AQ = 0 2 0 . 0 0 5
从而可取特征向量 p 1= (0, 1, 1)T 及与 p1 正交的另一特征向量 p2 = (4, 1, 1)T.
上一页
对于 3 = 9,
8 2 2 A E 2 5 4 2 4 5 2 4 5 0 9 9 , 0 0 0
1 2
2
1 2
0
1 2
例4
2 2 已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 5x12 5x2 cx3 2x1 x2 6x1 x3 6x2 x3 的秩为 2,
(1) 求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2) 指出方程 f (x1, x2, x3) = 1 表示何种二次曲面.
对应于 对应于 对应于 特征值 特征值 特征值 1 2 5
定理 5
任意一个 n 元实二次型
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX aij xi x j ,
T
n
n
都存在正交变换 X = QY 使得
i 1 j 1
2 2 X T AX 1 y12 2 y 2 n y n ,
第三节 用正交变换化二次型为标准化
一、实对称方阵的对角化
定理1 实对称方阵的特征值都是实数 .
上一页
例1
02-用正交变换化二次型为标准形
§5 二次型及其标准形二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形f (x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )=a 11x 12+a 22x 22+⋅⋅⋅+a nn x n2+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+⋅⋅⋅+2a n -1,n x n -1x n令a ij =a ji ,则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅n nn n n n n n n x x x a a a a a aa a a x x x x x x f ), , ,(), , ,(212122221112112121. 实二次型与实对称矩阵之间存在一一对应的关系.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅n nn n n n n n n x x x a a a a a aa a a x x x x x x f ), , ,(), , ,(212122221112112121. 因此,二次型可记作f =x T Ax ,其中A 是一个实对称矩阵.实对称矩阵A 叫做二次型f 的矩阵,f 也叫做实对称矩阵A 的二次型.实对称矩阵的秩就叫做二次型f 的秩.对于二次型，寻找可逆的线性变换11111221221122221122,,.n n n n nn m nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩简记为x = C y ，于是f =x T Ax =(C y )T A (C y )=y T (C T AC )y使二次型只含平方项，即标准形f = k 1y 12+ k 2y 22+ … + k n y n 2说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围.二次型f =x T Ax 在可逆线性变换x =Cy 下,有合同矩阵:若存在可逆矩阵C ,使B =C T AC ,=y T (C T AC )y .=(Cy )T A (Cy ) f =x T Ax 则称矩阵A 与B 合同.显然，☐B T = (C T AC )T = C T A T (C T )T = C T AC = B 即若A 为对称阵，则B 也为对称阵．☐R (B ) = R (A ) ．由此可知,经可逆变换x=Cy后,二次型f的矩阵由A变为与A合同的矩阵C T AC,且二次型的秩不变.若二次型f 经过可逆变换x = C y 变为标准形，即222()()()TT TT f x Ax Cy A Cy y C AC y ===1122112212(,,,)n nn n n k y k y k y k y k y y y y k y =+++⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭问题：对于对称阵A，寻找可逆矩阵C，使C T AC为对角阵（把对称阵合同对角化）．定理：设A 为n 阶对称阵，则必有正交阵P，使得P−1AP= P T AP= Λ，其中Λ是以A的n个特征值为对角元的对角阵（不唯一）.定理：任给二次型f (x)=x T Ax（其中A = A T），总存在正交变换x= P y，使f化为标准形f(P y) = λ1y12+ λ2y22+ … + λn y n2其中λ, λ2, … , λn是f的矩阵A的特征值．1推论：任给二次型f (x )=x T Ax （其中A = A T ），总存在可逆变换x = C z ，使f (C z )为规范形．证明：f (P y ) = λ1y 12+ λ2y 22+ … + λn y n 2若R (A ) = r ，不妨设λ1,λ2,…, λr 不等于零，λr +1= … = λn =0.12,,|k i r k ⎛⎫⎪≤⎪=⎪ 其中令则K 可逆，变换y = Kz 把f (P y )化为f (PKz ) = (PKz )T A (PKz ) = z T K T P T APKz = z T K T ΛKz其中|=, 1,.i i n K k i r k λ⎨ ⎪> ⎪⎩⎝⎭1212,,,,0,,0||||||Trr K K diag λλλλλλ⎛⎫Λ=⎪⎝⎭将二次型化为标准形的问题，可以转化为将二次型的对称矩阵的对角化问题.。
线性代数 用正交变换法换二次型为标准型.ppt
X1 CY1, X2 CY2时， X1, X2 Y1,Y2
③线性变换X=CY把Rn中的标准正交基变成标准正交基.
