方差分析中离差平方和的简化计算
方差分析(包括三因素)讲解
2、CLASS 变量表；
CLASS必须的MODEL之前。
3、MODEL 因变量表=效应；
输出因变量均数，对主效应均数间的检
4、MEANS 效应[/选择项]；
验。
5、ALPHA=p 显著性水平（缺省值为0.05）
是指因变量与自变量效应，模型如下：
1、主效应模型 MODEL y=a b c; (a b c是主效应，y是因变量）
计判断，得出结论。
5
方差分析的基本思想：把全部数据关于总均值的离差平方和 分解成几部分，每一部分表示某因素诸水平交互作用所产生 的效应，将各部分均方与误差均方相比较，从而确认或否认 某些因素或交互作用的重要性。
用公式概括为：
各因素引起
由个体差异 引起（误差）
总变异=组间变异+组内变异
种类：常用方差分析法有以下4种 1、完全随机设计资料的方差分析（单因素方差分析） 2、随机区组设计资料的方差分析（二因素方差分析） 3、拉丁方设计资料的方差分析（三因素方差分析） 4、R*C析因设计资料的方差分析（有交互因素方差分析）
3
第一节 概述
因素（因子）—— 可以控制的试验条件 因素的水平 —— 因素所处的状态或等级 单（双）因素方差分析——讨论一个（两个） 因素对试验结果有没有显著影响。
4
例如：某厂对某种晴棉漂白工艺中酸液浓度（g/k）进 行试验，以观察酸液浓度对汗布冲击强力有无显著影 响。
冲击强力 序号
1
浓度
2 3 4 56
计算出F值：
QA
4217.3
(3 1) 2 28.38
QE
1114.7
(3(6 1))
5
15
列表：
方差来源 因素A 试验误差 总误差
单因素试验方差分析(试验数据处理)
SST ( X ij X ) 2
j 1 i 1
r nj
r
nj
SSA ( X j X ) 2
j 1 i 1
n j ( X j X )2
j 1
s
SSA反映了在每个水平下的样本均值与样本总均 值的差异，它是由因子A 取不同水平引起的，所以， 称SA是因子A的效应（组间）平方和.
单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变.
多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.
例1 下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间（以毫秒计）. 表1 电路的响应时间 类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ 19 20 16 18 22 21 15 22 20 33 18 19 18 27 26 试验指标:电路的响应时间 因素:电路类型 水平: 四种电路类型为因素的四个不同的水平 单因素试验 试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无 显著的影响.（从哪些值来看是否有影响呢？）
F值 31.10
显著性
934.73
2
6
467.36
**
组内 总和
90.17
1024.89
15.03
8
不同的饲料对猪的体重有非常显著的影响。
三、单因素试验方差分析的简化计算
由于方差分析的计算量比较大，所以引入一种离 差平方和的简单算法：
令
Ti —Ai 水平时,ni个试验值之和 Qi —Ai 水平时,ni个试验值的平方和 T—n个试验值之和 Q—n个试验值的平方和
r
列平均X i Ti ni
（组内平均值）
X1
X2
...
r i 1
Xr
n n i 其中诸 ni 可以不一样，
单因素方差分析的计算步骤
单因素方差分析的计算步骤Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】一、 单因素方差分析的计算步骤假定实验或观察中只有一个因素（因子）A ,且A 有m 个水平，分别记为,,,21m A A A 在每一种水平下，做n 次实验，在每一次试验后可得一实验值，记做ij x 表示在第j 个水平下的第i 个试验值()m j n i ,2,1;,2,1==。
结果如下表：m A A A ,,21看成是m 个正态总体，而()m j n i x ij ,2,1;,2,1==看成是取自第j 总体的第i 个样品，因此，可设()m j n i a N x j ij ,2,1;,2,1,,~2==σ。
可以认为j j j a εεμ,+=是因素A 的第j 个水平j A 所引起的差异。
因此检验因素A 的各水平之间是否有显着的差异，就相当于检验：μ====m a a a H 210:或者 具体的分析检验步骤是：（一）计算水平均值令j x 表示第j 种水平的样本均值，式中，ij x 是第j 种水平下的第i 个观察值，j n 表示第j 种水平的观察值次数（二）计算离差平方和在单因素方差分析中，离差平方和有三个，它们分别是总离差平方和，组内离差平方和以及组间平方和。
首先，总离差平方和，用SST 代表，则，其中,n x x ij ∑∑=它反映了离差平方和的总体情况。
其次，组内离差平方和，用SSE 表示，其计算公式为：其中j x 反映的是水平内部或组内观察值的离散状况，即反映了随机因素带来的影响。
最后，组间平方和，用SSA 表示，SSA 的计算公式为：用各组均值减去总均值的离差的平方，乘以各组观察值个数，然后加总，即得到SSA 。
可以看出，它所表现的是组间差异。
其中既包括随机因素，也包括系统因素。
根据证明，SSA SSE SST ,,之间存在着一定的联系，这种联系表现在： 因为：在各组同为正态分布，等方差的条件下，等式右边最后一项为零，故有，即 SSA SSE SST +=（三）计算平均平方用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。
教育与心理统计学 第六章 方差分析考研笔记-精品
第六章方差分析第一节方差分析概述一.方差分析的定义［用途］定义:用途方差分析也称为变异数分析，是在教育与心理研究中最常用的变量分析方法，其主要功能在于分析测量或实验数据中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定测量或实验中因素对反应变量是否存在显著影响。
即用于置信度不变情况下的多组平均数之间的差异检验。
它既可以比较两个以上的样本平均数的差异检验，也可以应用于一个因素多种水平以及多个因素有多种水平的数据分析。
二.方差分析的作用方差分析主要应用于两种以上实验处理的数据分析，同时匕徽两个以上的样本平均数，推断多组资料的总体均数是否相同，也即检验多组数据之间的均数差异是否有统计意义。
在这个意义，也可以将其理解为平均数差异显著性检验的扩展。
当我们用多个t检验来完成这一过程时，相当于从t分布中随机抽取多个t值，这样落在临界范围之外的可能大大增加，从而增加了I型错误的概率，我们可以把方差分析看作t检验的增强版。
方差分析一次检验多组平均数的差异，降低了多次进行两组平均数检验所带来的误差。
在进行方差分析时，设定的假设是综合虚无假设，即假设样本所归属的所有总体的平均数都相等。
如果检验的结果是存在显著性差异，只能说明多组平均数之间存在显著性差异，但是无法确定究竟哪些组之间存在显著性差异，此时需要运用事后检验的方法来确定。
三.方差分析的相关概念一（一）数据的变异（1）变异:统计中的变异是普遍存在的7一般意义上的变异是指标志（包括品质标志和数量标志）在总体单位之间的不同表现。
可变标志的属性或数值表现在总体各单位之间存在的差异，统计上称之为变异,这是广义上的变异，即包括了品质标志和数量标志，有时仅指品质标志和在总体单位之间的不同表现。
注：随机性，即变异性。
（2）组间变异［组间差异］:组间变异表示处理间变异，主要指由于接受不同的实验处理（实验处理效应）而造成的各组之间的变异，可以用两个平均数之间的离差来表示，可将组间离差平方和记为SS AO组间差异可用组间方差来表征，用符号MS B表示。
第三章 正交试验设计中的方差分析2-例题分析
由极差看B的影响最小，即络合剂是测定的次要因素。 由极差看 的影响最小，即络合剂是测定的次要因素。 的影响最小 第五步，进一步画出指标－因素趋势图观察。 第五步，进一步画出指标－因素趋势图观察。
