最新人教版高中数学选修2-1第一章《充分条件与必要条件》预习导航
人教版数学高中选修2-1《充分条件和必要条件》
人教版数学高中选修2-1《充分条件和必要条件》
人教版数学高中选修2-1《充分条件和必要条件》
1、充分条件和必要条件的定义。
2、充分条件和必要条件的判断方法。
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人教版数学高中选修2-1《充分条件和必要条件》。
人教A版高中数学选修2-1课件第一章1.2-1.2.1充分条件与必要条件
其中
能
使 1a
<
1 b
成
立的
充
分
条件有
________(
只
填
序
号)．
解析：当 a<0<b 时，1a<0<1b；
当 b<a<0，1a<1b<0；
当 b<0<a 时，1b<0<1a； 当 0<b<a 时，0<1a<1b.所以能使1a<1b成立的充分条件有 ①②④. 答案：①②④
类型 2 充分条件、必要条件与集合的关系 (互动探究) [典例 2] 是否存在实数 p，使“4x＋p<0”是“x2－ x－2>0”的充分条件？如果存在，求出 p 的取值范围； 否则，说明理由． 解：由 x2－x－2>0，解得 x>2 或 x<－1.
[典例 1] 给出下列四组命题： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc. 试分别指出 p 是 q 的什么条件．
解：(1)因为两个三角形相似 两个三角形全等，但两 个三角形全等⇒两个三角形相似．
答案：A
3．若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的( ) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．既是充分条件又是必要条件 解析：由充分条件和必要条件概念知 B 正确．
答案：B
4．“a>b”是“a>|b|”的________条件． 解析：a>b a>|b|，如 a＝0，b＝－1 时； 但因为|b|≥b，所以 a>|b|⇒a>b. 故 a>b 是 a>|b|的必要不充分条件． 答案：必要不充分
人教版选修2-1第一章命题及其关系、充分条件与必要条件解析高中数学教学设计试卷分析.doc
四种命题及英关系1.四种命题即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。
2.四种命题间的逆否关系3.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们冇相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.重点1:四种命题及其相互关系【要点解读】1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：(1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；(2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；(3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。
注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面。
2.正确的命题要冇充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要.3.判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假.如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假.4.否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法.【考向11四种命题的关系及真假判断【例题】写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假：(1)末位数字是0的多位数一定是5的倍数；(2)在屮，若AB>AC,则乙O乙(3)若#_2/—3>0,则x< —1 或x>3.解：(1)原命题：若一个多位数的末位数字是0,则它是5的倍数.逆命题：若一个多位数是5的倍数，则它的末位数字是0.否命题：若一个多位数的末位数字不是0,则它不是5的倍数.逆否命题：若一个多位数不是5的倍数，则它的末位数字不是0.这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题.(2)逆命题：在中，若ZOZA 则AB>AC.否命题：在△肋C中，若AB^AG则逆否命题：在△初C中，若则AB^AC.这里，四种命题都是真命题.(3)逆命题：若xV — l或疋>3,则/-2%-3>0.否命题：若2x—3W0,则一1W/W3.逆否命题：若一1W底3,则<一2/—3W0.这里，四种命题都是真命题.【点评】写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件Q 与结论G将原命题写成“若卩则g”的形式.在(2)中，原命题有大前提“在△ ABC中”,在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提.(3) 中'UV — 1或Q>3”的否定形式是“x2 — 1且/W3”，即“一1W/W3”・【考向2】命题的否定【例题】写出下列命题的否定形式和否命题：(1)若刃=0,则山y中至少有一个为零；(2)若臼+方=0,则日，力中最多有一个大于零；(3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等；(4)有理数都能写成分数.解：⑴否定形式：若妙=0,则厂尸都不为零.否命题：若X歼0,则X, JT都不为雾.⑵否定形式：若3+b=0,则3,月都大于霧.否命题：若卄岸=0,则a, b都犬于零•(3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻内角不都相等.否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻内角不都相等.(4)否定形式：有理数不都能写成分数.否命题：非有理数不都能写成分数.逐页厘亟(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系•要注意四种命题关系的札I对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题” “逆否命题”・(2)当一个命题有大前提而要写其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其屮一个(或几个)作为大前提.(3)判断命题的真假，如果不易直接判断，可应用互为逆否命题的等价性來判断：原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价.(4)分清“否命题”与“命题的否定”的区别•“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，“否命题”是对原命题既否定其条件，又否定其结论，而“命题的否定”是否定原命题，只否定命题的结论.重点2：定义法判定充要条件【要点解读】定义法：若pnq、q半p,则〃是Q的充分而不必要条件；若p4q、qn P,则”是9 的必要而不充分条件；若pnq,qn p,则〃是9的充要条件；若p*>q,q4 p ,则"是9的既不充分也不必要条件。
最新高二数学人教A版选修2-1课件：1.2充分条件与必要条件(共34张PPT)
类型二 用集合法判断充分条件、必要条件
[例2] 0<x<5是不等式|x－2|<4成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[分析] |x－2|<4⇒－2<x<6，由小范围可推出大 范围原理可得答案．
[点评] 一般情况下，若条件甲为x∈A，条件乙 为x∈B.
尝试应用 1．对任意实数a，b，c，下列命题中，真命题是 () A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 答案：B
2．若綈p是綈q的必要条件，则q是p的( )
A．充分条件
设A＝{x|x2－x－2>0}， [分析] B＝{x|4x＋p<0
化简A、B
→ 得A、B的包含关系→ 求得p的范围
[点评] 1.根据定义，已知p是q的充分条件(或q是p 的必要条件)，则p⇒q成立．
2．可从集合的角度判断： ①若集合A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要 条件． ②若集合A B，则A不是B的充分条件，B也不是 A的必要条件．
1．充分条件：如果p⇒q，则p叫q的充分条件，原 命题(或逆否命题)成立，命题中的条件是充分的，也 可称q是p的必要条件．
2．必要条件：如果q⇒p，则p叫q的必要条件，逆 命题(或否命题)成立，命题中的条件为必要的，也可 称q是p的充分条件．
2．若p是q的充分条件，这样的条件p是惟一的吗？ 提示：不惟一．如1<x<3是x>0的充分条件，又如， x>5,2<x<7等都是x>0的充分条件．
《充分条件与必要条件》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第1.2.1课时)
• “x>2ab”是“x>a²+b² ”的必要条件.
新知探究
例1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 p是q
的充分条件？
（1）若x 1，则x 2 4 x 3 0; （2）若f ( x) x，则 f ( x)为增函数;
（3） 若x为 无 理 数, 则x 2为 无 理 数.
