一元二次方程的应用(专题训练)上课讲义

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一元二次方程及其应用讲义

一元二次方程及其应用讲义

《一元二次方程及其应用》讲义一、一元二次方程的定义【例题】1、关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ,当m 时为一元一次方程;当m 时为一元二次方程。

2、下列方程中,是关于x 的一元二次方程的有________.(1)2y 2+y -1=0;(2)x (2x -1)=2x 2;(3)21x-2x=1;(4)ax 2+bx+c=0;(5)12x 2=0. 3、关于x 的方程(m 2-1)x 2+(m -1)x+2m -1=0是一元二次方程的条件是________.【习题】1、下列方程中是一元二次方程的是( ).A.xy +2=1B. 09212=-+xx C. x 2=0 D.02=++c bx ax 2、下列方程中,不是一元二次方程的是( ) A.2x 2+7=0 B.2x 2+23x +1=0 C.5x 2+x 1+4=0 D.3x 2+(1+x ) 2+1=03、关于x 的方程(m -4)x 2+(m +4)x +2m +3=0,当m __________时,是一元二次方程,当m __________时,是一元一次方程.4、下列说法正确的是( )A .一元二次方程的一般形式是20ax bx c ++= B .一元二次方程20ax bx c ++=的根是242b b ac x a -±-= C .方程2x x =的解是x =1D .方程(3)(2)0x x x +-=的根有三个 二、一元二次方程的根【例题】1、若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根,则m+n的值是( )A 、1B 、2C 、-1D 、-22、若x =1是方程ax 2+bx +c =0的解,则( )A.a +b +c =1B.a -b +c =0C.a +b +c =0D.a -b -c =03、已知0和1-都是某个方程的解,此方程是( )A. 012=-xB. 0)1(=+x xC. 02=-x xD. 1+=x x4、如果21x -2x -8=0,则1x 的值是________.5、已知一元二次方程02=++c bx ax ,若0=++c b a ,则该方程一定有一个根是( )A. 0B. 1C. -1D. 2【习题】1、若x =-1是方程ax 2+bx +c =0的解,则( )A.a +b +c =1B.a -b +c =0C.a +b +c =0D.a -b -c =02、已知(x 2+y 2+1)(x 2+y 2+3)=8,则x 2+y 2的值为( ).A .-5或1B .1C .5D .5或-13、已知m 是一元二次方程x 2–2005x +1=0的解,求代数式22200520041m m m -++的值.4、已知x = –5是方程x 2+mx –10=0的一个根,求x =3时,x 2+mx –10的值.三、一元二次方程的解法【例题】1、填写解方程3x (x +5)=5(x +5)的过程解:3x (x +5)__________=0(x +5)(__________)=0x +5=__________或__________=0∴x 1=__________,x 2=__________2、用配方法解方程x 2+2x -1=0时①移项得__________________②配方得__________________即(x +__________)2=__________③x +__________=__________或x +__________=__________④x 1=__________,x 2=__________3、方程2(x+2)2-8=0的根是 。

湘教版九年级数学 2.5 一元二次方程的应用(学习、上课课件)

湘教版九年级数学  2.5 一元二次方程的应用(学习、上课课件)

感悟新知
知1-练
(1)平均每周的销售量y(顶)与降价 x(元)之间的函数关 系式是y_=__1_0_0_+__2_0_x;
(2)若该商店希望平均每周获得 4 000 元的销售利润, 则每顶头盔应降价多少?
感悟新知
解:根据题意,得
知1-练
(68-x-40)(100+20x)=4 000,
整理得x2-23x+60=0,解得x1=3,x2=20, 当x=3时,68-x=68-3=65>58,不符合题意,舍去;
感悟新知
表格图例:
知1-练
人数 平均每人费用
合计
不超 20 人 20
280
5 600
超过 20 人 x 280-8( x-20) [280-8( x-20)]x
感悟新知
1-1. [ 模拟·长沙岳麓 区 ] 平安路 上,多 “盔”有你知,1-练 在“交通安全宣传月”期间,某商店销售一批头 盔,进价为每顶 40 元,售价为每顶68 元,平均每 周可售出100 顶.商店计划将头盔降价销售,每顶 售价不高于 58 元,经调查发现:每降价 2 元,平 均每周可多售出 40 顶.设每顶头盔降价 x 元,平 均每周的销售量为 y 顶 .
感悟新知
知1-练
解题秘方:利用等量关系:(人均费用 - 超过 20 人的人数 ×8)× 人数 =5 888 建立 一元二次方程的模型为a 人时,人均费用为200 元,求 a 的 取值范围;
解:由题意可得 280-8(a-20) =200, 解得 a=30,故当 a ≥ 30 时,人均费用为 200 元 .

根据方程的特点 , 选择适当 一般不必写出解方
解法求出未知数的值 .
程的过程 .

检验未知数的值是否满足 所列方程 , 检验该值在实际 问题中是否有意义 .

一元二次方程(讲义)

一元二次方程(讲义)

教学目标1.了解整式方程和一元二次方程的概念;2.知道一元二次方程的一般形式,会把一元二次方程化成一般形式。

3.通过本节课引入的教学,初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点,激发学生学习数学的兴趣。

教学建议教学重点和难点:重点:一元二次方程的概念和它的一般形式。

难点:对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。

教学建议:1.教材分析:1)知识结构:本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念,介绍了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各项的名称。

2)重点、难点分析理解一元二次方程的定义:是一元二次方程的重要组成部分。

方程,只有当时,才叫做一元二次方程。

如果且,它就是一元二次方程了。

解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况:(1)一元二次方程的条件是确定的,如方程(),把它化成一般形式为,由于,所以,符合一元二次方程的定义。

(2)条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的,那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。

如“关于的一元二次方程”,这时题中隐含了的条件,这在解题中是不能忽略的。

(3)方程中含有字母系数的项,且出现“关于的方程”这样的语句,就要对方程中的字母系数进行讨论。

如:“关于的方程”,这就有两种可能,当时,它是一元一次方程;当时,它是一元二次方程,解题时就会有不同的结果。

教学设计示例一元二次方程(1)教学目的1.了解整式方程和一元二次方程的概念;2.知道一元二次方程的一般形式,会把一元二次方程化成一般形式。

3.通过本节课引入的教学,初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点,激发学生学习数学的兴趣。

教学难点和难点:重点:1.一元二次方程的有关概念2.会把一元二次方程化成一般形式难点: 一元二次方程的含义.教学过程设计一、引入新课引例:剪一块面积是150cm2的长方形铁片,使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪?分析:1.要解决这个问题,就要求出铁片的长和宽。

应用一元二次方程资料课件

应用一元二次方程资料课件
电磁学
在电磁学中,一元二次方程被用来描述电场和磁场的行为。
量子力学
在量子力学中,一元二次方程被用来描述粒子的能量和波函数。
04
CATALOGUE
一元二次方程的拓展知识
一元高次方程的概念
一元高次方程的定义
一元高次方程是指含有一个未知数,且未知数的最高次数为n次的方程。其中n 大于等于3。
一元高次方程的标准形式
使用说明
在使用公式法时,需要注意判 别式的定义域,以及根号中的
数值必须是非负数。
因式分解法
总结词
详细描述
通过因式分解将一元二次方程转化为两个 一次方程,从而求解。
因式分解法是一种基于因式分解的一元二 次方程求解方法,通过因式分解将一元二 次方程转化为两个一次方程,从而求解。
公式示例
使用说明
对于方程 $ax^2 + bx + c = 0$,通过因 式分解可以得到 $(x + m)(x + n) = 0$,进 而得到 $x = -m$ 或 $x = -n$。
牛顿迭代法
通过牛顿迭代公式,逐步逼近一元高次方程的解 。
一元高次方程的应用举例
求解实际问题中的一元高次方程
01
例如,求解一个工程问题的数学模型,该模型包含一个一元高
次方程。
在物理学中的应用
02
例如,在研究物体的运动时,需要求解一个一元高次方程来描
述物体的轨迹。
在经济学中的应用
03
例如,在研究商品价格与需求量的关系时,需要求解一个一元
配方法例题解析
总结词
配方法是解一元二次方程的一种常用方法,通过配方将二 次方程转化为一次方程,从而求解出方程的根。
详细描述

一元二次方程根与系数关系及应用题 (讲义及答案)

一元二次方程根与系数关系及应用题  (讲义及答案)