证明（循环证明过程）：
(1) (2) : 因为X=CY为正交变换，故矩阵C为正交矩阵
当 1 时， I A X 0 的基础解系 2 0,1,1T
当 1 时， I A X 0 的基础解系 3 0,1,1T
1,2 ,3 两两相互正交，单位化得
1 1,0,0T
2
1 0,1,1T
2
3
1 0,1,1T
2
令正交矩阵C
1
C 0
0 1
0 1
0
则正交变换为X=CY
2 2
1 2
1 2
故结论成立. 定理：对n阶实对称矩阵A，必存在正交矩阵C，使
1
CT
AC
C 1 AC
2
成立.
n
证明：（利用数学归纳法+标准正交向量组的性质）
详见课本179-180证明过程。
注：实对称阵一定有n个标准正交的特征向量。
上述定理的等价描述：
定理（主轴定理）：实二次型 f X T AX 必可由正交
0 2 λ-1 2 0 0 0 λ+1
11
1
1 2 0 1 2
0 2 1
(1 )2 (2 2 3) (1 )2 ( 3)( 1) 0
得A的特征值 1 3,2,3,4 1
3）当 3 时，特征向量为 1 1,1,1,1T
对其单位化
1
1 2
1, 1, 1,1T
用正交变换化二次型为标准形
3
3
xi2 yi2，知该正交变换将 f 化为标准形
i 1
i 1
f 2 y12 2 y22 7 y32 k( y12 y22 y32 )
(2 k) y12 (2 k) y22 (7 k) y32 为使二次型正定，按定理2，必有
2k 0
2
k
0
7 k 0
6.2 正定二次型与正定矩阵
一、惯性定理 二、正（负）定二次型的概念 三、正（负）定二次型的判别 四、小节、思考题
一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的， 但标准形中所含有的项数是确定的， 项数等于二次型的秩．
下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f
1 y12
n
y
2 n
.
例 将二次型
f 17 x12 14 x22 14 x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形，并问 f 2表示 什么曲面？
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
17 2 2 A 2 14 4
二、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次型 f ( x) xT Ax, 如果对任何 x 0,
(1) f ( x) 0,则称 f 是正定二次型，对应的 实对称矩阵A为 正定矩阵.
(2) f ( x) 0,则称 f 是负定二次型，对应的 实对称矩阵A为 负定矩阵.
(3) f ( x) 0则称此二次型为半正定二次型，对应的 实对称矩阵为半正定矩阵. (4) f ( x) 0则称此二次型为半负定二次型，对应的 实对称矩阵为半负定矩阵.
线性代数 用正交变换法换二次型为标准型-PPT文档资料
C , C , L C 是标准正交向量组（Page105, ch3-例27） 1 2 n
⑤ 若A、B为正交矩阵，则它们的乘积矩阵AB 也是正交矩阵． 二、正交变换 正交变换：设C为正交矩阵，X和Y是欧氏空间Rn中的n 维向量，则线性变换X=CY是Rn上的正交变换． 注：正交变换是一个非退化的线性变换。 正交变换的性质： 定理：设X=CY是欧氏空间Rn上的线性变换，则下列命题 等价： ① 线性变换X=CY为正交变换； ②在线性变换X=CY下，向量的内积不变，即： X C Y , X C Y 时 ， X , X Y , Y 1 1 2 2 1 2 1 2 ③线性变换X=CY把Rn中的标准正交基变成标准正交基.
