北师大版高一数学第一学期期末试题及答案
北师大版高一数学上学期期末测试卷1
221俯视图左视图主视图高一必修1+必修2数学检测试题一、选择题（60分） 1 设集合{}{}|lg(1)0,|2,x A x x B y y x R =+<==∈，则A B =I （ ）A ．),0(+∞B （－1，0）C （0，1）D φ2. 设集合A 和集合B 都是自然数集N ，映射:f A B →把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n n +，则在映射f 下，像20的原像是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 3. 直线L1:ax+3y+1=0, L2:2x+(a+1)y+1=0, 若L1∥L2,则a 的值为( ) A ．-3 B ．2 C ．-3或2 D ．3或-2()()()4..,3.,C e D e +∞2函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是( )xA.(1,2)B.2,e5、三个数23.0=a ，3.0log 2=b ，3.02=c 之间的大小关系是（ ）A ．a < c < bB ．a < b < cC ． b < a < cD ． b < c < a6. 若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若，m βαβ⊆⊥，则m α⊥ B ．若m αγ=I n βγ=I ，m n ∥，则αβ∥ C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥ D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥7．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 （ ）A ．(25)π+ B.π4C ． (222)π+ D. 6π8．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2 B.154 C.174 D ．a 29．函数()2xx f x x=⋅的图像大致形状是10．正四棱台的上、下两底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则四棱台的高为( )5711、设函数f(x)是R 上的偶函数，且在()+∞,0上是减函数，若,01<x 且021>+x x ，则 A 、)()(21x f x f -> B 、)()(21x f x f -=- C 、)()(21x f x f -<- D 、不能确定12. 两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y+c=0上，则m+c 的值为（ ） A ．－1 B ．2 C ．3 D ．0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213.若直线y ＝x ＋m 和曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则m 的取值范围是________．14．设函数(]812,,1,()log ,(1,).x x f x x x -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩则满足41)(=x f 的x 值为________; 15一个正四面体的顶点都在一个球面上，已知这个球的表面积为π3,则正四面体的边长_______。
数学北师大版高中必修1高一期末考试卷
北师大期末卷一、选择题（5分×12=60分）则C R（A∩B）=（）1．己知A=｛y|y=10x｝ B=｛∪（10，＋∞）选D【解析】A=｛y|y＞0｝ B=｛x|x≤10｝∴A∩B=｛x|0＜x≤10}∴C R（A∩B）=｛x|x≤0或x＞10｝.2．设f、g都是由A到A的映射,其对应法则如下表（以上到下）：表1 映射f的对应法则表2 映射g的对应法则则与f[g（2）]相同的是（）A．g[f（1）] B．g[f（2）] C．g[f（3）] D．g[f（4）]选B【解析】∵f[g（2）]=f（3）=2 而g[f（2）] =g（4）=2∴g[f（2）] = f[g（2）] 故选B3．函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的解析式为（）A．f（x）=（x＋1）2（2－x）B．f（x）=（x＋1）2（x＋2）C．f（x）=－（x＋1）2（x＋2D．f（x）=（x＋1）2（x－2）选A【解析】观图知x＞2时 f（x）＜0；－1＜x＜2时f（x）＞0；x＜－1时f（x）＞0验证,在A中，f（3）＜0，f（0）＞0，f（－2）＞0∴f（x）=（x＋1）2（2－x）4．己知a、b是异面直线,直线c∥a那c与b（）A．一定是异面直线 B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线选C5．与两条直线3x＋2y－4=0, 3x＋2y＋8=距离相等的点的集合是（）A．3x＋2y－2=0 B．3x＋2y＋2=0 C．3x＋2y±2=0 D．以上都不对答案：B【解析】设所求直线为3x ＋2y ＋C=0∴C=2 选B6．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm ）则该几何体的表面积及体积分别为（ ）A ．24πcm 212πcm 3B ．15πcm 212πcm 3C ．24πcm2 36πcm 3D ．以上都不正确 选A【解析】该几何体为圆锥,其直观图如图所示∵高 h=4∴S=21×2π·3·5＋π·32=24πV=31π·32·4=12π 7．在圆x 2＋y 2=4上与直线4x ＋3y －12=0距离最短的点是（ ）A ．（58，56） B ．（58，－56） C ．（－58，56） D ．（－58，－56）选Ah5 3【解析】过圆心（0,0）作直线4x ＋3y －12=0的垂线,垂线方程为y －0=43（x －0），即y=43x ①直线①与圆的交点就是所要求的点,解方程组223y=x 4x +y =4⎧⎪⎨⎪⎩，解得8x=x 56y=5⎧⎪⎨⎪⎩或8x=x 56y=5⎧-⎪⎨⎪-⎩点（－85，－65）是与直线4x ＋3y －12=0距离最远的点,而点（85，65）是与直线4x ＋3y －12=0距离最短的点,故应选A8．己知f （x ）=(){a3a 1x 4a,(x 1)log x,(x 1)-+＜≥是（－∞，＋∞）上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，31） C ．[ 71，31） D ．[71，1）选C【解析】∵x ≥1时,f （x ）=log a x 单调递减，∴0＜a ＜1 x ＜1时,f （x ）=（3a －1）x ＋4a 单调递减，故a ＜13又函数在定义域上连续，故当x=1时（3a －1）x ＋4a ≥log a x 得a ≥17综上17≤a ＜13选C ．9．己知a ＞0且a ≠1函数y=a x与y=log a （－x ）的图象可能是（ ）答案：B【解析】y=log a （－x ）与y=log a x 的图象关于y 轴对称若a ＞1则B 符合条件，若0＜a ＜1则无选择项符合各条件, 故选B10．长方体的一个顶点上三条棱长分别为3，4，5且它的八个顶点都是在同一球面上的点,这个球的表面积是（ ） A ．202π B ．252π C ．50πD ．200π选C【解析】由题长方体的对角线正好是外接球的直径． ∵d=222543++=52 ∴R=2d =225∴S=4πR2=4π（225）2=50π11．己知二次函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ＞0）和一次函数g （x ）=kx ＋m 若f （－b 2a）＜g （－b 2a）则这两函数图象的交点个数为 个（ ）A ．0B ．1C ．2D ．0或1 选C【解析】∵f （－b 2a）＜g （－b 2a）；∴直线g （x ）=kx ＋m 上必有一点A 在抛物线 内部（如图）（1）若k=0，则显然g （x ）=m 与x 轴平行必交抛物线于两点（2）若k ≠0，由于“指数爆炸”的性质,直线与抛物线除了一个交点B 外,必有另一个交点,故选C12．直线y=x ＋b 与曲线1个公共点,则b的取值范围是（ ） A ．．－1＜b ≤1且b=C ．－1≤b ≤1D ．非A,B,C 的结论选B【解析】将曲线x 2＋y 2=1（x ≥0），当直线y=x＋b与曲线x 2＋y 2=1相切时,即b=±观察图形（如图）可得当b=1＜b ≤1时,直线与曲线且仅有1个公共点．二、填空题（4分×4=16分）13．己知f （x ＋y ）=f （x ）·f （y ）且f （1）=1则()()f 2f 1＋()()f 3f 2＋…… ()()f 2008f 2007= ．【答案】2007【解析】令y=1．则f （x ＋1）=f （x ）·f （1）=f （x ）∴()()f x 1f x +=1 ∴原式=1＋1＋1………＋1=200714．过点（3,5）的所有直线中距原点最远的直线方程是 ．【答案】3x ＋5y －34=0【解析】所求直线一定与OA 垂直,而OA 的斜率K OA=53，所以所求直线的斜率为－35，所以所求直线方程为y－5=－35（x －3），即3x ＋5y －34=015．方程a x ＋1=－x 2＋2x ＋2a （a ＞0,a ≠1）的解的个数为 ． 【答案】2【解析】设y 1=a x＋1，y 2=－x 2＋2x ＋2a=－（x －1）2＋2a ＋1当x=1时，y 1=a ＋1，y 2=2a ＋1，a ＋1＜2a ＋1（a ＞0）由图像（如图）知有2个交点,故方程有2个解．16．在下列五个图形中,每个小四边形皆为全等的正方形,那么沿其正方形相邻边折叠能够围成正方体的是 ．(5)(2)(3)【答案】 ① ③ ④ 三、解答题（12×5＋14=74分） 17．（本题满分12分）判断函数f （x ）=x 1x 00x=0x 1x 0-⎧⎪⎨+⎪⎩（＜）（）（＞）的奇偶性．【解析】f （－x ）=x 1x 00x=0x 1x 0---⎧⎪-⎨-+-⎪⎩（＜）（）（＞）∴f （－x ）=x 1x 00x 0x 1x 0--⎧⎪=⎨-+⎪⎩（＞）（）（＜）………6分而－f （x ）=x 1x 00x 0x 1x 0-+<⎧⎪=⎨-->⎪⎩（）（）（）∴f （－x ）=－f （x ），f （x ）为奇函数………………12分 18．（本题满分12分）如图：以正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1相邻的三条棱为坐标轴建立空间直角坐标系，正方体的棱长为1（1）若P 点为对角线BD 1的中点，Q 点为CC 1的中点，求|PQ|的值．（2）当P 为对角线BD 1的中点，而Q 是棱CC 1上的动点时，求|PQ|的最小值．【解析】（1）B（1，1，0） D1（0，0，1），P为BD1中点∴P（12，12，12）又C（0，1，0）、 C1（0，1，1），Q为CC1的中点∴Q（0，1，21）（中点坐标公式）于是|PQ|==…………………………6分（2）设Q（0，1，z），由①知P（12，12，12）∴故当z=12时,即Q为CC1的中点时, |PQ|有最小值,最小值为|PQ|min……12分19．（本题满分12分）一片森林面积为a,计划每年砍伐一批木材,每年砍伐面积的百分比相等,则砍伐到面积的一半时,所用时间是T 年．为了保护生态环境,森林面积至少要保留到原面积的14．己知到今年为止,．（1）到今年为止,该森林已砍伐了多少年?（2）今后最多还能砍伐多少年?【解析】设每年降低的百分比为x（0＜x＜1）（1）设经过M则a （1－x ）T=12a ⇒Tlg （1－x ）=lg 12①又a （1－x ）Ma ⇒Mlg （1－x ）=lg②以上两式相除得T M=2 ∴M=T 2所以到今年为止,已砍伐了T 2年 ………………………………………6分 （2）设从今年开始,以后砍伐了N 年.则再砍伐Na （1－x ）N（1－x ）N≥14a1－x ）N≥14由（1）知（1－x ）T=12∴1－x= 1T12⎛⎫⎪⎝⎭N T12⎛⎫⎪⎝⎭≥14化为N712⎛⎫⎪⎝⎭=3212⎛⎫⎪⎝⎭∴N T≤32∴N ≤32T所以最多还能砍伐32T年………………………………………………12分 20．（本题满分12分）曲线x 2＋y 2＋x －6y ＋3=0上两点P ，Q 满足：①关于直线kx －y ＋4=0对称；②OP ⊥OQ (其中点O 为坐标原点).求直线PQ 的方程.【解析】曲线方程可化为21x 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋（y －3）2=254，其圆心坐标为（－12，3）.由①得,直线kx －y ＋4=0过圆心, ∴k ·（－12）－3＋4=0, ∴k=2.………………………………………3分∴PQ 的斜率k PQ =－1k=－12故设直线PQ 方程为y=－12x ＋b ，代入圆方程消去y 得54x 2＋（4－b ）x ＋b 2－6b ＋3=0设P （x 1,y 1），Q （x 2,y 2），则x 1,x 2= 2b 6b 354-+，x 1＋x 2=b 454-…………6分 由于OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2=0 即x 1x 2＋（－12x 1＋b ）（－12x 2＋b ）=0∴54x 1x 2－12b （x 1＋x 2）＋b 2=0∴54·2b 6b+34-－12b ·b 454-＋b 2=0 即8b 2－22b ＋15=0 ∴b=32或b=54…………………………………9分从而直线PQ 方程为：y=－12x ＋32或y=－12x ＋54，即x ＋2y －3=0或2x ＋4y －5=0……………………………………………12分 21．（本题满分12分）设f （x ）为定义在R 上的增函数,令g （x ）=f （x ）－f（1）求证：g（x）+g（2008－x）是定值．（2）判断g（x）在R上的单调性并证明．（3）若g（x1）＋g（x2）＞0,求证：x1＋x2＞2008【解析】（1）证明：g（x）=f（x）－f（2008－x）① g（2008－x）=f（2008－x）－f（x）②①＋②得g（x）＋g（2008－x）=0（定值）．……………………………3分（2）g（x）在R上单调递增．证明：任取x1, x2∈R,且x1＜ x2，于是g（x1）－g（x2）=[f（x1）－f（2008－x1）]－[f（x2）－f（2008－x2）]=[ f（x1）－f（x2）]＋[f（2008－x2）－f（2008－x1）] （1）由 f（x）为R上的增函数可知．f（x1）＜f（x2）, 即f（x1）－f（x2）＜0 （2）又 x1＜ x2,知－x1＞－x2, 2008－x1＞2008－x2f（2008－x1）＞f（2008－x2）即f（2008－x2）－f（2008－x1）＜0（3）由（2）（3）可得（1）式＜0, 即g（x1）2∴ g（x1）＜g（x2）即g（x）在R上单调递增．……………………………………8分（3）由（1）知g（x2）=－g（2008－x2）由g（x1）＋g（x2）＞0 得 g（x1）－g（2008－x2）＞0即g（x1）＞g（2008－x2）由于 g（x）在R上为增函数∴x1＞2008－x2∴x1＋x2＞2008………………………………12分22．（本题满分14分）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,边长为1，又PD=1，求证：（1）PD⊥平面ABCD；（2）求证:直线PB与AC垂直；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正切值；（4）求二面角A-PB-C的大小；（5）求四棱锥外接球的半径R。
2020-2021学年高一数学上学期期末测试卷01(北师大版)(解析版)(必修1+必修2)
2020-2021学年高一数学上学期期末测试卷01（北师大版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．已知全集{1,3,5,7,9},{13,5},{3,5,7},U A B ===，则()U A C B =（） A ．∅ B ．{1} C ．{3,5} D ．{1,3,5,9} 2．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是（）A ．3-2y x =B ．1y x =+C ．21y x =-+D ．1y x =-3．直线1:l 2430x y +-=与直线2:l 2470x y ++=之间的距离是（）A B C D ．4．已知平面α和两条直线,a b ，则下列命题中正确的是( )A ．若//,//a a b α，则//b αB ．若,a b αα⊥⊥，则//a bC ．若,a b a α⊥⊥，则//b αD ．若//,//a b αα，则//b a 5．若函数()21f x ax bx =++是定义在[]1,1a +上的偶函数，则()f x 的值域为（）A ．[]1,1-B ．[]0,1C ．[]1,0-D ．无法确定 6．下列各组函数表示同一个函数的是（）C ．()||f x x =，()g x =D ．()||f x x =,()0()g x x x =≥ 7．圆心在x 轴上，半径为1且过点(2,1)的圆的方程为A ．22(2)1x y +-=B ．22(2)1x y -+=C ．22(2)1x y ++=D ．22(2)1x y ++= 8．设，，，则有（ ）A ．B ．C ．D ． 9．函数12(1)log 1y x =+-的图象一定经过点（）A ．()1,1B ．()1,0C ．()2,1D ．()2,010．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数(1)y f x =-的大致图象是A ．B ．C ．D ．11．函数()3x f x x =+的零点所在的区间是（ ）A.()2,1--B.()0,1C.()1,0-D.()1,212．为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《村委会组织ln 2a =3log 2b =125c -=a b c <<c a b <<c b a <<b c a <<所得的余数大于10时再增加1人.那么，各村可推选的人数y 与该村户数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =([]x 表示不大于x 的最大整数)可以表示为（）A ．1115x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ．415x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C ．1015x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦D ．515x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 评卷人得分二、填空题 13．函数0(2)()lg(3)1x f x x x -=-++的定义域是________ 14．若某圆锥的轴截面是面积为3的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是__________．15．已知函数()21,0{21,0x x x f x x x ++≥=+<，若()()22f m f m <-，则实数m 的取值范围是__________．16．设函数()log a f x x =（0a >且1a ≠），若()1220158f x x x ⋅⋅⋅=，则()()()222122015f x f x f x ++⋅⋅⋅+=__________. 评卷人得分三、解答题 17．已知全集U =R ,集合{}{|29},|25A x x B x x =<<=-≤≤.（1）求A B ;()U B C A ;（2）已知集合{|2},C x a x a =≤≤+若()B C C U ⊆,求实数a 的取值范围.18．已知三角形三个顶点是(5,0)A -，(4,4)B -，(0,2)C ，（1）求BC 边上的中线所在直线方程；（2）求BC 边上的高AE 所在直线方程．19．若函数1f x =-（1）求函数()y f x =的解析式（2）讨论函数()y f x =的单调性和奇偶性20．已知()f x 为定义在[]22-,上的奇函数，当[]2,0x ∈-时，函数解析式为()()42x x f x b b R =-⋅∈.（1）求b 的值，并求出()f x 在(]0,2上的解析式；（2）若对任意的(]0,2x ∈，总有()f x m ≥，求实数m 的取值范围.21．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，其对角线的交点为O ，且,SA SC SA BD =⊥．（1）求证：SO ⊥平面ABCD ；（2）设60BAD ∠=︒，2AB SD ==，P 是侧棱SD 上的一点，且SB 平面APC ，求三棱锥A PCD -的体积．22．已知()x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(),11=f 若[]1,1,-∈b a ，且0≠+b a ，有0)()(>++ba b f a f 恒成立． （1）判断()x f 在[]1,1-上的单调性，并证明你的结论；（2）若()122+-≤am m x f 对所有的[][]1,1,1,1-∈-∈a x 恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案1．B【解析】【分析】根据交集与补集的定义，即可得到本题答案.【详解】因为{1,3,5,7,9},{3,5,7}U B ==，所以{}=1,9U C B ，又因为{}1,3,5A =，所以(){}1U AC B =.故选：B【点睛】本题主要考查集合的补集与交集的运算，属基础题.2．B【解析】【分析】对选项逐一分析函数的奇偶性以及在(0,)+∞上的单调性，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数为非奇非偶函数.对于B 选项，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增.对于C 选项，函数是偶函数，但在()0,∞+上递减.对于D 选项，函数是非奇非偶函数.故本小题选B.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.【解析】【分析】直接利用两条平行线的距离公式求解即可．【详解】∵直线10(,Ax By C A B ++=不同时为0)与直线20(,Ax By C A B ++=不同时为0,12)C C ≠之间的距离d =，∴直线1l 与直线2l之间的距离d ==故选：C ．【点睛】本题主要考查两条平行线间的距离公式，应用公式得前提是x 、y 的系数必须一致，属于基础题．4．B【解析】【分析】根据线线、线面平行和垂直有关定理，对选项逐一分析，由此判断出正确选项.【详解】对于A 选项，b 可能含于平面α，故A 选项错误.对于B 选项，根据线面垂直的性质定理可知，B 选项正确..对于C 选项，b 可能含于平面α，故C 选项错误.对于D 选项,a b 两条直线可能相交，故D 选项错误.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查线面平行、垂直有关命题真假性判断，考查线面垂直的性质定理，属于5．A【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质，确定定义域的关系，然后根据方程()()f x f x -=，即可求出函数解析式，最后根据二次函数性质求值域．【详解】解：∵2()1f x ax bx =++是定义在[1,1]a +上的偶函数，∴定义域关于原点对称，即1＋a ＋1＝0，∴a ＝−2．又()()f x f x -=，2211ax bx ax bx ∴-+=++，即−b ＝b 解得b ＝0，22()121f x ax bx x ∴=++=-+，定义域为[−1，1]，1()1f x ∴-≤≤，故函数的值域为[−1，1]，故选：A ．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，函数奇偶性的性质是解决本题的关键．6．C【解析】【分析】根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,逐项验证即可判断它们是否为同一个函数.对于A, ()2g x x ===-,与()2f x x =-对应关系不相同,故不是同一个函数. 对于B, 21()1x f x x -=-定义域是{|1}x x ≠,()1g x x =+定义域是x ∈R ,定义域不同,故不是同一函数.对于D, ()||f x x =定义域是x ∈R ,()0()g x x x =≥定义域是{|0}x x ≥,定义域不同,故不是同一函数.对于C, ()||g x x ==,()||f x x =,两个函数的定义域相同,对应关系也相同,故二者是同一个函数.故选:C.【点睛】 本题考查判断两个函数是否为同一函数,注意要从二个方面来分析:定义域、对应法则,只有二要素完全相同,才能判断两个函数是同一个函数,这是判定两个函数为同一函数的标准.7．B【解析】【分析】设圆心为C （a ，0）=1，求得a 的值，可得要求的圆的方程．【详解】∵圆心在x 轴上，设圆心为C （a ，0），再根据半径为1，且过点（2，1），=1，求得a ＝2，故要求的圆的方程为 （x ﹣2）2+y 2＝1， 故选B ．本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标的值，是解题的关键，属于基础题．8．C【解析】 试题分析：由于3ln 2log 2ln 2,ln 3b 因此b a ，又由于331log 2log 32b ，而1251552，因此c b 考点：指数与对数比较大小；9．C 【解析】【分析】根据对数函数的性质，结合图象的平移变换规律进行求解即可.【详解】把12log y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到12(1)log 1y x =+-的图象，因为12log y x =的图象恒过(1,0)点，所以12(1)log 1y x =+-的图象经过点(2,1).故选：C【点睛】本题考查了对数型函数恒过定点问题，考查了函数图象的平移变换性质，属于基础题. 10．D【解析】试题分析：先将()f x 的图象的图像沿x 轴翻折，得到()f x -的图像，然后再将()f x -的图像向右平移1个单位长度，即可得到(1)y f x =-的图像，观察比较个选项，只有考点：函数图像的对称和平移. 11．C 【解析】试题分析：()()10,00f f -<>，所以零点在区间()1,0-. 考点：函数零点. 12．B 【解析】 【分析】用x 除以15所得余数分别为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14，其中当余数为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10时结果就是商，但当余数为11,12,13,14时，函数值是商加1，因此可利用4x +后除以15取整得． 【详解】解：根据规定15推选一名代表，当各班人数除以15的余数大于10时再增加一名代表，即余数分别为11，12，13，14时可以增选一名代表，也就是x 要进一位，所以最小应该加4，因此利用取整函数可表示为415x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 故选：B . 【点睛】本题考查函数的应用，解题关键是怎样确定人数除以15的余数大于10时再增加一名代表，即余数分别为11，12，13，14时可以增选一名代表，函数值要在商基础上加1． 13．(3,)+∞ 【解析】【分析】结合对数的真数大于0，分母不为0以及0次幂底数不为0，即可求解。
【北师大版】高中数学必修一期末试题含答案