一元二次方程根与系数关系及应用题(讲义)➢ 课前预习1. 已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个实数根x 1,x 2,请你用配方法探索有实数根的条件,并推导出求根公式.2. 已知x 1+x 2=5,x 1·x 2=6,请利用完全平方公式及分式运算知识求解下列各式的值.(1)x 1-x 2; (2)1211x x +;(3)x 12-x 22.➢ 知识点睛1. 从求根公式中我们发现x 1+x 2=________,x 1·x 2=__________,这两个式子称为_____________,数学史上称为___________. 注:使用___________________的前提是____________. 2. 一元二次方程应用题的常见类型有:①__________;②__________;③_________;④_________. 增长率型 例如:原价某元,经过两次连续降价(涨价);1人患了流感,经过两轮传染.双循环制 例如:每两队之间都进行两场比赛 经济型 例如:“每涨价××元,则销量减少××件”. 3. 应用题的处理思路:①理解题意,梳理信息; ②建立数学模型; ③求解验证,回归实际.➢ 精讲精练1. 若x 1,x 2是一元二次方程2x 2-7x =4的两根,则x 1+x 2与x 1·x 2的值分别是( )A .7,4B .72-,2C .72,2D .72,-22.若12x =x 2+ax +1=0的一个根,则该方程的另一个根x 2=_________,a =________.3. 若关于x 的方程x 2+2x +a -1=0有两个负根,则a 的取值范围是____________________.4. 已知关于x 的一元二次方程x 2-2x +a =0的两实数根x 1,x 2满足x 1·x 2+x 1+x 2>0,则a 的取值范围为__________.5. 若x 1,x 2是方程2x 2+4x -3=0的两个根,不解方程,求下列各式的值.(1)1211x x +; (2)x 12+x 22;解:由原方程知a =_____,b =_____,c =_____, ∵Δ=b 2-4ac= =______0∴x 1+x 2= ,x 1·x 2= .(1)原式= (2)原式= = = = =(3)|x 1-x 2|.6.已知关于x的方程(m-1)x2-x-2=0.(1)若该方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;(2)若x1,x2是该方程的两个根,且2212121 8x x x x+=-,求实数m的值.7.某商品原售价为289元,经过连续两次降价后售价为256元.设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是()A.289(1-x)2=256 B.256(1-x)2=289C.289(1-2x)=256D.256(1-2x)=2898.为了做好“精准扶贫”,某市2016年投入资金1 200万元用于异地安置,此后投入资金逐年增加,2016年到2018年,该市投入异地安置资金的总金额达5 700万元.设该市投入异地安置资金的年平均增长率为x,根据题意所列方程正确的是()A.1 200(1+x)2=5 700B.1 200(1+2x)=5 700C.1 200(1+x)+1 200(1+x)2=5 700D.1 200+1 200(1+x)+1 200(1+x)2=5 7009.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,则每轮传染中平均一个人传染了________个人.10.2017-2018赛季中国男子篮球职业联赛,采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛),比赛总场数为380场.若设参赛队伍有x支,则可列方程为()A.1(1)3802x x-=B.x(x-1)=380C.1(1)3802x x+=D.x(x+1)=38011.在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,则参加酒会的人数为()A.9人B.10人C.11人D.12人12.如图,有一张矩形纸片,长10 cm,宽6 cm,在它的四角各剪去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32 cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是xcm,根据题意可列方程为()A.10×6-4×6x=32 B.(10-2x)(6-2x)=32=32C.(10-x)(6-x)=32 D.10×6-4x213.如图,在一块长92 m,宽60 m的矩形耕地上挖三条水渠(水渠的宽都相等),若水渠把耕地分成面积均为885 m2的6个矩形小块,则水渠应挖多宽?14.商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元,据此规律,请回答:(1)商场日销售量增加______件,每件商品盈利_______元(用含x的代数式表示);(2)在上述条件不变、销售正常的情况下,每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到2 100元?【分析】解:15. 某商店将进价为8元/件的商品按10元/件售出,每天可销售200件.现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润,并尽量使顾客得到实惠,如果这种商品的售价每提高0.5元,其销售量就减少10件,则将每件售价定为多少元时,才能使每天的利润达到640元? 【分析】16. 宾馆有50间房供游客居住,当每间房每天定价为180元时宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为x 元时宾馆当天的利润为10 890元,则有( )A .(18020)501089010x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭B .1805050201089010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭C .180(20)501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭D .(180)5050201089010x x ⎛⎫+--⨯= ⎪⎝⎭【参考答案】 ➢ 课前预习1. 有实数根的条件:b 2-4ac ≥0;求根公式:2b x a-±=(b 2-4ac ≥0)2. (1)原式=±1;(2)原式=56;(3)原式=±5.➢ 知识点睛1. b a -;ca;根与系数的关系;韦达定理;韦达定理;Δ≥02. ①增长率型;②双循环制;③面积型;④经济型➢ 精讲精练1. D2.2;-4 3. 1<a ≤2 4. -2<a ≤15. 解:由原方程知:a =2,b =4,c =-3, ∵Δ=b 2-4ac =42-4×2×(-3) =40 >0∴x 1+x 2=-2,1232x x ⋅=-.1212123243x xx x +=-=-=()原式(2)7;(36. (1)78m >且m ≠1; (2)m =5. 7. A 8. D9.1010.B11.C12.B13.水渠应挖1 m宽.14.(2)每件商品降价20元时,商场日盈利可达到2 100元.15.每件售价定为12元时,才能使每天的利润达到640元.16.C。

冀教版九年级数学 24.4 一元二次方程的应用(学习、上课课件)

冀教版九年级数学  24.4 一元二次方程的应用(学习、上课课件)

感悟新知
例2 [ 三模·石家庄] 红星电池厂 2024 年 1 ~ 5 月份的电池知1-练 产量如图 24-4-2 所示.设从 2 月份到 4 月份,该厂 电池产量的月平均增长率为 x,根据题意可得方程为 () A. 180(1-x) 2=461 B. 180(1+x) 2=461 C. 368(1-x) 2=137 D. 368(1+x) 2=442
感悟新知
解题秘方:紧扣增长率问题中的等量关系,建立 一元二次方程的模型 .
知1-练
解:由折线图可知 2 月份的产量为 180 万节, 4 月份的 产量为 461 万节,由题意可得方程为 180(1+x) 2=461.
答案:B
感悟新知
知1-练
2-1.张师傅去年开了一家超市,今年 2 月份开始盈利, 3 月份盈利5 000 元, 5 月份盈利达到 7 200 元, 从 3 月到5 月,每月盈利的增长率都相同,则每 月盈利的增长率是 ____2_0_%____.
B. x( x-1) =380 D. x2=380
感悟新知
解题秘方:此类问题要区分是单循环比赛还是双 知1-练 循环比赛,设参加比赛的队伍有 a 支, 比赛总场次 为 b,若比赛中任意两个 队伍间只进行一场比赛,即单循环比
赛,则
1 2
a(
a-1)
=b,
若比赛中任意
两个队伍间进行两场比赛,即双循环
比赛,则a(a-1) =b.
关系,将其他几个量用含字母的代数式表示出来 .
(2) 设未知数时,必须写清单位、用对单位;列方程时,
方程两边各个代数式的单位必须一致;作答时,必须写
上单位 .
(3)一定要对方程的根加以检验,看它是否符合实际意义 .

一元二次方程应用实际问题讲义

一元二次方程应用实际问题讲义

一元二次方程应用实际问题一、学习要点:1、列一元二次方程解应用题的步骤;2、会解三种类型应用题。

二、例题讲解与练习:引例(说明列一元二次方程解应用题的步骤):一块长方形绿地的面积为1200平方米,并且长比宽多10米,那么长和宽各多少米?例1、某建筑工程队,在工地一边的靠墙处,用120米长的铁栅栏围一个矩形的临时仓库,铁栅栏只围三边,求按下列要求所围矩形的两邻边的长。

(1)围成的矩形的面积是1152平方米;(2)围成的矩形的面积是1800平方米;(3)围成的矩形的面积是2000平方米。

练习1、要建造一个面积为150平方米的长方形仓库,为节约材料,仓库的一边靠着长为m 的一堵墙,另三边用竹子围成,竹长35米。

(1)求仓库的长和宽个多少米;(2)墙的长度m对题目的解起什么作用?练习2、李老伯想利用一边长为a米的旧墙及24米长的旧木料建造猪舍3间,如图所示。

它们的平面图是一排大小相等的长方形。

(1)如果猪舍的宽AB为x米,则猪舍的总面积S与x有怎样的关系式?(2)请帮李老伯计算一下,如果猪舍总面积为32平方米,应如何安排猪舍的长和宽?又旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响?例2、问题1:某工厂七月份的产值为100万元,计划八、九两月的产值平均每月比上月递增20%,求八、九两月的产值各是多少万元?问题2:某工厂今年的产值为a万元,如果计划在五年内的年产值每年平均增长率为x,那么该厂两年后的年产值可用怎样的代数式表示?练习1、某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨,3月上升到7200吨,这两个月平均每月增长的百分率为多少?练习2、一种药品原价是每盒800元,经过两次降价后,价格降到每盒578元,平均每次降价的百分率是多少?练习3、市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验,重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖,之后逐年增加,到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.练习4、制造一种产品,原来每件产品成本为300元,由于两次降低成本,现在成本为195元,求平均每次降低成本百分之几?,并求第一次降低后的成本。

讲义精品一元二次方程讲义精品

讲义精品一元二次方程讲义精品

考点一、概念(1)内容:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程。

(2)一般表达式:)0(02≠=++a c bx ax(3)关键点:强调对最高次项的讨论:①次数为“2”;②系数不为“0”。

典型例题:例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式:当k 时,关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。

针对练习:1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。

2、若方程()112=∙+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。

考点二、方程的解⑴内容:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。

⑵应用:①利用根的概念求代数式的值;典型例题:例1、已知322-+y y 的值为2,则1242++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 。

说明:任何时候,都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。

说明:本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。

例4、已知b a ≠,0122=--a a ,0122=--b b ,求=+b a变式:若0122=--a a ,0122=--b b ,则ab b a +的值为 。

针对练习:1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根是 。

2、已知m 是方程012=--x x 的一个根,则代数式=-m m 2 。

3、已知a 是0132=+-x x 的根,则=-a a 622 。

《一元二次方程及应用》讲义

《一元二次方程及应用》讲义

一元二次方程及应用【基础知识回顾】一元二次方程:方程两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次。

