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2018年江苏省苏州市高考数学三模试卷

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江苏七市联考2018届高三年级第三次模拟考试数学试卷及答案

江苏七市联考2018届高三年级第三次模拟考试数学试卷及答案

2018 届高三年级第三次模拟考试 (十三 )数学(满分 160 分，考试时间 120 分钟 )参考公式： 柱体体积公式 V 柱体 ＝Sh ，其中 S 为柱体的底面积，h 为高 .锥体的体积公式1 h 为高．V 锥体 ＝ Sh ，其中 S 为锥体的底面积，3一、 填空题：本大题共 14 小题 ，每小题 5 分，共计 70 分．1. 已知集合 A ＝ { － 1， 0， 3，5} ，B ＝ {x|x － 2>0} ，则 A ∩ B ＝ ________.2. 已知 (1＋3i )(a ＋ bi)＝ 10i ，其中 i 为虚数单位， a ， b ∈ R ，则 ab 的值为 ________．3. 已知一组数据 82， 91， 89， 88， 90，则这组数据的方差为 ________．4. 根据如图所示的伪代码， 已知输出值 y 为 3，则输入值 x 为________．5. 函数 y ＝ lg(4－ 3x － x 2)的定义域为 ________．6. 袋中有若干只红、黄、蓝三种颜色的球，这些球除颜色外完全相 同．现从中随机摸出1 只球，若摸出的球不是红球的概率为0.8，不是黄球的概率为 0.5，则摸出的球为蓝球的概率为 ________．7. 在△ ABC 中，若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝ 4∶5∶ 6，则 cos C 的值为________．x 2 y 28. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 12－b 2＝ 1(b>0) 的焦点到渐 近线的距离为 2，则该双曲线的离心率为________．9. 已知 {a n } 是等比数列， S n 是其前 n 项和．若 a 3＝ 2，S 12＝4S 6，则 a 9 的值为 ________．10. 现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8 倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件 (不计材料损耗 )．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为S ，S ，则S 1的值12S 2为 ________．11. 已知实数 a ，b ，c 成等比数列， a ＋ 6，b ＋2，c ＋ 1 成等差数列，则 b 的最大值为 ________．12. 如图，在平面四边形 ABCD 中， AB ＝ 4， AD ＝ 2，∠ DAB ＝ 60°，AC ＝ 3BC ，则边 CD 长的最小值为 ________．13. 如图，已知 AC ＝ 2，B 为 AC 的中点，分别以 AB ，AC 为直径在 AC 同侧作半圆，→ →M ，N 分别为两半圆上的动点 (不含端点 A ，B ，C)，且 BM ⊥ BN ，则 AM ·CN 的最大值为 ________．ax － 1，x ≤0，则实数 a 的取值 14.已知函数f(x)＝x 3－ax ＋ |x － 2|，的图象恰好经过三个象限， x>0范围是 ________________ ．二、 解答题：本大题共6 小题，共计 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分 14 分 )如图，在直四棱柱ABCDA 1B 1C1D 1中，底面 ABCD 为平行四边形，C1B ＝ C1D. 求证：(1)B 1D1∥平面 C1BD ；(2)平面 C1BD ⊥平面 AA 1C1C.16. (本小题满分14 分)如图是函数f(x) ＝ A sin(ωx＋φ)A>0 ，ω >0， |π在一个周期内的图象．已知点φ|≤ 2P( －6， 0)， Q(－2，－ 3)是图象上的最低点，R 是图象上的最高点．(1)求函数 f(x) 的解析式；(2)记∠ RPO＝α，∠ QPO＝β (，αβ均为锐角 )，求 tan(2 α＋β)的值．17.(本小题满分 14 分 )如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD ， AB ∥ CD， AB ⊥ BC，AB ＝ 3 百米，CD ＝ 2 百米．