湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 2.3.2 抛物线的几何性质(2)教案 新人教版选修1-1
教案设计高中数学《抛物线的简单几何性质》
教案设计高中数学《抛物线的简单几何性质》一、教材分析（一）教学内容《抛物线的简单几何性质》是人教版高中数学（必修）第二册上第八章的第6节的内容。
本节课的主要内容是探究抛物线的简单几何性质及应用。
通过对抛物线的简单几何性质进行分析，并利用这些性质来解决简单的几何问题。
（二）教材的地位和作用本节课是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，系统地按照抛物线方程来研究抛物线的简单几何性质，该内容是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。
其中，蕴含的数形结合思想也是高中数学的重要思想。
学习本节课的内容能够较好地培养学生抽象概括能力，观察分析能力和探索求知的精神。
（三）课时安排本节内容安排1课时完成教学。
二、教学目标根据新课程标准的理念以及对教材的分析和高中学生的认知规律，本课节的教学目标确定为：知识目标：掌握抛物线的简单几何性质，理解抛物线方程与抛物线曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。
能力目标：让学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力，以及对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力。
情感目标：通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，培养学生认真参与、积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和及时解决问题的态度。
三、难重点分析重点：抛物线的简单几何性质。
只有在完全掌握抛物线的简单几何性质的基础上，才能自如地解决相关几何问题。
难点：抛物线的简单几何性质的应用。
要求能灵活地运用抛物线的性质来解决简单的几何问题。
四、教法与学法分析（一）教法分析本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法。
先通过多媒体动画演示，创设问题情境；在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高。
【公开课教案】高二《抛物线的简单几何性质》公开课教案
《抛物线的简单几何性质》公开课教案一、三维目标：1、知识与能力:（1）掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；（2）能根据抛物线的方程对抛物线几何性质进行讨论，2、过程和方法:（1）掌握抛物线的简单几何性质并会在实际问题中简单运用；（2）训练自己用坐标法解题的能力；3、情感态度与价值观:（1）通过本节学习训练自己分析问题，解决问题和归纳总结能力，并认识到事物之间是相互联系的。
（2）培养学生数形结合及方程的思想，了解抛物线在实际问题中的初步应用。
二、教学重难点：1、教学重点：抛物线的几何性质及其运用2、教学难点：抛物线几何性质的运用三、教学过程：（一）、复习引入：1、抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.2、抛物线的图象与表示形式：3、学生探究活动：回顾:探究椭圆、双曲线的几何性质时是从哪几个方面研究的？有哪些性质?抛物线呢?简单几何性质：（1）范围，（2）对称轴，（3）顶点，（4）离心率。
（二）新课讲授：1、建构数学归纳：抛物线的几何性质列表如下：程标轴 轴 轴 轴项系数符号决定开口方向，而且可以迅速算出焦点坐标为 （2p，0）和准线方程为x = 2-p 。
2、（学生活动一）问题2：通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？抛物线标准方程和椭圆、双曲线的标准方程不同的是：确定抛物线只要一个量p ，而确定椭圆和双曲线则需要两个量a,b 。
（1）、抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线（2）、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;（3）、抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线（4）、抛物线的离心率是确定的,为1; 问题3：抛物线标准方程中的p 对抛物线开口有何影响?“P越大,开口越开阔”拓展：（1）通径：过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，|AB|=2p 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.2p越大，抛物线张口越大.（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。
高中数学第2章2.32.3.2抛物线的简单几何性质教师用书教案新人教A版选修1
2.3.2 抛物线的简单几何性质学习目标核心素养1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)1.借助直线与抛物线的位置关系，培养学生的直观想象和数学运算的素养.2.借助抛物线的几何性质解题，提升逻辑推理的素养.1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形性质焦点⎝⎛⎭⎫p2，0⎝⎛⎭⎫－p2，0⎝⎛⎭⎫0，p2⎝⎛⎭⎫0，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R性质对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝x1＋x2＋p.3．直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y＝kx＋b，y2＝2px解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝4xC [由准线方程为x ＝－2，可知抛物线的焦点在x 轴正半轴上，且p ＝4，所以抛物线的方程为y 2＝2px ＝8x .]2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( )A ．10B ．8C ．6D ．4B [|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]3．直线y ＝2x －1与抛物线x 2＝12y 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 C [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2＝12y ，得2x 2－2x ＋1＝0，即Δ＝4－8<0， ∴y ＝2x －1与x 2＝12y 无交点，故选C ．]抛物线的几何性质求出抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程．[解] 当焦点在x 轴的正半轴上时，设方程为y 2＝2px (p >0)． 当x ＝p2时，y ＝±p ，由|AB |＝2p ＝8，得p ＝4.故抛物线方程为y 2＝8x ，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2. 当焦点在x 轴的负半轴上时，设方程y 2＝－2px (p >0)．由对称性知抛物线方程为y 2＝－8x ， 焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2.抛物线各元素间的关系抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，为p 2.[跟进训练]1．边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－33x C ．y 2＝±36xD ．y 2＝±33xC [设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．又A ⎝⎛⎭⎫±32，12(取点A 在x 轴上方)，则有14＝±32a ，解得a ＝±36，所以抛物线方程为y 2＝±36x .故选C ．]抛物线的焦点弦问题(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．[思路点拨] (1)设出l 的方程，与抛物线联立，消去y 得关于x 的一元二次方程，利用|AB |＝x A ＋x B ＋p 求解．(2)由代数法或几何法求解．[解] (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝3， 又F ⎝⎛⎭⎫32，0.所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝5＋3＝8.(2)法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.法二：如图，作AC ⊥l ，BD ⊥l ，ME ⊥l ，易知|ME |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝12×9＝92.1．已知AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2 θ(θ为直线AB 的倾斜角)； (3)S △ABO ＝p 22sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)；(4)1|AF |＋1|BF |＝2p； (5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p .[跟进训练]2．过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且A ，B 两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C 的方程．[解] 由于抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，故可设直线AB 的方程为x ＝my ＋p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1y 2＝－p 2， ∴－p 2＝－4. 由p >0，可得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .直线与抛物线的位置关系1．过点(1,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个公共点的直线有几条？ 提示：两条，如图．2．借助直线与抛物线的方程组成的方程组解的个数能否说明直线与抛物线的位置关系？ 提示：不一定．当有两解或无解时，可以说明两者的关系，但只有一解时，需分清相交还是相切．【例3】 已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有：(1)一个公共点？ (2)两个公共点？(3)没有公共点？ [思路点拨]联立方程组――→消元关于x 的方程――――――――――――→讨论x 最高项的系数再分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三类求解[解] 将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴． 当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离． 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点．直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l ：y ＝kx ＋b ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k 2x 2＋(2kb －2p )x ＋b 2＝0.(1)若k 2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．(2)若k 2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．[跟进训练]3．求过定点P (0,1)，且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程． [解] 如图所示，若直线的斜率不存在， 则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．若直线的斜率存在，设为k ，则过P 的直线方程为y ＝kx ＋1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0， 当k ＝0时，得x ＝12，y ＝1.故直线y ＝1与抛物线相交，只有一个公共点． 当k ≠0时，由直线与抛物线只有一个公共点， 则Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，∴k ＝12，此时直线y ＝12x ＋1与抛物线相切，只有一个公共点．∴y ＝1或y ＝12x ＋1为所求的直线方程．故所求的直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．(2)代数法：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x (或y )的一元二次方程形式：Ax 2＋Bx ＋C ＝0(或Ay 2＋By ＋C ＝0)．相交：①有两个交点⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ>0；②有一个交点：A ＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ<0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．1．判断正误(1)在抛物线y 2＝2px (p >0)中，p 值越大，抛物线的开口越开阔，p 值越小，开口越扁狭．( ) (2)抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形． ( ) (3)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上． ( ) (4)直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线相切． ( ) (5)直线与抛物线相交时，直线与抛物线不一定有两个公共点． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√2．若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．18A [线段AB 所在的直线的方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12.]3.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝3xB ．y 2＝9xC ．y 2＝32xD ．y 2＝92xA [过A 、B 作l 的垂线，分别交l 于A 1、B 1点． 因为|BB 1|＝|BF |，|BC |＝2|BF |，所以∠B 1BC ＝60°， 所以∠A 1AF ＝60°，又因为|AA 1|＝|AF |，所以|A 1F |＝3， 所以|O 1F |＝32＝p ，所以抛物线的方程为y 2＝3x .]4．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P (4，m )到焦点的距离为6.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 与直线y ＝kx －2相交于不同的两点A ，B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值．[解] (1)由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，其准线方程为x ＝－p2，因为P (4，m )到焦点的距离等于P 到其准线的距离，所以4＋p2＝6，所以p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，消去y ，得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0.因为直线y ＝kx －2与抛物线相交于不同的两点A ，B ，则有k ≠0，Δ＝64(k ＋1)>0， 解得k >－1且k ≠0. 又x 1＋x 22＝2k ＋4k2＝2，解得k ＝2或k ＝－1(舍去)，所以k 的值为2.。
高中数学《2.3.2 抛物线的简单几何性质》教案 新人教A版选修1-1
（画图 →讲解思路→联立方程组 →学生板演）
② 变式训练：过点 做抛物线 的弦 ,恰被 所平分,求 所在的直线方程
(.求直线方程的基本思路是求出斜率 )
教
学
过
程
③ 出示例2：已知抛物线关于 轴为对称轴,它的顶点在坐标原点,并且经过点 ,求它的标准方程.