一般地,任何一个关于x的一元二次方程,•经过整理,•都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.一个一元二次方程经过整理化成a x2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.强调:一元二次方程的一般形式中“=”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现,但二次项必须存在,而且左边通常按未知数的次数从高到低排列,特别注意的是“=”的右边必须整理成0。

注意:判断某个方程是否为一元二次方程,必须满足:①整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2 三个条件。

特别注意一元二次方程的左右两边不应有分母和根号中出现未知数。

【提醒:因为通常情况下一元二次方程有两个根,所以解一元二次方程的应用题一定要验根,检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】【重点考点例析】考点一:一元二次方程的解例1 若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1,则2013-a-b的值是()A.2018B.2008C.2014D.2012点评:此题主要考查了一元二次方程的解,解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式a+b的值.考点二:一元二次方程的解法例2 一元二次方程x(x-2)=2-x的根是()A.-1B.2C.1和2D.-1和2考点三:根的判别式的运用例5 已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根.第三边BC的长为5,当△ABC是等腰三角形时,求k的值.思路分析:(1)先计算出△=1,然后根据判别式的意义即可得到结论;(2)先利用公式法求出方程的解为x1=k,x2=k+1,然后分类讨论:AB=k,AC=k+1,当AB=BC或AC=BC 时△ABC为等腰三角形,然后求出k的值.考点四:一元二次方程的应用2.一元二次方程x2-3x=0的根是.3.解方程:(2x-1)2=x(3x+2)-7.4.关于x的一元二次方程为(m-1)x2-2mx+m+1=0.(1)求出方程的根;(2)m为何整数时,此方程的两个根都为正整数?5.下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的方程是()A.x2-3x+1=0B.x2+1=0C.x2-2x+1=0D.x2+2x+3=06.若关于x的方程式x2-x+a=0有实根,则a的值可以是()A.2B.1C.0.5D.0.257.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()A.k<-2B.k<2C.k>2D.k<2且k≠1。