线性变换将其化为标准形。 问题：任一二次型能否通过正交变换将其化为标准形？
上述问题的等价描述：对于一实（Rn）对称矩阵A,能否
找到一正交矩阵C,使得
1 T 1 2 CA C C A C 成 立 . O n 注：上式表明用正交矩阵所得的矩阵合同即为矩阵的相似. 故标准形应该由矩阵的特征值 i 决定，且正交矩阵C的
对应 1 , 2 的特征向量，则 A X X , i 1 , 2 i i i
又因 T X , X A X , X X A X X , A X X , X 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
X , X 0 X , X 0 1 21 2 1 2
故结论成立. 定理：对n阶实对称矩阵A，必存在正交矩阵C，使
1 T 1 2 CA C CA C 成 立 . O n 证明：（利用数学归纳法+标准正交向量组的性质）
正交变换法化二次型为标准型技巧
正交变换法化二次型为标准型技巧正交变换法化二次型为标准型技巧
正交变换法是一种有效的数学方法，它可以将一般形式的二次型变换为标准型。
通常，将一般形式的二次型变换为标准型，有助于求解二次型问题。
怎样将一般形式的二次型变换为标准型呢？将正交变换法化二次型为标准型的
技巧可以概括为两个步骤：第一步是要把原来的不规则二次型变换为一致的标准型；第二步是要把这一标准型变换过程中的参数化为正交变换的取值。
具体而言，要把原来的不规则二次型变换为一致的标准型，首先要取f(x, y) = ax + by + c为原来型式中参数系数，把x', y'取为标准型形式中系数，把r, a, b取为原来型式中系数，把A, B, C取为标准型形式中的系数，这样原来的不
规则二次型就被转变成标准型。
然后，我们可以把此标准型变换之后的参数量化为正交变换系数，即：A = ax + by + c, B = ay - bx + c, C = -(ax - by + c), D = -axy + bx^2 + cx。
通
过将原来的不规则二次型参数转换成正交变换参数，就可以把任意二次型变换为标准型。
经过上述两步，正交变换法可以有效地将一般形式的二次型变换为标准型形式，其精准性和有效性在求解二次型问题上非常有用。
正交变换化二次型为标准型
正交变换化二次型为标准型
假设我们有一个二次型函数Q(x) = x^T A x，其中A是一个n×n的实对称矩阵。
我们希望找到一个正交变换使得变换后的二次型能够写成标准型。
步骤如下：
1. 求出矩阵A的特征值和特征向量。
设λ1, λ2, ..., λn为A的特征值，v1,
v2, ..., vn为对应的特征向量。
2. 归一化特征向量，使得每个特征向量的长度为1。
3. 将归一化后的特征向量按列组成一个正交矩阵P=[v1 v2 ... vn]。
4. 计算变换矩阵P^T A P，将二次型Q(x) = x^T A x变换为Q'(y) = y^T (P^T A P) y。
注意：以上步骤中，P^T表示矩阵P的转置，而P^(-1)表示P的逆矩阵。
这样，通过进行正交变换，我们可以将任意实对称矩阵表示的二次型化为标准型。
第三节 用正交变换化二次型
1 0 ξ 2 = 0 , ξ 3 = 1 . ξ 2与ξ 3 恰好正交 , 0 1
所以 ξ1 , ξ 2 , ξ 3两两正交 .
ξi (i = 1,2,3)得 再将 ξ1 , ξ 2 , ξ 3单位化 , 令η i = ξi
共轭复向量于是有ax是实数由此可得所以定理1的意义以取实向量从而对应的特征向量可是实系数方程组线性方程组所以齐次为实数的特征值由于对称矩阵是对应的特征向量的两个特征值是对称矩阵对角矩阵个特征值为对角元素的是以其中则必有正交矩阵阶对称矩阵证明
第三节 用正交变换化二次型 为标准型
对于二次型，我们讨论的主要问题是： 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． x1 = c11 y1 + c12 y 2 + L + c1n y n , x = c y + c y + L+ c y , 21 1 22 2 2n n 设 2 LLLLLLLLLLLLL x n = c n1 y1 + c n 2 y 2 + L + c nn y n
X 1T β 2 X 2T β 2 X NhomakorabeakT β 2
X 1T β k T X 2 βk T X k βk
L b1k L b2 k = B, 其中X 1T X j = 0, j = 2,3,L k O M L bkk
B与A合同，所以也是对称矩阵，且B与A有相同的特征值 λ1 0 L 0 0 b22 L b2 k λ1 0
T 2
0 λ1 λ = = 0 QT B Q 1 k −1 1
线性代数第2版课件-用正交变换化 二次型为标准形
2
4 −14
从而得特征值 1 = 9, 2 = 3 = 18.
用正交变换化二次型为标准形
例1
将二次型 f = 17 x12 + 14 x22 + 14 x32 − 4 x1x2 − 4 x1x3 − 8x2 x3
通过正交变换化为标准形
解
写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 1 = 9, 2 = 3 = 18.
