2018年江苏省徐州市铜山区高考数学一模试卷

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(数学)江苏省徐州市铜山区2018届高考模拟(三)数学试题 Word版含答案

02While 41End While Pr intS I I I I S S I S←←←+←+≤（第4题）2018届铜山区高考模拟卷(三)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．） 1. 知集合{}|02A x x =<<，B ={2|x x 1<}，则A ∩B = ▲ ．2. 知复数z 满足i 1i z =+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在第 ▲ 象限.3. 人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数)，则该组数据的方差2s 的值为 ▲ ．4. 据右图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．5.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则向上的点数之差的绝对值．．．是2的概率为 ▲ ． 6. 实数y x ,满足0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥，则32x y +的最大值为 ▲ ．7. 直线+2y x =与双曲线22221-=y x a b的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为 ▲ ． 8. 已知平面α ，β，直线m ，n ，给出下列命题：① 若//m α，//,n m n β⊥，则βα⊥；② 若//αβ，//,//m n αβ，则//m n ； ③ 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥；④ 若βα⊥，,m n αβ⊥⊥，则m n ⊥. 其中是真命题的是 ▲ ．（填写所有真命题的序号）．9. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，且252m a a a +=，则m = ▲ ． 10. 等边ABC ∆边长为2，过边BC 上一点P 分别作,AB AC 的垂线，垂足分别为,N M ,则PM PN 的最小值为_________.11. 已知圆O ：222x y r +=（0r >）及圆上的点(,0)A r -，过点A 的直线l 交y 轴于点0,1B （），交圆于另一点C ，若2AB BC =，则直线l 的斜率为．12.设函数2,1()21,1x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩,则满足2(())(())f f a f a <的a 的取值范围为 ▲ ．13.正数,,a b c 满足111a b c +=，若a b t c c b+>+恒成立，则实数t 最大值为__ ▲ ___ 14. 当0a >时，若∃x ∈R ，使得2342x xxa --≥成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .1872212（第3题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知1a =，b =，π6B A -=．（1）求sin A 的值；（2）求c 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面ABP ⊥平面BCP ，90APB ∠=︒，BP BC =，M 为CP 的中点．求证：（1）AP //平面BDM ；（2）BM ACP ⊥平面．17．(本小题满分14分)某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务，为了保证直升飞机的降落准确、安全，在门诊楼AB 和综合楼CD 的楼上安装导航标记，已知两楼的地面距离50AC m =，在,A C 之间取一导航标志观测点P ，当点P 在AC 中点时，测得两楼顶导航标记的张角045BPD ∠=，若045ACB ∠=.（1）求两导航标记距离地面的高度AB 、CD ；（2）要使在点P 处看两楼顶导航标记的张角BPD ∠最大，点P 应在何处？ABCDPM（第16题）APBCD18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知A B ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的上、下顶点，点()102M ，为线段AO的中点，AB .（1）求椭圆的方程；（2）设(2)N t ，（0t ≠），直线NA ，NB 分别交椭圆于点P Q ，，直线NA ，NB ，PQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k .① 求证：P M Q ，，三点共线；② 求证：132312k k k k k k +-为定值.19.（本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项1a a =（0a >），其前n 项和为n S ，设1n n n b a a +=+（n *∈N ）．数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2n T n =．（1）求证：数列{}n b 的任意连续三项不成等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若对N n *∀∈，且2n ≥，不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +---≥恒成立，求a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数()f x x a =-，()ln g x x b =-，,a b R ∈ （1）若0b =，()(0f x g x ≥）恒成立，求实数a 的值；（2）若0a =，(()()g x h x f x =），求证：函数()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点；（3）若0a =，12tb =+，若1122()(=()(f x g x f x g x ）），12x x ≠，求证：12t x x e <．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ．若DA = DC ，求证：AB = 2BC ．B ．[选修：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知,a b R ∈，向量为21α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵21a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值3-的一个特征向量．（1）求矩阵A 的另一个特征值；（2）求矩阵A 的逆矩阵1A -． C ．[选修：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)4πρθ=-．求直线l 被曲线C 所截得的弦长．D ．[选修：不等式选讲] （本小题满分10分）已知实数x ，y ，z 满足x + y + z = 2，求22232z y x ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ，求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在各项均不相同的数列1a ，2a ，3a ，…，n a *(n N ∈）中，任取k (k N ∈,且)k n ≤项变动位置，其余n k -项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为()n P k ．（1）求4444(0)(1)(2)(3)P P P P +++的值；（2）求5(5)P 的值；（3）设1()n n n k A kP n k ==-∑，求证：10(1)()nn n k A n P n k +==+-∑．2018届铜山区高考模拟卷(三)参考答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题．．1. {}|01x x <<．2. 四3. 2254. 125. 29 8．③④9. 8 10. 38- 12. 1a < 13. 2 14. 1902a <≤或2a ≥二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14分)解析：（1）在△ABC 中，因为1a =，b =π6B A -=，由正弦定理得，1sin πsin 6A A =+ ………………… 2分于是ππsin cos cos sin 66A A A =+，即cos A A =， ………………… 4分又22sin cos 1A A +=，所以sin A ． ………………… 6分（2）由（1）知，cos A =，则sin 22sin cos A A A =，213cos212sin 14A A =-=， …………… …… 10分在△ABC 中，因为πA B C ++=，π6B A -=，所以5π26C A =-．则()5πsin sin 26C A =-5π5πsin cos2cos sin 266A A =-113214=⨯+1114=． …………………12分由正弦定理得，sin sin a C c A == …………… …… 14分16．（本小题满分14分）（1）设AC 与BD 交于点O ，连结OM ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点，………2分因为M 为CP 的中点，所以AP ∥OM ，…………………4分又AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，所以AP ∥平面BDM ．…………………………7分（2）平面ABP ⊥平面BCP ，交线为BP ，因为90APB ∠=︒，故A P B P ⊥，因为AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP ，……………9分因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥BM ． ……………11分因为BP BC =，M 为CP 的中点，所以BM CP ⊥．……12分因为APCP P =，AP CP ⊂，平面ACP ，所以BM ⊥平面ACP ，……………………………………………………………14分 17．(本小题满分14分)（1）因为点P 是AC 中点，50AC =，所以25AP PC ==，在Rt ABC ∆中，50AC =，045ACB ∠=，可得50AB AC ==,ABCDPM（第16题）O在Rt APB ∆中，50tan 225AB APB AP ∠===，在Rt CPD ∆中，tan 25CD CDDPC PC ∠==，因为045BPD ∠=，所以0135APB DPC ∠+∠=，于是2tan tan 25tan()11tan tan 1225CDAPB DPC APB DPC CDAPB DPC +∠+∠∠+∠===--∠⋅∠-⋅，解得75CD =．（2）设AP x =，则50PC x =-，在Rt APB ∆中，50tan AB APB AP x ∠==，在Rt CPD ∆中，75tan 50CD DPC PC x∠==-，于是0tan =tan(180)tan()BPD APB DPC APB DPC ∠-∠-∠=-∠+∠ 25075tan tan 25(100)50=50751tan tan 505075150APB DPC x x x APB DPC x x x x+∠+∠+--=-=-∠⋅∠-+⨯-⋅-，设100x t +=，则2225tan ()2502530tBPD f t t t ∠==-+⨯，225()2530+250f t t t ==⨯- 当且仅当22530=t t⨯不等式取等号，于是当t ()f t 取最大值，此时100x +=100x =，又因为2225025300t t -+⨯>恒成立，所以tan ()0BPD f t ∠=> 从而(0,)2BPD π∠∈，而正切函数在(0,)2π上为增函数，所以当()f t 取最大值时BPD ∠也最大，答：（1）两导航标记距离地面的高度AB 、CD 分别为50,75m m ；（2）当100AP m =时，在点P 处看两楼顶导航标记的张角BPD ∠最大．18. （本小题满分16分）（1）由题意知，124()2b b =-=，解得a ，1b =，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）① 由(2)N t ，，(01)A ，，(01)B -，，则直线NA 的方程为11y x t =+，直线NB 的方程为31y x t=-.由221122y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得，222422.2t x t t y t ⎧=-⎪+⎨-⎪=+⎩，，故()2224222t t t t P --++，. 由223122y x t x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得，222121818.18t x t t y t ⎧=⎪+⎨-⎪=+⎩，，故()22212181818t t t t Q -++，. 所以直线PM 的斜率222221262482PMt t t k t t t ---+==-+，直线QM 的斜率2222181261812818QMt t t k t t t ---+==+，所以PM QM k k =，故P M Q ，，三点共线.② 由①知，11k t =，213k t =，2368t k t -=.所以21323122463182t k k k k k k t t t-+-=⨯-=-，所以132312k k k k k k +-为定值12-.19．（本小题满分16分）解：（1）由2n T n =，得121n n n b T T n -=-=-（2n ≥），由于11b =符合上式，所以21n b n =-（n *∈N ）， …… 2分假设存在{}n b 的连续三项11,,k k k b b b -+ （,2k k *∈≥N ）成等比数列，则211=k k k b b b -+，即()()()2212321k k k -=-+可得22441443k k k k -+=-- ，这不可能，所以假设不成立，从而数列{}n b 的任意连续三项不成等比数列. …… 5分（2）由（1）得， 121n n n a a b n ++==-．所以1(1)()n n a n a n +--=--，即11(1)n n a na n +-=---， …… 7分所以数列{}(1)n a n --为等比数列，且公比为1-，因为10a a =>，所以1(1)(1)n n a a n -=⋅-+-（n *∈N ）． …… 10分（3）不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +---≥即为11()12(1)n n n n a a a a n ++-++-≥，由于121n n a a n ++=-，所以不等式即为10n n a a +≥．当n 是奇数时，(1)n a a n =+-，1n a a n +=-+，所以[]21(1)()(1)0n n a a a n a n a a n n +=+-⋅-+=-++-≥，即2(1)a a n n -+--≥对n *∀∈N ，且2n ≥恒成立，所以26a a -+-≥，解得23a -≤≤． …… 13分当n 为偶数时，(1)n a a n =-+-，1n a a n +=+，由10n n a a +≥，得2(1)a a n n ----≥对n *∀∈N ，且2n ≥恒成立，所以22a a ---≥，解得21a -≤≤，因为0a >，所以a 的取值范围是01a <≤． …… 16分20．（本小题满分16分）（1）若0b =， ()g()()ln 0f x x x a x =-≥恒成立，当ln 0x ≥时，即1x ≥时，0x a -≥恒成立，于是x a ≥，min a x ≤（），从而1a ≤；当ln 0x <时，即01x <<时，0x a -≤恒成立，于是x a ≤，max a x ≥（），从而1a ≥；综上所述，1a =．（2）若0a =，(ln ()()g x x bh x f x x-==），因为21ln ()b x h x x +-'=，令21ln ()0b xh x x+-'=>，解得1b x e +<，于是()h x 在1(0,)b e +上递增，在1(+)b e +∞，上递减，从而在1b x e +=处取极大值，这样1max 11()()0b b h x h e e ++==>，又111()0b b h e e---=<，所以()h x 在1(0,)b e +上有唯一零点；而在1(+)b e +∞，上，因为1ln ln 10b x b e b +->-=>，于是ln ()0x bh x x-=>，从而()h x 在1(,)b e ++∞上没有零点，综上所述，函数()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点．（3）若0a =，()g()(ln )f x x x x b =-由1122()(=()(f x g x f x g x ））得1122(ln )(ln )x x b x x b -=-，即112212ln ln ()x x x x x x b -=-，一方面1121212212ln ln ln ln ()x x x x x x x x x x b -+-=-，即11212122ln ln ()x x x x x x x b x -+=-（）（）另一方面1112122212ln ln ln ln ()x x x x x x x x x x b -+-=-，即11221122ln ln ()x x x x x x x b x -+=-（）（）两式相加得1121212122ln ln ))ln 2()x x x x x x x x x b x -++=-（）(（+（），因为12x x ≠，所以12112122ln ln 2ln x x xx x b x x x +=--+（）要证明12t x x e <，只要证12ln x x t <，即证12ln ln x x t +<，从而只要证1211222ln x x xb x x x --+（）<t 又因为12tb =+，所以只要证121122ln x x x x x x -+（）>2，即证12112221ln 1x x x x x x -+（）>2不妨设12x x >，12x u x =，于是只要证当1u >时，1ln 1u u u -+>2 只要证1ln 1u u u >-（+）2（），即证1ln 2u u u ->-（+）2 记()1ln p u u u u =-（+）2，则11()ln 2ln 1u p u u u u u'=+-=+-+，记1()ln 1q u u u =+-，因为22111()0u q u u u u-'=-=>，所以()q u 在(1,)+∞上递增，从而()(1)0q u q >=，即()0p u '>，于是()p u 在(1,)+∞上递增，()(1)2p u p >=-，这样1ln 2u u u ->-（+）2得证，所以12t x x e <．数学Ⅱ（附加题）参考答案21．A ．证明：连接OD因为DC 为切线且点D 为切点，所以BDC BAD ∠=∠因为OA=OD所以OAD ODA ∠=∠又因为AD=DC所以BCD OAD ∠=∠故OAD BDC ≅所以BC=OD=R从而AB=2BC ……………10分B ．解：（1）由条件得，2223111a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 226,213,a b -+=⎧∴⎨-+=-⎩，解得2,2.a b =-⎧⎨=⎩………2分因为矩阵2221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以特征多项式为()2221f λλλ+-=-- ()2(2)146λλλλ=+--=+-， ………4分令()0f λ=，解得3,2λλ=-=．所以矩阵A 的另一个特征值为2． ………5分（2）因为22det()(2)122621A -==-⨯-⨯=-， ………7分所以11211666322116633A -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦． ………10分 C ．解：把曲线C的极坐标方程)4πρθ=-化为直角坐标方程为： 22220x y x y +--=，即22(1)(1)2x y -+-=， ………2分∴曲线C 表示的是圆心(1,1)C………4分直线l 的参数方程415315x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为3410x y +-=， ………6分∴圆心C 到直线l 的距离为65， ………8分直线l 被曲线C所截得的弦长为5=． ………10分（说明：也可以用直线参数方程的几何意义去完成）D ．证明：由柯西不等式可知22222221)1](23)z x y z +⋅≤++++ 所以2222()24231111123x y z x y z ++++≥=++ ，当且仅当1112,114,116===z y x 时取等号． ………10分 22．解：（1）由已知有1123432101()3C C C P A C +==，所以事件A 的发生的概率为13．…3分（2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2． ………4分2223342104(0)15C C C P X C ++===；111133342107(1)15C C C C P X C +===； 11342104(2)15C C P X C === ． ………6分所以随机变量X 的分布列为………8分数学期望()1E X =． ………10分23．解：（1）21444444(0)(1)(2)(3)00214P P P P C C +++=+++=． ………2分（2）111543322(5)[(3)((2))]44P C P C P C =++=． ………4分（3）证明：()()k n n n k P n k C P n k --=-，11k k n n kC nC --=，∴11111()()(0)()(0)n n n k n n n n n n k n k k k A kP n k kP n k nP kC P n k nP ---====-=-+=-+∑∑∑11111111()(0)()(0)n n k k n n k n n n k n k k nCP n k nP n C P n k nP --------===-+=-+∑∑， 1(0)(0)0n n P P +==∴1n A +=1111(1)(1)(1)(0)nk n n k n k n C P n k n P -+-+=++-++∑1(1)11(1)((1))(1)(0)n k n n k n k n C P n k n P ---+==+--++∑10(1)()(0)n k n n k n k n C P n k nP --==+-+∑(1)()n n k n P n k ==+-∑． ………10分。