该区域内原有道路AC ，现新修一条直道DP( 宽度忽略不计 )，点 P 在道路 ACπ上 (异于 A ，C 两点 )，∠ BAC ＝6，∠ DPA＝θ.(1)用θ表示直道 DP 的长度；(2) 计划在△ ADP 区域内种植观赏植物，在△CDP 区域内种植经济作物．已知种植观赏DP 植物的成本为每平方百米 2 万元，种植经济作物的成本为每平方百米 1 万元，新建道路的成本为每百米 1 万元，求以上三项费用总和的最小值．18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x2y2＝ 1(a>b>0) 的右焦点为 F，P 为右准线a2＋b2上一点，点Q 在椭圆上，且FQ⊥FP.1(1) 若椭圆的离心率为2，短轴长为 2 3.①求椭圆的方程；②若直线OQ ， PQ 的斜率分别为k1， k2，求 k1·k2的值；(2) 若在 x 轴上方存在P， Q 两点，使O， F， P， Q 四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．19. (本小题满分16 分)已知数列 {a n} 满足 a n＋1＋ (－ 1)n a n＝n＋5(n∈N* )，数列 { a n} 的前 n 项和为 S n.2(1)求 a1＋a3的值；(2)若 a1＋a5＝ 2a3.①求证：数列 { a2n} 为等差数列；②求满足 S2p＝ 4S2m(p， m∈N* )的所有数对 (p， m)．20. (本小题满分16 分)对于定义在区间 D 上的函数f(x) ，若存在正整数k，使不等式1k<f(x)<k恒成立，则称f(x)为 D(k) 型函数．(1) 设函数 f(x) ＝ a|x|，定义域 D＝ [ － 3，－ 1]∪ [1， 3]．若 f(x) 是 D(3) 型函数，求实数 a 的取值范围；(2)设函数 g(x) ＝ e x－ x2－ x，定义域 D＝ (0，2)．判断 g(x) 是否为 D(2) 型函数，并给出证明． (参考数据： 7< e2<8)2018 届高三年级第三次模拟考试(十三 )数学附加题(本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟 )21. 【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题 ，请选定其中两小题 ，并作答．若多做 ，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [ 选修 41：几何证明选讲 ]( 本小题满分 10 分 )如图， 在△ ABC 中，已知 AB ＝ 3，BC ＝6，AC ＝ 4，D 是边 BC 上一点， AC 与过点 A ，B ，D 的圆 O 相切，求 AD 的长.B. [ 选修 42：矩阵与变换 ](本小题满分 10 分)1 0 1 2， C ＝AB . 已知矩阵 A ＝ 1 ， B ＝3－ 1 0(1) 求矩阵 C ；(2) 若直线 l 1 ：x ＋ y ＝ 0 在矩阵 C 对应的变换作用下得到另一直线 l 2，求 l 2 的方程．C. [ 选修 44：坐标系与参数方程 ]( 本小题满分 10 分 )x ＝ 3＋ 3t ，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 l 的参数方程为(t 为参数 )，圆 C 的参数y ＝ 1－ 4t方程为 x ＝ rcos θ，4，求 r 的值．(θ为参数， r >0)．若直线 l 被圆 C 截得的弦长为y ＝ rsin θD. [ 选修 45：不等式选讲](本小题满分10 分)已知 a， b， c 是正实数，且a＋b＋ c＝ 5，求证： a2＋2b2＋c2≥ 10.【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.(本小题满分 10 分 )将 4 本不同的书随机放入如图所示的编号为1， 2， 3， 4 的四个抽屉中．(1)求 4 本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；(2) 随机变量X 表示放在 2 号抽屉中书的本数，求X 的分布列和数学期望E(X) ．123423.(本小题满分 10 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 F 为抛物线 y2＝ 2px(p>0) 的焦点，直线 l 过点 F 与抛物线相交于 A ，B 两点 (点 A 在第一象限 )．