一元二次方程及其应用单元讲义

一元二次方程及其应用单元讲义

一元二次方程概念、解法、根的判别式(讲义)一、知识点睛1. 只含有___________________的整式方程,并且都可以化成_______________(____________________)的形式,这样的方程叫做一元二次方程.思考次序:______________、__________、_______________.2. 我们把____________________(____________________)称为一元二次方程的_______形式,其中____,____,____分别称为二次项、一次项和常数项,_____,_____分别称为二次项系数和一次项系数.3. 解一元二次方程的思路是设法将其转化成________________来处理.主要解法有:________________,________________,_____________,_____________等.4. 配方法是配成_______公式;公式法的公式是_____________;分解因式法是先把方程化为___________________________的形式,然后把方程左边进行____________________,根据_________________________,解出方程的根.5. 通过分析求根公式,我们发现___________决定了根的个数,因此_________被称作根的判别式,用符号记作_________;当__________时,方程有两个不相等的实数根(有两个解);当__________时,方程有两个相等的实数根(有一个解);当__________时,方程没有实数根(无根或无解).二、精讲精练1. 下列方程:①3157x x +=+;②2110x x+-=; ③25ax bx -=(a ,b 为常数);④322=-m m ;⑤202y =;⑥2(1)3x x x +=-;⑦22250x xy y -+=.其中为一元二次方程的是____________.2. 方程221x =-的二次项是________,一次项系数是____,常数项是______.3. 若关于x 的方程21(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程,则m 的值为___________.4. 若方程01)1(2=-+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是( ) A .m =0B .m ≠1C .m ≥0且m ≠1D .m 为任意实数 5. 若x =2是关于x 的方程230x x a -+=的一个根,则2a -1的值是( )A .2B .-2C .3D .-36. 一元二次方程2(4)25x +=的根为( )A .x =1B .x =21C .x 1=1,x 2=-9D .x 1=-1,x 2=97. 关于x 的方程210x kx --=的根的情况是( )A .方程有两个不相等的实数根B .方程有两个相等的实数根C .方程没有实数根D .根的情况与k 的取值有关8. 如果关于x 的方程220x x m -+=(m 为常数)有两个相等的实数根,那么m =_________.9. 若一元二次方程22(4)60x x kx -+-+=无实数根,则k 的最小整数值是________. 10. 用配方法解方程: (1)2210x x --=; (2)210x x +-=;解:22____x x -=,22___1___x x -+=+,()2___________=,_______=_____, x =∴1x = ,2x =(3)23920x x -+=; (4)24810x x --=;(5)20ax bx c ++=(a ≠0).11. 用公式法解方程: (1)23100x x +-=;(2)22790x x --=;解:a =___,b =___,c =___,∵24b ac -=________=________>0∴ x ==∴1x = ,2x =(3)21683x x +=;(4)2352x x -+=-.12. 用分解因式法解方程: (1)(54)54x x x +=+; (2)(1)(8)12x x ++=-;解:( _____ )(54)0x +=, _______=0或_______=0, ∴1x = ,2x =(3)22(2)(23)x x -=+;(4)29x -=;(5)2(21)10kx k x k -+++=(k ≠0).13. 阅读题:解方程的关键是设法将其转化为一元一次方程,转化的思路是“多元消元、高次降次”,换元法是降次的常用工具. 例 解方程:42320x x -+=. 解:设2y x =,则2320y y -+=, 解得,11y =,22y =. 当21x =时,11x =,21x =-;当22x =时,3x =,4x =故原方程的解为11x =,21x =-,3x =4x = 仿照以上作法求解方程:222(5)2(5)240x x x x +-+-=.三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1. 一个未知数x ;20ax bx c ++=(0a a b c ≠,,,为常数);整式方程、化简整理、一元二次.2. 20ax bx c ++=(0a a b c ≠,,,为常数);一般;2ax ,bx ,c ;a ,b .3. 一元一次方程;直接开平方法,配方法,公式法,分解因式法.4. 完全平方;2402b x b ac a()-=-≥;20ax bx c ++=(0a a b c ≠,,,为常数); 分解因式;若ab =0,则a =0或b =0.5. 24b ac -;24b ac -;Δ;Δ>0;Δ=0;Δ<0. 二、精讲精练1.④⑤; 2.22x ,1-; 3.1-; 4.C ; 5.C ;6.C ;7.A8.1;9.210.(1)2210x x --= 解:221x x -=,22111x x -+=+,()212x -=,1x -=,1x =±∴1x =121x =.(2)1x =,2x =.(3)196x =,2x =.(4)122x =,222x =.(5)12b x a -=,22b x a--=(24b ac -≥0).11.(1)23100x x +-= 解:a =1,b =3,c =-10, ∵24b ac -=()23410-⨯-=49>0∴ 3 2x -==3 72-± ∴1x =2,2x =-5.(2)11x =-,292x =. (3)114x =,234x =-.(4)113x =-,22x =.12.(1)(54)54x x x +=+ 解:( 1 )(54)0x x -+=,1x -=0或54x +=0,∴1x =1,2x =45-.(2)14x =-,25x =-. (3)113x =-,25x =-.(4)1x =2x =. (5)11k x k+=,21x =. 13.222(5)2(5)240x x x x +-+-= 解:设25y x x =+,则22240y y --= 解得:1264y y ==-,当256x x +=时,1261;x x ,=-= 当254x x +=-时,3414;x x ,=-=-故原方程的解为12346114x x x x =-==-=-,,,一元二次方程概念、解法、根的判别式(随堂测试)1. 已知关于x 的方程22(1)40m m mx m x -+---=是一元二次方程,则m 的值为__________.2. 已知x =a 是一元二次方程2350x x --=的一个根,则代数式23a a -=————.3. 用你认为合适的方法解方程: (1)2410x x --=;(2)2(32)(1)(32)x x x x -=--;(3)2280x x --=;(4)23440x x --=.【参考答案】1.12.53.(1)12x =22x =(2)11x =-,223x =; (3)12x =-,24x =;(4)12x =,223x =-.一元二次方程概念、解法、根的判别式(作业)1. 已知x =1是关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=的一个根,则m 的值是( ) A .-3B .-1C .1D .32. 用配方法解一元二次方程2890x x -+=,配方得2()x m n +=,则m ,n 的值分别为( ) A .4,7B .4,-7C .-4,7D .-4,-73. 关于x 的方程22210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是( )A .k 为任何实数,方程都没有实数根B .k 为任何实数,方程都有两个不相等的实数根C .k 为任何实数,方程都有两个相等的实数根D .根据k 的不同取值,方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种4. 下列方程:①21213x x -=;②230y xy y -+=;③2710y +=;④213x =;⑤22(1)23x x x -=-;⑥20ax bx c ++=(a ,b ,c 为常数,且a ≠0).其中是一元二次方程的是____________.5. 方程(1)(21)2x x-+=化成一般形式是______________,它的二次项是________,一次项系数是______,常数项是______.6. 已知关于x 的方程22(1)(1)20m x m x -+--=,当m _____时,方程为一元二次方程;当m ______时,方程为一元一次方程.7. 若m 是方程220x x --=的一个根,则代数式2m m -=_____. 8. 方程3(1)22x x x -=-的解为____________.9. 若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是______. 10. 用配方法解方程: (1)2440x x --=;(2)2214x x -=.11. 用公式法解方程: (1)230x x --=;(2)22750x x --=.12. 用分解因式法解方程: (1)(1)(2)24x x x ++=+; (2)(2)(3)12x x --=.13. 用你认为合适的方法解方程: (1)2240x x --=; (2)2310x x --=;(3)2+3280x x -=;(4)2(21)10mx m x m ---+=(m ≠0).14. 阅读题:解方程的关键是设法将其转化为一元一次方程,转化的思路是“多元消元、高次降次”,分解因式是降次的一种工具. 例 解方程:3234120x x x --+=. 解:原方程可化为:2(3)4(3)0x x x ---=2(3)(4)0x x --=(3)(2)(2)0x x x -+-=∴x 1=3,x 2=-2,x 3=2.仿照以上作法求解方程:3244160x x x +--=.【参考答案】1.B2.C3.B4.③④⑥5.2230x x --=,22x ,1-,3-6.1m ≠±,=1m -7.28.12213x x ==-,9.k >-1且0k ≠10.(1)1222x x =+=-(2)12x x ==.11.(1)12x x ==;(2)127744x x +-== 12.(1)1221x x =-=,;(2)1216x x =-=,;13.(1)1211x x ==(2)123322x x ==; (3)1247x x ==-,;(4)1211m x x m-==,; 14.123224x x x ==-=-,,.一元二次方程根与系数关系及应用题(讲义)一、知识点睛1.从求根公式中我们发现12x x +=_______,12x x ⋅=_________, 这两个式子称为_____________,数学史上称为___________. 注:使用___________________的前提是_________________. 2.一元二次方程应用题的常见类型有:①______________;②______________;③______________. 增长率型 例如:原价某元,经过两次连续降价(涨价);1人患了流感,经过两轮传染.经济型 例如:“每涨价××元,则销量减少××件”. 3.应用题的处理流程: ① 理解题意,辨析类型; ② 梳理信息,建立数学模型; ③ 求解,结果验证.二、精讲精练1. 若x 1,x 2是一元二次方程2274x x -=的两根,则x 1+x 2与12x x ⋅的值分别是( ) A .7,4B .72-,2C .72,2D .72,-22. 若x1=2是一元二次方程210x ax ++=的一个根,则该方程的另一个根x 2=_________,a =________.3. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根,则a 的取值范围是____________________.4. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是m =________.5. 某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价256元.设平均每次降价的百分率为x ,则下面所列方程正确的是( )A .2289(1)256x -=B .2256(1)289x -=C .289(12)256x -=D .256(12)289x -= 6. 据调查,某市2013年的房价为6 000元/米2,预计2015年将达到8 840元/米2,求该市这两年房价的年平均增长率.设年平均增长率为x ,根据题意,所列方程为_______________.7. 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,则每轮传染中平均一个人传染了________________个人.8. 若x 1,x 2是方程22430x x +-=的两个根,不解方程,求下列各式的值.(1)1211x x +; (2)2212x x +.解:由原方程知a =_____,b =_____,c =_____,2Δ4 0b ac _____=-==∵∴12x x += ,12x x ⋅= . (1)原式== =9. 已知关于x 的方程2(1)20m x x ---=.若x 1,x 2是该方程的两个根,且22121218x x x x +=-,求实数m 的值.10. 如图,在一块长92 m ,宽60 m 的矩形耕地上挖三条水渠(水渠的宽都相等),若水渠把耕地分成面积均为885 m 2的6个矩形小块,则水渠应挖多宽?11.商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元,据此规律,请回答:(1)商场日销售量增加______件,每件商品盈利_____元(用含x的代数式表示);(2)在上述条件不变、销售正常的情况下,每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到2 100元?【分析】12.某商店将进价为8元/件的商品按10元/件售出,每天可销售200件.现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润,并尽量使顾客得到实惠,如果这种商品的售价每提高0.5元其销售量就减少10件,则将每件售价定为多少元时,才能使每天的利润达到640元?【分析】13.我市高新技术开发区的某公司,用320万元购得某种产品的生产技术后,进一步投入资金880万元购买生产设备,进行该产品的生产加工,已知生产这种产品每件还需成本费40元.当销售单价定为100元时,年销售量为20万件,调查表明:在100~200元范围内,新产品的销售单价每增加10元,年销售量将减少1万件.为了实现年获利240万元,产品的销售单价应定为多少元?(年获利=年销售额-生产成本-投资成本)【分析】解:Array三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________一、知识点睛1. b ca a,-;根与系数的关系;韦达定理;韦达定理,Δ0≥.2. ①增长率型;②面积型;③经济型. 二、精讲精练 1.D 2.2,-43.12a <≤4.2±5.A6.6000(1+x )2=88407.108.解:由原方程知: a =2,b =4,c =-3,()22Δ4446400b ac =-=-⨯-=>∵ ∴122x x +=-,1232x x ⋅=-.(1)原式121224332x x x x +-===-; (2)7 9.5m = 10.水渠应挖1m 宽.11.(2)每件商品降价20元时,商场日盈利可达到2 100元. 12.13.产品的销售单价应定为120元.一元二次方程根与系数关系及应用题(随堂测试)1. 先验证方程22410x x --=有两个实数根1x ,2x ,然后不解方程,求下列各式的值.(1)12(1)(1)x x ++;(2)2212x x +.2. 某商场将进货单价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.调查表明:在40~60元范围内,这种台灯的销售单价每上涨1元,其销售量将减少10个,为实现平均每月10 000元的销售利润,这种台灯的销售单价应定为多少元? 【分析】解:【参考答案】1.∵2Δ(4)42(1)240=--⨯⨯-=>,∴方程22410x x --=有两个实数根1x ,2x .(1)52;(2)5;2.这种台灯的销售单价应定为50元.一元二次方程根与系数关系及应用题(作业)1. 某品牌服装原售价为173元,经过连续两次降价后售价为127元,设平均每次降价x %,则所列方程为_______________.2. 小丽要在一幅长为80 cm ,宽为50 cm 的矩形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅矩形挂图,使整幅挂图的面积是5 400 cm 2,设金色纸边的宽度为x cm ,则x 满足的方程是_______________.3. 一种商品经连续两次降价后,价格是原来的14,若两次降价的百分率相同,则这个百分率为_______________. 4. 若1x ,2x 是一元二次方程23540x x --=的两个根,则12x x +与12x x ⋅的值分别是_____________.5. 若关于x 的方程2250x x a -+-=有两个正根,则a 的取值范围是_______________.6. 设1x ,2x 是方程23620x x +-=的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值.(1)12(1)(1)x x ++;(2)221212x x x x +;(3)1211x x +;(4)212()x x -.7. 某市为争创全国文明卫生城市,2012年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元,2014年投入的资金是2 420万元,且从2012年到2014年,每年投入资金的年平均增长率相同.(1)求该市政府对市区绿化工程投入资金的年平均增长率;(2)若投入资金的年平均增长率不变,那么该市政府在2016年需投入多少万元?8. 小明家有一块长为8 m ,宽为6 m 的矩形空地,妈妈准备在该空地上建造一个花园,并使花园面积为空地面积的一半.小明设计了如下的两种方案供妈妈挑选,请你选择其中的一种方案帮小明求出图中的x 值.方案一9. 某商店进购某种商品出售,若按每件盈利2元售出,每天可售出200件.现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润,如果这种商品每件的售价每提高0.5元,其销售量就减少5件,则将每件商品提高多少元出售时,才能使每天的利润为1 210元?10. 汽车站水果批发市场经销一种水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进价不变的情况下,若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元,日销售量将减少20千克.如果市场每天销售这种水果盈利了6 000元,同时顾客又得到了实惠,那么每千克这种水果盈利了多少元?【参考答案】1.2173(1%)127x -=2.()()5028025400x x ++=3.50%4.5433-,5.4158a <≤. 6.(1)53-; (2)43; (3)3; (4)203.7.(1)10%; (2)2 928.2万元.8.方案一中2x =,方案二中2x =.9.将每件商品提高9元出售时,才能使每天的利润为1 210元. 10.每千克这种水果盈利了15元.。

一元二次方程的应用讲义

一元二次方程的应用讲义

35m.
解析:考察一元二次方程的面积问题,可以适当的平移图中的道路,将图形转化成更方便、更直接的得出答案的形式。

励志小故事——相信自己是一只雄鹰
一个人在高山之巅的鹰巢里,抓到了一只幼鹰,他把幼鹰带回家,养在鸡笼里。

这只幼鹰和鸡一起啄食、嬉闹和休息。

它以为自己是一只鸡。

这只鹰渐渐长大,羽翼丰满了,主人想把它训练成猎鹰,可是由于终日和鸡混在一起,它已经变得和鸡完全一样,根本没有飞的愿望了。

主人试了各种办法,都毫无效果,最后把它带到山顶上,一把将它扔了出去。

这只鹰像块石头似的,直掉下去,慌乱之中它拼命地扑打翅膀,就这样,它终于飞了起来!
11。

九级讲义一元精选二次方程的应用

九级讲义一元精选二次方程的应用

九年级讲义3 一元二次方程的应用(一)上节课内容回首:1.一元二次方程的一般形式是:;2.一元二次方程的解法有:、、、;23.一元二次方程ax +bx+c=0(a 、b、c 是常数且a≠0)的求根公式是;4.根的鉴别式是;5.不解方程判断一元二次方程根的状况:2-4ac>0 时,方程有的实数根;(1)当b2-4ac =0 时,方程有的实数根;(2)当b2-4ac<0 时,方程;(3)当b(二)一元二次方程根与系数关系(韦达定理):若一元二次方程ax2+bx+c=0(a 、b、c 是常数且a≠0)的根是x1、x2,则x1+x2 = ,x1·x2= ;2例:(1)若一元二次方程x+5x-6=0 的两个根分别是x1、x2,则x1+x2 = ,x1·x2= ;(2) 若一元二次方程2x2+bx- 4=0 的一个根是x1=2,则另一个根是x2= ,b= ;(3)已知对于x的一元二次方程 2 (2 1) 2 0x m x m 有两个实数根x1 和x2 .(1)务实数m 的取值范围;(2)当 2 2x1 x2 0 时,求m 的值.(三)一元二次方程的应用:n=变化后数目1.增添率问题:变化前数目×(1 x)例:(1)某种商品经过两次连续降价,每件售价由本来的90 元降到了40 元,求均匀每次降价百分率是多少?(2)某村种的水稻2009 年均匀每公顷产7200 公斤,2010 年均匀每公顷产8450 公斤,求水稻每公顷产量的年均匀增添率。