【高三数学试题精选】2018年高三数学高考前模拟试题(附答案徐州市)

2018年高三数学高考前模拟试题（附答案徐州市）
5 徐州市2矩阵与变换]（本小题满分10分）
设，，试求曲线在矩阵变换下的曲线方程．
c．[选修4-4坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知点为圆上任一点．求点到直线的距离的最小值与最大值．
D．[选修4-5不等式选讲]（本小题满分10分）
已知为正数，且满足，求证．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出字说明、证明过程或演算步骤22．过直线上的动点作抛物线的两切线，为切点．
（1）若切线的斜率分别为，求证为定值；
（2）求证直线过定点．
23．已知．
⑴求及；
⑵试比较与的大小，并说明理由．
徐州市2018年高考考前信息卷
数学Ⅰ参考答案与评分标准
一、填空题1． 2．3 3． 4． 5． 6． 7．
8． 9． 10． 11． 12． 13．9 14．
二、解答题
15．⑴由，得．......................................................2分因为，，所以， (4)
分
所以，
所。

江苏省徐州市2018届高三第一次质量检测数学试题(解析版)

徐州市2017～2018学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．.1.已知集合，，则____．【答案】【解析】，所以。

2.已知复数（为虚数单位），则的模为____．【答案】【解析】，所以。

3.函数的定义域为____．【答案】【解析】，解得定义域为。

4.如图是一个算法的伪代码，运行后输出的值为___________．【答案】13【解析】根据题意得到：a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不满足条件，故得到此时输出的b值为13.故答案为：13.5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有____人．【答案】750【解析】因为，得，所以。

6.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的一条渐近线方程为，则它的离心率为_______．【答案】【解析】，所以，得离心率。

7.连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为____．【答案】【解析】总事件数为，目标事件：当第一颗骰子为1,2,4,6，具体事件有，共8种；当第一颗骰子为3,6，则第二颗骰子随便都可以，则有种；所以目标事件共20中，所以。

8.已知正四棱柱的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是____．【答案】【解析】Aa 设正四棱柱的高为h得到故得到正四棱柱的体积为故答案为：54.9.若函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，，，则实数的值为____．【答案】【解析】由三角函数的图象可知，直线与正弦函数图象交的三个相邻交点中，第一个点和第三个点之间正好一个周期，则，所以。

江苏省徐州市铜山区2018届高考模拟(一)数学试题(含答案)

2018届铜山区高考模拟卷(一)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，则A B = ▲ ．2.设复数z 满足i z i 2)1(=+，则z =___▲___．3.为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5.甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心（白）”、“手背（黑）”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负，则一次游戏中甲胜出的概率是___▲___．6.已知3tan()63απ-=，则tan()6α5π+= ▲ ．7. 若实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则目标函数y x z +=2的最小值为 ▲ ．8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为_ ▲ ．9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为___▲___．10.已知椭圆C ：22221x y a b +=，)0(>>b a 的左、右顶点分别为21,A A ，且以线段21A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为___▲___．11.函数()f x 是周期为4的偶函数，当[0,2]x ∈时，()1f x x =-，则不等式()0xf x >在[1,3]-上的解集为 ▲ ．12.在矩形21==AD AB ABCD ，中，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上。

徐州市2017-2018学年度高三年级第一次高质量检测

徐州市2017-2018学年度高三年级第一次质量检测数学 Ι一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置。

1.已知集合A =}0{2=-x x x ，B ={-1，0}，则A ∪B =______2.已知复数iiz -+=22（i 为虚数单位），则z 的模长为______ 3.函数x y 21log =的定义域为___ ___4.如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为___ _(第4题)(第5题)5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[250，400)内的学生共有__ __人6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线)0,0(12222>>=+b a by a x 的一条渐近线方程为x -2y =0，则该双曲线的离心率为______.7. 连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为____.8.已知正四棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长为53cm ，则这个正四棱柱的体积为____3cm9.若函数)0,0)((sin )(>>+=ωϕωA x A x f 的图象与直线y=m 的三个相邻交点的横坐标分别是3236πππ，，，则实数ω的值为______.10.在平面直角坐标系xOy ，曲线3=xy C ：上任意一点P 到直线03:=+y x l 的距离的最小值为______.11.已知等差数列{}n a 满足13579a a a a a ++++=10，2282a a -=36，则11a 的值为________.12.在平面直角坐标系xOy 中，若圆2221:x (1)C y r +-=(0)r >上存在点P ，且点P 关于直线x -y =0的对称点222:(2)(1)1Q C x y -+-=在圆上，则r 的取值范围是__________.13.已知函数{22|1|,1,(1),1,()x x x x f x -+≤->=()()()g x f x f x =+-函数，则不等式2)(≤x g 的解集为__.14.如图，在ABC 中，已知AB=3,AC=2，0=120BAC ∠，D 为边BC 的中点，CE AD ⊥若,垂足为E ，.EB EC 则的值为________.二、解答题（共6小题，共90分）15.（本小题14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ,b ,c ，且31)tan(,53cos =-=A B A 。

2018年4月最新优质市级模拟试卷快递：江苏省徐州市2018届高三第一次质量检测数学试题(解析版)

1．【解析】，所以。

2．【解析】，所以。

3．【解析】，解得定义域为。

4．135．750【解析】因为，得，所以。

6．【解析】，所以，得离心率。

7．【解析】总事件数为，目标事件：当第一颗骰子为1,2,4,6，具体事件有，共8种；当第一颗骰子为3,6，则第二颗骰子随便都可以，则有种；所以目标事件共20中，所以。

8．54【解析】Aa 设正四棱柱的高为h 得到故得到正四棱柱的体积为故答案为：54. 9．【解析】由三角函数的图象可知，直线与正弦函数图象交的三个相邻交点中，第一个点和第三个点之间正好一个周期，则，所以。

10．【解析】，所以，得，由图象对称性，取点，所以。

11．14点睛：这个题目考查的是等差数列的性质和应用；解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律。

12．【解析】关于直线的对称圆，由题意，圆与圆有交点，所以，所以的范围是。

点睛：本题考查直线和圆的位置关系。

由题意，得到关于直线的对称圆，存在点满足条件，即圆与圆有交点，由图象特点得，求得的范围。

直线和圆的题型充分利用图象辅助解题。

13．[]2,2-【解析】函数f （x ）=()221,1{1,1x x x x -+≤->，当﹣1≤x≤1时，f（x）=1﹣x；当x＜﹣1时，f（x）=x+3；当x＞1时，f（x）=（x﹣1）2．①当x＞1，即﹣x＜﹣1，可得g（x）=（x﹣1）2+3﹣x=x2﹣3x+4，由g（x）≤2，解得1＜x≤2；②当x＜﹣1时，﹣x＞1，则g（x）=x+3+（x+1）2=x2+3x+4，由g（x）≤2，解得﹣2≤x＜﹣1；③当﹣1≤x≤1时，﹣1≤﹣x≤1，可得g（x）=1﹣x+1+x=2，由g（x）≤2，解得﹣1≤x≤1，综上可得，原不等式的解集为[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．14．点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算。

江苏省徐州市第一中学2018届高三数学第一次模拟考试(理科)试题缺答案(1)

江苏省徐州市第一中学2018届高三第一次模拟考试（理科）试题一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合}034|{2≥++=x xx A ,}12|{＜x x B =，则=B A ( ) A ． )0,1[]3,(---∞ B ．]1,3[-- C ．]0,1(]3,(---∞ D ．)0,(-∞2。

已知R y x ∈,，i 为虚数单位，若i y xi 3)2(1--=+,则=+yi xA ．2B ．5 C ．3 D ．10 3．已知数列{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S 为 A. 110 B 。

55 C 。

50 D. 不能确定 4．命题:p 2,,22<+∈y x R y x ,命题:q 2||||,,<+∈y x R y x ，则的是q p（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．必要充分条件D ．既不充分也不必要条件5。

某几何体的三视图如图所示，则其表面积为A 。

83 B.43 C.248+ D.246+6。

下列判断错误．．的是 A ．“22bm am <"是“b a <”的充分不必要条件B ．命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“01,23>--∈∃x x R x "C ．若q p ,均为假命题,则q p Λ为假命题D ．命题：若12=x ，则1=x 或1-=x 的逆否命题为：若1≠x 或1-≠x ,则12≠x7.设点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥03,02,0y x y x x 表示的平面区域上，则22)1(y x z +-=的最小值为A ．1B ．55C 。

2D ．5528。

已知直线l ⊥平面α,直线m ⊂平面β,给出下列命题:①α∥β⇒⊥l m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β其中正确命题的序号是( ）A ．①②③ B.②③④ C.①③ D 。