一、选择题1．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上为增函数，若关于x 的方程()()21xf b f =-有且只有一个实根，则实数b 的取值范围是（ ） A ．2b ≥B ．0b ≥C ．1b ≤-或0b =D ．1b ≥或1b ≤-或0b =2．具有性质：1()()f f x x=-的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数：①1ln 1x y x -=+；②2211x y x -=+；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->其中满足“倒负”变换的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①3．已知定义域为R 上的函数()f x 既是奇函数又是周期为3的周期函数，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin f x x π=，则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是（ ） A ．3B ．5C ．7D ．94．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．211x y x -=-与1y x =+B ．y x =与log xa y a =（0a >且1a ≠）C．y =1y x =-D ．lg y x =与21lg 2y x =5．定义：若函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，点对(),A B 与(),B A 看作同一对“镜像点对”，已知函数()23,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，则该函数的“镜像点对”有（ ）对.A ．1B ．2C ．3D ．46．函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()1+∞， B ．()01，C ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()3+∞， 7．已知函数f (x )的定义域为R ，满足f (x )=2f (x +2)，且当x ∈[2-，0) 时，19()4f x x x =++，若对任意的m ∈[m ，+∞)，都有1()3f x ≤，则m 的取值范围为（ ） A ．11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．10,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．)5,2⎡-+∞⎢⎣D ．11,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭8．已知函数()f x 的定义域为R ,对任意的 12,x x <都有1212()(),f x f x x x -<-且(3)4,f =则(21)2f x x ->的解集为( )A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．(1,)-+∞9．已知函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且()21f =，()()()f xy f x f y =+，则不等式()()23f x f x +-≤（ ）A ．()1,2B ．[)1,3C ．()2,4D ．(]2,410．定义集合运算{},,A B x x a b a A b B ⊗==⨯∈∈，设{0,1},{3,4,5}A B ==，则集合A B ⊗的真子集个数为（ ） A ．16B ．15C ．14D ．811．已知集合{}2,xA y y x R ==∈,{}148x B x -=≤，则A B =（ ） A ．5(,)2-∞B ．5[0,]2C ．7(0,]2D ．5(0,]212．已知集合A ，B 是实数集R 的子集，定义{},A B x x A x B -=∈∉，若集合1113A y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭，，{}21,12B y y x x ==--≤≤，则B A -=（ ）A ．[]1,1-B ．[)1,1-C ．[]0,1D ．[)0,1二、填空题13．规定[]t 为不超过t 的最大整数，如[]3.33=，[]2.43-=-.若函数()[][]()2f x x x x =-∈R ，则方程()()22f x f x -=的解集是______.14．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，如[1.6]=1，[2]=2，()[]g x x x =-．若方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根，则a 的取值范围为________．15．定义{},,max ,,x x y x y y x y≥⎧=⎨<⎩，设{}()max ,log xa f x a a x=--(),1x R a +∈>.则不等式()2f x ≥的解集是_____________.16．已知函数(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．17．函数222421x x y x ++=+的值域为_________. 18．若函数2()f x x k =+，若存在区间[,](,0]a b ⊆-∞，使得当[,]x a b ∈时，()f x 的取值范围恰为[,]a b ，则实数k 的取值范围是________.19．已知全集U =R 集合1|1A x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则UA_______.20．设集合1{|0}x A x x a-=≥-，集合{}21B x x =-，且B A ⊆，则实数a 的取值范围为______．三、解答题21．已知函数()221(0)g x ax ax b a =-++>，在区间[2,3]上有最大值4，有最小值1，设()()g x f x x=. （1）求,a b 的值；（2）不等式()0f x k x -⋅≥在11,32[]x ∈时恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若方4(|21|)(3)0|21|xxf k -+-=-程有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围. 22．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情知，从二月一日起的300天内，西红柿市场销售价与上市时间的关系用图①的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图②的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图①表示的市场售价与时间的函数关系式()f t ；写出图②表示的种植成本与时间的函数关系式()g t ；（Ⅱ）若记市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg ，时间单位：天）．23．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值.24．设函数101(),2axf x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭是常数，且1(3)2f =. （1）求a 的值；（2）求使得()4f x ≥的x 值的取值范围.（3）设1(),2g x x m =-+对于区间[]34，上的每一个x 值，不等式()()f x g x >恒成立，求实数m 的取值范围.25．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：①对任意的(),0,x y ∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+；②当且仅当1x >时，()0f x <成立.（1）求()1f ；（2）设()12,0,x x ∈+∞，若()()12f x f x <，试比较1x ，2x 的大小关系，并说明理由； （3）若对任意的[]1,1x ∈-，不等式()()22333310xxxx f f m --⎡⎤+≤+-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.26．已知集合{}02A x x =<<，{}1B x x a =<<-（1）若3a =-，求()R A B ⋃；（2）若AB B =，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由题意有|21|xb =±-，令20x t =>，即可得22210t t b -+-=有且只有一个实根，22()21f t t t b =-+-问题转化为()f t 在(0,)t ∈+∞上有且仅有一个零点，结合二次函数零点分布即可求b 的取值范围. 【详解】由()f x 是偶函数且在[0,)+∞上为增函数知：|21|xb =±-，∴22(21)x b =-，令20x t =>，则22210t t b -+-=，令22()21f t t t b =-+-，即()f t 在(0,)t ∈+∞上有且仅有一个零点，而2244(1)4b b ∆=--=且对称轴为直线1t =，∴当0∆=，0b =时，在(0,)t ∈+∞上有且仅有一个零点；当0∆>时，22(0)10b f b ⎧>⎨=-≤⎩，解得1b ≤-或1b ≥，在(0,)t ∈+∞上有且仅有一个零点；∴综上，有1b ≤-或1b ≥或0b =， 故选：D. 【点睛】本题考查函数与方程，将方程的根的个数问题转化为对应函数零点个数问题，注意换元法的应用、定义域范围，属于中档题.2．C解析：C 【解析】①1ln 1x y x -=+；1111()ln ln ()111x x f f x x x x--==≠-++所以不符合题意；②2211x y x -=+；22221111()()111x x f f x x x x --===-++所以符合题意；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->当01x <<时11x >，故1()()f x f x x =-=-，当1,x =时11x=显然满足题意，当1x >时，101x <<，故11()()f f x x x==-符合题意，综合得选C 点睛：新定义倒负函数，根据题意逐一验证()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是否成立，在计算中要注意对数的公式得灵活变幻，对于分段函数要注意逐段去讨论3．D解析：D 【分析】根据当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin f x x π=，令()0f x =，求得根，再结合奇函数，求出一个周期33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点，然后根据周期性得到区间[0,6]上的零点即可. 【详解】 因为当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin f x x π=， 令()0f x =， 解得1x =，又因为()f x 是以3为周期的周期函数， 所以 (3)()f x f x +=，有 33()()22f f -= ，又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以333()()()222f f f -==-， 所以3()02f =， 所以在区间 33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有 33(1)(1)()()022f f f f -==-== ，且(0)0f =，因为()f x 是以3为周期的周期函数，所以方程()0f x =在区间[0,6]上的零点是：0，1，32，2，3，4，92，5，6，共9个， 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的周期性和奇偶性的综合应用，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.4．B解析：B 【分析】分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项. 【详解】A ．211x y x -=-的定义域为{}1x x ≠，1y x =+的定义域为R ，所以不是同一个函数；B ．y x =与log xa y a =的定义域均为R ，且log xa y a =即为y x =，所以是同一个函数；C ．y =(][),11,-∞-+∞，1y x =-的定义域为R ，所以不是同一个函数；D ．lg y x =的定义域为()0,∞+，21lg 2y x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一个函数， 故选：B. 【点睛】思路点睛：同一函数的判断步骤：（1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系；（2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数.5．C解析：C由新定义可知探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数即得结果. 【详解】由题意可知，函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，因为()23,02,0xx f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，由y 轴左侧部分()3,0xy x =-<图像关于原点中心对称的图像3x y --=-，即3xy -=，()0x >，作函数3x y -=，()0x >和()22,0y x x x =-≥的图象如下：由图像可知两图象有三个公共点，即该函数有3对“镜像点对”. 故选：C. 【点睛】本题解题关键是理解新定义，寻找对称点对，探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数，通过数形结合，即突破难点.6．D解析：D 【分析】由题意可得可得1a >，且30a ->，由此求得a 的范围． 【详解】 解：函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，而函数()3t x ax =-在[]13，上单调递增，根据复合函数的单调性可得1a >，且30a ->，解得3a >，即()3a ∈+∞，故选：D ． 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、单调性，复合函数的单调性，属于基础题．7．D解析：D求出[2,0)x ∈-时，()f x 的值域，满足1()3f x ≤，根据函数的定义，[0,2)x ∈时，满足1()3f x ≤，同时可得0x ≥时均满足1()3f x ≤，然后求得[4,2)x ∈--时的解析式，解不等式1()3f x ≤得解集，分析后可得m 的范围． 【详解】[2,0)x ∈-时，19()4f x x x =++在[]2,1--上递增，在[1,)-+∞上递减，1(),4f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，满足1()3f x ≤，当[0,2)x ∈时，2[2,0)x -∈-，11()(2)[,)28f x f x =-∈-∞，满足满足1()3f x ≤， 按此规律，2x ≥时，()f x 均满足1()3f x ≤， 当[4,2)x ∈--时，29()2(2)2(2)22f x f x x x =+=++++，由2912(2)223x x +++≤+， 解得1043x -≤≤-或1124x -≤<-，当101134x -<<-时，1()3f x >． 因此当114x ≥-时，都有1()3f x ≤， 所以114m ≥-． 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式恒成立问题，解题关键是依照周期函数的性质，根据函数的定义求出()f x 在[2,22)k k +（k ∈N ）满足1()3f x ≤，在[2,0)-上直接判断，求出[4,2)--上的解析式，确定1()3f x ≤的范围，此时有不满足1()3f x ≤的x 出现，于是可得结论m 的范围．8．A解析：A 【分析】由题可得[][]1122()()0f x x f x x ---<,可构造函数()()F x f x x =-是R 上的增函数,原不等式可转化为()()213F x F ->,再结合增函数的性质可求出答案. 【详解】 由题意,[][]121211221122()()()()()()0f x f x x x f x x f x x f x x f x x -<-⇔-<-⇔---<, 因为12,R x x ∈且12,x x <所以函数()()F x f x x =-是R 上的增函数.()3(3)31F f =-=,因为(21)2(21)(21)1f x x f x x ->⇔--->,所以()()213F x F ->, 则213x ->,解得2x >. 故选:A. 【点睛】本题考查了函数的单调性的应用,构造函数()()F x f x x =-是解决本题的关键,属于中档题.9．D解析：D 【分析】根据()()()f xy f x f y =+且()21f =可得()42f =，83f ，则()()23f x f x +-≤可化为()()28f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，然后根据单调性求解.【详解】根据()()()f xy f x f y =+可得，()()23f x f x +-≤可转化为()23f x x -≤⎡⎤⎣⎦， 又()()()()422222f f f f =+==，所以()()()842213f f f =+=+=，即()()28f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，因为()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，所以只需满足()28020x x x x ⎧-≤⎪>⎨⎪->⎩，解得：24x <≤.故选：D. 【点睛】本题考查抽象函数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，难度一般，根据题目条件将问题灵活转化是关键.10．B解析：B 【分析】根据新定义得到{}{},,0,3,4,5A B x x a b a A b B ⊗==⨯∈∈=，再计算真子集个数得到答案. 【详解】{0,1},{3,4,5}A B ==，{}{},,0,3,4,5A B x x a b a A b B ⊗==⨯∈∈=其真子集个数为：42115-= 故选：B 【点睛】本题考查了集合的新定义问题，真子集问题，意在考查学生的应用能力.11．D解析：D 【分析】根据指数函数的值域可得集合A ，解指数函数的不等式可得集合B ，再进行交集运算即可. 【详解】∵{}()2,0,xA y y x R ==∈=+∞，由148x -≤，即22322x -≤，解得52x ≤，即5,2B ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦， ∴5(0,]2A B ⋂=， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了指数函数的值域，指数类型不等式的解法，集合间交集的运算，属于基础题.12．B解析：B 【分析】先根据题意得{}13A y y =≤≤，{}13B y y =-≤≤，再根据集合运算即可得答案. 【详解】解：根据题意得{}111133A y y x y y x ⎧⎫==≤≤=≤≤⎨⎬⎩⎭，， {}{}21,1213B y y x x y y ==--≤≤=-≤≤，再根据集合的运算得}{11B A y y -=-≤<. 故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，函数值域的求解，考查运算能力，是中档题.二、填空题13．【分析】先计算出的取值再结合题目中的规定计算出结果【详解】由方程可得或若则故或由题目中的规定为不超过的最大整数当时可得当时可得;若则无解综上方程的解集是故答案为:【点睛】本题考查了新定义内容结合函数 解析：[)[)1,02,3-【分析】先计算出()f x 的取值,再结合题目中的规定计算出结果. 【详解】 由方程()()22fx f x -=,可得()2f x =或()1f x =-,若()2f x =,则[][]()22x x x -=∈R ,故[]2x =或[]1x =-,由题目中的规定[]t 为不超过t 的最大整数, 当[]2x =时,可得23x ≤<, 当[]1x =-时,可得10x -≤<;若()1f x =-,则[][]()21x x x -=-∈R 无解,综上方程()()22fx f x -=的解集是[)[)1,02,3-.故答案为:[)[)1,02,3-【点睛】本题考查了新定义内容,结合函数思想来解题,需要理清题意,抓住题目的核心,通常考查函数的性质、零点等问题.14．1)∪(1)∪(【分析】方程且有一个实根等价于函数的图象有一个交点画出函数的图象根据函数的性质分类讨论进行求解即可【详解】方程且有一个实根等价于函数的图象有一个交点画出函数的图象如下图所示：函数的定解析：[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72] 【分析】方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根等价于函数1(),log ()2a y g x y x ==-的图象有一个交点，画出函数()y g x =的图象，根据函数1log ()2a y x =-的性质分类讨论进行求解即可.【详解】方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根等价于函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，画出函数()y g x =的图象，如下图所示：函数1()log ()2a y h x x ==-的定义域为1(,)2+∞，且恒过定点3(,0)2.当01a <<时，当(1)1h ≥时，函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，解得12a ≥，所以有112a ≤<；当1a >时，要想函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，只需满足：(2)1h ≥或(3)1(4)1h h <⎧⎨≥⎩，解得(1，32)或 (52，72]，综上所述：a 的取值范围为[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72]. 故答案为：[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72] 【点睛】本题考查了已知方程根的情况求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想，考查了数学运算能力.15．【分析】利用分段函数列出不等式求解即可【详解】解：在上为单调递增函数又当时当时不等式或解得或故答案为：【点睛】本题考查分段函数的应用函数值的求法考查转化思想以及计算能力 解析：21(0,][log (2),)a a a++∞ 【分析】利用分段函数列出不等式求解即可. 【详解】解：()log log xxa a a a x a a x ---=-+，1a >，()log xa g x a a x =-+在()0,∞+上为单调递增函数，又1(1)log 10a g a a =-+=， 当()0,1x ∈时，log 0xa a a x -+<，当()1,x ∈+∞时，log 0xa a a x -+>，,1()log ,01x a a a x f x x x ⎧->∴=⎨-<<⎩不等式()2f x ≥，21x a a x ⎧-≥∴⎨>⎩或log 201a x x -≥⎧⎨<<⎩，解得log (2)a x a ≥+或210x a<≤， 故答案为：21(0,][log (2),)a a a++∞. 【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力.16．【分析】根据的值域为可知需在单调递增且即可【详解】由题意知的值域为故要使的值域为则必有为增函数且所以且解得故答案为：【点睛】本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围属于中档题解析：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，【分析】根据()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞，可知()(12)3(1)f x a x a x =-+<需在(,1)-∞单调递增且(1)0f ≥即可. 【详解】由题意知()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞，故要使()f x 的值域为R ， 则必有()(12)3f x a x a =-+为增函数，且1230a a -+≥， 所以120a ->，且1a ≥-，解得112a -≤<. 故答案为：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， 【点睛】本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围，属于中档题.17．【分析】将函数变形为关于的方程分析二次项的系数并结合与的关系求解出的取值范围从而值域可求【详解】因为所以所以当即时此时；当即时此时所以综上可知：所以的值域为故答案为：【点睛】易错点睛：利用判别式法求 解析：[]0,4【分析】将函数变形为关于x 的方程，分析二次项的系数并结合∆与0的关系求解出y 的取值范围，从而值域可求.【详解】因为222421x x y x ++=+，所以222+42yx y x x +=+，所以()22420y x x y -++-=， 当20y -=，即2y =时，此时0x =；当20y -≠，即2y ≠时，此时()216420y ∆=--≥，所以[)(]0,22,4y ∈，综上可知：[]0,4y ∈，所以222421x x y x ++=+的值域为[]0,4， 故答案为：[]0,4. 【点睛】易错点睛：利用判别式法求解函数值域需要注意的事项： （1）原函数中分子分母不能约分； （2）原函数的定义域为实数集R .18．【分析】根据二次函数的单调性得出是上的减函数从而有整理得即关于的方程在区间内有实数解记由二次函数的单调性和零点存在定理建立不等式组可求得范围【详解】∵函数是上的减函数∴当时即两式相减得即代入得由且得解析：31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】根据二次函数的单调性得出2()f x x k =+是(,0]-∞上的减函数，从而有()()f a bf b a =⎧⎨=⎩，整理得22a k b b k a⎧+=⎨+=⎩，即关于a 的方程210a a k +++=，在区间11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭内有实数解，记2()1h a a a k =+++，由二次函数的单调性和零点存在定理建立不等式组，可求得范围.【详解】∵函数2()f x x k =+是(,0]-∞上的减函数，∴当[,]x a b ∈时，()()f a bf b a =⎧⎨=⎩，即22a k bb k a⎧+=⎨+=⎩， 两式相减得22a b b a -=-，即(1)b a =-+，代入2a k b +=得210a a k +++=， 由0a b <≤，且(1)b a =-+得112a -≤<-， 故关于a 的方程210a a k +++=，在区间11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭内有实数解，记2()1h a a a k =+++，所以函数()h a 在11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，则()10102h h ⎧-≥⎪⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()221110111022k k ⎧-+-++≥⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+-++<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭， 故答案为：31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 【点睛】关键点点睛：在解决二次函数的值域问题，关键在于得出二次函数的对称轴与区间的关系，也即是判断出二次函数在区间上的单调性.19．【分析】先解分式不等式确定集合A 再求补集即可【详解】则故答案为：【点睛】本题考查补集运算准确求得集合A 是关键是基础题 解析：[0,1)【分析】先解分式不等式确定集合A,再求补集即可 【详解】()1|1=,0[1,)A x x ⎧⎫=≤-∞⋃+∞⎨⎬⎩⎭，则[0,1)UA故答案为：[0,1) 【点睛】本题考查补集运算，准确求得集合A 是关键，是基础题20．【分析】解可得集合B 对于A 先将转化为且分三种情况讨论求出集合A 判断是否成立综合可得a 的范围即可得答案【详解】或则或对于A 且时成立符合题意时或不会成立不符合题意时或要使成立必有则a 的范围是综合可得a 的 解析：[]1,3【分析】解21x ->可得集合B ，对于A ，先将1|0x x a-≥-转化为()()10x x a --≥且x a ≠，分1a =，1a >，1a <三种情况讨论，求出集合A ，判断B A ⊆是否成立，综合可得a 的范围，即可得答案 【详解】211x x ->⇔<或3x >，则{|1B x x =<或3}x >，对于A ，()()1010x x x a x a-≥⇔--≥-且x a ≠， 1a =①时，{|1}A x x =≠，B A ⊆成立，符合题意，1a <②时，{|A x x a =<或1}x ≥，B A ⊆不会成立，不符合题意，1a >③时，{A x x a =或1}x ≤，要使B A ⊆成立，必有3a ≤，则a 的范围是13a，综合①②③可得，a 的取值范围为13a ≤≤，即[]1,3； 故答案是：[]1,3． 【点睛】本题考查集合之间关系的判断，涉及分式、绝对值不等式的解法，解分式不等式一般要转化为整式不等式，有参数时，一般要分类讨论．三、解答题21．（1）10a b =⎧⎨=⎩；（2）(-∞，1]；（3）1(,0)4-．【分析】（1）由函数2()(1)1g x a x b a =-++-，0a >，所以()g x 在区间[2，3]上是增函数，故(3)4(2)1g g =⎧⎨=⎩，由此解得a 、b 的值．