2. 流传问题:例:(1)有一人患了流感,经过两轮传染后共有121 人患了流感,每轮传染中均匀一个人传染了几个人?(2)参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场竞赛,共竞赛45 场竞赛,共有多少个队参加竞赛?3.收益问题:例:(1)某商铺购进一种商品,进价30 元.试销中发现这类商品每日的销售量P(件)与每件的售价x(元)知足关系:P=100-2x,若商铺每日销售这类商品要获取200 元的收益,那么每件商品的售价应定为多少元?每日要售出这类商品多少件?(2) 某水果批发商场经销一种高档水果,假如每千克盈余10 元,每日可售出500 千克,经市场检查发现,在进货价不变的状况下,若每千克涨价1 元,日销售量将减少20 千克。

一元二次方程及应用复习讲义

一元二次方程及应用复习讲义

一元二次方程及应用复习讲义【目标导航】【知识梳理】1.一元二次方程的有关概念:(1)一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面:“化简后”;“一个未知数”;“未知数的最高次数是2”;“二次项的系数不等于0”;“整式方程”.(2)一元二次方程的一般形式:一般地,任何一个关于x的一元二次方程经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式.(3)一元二次方程的根:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.2.一元二次方程的解法:(1)直接开平方法:形如x2=p或(nx+m)²=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.(2)配方法解一元二次方程的步骤:①把原方程化为20ax bx c++=(a≠0)的形式;②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.(3)公式法:把x=−b±√b2−4ac2a(b2-4ac≥0)叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.用公式法解一元二次方程的一般步骤为:①把方程化成一般形式,进而确定a,b,c的值(注意符号);②求出b2-4ac的值(若b2-4ac<0,方程无实数根);③在b2-4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根.注意:用公式法解一元二次方程的前提条件有两个:①a≠0;②b2-4ac≥0.(4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.因式分解法解一元二次方程的一般步骤:①移项,使方程的右边化为零;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解.3.一元二次方程根的判别式:利用一元二次方程根的判别式(△=b2-4ac)判断方程的根的情况.一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系:①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;③当△<0时,方程无实数根.上面的结论反过来也成立.4.一元二次方程根与系数的关系:(1)若二次项系数为1,常用以下关系:x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+ x2=-p,x1x2=q反过来可得p=-(x1+ x2),q=x1x2,前者是已知系数确定根的相关问题,后者是已知两根确定方程中未知系数.(2)若二次项系数不为1,则常用以下关系:x1,x2是一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的两根时,反过来也成立, x1+ x2=—ba ,x1x2=ca(3)常用根与系数的关系解决以下问题:①不解方程,判断两个数是不是一元二次方程的两个根.②已知方程及方程的一个根,求另一个根及未知数.③不解方程求关于根的式子的值,如求,x12+x22等等.④判断两根的符号.⑤求作新方程.⑥由给出的两根满足的条件,确定字母的取值.这类问题比较综合,解题时除了利用根与系数的关系,同时还要考虑a ≠0,△≥0这两个前提条件.5.列一元二次方程解应用题的“六字诀”审:理解题意,明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系. 设:根据题意,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.列:根据题中的等量关系,用含所设未知数的代数式表示其他未知量,从而列出方程. 解:准确求出方程的解.验:检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题. 答:写出答案.【典例剖析】【考点1】一元二次方程的有关定义(2020秋•江苏省秦淮区校级月考)下列方程中是一元二次方程的是( ) A .x 2−3x+2=0 B .xy +2=0C .2x +2=1D .(a 2+1)x 2﹣6=0【变式1.1】(2020秋•江苏省常熟市期中)已知关于x 的方程(m +1)x 2+2x ﹣3=0是一元二次方程,则m 的取值范围是( ) A .m >﹣1B .m ≠0C .m ≤﹣1D .m ≠﹣1【变式1.2】(2020秋•江苏省灌云县期中)将一元二次方程x 2﹣(x +5)=2(3x ﹣2)化为一般形式是( ) A .x 2﹣x +5=6x ﹣4 B .x 2﹣7x +1=0 C .x 2﹣7x ﹣1=0D .x 2﹣7x ﹣9=0【变式1.3】(2019秋•江苏省东台市期末)一元二次方程2x 2+5x =6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A .2,5,6B .5,2,6C .2,5,﹣6D .5,2,﹣6【考点2】一元二次方程的根【例2】(2020秋•江苏省沭阳县期中)已知一元二次方程x 2+kx ﹣3=0有一个根为1,则k 的值是( ) A .2B .﹣2C .4D .﹣4【变式2.1】(2020秋•江苏省句容市期中)已知x =m 是一元二次方程x 2+2x +n ﹣3=0的一个根,则m +n 的最大值等于( ) A .134B .4C .−154D .−134【变式2.2】(2020秋•江苏省兴化市月考)若x 1是方程ax 2﹣4x ﹣c =0(a ≠0)的一个根,设p =(ax 1﹣2)2,q =ac +5,则p 与q 的大小关系为( )A .p <qB .p =qC .p >qD .不能确定【变式2.3】(2019秋•江苏省淮安区期末)已知a 是方程x 2+3x ﹣1=0的根,则代数式a 2+3a +2019的值是( ) A .2020B .﹣2020C .2021D .﹣2021【考点3】因式分解法与配方法【例3】(2020秋•江苏省新吴区期中)用因式分解法解方程x 2﹣mx ﹣6=0,若将左边因式分解后有一个因式是(x ﹣3),则m 的值是( )【变式3.1】(2020•滨湖区一模)方程(x +1)(x ﹣3)=﹣4的解是( ) A .x 1=﹣1,x 2=3B .x 1=1,x 2=0C .x 1=1,x 2=﹣1D .x 1=x 2=1【变式3.2】(2020秋•江苏省武进区期中)已知关于x 的方程x 2﹣kx +9=0可以配方成(x ﹣m )2=0的形式,则k 的值为( ) A .3B .6C .﹣6D .±6【变式3.3】(2020•海安市模拟)把方程13x 2﹣x ﹣5=0,化成(x +m )2=n 的形式得( ) A .(x −32)2=272 B .(x −32)2=294C .(x −32)2=694D .(x −32)2=514【考点4】一元二次方程的根的情况【例4】(2020秋•江苏省沈河区期末)下列一元二次方程没有实数根的是( ) A .x 2+x +1=0B .x 2+x ﹣1=0C .x 2﹣2x ﹣1=0D .x 2﹣2x +1=0【变式4.1】(2020秋•江苏省武进区期中)下列一元二次方程有两个异号的实数根的是( ) A .x 2﹣3x ﹣1=0 B .2x 2﹣2x +12=0 C .x 2﹣4x +4=0D .﹣x 2+x −12=0【变式4.2】(2020•靖江市一模)若关于x 的方程x 2+3x +c =0有实数根,则c 的取值范围是( ) A .c ≥94B .c ≤49C .c ≥49D .c ≤94【变式4.3】(2020•吴江区一模)已知关于x 的方程x (x ﹣2)+3m =0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是( )A.m<13B.m>−13C.m<13且m≠0D.m>−13且m≠0【变式4.4】(2020秋•江苏省鼓楼区期中)关于x的方程x2﹣p2=1(p为常数)的根的情况,下列结论中正确的是()A.两个正根B.两个负根C.一个正根,一个负根D.无实数根【考点5】一元二次方程的根与系数的关系【例5】(2020秋•江苏省惠山区期中)已知m,n是方程x2﹣2x﹣5=0的两个不同的实数根,则m+n的值为()A.﹣2B.2C.﹣5D.5【变式5.1】(2019秋•江苏省秦淮区期末)若关于x的方程ax2+bx+c=0的解为x1=﹣1,x2=3,则方程a (x﹣1)2+b(x﹣1)+c=0的解为()A.x1=0,x2=2B.x1=﹣2,x2=4C.x1=0,x2=4D.x1=﹣2,x2=2【变式5.2】(2019秋•江苏省仪征市期末)若a,b(a<b)是方程(x﹣m)(n﹣x)=2(m<n)的两根,则实数a,b,m,n的大小关系是()A.m<a<b<n B.a<m<b<n C.a<m<n<b D.a<b<m<n【变式5.3】(2019秋•江苏省兴化市期末)已知一元二次方程p2−√3p﹣3=0,q2−√3q﹣3=0(q≠p),则p+q的值为()A.−√3B.√3C.﹣3D.3【考点6】解一元二次方程【例6】(2020春•崇川区校级期末)用适当的方法解方程(1)x(2x+1)=8x﹣3 (2)(x+4)2=5(x+4)【变式6.1】(2020春•海陵区期末)解方程:(1)x2+3x﹣10=0;(2)x2﹣7=4x.【变式6.2】(2020春•宝应县期末)已知关于x的一元二次方程3x2+bx﹣2=0.(1)若b=6,请你求出这个方程的解;(2)若b为任意数,请判断此时这个方程的根的情况.【变式6.3】(2020春•常州期末)(1)比较x2+4与4x的大小:(用“>”或“=”或“<”或“≥”或“≤”号填空)①当x=1时,x2+44x;②当x=2时,x2+44x;③当x=﹣1时,x2+44x;④自己再任意取一些x的值,计算后猜想:x2+44x.(2)无论x取什么值,x2+4与4x总有这样的大小关系吗?请说明理由.【考点7】判别式与韦达定理综合问题【例7】(2020春•海陵区期末)关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2=0.(1)若﹣2是该方程的一个根,求该方程的另一个根;(2)求证:无论m取任何实数,此方程总有两个不相等的实数根;(3)设该方程的两个实数根为x1,x2,若x12+x22+m(x1+x2)=m2+1,求m的值.【变式7.1】(2020春•溧水区期末)已知:关于x的一元二次方程x2+mx=3(m为常数).(1)证明:无论m为何值,该方程都有两个不相等的实数根;(2)若方程有一个根为2,求方程的另一个根.【考点8】一元二次方程的应用:销售问题【例8】(2020春•如东县期末)某商场以每件220元的价格购进一批商品,当每件商品售价为280元时,每天可售出30件,为了迎接“618购物节”,扩大销售,商场决定采取适当降价的方式促销,经调查发现,如果每件商品降价1元,那么商场每天就可以多售出3件.(1)降价前商场每天销售该商品的利润是多少元?(2)要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍,且更有利于减少库存,则每件商品应降价多少元?【变式8.1】(2020春•五华区校级期末)某商店分别花2000元和3000元先后两次以相同的进价购进某种商品,且第二次的数量比第一次多50千克.(1)该商品的进价是多少?(2)若该商品每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系式为:y=﹣10x+500,商品的售价定为多少元时,商店每天可以获利2210元?【变式8.2】(2020春•高淳区期末)某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间正好可以住满.每个房间每天的定价每增加10元,就会有一个房间空闲.已知有游客入住的房间,宾馆每天需对每个房间支出50元的各种费用.(1)若某天宾馆的入住量为58个房间,则该天宾馆的利润为元;(2)求宾馆每天房间入住量达到多少个时,每天的利润为11000元.【变式8.3】(2019秋•江苏省金湖县期末)国庆期间,某风景区推出两种旅游观光活动付费方式:若人数不超过20人,人均缴费500元;若人数超过20人,则每增加一位旅客,人均收费降低10元,但是人均收费不低于350元.现在某单位在国庆期间组织一批贡献突出的职工到该景区旅游观光,支付了12000元观光费,请问:该单位一共组织了多少位职工参加旅游观光活动?【考点9】一元二次方程的应用:面积问题【例9】(2019秋•江苏省建邺区期末)小淇准备利用38m长的篱笆,在屋外的空地上围成三个相连且面积相等的矩形花园.围成的花园的形状是如图所示的矩形CDEF,矩形AEHG和矩形BFHG.若整个花园ABCD(AB>BC)的面积是30m2,求HG的长.【变式9.1】(2020春•溧水区期末)如图,有一块宽为16m的矩形荒地,某公园计划将其分为A、B、C三部分,分别种植不同的植物.若已知A、B地块为正方形,C地块的面积比B地块的面积少40m2,试求该矩形荒地的长.【考点10】一元二次方程的应用:增长率问题【例10】(2019秋•江苏省高邮市期末)某市2017年对市区绿化工程投入的资金是5000万元,为争创全国文明卫生城,加大对绿化工程的投入,2019年投入的资金是7200万元,且从2017年到2019年,两年间每年投入资金的年平均增长率相同.(1)求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率;(2)若投入资金的年平均增长率不变,那么该市在2020年预计需投入多少万元?【变式10.1】(2019秋•江苏省桥东区期末)“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种,在我省被广泛种植,邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩,到2019年“早黑宝”的种植面积达到196亩.(1)求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率;(2)市场调查发现,当“早黑宝”的售价为20元/千克时,每天能售出200千克,售价每降价1元,每天可多售出50千克,为了推广宣传,基地决定降价促销,同时减少库存,已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克,若使销售“早黑宝”每天获利1750元,则售价应降低多少元?。