2018年江苏省徐州市高考数学一模试卷

2018年江苏省徐州市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.1. 已知集合A ={x|x 2−x =0}，B ={−1, 0}，则A ∪B =________．【答案】 {−1, 0, 1} 【考点】并集及其运算【解析】化简集合A ，根据并集的定义写出A ∪B ．【解答】解：集合A ={x|x 2−x =0}={x|x =0或x =1}={0, 1}， B ={−1, 0}，则A ∪B ={−1, 0, 1}．故答案为：{−1, 0, 1}.2. 已知复数z =2+i 2−i（i 为虚数单位），则z 的模为________．【答案】 1【考点】复数的模【解析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵ z =2+i2−i =(2+i)2(2−i)(2+i)=35+45i ， ∴ |z|=√(35)2+(45)2=1．故答案为：1.3. 函数y =√log 12x 的定义域是________．【答案】(0, 1] 【考点】函数的定义域及其求法【解析】令被开方数大于等于0，然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x 的范围，写出集合区间形式即为函数的定义域．【解答】解：log 12x ≥0, ∴ 0<x ≤1.∴ 函数的定义域为(0, 1].故答案为：(0, 1].4. 如图是一个算法的伪代码，运行后输出b的值为________．【答案】13【考点】循环结构的应用【解析】通过分析伪代码，按照代码进行执行，当I=8时即跳出循环．输出b的值即可．【解答】解：模拟程序的运行，可得，a=0，b=1，I=2，满足条件I≤6，执行循环体，a=0+1=1，b=1+1=2，I=2+2=4，满足条件I≤6，执行循环体，a=1+2=3，b=3+2=5，I=4+2=6，满足条件I≤6，执行循环体，a=3+5=8，b=8+5=13，I=6+2=8，不满足条件I≤6，退出循环，输出b的值为13．故答案为：13.5. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[250, 400)内的学生共有________人．【答案】750【考点】频率分布直方图【解析】由样本的频率分布直方图求出a，从而成绩在[250, 400)内的频率为0.75，由此能求出成绩在[250, 400)内的学生人数．【解答】解：由样本的频率分布直方图得：(0.001+0.001+0.004+a+0.005+0.003)×50=1，解得a=0.006．∴成绩在[250, 400)内的频率为(0.004+0.006+0.005)×50=0.75，∴成绩在[250, 400)内的学生共有1000×0.75=750．故答案为：750.6. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为x−2y=0，则该双曲线的离心率为________．【答案】√52【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率【解析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的渐近线方程为y=±bax，结合题意可得b a =12，即a=2b，由双曲线的几何性质可得c=√a2+b2=√5b，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线x2a2−y2b2=1的焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±bax，若双曲线的一条渐近线方程为x−2y=0，即y=12x，则有ba =12，即a=2b，则c=√a2+b2=√5b，则该双曲线的离心率e=ca =√52.故答案为：√52.7. 连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为________．【答案】59【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数n=6×6=36，利用列举求出事件“点数之积是3的倍数”包含的基本事件(a, b)有20个，由此能求出事件“点数之积是3的倍数”的概率．【解答】解：连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，基本事件总数n=6×6=36，事件“点数之积是3的倍数”包含的基本事件(a, b)有20个，分别为：(1, 3)，(3, 1)，(1, 6)，(6, 1)，(2, 3)，(3, 2)，(2, 6)，(6, 2)，(3, 3)，(3, 4)，(4, 3)，(3, 5)，(5, 3)，(3, 6)，(6, 3)，(4, 6)，(6, 4)，(5, 6)，(6, 5)，(6, 6)，∴事件“点数之积是3的倍数”的概率：p=2036=59．故答案为：59.8. 已知正四棱柱的底面边长是3cm，侧面的对角线长是3√5cm，则这个正四棱柱的体积为________cm3．【答案】54【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3√5cm，求出高ℎ=6cm，由此能求出这个正四棱柱的体积．【解答】解：设正四棱柱的高为ℎ，∵正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3√5cm，∴√32+ℎ2=3√5，解得ℎ=6(cm)，∴这个正四棱柱的体积V=Sℎ=3×3×6=54(cm3)．故答案为：54.9. 若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象与直线y=m的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________．【答案】4【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义【解析】由题意，函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与直线y=m的三个相邻交点的横坐标可知，函数f(x)相邻的对称轴x=π4和π2，又根据相邻对称轴是半个周期即可求解ω的值．【解答】解：由题意，函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与直线y=m的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，可知函数f(x)相邻的对称轴x=π6+π32=π4，另一条为x=π2，相邻对称轴是半个周期，即12T=π2−π4，可得：T=π2．∴ω=2ππ2=4．故答案为：4.10. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C:xy =√3上任意一点P 到直线l:x +√3y =0的距离的最小值为________．【答案】 √3【考点】基本不等式在最值问题中的应用点到直线的距离公式【解析】设P(a,√3a)，可得任意一点P 到直线l:x+√3y =0的距离d =|a+3a|2=|a|+3|a|2，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设P(a,√3a )，则任意一点P 到直线l:x +√3y =0的距离： d =|a+3a|2=|a|+3|a|2≥2√32=√3，当且仅当|a|=√3时取等号．故答案为：√3.11. 已知等差数列{a n }满足a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=10，a 82−a 22=36，则a 11的值为________．【答案】 11【考点】等差数列的性质等差数列的通项公式【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，∵ a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=10，可得5a 5=10，可得：a 1+4d =2．由a 82−a 22=36，可得6d(a 8+a 2)=36，即2a 5⋅d =6，联立解出即可得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵ a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=10， ∴ 5a 5=10，可得：a 1+4d =2．∵ a 82−a 22=36， ∴ 6d(a 8+a 2)=36，即2a 5⋅d =6，∴ d =32， ∴ a 1=−4．则a 11=−4+10×32=11．故答案为：11.12. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 1:x 2+(y −1)2=r 2(r >0)上存在点P ，且点P 关于直线x −y =0的对称点Q 在圆C 2：(x −2)2+(y −1)2=1上，则r 的取值范围是________．【答案】[√2−1, √2+1] 【考点】圆与圆的位置关系及其判定关于点、直线对称的圆的方程【解析】根据圆的对称性转化为两圆相交的等价条件进行求解即可．【解答】解：若圆C 1:x 2+(y −1)2=r 2(r >0)上存在点P ，且点P 关于直线x −y =0的对称点Q 在圆C 2：(x −2)2+(y −1)2=1上，等价为若圆C 1:x 2+(y −1)2=r 2(r >0)关于直线y =x 的对称圆与圆C 2：(x −2)2+(y −1)2=1相交，则圆C 1:x 2+(y −1)2=r 2(r >0)关于直线y =x 的对称圆为圆C:y 2+(x −1)2=r 2(r >0)，则圆心C(1, 0)，半径r ，圆心C 2(2, 1)，半径1，则|CC 2|=√(2−1)2+1=√2，若两圆相交则满足r −1≤|CC 2|≤r +1，即r −1≤√2≤r +1，解得√2−1≤r ≤√2+1，即r 的取值范围是[√2−1, √2+1]，故答案为：[√2−1, √2+1].13. 已知函数f(x)={2−|x +1|,x ≤1(x −1)2,x >1 函数g(x)=f(x)+f(−x)，则不等式g(x)≤2的解集为________．【答案】 [−2, 2] 【考点】一元二次不等式的解法分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】讨论当−1≤x ≤1时，当x <−1时，去绝对值，再分别讨论−1≤x ≤1，x <−1，x >1时，求得g(x)的解析式，解不等式求并集，即可得到所求解集．【解答】解：函数f(x)={2−|x +1|,x ≤1(x −1)2,x >1，当−1≤x ≤1时，f(x)=1−x ；当x <−1时，f(x)=x +3；当x >1时，f(x)=(x −1)2． ①当x >1，即−x <−1，可得g(x)=(x −1)2+3−x =x 2−3x +4，由g(x)≤2，解得1<x ≤2；②当x <−1时，−x >1，则g(x)=x +3+(x +1)2=x 2+3x +4，由g(x)≤2，解得−2≤x <−1； ③当−1≤x ≤1时，−1≤−x ≤1，可得g(x)=1−x +1+x =2，由g(x)≤2，解得−1≤x ≤1，综上可得，原不等式的解集为[−2, 2]．故答案为：[−2, 2].14. 如图，在△ABC 中，已知AB =3，AC =2，∠BAC =120∘，D 为边BC 的中点．若CE ⊥AD ，垂足为E ，则EB →⋅EC →的值为________．【答案】−277【考点】余弦定理平面向量数量积的运算向量的三角形法则【解析】在△ABC 中，由余弦定理即可求出BC =√19，从而得出DC =√192，并求出cos∠ACB =2√19，这样在△ACD 中，由余弦定理即可求出AD 的值，从而求出cos∠ADC =√7×√19，这样在Rt △CDE 中即可求出DE 的值，而EB →∗EC →=ED →2−DB →2，从而可求出数量积EB →∗EC →的值．【解答】解：在△ABC 中，由余弦定理：BC 2=32+22−2×3×2×(−12)=19， ∴ BC =√19，BD =DC =√192，∴ cos∠ACB =2×2×√19=2√19.在△ACD 中： AD 2=22+(√192)2−2×2×√192×2√19=74，∴ AD =√72，∴ cos∠ADC =74+194−42×√72×√192=√7×√19，在Rt △DEC 中，DE =CD ⋅cos∠ADC =2√7， ∴ EB →⋅EC →=(ED →+DB →)⋅(ED →+DC →)=(ED →+DB →)⋅(ED →−DB →) =|ED →|2−|DB →|2 =(52√7)2−(√192)2=2528−194 =−277．故答案为：−277.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cosA =35，tan(B −A)=13． (1)求tanB 的值；(2)若c =13，求△ABC 的面积．【答案】解：(1)在△ABC 中，由cosA =35可知A 为锐角，所以sinA =45，所以tanA =sinA cosA =43，所以tanB =tan[(B −A)+A]=tan(B−A)+tanA1−tan(B−A)tanA =13+431−13×43=3；(2)在三角形ABC 中，由tanB =3，所以sinB =3√1010，cosB =√1010，由sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =13√1050，由正弦定理bsinB =csinC ，得b =csinB sinC=13×3√101013√1050=15，所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×15×13×45=78．【考点】两角和与差的正切公式正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】（1）根据同角的三角函数的关系以两角和的正切公式即可求出，（2）根据两角和的正弦公式以及正弦定理和三角形的面积公式即可求出．【解答】解：(1)在△ABC 中，由cosA =35可知A 为锐角，所以sinA =45，所以tanA =sinAcosA =43，所以tanB =tan[(B −A)+A]=tan(B−A)+tanA1−tan(B−A)tanA =13+431−13×43=3；(2)在三角形ABC 中，由tanB =3，所以sinB =3√1010，cosB =√1010，由sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =13√1050，由正弦定理bsinB =csinC ，得b =csinB sinC=13×3√101013√1050=15，所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×15×13×45=78．如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ABC =90∘，AB =AA 1，M ，N 分别是AC ，B 1C 1的中点.求证：(1)MN // 平面ABB 1A 1；(2)AN ⊥A 1B . 【答案】证明：(1)如图，取AB 的中点P ，连结PM 、PB 1.因为M ，P 分别是AC ，AB 的中点，所以PM // BC ，且PM =12BC .在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中， BC // B 1C 1，BC =B 1C 1，又因为N 是B 1C 1的中点，所以PM // B 1N ，且PM =B 1N ．所以四边形PMNB 1是平行四边形，所以MN // PB 1，又MN 平面ABB 1A 1，PB 1⊂平面ABB 1A 1，所以MN // 平面ABB 1A 1.(2)因为三棱柱ABC −A 1B 1C 1为直三棱柱，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1，又因为BB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB1A1⊥平面A1B1C1，又因为平面ABB1A1∩平面A1B1C1=A1B1，B1C1⊂平面A1B1C1，A1B1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面ABB1A1，又因为A1B⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B，如图，连结AB1，因为在平行四边形ABB1A1中，AB=AA1，所以AB1⊥A1B，又因为NB1∩AB1=B1，且AB1，NB1⊂平面AB1N，所以A1B⊥平面AB1N，又AN⊂平面AB1N，所以AN⊥A1B．【考点】两条直线垂直的判定平面与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质直线与平面平行的判定棱柱的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)如图，取AB的中点P，连结PM、PB1.