教学难点：数形结合的思想在解决有关抛物线问题中的应用.
教
学
过
程
一、复习准备：
1、提问：你能回顾一下抛物线的定义,抛物线的标准方程?
2、抛物线 上与焦点的距离等于6的点的坐标
二、讲授新课：
1、教学抛物线的简单几何性质
抛物线的标准方程:
① 范围:
② 对称性:这条抛物线关于 对称,抛物线的习:已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点是 ,求它的标准方程.
3、小结：抛物线的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系.
三、巩固练习：
①、过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 , 两点,如果 ,那么 的值为多少?
②、抛物线 上一点 到顶点的距离等于它们到准线的距离,这点的坐标是
③、已知直线 与抛物线 相交与 两点,若 ,( 为坐标原点),且 ,求抛物线的方程.
③ 顶点:抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点,这条抛物线的顶点就是坐标原点
④ 离心率:抛物线上点 与到焦点的准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用 表示,抛物线的离心率 为1
2、教学直线与抛物线的位置关系
设直线 ,抛物线 ,直线与抛物线的交点的个数等价于方程组 解的个数,也等价于方程 解的个数.
3、教学例题：
（新课标）高中数学《2.3.2抛物线的简单几何性质》教案 新人教A版选修1-1
《抛物线的几何性质》教案(公开课)
《抛物线的几何性质》教案一、教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．(二)能力训练点从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．二、教材分析1．重点：抛物线的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)2．难点：抛物线的几何性质的应用．(解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用．) 3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．(解决办法：引导学生证明并加以记忆．)三、活动设计提问、填表、讲解、演板、口答．四、教学过程(一)复习1．抛物线的定义是什么？请一同学回答．应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．”2．抛物线的标准方程是什么？再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞0)和x2=-2py(p＞0)．下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．(二)几何性质怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？以y2=2px(p＞0)为例，用小黑板给出下表，请学生对比、研究和填写．填写完毕后，再向学生提出问题：和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？学生和教师共同小结：(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了．(三)应用举例为了加深对抛物线的几何性质的认识，掌握描点法画图的基本方法，给出如下例1．例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点程是y2=4x．后一部分由学生演板，检查一下学生对用描点法画图的基本方法掌握情况．第一象限内的几个点的坐标，得：(2)描点作图描点画出抛物线在第一象限内的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分(如图2-33)．例2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离得p=4．因此，所求抛物线方程为y2=-8x．又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由学生演板．由题意在抛物线上且|MF|=5，故本例小结：(1)解法一运用了抛物线的重要性质：抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离．可得焦半径公式：设P(x0，这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到，因此必须熟练掌握．(2)由焦半径不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)则有|AB|=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴，抛物线的通径|AB|=2p(详见课本习题)．例3 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B 两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．证明：(1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2．或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2．综合上述有y1y2=-p2又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点，本例小结：(1)涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问题的一种常用方法．(2)本例命题1是课本习题中结论，要求学生记忆．(四)练习1．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，求|AB|的值．由学生练习后口答．由焦半径公式得：|AB|=x1+x2+p=82．证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点．请一同学演板，其他同学练习，教师巡视．证明：可设抛物线方程故抛物线y2=2px与平行于其轴的直线只有一个交点．(五)全课小结1．抛物线的几何性质；2．抛物线的应用．五、布置作业1．在抛物线y2=12x上，求和焦点的距离等于9的点的坐标．2．有一正三角形的两个顶点在抛物线y2=2px上，另一顶点在原点，求这个三角形的边长．3．图2-35是抛物线拱桥的示意图，当水面在l时，拱顶高水面2m，水面宽4m，水下降11m后，水面宽多少？4．求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆，必与抛物线的准线相切．作业答案：3．建立直角坐标系，设拱桥的抛物线方程为x2=-2py，可得抛物线4．由抛物线的定义不难证明六、板书设计。
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质教案抛物线是一种经典的二次函数，具有许多独特的几何性质。
它是数学中的重要概念，也常常出现在物理等实际应用中。
本文将介绍抛物线的一些简单几何性质，并设计一个教案，帮助学生理解和掌握这些性质。
一、抛物线的定义与性质1. 抛物线的定义：抛物线是一组与一直线和一个点的距离比例关系相符的点的轨迹。
2. 抛物线的特点：(1) 对称性：抛物线关于与其对称轴垂直的直线对称。
(2) 相同距离比例：抛物线上任意一点到焦点的距离与该点到准线的距离的比例始终相等，即反映了抛物线的几何性质。
(3) 焦点和准线：抛物线上的焦点与准线的距离相等，且焦点位于对称轴上。
(4) 抛物线开口方向：开口向上或向下取决于二次函数的二次项系数的正负。
二、教案设计1. 教学目标：(1) 理解抛物线的定义；(2) 掌握抛物线的对称性、焦点和准线的性质；(3) 理解抛物线开口方向与二次项系数的关系。
2. 教学过程：(1) 导入：提问学生对抛物线的认识，引导学生思考距离比例的概念，并通过图片和实物示例展示抛物线的形状。
(2) 概念解释：向学生介绍抛物线的定义和性质，让学生了解对称性、焦点和准线等概念，激发学生的兴趣。
(3) 教学演示：通过数学软件或手绘，展示抛物线的对称性和焦点、准线的位置，并解释相同距离比例的特点。
(4) 学生练习：提供抛物线的图形，让学生找出其对称轴、焦点和准线，并计算相同距离比例。
(5) 小组合作：学生分小组讨论并解决抛物线开口方向与二次项系数的关系问题，并向其他小组进行解释和讨论。
(6) 总结复习：学生总结抛物线的简单几何性质，并展示在教室内或墙壁上。
3. 教学评价：(1) 课堂回答问题：老师通过提问检查学生对抛物线性质的理解和掌握情况。
(2) 练习册作业：让学生在练习册上完成相关练习题，检测学生对抛物线性质的理解和应用能力。
三、教学展望通过这节课的教学，学生应能够理解抛物线的基本几何性质，并能够应用这些性质解决简单的问题。
抛物线的几何性质教案
抛物线的几何性质教案教案标题：抛物线的几何性质教学目标：1. 理解抛物线的定义和基本性质。
2. 掌握抛物线的焦点、顶点、对称轴等关键概念。
3. 能够利用抛物线的性质解决实际问题。
教学内容：1. 抛物线的定义和基本性质：a. 通过焦点与直线的定义，引入抛物线的概念。
b. 解释抛物线的几何性质，如对称性、焦点与直线的关系等。
2. 抛物线的关键概念：a. 焦点：解释焦点的定义和作用，如焦点与抛物线的关系。
b. 顶点：介绍顶点的概念和性质，如顶点的坐标与抛物线的关系。
c. 对称轴：解释对称轴的概念和性质，如对称轴与抛物线的关系。
3. 抛物线的性质应用：a. 利用抛物线的性质解决实际问题，如抛物线的最值问题、抛物线的轨迹问题等。
b. 引导学生进行抛物线相关问题的实际应用讨论，如抛物线在物理、工程等领域的应用。
教学步骤：1. 导入：通过展示一张抛物线的图片或实物，引起学生对抛物线的兴趣，并提出问题，激发学生思考。
2. 知识讲解：通过教师讲解和示范，介绍抛物线的定义、基本性质和关键概念。
3. 案例分析：给出一些具体的抛物线问题案例，引导学生分析和解决问题，巩固所学知识。
4. 练习与讨论：提供一定数量的练习题，让学生进行个人或小组练习，并进行讨论和答疑。
5. 拓展应用：引导学生思考抛物线在实际问题中的应用，并进行相关案例的讨论。
6. 总结归纳：对本节课所学内容进行总结，并强调抛物线的几何性质及其应用。
7. 课堂作业：布置一些练习题作为课后作业，巩固学生对抛物线的理解和应用。
教学资源：1. 抛物线的图片或实物。
2. 教学投影仪或黑板、白板等教学工具。
3. 抛物线相关的练习题和案例。
评估与反馈：1. 在课堂上进行学生的个人或小组练习，及时检查和纠正错误。
2. 对学生的课堂表现进行评估，如参与度、问题解决能力等。
3. 收集学生的作业并进行批改，给予针对性的反馈和建议。
教学延伸：1. 鼓励学生进一步探究抛物线的性质，如抛物线的方程、焦半径等。
抛物线的简单几何性质(第2课时) 高中数学获奖教案
