人教A版选修2-21.7定积分的简单应用同步练习.docx
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.7 定积分的简单应用1.7.2 Word版含答案
1.7.2 定积分在物理中的应用[学习目标]1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值． [知识链接]下列判断正确的是________．(1)路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念； (2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子⎠⎛t 1t 2v (t )d t ；(3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子⎠⎛t 1t 2v (t )d t .答案 (1)(3)解析 (1)显然正确．对于(2)，(3)两个判断，由于当v (t )≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用⎠⎛t 1t 2v (t )d t 求解；当v (t )<0时，求某一时间段内的位移用⎠⎛t 1t 2v (t )d t 求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为 －⎠⎛t 1t 2v (t )d t .所以(2)错(3)正确． [预习导引]1．在变速直线运动中求路程、位移路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s ′分别为： (1)若v (t )≥0，则s ＝⎠⎛a b v (t )d t ，s ′＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)若v (t )≤0，则s ＝－⎠⎛a b v (t )d t ，s ′＝⎠⎛ab v (t )d t .(3)若在区间[a ，c ]上，v (t )≥0，在区间[c ，b ]上v (t )<0， 则s ＝⎠⎛a c v (t )d t －⎠⎛c b v (t )d t ；s ′＝⎠⎛ab v (t )d t .2．定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s (单位：m)，则力F 所作的功为W ＝Fs ；而若是变力所做的功W ，等于其力函数F (x )在位移区间[a ，b ]上的定积分，即W ＝⎠⎛ab F (x )d x .要点一 求变速直线运动的路程、位移例1 有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求(1)P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．解 (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动，当t >4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 离开原点的路程 s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t＝⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪40－⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪60＝0. (2)依题意⎠⎛0t (8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况， t ＝6是所求的值．规律方法 (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．跟踪演练1 变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2，初始位置为x 0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．解 当0≤t ≤1时，v (t )≥0，当1≤t ≤2时，v (t )<0.所以前2秒钟内所走的路程 s ＝⎠⎛01v (t )d t ＋⎠⎛12[－v (t )]d t＝⎠⎛01(1－t 2)d t ＋⎠⎛12(t 2－1)d t＝⎝⎛⎭⎫t －13t 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫13t 3－t ⎪⎪⎪21＝2. 2秒末所在的位置x 1＝x 0＋⎠⎛02v (t )d t ＝1＋⎠⎛02(1－t 2)d t＝1＋⎝⎛⎭⎫t －t 33⎪⎪⎪20 ＝1＋2－83＝13.它在前2秒内所走的路程为2， 2秒末所在的位置为x 1＝13.要点二 求变力所作的功例2 在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S )从点a 处推到b 处，计算在移动过程中，气体压力所做的功． 解 由物理学知识易得，压强p 与体积V 的乘积是常数k ，即pV ＝k . ∵V ＝xS (x 指活塞与底的距离)，∴p ＝k V ＝k xS .∴作用在活塞上的力F ＝p ·S ＝k xS ·S ＝kx .∴所做的功W ＝⎠⎛a b kx d x ＝k ·ln x ⎪⎪ba ＝k ln ba . 规律方法 解决变力作功注意以下两个方面：(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步． (2)根据变力作功的公式将其转化为求定积分的问题．跟踪演练2 设有一长为25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，求使弹簧伸长到40 cm 所做的功．解 设以x 表示弹簧伸长的厘米数，F (x )表示加在弹簧上的力，则F (x )＝kx . 依题意，使弹簧伸长5 cm ，需力100 N ，即100＝5k ，所以k ＝20，于是F (x )＝20x . 所以弹簧伸长到40 cm 所做的功即计算由x ＝0到x ＝15所做的功：W ＝∫15020x d x ＝10x2⎪⎪⎪15＝2 250(N·cm)．1．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.52g B ．72gC ．32gD ．2g答案 C解析 h ＝⎠⎛12gt d t ＝12gt 2⎪⎪21＝32g .2．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车 ( )A ．405B ．540C ．810D ．945答案 A解析 停车时v (t )＝0，由27－0.9t ＝0，得t ＝30，∴s ＝∫300v (t )d t ＝∫300(27－0.9t )d t ＝(27t －0.45t 2)⎪⎪30＝405.3．(2013·湖北)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案 C解析 由v (t )＝7－3t ＋251＋t ＝0，解得t ＝4(t ＝－83舍去)，所以所求的路程为⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫7t －32t 2＋25 ln (1＋t )40＝4＋25ln 5，选C.4．一个弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm ，求弹簧克服弹力所做的功．解 设F (x )＝kx ，因为弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力，∴k ＝4. ∴弹簧克服弹力所做的功为W ＝4⎠⎛05x d x ＝4×⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 250＝50(N·cm)＝0.5(J)．1．已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．解这类问题需注意三点：(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．2．利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间．求变力做功时，要注意单位，F (x )单位：N ，x 单位：m.一、基础达标1．一物体沿直线以v ＝2t ＋1 (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度运动，则该物体在1～2 s 间行进的路程为( ) A ．1 m B ．2 m C ．3 m D ．4 m答案 D解析 s ＝⎪⎪⎠⎛12(2t ＋1)d t ＝(t 2＋t )21＝4(m)．2．一物体从A 处向B 处运动，速度为1.4t m/s(t 为运动的时间)，到B 处时的速度为35 m/s ，则AB 间的距离为( ) A ．120 m B ．437.5 m C ．360 m D ．480 m答案 B解析 从A 处到B 处所用时间为25 s ．所以|AB |＝ |∫2501.4t d t ＝0.7t 2250＝437.5 (m)．3．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603 m B ．803 mC ．403 mD ．203m答案 A解析 v ＝0时物体达到最高， 此时40－10t 2＝0，则t ＝2 s. 又∵v 0＝40 m/s ，∴t 0＝0 s.∴h ＝⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫40t －103t 320＝1603(m)．4．如果1 N 的力使弹簧伸长1 cm ，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为( ) A ．0.5 J B ．1 J C ．50 J D ．100 J答案 A解析 由于弹簧所受的拉力F (x )与伸长量x 成正比，依题意，得F (x )＝x ，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为W ＝∫100F (x )d x ＝∫100x d x ＝⎪⎪12x 2100＝50 (N·cm)＝0.5 (J)． 5．汽车以每小时32 km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a ＝－1.8 m/s 2刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为________． 答案 21.95 m解析 t ＝0时，v 0＝32 km/h ＝32×1 0003 600m/s ＝809 m/s.刹车后减速行驶，v (t )＝v 0＋at ＝809－1.8t .停止时，v (t )＝0，则809－1.8t ＝0，得t ＝40081 s ，所以汽车所走的距离s ＝∫400810v (t )d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫809t －12t 2×1.8400810≈21.95(m)．6．有一横截面的面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t 秒末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6)．则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为________． 答案 144 cm 3解析 由题意可得t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量V ＝⎠⎛064(6t －t 2)d t ＝4⎪⎪⎪⎠⎛06(6t －t 2)d t ＝4⎝⎛⎭⎫3t 2－13t 360＝144 (cm 3)．故t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为144 cm 3. 7．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，求该物体在12s ～6 s 间的运动路程．解 由题意，得 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t (0≤t ≤1)，2(1≤t ≤3)，13t ＋1(3≤t ≤6)，由变速直线运动的路程公式，可得：s ＝错误!v (t )d t ＝错误!2t d t ＋错误!2d t ＋错误!错误!d t ＝t 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪112＋2t 31＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫16t 2＋t 63＝494(m)．所以该物体在12s ～6 s 间的运动路程是494 m.二、能力提升8．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10(0≤x ≤2)3x ＋4(x >2)(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为( ) A ．44 J B ．46 J C ．48 J D ．50 J答案 B解析 W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x ⎪⎪⎪⎪20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x 42＝46(J)．9．做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1＋e x ，则质点沿着与F (x )相同的方向，从点x 1＝0处运动到点x 2＝1处，力F (x )所做的功是( ) A ．1＋e B ．e C ．1eD ．e －1答案 B解析 W ＝⎠⎛01F (x )d x ＝⎪⎪⎠⎛01(1＋e x )d x ＝(x ＋e x)10＝(1＋e)－1＝e. 10．如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，则克服弹簧力所做的功为________．答案 12kl 2(J)解析 在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F (x )＝kx ，其中k 为比例系数．由变力做功公式得W ＝⎪⎪⎪⎠⎛0l kx d x ＝12kx 2l 0＝12kl 2(J)． 11．一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，其中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所做的功．解 物体的速度v ＝x ′(t )＝(bt 3)′＝3bt 2，媒质的阻力F 阻＝k v 2＝k ·(3bt 2)2＝9kb 2t 4(其中k 为比例常数，k >0)．