因为M，P分别是AC，AB的中点，BC.所以PM // BC，且PM=12在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BC // B1C1，BC=B1C1，又因为N是B1C1的中点，所以PM // B1N，且PM=B1N．所以四边形PMNB1是平行四边形，所以MN // PB1，又MN平面ABB1A1，PB1⊂平面ABB1A1，所以MN // 平面ABB1A1.(2)因为三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1，又因为BB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1B1C1，又因为平面ABB1A1∩平面A1B1C1=A1B1，B1C1⊂平面A1B1C1，A1B1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面ABB1A1，又因为A1B⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B，如图，连结AB1，因为在平行四边形ABB1A1中，AB=AA1，所以AB1⊥A1B，又因为NB1∩AB1=B1，且AB1，NB1⊂平面AB1N，所以A1B⊥平面AB1N，又AN⊂平面AB1N，所以AN⊥A1B．某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1，为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180∘而成，如图2，已知圆O的，圆锥的侧面积为Scm2．半径为10cm，设∠BAO=θ，0<θ<π2(1)求S关于θ的函数关系式；(2)为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大．求S取得最大值时腰AB的长度．【答案】解：(1)根据题意，设AO 交BC 于点D ，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，在△AOE 中，AE =10cosθ，AB =2AE =20cosθ，在△ABD 中，BD =AB ⋅sinθ=20sinθcosθ，所以S =12×2π×20sinθcosθ×20cosθ=400πsinθcos 2θ，(0<θ<π2). (2)由(1)得：S =400πsinθcos 2θ=400π(sinθ−sin 3θ) 设f(x)=x −x 3，(0<x <1)，则f′(x)=1−3x 2，令f′(x)=1−3x 2=0，可得x =√33，当x ∈(0, √33)时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(0, √33)上单调递增，当x ∈(√33, 1)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(√33, 1)上单调递减，所以f(x)在x =√33时取得极大值，也是最大值；所以当sinθ=√33，即cosθ=√63时，侧面积S 取得最大值，此时等腰三角形的腰长AB =20cosθ=20√63；答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB 的长度为20√63cm ．【考点】利用导数研究函数的最值解三角形的实际应用同角三角函数间的基本关系【解析】（1）根据题意，设AO 交BC 于点D ，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，分析可得AB =2AE =20cosθ，BD =AB ⋅sinθ=20sinθcosθ，由圆锥的侧面积公式可得S 的表达式，即可得答案；（2）由（1）可得S 的表达式可得S =12400πsinθcos 2θ=400π(sinθ−sin 3θ)，设f(x)=x −x 3，(0<x <1)，求导求出其在区间(0, 1)上的最大值，求出x 的值，即可得当sinθ=√33，即cosθ=√63时，侧面积S 取得最大值，计算即可得答案．【解答】解：(1)根据题意，设AO 交BC 于点D ，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，在△AOE 中，AE =10cosθ，AB =2AE =20cosθ，在△ABD 中，BD =AB ⋅sinθ=20sinθcosθ，所以S =12×2π×20sinθcosθ×20cosθ=400πsinθcos 2θ，(0<θ<π2). (2)由(1)得：S =400πsinθcos 2θ=400π(sinθ−sin 3θ) 设f(x)=x −x 3，(0<x <1)，则f′(x)=1−3x 2，令f′(x)=1−3x 2=0，可得x =√33，当x ∈(0, √33)时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(0, √33)上单调递增，当x ∈(√33, 1)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(√33, 1)上单调递减，所以f(x)在x =√33时取得极大值，也是最大值；所以当sinθ=√33，即cosθ=√63时，侧面积S 取得最大值，此时等腰三角形的腰长AB =20cosθ=20√63；答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB 的长度为20√63cm ．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0, b >0)的离心率为12，且过点(1, 32)．F 为椭圆的右焦点，A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接AF ，BF 分别交椭圆于C ，D 两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若AF =FC ，求BFFD 的值；(3)设直线AB ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在实数m ，使得k 2=mk 1，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)由题意知e =ca =12，则a =2c ，b 2=a 2−c 2=3c 2，将(1, 32)代入椭圆方程：14c 2+93c 2×4=1，解得：c =1，则a =2，b =√3， ∴ 椭圆方程为：x 24+y 23=1；(2)若AF =FC ，根据椭圆的对称性可知，A(1, 32)， ∵ A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，∴ B(−1, −32)， ∵ F 为椭圆的右焦点，∴ F(1, 0)，此时直线BF 方程为3x −4y −3=0，由{3x −4y −3=0x 24+y 23=1 ，整理得7x 2−6x −13=0，解得x =137（x =−1舍去），故BFFD =1−(−1)137−1=73．(3)设A(x 0, y 0)，则B(−x 0, −y 0)，直线AF 的方程为y =y 0x 0−1(x −1)，代入椭圆方程x 24+y23=1，得(15−6x 0)x 2−8y 02−15x 02+24x 0=0，即(15−6x 0)x 2−(24−6x 02)x −15x 02+24x 0=0，因为x =x 0是该方程的一个解，所以C 点的横坐标x C =8−5x5−2x 0，又C(x C , y C )在直线y =yx 0−1(x −1)上，所以y C =y 0x 0−1(x C −1)=−3y 05−2x 0，同理，D 点坐标为(8+5x 05+2x 0, 3y5+2x 0)，所以k 2=3y 05+2x 0−−3y 05−2x 08+5x 05+2x 0−8−5x 05−2x 0=5y 03x 0=53k 1，即存在m =53，使得k 2=53k 1．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题椭圆的应用椭圆的标准方程【解析】（1）根据椭圆的离心率公式，将点代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程；（2）由AF =FC ，即可求得A 和B 点坐标，求得直线BF 的方程，代入椭圆方程，即可求得B 点坐标，即可求得答案；（3）设A 点坐标，求得直线AF 的方程，代入椭圆方程，即可求得C 点坐标，同理求得D 点坐标，根据直线的斜率公式，即可求得即存在m =53，使得k 2=53k 1．【解答】解：(1)由题意知e =ca =12，则a =2c ，b 2=a 2−c 2=3c 2，将(1, 32)代入椭圆方程：14c 2+93c 2×4=1，解得：c =1，则a =2，b =√3， ∴ 椭圆方程为：x 24+y 23=1；(2)若AF =FC ，根据椭圆的对称性可知，A(1, 32)， ∵ A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，∴ B(−1, −32)， ∵ F 为椭圆的右焦点，∴ F(1, 0)，此时直线BF 方程为3x −4y −3=0，由{3x −4y −3=0x 24+y 23=1，整理得7x 2−6x −13=0，解得x =137（x =−1舍去），故BF FD =1−(−1)137−1=73． (3)设A(x 0, y 0)，则B(−x 0, −y 0)，直线AF 的方程为y =y 0x 0−1(x −1)，代入椭圆方程x 24+y 23=1，得(15−6x 0)x 2−8y 02−15x 02+24x 0=0，即(15−6x 0)x 2−(24−6x 02)x −15x 02+24x 0=0，因为x =x 0是该方程的一个解，所以C 点的横坐标x C =8−5x5−2x 0，又C(x C , y C )在直线y =y 0x 0−1(x −1)上，所以y C =y 0x0−1(x C −1)=−3y 05−2x 0，同理，D 点坐标为(8+5x 05+2x 0, 3y5+2x 0)，所以k 2=3y 05+2x 0−−3y 05−2x 08+5x 05+2x 0−8−5x 05−2x 0=5y 03x 0=53k 1，即存在m =53，使得k 2=53k 1．已知函数f(x)=x 2+ax +1，g(x)=lnx −a(a ∈R)． (1)当a =1时，求函数ℎ(x)=f(x)−g(x) 的极值；(2)若存在与函数f(x)，g(x) 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)函数ℎ(x)的定义域为(0, +∞)，当a =1时，ℎ(x)=f(x)−g(x)=x 2+x −lnx +2，所以ℎ′(x)=2x +1−1x =(2x−1)(x+1)x，所以当0<x <12时，ℎ′(x)<0，当x >12时，ℎ′(x)>0，所以函数ℎ(x)在区间(0, 12)单调递减，在区间(12, +∞)单调递增，所以当x =12时，函数ℎ(x)取得极小值为114−ln2，无极大值；(2)设函数f(x)上点（x1, f(x1)）与函数g(x)上点（x2, g(x2)）处切线相同，则f′(x1)=g′(x2)=f(x1)−g(x2)x1−x2，所以2x1+a=1x2=x12+ax1+1−lnx2+ax1−x2，所以x1=12x2−a2，代入x1−x2x2=x12+ax1+1−lnx2+a得：1 4x22−a2x2+lnx2−a+a24−2=0(∗)设F(x)=14x −a2x+lnx−a+a24−2，则F′(x)=−12x3+a2x2+1x=2x2+ax−12x3，不妨设2x02+ax0−1=0(x0>0)，则当0<x<x0时，F′(x)<0，当x>x0时，F′(x)>0，所以F(x)在区间(0, x0)上单调递减，在区间(x0, +∞)上单调递增，代入a=1−2x02x0=1x0−2x0，可得F(x)min=F(x0)=x02+2x0−1x+lnx0−2，设G(x)=x2+2x−1x+lnx−2，则G′(x)=2x+2+1x2+1x>0对x>0恒成立，所以G(x)在区间(0, +∞)上单调递增，又G(1)=0，所以当0<x<1时G(x)≤0，即当0<x1≤1时F(x1)≤0，又当x=e m+2时F(x)=14e2m+4−a2e m+2+lne m+2−a+a24−2=14(1e m+2−a)2≥0，因此当0<x1≤1时，函数F(x)必有零点；即当0<x1≤1时，必存在x2使得(∗)成立；即存在x1，x2，使得函数f(x)上点（x1, f(x1)）与函数g(x)上点（x2, g(x2)）处切线相同．又由y=1x −2x得y′=−1x−2<0，所以y=1x−2x在(0, 1)单调递减，因此a=1−2x02x0=1x0−2x0∈[−1, +∞)，所以实数a的取值范围是[−1, +∞)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性函数零点的判定定理【解析】（1）求得ℎ(x)的定义域，以及导数，讨论单调区间，可得极值；（2）设函数f(x)上点（x1, f(x1)）与函数g(x)上点（x2, f(x2)）处切线相同，分别求得导数和切线的斜率，可得14x 22−a2x 2+lnx 2−a +a 24−2=0(∗)设F(x)=14x 2−a2x +lnx −a +a 24−2，求出导数和单调区间，最值，运用单调性，计算可得a 的范围．【解答】解：(1)函数ℎ(x)的定义域为(0, +∞)，当a =1时，ℎ(x)=f(x)−g(x)=x 2+x −lnx +2，所以ℎ′(x)=2x +1−1x =(2x−1)(x+1)x，所以当0<x <12时，ℎ′(x)<0，当x >12时，ℎ′(x)>0，所以函数ℎ(x)在区间(0, 12)单调递减，在区间(12, +∞)单调递增，所以当x =12时，函数ℎ(x)取得极小值为114−ln2，无极大值；(2)设函数f(x)上点（x 1, f(x 1)）与函数g(x)上点（x 2, g(x 2)）处切线相同，则f′(x 1)=g′(x 2)=f(x 1)−g(x 2)x 1−x 2，所以2x 1+a =1x 2=x 12+ax 1+1−lnx 2+ax 1−x 2，所以x 1=12x 2−a2，代入x 1−x 2x 2=x 12+ax 1+1−lnx 2+a 得：14x 22−a 2x 2+lnx 2−a +a 24−2=0(∗) 设F(x)=14x−a 2x+lnx −a +a 24−2，则F′(x)=−12x 3+a2x 2+1x =2x 2+ax−12x 3，不妨设2x 02+ax 0−1=0(x 0>0)，则当0<x <x 0时，F′(x)<0，当x >x 0时，F′(x)>0，所以F(x)在区间(0, x 0)上单调递减，在区间(x 0, +∞)上单调递增，代入a =1−2x 02x 0=1x 0−2x 0，可得F(x)min =F(x 0)=x 02+2x 0−1x 0+lnx 0−2，设G(x)=x 2+2x −1x +lnx −2，则G′(x)=2x +2+1x 2+1x >0对x >0恒成立，所以G(x)在区间(0, +∞)上单调递增，又G(1)=0，所以当0<x <1时G(x)≤0，即当0<x 1≤1时F(x 1)≤0，又当x =em+2时F(x)=14e 2m+4−a2e m+2+lne m+2−a +a 24−2=14(1e m+2−a)2≥0，因此当0<x 1≤1时，函数F(x)必有零点；即当0<x 1≤1时，必存在x 2使得(∗)成立；即存在x 1，x 2，使得函数f(x)上点（x 1, f(x 1)）与函数g(x)上点（x 2, g(x 2)）处切线相同．又由y=1x −2x得y′=−1x2−2<0，所以y=1x−2x在(0, 1)单调递减，因此a=1−2x02x0=1x0−2x0∈[−1, +∞)，所以实数a的取值范围是[−1, +∞)．已知数列{a n}，其前n项和为{S n}，满足a1=2，S n=λna n+μa n−1，其中n≥2，n∈N∗，λ，μ∈R．(1)若λ=0，μ=4，b n=a n+1−2a n(n∈N∗)，求证：数列{b n}是等比数列；(2)若数列{a n}是等比数列，求λ，μ的值；(3)若a2=3，且λ+μ=32，求证：数列{a n}是等差数列．【答案】(1)证明：若λ=0，μ=4，则当S n=4a n−1(n≥2)，所以a n+1=S n+1−S n=4(a n−a n−1)，即a n+1−2a n=2(a n−2a n−1)，所以b n=2b n−1，又由a1=2，a1+a2=4a1，得a2=3a1=6，a2−2a1=2≠0，即b n≠0，所以b nb n−1=2，故数列{b n}是等比数列．(2)解：若{a n}是等比数列，设其公比为q(q≠0)，当n=2时，S2=2λa2+μa1，即a1+a2=2λa2+μa1，得1+q=2λq+μ，①当n=3时，S3=3λa3+μa2，即a1+a2+a3=3λa3+μa2，得1+q+q2=3λq2+μq，②当n=4时，S4=4λa4+μa3，即a1+a2+a3+a4=4λa4+μa3，得1+q+q2+q3=4λq3+μq2，③②-①×q，得1=λq2，③-②×q，得1=λq3，解得q=1，λ=1．代入①式，得μ=0．