沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系 教案
《两条直线的位置关系》教学设计
《两条直线的位置关系》教学设计教学目标：1.知识目标：学生理解两条直线的位置关系，包括平行、相交和垂直。
2.能力目标：学生能够根据给定的两条直线，判断它们的位置关系，并能够正确画出这些直线。
3.情感目标：培养学生对几何概念的兴趣，提高其观察能力和逻辑推理能力。
教学重点和难点：重点：介绍和讲解直线的位置关系，包括平行、相交和垂直。
难点：辅助学生学会如何判断两条直线的位置关系，并正确表达这些关系。
教学准备：教具准备：黑板、粉笔、白板、彩色笔、直尺、圆规等。
教学材料：包括展示两条直线的图片和实例，以及相关的练习题和作业。
教学过程：一、导入教师可利用幻灯片或实物展示图片，让学生观察并思考两条直线的位置关系，引发学生对今天课程主题的兴趣和好奇。
二、讲授1.平行直线-介绍：如果两条直线上的任意一点都不能同时在另一条直线上，这两条直线就是平行的。
-展示：在白板或黑板上画出两条平行直线，并使用彩色笔标记出它们的特点。
-示范：给出一些实例，让学生判断和画出这些平行直线。
2.相交直线-介绍：如果两条直线上的一点都在另一条直线上，这两条直线就是相交的。
-展示：在白板或黑板上画出两条相交直线，并标记出它们的相交点和特点。
-示范：给出一些实例，让学生判断和画出这些相交直线。
3.垂直直线-介绍：如果两条直线相交时，它们的交角为90度，则这两条直线是垂直的。
-展示：在白板或黑板上画出两条垂直直线，并标记出它们的交角和特点。
-示范：给出一些实例，让学生判断和画出这些垂直直线。
三、练习教师出示一些练习题，让学生根据所学知识判断和画出给定直线的位置关系，以巩固和加深学生对这些概念的理解。
四、拓展教师可以出示一些拓展题目，让学生运用所学知识解决更复杂的问题，激发其思维和探索能力。
五、总结通过让学生总结本节课所学知识，巩固他们的学习成果，确保他们能够正确理解和运用直线的位置关系概念。
六、作业布置相关作业，让学生在家里进一步练习和巩固所学知识，加深对直线位置关系的理解和掌握。
沪教版(上海)数学高二下册-11.3两条直线的位置关系
l2 l1
21
O
21
x
2 1 (1)
1 2
1 2
(2)
2 1
说明: 若两条直线中有一条直线的斜率不存在, 如图示,那么l1 与l2的夹角可直接求得. 例：直线 l1：x 2 l2：x 3 y 4 0, 则 l1 与l2 的 夹角是 _________ . y
l1到 l2的角— 把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角
1
l1
2
l2
l2到l1的角
注意 : 在概念中l1, l2是有顺序的. l1到l2的角0,
（2） 两直线夹角 l1与 l2夹角— 两直线相交时其中所成的锐角（或直角） 规定： 如果两条直线平行或重合时，它们的夹角为0
l1与l2的夹角
则 l1与l2 的法向量分别为 n1 k1 , 1 n2 k2 , 1
cos n1 n2
k1k2 1
n1 n2
k12 1 k22 1
tan k1 k2
1 k1k2
tan k2 k1
y l2
1 k1 k2
l1
l1
l2
21
O
12
x
y
l2
l1
tan k1 k2
d d d d 存在点到直线的最短距离
12
12
cos cos 设两条直线l1与l2的方程分别为：
d1 n1
d d d d 存在点到直线的最短距离
结论：直线l1与 l2的交点个数与方程组（*1）解的个2数相同，即直1线l1与
即直线l1与 l2相交于一点，其交点坐标是
l22的交点情况等价于方程d组2（*）解的情况n. 2
解：设直线l : 4x 3 y c 0
高中数学沪教版高二下册：11.3《两条直线的位置关系》课件
x
1. 在解等腰三角形的有关问题时，常用到两直线 的夹角公式。
2. 利用夹角公式时要注意根据图像选择符合要求 的直线。
1. 必做题：练习册11.3A组/5,6,12, B组/4 2. 思考题：在利用夹角公式解等腰三角形的相
关问题时，如何判断解的个数？ 3. 选做题：设平行四边形ABCD的三顶点A、B、
C的坐标分别为(5，12)，(0，0)，(3，4)直 线l与直线BA、BC分别交于E、F，△BEF是 以EF为底边的等腰三角形，如果直线l平分
平行四边形ABCD的面积，试求直线l的方程。
2| 2
|ab| 2 a2 b2 l2
y
l3
2a2 5ab 2b2 0 a 2b或2a b.
l1
2
当2a=b时，l3与l1平行， 故舍去。
2
1
O
x
直线l3方程为2xy+4=0.