分析 分析 f ( x1, x2, x3 ) = 1 表示何种二次曲面？
正交变换为 x = Qy，
f = 17 x12 + 14 x22 + 14 x32 − 4 x1x2 − 4 x1x3 − 8x2 x3 = 9 y12 + 18 y22 + 18 y32 17 x12 + 14 x22 + 14 x32 − 4 x1x2 − 4 x1x3 − 8x2 x3 = 1 ---椭球
2. 求出A的所有特征值 1,2 , ,n; 3. 求出对应于特征值的特征向量 1,2 , ,n; 4. 将特征向量 1,2 , ,n 正交化，单位化，得， 1,2 , ,n
记 Q = (1,2 , ,n );
5. 作正交变换 x = Qy ，则得 f 的标准形 f = 1 y12 + + n yn2
4)．将正交向量组单位化，得正交矩阵Q 令
i
=
i i
,
(i = 1, 2,3) ,
得
1
=
1 2 2
3 3, 3
2
=
−2 5
1 5 ,
0
3
−2
=
−4545 Fra bibliotek45 . 45
1 3 −2 5
正交变换化二次型
11.15 第十五讲
化实二次型为标准形
一.相似矩阵与相似变换 二. 实对称矩阵的对角化 三. 利用正交变换化二次型
为标准形
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想要解决的问题
给定实二次型 f (x) xT Ax
求正交变换 x Py
正交变换的优点: 保向量长度不变
f 1y12 2 y22 n yn2 ①
424
r
计算
x0021
得基础解系:
1
p1
2 0
,
0 p2 12
1 0 x02
2 等价方程组:
00x3
2x1 x2 2x3 0 自由未知量 : x1, x3
0 2
4
12
1
5
PT AP
注意: 特征值与 特征向量的排列 顺序应一致
第四步. 写出正交变换 x Py 和二次型的标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2
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例1. 设 为对角阵.
解:
求一个正交阵P, 使
(4 )(2 3 4)
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三. 利用正交变换化实二次型为标准形
求 第一步. 由特征方程
求出 A 的所有特征值
正
交 矩
第二步. 求每一特征值 k 对应的正交规范特征向量系
阵
即 (1) 求
的基础解系
和
对
(2) 用施米特正交化法将其正交规范化
角
阵 第三步. 以所得n个正交规范特征向量为列构成矩阵P,
课件：化二次型为标准形
解
可将 f 化为标准形: 所用变换矩阵为
2. 若二次型中不含有平方项, 但有 aij 0 (i j ),
则先作可逆变换
化二次型为含有平方项的二次型再按 1 中方法配方.
例4 化二次型 并求所用的变换矩阵.
为标准形,
例4 化二次型 并求所用的变换矩阵.
解
为标准形,
可将 f 化为标准形:
由 f 的标准形可知A的特征值为:
对 1=1, 对 2 = 0,
对 3 = 4,
故所求正交阵为 P = (P1, P2, P3)
二、拉格朗日配方法
1. 若二次型含有 xi 的平方项, 则先把含有 xi 的乘积项 先集中, 然后配方, 再对其余的变量同样进行,直到都配 成平方项为止.
例3 用配方法化二次型为标准形, 并求所用变换矩阵.
2. 求出矩阵 A 的所有特征值: 1, 2, , n. 3. 对每个 =i 求出对应方程(AE)x=0的基础
解系, 并正交、单位化得: P1, P2, ,Pn. 4. 得正交矩阵: P = (P1, P2, ,Pn). 5. 正交变换 x = Py 将 f 化为标准形:
例1 求一个正交变换 x = Py, 将二次型 f 化为标准形. 解 f 的矩阵为:
§5.2 化二次型为标准形
一、用正交变换化二次型为标准形 二、拉格朗日配方法
一、用正交变换化二次型为标准形
对于二次型, 我们讨论的主要问题是: 寻求可逆的线性变换, 将二次型化为标准形.
由上可知: 即寻找可逆矩阵 C 使 CTAC 为对角阵. 此问题称为把对称阵 A 合同对角化.
设对称阵 A 的n个特征值为: 1, 2, , n, 对角阵 = diag ( 1, 2, , n), 则总存在正交阵 P 使得 P 1AP= , 即 PTAP= .