此时S n=na n，(n≥2)，所以若{a n}是以a1=2公比为1的等比数列，则λ=1，μ=0．(3)证明：若a2=3，由a1+a2=2λa2+μa1，得5=6λ+2μ，又λ+μ=32，解得λ=12，μ=1．由a1=2，a2=3，λ=12，μ=1，代入S n=λna n+μa n−1得a5=4，所以a1，a2，a3成等差数列，由S n=n2a n+a n−1，得S n+1=n+12a n+1+a n，两式相减得：a n+1=n+12a n+1−n2a n+a n−a n−1，即(n−1)a n+1−(n−2)a n−2a n−1=0，所以na n+2−(n−1)a n+1−2a n=0，相减得：na n+2−2(n−1)a n+1+(n−2)a n−2a n+2a n−1=0，所以n(a n+2−2a n+1+a n)+2(a n+1−2a n+a n−1)=0，所以a n+2−2a n+1+a n=−2n (a n+1−2a n+a n−1)=22n(n−1)(a n−2a n−1+a n−2)=...=(−2)n−1n(n−1)⋯2(a3−2a2+a1)，因为a3−2a2+a1=0，所以a n+2−2a n+1+a n=0，即数列{a n}是等差数列．【考点】数列递推式等比关系的确定等差关系的确定【解析】（1）利用数列的递推关系，结合等比数列的定义进行证明即可．（2）根据等比数列的性质建立方程关系进行求解．（3）利用数列的递推关系，结合等差数列的定义进行证明．【解答】(1)证明：若λ=0，μ=4，则当S n=4a n−1(n≥2)，所以a n+1=S n+1−S n=4(a n−a n−1)，即a n+1−2a n=2(a n−2a n−1)，所以b n=2b n−1，又由a1=2，a1+a2=4a1，得a2=3a1=6，a2−2a1=2≠0，即b n≠0，所以b nb n−1=2，故数列{b n}是等比数列．(2)解：若{a n}是等比数列，设其公比为q(q≠0)，当n=2时，S2=2λa2+μa1，即a1+a2=2λa2+μa1，得1+q=2λq+μ，①当n=3时，S3=3λa3+μa2，即a1+a2+a3=3λa3+μa2，得1+q+q2=3λq2+μq，②当n=4时，S4=4λa4+μa3，即a1+a2+a3+a4=4λa4+μa3，得1+q+q2+q3=4λq3+μq2，③②-①×q，得1=λq2，③-②×q，得1=λq3，解得q=1，λ=1．代入①式，得μ=0．此时S n=na n，(n≥2)，所以若{a n}是以a1=2公比为1的等比数列，则λ=1，μ=0．(3)证明：若a2=3，由a1+a2=2λa2+μa1，得5=6λ+2μ，又λ+μ=32，解得λ=12，μ=1．由a1=2，a2=3，λ=12，μ=1，代入S n=λna n+μa n−1得a5=4，所以a1，a2，a3成等差数列，由S n=n2a n+a n−1，得S n+1=n+12a n+1+a n，两式相减得：a n+1=n+12a n+1−n2a n+a n−a n−1，即(n−1)a n+1−(n−2)a n−2a n−1=0，所以na n+2−(n−1)a n+1−2a n=0，相减得：na n+2−2(n−1)a n+1+(n−2)a n−2a n+2a n−1=0，所以n(a n+2−2a n+1+a n)+2(a n+1−2a n+a n−1)=0，所以a n+2−2a n+1+a n=−2n (a n+1−2a n+a n−1)=22n(n−1)(a n−2a n−1+a n−2)=...=(−2)n−1n(n−1)⋯2(a3−2a2+a1)，因为a3−2a2+a1=0，所以a n+2−2a n+1+a n=0，即数列{a n}是等差数列．【选做题】本题包括21，22，23，24四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：AB2=BE⋅BD−AE⋅AC．【答案】证明：如图所示，连接AD，BC．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90∘．∵EF⊥FB，∴∠EFB=90∘=∠ADB，∴ A ，D ，E ，F 四点共圆，∴ BD ⋅BE =AB ⋅BF =AB ⋅(AB +AF)=AB 2+AB ⋅AF ．在△EFA 与△BCA 中，∠EAF =∠BAC ，∠EFA =∠BCA ， ∴ △EFA ∼△BCA ，∴ AEAB =AFAC ，∴ AB ⋅AF =AE ⋅AC ．∴ AB 2=BE ⋅BD −AE ⋅AC ．【考点】与圆有关的比例线段相似三角形的性质相似三角形的判定【解析】如图所示，连接AD ，BC ．由AB 是圆O 的直径，可得∠ADB ＝∠ACB ＝90∘．由EF ⊥FB ，可得四点A 、D 、E 、F 共圆，利用切割线定理：BD ⋅BE ＝AB ⋅BF ＝AB ⋅(AB +AF)＝AB 2+AB ⋅AF ．由已知可得：△EFA ∽△BCA ．可得AB ⋅AF ＝AE ⋅AC ．即可证明．【解答】证明：如图所示，连接AD ，BC ．∵ AB 是圆O 的直径，∴ ∠ADB =∠ACB =90∘． ∵ EF ⊥FB ，∴ ∠EFB =90∘=∠ADB ， ∴ A ，D ，E ，F 四点共圆，∴ BD ⋅BE =AB ⋅BF =AB ⋅(AB +AF)=AB 2+AB ⋅AF ．在△EFA 与△BCA 中，∠EAF =∠BAC ，∠EFA =∠BCA ， ∴ △EFA ∼△BCA ，∴ AEAB =AFAC ，∴ AB ⋅AF =AE ⋅AC ． ∴ AB 2=BE ⋅BD −AE ⋅AC ． [选修4-2：矩阵及变换]已知矩阵A =[100−1]，B =[4123]，若矩阵M =BA ，求矩阵M 的逆矩阵M −1．【答案】解：M =BA =[4123][100−1]=[4−12−3]，所以矩阵M 的逆矩阵M −1=[310−11015−25]．【考点】逆变换与逆矩阵【解析】根据矩阵的乘法，求得M ，根据二阶矩阵的逆矩阵的求法，即可求得矩阵M 的逆矩阵M −1．【解答】解：M =BA =[4123][100−1]=[4−12−3]，所以矩阵M 的逆矩阵M −1=[310−11015−25]． [选修4-4：坐标系与参数方程]以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线l:{x =1+2ty =1−2t （t 为参数）与圆C:ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ=0的位置关系．【答案】解：把直线方程l {x =1+2ty =1−2t （t 为参数），转化为普通方程为x +y =2．将圆C:ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ=0转化为：x 2+2x +y 2−2y =0，即：(x +1)2+(y −1)2=2．圆C 到直线l 的距离d =√2=√2，所以直线l 与C 相切．【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线的参数方程直线与圆的位置关系【解析】首先把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化，再利用点到直线的距离公式求出直线和远的位置关系．【解答】解：把直线方程l {x =1+2ty =1−2t （t 为参数），转化为普通方程为x +y =2．将圆C:ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ=0转化为：x 2+2x +y 2−2y =0，即：(x +1)2+(y −1)2=2．圆C 到直线l 的距离d =2=√2，所以直线l 与C 相切． [选修4-5：不等式选讲]已知a ，b ，c ，d 都是正实数，且a +b +c +d =1，求证：a 21+a+b 21+b +c 21+c +d 21+d ≥15．【答案】证明：∵ a ，b ，c ，d 都是正实数，且a +b +c +d =1； ∴ [(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)](a 21+a+b 21+b +c 21+c +d 21+d ) ≥(√1+a a√1+a√1+b b √1+b√1+c ⋅c √1+c+√1+d d √1+d)2=(a +b +c +d)2=1当且仅当(1+a)2a2=(1+b)2b2=(1+c)2c2=(1+d)2d2等号成立；又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)=4+a+b+c+d=5；∴a21+a +b21+b+c21+c+d21+d≥15．【考点】不等式的证明【解析】由a，b，c，d都是正实数，并且a+b+c+d＝1，根据柯西不等式即可得出[(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)](a21+a +b21+b+c21+c+d21+d)≥1，从而可得出a21+a+b21+b+c2 1+c +d21+d≥15．【解答】证明：∵a，b，c，d都是正实数，且a+b+c+d=1；∴[(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)](a21+a +b21+b+c21+c+d21+d)≥(√1+a√1+a √1+b√1+b√1+c⋅√1+c+√1+d√1+d)2=(a+b+c+d)2=1当且仅当(1+a)2a2=(1+b)2b2=(1+c)2c2=(1+d)2d2等号成立；又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)=4+a+b+c+d=5；∴a21+a +b21+b+c21+c+d21+d≥15．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB=1，AA1=2，E，F，G分别是AA1，AC和A1C1的中点．以{FA→, FB→, FG→}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F−xyz．(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值；(2)求二面角F−BC1−C的余弦值．【答案】解：(1)因为AB=1，AA1=2，则F(0, 0, 0)，A(12, 0, 0)，C(−12, 0, 0)，B(0, √32, 0)，E(12, 0, 1)，所以AC →=(−1, 0, 0)，BE →=(12,−√32, 1)，记直线AC 和BE 所成角为α，则cosα=|cos <AC →,BE →>|=−1×12(12)+(−√32)=√24，所以直线AC 和BE 所成角的余弦值为√24．(2)设平面BFC 1的法向量为m →=(x, y, z)，因为FB →=(0, √32, 0)，FC 1→=(−12,0,2)，则{m →⋅FB →=√32y =0m →⋅FC 1→=−12x +2z =0，取x =4，得m →=(4, 0, 1)，设平面BCC 1的一个法向量为n →=(x, y, z)，因为CB →=(12,√32, 0)，CC 1→=(0, 0, 2)，则{n →⋅CB →=12x +√32y =0n →⋅CC 1→=2z =0 ，取x =√3，得n →=(√3,−1,0)， ∴ cos <m →,n →>=√3√4⋅√17=2√5117，根据图形可知二面角F −BC 1−C 为锐二面角，所以二面角F −BC 1−C 的余弦值为2√5117．【考点】用空间向量求平面间的夹角用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】（1）求出AC →=(−1, 0, 0)，BE →=(12,−√32, 1)，由此能求出直线AC 和BE 所成角的余弦值．（2）求出平面BFC 1的法向量和平面BCC 1的一个法向量，利用向量法能求出二面角F −BC 1−C 的余弦值．【解答】解：(1)因为AB =1，AA 1=2，则F(0, 0, 0)，A(12, 0, 0)，C(−12, 0, 0)， B(0, √32, 0)，E(12, 0, 1)，所以AC →=(−1, 0, 0)，BE →=(12,−√32, 1)，记直线AC 和BE 所成角为α，则cosα=|cos <AC →,BE →>|=−1×12(12)+(−√32)=√24，所以直线AC 和BE 所成角的余弦值为√24．(2)设平面BFC 1的法向量为m →=(x, y, z)，因为FB →=(0, √32, 0)，FC 1→=(−12,0,2)，则{m →⋅FB →=√32y =0m →⋅FC 1→=−12x +2z =0 ，取x =4，得m →=(4, 0, 1)，设平面BCC 1的一个法向量为n →=(x, y, z)，因为CB →=(12,√32, 0)，CC 1→=(0, 0, 2)，则{n →⋅CB →=12x +√32y =0n →⋅CC 1→=2z =0 ，取x =√3，得n →=(√3,−1,0)， ∴ cos <m →,n →>=√3√4⋅√17=2√5117，根据图形可知二面角F −BC 1−C 为锐二面角，所以二面角F −BC 1−C 的余弦值为2√5117．在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C:y 2=4x 于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)若直线l 1与曲线E 相切于点Q(s, t)，过Q 且垂直于l 1的直线为l 2，直线l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小时，求s 的值．【答案】解：(1)因为抛物线C 的方程为y 2=4x ，所以F 的坐标为(1, 0)，设M(m, n)，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴，所以圆M 的半径为|n|，点P(n 2, 2n)，则直线PF 的方程为y2n =x−1n 2−1，即2n(x −1)−y(n 2−1)=0，所以2222=|n|，又m ，n ≠0，所以|2m −n 2−1|=n 2+1，即n 2−m +1=0，所以E 的方程为y 2=x −1，(y ≠0). (2)设Q(t 2+1, t)，A(0, y 1)，B(0, y 2)，由(1)知，点Q 处的切线l 1的斜率存在，由对称性不妨设t >0，由y′=2√x−1，所以k AQ =t−y 1t 2+1=2√t 2+1−1=12t ， k BQ =t−y2t 2+1=−2√t 2+1−1=−2t ，所以y 1=t 2−12t ，y 2=2t 3+3t ，所以AB =|2t 3+3t −t2+12t |=2t 3+52t +12t ，t >0．令f(t)=2t 3+52t +12t ，t >0，则f′(t)=6t 2+52−12t2=12t 4+5t 2−12t 2，由f′(t)>0得t >√−5+√7324，由f′(t)<0得0<t <√−5+√7324，所以f(t)在区间(0, √−5+√7324)单调递减，在(√−5+√7324单调递增，所以当t =√−5+√7324时，f(t)取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值，此时s =t 2+1=19+√7324．【考点】直线与抛物线结合的最值问题利用导数研究函数的最值轨迹方程【解析】（1）根据题意可得PF 的方程2n(x −1)−y(n 2−1)=0，根据距离即可求出，（2）点Q 处的切线l 1的斜率存在，由对称性不妨设t >0，根据导数的几何意义和斜率公式，求|AB|，并构造函数，利用导数求出函数的最值．【解答】解：(1)因为抛物线C 的方程为y 2=4x ，所以F 的坐标为(1, 0)，设M(m, n)，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴，所以圆M 的半径为|n|，点P(n 2, 2n)，则直线PF 的方程为y2n =x−1n 2−1，即2n(x −1)−y(n 2−1)=0，所以2222=|n|，又m ，n ≠0，所以|2m −n 2−1|=n 2+1，即n 2−m +1=0，所以E 的方程为y 2=x −1，(y ≠0). (2)设Q(t 2+1, t)，A(0, y 1)，B(0, y 2)，由(1)知，点Q 处的切线l 1的斜率存在，由对称性不妨设t >0，由y′=2√x−1，所以k AQ =t−y 1t 2+1=2√t 2+1−1=12t ， k BQ =t−y2t 2+1=−2√t 2+1−1=−2t ，所以y 1=t 2−12t ，y 2=2t 3+3t ，所以AB =|2t 3+3t −t2+12t |=2t 3+52t +12t ，t >0．令f(t)=2t 3+52t +12t ，t >0，则f′(t)=6t 2+52−12t2=12t 4+5t 2−12t 2，由f′(t)>0得t >√−5+√7324，由f′(t)<0得0<t <√−5+√7324，所以f(t)在区间(0, √−5+√7324)单调递减，在(√−5+√7324单调递增，所以当t =√−5+√7324时，f(t)取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值，此时s=t2+1=19+√73．24。