3.3.2抛物线的简单几何性质（第二课时）(人教A 版普通高中教科书数学选修第一册第三章)一、教学目标1.掌握直线与抛物线的三种位置关系和焦点弦的简单几何性质，会用弦长公式求直线与抛物线的相交线.2.通过对直线与抛物线的位置关系的探究，以及焦点弦的有关重要结论的证明，掌握坐标法求解解析几何问题的一般思路，体会数形结合在解析几何应用中的重要性，培养数学运算、逻辑推理的数学素养. 二、教学重难点 教学重点：1. 直线与抛物线的位置关系.2.与焦点弦有关的重要结论3.坐标法的应用 教学难点：几何图形与代数运算的联系的建立 三、教学过程1.探究直线与抛物线的位置关系【复习回顾】直线与椭圆的位置关系有哪些？有多少个公共点？如何判断？例 已知直线和椭圆. 为何值时，直线与椭圆:有两个公共点？有且只有一个公共点？没有公共点？【预设答案】位置关系 公共点个数 方程解的个数 判别式 相交 2个 2个不等 相切 1个 2个相等 相离0个0个问题1：直线与抛物线的位置关系有哪些？有多少个公共点？如何判断？ 【预设答案】:450l x y m -+=22:1259x yC +=m l C ∆0∆>0∆=0∆<公共点个数 判别式 1个 或 2个 0个例1 已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？ 【预设答案】解：由题意，设直线的方程为，由方程组 消去，得（1）当时，直线的方程为，将代入，得， 此时直线与抛物线只有一个公共点（2）当时， 方程①的根的判别式由，得或，此时方程①有两个相等的实数根，直线与抛物线有且只有一个公共点.由，得，此时方程①有两个不相等的实数根，直线与抛物线有两个公共点.由，得，此时方程①没有实数根，直线与抛物线没有公共点. 【设计意图】复习回顾直线与椭圆的位置关系，用同样的研究方法来研究直线与抛物线的位置关系.2.证明抛物线的焦点弦的有关重要结论问题2:直线过抛物线的焦点时，直线与抛物线的位置关系如何？有多少个公共点？∆0k =0∆=0∆>0∆<24y x =l ()2,1P -k k l 24y x =l ()12y k x -=+()2124y k x y x⎧-=+⎪⎨=⎪⎩x ()2-44210ky y k ++=①0k =l 1y =1y =24y x =14x =l 1,14⎛⎫⎪⎝⎭0k ≠()21621k k ∆=-+-0∆=-1k =12k =l0∆>112k -<<l 0∆<112k k <->或l【预设答案】直线与抛物线相交, 有两种情况，当直线与抛物线对称轴重合时，有一个公共点；当直线与抛物线不重合时，两个公共点，第二种情况中，过焦点的直线被抛物线所截的弦长就是焦点弦.【设计意图】由一般到特殊，由研究三种位置关系到研究其中一种，为接下来研究直线与抛物线相交时所成的焦点弦的有关重要结论打下基础.【复习回顾】上节课例2，求焦点弦的弦长，用了哪些方法？例2 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段AB 的长.【预设答案】法一：直接求两点坐标，利用两点间的距离公式求弦长法二：设而不求，利用弦长公式和根与系数的关系（韦达定理）求弦长 法三：活用定义，利用根与系数的关系（韦达定理）求弦长【设计意图】梳理求焦点弦长度的几种解法，引导学生体会坐标法解决问题的基本思想方法：先用几何眼光观察，再用代数运算解决.例3 直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点.（1）用，表示线段的长，并证明：长度最小为（通径）.（2）求证：.（3）求证：. （4）求证：以为直径的圆与准线相切. （5）求证：以焦半径为直径的圆与轴相切.【预设答案】l 24y x =F A B l 22(0)y px p =>F 11(,)A x y 22(,)B x y 1x 2x AB AB 2p 221212,4p x x y y p ==-112FA FB p+=AB AF y此时，代入得， ，（不妨设），故（称为通径） ②当直线斜率存在时，设直线方程为， 由方程组得， 所以 所以， 所以长度最小为.（2）由（1）知，当直线斜率不存在时，，显然成立；当直线斜率存在时，由方程组得，所以，，所以 （3）由（1）知，当直线斜率不存在时，， ，结论显然成立. 当直线斜率存在时，122px x ==22(0)y px p =>1y p =2y p =-12y y >2AB p =l l 2=-()py k x 222⎧=-⎪⎨⎪=⎩(p y k x y px22222204-++=()k p k x p k x 1222p x x p k+=+122222pAB x x p p p k =++=+>AB 2p l (,)2p A p (,)2p B p -221212,4p x x y y p ==-l 222⎧=-⎪⎨⎪=⎩(p y k x y px 22222204-++=()k pk x p k x 1222p x x p k +=+2124p x x =22212121212((()2224p p p p y y k x k x k x x x x p ⎡⎤=-⋅-=-++=-⎢⎥⎣⎦l (,)2p A p (,)2pB p -l由方程组得，所以，，（4）如图，设的中点为， 过,,分别作准线的垂线， 垂足分别为,,，则， 结论得证.(5) 如图，设的中点为， 过 ,分别作轴的垂线， 垂足分别为,，则， 结论得证.【设计意图】由例2到例3，由特殊到一般. 一方面，利用代数方法研究焦点弦的重要结论，使学生在解题过程中充分认识坐标法的程序性、普适性特点；另一方面，引导学生在解析几何的解题中，先用几何眼光观察，再用代数运算解决，充分利用图形的几何特征简化运算，注重数形结合，相辅相成.【总结】与抛物线焦点弦有关的重要结论直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，则222⎧=-⎪⎨⎪=⎩(p y k x y px 22222204-++=()k p k x p k x 1222p x x p k +=+2124p x x =121111222+=+=++p p FA FB px x ABM A B M 'A 'B 'M '''222AA BB AF BF ABMM ++===AF N A N y E 'N 2'222pAF OF AE FOAF NN -++===l 22(0)y px p =>F 11(,)A x y 22(,)B x y（1），长度最小为（通径）（2）（3）.（4）以为直径的圆与准线相切.（5）以焦半径为直径的圆与轴相切.【设计意图】由学生自己证明并总结出与抛物线焦点弦的有关重要性质，加深对抛物线几何性质的理解.3.直线与抛物线的相交弦问题3:当直线不过抛物线焦点时，结论是否成立？【预设答案】不成立，证明如下：例4斜率为1的直线经过抛物线的定点，且与抛物线相交于，两点，求线段AB的长.【预设答案】解：由方程组，得所以，它的长度与紧密关联.【设计意图】区分抛物线的焦点弦和一般相交弦，求解方法也有差异，一般弦长无法利用定义简化计算过程，只能用两点间的距离或弦长公式.四、课外作业1.过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，通过点和抛物线顶点的直线交抛12AB x x p=++AB2p221212,4px x y y p==-112FA FB p+=ABAF y12AB x x p=++121222p pFA FB x x x x p AB+=+++=++>l24y x=(,0)P m A B24y x my x=-⎧⎨=⎩22(24)0x m x m-++=1224x x m+=+212x x m=2AB x=-==mF A B A更多高中资料见：新高考资料全科总群732599440；高考数学高中数学探究群562298495物线的准线于点，求证：直线平行与抛物线的对称轴．2. 抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，若点，求的最小值．3. 抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，求证：是一个定值． 【答案】4. 已知过定点的直线交抛物线于，两点，求△面积的最小值． 【答案】D DB 24y x =F (),P x y ()1,0A -PF PA24y x =F F l A B OA OB ⋅3-()2,0P l 24y x =A B AOB。
抛物线的几何性质教案
抛物线的几何性质教案抛物线的几何性质教案一、教学目标：1. 知识与技能：掌握抛物线的定义，了解抛物线的几何性质。
2. 过程与方法：通过观察实例、辨析图形等方式，培养学生的观察能力和分析能力。
3. 情感态度价值观：培养学生对几何形状的兴趣，通过发现规律和解决问题的过程，提高学生的动手实践能力和逻辑思维能力。
二、教学重难点：1. 教学重点：抛物线的定义，抛物线的几何性质。
2. 教学难点：通过具体实例推导抛物线的一般式方程。
三、教学过程：Step 1：导入新课1. 通过投射物体的实例，引出抛物线的定义并写在黑板上。
2. 引导学生观察抛物线的形状，并讨论抛物线的特点。
Step 2：抛物线的定义1. 提问：根据之前的观察，你能用自己的话解释一下什么是抛物线吗？2. 学生回答后，教师给出正确答案并进行解释。
3. 学生跟随教师的解释，将定义写在笔记本上。
Step 3：抛物线的性质1. 引导学生观察抛物线的对称性，并讨论抛物线的对称轴是什么。
2. 引导学生发现抛物线的定点，并解释为什么这些点在同一条直线上。
3. 教师引导学生用引例方法，用一个实际问题（如抛射运动）解释为什么会产生抛物线，引导学生探索抛物线的另外两个性质。
（如，抛物线在对称轴上的点到定点的距离相等，抛物线上任意一点到定点和对称轴的距离相等）Step 4：抛物线的一般式方程1. 教师提出具体实例，引导学生观察，并用抛物线的定义和已知条件推导出一般式方程。
2. 学生与教师一起完成推导过程，并将结果写在黑板上。
3. 学生跟随教师的推导过程，将结果写在笔记本上。
Step 5：练习与巩固1. 教师出示几个实例，并要求学生根据观察结果，写出相应的抛物线方程。
2. 学生进行练习，并相互检查和讨论结果。
四、教学反思：通过本节课的教学，学生们对抛物线的定义和几何性质有了初步的了解。
通过观察、探索的方式，激发了学生的兴趣，让他们在实践中感受到了数学的魅力。
在教学过程中，教师注重培养学生的观察能力和分析能力，通过引导学生发现规律和解决问题的过程，培养学生的动手实践能力和逻辑思维能力。
高中数学教案——抛物线的简单几何性质 第二课时
课题：8．6抛物线的简单几何性质（二）教学目的：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离 抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线二、讲解新课：1.抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径 焦半径公式：抛物线)0(22>=p px y ，0022x p p x PF +=+= 抛物线)0(22>-=p px y ，0022x p p x PF -=-= 抛物线)0(22>=p py x ，0022y p p y PF +=+= 抛物线)0(22>-=p py x ，0022y p p y PF -=-= 2．直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点） 下面分别就公共点的个数进行讨论：对于)0(22>=p px y当直线为0y y =，即0=k ，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点 当0≠k ，设b kx y l +=:将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx Cy Ax C ，消去y ，得到关于x 的二次方程2=++c bx ax （*） 若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离综上，得：联立⎩⎨⎧=+=pxy b kx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax 当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0≠a ，则若0>∆，两个公共点（交点）0=∆，一个公共点（切点）0<∆，无公共点 （相离）（2）相交弦长： 弦长公式：21k ad +∆=，其中a 和∆分别是02=++c bx ax （*）中二次项系数和判别式，k 为直线b kx y l +=:的斜率当代入消元消掉的是y 时，得到02=++c by ay ，此时弦长公式相应的变为：d =（3）焦点弦：定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 2.3.1 抛物线及其标准方程教案 新人教版选修1-1
§2.3.1 抛物线及其标准方程【学情分析】：学生已经学习过椭圆和双曲线，掌握了椭圆和双曲线的定义。
经历了根据椭圆和双曲线的几何特征，建立适当的直角坐标系，求椭圆和双曲线标准方程的过程。
【教学目标】：（1）知识与技能：掌握抛物线定义和抛物线标准方程的概念；能根据抛物线标准方程求焦距和焦点，初步掌握求抛物线标准方程的方法。
（2）过程与方法：在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的数学思想方法的过程中，提高学生学习能力。
（3）情感、态度与价值观：培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想。
【教学重点】：抛物线的定义和抛物线的标准方程。
【教学难点】：（1）抛物线标准方程的推导；（2）利用抛物线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。
【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入抛物线的定义 1. 椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（122F F a<）的点的轨迹. 2．双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（122F F a>）的点的轨迹.3．思考：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e>1 时是双曲线．那么，当e＝1时它是什么曲线呢？抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l的距离相等的点的轨迹。
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．学生已经学过椭圆和双曲线是如何形成的。
通过类似的方法，让学生了解抛物线的形成，从而理解并掌握抛物线的定义。