2. 如图，正方形ABCD的对角线AC在直线 x+2y1=0上，且顶点A(5,3)，B(m,0)(m>5)， 求顶点B，C，D的坐标。 解：设AB直线方程为a(x+5)+b(y3)=0,
•C(5,5)
A arccos 16 17 . 85
A(•2,1)
O
B(•6,2)
x
例2 已知等腰直角三角形的直角顶点是C(4,1)， 斜边所在直线方程是3xy=0，求两直角边所 在直线方程。
分析：两腰所在直线与斜边所在直线夹角为450。
解：设两腰所在直线方程为a(x4)+b(y+1)=0. ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴腰所在直线与底边所在直线夹角为450.
1. 等腰三角形的一腰所在直线l1方程为x2y1=0，底 边所在直线方程是l2:x+y1=0，点(2,0)在另一腰上， 求这条腰所在直线l3的方程。
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系 课件 (共14张PPT)
(1) 平行 垂直
(2) 平行 垂直
首 页
(3) 平行 垂直 不平行也不垂直
上
页 第2题：求过点A(2，3)，且分别适合下列条件的直线方程：
下 (1)平行于直线2x+y－5=0；
页 (2)垂直于直线x－y－2=0；
小 结
答案：（1）2x+y－7=0
结
（2）x+y－5=0
束
四、本节小结
(1)斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；
11.3 两条直线的位置关系
首 页
上 页
下 页
小 结
结 束
一、引入 平面内两直线的位置关系如何？
平行
相交
重合
动
画
首
y l1 l2
l2 y
l1
y l1 l2
页
o
o
o
上
x
x
x
页
下 页
小
两直线平行的充要条件是什么？
结
结 束
垂直呢？
二、新课教授
(一)特殊情况下的两直线平行与垂直
当两条直线中有一条直线没有斜率时：
2.两条直线垂直的情形
若l1 l2的斜率存在且分别是k1，k2， 则l1的方向向量 a =(1,k1)
l2的方向向量是 b =(1,k2)
X1x2+y1y2=0
∴l1⊥l2
a ·b =0
首
1×1＋k1k2=0
页
上
k1k2=－1
页
下 页
故如果两条直线的斜率为k1k2，那么，这两条直线垂直
小 结
的充要条件是k1k2=－1
下 页
可设所求直线方程为2x+3y+m=0
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 教案
11.3（2）两条直线的夹角教学目标理解直线夹角公式的推导过程，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法.通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力教学重点及难点理解两条直线夹角公式的推导过程，会求两条直线的夹角教学过程一、复习引入1．引例：判断下列各组直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标（1）023:1=++y x l ， 032:2=--y x l ；（2）015:1=-x l ， 032:2=--y x l ；（3）0524:1=+-y x l ， 032:2=--y x l ．问题1：（对于上述（1）、（2）这样），当两条直线相交时，用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？二、学习新课1、概念形成两条直线的夹角如右图，两条直线相交，一共构成几个角？它们有什么关系？平面上两条直线1l 和2l 相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π ，而两条相交直线夹角的取值范围是（]2,0π.问题2：现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定，那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？2、夹角公式的推导引导学生画图分析，寻找夹角、方向向量之间的关系.设两条直线的方程分别为1l ：0111=++c y b x a （11,b a 不全为零）2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）.设1l 与2l 的夹角为α，1l 与2l 的一方向向量分别为1d 与2d ，其夹角为θ，且1d =),(11a b -,2d =),(22a b -，当]2,0[πθ∈时，则θα=如图甲所示;当],2(ππθ∈时，则θπα-=,如图乙所示.于是得:2222212121212121|||||||||cos |cos b a b a b b a a d d +⋅++=⋅==θα.即为直线1l 与2l 的夹角公式.特别地,当且仅当02121=+b b a a 时, 1l 与2l 的夹角为2π,即1l 与2l 垂直.也就是说:1l ⊥2l ⇔1d 垂直2d ⇔1n 垂直2n ⇔02121=+b b a a (其中1n ,2n 分别为1l 与2l 的一个法向量)而由02121=+b b a a ,易得当0,021≠≠b b 时,有12211-=⋅b a b a ,即当两条直线的斜率都存在时, 1l 与2l 垂直的充要条件是,121-=k k 其中21,k k 分别为直线1l 与2l 的斜率.3、例题分析例1：（回到引例）求下列各组直线的夹角：（1）023:1=++y x l ， 032:2=--y x l ；（2）015:1=-x l ， 032:2=--y x l ；课堂练习：求下列各组直线的夹角θ（1）1:31l y x =-，2:340l y x +-=（2）1:10l y x -+=，2:4l y =（3）2:10l x y ++=，2:2l x =例2：已知直线0942=++y x 和直线08=++ay x 的夹角是14π ，求实数a 的值.例3：已知直线l 过点)3,2(-P ，且与直线023:0=+-y x l 的夹角为3π，求直线l 的方程.课堂练习：已知直线l 经过原点，且与直线1y =+的夹角为6π，求直线l 的方程。