（2）由已知可得1()2f x x x=+-，继而得到221211(1)k x x x -+=-，从而求得k 的取值范围；（3）令|21|x m -=，则原方程有三个不同的实数解转化为2(32)410m k m k -+++=有两个不等的根，其中一根大于1，一根大于0且小于1，即可求出． 【详解】（1）2()21g x ax ax b =-++，其对称轴为1x =，则()g x 在[2，3]上为增函数，函数()[2g x ，3]上最大值4，有最小值1∴(3)4(2)1g g =⎧⎨=⎩，即96144411a ab a a b -++=⎧⎨-++=⎩， 可得10a b =⎧⎨=⎩，1a ，0b =；（2）由（1）可得2()21g x x x =-+，()1()2g x f x x x x∴==+-， 不等式()0f x kx -在11,32[]x ∈时恒成立，()f x k x∴在1[3，1]2上恒成立， 221211(1)kx x x∴-+=-， 由于21(1)1x-，1k ∴；故k 的取值范围为(-∞，1]．（3）令|21|x m -=，则方程4(|21|)(3)0|21|xx f k -+-=-三个不同的实数解，等价于4()(3)0f m k m+-=有两个不等的根， 其中一根大于1，一根大于0且小于1，或一个根在(0,1)内，一个根等于1， 4()(3)0f m k m +-=可化为142(3)0m k m m+-+-=， 化简可得()2(23)410h m m k m k =-+++=，因为0m ≠，所以两个根分别介于(0,1)，(1,)+∞， 或一个根在(0,1)内，一个根等于1，当一个根为1时，可得0k =，此时方程为2210m m -+=不合题意； 两个根只能分别介于(0,1)，(1,)+∞，()()041011(23)410h k h k k ⎧=+>⎪∴⎨=-+++<⎪⎩，解得104-<<k ．故k 的取值范围为1(,0)4-． 【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在y g x 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 22．（Ⅰ）300,0200()2300,200300t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩，()21()150100,0300200g t t t =-+≤≤；（Ⅱ）从二月一日开始的第50天上市的西红柿收益最大. 【分析】（Ⅰ）根据图①的图象可知：是由一次函数构成的分段函数由点()()()0,300,200,100,300,300写出函数解析式；根据图②的图象是二次函数；由顶点()150,100和过点()250,150，写出函数解析式；（Ⅱ）设纯收益为h ，市场售价减去种植成本为纯收益，得到()()2211175+,020020022171025+,20030020022t t t h f t g t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪=-=⎨⎪--<≤⎪⎩求解.【详解】（Ⅰ）当0200t ≤≤时，设()111()0f t k t b k =+≠，则111300200100b k b =⎧⎨+=⎩，解得113001b k =⎧⎨=-⎩，所以()300f t t =-.当200300t <≤时，设()222()0f t k t b k =+≠， 则2222300300200100k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得223002b k =-⎧⎨=⎩，所以()2300f t t =-.综上市场售价与时间的函数关系式300,0200()2300,200300t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩；设()2()150100g t a t =-+，则()2150250150100a =-+，解得1200a =， 所以种植成本与时间的函数关系式()21()150100,0300200g t t t =-+≤≤； （Ⅱ）设纯收益为h ，因为 若记市场售价减去种植成本为纯收益，所以()()2211175+,020020022171025+,20030020022t t t h f t g t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪=-=⎨⎪--<≤⎪⎩，当0200t ≤≤时，()22111751+50+10020022200h t t t =-+=--， 所以当50t =时，纯收益h 取得最大值100； 当200300t <≤时，()221710251+350+10020022200h t t t =-+=-- 当300t =时，纯收益h 取得最大值87.5， 因为10087.5>，所以当50t =即从二月一日开始的第50天上市的西红柿收益最大. 【点睛】结论点睛：函数模型的应用一般分为三类：（1）已知函数的图象，可根据图象得到函数类型利用待定系数法建立模型； （2）已知函数有关数表，可根据数据分析函数类型利用待定系数法建立模型；（3）已知函数模型的定义，可根据其定义建立模型. 23．（1）2a =；(1,3)-；（2）2. 【分析】（1）由函数值求得a ，由对数的真数大于0可得定义域；（2）函数式变形为22()log (1)4f x x ⎡⎤=--+⎣⎦，由复合函数的单调性得出单调区间后可得最大值． 【详解】 解：（1）(1)2f =，log (11)log (31)log 42a a a ∴++-==，解得2(0,1)a a a =>≠，由1030x x +>⎧⎨->⎩，得(1,3)x ∈-. ∴函数()f x 的定义域为()13-，.（2）22222()log (1)log (3)log (1)(3)log (1)4f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=--+⎣⎦∴当[0,1]x ∈时，()f x 是增函数；当3[1,]2x ∈时，()f x 是减函数.所以函数()f x 在3[0,]2上的最大值是2(1)log 42f ==. 【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握复合函数的单调性解题关键：（前提条件：在函数定义域内）24．（1）3；（2）4x ≥；（3）2m < 【分析】 （1）由1(3)2f =代值运算可求a ； （2）求得310()2x f x -=，结合指数函数增减性解不等式，即可求解x 值的取值范围；（3）分析函数()(),f x g x 增减性，结合端点值解不等式即可 【详解】（1）因为10311(3)22af -⎛⎫==⎪⎝⎭，故3a =； （2）由（1）知1033101()22xx f x --⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()4f x ≥等价于310222x -≥，解得4x ≥； （3）()f x 在[]34，单增，1()2g x x m =-+在[]34，单减，要使区间[]34，上的每一个x 值，不等式()()f x g x >恒成立，则需满足()()33f g >，即11322m >-⨯+，解得2m <【点睛】本题考查指数型函数解析式、指数不等式的求解，由函数在定区间恒成立问题求解参数取值范围，属于中档题25．（1）()10f =；（2）12x x >，理由见解析；（3）5m <≤ 【分析】（1）令1x y ==，代入可得(1)f ；（2）记12x kx =，代入已知等式，由12()()f x f x <可得()0f k <，从而有1k >，得结论12x x >；（3）根据函数的性质，不等式变形为()223333100xxx x m --+≥+->恒成立，然后设33x x t -=+后转化为一元二次不等式和一元不次不等式恒成立，再转化为求函数的最值，可求得参数范围． 【详解】（1）令1x y ==，则(1)(1)(1)f f f =+，所以()10f =.（2）12x x >，理由如下：记12x kx =，则()()()122()f x f kx f k f x ==+， 由()()12f x f x <可得：()0f k <，则1k >，故12x x >. （3）由（2）得()223333100x xx x m --+≥+->恒成立，令10332,3x xt -⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则222332x x t -+=-， 原不等式可化为：22100t mt -≥->，由2210t mt -≥-恒成立可得：min 8m t t ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，8t t +≥=8t t=，即t =时等号成立，所以m ≤. 由100mt ->恒成立可得：max 10m t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，102,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2t =时，max 105t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是5m >.综上：实数m 的取值范围是5m <≤.【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的单调性，考查不等式恒成立问题，在解决不等式恒成立时，利用已求得的结论（函数的单调性），把问题进行转化，再用换元法转化为一元二次不等式和一元一次不等式恒成立，然后又由分离参数法转化为求函数的最值．26．（1）{2x x <或3x ≥}；（2）[)2-+∞，. 【分析】（1）3a =-时，先计算B R ，再进行并集运算即可； （2）先利用交集结果判断B A ⊆，再讨论B 是否空集使其满足子集关系，列式计算即得结果.【详解】（1）因为3a =-，所以{}13B x x =<<，=B R {1x x ≤或3x ≥}， 故()=⋃R A B {2x x <或3x ≥}；（2）因为AB B =，所以B A ⊆. 若B =∅，则1a -≤，解得1a ≥-；若B ≠∅，则12a a ->⎧⎨-≤⎩，解得21a -≤<-. 综上所述，a 的取值范围为[)2-+∞，. 【点睛】易错点睛：已知B A ⊆求参数范围时，需讨论集合B 是否是空集，因为空集是任意集合的子集，直接满足B A ⊆.。
新北师大版高一数学必修一期末测试卷一(含详细解析)
新北师大版高一必修一期末测试卷（共2套附解析）综合测试题(一) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)5．已知f(x)是定义域在(0，＋∞)上的单调增函数，若f(x)>f(2－x)，则x的取值范围是() A．x>1 B．x<1C．0<x<2 D．1<x<26．已知x＋x－＝5，则的值为()A．5B．23C．25D．277．(2014·山东高考)已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是()A．a>1，c>1 B．a>1,0<c<1D．f(2)<f(－)<f(－1)12．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的五个点M(1,1)，N(1,2)，P(2,1)，Q(2,2)，G(2，)中，“好点”的个数为（)A．0 B．1C．2 D．3第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．若已知A∩{－1,0,1}＝{0,1}，且A∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，则满足上述条件的集合A共有________个．14．(2014·浙江高考)设函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝________.15．用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)(1)根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若a∈(1,3)，判断函数f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理由．22．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝a x－1.其中a>0且a≠1.23．(1)求f(2)＋f(－2)的值；(2)求f(x)的解析式；(3)解关于x的不等式－1<f(x－1)<4，结果用集合或区间表示．一．选择题1.[答案] D[解析]A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1<x<3}，B＝{x|2x－3>0}＝{x|x>}．故A∩B＝{x|<x<3}．故选D.2.[答案] C[解析]由函数y＝f(x)的表达式可知，函数f(x)的定义域应满足条件：，解＝52－2＝23.故选B.7.[答案] D[解析]本题考查对数函数的图像以及图像的平移．由单调性知0<a<1.又图像向左平移，没有超过1个单位长度．故0<c<1，∴选D.8.[答案] B[解析]f(x)＝3x＋3－x且定义域为R，则f(－x)＝3－x＋3x，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)为偶函数．同理得g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．故选B.9.[答案] D[解析]∵y＝()x为减函数，<，∴()>().13.[答案] 4[解析]∵A∩{－1,0,1}＝{0,1}，∴0,1∈A且－1?A.又∵A∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，∴1∈A且至多－2,0,2∈A.故0,1∈A且至多－2,2∈A.∴满足条件的A只能为：{0,1}，{0,1,2}，{0,1，－2}，{0,1，－2,2}，共有4个．14.[答案][解析]此题考查分段函数、复合函数，已知函数值求自变量．令f(a)＝t，则f(t)＝2.∵t>0时，－t2<0≠2，∴t≤0.即t2＋2t＋2＝2，∴t＝0或－2.∴A＝{x|x2－7x＋12＝0}＝{3,4}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，经检验符合题意．∴A∪B＝{2,3,4}．18.[解析](1)原式＝log33＋lg(25×4)＋2＋1＝＋2＋3＝.(2)∵f(x－)＝(x＋)2＝x2＋＋2＝(x2＋－2)＋4＝(x－)2＋4∴f(x)＝x2＋4，∴f(x＋1)＝(x＋1)2＋4＝x2＋2x＋5.19.[解析](1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个根，易知Δ>0，即Δ＝4＋12(1－m)>0，可解得m<；Δ＝0，可解得m＝；Δ<0，可解得m>.故m<时，函数有两个零点；(2)设1≤x1<x2≤2，则f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－＝(x2－x1)[a(x1＋x2)－]，由1≤x1<x2≤2，得x2－x1＞0,2＜x1＋x2＜4,1＜x1x2＜4，－1<－<－，又1＜a＜3，所以2＜a(x1＋x2)＜12，得a(x1＋x2)－＞0，从而f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)>f(x1)，故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．23.[解析](1)∵f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，即f(2)＋f(－2)＝0. (2)当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝a－x－1.由f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)，∵f(－x)＝a－x－1，∴f(x)＝－a－x＋1(x<0)．∴所求的解析式为f(x)＝.。
北师大版高一上学期期末数学试卷含答案
高一上学期期末考试数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（每小题5分共12小题)1．将一个直角三角形绕其一直角边所在直线旋转一周，所得的几何体为（ ）A ．一个圆台B ．两个圆锥C ．一个圆柱D ．一个圆锥 2．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条( ) A ．相交 B ．异面 C ．相交或异面 D ．平行 3．圆(x −2)2+(y +3)2=2的圆心和半径分别是（ ）A ．(−2,3),1B ．(2,−3),3C ．(−2,3),√2D ．(2,−3),√2 4．函数121y x x =-++的定义域是（ ） A ．(]1,2- B ．[]1,2- C ．()1,2- D ．[)1,2- 5．函数21(01)x y a a a -=->≠且的图象必经过点（ ）． A ．(0，1) B ．(1，1) C ．(2， 0) D ．(2，2)6．已知函数()2log ,1,{ 1,1,2x x x f x x >=⎛⎫≤ ⎪⎝⎭则()()2f f -=（ ）A ．2B ．2-C ．12 D ．12- 7．已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆画，则该几何体的体积为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．3πA ．B ．﹣C ．D ．﹣9．已知点（3，m ）到直线x+y ﹣4=0的距离等于，则m=（ ）A ．3B ．2C ．3或﹣1D ．2或﹣110．已知a R ∈且0a >， 1a ≠，则函数x y a -=与log a y x =在同一直角坐标系中的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知α， β为不同的平面,a ,b ,c 为不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）A ．若a α⊂， //b a ，则//b αB ．若αβ⊥， c αβ⋂=， b c ⊥，则b β⊥C ．若a b ⊥， b c ⊥，则//a cD ．若a b A ⋂=， a α⊂， b α⊂， //a β， //b β，则//αβ12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上是减函数，若()2log 5a f =， ()2log 4.1b f =， ()0.82c f =，则a ， b ， c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<二、填空题（每小题5分共4小题)13．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的体积是 ． 14．lg 52+2lg 2−(12)−1=_______．15．若直线1l ： 210mx y ++=与直线2l ： 20x y +-=互相垂直，则实数m 的值为__________．16．若(3,3)A ,(,0)B a ,(0,)C b (0)ab ≠三点共线，则11a b+= ．17．对于二次函数2=-+-，483y x x（1）指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；（2）求函数的最大值或最小值；（3）分析函数的单调性。
新北师大版数学必修一期末测试卷(含详细解析)
综合测试题(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·四川理，1)设集合A ＝{x|－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是（ )A ．3B ．4C ．5D ．62．已知集合A ＝{x|0<log4x<1}，B ＝{x|x ≤2}，则A ∩B ＝( )A ．(0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2]3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋exB ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝1＋x24．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x|≤111＋x2，|x|>1，则f[f(12)]＝( )A.12B.413C ．－95D.25415．log43、log34、log 4334的大小顺序是( )A．log34<log43<log433 4B．log34>log43>log433 4C．log34>log4334>log43D．log4334>log34>log436．函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a，b的值为( )A．a＝1，b＝0B．a＝1，b＝0或a＝－1，b＝3C．a＝－1，b＝3D．以上答案均不正确7．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( )A.14B.12C．2 D．48．(2015·安徽高考)函数f(x)＝错误!的图像如图所示，则下列结论成立的是( )A．a>0，b>0，c<0B ．a<0，b>0，c>0C ．a<0，b>0，c<0D ．a<0，b<0，c<09．(2016·山东理，9)已知函数f(x)的定义域为R.当x ＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x ≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x ＞12时，f(x ＋12)＝f(x －12)．则f(6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．210．函数f(x)＝(x －1)ln|x|－1的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．311．设0<a<1，函数f(x)＝loga(a2x －2ax －2)，则使f(x)<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，loga3)D ．(loga3，＋∞)12．有浓度为90%的溶液100g ，从中倒出10g 后再倒入10g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)( )A ．19B ．20C ．21D ．22第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知loga 12>0，若ax2＋2x －4≤1a，则实数x 的取值范围为________．14．直线y ＝1与曲线y ＝x2－|x|＋a 有四个交点，则a 的取值范围________ .15．若函数y ＝m·3x－1－1m·3x－1＋1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．16．已知实数a ≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x<1－x －2a ， x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设A ＝{x|x2＋4x ＝0}，B ＝{x|x2＋2(a ＋1)x ＋a2－1＝0}． (1)若A ∩B ＝B ，求a 的值． (2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log 12 [(12)x －1]，(1)求f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的增减性．19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax －1x ＋1，其中a ∈R.(1)若a ＝1，f(x)的定义域为区间[0,3]，求f(x)的最大值和最小值；(2)若f(x)的定义域为区间(0，＋∞)，求a 的取值范围，使f(x)在定义域内是单调减函数．20.(本小题满分12分)(1)定义在(－1,1)上的奇函数f(x)为减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)>0，求实数a 的取值范围．(2)定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x ≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)<g(m)成立，求m 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数y ＝f(x)的定义域为D ，且f(x)同时满足以下条件： ①f(x)在D 上单调递增或单调递减函数；②存在闭区间[a ，b]∈D(其中a<b)，使得当x ∈[a ，b]时，f(x)的取值集合也是[a ，b]．那么，我们称函数y ＝f(x)(x ∈D)是闭函数．(1)判断f(x)＝－x3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．(2)若f(x)＝k ＋x ＋2是闭函数，求实数k 的取值范围．(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出增函数还是减函数即可) 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log 12 (x2－mx －m.(1)若m ＝1，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的值域为R ，求实数m 的取值范围；(3)若函数f(x)在区间(－∞，1－3)上是增函数，求实数m 的取值范围． 一．选择题1.[答案] C[解析] 由题可知，A ∩Z ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩Z 中元素的个数为5.故选C. 2.[答案] D[解析] 因为A ＝{x|0<log4x<1}＝{x|1<x<4}， B ＝{x|x ≤2}．所以A ∩B ＝{x|1<x<4}∩{x|x ≤2}＝{x|1<x ≤2}． 3.[答案] A[解析] 令f(x)＝x ＋ex ，则f(1)＝1＋e ，f(－1)＝－1＋e －1即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以 y ＝x ＋ex 既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选A. 4.[答案] B[解析] 由于|12|<1，所以f(12)＝|12－1|－2＝－32，而|－32|>1，所以f(－32)＝错误!＝1134＝413，所以f[f(12)]＝413，选B. 5.[答案] B[解析] 将各式与0,1比较．∵log34>log33＝1，log43<log44＝1，又0<34<1，43>1，∴log 43 34<0.6.[答案] B[解析] 对称轴x ＝1，当a>0时在[2,3]上递增， 则错误!解得错误!当a<0时，在[2,3]上递减， 则错误!解得错误! 故选B.有log 43 34<log43<log34.所以选B.7.[答案] B[解析] ∵当a>1或0<a<1时，ax 与loga(x ＋1)的单调性一致， ∴f(x)min ＋f(x)max ＝a ，即1＋loga1＋a ＋loga(1＋1)＝a ，∴a ＝12.8.[答案] C[解析] 由f(x)＝错误!及图像可知，x ≠－c ，－c>0，则c<0；当x ＝0时，f(0)＝错误!>0，所以b>0；当y ＝0，ax ＋b ＝0，所以x ＝－ba >0，所以a<0.故a<0，b>0，c<0，选C.9.[答案] D[解析] ∵当x>2时，f(x ＋12)＝f(x －12)，∴f(x ＋1)＝f(x)，∴f(6)＝f(5)＝f(4)＝…＝f(1)，又当－1≤x ≤1时，f(x)＝－f(－x)．∴f(1)＝－f(－1)，又因为当x<0时，f(x)＝x3－1， ∴f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2. 10.[答案] D[解析] f(x)＝(x －1)ln|x|－1的零点就是方程(x －1)ln|x|－1＝0的实数根，而该方程等价于方程ln|x|＝1x －1，因此函数的零点也就是函数g(x)＝ln|x|的图像与h(x)＝1x －1的图像的交点的横坐标．在同一平面直角坐标系内分别画出两个函数的图像(图略)，可知两个函数图像有三个交点，所以函数有三个零点． 11.[答案] C[解析] 利用指数、对数函数性质．考查简单的指数、对数不等式． 由a2x －2ax －2>1得ax>3，∴x<loga3. 12.[答案] C[解析] 操作次数为n 时的浓度为(910)n ＋1，由(910)n ＋1<10%，得n ＋1>－1lg 910＝－12lg3－1≈21.8，∴n ≥21. 二.填空题13.[答案] (－∞，－3]∪[1，＋∞) [解析] 由loga 12>0得0<a<1.由a x2＋2x －4≤1a 得a x2＋2x －4≤a －1，∴x2＋2x －4≥－1，解得x ≤－3或x ≥1. 14.