4 2(1)若直线 l 的方程为 y＝3x－3，求直线 OA 的斜率；(2)已知点 C 在直线 x＝－ p 上，△ ABC 是边长为 2p＋ 3 的正三角形，求抛物线的方程．2018 届江苏七市联考高三年级第三次模拟考试(十三 )数学参考答案1.{3 ， 5}2.33. 104.－ 25. (－ 4，1)6. 0.37. 188. 2339. 610. 2511.3412. 61－ 3213. 1414. (－∞， 0)∪ (2，＋∞ )15. (1) 在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1 ∥ DD1 ，且 BB1 ＝ DD1 ，所以四边形BDD1B1 为平行四边形，所以 B1D1 ∥BD.(4 分 )又 BD ? 平面 C1BD ，B1D1 ?平面 C1BD ，所以 B1D1 ∥平面 C1BD.(6 分 )(2)如图，设 AC 与 BD 交于点 O，连结 C1O.因为底面ABCD 为平行四边形，所以 O 为 BD 的中点．又 C1B ＝ C1D ，所以 C1O⊥ BD.(8 分 )在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，C1C⊥平面ABCD.又 BD ? 平面 ABCD ，所以 C1C⊥ BD.(10 分)因为 C1O∩C1C＝ C1， C1O， C1C? 平面 AA1C1C ，所以 BD ⊥平面 AA1C1C.(12 分 )因为 BD ? 平面 C1BD ，所以平面C1BD ⊥平面 AA1C1C.(14 分 )16. (1) 如图，因为图象在一个周期内的最低点为Q(－ 2，－ 3)，与 x 轴的交点为P(－6，0)，所以 A ＝ 3， T＝ 4× (－ 2＋6)＝ 16，所以ω＝ 2π T＝π8，所以 f(x) ＝3sinπ8x＋φ .(3 分)将点 Q(－2，－ 3)代入，得－ 3＝ 3sin－ 2× π 8＋φ，所以－π 4＋φ＝－π 2＋ 2kπ， k∈ Z，所以φ＝－π 4＋ 2kπ， k∈ Z.(5 分 )又 |φ |≤ π 2，所以φ＝－π 4，所以 f(x) ＝3sinπ8x－π 4.(7 分 )(2)点 R 的横坐标 xR＝ xQ＋ 12T＝－ 2＋8＝ 6，所以 R(6， 3)． (9 分 )因为α，β均为锐角，从而 tan α＝ 14， tan β＝34，所以 tan 2α＝ 2tan α 1－ tan2 α＝ 2× 141－ 142＝ 815， (12 分 )所以 tan(2α＋β )＝ tan 2α＋ tan β 1－ tan 2α tan β＝ 815＋ 341－ 815× 34＝7736.(14 分 )17.(1) 过点 D 作 DD ′垂直于线段 AB ，垂足为 D′ .在 Rt△ ABC 中，因为 AB ⊥ BC ，∠ BAC ＝π 6， AB ＝ 3，所以 BC＝3.在 Rt△ ADD ′中，因为 AD ′＝ 1， DD ′＝ 3，所以 AD ＝ 2，所以 sin ∠ DAD ′＝ 32，所以∠ DAD ′＝π 3.因为∠ BAC ＝π 6，所以∠ DAP ＝π 6.(2 分 )在△ ADP 中，由正弦定理得ADsinθ ＝DPsinπ 6，所以 DP＝ 1sin θ，π 6< θ <5π6.(6 分 )(2) 在△ ADP 中，由正弦定理得APsin ∠ ADP ＝ ADsin 所以 AP＝ 2sin ∠ ADPsin θ＝ 2sin 5π 6－θ sin θ，所以 S△APD ＝ 12AP?PD?sin θ＝ 12?2sin 5π 6－θ sinθ ，θ ?1sinθ?sinθ＝ sin 5π 6－θsinθ .S△ ADC ＝ 12AD?DC?sin ∠ADC ＝ 12× 2× 2sin 2π 3＝ 3，所以 S△DPC＝ S△ADC －S△ APD ＝ 3－ sin 5π 6－θ sin θ .(8 分 )设三项费用总和为f( θ )，则 f( θ )＝ sin 5π 6－θ sin θ × 2＋ 3－ sin 5π 6－θsin θ× 1＋ 1sin θ ×1＝3＋ sin 5π 6－θ＋ 1sin θ，＝12cos θ＋1sinθ＋ 332，π6<θ <5π6， (10 分 )所以 f′ (θ )＝－ 12－ cos θ sin2 θ .令 f′ ( θ)＝ 0，θ＝ 2π 3.当θ化， f ′ (θ )， f( θ)的化情况如下：所以当θ＝2π 3 ， f( θ )min ＝ 23.故以上三用和的最小23 万元． (14 分 )18.(1) ① 的焦距 2c.由意，得ca＝ 12，2b＝ 23，a2＝ b2＋ c2，解得 a＝2， b＝ 3， (2 分 )所以的方程x24＋ y23＝ 1.