二、建立抛物线的标准方程如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合．设(0)KF p p=>,则焦点F的坐标为（2p，0），准线的方程为2px=-．设点M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是点的集合{}P M MF d==．∵MF=222px y⎛⎫-+⎪⎝⎭；d=2px+．∴2222p px y x⎛⎫-++⎪⎝⎭＝．化简得：22(0)y px p=>．注：22(0)y px p=>叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴，坐标是2p⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程是2px=-．探究：抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表。
高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质教案 新人教A版
2.3.2 抛物线的简单几何性质(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)理解抛物线的几何性质．(2)与抛物线有关的轨迹的求法，直线与抛物线的位置关系．2．过程与方法(1)灵活运用抛物线的性质．(2)培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)训练学生分析问题、解决问题的能力．(2)培养学生数形结合思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力．●重点、难点重点：(1)掌握抛物线的几何性质．(2)根据给出的条件求出抛物线的标准方程．难点：抛物线各个几何性质的灵活应用．(教师用书独具)●教学建议本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法．先通过多媒体动画演示，创设问题情境，在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高．学法上，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，结合教法和学生的实际，在多媒体辅助教学的基础上，主要采用“复习——类比——探索——应用”的探究式学习方法，增加学生参与的机会，使学生在掌握知识形成技能的同时，培养逻辑推理、理性思维的能力及科学的学习方法，增强自信心．学法指导包括：联想法、观察分析法、练习巩固法．这样，本节课的重点与难点就迎刃而解了．●教学流程提出问题：你能说出抛物线y2＝2px p＞0的几何性质吗？⇒引导学生结合图象得出抛物线四种形式的几何性质，并对比它们的区别与联系.⇒通过引导学生回顾直线与椭圆的位置关系问题，引出直线与抛物线的位置关系知识.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握抛物线的性质及应用问题.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握抛物线的焦点弦问题.⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第39页)课标解读1.掌握抛物线的几何性质及抛物线性质的应用．(重点)2．掌握直线与抛物线的位置关系．(难点)抛物线的几何性质类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y2＝2px(p＞0)的范围、对称性、顶点坐标吗？【提示】范围x≥0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0)．标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形续表标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)性质范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线有哪几种位置关系？【提示】三种：相离、相切、相交．2．若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？【提示】不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点．直线与抛物线的位置关系与公共点位置关系公共点个数相交有两个或一个公共点相切有且只有一个公共点相离无公共点(对应学生用书第40页)抛物线简单几何性质的应用如图2－3－3所示，已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A图2－3－3是抛物线上的一点，其横坐标为4，且在x 轴的上方，点A 到抛物线的准线的距离等于5，过A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求直线MN 的方程． 【思路探究】 (1)根据题意你能求出p 的值吗？ (2)M 点的坐标是多少？直线MN 的斜率呢？【自主解答】 (1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意知A (4,4)，B (0,4)，M (0,2)，F (1,0)， ∴k FA ＝43.又MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34，则直线FA 的方程为y ＝43(x －1)，直线MN 的方程为y －2＝－34x ，即3x ＋4y －8＝0.研究抛物线的性质时要注意它们之间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，离心率不变总为1.已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．【解】 由题意，抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l ：x ＝p2，∴A 、B 两点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，－p ，∴|AB |＝2|p |. ∵△OAB 的面积为4，∴12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2·2|p |＝4，∴p ＝±2 2. ∴抛物线标准方程为y 2＝±42x .直线与抛物线的位置关系问题已知：直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C 有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点？【思路探究】 (1)联立直线l 与抛物线C 的方程，得到的关于x 的方程是什么形式？(2)能直接用判别式法判断公共点的情况吗？【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程变为－4x ＋1＝0，x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与C 只有一个公共点(14，1)，此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，方程(*)是一个一元二次方程：Δ＝(2k －4)2－4k 2×1＝16－16k①当Δ＞0，即k ＜1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时l 与C 相交； ②当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时l 与C 相切； ③当Δ＜0，即k ＞1时，l 与C 没有公共点，此时l 与C 相离． 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与C 有一个公共点； (2)当k ＜1，且k ≠0时，直线l 与C 有两个公共点； (3)当k ＞1时，直线l 与C 没有公共点．1．直线与抛物线的位置关系判断方法．通常使用代数法：将直线的方程与抛物线的方程联立，整理成关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，利用判别式解决．Δ＞0⇒相交；Δ＝0⇒相切；Δ＜0⇒相离．(2)当a ＝0时，方程只有一解x ＝－cb，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合． 2．直线与抛物线相切和直线与抛物线公共点的个数的关系：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是不能把直线与抛物线有且只有一个公共点统称为相切，这是因为平行于抛物线的对称轴的直线与抛物线只有一个公共点，而这时抛物线与直线是相交的．若过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 有两个公共点，求直线的斜率k 的取值范围． 【解】 设直线方程为y －2＝k (x ＋3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k x ＋3y 2＝4x消去x ，整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0.①(1)当k ＝0时，方程①化为y ＝2，直线y ＝2与抛物线y 2＝4x 相交，有一个公共点，不合要求； (2)当k ≠0时，Δ＝16－4k (8＋12k )＞0. ∴－1＜k ＜13，因此－1＜k ＜13且k ≠0.综上可知，斜率k 的取值范围为{k |－1＜k ＜13且k ≠0}.抛物线的焦点弦问题已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为4的直线l 被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程．【思路探究】 (1)焦点在x 轴上的抛物线方程如何设？(2)过焦点且倾斜角为π4的直线方程怎么求？它被抛物线截得的弦长问题能联系抛物线的定义吗？【自主解答】 当抛物线焦点在x 轴正半轴上时， 可设抛物线标准方程是y 2＝2px (p ＞0)， 则焦点F (p 2，0)，直线l 为y ＝x －p2.设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过A 、B 分别向抛物线的准线作垂线AA 1、BB 1，垂足分别为A 1、B 1.则|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝(x 1＋p 2)＋(x 2＋p2)＝x 1＋x 2＋p ＝6，∴x 1＋x 2＝6－p .①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得(x －p2)2＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p ，代入①式得3p ＝6－p ，∴p ＝32.∴所求抛物线标准方程是y 2＝3x .当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y 2＝－3x .1．本题是通过抛物线的性质求其方程的典型例题，抛物线的方程有两种形式，解答时切勿漏掉．2．过焦点F 和抛物线相交的弦叫做抛物线的焦点弦，在解决与焦点弦有关的问题时，一是注意用焦点弦所在的直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数关系解题，二是注意抛物线定义的灵活运用，特别应注意整体代入的方法．本例中，若把直线的倾斜角改为135°，被抛物线截得的弦长改为8，其他条件不变，试求抛物线的方程．【解】 如图，依题意当抛物线方程设为y 2＝2px (p ＞0)时， 抛物线的准线为l ，则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0.于是x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2. 故所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p ＞0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上所述，抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .(对应学生用书第41页)忽略特殊直线致误求过定点P (0,1)，且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程． 【错解】 设直线方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.当k ＝0时，解得y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点； 当k ≠0时，Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，解得k ＝12，即直线y ＝12x ＋1与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求的直线方程为y ＝1或y ＝12x ＋1.