[答案] 1<a<54[解析] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－x ＋a ，x≥0x2＋x ＋a ，x<0作出图像，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a)点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14<1<a ，∴1<a<54.15.[答案] [0，＋∞)[解析] 要使函数y ＝m·3x－1－1m·3x－1＋1的定义域为R ，则对于任意实数x ，都有m·3x －1＋1≠0，即m ≠－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1.而⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1>0，∴m ≥0. 故所求m 的取值范围是m ≥0，即m ∈[0，＋∞)． 16.[答案] －34[解析] 首先讨论1－a,1＋a 与1的关系． 当a<0时，1－a>1,1＋a<1，所以f(1－a)＝－(1－a)－2a ＝－1－a ； f(1＋a)＝2(1＋a)＋a ＝3a ＋2.因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a ＝3a ＋2. 解得a ＝－34.当a>0时，1－a<1,1＋a>1，所以f(1－a)＝2(1－a)＋a ＝2－a. f(1＋a)＝－(1＋a)－2a ＝－3a －1， 因为f(1－a)＝f(1＋a)所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－32(舍去)综上，满足条件的a ＝－34.三、解答题17.[分析] A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B. [解析] A ＝{－4,0}． (1)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A.①若0∈B ，则a2－1＝0，a ＝±1. 当a ＝1时，B ＝A ；当a ＝－1时，B ＝{0}，则B ⊆A.②若－4∈B ，则a2－8a ＋7＝0，解得a ＝7，或a ＝1. 当a ＝7时，B ＝{－12，－4}， A.③若B ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a2－1)<0，a<－1. 由①②③得a ＝1，或a ≤－1. (2)∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B.∵A ＝{－4,0}，又∵B 中至多只有两个元素， ∴A ＝B. 由(1)知a ＝1.18.[解析] (1)(12)x －1>0，即x<0，所以函数f(x)定义域为{x|x<0}．(2)∵y ＝(12)x －1是减函数，f(x)＝log 12 x 是减函数，∴f(x)＝log 12 [(12)x －1]在(－∞，0)上是增函数．19.[解析] f(x)＝ax －1x ＋1＝错误!＝a －错误!，设x1，x2∈R ，则f(x1)－f(x2)＝a ＋1x2＋1－a ＋1x1＋1＝错误!.(1)当a ＝1时，f(x)＝1－2x ＋1，设0≤x1<x2≤3，则f(x1)－f(x2)＝错误!， 又x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在[0,3]上是增函数， ∴f(x)max ＝f(3)＝1－24＝12，f(x)min ＝f(0)＝1－21＝－1.(2)设x1>x2>0，则x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0. 若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，只要f(x1)－f(x2)<0， 而f(x1)－f(x2)＝错误!，∴当a ＋1<0，即a<－1时，有f(x1)－f(x2)<0， ∴f(x1)<f(x2)．∴当a<－1时，f(x)在定义域(0，＋∞)内是单调减函数． 20.[解析] (1)∵f(1－a)＋f(1－a2)>0， ∴f(1－a)>－f(1－a2)．∵f(x)是奇函数，∴f(1－a)>f(a2－1)．又∵f(x)在(－1,1)上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a<a2－1，－1<1－a<1，－1<1－a2<1，解得1<a< 2.(2)因为函数g(x)在[－2,2]上是偶函数，则由g(1－m)<g(m)可得g(|1－m|)<g(|m|)．又当x ≥0时，g(x)为减函数，得到⎩⎪⎨⎪⎧ |1－m|≤2，|m|≤2，|1－m|>|m|，即错误!解之得－1≤m<12. 21.[解析] (1)f(x)＝－x3在R 上是减函数，满足①；设存在区间[a ，b]，f(x)的取值集合也是[a ，b]，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a3＝b －b3＝a ，解得a ＝－1，b ＝1，所以存在区间[－1,1]满足②，所以f(x)＝－x3(x ∈R)是闭函数．(2)f(x)＝k ＋x ＋2是在[－2，＋∞)上的增函数，由题意知，f(x)＝k ＋x ＋2是闭函数，存在区间[a ，b]满足②，即⎩⎨⎧ k ＋a ＋2＝a k ＋b ＋2＝b即a ，b 是方程k ＋x ＋2＝x 的两根，化简得，a ，b 是方程x2－(2k ＋1)x ＋k2－2＝0的两根，且a ≥k ，b>k.令f(x)＝x2－(2k ＋1)x ＋k2－2，得错误!解得－94<k ≤－2， 所以实数k 的取值范围为(－94，－2]． 22.[解析] (1)m ＝1时，f(x)＝log 12(x2－x －1)，由x2－x －1>0可得：x>1＋52或x<1－52， ∴函数f(x)的定义域为(1＋52，＋∞)∪(－∞，1－52)． (2)由于函数f(x)的值域为R ，所以z(x)＝x2－mx －m 能取遍所有的正数从而Δ＝m2＋4m ≥0，解得：m ≥0或m ≤－4.即所求实数m 的取值范围为m ≥0或m ≤－4.(3)由题意可知：错误!⇒2－2错误!≤m<2. 即所求实数m 的取值范围为[2－23，2)．。
【北师大版】高中数学必修一期末试题(含答案)(1)
一、选择题1．已知()11x f x e =-+，若函数2()[()](2)()2g x f x a f x a =+--有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2) 2．函数()211f x x x=-+的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 3．已知函数()()f x x R ∈是奇函数且当(0,)x ∈+∞时是减函数，若(1)0f =，则函数2(2||)y f x x =-的零点共有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个4．已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是( )A ．52a -B ．2a -C ．23(1)a a -+D ．231a a --5．函数2ln 8x y x =-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．6．对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数()21y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数sin y x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 8．函数()21x f x x =-的图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ． 9．已知偶函数()f x 在 [0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式 (1)0f x +<的解集是（ ）A ．[0,2)B ．[]3,1-C ．(1,3)-D ．(2,2)-10．已知集合123,,A A A 满足: {}*123|19A A A x N x =∈≤≤,且每个集合恰有3个元素,记()1,2,3i A i =中元素的最大值与最小值之和为()1,2,3i M i =,则123M M M ++的最小值为（ ）A ．21B ．24C ．27D ．3011．设所有被4除余数为()0,1,2,3k k =的整数组成的集合为k A ，即{}4,k A x x n k n Z ==+∈，则下列结论中错误的是（ ）A ．02020A ∈B ．3a b A +∈，则1a A ∈，2b A ∈C ．31A -∈D ．k a A ∈，k b A ∈，则0a b A -∈ 12．从含有3个元素的集合{},,a b c 的所有子集中任取一个，所取得子集是含有2个元素的集合的概率（ ）A ．310B ．112C ．4564D ．38二、填空题13．已知函数()2log ,02 sin ,2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若1234x x x x <<<且()()()()1234f x f x f x f x ===，则()()341222x x x x --的取值范围为____________.14．关于x 的方程()2310xx x e b -+-=恰好有3个实数根，则实数b 的取值范围是__________.15．当x >0时，212()log (32)f x x x -=-+，则y =f (x )在(,0)-∞内的单调增区间为_____.16．已知函数()212log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数，则a 的取值范围是______. 17．已知函数()()14f x a ax =--[]0,2上是减函数，则实数a 的取值范围是_____.18．已知函数()225f x x ax =-+在(],2-∞上是减函数，且对任意的1x 、[]21,1x a ∈+，总有()()124f x f x -≤，则实数a 的取值范围是________.19．已知{}2|340,{|10}A x x x B x ax a =+-==-+=，且B A ⊆，则所有a 的值所构成的集合M =_________.20．已知集合M ＝{x ∈N |1≤x ≤15}，集合A 1，A 2，A 3满足①每个集合都恰有5个元素； ②A 1∪A 2∪A 3＝M ．集合A i 中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为X i （i ＝1，2，3），则X 1+X 2+X 3的最大值与最小值的和为_____． 三、解答题21．已知函数22,01,()ln ,1x x f x x x e-≤<⎧=⎨≤≤⎩，其中e 为自然对数的底数． （1）求(f f 的值；（2）作出函数()()1F x f x =-的图象，并指出单调递减区间(无需证明) ；（3）若实数0x 满足00(())f f x x =，则称0x 为()f x 的二阶不动点，求函数()f x 的二阶不动点的个数．22．宜城市流水镇是全国闻名的西瓜基地，流水西瓜含糖量高，口感好，多次入选全国农博会并获金奖，畅销全国12省百余个大中城市.实践证明西瓜的产量和品质与施肥关系极大，现研究发现该镇礼品瓜“金皇后”的每亩产量L （单位：百斤）与施用肥料x （单位：百斤）满足如下关系：238(2),02()603,312x x L x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪+⎩，肥料成本投入为5x （单位：百元），其它成本投入为10x （单位：百元）.已知“金皇后”的市场批发价为2元/斤，且销路畅通供不应求，记每亩“金皇后”的利润为()f x （单位：百元）.（1）求()f x 的函数关系式；（2）当施用肥料为多少斤时，每亩“金皇后”的利润最大，最大利润是多少元？1.414≈）.23．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的“有上界函数”，其中M 称为函数()f x 的上界．已知函数11()139x xf x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）当12a =-时，求函数()f x 在(,0)-∞上的值域，并判断函数()f x 在(,0)-∞上是否为“有上界函数”，请说明理由；（2）若函数()f x 在[0,)+∞上是以4为上界的“有上界函数”，求实数a 的取值范围．24．已知222log ()log log x y x y +=+，则x y +的取值范围是__________.25．已知函数()()12f x x x =+-.（1）作出函数()f x 的图象.（2）判断直线y a =与()()12f x x x =+-的交点的个数；（3）已知方程()1221x x m +-=-有三个实数解.求m 的取值范围.26．已知集合{|314}A x x =-<+，{|213}B x m x m =-<+．（1）当1m =时，求A B ；（2）若A B A ⋃=，求m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】利用十字相乘法解()0g x =，得()2f x =或()f x a =-，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点个数问题进行求解即可．【详解】解：若2()[()](2)()2[()2][()]g x f x a f x a f x f x a =+--=-+有三个零点，即()[()2][()]0g x f x f x a =-+=有三个根，即()2f x =或()f x a =-．当()2f x =时，由|1|12x e -+=，即|1|1x e -=，则11x e -=或11x e -=-，即2x e =或0x e =，则2x ln =或x 无解，此时方程只有一个解，则()f x a =-．有两个不同的根，作出()f x 的图象如图：由图象知，则12a <-<，即21a -<<-，即实数a 的取值范围是(2,1)--，故选：A ．【点睛】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题是解决本题的关键．2．B解析：B【分析】令f(x)=0得211x x -+=0，所以211x x +=，再作出函数211y x y x=+=与的图像得解. 【详解】 令f(x)=0得211x x -+=0，所以211x x +=，再作出函数211y x y x=+=与的图像, 由于两个函数的图像只有一个交点，所以零点的个数为1.故答案为B【点睛】(1)本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)零点问题的处理常用的方法有方程法、图像法、方程+图像法.3．D解析：D【解析】根据题意，函数y=f （x ）是定义域为R 的奇函数，则f （0）=0，当x ∈（0，+∞）时是减函数，且f （1）=0，则函数在（0，+∞）上只有一个零点， 若函数y=f （x ）是奇函数且当x ∈（0，+∞）时是减函数，则f （x ）在（-∞，0）为减函数，又由f （1）=0，则f （-1）=-f （1）=0，则函数在（-∞，0）上只有一个零点，故函数y=f （x ）共有3个零点，依次为-1、0、1， 对于函数()22y f x x =-， 当221x x -=-时，解得1x =±， 当220x x -=时，解得2x =±或0x =，当221x x -=时，解得1x =+1x =--故函数()22y f x x =-的零点共有7个.故选D点睛：本题考查函数的零点的判断，涉及函数的奇偶性与单调性的综合运用，关键是分析得到函数y=f （x ）的零点，注意计算的准确性. 4．B解析：B【解析】试题分析：33333333log 82log 6log 22log 233log 22(log 2log 3)-=-⨯=-+3log 222a =-=-,所以答案选B .考点：指数对数的计算5．D解析：D【分析】先根据偶函数性质排除B ，再考虑当0x >且0x →时，y →+∞，排除A.再用特殊值法排除C ，即可得答案.【详解】解：令()2ln 8x f x y x ==-，则函数定义域为{}0x x ≠ ，且满足()()f x f x -=，故函数()f x f (x )为偶函数，排除选项B ；当0x >且0x →时，y →+∞，排除选项A ；取特殊值x =1ln 1ln 0y e =-<-=，排除选项C.故选：D.【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象问题，考查函数的基本性质，是中档题.6．A解析：A【分析】由对数函数，对a 分类，01a <<和1a >，在对数函数图象确定的情况下，研究二次函数的图象是否相符．方法是排除法．【详解】由题意，若01a <<，则log a y x =在()0+∞，上单调递减， 又由函数()21y a x x =--开口向下，其图象的对称轴()121x a =-在y 轴左侧，排除C ，D. 若1a >，则log a y x =在()0+∞，上是增函数， 函数()21y a x x =--图象开口向上，且对称轴()121x a =-在y 轴右侧， 因此B 项不正确，只有选项A 满足.故选：A ．【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法，可按照其中一个函数的图象分类确定另一个函数图象，排除错误选项即可得．7．A解析：A【分析】先判断函数奇偶性，排除CD ，再结合函数在()0,π的正负选出正确答案【详解】设()sin y f x x x ==，求得()sin f x x x -=，故函数为偶函数，排除CD ，由三角函数图像特征可知在()0,π时sin 0x >，故在()0,π时()0f x >，故A 正确故选：A【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8．C解析：C【分析】由1x >时，()0f x <，排除B 、D ；由函数()f x 在区间(0,1)上的单调性，排除A ，即可求解.【详解】由题意，函数()21x f x x=-有意义，满足210x -≠，解得1x ≠±， 又由当1x >时，()0f x <，排除B ，D ； 当01x <<时，()21x f x x =-，设1201x x ，则2112212122222121(1)()()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x +--=-=----， 因为2221122110,10,10,0x x x x x x ->->+>->，所以21()()0f x f x ->，即12()()f x f x <，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，所以A 不符合，C 符合. 故选：C.【点睛】知式选图问题的解答方法：从函数的定义域，判定函数图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置； 从函数的单调性（有时借助导数），判断函数的图象的变换趋势；从函数的奇偶性，判断图象的对称性；从函数的周期性，判断函数的循环往复；从函数的特殊点（与坐标轴的交点，经过的定点，极值点等），排除不和要求的图象. 9．B解析：B【详解】由()f x 在[0,)+∞上是增函数，且(2)0f =当0x >时，()0f x <的解集[0,2]；当时()f x 为减函数，(2)0f -=，()0f x <的解集[2,0]-．综上()0f x <的解集[2,2]-，所以(1)0f x +<满足212,31x x -≤+≤∴-≤≤．故选：B ．10．C解析：C【分析】求出{}{}*123|191,2,3,4,5,6,7,8,9A A A x N x =∈≤≤=，由题意列举出集合123,,A A A ，由此能求出123M M M ++的最小值.【详解】由题意可知，{}{}*123|191,2,3,4,5,6,7,8,9A A A x N x =∈≤≤=123,,A A A 各有3个元素且不重复，当{}13,4,5A =，{}22,6,7A =，{}31,8,9A =时， 123M M M ++取得最小值，此时最小值为12357927+++++=，故选C【点睛】本题主要考查集合中的元素运算，解题的关键是理解题中满足的条件，属于中档题. 11．B解析：B【分析】首先根据题意，利用k A 的意义，再根据选项判断.【详解】A.202045050=⨯+，所以02020A ∈，正确；B.若3a b A +∈，则12,a A b A ∈∈，或21,a A b A ∈∈或03,a A b A ∈∈或30,a A b A ∈∈，故B 不正确；C.()1413-=⨯-+，所以31A -∈，故C 正确；D.4a n k =+，4b m k =+，,m n Z ∈，则()40,a b n m -=-+()n m Z -∈，故0a b A -∈，故D 正确.故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，关键是理解k A 的意义，再将选项中的数写出k A 中的形式，就容易判断选项了.12．D解析：D【分析】含有3个元素的集合{},,a b c 共有子集个数328=，含有2个元素的子集有3个，根据古典概型即可计算.【详解】因为含有3个元素的集合{},,a b c 共有子集个数328=，含有2个元素的子集有3个， 所以38P =,故选D. 【点睛】本题主要考查了集合子集的概念，古典概型，属于中档题.二、填空题13．【分析】根据解析式画出函数图象去绝对值并结合对数的运算性质求得根据正弦函数的对称性求得将化为结合二次函数的性质即可得出结果【详解】函数画出函数图象如下图所示:由函数图象可知若则因为与关于对称则且去绝 解析：()0,12【分析】根据解析式,画出函数图象.去绝对值并结合对数的运算性质求得12x x ⋅，根据正弦函数的对称性求得34x x +，将()()341222x x x x --化为2441220x x -+-，结合二次函数的性质，即可得出结果.【详解】函数()2log,02sin,2104x xf xx xπ⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤⎪⎪⎝⎭⎩，画出函数图象如下图所示:由函数图象可知，若()()()()1234f x f x f x f x k====，则()0,1k∈，因为1234x x x x<<<，3x与4x关于6x=对称，则2122log logx x=，3412x x+=，且4810x<<，去绝对值化简可得2122log logx x-=，即2122log log0x x+=，由对数运算可得()212log0x x⋅=所以121x x⋅=，则()()()3434343412222420x xx x x x x xx x--=-=++-()23444442012201220x x x x x x=-=--=-+-，令21220y x x=-+-，()8,10x∈，因为21220y x x=-+-是开口向下，对称轴为6x=的二次函数，所以21220y x x=-+-在()8,10x∈上单调递减，所以10012020649620y-+-<<-+-，即012y<<；即()()()34244122212200,12x xx xx x--=-+-∈故答案为: ()0,12.【点睛】本题考查了分段函数的性质及应用，涉及求二次函数的最值，根据数形结合的方法求解即可，属于中档题.14．【分析】将方程转化为两个函数与的交点问题通过求导分析函数的单调性和极值画出的图形则问题即可迎刃而解【详解】由题意有：设∴问题转化为与有三个交点∴对进行分析可知：∴令有：或者当有：当有：或者∴在单调递解析：50,e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】将方程转化为两个函数2()(31)x f x x x e =-+与()g x b =的交点问题，通过求导分析函数()f x 的单调性和极值，画出()f x 的图形，则问题即可迎刃而解.【详解】由题意有：设2()(31)x f x x x e =-+，()g x b =， ∴问题转化为()f x 与()g x 有三个交点 ∴对()f x 进行分析可知： 2()(3123)x f x x x x e '=-++- 2(2)x x x e =-- (2)(1)x x x e =-+∴令()0f x '=有：1x =-或者2x =， 当()0f x '<有：12x -<<， 当()0f x '>有：1x <-或者2x >∴()f x 在(,1)-∞-单调递增，在(1,2)-单调递减，在(2,)+∞单调递增； ∴()f x 有极大值5(1)f e'-=，极小值2(2)f e '=-， 又∵当x →-∞时，()0f x →， ∴()f x 的图像如下图，故答案为：50,e ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题通过求方程中参数的范围，考查了学生运用导数工具处理函数中交点个数问题，也考验了学生用导数作复合函数图像的能力，以及用数形结合思想处理函数交点个数引起的参量的范围问题，对学生要求较高，为中等难度题目.15．【分析】由已知函数解析式求出时的函数解析式由真数大于0得到的范围再由复合函数的单调性求解【详解】令则当时且或二次函数在上为减函数在上为增函数而对数式在上为减函数在内的单调增区间为故答案为：【点睛】本 解析：(,2)-∞-【分析】由已知函数解析式求出0x <时的函数解析式，由真数大于0得到x 的范围，再由复合函数的单调性求解． 【详解】令0x <，则0x ->，当0x >时，212()log (32)f x x x -=-+， 221122()[()][()3()2](32)(0f x f x log x x log x x x ∴=--=---+=++<且2320)x x ++>．2x ∴<-或10x -<<．二次函数232t x x =++在(,2)-∞-上为减函数，在(1,0)-上为增函数， 而对数式12y log t =在(0,)t ∈+∞上为减函数，()y f x ∴=在(,0)-∞内的单调增区间为(,2)-∞-．故答案为：(,2)-∞-． 【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查复合函数的单调性，对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．16．【分析】函数为复合函数且原函数为减函数根据题意需要满足一元二次函数在上是增函数且在上恒大于或等于零然后求解关于a 的不等式即可得到结果【详解】令则原函数化为此函数为定义域内的减函数要使函数在上是减函数解析：9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】函数为复合函数,且原函数为减函数,根据题意需要满足一元二次函数2x ax a -+在()3,+∞上是增函数,且在()3,+∞上恒大于或等于零,然后求解关于a 的不等式即可得到结果. 【详解】令2t x ax a =-+,则原函数化为12()log g t t =,此函数为定义域内的减函数,要使函数()212log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数,则函数2t x ax a =-+在()3,+∞上是增函数,且在()3,+∞上恒大于或等于零,即有232330aa a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩,解得92a ≤. 故答案为:9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了复合函数的单调性,需要掌握复合函数的同增异减,本题还要注意对数函数的定义域是求解的前提,这里容易漏掉,需要掌握此类题目的解题方法.17．【分析】根据f （x ）定义在02上且4﹣ax≥0即可得出a≤2然后讨论：①1＜a≤2时满足条件；②a=1时不合题意；③0＜a ＜1时不合题意；④a=0时不合题意；⑤a ＜0时满足条件这样即可求出实数a 的取 解析：012a a <<≤或【分析】根据f （x ）定义在[0，2]上，且4﹣ax≥0，即可得出a≤2，然后讨论：①1＜a≤2时，满足条件；②a=1时，不合题意；③0＜a ＜1时，不合题意；④a=0时，不合题意；⑤a ＜0时，满足条件，这样即可求出实数a 的取值范围． 【详解】∵f （x ）定义在[0，2]上；∴a ＞2时，x=2时，4﹣ax ＜0，不满足4﹣ax≥0； ∴a≤2；①1＜a≤2时，a ﹣1＞0；∴()(1f x a =-[0，2]上是减函数； ②a=1时，f （x ）=0，不满足在[0，2]上是减函数； ∴a≠1；③0＜a ＜1时，a ﹣1＜0；∵[0，2]上是减函数；∴()(1f x a =-[0，2]上是增函数； ∴0＜a ＜1不合题意；④a=0时，f （x ）=﹣2，不满足在[0，2]上是减函数； ∴a≠0；⑤a ＜0时，a ﹣1＜0；[0，2]上是增函数；∴()(1f x a =-[0，2]上是减函数； ∴综上得，实数a 的取值范围为012a a <<≤或． 故答案为012a a <<≤或． 【点睛】考查函数定义域的概念，函数单调性的定义及判断．18．