5_3用正交变换化二次型为标准形
1 1 T η1 = (0, − , ) 2 2
对于λ2=λ3=4 ，解方程组 (4E-A)X=0 （注意求基础解系的过程） 注意求基础解系的过程）
0 4- 4 0 4E−A = 0 4-3 0-1 3 0 0-1 4-3 0 0 0 = 0 1 -1 0 -1 1 0 0 0 → 0 1 -1 1 0 0 0
2 x1 3 1 x2 = x 3 3 2 3 2 2 0 − 2 2 2 6 y 1 2 2 − y2 3 2 y3 6
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例2. 已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 4 x12 + 3x22 + 3x32 + 2ax2 x3 (a > 0) 2 2 f = 2 y12 + 4 y2 + 4 y3 , 通过正交变换X=PY化为标准形
2 令 3 1 P = (η1 ,η2 ,η3 ) = 3 2 3
2 2 0 − 2 2
2 6 2 2 − 3 2 6
将二次型 f ( x1 , x 2 , x 3 ) 化为标准形式
2 2 f = −2 y12 + 7 y2 + 7 y3
则通过正交变换
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例2. 已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 4 x12 + 3x22 + 3x32 + 2ax2 x3 (a > 0) 2 2 f = 2 y12 + 4 y2 + 4 y3 , 通过正交变换X=PY化为标准形
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λ1 b12 0 b22 = M M 0 b k2
记C = (c ij ), 则上述可逆线性变换可 记作
将其代入 f = X T AX , 有
f = X T AX = (CY )T A(CY ) = Y T (C T AC )Y .
X = CY
说明
1. 二次型经可逆变换 X = CY 后 , 其秩不变 , 但 f 的矩阵由 A 变为 B = C T AC ; 2 . 要使二次型 f 经可逆变换 X = CY 变成标准形 , 就是要使
由于 ξ1 , ξ 2 , ξ 3是属于 A的3个不同特征值 λ1 , λ2 ,
λ3的特征向量 , 故它们必两两正交 .
ξi , i = 1,2,3. 令 ηi = ξi
第四步 将特征向量单位化
− 2 3 23 得 η1 = 2 3 , η 2 = 1 3 , −1 3 − 2 3
AP = A( X 1 , X 2 ,L, X k ) = ( AX 1 , AX 2 ,L, AX k ) = (λ1 X 1 , AX 2 ,L, AX k ) 设AX 2 = β 2 , AX 3 = β 3 ,L, AX k = β k , 那么AP = (λ1 X 1 , β 2 ,L β k )
证明 λ1 p1 = Ap1 , λ2 p2 = Ap2 , λ1 ≠ λ2 ,
Q A对称, A = A ,
T
∴ λ1 p = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p A = p A,
T 1 T T
T 1
T
T 1
于是
⇒
λ1 p p2 = p Ap2 = p (λ2 p2 ) = λ2 p p2 , T (λ1 − λ2 ) p1 p2 = 0.
1 η3 = 2 2 − 2 2 1 1 1 2 , 作 P = (η1 , η 2 , η 3 ) = 2 3 − 1 − 2 2 则 4 0 0 −1 P AP = 0 1 0 . 0 0 − 2
3 3 . 3
T 1 T 1 T 1
T 1
Q λ1 ≠ λ2 , ∴ p1T p2 = 0. 即p1与p2正交 .
定理 3. 设A为n阶对称矩阵 , 则必有正交矩阵 P, 使P −1 AP = Λ , 其中 Λ 是以 A的 n 个特征值为对角元素的 对角矩阵 .
证明： 证明：利用归纳法证明。
当n=1 时，A是一阶矩阵，λ＝A, 对于实数P=1,P-1=PT, P-1AP = PTAP = λ 假设n＝k-1阶对称矩阵A，可以找到正交矩阵P1, 使
定理4 定理4
任给二次型
f ( x1 , x 2 , L x n ) = ∑ ∑ a ij x i x j
i =1 j =1
n
n
(a ij = a ji )
总有正交变换 X = PY 使 f 化为标准形
f ( x1 , x2 , L xn ) = λ y + λ2 y + L + λn y = Y ΛY
4 0 0 ( 2) A = 0 3 1 0 1 3 4−λ 0 A − λE = 0 3−λ 0 1
1 = (2 − λ )(4 − λ ) , 3−λ
2
0
得特征值 λ1 = 2, λ2 = λ3 = 4.