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件
谢谢大家！
4 、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了 不在生活面前屈服。--奥斯特洛夫斯基 14 、人不能有丝毫的自满心理。因为学无止境，活到老学到老，浅尝辄止或半途而废，就学不到高深的技艺。 1 、成功就是凭着勇气和努力，不断地超越自己，做最好的自己。 9 、眼泪不是我们的答案，拼搏才是我们的选择。 16 、生命的奖赏远在旅途终点，而非起点附近。我不知道要走多少步才能达到目标，踏上第一千步的时候，仍然可能遭到失败。但我不会因 此放弃，我会坚持不懈，直至成功! 16 、生命的奖赏远在旅途终点，而非起点附近。我不知道要走多少步才能达到目标，踏上第一千步的时候，仍然可能遭到失败。但我不会因 此放弃，我会坚持不懈，直至成功! 13 、不断进取，勇于面对一切困难，努力克服它，战胜它，这是生存的法则。相反，逃避是懦夫的作为，最终只能带来更多的危机。 7 、一个获得成功的人，从他的同胞那里所取得的，总是无可比拟地超过他对他们所做的贡献。 7 、居善地，心善渊，与善仁，言善信，政善治，事善能，动善时。夫唯不争，故无尤。 7 、有时不合逻辑的举动却恰恰有助于应付变化多端的事态，而正常的逻辑有时却只能将自己带进一个死胡同。这就需要我们有逆反思维。 14 、男人最大的武器是眼神，女人最大的武器是眼泪。 2 、所谓的成功并不需要你比所有的人都强，你只需要强过自己的对手或同行，就足够能显示你的价值。 17 、您得相信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走 下去，才必须勉为其难地去达到它。
19 、做任何事都要经受得挫折，要有恒心和毅力，满怀信心坚持到底。 7 、顶天立地的铮铮男儿，有着坚韧不拔的气质，忠诚和保卫国家，忠于和保护人民，吃苦在前，享乐在后，把祖国和人民的利益放在第一位 ;无条件的服从命令，听从指挥，跟着党走，一心一意;始终保持自信的战斗力，坚决果断，有第一就争，有红旗就要抗在自己的肩上;无怨无悔 ，自强不息，为国分忧，为民尽力，“一日为兵，终日为兵”。
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-直线中的对称问题 教案
点 P (−2,2) ，则易求得 P 关于直线 l2： 2 x − y + 1 = 0 的对称点 P (2,0) ，将 P 的坐标代
简单点评 小结，直接 请学生回 答出所求 直线方程
二、 轴对称（轴（直线）是对称点连线段的中垂线） 1、 点线对称
例 3 求点 P (−2,2) 关于直线 l ： 2 x − y + 1 = 0 对称的点的坐标。
给予充 足时间， 让学生 能够消 化并内 化
解：设 P (−2,2) 关于直线 l 的对称点为 P(a, b)
根据题意得 PP ⊥ l ，且 PP 的中点 ( a − 2 , b + 2) 在直线 l ： 2 x − y + 1 = 0 上 22
2/5
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
此方法 学生容 易想到， 重点指 出垂直、 平分两 个信息
解：设 P 关于直线 l 的对称点为 P 根据题意得 PP ⊥ l ，则 PP 所在直线方程是 x + 2y + c = 0 ，又点 P (−2,2) 在直线上， 所以 c = −2 ，即 PP 所在直线方程是 x + 2y − 2 = 0 ，与已知直线 l ： 2 x − y + 1 = 0 的 交点坐标是 (0,1) ，由中点公式可得 P 的坐标是 (2,0) ，即所求对称点坐标是 (2,0)
明天我们就运用对称的性质来解决相关的距离最值等问题；还有就是今后我们还要学到“轨 迹”，也可以用求轨迹的方法来解决其中的点线对称求点坐标，线线对称求直线的问题。再 有就是点点对称、点线对称是最基本的对称，以后学习曲线关于点对称或者曲线关于直线对 称，都可以转化为点点对称和点线对称，因为任何曲线都是由点构成的。
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件
小结
本节课学习了哪些内容？
5、仰望天空时，什么都比你高，你会自卑；俯视大地时，什么都比你低，你会自负；只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，才能在苍穹泛 土之间找到你真正的位置。无须自卑，不要自负，坚持自信。
7、有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。 3、开启中考成功之门，钥匙有三。其一：勤奋的精神；其二：科学的方法；其三：良好的心态。 6、信心来自于实力，实力来自于勤奋。 4. 即使赚得了全世界，却失去了自己，又有什么意义呢？ 6、莫愁前路无知己，天下谁人不识君。 5.未曾失败的人恐怕也未曾成功过— 3、雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。 19.烈火试真金，逆境试强者。 10、愈是自己有罪的人愈不肯宽恕别人，这是个规律。---博马舍 13.人不能创造时机，但是它可以抓住那些已经出现的时机。 1、不安于小成，然后足以成大器；不诱于小利，然后可以立远功。——方孝孺 15、如果你想得到，你就会得到，你所需要付出的只是行动。 15.一个人幸运的前提，其实是他有能力改变自己。 3. 生活比电影狠多了，从来不给弱者安排大逆转的情节。 28.没有目的，就做不成任何事情;目的渺小，就做不成任何大事 11.乐观的人在每个危机里看到机会，悲观的人在每个机会里看见危机。 13、春天不播种，夏天就不生长，秋天就不能收割，冬天就不能品尝。 4.因害怕失败而不敢放手一搏，永两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程，方程确定直线及其位置， 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