(4 分 )②由①得焦点F(1， 0)，准方程x＝ 4，焦点 P(4，t) ， Q(x0， y0) ， x204 ＋ y203＝ 1，所以 y20＝ 3－ 34x20.所以 FQ→＝ (x0－1， y0) ， FP→＝ (3， t)，因 FP⊥FQ，所以 FQ→ ?FP→＝ 3(x0 － 1)＋ ty0 ＝0，所以－ ty0＝ 3(x0 －1)． (6 分 )所以k1?k2＝ y0x0?y0－ tx0 － 4＝ y20 － ty0x20 － 4x0＝ 3－ 34x20 ＋ 3（ x0－ 1） x20 － 4x0 ＝－34.(10 分 )(2)Pa2c， t， Q(x0， y0) ．因 FP⊥ FQ，所以△ FPQ 的外接即以PQ 直径的x－a2c(x－ x0)＋ (y－ t)(y － y0) ＝ 0.(12 分 )由意知焦点 F、原点 O 均在上，所以 c－ a2c（c－ x0）＋ ty0 ＝ 0， a2cx0＋ ty0＝ 0，消去 ty0 得 c－a2c(c－x0) － a2cx0＝ 0，所以 x0＝ c－ a2c.(14 分 )因点 P，Q 均在 x 上方，所以－ a<c－ a2c<c，即 c2＋ ac－ a2>0，所以 e2＋ e－1>0.因 0<e<1，所以5－12<e<1.(16 分)19. (1) 由条件，得a2－ a1＝ 3，① a3＋a2＝ 72，②②－①得 a1＋ a3＝ 12.(3 分)(2) ①因 an＋ 1＋( －1)nan＝ n＋ 52，所以 a2n－ a2n－ 1＝ 2n＋ 42，③a2n＋ 1＋a2n＝ 2n＋ 52，④④－③得 a2n－ 1＋ a2n＋ 1＝ 12， (6 分 )所以 1＝ 12＋ 12＝ (a1＋ a3)＋ (a3＋ a5)＝ 4a3，所以 a3＝ 14，从而 a1＝ 14.(8 分 )所以 a2n－1－ 14＝－ a2n－ 3－14＝⋯＝ (－ 1)n－ 1?(a1－14)＝ 0，所以 a2n－1＝ 14，将其代入③式，得a2n＝ n＋ 94，所以 a2(n＋ 1)－a2n＝ 1(常数 )，所以数列 {a2n} 等差数列． (10 分 )②注意到a1＝ a2n＋ 1，所以 S2n＝a1＋ a2＋⋯＋ a2n＝ (a2＋ a3)＋ (a4＋ a5)＋⋯＋ (a2n＋a2n ＋1)＝＝ n22＋3n.(12 分 )由 S2p＝ 4S2m 知 p22＋ 3p＝ 4m22＋3m.所以 (2m＋ 6)2＝ (p＋ 3)2＋ 27，即 (2m＋ p＋ 9)(2m － p＋ 3)＝ 27.又 p， m∈ N* ，所以 2m＋ p＋9≥ 12 且 2m＋ p＋ 9， 2m－p＋ 3 均正整数，所以 2m＋ p＋9＝ 27， 2m－ p＋ 3＝ 1，解得 p＝ 10， m＝ 4，所以所求数对为 (10， 4)． (16 分 )20. (1) 因为 f(x) ＝a|x|是 D(3) 型函数，所以13＜ a|x|＜ 3 在[ －3，－ 1]∪ [1， 3]上恒成立，即 13|x|＜ a＜ 3|x|在 [ － 3，－ 1]∪ [1， 3]上恒成立． (2 分 )又 |x|的取值范围为 [1， 3]，所以 a＜ 3|x|min＝ 1， a＞ 13|x|max＝ 13，所以实数 a 的取值范围为13，1.(4 分 )(2)g(x) 是 D(2) 型函数．证明如下：①先证明g(x) ＜ 2，记 h(x) ＝ x2 ＋x＋ 2ex，0＜ x＜ 2，所以 h′ (x)＝－（ x2 － x＋1） ex＝－ x－ 122＋ 34ex＜ 0，所以 h(x) 在 (0， 2)上为单调减函数， (6 分 )所以 h(x) ＞ h(2)＝ 8e2＞ 1，所以 x2＋ x＋ 2ex＞ 1，即 ex－ x2－ x＜ 2，所以 g(x) ＜ 2 成立． (8 分 )②再证明g(x) ＞ 12.记 r(x) ＝ x2＋ x＋ 12ex， 0＜ x＜2，所以 r′ (x) ＝－ x2－x－ 12ex.令 r′ (x) ＝0，得 x＝ 1＋ 32∈(0 ，2)，记 x0＝ 1＋ 32，则 x0＋ 12＝ x20.当 0＜ x＜ x0 时， r′ (x) ＞ 0；当 x0＜ x＜2 时， r′ (x) ＜ 0，所以 r(x) 在(0， x0)上为单调增函数，在 (x0， 2)上为单调减函数，所以 r(x)max ＝r(x0) ＝ x20＋ x0＋ 12ex0＝ 2x20ex0.(12 分 )要证 g(x) ＞ 12，只要证 r(x) ＜ 1，只要证 r(x)max ＜1，即证 2x20ex0＜ 1，即证 (2x0)2 ＜ ex0，即证 2ln 2 ＋2ln x0 ＜ x0.