例如 例1中的命题（3）是假命题，那么，x为无理数
课前导入
通过这个小小的例子，同学们是否对充分条件和必要条件有了大概的理解呢？ 接下来，让我们深入学习“充分条件”和“必要条件”这两个概念.
新知探究
1、一般地：若p则q为真，记作： p q 或 q p 若p则q为假，记作： p q
例如
（1）如果两个三形全等，那么两三角形面积相等。
两个三形全等
例例如如
两个三形全等
两三角形面积相等。
“两个三形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件
“两三角形面积相等”是“两个三形全等 ”的必要条件
新知探究
因此：上面的命题
（1）若x＞a²+b²，则x＞2ab. 是真命题，即x>a²+b²
x>2ab.
所以，
• “x>a²+b² ”是“x>2ab”的充分条件；
课堂练习
“
6
”是“
cos 2 1
2
”的（ A ）
A． 充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C． 充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
课堂练习
指出下列各组命题中，p是q 的什么条件，q是p的什么条件？
（1） p : a Q q : a R
（2） p : a R q : a Q
人教A版高中数学选修2-1习题：1.2充分条件与必要条件(含答案)
1.2充分条件与必要条件A组1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但当“四边形是正方形”时必有“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.答案：B2.“x≤2或x≥5”是“x2-7x+10>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：x2-7x+10>0,解得x>5或x<2.∴“x≤2或x≥5”是“x2-7x+10>0”的必要不充分条件.故选B.答案：B3.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若a=2,则ax+2y=0即为x+y=0与直线x+y=1平行,反之若ax+2y=0与x+y=1平行,则-=-1,a=2,故选C.答案：C4.给出下列3个结论:①x2>4是x3<-8的必要不充分条件;②在△ABC中,AB2+AC2=BC2是△ABC 为直角三角形的充要条件;③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.①②③解析：由x2>4可得x>2或x<-2,而由x3<-8可得x<-2,所以x2>4是x3<-8的必要不充分条件,①正确;在△ABC中,若AB2+AC2=BC2,则△ABC一定为直角三角形,反之不成立,AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充分不必要条件,故②不正确;容易判断③正确.答案：C5.“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：当φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin 2x,此时曲线过原点;而当曲线过原点时,φ=kπ,k∈Z.答案：A6.指数函数f(x)=(3-a)x是单调递增函数的充要条件是.解析：由指数函数的性质可得,要使该函数为增函数,只要3-a>1,即a<2.答案：a<27.已知a,b是两个命题,如果a是b的充分条件,那么¬a是¬b的条件.解析：由已知条件可知a⇒b,∴¬b⇒¬a.∴¬a是¬b的必要条件.答案：必要8.下面两个命题中,p是q的什么条件?(1)p:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b2>a2+c2,q:△ABC为钝角三角形;(2)a,b∈R,p:x>a2+b2,q:x>2ab.解(1)在△ABC中,因为b2>a2+c2,所以cos B=<0,所以B为钝角,即△ABC为钝角三角形.反之,若△ABC为钝角三角形,B可能为锐角,这时b2<a2+c2.所以p⇒q,q p,故p是q的充分不必要条件.(2)因为当a,b∈R时,有a2+b2≥2ab,所以p⇒q.反之,若x>2ab,则不一定有x>a2+b2,即p⇒q,q p,故p是q的充分不必要条件. 9.指出下列各组命题中,p是q的什么条件(用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”作答).(1)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),p:,q:a∥b;(2)p:|x|=|y|,q:x=-y;(3)p:直线l与平面α内两条平行直线垂直,q:直线l与平面α垂直;(4)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),p:f(x),g(x)均为偶函数,q:h(x)为偶函数.解(1)由向量平行公式可知p⇒q,但当b=0时,a∥b不能推出,即q p,故p是q的充分不必要条件.(2)因为|x|=|y|⇒x=±y,所以p q,但q⇒p,故p是q的必要不充分条件.(3)由线面垂直的判定定理可知:p q,但由线面垂直的定义可知:q⇒p,故p是q的必要不充分条件.(4)若f(x),g(x)均为偶函数,则h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x),所以p⇒q,但q p,故p是q的充分不必要条件.10.已知实数p:x2-4x-12≤0,q:(x-m)(x-m-1)≤0.(1)若m=2,则p是q的什么条件;(1)若q是p的充分不必要条件,求实数m的取值范围.解实数p:x2-4x-12≤0,解得-2≤x≤6,q:(x-m)(x-m-1)≤0,解得m≤x≤m+1,令A=[-2,6],B=[m,m+1],(1)若m=2,则B=[2,3],所以p是q的必要不充分条件;(2)若q是p的充分不必要条件,即B⫋A,则解得-2≤m≤5,∴m∈[-2,5].B组1.m=是直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由圆心(1,0)到直线x-y+m=0距离d=,得m=或m=-3,故选A.答案：A2.若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若x=4,则a=(4,3),所以|a|==5;若|a|=5,则=5,所以x=±4,故“x=4”是“|a|=5”的充分不必要条件.答案：A3.以q为公比的等比数列{a n}中,a1>0,则“a1<a3”是“q>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在等比数列中,若a1<a3,则a1<a1q2.∵a1>0,∴q2>1,即q>1或q<-1.若q>1,则a1q2>a1,即a1<a3成立.∴“a1<a3”是“q>1”成立的必要不充分条件,故选B.答案：B4.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：因为l⊥α,m⊂α,n⊂α,所以l⊥m且l⊥n,故充分性成立;当l⊥m且l⊥n时,m,n⊂α,不一定有m与n相交,所以l⊥α不一定成立,故必要性不成立.答案：A5.“0≤m≤1”是“函数f(x)=cos x+m-1有零点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：令f(x)=cos x+m-1=0,得cos x=-m+1,若函数有零点,则-1≤-m+1≤1,解得0≤m≤2,因此“0≤m≤1”是“函数f(x)=cos x+m-1有零点”的充分不必要条件.答案：A6.在△ABC中,设命题p:,命题q:△ABC是等边三角形,那么命题p是命题q的条件.解析：由,得,因此b2=ac,a2=bc,c2=ab,可得a=b=c,故△ABC是等边三角形;反之,若△ABC是等边三角形,则一定有.故命题p是命题q的充要条件.答案：充要7.给出下列命题:①“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件;②“lg a=lg b”是“a=b”的必要不充分条件;③若x,y∈R,则“|x|=|y|”是“x2=y2”的充要条件;④在△ABC中,“sin A>sin B”是“A>B”的充要条件.其中真命题是.