九年级上第04讲 一元二次方程的应用 讲义+练习

九年级上第04讲 一元二次方程的应用 讲义+练习
(要求学生按△>0,△=0,△<0三种情况回答问题.)
传播问题应用公式:a(1+x)n=A,a表示传播之前的人数,x表示每轮每人传播的人数,n表示传播的天数或轮数,A表示最终的总人数
增长率问题公式:a(1+x)n=b(其中a是原来的量,x是平均增长率,n是增长的次数,b是增长到的量)
销售问题中常出现的量有:进价、售价、标价、利润等
一元二次方程的应用
适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
人教版区域
课时时长(分钟)
120
知识点
一元二次方程的应用
教学目标
1. 掌握实际问题的类型(传播问题、百分率问题)及解题的具体步骤.
2. 掌握实际问题的类型(经济利润问题).
3. 掌握实际问题的类型(裁边分割问题)及解题的具体步骤.
教学重点
一元二次方程解决传播问题、百分率问题、经济利润问题、面积问题.
2.在“文化宜昌•全民阅读”活动中,某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量(单位:本)进行了调查,2012年全校有1000名学生,2013年全校学生人数比2012年增加10%,2014年全校学生人数比2013年增加100人.
(1)求2014年全校学生人数;
(2)2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本,阅读总量比2012年增加1700本(注:阅读总量=人均阅读量×人数).
(1)请求出AD的长(用含字母x的式子表示);
(2)若该花圃的面积为50米2,且周长不大于30米,求AB的长.
1.如图,正方形ABCD的边长为10cm,点P从A开始沿折线A→D→C以2cm/s的速度移动,点Q从D开始沿CD边以1cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从A、D同时出发,当其中一点到达C时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t(s).