当x ＝0时，t ＝0；当x ＝a 时，t ＝⎝⎛⎭⎫a b 13. 所以阻力所做的功为W 阻＝⎠⎛0a F 阻d x ＝∫⎝⎛⎭⎫ab 130k v 2·v d t ＝∫⎝⎛⎭⎫a b 1309kb 2t 4·3bt 2d t ＝∫⎝⎛⎭⎫a b 13027kb 3t 6d t ＝⎪⎪277kb 3t 7⎝⎛⎭⎫a b 130＝277kb 23·a 73. 12．物体A 以速度v A ＝3t 2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B 也以速度v B ＝10t (米/秒)在同一直线上与物体A 同方向运动，问多长时间物体A 比B 多运动5米，此时，物体A ，B 运动的距离各是多少？解 依题意知物体A ，B 均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解．设a 秒后物体A 比B 多运动5米，则A 从开始到a 秒末所走的路程为 s A ＝⎠⎛0a v A d t ＝⎠⎛0a (3t 2＋1)d t ＝a 3＋a ；B 从开始到a 秒末所走的路程为s B ＝⎠⎛0a v B d t ＝⎠⎛0a 10t d t ＝5a 2.由题意得s A ＝s B ＋5，即a 3＋a ＝5a 2＋5，得a ＝5. 此时s A ＝53＋5＝130(米)，s B ＝5×52＝125(米)．故5秒后物体A 比B 多运动5米，此时，物体A ，B 运动的距离分别是130米和125米． 三、探究与创新13．A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求： (1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离．解 (1)设A 到C 的时间为t 1 s ，则 1.2 t 1＝24，解得t 1＝20，则AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2⎪⎪200＝240(m )，即A ，C 间的距离为240 m.(2)设D 到B 的时间为t 2 s ，则24－1.2t 2＝0， 解得t 2＝20，则BD ＝∫200(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2)⎪⎪20＝240(m)．即B 、D 间的距离为240 m ．。
人教A版选修2-2 1.7 定积分的简单应用.docx
选修2-2 1.7 定积分的简单应用一、选择题1．如图所示，阴影部分的面积为( )A.⎠⎛ab f (x )d xB.⎠⎛ab g (x )d xC.⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xD.⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x[答案] C[解析] 由题图易知，当x ∈[a ，b ]时，f (x )>g (x )，所以阴影部分的面积为⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .2．如图所示，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.353[答案] C[解析] S ＝⎠⎛1－3(3－x 2－2x )d x即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－1－13＝53，F (－3)＝－9－9＋9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.故应选C.3．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( ) A.⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x[答案] C[解析] y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方，其定积分为正，故应选C. 4．设f (x )在[a ，b ]上连续，则曲线f (x )与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成图形的面积为( ) A.⎠⎛ab f (x )d xB ．|⎠⎛ab f (x )d x |C.⎠⎛ab |f (x )|d xD ．以上都不对[答案] C[解析] 当f (x )在[a ，b ]上满足f (x )<0时，⎠⎛ab f (x )d x <0，排除A ；当阴影有在x 轴上方也有在x 轴下方时，⎠⎛ab f (x )d x 是两面积之差，排除B ；无论什么情况C 对，故应选C.5．曲线y ＝1－1681x 2与x 轴所围图形的面积是( )A ．4B ．3C ．2D.52[答案] B[解析] 曲线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－94，0，⎝⎛⎭⎫94，0故应选B.6．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是( )A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m[答案] B[解析] S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)| 30＝33＋32＝36(m)，故应选B.7．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14 C.13D.712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)． ∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 410＝112. 8．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )A ．8JB ．10JC ．12JD ．14J[答案] D[解析] 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )| 31＝14(J)，故应选D.9．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为( )A.12B ．3－32 2C ．6＋3 2D ．6－3 2[答案] D[解析] ⎠⎛3636tdt ＝66t | 63＝6－32，故应选D.10．过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A ．y ＝±axB ．y ＝axC ．y ＝－axD ．y ＝－5ax[答案] B[解析] 设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx y ＝x 2－2ax 得交点坐标为(0,0)，(2a ＋k,2ak ＋k 2) 图形面积S ＝∫2a ＋k 0[kx －(x 2－2ax )]d x ＝⎝⎛⎭⎫k ＋2a 2x 2－x 33| 2a ＋k＝(k ＋2a )32－(2a ＋k )33＝(2a ＋k )36＝92a 3∴k ＝a ，∴l 的方程为y ＝ax ，故应选B. 二、填空题11．由曲线y 2＝2x ，y ＝x －4所围图形的面积是________． [答案] 18[解析] 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝x －4得交点坐标为(2，－2)，(8,4)． 因此所求图形的面积S ＝⎠⎛4－2(y ＋4－y22)d y取F (y )＝12y 2＋4y －y 36，则F ′(y )＝y ＋4－y22，从而S ＝F (4)－F (－2)＝18.12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________．13．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．[答案] 43[解析] 如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)，y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积S ＝2(⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12d x －⎠⎛0214x 2d x )＝43.14．一变速运动物体的运动速度v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t (0≤t ≤1)a t(1≤t ≤2)b t (2≤t ≤e )则该物体在0≤t ≤e 时间段内运动的路程为(速度单位：m/s ，时间单位：s)______________________．[答案] 9－8ln2＋2ln2[解析] ∵0≤t ≤1时，v (t )＝2t ，∴v (1)＝2； 又1≤t ≤2时，v (t )＝a t ， ∴v (1)＝a ＝2，v (2)＝a 2＝22＝4； 又2≤t ≤e 时，v (t )＝bt ，∴v (2)＝b2＝4，∴b ＝8.∴路程为S ＝⎠⎛012t d t ＋⎠⎛122t d t ＋⎠⎛2e 8td t ＝9－8ln2＋2ln2 .三、解答题15．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3y ＝x 2－2x ＋3解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2| 30＝92. 16．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)若直线x ＝－t (0＜t ＜1)把y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根． ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意有⎠⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛0－t (x 2＋2x ＋1)d x ，∴⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x | －t －1＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x | 0－t 即－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t .∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0， ∴2(t －1)3＝－1，∴t ＝1－132 .17．A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t (m/s)，到C 点的速度达24m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t )m/s ，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离； (2)B 、D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间． [解析] (1)设A 到C 经过t 1s ， 由1.2t ＝24得t 1＝20(s)，所以AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2| 200＝240(m)．(2)设从D →B 经过t 2s ，由24－1.2t 2＝0得t 2＝20(s)， 所以DB ＝∫200(24－1.2t )d t ＝240(m)． (3)CD ＝7200－2×240＝6720(m)． 从C 到D 的时间为t 3＝672024＝280(s)．于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．18．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：(1)切点A 的坐标； (2)过切点A 的切线方程．[解析] 如图所示，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，过A 点的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0得x ＝x 02，即C ⎝⎛⎭⎫x 02，0. 设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ， S ＝S曲边△AOB －S △ABC . S 曲边△AOB ＝∫x 00x 2d x ＝13x 30，S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12⎝⎛⎭⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30， 即S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112. 所以x 0＝1，从而切点A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1.。
人教版高中数学选修2-2教师用书 1.7定积分的简单应用 Word版含解析
预习课本～，思考并完成下列问题()利用定积分求平面图形的面积时，需要知道哪些条件？()两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积？．定积分与平面图形面积的关系()已知函数()在[，]上是连续函数，由直线＝，＝，＝与曲线＝()围成的曲边梯形的面积为.()一般地，如图，如果在公共的积分区间[，]上有()>()，那么直线＝，＝与曲线＝()，＝()围成的平面图形的面积为＝[()－()].[点睛]对于不规则平面图形面积的处理原则定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则的曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积．对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解．．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数＝()(()≥)在时间区间[，]上的.()定积分，即＝．力做功()恒力做功：一物体在恒力(单位：)的作用下做直线运动，如果物体沿着与相同的方向移动了，则力所做的功为＝. ()变力做功：如果物体在变力()的作用下做直线运动，并且物体沿着与()相同的方向从＝移动到＝(<)，那么变力()所做的功为＝.()[点睛]变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系如果做变速直线运动物体的速度－时间函数为＝()，则物体在区间[，]上的位移为定积分()；物体在区间[，]上的路程为().．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()曲线＝与直线＋＝，＝围成的图形面积为＋(－).( )()曲线＝－与直线＝－围成的图形面积为(－).( )()速度是路程与时间的函数关系的导数．( )()一个物体在≤≤时，运动速度为()＝－，则它在这段时间内行驶的路程为(－).( )答案：()√()√()√()×．曲线＝与坐标轴所围成的图形面积是( )．．．答案：．已知做自由落体运动的物体的速度为＝，则物体从＝到＝所走过的路程为( )..答案：．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度()＝－，则列车从刹车到停车所前进的路程为．答案：[典例]求抛物线＝和直线＝－＋所围成的图形的面积．[解]先求抛物线和直线的交点，解方程组(\\(＝，＝－＋，))求出交点坐标为()和(，－)．。