24 23 22 21 Abs
Abs 21.5 21 20.5 20 19.5 19 18.5
Abs 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15
三．实际应用举例 例8：用原子吸收光谱测定铝合金中痕量铁时， ：用原子吸收光谱测定铝合金中痕量铁时， 需要选择以下三个因素的最适宜条件： ） 需要选择以下三个因素的最适宜条件：1）酸度 (用1:1盐酸的体积代表 ；2）络合剂（5％的8用 盐酸的体积代表 盐酸的体积代表)； ）络合剂（ ％ 羟基喹啉）加入量；3）释放剂（20mg/ml的锶 羟基喹啉）加入量； ）释放剂（ 的锶 盐）加入量。每个因素考虑三个水平，分别是： 加入量。每个因素考虑三个水平，分别是： 4ml、7ml、10ml；3ml、6ml、9ml；1ml、 、 、 ； 、 、 ； 、 9ml、17ml。如何安排这个试验，并对结果进 、 。如何安排这个试验， 行分析。 行分析。
同样： 同样：QB=10.9；QC=76.2； ； ；
总的方差和Q 如下计算： 总的方差和 T如下计算：
那么试验误差的差方和就可如下计算： 那么试验误差的差方和就可如下计算： Qe＝QT－（ A＋QB＋QC） －（Q －（66.9＋10.9＋76.2） ＝168.2－（ －（ ＋ ＋ ） ＝14.2 其次，计算自由度： 其次，计算自由度： fT＝n－1＝9－1＝8； － ＝ － ＝ ； fA＝fB＝fC＝m－1＝3－1＝2 ； － ＝ － ＝ fe=fT－fA－fB－fC＝2 。
正交试验设计的方差分析小结
方差的计算方法
方差的计算方法方差是描述数据分散程度的统计量，它衡量了每个数据点与数据集平均值之间的差异程度。
在实际应用中，方差的计算方法有多种，下面我们将介绍几种常用的计算方法。
一、样本方差的计算方法。
样本方差是用来估计总体方差的，计算公式如下：\[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i \bar{x})^2}{n-1} \]其中，\( x_i \) 表示第i个数据点，\( \bar{x} \) 表示样本均值，n表示样本容量。
样本方差的计算方法比较简单，只需要计算每个数据点与样本均值的差的平方，然后求和并除以n-1即可得到样本方差。
二、总体方差的计算方法。
总体方差是用来描述整个总体数据分散程度的统计量，计算公式如下：\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i \mu)^2}{N} \]其中，\( x_i \) 表示第i个数据点，\( \mu \) 表示总体均值，N表示总体容量。
总体方差的计算方法与样本方差类似，只是分母变为了总体容量N。
三、计算方法的选择。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的方差计算方法。
如果我们只有样本数据，而且需要估计总体方差，那么就应该使用样本方差的计算方法。
如果我们已经有了整个总体的数据，那么就可以直接使用总体方差的计算方法。
四、方差计算方法的应用。
方差是统计学中非常重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
比如在财务分析中，方差可以用来衡量资产的风险程度；在生产过程中，方差可以用来衡量生产线的稳定性；在医学研究中，方差可以用来比较不同治疗方法的效果等等。
总之，方差的计算方法虽然简单，但是在实际应用中却有着广泛的用途。
我们需要根据具体情况选择合适的计算方法，并且结合实际问题加以应用，才能更好地理解和利用方差这一统计量。
方差分析(包括三因素)
2、交互模型 MODEL y=a b c a*b a*c b*c a*b*c;
3、嵌套效应 MODEL y=a b c(a b);
4、混合效应模型号 MODEL y=a b(a) c(a) b*c(a);
22
例：1、单因素方差分析
某劳动卫生组织研究棉布、府绸、的确凉、尼龙四种衣料内棉花吸附十 硼氢量。每种衣料做五次测量，所得数据如下。试检验各种衣料见棉花吸 附十硼氢量有没有显著差别？
(3 1) 2 28.38
QE
1114.7
(3(6 1))
5
15
列表：
方差来源 因素A 试验误差 总误差
离差平方和 4217.3 1114.7 5332
自由度 2 15 17
F值 28.38
F0.05 F0.01 显著性 3.68 6.38 **(十分显著）
说明： F F (2,15) ，说明酸液浓度对汗布冲击强力有十分显著的影响。
计判断，得出结论。
5
方差分析的基本思想：把全部数据关于总均值的离差平方和 分解成几部分，每一部分表示某因素诸水平交互作用所产生 的效应，将各部分均方与误差均方相比较，从而确认或否认 某些因素或交互作用的重要性。
用公式概括为：
各因素引起
由个体差异 引起（误差）
总变异=组间变异+组内变异
种类：常用方差分析法有以下4种 1、完全随机设计资料的方差分析（单因素方差分析） 2、随机区组设计资料的方差分析（二因素方差分析） 3、拉丁方设计资料的方差分析（三因素方差分析） 4、R*C析因设计资料的方差分析（有交互因素方差分析）
QA
1 l
m i 1
Ti.2
T2 ml
QB
FB
质量工程师讲义-常用统计技术
•总的离差平方和： •回归平方和： •离差平方和： •且有ST=SR+SE，其中 • 它们的自由度分别为：
•fT=n-1，fR=1，fE=n-2=fT-fR
质量工程师讲义-常用统计技术
•计算F比， • 对给定的显著性水平 ，当 时认为回归方程是显著的，即回归方程是有意 义的。一般也列成方差分析表。
质量工程师讲义-常用统计技术
质量工程师讲义-常用统计技术
•（5） 如果给定 =0.05，从F分布表查得
• 由于F>4.26，所以在 =0.05水平上结论是因 子A是显著的。这表明不同的工厂生产的零件强 度有明显的差异。 • 当因子A是显著时，我们还可以给出每一 水平下指标均值的估计，以便找出最好的水平。 在单因子试验的场合，第i个水平指标均值的估 计为：
质量工程师讲义-常用统计技术
•（3）计算Lxx,Lyy,Lxy： •Lxy =95.9250-1.90×590.5/12=2.4292 •Lxx =0.3194-1.902/12=0.0186 •Lyy =29392.75-590.52/12=335.2292
•（4）计算r：
• 在 =0.05时，
•表示，它们也有分解式：
，其中：
• 因子或误差的离差平方和与相应的自由度 之比称为因子或误差的均方和，并分别记为：
•两者的比记为：
质量工程师讲义-常用统计技术
•当
时认为在显著性水平 上
因子A是显著的。其中
是自由度为
• 的F分布的1-α分位数。
•单因子方差分析 表
质量工程师讲义-常用统计技术
•各个离差平方和的计算：
•ST=757.41-516.43=240.98， •SA=672.07-516.43=155.64, •Se= 240.98-155.64=85.34,
质量常用的统计技术
（5）写出回归方程： 或
上例：
画出的回归直线一定通过（0，a）与
两点
2. 回归方程的显著性检验
有两种方法：
一是用上述的相关系数；
二是用方差分析方法（为便于推广到多元 线性回归的场合），将总的离差平方和分解成 两个部分：回归平方和与离差平方和。
总的离差平方和： 回归平方和： 离差平方和： 且有ST=SR+SE，其中 它们的自由度分别为：
二、单因子方差分析
假定因子A有r个水平，在Ai水平下指标服从 正态分布，其均值为 ，方差为 ，i=1,2, …, r 。每一水平下的指标全体便构成一个总体，共有 r个总体，这时比较各个总体的问题就变成比较 各个总体的均值是否相同的问题了，即要检验如 下假设是否为真：
当 不真时，表示不同水平下的指标的均 值有显著差异，此时称因子A是显著的，否则 称因子A不显著。检验这一假设的分析方法便 是方差分析。
这时需要研究两个变量间的关系。首先是收 集数据(xi,yi)，i=1,2, …,n。现从生产中收集到表 2.2-1所示的数据。