江苏省徐州市铜山区2018届高考模拟(三)数学试题(含答案)

02While 41End While Pr intS I I I I S S I S←←←+←+≤（第4题）2018届铜山区高考模拟卷(三)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相．．．．应位置上．．．．） 1. 知集合{}|02A x x =<<，B ={2|x x 1<}，则A ∩B = ▲ ．2. 知复数z 满足i 1i z =+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在第 ▲ 象限.3. 人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数)，则该组数据的方差2s 的值为 ▲ ．4. 据右图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．5.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则向上的点数之差的绝对值．．．是2的概率为 ▲ ． 6. 实数y x ,满足0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥，则32x y +的最大值为 ▲ ．7. 直线+2y x =与双曲线22221-=y x a b的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为 ▲ ． 8. 已知平面α ，β，直线m ，n ，给出下列命题：① 若//m α，//,n m n β⊥，则βα⊥；② 若//αβ，//,//m n αβ，则//m n ； ③ 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥；④ 若βα⊥，,m n αβ⊥⊥，则m n ⊥. 其中是真命题的是 ▲ ．（填写所有真命题的序号）．9. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，且252m a a a +=，则m = ▲ ．10. 等边ABC ∆边长为2，过边BC 上一点P 分别作,AB AC 的垂线，垂足分别为,N M ,则PM PN 的最小值为_________.11. 已知圆O ：222x y r +=（0r >）及圆上的点(,0)A r -，过点A 的直线l 交y 轴于点0,1B （），交圆于另一点C ，若2AB BC =，则直线l 的斜率为．12.设函数2,1()21,1x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩,则满足2(())(())f f a f a <的a 的取值范围为 ▲ ．13.正数,,a b c 满足111a b c +=，若a b t c c b+>+恒成立，则实数t 最大值为__ ▲ ___ 1872212（第3题）14. 当0a >时，若∃x ∈R ，使得2342x xxa --≥成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知1a =，23b =，π6B A -=．（1）求sin A 的值；（2）求c 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面ABP ⊥平面BCP ，90APB ∠=︒，BP BC =，M 为CP 的中点．求证：（1）AP //平面BDM ；（2）BM ACP ⊥平面．17．(本小题满分14分)某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务，为了保证直升飞机的降落准确、安全，在门诊楼AB 和综合楼CD 的楼上安装导航标记，已知两楼的地面距离50AC m =，在,A C 之间取一导航标志观测点P ，当点P 在AC中点时，测得两楼顶导航标记的张角045BPD ∠=，若045ACB ∠=. （1）求两导航标记距离地面的高度AB 、CD ；（2）要使在点P 处看两楼顶导航标记的张角BPD ∠最大，点P 应在何处？ABCDPM（第16题）APBCD18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知A B ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的上、下顶点，点()102M ，为线段AO 的中点，2AB a =.（1）求椭圆的方程；（2）设(2)N t ，（0t ≠），直线NA ，NB 分别交椭圆于点P Q ，，直线NA ，NB ，PQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k .① 求证：P M Q ，，三点共线；② 求证：132312k k k k k k +-为定值.19.（本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项1a a =（0a >），其前n 项和为n S ，设1n n nb a a +=+（n *∈N ）．数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2n T n =．（1）求证：数列{}n b 的任意连续三项不成等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若对N n *∀∈，且2n ≥，不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +---≥恒成立，求a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数()f x x a =-，()ln g x x b =-，,a b R ∈ （1）若0b =，()(0f x g x ≥）恒成立，求实数a 的值；（2）若0a =，(()()g x h x f x =），求证：函数()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点；（3）若0a =，12tb =+，若1122()(=()(f x g x f x g x ）），12x x ≠，求证：12t x x e <．xyO M NA （第18题）BP Q数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ．若DA = DC ，求证：AB = 2BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知,a b R ∈，向量为21α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵21a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值3-的一个特征向量．（1）求矩阵A 的另一个特征值；（2）求矩阵A 的逆矩阵1A -．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos()4πρθ=-．求直线l 被曲线C 所截得的弦长．D ．[选修4-5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知实数x ，y ，z 满足x + y + z = 2，求22232z y x ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ，求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在各项均不相同的数列1a ，2a ，3a ，…，n a *(n N ∈）中，任取k (k N ∈,且)k n ≤项变动位置，其余n k -项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为()n P k ．（1）求4444(0)(1)(2)(3)P P P P +++的值；（2）求5(5)P 的值；（3）设1()n n n k A kP n k ==-∑，求证：10(1)()nn n k A n P n k +==+-∑．2018届铜山区高考模拟卷(三)参考答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题．． 1.{}|01x x <<． 2. 四 3. 2254. 125. 296. 37.2 8．③④9. 8 10. 38- 11. 33 12. 1a < 13. 2 14. 1902a <≤或2a ≥二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14分)解析：（1）在△ABC 中，因为1a =，23b =，π6B A -=，由正弦定理得，()231sin πsin 6A A =+， ………………… 2分于是ππ23sin sin cos cos sin 66A A A =+，即33sin cos A A =， ………………… 4分又22sin cos 1A A +=，所以7sin 14A =． ………………… 6分（2）由（1）知，321cos 14A =，则33sin 22sin cos 14A A A ==，213cos212sin 14A A =-=， …………… …… 10分在△ABC 中，因为πA B C ++=，π6B A -=，所以5π26C A =-．则()5πsin sin 26C A =-5π5πsin cos2cos sin 266A A =-333113214214=⨯+⨯1114=． …………………12分由正弦定理得，sin 117sin 7a C c A ==． …………… …… 14分16．（本小题满分14分）（1）设AC 与BD 交于点O ，连结OM ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点，………2分因为M 为CP 的中点，所以AP ∥OM ，…………………4分CDPMO又AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，所以AP ∥平面BDM ．…………………………7分（2）平面ABP ⊥平面BCP ，交线为BP ，因为90APB ∠=︒，故A P B P ⊥，因为AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP ，……………9分因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥BM ． ……………11分因为BP BC =，M 为CP 的中点，所以BM CP ⊥．……12分因为APCP P =，AP CP ⊂，平面ACP ，所以BM ⊥平面ACP ，……………………………………………………………14分 17．(本小题满分14分)（1）因为点P 是AC 中点，50AC =，所以25AP PC ==，在Rt ABC ∆中，50AC =，045ACB ∠=，可得50AB AC ==, 在Rt APB ∆中，50tan 225AB APB AP ∠===，在Rt CPD ∆中，tan 25CD CDDPC PC ∠==，因为045BPD ∠=，所以0135APB DPC ∠+∠=，于是2tan tan 25tan()11tan tan 1225CDAPB DPC APB DPC CDAPB DPC +∠+∠∠+∠===--∠⋅∠-⋅，解得75CD =．（2）设AP x =，则50PC x =-，在Rt APB ∆中，50tan AB APB AP x ∠==，在Rt CPD ∆中，75tan 50CD DPC PC x∠==-，于是0tan =tan(180)tan()BPD APB DPC APB DPC ∠-∠-∠=-∠+∠ 25075tan tan 25(100)50=50751tan tan 505075150APB DPC x x x APB DPC x x x x+∠+∠+--=-=-∠⋅∠-+⨯-⋅-，设100x t +=，则2225tan ()2502530tBPD f t t t ∠==-+⨯，2225251()2530230102530+2502250f t t t t t=≤=⨯-⨯-⋅-，当且仅当22530=t t ⨯不等式取等号，于是当=2530t 时，函数()f t 取最大值，此时1002530x +=，2530100x =-，又因为2225025300t t -+⨯>恒成立，所以tan ()0BPD f t ∠=> 从而(0,)2BPD π∠∈，而正切函数在(0,)2π上为增函数，所以当()f t 取最大值时BPD ∠也最大，答：（1）两导航标记距离地面的高度AB 、CD 分别为50,75m m ；（2）当2530100AP m =-时，在点P 处看两楼顶导航标记的张角BPD ∠最大．18. （本小题满分16分）（1）由题意知，124()22b b a =-=，解得2a =，1b =，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）① 由(2)N t ，，(01)A ，，(01)B -，，则直线NA 的方程为11y x t =+，直线NB 的方程为31y x t=-.由221122y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得，222422.2t x t t y t ⎧=-⎪+⎨-⎪=+⎩，，故()2224222t t t t P --++，. 由223122y x t x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得，222121818.18t x t t y t ⎧=⎪+⎨-⎪=+⎩，，故()22212181818t t t t Q -++，. 所以直线PM 的斜率222221262482PMt t t k t t t ---+==-+，直线QM 的斜率2222181261812818QMt t t k t t t ---+==+，所以PM QM k k =，故P M Q ，，三点共线.② 由①知，11k t =，213k t =，2368t k t -=. 所以21323122463182t k k k k k k t t t-+-=⨯-=-，所以132312k k k k k k +-为定值12-.19．（本小题满分16分）解：（1）由2n T n =，得121n n n b T T n -=-=-（2n ≥），由于11b =符合上式，所以21n b n =-（n *∈N ）， …… 2分假设存在{}n b 的连续三项11,,k k k b b b -+ （,2k k *∈≥N ）成等比数列，则211=k k k b b b -+，即()()()2212321k k k -=-+可得22441443k k k k -+=-- ，这不可能，所以假设不成立，从而数列{}n b 的任意连续三项不成等比数列. …… 5分（2）由（1）得， 121n n n a a b n ++==-．所以1(1)()n n a n a n +--=--，即11(1)n n a na n +-=---， …… 7分所以数列{}(1)n a n --为等比数列，且公比为1-，因为10a a =>，所以1(1)(1)n n a a n -=⋅-+-（n *∈N ）． …… 10分（3）不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +---≥即为11()12(1)n n n n a a a a n ++-++-≥，由于121n n a a n ++=-，所以不等式即为10n n a a +≥．当n 是奇数时，(1)n a a n =+-，1n a a n +=-+，所以[]21(1)()(1)0n n a a a n a n a a n n +=+-⋅-+=-++-≥，即2(1)a a n n -+--≥对n *∀∈N ，且2n ≥恒成立，所以26a a -+-≥，解得23a -≤≤． …… 13分当n 为偶数时，(1)n a a n =-+-，1n a a n +=+，由10n n a a +≥，得2(1)a a n n ----≥对n *∀∈N ，且2n ≥恒成立，所以22a a ---≥，解得21a -≤≤，因为0a >，所以a 的取值范围是01a <≤． …… 16分20．（本小题满分16分）（1）若0b =， ()g()()ln 0f x x x a x =-≥恒成立，当ln 0x ≥时，即1x ≥时，0x a -≥恒成立，于是x a ≥，min a x ≤（），从而1a ≤；当ln 0x <时，即01x <<时，0x a -≤恒成立，于是x a ≤，max a x ≥（），从而1a ≥；综上所述，1a =．（2）若0a =，(ln ()()g x x bh x f x x-==），因为21ln ()b x h x x +-'=，令21ln ()0b xh x x+-'=>，解得1b x e +<，于是()h x 在1(0,)b e +上递增，在1(+)b e +∞，上递减，从而在1b x e +=处取极大值，这样1max 11()()0b b h x h e e ++==>，又111()0b b h e e---=<，所以()h x 在1(0,)b e +上有唯一零点；而在1(+)b e +∞，上，因为1ln ln 10b x b e b +->-=>，于是ln ()0x bh x x-=>，从而()h x 在1(,)b e ++∞上没有零点，综上所述，函数()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点．（3）若0a =，()g()(ln )f x x x x b =-由1122()(=()(f x g x f x g x ））得1122(ln )(ln )x x b x x b -=-，即112212ln ln ()x x x x x x b -=-，一方面1121212212ln ln ln ln ()x x x x x x x x x x b -+-=-，即11212122ln ln ()x x x x x x x b x -+=-（）（）另一方面1112122212ln ln ln ln ()x x x x x x x x x x b -+-=-，即11221122ln ln ()x x x x x x x b x -+=-（）（）两式相加得1121212122ln ln ))ln 2()x x x x x x x x x b x -++=-（）(（+（），因为12x x ≠，所以12112122ln ln 2ln x x xx x b x x x +=--+（）要证明12t x x e <，只要证12ln x x t <，即证12ln ln x x t +<，从而只要证1211222ln x x xb x x x --+（）<t 又因为12tb =+，所以只要证121122ln x x x x x x -+（）>2，即证12112221ln 1x x x x x x -+（）>2不妨设12x x >，12x u x =，于是只要证当1u >时，1ln 1u u u -+>2 只要证1ln 1u u u >-（+）2（），即证1ln 2u u u ->-（+）2 记()1ln p u u u u =-（+）2，则11()ln 2ln 1u p u u u u u'=+-=+-+，记1()ln 1q u u u =+-，因为22111()0u q u u u u-'=-=>，所以()q u 在(1,)+∞上递增，从而()(1)0q u q >=，即()0p u '>，于是()p u 在(1,)+∞上递增，()(1)2p u p >=-，这样1ln 2u u u ->-（+）2得证，所以12t x x e <．数学Ⅱ（附加题）参考答案21．A ．证明：连接OD因为DC 为切线且点D 为切点，所以BDC BAD ∠=∠ 因为OA=OD所以OAD ODA ∠=∠ 又因为AD=DC所以BCD OAD ∠=∠ 故OAD BDC ≅ 所以BC=OD=R从而AB=2BC ……………10分B ．解：（1）由条件得，2223111a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 226,213,a b -+=⎧∴⎨-+=-⎩，解得2,2.a b =-⎧⎨=⎩………2分因为矩阵2221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以特征多项式为()2221f λλλ+-=-- ()2(2)146λλλλ=+--=+-， ………4分令()0f λ=，解得3,2λλ=-=．所以矩阵A 的另一个特征值为2． ………5分（2）因为22det()(2)122621A -==-⨯-⨯=-， ………7分所以11211666322116633A -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦． ………10分 C ．解：把曲线C 的极坐标方程22cos()4πρθ=-化为直角坐标方程为：22220x y x y +--=，即22(1)(1)2x y -+-=， ………2分∴曲线C 表示的是圆心(1,1)C ，半径为2的圆． ………4分直线l 的参数方程415315x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为3410x y +-=， ………6分∴圆心C 到直线l 的距离为65， ………8分直线l 被曲线C 所截得的弦长为3621422255-=． ………10分（说明：也可以用直线参数方程的几何意义去完成） D ．证明：由柯西不等式可知22222221111(231)[()()1](23)2323x y z x y z ⋅+⋅+⋅≤++++ 所以2222()24231111123x y z x y z ++++≥=++ ，当且仅当1112,114,116===z y x 时取等号． ………10分 22．解：（1）由已知有1123432101()3C C C P A C +==，所以事件A 的发生的概率为13．…3分（2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2． ………4分2223342104(0)15C C C P X C ++===；111133342107(1)15C C C C P X C +===； 11342104(2)15C C P X C === ． ………6分所以随机变量X 的分布列为 X0 1 2 P 415 715 415………8分数学期望()1E X =． ………10分23．解：（1）21444444(0)(1)(2)(3)00214P P P P C C +++=+++=． ………2分（2）111543322(5)[(3)((2))]44P C P C P C =++=． ………4分（3）证明：()()k n n n k P n k C P n k --=-，11k k n n kC nC --=，∴11111()()(0)()(0)n n n k n n n n nn k n k k k A kP n k kP n k nP kC P n k nP ---====-=-+=-+∑∑∑ 11111111()(0)()(0)n n k k n n k n n n k n k k nCP n k nP n C P n k nP --------===-+=-+∑∑， 1(0)(0)0n n P P +==∴1n A +=1111(1)(1)(1)(0)nk n n k n k n C P n k n P -+-+=++-++∑ 1(1)11(1)((1))(1)(0)nk n n k n k n C P n k n P ---+==+--++∑ 10(1)()(0)n k n n k n k n C P n k nP --==+-+∑(1)()n n k n P n k ==+-∑． ………10分。