【分析】根据二次函数的单调性求得求得函数在区间上的最大值和最小值由题意可得出可得出关于实数的不等式进而可求得实数的取值范围【详解】二次函数的图象开口向上对称轴为直线由于函数在上是减函数则则所以函数在 解析：[]2,3【分析】根据二次函数()y f x =的单调性求得2a ≥，求得函数()y f x =在区间[]1,1a +上的最大值和最小值，由题意可得出()()max min 4f x f x -≤，可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】二次函数()225f x x ax =-+的图象开口向上，对称轴为直线x a =，由于函数()225f x x ax =-+在(],2-∞上是减函数，则2a ≥，则()1,1a a ∈+，所以，函数()y f x =在区间[)1,a 上单调递减，在区间(],1a a +上单调递增， 所以，()()2min 5f x f a a ==-，又()162f a =-，()216f a a +=-，则()()()211220f f a a a a a -+=-=-≥，()()max 162f x f a ∴==-，对任意的1x 、[]21,1x a ∈+，总有()()124f x f x -≤，则()()()()22max min 625214f x f x a a a a -=---=-+≤，即2230a a --≤，解得13a -≤≤， 又2a ≥，则23a ≤≤，因此，实数a 的取值范围是[]2,3.故答案为：[]2,3. 【点睛】本题考查利用不等式恒成立求参数值，同时也考查了利用二次函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.19．【分析】计算根据得到四种情况分别计算得到答案【详解】当时：此时；当时：解得；当时：解得；当时：无解；综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了根据集合关系求参数忽略掉空集是容易发生的错误解析：110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【分析】计算{}1,4A =-，根据B A ⊆得到B =∅，{}1B =，{}4B =-，{}1,4B =-四种情况，分别计算得到答案. 【详解】{}{}2|3401,4A x x x =+-==-，B A ⊆当B =∅时：{|10}B x ax a =-+==∅，此时0a =； 当{}1B =时：{}{|10}1B x ax a =-+==，解得12a =； 当{}4B =-时：{}{|10}4B x ax a =-+==-，解得13a =-； 当{}1,4B =-时：{}{|10}1,4B x ax a =-+==-，无解； 综上所述：110,,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭故答案为：110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了根据集合关系求参数，忽略掉空集是容易发生的错误.20．96【分析】对分三种情况讨论求出X1+X2+X3取最小值39X1+X2+X3取最大57即得解【详解】由题意集合M ＝{x ∈N*|1≤x≤15}＝{123456789101112131415}当A1＝{解析：96 【分析】对123,,A A A 分三种情况讨论，求出X 1+X 2+X 3取最小值39，X 1+X 2+X 3取最大57，即得解. 【详解】由题意集合M ＝{x ∈N*|1≤x ≤15}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，当A 1＝{1，4，5，6，7}，A 2＝{3，12，13，14，15}，A 3＝{2，8，9，10，11}时， X 1+X 2+X 3取最小值：X 1+X 2+X 3＝8+18+13＝39，当A 1＝{1，4，5，6，15}，A 2＝{2，7，8，9，14}，A 3＝{3，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3＝16+16+16＝48，当A 1＝{1，2，3，4，15}，A 2＝{5，6，7，8，14}，A 3＝{9，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3取最大值：X 1+X 2+X 3＝16+19+22＝57， ∴X 1+X 2+X 3的最大值与最小值的和为：39+57＝96． 【点睛】本题主要考查集合新定义的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题21．（1）(1f f =；（2）图象见解析，递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[]1,e ．（3）3【分析】（1）分段函数求值，根据x 的范围代入即可；（2）画出函数图象，结合图象求出函数单调性；（3）写出(())f f x 分段函数，根据(())f f x x =，求出解的个数 【详解】解：（1）因为1e >，所以1()2f e ln e ==，所以1(())()12f f e f ==． （2）()|()1|F x f x =-，所以函数图象如下所示：递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[]1,e ．（3）根据题意，012x，(())(22)f f x ln x =-，当112x <<，(())42f f x x =-，当1x e ，(())22f f x lnx =-，当012x时，由(())(22)f f x ln x x =-=，记()(22)g x ln x x =--，则()g x 在1[0,]2上单调递减，且(0)20g ln =>，11()022g =-<， 故()g x 在1[0,]2上有唯一零点1x ，即函数()f x 在1[0,]2上有唯一的二阶不动点1x ． 当112x <<时，由(())42f f x x x =-=，得到方程的根为223x =，即函数()f x 在1(,1)2上有唯一的二阶不动点223x =． 当1x e 时，由(())22f f x lnx x =-=，记()22h x lnx x =--，则()h x 在[1，]e 上单调递减，且()110h =>， ()0h e e =-<，故()h x 在[1，]e 上有唯一零点3x ，即函数()f x 在[1，]e 上有唯一的二阶不动点3x ． 综上所述，函数()f x 的二阶不动点有3个． 【点睛】（1）这是分段函数求值，基础题；（2）含绝对值的函数单调性的判断，比较容易；（3）这道题难点是要写出(())f f x 分段函数，根据(())f f x x =，求出解的个数，一定注意x 的范围．22．（1）()f x 23161532,02120315,312x x x x x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪+⎩；（2）182.8斤，最大利润为5016元.【分析】（1）由()()215f x L x x =-以及()L x 的解析式可得结果； （2）分段求出最大值，再取更大的函数值即可得解. 【详解】（1）()()215f x L x x =-23161532,02120315,312x x x x x x x⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪+⎩，（2）①当302x <≤时，对称轴3015323224x +=<=， ∴当32x =时，()max 45.5f x =百元，②当332x <≤时，()()12013515113513550.161f x x x ⎡⎤=-++≤-=-≈⎢⎥+⎣⎦百元，当且仅当()1201511x x =++即1 1.828x =≈百斤， 由①②可知： 1.828x =时，()max 50.16f x ≈百元.∴当施用肥料为182.8斤时，每亩“金皇后”的利润最大，最大利润为5016元.【点睛】本题考查了分段函数的最值，考查了基本不等式求最值，考查了二次函数求最值，属于中档题.23．（1）值域为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，不是“有上界函数”；理由见解析；（2）(,2]-∞ 【分析】（1）把12a =-代入函数的表达式，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得1t >，可求出2112y t t =-+的值域，即为()f x 在(,0)-∞的值域，结合“有上界函数”的定义进行判断即可；（2）由题意知，()4f x ≤对[0,)x ∈+∞恒成立，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得(0,1]t ∈，整理得3a t t ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭对(0,1]t ∈恒成立，只需min 3a t t ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭即可.【详解】（1）当12a =-时，111()1239x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0x <，1t ∴>，2112y t t =-+，2112y t t =-+在(1,)+∞上单调递增，111232y -∴>+=，即()f x 在(,0)-∞的值域为3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 故不存在常数0M >，使()f x M ≤成立． ∴函数()f x 在(,0)-∞上不是“有上界函数” （2）由题意知，()4f x ≤对[0,)x ∈+∞恒成立，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0x ≥，(0,1]t ∴∈，214at t ∴++≤对(0,1]t ∈恒成立，即3a t t ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭对(0,1]t ∈恒成立，设3()g t t t=-，易知()g t 在(0,1]t ∈上递减， ()g t ∴在(0,1]t ∈上的最小值为(1)2g =．∴min ()2a g t ≤=，∴实数a 的取值范围为(,2]-∞ 【点睛】本题考查新定义，考查函数的值域与最值，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.24．[4,)+∞【分析】利用对数式的运算性质把给出的等式变形，去掉对数符号后利用基本不等式转化为关于(x +y )的二次不等式，求解后即可得到x +y 的取值范围. 【详解】222log ()log log x y x y +=+，x y xy ∴+=，0,0x y >>，2()2x y x y xy +∴+=≤，当且仅当2x y ==时，等号成立。
北师大版高一上册数学期末测试卷(一)附答案
（2）若关于 的方程 有两个不相等实数根，求实数 的取值范围.
期末测试
答案解析
一、
1.【答案】C
【解析】解指数不等式求得集合 ，由此求得 ，进而判断出 中所含整数的个数.由 ，所以 ，所以 ，所以 ，所含整数为 共 个.
故选：C.
2.【答案】D
【解析】试题分析：A中函数在区间 上单调递减；B中函数不是奇函数；C中函数不是奇偶函数；D中函数既是奇函数又在区间 上单调递增的函数.
A. B. 或
C. 或 D.
二、填空题（4分×5=20分）
13.函数 的定义域为________.
14.点 和点 的距离的最小值为________.
15.三条直线 ， ， 围成一个三角形，则 的取值范围是________.
16.已知函数 ，则关于 的方程 的实根个数构成的集合为________.
三、解答题（10分+12分×5=70分）
故选：B.
11.【答案】B
【解析】由三视图所提供的图形和数据可知：该几何体是一个底面是两直角边分别为 直角三角形，高为 的三棱锥，则其外接球的直径为 ，其表面积 ，应选答案B.
12.【答案】D
【解析】先根据幂函数定义解得 ，再根据单调性进行取舍，根据任意存在性将问题转化为对应函数值域包含问题，最后根据函数单调性确定对应函数值域，根据值域包含关系列不等式解得结果.由题意 ，则 ，即 ，当 时， ，又当 时， ， ，解得 ，故选D.
.所以圆 的方程为 .
（2） ，而 ，所以当 最小时， 最小，从而 最小. 的最小值为圆心 到直线 的距离，即 ，此时 ，也即 的最小值为 ，所以四边形 面积的最小值为 .
北师大版2021-2022学年高一上学期期末质量检测数学试题含答案
2021-2022学年度期终质量检测高一数学试卷班级：_________________ 姓名：_________________ 座号：________________一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}2A x x =≤，集合(){}ln 1B x y x ==-，则AB 等于（ ）A ．{}12x x <≤B ．{}12x x ≤≤C ．{}12x x <<D ．{}2x x ≥2.某集团校为调查学生对学校“延时服务”的满意率，想从全市3个分校区按学生数用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n 的样本.已知3个校区学生数之比为2:3:5，如果最多的一个校区抽出的个体数是60，那么这个样本的容量为（ ）A ．96B . 120C . 180D . 2403.已知函数()()log 3101a y x a a =++>≠且，则函数恒过定点（ ） A ．()1,0 B . ()2,0- C . ()0,1 D . ()2,1-4.函数()ln 34f x x x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B . 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C .()1,2D .()2,3A.2log y x =B. 12log y x = C. 212x y -= D.21y x =-6.设log 0.5a π=，0.72b =，c = ） A ．a c b <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<7.如下图1，其所对应的函数可能是（ ）A. ()lg 1y x =- B ．lg 1y x =- C ．()lg 1y x =+ D ．lg 1y x =+B.8.已知0,0,21a b a b >>+=，则下列选项错误．．的是（ ） A ．102b << B ．2422a b+≥C ．ab 的最大值是18 D ．22a b +的最小值是516二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新北师大版高一数学必修一期末测试卷一(含详细解析)
新北师大版高一必修一期末测试卷（共 2 套附解析）综合测试题(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分．满分 150 分．考试时间120 分钟．第Ⅰ卷(选择题共 60 分)一、选择题 (本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)2－4x＋3<0} ，B＝{ x|2x－3>0} ，则 A∩B＝1．(2016 全·国卷Ⅰ理，1)设集合A＝{ x|x( )A．(－3，－3 3 ) B．(－3，)2 2C．(1，3 3，3) 2) D．(22－5x＋6x2．(2015 湖·北高考 )函数 f( x)＝4－|x |＋lgx－3的定义域 ( )A．(2,3) B．(2,4]C．(2,3) ∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6]3．下列各组函数，在同一直角坐标中，f(x)与 g( x)有相同图像的一组是( ) 11 2)2 ，g(x)＝(x2 )2A．f(x)＝(xB．f (x)＝2－9x，g(x)＝x－3x＋312，g(x)＝2log2xC．f (x)＝(x2 )xD．f(x)＝x，g(x)＝lg104．函数y＝lnx＋2x－6 的零点，必定位于如下哪一个区间( )A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)5．已知f( x)是定义域在(0，＋∞ )上的单调增函数，若f(x)> f(2－x)，则 x 的取值范围是( ) A．x>1 B．x<1C．0< x<2 D．1<x<21 1－6．已知x 2 ＋x 2 ＝5，则2 ＋x 2 ＝5，则2＋1x的值为( ) xA．5 B．23第 1 页共9 页C．25 D．277．(2014 山·东高考 )已知函数y＝loga(x＋c)( a，c 为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是( )A．a>1，c>1 B．a>1,0< c<1C．0< a<1，c>1 D．0< a<1,0< c<1x －x＋3 8．若函数f( x)＝3x －x与 g(x)＝3 －3的定义域均为R，则( )A．f(x)与 g( x)均为偶函数B．f (x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f (x)与 g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数2 2 12 2 29．( )3 ，( )3 ，( )3 的大小关系为( )3 5 32 A．( )3 1 2 2 2 122 2 2 2 23 >( )3 >( )3B．( )3 >( )3 >( )35 3 5 3 3C．(2 1 2 1 222 2 2 2 223) 3) 5) 3) 3) 5)3 >( 3 >( 3D．( 3 >( 3 >(310．已知函数f(x)＝log121|x |＝|f (x)|的实根个数是( )x，则方程 ( )2A．1 B．2C．3 D．200611．若偶函数f(x)在(－∞，－ 1]上是增函数，则下列关系式中，成立的是( )A．f(－32)< f(－1)<f(2)B．f(－1)< f(－32)<f (2)C．f (2)< f(－1)< f(－32 )3D．f(2)< f(－2)<f (－1)12．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点第 2 页共9 页为“好点”，在下面的五个点M (1,1)，N(1,2)，P (2,1)，Q(2,2)，G(2，12)中，“好点”的个数为（)A．0 B．1C．2 D．3第Ⅱ卷(非选择题共90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共20 分，把答案填在题中横线上) 13．若已知A∩{ －1,0,1} ＝{0,1} ，且A∪{ －2,0,2} ＝{ － 2,0,1,2}，则满足上述条件的集合 A 共有 ________个．14．(2014 浙·江高考)设函数f(x)＝2＋2x＋2，x≤0，x－x2，x>0.2，x>0.若 f (f(a))＝2，则a＝________.3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下15．用二分法求方程x一步可断定该根所在的区间为________．16．函数y＝log13 2－3x)的单调递减区间是________(x三、解答题(本大题共 6 个小题，满分70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)2＋px＋12＝ 0} ，B＝{ x |x2－5x＋q＝0} ， 17．(本小题满分10 分)设全集U为R，A＝{ x|x若(?U A)∩B＝{2} ，A∩(?UB)＝{4} ，求A∪B.18．(本小题满分12 分)log72＋(－9.8)0 (1)不用计算器计算：l og3 27＋lg25＋lg4＋71 12，求f( x＋1)． (2)如果f(x－)＝(x＋)x x2＋ 2x－m＋1.19．(本小题满分12 分)已知函数f(x)＝－ 3x(1)当m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m 的值．20．(本小题满分12 分)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，并且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x.1(1)求 f (log23)的值；(2)求 f (x)的解析式．2＋1 21．(本小题满分12 分)(2015 上·海高考)已知函数f(x)＝axx(1)根据 a 的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若a∈(1,3)，判断函数f(x)在[1,2] 上的单调性，并说明理由．x－1.其中 22．(本小题满分12 分)已知f( x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0 时，f(x)＝a共9 页第3页a>0 且a≠ 1.23．(1)求f(2)＋f(－2)的值；(2)求 f (x)的解析式；(3)解关于x 的不等式－1<f(x－1)<4，结果用集合或区间表示．题择一．选1.[答案 ] D2－4x＋3<0} ＝{ x|1<x<3} ， B＝ { x|2x－3>0} ＝ { x|x>3 [解析 ] A＝{ x|x } ．23故A∩B＝{x|D.<x<3} ．故选22.[答案 ] C4－|x |≥0，，：件[解析 ] 由函数y＝f( x)的表达式可知，函数f(x)的定义域应满足条2－5x＋6x－3x>0－4≤x≤xC.(2,3) ∪(3,4] ，故应选解得.即函数f(x)的定义域为x>2且x≠ 33.[答案 ] D项B 中， f(x)的定R，g(x)的定义域为[0，＋∞)；选项A 中， f( x)的定义域为[解析 ]选1项C 中， f(x)＝(x2 )R；选义域为(－∞，－ 3)∪(－3，＋∞)，g(x)的定义域为2＝x，x∈[0，项D 中，g( x)＝ lg10＋∞ )，g(x)＝2log2x，x∈(0，＋∞ )，定义域和对应关系都不同；选x＝xlg10 ＝x，故选D.4.[答案 ] Bf(x0)＝0，[解析 ] 令f(x)＝ln x＋2x－6，设∵f(1)＝－ 4<0，f(3)＝ln3>0 ，又f(2) ＝ln2－2<0，f(2) ·f(3)<0，∴x0∈(2,3)．5.[答案 ] Dx>0x>0[解析 ] 由已知得，2－x>0 ? x<2x>1x>2－x∴x∈(1,2)，故选D.6.[答案 ] B共9 页第4页[解析] 2＋1x1－1 －1＝x ＋ ＝x ＋ x x x1 － ＝(x2 ＋x 1 2－22)＝52－2＝23. 故选 B. 7.[答案] D[解析] 本题考查对数函数的图像以及图像的平移． 由单调性知 0<a<1.又图像向左平移，没有超过 1 个单位长度．故 0<c<1，∴选 D.8.[答案] Bx －x ＋ 3 [解析] f( x)＝3－x x 且定义域为 R ，则 f(－x)＝3 ＋3 ，∴f(x)＝f(－x)，∴ f(x)为偶函数．同理得 g(－x)＝－ g( x)，∴ g(x)为奇函数．故选 B. 9.[答案] D2 x 为减函数， 12 [解析] ∵y ＝( ) <， 33 31 2 2 2 ∴( 3 >( 3.) ) 3 32 又∵y ＝x3 在(0，＋∞ )上为增函数，且 2 2> ，3 5 2 2 2 2 ∴( 3 >( 3，) ) 3 51 2 2 2 2 2 ∴( 3 >( 3 >( 3.故选 D. 3)3)5)10.[答案 ] B1|x |及 y ＝|log 1 [解析] 在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝( ) 22x |的图像如图所示， 易得B.11.[答案] D[解析] ∵f(x)为偶函数，∴f(2)＝f(－2)．又∵－2<－32<－1，且 f(x)在(－∞，－1)上是增函数，3∴f(2)< f(－2)< f(－1)．12.[答案] C第 5 页共9 页[解析 ] ∵指数函数过定点(0,1)，对数函数过定点(1,0)且都与y＝x 没有交点，∴指数函数不过(1,1)，(2,1)点，对数函数不过点(1,2)，∴点M、N、P 一定不是好点．可验证：点Q (2,2)是指数函数y＝( 2)x 和对数函数y＝logx 和对数函数y＝log12x 的交点，点G(2，2)在指数函数y＝( 2x 上，且在对数函数y＝log)2 4x 上．故选C.二．填空题13.[答案 ] 4[解析 ] ∵A∩{ －1,0,1} ＝{0,1} ，∴0,1∈A 且－ 1?A.又∵ A∪{－2,0,2} ＝{ －2,0,1,2} ，∴1∈A 且至多－2,0,2∈A.故0,1∈ A 且至多－2,2∈A.∴满足条件的 A 只能为：{0,1} ，{0,1,2} ， {0,1 ，－ 2} ，{0,1 ，－ 2,2} ，共有 4 个．14.[答案 ] 2[解析 ] 此题考查分段函数、复合函数，已知函数值求自变量．令f(a)＝t，则f( t)＝2.2<0≠2，∴ t≤0.∵t>0 时，－ t即t2＋2t＋2＝ 2，∴ t＝0 或－ 2.当t＝0 时， f(a)＝0，a≤0 时， a2＋2a＋2＝0 无解．2＝0，a＝ 0 无解．a>0 时，－ a当t＝－ 2 时， a≤0，a2＋2a＋ 2＝－ 2 无解2＝－ 2，a＝ 2.a>0 时－ a1，1)15.[答案 ] (23－6x2＋4， [解析 ]设f(x)＝x显然f(0)>0 ，f(1)<0，1 1 3－6×(1 又f(2)＝(2) 2)1∴下一步可断定方程的根所在的区间为( ，1)．216. [答案 ] (3，＋∞ )2－3x>0，∴ x>3 或x<0，[解析 ] 先求定义域，∵x又∵ y＝log13 2－3x.u 是减函数，且u＝x即求u 的增区间．∴所求区间为(3，＋∞ )．第6页共9 页三．解答题17.[解析 ] ∵(?UA)∩B＝{2} ，A∩ (?UB)＝{4} ，∴2∈B,2?A,4∈A,4?B，根据元素与集合的关系，可得2＋4p＋12＝042－10＋q＝02，解得p＝－7，q＝6.∴A＝ { x|x2－7x＋12＝0} ＝{3,4} ，B＝{ x|x2－ 5x＋6＝ 0} ＝{2,3} ，经检验符合题意．∴A∪ B＝{2,3,4} ．318.[解析 ] (1)原式＝ log 332 ＋lg(25×4)＋2＋1＝313＋2＋3＝.2 21 12(2)∵f(x－x)＝(x＋ x)＝x2＋ 1 2＋ 12＋2＝ (x 2－2)＋4＝(x－x x 12＋4 )x∴f(x)＝x2＋ 4，∴ f(x＋1)＝(x＋1)2＋4＝x2＋2x＋5.2＋2x－m＋1＝0 有两个根，易知Δ>0， 19.[解析 ] (1)函数有两个零点，则对应方程－3x4即Δ＝4＋12(1－m)>0，可解得m<；3Δ＝0，可解得m＝4 4 ；Δ<0，可解得m> 33.4故m< 时，函数有两个零点；3m＝4 4时，函数有一个零点；m>3 3时，函数无零点．(2)因为0 是对应方程的根，有1－m＝ 0，可解得m＝1.x，20.[解析 ] (1)因为f(x)为奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝ 21所以f(log23)＝f(－log23)＝－ f(log 23)＝－ 23＝－ 3.log2(2)设任意的x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，因为当x∈(0，＋∞)时， f(x)＝2x，所以f(－x)＝2－x，R上的奇函数，则f(－x)＝－ f(x)，又因为 f (x)是定义在所以f(x)＝－ f(－x)＝－ 2x，－－x即当x∈(－∞，0)时， f( x)＝－ 2 ；又因为 f (0)＝－ f(0)，所以f(0)＝0，共9 页第7页x，x>02综上可知，f(x)＝0，x＝0.－x－2 ， x<021.[解析 ] (1) f(x)的定义域为{ x|x≠0， x∈R} ，关于原点对称，2＋ 1 2－1f(－x)＝a(－x)＝ax ，－x x当a＝0 时， f(－x)＝－ f(x)为奇函数，当a≠0 时，由f(1)＝a＋1，f(－ 1)＝ a－1，知f(－1)≠－ f(1)，故f( x)即不是奇函数也不是偶函数．(2)设1≤x1<x2≤2，则2 f(x2)－f(x1)＝ax2＋1 12－ ax1－＝(x2－ x1)[ a( x1＋x2)－x2 x11] ，x1x2由1≤x1<x2≤2，得x2－ x1＞ 0,2＜x1＋x2＜4,1＜x1x2＜4，1 1－1<－，又1＜ a＜3，所以2＜a(x1＋x2)＜12，<－x1x2 4得a(x1＋x2)－1＞0，从而f(x2)－f(x1)＞0，x1x2即f( x2)> f(x1)，故当a∈(1,3)时， f(x)在[1,2] 上单调递增．23.[解析 ] (1)∵f(x)是奇函数，∴f(－ 2)＝－ f(2) ，即f(2)＋f(－2)＝0.(2)当x<0 时，－x>0，－x∴f(－ x)＝ a －1.由f(x)是奇函数，有f(－x)＝－ f( x)，∵f(－ x)＝ a－x－1，∴ f (x)＝－ a－x＋1(x<0)．∴所求的解析式为f(x)＝x－1 x≥0a－a－x＋1x<0－x＋1 x<0.(3)不等式等价于x－1<0－x＋1＋1<4 －1<－a或x－1≥0x－1－ 1<4 －1<a，即x－1<0－x＋1－3<a<2或x－1≥0x－1<50<a.当a>1 时，有x<1x>1－log a2或x≥ 1x<1＋log a5注意此时log a2>0，loga5>0，可得此时不等式的解集为(1－log a2,1＋loga5)．第8页共9 页同理可得，当0<a<1 时，不等式的解集为R.综上所述，当a>1 时，不等式的解集为(1－log a2,1＋loga5)；当 0<a<1 时，不等式的解集为R.第9 页共9 页。
(完整word版)北师大版高一数学上学期期末测试卷