0 对 λ1 = 2,由( A − 2 E )X = 0, 得基础解系 ξ1 = 1 − 1 对 λ2 = λ3 = 4,由( A − 4 E )X = 0, 得基础解系
2 x1 + 2 x2 = 0 − 2 2 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 0 解之得基础解系 ξ1 = 2 . − 1 2x + 4x = 0 2 3 对 λ2 = 1,由( A − E )X = 0, 得
− x1 + 2 x2 = 0 2 x1 + 2 x3 = 0 2x + x = 0 2 3
0 1 0 η1 = 1 2 , η2 = 0 , η3 = 1 2 . − 1 2 0 1 2
于是得正交阵
1 0 0 P = (η1 ,η 2 ,η 3 ) = 1 2 0 1 2 − 1 2 0 1 2 2 0 0 −1 P AP = 0 4 0 . 0 0 4
1 0 ξ 2 = 0 , ξ 3 = 1 . ξ 2与ξ 3 恰好正交 , 0 1
所以 ξ1 , ξ 2 , ξ 3两两正交 .
ξi (i = 1,2,3)得 再将 ξ1 , ξ 2 , ξ 3单位化 , 令η i = ξi
2 1 1 2 2 2 n T
其中
Λ = diag (λ1 , λ 2 L λ n )
λ1 , λ 2 L λ n 是二次型 f 的矩阵 A = ( a ij ) 的特征值
二、利用正交矩阵将对称矩阵 对角化的方法
根据上述结论， 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为 为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值; 2. 由( A − λi E )X = 0, 求出A的特征向量; 3. 将特征向量正交化 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化 将特征向量单位化.
第三节 用正交变换化二次型 为标准型
对于二次型，我们讨论的主要问题是： 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． x1 = c11 y1 + c12 y 2 + L + c1n y n , x = c y + c y + L+ c y , 21 1 22 2 2n n 设 2 LLLLLLLLLLLLL x n = c n1 y1 + c n 2 y 2 + L + c nn y n
0 −2 A − λE = − 2 1 − λ − 2 = (4 − λ )(λ − 1)(λ + 2) = 0 0 −2 −λ 得 λ1 = 4, λ2 = 1, λ3 = −2.
2−λ
( 第二步 由 A− λi E)X = 0, 求出A的特征向量 对 λ1 = 4,由( A − 4 E )X = 0, 得
2 解之得基础解系 ξ 2 = 1 . − 2
对 λ3 = −2,由( A + 2 E )X = 0, 得
1 − 4 x1 + 2 x2 = 0 2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 0 解之得基础解系ξ 3 = 2 . 2 2x − 2x = 0 2 3 第三步 将特征向量正交化
Y T C T ACY = k 1 y12 + k 2 y 22 + L + k n y n2
k1 = ( y1 , y 2 ,L , y n )
k
2
O
y 1 y 2 M , k n y n
也就是要使C T AC成为对角矩阵。
线性方程组 ( A − λ i E)x = 0 是实系数方程组 ,由 A − λ i E = 0知必有实的基础解 系, 从而对应的特征向量可 以取实向量 .
根据第五章的结果，n阶矩阵A有n个特征值，且都是实数
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
T
T
两式相减， 两式相减，得
(λ − λ )X
T
T
X = 0.
n n 2
但因为 X ≠ 0,
所以 X X = ∑ xi xi = ∑ xi ≠ 0, ⇒ (λ − λ ) = 0,
i =1 i =1
即 λ = λ , 由此可得 λ是实数 .
定理1 定理1的意义 由于对称矩阵 A的特征值 λ i 为实数 , 所以齐次
取正交矩阵P2
1 0 P2 = 0 Q 1
0 1 0 0 1 0 λ1 0 Q = 0 QT B 0 Q Bk −1 1 k −1 1 1
1
1 0 λ1 P BP2 = 0 QT 0 1
对应的特征向量, 即 AX = λX , X ≠ 0.
用 λ 表示λ的共轭复数, X 表示X的 共 复 量 轭 向 ,
则 A X = A X = ( AX ) = (λX ) = λ X .
于是有
T
X T AX = X T ( AX ) = X T λX = λX T X ,
T T
= λX T X. 及 X AX = (X A )X = ( A X ) X = (λ X ) X
对下列各实对称矩阵， 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P ， P −1 AP 为对角阵 为对角阵. 使 2 −2 0 4 0 0 (1) A = − 2 1 − 2 , ( 2) A = 0 3 1 0 −2 0 0 1 3 解 (1)第一步 求 A 的特征值 第一步
X 1T β 2 X 2T β 2 X kT β 2
X 1T β k T X 2 βk T X k βk
L b1k L b2 k = B, 其中X 1T X j = 0, j = 2,3,L k O M L bkk