(*)要证明 (*) 式，先证当x＞ 1 时， ln x ＜ x2－ 12x.记 p(x) ＝ln x － x2－ 12x， x＞ 1，所以 p′ (x)＝ 1x－12－ 12x2＝－（ x－ 1） 22x2＜ 0，所以 p(x) 在 (1，＋∞ )上为单调减函数，所以 p(x)<p(1) ＝ 0，即 ln x<x2 － 12x 得证，所以 2ln 2<2 × 2－ 122＝ 12， 2ln x0<2?x20 －12x0＝ x0－ 1x0，故要证明 (*) 式，只需证明 12＋ x0－1x0<x0 ，即证 x0<2.又 x0＝ 1＋32<2，从而 g(x)>12.由①②得12<g(x)<2 ，即 g(x) 是 D(2) 型函数． (16 分 )21. A.因为过点A，B，D的圆O与AC相切，所以∠ CAD＝∠ ABC.又∠ ACD ＝∠ BCA ，所以△ ACD ∽△ BCA ， (5 分 )所以 ADAB ＝ACBC.因为 AB ＝3，BC＝6，AC＝4，所以 AD3 ＝46，所以 AD ＝ 2.(10 分)B. (1) C ＝AB ＝ 10－ 111203＝12－ 11.(4 分 )(x′， y′ )，(2) 设直线 l1：x＋ y＝ 0 上任意一点 (x ，y)在矩阵 C 对应的变换作用下得到点则 x′ y′＝ 12－ 11xy，其坐标变换公式为x′＝ x＋2y ， y′＝－ x＋ 2y.(6 分 )由此得 x＝x′－ 2y′ 3，y＝ x′＋ y′3，代入 x＋ y＝ 0，得 2x′－ y′ 3＝ 0，即 2x′－ y′＝0,所以直线l2 的方程为2x－ y＝0.(10 分 )C.直线 l 的普通方程为 4x＋3y－ 15＝0，圆 C 的普通方程为 x2＋ y2＝ r2.(4 分 )因为圆心C(0 ， 0)到直线l 的距离 d＝ |－ 15|5＝3，又直线 l 被圆 C 截得的弦长为4，所以 r＝ 32＋22＝ 13.(10 分)D. 由柯西不等式得[a2＋ (2b)2＋ c2]?12＋ 222＋12≥ (a＋ b＋ c)2.(6 分)因为 a＋ b＋ c＝ 5，所以 (a2＋ 2b2＋ c2)×52≥ 25，所以 a2＋ 2b2＋ c2≥ 10，当且仅当a＝ 2b＝c 时取等号． (10 分 )22. (1)将 4 本不同的书放入编号为1， 2，3，4 的四个抽屉中，共有44＝ 256(种 )不同放法．记“ 4 本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件事件 A 共包含 A44 ＝24(个 )基本事件，所以 P(A) ＝24256＝ 332，所以 4 本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为A ，332.(3 分 )(2)X 的可能取值为 0， 1， 2，3， 4，P(X ＝ 0)＝ 3444＝ 81256， P(X ＝ 1)＝ C14× 3344＝ 2764 ，P(X ＝ 2)＝C24× 3244＝ 27128，P(X ＝ 3)＝C34× 344＝ 364， P(X ＝4)＝ C4444＝ 1256.所以 X 的分布列为：X01234P812562764271283641256(8 分)所以 X 的数学期望E(X) ＝ 0× 81256＋1× 2764＋2× 27128＋ 3× 364＋ 4× 1256＝ 1.(10 分 )23.(1) 由题意，焦点 Fp2， 0 在直线 l 上，所以 43× p2－ 23＝ 0，解得 p＝1.所以抛物线的方程为y2＝ 2x.由 y＝ 43x－ 23， y2＝ 2x 消去 x 得 2y2－ 3y － 2＝0，所以 y＝ 2 或 y＝－ 12.因为点 A 在第一象限，所以点 A 的坐标为 (2， 2)，所以直线OA 的斜率为 1.(3 分 )(2)依题意，直线 l 的斜率存在，且不为零．设直线 l 的方程为 y＝kx － p2，设 A(x1 ， y1)， B(x2 ， y2)， C(－ p， y3)， AB 的中点为M(x0 ， y0)．由 y2＝ 2px， y＝ kx－ p2 消去 y 得 k2x2－ (k2p ＋ 2p)x＋ 14k2p2 ＝0，＝ 4p2＋ 4k2p2>0 ，x1， 2＝（ k2p ＋ 2p）±2k2，所以 AB ＝ x1＋ x2＋ p＝ 2p＋ 2pk2＝ 2p＋ 3，即 2pk2＝ 3.(5 分 )MC ＝（ x0＋ p） 2＋（ y0－ y3） 2＝ 1＋1k2|x0 ＋ p|.因为 x0＝ x1＋ x22＝k2p ＋ 2p2k2＝ 12p＋ pk2 ，所以 MC ＝1＋ 1k232p＋ pk2，将 1k2＝ 32p 代入得 MC ＝1＋ 32p32p＋ 32.(8 分 )因为△ ABC 是边长为2p＋ 3 的正三角形，所以 MC ＝32(2p ＋ 3)，所以 1＋ 32p32p＋ 32＝ 32(2p＋ 3)，解得 p＝ 3，所以抛物线的方程为y2＝ 23x.(10 分 )。