【错因分析】 本题直接设出了直线的点斜式方程，而忽视了斜率不存在的情况，从而导致漏解．【防范措施】 在解直线与抛物线的位置关系时，往往直接把直线方程设成点斜式方程，这样就把范围缩小了，而应先看斜率不存在的情况是否符合要求，直线斜率为0的情况也容易被忽略，所以解决这类问题时特殊情况要优先考虑，画出草图是行之有效的方法．【正解】 如图所示，若直线的斜率不存在， 则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y 2＝2x得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．若直线的斜率存在，则由错解可知，y ＝1或y ＝12x ＋1为所求的直线方程．故所求的直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以求出抛物线的方程．2．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，求焦点弦长，一般不用弦长公式． 3．直线和抛物线的位置关系问题的通法与椭圆、双曲线一样，即联立方程消未知数，产生一元二次方程，用判别式Δ、根与系数关系解决问题．(对应学生用书第42页)1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的对称轴为( ) A ．y 轴 B ．x 轴 C ．x ＝－a2D ．x ＝－a4【解析】 形如y 2＝±2px (p ＞0)的抛物线的对称轴为x 轴． 【答案】 B2．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程( ) A ．x 2＝±3yB ．y 2＝±6xC ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6y【解析】 依题意，p2＝3，∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为x 2＝±12y . 【答案】 C3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝－12，则a ＝________.【解析】 抛物线方程可化为x 2＝1a y ，由题意14a ＝12，∴a ＝12.【答案】 124．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，求点P 的坐标．【解】 根据题意可知：|PF |＝|PO |，其中O 为原点，F 为焦点，∴x P ＝x F 2＝18，∴y P ＝±18＝±122＝±24，∴P (18，±24).(对应学生用书第101页)一、选择题1．(2013·泰安高二检测)已知抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝8，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝±8xD ．x 2＝±8y【解析】 由抛物线的定义知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝2p ＝8，∴p ＝4，故标准方程为y 2＝±8x .【答案】 C2．抛物线y ＝ax 2＋1与直线y ＝x 相切，则a 等于( ) A.18 B.14C.12D ．1【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋1，y ＝x ，消y 得ax 2－x ＋1＝0.∵直线y ＝x 与抛物线y ＝ax 2＋1相切， ∴方程ax 2－x ＋1＝0有两相等实根． ∴判别式Δ＝(－1)2－4a ＝0，∴a ＝14.【答案】 B3．(2013·长沙高二检测)过点M (2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线共有( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由于M (2,4)在抛物线上，故满足条件的直线共有2条，一条是与x 轴平行的线，另一条是过M 的切线，如果点M 不在抛物线上，则有3条直线．【答案】 B4．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60 cm ，灯深40 cm ，则光源到反射镜顶点的距离是( )A ．11.25 cmB ．5.625 cmC ．20 cmD ．10 cm【解析】 如图建立直角坐标系，则A (40,30)，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，将点(40,30)代入得p ＝454，所以p2＝5.625即光源到顶点的距离．【答案】 B5．若点P 在y 2＝x 上，点Q 在(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为( ) A.3－1 B.102－1 C ．2 D.112－1 【解析】 设圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心为Q ′(3,0)，要求|PQ |的最小值，只需求|PQ ′|的最小值．设P 点坐标为(y 20，y 0)，则|PQ ′|＝y 20－32＋y 2＝y 202－5y 20＋9＝y 20－522＋114. ∴|PQ ′|的最小值为112， 从而|PQ |的最小值为112－1. 【答案】 D 二、填空题6．(2013·台州高二检测)设抛物线y 2＝16x 上一点P 到对称轴的距离为12，则点P 与焦点F 的距离|PF |＝______.【解析】 设P (x,12)，代入到y 2＝16x 得x ＝9， ∴|PF |＝x ＋p2＝9＋4＝13.【答案】 137．设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (0,2)，若线段FA 的中点B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为________．【解析】 由已知得点B 的纵坐标为1，横坐标为p 4，即B (p4，1)将其代入y 2＝2px 得p＝2，则点B 到准线的距离为p 2＋p 4＝34p ＝342.【答案】342 8．(2012·北京高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．【解析】 ∵y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，又直线l 过焦点F 且倾斜角为60°，故直线l 的方程为y ＝3(x －1)，将其代入y 2＝4x 得3x 2－6x ＋3－4x ＝0， 即3x 2－10x ＋3＝0. ∴x ＝13或x ＝3.又点A 在x 轴上方，∴x A ＝3.∴y A ＝2 3. ∴S △OAF ＝12×1×23＝ 3.【答案】 3三、解答题9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．【解】 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)，A (x 0，y 0)，由题知 M (0，－p2)．∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3，∵|AM |＝17， ∴x 20＋(y 0＋p2)2＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得， 8＝2p (3－p2)，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .10．已知A ，B 两点在抛物线C ：x 2＝4y 上，点M (0,4)满足MA →＝λMB →(λ≠0)，求证：OA→⊥OB →.【证明】 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．∵MA →＝λMB →，∴M 、A 、B 三点共线，即直线AB 过点M . 设l AB ∶y ＝kx ＋4(易知斜率存在)，与x 2＝4y 联立得，x 2－4kx －16＝0， Δ＝(－4k )2－4×(－16)＝16k 2＋64＞0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－16， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋4)(kx 2＋4) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋4k (x 1＋x 2)＋16＝(1＋k 2)·(－16)＋4k ·(4k )＋16＝0， ∴OA →⊥OB →.11．(2013·泰州高二检测)已知抛物线x 2＝ay (a ＞0)，点O 为坐标原点，斜率为1的直线与抛物线交于A ，B 两点．(1)若直线l 过点D (0,2)且a ＝4，求△AOB 的面积；(2)若直线l 过抛物线的焦点且OA →·OB →＝－3，求抛物线的方程． 【解】 (1)依题意，直线l 的方程为y ＝x ＋2，抛物线方程x 2＝4y ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝x ＋2，消去y ，得x 2－4x －8＝0.则Δ＝16－4×(－8)＝48＞0恒成立．设l 与抛物线的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＜x 2. ∴x 1＝2－23，x 2＝2＋2 3. 则|x 2－x 1|＝4 3.∴S △AOB ＝12·|OD |·|x 2－x 1|＝12×2×43＝4 3.(2)依题意，直线l 的方程为y ＝x ＋a4.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a 4，x 2＝ay ，⇒x 2－ax －a 24＝0，∵Δ＞0，设直线l 与抛物线交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∴x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－a 24.又已知OA →·OB →＝－3， 即x 1x 2＋y 1y 2＝－3，∴x 1x 2＋(x 1＋a 4)(x 2＋a4)＝－3，∴2x 1x 2＋a 4(x 1＋x 2)＋a 216＝－3， ∵a ＞0，∴a ＝4.∴所求抛物线方程为x 2＝4y .(教师用书独具)已知抛物线y 2＝2x ，(1)设点A 的坐标为(23，0)，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA |；(2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值． 【解】 (1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )， 则|PA |2＝(x －23)2＋y 2＝(x －23)2＋2x＝(x ＋13)2＋13.∵x ≥0，且在此区间上函数单调递增， ∴当x ＝0时，|PA |min ＝23，距点A 最近的点的坐标为(0,0)．(2)法一 设点P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点， 则P 到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|x 0－y 0＋3|2＝|y 22－y 0＋3|2＝|y 0－12＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝522＝524，∴点P 的坐标为(12，1)．法二 设与直线x －y ＋3＝0平行的抛物线的切线为x －y ＋t ＝0，与y 2＝2x 联立，消去x 得y 2－2y ＋2t ＝0，由Δ＝0得t ＝12，此时y ＝1，x ＝12，∴点P 坐标为(12，1)，两平行线间的距离就是点P 到直线的最小距离， 即d min ＝524.已知抛物线y 2＝4x 与直线x ＋y －2＝0的交点为A 、B ，抛物线的顶点为O ，在AOB 上求一点C ，使△ABC 的面积最大，并求出这个最大面积．【解】 设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为x ＋y －b ＝0，将它与抛物线方程y 2＝4x 联立，消去x 得方程y 2＝4(b －y )，即y 2＋4y －4b ＝0.由Δ＝42－4(－4b )＝0得b ＝－1，故切线为x ＋y ＋1＝0. 求得切点C (1，－2)．因直线x ＋y ＋1＝0与x ＋y －2＝0的距离d ＝|1＋2|2＝322.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y 2＝4x ，解得交点坐标为A (4＋23，－2－23)、B (4－23，－2＋23)． ∴|AB |＝4 6.于是S △ABC ＝12|AB |·d ＝12×46×322＝6 3.所以当C 点为(1，－2)时，S△ABC的最大值为6 3.。