(写出所有真命题的序号)解析：∵a=-2,b=-3时,a>b,而a2<b2,∴a>b对a2>b2不具备充分性,故①错误;∵lg a=lg b⇒a=b,∴具备充分性,故②错误;∵|x|=|y|⇒x2=y2,x2=y2⇒|x|=|y|,∴“|x|=|y|”是“x2=y2”的充要条件,③正确;∵在△ABC中,(1)当A,B均为锐角或一个为锐角一个为直角时,sin A>sin B⇔A>B.(2)当A,B有一个为钝角时,假设B为钝角,∵A+B<π⇒A<π-B⇒sin A<sin B,与sin A>sin B矛盾,∴只能A为钝角.∴sin A>sin B⇒A>B;反过来A>B,A为钝角时,π-A>B⇒sin A>sin B,∴④正确.答案：③④8.已知数列{a n}的前n项和S n=p n+q(p≠0且p≠1),求证:数列{a n}为等比数列的充要条件为q=-1.证明充分性:当q=-1时,a1=p-1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(p-1),当n=1时也成立.于是=p(p≠0且p≠1),即数列{a n}为等比数列.必要性:当n=1时,a1=S1=p+q.当n≥2时,a n=S n-S n-1=p n-1(p-1),因为p≠0且p≠1,所以=p.因为{a n}为等比数列,所以=p,即=p,即p-1=p+q,故q=-1.综上所述,q=-1是数列{a n}为等比数列的充要条件.。
2020秋高中数学人教版2-11.2.1充分条件与必要条件含解析
2020秋高中数学人教A版选修2-1课时作业：1.2.1充分条件与必要条件含解析第一章1。
2 1.2.1请同学们认真完成练案[4］A级基础巩固一、选择题1．使0〈x<2成立的一个必要条件是(C)A．0<x〈1B．0≤x<1C．0<x≤2D．x≥22．已知p：x2－x〈0，那么命题p的一个充分条件是(D）A．1〈x〈3B．－1<x<1C．错误!〈x〈5D．错误!<x〈错误!［解析］x2－x〈0，∴0〈x<1，∵13<x<错误!⇒0〈x<1，∴p的一个充分条件为错误!<x〈错误!。
3．已知命题“若p,则q”,假设其逆命题为真,则p是q的（B) A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．无法判断［解析］若p则q的逆命题为“若q,则p”即q⇒p，∴p是q 的必要条件．4．下列各小题中,p是q的充分条件的是（C）①p：m<－2,q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点;②p：错误!＝1,q:y＝f(x）是偶函数;③p：cosα＝cosβ，q：tanα＝tanβ.A．①B．③C．①②D．②③［解析]①中，p⇒q，②中p⇒q，③中p错误!q。
5．已知α、β是两个不同的平面,则“平面α∥平面β"成立的一个充分条件是(C）A．存在一条直线l,l⊂α，l∥βB．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βC．存在一条直线l，l⊥α，l⊥βD．存在一个平面γ，γ∥α，γ⊥β6．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（A)A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件D．无法判断［解析］∵乙⇒甲,丙⇒乙,乙错误!丙，∴丙⇒甲，甲错误!丙，∴丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．二、填空题7．“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列"的__必要__条件．(填“充分"或“必要”）[解析］a，b，c成等比数列⇒b2＝ac.8．设p:实数x满足x2－4ax＋3a2〈0（其中a〉0），q：2〈x≤3。
人教版A版高中数学选修2-1课后习题解答
高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]高中数学选修2-1 课后习题答案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系练习（ P4）1、例:(1)若x2x 2 0,则 x 1;(2) 若x 1,则x2x 20 .2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题 .（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称 . 这是真命题 .（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题 .练习（ P6）1、逆命题：若一个整数能被 5 整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题 .否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被 5 整除 . 这是假命题 .逆否命题：若一个整数不能被 5 整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题 .2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题 .否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题 .逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题 .3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题 .否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题 .逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题 .练习（ P8）证明：证明：命题的逆否命题是：若 a b 1，则 a2b22a 4b 3a2b22a 4b 3 (a b) (a b) 2 (a b )2b当 a b 1时原式 a b 2 2 b 3 a b 10所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题 1.1 A组（P8）1、（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数 a 与b的和a b 是偶数，则 a,b 都是偶数 . 这是假命题 .否命题：若两个整数a,b 不都是偶数，则 a b 不是偶数 . 这是假命题 .逆否命题：若两个整数 a 与b的和a b 不是偶数，则a, b 不都是偶数 . 这是真命题 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ] （ 2）逆命题：若方程x2x m 0 有实数根，则 m 0 . 这是假命题 .否命题：若 m 0 ，则方程 x2x m 0 没有实数根 . 这是假命题 .逆否命题：若方程x2x m 0 没有实数根，则m 0 . 这是真命题 .3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等 .逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题 .否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等 .这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上 .这是真命题.（ 2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题 .否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题 .逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题 .4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题 1.1 B组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则 q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分 .