球的表面积与体积课件.ppt汇编
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球的表面积和体积PPT课件
2 2
R 3
2
n 6 1 (n 1)( 2n 1) 3 R [1 2 ] n 6
n
[n
2
]
6
V半球 R 3 [1
(1
1 1 )( 2 ) n n ] 6
第三步：化为准确和
当n 时, 1 0. n
2 V半 球 R 3 3 4 从 而V R 3 . 3
二、探究新知
1、球的体积
如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小时会得到很多“小圆 片”，“小圆片”的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似 于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应的圆柱的体积，因此求球的 体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。
A
步骤： 第一步：分割 如图：把半球垂直于底面的半径OA作 n等分，过这些等分点，用一组平行于
4 3 ①V R 3
六、布置作业
教材习题1.3B组3.
第二步：求和
V半球 V1 V2 Vn
1 22 (n 1) 2 {1 [1 2 ] [1 2 ] [1 ]} 2 n n n n
R 3
12 2 2 (n 1) 2 [n ] 2 n n 1 2 (n 1) R 3 1 (n 1) n (2n 1) (n 1)n(2n 1)
x
3
5 3 142 3 ( ) 11.3 2 7.9 4
由计算器算得:
x 2.24
2 x 4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
五、课堂小结
1、了解球的体积、推导的基本思路：分割 →求近似和→化为标准和的方法，是一种 重要的数学思想方法—极限思想，它是今 后要学习的微积分部分“定积分”内容的 一个应用； 2、熟练掌握球的体积公式：
R 3
2
n 6 1 (n 1)( 2n 1) 3 R [1 2 ] n 6
n
[n
2
]
6
V半球 R 3 [1
(1
1 1 )( 2 ) n n ] 6
第三步：化为准确和
当n 时, 1 0. n
2 V半 球 R 3 3 4 从 而V R 3 . 3
二、探究新知
1、球的体积
如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小时会得到很多“小圆 片”，“小圆片”的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似 于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应的圆柱的体积，因此求球的 体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。
A
步骤： 第一步：分割 如图：把半球垂直于底面的半径OA作 n等分，过这些等分点，用一组平行于
4 3 ①V R 3
六、布置作业
教材习题1.3B组3.
第二步：求和
V半球 V1 V2 Vn
1 22 (n 1) 2 {1 [1 2 ] [1 2 ] [1 ]} 2 n n n n
R 3
12 2 2 (n 1) 2 [n ] 2 n n 1 2 (n 1) R 3 1 (n 1) n (2n 1) (n 1)n(2n 1)
x
3
5 3 142 3 ( ) 11.3 2 7.9 4
由计算器算得:
x 2.24
2 x 4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
五、课堂小结
1、了解球的体积、推导的基本思路：分割 →求近似和→化为标准和的方法，是一种 重要的数学思想方法—极限思想，它是今 后要学习的微积分部分“定积分”内容的 一个应用； 2、熟练掌握球的体积公式：
《球的体积和表面积》教学课件(12张PPT)
祖暅原理也就是“等积原理”，它是
由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿
子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是： 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平
行于这两个平行平面的平面所截，如果截
得两个截面的面积总相等，那么这两个几 何体的体积相等.
可以用诗句“两个胖子一般高，平行 地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然 同样胖”形象表示其内涵.利用祖暅原理可 以推导几何体的体积公式，关键是要构造 一个参照体.
你能求出下面物体的体积和表面积吗？
地球可近似地看作球体，地球的半径为 6370km.怎样计算它的体积？ 如果球的半径 为R，那么它的体积 4 V= πR3 3
地球可近似地看作球体，地球的半径为 6370km.怎样计算它的表面积 ？ 球的半径为 R， 那么球的表面积 S=4πR2
如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 （2）球的表面积等于圆柱的侧面积
一个球的体积是100cm3，试计算它的表面积 （π取3.14，结果精确到1cm2） 解：设球的半径为R，那么根据题意有： 4 πR3= 100 3 4 ×3.14×R3= 100 3 R≈2.88
球的表面积S=4πR2=4×3.14×2.882 ≈104（cm2）
一个圆锥形的空杯子上面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ着一个半球形的 冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢满杯子吗？ 解：由图可知，半球的半径为4 4 3 256 π 半球的体积为 π4 = 3 3 1 192 2 π 圆锥的体积为 πR ×12= 3 3 因此，如果冰淇淋融化了，会 溢满杯子.