上教版八年级数学(上)暑假讲义 第6讲--一元二次方程的应用

上教版八年级数学(上)暑假讲义 第6讲--一元二次方程的应用

未来的你,一定会感谢现在努力的自己第六讲 一元二次方程的应用【知识精讲】1、二次三项式的因式分解(1)形如的多项式称为二次三项式;(2)如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为:.【精讲提升】【例1】 在实数范围内不能分解因式的是()A .B .C .D .【例2】 方程的两个实数根是,则把这个二次三项式进行因式分解的结果是________________________.【例3】 将在实数范围内因式分解,正确的结果是( )A .B .C .D .【例4】 若二次三项式在实数范围内可分解因式为,则一元二次方程的值分别为________________.2241x x --2241x x --2241x x --2241x x --2241x x --2241x x --2241x x --2241x x --26x --25211x x -+2422x x --20(0)ax bx c a ++=¹12x x ==2ax bx c ++229136a b a +--(31)(31)a a -+-(31)(31)a a --+(31)(31)a a --(31)(31)a a +++2x bx c ++(x x -b c ,【例5】 在实数范围内分解因式:(1);(2); (3);(4).【例6】 在实数范围内分解因式:(1);(2).【例7】 在实数范围内分解因式:(1);(2).228x -3(1)5(1)x x ---272x x -++22430x x --285x x -+261y y -+2285x x -+221x --【例8】 在实数范围内分解因式:(1); (2); (3).【例9】 在实数范围内分解因式:(1);(2).【例10】 在实数范围内分解因式:(1);(2);(3).【例11】 二次三项式,当a 取何值时,(1)在实数范围内能分解; (2)能分解成两个相同的因式; (3)不能因式分解 .2241x y xy ++222x y --221342x y xy --+422772x x +-4241036y y --+222m mn n --22311x y ++22621x y xy +-2(21)(1)a x a --+-【例12】 已知可以分解得到,求实数的值.【例13】 多项式是完全平方式,求证:.224x kxy y ++(22)()x y mx ny ++k m n ,,2221244x a ab b -+-+-2b a =师生总结1、因式分解常用的方法有哪些?2、二次三项式可以进行因式分解的条件是什么?【知识框架】【知识精讲】1、数字问题:对于数的应用题主要是要知道数的表示.例如:一个三位数个位、十位、百位分别为x 、y 、 z ,那么这个三位数则可以表示为.【精讲提升】【例1】 已知两个连续奇数的积是,求这两个数.【例2】 有一个两位数等于其数字之积的2倍,其十位数字比个位数字小3,求这个两位数.10010x y z ++323模块一:数字问题【例3】 有一个两位数,它们的十位数字与个位数字之和为,如果把十位数字与个位数字调换后,所得的两位数乘以原来的两位数就得,求原来的两位数.【例4】 一个两位数是一个一位数的平方,把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数,比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大,求这个两位数.818552522、增长率问题 基本公式:,表示增长前的数,表示增长率,表示增长后的数,要列出这类方程关键在于找出、.如果是降低率,则为.【例5】 甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为元的商品,甲超市连续两次降价;乙超市一次性降价;丙超市第一次降价,第二次降价,此时顾客要购买这种商品,最划算的超市是哪家?【例6】 某钢铁厂去年月份钢的产量为吨,月份上升到吨,求这两个月平均每月增长的百分率是多少?()21a x b +=a x b a b ()21a x b -=m 20%40%30%10%1500037200 模块二:增长率问题例题解析【例7】 某商场今年一月份销售额万元,二月份销售额下降,进入月份该商场采取措施,改革营销策略,使日销售额大幅上升,四月份的销售额达到万元,求三、四月份平均每月销售额增长的百分率.【例8】 某工厂月份产品数是万件,要求第1季度总产品数达到万件,若每月平均增长率相同,求该工厂每月的平均增长率.(只列方程不求解)【例9】 某电脑公司2000年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为600万元,占全年经营总收入的40%,该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元,且计划从2000年到2002年,每年经营总收入的年增长率相同,问2001年预计经营总收入为多少万元?10010%3129.6150183.7053、利润问题:总利润单件利润总件数; 总利润总售价总成本价.根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可.【例10】 某商店购进一种商品,进价元.试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价 (元)满足关系:,若商店每天销售这种商品要获得元的利润,那么每件商品的售价应定为多少元?每天要售出这种商品多少件?【例11】 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为只,且每日产出的产品全部售出,已知生产只熊猫的成本为(元),售价每只为(元),且、与的关系式分别为,. (1)当日产量为多少时每日获得的利润为元?(2) 若可获得的最大利润为元,问日产量应为多少?=´=-30P X 1002P X =-20040X R P R P X =500+30R X 1702P X =-17501950模块三:利润问题知识精讲例题解析【例12】某商场销售一批衬衫,进货价为每件元,按每件元出售,一个月内可售出件.已知这种衬衫每件涨价元,其销售量要减少件.为了减少库存量,且在月内赚取元的利润,售价应定为每件多少元?【例13】 某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利元,每天可售出千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价元,日销售量将减少千克.现该商品要保证每天盈利元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?【例14】服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出件,每件盈利元.为了迎接“六一”儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存.经市场调查发现,如果每件童装每降价元,那么平均每天就可多售出件.要想平均每天在销售这种童装上盈利元,那么每件童装应降价多少元?405050011080001050012060002040481200【例15】商场某种新商品每件进价是120元,在试销期间发现,当每件商品售价为130元时,每天可销售70件,当每件商品售价高于130元时,每涨价1元,日销售量就减少1件.据此规律,请回答:(1)每件商品售价定为170元时,每天可销售多少件商品?商场获得的日盈利是多少? (2)在上述条件不变、商品销售正常的情况下,每件商品的销售价定为多少元时,商场日盈利可达到1600元?【例16】 某汽车销售公司月份销售某厂家汽车,在一定范围内,每辆汽车的进价与销售量有如下关系,若当月仅售出辆汽车,则该汽车的进价为万元;每多售出辆,所有售出的汽车的进价均降低万元/辆,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在辆以内(含辆),每辆返利万元,销售量在辆以上,每辆返利万.(1)若该公司当月售出辆汽车,则每辆汽车的进价为 万元;(2)如果汽车的售价为万元/辆,该公司计划当月盈利万元,那么需要售出多少辆汽 车?(盈利=销售利润+返利)612710.110100.5101328124、几何面积问题:对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状,再根据公式将要求出的量用表示出来.例如要求的某个长方形面积,就必须先把长和宽表示出来.【例17】一个直角三角形的两条直角边的和是,面积是,两条直角边的长分别是____________.【例18】一个菱形两条对角线长的和是,面积是,菱形的周长是-________.(结果保留根号)【例19】若把一个正方形的一边增加,另一边增加,得到的矩形面积的倍比正方形的面积多,则原正方形的边长为______.【例20】如图,有一面积是平方米的长方形鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长米),墙对面有一个米宽的门,另三边(门除外)用竹篱笆围成,篱笆总长米.求鸡场的长和宽各多少米?x 14cm 224cm 10cm 212cm 2cm 1cm 2211cm cm 15018233模块四:面积问题知识精讲例题解析【例21】如图,在宽为 ,长为的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路,其余部分作为耕地为.则道路的宽为是 .【例22】台门中学为美化校园,准备在长米,宽米的长方形场地上,修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校学生参与图纸设计.现有三位学生各设计了一种方案(图纸如下图),问三种设计方案中道路的宽分别为多少米?(1)甲方案图纸为图1,设计草坪总面积平方米.(2)乙方案图纸为图,设计草坪总面积平方米.(3)丙方案图纸为图,设计草坪总面积平方米.20m 30m 2551m 322054025403570ͼ2ͼ120ͼ3【例23】如图,矩形中,,,点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动,点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动,如果、分别是从同时出发,求经过几秒时,①的面积等于平方厘米?②五边形的面积最小?最小值是多少?传播问题5、传播问题(1)送贺卡原则是我送你一张你也要送我一张,所以对于每个人都送出去了张,总共有个人所以列式为; (2)而握手以及单循环比赛是不重复进行的,但我们可以假设它重复进行,所以列式为. 这两类问题具有共同的特征,统称为传播问题.ABCD 6AB cm =8BC cm =P A AB B 1Q B BC C 2P Q A B ,PBQ D 8APQCD 1x -x ()1930x x -=(1)1052x x -= 模块五:传播问题知识精讲【例24】圣诞节昂立师生互送贺卡,总共送出张,求昂立共有师生多少人?【例25】参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛场比赛,共有多少个队参加比赛?【例26】生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了件,这个小组共有多少名同学?【例27】首届中国象棋比赛采用单循环制,每位棋手与其它棋手比赛一盘制,已知第一轮比赛共下了场,那么参加第一轮比赛的共有几名选手?93045182105例题解析【例28】某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是,每个支干长出多少小分支?【例29】有一人患了流感,经过两轮传染后共有人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?【习题1】 两个连续奇数的积是63,则这两个奇数是_________. 【习题2】 长方形的长比宽多,面积是,则它的长是_________. 【习题3】某厂今年利润为元,计划今后每年增长,两年后利润是_________.【习题4】若正方形的边长增加为两倍,它的面积就增加48,则原来的边长为________.【习题5】某农场的总产值预计今年比前年翻一番,那么平均每年总产值约增长_____(精确到0.01).【习题6】张大叔从市场上买回一块矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为米的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为立方米的无盖长方体箱子,且此长方体箱子的底面长比宽多米,现已购买这种铁皮每平方米需元钱,问张大叔购买这张铁皮共花了 元钱911214cm 260cm a %m 2cm cm %115220随堂检测【习题7】有一个两位数,它的十位数字与个位数字之和为4,如果把十位数字与个位数字调换位子后,所得的两位数乘以原来的两位数得403,设原来的数的个位数是,则可得方程是( ).A. B. C. D.【习题8】某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,客床可全部租出,若每床每晚收费提高2元,则减少10张床位租出,若每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出,以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而利润大,每床每晚应提高( ).A.4元和6元B.4元C.6元D.8元【习题9】某工厂今年月份产品数是万件,要求月份达到万件,求这个工厂月份和月份的月平均增长率.【习题10】 西瓜经营户以的价格购进一批小型西瓜,以的价格出售,每天可售出千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价,每天可多售出千克.另外,每天的房租等固定成本共元.该经营户要想每天盈利元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?x (94)(409)403x x +-=(94)(409)403x x --=(4)(4)403x x x x -×-=(94)(49)403x x +-=150360.5232元/千克3元/千克2000.1元/千克4024200【习题11】 某商场销售一批名牌鞋子,平均每天可售出双,每件盈利元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场采取适当的降价措施,经调查发现,如果每双鞋子降价一元,商场平均每天可多售出件.(1)商场平均每天要盈利元,每双鞋子应降价多少元?(2)商场平均每天盈利为,则每双鞋子降价多少元时,商场或利最大?最大值是多少?【课后作业】【作业1】 从正方形的铁片上,截去宽为2厘米的一个长方形,余下的面积是48平方厘米,则原来的正方形铁片的面积是________.【作业2】 有46米长的竹篱笆,要围成一边靠墙(墙长25米)的矩形鸡场,其面积是260平方米,则鸡场的长为______米,宽为______米.【作业3】 在一块长12m ,宽8m 的长方形平地中央,划出地方砌一个面积为8的长方形花台,要使花坛四周的宽度一样,则这个宽度为多少?(结果保留根号)204021200Y 2mF E A BC D【作业4】 如图所示的一防水坝的横截面(梯形),坝顶宽3m ,背水坡度为1:2,迎水坡度为1:1,若坝长30m ,完成大坝所用去的土方为4500,问水坝的高应是多少?(说明:背水坡度CF :BF =1:2,迎水坡度1:1=DE :AE精确到0.1m )【作业5】 某种细菌,一个细菌经过两轮繁殖后,共有256个细菌,每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌?【作业6】 从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升,然后用水注满,再倒出同样升数的混合液后,这时容器里剩下纯酒精5升.问每次倒出溶液的升数?【作业7】 为了测定一个矿井的深度,把一块石头从井口丢下去,7.26秒后听到它落地的声音,已知音速为330米每秒,石头从井口落下的距离s 与时间t 的关系式为(g =10米每二次方秒),求这个矿井的深度.3m 10.049»212s gt =【作业8】某同学在初二年级末,将500元班费存入了半年期的定期储蓄,到期后取出240元,其余的继续存半年定期,毕业时正好到期,取到本利和272.68,购买纪念品.求这种储蓄半年期的获利率?(只列方程并化成一般式,不需要求解)【作业9】将进价为40元的商品加价25%出售能卖出500个,若以后每涨1元,其销售量就减少10个,如果使利润为9000元,售价应该定为多少?【作业10】百货大搂服装柜在销售中发现:“七彩”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“元旦”,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存.经市场调查发现:如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件.(1)要想平均每天销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?(2)用配方法说明:要想盈利最多,每件童装应降价多少元?未来的你,一定会感谢现在努力的自己21/ 21ABCDLP【作业11】等腰直角三角形ABC中,∠BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为D,CD=2,P是AB 上的一动点(不与A、B重合),且AP=x,过点P作直线l与AB垂直.(1)设三角形ABC位于直线l左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函数关系式;(2)当x为何值时,直线l将三角形ABC的面积分成1:3的两部分.。