例3
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系 教案
课题两条直线的位置关系教学目标1.掌握两条直线平行与垂直的条件2. 根据直线方程判定两条直线的位置关系3. 掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式教学重点两条直线平行与垂直的判定教学难点点到直线的距离公式教学方法讲练结合教具准备教材教学过程【基础练习】1.已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为-82.过点（－1，3）且垂直于直线x－2y+3=0的直线方程为2x+y－1=03.若三条直线2380,x y++=10x y--=和12x ky k+++=相交于一点，则k的值等于1 2 -4.已知点P1(1，1)、P2(5，4)到直线l的距离都等于2．直线l的方程为3x-4y+11=0或3x-4y-9=0 或 7x+24y-81=0或x-3=0.5.已知A（7，8），B（10,4）,C（2,-4）,求 ABC的面积.简解：答案为28 3【范例导析】【例1】已知两条直线1l:x+m2y+6=0, 2l:(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时,1l与2l（1） 相交；（2）平行；（3）重合？ 分析：利用垂直、平行的充要条件解决.解:当ｍ＝0时，1l ：x ＋６＝０，2l ：x ＝０，∴1l ∥2l ， 当ｍ＝2时，1l ：x ＋４y ＋６＝０，2l ：３y ＋２＝０ ∴1l 与2l 相交；当m ≠０且m ≠２时，由mm m 3212=-得m ＝－１或m ＝３，由mm 2621=-得m ＝3 故（１）当m ≠－１且m ≠３且m ≠０时1l 与2l 相交。
（２）m ＝－１或m ＝０时1l ∥2l ， （３）当m ＝３时1l 与2l 重合。
点拨：判断两条直线平行或垂直时，不要忘了考虑两条直线斜率是否存在.例2.已知直线l 经过点P （3，1），且被两平行直线1l ：x +y +1=0和2l ：x +y +6=0截得的线段之长为5。
求直线l 的方程。
分析：可以求出直线l 与两平行线的交点坐标，运用两点距离公式求出直线斜率解法一：:若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3，此时与1l 、2l 的交点分别是A 1（3，-4）和B 1（3，-9），截得的线段AB 的长|AB|=|-4+9|=5，符合题意。
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系 学案设计
11.3 两条直线的位置关系学习目标：1、会根据两条直线的方程的系数行列式，判别两条直线是否相交、平行或重合．2、能利用直线的法向量(或方向向量)，讨论两条直线具有平行关系或垂直关系时它们的方程的系数应满足的条件．3、会求两条直线的交点坐标．学习重点与难点：学习重点：会根据两条直线的方程的系数行列式，判别两条直线是否相交、平行或重合． 学习难点：两条直线具有平行关系或垂直关系时它们的方程的系数应满足的条件． 学习过程：一、两条直线的交点两条直线方程分别是：01111=++c y b x a l ：，02222=++c y b x a l ：若这两条直线有交点，的解则方程组⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a 标．即这两条直线的交点坐 方程组解的个数相同．方程组，交点的个数与求两条直线的交点：解二、两条直线的位置关系的解的情况判别方程组一⎩⎨⎧=++=++00)(222111c y b x a c y b x a的位置关系与判别两直线二21)(l l ：01111=++c y b x a l ：，02222=++c y b x a l ：三、例题举隅求交点坐标．位置关系，若相交，则、判断下列两条直线的例101243)1(1=-+y x l ：，011272=--y x l ：；01243)2(1=--y x l ：，32=x l ：；01243)3(1=--y x l ：，05862=+-y x l ：。
间的位置关系：、讨论下列各组直线之例206)1(21=++y m x l ：，023)2(2=++m my x m-l ：；)3(1)2(11-=-x k y l ：，)3(122+=-x k y l ：。
四、课堂练习53012121=+-=-+c y x l by x l ex ：，：．已知有如下关系：与为何值时，、求当21l l c b 垂直重合平行相交)4()3()2()1(。
数学11.3两条直线的位置关系教案1沪教版高中二级第二学期
11.3两条直线位置关系一、教学内容分析本小节的内容大致可以分为两部分：一是两条直线的交点、位置关系；二是两条直线的夹角.预计需要三课时:第一课时, 两条直线的交点和位置关系; 第二课时, 两条直线的夹角; 第三课时,两直线的位置关系与夹角公式的应用.在初中平面几何中研究过两条直线的关系.在本小节的教学中，我们用代数方法，在平面直角坐标系中，研究怎样用直线的方程来判断两条直线的位置关系，体现了解析几何用方程研究曲线的基本思想.本小节的重点是由直线方程求两条直线的交点、两条直线位置关系的判断，以及根据直线方程求两条直线夹角的方法.在认识直线与直线方程的对应关系的基础上，抓住“形与数”的对应，理解求两条直线的交点就是求它们的方程的公共解，将两条直线位置关系的问题转化为相应的二元一次方程组的解的个数问题，由此得出两条直线的三种位置关系：相交、平行、重合，对于相应的二元一次方程组就是：有唯一解、无解、无数多个解.然后对两直线相交的情况作定量的研究，规定两条相交直线所交成的锐角或直角为两条相交直线的夹角，通过分析两条相交直线的图形的几何性质，联想两条直线的夹角与两条直线的方向向量的夹角的关系，推导出两条直线的夹角公式.