证明：（1）设球的半径为R，则 圆柱的地面半径也为R， 高为2R 4 因为V球= πR3， 3 V圆柱=πR2·2R=2πR３ 2 所以V球= V圆柱 3
球的体积和表面积 课件
2 048π D. 3
cm3
反思与感悟 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题 转化为平面中圆的问题. (2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成 的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
跟踪训练3 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截 面的距离为1，则该球的表面积为_1_2_π___. 解析 用一平面去截球所得截面的面积为2π， 所以小圆的半径为 2， 已知球心到该截面的距离为1， 所以球的半径为 3， 所以球的表面积为 4π( 3)2＝12π.
积为
√A. 32π
B.13π
C.23π
D.2 3 2π
D. 8∶ 27
解析 由两球的体积之比为8∶27，
可得半径之比为2∶3，
故表面积之比是4∶9. (2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为_3__2__.
解析 设大球的半径为R，由题意得
43πR3＝2×43π×13，得 R＝3 2.
类型二 与球有关的三视图问题
例2 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半 径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面 积为_4_π__. 解析 由已知可得，该几何体是四分之三个球， 其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与 球的半径相等的半圆的面积之和，因为R＝1， 所以 S＝34×4×π×12＋2×12×π×12＝4π.
类型一 球的体积和表面积
例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； 解 设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4， 所以球的体积 V＝43πR3＝43π·43＝2356π. (2)已知球的体积为5300π，求它的表面积. 解 设球的半径为 R，则43πR3＝5300π，解得 R＝5， 所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.
《球体积和表面积》课件
案例分析：如何利用球体积和表面积计 算物品的容积或表面积？
• 例如，如何计算一个水池的容积以确定需要多少水来填充？如何计算一个玻璃球的表面积以确 定需要多少颜料来涂饰？
• 我们将会通过实际案例进一步探索这些概念。
总结
通过本课件，我们了解了球体积和表面积的重要性和应用，掌握了它们的计算公式以及如何应用这些公 式进行实际问题的解决。继续学习并将这些知识应用于实际生活和工作中吧！
《球体积和表面积》PPT 课件
通过这个课件，我们将介绍球体积和表面积的概念，计算公式以及实际应用。 让我们开始探索球的神奇之处吧！
什么是球体积和表面积？
• 球体积是球体所占据的三维空间大小。 • 球表面积是球体外部表面的总面积。 • 这两个概念在几何学和物理学中非常重要。
计算球体积和表面积的公式
球体积
球体积 = 4/3 × π × 半径³
球表面积
球表面积 = 4 × π × 半径²如何应用公式计算球体积 Nhomakorabea表面积？
1. 确定球的半径。 2. 根据公式进行计算。 3. 注意单位和精度。 4. 使用计算结果进行进一步分析和决策。
球体积和表面积的实际应用
• 建筑和城市规划：球体积和表面积的计算可以用于设计建筑物、水池和广场等。 • 天文学：球体积和表面积的计算可以帮助天文学家研究行星、恒星和宇宙结构等。 • 物理学：球体积和表面积的计算可以应用于研究流体力学、热力学和分子动力学等。
1-3-2 球的体积和表面积(共43张PPT)
等，设球半径为 R，则VV球 柱＝π·43Rπ2R·23R＝23.
长方体的三条棱长为a、b、c，它的顶点都在一个球的 球面上，则这个球的表面积为________．
[答案] π(a2＋b2＋c2)
[解析] 长方体的对角线为球的直径，因此 2R＝ a2＋b2＋c2 ∴S＝4πR2＝π(2R)2＝π(a2＋b2＋c2)．
[例 4] 用与球心距离为 1 的
平面去截球，所得的截面面积为
[答案] 4π2 [解析] 本题是卷起问题，考察圆柱侧面展开与体积， 可以AB为底面周长，BC为高卷起，也可以BC为底面周长， AB为高卷起，最大值为4π2.