表2.2-1 数据表
一、散布图
y
60
50
40
x
0.10
0.15
0.20
[例2.2-1]的散布图
二、相关系数全在一条直线上，称为两个变量有线性相关 关系，可以用相关系数 r 去描述它们线性关系 的密切程度
这里乘以m是因为每一水平下进行了m次试验 。
二是由于存在随机误差，即使在同一水平下 获得的数据间也有差异，这是除了因子A的水平 外的一切原因引起的，我们将它们归结为随机误 差，可以用组内离差平方和表示：
Se：也称为误差的离差平方和
可以证明有如下平方和分解式：
正交试验的方差分析
计算平均离差平方和(均方):
在计算各因素离差平方和时，我们知道，它们都是若干项平方的和, 它们的大小与项数有关，因此不能确切反映各因素的情况。为了消 除项数的影响，我们计算它们的平均离差的平方和。
因素的平均离差平方和 = (因素离差的平方和)/因素的自由度 = S因 /f因
试验误差的平均离差平方和 = (试验误差的离差的平方和)/试验误差的自由度 = SE / fE
33.212 ) 377.17, 35.882 ) 376.29,
QC
1 (6.272 9
35.212
59.162 )
531.00,
Q( AXB)1
1 (35.632 9
32.082
32.932 )
375.89,
Q( AXB)2
1 (34.302 9
31.732
34.612 ) 375.68,
考 虑A，B的交互作用。试进行方差分析。
第22页/共47页
第三节： 2水平正交设计的方差分析
解：(选用正交表L8(27)
第23页/共47页
第三节： 2水平正交设计的方差分析
这 里
ST
QT
P
8
xk2
k 1
T2 8
65668 1 (724)2 8
146
SA
1 8
(K1
K2 )2
1 8
(366 358)2
第四节：混合型正交设计的方差分析
混合型正交设计的方差分析，本质上与一般水平数相等正交设计 的
方差分析相同，只要在计算时注意到各水平数的差别就行了。
8
现以L8(4X24)混合S型T 正交QT表为P例：k 1
xk2
1 8
第四章多个样本均数比较的方差分析
第四章多个样本均数比较的方差分析方差分析的基本思想是通过比较各组或处理的均值差异与各组内的个体间差异来判断是否存在显著差异。
在进行方差分析之前，需要满足一些前提条件，如对总体的抽样是简单随机抽样、各样本之间是独立的等。
这些前提条件的满足保证了方差分析的可靠性。
多个样本的方差分析是通过计算组间离差平方和（SSTr）、组内离差平方和（SSE）和总离差平方和（SST）来比较各组或处理之间的差异。
计算公式为：SSTr = Σni(x̄i - x̄)²SSE = ΣΣ(xij - x̄i)²SST=SSTr+SSE其中，n是每组或处理的样本个数，ni是第i组或处理的样本个数，x̄i是第i组或处理的样本均值，x̄是全部样本的均值，xij是第i组或处理的第j个样本值。
通过计算SSTr和SSE，可以得到均方值（MS）：MStr = SSTr / (r - 1)MSE=SSE/(N-r)其中，r是组或处理的个数，N是总样本个数。
接下来，需要计算F值，用于判断各组或处理均值是否有显著差异：F = MStr / MSE根据F值和自由度，可以查找F表来确定是否存在显著差异。
如果F 计算值大于F临界值，则拒绝原假设，表示均值之间存在显著差异。
方差分析还可以进行多重比较，用于确定具体哪些组或处理之间存在显著差异。
常用的多重比较方法有Tukey的HSD（最大均值差异）和Bonferroni方法。
方差分析的优点是可以同时比较多个样本的均值差异，具有较好的统计效应。
然而，方差分析也存在一些限制，如对正态性和方差齐性的要求较高。
总之，多个样本均数比较的方差分析是一种常用的统计方法，在科学研究和实验设计中得到广泛应用。
它可以帮助研究人员确定不同处理或组之间的差异，为决策提供支持。
【管理】方差分析-教案
方差分析教案章节一：方差分析简介1.1 方差分析的概念方差分析的定义方差分析的应用场景1.2 方差分析的数学原理方差的定义离差平方和与总平方和的计算1.3 方差分析的假设条件随机样本的独立性正态分布同方差性章节二：单因素方差分析2.1 单因素方差分析的步骤数据收集与整理计算各组的均值和方差计算总平方和、组内平方和和组间平方和计算F统计量和P值2.2 单因素方差分析的判断标准F统计量的分布P值的含义拒绝原假设的条件2.3 单因素方差分析的应用案例比较不同品牌的广告效果分析不同地区的销售数据章节三：多因素方差分析3.1 多因素方差分析的类型完全随机设计方差分析随机区组设计方差分析析因设计方差分析3.2 多因素方差分析的步骤数据收集与整理计算各组的均值和方差计算总平方和、组内平方和和组间平方和计算F统计量和P值3.3 多因素方差分析的判断标准F统计量的分布P值的含义拒绝原假设的条件章节四：协方差分析4.1 协方差分析的概念协方差的定义协方差分析的目的4.2 协方差分析的步骤数据收集与整理计算各组的均值和方差计算协方差计算F统计量和P值4.3 协方差分析的应用案例分析不同年龄段、性别的销售数据研究不同治疗方法的疗效差异章节五：方差分析的软件操作5.1 SPSS软件进行方差分析SPSS软件的安装与操作界面数据导入与变量设置方差分析操作步骤5.2 R软件进行方差分析R软件的安装与操作界面数据导入与变量设置方差分析函数与步骤章节六：重复测量的方差分析6.1 重复测量方差分析的概念重复测量设计的定义重复测量方差分析的目的6.2 重复测量方差分析的步骤数据收集与整理计算各时间点的均值和方差计算重复测量误差方差计算组间平方和和组内平方和计算F统计量和P值6.3 重复测量方差分析的应用案例研究药物在不间点的疗效差异分析学生在不同学期间的学业成绩变化章节七：非参数方差分析7.1 非参数方差分析的概念非参数方差分析的定义非参数方差分析的适用场景7.2 非参数方差分析的方法秩和检验中位数比较非参数方差分析软件操作7.3 非参数方差分析的应用案例比较两个独立样本的成绩分布章节八：方差分析的扩展8.1 方差分析的衍生方法协方差结构分析多维方差分析混合效应模型分析8.2 方差分析的改进方法加权最小二乘法广义估计方程贝叶斯方差分析8.3 方差分析在实际应用中的挑战数据不符合正态分布样本量较小缺失数据处理章节九：方差分析的实践应用9.1 方差分析在市场营销中的应用产品定价策略分析广告投放效果评估客户满意度调查分析9.2 方差分析在医学研究中的应用临床试验疗效分析疾病危险因素分析医疗质量评估9.3 方差分析在其他领域的应用教育领域：比较不同教学方法的成效农业领域：分析不同种植方法的产量差异章节十：方差分析的评估与报告10.1 方差分析的结果评估统计显著性判断效应大小评估结果稳定性分析报告结构与内容结果呈现与解释局限性与建议重点和难点解析重点环节一：方差分析的假设条件方差分析的假设条件是正态分布、同方差性和随机样本独立性。
方差的简化计算公式
首先计算数据的均值 $mu$，然后利用简化公式计算方差 $sigma^2$。
03
注意事项
简化公式适用于数据量较小的情况，当数据量较大时，建议使用更精确
的方差计算公式。
比较两组数据的离散程度
对比两组数据的方
差
通过比较两组数据的方差，可以 判断它们的离散程度。方差越大， 数据点越分散；方差越小，数据 点越集中。
在金融领域，方差用于风险评 估和投资组合优化。
在机器学习中，方差用于衡量 模型的预测误差。
02 方差的计算方法
原始公式
原始方差计算公式为：$sigma^2 = frac{1}{N}sum_{i=1}^{N}(x_i - mu)^2$
其中，$N$为数据点的数量，$x_i$为每个数据点，$mu$为 数据的平均值。
即$sum_{i=1}^{N}x_i^2$。
计算数据的平均值的平方， 即$mu^2$。
将步骤2和步骤3的结果相减， 并除以数据点的数量$N$，
即 $frac{1}{N}sum_{i=1}^{N}x _i^2 - mu^2$，得到方差。
03 简化计算公式的应用
快速计算方差
01 02
简化公式