人教课标版高中数学选修2-1：《抛物线的简单几何性质(第2课时)》教案-新版
2.4.2 抛物线的简单几何性质（第2课时）一、教学目标 （一）学习目标1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式； 3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化. （二）学习重点抛物线的几何性质及其运用. （三）学习难点 抛物线几何性质的运用. 二、教学设计 （一）预习任务设计 1.预习任务 写一写：直线与抛物线的位置关系：以22y px =为例，解决直线与抛物线的位置关系问题，可把直线方程与抛物线方程联立，消去y （或者消去x ），得出关于x 的一个方程，20Ax Bx C ++=. 当A =0时，直线与抛物线有 1个 交点；当A ≠0时，若0∆>，则直线与抛物线有 2个 公共点； 若0∆=，则直线与抛物线有 1个 公共点，即 切点 ； 若0∆<，则直线与抛物线有 0个 公共点，即 相离 . 2.预习自测下列正确的命题个数是（ ）（1）若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切.（2）“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件. （3）直线210x y -+=与抛物线2y x =的位置关系是相交.（4）过焦点(,0)2pF 的直线与抛物线22y px =交于,A B 两点，则||AB 的最小值为2p . A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B解析：【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】当直线与抛物线对称轴平行时直线与抛物线相交，而且只有一点，故（1）错误；联立210x y -+=与2y x =知0∆=，故（3）错误. 点拨：注意直线与抛物线只有一个交点，两者关系可能为相交与相切. （二）课堂设计 1.知识回顾：（1）抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径 焦半径公式：抛物线)0(22>=p px y ，0022x pp x PF +=+= 2.新知讲解我们在学习了直线与圆、直线与椭圆的位置关系，今天来学习直线与抛物线的位置关系.通过这节课的学习，我们比较一下直线与抛物线的位置关系与直线与圆、直线与椭圆的位置关系有哪些异同点. 探究一：直线与抛物线 ●活动①师生互动，探究关系先请学生回顾直线与圆、直线与椭圆的位置关系有哪些？（形状）那么，直线与抛物线的位置关系有哪些呢？注意：有一个公共点不一定相切.问题：针对每一种位置关系，我们如何用“数”加以证明呢？【设计意图】通过直线与椭圆位置关系的回顾，培养学生类比学习能力.在图象认识的基础上，逐渐由“形”上升到“数”. 例1.已知直线l 过(0,1)A ，抛物线方程为24y x =.（1）若直线与抛物线没有交点，求直线l 的斜率k 的取值范围； （2）若直线与抛物线有两个交点，求直线l 的斜率k 的取值范围. 【知识点】直线与抛物线.【解题过程】由题意知直线l 的方程为：1y kx =+.联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩得：22(24)10k x k x +-+=. ①（1）直线与抛物线没有交点，即方程①无解，故22(24)40k k k ≠⎧⎨∆=--<⎩，解得：1k >.（2）直线与抛物线有两个交点，即方程①有两个不同的实数解，故22(24)40k k k ≠⎧⎨∆=-->⎩，解得：1k <且0k ≠. 【思路点拨】用方程组的解的个数来讨论两曲线公共点的个数时，要注意到二次项系数为零的情况.【答案】（1）1k >；（2）1k <且0k ≠. ●活动② 归纳总结，提炼结论直线与抛物线的位置关系：设直线方程为y kx b =+，抛物线22y px =，联立⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax .当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点） 当0≠a ，则：若0>∆，两个公共点（交点）0=∆，一个公共点（切点） 0<∆，无公共点（相离）同类训练 已知直线l 过下面任意一个定点，抛物线方程为24y x =，若直线与抛物线仅有一个交点，则这样的直线有几条？(0,1),(1,2),(1,1)A B C答案：分别有3,2,1条.解析：【知识点】直线与抛物线位置关系.【解题过程】根据,,A B C 与抛物线的位置关系，可知分别过,,A B C 且与抛物线仅有一个交点的直线条数分别为：3，2,1.点拨：动直线过定点问题与抛物线恰有一个交点问题，首先要验证定点与抛物线的位置关系，从而确定满足条件的直线有几条. 探究二：抛物线的焦点弦. ●活动①例题出发，发现关系例2.已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． （1）若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；（2）若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．【知识点】抛物线的焦点弦.【解题过程】（1）因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F 3(,0)2. 所以直线l 的方程为y ＝33()2x -.联立263)2y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得x 2－5x ＋94＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . ∴|AB |＝5＋3＝8.（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3. 所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3. 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.【思路点拨】过焦点的弦长问题注意利用好抛物线的定义可简化运算. 【答案】（1）|AB |＝8；（2）92.同类训练 已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点. 求证：（1）12x x 为定值；（2）11||||FA FB +为定值. 答案：见解题过程.解析：【知识点】抛物线的焦点弦.【解题过程】（1）设直线:()(0)2pAB y k x k =-≠由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得：22222(2)04k p k x p k x -++=，故2124p x x =为定值.（2）由抛物线的定义知：12||,||22p p AF x BF x =+=+ 故121221212121211112||||()()22224x x p x x p p p p p p FA FB p x x x x p x x x x +++++=+===+++++++. 点拨：应用抛物线的定义及直线与抛物线的知识转化处理. ●活动②师生合作，探究弦长我们把过焦点的直线割抛物线所成的相交弦称为抛物线的焦点弦.过焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，设两交点),(),(2211y x B y x A .可以通过两次焦半径公式得到：（1）当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两交点的横坐标有关： 抛物线)0(22>=p px y ，)(21x x p AB ++= 抛物线)0(22>-=p px y ，)(21x x p AB +-=当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两交点的纵坐标有关： 抛物线)0(22>=p py x ， )(21y y p AB ++= 抛物线)0(22>-=p py x ，)(21y y p AB +-= （2）若已知过焦点的直线倾斜角θ.则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y y θsin 24422221p p kp y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒ （3）常用结论：⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和421px x =●活动③强化提升，灵活应用例3.如图，倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.（1）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（2）若a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明|FP |-|FP |cos2a 为定值，并求此定值.【知识点】抛物线方程及其几何性质.【解题过程】设抛物线的标准方程为px y 22=，则82=p ，从而.4=p 因此焦点)0,2(p F 的坐标为（2，0）. 又准线方程的一般式为2p x -=. 从而所求准线l 的方程为2-=x .（2）如图作AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足为C 、D ，则由抛物线的定义知AC AF =，|FB |=|BD |. 记A 、B 的横坐标分别为x x x z ，则 |F A |＝|AC |＝4cos ||22cos ||2+=++=+a FA p p a FA p x x 解得aFA cos 14||-=. 类似地有a FB FB cos ||4||-=，解得aFB cos 14||+=.记直线m 与AB 的交点为E ，则aaa a FB FA FB FA FA AE FA FE 2sin cos 4cos 14cos 1421|)||(|212||||||||||||=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=+-=-=所以aa FE FP 2sin 4cos ||||==. 故8sin sin 2·4)2cos 1(sin 42cos ||||222==-=-aa a aa FP FP .【思路点拨】涉及到直线倾斜角，我们可以利用抛物线的定义寻找几何关系，利用倾斜角α来表示焦半径,AF BF 解题.【答案】（1）F （2，0），2-=x ；（2）||||cos28FP FP a -=，证明见解题过程.同类训练 已知抛物线:C 22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆13422=+y x 的右焦点重合，抛物线C 与椭圆的交于点P ，延长PF 交抛物线C 于点Q . （1）求抛物线C 的方程； （2）求||PQ 的值. 答案：见解题过程.解析：【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】（1）由题意：(1,0)F ，2P ∴=，抛物线C 的方程为24y x =.（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，由2224144y xx y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得123x =,设:1PQ x my =+，由241y xx my ⎧=⎨=+⎩得2440y my --=，124y y ∴=-221212144y y x x ∴=⋅=，232x ∴=.12256PQ PF QF x x p ∴=+=++=. 点拨：应用抛物线的定义及直线与抛物线的知识转化处理. 3.课堂总结 知识梳理直线与抛物线的位置关系：设直线方程为y kx b =+，抛物线22y px =，联立⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax .当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点） 当0≠a ，则：若0>∆，两个公共点（交点）0=∆，一个公共点（切点） 0<∆，无公共点（相离） 重难点归纳焦半径与焦点弦：过焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，设两交点1122(,)(,),0A x y B x y p >. （1）1||2p AF x =+，2||2pBF x =+；12||AB x x p =++. （2）421px x =，212y y p =-. （3）若已知过焦点的直线倾斜角θ，则22sin pAB θ=. （三）课后作业 基础型 自主突破1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝（ ） A ．2或－2 B ．－1 C ．2 D ．3 答案：C.【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】由⎩⎨⎧y 2＝8x y ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则24(2)k k +＝4，即k ＝2.（当1k =-时，直线与抛物线相切） 点拨：联立方程利用韦达定理解题.2．抛物线y ＝14x 2的焦点关于直线x －y －1＝0的对称点的坐标是（ ） A ．(2，－1) B ．(1，－1) C ．(14，－14) D ．(116，－116) 答案：A.【知识点】对称问题.【解题过程】y ＝14x 2⇒x 2＝4y ，焦点为(0,1)，其关于x －y －1＝0的对称点为(2，－1)．点拨：点关于直线对称注意两个关键词：“垂直”，“中点”.3．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是（ ） A ．1 B ．2 C.58 D ．158 答案：D.解析：【知识点】抛物线的焦点弦.【解题过程】如图所示，设AB 的中点为P (x 0，y 0)，分别过A ，P ，B 三点作准线l 的垂线，垂足分别为A ′，Q ，B ′，由题意得|AA ′|＋|BB ′|＝|AB |＝4，|PQ |＝|AA ′|＋|BB ′|2＝2，又|PQ |＝y 0＋18，∴y 0＋18＝2，∴y 0＝158.点拨：注意结合定义用几何关系处理.4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB→＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|等于（ ） A ．9B ．6C ．4D ．3答案：B.【知识点】抛物线的焦半径.【解题过程】设A 、B 、C 三点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 3，y 3)．由题意知F (1,0)，因为F A →＋FB →＋FC →＝0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3.根据抛物线定义，有|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝3＋3＝6.故选B. 点拨：抛物线22y px =的焦半径：0||2p PF x =+ 5．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2 m 时，量得水面宽8 m ，当水面升高1米后，水面宽度是________m .答案：解析：【知识点】抛物线的方程.【解题过程】设抛物线拱桥的方程为x 2＝－2py ，当顶点距水面2 m 时，量得水面宽8 m ，即抛物线过点(4，－2)代入方程得16＝4p ，∴p ＝4，则抛物线方程是x 2＝－8y ，水面升高1 m时，即y＝－1时，x＝±2 2.则水面宽为42m.点拨：根据开口方程假设标准方程求解.6．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|＝4，则|P A|＋|PO|的最小值是_________．答案：解析：【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】由|AF|＝4及抛物线定义得A到准线的距离为4.∴A点横坐标为－2，∴A(－2,4).又原点关于准线的对称点的坐标为B(4,0)，所以|P A|＋|PO|的最小值为：|AB|＝36＋16＝213.点拨：利用抛物线的定义解题.能力型师生共研7．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P(3,1)是一个定点，则|MP|＋|MF|的最小值是________．答案：4.解析：【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】过P作垂直于准线的直线，垂足为N，交抛物线于M，则|MP|＋|MF|＝|MP|＋|MN|＝|PN|＝4为所求最小值．点拨：利用抛物线的定义解题.8．在已知抛物线y＝x2上存在两个不同的点M、N关于直线y＝kx＋92对称，则k的取值范围为________．答案：k>14或k<－14.解析：【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)关于直线y ＝kx ＋92对称，∴x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，即x 1＋x 2＝－1k .设MN 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝－12k ，y 0＝k ×(－12k )＋92＝4.因中点P 在y ＝x 2内，有4>(－12k )2⇒k 2>116，∴k >14或k <－14.点拨：利用中点在抛物线内建立不等式求解.探究型 多维突破9．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上且BC ∥x 轴，证明直线AC 经过原点O .答案：见解题过程.解析：【知识点】抛物线的焦点弦.【解题过程】因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F (p 2，0)，所以经过点F 的直线AB 的方程设为：x ＝my ＋p 2代入抛物线方程得：y 2－2pmy－p 2＝0若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1、y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p 2上，所以点C 的坐标为(－p 2，y 2)，故直线CO 的斜率为：k ＝22y p＝2p y 1＝y 1x 1， 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点．点拨：利用斜率相等说明三点共线.10．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．（1）求证：OA ⊥OB ；（2）当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．答案：16k =± 解析：【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】（1）由2(1)y x y k x ⎧=-⎨=+⎩消去x 得，ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得y 1·y 2＝－1，y 1＋y 2＝－1k .∵A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴y 21·y 22＝x 1x 2. ∵k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥O B. （2）设直线与x 轴交于点N ，显然k ≠0.令y ＝0，得x ＝－1，即N (－1,0)．∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON |·|y 1－y 2|，∴S △OAB ＝112⋅= ∵S △OAB ＝10，∴10＝16k =±. 点拨：注意利用坐标关系解题.自助餐1．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点O 为坐标原点，则OA →·OB→的值是（ ）A ．12B ．－12C ．3D ．－3答案：D.解析：【知识点】抛物线的焦点弦.【解题过程】设A (y 214，y 1)，B (y 224，y 2)，则OA →＝(y 214，y 1)，OB →＝(y 224，y 2)，则OA →·OB→＝(y 214，y 1)·(y 224，y 2)＝y 21y 2216＋y 1y 2，又∵AB 过焦点，则有y 1y 2＝－p 2＝－4，∴OA →·OB →＝21212()316y y y y +=-，故选D. 点拨：焦点弦AB ：212y y p =-.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在答案：B.解析：【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】由定义|AB |＝5＋2＝7，∵|AB |min ＝4，∴这样的直线有两条． 点拨：利用焦点弦的最小值2p 判断直线条数.3．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A ． 3B ．2C ． 5D ． 6答案：C.解析：【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x .∵渐近线与y ＝x 2＋1相切，∴x 2＋b a x ＋1＝0有两相等根，∴Δ＝b 2a 2－4＝0，∴b 2＝4a 2，∴e ＝c a ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝ 5.点拨：利用圆锥曲线的几何性质解题.4．抛物线y 2＝9x 与直线2x －3y －8＝0交于A ，B 两点，则线段AB 中点的坐标为（ ）A ．(1138，－274)B ．(1138，274)C ．(－1138，－274)D ．(－1138，274)答案：B.解析：【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】由2x －3y －8＝0得，x ＝32y ＋4，代入y 2＝9x 中得y 2－272y －36＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为(x 0，y 0)，则y 0＝y 1＋y 22＝274，x 0＝x 1＋x 22＝12(32y 1＋4＋32y 2＋4)＝34(y 1＋y 2)＋4＝32y 0＋4＝1138，故选B.点拨：联立方程利用韦达定理解题.5．已知抛物线y 2＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥ OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长．答案：610解析：【知识点】抛物线的弦长.【解题过程】由A 、B 两点在抛物线y 2＝6x 上，可设A (y 216，y 1)，B (y 226，y 2)． 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB→＝0. 由OA →＝(y 216，y 1)，OB →＝(y 226，y 2)，得y 21y 2236＋y 1y 2＝0.∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36 ①∵点A 、B 与点P (4,2)在一条直线上，∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226， 化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2， 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24.将①式代入，得y 1＋y 2＝－6 ②由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)，所以|AB |610.点拨：联立方程利用韦达定理解题.6．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1,2)-．（1）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．答案：（1）x ＝－1；（2）存在，2x ＋y －1＝0.解析：【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】（1）将(1,2)-代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，∴p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.（2）假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x .消去x 得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55，可得|t|5＝15，解得t＝±1.综上知：t＝1.所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0. 点拨：直线与抛物线方程联立求解.。
