沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系 教案

课题 两条直线的位置关系
1.掌握两条直线平行与垂直的条件 教学目 2. 根据直线方程判定两条直线的位置关系
标 3. 掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式
教学重 两条直线平行与垂直的判定 点
教学难 点
教学方 法
教具准 备
点到直线的距离公式 讲练结合 教材
教学过 程
【基础练习】
1.已知过点 A(-2，m)和 B(m，4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行，则 m 的值为-8 2.过点（－1，3）且垂直于直线 x－2y+3=0 的直线方程为 2x+y－ 1=0
3.若三条直线 2x 3y 8 0, x y 1 0和 x ky k 1 0 相交于 2
一点，则 k 的值等于 1 2
4.已知点 P1 (1，1)、P 2 (5，4)到直线 l 的距离都等于 2．直 线 l 的方程
为 3x-4y+11=0 或 3x-4y-9=0 或 7x+24y-81=0 或 x3=0.
5.已知 A（7，8），B（10,4）,C（2,-4）,求ABC 的面积.
简解：答案为 28 3
【范例导析】
【例 1】已知两条直线 l1 :x+m2y+6=0, l2 :(m-2)x+3my+2m=0，当 m 为何值时, l1 与 l2
（1） 相交；（2）平行；（3）重合？ 分析：利用垂直、平行的充要条件解决.

解:当ｍ＝0 时， l1 ：x＋６＝０， l2 ：x＝０，∴ l1 ∥ l2 ，
当ｍ＝2 时， l1 ：x＋４y＋６＝０， l2 ：３y＋２＝０
∴ l1 与 l2 相交；
当 m≠０且 m≠２时，由 1 m2 得 m＝－１或 m＝３，由 m 2 3m
1 6 得 m＝3 m 2 2m
故（１）当 m≠－１且 m≠３且 m≠０时 l1 与 l2 相交。
（２）m＝－１或 m＝０时 l1 ∥ l2 ，
（３）当 m＝３时 l1 与 l2 重合。
点拨：判断两条直线平行或垂直时，不要忘了考虑两条直线斜 率是否存在.
例 2.已知直线 l 经过点 P（3，1），且被两平行直线 l1 ： x+y+1=0 和 l2 ：x+y+6=0 截得的线段之长为 5。求直线 l 的方程。
分析：可以求出直线 l 与两平行线的交点坐标，运用两点距离 公式求出直线斜率
解法一：:若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x=3，此 时与 l1 、 l2 的交点分别是 A1（3，-4）和
B1（3，-9），截得的线段 AB 的长|AB|=|-4+9|=5，符合题 意。若直线 l 的斜率存在，则设 l 的方程为 y=k（x-3）+1，
解方程组
x

y

y k
1 0
x 3
得 1
A（
3k k
2 1
,
－
4k 1 k 1
）
解方程组
x

y

y k
60
x 3
得 1
B（
3k k
7 1
，－
9k 1 k 1
）
由|AB|=5 得

3k k
2 1
3k k
7 1
2
+

4k 1 k 1
9k 1 k 1
2
=25，
解之，得 k=0，即所求的直线方程为 y=1。
综上可知，所求 l 的方程为 x=3 或 y=1。
解法二.设直线 l 与 l1 、 l2 分别相交于 A（x1，y1）、B（x2， y2），则 x1+y1+1=0，
x2+y2+6=0。两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5

①
又（x1-x2）2+（y1-y2）2=25 ②
联立①
②，可得

x1 y1

x2 y2

5 0
或

x1 y1

x2 y2

0 5
由上可知，直线 l 的倾斜角为 0°或 90°，又由直线 l 过点 P （3，1），故所求 l 的方程为 x=3 或 y=1。
点拨：用待定系数法求直线方程时，要注意对斜率不存在的情 况的讨论.
【例 3】设已知三条直线
l1 : mx y m 0, l2 : x my mm 1 0, l3 : m 1 x y m 1 0
它们围成ABC,（1）求证：不论 m 为何值，ABC 有一个顶点为 定点.（2）当 m 为何值时，ABC 面积有最大值和最小值，并求此 最大值与最小值.
分析:本题问题（2）考察直线过定点的问题,问题（3）可以建立面
积的表达式,转化为求函数最值问题.
解：（1）证明：因为直线 l1 : mx y m 0 恒过定点（-1，0），直
线 l3 : m 1 x y m 1 0 也恒过定点（-1，0），所以直线 l1 与 l2
的交点为定点（-1，0），即ABC 有一个顶点为定点，不妨设为 C （-1，0）.
（2） 因为 m1 m1 0, 所以 l1 l2 ，即 AB⊥AC,又 l3 与 l2 的
交点为 B（0，m+1），由点到直线距离公式得 B 到直线
AC
的 距 离 dB
1 ，点 m2 1
C
到
AB
的距离
m2 m 1 dc m2 1
. 所 以 ABC
的面积
S= 1 2
m2 m 1 = 1 1 1 m2 1 2 m 1
.当
m＞0
时， m 1 2 ， m
m
等号在 m 1时成立，S 有最大值 3 .当 m0 时， 4
m 1 2 ，等号在 m 1时成立，S 有最小值 1 .
m
4
点拨:解几中的最值问题通常可以转化为函数最值问题.
反馈练习：
1.已知直线 l 在 x 轴上的截距为 1，且垂直于直线 y 1 x ，则 l 的方
2
程是 y 2x 2
2.若直线 ax (1 a)y 3 与 (a 1)x (2a 3)y 5 互相垂直，则 a -3 或