方差的简化计算公式为 $sigma^2 = frac{sum_{i=1}^{n}(x_i mu)^2}{n}$，其中 $n$ 是数据点的数量，$x_i$ 是每个数据点，$mu$ 是数据的均值。
详细描述
方差越小，数据越稳定；方差越大， 数据越不稳定。因此，在数据分析中， 可以通过计算数据的方差来判断其稳 定性，进而进行相应的分析和处理。
05 总结与展望
方差简化计算公式的优势
01
高效性
简化计算公式能够快速准确地计 算方差，减少了复杂的数学运算 过程，提高了计算效率。
标准离差和标准离差率计算公式
标准离差和标准离差率计算公式1. 标准离差和标准离差率的概念标准离差和标准离差率是统计学中常用的两个概念，用来衡量一组数据的离散程度和相对离散程度。
在实际应用中，我们经常需要对数据进行分析和比较，而标准离差和标准离差率可以帮助我们更好地理解数据的分布规律和差异程度。
2. 标准离差的计算公式标准离差是衡量一组数据离散程度的常用指标，通常用σ表示。
标准离差的计算公式如下：σ = √(∑(xi - μ)²/n)其中，xi表示每个数据值，μ表示数据的平均值，n表示数据的个数。
这个公式实际上是计算每个数据值与平均值的偏离程度的平方和的平均值的平方根，从而得出数据的离散程度。
3. 标准离差率的计算公式标准离差率是衡量不同组数据相对离散程度的指标，通常用CV表示。
标准离差率的计算公式如下：CV = (σ/μ) × 100%其中，σ表示标准离差，μ表示平均值。
标准离差率实际上是标准离差相对于平均值的比值乘以100%，从而得出数据的相对离散程度。
4. 如何理解标准离差和标准离差率标准离差和标准离差率的概念非常重要，它们可以帮助我们更加全面地了解数据的分布规律和差异程度。
标准离差越大，表示数据的离散程度越高；而标准离差率可以帮助我们比较不同数据集的相对离散程度，从而更好地进行分析和判断。
在实际应用中，我们可以通过计算标准离差和标准离差率来评估数据的稳定性和可靠性，进而做出合理的决策。
5. 我对标准离差和标准离差率的理解从个人观点来看，标准离差和标准离差率是统计学中非常有用的概念。
在我的工作中，经常需要对各类数据进行分析和比较，而标准离差和标准离差率给了我一个量化的工具来衡量数据的离散程度和相对离散程度。
通过深入理解这两个概念，我可以更好地把握数据的特点，为决策提供更可靠的依据。
总结通过本文的介绍，我们对标准离差和标准离差率有了更深入的了解。
标准离差是衡量一组数据离散程度的指标，而标准离差率则用于比较不同组数据的相对离散程度。
均方差 离差平方和 自由度 英文
均方差（Mean Square Deviation）1. 定义均方差是一种用来衡量一组数据离散程度的统计量。
它是每个数据点到均值的距离的平方的平均值，通常用符号σ表示。
2. 公式均方差的计算公式为：\[ \sigma = \sqrt{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} -\overline{x})^2 } \]其中，n代表样本数量，xi代表第i个数据点，而表示均值。
3. 解释均方差的值越大，代表数据点之间的离散程度越大；值越小，代表数据点之间的离散程度越小。
均方差为0表示所有数据点都与均值重合，没有离散程度。
离差平方和（Sum of Squares）1. 定义离差平方和是指一组数据中每个数据点与均值的差的平方的总和，通常用符号SST表示。
2. 公式离差平方和的计算公式为：\[ SST = \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \overline{x})^2 \]其中，n代表样本数量，xi代表第i个数据点，而表示均值。
3. 解释离差平方和代表了整个数据集的总体离散程度，它不考虑任何额外的因素，只是简单地测量了每个数据点与均值之间的偏差。
自由度（Degrees of Freedom）1. 定义自由度是指在统计学中用来确定某个统计量的取值范围的参数个数。
在均方差的计算中，自由度通常用符号n-1表示。
2. 公式自由度的计算公式为：\[ df = n-1 \]其中，n代表样本数量。
3. 解释自由度的概念是为了保证统计推断的准确性，它确定了样本数据在计算统计量时允许自由变动的程度，避免了统计数据的偏倚。
总结均方差、离差平方和和自由度是统计学中常用的概念和统计量，它们在数据分析和统计推断中起着重要的作用。
通过对这些概念的理解和运用，可以更好地理解和分析数据，为科研和决策提供可靠的依据。
均方差（Mean Square Deviation）4. 应用均方差在各个领域都有广泛的应用。
平均数的离差平方和
平均数的离差平方和
摘要：
1.平均数的概念与计算方法
2.离差的概念与计算方法
3.离差平方和的定义与计算方法
4.离差平方和的性质与应用
正文：
1.平均数的概念与计算方法
平均数是指一组数据的总和除以数据的个数。
它可以反映数据的集中趋势，是描述数据分布的重要指标。
计算平均数的方法是将所有数据相加，然后除以数据的个数。
例如，对于数据集{1, 2, 3, 4, 5}，平均数为
(1+2+3+4+5)/5=3。
2.离差的概念与计算方法
离差是指每个数据与平均数的差。
它可以反映数据与平均数的偏离程度，是描述数据分布的重要指标。
计算离差的方法是将每个数据减去平均数。
例如，对于数据集{1, 2, 3, 4, 5}，离差为{2, 1, 0, 1, 2}。
3.离差平方和的定义与计算方法
离差平方和是指所有离差的平方的和。
它可以反映数据的离散程度，是描述数据分布的重要指标。
计算离差平方和的方法是将所有离差平方后相加。
例如，对于数据集{1, 2, 3, 4, 5}，离差平方和为
(2^2+1^2+0^2+1^2+2^2)=10。
4.离差平方和的性质与应用
离差平方和具有以下性质：所有数据的离差平方和等于0，平均数的离差平方和等于0，标准差的离差平方和等于1。
离差平方和可以用于评估数据的稳定性，如果离差平方和较小，则说明数据较为稳定；如果离差平方和较大，则说明数据较为不稳定。
第三章 正交试验设计(2)-正交试验数据方差分析和贡献率分析
试验优化设计
主讲：刘建永
材 料 工 程 系 Department of Materials Engineering
第三章 正交试验设计
正交试验数据 方差分析与贡献率分析
正交试验结果的方差分析
1.离差平方和的计算
总离差平方和：
项目 因素A 因素B 因素C 误差 总和
平方和SS SSA SSB SSC SSE SST
自由度DF a－ 1 a－ 1 a－ 1 a－ 1 n－1
纯平方和 SSA－ fA×MSE SSB－ fB×MSE SSC－ fC×MSE fT×MSE SST
贡献率 ρA ρB ρC ρE
其中： 纯平方和＝ SS因－ f因×MSE 贡献率ρ因等于纯平方和与SST的比值 贡献率最大的几个因素是重要因素，与误差贡献率差不多的认为不 重要。
μ 3.2 的 1 − α 置信区间为： μ 3.2± t1−α / 2 ( f e′)σ / ne ˆ ˆ
′ ˆ 这里 σ = S e / f e′ ， ′ S e = S e + 不显著因子的平方和， f e′ = f e + 不显著因子的自由度，
ne = 试验次数 1 + 显著因子自由度之和
n e = 9 /( 1 + f A + f C ) = 9 / 5 = 1 . 8 ， ′ S e = S e + S B=132 ， f ′ = f + f =4 ，
y 31 54 38 53 49 42 57 62 64 T=450 yi2 =23484 ST=984
∑
方差分析表 把上述计算表中得到的平方和与自由度移至一张方差分 析表中继续进行计算。 例 3.3 的方差分析表 来源 平方和 S 自由度 f 均方和 MS 因子 A 因子 B 因子 C 误差 e T 618 114 234 18 984 2 2 2 2 8 309 57 117 9 F比 34.33 6.33 13.00
方差分析_本科毕业论文