讲义 一元二次方程的应用

讲义 一元二次方程的应用

授课主题:一元二次方程的应用针对的学生年级:江苏初三学生中上等拔高类型教材分析:一元二次方程是中学数学的重要内容之一,在初中数学中占有重要的地位,其中一元二次方程的应用在初中数学应用问题中极具代表性,它是一元一次方程的继续,又是函数学习的基础,它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型。

中考形式:一元二次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一,它的试题背景与二元一次方程组的应用、简单分式方程的应用、一元一次方程的应用一样,随着改革的继续而更富有时代的气息,更宣于生活化,更贴近学生的实际.【学习目标】1.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.2.能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.【教学重点】列一元二次方程解有关传播问题、平均变化率问题、图形的面积问题、商品利润类、几何图形运动类的应用题【教学难点】发现传播问题、平均变化率问题、图形的面积问题、商品利润类、几何图形运动类等问题的等量关系。

【学习过程】一、知识回顾1、解一元二次方程都是有哪些方法?3.列一元二次方程解应用题又有哪些步骤呢?解一元二次方程的数学应用题的一般步骤(5)找——找出题中的等量关系(6)设——设未知数(7)列——列出方程,即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式(8)解——解出所列的方程(9)验——将方程的解代入方程中检验,回到实际问题中检验(10)答——作答下结论应用1:传播问题问题1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_______人,第一轮后共有______人患了流感;第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了_______人,第二轮后共有_______人患了流感。

则:列方程,解得即平均一个人传染了个人。

思考:如果按照这样的传染速度,三轮后有多少人患流感?巩固练习1.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?应用2:有关平均变化率问题的应用题此类问题是在某个数据的基础上连续增长(降低)两次得到的新的数据。

一元二次方程的应用 讲义

一元二次方程的应用 讲义

授课主题:一元二次方程的应用 针对的学生年级:九年级同步一、学生情况分析学生基础不是很好,对于一元二次方程的基础掌握不够牢固,应用题不会分析问题列方程。

二、授课计划针对学生情况,本节课一方面对一元二次方程的基本知识点进行巩固,另一方面分析一元二次方程应用题的基本题型和相应的解题方法,着重提升学生的分析问题的能力。

三、教学设计知识回顾1. 一元二次方程的概念2.一元二次方程的解法 例:1.选用合适的方法解下列方程(1))4(5)4(2+=+x x (2)x x 4)1(2=+(3)22)21()3(x x -=+ (4)31022=-x x2.解下列关于x 的方程(1)1222=++a ax x (2)02=++q px x应用问题1. 销售问题(每每型问题)引入:以前我们在解决销售问题时,应用过那些想等关系呢?(1)售价-进价=利润 (2)单价×数量=总价(3)(售价-进价)/进价=利润率 (4)单利润×销量=总利润例:(1)王大妈以每千克0.7元的单价进了30千克白菜,以每千克1.5元全部卖完,可获利多少元?分析:解法可能有两种:1.5×30-0.7×30=24元(1.5-0.7)×30=24元很明显第二种较简便,概括等量关系:每千克白菜利润×销量=总利润例:(2)文具店以每支3.5元的单价进了10支钢笔,以每支5元的单价买完,可获利润多少元?分析:解法可能有两种:5×10-3.5×10=15元(5-3.5)×10=15元很明显第二种较简便,概括等量关系:每支笔利润×销量=总利润以上两个相等关系可概括为:单利润×销量=总利润2.某种冰箱平均每天能售出8台,而当售价每降价50元时,平均每天就能多售出4台,设每台降价x元时,平均每天销量为y台,则y 与x的关系式如何表示?销量是降价的一次函数:y=8+4×(x/50)=(2/25)x+8题型分析:为什么叫“每每型”通常情况下,单价上涨,销量就会下降;反之,单价下降,销量就会上涨。

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一元二次方程的应用(专题训练)
一元二次方程的实际应用
(1)与数字有关的问题
例1
一个两位数,十位数字与个位数字之和是5,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736,求原来的两位数 解:
练习题一
1.一个两位数,个位数字比十位数字大3,个位数字的平方恰好等于这个两位数,则这个两位数是多少?
2、某两位数的十位数字是082=-x x 的解,则其十位数字是多少;某两位数的个位数字是方程082=-x x 的解,则其个位数是多少?
3、一个两位数,个位上数字比十位数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4,设个位数字为x ,求这个两位数?
4、一个两位数,个位上的数字是十位数字的平方还多1,若把个位上的数字与十位上的数字对调,所得的两位数比原数大27,求原两位数?
5、一个三位数,百位上数字为2,十位上数字比个位上数字小3,这个三位数个位、十位、百位上的数字之积的6倍比这个三位数小20,求这个三位数?
例2
三个连续奇数,它们的平方和为251,求这三个数?
解:
练习题二
1、两个数的和为16,积为48,则这两个正整数各是多少?
2、若两个连续正整数的平方和为313,则这两个正整数的和是多少?
3、三个连续正整数中,前两个数的平方和等于第三个数的平方,则这三个数从小到大依次是多少?
4、三个连续偶数,使第三个数的平方等于前两个数的平方和,求这三个数?
5、有四个连续整数,已知它们的和等于其中最大的与最小的两个整数的积,求这四个数?
(2)与几何图形面积有关的问题
例3
一个直角三角形三边的长是三个连续整数,求这三条边的长和它的面积 解:
练习题三
1.直角三角形两直角边的比是8:15,而斜边的长等于6.8cm ,那么这个直角三角形的面积等于多少?
2、直角三角形的面积为6,两直角边的和为7,则斜边长为多少?
3、用一条长12厘米的铁丝折成一个斜边长是5厘米的直角三角形,则两直角边的长是多少?
4、一个三角形的两边长为2和4,第三边长是方程0121022=+-x x 的解,则三角形的周长为多少
6、若三角形的三边长均满足方程0862=+-x x ,则此三角形的周长为多少?
例4
一块长80cm ,宽60cm 的薄钢片,在四个角截去四个相同的小正方形,然后将四边折起,做成如图所示的底面积是15002cm 且无盖的长方体盒子. 求截去的小正方形的边长.
解:
练习题四
1.一块矩形的地,长是24米,宽是12米,要在它的中央划一块矩形的花坛,四周铺上草地,其宽都相同,花坛占大块矩形面积的9
5,求草地的宽?
2、从一块正方形的木板上锯下2m 宽的长方形木条,剩下部分的面积是482m ,则这块木板的面积是多少?
3、有一间长18m ,宽7m 的会议室,在它的中间铺一块地毯,地毯的面积是会议室面积的3
1,四周未铺地毯处的宽度相同,则求所留宽度是多少?
4、一根铁丝长48cm ,围成一个面积为140cm 2的矩形,求这个矩形的长和宽分别是多少?
5、建一个面积为480平方米的长方形存车处,存车处的一面靠墙,另三面用铁栅栏围起来,已知铁栅栏的长是92米,求存车处的长和宽各是多少?
(3)有关增长率的问题
例5
将进货单价为30元的商品按40元售出时,每天能卖出500个. 已知这种商品每涨价1元,其每天销售量就减少10个,为了每天能赚取8000元的利润,且尽量减少库存,售价应定为多少?
解:
练习题五
1、某商店的童装按标价的九折出售,仍可获利20%,若进价为每件21元,求每件标价为多少元?
2、一个小组有若干个人,新年互送贺卡一张,已知全组共送贺卡72张,求这个小组有多少人?
3、生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共赠送了182件,求全组有多少名同学?
4、有一种植物的主干长出了若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、分支和小分支的总数是111,每个支干长出多少小分支?
例6
某工厂1月份产值为50万元,采用先进技术后,第一季度产值共为182万元,2月份和3月份的平均增长率为多少?
解:
练习题六
1、某农场的产量两年从50万公斤增加到60.5万公斤,平均每年增产百分之几??
2、某化肥厂今年一月份的化肥产量为4万吨,第一季度共生产化肥13.2万吨,问2、3月份平均每月的增长率是多少?
3、某超市一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共1000万元,求平均每月增长率为多少?
4、某种粮大户今年产粮20万千克,计划后年产粮达到28.8万千克,若每年粮食增产的百分率相同,求平均每年增产的百分数?
5、某钢厂今年一月份产量为4万吨,第一季度共生产13.24万吨,问二、三月份平均每月的增长率是多少?。

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