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苏州市2018届高三教学调研测试数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页.满分150分.考试时间120分钟.2.请将第Ⅰ卷的答案填涂在答题卡上,第Ⅱ卷的解答写在答题卷上.在本试卷上答题无效.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={a,b,c,d}，集合A={a,c,d}，B={b,d}，则集合（C U A）∩B等于A．{b} B.{d} C.{a,c} D.{b,d}2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=18-a4,则S8等于A．144 B.72 C.54 D.363.不等式（x-1）·|x|≥0的解集为A．{x|x＞1} B.{x|x≥1} C.{x|x＞1或x=0} D.{x|x≥1或x=0} 4．若函数f(x)=x2lga-2x+1的图象与x轴有两个交点，则实数a的取值范围是A．0＜a＜10 B.1＜a＜10 C.0＜a＜1 D.0＜a＜1或1＜a＜105.抛物线y=14x2的焦点坐标是A．（0，116） B.(116,0) C.(1,0) D.(0,1)6.设双曲线C:2214xy-=的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，若直线l与双曲线C的左、右两支都相交，则直线l的斜率的取值范围是A．k≤-12或k≥12B.k＜-12或k＞12C.- 12＜k＜12D.-12≤k≤127.若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域互不相同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y=x2,x∈[1，2]与函数y=x2，x∈[-2，-1]即为“同族函数”.下面4个函数中能够被用来构造“同族函数”的是A.y=sinxB.y=xC.y=2xD.y=log2x8.已知函数y=f(2x+1)是偶函数，则一定是函数y=f(2x)图象的对称轴的直线是A．x=-12B.x=0C.x=12D.x=19.设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①////;//αββγαγ⎫⇒⎬⎭②;//mmαββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭③;//mmααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭④////.m nmnαα⎫⇒⎬⊂⎭A.①②B.②③C.①③D.②④10.如图，正方形ABCD 的顶点A （02）,B(2,0),顶点C ，D 位于第一象限，直线l:x=t(0≤t ≤将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数S=f(t)的图象大致是11．已知直线x=6π是函数y=asinx-bcosx 图象的一条对称轴，则函数y=bsinx-acosx 图象的一条对称轴方程是 A ．x=6π B.x=3π C.x=2πD.x=π 12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=10，S 5=55，则过点P （n,a n ）和Q （n+2,a n+2）（n ∈N *）的直线的一个方向向量的坐标是A ．（2，1)2B.(-1,2)2-C.(-1,1)2- D.(-1,-1)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题卷相应的位置上.13.直角坐标系xOy 中，若定点A （1，2）与动点P(x,y)满足4,OP OA P =则点的轨迹方程是__________.14．记地球赤道的周长为C km ，则地球北纬60°的纬线圈的周长用C 表示等于______km.15.在右侧棋子堆放的示意图中，最上层（记为第一层）有1颗棋子，第二层有3颗，第三层有6颗，…，如果按图示的方式摆放，那么堆放满5层需要的棋子总数是______颗.16．