俯视图左视图主视图高一必修1+必修2数学检测试题一、选择题（60分）1 设集合{}{}|lg(1)0,|2,x A x x B y y x R =+<==∈，则A B = （ ） A ．),0(+∞ B （－1，0） C （0，1） D φ 2.经过()()0,1,3,0B A 的直线的倾斜角是（ ）A.300B.600C.1200D.13503. 直线L1:ax+3y+1=0, L2:2x+(a+1)y+1=0, 若L1∥L2,则a 的值为( ) A ．-3 B ．2 C ．-3或2 D ．3或-2()()()4..,3.,C e D e +∞2函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是( )xA.(1,2)B.2,e5、三个数23.0=a ，3.0log 2=b ，3.02=c 之间的大小关系是（ ）A ．a < c < bB ．a < b < cC ． b < a < cD ． b < c < a6. 若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若，m βαβ⊆⊥，则m α⊥B ．若m αγ=n βγ=，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥7．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A．(2π+ B.π4C ．(2π+ D. 6π8．若函数)10(1≠>-+=a a b a y x且的图象经过二、三、四象限，一定有（ ） A. 010<<<b a 且 B. 01>>b a 且 C. 010><<b a 且 D. 01<>b a 且9、直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于Ｅ、F 两点，则∆EOF （O 为原点）的面积（ ）A 、 23B 、 43C 、 52D 、 55610．正四棱台的上、下两底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则四棱台的高为( )（A ）2 （B ）52 （C ）3 （D ）7211.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）A ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B ．22(2)(1)1x y -+-= C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭12. 两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y+c=0上，则m+c 的值为（ ）13.方程223x x -+=的实数解的个数为 _______14．设函数(]812,,1,()log ,(1,).x x f x x x -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩则满足41)(=x f 的x 值为________; 15一个正四面体的顶点都在一个球面上，已知这个球的表面积为π3,则正四面体的边长_______。
新北师大版高一数学必修一期末测试卷一有详细解析
新北师大版高一必修一期末测试卷（共2套 附解析） 综合测试题(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·全国卷Ⅰ理，1)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( )A ．(－3，－32)B ．(－3，32) C ．(1，32)D ．(32，3)2．(2015·湖北高考)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3 的定义域( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]3．下列各组函数，在同一直角坐标中，f (x )与g (x )有相同图像的一组是( )A ．f (x )＝(x 2)12，g (x )＝(x 12 )2B ．f (x )＝x 2－9x ＋3，g (x )＝x －3C ．f (x )＝(x 12 )2，g (x )＝2log 2xD ．f (x )＝x ，g (x )＝lg10x4．函数y ＝ln x ＋2x －6的零点，必定位于如下哪一个区间( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4)D ．(4,5)5．已知f (x )是定义域在(0，＋∞)上的单调增函数，若f (x )>f (2－x )，则x 的取值范围是( )A ．x >1B ．x <1C ．0<x <2D ．1<x <26．已知x 12 ＋x －12＝5，则x 2＋1x 的值为( )A ．5B ．23C ．25D ．277．(2014·山东高考)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <18．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数 B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数 C ．f (x )与g (x )均为奇函数 D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数9．(23)23 ，(25)23 ，(23)13 的大小关系为 ( ) A ．(23)13 >(25)23 >(23)23 B ．(25)23 >(23)13 >(23)23 C ．(23)23 >(23)13 >(25)23D ．(23)13 >(23)23 >(25)2310．已知函数f (x )＝log 12 x ，则方程(12)|x |＝|f (x )|的实根个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．200611．若偶函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中，成立的是( )A ．f (－32)<f (－1)<f (2) B ．f (－1)<f (－32)<f (2) C ．f (2)<f (－1)<f (－32)D ．f (2)<f (－32)<f (－1)12．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的五个点M (1,1)，N (1,2)，P (2,1)，Q (2,2)，G (2，12)中，“好点”的个数为（ )A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．若已知A ∩{－1,0,1}＝{0,1}，且A ∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，则满足上述条件的集合A 共有________个．14．(2014·浙江高考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x >0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.15．用二分法求方程x 3＋4＝6x 2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．16．函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调递减区间是________三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设全集U 为R ，A ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，若(?U A )∩B ＝{2}，A ∩(?U B )＝{4}，求A ∪B . 18．(本小题满分12分)(1)不用计算器计算：log 327＋lg25＋lg4＋7log 72＋(－9.8)0 (2)如果f (x －1x )＝(x ＋1x )2，求f (x ＋1)．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－3x 2＋2x －m ＋1. (1)当m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点； (2)若函数恰有一个零点在原点处，求m 的值．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，并且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x .(1)求f (log 213)的值；(2)求f (x )的解析式．21．(本小题满分12分)(2015·上海高考)已知函数f (x )＝ax 2＋1x ，其中a 为常数 (1)根据a 的不同取值，判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)若a ∈(1,3)，判断函数f (x )在[1,2]上的单调性，并说明理由．22．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝a x －1.其中 a >0且a ≠1.23．(1)求f (2)＋f (－2)的值； (2)求f (x )的解析式；(3)解关于x 的不等式－1<f (x －1)<4，结果用集合或区间表示． 一．选择题 1.[答案] D[解析] A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2x －3>0}＝{x |x >32}． 故A ∩B ＝{x |32<x <3}．故选D. 2.[答案] C[解析] 由函数y ＝f (x )的表达式可知，函数f (x )的定义域应满足条件：⎩⎨⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，解得⎩⎨⎧－4≤x ≤x x >2且x ≠3.即函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3,4]，故应选C.3.[答案] D[解析] 选项A 中，f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为[0，＋∞)；选项B 中，f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(－3，＋∞)，g (x )的定义域为R ；选项C 中，f (x )＝(x 12 )2＝x ，x ∈[0，＋∞)，g (x )＝2log 2x ，x ∈(0，＋∞)，定义域和对应关系都不同；选项D 中，g (x )＝lg10x ＝x lg10＝x ，故选D.4.[答案] B[解析] 令f (x )＝ln x ＋2x －6，设f (x 0)＝0， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0， 又f (2)＝ln2－2<0，f (2)·f (3)<0， ∴x 0∈(2,3)． 5.[答案] D[解析]由已知得⎩⎨⎧ x >02－x >0x >2－x?⎩⎪⎨⎪⎧x >0x <2x >1，∴x ∈(1,2)，故选D. 6.[答案] B[解析] x 2＋1x ＝x ＋1x ＝x ＋x －1＝(x 12＋x－12 )2－2＝52－2＝23. 故选B. 7.[答案] D[解析] 本题考查对数函数的图像以及图像的平移．由单调性知0<a <1.又图像向左平移，没有超过1个单位长度．故0<c <1，∴选D. 8.[答案] B[解析] f (x )＝3x ＋3－x 且定义域为R ，则f (－x )＝3－x ＋3x ，∴f (x )＝f (－x )，∴f (x )为偶函数．同理得g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数．故选B. 9.[答案] D[解析] ∵y ＝(23)x 为减函数，13<23， ∴(23)13 >(23)23 .又∵y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，且23>25，∴(23)23 >(25)23 ，∴(23)13 >(23)23 >(25)23 .故选D. 10.[答案] B[解析] 在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝(12)|x |及y ＝|log 12x |的图像如图所示，易得B.11.[答案] D[解析] ∵f (x )为偶函数，∴f (2)＝f (－2)．又∵－2<－32<－1，且f (x )在(－∞，－1)上是增函数， ∴f (2)<f (－32)<f (－1)． 12.[答案] C[解析] ∵指数函数过定点(0,1)，对数函数过定点(1,0)且都与y ＝x 没有交点， ∴指数函数不过(1,1)，(2,1)点，对数函数不过点(1,2)，∴点M 、N 、P 一定不是好点．可验证：点Q (2,2)是指数函数y ＝(2)x 和对数函数y ＝log 2x 的交点，点G (2，12)在指数函数y ＝(22)x 上，且在对数函数y ＝log 4x 上．故选C.二．填空题 13.[答案] 4[解析] ∵A ∩{－1,0,1}＝{0,1}， ∴0,1∈A 且－1?A .又∵A ∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}， ∴1∈A 且至多－2,0,2∈A . 故0,1∈A 且至多－2,2∈A .∴满足条件的A 只能为：{0,1}，{0,1,2}，{0,1，－2}，{0,1，－2,2}，共有4个． 14.[答案]2[解析] 此题考查分段函数、复合函数，已知函数值求自变量． 令f (a )＝t ，则f (t )＝2. ∵t >0时，－t 2<0≠2，∴t ≤0. 即t 2＋2t ＋2＝2，∴t ＝0或－2.当t ＝0时，f (a )＝0，a ≤0时，a 2＋2a ＋2＝0无解． a >0时，－a 2＝0，a ＝0无解．当t ＝－2时，a ≤0，a 2＋2a ＋2＝－2无解 a >0时－a 2＝－2，a ＝ 2. 15.[答案] (12，1)[解析] 设f (x )＝x 3－6x 2＋4， 显然f (0)>0，f (1)<0，又f (12)＝(12)3－6×(12)2＋4>0，∴下一步可断定方程的根所在的区间为(12，1)． 16. [答案] (3，＋∞)[解析] 先求定义域，∵x 2－3x >0，∴x >3或x <0， 又∵y ＝log 13u 是减函数，且u ＝x 2－3x .即求u 的增区间．∴所求区间为(3，＋∞)． 三．解答题17.[解析] ∵(?U A )∩B ＝{2}，A ∩(?U B )＝{4}， ∴2∈B,2?A,4∈A,4?B ，根据元素与集合的关系，可得⎩⎨⎧ 42＋4p ＋12＝022－10＋q ＝0，解得⎩⎨⎧p ＝－7，q ＝6.∴A ＝{x |x 2－7x ＋12＝0}＝{3,4}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，经检验符合题意． ∴A ∪B ＝{2,3,4}． 18.[解析] (1)原式＝log 3332＋lg(25×4)＋2＋1＝32＋2＋3＝132. (2)∵f (x －1x )＝(x ＋1x )2＝x 2＋1x 2＋2＝(x 2＋1x 2－2)＋4＝(x －1x )2＋4 ∴f (x )＝x 2＋4，∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋4＝x 2＋2x ＋5.19.[解析] (1)函数有两个零点，则对应方程－3x 2＋2x －m ＋1＝0有两个根，易知Δ>0，即Δ＝4＋12(1－m )>0，可解得m <43； Δ＝0，可解得m ＝43；Δ<0，可解得m >43. 故m <43时，函数有两个零点；m ＝43时，函数有一个零点；m >43时，函数无零点． (2)因为0是对应方程的根，有1－m ＝0，可解得m ＝1.20.[解析] (1)因为f (x )为奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x ， 所以f (log 213)＝f (－log 23)＝－f (log 23) ＝－2log 23＝－3.(2)设任意的x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，＋∞)， 因为当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x ，所以f (－x )＝2－x ， 又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x ， 即当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－2－x ； 又因为f (0)＝－f (0)，所以f (0)＝0，综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >00，x ＝0－2－x ，x <0.21.[解析] (1)f (x )的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，关于原点对称， f (－x )＝a (－x )2＋1－x＝ax 2－1x ， 当a ＝0时，f (－x )＝－f (x )为奇函数，当a ≠0时，由f (1)＝a ＋1，f (－1)＝a －1，知f (－1)≠－f (1)，故f (x )即不是奇函数也不是偶函数．(2)设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1＝(x 2－x 1)[a (x 1＋x 2)－1x 1x 2]，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4,1＜x 1x 2＜4， －1<－1x 1x 2<－14，又1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0， 即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增． 23.[解析] (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－2)＝－f (2)，即f (2)＋f (－2)＝0. (2)当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝a －x －1.由f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )，∵f (－x )＝a －x －1，∴f (x )＝－a －x ＋1(x <0)．∴所求的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧a x－1?x ≥0?－a －x ＋1?x <0?.(3)不等式等价于⎩⎨⎧x －1<0－1<－a －x ＋1＋1<4 或⎩⎨⎧x －1≥0－1<a x －1－1<4， 即⎩⎨⎧ x －1<0－3<a －x ＋1<2或⎩⎨⎧x －1≥00<a x －1<5. 当a >1时，有⎩⎨⎧ x <1x >1－log a 2或⎩⎨⎧x ≥1x <1＋log a 5 注意此时log a 2>0，log a 5>0，可得此时不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)． 同理可得，当0<a <1时，不等式的解集为R . 综上所述，当a >1时，不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)； 当0<a <1时，不等式的解集为R .。
北师大版高一上期末数学试卷1(附答案及详细解析)
北师大版高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|3x﹣1＞8}，B＝{x|x≤10}，则A∩B＝（）A．（10，+∞）B．（3，10）C．（3，10]D．[10，+∞）2．（5分）下列函数既是偶函数，又在区间（0，3）上是减函数的是（）A．y＝ln|x|B．C．y＝cos x D．y＝e x+e﹣x3．（5分）已知sinα＝，0＜α＜，则tanα＝（）A．B．C．D．4．（5分）函数的最大值为（）A．B．C．1D．25．（5分）要得到函数f（x）＝sin2x的图象，可将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位6．（5分）若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）＝2，f（x2）＝0，且|x1﹣x2|的最小值为3π，则ω的值为（）A．B．C．D．27．（5分）设，，c＝log20.8，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b8．（5分）函数y＝x•cos x，x∈[﹣5，5]的大致图象为（）A．B．C．D．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x1234f（x）53﹣2﹣5那么函数g（x）＝f（x）﹣2x一定存在零点的区间是（）A．（﹣∞，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）10．（5分）已知函数f（x）＝log2x，g（x）＝2x+a，若存在，使得f（x1）＝g（x2），则a的取值范围是（）A．[﹣5，0]B．（﹣∞，﹣5]∪[0，+∞）C．（﹣5，0）D．（﹣∞，﹣5）∪（0，+∞）二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，满分10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.11．（5分）函数部分图象如图所示，对不同x1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），有f（x1+x2）＝，则（）A．a+b＝πB．C．D．12．（5分）已知函数，则下列判断正确的是（）A．f（x）为奇函数B．对任意x1，x2∈R，则有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≤0C．对任意x∈R，则有f（x）+f（﹣x）＝2D．若函数y＝|f（x）|﹣mx有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪（4，+∞）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（5分）计算：+lg90﹣2lg3＝．14．（5分）函数f（x）＝x﹣﹣3，则f（x）的零点个数为．15．（5分）已知当时，函数f（x）＝a sin x+cos x（a＞0）取得最大值，则a＝．16．（5分）某种物质在时刻tmin的浓度Mmg/L与t的函数关系为M（t）＝ar t+24（a，r为常数）．在t ＝0min和t＝1min测得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L，那么在t＝4min时，该物质的浓度为mg/L；若该物质的浓度小于24.001mg/L，则整数t的最小值为．（参考数据：lg2≈0.3010）四、解答题：本题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知α为第一象限角，且sinα＝2cosα．（1）求sin2α的值；（2）求的值．18．（12分）已知函数，其中m＞0，且f（1）+f（﹣1）＝0．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）的单调性（不需证明）；（3）求使f（x）＜f（﹣x）+ln9的x的取值集合．19．（12分）弹簧振子的振动是简谐振动．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据记录如表：t0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.60y﹣20.0﹣17.8﹣10.10.110.017.720.017.710.00.1﹣10.1﹣17.8﹣20.0（1）试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式；（2）在所给坐标系中作出t∈[0，0.6]的函数图象；（3）在整个振动过程中，求位移为10mm时t的取值集合．20．（12分）已知函数f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）＝2x．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并用定义证明；（3）解不等式f（x）≥．21．（12分）汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度．设d表示停车距离，d1表示反应距离，d2表示制动距离，则d＝d1+d2．如图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图．、（1）根据上述示意图，完成表格并画出散点图；序号速度（km/h）停车距离（m）14025036047058069071008110（2）根据表格中的数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型．可选择模型一：d＝av+b或模型二：d＝av2+bv（其中v为汽车速度，a，b为待定系数）进行拟合，请根据序号2和序号7两组数据分别求出两个函数模型的解析式；（3）通过计算v＝180km/h时的停车距离，分析选择哪一个函数模型的拟合效果更好．（参考数据：324×648＝209952；18×1178＝21204；18×206＝3708．）22．（12分）已知函数，．用min{m．n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0）．（1）当a＝1时，求h（x）的最大值；（2）讨论h（x）零点的个数．北师大版高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|3x﹣1＞8}，B＝{x|x≤10}，则A∩B＝（）A．（10，+∞）B．（3，10）C．（3，10]D．[10，+∞）【解答】解：∵A＝{x|x＞3}，B＝{x|x≤10}，∴A∩B＝（3，10]．故选：C．2．（5分）下列函数既是偶函数，又在区间（0，3）上是减函数的是（）A．y＝ln|x|B．C．y＝cos x D．y＝e x+e﹣x【解答】解：由对数函数的性质可知，y＝ln|x|在（0，3）上；单调递增，不符合题意由幂函数的性质可知，y＝为奇函数，不符合题意；结合余弦函数的性质可知，y＝cos x为偶函数且在（0，3）上单调递减；y＝e x+e﹣x在（0，3）上单调递增，不符合题意．故选：C．3．（5分）已知sinα＝，0＜α＜，则tanα＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinα＝，0＜α＜，∴，则tanα＝，故选：B．4．（5分）函数的最大值为（）A．B．C．1D．2【解答】解：函数＝sin（x+）+sin[﹣（﹣x）]＝2sin（x+）的最大值为2，故选：D．5．（5分）要得到函数f（x）＝sin2x的图象，可将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：∵y＝sin（2x﹣）＝sin2（x﹣），∴要得函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，反之，要得函数y＝sin2x的图象，只需把函数y＝sin（2x﹣）的图象向左平移个单位．故选：C．6．（5分）若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）＝2，f（x2）＝0，且|x1﹣x2|的最小值为3π，则ω的值为（）A．B．C．D．2【解答】解：函数＝2sin（ωx﹣），∵f（x1）＝2，f（x2）＝0，且|x1﹣x2|的最小值为3π，可知：，可得T＝12π，由T＝，∴ω＝，故选：A．7．（5分）设，，c＝log20.8，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【解答】解：0＜＝＜，c＝log20.8＜0，则a，b，c的大小关系是：b＞a＞c．故选：A．8．（5分）函数y＝x•cos x，x∈[﹣5，5]的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝﹣x•cos（﹣x）＝﹣x cos x＝﹣f（x），函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D；当x＝1时，0＜f（1）＝cos1＜1，故排除C；当x＝5时，f（5）＝5cos5＞0，故排除A．故选：B．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x1234f（x）53﹣2﹣5那么函数g（x）＝f（x）﹣2x一定存在零点的区间是（）A．（﹣∞，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解答】解：由题意，函数f（x）的图象是连续不断的，可得g（1）＝f（1）﹣2＝5﹣2＞0，g（2）＝f（2）﹣4＝﹣1＜0，g（1）•g（2）＜0，所以函数的零点在（1，2）．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）＝log2x，g（x）＝2x+a，若存在，使得f（x1）＝g（x2），则a的取值范围是（）A．[﹣5，0]B．（﹣∞，﹣5]∪[0，+∞）C．（﹣5，0）D．