此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设AB,CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E，若 E和圆心 O 重合，则 AB,CD 是经过圆心 O 的弦， AB,CD 是两条直径 . 若 E 和圆心O 不重合，连结AO, BO ,CO 和DO，则OE是等腰AOB，COD的底边上中线，所以，OE AB OE CD.，AB 和 CD 都经过点 E ，且与 OE 垂直，这是不可能的 . 所以， E 和 O 必然重合 . 即 AB 和 CD 是圆的两条直径 .原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1.2充分条件与必要条件练习（ P10）1、（1）；（2）；（3）；（4）.2、（1）. 3（1）.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真 .练习（ P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p 是 q 的必要条件 .2、（1） p 是 q 的必要条件；（2）p是q的充分条件；（ 3） p 是 q 的充要条件；（4）p是q的充要条件.习题 1.2 A组（P12）1、略 .2、（ 1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件；（4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是 a2b2r 2 .习题 1.2 B组（P13）1、（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.2、证明：（ 1）充分性：如果 a2b2c2ab ac bc ，那么 a2b2c2ab ac bc0 .所以 (a b)2(a c)2(b c)20所以， a b 0 ， a c 0 ， b c0 .即 a b c ，所以，ABC 是等边三角形 .（ 2）必要性：如果ABC 是等边三角形，那么 a b c所以 (a b)2 (a c)2 (b c)2 0所以 a2 b2 c2 ab ac bc 0所以 a2 b2 c2 ab ac bc1.3简单的逻辑联结词练习（ P18）1、（1）真；（2）假.2、（1）真；（2）假.3、（1） 2 2 5 ，真命题；（2）3不是方程x290 的根，假命题；（3） ( 1)21，真命题 .习题 1.3 A组（P18）1、（1） 4 {2,3} 或 2 {2,3} ，真命题；（2）4{2,3} 且 2 {2,3} ，假命题；（3）2 是偶数或 3 不是素数，真命题；（4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题.3、（1） 2 不是有理数，真命题；（2）5是15的约数，真命题；（3） 2 3 ，假命题；（4）8715 ，真命题；（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题 1.3 B组（P18）（1）真命题 . 因为 p 为真命题， q 为真命题，所以 p q 为真命题；（2）真命题 . 因为 p 为真命题， q 为真命题，所以 p q 为真命题；（3）假命题 . 因为 p 为假命题， q 为假命题，所以 p q 为假命题；（4）假命题 . 因为 p 为假命题， q 为假命题，所以 p q 为假命题 .1.4全称量词与存在量词练习（ P23）1、（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.练习（ P26）1、（1）n0Z, n0Q ；（2）存在一个素数，它不是奇数；（ 3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形；（2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题 1.4 A组（P26）1、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.3、（1）x0N , x03x02；（2）存在一个可以被 5 整除的整数，末位数字不是0；（3）x R, x2x 1 0 ；（4）所有四边形的对角线不互相垂直.习题 1.4 B组（P27）（ 1）假命题 . 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（ 2）假命题 . 存在一个二次函数，它的图象与x轴不相交；（ 3）假命题 . 每个三角形的内角和不小于 180 ；（ 4）真命题 . 每个四边形都有外接圆 .第一章复习参考题 A 组（ P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题 .2、略 .3、（ 1）假；（2）假；（3）假；（4）假.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真；（5）真.5、（1）n N ,n2 0 ；（2）P { P P 在圆 x2 y2 r 2上}， OP r (O 为圆心)；（3）( x, y) {( x, y) x, y是整数 } ， 2x 4y 3 ；（ 4）x0 { x x 是无理数}， x03 { q q 是有理数} .6、（1） 3 2 ，真命题；（2） 5 4 ，假命题；（ 3）x0 R, x0 0 ，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章复习参考题 B 组（ P31）1、（1） p q；（2） ( p) ( q) ，或( p q) .2、（1）Rt ABC ， C 90，A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，则 c2 a2 b2；（2）ABC ，A, B, C 的对边分别是a b c a, b, c ，则.sin A sin B sin C第二章 圆锥曲线与方程2.1曲线与方程练习（ P37）1、是 . 容易求出等腰三角形 ABC 的边 BC 上的中线 AO 所在直线的方程是 x 0 .2、 a 32 , b 18 .25 253、解：设点 A, M 的坐标分别为 (t,0) ， ( x, y) .（1）当 t 2 时，直线 CA 斜率 k CA2 0 22 t2 t1 t 2所以， k CB2kCA由直线的点斜式方程，得直线 CB 的方程为 y2 t 2 ( x 2) .2令 x 0 ，得 y 4 t ，即点 B 的坐标为 (0,4 t) .由于点 M 是线段 AB 的中点，由中点坐标公式得xt, y 4 t .t4 t ，22由 x得 t 2x ，代入 y2 2得 y42x，即 x y 20 ⋯⋯①2（ 2）当 t 2 时，可得点 A, B 的坐标分别为 (2,0) ， (0,2)此时点 M 的坐标为 (1,1) ，它仍然适合方程①由（ 1）（ 2）可知，方程①是点 M 的轨迹方程，它表示一条直线.习题 2.1 A组（ P37）1、解：点 A(1, 2) 、 C (3,10) 在方程 x 2xy 2 y 1 0 表示的曲线上；点 B(2, 3) 不在此曲线上2、解：当 c 0 时，轨迹方程为 xc 1；当 c 0 时，轨迹为整个坐标平面 .23、以两定点所在直线为 x 轴，线段 AB 垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，得点 M 的轨迹方程为 x 2y 24.4、解法一：设圆 x 2 y 2 6x 5 0 的圆心为 C ，则点 C 的坐标是 (3,0) .由题意，得 CMAB ，则有 k CM k AB1 .高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]所以，yy 1 (x 3, x0)x 3x化简得 x 2y 2 3x 0 (x 3, x 0)当 x 3 时， y0 ，点 (3,0) 适合题意；当 x 0 时， y0 ，点 (0,0) 不合题意 .解方程组x 2 y 2 3x 0， 得 x5, y2 5x 2y 26x 5 033所以，点 M 的轨迹方程是 x2y 2 3x0 ，5x 3.OCM 是直角三角形，3解法二：注意到利用勾股定理，得 x 2 y 2 ( x 3)2 y 2 9 ，即 x 2 y 2 3x0 . 其他同解法一 .