江苏省徐州市铜山区2018届高考模拟(三)数学试题(含答案)

02While 41End While Pr intS I I I I S S I S←←←+←+≤（第4题）2018届铜山区高考模拟卷(三)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．） 1. 知集合{}|02A x x =<<，B ={2|x x 1<}，则A ∩B = ▲ ．2. 知复数z 满足i 1i z =+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在第 ▲ 象限.3. 人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数)，则该组数据的方差2s 的值为 ▲ ．4. 据右图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．5.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则向上的点数之差的绝对值．．．是2的概率为 ▲ ． 6. 实数y x ,满足0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥，则32x y +的最大值为 ▲ ．7. 直线+2y x =与双曲线22221-=y x a b的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为 ▲ ． 8. 已知平面α ，β，直线m ，n ，给出下列命题：① 若//m α，//,n m n β⊥，则βα⊥；② 若//αβ，//,//m n αβ，则//m n ； ③ 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥；④ 若βα⊥，,m n αβ⊥⊥，则m n ⊥. 其中是真命题的是 ▲ ．（填写所有真命题的序号）．9. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，且252m a a a +=，则m = ▲ ．10. 等边ABC ∆边长为2，过边BC 上一点P 分别作,AB AC 的垂线，垂足分别为,N M ,则PM PN 的最小值为_________.11. 已知圆O ：222x y r +=（0r >）及圆上的点(,0)A r -，过点A 的直线l 交y 轴于点0,1B （），交圆于另一点C ，若2AB BC =，则直线l 的斜率为．12.设函数2,1()21,1x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩,则满足2(())(())f f a f a <的a 的取值范围为 ▲ ．13.正数,,a b c 满足111a b c +=，若a b t c c b+>+恒成立，则实数t 最大值为__ ▲ ___ 14. 当0a >时，若∃x ∈R ，使得2342x xxa --≥成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .1872212（第3题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知1a =，23b =，π6B A -=．（1）求sin A 的值；（2）求c 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面ABP ⊥平面BCP ，90APB ∠=︒，BP BC =，M 为CP 的中点．求证：（1）AP //平面BDM ；（2）BM ACP ⊥平面．17．(本小题满分14分)某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务，为了保证直升飞机的降落准确、安全，在门诊楼AB 和综合楼CD 的楼上安装导航标记，已知两楼的地面距离50AC m =，在,A C 之间取一导航标志观测点P ，当点P 在AC 中点时，测得两楼顶导航标记的张角045BPD ∠=，若045ACB ∠=. （1）求两导航标记距离地面的高度AB 、CD ；（2）要使在点P 处看两楼顶导航标记的张角BPD ∠最大，点P 应在何处？18. （本小题满分16分）ABCDPM（第16题）APBCD在平面直角坐标系xOy 中，已知A B ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的上、下顶点，点()102M ，为线段AO的中点，2AB a =.（1）求椭圆的方程；（2）设(2)N t ，（0t ≠），直线NA ，NB 分别交椭圆于点P Q ，，直线NA ，NB ，PQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k .① 求证：P M Q ，，三点共线；② 求证：132312k k k k k k +-为定值.19.（本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项1a a =（0a >），其前n 项和为n S ，设1n n n b a a +=+（n *∈N ）．数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2n T n =．（1）求证：数列{}n b 的任意连续三项不成等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若对N n *∀∈，且2n ≥，不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +---≥恒成立，求a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数()f x x a =-，()ln g x x b =-，,a b R ∈ （1）若0b =，()(0f x g x ≥）恒成立，求实数a 的值；（2）若0a =，(()()g x h x f x =），求证：函数()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点；（3）若0a =，12tb =+，若1122()(=()(f x g x f x g x ）），12x x ≠，求证：12t x x e <．数学Ⅱ(附加题)xyO MNA（第18题）BPQ21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ．若DA = DC ，求证：AB = 2BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知,a b R ∈，向量为21α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵21a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值3-的一个特征向量．（1）求矩阵A 的另一个特征值；（2）求矩阵A 的逆矩阵1A -．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos()4πρθ=-．求直线l 被曲线C 所截得的弦长．D ．[选修4-5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知实数x ，y ，z 满足x + y + z = 2，求22232z y x ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ，求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在各项均不相同的数列1a ，2a ，3a ，…，n a *(n N ∈）中，任取k (k N ∈,且)k n ≤项变动位置，其余n k -项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为()n P k ．（1）求4444(0)(1)(2)(3)P P P P +++的值；（2）求5(5)P 的值；（3）设1()n n n k A kP n k ==-∑，求证：10(1)()nn n k A n P n k +==+-∑．2018届铜山区高考模拟卷(三)参考答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题．． 1.{}|01x x <<． 2. 四 3. 2254. 125. 296. 37.2 8．③④9. 8 10. 38- 11. 33 12. 1a < 13. 2 14. 1902a <≤或2a ≥二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14分)解析：（1）在△ABC 中，因为1a =，23b =，π6B A -=，由正弦定理得，()231sin πsin 6A A =+， ………………… 2分于是ππ23sin sin cos cos sin 66A A A =+，即33sin cos A A =， ………………… 4分又22sin cos 1A A +=，所以7sin 14A =． ………………… 6分（2）由（1）知，321cos 14A =，则33sin 22sin cos 14A A A ==，213cos212sin 14A A =-=， …………… …… 10分在△ABC 中，因为πA B C ++=，π6B A -=，所以5π26C A =-．则()5πsin sin 26C A =-5π5πsin cos2cos sin 266A A =-333113214214=⨯+⨯1114=． …………………12分由正弦定理得，sin 117sin 7a C c A ==． …………… …… 14分16．（本小题满分14分）（1）设AC 与BD 交于点O ，连结OM ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点，………2分因为M 为CP 的中点，所以AP ∥OM ，…………………4分又AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，所以AP ∥平面BDM ．…………………………7分（2）平面ABP ⊥平面BCP ，交线为BP ，ABCDPM（第16题）O因为90APB ∠=︒，故A P B P ⊥，因为AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP ，……………9分因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥BM ． ……………11分因为BP BC =，M 为CP 的中点，所以BM CP ⊥．……12分因为APCP P =，AP CP ⊂，平面ACP ，所以BM ⊥平面ACP ，……………………………………………………………14分 17．(本小题满分14分)（1）因为点P 是AC 中点，50AC =，所以25AP PC ==，在Rt ABC ∆中，50AC =，045ACB ∠=，可得50AB AC ==, 在Rt APB ∆中，50tan 225AB APB AP ∠===，在Rt CPD ∆中，tan 25CD CDDPC PC ∠==，因为045BPD ∠=，所以0135APB DPC ∠+∠=，于是2tan tan 25tan()11tan tan 1225CDAPB DPC APB DPC CDAPB DPC +∠+∠∠+∠===--∠⋅∠-⋅，解得75CD =．（2）设AP x =，则50PC x =-，在Rt APB ∆中，50tan AB APB AP x ∠==，在Rt CPD ∆中，75tan 50CD DPC PC x∠==-，于是0tan =tan(180)tan()BPD APB DPC APB DPC ∠-∠-∠=-∠+∠ 25075tan tan 25(100)50=50751tan tan 505075150APB DPC x x x APB DPC x x x x+∠+∠+--=-=-∠⋅∠-+⨯-⋅-，设100x t +=，则2225tan ()2502530tBPD f t t t ∠==-+⨯，2225251()2530230102530+2502250f t t t t t=≤=⨯-⨯-⋅-，当且仅当22530=t t ⨯不等式取等号，于是当=2530t 时，函数()f t 取最大值，此时1002530x +=，2530100x =-，又因为2225025300t t -+⨯>恒成立，所以tan ()0BPD f t ∠=> 从而(0,)2BPD π∠∈，而正切函数在(0,)2π上为增函数，所以当()f t 取最大值时BPD ∠也最大，答：（1）两导航标记距离地面的高度AB 、CD 分别为50,75m m ；（2）当2530100AP m =-时，在点P 处看两楼顶导航标记的张角BPD ∠最大．18. （本小题满分16分）（1）由题意知，124()22b b a =-=，解得2a =，1b =，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）① 由(2)N t ，，(01)A ，，(01)B -，，则直线NA 的方程为11y x t =+，直线NB 的方程为31y x t=-.由221122y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得，222422.2t x t t y t ⎧=-⎪+⎨-⎪=+⎩，，故()2224222t t t t P --++，. 由223122y x t x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得，222121818.18t x t t y t ⎧=⎪+⎨-⎪=+⎩，，故()22212181818t t t t Q -++，. 所以直线PM 的斜率222221262482PMt t t k t t t ---+==-+，直线QM 的斜率2222181261812818QMt t t k t t t ---+==+，所以PM QM k k =，故P M Q ，，三点共线.② 由①知，11k t =，213k t =，2368t k t -=.所以21323122463182t k k k k k k t t t-+-=⨯-=-，所以132312k k k k k k +-为定值12-.19．（本小题满分16分）解：（1）由2n T n =，得121n n n b T T n -=-=-（2n ≥），由于11b =符合上式，所以21n b n =-（n *∈N ）， …… 2分假设存在{}n b 的连续三项11,,k k k b b b -+ （,2k k *∈≥N ）成等比数列，则211=k k k b b b -+，即()()()2212321k k k -=-+可得22441443k k k k -+=-- ，这不可能，所以假设不成立，从而数列{}n b 的任意连续三项不成等比数列. …… 5分（2）由（1）得， 121n n n a a b n ++==-．所以1(1)()n n a n a n +--=--，即11(1)n n a na n +-=---， …… 7分所以数列{}(1)n a n --为等比数列，且公比为1-，因为10a a =>，所以1(1)(1)n n a a n -=⋅-+-（n *∈N ）． …… 10分（3）不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +---≥即为11()12(1)n n n n a a a a n ++-++-≥，由于121n n a a n ++=-，所以不等式即为10n n a a +≥．当n 是奇数时，(1)n a a n =+-，1n a a n +=-+，所以[]21(1)()(1)0n n a a a n a n a a n n +=+-⋅-+=-++-≥，即2(1)a a n n -+--≥对n *∀∈N ，且2n ≥恒成立，所以26a a -+-≥，解得23a -≤≤． …… 13分当n 为偶数时，(1)n a a n =-+-，1n a a n +=+，由10n n a a +≥，得2(1)a a n n ----≥对n *∀∈N ，且2n ≥恒成立，所以22a a ---≥，解得21a -≤≤，因为0a >，所以a 的取值范围是01a <≤． …… 16分20．（本小题满分16分）（1）若0b =， ()g()()ln 0f x x x a x =-≥恒成立，当ln 0x ≥时，即1x ≥时，0x a -≥恒成立，于是x a ≥，min a x ≤（），从而1a ≤；当ln 0x <时，即01x <<时，0x a -≤恒成立，于是x a ≤，max a x ≥（），从而1a ≥；综上所述，1a =．（2）若0a =，(ln ()()g x x bh x f x x-==），因为21ln ()b x h x x +-'=，令21ln ()0b xh x x+-'=>，解得1b x e +<，于是()h x 在1(0,)b e +上递增，在1(+)b e +∞，上递减，从而在1b x e +=处取极大值，这样1max 11()()0b b h x h e e ++==>，又111()0b b h e e ---=<，所以()h x 在1(0,)b e +上有唯一零点；而在1(+)b e +∞，上，因为1ln ln 10b x b e b +->-=>，于是ln ()0x bh x x-=>，从而()h x 在1(,)b e ++∞上没有零点，综上所述，函数()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点．（3）若0a =，()g()(ln )f x x x x b =-由1122()(=()(f x g x f x g x ））得1122(ln )(ln )x x b x x b -=-，即112212ln ln ()x x x x x x b -=-，一方面1121212212ln ln ln ln ()x x x x x x x x x x b -+-=-，即11212122ln ln ()x x x x x x x b x -+=-（）（）另一方面1112122212ln ln ln ln ()x x x x x x x x x x b -+-=-，即11221122ln ln ()x x x x x x x b x -+=-（）（）两式相加得1121212122ln ln ))ln 2()x x x x x x x x x b x -++=-（）(（+（），因为12x x ≠，所以12112122ln ln 2ln x x xx x b x x x +=--+（）要证明12t x x e <，只要证12ln x x t <，即证12ln ln x x t +<，从而只要证1211222ln x x xb x x x --+（）<t 又因为12tb =+，所以只要证121122ln x x x x x x -+（）>2，即证12112221ln 1x x x x x x -+（）>2不妨设12x x >，12x u x =，于是只要证当1u >时，1ln 1u u u -+>2 只要证1ln 1u u u >-（+）2（），即证1ln 2u u u ->-（+）2 记()1ln p u u u u =-（+）2，则11()ln 2ln 1u p u u u u u'=+-=+-+，记1()ln 1q u u u =+-，因为22111()0u q u u u u-'=-=>，所以()q u 在(1,)+∞上递增，从而()(1)0q u q >=，即()0p u '>，于是()p u 在(1,)+∞上递增，()(1)2p u p >=-，这样1ln 2u u u ->-（+）2得证，所以12t x x e <．数学Ⅱ（附加题）参考答案21．A ．证明：连接OD因为DC 为切线且点D 为切点，所以BDC BAD ∠=∠ 因为OA=OD所以OAD ODA ∠=∠ 又因为AD=DC所以BCD OAD ∠=∠ 故OAD BDC ≅ 所以BC=OD=R从而AB=2BC ……………10分B ．解：（1）由条件得，2223111a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 226,213,a b -+=⎧∴⎨-+=-⎩，解得2,2.a b =-⎧⎨=⎩………2分因为矩阵2221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以特征多项式为()2221f λλλ+-=-- ()2(2)146λλλλ=+--=+-， ………4分令()0f λ=，解得3,2λλ=-=．所以矩阵A 的另一个特征值为2． ………5分（2）因为22det()(2)122621A -==-⨯-⨯=-， ………7分所以11211666322116633A -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦． ………10分 C ．解：把曲线C 的极坐标方程22cos()4πρθ=-化为直角坐标方程为：22220x y x y +--=，即22(1)(1)2x y -+-=， ………2分∴曲线C 表示的是圆心(1,1)C ，半径为2的圆． ………4分直线l 的参数方程415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为3410x y +-=， ………6分∴圆心C 到直线l 的距离为65， ………8分直线l 被曲线C 所截得的弦长为3621422255-=． ………10分（说明：也可以用直线参数方程的几何意义去完成）D ．证明：由柯西不等式可知22222221111(231)[()()1](23)2323x y z x y z ⋅+⋅+⋅≤++++ 所以2222()24231111123x y z x y z ++++≥=++ ，当且仅当1112,114,116===z y x 时取等号． ………10分 22．解：（1）由已知有1123432101()3C C C P A C +==，所以事件A 的发生的概率为13．…3分（2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2． ………4分2223342104(0)15C C C P X C ++===；111133342107(1)15C C C C P X C +===； 11342104(2)15C C P X C === ． ………6分所以随机变量X 的分布列为 X0 1 2 P 415 715 415………8分数学期望()1E X =． ………10分23．解：（1）21444444(0)(1)(2)(3)00214P P P P C C +++=+++=． ………2分（2）111543322(5)[(3)((2))]44P C P C P C =++=． ………4分（3）证明：()()k n n n k P n k C P n k --=-，11k k n n kC nC --=，∴11111()()(0)()(0)n n n k n n n n nn k n k k k A kP n k kP n k nP kC P n k nP ---====-=-+=-+∑∑∑ 11111111()(0)()(0)n n k k n n k n n n k n k k nCP n k nP n C P n k nP --------===-+=-+∑∑， 1(0)(0)0n n P P +==∴1n A +=1111(1)(1)(1)(0)n k n n k n k n CP n k n P -+-+=++-++∑ 1(1)11(1)((1))(1)(0)n k n n k n k n C P n k n P ---+==+--++∑ 10(1)()(0)n k nn k n k n C P n k nP --==+-+∑ 0(1)()nn k n P n k ==+-∑． ………10分。

江苏省徐州市铜山区2018届高考模拟(三)数学试题(含答案)