4．轴截面为正方形的圆柱称作等边圆柱、一个等边圆 柱内装上一个最大的球，则球的体积与圆柱体积的比为
________．
[答案]
2 3
[解析] 由条件知，圆柱的底面直径、高和球的直径相
(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图； (2)求该安全标识墩的表面积． [解析] (1)侧视图同正视图，如图所示．
(2)S 棱锥侧＝12×40× 602＋202×4＝1600 10， S 棱柱侧＝40×4×20＝3200， S 棱柱底＝40×40＝1600， ∴S 表＝4800＋1600 10(cm2)．
[解析] 作 CD⊥AB，垂足为 D，在 Rt△ABC 中，AB ＝5，AC＝3，∴CD＝152，绕 AB 旋转一周，阴影部分所形 成的几何体为一个球中间挖去两个同底的圆锥，其体积
V＝V 球－V 锥＝43π·OC3－π3·CD2·(AD＋BD) ＝43π×523－3π×1522×5＝33370π.
1．3.2 球的体积和表面积
阅读教材 P27～28 回答 1．半径为 R 的球的表面积为 4πR2，体积为43πR3. 2．一个球的表面积为 24π，那么它的体积为 8 6π.
球的体积和表面积 课件
【探究提升】用一个平面去截球，对所得截面的三点说明 (1)当截面过球心时,截面圆的半径即为球的半径；当截面不过 球心时,截面圆的半径都小于球的半径. (2)球的截面是圆面而不是圆,注意圆面与圆是两个不同的概念. (3)球的截面在解决球的有关计算问题中起着关键的作用，要 注意球的半径与截面圆半径的关系．
9. 5
答案：3 9
5
【技法点拨】求球的体积与表面积的策略 (1)要求球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求 出半径R,然后代入体积或表面积公式求解. (2)半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的 表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.
类型 二 与球有关的组合体的表面积与体积的计算
通过解答下面的问题，体会与球有关的组合体问题，并
总结求解该类问题的技巧.
1.某几何体的三视图如图所示，它的体积
为( )
A.72π
B.48π
C.30π
D.24π
2.一个四面体的所有棱长都是 2 ，四个顶点在同一个球面 上，则此球的表面积为( )
A.3π
B.4π
C.3 3 π
3.(2012·天津高考)一个几何体
2
面积为S=2S球+S长方体=2×4π×(32 )2+2(6×3+6×1+1×3) =54+18π.
【技法点拨】解决与球有关的组合体问题的解题技巧 (1)与球有关的组合体问题：解题时要认真分析图形，明确切 点位置，明确有关元素间的数量关系，并且作出合适的截面 图. (2)球与旋转体的组合，通过作它们的轴截面解题. (3)球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心、切点 或接点作出截面图.
V1
4 3
r3，
2第2课时 球的体积和表面积PPT课件(人教版)
栏目 导引
第八章 立体几何初步
球的表面积与体积
(1)已知球的体积是323π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
C八章 立体几何初步
(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两 条互相垂直的半径，若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 ()
角度五 球的内接直棱柱问题
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点
都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2
B．73πa2
C．131πa2
D．5πa2
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧
棱与底面边长相等，均为 a．如图，P 为三棱柱上
底面的中心，O 为球心，易知 AP＝23× 23a＝ 33a，
A．17π C．20π
B．18π D．28π
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 (1)设球的半径为 R，则由已知得 V＝43πR3＝323π，解得 R＝2. 所以球的表面积 S＝4πR2＝16π. (2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体， 设球的半径为 r， 故78×43πr3＝238π， 所以 r＝2，表面积 S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选 A. 【答案】 (1)B (2)A
栏目 导引
第八章 立体几何初步
该圆锥的体积为 13×π× 23r2×32r＝38πr3，球体积
为
4 3
πr3
，
所
以
该
圆
锥
的
体
积
和
此
球
体
积
的
比
值
为
3843ππrr33＝392.