本科学生毕业论文方差分析作者院 (系)专业年级学号指导老师日期方差分析摘 要：方差分析是从观察变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量.本文根据不同需要把某变量方差分解为不同的部分，比较它们之间的大小并用F 检验进行显著性检验的方法，并且用excel 解决了一些问题.关键词：单因素方差分析；双因素方差分析；组间方差；组内方差；F 统计量1 方差分析问题的提出假设检验主要是检验两总体的均值是否差异显著，对于多个总体均值是否差异显著的问题，如果按照每一对总体进行一次检验，显然要花费很多时间，而方差分析能一次性地检验多个总体均值是否存在显著差异.因此，方差分析所提供的处理方法比两两比较的处理方法要方便很多.例1：取一批由同种原料织成的布，用不同的染整工艺进行缩水实验，以考察不同的染整工艺对布的缩水率有无显著影响，进而可以寻找出缩水率较小的染整工艺.现有1A ~5A 五种不同的工艺，在每一工艺下重复处理四块布，测得其缩水率数据如下表所示，试问五种不同的染整工艺的平均缩水率有无显著差异？染整工艺 缩水率1A 4.3 6.8 5.2 6.5 2A 6.1 6.3 4.2 4.1 3A 6.5 8.3 8.6 8.2 4A 9.3 8.7 7.2 10.1 5A9.58.811.48.9例2：在饲料养鸡增肥的研究中，某研究所提出三种饲料配方:1是以鱼粉为主的饲料2A 是以槐树粉为主的饲料,3A 是以苜蓿粉为主的饲料.为比较三种饲料的效果，特选24只相似的雏鸡随机均分为三组，每组各喂一种饲料，60天后观察它们的重量，试验结果如下所示：饲料鸡重/g 1A 1073 1009 1060 1001 1002 1012 1009 1028 2A 1107 1092 990 1109 1090 1074 1122 1001 3A10931029108010211022103210291048指标：衡量试验条件好坏的变量称为指标，用y 表示，它是一个随机变量.在例1中，缩水率就是试验指标.因子：在试验中影响指标y 的因素称为因子，它们常用大写字母A 、B 、C 等来表示.在例1中染整工艺对指标——缩水率有影响，因此染整工艺就是因子，记为A水平：在试验中因子所处的状态称为因子的水平，用表示因子的字母加下标来表示，譬如因子A 的水平用12,A A 等来表示.在例1中有五种染整工艺，这便是染整工艺这一因子五个水平，分别记为123,4,5,,A A A A A试验条件（也称处理）：在单因子试验中，每个水平就是一个处理，在多因子试验中，每个因子取一个特定的水平，这些特定水平的组合称其为一个试验条件，又称为一个处理. 3 基本假定从最简单的单因子试验问题着手，介绍在方差分析中所作的假定.假定因子A 有个r 水平，记为12,,,r A A A 在水平下指标值的全体便构成一个总体，共有r 个总体.我们有如下假定： (1)假定第i 个总体服从正态分布，其均值为i μ，(2)每一总体的方差相等，记为2σ；(3)从第i 个总体获得一个容量为m 的样本为12,,...,,1,2,...,,i i im y y y i r =，且这r 个样本相立. 在上述三个假定下，比较各个总体的均值是否相同的问题，即要检验如下假设012112:...,:,,...,r r H H μμμμμμ===不全相等，检验这一对假设的统计方法便是方差分析.当拒绝0H 时，表示不同水平下的指标的均值有显著差异，此时称A 因子是显著的，否则称因子不显著.4 统计模型按假定有2~(,),ij i y N μσ，因此可以认为观察值ij y 与其均值i μ的差是随机误差ij ε，从而ij y 有如下数据结构式：,1,2,.....,1,2,.....ij i ij y i r j m με=+==由2~(,),ij i y N μσ及ij y 各个相互独立，可知各ij ε相互独立，且都服从2(0,)N σ.因此可以给出如下的单因子方差分析统计的模型：2,1,2,...,,1,2,...,(0,)ij i ij ij y i r j mμεεσ⎧⎪⎨⎪⎩=+==各相互独立同分布于N 在该模型下检验的假设是：012112H :...,:,,...,r r H μμμμμμ===不全相等，为了推广到两因子及多因子方差分析方便起见，引入一般平均与效应的概念，如记各均值i μ的平均为：11ri i r μμ=∑=称为μ一般平均，或称为总平均，又记,1,2,...,i i a i r μμ=-=它表示从水平i A 的均值中除去总均值后特有的贡献，称i a 为水平i A 的效应，它可正可负，容易看出，诸i a 受到约束：10rii a==∑ 这样一来，统计模型可改写为，12,1,2,...,,1,2,...,0N(0,)ij i ij r i i ijy a i r j m a μεεσ=⎧⎪⎪⎨⎪==⎪⎩++==∑各相互独立同分布于在该模型下检验的假设可以改写为：012112:...0,:,,...,r r H a a a H a a a ====不全为05 基本思想 5.1 平方和分解众所周知，n rm =各数据的差异程度（即波动大小）可用它们的总偏差平方和（简称总平方和）T S 去度量：()211r mT iji j S yy ===-∑∑，1T f n =-其中T f 为自由度.引起数据波动的原因不外有如下两个：（1）由于因子的不同水平引起的，当原假设不真时，各个水平下指标的均值（简称水平均值）不同，诸12,,...,r y y y 样本均值间的差异程度可用如下的偏差平方和去A S 度量：()21,1rA A i i S m y y f r ==-=-∑这里乘以m 是为每个水平进行了m 次试验.这个平方和称为组间偏差平方和，又称为因子A 偏差平方和，简称因子A 平方和.（2）由于试验存在随机误差，即使在同一水平下获得的数据也会有差异，这是除因子A 水平外的一切原因引起的，我们将它们归结为随机误差，可以用组内偏差平方和（也称为误差平方和）e S 表示：()21,1rA A i i S m y y f r ==-=-∑由于()()()221111,r mr mT ij iji i i j i j S y yy y y y ====⎡⎤=-=-+-⎣⎦∑∑∑∑考虑到交叉乘积项之和为0，故有如下总平方和分解式：()()()()22221111111rmr mrmrT ij ij e A i i i i i j i j i j i S y y y y y y m y yS S =======⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-=-+-=+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑∑∑∑5.2 均方（平均偏差平方和）与F 比偏差平方和Q 的大小与数据个数（自由度）有关，一般说来，数据越多，其偏差平方和越大.为了便于在偏差平方和间进行比较，统计上引入了均方和的概念，它定义为，/Q MS Q f =其意为平均每个自由度上有多少平方和，它比较好地度量了一组数据的离散程度.如今要对因子平方和与误差平方和之间进行比较，用其均方和/,/A A A e e e MS S f MS S f ==进行比较更为合理，因为均方和排除了自由度不同产生的干扰.故用//A A Ae e eMS S f F MS S f ==作为检验的统计量.如果1,()a A e F F f f -≥，则认为因子A 显著；若1,()a A e F F f f -<，则说明因子A 不显著.经过简单推导，可以给出常用的各偏差平方和的计算公式如下：22221111,,rmr T ijA e T e i j i T T S y S T S S S n m n ====-=-=-∑∑∑.6 单因子方差分析设在一个试验中只考虑一个因子A ，它有r 个水平12,,...r A A A ，在每个水平下进行m 次重复试验，其结果用12,,...,,i i im y y y 表示，1,2,...,,i r =常常把数据列成如表3的形式：水平试验数据和均值y1A 11121,,...m y y y 1T 1y 2A21222,,...m y y y2T2y…………r A 12,,...r r rm y y y r T r y例35天的营业额资料如表4第一家分店第二家分店第三家店 第一天 10 7 14 第二天 12 11 8 第三天 9 8 12 第四天 8 13 10 第五天111011试分析这三家分店的平均日营业额是否相同，从而确定地点因素是否对日均营业额有影响（0.05α=），如果把每一个分店的日营业额看成一个总体，以上问题的实质是检验这三个总体的均值是否相等：01231123,:,,H H μμμμμμ===三者不全相等，其中，123,,μμμ分别为三分店的平均日营业额. 