本小节的难点是启发学生把研究两直线的位置关系问题转化为考查它们的方程组成的方程组的解的问题，以及两条直线的夹角公式的推导.突破难点的关键是：建立新旧知识的联系，寻找新知识的生长点，利用数形结合使学生理解“形与数”之间的联系，以及利用数量关系处理几何关系的方法.对直线方程的系数中含有未知数的两直线的位置关系的分类讨论是本小节的一个重点问题，也是一个难点问题.二、教学目标设计理解两条直线的交点就是它们所对应的一次方程组的解，会求两条相交直线的交点；掌握根据方程组解的情况判断两条直线平行、相交或重合的方法；理解两条直线的位置关系在它们的方向向量及其法向量的关系上的反映，理解“形”与“数”之间的联系.通过对两直线位置关系的讨论，运用已有知识解决新问题的能力，提高运用数形结合、分类讨论等思想方法的能力.三、教学重点及难点求两条直线的交点，掌握判断两条直线的位置关系的方法；两条直线的位置关系与相应的方程组的解的个数之间的对应.四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计一、情境设置，导入新课用大屏幕打出直角坐标系中的两条直线，移动两条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.思考并回答下列问题1、平面上两条直线有几种位置关系？各有什么几何特征？解答：两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合.从几何特征上看：相交⇔有唯一的公共点；平行⇔没有公共点；重合⇔至少有两个公共点，进而有无数个公共点.[说明] 通过教具演示，增强直观性，帮助学生迅速准确地发现两条直线的关系，由此引出新课,为进一步的研究作好铺垫.并指出，垂直是相交的一种特殊情况.2、在直角坐标系中，这三种位置关系在直线方程上是怎样体现的呢？[说明] 通过对已有相关知识的回顾，自然地提出此问题（暂不要学生回答），给出下面的引例，引导学生来到新知识的生成场景中.让学生带着问题学习，明确了本节课的学习目标，促进学生学习的主动性.二、学习新课关于两直线的交点、位置关系1、概念引入引例：解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=++=-+0220243y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧+==+-21310362x y y x ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧+==-2131062x y y x ． 然后，请你回答：上述方程组所表示的两条直线的交点个数？如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？解答：由直线方程的概念，我们知道方程组（1）有唯一的解⎩⎨⎧=-=22y x ，两条直线有且只有一个公共点为)2,2(-；方程组（2）有无数组解，两条直线有无数个公共点；方程组（3）无解，两条直线无公共点.[说明] ①启发学生观察，并得出如下结论：方程组（1）~（3）的解的个数与其表示的两条直线的交点个数是相同的；方程组（1）的解就是两条直线的交点坐标.并根据上述实例，引导学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出两条直线的位置关系与方程组的解的关系.②在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深入.2、概念形成一般地，设两条直线的方程分别为1l ：0111=++c y b x a （11,b a 不全为零）……①2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）……②两条相交直线的交点坐标思考并回答：如何求直线1l 、2l 的交点？解答：由直线与直线方程的对应关系，若两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，则交点的坐标一定是两个方程的唯一公共解，反之，若两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是两条直线的交点.由此得出直线1l 、2l 交点的求法：联立1l 与2l 的方程:⎩⎨⎧=++=++002211c y b x a c y b x a ……(Ⅰ)，此方程组的解,即为直线1l 、2l 交点. 两条直线的位置关系与方程组的解的个数之间的关系思考并回答：由方程①②如何判断直线1l 、2l 的位置关系？解答：由引例分析、归纳出：直线1l 、2l 的三种位置关系：相交、平行、重合，对于直线1l 、2l 的方程联立的方程组是：有唯一解、无解、无数多个解．因此我们可以通过讨论方程组的解的个数得出直线1l 、2l 的位置关系.联立1l 与2l 的方程，得方程组:⎩⎨⎧=++=++002211c y b x a c y b x a …(Ⅰ)，此方程组的解的个数与直线1l 、2l 交点的个数一致.计算由方程的系数构成的行列式:2211b a b a D =，2211bc b c D x --=，2211c a c a D y --=.则 当02211≠=b a b a D 时，方程组(Ⅰ)有唯一的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DD y D D x yx ，此时1l 、2l 相交于一点，交点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D D D D y x ,. 当02211==b a b a D 且y x D D ,中至少有一个不为零时，方程组(Ⅰ)无解，此时1l 、2l 没有公共点，即直线1l 与2l 平行.当0===y x D D D 时，方程组(Ⅰ)有无穷多个解，此时1l 、2l 有无数多个公共点，即直线1l 与2l 重合.