（﹣∞，﹣5）∪（0，+∞）【解答】解：当≤x≤2时，log2≤f（x）≤log22，即﹣1≤f（x）≤1，则f（x）的值域为[﹣1，1]，当≤x≤2时，2×+a≤g（x）≤4+a，即1+a≤g（x）≤4+a，则g（x）的值域为[1+a，4+a]，若存在，使得f（x1）＝g（x2），则[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅，若[1+a，4+a]∩[﹣1，1]＝∅，则1+a＞1或4+a＜﹣1，得a＞0或a＜﹣5，则当或[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅时，﹣5≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣5，0]，故选：A．二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，满分10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.11．（5分）函数部分图象如图所示，对不同x1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），有f（x1+x2）＝，则（）A．a+b＝πB．C．D．【解答】解：根据函数部分图象如图所示，所以函数的周期为，故：b﹣a＝，由图象知A＝2，则f（x）＝2sin（2x+φ），在区间[a，b]中的对称轴为x＝，由f（x1+x2）＝得，x1，x2也关于x＝，对称，则＝，即x1+x2＝a+b，则f（a+b）＝f（x1+x2）＝，故D正确，设t＝，则x1+x2＝2t，则f（t）＝2，即2sin（2t+φ）＝2，sin（2t+φ）＝1，即2t+φ＝2kπ+，k∈Z，即2t＝2kπ+﹣φ，k∈Z，f（x1+x2）＝2sin[2（x1+x2）+φ]＝2sin（4kπ+π﹣2φ+φ）＝2sin（π﹣φ）＝2sinφ＝，即sinφ＝，∵|φ|＜，∴φ＝，故C正确，故选：BCD．12．（5分）已知函数，则下列判断正确的是（）A．f（x）为奇函数B．对任意x1，x2∈R，则有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≤0C．对任意x∈R，则有f（x）+f（﹣x）＝2D．若函数y＝|f（x）|﹣mx有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪（4，+∞）【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数，当x＝0时，f（0）＝1，不满足奇函数的定义，故A错误；对于B，函数，易得f（x）为增函数，必有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0，故B错误；对于C，函数，当x＝0时，f（﹣0）＝f（0）＝1，符合f（x）+f（﹣x）＝2，当x＞0时，f（x）＝x2+2x+1，f（﹣x）＝﹣x2﹣2x+1，有f（x）+f（﹣x）＝2；当x＜0时，f（x）＝﹣x2+2x+1，f（﹣x）＝﹣x2+2x+1，有f（x）+f（﹣x）＝2；综合可得：f（x）+f（﹣x）＝2，故C正确；对于D，函数，则y＝|f（x）|的图象如图：若函数y＝|f（x）|﹣mx有两个不同的零点，则函数y＝|f（x）|的图象与y＝mx有两个交点，必有m＜0或m＞4，即m的取值范围为：（﹣∞，0）∪（4，+∞），D正确；故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（5分）计算：+lg90﹣2lg3＝21．【解答】解：原式＝4﹣1×（﹣2）++＝16+4+1＝21．故答案为：21．14．（5分）函数f（x）＝x﹣﹣3，则f（x）的零点个数为1．【解答】解：f（x）＝x﹣﹣3＝0可得＝或＝（舍），此时x＝，故答案为：1．15．（5分）已知当时，函数f（x）＝a sin x+cos x（a＞0）取得最大值，则a＝．【解答】解：∵当时，函数f（x）＝a sin x+cos x（a＞0）取得最大值，∴为函数f（x）＝a sin x+cos x（a＞0）的一条对称轴，∴f（0）＝f（），∴1＝a﹣，解得：a＝．故答案为：．16．（5分）某种物质在时刻tmin的浓度Mmg/L与t的函数关系为M（t）＝ar t+24（a，r为常数）．在t ＝0min和t＝1min测得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L，那么在t＝4min时，该物质的浓度为26.56mg/L；若该物质的浓度小于24.001mg/L，则整数t的最小值为13．（参考数据：lg2≈0.3010）【解答】解：∵在t＝0min和t＝1min测得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L，∴，解得：，∴函数关系为M（t）＝100×+24，∴在t＝4min时，该物质的浓度为：100×mg/L；若该物质的浓度小于24.001mg/L，则，即（）t＜10﹣5，两边同时取以10为底的对数得：，∴t（lg2﹣lg5）＜﹣5，∴t[lg2﹣（1﹣lg2）]＜﹣5，∴t（2lg2﹣1）＜﹣5，∴，∴整数t的最小值为13，故答案为：26.56，13．四、解答题：本题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知α为第一象限角，且sinα＝2cosα．（1）求sin2α的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵α为第一象限角，sinα＝2cosα，可得tanα＝2，∴sin2α＝＝＝＝．（2）∵由（1）可得（2cos α）2+cos 2α＝5cos 2α＝1，可得cos α＝，可得sin α＝，∴＝sincos α+cossin α＝×（+）＝．18．（12分）已知函数，其中m ＞0，且f （1）+f （﹣1）＝0．（1）判断并证明函数f （x ）的奇偶性；（2）判断f （x ）的单调性（不需证明）；（3）求使f （x ）＜f （﹣x ）+ln 9的x 的取值集合． 【解答】解：（1）因为函数，且f （1）+f （﹣1）＝0， 所以ln+ln＝0，即，解可得，m ＝1，m ＝﹣1（舍）， 所以，f （x ）＝ln，定义域（﹣2，2），f （﹣x ）＝ln ＝﹣ln＝﹣f （x ），即f （x ）为奇函数，（2）f （x ）＝ln在（﹣2，2）上单调递减，（3）由f （x ）＜f （﹣x ）+lg 9＝﹣f （x ）+2ln 3， 故f （x ）＜ln 3＝f （﹣1），所以﹣1＜x ＜2，即不等式的解集为{x |﹣1＜x ＜2}19．（12分）弹簧振子的振动是简谐振动．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t （单位：s ）与位移y （单位：mm ）之间的对应数据记录如表：t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60y﹣20.0 ﹣17.8 ﹣10.10.110.0 17.7 20.0 17.7 10.00.1﹣10.1 ﹣17.8 ﹣20.0（1）试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式； （2）在所给坐标系中作出t ∈[0，0.6]的函数图象；（3）在整个振动过程中，求位移为10mm 时t 的取值集合．【解答】解：（1）由对应数据记录如表可得t＝0.00，y＝﹣20；t＝0.30，y＝20.0；t＝0.60，y＝﹣20.0．可得y的最大值为20，最小值为﹣20，可设这个振子的位移y关于时间t的函数解析式为y＝﹣20cosωt，由T＝0.6，可得ω＝＝，即有y＝﹣20cos t；（2）作出点（0，﹣20），（0.15，0），（0.3，20），（0.45，0），（0.6，﹣20），连线，可得函数y在t∈[0，0.6]的函数图象，如右图：（3）由﹣20cos t＝10，即cos t＝﹣，可得t＝0.2+0.6k，或0.4+0.6k（k∈Z），则位移为10mm时t的取值集合为{t|t＝0.2+0.6k，或0.4+0.6k}（k∈Z）．20．（12分）已知函数f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）＝2x．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并用定义证明；（3）解不等式f（x）≥．【解答】解：（1）f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）＝2x．①所以f（﹣x）+g（﹣x）＝2﹣x即f（x）﹣g（x）＝2﹣x，②①②联立可得，f（x）＝．（2）设0≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝（）+（）×＝（）（1﹣）＝（），∵0≤x1＜x2，∴＜0，＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，（3）结合（2）可知f（x）在[0，+∞）上单调递增，根据偶函数的性质可知f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，由f（x）且f（1）＝f（﹣1）＝，所以|x|≥1，解可得x≥1或x≤﹣1，故不等式的解集[1，+∞）∪（﹣∞，﹣1]．21．（12分）汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度．设d表示停车距离，d1表示反应距离，d2表示制动距离，则d＝d1+d2．如图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图．、（1）根据上述示意图，完成表格并画出散点图；序号速度（km/h）停车距离（m）14025036047058069071008110（2）根据表格中的数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型．可选择模型一：d＝av+b或模型二：d＝av2+bv（其中v为汽车速度，a，b为待定系数）进行拟合，请根据序号2和序号7两组数据分别求出两个函数模型的解析式；（3）通过计算v＝180km/h时的停车距离，分析选择哪一个函数模型的拟合效果更好．（参考数据：324×648＝209952；18×1178＝21204；18×206＝3708．）【解答】解：（1）表格和散点图如下：序号速度（km/h）停车距离（m）1 40 17.02 50 26.53 60 35.74 70 465 80 52.76 90 70.77 100 85.48 110101；（2）对于模型一：d＝av+b，将点（50，26.5）和点（100，85.4）两组数据带入函数解析式得：，解得：，故d＝1.178v﹣32.4，对于模型二：d＝av2+bv，将点（50，26.5）和点（100，85.4）两组数据带入函数解析式得：，解得：，故d＝0.00648v2+0.206v；（3）当v＝180时，对于模型一，停车距离d＝1.178×180﹣32.4＝212.04﹣32.4＝179.64m；对于模型二，停车距离d＝0.00648×1802+0.206×180＝209.952+37.08＝247.032 m，显然模型二计算得到的数据与实验数据245.5m更接近，说明选择函数模型二进行拟合效果好．22．（12分）已知函数，．用min{m．n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0）．（1）当a＝1时，求h（x）的最大值；（2）讨论h（x）零点的个数．【解答】解：（1）当a＝1时，，则，易知函数h（x）在单调递增，在单调递减，∴；（2）考察二次函数，其对称轴为，①当，即a≥0时，函数f（x）与g（x）的图象只有一个交点，设交点的横坐标为x0（x0＜1），则，又，故h（x）有且只有一个零点1；②当，即a＜0时，（i）当a＝﹣1时，，函数f（x）与g（x）的图象只有一个交点，设交点的横坐标为x1（x1＜1），则，故h（x）有两个零点，分别为；（ii）当﹣1＜a＜0时，，且，，∴函数f（x）与g（x）的图象只有一个交点，设交点的横坐标为x2（x2＜1），则，故h（x）有且仅有一个零点1；（iii）当a＜﹣1时，，（A）当，函数f（x）与g（x）的图象只有一个交点，设交点的横坐标为x3（x3＜1），则，又，故h（x）有且仅有三个零点；（B）当时，，故h（x）有且仅有两个零点；（C）当时，，函数f（x）与g（x）的图象只有一个交点，设交点的横坐标为x4（x4＞1），则，又，故h（x）有且仅有一个零点；综上，当或a＞﹣1时，h（x）有且仅有一个零点；当或a＝﹣1时，h（x）有且仅有两个零点；当时，h（x）有且仅有三个零点．。
高一第一学期期末考试数学试卷含答案(北师大版)
高一级第一学期期末教学质量监测数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，全卷三大题22小题，满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上．）1．已知集合{}50≤≤∈=x N x A ，集合{}A 1,3,5,C B=B =则 A ．{}4,2,0 B ．{}4,2C ．{}3,1,0D ．{}4,3,22．tan 225︒的值为 A ．1B．2C．2-D ．1-3．下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 A ．xy e =B ．sin 2y x =C ．22xxy -=- D ．3y x =-4．函数)32tan()(ππ+=x x f 的最小正周期是A ．1B ．2C ．3D ．45．已知52)cos(3)sin(2)23cos(=-+-+ααπαπ，则αtan =A ．6-B ．23-C ．23D ．66．已知在扇形AOB 中，2AOB ∠=，弦AB 的长为2，则该扇形的周长为 A ．2sin1B ．4sin1C ．2sin 2D ．4sin 27．在ABC ∆中，=3AC ，=4AB ，AD 是BC 边上的中线，则=AD BC A ．7-B ． 72-C ．72D ．78．关于狄利克雷函数1,()0x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数，下列错误!未找到引用源。
叙述错误的是A ．错误!未找到引用源。
的值域是错误!未找到引用源。
B ．错误!未找到引用源。
是偶函数C ．任意x R ∈，都有()1f f x ⎡⎤=⎣⎦D ．错误!未找到引用源。
是奇函数9．已知函数31log (3),1()21,1x x x f x x --<⎧=⎨+≥⎩，则2(6)(log 6)f f -+=A ．4B ． 6C ．7D ．910．已知向量,a b ，其中=1a ，2=4a b -，2=2a b +，则a 在b 方向上的投影为 A ．1-B ．1C ．2-D ．211．设点),(y x A 是函数()sin()f x x =-([0,])x π∈图象上的任意一点，过点A 作x 轴的平行线，交其图象于另一点B （,A B 可重合），设线段AB 的长为()h x ，则函数()h x 的图象是A B C D12．已知82)15sin cos ((0,))4πααααπ+=∈，则sin cos αα-=A ．415 B ．54141C ．54141-D ．415-二、填空题(本大题共4小题，每题5分,共20分) 1. 函数82-=x y 的定义域为 ．2. 已知扇形的圆心角32πα=，半径3=r ，则扇形的弧长l 为______ ． 3. 若角α的终边过点)2,1(-，则ααcos sin =______．4. 已知函数)(x f 是定义在]2,2[-上的增函数，且)()1(m f m f <-，则实数m 的取值范围______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）5. 已知55sin ),2,0(=∈απα.（1）求)4sin(πα+的值；（2）求α2tan 的值．6. 已知向量),5(),2,2(k b a =-=.（1）若b a⊥，求实数的值；（2）若)2//()2(b a b a-+，求实数k 的值。
北师大版高一数学第一学期期末试题及答案
高一数学期末试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间90分钟。
第I 卷（选择题 共30分）参考公式：圆台的表面积公式：()22''S r r r l rl π=+++（'r r 、分别为圆台的上、下底面半径，l 为母线长） 柱体、椎体、台体的体积公式：=(V Sh S 柱体为底面积，h 为柱体高）1=(3V Sh S 椎体为底面积，h 为椎体高）()1='3V S S h 台体(',S S 分别为上、下底面面积，h 为台体高） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1. 下列几何体中是棱柱的有A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2. 如图所示，正方体的棱长为1，点A 是其一棱的中点，则点A 在空间直角坐标系中的坐标是A 、11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C 、11,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、11,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭3. 如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，130BAB ∠=°，则1C D 与1B B 所成的角是A 、60°B 、90°C 、30°D 、45°4. 下列直线中，与直线10x y +-=的相交的是A 、226x y +=B 、0x y +=C 、3y x =--D 、1y x =- 5. 在空间四边形ABCD 的各边AB BC CD DA、、、上的依次取点E F G H 、、、，若EH FG 、所在直线相交于点P ，则A 、点P 必在直线AC 上B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面DBC 外D 、点P 必在平面ABC 内6. 已知直线a α⊂，给出以下四个命题：①若平面//α平面β，则直线//a 平面β；②若直线//a 平面β，则平面//α平面β；③若直线a 不平行于平面β，则平面α不平行于平面β。
【北师大版】高中数学必修一期末试卷含答案(1)
一、选择题1．已知函数()()223,ln 1,x x x f x x x λλ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，若()f x 恰有两个零点，则λ的取值范围是（ ）A ．[)[)1,23,-+∞B ．[)[)1,23,+∞C ．[)()1,22,⋃+∞D ．[)1,+∞ 2．若函数()f x 的图象是连续不断的，且(0)0f >，(1)(2)(4)0f f f <，则下列命题正确的是( )．A ．函数()f x 在区间(0 , 1)内有零点B ．函数()f x 在区间(1 , 2)内有零点C ．函数()f x 在区间(0 , 2)内有零点D ．函数()f x 在区间(0 , 4)内有零点 3．已知定义在R .上的偶函数f (x )， 对任意x ∈R ，都有f (2-x ) =f (x +2)，且当[2,0]x ∈-时()21x f x -=-.若在a > 1时，关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1，2)B ．(232，2)C ．23(,2)-∞(2， +∞)D ．(2，+∞) 4．集合{}1002,x x xx R =∈的真子集的个数为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．7 5．已知函数||()2x f x =，记131(())4a f =，37(log )2b f =，13(log 5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c a b >> 6．若函数112x y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．1m ≤- B ．10m -≤<C ．m 1≥D ．01m <≤ 7．如果函数()()()2121f x a x b x =-+++（其中2b a -≥）在[]1,2上单调递减，则32a b +的最大值为（ ）A ．4B ．1-C ．23D ．68．若函数()28,12,1a x x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()4,+∞B ．[)4,+∞C ．[]4,6D ．()0,∞+9．已知函数()1,0,21,0,x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩若()()0a f a f a -->⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．[)(]2,00,2-C ．(](),22,-∞-+∞D ．()()2,00,2-10．已知集合{}2|230A x x x =--≤，集合{}||1|3B x x =-≤，集合4|05x C x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A ，B ，C 的关系为（ ） A ．B A ⊆B ．A B =C ．C B ⊆D ．A C ⊆ 11．已知集合A ={x |-3≤x -1＜1}，B ={-3，-2，-1，0，1，2}，若C ⊆A ∩B ，则满足条件的集合C的个数是（ ）.A ．7B ．8C ．15D ．16 12．已知集合{}1A x x =>，{}1B x x =≥，则（ ）A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A∩B=φD ．A ∪B=R 二、填空题13．若关于x 的方程2220x x m ---=有三个不相等的实数根，则实数m 的值为_______.14．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，如[1.6]=1，[2]=2，()[]g x x x =-．若方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根，则a 的取值范围为________．15．已知函数2,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥恒成立，则a 的取值范围是________．16．设正数,x y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，则x y +的取值范围是_____. 17．已知函数y ＝f (n)，满足f (1)＝2，且f (n+1)＝3f (n),n ∈N + .则f (3)＝____________.18．函数()f x 的定义域是__________．19．已知全集U =R 集合1|1A x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则U A _______.20．已知集合{|||1,}A x x a x R =-<∈，2{|1,}1x a B x x R x -=<∈+，且A B =∅，则实数a 的取值范围是________. 三、解答题21．对于函数()y g x =，若0x R ∃∈，使00()g x mx =成立，则称0x 为()g x 关于参数m的不动点.设函数2()(1)1f x ax b x b =+++-(0)a ≠（1）当1,3a b ==-时，求()f x 关于参数1的不动点；（2）若b R ∀∈，函数()f x 恒有关于参数1的两个不动点，求a 的取值范围；（3）当1,2a b ==时，函数()f x 在(]0,2x ∈上存在两个关于参数m 的不动点，试求参数m 的取值范围.22．已知函数()f x 是定义在是R 上的偶函数，且当0x ≥时2()2.f x x x =-（1）求(0)f 及[](1)f f 的值； （2）求函数()f x 在()-0∞，上的解析式； （3）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数根，求实数m 的取值范围 . 23．已知函数()1,02,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩ （Ⅰ）求()()()1f f f -的值；（Ⅱ）画出函数()f x 的图象，根据图象写出函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，求x 的取值范围． 24．已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=.（1）求函数()f x 的表达式；（2）判断函数()(2)(2)g x f x f x =++-的奇偶性，并说明理由.25．已知函数()1f x x x=+.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）证明：函数()f x 在[)1，+∞上是增函数； （3）求函数()f x 在[]41--，上的最大值与最小值. 26．已知集合{|37},{|210},{|}A x x B x x C x x a =≤≤=<<=<，全集为实数集R . （1）求A B ，()R A B ⋂；（2）若A C ⋂≠∅，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】分别求出函数223y x x =--和()ln 1y x =-的零点，然后作出函数223y x x =--与函数()ln 1y x =-的图象，结合函数()f x 恰有两个零点，可得出实数λ的取值范围.【详解】解方程2230x x --=，解得11x =-，23x =，解方程()ln 10x -=，解得2x =.作出函数223y x x =--与函数()ln 1y x =-的图象如下图所示：要使得函数()()223,ln 1,x x x f x x x λλ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩恰有两个零点，则12λ-≤<或3λ≥. 因此，实数λ的取值范围是[)[)1,23,-+∞.故选：A.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 2．D解析：D【解析】解：因为f （0）＞0，f （1）f （2）f （4）＜0，则f （1），f （2），f （4）恰有一负两正或三个都是负的，结合图象可得函数f （x ）必在区间（0，4）内有零点因为f （0）＞0，f （1）f （2）f （4）＜0，则f （1），f （2），f （4）恰有一负两正或三个都是负的，函数的图象与x 轴相交有多种可能，如图所示：所以函数f （x ）必在区间（0，4）内有零点，故选D ．3．B解析：B【分析】由函数的奇偶性和周期性作()f x 的图象，将方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题，从而得log (22)3log (62)3a a +<⎧⎨+>⎩，进而可求出实数a 的取值范围. 【详解】依题意函数()f x 的图象关于y 轴及直线2x =对称，所以()f x 的周期为4，作出[]2,0x ∈-时()f x 的图象，由()f x 的奇偶性和周期性作出()f x 的图象， 关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有三个不同的实数根，可转化为函数()f x 与log (2)a y x =+的图象有三个不同的交点，由数形结合可知log (22)3log (62)3a a +<⎧⎨+>⎩，解得2322a <<， 故选:B ．【点睛】本题考查了数形结合的思想，考查了函数的奇偶性和周期性，考查了函数的零点与方程的根，考查了对数不等式的求解，属于中档题.画出函数的图象是本题的关键.4．D解析：D【分析】分析指数函数2x y =与幂函数100y x =的图像增长趋势，当0x <时，有1个交点；当0x >时，有2个交点；即集合{}1002,x x x x R =∈有3个元素，所以真子集个数为3217-=【详解】分析指数函数2x y =与幂函数100y x=的图像增长趋势， 当0x <时，显然有一个交点；当0x >时，当1x =时，110021>；当2x =时，210022<；故()1,2x ∈时，有一个交点；分析数据发现，当x 较小时，100y x =比2x y =增长的快；当x 较大时，2x y =比100y x =增长的快，即2x y =是爆炸式增长，所以还有一个交点.即2x y =与100y x =的图像有三个交点，即集合{}1002,x x x x R =∈有3个元素，所以真子集个数为3217-=故选：D.【点睛】结论点睛：本题考查集合的子集个数，集合A 中含有n 个元素，则集合A 的子集有2n 个，真子集有()21n -个，非空真子集有()22n -个. 5．A解析：A【分析】首先判断函数()f x 的性质，再比较133317,log ,log 542⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系，从而利用单调性比较a ，b ，c 的大小关系.【详解】()2xf x =是偶函数，并且当0x >时，2x y =是增函数， ()133log 5log 5c f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 因为1310()14<<，3371log log 52<<，即1333170log log 542⎛⎫<<< ⎪⎝⎭又因为()y f x =在()0,∞+是增函数，所以a b c <<.