人教版a版高中数学选修2-2第一章1.7《定积分的简单应用》【练习】(学生版)
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）1.7 定积分的简单应用一、选择题1．由直线0,e,2y x y x ===及曲线xy 2=所围成的封闭的图形的面积为（） A ．2ln 23+ B ．3 C ．22e 3- D ．e2.定积分的值是（）A ．B ．C ．2D ．3．如图，抛物线的方程是21y x =-，则阴影部分的面积是（ ）A.220()1x dx -⎰ B.|220()1x dx -⎰| 0|sin cos |x x dx π⎰-22+22-22C.220||1x dx ⎰－ D.122201)(11()x dx x dx ⎰⎰－＋－ 4．如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）A. 1B. 2C. π2D. π 5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251t+(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 ( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 6．设，则的值为（） A. B. C. D. 二、填空题7．若，则的值是______． 8．如图阴影部分是由曲线21,y y x x ==与直线2,0x y ==围成，则其面积为________．()[)[]221,1,11,1,2x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩()21f x dx -⎰423π+32π+443π+34π+11(2)3ln 2(1)a x dx a x+=+>⎰a三、解答题9．一质点做直线运动，其瞬时加速度的变化规律为()2cos a t A t ω=-，在t =0时，v (0)=0，s (0)=A ，其中A 、ω为常数，求质点的位移方程.10．已知()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+（1）求()f x 的解析式．（2）求曲线()y f x =与曲线241y x x =--+所围成的图形的面积．。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.7 定积分的简单应用1.7.1 Word版含答案.docx
1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用[学习目标]1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．2．在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分的几何意义的理解． [知识链接]1．怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．2．当f (x )<0时，f (x )与x 轴所围图形的面积怎样表示？ 答如图，因为曲边梯形上边界函数为g (x )＝0，下边界函数为f (x )，所以S ＝⎠⎛a b (0－f (x ))d x ＝－⎠⎛abf (x )d x . [预习导引]曲边梯形面积的表达式(1)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛ab f (x )d x .(2)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠ b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝－⎠⎛ab f (x )d x .(3)(如图)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .要点一 不分割型图形面积的求解例1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛2－3[(－x ＋2)－(x 2－4)]d x ＝⎠⎛2－3(－x 2－x ＋6)d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3－12x 2＋6x ⎪⎪⎪2－3＝223－⎝⎛⎭⎫－272＝1256. 规律方法 不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标；(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积．跟踪演练1 求由曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成的图形的面积． 解由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x ， 得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎛02[(2x －x 2)－(2x 2－4x )]d x＝⎠⎛02(－3x 2＋6x )d x＝(－x 3＋3x 2)⎪⎪⎪2＝4.要点二 分割型图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 法一 画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，及 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 所以S ＝⎠⎛01⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣⎡⎦⎤(2－x )－⎝⎛⎭⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－23x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2⎪⎪⎪31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136. 法二 若选积分变量为y ，则三个函数分别为 x ＝y 2，x ＝2－y ，x ＝－3y .因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 所以S ＝⎠⎛0－1[(2－y )－(－3y )]d y ＋⎠⎛10[(2－y )－y 2]d y＝⎠⎛0－1(2＋2y )d y ＋⎠⎛10(2－y －y 2)d y＝(2y ＋y 2)⎪⎪⎪－1＋⎝⎛⎭⎫2y －12y 2－13y 3⎪⎪⎪10 ＝－(－2＋1)＋2－12－13＝136.规律方法 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间段内位于上方或下方的函数有所变化时，可通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区间段，然后根据图象对各个区间段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x 运算较为复杂，可以选y 为积分变量，同时更改积分的上下限． 跟踪演练2 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成图形的面积S . 解作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3， 得交点横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为 S ＝⎠⎛01x d x －⎠⎛01x 3d x ＝23x 32⎪⎪⎪10－14x 4⎪⎪⎪1＝23－14＝512. 要点三 定积分的综合应用例3 设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . 又f ′(x )＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又方程f (x )＝0有两个相等实根， 即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)画函数y ＝f (x )的图象如图． 由图象知所求面积为 S ＝⎠⎛0－1(x 2＋2x ＋1)d x＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪－1 ＝13.规律方法 由定积分求平面区域面积的方法求不规则图形的面积是一种基本的运算技能．在这种题型中往往与导数、函数的最值、不等式等相关知识进行融合．跟踪演练3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112，试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．解 设切点A (x 0，x 20)， 切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0. ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)． 令y ＝0，得x ＝x 02，∴S ＝∫x 020x 2d x ＋∫x 0x 02[x 2－(2x 0x －x 20)]d x ＝112x 30.∴112x 30＝112，x 0＝1. ∴切点为(1,1)，切线方程为y ＝2x －1.1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝⎠⎛ba [f (x )－g (x )]d x S ＝⎠⎛08(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝⎠⎛14f (x )d x －⎠⎛47f (x )d x S ＝⎠⎛0a [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ③ ④A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④答案 D解析 ①应是S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝⎠⎛0822x d x －⎠⎛48(2x －8)d x ，③和④正确．故选D.2．曲线y ＝cos x (0≤x ≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( )A ．2B ．3C ．52D ．4答案 B解析 S ＝∫π20cos x d x －∫3π2π2cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪π20－sin x 3π2π2＝sin π2－sin0－sin 3π2＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为________． 答案 43解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，y ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4. ∴曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 交点为(2,4)，(0,0)． ∴S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 2－13x 320＝⎝⎛⎭⎫4－83－0＝43. 4．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________． 答案193解析由图形可得S ＝⎠⎛01(x 2＋4－5x )d x ＋⎠⎛14(5x －x 2－4)d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋4x －52x 210＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫52x 2－13x 3－4x 41＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4＝193.对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标． (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.一、基础达标 1．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( ) A.⎠⎛ac f (x )d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a cf (x )d xC ．⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛bc f (x )d xD.⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x答案 D解析 ∵x ∈[a ，b ]时，f (x )<0，x ∈[b ，c ]时，f (x )>0， ∴阴影部分的面积S ＝⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x .2．若y ＝f (x )与y ＝g (x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( ) A.⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xB ．⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d xC ．