通过excel ，进行单因素方差分析，可以得到两个统计表，并且得出F 统计量：表5方差分析：单因素方差分析组 观测数 求和 平均 方差 列 1 5 50 10 2.5 列 2 5 49 9.8 5.7 列 355511 5方差分析差异源 SSdfMSFP -value F crit组间 4.1333333332 2.066666670.4696970.6362153.885294组内 52.8 12 4.4 总计56.93333333142.0670.46974.4F ==，分析表给出了临界值是 3.885a F =，a F F <，接受0H ，即没有充分证据说明三个分店的地点不同对日均营业额产生了影响.如果直接从P 值进行判断，由于=0.6362150.05P >值，结论也是接受原假设. 6.1 重复数不等的方差分析例4： 某型号化油器原中小喉管的结构使油耗较大，为节约能源，设想了两种改进方案以降低油耗.油耗的多少用比油耗进行度量，现在对用各种结构的中小喉管制造的化油器分别测定其比油耗，数据如下.假定每一种结构下的比油耗服从等方差的正态分布，试问中小喉管的结构对平均比油耗的影响是否显著.水平1A ：原结构 11.0 12.8 7.6 8.3 4.7 5.5 9.3 10.3 2A ：改进方案1 2.8 4.5 -1.5 0.2 3A ：改进方案24.36.11.43.6表7组 观测数 求和 平均 方差 行1 8 69.5 8.6875 7.518393 行2 4 6 1.5 7.126667 行3 415.43.853.776667差异源 SSdfMSFP -valueF crit组间 155.6456 2 77.82281 11.855070.0011743.805565组内85.33875136.564519总计240.984415设，从分布表查得0.95，由于求得的，所以在水平上因子是显著的，说明不同的中小喉管结构生产化油器的平均比油耗有明显的差异. 6.2 各水平均i μ值与误差方差2σ的估计当因子A 是显著的，我们还可以给出每一水平均值i μ与水平效应i a 的估计，以便找出最好的水平.,i i y a y y μ==-，它们都是相应参数的无偏估计，从而第i 个水平均值的无偏估计为i i i a y μμ=+=误差方差的无偏估计： 2e MS σ=，可取得σ的估计为e MS σ=6.3 多重比较在单因子方差分析中，若经F 检验拒绝原假设012:...r H μμμ===，这表明，因子A 的r 个水平均值不全相等，但不一定两两之间都有差异.故还需进一步去确认哪些水平均值之间确有显著的差异，哪些水平之间无显著的差异.这就要进行多重比较.同时比较任意两个水平均值间有无显著差异的问题称为多重比较.这里的关键词是“同时”两字.若有r(r>2)个水平均值12,,...,r μμμ，则同时检验以下()2r 个假设的检验就是多重比较的问题：0:,,,1,2, (i)i j H i j i j r μμ=<=譬如在3r =时，多重比较问题就是要同时检验如下三个假设121323012013023:,:,:H H H μμμμμμ===：直接考虑，当0ijH 为真时，j iy y -不应过大，过大就应拒绝0ij H .因此在同时考虑()2r 个假设时，“诸0ijH 中至少有一个不成立”就构成多重比较的拒绝域，它应有如下形式:{}ijij i jW y yc <=-≥这里i y 表示i A 水平下数据的平均值，1,2,...,i r =.对于给定的显著性水平，就要确定这样的临界值ij c ，使得上述()2r个假设都成立时有()p W α=.7 两因子方差分析如果在一个试验中需要同时考察两个因子A 和B ，并设因子A 有r 个水平，因子B 有s 个水平，这时共有n rs =个不同的试验条件，也就是说有n 个总体.现做如下假设： 每一个总体的分布是正太分布，其均值为ij μ，它与因子A 及B 的水平有关；其方差相等，都是2σ.现在我们不仅需要分析因子A 的不同水平对指标的均值有无显著的影响，还需要分析因子B 的不同水平对指标的均值有无显著的影响，有时还需要回答两个因子不同水平的搭配对指标的均值有无特殊的影响，这种特殊影响如果存在就称为因子A 与B 间有交互作用，记为A B ⨯或AB .7.1 无交互作用下的方差分析：设A 与B 是可能对试验结果有影响的两个因素，相互独立，无交互作用.设在双因素各种水平的组合下进行试验或抽样，得数据如表8：因素B均值因 素 A1B 2B …… n B1A 11X 12X …… 1n X 1.X 2A21X22X…… 2n X2.X………… ………… …………r A1r X2r X …… rn X.r X均值.1X .2X.r X X的各种水平上试验的平均数.以上数据的离差平方和分解形式为：()()()()()()222..11222....,,,.r ni i ij i j iji j jj ij i ijjijSST X X SSA X Xn XX SSB X Xr XX SSE X X X X ===-=-=-=-=-=--+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑上式中，SSA 表示的是因素A 的组间方差总和，SSB 是因素B 的组间方差总和，都是由各因素在不同的水平下各自的均值差异引起的；SSE 仍是组内方差的部分，由随机误差产生.各个方差的自由度是：SST 的自由度为1nr -，SSA 的自由度为1r -，SSB 的自由度为1n -，SSE 的自由度为1(1)(1)nr r n r n ---=--.各个方差对应的均方差是：对因素A 而言，1SSAMSA r =-对因素B 而言，1SSB MSB n =-；对随机误差项而言，1SSEMSE nr r n =--- 我们得到检验因素A 与B 影响是否显著的统计量分别是()()~1,11A MSA F F r r n MSE =---⎡⎤⎣⎦，()()~1,11B MSBF F n r n MSE =---⎡⎤⎣⎦. 例5：某企业有三台不同型号的设备，生产同一种产品，现有五名工人轮流在此三台设备上操作，记录下他们的日产量如表所示.试根据方差分析说明这三台设备之间和五名工人之间对日产量的影响是否显著？()0.05α=表9工人1 工人2 工人3 工人4 工人5 设备A 64 72 63 81 78 设备B 75 66 61 73 80 设备C786780697101影响；11H ：三台设备对日产量有显著影响.第二个假设是针对人员（设为B 因素）的：02H ：工人技术对日产量没有显著的影响；12H ：工人技术对日产量有显著影响.将以上数据输入excel 表格中，进行“无重复双因素分析”，输出的方差分析表如下： 方差分析：无重复双因素分析观测数 求和 平均 方差设备A 5 358 71.6 65.3 设备B 5 355 71 56.5 设备C 5 365 73 32.5 工人1 3 217 72.33333 54.33333 工人2 3 205 68.33333 10.33333 工人3 3 204 68 109 工人4 3 223 74.33333 37.33333 工人5 3 229 76.3333322.33333差异源 SS df MSF行 10.5333 2 5.266667 0.092371 列 161.0667 4 40.26667 0.706226误差 456.1333 8 57.01667总计 627.733314从表中可知：0.05A 接受01，没有证据证明三台设备对日产量有显著影响；0.050.706(4,8) 3.84B F F =<=，接受02H ，也没有证据证明五名工人的技术对日产量有显著影响.7.2 有交互作用的方差分析：为了研究两个因素是否独立，有无交互作用，我们需要在各个因素水平的组合下，进行重复试验；因此，有交互作用时，方差分析的数据结果不同于无交互作用的情形.