县第一高级中学高中数学 2.3.2 抛物线的几何性质(2)教案 新人教版选修1-1
§2.3.２ 抛物线的几何性质（２）【学情分析】：由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。
【教学目标】：（1）知识与技能：熟练掌握抛物线的X 围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质；掌握直线与抛物线位置关系等相关概念及公式。
（2）过程与方法：重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。
（3）情感、态度与价值观：培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。
【教学重点】：抛物线的几何性质及其运用。
【教学难点】：抛物线几何性质的运用。
【课前准备】：Powerpoint 或投影片 2121212211()4y y y y y k -=++-222121211()4x x k x x x -=++-点，若OB OA ⊥，（O 为原点）且52=∆AOB S ，求抛物线的方程（答案：x y 22=）5．顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线12+=x y 截得的弦长为15，求抛物线的方程（答案：x y 122=或x y 42-=）四、课后练习1．斜率为1的直线经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长．解：如图，由抛物线的标准方程可知， 抛物线焦点的坐标为F(1，0)， 所以直线AB 的方程为y=x-1①与y 2=4x ②联立，解得：将x 1、x 2的值代入方程①中，得即A 、B 的坐标分别为()322,222++、()322,222--()()2242428AB ∴=+=2．已知抛物线()022>=p px y 与直线1+-=x y 相交于A 、B两点，以弦长AB 为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程（答案：x y =2）3. 已知ABC ∆的三个顶点是圆0922=-+x y x 与抛物线()022>=p px y 的交点，且ABC ∆的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程（答案：x y 42=）4．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上，（1）分别求A 、B 两点的横坐标之积，纵练习与测试：1．顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点P （4，2）的抛物线方程是（ ） (A) x 2＝8y (B) x 2＝4y (C) x 2＝2y (D) y x 212=2．抛物线y 2＝8x 上一点P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A) （2，4） (B) （2，±4） (C) （1，22） (D) （1，±22）3． 直线l 过抛物线)0()1(2>+=a x a y 的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛物线截得的线段长为4,则=a ( )A. 4B. 2C. 41D. 214．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为5．抛物线y 2＝－6x ，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是6．以双曲线191622=-y x 的右准线为准线，以坐标原点O 为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB ，求△OAB 的面积．7．已知抛物线x y -=2与直线)1(+=x k y 相交于A 、B 两点 , ①求证;OB OA ⊥;②当OAB ∆的面积等于10时,求k 的值.测试题答案：1．A2．D 3．A 4．x 2＝±8y 5．9)23(22=++y x 6257．解析(证明):设 ),(),,(222121y y B y y A --; )0,1(-N),1(),1(222121y y NB y y NA -=-=,由A,N,B 共线21222211y y y y y y -=-)()(212112y y y y y y -=-∴, 又21y y ≠121-=∴y y --------------------------------------------------------------③OB OA y y y y y y y y OB OA ⊥∴=+=+=•∴0)1(2121222121②12121y y S OAB-⋅⋅=∆ 由⎩⎨⎧+=-=)1(2x k y x y 得02=-+k y ky 61,104121121212±=∴=+=-⋅⋅=∴∆k k y y S OAB。
【新教材教案】3.3.2 抛物线的简单几何性质(2) 教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册
3.3.2 抛物线的简单几何性质（2）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第三章《圆锥曲线的方程》，本节课主要学习抛物线的简单几何性质《抛物线的简单几何性质》是人教A 版选修2-1第二章第四节的内容。
本节课是在是在学习了椭圆、双曲线的几何性质的基础上，通过类比学习抛物线的简单几何性质。
抛物线是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。
坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学.课程目标学科素养A.掌握抛物线的几何性质及其简单应用．B.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．C. 掌握抛物线中的定值与定点问题．1.数学抽象：抛物线的几何性质2.逻辑推理：运用抛物线的性质平行3.数学运算：抛物线中的定值与定点问题4.直观想象：抛物线几何性质的简单应用重点：抛物线的简单几何性质及其应用 难点：直线与抛物线位置关系的判断多媒体教学过程 教学设计意图 核心素养目标O(0,0)【分析】设抛物线的标准方程为：y2＝2px（p＞0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线OA的方程为：＝＝，可得y D＝．设直线AB的方程为：my＝x﹣，与抛物线的方程联立化为y2﹣2pm ﹣p2＝0，利用根与系数的关系可得．可得y D＝y2．即可证明．【解答】证明：设抛物线的标准方程为：y2＝2px（p＞0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线OA的方程为：＝＝，令x＝，可得y D＝．设直线AB的方程为：my＝x﹣，联立，化为y2﹣2pm﹣p2＝0，∴．∴．∴y D＝y2．∴直线DB平行于抛物线的对称轴．例6. 如图，已知定点B (a,−ℎ),BC⊥思路分析:先求出弦长|AB|,再求出点P 到直线AB 的距离,从而可表示出△PAB 的面积,再求最大值即可.解:由{y =2x -4.y 2=4x ,解得{x =4,y =4或{x =1,y =-2.∴A (4,4),B (1,-2),∴|AB|=3√5.(方法1)设P (x 0,y 0)为抛物线AOB 这段曲线上一点,d 为点P 到直线AB 的距离, 则有d=|2x 0-y 0-4|√5=1√5|y 022-y 0-4|=12√5|(y 0-1)2-9|.∵-2<y 0<4,∴(y 0-1)2-9<0. ∴d=12√5[9-(y 0-1)2].从而当y 0=1时,d max =92√5,S max =12×92√5×3√5=274.因此,当点P 的坐标为(14,1)时,△P AB 的面积取得最大值,最大面积为274. (方法2)由{y =2x -4,y 2=4x ,解得{x =4,y =4或{x =1,y =-2.∴A (4,4),B (1,-2),∴|AB|=3√5.设点P 的坐标为(4t 2,4t ),∵点P (4t 2,4t )在抛物线AOB 这段曲线上,∴-2<4t<4,得-12<t<1.由题意得点P (4t 2,4t )到直线AB 的距离d=|8t 2-4t -4|√5=4√5|2(t -14)2-98|.∵当t ∈(-12,1)时,2(t -14)2−98<0, ∴d=4√5[98-2(t -14)2],∴当t=14时,d max =4√5×98=92√5.此时点P 的坐标为(14,1),S △P AB 的最大值为12|AB|·d max =12×3√5×92√5=274.(方法3)设y=2x+m 是抛物线y 2=4x 的切线方程.由{y =2x +m ,y 2=4x ,消去x ,并整理,得y 2-2y+2m=0. ∵Δ=4-8m=0,∴m=12.此时,方程为y 2-2y+1=0,解得y=1,x=14,1四、小结五、课时练学生已熟悉和掌握椭圆和双曲线的几何性质，有亲历体验、发现和探究的兴趣；具有一定的动手操作和逻辑推理的能力；有分组讨论、合作交流的习惯。
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§2.3.２ 抛物线的几何性质（２）
【学情分析】：
由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。
【教学目标】：
（1）知识与技能：
熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质；掌握直线与抛物线位置关系等相关概念及公式。
（2）过程与方法：
重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。
（3）情感、态度与价值观：
培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。
【教学重点】：
抛物线的几何性质及其运用。
【教学难点】：
抛物线几何性质的运用。
【课前准备】：
Powerpoint 或投影片 212
12122
1
1()4y y y y y k -=++-2
2121211()4x x k x x x -=++-正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线
练习与测试：
1．顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点P （4，2）的抛物线方程是（ ）
(A) x 2
＝8y (B) x 2
＝4y (C) x 2
＝2y (D) y x 2
12
=
2．抛物线y 2
＝8x 上一点P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A) （2，4） (B) （2，±4） (C) （1，22） (D) （1，±22）
3． 直线l 过抛物线)0()1(2
>+=a x a y 的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛物线截得的线段长为4,则
=a ( )
A. 4
B. 2
C. 41
D. 2
1
4．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为
5．抛物线y 2
＝－6x ，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是
6．以双曲线
19
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2=-y x 的右准线为准线，以坐标原点O 为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB ，求△OAB 的面积．
7．已知抛物线x y -=2
与直线)1(+=x k y 相交于A 、B 两点 ,
①求证;OB OA ⊥;
②当OAB ∆的面积等于10时,求k 的值.
测试题答案： 1．A
2．D 3．A 4．x 2
＝±8y
5．9)2
3(22
=++
y x 6．25512
7．解析(证明):设 ),(),,(22
2121y y B y y A --; )0,1(-N
),1(),1(22
2121y y NB y y NA -=-=,由A,N,B 共线
21222
211y y y y y y -=- )()(212112y y y y y y -=-∴, 又21y y ≠
121-=∴y y --------------------------------------------------------------③
OB OA y y y y y y y y ⊥∴=+=+=∙∴0)1(2121222121
② 12121
y y S OAB
-⋅⋅=∆ 由⎩⎨⎧+=-=)
1(2x k y x y 得02=-+k y ky 6
1
,1041211212
12±=∴=+=-⋅⋅=
∴∆k k y y S OAB。