⎠⎛ab|f (x )－g (x )|d xD ．⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x答案 C解析 当f (x )＞g (x )时，所求面积为⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ；当f (x )≤g (x )时，所求面积为⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x .综上，所求面积为⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .3．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )A.⎠⎛02(x 2－1)d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x C ．⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x答案 C解析 y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方，其定积分为正，故应选C.4．(2013·北京卷)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B ．2 C ．83D ．1623答案 C解析 抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)，因为直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，所以直线l 的方程为y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x 2＝4y ，可得交点的横坐标分别为－2,2.所以直线l 与抛物线围成的封闭图形面积为 ⎠⎛2－2⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝⎝⎛⎪⎪⎭⎫x －112x 32－2＝83.故选C. 5．由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为________． 答案 ⎠⎛01(x －x 3)d x解析 画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组⎩⎨⎧y ＝xy ＝x3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 3)d x . 6．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．答案 43解析 如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)， y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积S ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12d x －⎠⎛0214x 2d x ＝43.7．求曲线y ＝6－x 和y ＝8x ，x ＝0围成图形的面积． 解作出直线y ＝6－x ，曲线y ＝8x 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y ＝6－xy ＝8x 得直线y ＝6－x 与曲线y ＝8x 交点的坐标为(2,4)，直线y ＝6－x 与x 轴的交点坐标为(6,0)．因此，所求图形的面积 S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛028x d x ＋⎠⎛26(6－x )d x ＝8×23x 32 ⎪⎪2⎪⎪＋(6x －12x 2)62＝ 163＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫6×6－12×62－⎝⎛⎭⎫6×2－12×22＝ 163＋8＝403. 二、能力提升8．(2013·江西改编)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34 B ．45C ．56D ．不存在答案 C 解析数形结合，如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝ ⎪⎪13x 310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 221＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. 9．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是23，则c 等于( )A.13B ．12C ．1D ．23 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝cx 3得x ＝0或x ＝1c . ∵0<x <1c时，x 2>cx 3， ∴S ＝∫1c0(x 2－cx 3)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14cx 41c 0＝13c 3－14c 3＝112c 3＝23. ∴c 3＝18.∴c ＝12. 10．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．答案 13解析 根据题意得：S 阴＝⎠⎛013x 2d x ＝ x 3错误!＝1，则点M 取自阴影部分的概率为S 阴S 矩＝13×1＝13. 11．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积． 解 由y ′＝－2x ＋4得在点A 、B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6，得两直线交点坐标为C (2,2)， ∴S ＝S △ABC －⎠⎛13f (－x 2＋4x －3)d x ＝12×2×2－⎪⎪⎝⎛⎭⎫－13x 3＋2x 2－3x 31＝2－43＝23. 12．设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值．解 (1)设点P 的横坐标为t (0<t <2)，则P 点的坐标为(t ，t 2)，直线OP 的方程为y ＝tx .S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)d x ＝16t 3， S 2＝⎠⎛12(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋16t 3. 因为S 1＝S 2，所以t ＝43，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，169. (2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83， S ′＝t 2－2，令S ′＝0得t 2－2＝0.∵0<t <2，∴t ＝2，因为0<t <2时，S ′<0；2<t <2时，S ′>0.所以，当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值83－423，此时点P 的坐标为(2，2)． 三、探究与创新13．已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值． 解 作出y ＝x 2－2x 的图象如图．(1)当a <0时，S ＝⎠⎛a 0(x 2－2x )d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 20a ＝－a 33＋a 2＝43， ∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a <0，∴a ＝－1.(2)当a >0时，①若0<a ≤2，则S ＝－⎠⎛0a (x 2－2x )d x ＝－⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2a 0 ＝a 2－13a 3＝43， ∴a 3－3a 2＋4＝0，∴(a ＋1)(a －2)2＝0. ∵a >0，∴a ＝2.②当a >2时，不合题意． 综上a ＝－1，或a ＝2.。
人教新课标A版高中选修2-2数学1.7定积分的简单应用同步练习A卷
人教新课标A版选修2-2数学1．7定积分的简单应用同步练习A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣3x，则其导函数f′（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A . ln2B . ﹣ln2C . +ln2D .2. （2分）曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为（）A .B .C .D .3. （2分）如图，由曲线,直线x=0,x=2和x轴围成的封闭图形的面积是（）A . 1B .C .D . 24. （2分）下列命题不正确的是（）A . 若是连续的奇函数，则B . 若连续的偶函数，则C . 若在[a，b]上连续且恒正，则D . 若在[a，b)上连续且，则在[a，b)上恒正5. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 已知积分，则实数（）A . 2B .C . 1D .6. （2分） (2015高二下·登封期中) 由直线y=0，x=e，y=2x及曲线所围成的封闭的图形的面积为（）A . 3+2ln2B . 3C . 2e2﹣3D . e7. （2分）(2016·桂林模拟) 由曲线y=x2和曲线y= 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分面积为（）A .B .C .D .8. （2分）由曲线y=x2 ， y=围成的封闭图形的面积为（）A .B .C .D . 19. （2分） (2017高二下·长春期末) 直线与曲线所围成的曲边梯形的面积为（）A . 9B .C .D . 2710. （2分） (2016高三上·烟台期中) 曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积为（）A .B .C . 1D . 211. （2分） (2016高一下·南安期中) 由曲线和直线所围成的图形（阴影部分）的面积的最小值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二下·民勤期中) 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）A .B .C .D .13. （2分）以初速度40m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2 ，则此物体达到最高时的高度为（）．A . mB . mC . mD . m14. （2分） |3x2﹣12|dx=（）A . 21B . 22C . 23D . 2415. （2分）(2018·山东模拟) 已知，在的展开式中，记的系数为，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）(2017·潍坊模拟) 如图，已知函数y=2kx（k＞0）与函数y=x2的图象所围成的阴影部分的面积为，则实数k的值为________．17. （1分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2 ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________18. （1分） (2019高二下·哈尔滨月考) 曲线与直线和所围成的平面图形的面积为________.19. （1分）曲线y=sin x与直线x=﹣，x= π，y=0所围图形的面积为________．20. （1分）若（x+ ）n的展开式所有的系数之和为81，则直线y=nx与曲线y=x2所围成的封闭区域面积为________．三、解答题 (共5题；共35分)21. （5分）求曲线y= 与直线y=x，x=2所围成的图形面积．22. （5分） (2018高二下·大庆月考) 计算由直线曲线以及轴所围图形的面积。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.7 定积分的简单应用1.7.1 Word版含答案
1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用[学习目标]1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．2．在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分的几何意义的理解． [知识链接]1．怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．2．当f (x )<0时，f (x )与x 轴所围图形的面积怎样表示？ 答如图，因为曲边梯形上边界函数为g (x )＝0，下边界函数为f (x )，所以S ＝⎠⎛a b (0－f (x ))d x ＝－⎠⎛abf (x )d x . [预习导引]曲边梯形面积的表达式(1)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛ab f (x )d x .(2)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠ b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝－⎠⎛ab f (x )d x .(3)(如图)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .要点一 不分割型图形面积的求解例1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛2－3[(－x ＋2)－(x 2－4)]d x ＝⎠⎛2－3(－x 2－x ＋6)d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3－12x 2＋6x ⎪⎪⎪2－3＝223－⎝⎛⎭⎫－272＝1256. 规律方法 不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标；(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积．跟踪演练1 求由曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成的图形的面积． 