[说明]①这个问题是本节课的中心议题，应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见，形成“高潮”；②指出：在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究.⏹ 回到引例请学生用上述结论，判断引例中三组直线的位置关系.[说明] ①与引例前后呼应.本环节的设计目的是使学生初步掌握判断直线位置关系的方法：通过计算由直线方程的系数构成的行列式D 、y x D D 、的值，判断两直线的平行、重合、相交. ②通过引例（2）（3）指出，前提条件是直线方程为一般形式.3、概念的辨析⏹ 两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系:1l 与2l 相交⇔方程组(Ⅰ)有唯一解⇔0≠D 即1221b a b a ≠；1l 与2l 平行⇔方程组(Ⅰ)无解⇔0=D 且y x D D ,中至少有一个不为零；1l 与2l 重合⇔方程组(Ⅰ)有无穷多解⇔0===y x D D D .⏹ 02211==b a b a D 时，1l 与2l 平行或重合，即02211==b a b a D 是1l 与2l 平行的必要非充分条件.换言之，2112b a b a =1l ∥2l ；若两条直线不重合，则1221b a b a =⇔1l //2l ．[说明] 引导学生得出：①两条直线的位置关系，可以通过计算系数构成的行列式得到；②对易出错的概念进行反思.4、例题分析例1已知直线1l ：313--=x a y 与2l ：01)1(2=+++y a x ，求实数a 的值，使直线1l 与2l 平行.（补充例题）解：先把直线1l 的方程化为一般形式1l ：013=++y ax .21//l l ,由0=D ,∴(1)60a a +-=，解得3-=a 或2=a ，当时3-=a 两方程化为0133=++-y x 与0122=+-y x 显然平行；当时，2=a 两方程化为0132=++y x 与0132=++y x 两直线重合.∴2=a 不符合，∴3a =-即为所求．[说明]①学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，将学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的．②强调0=D 是两直线平行的必要条件，求得的字母取值可能使两直线平行,也可能是重合，注意检验.例2 讨论直线下列各组直线之间的位置关系. （课本p17例2）(1)06:21=++y m x l 与023)2(:2=++-m my x m l ;(2) )3(1:11-=-x k y l 与)3(1:22+=-x k y l .[说明]①及时巩固重点内容，使学生在课堂上就能掌握.同时强调规范的书写和表达是否简洁.通过对例题的讲解，在解题步骤和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思考，以及严谨认真的数学学习习惯;②小题(2)是直线方程的点斜式,需要先化为直线方程的一般形式.例3求经过原点且经过直线022:1=+-y x l 与直线022:2=--y x l 的交点的直线方程． 解：解方程组：⎩⎨⎧=--=+-022022y x y x 得⎩⎨⎧==22y x ，∴1l 与2l 的交点是)2,2(， 设经过原点的直线方程为kx y =，把点)2,2(代入，得1=k ，所以，所求的直线方程为x y =．[说明]例题的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用，由浅入深，循序渐进的不同层次要求.例 4 若三条直线1l ：023=+-y x ，2l ：032=++y x ，3l ：0=+y mx ，当m 为何值时，三条直线不能构成三角形？（补充例题）解:三条直线不能构成三角形⇔三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行.（1）若三条直线交于同一点时,解方程组⎩⎨⎧=++=+-032023y x y x , 得⎩⎨⎧-=-=11y x ，即1l 与2l 的交点是（1,1--），把点（1,1--）代入直线3l 的方程得1-=m ．（2）若其中至少有两条直线平行时，由1l //2l 得：3-=m ; 由32//l l 得:2=m ，综上：当1-=m 或3-=m 或2=m 时三条直线不能构成三角形.[说明]①本例为直线位置关系的综合运用，涉及到求直线的交点及直线的平行或重合时,系数应满足的条件,因此,需要分类讨论的思想方法.②解决三条直线交于一点的问题时,一般先求出其中两条直线的交点,再根据此交点也在第三条直线上，列式求解.5．问题拓展⏹ 从向量的角度,两条直线的三种位置关系有怎样的体现呢?1l 与2l 的一个方向向量分别是1d =),(11a b -,2d =),(22a b -;一个法向量分别是1n =),(11b a ,2n =),(22b a .则1l 与2l 有如下关系：相交⇔1d 不平行2d ⇔1d 不垂直2n ⇔02112≠-b a b a ;平行⇒1d 平行2d ⇔1d 垂直2n ⇔02112=-b a b a ;重合⇒1d 平行2d ⇔1d 垂直2n ⇔02112=-b a b a .⏹ 三种位置关系可以用直线的斜率表示吗？由于不是所有的直线都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分类讨论.若至少有一条直线的斜率不存在，则设此直线方程为1x x =,通过图示观察,易知其关系. 若两直线的斜率都存在,直线方程可以化为1l :11d x k y +=，2l :22d x k y +=,则有 ①1l //2l ⇔21k k =且21d d ≠；②1l 和2l 重合⇔21k k =且21d d =；③1l 和2l 相交⇔21k k ≠.[说明] 判断直线位置关系的方法并不唯一，可以从行列式、向量、斜率三个不同角度考虑,使用时要注意方法上的选择.一般情况,采用计算行列式的方法比较单纯，这种方法更具一般性，便于使用，是本节课学习的重点.