02While 41End While Pr intS I I I I S S I S←←←+←+≤（第4题）2018届铜山区高考模拟卷(三)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．）1. 知集合{}|02A x x =<<，B ={2|x x 1<}，则A ∩B = ▲ ．2. 知复数z 满足i 1i z =+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在第 ▲ 象限.3. 人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数)，则该组数据的方差2s 的值为 ▲ ．4. 据右图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．5.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则向上的点数之差的绝对值．．．是2的概率为 ▲ ． 6. 实数y x ,满足0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥，则32x y +的最大值为 ▲ ．7. 直线+2y x =与双曲线22221-=y x a b的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为 ▲ ． 8. 已知平面α ，β，直线m ，n ，给出下列命题：① 若//m α，//,n m n β⊥，则βα⊥；② 若//αβ，//,//m n αβ，则//m n ； ③ 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥；④ 若βα⊥，,m n αβ⊥⊥，则m n ⊥. 其中是真命题的是 ▲ ．（填写所有真命题的序号）．9. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，且252m a a a +=，则m = ▲ ．10. 等边ABC ∆边长为2，过边BC 上一点P 分别作,AB AC 的垂线，垂足分别为,N M ,则PM PN 的最小值为_________.11. 已知圆O ：222x y r +=（0r >）及圆上的点(,0)A r -，过点A 的直线l 交y 轴于点0,1B （），交圆于另一点C ，若2AB BC =，则直线l 的斜率为．12.设函数2,1()21,1x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩,则满足2(())(())f f a f a <的a 的取值范围为 ▲ ．13.正数,,a b c 满足111a b c +=，若a b t c c b+>+恒成立，则实数t 最大值为__ ▲ ___ 14. 当0a >时，若∃x ∈R ，使得2342x xxa --≥成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .1872212（第3题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知1a =，23b =，π6B A -=．（1）求sin A 的值；（2）求c 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面ABP ⊥平面BCP ，90APB ∠=︒，BP BC =，M 为CP 的中点．求证：（1）AP //平面BDM ；（2）BM ACP ⊥平面．17．(本小题满分14分)某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务，为了保证直升飞机的降落准确、安全，在门诊楼AB 和综合楼CD 的楼上安装导航标记，已知两楼的地面距离50AC m =，在,A C 之间取一导航标志观测点P ，当点P 在AC 中点时，测得两楼顶导航标记的张角045BPD ∠=，若045ACB ∠=. （1）求两导航标记距离地面的高度AB 、CD ；（2）要使在点P 处看两楼顶导航标记的张角BPD ∠最大，点P 应在何处？ABCDPM（第16题）APBCD18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知A B ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的上、下顶点，点()102M ，为线段AO 的中点，2AB a =.（1）求椭圆的方程；（2）设(2)N t ，（0t ≠），直线NA ，NB 分别交椭圆于点P Q ，，直线NA ，NB ，PQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k . ① 求证：P M Q ，，三点共线；② 求证：132312k k k k k k +-为定值.19.（本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项1a a =（0a >），其前n 项和为n S ，设1n n n b a a +=+（n *∈N ）．数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2n T n =．（1）求证：数列{}n b 的任意连续三项不成等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若对N n *∀∈，且2n ≥，不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +---≥恒成立，求a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数()f x x a =-，()ln g x x b =-，,a b R ∈ （1）若0b =，()(0f x g x ≥）恒成立，求实数a 的值；（2）若0a =，(()()g x h x f x =），求证：函数()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点；（3）若0a =，12tb =+，若1122()(=()(f x g x f x g x ）），12x x ≠，求证：12t x x e <．数学Ⅱ(附加题)xyO M N A （第18题）BPQ21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ．若DA = DC ，求证：AB = 2BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知,a b R ∈，向量为21α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵21a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值3-的一个特征向量．（1）求矩阵A 的另一个特征值；（2）求矩阵A 的逆矩阵1A -．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos()4πρθ=-．求直线l 被曲线C 所截得的弦长．D ．[选修4-5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知实数x ，y ，z 满足x + y + z = 2，求22232z y x ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ，求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在各项均不相同的数列1a ，2a ，3a ，…，n a *(n N ∈）中，任取k (k N ∈,且)k n ≤项变动位置，其余n k -项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为()n P k ．（1）求4444(0)(1)(2)(3)P P P P +++的值；（2）求5(5)P 的值；（3）设1()n n n k A kP n k ==-∑，求证：10(1)()nn n k A n P n k +==+-∑．2018届铜山区高考模拟卷(三)参考答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题．． 1.{}|01x x <<． 2. 四 3. 2254. 125. 296. 37.2 8．③④9. 8 10. 38- 11. 33 12. 1a < 13. 2 14. 1902a <≤或2a ≥二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14分)解析：（1）在△ABC 中，因为1a =，23b =，π6B A -=，由正弦定理得，()231sin πsin 6A A =+， ………………… 2分于是ππ23sin sin cos cos sin 66A A A =+，即33sin cos A A =， ………………… 4分又22sin cos 1A A +=，所以7sin 14A =． ………………… 6分（2）由（1）知，321cos 14A =，则33sin 22sin cos 14A A A ==，213cos212sin 14A A =-=， …………… …… 10分在△ABC 中，因为πA B C ++=，π6B A -=，所以5π26C A =-．则()5πsin sin 26C A =-5π5πsin cos2cos sin 266A A =-333113214214=⨯+⨯1114=． …………………12分由正弦定理得，sin 117sin 7a C c A ==． …………… …… 14分16．（本小题满分14分）（1）设AC 与BD 交于点O ，连结OM ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点，………2分因为M 为CP 的中点，所以AP ∥OM ，…………………4分又AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，所以AP ∥平面BDM ．…………………………7分ABCDPM（第16题）O（2）平面ABP ⊥平面BCP ，交线为BP ，因为90APB ∠=︒，故A P B P ⊥，因为AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP ，……………9分因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥BM ． ……………11分因为BP BC =，M 为CP 的中点，所以BM CP ⊥．……12分因为APCP P =，AP CP ⊂，平面ACP ，所以BM ⊥平面ACP ，……………………………………………………………14分 17．(本小题满分14分)（1）因为点P 是AC 中点，50AC =，所以25AP PC ==，在Rt ABC ∆中，50AC =，045ACB ∠=，可得50AB AC ==, 在Rt APB ∆中，50tan 225AB APB AP ∠===，在Rt CPD ∆中，tan 25CD CDDPC PC ∠==，因为045BPD ∠=，所以0135APB DPC ∠+∠=，于是2tan tan 25tan()11tan tan 1225CDAPB DPC APB DPC CDAPB DPC +∠+∠∠+∠===--∠⋅∠-⋅，解得75CD =．（2）设AP x =，则50PC x =-，在Rt APB ∆中，50tan AB APB AP x ∠==，在Rt CPD ∆中，75tan 50CD DPC PC x∠==-，于是0tan =tan(180)tan()BPD APB DPC APB DPC ∠-∠-∠=-∠+∠ 25075tan tan 25(100)50=50751tan tan 505075150APB DPC x x x APB DPC x x x x+∠+∠+--=-=-∠⋅∠-+⨯-⋅-，设100x t +=，则2225tan ()2502530tBPD f t t t ∠==-+⨯，2225251()2530230102530+2502250f t t t t t=≤=⨯-⨯-⋅-，当且仅当22530=t t⨯不等式取等号，于是当=2530t 时，函数()f t 取最大值，此时1002530x +=，2530100x =-，又因为2225025300t t -+⨯>恒成立，所以tan ()0BPD f t ∠=> 从而(0,)2BPD π∠∈，而正切函数在(0,)2π上为增函数，所以当()f t 取最大值时BPD ∠也最大，答：（1）两导航标记距离地面的高度AB 、CD 分别为50,75m m ；（2）当2530100AP m =-时，在点P 处看两楼顶导航标记的张角BPD ∠最大．18. （本小题满分16分）（1）由题意知，124()22b b a =-=，解得2a =，1b =，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）① 由(2)N t ，，(01)A ，，(01)B -，，则直线NA 的方程为11y x t =+，直线NB 的方程为31y x t=-.由221122y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得，222422.2t x t t y t ⎧=-⎪+⎨-⎪=+⎩，，故()2224222t t t t P --++，. 由223122y x t x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得，222121818.18t x t t y t ⎧=⎪+⎨-⎪=+⎩，，故()22212181818t t t t Q -++，. 所以直线PM 的斜率222221262482PMt t t k t t t ---+==-+，直线QM 的斜率2222181261812818QMt t t k t t t ---+==+，所以PM QM k k =，故P M Q ，，三点共线.② 由①知，11k t =，213k t=，2368t k t -=.所以21323122463182t k k k k k k t t t-+-=⨯-=-，所以132312k k k k k k +-为定值12-.19．（本小题满分16分）解：（1）由2n T n =，得121n n n b T T n -=-=-（2n ≥），由于11b =符合上式，所以21n b n =-（n *∈N ）， …… 2分假设存在{}n b 的连续三项11,,k k k b b b -+ （,2k k *∈≥N ）成等比数列，则211=k k k b b b -+，即()()()2212321k k k -=-+可得22441443k k k k -+=-- ，这不可能，所以假设不成立，从而数列{}n b 的任意连续三项不成等比数列. …… 5分（2）由（1）得， 121n n n a a b n ++==-．所以1(1)()n n a n a n +--=--，即11(1)n n a na n +-=---， …… 7分所以数列{}(1)n a n --为等比数列，且公比为1-，因为10a a =>，所以1(1)(1)n n a a n -=⋅-+-（n *∈N ）． …… 10分（3）不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +---≥即为11()12(1)n n n n a a a a n ++-++-≥，由于121n n a a n ++=-，所以不等式即为10n n a a +≥．当n 是奇数时，(1)n a a n =+-，1n a a n +=-+，所以[]21(1)()(1)0n n a a a n a n a a n n +=+-⋅-+=-++-≥，即2(1)a a n n -+--≥对n *∀∈N ，且2n ≥恒成立，所以26a a -+-≥，解得23a -≤≤． …… 13分当n 为偶数时，(1)n a a n =-+-，1n a a n +=+，由10n n a a +≥，得2(1)a a n n ----≥对n *∀∈N ，且2n ≥恒成立，所以22a a ---≥，解得21a -≤≤，因为0a >，所以a 的取值范围是01a <≤． …… 16分20．（本小题满分16分）（1）若0b =， ()g()()ln 0f x x x a x =-≥恒成立，当ln 0x ≥时，即1x ≥时，0x a -≥恒成立，于是x a ≥，min a x ≤（），从而1a ≤；当ln 0x <时，即01x <<时，0x a -≤恒成立，于是x a ≤，max a x ≥（），从而1a ≥；综上所述，1a =．（2）若0a =，(ln ()()g x x bh x f x x-==），因为21ln ()b x h x x+-'=，令21ln ()0b xh x x+-'=>，解得1b x e +<，于是()h x 在1(0,)b e +上递增，在1(+)b e +∞，上递减，从而在1b x e +=处取极大值，这样1max 11()()0b b h x h e e ++==>，又111()0b b h e e---=<，所以()h x 在1(0,)b e +上有唯一零点；而在1(+)b e +∞，上，因为1ln ln 10b x b e b +->-=>，于是ln ()0x bh x x-=>，从而()h x 在1(,)b e ++∞上没有零点，综上所述，函数()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点．（3）若0a =，()g()(ln )f x x x x b =-由1122()(=()(f x g x f x g x ））得1122(ln )(ln )x x b x x b -=-，即112212ln ln ()x x x x x x b -=-，一方面1121212212ln ln ln ln ()x x x x x x x x x x b -+-=-，即11212122ln ln ()x x x x x x x b x -+=-（）（）另一方面1112122212ln ln ln ln ()x x x x x x x x x x b -+-=-，即11221122ln ln ()x x x x x x x b x -+=-（）（）两式相加得1121212122ln ln ))ln 2()x x x x x x x x x b x -++=-（）(（+（），因为12x x ≠，所以12112122ln ln 2ln x x xx x b x x x +=--+（）要证明12t x x e <，只要证12ln x x t <，即证12ln ln x x t +<，从而只要证1211222ln x x xb x x x --+（）<t 又因为12tb =+，所以只要证121122ln x x x x x x -+（）>2，即证12112221ln 1x x x x x x -+（）>2不妨设12x x >，12x u x =，于是只要证当1u >时，1ln 1u u u -+>2 只要证1ln 1u u u >-（+）2（），即证1ln 2u u u ->-（+）2记()1ln p u u u u =-（+）2，则11()ln 2ln 1u p u u u u u'=+-=+-+，记1()ln 1q u u u =+-，因为22111()0u q u u u u-'=-=>，所以()q u 在(1,)+∞上递增，从而()(1)0q u q >=，即()0p u '>，于是()p u 在(1,)+∞上递增，()(1)2p u p >=-，这样1ln 2u u u ->-（+）2得证，所以12t x x e <．数学Ⅱ（附加题）参考答案21．A ．证明：连接OD因为DC 为切线且点D 为切点，所以BDC BAD ∠=∠ 因为OA=OD所以OAD ODA ∠=∠ 又因为AD=DC所以BCD OAD ∠=∠ 故OAD BDC ≅ 所以BC=OD=R从而AB=2BC ……………10分B ．解：（1）由条件得，2223111a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 226,213,a b -+=⎧∴⎨-+=-⎩，解得2,2.a b =-⎧⎨=⎩………2分因为矩阵2221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以特征多项式为()2221f λλλ+-=-- ()2(2)146λλλλ=+--=+-， ………4分令()0f λ=，解得3,2λλ=-=．所以矩阵A 的另一个特征值为2． ………5分（2）因为22det()(2)122621A -==-⨯-⨯=-， ………7分所以11211666322116633A -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦． ………10分 C ．解：把曲线C 的极坐标方程22cos()4πρθ=-化为直角坐标方程为：22220x y x y +--=，即22(1)(1)2x y -+-=， ………2分∴曲线C 表示的是圆心(1,1)C ，半径为2的圆． ………4分直线l 的参数方程415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为3410x y +-=， ………6分∴圆心C 到直线l 的距离为65， ………8分直线l 被曲线C 所截得的弦长为3621422255-=． ………10分（说明：也可以用直线参数方程的几何意义去完成）D ．证明：由柯西不等式可知22222221111(231)[()()1](23)2323x y z x y z ⋅+⋅+⋅≤++++ 所以2222()24231111123x y z x y z ++++≥=++ ，当且仅当1112,114,116===z y x 时取等号． ………10分 22．解：（1）由已知有1123432101()3C C C P A C +==，所以事件A 的发生的概率为13．…3分（2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2． ………4分2223342104(0)15C C C P X C ++===；111133342107(1)15C C C C P X C +===； 11342104(2)15C C P X C === ． ………6分所以随机变量X 的分布列为 X0 1 2 P 415 715 415………8分数学期望()1E X =． ………10分23．解：（1）21444444(0)(1)(2)(3)00214P P P P C C +++=+++=． ………2分（2）111543322(5)[(3)((2))]44P C P C P C =++=． ………4分（3）证明：()()k n n n k P n k C P n k --=-，11k k n n kC nC --=，∴11111()()(0)()(0)n n n k n n n n nn k n k k k A kP n k kP n k nP kC P n k nP ---====-=-+=-+∑∑∑ 11111111()(0)()(0)n n k k n n k n n n k n k k nCP n k nP n C P n k nP --------===-+=-+∑∑， 1(0)(0)0n n P P +==∴1n A +=1111(1)(1)(1)(0)n k n n k n k n CP n k n P -+-+=++-++∑ 1(1)11(1)((1))(1)(0)n k n n k n k n C P n k n P ---+==+--++∑ 10(1)()(0)n k nn k n k n C P n k nP --==+-+∑ 0(1)()nn k n P n k ==+-∑． ………10分。

江苏省徐州市2018届高三第一次质量检测数学试题 (8)

【题文】已知函数2()1f x x ax =++，()ln ()g x x a a R =-∈.（1）当a =1时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；（2）若存在与函数f (x )，g (x )的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围.【答案】（1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞．当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，所以1(21)(1)()21x x h x x x x -+'=+-=，所以当102x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1(,)2+∞单调递增，所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln 24，无极大值．（2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同，则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-，故211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==-，所以12122a x x =-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--，得222221ln 20(*)424a a x a x x -++--= 设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x +-'=-++=，不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '>，所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+-，设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211()220G x x x x'=+++>对0x >恒成立，所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G ，所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤,又当2a x e +=时，222421()ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++--2211()04a a e+=-≥，14分因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立；即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同．又由12y x x =-得：2120y x'=--<，所以12(0,1]y x x=-在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞，，所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．【解析】【标题】江苏省徐州市2018届高三第一次质量检测数学试题【结束】。

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2018年江苏省徐州市铜山区高考数学一模试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．(★)已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B= ．
2．(★)设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|= ．
3．(★)为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名
学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的
学生人数为．
4．(★)执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的y的值为．
5．(★★)甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心（白）”、“手背（黑）”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负．则一次游戏中甲胜出的概率是．
6．(★★)已知tan（-α）= ，则tan（+α）= ．
7．(★★★)若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值
为．
8．(★★★)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为．
9．(★★)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n}的公差
为．
10．(★★★)已知椭圆C：的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段
A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为．
11．(★★)已知函数f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=x-1，则不等式xf（x）＞0在[-1，3]上的解集为．
12．(★★★)在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若，则λ+μ的最大值为．
13．(★★★)已知函数f（x）=x 2-2x+a（e x-1+e -x+1）有唯一零点，则a= ．
14．(★★★)已知a＞1，b＞2，则的最小值为．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(★★★)已知函数，
（1）求f（x）的值域；
（2）若△ABC的面积为，角C所对的边为c，且，，求△ABC的周长．
16．(★★★)如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面
ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC=BC，∠ACD=90°．
（1）求证：AB⊥平面EDC；
（2）若P为FG上任一点，证明：EP∥平面BCD．
17．(★★★)某企业为了减少噪声对附近居民的干扰，计划新增一道“隔音墙”，从上往下看，“隔音墙”可以看成曲线，在平面直角坐标系xOy中，“隔音墙”的一部分所在曲线的方程f（x）
=lnx+ x∈[1，2]为（单位：千米）．已知居民区都在x轴的下方，这部分曲线上任意两点
连线的斜率都小于-1时“隔音墙”的隔音效果最佳．
（1）当a= 时，求“隔音墙”所在曲线f（x）上的点到轴最近距离；
（2）当实数a在什么范围时，“隔音墙”的隔音效果最佳？
18．(★★★)已知椭圆C 1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C 1的标准方程；
（Ⅱ）已知椭圆C 2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C 1的长轴和
短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（-1，0）的直线l与椭圆C 2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程．
19．(★★★)已知函数f（x）=ax 2+（2a-1）x-lnx，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（2，11），求实数a的值；
（2）若函数f（x）在区间（2，3）上单调，求实数a的取值范围；
（3）设，若对∀x 1∈（0，+∞），∃x 2∈[0，π]，使得f（x 1）+g（x 2）≥2成立，求整数a的最小值．
20．(★★★★★)已知两个无穷数列{a n}，{b n}分别满足，
，其中n∈N *，设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n、T n．
（1）若数列{a n}，{b n}都为递增数列，求数列{a n}，{b n}的通项公式．
（2）若数列{c n}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得c k＜c k-1，称数列{c n}为“k坠点数列”．
①若数列{a n}为“5坠点数列”，求S n．
②若数列{a n}为“p坠点数列”，数列{b n}为“q坠点数列”，是否存在正整数m，使得S m+1=T m，若存在，求m的最大值；若不存在，说明理由．
[选修4-2：矩阵与变换]
21．(★★★)若二阶矩阵M满足：M = ．曲线C：x 2+2xy+2y 2=1在矩阵M
所对应的变换作用下得到曲线C′，求曲线C′的方程．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．(★★★)在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（-θ）=
与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
【必做题】第23题、第24题，每小题0分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤．
23．(★★★)如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠A 1C 1B 1=90°，
AC=2，BC=BB 1=1，点D是棱A 1C 1的中点．求：
（1）直线AB与平面BB 1D所成角的正弦值；
（2）二面角A-BD-B 1的大小．
24．(★★★)设有甲、乙两个盒子，均分别装有编号依次为1，2，3，…，n（n≥5，且n∈N *）的n个球，学生A从甲盒子中随机选取i个球，学生B从乙盒子中随机选取j个球，其中i，
j≤n，且i，j∈N *．
（1）若i=2，j=3，且A在编号为1到m（m为给定的正整数，且2≤m≤n-3）的球中选取，B在
编号为m+1到n的球中选取．记P（u，v）（1≤u≤m，m+1≤v≤n）是编号为u的球和编号为v的球
同时被选中的概率．
①若n=10，m=4，求P（2，8）的值；
②求所有的P（u，v）的和；
（2）求学生A，B取到的球的编号不相同的概率．。

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