解由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x ， 得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎛02[(2x －x 2)－(2x 2－4x )]d x＝⎠⎛02(－3x 2＋6x )d x＝(－x 3＋3x 2)⎪⎪⎪2＝4.要点二 分割型图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 法一 画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，及 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 所以S ＝⎠⎛01⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣⎡⎦⎤(2－x )－⎝⎛⎭⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－23x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2⎪⎪⎪31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136. 法二 若选积分变量为y ，则三个函数分别为 x ＝y 2，x ＝2－y ，x ＝－3y .因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 所以S ＝⎠⎛0－1[(2－y )－(－3y )]d y ＋⎠⎛10[(2－y )－y 2]d y＝⎠⎛0－1(2＋2y )d y ＋⎠⎛10(2－y －y 2)d y＝(2y ＋y 2)⎪⎪⎪－1＋⎝⎛⎭⎫2y －12y 2－13y 3⎪⎪⎪10 ＝－(－2＋1)＋2－12－13＝136.规律方法 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间段内位于上方或下方的函数有所变化时，可通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区间段，然后根据图象对各个区间段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x 运算较为复杂，可以选y 为积分变量，同时更改积分的上下限． 跟踪演练2 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成图形的面积S . 解作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3， 得交点横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为 S ＝⎠⎛01x d x －⎠⎛01x 3d x ＝23x 32⎪⎪⎪10－14x 4⎪⎪⎪1＝23－14＝512. 要点三 定积分的综合应用例3 设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . 又f ′(x )＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又方程f (x )＝0有两个相等实根， 即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)画函数y ＝f (x )的图象如图． 由图象知所求面积为 S ＝⎠⎛0－1(x 2＋2x ＋1)d x＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪－1 ＝13.规律方法 由定积分求平面区域面积的方法求不规则图形的面积是一种基本的运算技能．在这种题型中往往与导数、函数的最值、不等式等相关知识进行融合．跟踪演练3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112，试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．解 设切点A (x 0，x 20)， 切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0. ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)． 令y ＝0，得x ＝x 02，∴S ＝∫x 020x 2d x ＋∫x 0x 02[x 2－(2x 0x －x 20)]d x ＝112x 30.∴112x 30＝112，x 0＝1. ∴切点为(1,1)，切线方程为y ＝2x －1.1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝⎠⎛ba [f (x )－g (x )]d x S ＝⎠⎛08(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝⎠⎛14f (x )d x －⎠⎛47f (x )d x S ＝⎠⎛0a [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x③ ④A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④答案 D解析 ①应是S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝⎠⎛0822x d x －⎠⎛48(2x －8)d x ，③和④正确．故选D.2．曲线y ＝cos x (0≤x ≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( )A ．2B ．3C ．52D ．4答案 B解析 S ＝∫π20cos x d x －∫3π2π2cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪π20－sin x 3π2π2＝sin π2－sin 0－ sin 3π2＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为________． 答案 43解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，y ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4. ∴曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 交点为(2,4)，(0,0)． ∴S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 2－13x 320＝⎝⎛⎭⎫4－83－0＝43. 4．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________． 答案193解析由图形可得S ＝⎠⎛01(x 2＋4－5x )d x ＋⎠⎛14(5x －x 2－4)d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋4x －52x 210＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫52x 2－13x 3－4x 41＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4＝193.对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标． (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.一、基础达标 1．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( ) A. ⎠⎛ac f (x )d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a cf (x )d xC ． ⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛bc f (x )d xD.⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x答案 D解析 ∵x ∈[a ，b ]时，f (x )<0，x ∈[b ，c ]时，f (x )>0， ∴阴影部分的面积S ＝⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x .2．若y ＝f (x )与y ＝g (x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( ) A.⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xB ．⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d xC ．⎠⎛ab|f (x )－g (x )|d xD ．⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x答案 C解析 当f (x )＞g (x )时，所求面积为⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ；当f (x )≤g (x )时，所求面积为⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x .综上，所求面积为⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .3．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )A.⎠⎛02(x 2－1)d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x C ．⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x答案 C解析 y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方， 其定积分为正，故应选C.4．(2013·北京卷)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B ．2 C ．83D ．1623答案 C解析 抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)，因为直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，所以直线l 的方程为y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x 2＝4y ，可得交点的横坐标分别为－2,2.所以直线l 与抛物线围成的封闭图形面积为 ⎠⎛2－2⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝⎝⎛⎪⎪⎭⎫x －112x 32－2＝83.故选C. 5．由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为________． 答案 ⎠⎛01(x －x 3)d x解析 画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组⎩⎨⎧y ＝xy ＝x3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 3)d x . 6．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．答案 43解析 如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)， y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积S ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12d x －⎠⎛0214x 2d x ＝43.7．求曲线y ＝6－x 和y ＝8x ，x ＝0围成图形的面积． 解作出直线y ＝6－x ，曲线y ＝8x 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y ＝6－xy ＝8x 得直线y ＝6－x 与曲线y ＝8x 交点的坐标为(2,4)，直线y ＝6－x 与x 轴的交点坐标为(6,0)．因此，所求图形的面积 S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛028x d x ＋⎠⎛26(6－x )d x ＝8×23x 32 ⎪⎪2⎪⎪＋(6x －12x 2)62＝ 163＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫6×6－12×62－⎝⎛⎭⎫6×2－12×22＝ 163＋8＝403. 二、能力提升8．(2013·江西改编)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34 B ．45C ．56D ．不存在答案 C 解析数形结合，如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝ ⎪⎪13x 310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 221＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. 9．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是23，则c 等于( )A.13B ．12C ．1D ．23 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝cx 3得x ＝0或x ＝1c . ∵0<x <1c时，x 2>cx 3， ∴S ＝∫1c0(x 2－cx 3)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14cx 41c 0＝13c 3－14c 3＝112c 3＝23. ∴c 3＝18.∴c ＝12. 10．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．答案 13解析 根据题意得：S 阴＝⎠⎛013x 2d x ＝ x 3⎪⎪10＝1，则点M 取自阴影部分的概率为 S 阴S 矩＝13×1＝13. 11．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积． 解 由y ′＝－2x ＋4得在点A 、B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6，得两直线交点坐标为C (2,2)， ∴S ＝S △ABC －⎠⎛13f (－x 2＋4x －3)d x ＝12×2×2－⎪⎪⎝⎛⎭⎫－13x 3＋2x 2－3x 31＝2－43＝23. 