习题 2.1 B 组（ P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线 l 的方程为 xy 1 .a b因为直线 l 经过点 P(3,4) ，所以34 1 因此， ab 4a 3ba b由已知点 M 的坐标为 (a,b) ，所以点 M 的轨迹方程为 xy4x 3y 0 .2、解：如图，设动圆圆心 M 的坐标为 (x, y) .y由于动圆截直线 3x y 0 和 3x y 0 所得弦分别为BAB ， CD ，所以， AB8 ， CD4 .过点M 分别CMF E作直线 3xy 0 和 3x y 0 的垂线，垂足分别为 E ，DF ，则 AE4， CF 2 . A3x y3x yME， MF10 .10Ox连接 MA ， MC ，因为 MAMC ，（第 2题）22CF 22 则有， AE MEMF所以， 16 (3 x y)24 (3 x y) 2 ，化简得， xy 10 .10 10因此，动圆圆心的轨迹方程是xy 10 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]2.2椭圆练习（ P42）1、 14. 提示：根据椭圆的定义，PF1 PF2 20 ，因为 PF1 6 ，所以 PF22、（1）x2y2 1；（2） y2 x2 1；（3） x2 y2 1，或 y2 x2 16 16 36 16 36 163、解：由已知， a 5 ， b 4 ，所以c a2 b2 3.（1）AF1 B 的周长 AF1 AF2 BF1 BF2.由椭圆的定义，得 AF1 AF2 2a ， BF1 BF2 2a .所以，AF1B 的周长4a20 .（2）如果 AB 不垂直于x轴，AF1B的周长不变化 .这是因为①②两式仍然成立，AF1B 的周长20，这是定值.4、解：设点 M 的坐标为 ( x, y) ，由已知，得直线 AM 的斜率y(x 1) ；kAMx 1直线 BM 的斜率y(x 1) ；kBMx 1由题意，得kAM2 ，所以y 2 y (x 1, y 0) k BM x 1 x 1化简，得 x 3 ( y 0)因此，点 M 的轨迹是直线 x 3 ，并去掉点 ( 3,0) .练习（ P48）yB2 1、以点B2（或B1）为圆心，以线段OA2 （或 OA1）为半径画圆，圆与 x 轴的两个交点分别为 F1 , F2. A 1 F1O点 F1 , F2就是椭圆的两个焦点.B 1 这是因为，在 Rt B2OF2中， OB2 b ， B2 F2 OA2 a ，（第 1题）所以， OF2 c . 同样有 OF1 c .2、（1）焦点坐标为( 8,0) ， (8,0) ；14 .1.F2A2x（ 2）焦点坐标为 (0,2) ， (0, 2) .3、（1）x 2 y 21；（ 2） y2x 2 1 .36 3225 164、（1）x 2y21（ 2） x2y21 ，或 y 2x 2 1. 94100 64100645、（1）椭圆 9x2y236 的离心率是22 ，椭圆 x 2y 2 1 的离心率是 1 ，316 12 2因为221，所以，椭圆x 2y 2 1 更圆，椭圆 9x 2y 2 36 更扁；3216 12（2）椭圆 x29 y236 的离心率是22 ，椭圆 x 2y 2 1 的离心率是10 ，36105 因为2210，所以，椭圆x 2y 2 1 更圆，椭圆 x 2 9 y 2 36更扁 .356106、（1） (3, 8) ； （2） (0,2) ； （3） ( 48 , 70) .7、82 . 5 3737 7习题 2.2 A组（ P49）1、解：由点 M (x, y) 满足的关系式x 2 ( y 3)2 x 2 ( y 3) 2 10 以及椭圆的定义得，点 M 的轨迹是以 F 1(0, 3) ， F 2 (0,3) 为焦点，长轴长为 10 的椭圆 .它的方程是y 2x 2 1.25 162、（1）x 2y 21； （ 2）y 2x 21 ；（3） x2y 21 ，或 y 2x 21.36 3225 9494049403、（1）不等式 2 x 2 ， 4 y 4 表示的区域的公共部分；（2）不等式 25 x2 5 ， 10 y10表示的区域的公共部分 .图略 .334、（1）长轴长 2a8，短轴长 2b 4 ，离心率 e 3 ，2焦点坐标分别是 ( 2 3,0) ， (2 3,0) ，顶点坐标分别为 ( 4,0) ， (4,0) ， (0, 2) ， (0,2) ；（2）长轴长 2a18 ，短轴长 2b6 ，离心率 e2 2 ，3焦点坐标分别是 (0, 6 2) ， (0,6 2) ，顶点坐标分别为 (0, 9) ，(0,9) ， ( 3,0) ， (3,0) .5、（1）x2y2 1 ；（2） x2 y2 1，或 y2 x2 1 ；8 5 9 81 9（3） x2 y2 1，或 y 2 x2 1 .25 9 25 96、解：由已知，椭圆的焦距F1F2 2.因为PF1F2的面积等于1，所以，1F1F2 y P 1，解得y P1. 2代入椭圆的方程，得x2 1 1 ，解得 x 15 .P5 4 215 l所以，点 P 的坐标是1) ，共有 4 个 .( ,2 QA 7、解：如图，连接 QA . 由已知，得 QA QP . O所以， QO QA QO QP OP r .又因为点 A 在圆内，所以OA OP（第 7题）根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O, A 为焦点，r为长轴长的椭圆 .8、解：设这组平行线的方程为y 3 x m .2把 y 3 x2 y21 ，得 9x2 6mx 2 18 0.x m 代入椭圆方程92m2 4这个方程根的判别式36m2 36(2m2 18)（ 1）由0 ，得 3 2 m 3 2 .当这组直线在 y 轴上的截距的取值范围是( 3 2,3 2) 时，直线与椭圆相交. （ 2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段 AB 的中点为 M (x, y) .则 x x1 x2 m .2 3因为点 M 在直线 y 3 x m 上，与 x m联立，消去 m ，得3x 2y 0 .2 3这说明点 M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]x2y29、3.5252 2.87521.10、地球到太阳的最大距离为 1.5288 108 km，最下距离为 1.4712108 km. 习题 2.2 B 组（ P50）1、解：设点 M 的坐标为 ( x, y) ，点 P 的坐标为( x0, y0)，则 x x0，y 3y0 . 所以 x0 x ，y0 2 y ⋯⋯① .2 3因为点 P(x0 , y0 ) 在圆上，所以 x02 y02 4 ⋯⋯②.将①代入②，得点 M 的轨迹方程为 x2 4 y2 4，即 x2 y2 19 4 9所以，点 M 的轨迹是一个椭圆与例 2 相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为P( x, y) ，半径为 R ，两已知圆的圆心分别为 O1, O2.分别将两已知圆的方程x 2 y2 6x 5 0 ， x2 y2 6x 91 0配方，得(x 3)2 y 2 4 ， ( x 3)2 y2 100当 P 与O1： ( x 3)2 y2 4 外切时，有O1P R 2 ⋯⋯①当P 与O2：( x 3)2y2100内切时，有O2P 10 R⋯⋯②①②两式的两边分别相加，得 O1P O2 P 12即， ( x 3)2 y2 (x 3) 2 y2 12 ⋯⋯③化简方程③ .先移项，再两边分别平方，并整理，得 2 (x 3)2 y2 12 x ⋯⋯④将④两边分别平方，并整理，得3x2 4 y2 108 0 ⋯⋯⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得x2y2 1 ⋯⋯⑥36 27由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，6 3 . 解法二：同解法一，得方程( x 3)2 y2 ( x 3)2 y2 12 ⋯⋯①由方程①可知，动圆圆心P(x, y) 到点O1( 3,0)和点O2(3,0) 距离的和是常数12，第11页共38页。
高中数学选修2-1-1.2充分条件与必要条件.ppt
如(1)中“x＝1” “x2-4x+3=0”，所以“x＝1” 是 “x2-4x+3=0”的充分条件，但不可反推， 故“x＝1” 是 “x2-4x+3=0”的充分非必要条件.
例题2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命 题 q是p的必要条件？ (1)若x=y,则x2=y2; (2)若两三角形全等,则这两个三角形的面积相等; (3)若a>b，则ac>bc.