三、巩固练习练习11.3（1）[说明] 进一步强化判断两条直线位置关系的方法，反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度.四、课堂小结本课我们主要学习了哪些知识？应当注意什么？运用了那些思想方法？① 知识点：本节课主要学习了两条直线的位置关系的判定方法，求两条直线的交点坐标的方法.讨论了已知两直线的位置关系，求字母系数值的方法.解决问题时，注意区分两条直线平行与重合满足的条件.② 数学思想方法：类比、转化、数形结合思想，特殊到一般的方法．[说明] 引导学生从知识内容和思想方法两个方面进行小结，使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，反思、巩固所用到的数学方法，达到巩固知识，明确方法的目的.五、作业布置1、书面作业：习题11.3 ----2,3,4,5,6,7,8,92、思考题：设直线的方程为(21)(32)1850m x m y m ++--+=，求证：不论m 为何值，所给的直线经过一定点.解 方法一：取m=0,1得:⎩⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=-+=+-430133052y x y x y x ,把交点坐标(3,4)代入原方程,可知对于任意m, 原方程均成立,即不论m 为何值，所给的直线经过一定点(3,4).方法二：对于任意实数m,关于y x ,的方程(21)(32)1850m x m y m ++--+=的解都相同0)52()1832(=+-+-+⇔y x m y x 对于任意实数m 恒成立,得:⎩⎨⎧⎩⎨⎧===-+=+-43,01832052y x y x y x 解得, 即不论m 为何值，所给的直线经过一定点(3,4).[说明]①作业布置1是课本习题，通过它来反馈知识掌握效果，巩固所学知识，强化基本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；②作业布置2设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间，学生可以根据实际情况选用.。
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课题 两条直线的位置关系
1.掌握两条直线平行与垂直的条件 教学目 2. 根据直线方程判定两条直线的位置关系
标 3. 掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式
教学重 两条直线平行与垂直的判定 点
教学难 点
教学方 法
教具准 备
点到直线的距离公式 讲练结合 教材
教学过 程
【基础练习】
1.已知过点 A(-2，m)和 B(m，4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行，则 m 的值为-8 2.过点（－1，3）且垂直于直线 x－2y+3=0 的直线方程为 2x+y－ 1=0
3.若三条直线 2x 3y 8 0, x y 1 0和 x ky k 1 0 相交于 2
一点，则 k 的值等于 1 2
4.已知点 P1 (1，1)、P 2 (5，4)到直线 l 的距离都等于 2．直 线 l 的方程
为 3x-4y+11=0 或 3x-4y-9=0 或 7x+24y-81=0 或 x3=0.
5.已知 A（7，8），B（10,4）,C（2,-4）,求ABC 的面积.
简解：答案为 28 3
【范例导析】
【例 1】已知两条直线 l1 :x+m2y+6=0, l2 :(m-2)x+3my+2m=0，当 m 为何值时, l1 与 l2
（1） 相交；（2）平行；（3）重合？ 分析：利用垂直、平行的充要条件解决.
解:当ｍ＝0 时， l1 ：x＋６＝０， l2 ：x＝０，∴ l1 ∥ l2 ，
当ｍ＝2 时， l1 ：x＋４y＋６＝０， l2 ：３y＋２＝０
∴ l1 与 l2 相交；
当 m≠０且 m≠２时，由 1 m2 得 m＝－１或 m＝３，由 m 2 3m
1 6 得 m＝3 m 2 2m
故（１）当 m≠－１且 m≠３且 m≠０时 l1 与 l2 相交。
（２）m＝－１或 m＝０时 l1 ∥ l2 ，
（３）当 m＝３时 l1 与 l2 重合。
点拨：判断两条直线平行或垂直时，不要忘了考虑两条直线斜 率是否存在.
例 2.已知直线 l 经过点 P（3，1），且被两平行直线 l1 ： x+y+1=0 和 l2 ：x+y+6=0 截得的线段之长为 5。
求直线 l 的方程。
分析：可以求出直线 l 与两平行线的交点坐标，运用两点距离 公式求出直线斜率
解法一：:若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x=3，此 时与 l1 、 l2 的交点分别是 A1（3，-4）和
B1（3，-9），截得的线段 AB 的长|AB|=|-4+9|=5，符合题 意。
若直线 l 的斜率存在，则设 l 的方程为 y=k（x-3）+1，
解方程组
x
y
y k
1 0
x 3
得 1
A（
3k k
2 1
,
－
4k 1 k 1
）
解方程组
x
y
y k
60
x 3
得 1
B（
3k k
7 1
，－
9k 1 k 1
）
由|AB|=5 得
3k k
2 1
3k k
7 1
2
+
4k 1 k 1
9k 1 k 1
2
=25，
解之，得 k=0，即所求的直线方程为 y=1。
综上可知，所求 l 的方程为 x=3 或 y=1。
解法二.设直线 l 与 l1 、 l2 分别相交于 A（x1，y1）、B（x2， y2），则 x1+y1+1=0，
x2+y2+6=0。
两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5
①
又（x1-x2）2+（y1-y2）2=25 ②
联立①
②，可得
x1 y1
x2 y2
5 0
或
x1 y1
x2 y2
0 5
由上可知，直线 l 的倾斜角为 0°或 90°，又由直线 l 过点 P （3，1），故所求 l 的方程为 x=3 或 y=1。
点拨：用待定系数法求直线方程时，要注意对斜率不存在的情 况的讨论.