12．设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值．解 (1)设点P 的横坐标为t (0<t <2)，则P 点的坐标为(t ，t 2)，直线OP 的方程为y ＝tx .S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)d x ＝16t 3， S 2＝⎠⎛12(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋16t 3. 因为S 1＝S 2，所以t ＝43，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，169. (2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83， S ′＝t 2－2，令S ′＝0得t 2－2＝0.∵0<t <2，∴t ＝2，因为0<t <2时，S ′<0；2<t <2时，S ′>0.所以，当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值83－423，此时点P 的坐标为(2，2)． 三、探究与创新13．已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值． 解 作出y ＝x 2－2x 的图象如图．(1)当a <0时，S ＝⎠⎛a 0(x 2－2x )d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 20a ＝－a 33＋a 2＝43， ∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a <0，∴a ＝－1.(2)当a >0时，①若0<a ≤2，则S ＝－⎠⎛0a (x 2－2x )d x ＝－⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2a 0 ＝a 2－13a 3＝43， ∴a 3－3a 2＋4＝0，∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a >0，∴a ＝2.②当a >2时，不合题意．综上a ＝－1，或a ＝2.高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-2同步训练：1.7 定积分的简单应用 Word版含答案
1.7 定积分的简单应用1、如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A.14 B ．16 C ．15D ．172、一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度25()731v t t t=-++ (t 的单位: ,s v 的单位: /m s )行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离(单位: m)是( ) A.125ln5+ B.11825ln3+C.425ln5+D.450ln 2+3、做直线运动的质点在任意位置x 处,所受力()1e xF x =+ (x 的单位的单位: N ),则质点沿着与()F x 相同的方向从10x =处运动到21x =处,力()F x 所做的功是( ) A. ()1e J + B. e J C.1eJ D. ()e 1J - 4、如图所示,阴影部分的面积是( )A. 2- C.323 D. 3535、由抛物线2y x x =-,直线1x =-及x 轴围成的图形的面积为( ) A.23B.1C.43D.536、由曲线2,y x y ==( )A.16B. 1C.23 D. 137、由直线 1x =,2x =,曲线2y x =及x 轴所围图形的面积为( ) A. 3 B. 7C.73 D. 138、由曲线y =3y x =所围图形的面积可用定积分表示为( )A.1300x dx +⎰B. 1300x dx -⎰C. 1300x dx --⎰D.130x dx -⎰9由曲线和直线(为常数且)所围成图形(阴影部分)面积的最小值为( )A.B. C. D.10、如图,由函数()xf x e e =-的图象,直线2x =及x 轴所围成的阴影部分面积等于( )A. 221e e --B. 22e e -C. 22e e -D. 221e e -+11、直线4y x =与曲线34y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为__________ 12、如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为__________.13、在同一坐标系中作出曲线1xy =和直线y x =以及直线3y =的图象如图所示,曲线1xy =与直线y x =和3y =所围成的平面图形的面积为__________.14、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ,若中()()10,0,,5,1,02A B C ⎛⎫⎪⎝⎭.函数()()01y xf x x =≤≤的图像与x 轴围成的图形的面积为______.15、由曲线2y 2x =+与3,0,2y x x x ===所围成的平面图形的面积(画出图形) .答案以及解析1答案及解析： 答案：B 解析：2答案及解析： 答案：C解析：令25()7301v t t t=-+=+,解得4t =,故继续行驶的距离: ()420425373725ln 1|012s t dt t t t t ⎛⎫⎡⎤=-+=-++ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎰425ln5=+.3答案及解析： 答案：B解析：力()F x 所做的功11100()d (1e )d (e )|1e 1e x x W F x x x x J ==+=+=+-=⎰⎰,故选B.4答案及解析： 答案：C解析：由题意得,直线2y x =与抛物线23y x =-, 解得交点分别为(3,6)--和()1,2,抛物线23y x =-与x 轴负半轴交点(), 设阴影部分的面积为S ,则1022233(32)d )d 2d )d S xx x x x x x x x --=--+--+-⎰⎰⎰532933=+-=.5答案及解析： 答案：B 解析：01221()|()|1S x x dx x x dx -=-+-=⎰⎰6答案及解析： 答案：D 解析：7答案及解析： 答案：C 解析：8答案及解析： 答案：D 解析：9答案及解析： 答案： A解析： 由得.故，令，因为，所以，易得当时，，故选A.10答案及解析： 答案：B解析：由已知得2211()()x S f x dx e e dx ==-⎰⎰222()|(2)()21xe ex e e e e e e =-=---=-.故选B.11答案及解析： 答案：1 解析：12答案及解析： 答案：1.2解析：建立如图所示的直角坐标系,可设抛物线的方程为()220x py p =>，由图易知(5,2)在抛物线上,可得254p =,拋物线方程为2252x y =,所以当前最大流量对应的截面面积为52224022253x dx ⎛⎫-=⎪⎝⎭⎰，原始的最大流量对应的截面面积为()2610162⨯+=,所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为161.2403=.13答案及解析： 答案：4-ln3解析：所求区域面积为1311313(3)4ln 3S dx x dx x ⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭⎰⎰.14答案及解析： 答案：54解析：当102x ≤≤时,线段AB 所在直线的方程为10y x =;当112x <≤时,线段BC 所在直线的方程为0115012y x --=--,整理得1010y x =-+,故函数()110,0,2{11010,1,2x x y f x x x ≤≤==-+<≤ ∴()22110,0,2{11010,1,2x x y xf x x x x ≤≤==-+<≤ 函数()y xf x =的图像与x 轴围成的图形面积为()112223102101010103S x dx x x dx x =+-+=⎰⎰3211105|5|213402x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭.15答案及解析：答案：由题意可知,阴影部分的面积为()()122201322332321213123|2|013231S x x dx x x dxx x x x x x =-++-+-=+-+--=⎰⎰解析：。
人教A版数学选修2-2习题 第一章 导数及其应用 1.7.2定积分在物理中的应用 Word版含答案
第一章导数及其应用定积分的简单应用定积分在物理中的应用级基础巩固一、选择题．一物体在力()＝－(单位：)的作用下，沿着与力相同的方向，从＝处运动到＝处(单位：)，则力所做的功是( )．．．．解析：＝(－)＝(－)＝()．答案：．以初速竖直向上抛一物体，时刻的速度＝－，则此物体达到最高时的高度为( )解析：由＝－＝得＝，＝.所以＝(－)＝＝－＝()．答案：．一物体沿直线以＝的速度运动，该物体运动开始后内所经过的路程是( )(－)()(－)()(－)()(－)()解析：＝＝(＋)＝(－)()．答案：．质点做直线运动，其速度()＝－＋(单位：)，则它在第秒内所走的路程为( )()()()() 解析：由于()＝－＋≥，因此它在第秒内所走的路程为＝()＝(－＋)＝＝()．答案：．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()＝－＋(的单位：，的单位：)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：)是( )．＋．＋．＋．＋解析：令－＋＝，解得＝－(舍去)或＝.则＝（＋）))＝＋ .答案：二、填空题．将一弹簧压缩厘米，需要牛顿的力，将它从自然长度压缩厘米，做的功为．解析：设力()＝，由题意：＝·，所以＝，所以()＝ .所以＝＝＝()．答案：．已知质点的速度＝，则从＝到＝质点的平均速度为．解析：由＝＝＝(－)，得平均速度为＝＝(＋)．答案：(＋)．有一动点沿轴运动，在时间时的速度为()＝－(速度的正方向与轴正方向一致)．则点从原点出发，当＝时，点离开原点的路程和位移分别是，．解析：由()＝－≥，得≤≤，即当≤≤时，点向轴正方向运动，当＞时，点向轴负方向运动．故＝时，点离开原点的路程为＝(－)－(－)＝－＝.当＝时，点的位移为＝(－)＝＝.答案：三、解答题．在底面积为的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为)从点处推到处，计算在移动过程中，气体压力所做的功．解：力对物体所做的功为＝·，由物理学知识易得压强与体积的乘积是常数，即＝，又因为＝·(指活塞与底的距离)，所以＝＝.所以作用在活塞上的力＝·＝·＝.所以气体压力所做的功为＝＝＝ .．一物体做变速直线运动，其－曲线如图所示，求该物体在＝到＝之间的运动路程．解：由题意，得()＝所以该物体在＝到＝之间的运动路程为＝()＝＋＋＝。
2020-2021学年人教A版数学选修2-2课时分层作业：1.7 定积分的简单应用 Word版含解
姓名，年级：时间：课时分层作业(十一) 定积分的简单应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是( ）A．错误!f （x）d xB．错误!C．错误!f (x）d x＋错误!f (x）d xD．错误!f (x）d x－错误!f （x)d xD[在区间［a，b]上图形在x轴下方,积分为负值，∴S＝错误!f（x）d x－错误!f (x）d x。
故选D。
]2．如图所示，阴影部分的面积是（)A．2 3 B．2－错误!C．错误!D．错误!C[S＝错误! (3－x2－2x）d x＝错误!错误!＝错误!.］3．汽车以v＝(3t＋2） m/s做变速运动时,在第1 s至第2 s之间的1 s内经过的路程是（)A．5 m B．错误! mC．6 m D．错误! mD［根据题意，汽车以v＝(3t＋2) m/s做变速运动时，汽车在第1 s至第2 s 之间的1 s内经过的路程s＝错误!（3t＋2)d t＝错误!错误!＝错误! m，故选D。
］4．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t s时速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )A．错误! m B．错误! mC．错误! m D．错误! mA［v＝0时物体达到最高,此时40－10t2＝0，则t＝2 s。
又∵v0＝40 m/s,∴t0＝0 s．∴h＝错误!（40－10t2）d t＝错误!错误!＝错误!（m)．］5．如果1 N的力使弹簧伸长1 cm,在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为( ）A．0。
5 J B．1 JC．50 J D．100 JA［由于弹簧所受的拉力F(x）与伸长量x成正比，依题意，得F（x)＝x,为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为W＝错误!F（x）d x＝错误!x d x＝错误!x2错误!＝50(N·cm）＝0.5(J)．]二、填空题6．若两曲线y＝x2与y＝cx3（c＞0)围成图形的面积是错误!，则c＝________.错误!［由错误!得错误!错误!由题意可知错误! (x2－cx3）d x＝错误!，即错误!错误!＝错误!－错误!＝错误!,解得c＝错误!。
人教A版选修2-21.7定积分的简单应用同步练习