设因素A 与因素B 每一对水平搭配下重复试验的次数都是m ，得试验数据结构如表11：因素B因 素 A1B 2B …… n B 1A111X 121X …… 11n X 112X122X…… 12n X……………… ……11m X 12m X …… 1nm X 2A211X221X …… 21n X 212X222X…… 22n X……………… ……21m X22m X…… 2nm X…………………… ……r A11r X21r X …… 1nr X 12r X22r X…… 2nr X……………… ……1r m X 2r m X ……nrm X表中的ijl X 表示的是在因素水平组合(),i j A B 下第l 次试验的结果.在此组合下试验结果的平均值为：.11mij ijl l X X m ==∑进一步记： (1111111),,n m r m i j ijl ijlijl j l i l i j lX X X X X X nm rm rnm =======∑∑∑∑∑∑∑则我们类似有以下的离差平方和分解形式：SST SSA SSB SSAB SSE =+++式中 ，()()()()222..22......(),,,.j ijl i ijlijij i j ij ijl ijijlSST X X SSA nm X X SSB rm X XSSAB m X X X X SSE X X =-=-=-=--+=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑与无交互作用的双因素方差分解相比，这里多出了一项SSAB ，它刚好反映了两个因素交互作用的结果.离差平方和SST ，SSA ，SSB ，SSAB 和SSE 的自由度分别是1,1,1,(1)(1)(1)rnm r n r n rn m ------和.我们得到如下的均方差：,,,.111(1)SSA SSB SSAB SSEMSA MSB MSAB MSE r n nr r n rn m ====------则检验因素A 与B 影响是否显著的统计量分别是：[][]~1,,~1,A B MSA MSBF F r rnm rn F F n rnm rn MSE MSE=--=-- . 检验交互影响是否显著的统计量是：()()~11,AB MSABF F r n rnm rn MSE=---⎡⎤⎣⎦. 例6：为了分析光照因素A 与噪音因素B 对工人生产有无影响，光照效应与噪音效应应有交互作用，在此两因素不同的水平组合下做试验，结果如表12：因素B因素A1B 2B 3B1A 15 15 17 19 19 16 16 18 212A 17 17 17 15 15 15 19 22 223A 15 17 16 18 17 16 18 18 184A18 20 20 15 16 17 17 17 17解： 01H ：光照因素A 对产量没有显著影响； 11H ：光照因素A 对产量有显著影响；02H ：噪音因素B 对产量没有显著影响； 12H ：噪音因素B 对产量有显著影响； 03H ：光照效应与噪音效应没有交互作用；13H ：光照效应与噪音效应有交互作用.将以上数据输入excel 表格中，进行“有重复双因素分析”，输出的方差分析表13：表13SUMMARY 1A2A3A4A总计 1B 观测数 3 3 3 3 12 求和 47 51 48 58 204 平均 15.66667 17 16 19.33333 17 方差 1.3333330 1 1.3333332.909092B 观测数 3 3 3 3 12 求和 54 45 51 48 198 平均 18 15 17 16 16.5 方差 3 0 1 1 2.272733B 观测数333312求和 55 63 54 51 223 平均 18.33333 21 18 17 18.5833 方差 6.3333333 0 0 4.08333总计 观测数 9 9 9 9 求和 156 159 153 157 平均 17.33333 17.66667 17 17.44444 方差4.257.751.252.777778方差分析差异源 SSdfMSFP -value样本 28.38889 2 14.19444 9.462963 0.00093 列 2.083333 3 0.694444 0.462963 0.71077 交互 63.83333 6 10.63889 7.0925930.0002内部 36 24 1.5 总计130.305635接受01，没有充分证据证明光照对产量有显著影响；0.05B ，拒绝02H ，有充分证据说明噪音对产量有显著影响；()0.057.092596,24 2.50819AB F F =>=，拒绝03H ，有充分证据说明光照与噪音存在交互作用并由此对产量产生显著影响. 8 方差齐性检验，正态性检验与诊断以上分析都是基于方差分析中对数据的三项假定（正态性，方差齐性与数据间独立性）成立下进行的.那么这些假定是否满足？只有试验是按随机次序进行的，那么独立性一般不成问题.下面先讨论方差齐性.设第i 个总体的分布为2(,)i i N μσ，从中获得的样本是12,,...,i i i im y y y ，记样本方差为2,1,2,...i s i r=，则方差齐性所要检验的假设可以表示为：222222012112:...,:,,...,r r H H σσσσσσ===不全相等，对此通常采用Bartlett 检验，检验统计量为：()2211ln 1ln r e e i i i e S f m s c f χ=⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦∑其中()11111311r i i e c r m f =⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭∑，对给定的显著性水平α，拒绝域为：(){}2211r αχχ-≥-，该检验不管重复数是否相等均可使用.例7：如在上面的化油器问题中，检验三个总体的方差是否相等.解：本题中所涉及的三个总体对应的样本方差分别为：2221237.518,7.130, 3.777,8,4,4s s s m m m ======由上面可知： 6.56,13,e e MS f ==在0.05水平上拒绝域为(){}220.952 5.991χχ≥=.现在，()11111111111 1.1223113273313r i i e c r m f =⎛⎫⎡⎤=-+=++-+= ⎪⎢⎥--⨯⎣⎦⎝⎭∑，则()[]22111ln 1ln 13ln 6.567ln 7.5183ln 7.1303ln 3.7770.4031.122r e e i i i e S f m s c f χ=⎡⎤=--=⨯-⨯-⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦∑ 样本未落在拒绝域中，所以在0.05水平上可以认为所涉及的三个总体的方差相等.下面做正态性检验与诊断.关于数据来自正态分布的检验可分两种情况处理.（1）若各个水平下重复试验次数不少于8，可对每水平下的数据分别用正态概率纸作检验.注：若把各个水平下的数据画在同一张正态概率纸上，且每一水平下的点各自呈现在一条直线附近，此时r 条直线近似平行，还可以看出它们的方差近似相等.（2）若各个水平下重复试验次数少于8，那么可以计算每一数据ij y 的残差,1,2,...,,1,2,...,ij ij i e y y i r j m =-==这时共有12...r n m m m =+++个残差，它们可近似看作来自同一个正态总体，用此n 个残差作正态概率图，若n 个点呈直线状即可认为正态性假设成立.注：所谓残差是指观察值与拟合值之差，在单因子方差分析中每i 水平的第j 个观察值为ij y ，其拟合值（即i μ的估计）是i y ，因此残差ij ij i e y y =-，利用残差进行判断的方法称为诊断.