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数()2x f x =的性质，后面的问题迎刃而解. 6．B解析：B【分析】11()+2x y m -=与x 有公共点，转化为11()2x y -=与y m =-有公共点，结合函数图象，可得结果.【详解】11()+2x y m -=与x 有公共点，即11()2x y -=与y m =-有公共点，11()2x y -=图象如图可知0110m m <-≤⇒-≤<故选：B【点睛】本题考查了函数的交点问题，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于基础题目. 7．C解析：C【分析】分10a -=、10a -<、10a ->，根据题意可得出关于a 、b 的不等式组，由此可解得32a b +的最大值.【详解】分以下几种情况讨论：（1）当10a -=时，即当1a =时，()()21f x b x =++在[]1,2上单调递减，可得20b +<，解得2b <-，12b a b -=-≥，可得3b ≥，不合乎题意；（2）当10a -<时，即当1a <时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2121b a +-≤-， 可得222b a +≤-，即20a b +≤，可得2b a ≤-，由2b a -≥，可得2a b ≤-， 所以，()()323222436a b b a a b +≤-+⨯-=-+-，当且仅当22b a a b =-⎧⎨=-⎩时，即当2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， 则2423232333a b ⎛⎫+≤⨯-+⨯= ⎪⎝⎭； （3）当10a ->时，即当1a >时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2221b a +-≥-，可得42a b +≤，即24b a ≤-，2b a -≥，即2b a ≥+，224a b a ∴+≤≤-，解得0a ≤，不合乎题意.综上所述，32a b +的最大值为23. 故选：C.【点睛】关键点点睛：根据首项系数为变数的二次函数在区间上的单调性求参数，要对首项系数的符号进行分类讨论，在首项系数不为零的前提下，要根据函数的单调性确定对称轴与区间的位置关系，构建不等式（组）求解. 8．C解析：C【分析】 由题意可知二次函数282a y x x =-+在区间(],1-∞上为减函数，函数a y x =在区间()1,+∞上为减函数，且有92a a -≥，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】 由于函数()28,12,1a x x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩为R 上的减函数， 则二次函数282a y x x =-+在区间(],1-∞上为减函数，该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线4a x =，所以，14a ≥； 函数a y x =在区间()1,+∞上为减函数，则0a >，且有92a a -≥. 所以，14092a a a a ⎧≥⎪⎪>⎨⎪⎪-≥⎩，解得46a ≤≤.因此，实数a 的取值范围是[]4,6.故选：C.【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，要注意分析每支函数的单调性以及分界点处函数值的大小关系，考查计算能力，属于中等题.9．D解析：D【分析】按0a >和0a <分类解不等式即可得．【详解】[()()]0a f a f a -->，若0a >，则()()0f a f a -->，即1[2()1]0a a +--⨯-->，解得2a <，所以02a <<，若0a <，则()()0f a f a --<，即21(1)0a a ----+<，解得2a >-，所以20a -<<，综上，不等式的解为(2,0)(0,2)-． 故选：D ．【点睛】本题考查解不等式，解题方法是分类讨论．掌握分类讨论的思想方法是解题关键． 10．D解析：D【分析】根据一元二次不等式的解法可求出集合A ，根据绝对值不等式的解法可求出集合B ，根据分式不等式的解法可求出集合C ，从而可得出集合A ，B ，C 间的关系.【详解】解：由于{}{{}2|23013A x x x x x =--≤=-≤≤， {}{}|1324B x x x x =-≤=-≤≤，{}4|0545x C x x x x -⎧⎫=≤=-<≤⎨⎬+⎩⎭， 可知，A C ⊆.故选：D.【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式和分式不等式的解法，以及集合间的关系，考查计算能力.11．D解析：D【分析】推导出C ⊆A ∩B ={-2，-1，0，1}，由此能求出满足条件的集合C 的个数． 【详解】∵集合A ={x |-3≤x -1＜1}={x |-2≤x ＜2}，B ={-3，-2，-1，0，1，2}，C ⊆A ∩B ={-2，-1，0，1}，∴满足条件的集合C 的个数是：24=16．故选：D ．【点睛】本题考查满足条件的集合C 的个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．A解析：A 【分析】根据数轴判断两集合之间包含关系. 【详解】因为{}1A x x =>，{}1B x x =≥，所以A ⊆B ，选A. 【点睛】本题考查集合之间包含关系，考查基本判断分析能力.二、填空题13．3【解析】令则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点画出函数的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则答案：3解析：3 【解析】令()222f x x x =--，则由题意可得函数()y f x =与函数y m =的图象有三个公共点．画出函数()222f x x x =--的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则3m =． 答案：314．1)∪(1)∪(【分析】方程且有一个实根等价于函数的图象有一个交点画出函数的图象根据函数的性质分类讨论进行求解即可【详解】方程且有一个实根等价于函数的图象有一个交点画出函数的图象如下图所示：函数的定解析：[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72] 【分析】方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根等价于函数1(),log ()2a y g x y x ==-的图象有一个交点，画出函数()y g x =的图象，根据函数1log ()2a y x =-的性质分类讨论进行求解即可.【详解】方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根等价于函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，画出函数()y g x =的图象，如下图所示：函数1()log ()2a y h x x ==-的定义域为1(,)2+∞，且恒过定点3(,0)2.当01a <<时，当(1)1h ≥时，函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，解得12a ≥，所以有112a ≤<；当1a >时，要想函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，只需满足：(2)1h ≥或(3)1(4)1h h <⎧⎨≥⎩，解得(1，32)或 (52，72]，综上所述：a 的取值范围为[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72]. 故答案为：[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72] 【点睛】本题考查了已知方程根的情况求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想，考查了数学运算能力.15．【分析】分两种情况讨论当时结合图象可知；当时再分两种情况讨论分离参数后化为函数的最值可解得结果【详解】当时则恒成立等价于恒成立函数的图象如图：由图可知；当时所以恒成立等价于恒成立若则若则恒成立所以综 解析：10a -≤≤【分析】分0x >，0x ≤两种情况讨论，当0x >时，结合图象可知0a ≤；当0x ≤时，再分0x =，0x <两种情况讨论，分离参数后化为函数的最值可解得结果. 【详解】当0x >时，()ln(1)0f x x =+>，则|()|f x ax ≥恒成立等价于ln(1)x ax +≥恒成立， 函数ln(1)y x =+的图象如图：由图可知0a ≤；当0x ≤时，2()0f x x x =-+≤，所以|()|f x ax ≥恒成立等价于2x x ax -≥恒成立，若0x =，则a R ∈，若0x <，则1a x ≥-恒成立，所以1a ≥-， 综上所述：10a -≤≤. 故答案为：10a -≤≤ 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥； ②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤； ③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥； ④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；16．【分析】由题设知再由得到所以设由此可求出的取值范围【详解】解：正数满足又所以左右加上得到所以由得到设即解得或即或根据定义域均大于零所以取值范围是故答案为：【点睛】本题考查对数的运算法则基本不等式的应 解析：[)6,+∞【分析】由题设知3x y xy ++=，再由2220x xy y -+，得到2224x xy y xy ++，所以2()4x y xy +，设x y a +=，由此可求出x y +的取值范围．【详解】 解：正数x ，y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，22log (3)log x y xy ∴++=，3x y xy ∴++=，又2220x xy y -+，所以左右加上4xy 得到2224x xy y xy ++，所以2()4x y xy +，由3x y xy ++=得到2()34x y x y +++，设x y a +=即2412a a +，解得6a ≥或2a ≤-即(],2a ∈-∞-或[)6,+∞．根据定义域x ，y 均大于零，所以x y +取值范围是[)6,+∞． 故答案为：[)6,+∞． 【点睛】本题考查对数的运算法则，基本不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用，属于中档题．17．18【分析】根据递推关系式依次求f(2)f(3)【详解】因为f(n+1)＝3f(n)所以【点睛】本题考查根据递推关系求函数值考查基本求解能力解析：18 【分析】根据递推关系式依次求f (2) ，f (3). 【详解】因为f (n+1)＝3f (n)，所以(2)3(1)6,(3)3(2)18.f f f f ==== 【点睛】本题考查根据递推关系求函数值，考查基本求解能力.18．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为 解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.19．【分析】先解分式不等式确定集合A 再求补集即可【详解】则故答案为：【点睛】本题考查补集运算准确求得集合A 是关键是基础题 解析：[0,1)【分析】先解分式不等式确定集合A,再求补集即可 【详解】()1|1=,0[1,)A x x ⎧⎫=≤-∞⋃+∞⎨⎬⎩⎭，则[0,1)UA故答案为：[0,1)【点睛】本题考查补集运算，准确求得集合A 是关键，是基础题20．【分析】解绝对值不等式得集合对分三种情况:;;讨论解分式不等式可得集合然后根据列式可得【详解】因为所以所以因为所以即所以所以当即时得此时满足;当即时满足;当即时时不符合题意综上所述:实数的取值范围是 解析：2a ≤-【分析】解绝对值不等式得集合A ,对a 分三种情况: 11a +<-;11a +=-;11a +>-讨论,解分式不等式可得集合B ,然后根据A B =∅列式可得.【详解】因为||1x a -<,所以11a x a -<<+,所以{|11}A x a x a =-<<+,因为211x a x -<+,所以2101x a x x ---<+ ,即101x a x --<+,所以(1)(1)0x a x --+<, 所以当11a +<-,即2a <-时,得11a x +<<-,此时{|11}B x a x =+<<-,满足A B φ⋂=;当11a +=-,即2a =-时,B φ=,满足A B φ⋂=;当11a +>-,即2a >-时,{|11}B x x a =-<<+时,A B φ⋂≠,不符合题意. 综上所述: 实数a 的取值范围是:2a ≤-. 故答案为: 2a ≤-. 【点睛】本题考查了分类讨论思想,集合的交集运算,分式不等式的解法,绝对值不等式的解法,属于中档题.三、解答题21．（1）1-和4；（2）01a <<；（3）1152m <. 【分析】（1）当1a =，3b =-时，结合已知可得2()24f x x x x =--=，解方程可求； （2）由题意可得，2(1)1ax b x b x +++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠，结合二次方程的根的存在条件可求；（3）方法一：问题转化为()2310x m x +-+=在(]0,2上有两个不同解，再利用二次函数的图象列式可得．方法二，当1a =，2b =时，转化为问题2()64f x x x mx =++=在(0,2]上有两个不同实数解，进行分离m ，结合对勾函数的性质可求． 【详解】（1）当1,3a b ==-时，2()24f x x x =--令()f x x =，可得224x x x --=即2340x x --= 解得4x =或1x =-当1,3a b ==-时，求()f x 关于参数1的不动点为1-和4（2）依题意得，b R ∀∈，关于x 的方程210ax bx b ++-=都有两个不等实数根从而有21Δ4(1)0b a b =-->对b R ∀∈都成立即关于b 的不等式2440b ab a -+>对b R ∀∈都成立故有22Δ(4)160a a =--<解得01a <<（3）依题意，得方程231x x mx ++=在2(]0,x ∈上恒有两个不等实数解 法一：即2(3)10x m x +-+=在2(]0,x ∈上恒有两个不等实数根(*) 令2()(3)1h x x m x =+-+，要使(*)成立2(0)10(2)112011Δ(3)40523022h h m m m m =>⎧⎪=-⎪⎪⎨=-->⇒<⎪⎪-<<⎪⎩法二：即13m x x=++在2(]0,x ∈上恒有两个不等实数根 令1()3F x x x=++ 则直线y m =与函数()((0,2]y F x x =∈的图象有两个不同交点 由于函数1()3F x x x=++在(0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增 且11(1)5,(2)2F F ==，结合函数()y F x =的图象可知1152m<. 【点睛】思路点睛：本题考查了二次函数的性质与图象，以及根据函数零点求参的问题；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意变形时让含有自变量的函数式子尽量简单一些．22．（1）(0)0f =，[](1)1f f =-，（2）2()2f x x x =+，（3）(1,0)- 【分析】（1）根据题意，由函数的解析式，将0x =代入函数解析式即可求得(0)f 的值，同理可得(1)f 的值，利用函数的奇偶性分析可得[](1)f f 的值；（2）设0x <，则0x ->，则函数的解析式分析得()f x -的解析式，进而由函数的奇偶性分析可得答案；（3）若方程()0f x m -=有四个不同的实数根，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点，作出函数()y f x =的图像，由数形结合分析即可得答案 【详解】解：（1）由题意得，2(0)0200f =-⨯=，2(1)1211f =-⨯=-， 因为函数()f x 是定义在是R 上的偶函数， 所以(1)(1)1f f =-=-， 所以 [](1)(1)1f f f =-=-， （2）令0x <，则0x ->，则有22()()2()2f x x x x x -=---=+， 因为函数()f x 是定义在是R 上的偶函数， 所以2()()2f x f x x x =-=+， 所以当0x <时，2()2f x x x =+，（3）若方程()0f x m -=有四个不同的实数根，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点，函数()y f x =的图像如图所示， 由图像可得10m -<< 所以实数m 的取值范围为(1,0)-【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的应用，考查函数与方程的应用，解题的关键是把方程()0f x m -=有四个不同的实数根，等价转化为函数()y f x =与直线y m =有4个交点，然后作出函数图像，利用数形结合的思想求解即可，考查转化思想，属于中档题 23．（Ⅰ）2；（Ⅱ）图象见解析，单调递增区间为(),-∞+∞；（Ⅲ）14x >-． 【分析】（Ⅰ）依次求出()1f -，()()1ff -，()()()1f f f -即可（Ⅱ）根据函数解析式即可画出图象，根据图象即可得出单调区间； （Ⅲ）分段讨论可解出不等式. 【详解】解：（Ⅰ）()1110f -=-+=，所以()()1011ff -=+=， 所以()()()1122f f f -==；（Ⅱ）函数图象如下：由图可知，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间； （Ⅲ）①当0x ≤时，102x -≤， 所以()1f x x =+，1111222f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()132122f x f x x ⎛⎫+-=+> ⎪⎝⎭，解得14x >-， 所以014x -<≤； ②当102x <≤时，102x -<， 所以()2xf x =，1111222f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()112122xf x f x x ⎛⎫+-=++> ⎪⎝⎭显然成立， 所以102x <≤符合题意；③当12x >时，102x ->， 所以()2xf x =，12122x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()1212212x xf x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+-=+> ⎪⎝⎭显然成立，所以12x >符合题意， 综上所述：x 的取值范围为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：本题考查函数不等式的求解，解题的关键是分段讨论x 的取值范围，根据不同范围函数的解析式求解.24．（1）2()log f x x =（2）偶函数.见解析 【分析】（1）根据(4)(2)1f f -=，代入到函数的解析式中可求得2a =，可求得函数()f x 的解析式; （2）由函数()f x 的解析式，求得函数()g x 的解析式，先求得函数()g x 的定义域，再由函数的奇偶性的判断方法证得函数的奇偶性. 【详解】（1）因为()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=，所以log 4log 21a a -=，即log 21a =.，解得2a =，所以2()log f x x =;（2）因为()log a f x x =，所以22()log (2)log (2)g x x x =++-,由2020x x +>⎧⎨->⎩,得22x -<<,所以()g x 的定义域为()22-，， 又因为22()log (2)log (2)()g x x x g x -=-++=， 所以22()log (2)log (2)g x x x =++-为偶函数. 【点睛】本题考查对数函数的函数解析式的求解，函数的奇偶性的证明，属于基础题. 25．（1）奇函数；（2）证明见解析；（3）172,4-- 【分析】（1）直接利用函数的奇偶性定义判断即可；（2）利用单调性定义进行判断证明：取值、作差、定号、得结论； （3）利用（2）的结论，得到函数在区间上的单调性，进一步求得最值． 【详解】函数1()f x x x=+的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞ （1）因为对任意的0x ≠，都有11()()()()()f x x x f x x x-=+-=-+=--， 故函数()f x 为奇函数．（2）对区间[)1，+∞上的任意两个数1x 、2x ，且12x x <， 则121212121212111()()()()()x x f x f x x x x x x x x x --=+-+=-． 由于1x 、[)21x ∈+∞，且12x x <，则121x x >，1210x x ->，120x x -<． 从而12())0(f x f x -<即12()()f x f x <，因此函数()f x 在区间[)1，+∞上为增函数． （3）由（2）知，函数()f x 在区间[)1，+∞上为增函数，由（1）知，函数()f x 是奇函数，所以函数()f x 在区间(],1-∞-上为增函数，则函数()f x 在区间[]41--，上为增函数， 故()min f x =()1744f -=-，()()12max f x f =-=-． 【点睛】方法点睛：判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为奇函数)；（2）和差法， ()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） . 26．（1）{}210A B x x ⋃=<<，()R A B ={}23710x x x <<<<或；（2）3a >．【分析】（1）利用集合交并补的定义进行计算即可；（2）利用A C ⋂≠∅结合数轴，可求得a 的取值范围． 【详解】（1）∵{}37A x x =≤≤，{}210B x x =<<，∴{}210A B x x ⋃=<<.∵{}37A x x =≤≤，∴{|3R C A x x =<或}7x >，∴()RA B ={|3x x <或}7x >{}210x x ⋂<<{}23710x x x =<<<<或.（2）如图所示，当3a >时，A C ⋂≠∅（或用补集思想）∴>．a3【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查利用集合间的关系求参数范围，属于基础题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一数学期末试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间90分钟。
第I 卷（选择题 共30分）
参考公式：
圆台的表面积公式：
()22''S r r r l rl π=+++（'r r 、分别为圆台的上、下底面半径，l 为母线长） 柱体、椎体、台体的体积公式：
=(V Sh S 柱体为底面积，h 为柱体高）
1=(3V Sh S 椎体为底面积，h 为椎体高）
()
1='3V S S h 台体(',S S 分别为上、下底面面积，h 为台体高） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1. 下列几何体中是棱柱的有
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
2. 如图所示，正方体的棱长为1，点A 是其一棱的中点，则点A 在空间直角坐标系中的坐标是
A 、11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭
B 、11,1,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
C 、11,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
D 、11,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
3. 如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，130BAB ∠=°，则1C D 与1B B 所成的角是
A 、60°
B 、90°
C 、30°
D 、45°
4. 下列直线中，与直线10x y +-=的相交的是
A 、226x y +=
B 、0x y +=
C 、3y x =--
D 、1y x =- 5. 在空间四边形ABCD 的各边AB BC CD DA
、、、上的依次取点E F G H 、、、，若EH FG 、所在直线相交于点P ，则
A 、点P 必在直线AC 上
B 、点P 必在直线BD 上
C 、点P 必在平面DBC 外
D 、点P 必在平面ABC 内
6. 已知直线a α⊂，给出以下四个命题：
①若平面//α平面β，则直线//a 平面β；
②若直线//a 平面β，则平面//α平面β；
③若直线a 不平行于平面β，则平面α不平行于平面β。
其中正确的命题是 A 、② B 、③ C 、①② D 、①③
7. 已知直线()110a a x y -+-=与直线210x ay ++=垂直，则实数a 的值等于
A 、12
B 、32
C 、10,2
D 、30,2
8. 如图所示，已知AB ⊥平面,BCD BC CD ⊥，则图中互相垂直的
平面有
A 、3对
B 、2对
C 、1对
D 、0对 9. 已知()2,1P -是圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，则弦AB
所在的直线的方程是
A 、30x y --=
B 、10x y +-=
C 、230x y +-= 3
D 、250x y --=
10. 已知直线0(,,ax by c a b c ++=都是正数）与圆221x y +=相切，则以,,a b c 为三边长的
三角形
A 、是锐角三角形
B 、是直角三角形
C 、是钝角三角形
D 、不存在
第II 卷（非选择题，共70分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案填在题中横线上）
11. 直线2y x =与直线3x y +=的交点坐标是 。
12. 已知,,a b c 是两两不等的实数，则经过两点(),A a c 和(),B b c 的直线的倾斜角是。
13. 如图所示，是一个正方体的展开图，若将它还原为正方
体，则直线AB 与直线CD 的位置关系
是 。
14. 圆221:20O x y y +-=与圆22
2:40O x y y +-=的位
置关系是 。
15. 平面几何中我们有“垂直于同一条直线的两条直线平行”，试将该命题中的直线（部分或
全部）换成平面，写出一个在空间成立的命题： 。
16. 如图，在直角梯形ABCD 中，
//,,2,3,60AB CD AB AD CD AB ABC ⊥==∠=°，将此梯形
以AD 所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积
是 。
17. 若关于,x y 的方程22
240x y x y m +--+=表示圆，则实数m 的
取值范围是 。
18. 下列条件中，能判断平面与平面平行的条件可以是 。
（写出所有正确条件的序号）
①α内有无穷多条直线都与β平行；
②α内的任何一条直线都与β平行；
③直线a α⊂，直线b β⊂，且//,//a b βα； ④,,//a b a b αβ⊥⊥。
三、解答题（本大题共5小题，共46分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. （本小题满分8分）
已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边为6，高为4的等腰三角形，求该几何体的体积。
20. （本小题满分8分）
如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四
边形，E 是SA 上一点，试探求点E 的位置，使//SC 平
面EBD ，并证明。
答：点E 的位置是 。
证明：
21. （本小题满分10分）
已知直线l 平行于直线4370x y +-=，直线l 与两坐标轴
围成的三角形的周长是15，求直线l 的方程。
22. （本小题满分10分）
建立适当的坐标系，用坐标系解决下列问题：
已知隧道的截面是半径为4m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m ，高为3m 的货车能不能驶入这个隧道？
23. （本小题满分10分）
如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，1AD 与
1A D 相交于点O 。
（1）判断1AD 与平面11A B CD 的位置关系，并证明；
（2）求直线1AB 与平面11A B CD 所成的角。