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作1.7定积分的简单应用同步练习1.由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )A.⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x答案：C解析：解答: y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方，其定积分为正，故应选C.分析： 函数f(x )与x =a,x =b,y=0所围成的封闭图形的面积为|()|baf x dx ⎰2.曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成的图形面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．9答案：B解析：解答: 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3－3x ，y ＝x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0.或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2. ∵两函数y ＝x 3－3x 与y ＝x 均为奇函数，∴S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]d x ＝2·⎠⎛02(4x －x 3)d x＝2(2x 2－14x 4)20＝8，故选B.分析：求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分3. 一物体以速度v ＝(3t 2＋2t)m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是( ) A ． 31m B ．36m C ．38m D ．40m答案：B解析：解答: S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t)dt ＝(t 3＋t 2)30＝33＋32＝36(m)，故应选B.分析：位移是对速度的积分，速度是位移的导数4. 一物体在力F(x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F(x )所做的功为( ) A ．8J B ．10J C ．12J D ．14J答案：C解析：解答: 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )31＝14(J)，故应选D分析：机械功是力对路程的积分，考查定积分在物理学上的应用5. 若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t ，那么从3小时到6小时期间内的产量为( ) A.12 B ．3－32 2 C ．6＋3 2 D ．6－3 2答案：D解析：解答: ⎠⎛3636t dt ＝6t 63＝6－32，故应选D. 分析： 产量的变化率是产量的导数，故产量是对产量变化率的积分 6.如图所示，阴影部分的面积为( )A.ba⎰f(x)d xB.ba⎰g(x)d xC.ba⎰[f(x)-g(x)]d xD.ba⎰[g(x)-f(x)]d x 答案：C解析：解答:由题图易知，当x∈[a，b]时，f(x)>g(x)，所以阴影部分的面积为ba⎰[f(x)-g (x)]d x.分析：注意在这里式ba⎰[f(x)-g (x)]d x.中要保证f(x)>g(x)对于任意x∈[a，b]恒成立7. 直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sin x所围成的平面图形的面积表示为()A.11-⎰sin x d x B.10⎰sin x d xC.01-⎰2sin x d x D.10⎰2sin x d x答案：D解析：解答:选D.由于y=sin x，x∈[-1，1]为奇函数，当x∈[-1，0]时，sin x≤0；当x∈(0，1]时，sin x>0.由定积分的几何意义，直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sin x所围成的平面图形的面积为11-⎰|sin x|d x=10⎰2sin x d x.分析：定积分满足可加性，定积分也满足奇偶性8. 由y=1x，x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面积为()A.ln2B.ln2-1C.1+ln2D.2ln2 答案：A解析：解答:选A.画出曲线y=1x(x>0)及直线x=1，x=2，y=0，则所求面积S为如图所示阴影部分面积.所以S=21⎰1xd x =ln x 21=ln2-ln1=ln2分析： 简单题，考查定积分在求解面积中的应用9.已知a=(sin x ，cos x )，b=(cos x ，sin x )，f(x )=a ·b ，则直线x =0，x =34π，y=0以及曲线y=f(x )围成平面图形的面积为( ) A.12B.34C.32D.32答案：C解析：解答: 选C.由a=(sin x ，cos x )，b=(cos x ，sin x )， 得f(x )=a ·b=2sin x cos x =sin2x ， 当x ∈[0,]2π时，sin2x ≥0； 当x ∈3(,]24ππ时，sin2x <0. 由定积分的几何意义，直线x =0，x =34π，y=0以及曲线y=f(x )围成平面图形的面积为 20π⎰sin2x d x -342ππ⎰sin2x d x=-12cos2x |20π+12cos2x |342ππ=1+12=32. 分析：求出函数解析式，确定积分区间，利用定积分的几何意义计算面积. 10.若两曲线y=x 2与y=c x 3(c>0)围成图形的面积是23，则c 等于( ) A.13B.12C.1D.23答案：B解析：解答: 选B.由23y x y cx ⎧=⎨=⎩得交点(0，0)，211(,)c c ， 则S=1c ⎰(x 2-c x 3)d x=3411()340c x x c -=23，c=12. 分析：解答此题时往往误认为积分上限是1，积分区间错误的确定为[0，1].确定积分区间必须通过解曲线交点确定11.用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是()A.ca⎰f(x )d xB. ca⎰f(x )d x | C.b a ⎰f(x )d x +cb⎰f(x )d x D.cb⎰f(x )d x -ba⎰f(x )d x答案：D 解析：解答: s=()||cbf x dx ⎰=cb⎰f(x )d x -ba⎰f(x )d x ,故选D分析：函数f(x )与x =a,x =b,y=0所围成的封闭图形的面积为|()|baf x dx ⎰12. ⎠⎛01(x 2＋2)d x ＝( )A.72B.73 C ．2 D ．1答案：B解析：解答:123011(2)203x dx x x +=+⎰＝73.分析： 定积分的求解运用到微积分基本定理。
高中数学 1.7 定积分的简单应用同步练习 新人教A版选修2-2
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选修2-2 1.7 定积分的简单应用一、选择题1．如图所示，阴影部分的面积为( )A.⎠⎛a b f (x )d xB.⎠⎛a b g (x )d xC.⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xD.⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x[答案] C[解析] 由题图易知，当x ∈[a ，b ]时，f (x )>g (x )，所以阴影部分的面积为⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .2．如图所示，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.353[答案] C[解析] S ＝⎠⎛1－3(3－x 2－2x )d x即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－1－13＝53，F (－3)＝－9－9＋9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.故应选C.3．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( ) A.⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x[答案] C[解析] y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方，其定积分为正，故应选C. 4．设f (x )在[a ，b ]上连续，则曲线f (x )与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成图形的面积为( ) A.⎠⎛a b f (x )d xB ．|⎠⎛ab f (x )d x |C.⎠⎛ab |f (x )|d xD ．以上都不对[答案] C[解析] 当f (x )在[a ，b ]上满足f (x )<0时，⎠⎛ab f (x )d x <0，排除A ；当阴影有在x 轴上方也有在x 轴下方时，⎠⎛ab f (x )d x 是两面积之差，排除B ；无论什么情况C 对，故应选C.5．曲线y ＝1－1681x 2与x 轴所围图形的面积是( )A ．4B ．3C ．2D.52[答案] B[解析] 曲线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，0故应选B.6．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是( )A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m[答案] B[解析] S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)| 30＝33＋32＝36(m)，故应选B.7．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14 C.13D.712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x 3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 410＝112.8．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )A ．8JB ．10JC ．12JD ．14J[答案] D[解析] 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )| 31＝14(J)，故应选D.9．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为( )A.12B ．3－32 2C ．6＋3 2D ．6－3 2[答案] D [解析] ⎠⎛3636tdt ＝66t | 63＝6－32，故应选D.10．过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A ．y ＝±axB ．y ＝axC ．y ＝－axD ．y ＝－5ax[答案] B[解析] 设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx y ＝x 2－2ax 得交点坐标为(0,0)，(2a ＋k,2ak ＋k 2) 图形面积S ＝∫2a ＋k[kx －(x 2－2ax )]d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2a 2x 2－x 33| 2a ＋k 0 ＝(k ＋2a )32－(2a ＋k )33＝(2a ＋k )36＝92a 3∴k ＝a ，∴l 的方程为y ＝ax ，故应选B. 二、填空题11．由曲线y 2＝2x ，y ＝x －4所围图形的面积是________． [答案] 18[解析] 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2xy ＝x －4得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．因此所求图形的面积S ＝⎠⎛4－2(y ＋4－y 22)d y取F (y )＝12y 2＋4y －y 36，则F ′(y )＝y ＋4－y22，从而S ＝F (4)－F (－2)＝18.12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________．13．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．[答案] 43[解析] 如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)，y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积S ＝2(⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12d x －⎠⎛0214x 2d x )＝43.14．一变速运动物体的运动速度v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t (0≤t ≤1)a t(1≤t ≤2)b t (2≤t ≤e )则该物体在0≤t ≤e 时间段内运动的路程为(速度单位：m/s ，时间单位：s)______________________．[答案] 9－8ln2＋2ln2[解析] ∵0≤t ≤1时，v (t )＝2t ，∴v (1)＝2； 又1≤t ≤2时，v (t )＝a t， ∴v (1)＝a ＝2，v (2)＝a 2＝22＝4； 又2≤t ≤e 时，v (t )＝bt， ∴v (2)＝b2＝4，∴b ＝8.∴路程为S ＝⎠⎛012t d t ＋⎠⎛122td t ＋⎠⎛2e 8td t ＝9－8ln2＋2ln2 .三、解答题15．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3y ＝x 2－2x ＋3解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2| 30＝92.16．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)若直线x ＝－t (0＜t ＜1)把y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根． ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意有⎠⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛0－t (x 2＋2x ＋1)d x ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x | －t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x | 0－t 即－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t .∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0， ∴2(t －1)3＝－1，∴t ＝1－132.17．A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t (m/s)，到C 点的速度达24m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t )m/s ，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离； (2)B 、D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间． [解析] (1)设A 到C 经过t 1s ， 由1.2t ＝24得t 1＝20(s)，所以AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2| 200＝240(m)．(2)设从D →B 经过t 2s ， 由24－1.2t 2＝0得t 2＝20(s)， 所以DB ＝∫200(24－1.2t )d t ＝240(m)． (3)CD ＝7200－2×240＝6720(m)． 从C 到D 的时间为t 3＝672024＝280(s)．于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．18．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：(1)切点A 的坐标； (2)过切点A 的切线方程．[解析] 如图所示，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，过A 点的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0得x ＝x 02，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，S ＝S 曲边△AOB －S △ABC . S 曲边△AOB ＝∫x 00x 2d x ＝13x 30， S △ABC ＝12|BC |·|AB | ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30，即S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.所以x 0＝1，从而切点A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1.。