参考文献[1]茆诗松，程依明，濮晓龙编著.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社，2004.(7).80~120.[2]王松桂，陈敏，陈立革编著.线性统计模型[M].高等教育出版社，1999.(9).50~70.[3]曾五一主编.统计学概论[M].首都经贸大学出版社，2008.(5) .70~110.[4]周纪芗，茆诗松主编.质量管理统计方法[M].中国统计出版社，2008.(10). 75~120.[5]黄良文,曾五一.统计学原理[M].中国统计出版社,2000.(7).50~80.[6]陈珍珍,罗乐勤.统计学[M].厦门大学出版社,2002.(5).70~110.[7]徐国祥,胡青友.统计预测和决策[M].上海财经大学出版社,1998.(8).80~120.Variance AnalysisLIANG Wei-zhen(Mathematical and statistical institude ,Anyang Normal University, Anyang, Henan 455002)Abstract: The variance analysis is started with the observation of variable, and it researches the variables thathave a significant impact on observation variables among many control variables. And variance is decomposedinto different parts according to different needs ;comparing the size between them , using F -test methods fortest of significance and solving the some problems with the tool of Excel .Key words ：single factor analysis ; double factor analysis ; variance between groups; variance ingroups;F statistics。
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表 ４ 例 ３资料各 因素和水平组合 的合计
离 差 平 方 和 司分 解 为 ：
ＳＳＴ ＝ ＳＳｙ（ Ａ）＋ ＳＳｙ Ｂ （ ）＋ ＳＳｙ（ Ｂ）＋ ＳＳｅ Ａｘ
依据式 （ ）～ 式 （ ） 得 ： １ ４求
ｃ＝（ ∑ ／ ＝
离 差平 方和 可分 解为 ：
ａｓＴ ： ＳＳｖ ￣Ｎ）＋ ＳＳｙ（ （ 配伍）＋ ＳＳＥ。
・
６２ ５
中 国 卫 生 统计 ２ ０ ０ ８年 ｌ ２月 第 ２ ５卷 第 ６期
方 差分 析 中离差 平 方 和 的简 化 计算
南方 医科大学公共卫生与热带 医学学院生物统计学 系（１５５ 庄 严 陈 平 雁 △ ５Ｏ１）
方 差分析 （ ＮＯＶ 是 数据 处理 中应 用 极 为广 泛 Ａ Ａ） 的统计 方法 ， 也是 医学 统计 学教 学 的重 点 和难 点 。 依 据 现有 国 内外教 材 ， 授方 差分析 时 ， 讲 通常 会根据 不 同
式中， Ｓｙ ∑ Ｓ 与∑ 分 所有因 组合的 差平 ｙ 别为 素 离
方 和与 自由度之 和。 举 例
设计 模 型介绍 方差 分 析 的 计算 过 程 ， 且 每 种模 型 都 而
会 给 出相 应 的方差 分 析计 算表 ， 于是 就 有 了方 差分 析 的计 算公 式众 多 ， 算过 程 复杂 ， 计 而且不 同教 科书 的计 算公 式符 号也 不尽 相 同 的 印象 ， 由此 产 生 了 方差 分 析
＝ １． ９ ７５
＝１－ ４ ０４ ５
Ｓ丁 Ｓ ＝∑ ｘ 一 Ｃ＝１． ３ １． ４ ２ １— ０ ５ ２ ４
依据 式 （ ）～ 式 （ ）求得 ： １ ４
ｃ：（ ｘ 。 ３２ ９ ５６ ∑ ） ＝１４ ＝９７ ／
，
ＳＳｙ（ Ａ）＝
一
Ｃ
Ｓ Ｔ＝∑ ｘ 一Ｃ＝１５． —９７５ Ｓ ０２３ ９． ２ ６
卯 ∞ 卯
Ｃ：（ ∑ ／ ＝
＝
ｓｙ：∑ ｓ
ｖ ＝ ｙ 一 １
一ｃ
（） ３
６ ２０ ７ ９． ５
Ｓ Ｔ＝∑ Ｘ 一Ｃ＝９． １ —６． ６ Ｓ １１ ６ ９２ ０ ０
＝
ＭＳ ｒ＝ Ｓ ｙ Ｖ Ｓ ／ｙ
２１． ９ ８ ５６
式中， Ｘ表示 素Ｙ的 个水 合 表 ∑ 某因 第ｉ 平的 计， ｓ ｙ：∑ ｓ
表 １ 不 同 大 鼠模 型 血 清 Ｉ Ｌ一２ 度 （ ｇｍ１的 比较 浓 ｎ／ ）
０ ｌ １ ０ Ｏ １ １ ｌ
简 化方 法 所有设 计模 型 的方 差分析 计算 结果 可用 以下 四个
公 式 求得 。
总变异 ： 总变 异 的离差 平方 和及 自由度按 式（ ） １ 计
Ｂ
∞
离 差平方 和 可分解 为 ： Ｓ Ｓ Ｔ＝ Ｓ ｙ＋Ｓ Ｅ 依据式 Ｓ Ｓ。
２ ２ ２ ２ ２ １ ２ ２
组 间变 异 ： 因素 ｙ 的离 差平 方 和 、自由度 及 均 某 方均 可按 式 （ ） 算 ， ３计 可视 为方差 分析 计算 的通 式 。
（ ）～ 式 （ ） 得 ： １ ４求
算，
０． ５ １
卯
∞
０． ０ ０ ０． ０ ４
Ｓ丁＝∑ Ｘ 一Ｃ Ｓ ，丁＝Ｎ一１
为 样本 量 。
（） １
０． Ｏ ０
１ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２
式中， Ｘ 为所有观察值平方的和， ∑ Ｃ为校正数， Ｎ Ｃ：（ ｘ） Ｎ ∑ ／ 式中，∑ ｘ）为所有观察值和的平方。 （ （） ２
难学 的 心理 ， 同时 由于 计 算 问题 的 困扰 影 响 了学 生 对
下 面 列 举 完 全 随 机 设 计 、 机 区 组 设 计 、 因设 随 析
计、 重复 测量 设计 的实 际数据 各一 ， 主要 说 明离差 平方
和 的计算 过程 。与方 差分 析 有关 的 其他 计 算 （ 自由 如 度 、 方和 Ｆ值 ） 因篇 幅所 限在此 略去 。 均 ，
１ 完全 随机 设计 ．
方差 分析核 心 内容 的根 本 把 握。 针对 上 述 问题 ， 们 我
提 出一 种适合 于各 种设 计模 型 的方 差分 析 中计算 离差
平方 和 的简化 公式 。
【 １ 在 某一 大 肠 湿 热证 模 型 研 制 中， 得 ４种 例 】 测
模型 大 鼠的血 清 白细 胞 介 素 一２ Ｉ （Ｌ一２ 浓 度 见表 １ ） ， 试 比较不 同大 鼠模型 的 Ｉ Ｌ一２浓 度有无 差异 。
Ｃ ｉｅｅ］ ｕｎ ｌ Ｉ ａｔ ｔｔ ｔ ｓ Ｄ ｃ ０ ８ ｏ ． ｈｎ ｓ ｏ ｒ ａ ｏ ｌ Ｓ ａ ｓｉ ， ｅ ０ ， １ １ Ｈｅ ｈ ｉ ｃ ２ ２
・
６３ ・ ５
表 ２ 试 比较 三 种卡 环 的抗 拉 强度 有无 差异 。 ，
表 ２ 三种不同卡环的抗拉强度 （ 牛顿）
２ 随机 区组 设计 ．
【 ２ 为 研 究 不 同 卡 环 对 牙 齿 的 固定 效 果 ， ６ 例 】 以
Ａ通 讯 作 者 ： 平 雁 陈
颗 取 自新鲜 尸体 的牙 齿为 试验 对象 。每颗 牙 齿 同时随
机 在不 同部 位 固定 三 种卡 环 ， 测试 抗 拉 强 度 。结 果 见
示 某 因素 ｙ的第 ｉ 水 平 的样本量 ， 示某 因素 ｙ的 个 表
水平 数 。
一ｃ
．．
＝ Ｑ ２１ 一 ！
—
４ － －
～
１０ 。２ １８ ．２２５ ．２ ．４８ ．６２
＋ 一 ～
一
误差变 异 ： 误差 变异 的离 差平 方和 、 自由度及 均方 按式 （ ） ４ 计算 ，
４ ６ ２０ ７ ９． ５ ＝ １ １ ９ ７． ７１
８
’
８
’
８
ＳＥ Ｓ 一∑Ｓｙ Ｓ ＝ＳＴ Ｓ
＿＿ 、
ＳＥ＝Ｓ Ｔ Ｓ Ｓ 一∑ Ｓｙ＝２５． —１３． Ｓ ２００ ４３９ ２ ５
＝ ８１ ０ ６． ７
Ｖ Ｖ ２５ ｙ Ｅ Ｔ— ． Ｖ ＭＳ Ｅ＝ Ｓ ｓ Ｖ Ｓ ／Ｅ （） ４