二、概念理解
注意下列说法：
1.若p是q的充分条件，那么q是p的必要条件;
这时pq成立（是真命题）
q p也成立
2.若p是q的必要条件，那么q是p的充分条件; 这时q p成立（是真命题）
p q也成立
比较下列说法：
1 p是q的充分条件； 这时pq成立 2 p成立的一个充分条件是q. q p 3 p是q的必要条件； q p 4 q成立的一个必要条件是p. q p 5 p是q的充要条件； 6 q成立的充要条件是p.
课内活动
运用本节课所讲的知识填空
①“a和b都是偶数”是“a+b为偶数”的＿＿条件； ②“x＞5”是“x＞3”的 条件； ③“x≠3”是“|x|≠3”的 条件； ④“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5
整除”的 条件；
⑤“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等” 的 条件； （1）充分非必要 （2）充分非必要
数学运用
例题4：指出下列各组命题中，p是q的什么 条件： （1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0.
（1）充分不必要条件 （2） p：两条直线平行；q：内错角相等.
（2）充要条件 （3） p：a>b；q：a2>b2
最新人教版高中数学选修2-1第一章《充分条件与必要条件》互动课堂
互动课堂重难突破1.学习本节内容,四种命题的形式是基础,因为条件的充分性和必要性和命题的四种形式有着密切的联系.在处理充分、必要条件问题时,首先应分清条件和结论,然后才能进行推理和判断.2.(1)充分条件与必要条件.当“若p则q”形式的命题为真时，就记作p⇒q，称p是q的充分条件，同时称q为p 的必要条件.事实上，p是q的充分条件，就是条件p足以能保证结论q成立；这种情况下，也可以理解为:条件p成立，必须q成立，说明对p来说,q是必要的,所以q是p的必要条件.(2)充要条件.如果既有p⇒q，又有q ⇒p，则可以记作p⇔q，这时称p是q的充分必要条件，简称充要条件.根据充分条件和必要条件的定义，p是q的充分必要条件说明:p既是q的充分条件，又是q的必要条件.而且当p是q的充要条件时，根据对称性，q也同时是p的充要条件，符号“⇔”叫做等价符号.3.命题A和B（有时也称题设A和B）的条件关系通常有四类.(1)充分不必要条件：若A ⇒B且B /A,则称A为B的充分不必要条件.(2)必要不充分条件：若A B且B ⇒A，则称A是B的必要而不充分条件，即常说的“有它不一定行，而没它肯定不行”.(3)充要条件：A ⇒B且B ⇒A，则称A为B的充分必要条件,同时，B也是A的充要条件.(4)既不充分也不必要条件：A B且B A.则A既不是B的充分条件也不是B的必要条件.注意：通常要说明的条件关系一般是指这四种，但有时可能会出现只填“充分条件”或“必要条件”.4.判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法.(2)等价法,即利用A ⇒B与⌝B ⌝A;B ⇒A与⌝A⌝B;A ⇒B与⌝A⌝B的等价关系,对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题,一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断,若A ⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.5.确定条件为不充分或不必要的条件时,常用构造反例的方法说明.6.充要条件的传递性.若A⇒B,B⇒C,C⇒D,则A⇒D,即A是D的充分条件，利用这一结论可研究多个命题之间的充要关系.7.证明充要性.证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明命题“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性.8.从集合A与集合B之间的关系上看待充要条件.(1)若A⊆B,则A是B的充分条件；(2)若A⊇B,则A是B的必要条件；(3)若A⊆B且B ⊇A，即A=B，则A是B的充要条件；(4)若A B且B A，则A既不是B的充分条件，也不是B的必要条件;(5)若A ⊆B 且BA ，则A 是B 的充分不必要条件； (6)若A ⊇B 且A B ,则A 是B 的必要不充分条件.活学巧用【例1】在下列各题中,判断A 是B 的什么条件,并说明理由.(1)A :|p |≥2,p ∈R ,B :方程x 2+px +p +3=0有实根;(2)A :圆x 2+y 2=p 2与直线ax +by +c =0相切,B :c 2=(a 2+b 2)p 2.解:(1)当|p |≥2时,例如p =3,则方程x 2+3x +6=0无实根,而方程x 2+px +p +3=0有实根,必有p ≤-2或p ≥6,可推出|p |≥2,故A 是B 的必要不充分条件.(2)若圆x 2+y 2=p 2与直线ax +by +c =0相切,圆心到直线ax +by +c =0的距离等于p ,即22ba cp +=, 所以c 2=(a 2+b 2)p 2;反过来,若c 2=(a 2+b 2)p 2,则p b a c=+22成立,说明x 2+y 2=p 2的圆心(0,0)到直线ax +by +c =0的距离等于p ,即圆x 2+y 2=p 2与直线ax +by +c =0相切,故A 是B 的充分必要条件.点评：对于涉及充分必要条件判断的问题,必须以准确、完整地理解充分、必要条件的概念为基础,有些问题需转化为等价命题后才容易判断.【例2】已知ab ≠0,求证：a +b =1的充要条件是a 3+b 3+ab -a 2-b 2=0.证明：先证必要性.∵a +b =1,即b =1-a ，∴a 3+b 3+ab -a 2-b 2=a 3+(1-a )3+a (1-a )-a 2-(1-a )2=a 3+1-3a +3a 2-a 3+a -a 2-a 2-1+2a -a 2=0.再证充分性.∵a 3+b 3+ab -a 2-b 2=0,即（a +b ）(a 2-ab +b 2)-(a 2-ab +b 2)=0.∴(a +b -1)(a 2-ab +b 2)=0.由ab ≠0,即a ≠0且b ≠0.∴a 2-ab +b 2≠0,只有a +b =1.综上可知，当ab ≠0时,a +b =1的充要条件是a 3+b 3+ab -a 2-b 2=0.【例3】已知p 、q 都是p 的必要条件，s 是p 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么：（1）s 是q 的什么条件？（2）p 是q 的什么条件？（3）p 是q 的什么条件？分析：将已知p 、p 、q 、s 的关系作一个“⇒”图（如右图）.解：（1）由图知：∵q ⇒s.s ⇒p ⇒q .∴s 是q 的充要条件.(2)∵p ⇒q ,q ⇒s ⇒p ,∴p 是q 的充要条件.（3）∵q ⇒s ⇒p ⇒p ,∴p 是q 的必要不充分条件.点评：“⇒”在解决较多个条件的问题时经常用到，要细心体会.【例4】(2005山东高考，10)设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B 是 (UA )∪B =U的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件分析：本题考查集合间的运算关系，解此类问题通常用韦恩图较简洁，但要注意考查一般情况和特殊情况是否均成立.解析：由AB 利用韦恩图得(U A )∪B =U ，故A B 是(U A )∪B =U 的充分条件，而A =B时(U A )∪B =U ，故A B 不是(U A )∪B =U 的必要条件，故选A.答案：A【例5】 已知p :-2≤x ≤10,q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.解:p :-2≤x ≤10.由q 可得(x -1)2≤m 2(m >0),∴1-m ≤x ≤1+m .∴⌝p :x >10或x <-2,⌝q :x >1+m 或x <1-m .∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件,∴⌝q ⇒⌝p .故只需满足⎩⎨⎧-≤-≥+.21,101m m 所以m ≥9.点评:解决这类问题时,一是直接求解;二是转化为等价命题求解,即⌝p 是⌝q 的必要不充分条件等价于q 是p 的充分不必要条件.。
第一章 1.2 充分条件与必要条件
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二、充分必要条件 一般地，如果既有 p⇒q，又有 q⇒p，就记作 p⇔q .此时，我们说，p 是 q 的充 分必要条件，简称 充分必要条件 ．显然，如果 p 是 q 的充分必要条件，那么 q 也是 p 的充分必要条件．概括地说，如果 p⇔q，那么 p 与 q 互为充分必要条件．
答案：必要不充分
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探究一 充分条件、必要条件、充分必要条件的判断 [典例 1] 指出下列各题中，p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不 充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC 中，p：∠A>∠B，q：BC>AC； (2)对于实数 x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2 或 y≠6； (3)在△ABC 中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B； (4)已知 x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.