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.7定积分的简单应用同步练习1.由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )A.⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x答案：C解析：解答: y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方，其定积分为正，故应选C. 分析： 函数f(x )与x =a,x =b,y=0所围成的封闭图形的面积为|()|baf x dx ⎰2.曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成的图形面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．9答案：B解析：解答: 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3－3x ，y ＝x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0.或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2. ∵两函数y ＝x 3－3x 与y ＝x 均为奇函数，∴S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]d x ＝2·⎠⎛02(4x －x 3)d x＝2(2x 2－14x 4)2＝8，故选B.分析：求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分3. 一物体以速度v ＝(3t 2＋2t)m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是( ) A ． 31m B ．36m C ．38m D ．40m答案：B解析：解答: S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t)dt ＝(t 3＋t 2)30＝33＋32＝36(m)，故应选B.分析：位移是对速度的积分，速度是位移的导数4. 一物体在力F(x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F(x )所做的功为( ) A ．8J B ．10J C ．12J D ．14J答案：C解析：解答: 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )31＝14(J)，故应选D分析：机械功是力对路程的积分，考查定积分在物理学上的应用5. 若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t ，那么从3小时到6小时期间内的产量为( ) A.12 B ．3－32 2 C ．6＋3 2 D ．6－3 2答案：D解析：解答: ⎠⎛3636t dt ＝6t 63＝6－32，故应选D. 分析： 产量的变化率是产量的导数，故产量是对产量变化率的积分 6.如图所示，阴影部分的面积为( )A.ba⎰f(x)d xB.ba⎰g(x)d xC.ba⎰[f(x)-g(x)]d xD.ba⎰[g(x)-f(x)]d x 答案：C解析：解答:由题图易知，当x∈[a，b]时，f(x)>g(x)，所以阴影部分的面积为ba⎰[f(x)-g (x)]d x.分析：注意在这里式ba⎰[f(x)-g (x)]d x.中要保证f(x)>g(x)对于任意x∈[a，b]恒成立7. 直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sin x所围成的平面图形的面积表示为()A.11-⎰sin x d x B.10⎰sin x d xC.01-⎰2sin x d x D.10⎰2sin x d x答案：D解析：解答:选D.由于y=sin x，x∈[-1，1]为奇函数，当x∈[-1，0]时，sin x≤0；当x∈(0，1]时，sin x>0.由定积分的几何意义，直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sin x所围成的平面图形的面积为11-⎰|sin x|d x=10⎰2sin x d x.分析：定积分满足可加性，定积分也满足奇偶性8. 由y=1x，x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面积为()A.ln2B.ln2-1C.1+ln2D.2ln2 答案：A解析：解答:选A.画出曲线y=1x(x>0)及直线x=1，x=2，y=0，则所求面积S为如图所示阴影部分面积.所以S=21⎰1xd x =ln x 21=ln2-ln1=ln2分析： 简单题，考查定积分在求解面积中的应用9.已知a=(sin x ，cos x )，b=(cos x ，sin x )，f(x )=a ·b ，则直线x =0，x =34π，y=0以及曲线y=f(x )围成平面图形的面积为( ) A.12B.34C.32D.32答案：C解析：解答: 选C.由a=(sin x ，cos x )，b=(cos x ，sin x )， 得f(x )=a ·b=2sin x cos x =sin2x ， 当x ∈[0,]2π时，sin2x ≥0； 当x ∈3(,]24ππ时，sin2x <0. 由定积分的几何意义，直线x =0，x =34π，y=0以及曲线y=f(x )围成平面图形的面积为 20π⎰sin2x d x -342ππ⎰sin2x d x=-12cos2x |20π+12cos2x |342ππ=1+12=32. 分析：求出函数解析式，确定积分区间，利用定积分的几何意义计算面积. 10.若两曲线y=x 2与y=c x 3(c>0)围成图形的面积是23，则c 等于( ) A.13B.12C.1D.23答案：B解析：解答: 选B.由23y x y cx ⎧=⎨=⎩得交点(0，0)，211(,)c c ， 则S=1c ⎰(x 2-c x 3)d x=3411()340c x x c -=23，c=12. 分析：解答此题时往往误认为积分上限是1，积分区间错误的确定为[0，1].确定积分区间必须通过解曲线交点确定11.用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A.ca⎰f(x )d xB. ca⎰f(x )d x | C.b a ⎰f(x )d x +cb⎰f(x )d x D.cb⎰f(x )d x -ba⎰f(x )d x答案：D 解析：解答: s=()||cbf x dx ⎰=cb⎰f(x )d x -ba⎰f(x )d x ,故选D分析：函数f(x )与x =a,x =b,y=0所围成的封闭图形的面积为|()|baf x dx ⎰12. ⎠⎛01(x 2＋2)d x ＝( )A.72B.73 C ．2 D ．1答案：B解析：解答:123011(2)203x dx x x +=+⎰＝73.分析： 定积分的求解运用到微积分基本定理。
13. 设物体以速度v(t)=3t 2+t(m/s)作直线运动，则它在0～4s 内所走的路程为( )A.70mB.72mC.75mD.80m答案：B解析：解答: 选B.s=4⎰(3t 2+t)dt=3241()02t t +=72(m)分析：路程是速度对时间的积分14.设函数f(x )＝a x 2＋b(a≠0)，若⎠⎛03f(x )d x ＝3f(m)，则m ＝( )A ．±1 B. 2 C ．±3D ．2答案：C解析：解答: ⎠⎛03f(x )d x ＝⎠⎛03(a x 2＋b)d x ＝33103ax bx +＝9a ＋3b ，由⎠⎛03f(x )d x ＝3f(m)，得9a ＋3b ＝3am 2＋3b ，所以m 2＝3，所以m ＝±3.分析： 简单题，把f(x )的解析式带入求解即可15.一物体受到与它的运动方向相反的力F(x )＝110e x ＋x 的作用，则它从x ＝0运动到x ＝1时，F(x )所做的功等于( ) A.e 10＋25B.e 10－25 C ．－e 10＋25D ．－e 10－25答案：D解析：解答: 解析：W ＝－1201111()010102x x e x dx e x bx +=--+⎰＝－e 10－25，故选D. 分析： 功是力对路程的积分。
16.由曲线y 2＝2x ，y ＝x －4所围图形的面积是________． 答案：18解析：解答: 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得交点坐标为(2，－2)，(8,4)． 因此所求图形的面积S ＝⎠⎛4－2(y ＋4－y 22)dy取F(y)＝12y 2＋4y －y 36，则F′(y)＝y ＋4－y 22，从而S ＝F(4)－F(－2)＝18. 分析： 由于对x 轴积分比较复杂，我们可以采用对y 轴积分简化计算量17.一物体沿直线以速度v ＝1＋tm/s 运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________． 答案：23(1132－1) 解析：解答: S ＝10⎰1＋tdt ＝23(1＋t)32100＝23(1132－1)．分析： 路程是速度对时间的积分，考查定积分在物理学上的运用18. 由曲线y=x 2+2与y=3x ，x =0，x =1所围成的平面图形的面积为________. 答案：56解析：解答: 联立223y x y x⎧=+⎨=⎩解得交点(1，3)，(2，6)，S=1⎰(x 2+2-3x )d x =321135(2)0326x x x +-=分析： 简单题，考查定积分在求解面积中的应用19. 如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 答案：43解析：解答:因为函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)d x＝322103x x -+＝43.分析：求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分20.函数f (x )201212x x x x ⎧≤≤⎨-<≤⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 .答案：56解析：解答: ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝32121120132x x x +- ＝56.分析： 求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分 21. 计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．答案：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 230＝92.解析：分析： 求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分 22. 以初速度40m/s 竖直向上抛一物体，ts 时刻的速度v=40-10t 2，求此物体达到最高时的高度为多少？答案：由v=40-10t 2=0，得物体达到最高时t=2(s). 所以物体达到最高时的高度为h=2⎰(40-10t 2) dt=3210160(40)033t t -=m解析： 分析： 路程是速度对时间的积分，考查定积分在物理学上的运用23.设f(x )是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0. （1）求f(x )的表达式；答案：设f(x )＝a x 2＋b x ＋c ，∵其图象过点(0,1)，∴c ＝1，又∵在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0，∴(2)1(2)2f f -=⎧⎨'-=-⎩ ∵f ′(x )＝2a x ＋b ，∴2(2)(2)112(2)2a b a b ⎧⨯-+⨯-+=⎨⨯-+=-⎩∴a ＝1，b ＝2，故f(x )＝x 2＋2x ＋1.（2）求f(x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积；答案：依题意，f(x )的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，故所求面积S ＝⎠⎛0－1(x 2＋2x ＋1)d x ＝(13x 3＋x 2＋x )|0－1＝13.（3）若直线x ＝－t(0<t<1)把f(x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值． 答案：依题意，有12S ＝⎠⎛0－t(x 2＋2x ＋1)d x ＝(13x 3＋x 2＋x )|0－t ＝16， 即13t 3－t 2＋t ＝16，∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0，∴2(t －1)3＝－1，∴t ＝1－132.解析：分析：中档题，考查定积分在求解面积中的运用。