【例 3】设已知三条直线
l1 : mx y m 0, l2 : x my mm 1 0, l3 : m 1 x y m 1 0
它们围成ABC,（1）求证：不论 m 为何值，ABC 有一个顶点为 定点.（2）当 m 为何值时，ABC 面积有最大值和最小值，并求此 最大值与最小值.
分析:本题问题（2）考察直线过定点的问题,问题（3）可以建立面
积的表达式,转化为求函数最值问题.
解：（1）证明：因为直线 l1 : mx y m 0 恒过定点（-1，0），直
线 l3 : m 1 x y m 1 0 也恒过定点（-1，0），所以直线 l1 与 l2
的交点为定点（-1，0），即ABC 有一个顶点为定点，不妨设为 C （-1，0）.
（2） 因为 m1 m1 0, 所以 l1 l2 ，即 AB⊥AC,又 l3 与 l2 的
交点为 B（0，m+1），由点到直线距离公式得 B 到直线
AC
的 距 离 dB
1 ，点 m2 1
C
到
AB
的距离
m2 m 1 dc m2 1
. 所 以 ABC
的面积
S= 1 2
m2 m 1 = 1 1 1 m2 1 2 m 1
.当
m＞0
时， m 1 2 ， m
m
等号在 m 1时成立，S 有最大值 3 .当 m0 时， 4
m 1 2 ，等号在 m 1时成立，S 有最小值 1 .
m
4
点拨:解几中的最值问题通常可以转化为函数最值问题.
反馈练习：
1.已知直线 l 在 x 轴上的截距为 1，且垂直于直线 y 1 x ，则 l 的方
2
程是 y 2x 2
2.若直线 ax (1 a)y 3 与 (a 1)x (2a 3)y 5 互相垂直，则 a -3 或
1
3.若直线 l1：ax+2y+6=0 与直线 l2：x+（a－1）y+（a2－1）=0 平 行，则 a 的值是___-1___.
4.已知 0 ，且点 (1, cos ) 到直线 xsin y cos 1的距离等于
2
1 ，则 等于
4
6
5.设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长，则直 线 sinA·x+ay+c=0 与 bx－sinB·y+sinC=0 的位置关系是垂直
6.已知点 P1(x1, y1) 、 P2 x2 , y2 ，分别是直线 l 上和直线 l 外一点，若直 线 l 的方程是 f x, y 0 ，则方程 f x, y f x1, y1 f x2 , y2 0 表示的图
形是 过P2且与l平行的直线
7.点 (2,3) 关于直线 x y 1的对称点的坐标是 （-2， -1）
8. 经过直线 2x 3y 7 0 与 7x 15y 1 0 的交点，且平行于直线 x 2y 3 0 的直线方程是 3x+6y-2=0
9.两条直线 ax 2ay 1 0, 和 a 1 x a 1 y 1 0互相垂直，则
垂足的坐标为
2 15
，7 30
10.线 l1 过点 A(5,0) ， l2 过点 B(0,1) ， l1 ∥ l2 ，且 l1 与 l2 之间的距离等 于 5，求 l1 与 l2 的方程。
解： l1 与 l2 的方程分别为：12x-5y-60=0,12x-5y+5=0 或 x=5,x=0
11.条直线 x y 1 0, 2x y 8 0和 ax 3y 5 0 共有三个不同 的交点，求 a 的范围。
解: a 3且 a 6 且 a 1 3
12. 已 知 ABC 的 三 边 方 程 分 别 为 AB: 4x 3y 10 0 ，
BC: y 2 0 ，CA: 3x 4y 5 0 .
求：（1）AB 边上的高所在直线的方程；（2）∠BAC 的内角平分线所
在直线的方程.
解 ：（ 1 ） AB 边 上 的 高 斜 率 为 3 且 过 点 C ， 解 方 程 组 4
y 2 0 3x 4y 5
0
得
点
C （ 13 ， 2 ） 所 以 3
AB
边上的高方程为
3x 4y 21 0 .
（ 2 ） 设 P x, y 为 ∠ BAC 的 内 角 平 分 线 上 任 意 一 点 ， 则
4x 3y 10 3x 4 y 5 解得 7x 7 y 5 0 或 x y 15 0 ，由图
42 32 32 42
形知 7x 7 y 5 0 即为所求.
作业布置 教后反思：
。