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[解析] (1)在△ABC 中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以 p 是 q 的充分必要条件． (2)因为 x＝2 且 y＝6⇒x＋y＝8，即綈 q⇒綈 p，但綈 p 綈 q，所以 p 是 q 的充
分不必要条件． (3)取 A＝120°，B＝30°，p q，又取 A＝30°，B＝120°，q p，所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件． (4)因为 p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1 或 y＝2}，A B，所以 p 是 q 的充分 不必要条件．
所以a－2≥－12， a<2
最新人教版高中数学选修2-1第一章《充分条件与必要条件》教材梳理
疱丁巧解牛知识·巧学1.充分条件一般地,“若p 则q”为真命题,即由p ⇒q 就说p 是q 的充分条件.2.必要条件由p ⇒q 则q 是p 的必要条件.在判断充分条件和必要条件时，只需判断命题“若p 则q”和“若q 则p”的真假；“若p 则q”为真命题，则p 是q 的充分条件；“若q 则p”为真命题，则q 是p 的充分条件；即条件能推出结论则条件是结论的充分条件，结论是条件的必要条件；结论能推出条件则结论是条件的充分条件，条件是结论的必要条件.从逻辑推理关系看：若p ⇒q ，则 p 是q 的充分条件；若q ⇒p 则q 是p 的充分条件. 从集合角度看：设A=｛x|x 满足条件q ｝，B=｛x|x 满足条件p ｝.（1）若A ⊆B,则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；（2）若B ⊆A,则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件. 要点提示 充分条件和必要条件反应了条件和结论间的因果关系，在结合具体问题判断时，要注意以下几点：（1）确定命题的条件和结论分别是什么；（2）尝试从条件推结论，从结论推条件；（3）确定条件是结论的什么条件.问题·探究问题 怎样从集合的角度来看待充分条件？探究:如果p ⇒q ，我们可以认为p 是q 的“子集”p 是q 的充分不必要条件 p 是q 的必要不充分条件p 是q 的充分也是必要条件 p 即不是q 的充分条件也不是必要条件典题·热题判定p 是q 的什么条件例1 在下列各题中,判断A 是B 的什么条件,并说明理由.（1）A:|p|≥2,p ∈R ,B:方程x 2+px+p+3=0有实根；（2）A:圆x 2+y 2=r 2与直线ax+by+c=0相切,B:c 2=（a 2+b 2）r 2.思路分析： （1）研究集合A 与B 的包含关系；（2）由解析几何的知识，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径.解:（1）当|p|≥2时,例如p=3,则方程x 2+3x+6=0无实根,而方程x 2+px+p+3=0有实根,Δ=p 2-4p-12≥0必有 p≤-2或p≥6,可推出|p|≥2,故A 是B 的必要不充分条件.（2）若圆x 2+y 2=r 2与直线ax+by+c=0相切,圆心到直线ax+by+c=0的距离等于r,即r=22||b a c +.所以c 2=（a 2+b 2）r 2；反过来,若c 2=（a 2+b 2）r 2,则22||b a c +=r 成立,说明x 2+y 2=r 2的圆心（0,0）到直线ax+by+c=0的距离等于r,即圆x 2+y 2=r 2与直线ax+by+c=0相切,故A 是B 的充分必要条件.方法归纳 对于涉及充分必要条件判断的问题,必须以准确理解充分、必要条件的概念为基础,有些问题需转化为等价命题后才容易判断.例2 若p:A B ⊆S,q:（B ）（A ）,则p 是q 的什么条件？思路分析：研究集合的包含关系既可.解:利用集合的图示法,由右图知A B ⊆S ⇒（B ）（A ）,（B ）（A ）⇒A B ⊆S.所以p 是q 的充要条件.深化升华 本题采用的是从条件直接推结论的方法,其中突出了数形结合的思想方法（图示法）.例3 判断：p ：x≠2或y≠3是q ：x+y≠5的什么条件？思路分析：看一看可由p ⇒q 还是q ⇒p,但直接判断比较困难，可应用命题的等价关系来判断.解:此题直接判断比较困难,可看它的等价命题,其逆否命题是:⌝q:x+y=5,⌝p:x=2且y=3, 因为⌝p ⇒⌝q,,即原命题的否命题成立,则与它等价的逆命题成立,即q ⇒p,故p 是q 成立的必要不充分条件.方法归纳 命题不易直接判断时可转换命题的形式,利用命题的等价性加以判定.要注意与四种命题的知识结合.例4 已知p:|311--x |≤2,q:x 2-2x+1-m 2≤0（m>0）,若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.思路分析：先化简p 和q 的范围，再由充分条件、必要条件的定义找出它们之间的推出关系.解:由p:|311--x |≤2,得-2≤x≤10.由q,可得（x-1）2≤m 2（m>0）.所以1-m≤x≤1+m. 所以⌝p:x>10或x<-2,⌝q:x>1+m 或x<1-m.因为⌝p 是⌝q 的必要不充分条件,所以⌝q ⇒⌝p. 故只需满足⎩⎨⎧-≤-≥+.21,101m m 所以m≥9. 方法归纳 解决这类问题时:一是直接求解；二是转化为等价命题求解,即⌝p 是⌝q 的必要不充分条件等价于q 是p 的充分不必要条件.变式方法 因为⌝p 是⌝q 的必要不充分条件,所以⌝q ⇒⌝p,也即p ⌝q.p 是q 的子集.。
1-2《充分条件与必要条件》(新人教A版选修2-1)省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
第19页
作业：
• P.15 A组 第4题 B组第2题
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命题“若p则q”
已知A＝{x | x满足条件p}，B＝{x | x满足条件q} 1) A B,则p是q充分条件，q是p必要条件.