第八章 立体几何初步
球的表面积与体积
(1)已知球的体积是323π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
C八章 立体几何初步
(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两 条互相垂直的半径，若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 ()
角度五 球的内接直棱柱问题
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点
都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2
B．73πa2
C．131πa2
D．5πa2
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧
棱与底面边长相等，均为 a．如图，P 为三棱柱上
底面的中心，O 为球心，易知 AP＝23× 23a＝ 33a，
A．17π C．20π
B．18π D．28π
栏目 导引
第八章 立体几何初步
【解析】 (1)设球的半径为 R，则由已知得 V＝43πR3＝323π，解得 R＝2. 所以球的表面积 S＝4πR2＝16π. (2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体， 设球的半径为 r， 故78×43πr3＝238π， 所以 r＝2，表面积 S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选 A. 【答案】 (1)B (2)A
栏目 导引
第八章 立体几何初步
该圆锥的体积为 13×π× 23r2×32r＝38πr3，球体积
为
4 3
πr3
，
所
以
该
圆
锥
的
体
积
和
此
球
体
积
的
比
值
为
3843ππrr33＝392.
高二数学球的体积与表面积-PPT课件
3 2 2 2 R 1 2 ( n 1 ) [ n ]
n
2 n
3 R 1( n 1 ) n ( 2 n 1 ) [ n ]
n
2 n
6
1( n 1 )( 2 n 1 ) R [ 1 2 ] n 6
3
§9.11球的体积和表面积
那么圆的面积就近似等 于R2 .
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
球的体积
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式． 分割 求近似和 化为准确和
下面我们就运用上述方 法导出球的体积公式
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
课堂小结
课堂作业 封底
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
教学目标
掌握球的体积、表面积公式．
掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 学生应用数学的能力． 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题．
V半 球 ?
3 3 V圆 柱 R 3
2 3 4 3 猜 : V 测 R , 从 V 而 R . 半球 3 3
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新 R 和 R 的矩形 . 拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是
n
2 n
3 R 1( n 1 ) n ( 2 n 1 ) [ n ]
n
2 n
6
1( n 1 )( 2 n 1 ) R [ 1 2 ] n 6
3
§9.11球的体积和表面积
那么圆的面积就近似等 于R2 .
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
球的体积
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式． 分割 求近似和 化为准确和
下面我们就运用上述方 法导出球的体积公式
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
课堂小结
课堂作业 封底
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
教学目标
掌握球的体积、表面积公式．
掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 学生应用数学的能力． 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题．
V半 球 ?
3 3 V圆 柱 R 3
2 3 4 3 猜 : V 测 R , 从 V 而 R . 半球 3 3
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新 R 和 R 的矩形 . 拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是
球的体积和表面积57张.ppt
(2)设木星和地球的半径分别为r、R. 依题意，有4πr2＝120×4πR2，解得r＝2 30R. 所以VV木地＝4343ππRr33＝43π243πR303 R3＝240 30. 故木星的体积约是地球体积是240 30倍．
[点评] 求解球的体积的大小问题，实际是转化为求类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球 的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截 面图，把空间问题转化为平面问题来计算．
(3)此类问题的具体解题流程：
[例3] (2010·全国高考)设长方体的长、宽、高分别为
2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2
第一章
空间几何体
第一章
1．3 空间几何体的表面积与体积
第一章
1．3.2 球的体积和表面积
课前自主预习 思路方法技巧 探索延拓创新
课堂基础巩固 课后强化作业
课前自主预习
温故知新 在初中，我们已经学习了圆的概念和周长、面积公式， 即圆是“在平面内到定点的距离等于定长的点的集合”，周 长c＝2πr ，面积S＝ πr2 ，其中r是圆的半径，而球面是“在空 间中到定点的距离等于定长的点的集合”．以半圆的直径所 在直线为旋转轴，半圆旋转一周，形成的旋转体叫做 球 ，半 圆的圆心叫 球心 ，半圆的 半径 叫球的半径．
43πr2 43πR3
＝
8 27
，所
以Rr ＝23，则这两个球的表面积之比为44ππRr22＝(Rr )2＝49.
6．将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中， 水面升高4cm，则钢球的半径是________．
[答案] 3cm
[解析] 圆柱形玻璃容器中水面升高4cm，则知钢球的体 积为V＝π·32·4＝36π，即有43πR3＝36π，∴R＝3.