2) A B,则p是q充分不必要条件，q是p必要不充分条件.
3) A B,则p是q的充要条件.
那么甲是乙的（ A ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也必要条件
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例5、设、、为平面，m、n、l为直线，则m 的
一个充分条件是（ D ）.
A. ， l, m l B. m, ,
C. , , m
D.n , n , m
普通以下几个情况适宜使用反证法
（1）结论本身是以否定形式出现一类命 题； （2）相关结论是以“至多”，或“最少” 形式出现一类命题； （3）关于唯一性、存在性命题； （4）结论反面比原结论更详细、更轻易 研究命题（正难则反）.
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原命题 若p则q
互逆 互否
互
为逆
否
为逆
否命题 互
否
若p则 q 互 逆
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例2、以“充分无须要条件”、“必要不充分条件”、“充 要条件”与”既不充分也无须要条件“中选出适当一个 填空.
1)" x 0, y 0"是" xy 0"的（充分无须要条件） 2）"a N "是"a Z "的 （充分无须要条件） 3）" x2 1 0"是" x 1 0"的 （必要不充分条件） 4）"同旁内角互补"是"两直线平行"的（充要条件） 5)" x 5"是" x 3"的 （必要不充分条件） 6)"a b"是"a c b c"的 （充要条件） 7）已知ABC不是直角三角形，" A<B "是
2019-2020人教A版数学选修2-1 第1章 1.2 充分条件与必要条件课件PPT
1．“x＞0”是“3 x2＞0”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
A [当 x＞0 时，3 x2＞0 成立；但当3 x2＞0 时，得 x2＞0，则 x ＞0 或 x＜0，此时不能得到 x＞0.]
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2．已知 a，b，c∈R，“2b＝a＋c”是“a，b，c 成等差数列”
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1．(1)(2018·天津高考)设 x∈R，则“x－21＜12”是“x3＜1”的(
)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
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A [由x－12＜12得－12＜x－12＜12，解得 0＜x＜1. 由 x3＜1 得 x＜1.当 0＜x＜1 时能得到 x＜1 一定成立；当 x＜1 时，0＜x＜1 不一定成立．所以“x－12＜12”是“x3＜1”的充分而不 必要条件．]
[提示] (1)相同，都是 p⇒q.(2)等价．
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2．充要条件 (1)一般地，如果既有 p⇒q，又有 q⇒p，就记作 p⇔q.此时，我 们说，p 是 q 的 充分必要 条件，简称 充要 条件． 概括地说，如果 p⇔q，那么 p 与 q 互为充要 条件． (2)若 p⇒q，但 q p，则称 p 是 q 的充分不必要条件． (3)若 q⇒p，但 p q，则称 p 是 q 的必要不充分条件． (4)若 p q，且 q p，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
3．能够利用命题之间的关系判定充要关 的判断及应用，提升学生的
系或进行充要条件的证明．(难点)
逻辑推理素养.
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自主预习 探新知
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1．充分条件与必要条件
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件预习案 新人教A版选修2-1(2021年
山西省忻州市2016-2017学年高中数学第一章常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件预习案新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山西省忻州市2016-2017学年高中数学第一章常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件预习案新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.2充分条件与必要条件1。
2。
1 充分条件与必要条件【教学目标】1．知识与技能理解充分条件、必要条件、充要条件的含义2．过程与方法由若p则q命题的真假，师生多借助数学命题的例子来学习，可适当借助生活中实例理解充分条件和必要条件、充要条件中条件p与结论q的关系。
3．情感、态度与价值观本节知识是研究数学定理、公理、公式等必备知识．要从正、逆两方面思考数学问题，是数学研究、发现的重要方法,也是高考常考点。
【预习任务】预习课本P9～10思考下列问题：1．命题“若p,则q”是真命题（即p q),p是q的______条件,q是p的______条件。
2．命题“若p,则q”是真命题,其逆命题是假命题(即p q且q错误!p），则p是q的条件；3．命题“若p,则q”是假命题，其逆命题是真命题(即p q且q p），则p是q的条件；4．命题“若p，则q”是真命题，其逆命题是真命题（即p q且q p),则p是q的条件；5。
思考：“p 是q 的充分条件”与“p 是q 的充分不必要条件”的区别.【自主检测】1.课本P １０练习1、2、3、4．2.从“充分不必要条件"、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件"中,选出适当的一种填空：①“a=b ”是“2a =2b ”的 ； ② “lga=lgb ”是“a=b ”的 ； ③“两条直线不相交”是“这两条直线是异面直线”的 ；④“0)2(22=-+y x ”是“0)2(=-y x "的 。
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预习导航
1．充分条件与必要条件
__
2．若p是q的充分条件，则p是惟一的吗？
提示：不惟一，凡是能使q成立的条件都是它的充分条件．
1．设命题“若p，则q”是假命题，而其逆命题是真命题，则p是q的()．A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．不确定
解析：由题意得，p q，q p，故选B．
答案：B
2．对任意实数a，b，c，下列命题中，真命题是()．
A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
解析：a＝b ac＝bC．
答案：B
3．“∠A＝∠B”是“∠A与∠B是对顶角”的________条件．
解析：∠A ＝∠B
∠A 与∠B 是对顶角，而对顶角一定相等．
答案：必要不充分 4．“函数y ＝cos 2ax －sin 2 ax 的最小正周期为π”的一个充分条件是________． 解析：a ＝1(或a ＝－1)⇒函数的最小正周期为π，反之不成立．
答案：a ＝1(或a ＝－1)
5．设M ＝{x |x 2－2x －15＞0}，N ＝{x |x 2－14x ＋48≤0}，p ：x ∈M ，q ：x ∈N ，试判断p 是q 的什么条件．
解：M ＝{x |x ＞5或x ＜－3}，N ＝{x |6≤x ≤8}，x ∈N 时，一定有x M ∈；而x M ∈时，
不一定有x M ∈，即p
q ，而q p .所以p 是q 的必要不充分条件.。