已知椭圆221259x y +=与双曲线22197x y -=在第一象限内的交点为P ，则点P 到椭圆右焦点的距离等于__________.17．设a,b 是两个不共线的向量，若2,3,2,AB a kb CB a b CD a b =+=+=-且A,B,D 三点共线，则k=________.18．若函数f(x)=cosx+|sinx|(x ∈[0,2π])的图象与直线y=k 有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是___________.三、解答题：本大题共5小题，共66分.请把答案写在答题卷规定的答题框内.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题共12分） 已知函数2cos 2x x x +(1) 求函数y=f(x)的单调增区间；(2) 在右边的直角坐标系中画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.20．（本小题共12分）已知函数f(x)=x+1，设g 1(x)=f(x),g n (x)=f(g n-1(x)),(n ＞1,n ∈N *).(1) 求g 2(x)，g 3(x)的表达式，并猜想g n (x)（n ∈N *)的表达式（直接写出猜想结果） (2)若关于x 的函数y=x 2+1ni =∑g i (x)（n ∈N *)在区间（-∞,-1]上的最小值为6，求n的值.（符号“1ni =∑”表示求和，例如：1ni =∑i=1+2+3+…+n.）21．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD 中，CD ∥AB ，AD=DC=CB=12AB ，E 是AB 中点，将△ADE 沿DE 折起使点A 折到点P 的位置，且二面角P-DE-C 的大小为120°. （1） 求证：DE ⊥PC ；（2） 求直线PD 与平面BCDE 所成角的大小； （3） 求点D 到平面PBC 的距离.22．（本小题共14分）已知点P 是圆x 2+y 2=1上的一个动点，过P 作PQ ⊥x 轴于Q ，设.OM OP OQ =+ （1） 求点M 的轨迹方程；（2） 求向量OP OM 与夹角的最大值，并求此时P 点的坐标.23．（本小题满分14分）已知曲线C:y=x 2(x ＞0),过C 上的点A 1（1，1）作曲线C 的切线l 1交x 轴于点B 1，再过点B 1作y 轴的平行线交曲线C 于点A 2，再过点A 2作曲线C 的切线l 2交x 轴于点B 2，再过点B 2作y 轴的平行线交曲线C 于交A 3，…，依次作下去，记点A n 的横坐标为a n (n ∈N *).(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：a n S n ≤1;(3) 求证：1ni =∑1i ia S ≤41.3n -苏州市2018届高三教学调研测试1.A2.B3.D4.D5.D6.C7.A8.C9.D 10.C 11.B 12.B 13.x+2y-4=0 14.2C15.35 16.2 17.-8 18.1≤k19.（1）∵21cos 22x +=-2sin2x-2cos2x=sin(2x-3).4π 由题意，得2k π-2π≤2x-34π≤2k π+2π,k ∈Z . ∴函数y=f(x)的单调增区间为[k π+8π,k π+58π],∈Z .(2)由y=sin(2x-3π)知 函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象见右.注：列出表格给3分，正确画出图象给2分.如果不列表，但图象正确，给5分. 20．（1）∵g 1(x)=f(x)=x+1,∴g 2(x)=f(g 1(x))=f(x+1)=(x+1)+1=x+2. g 3(x)=f(g 2(x))=f(x+2)=(x+2)+1=x+3. (2)∵g n (x)=x+n, ∴猜想g n (x)∴1ni=∑g i (x)=g 1(x)+g 2(x)+…+g n (x)=n x +(1).2n n + ∴y=x 2+1ni =∑gi(x)=x 2+nx+(1)2n n +=(x+222).24n n n++①当-2n ≥-1,即n ≤2时，函数y=(x+222)24n n n++在区间（-∞,-1]上是减函数.∴当x ＝—1时，y min =222n n -+=6,即210n n -－＝0，该方程无整数解②当-2n ＜-1,即n ＞2时， y min =224n n +=6，解得n=4.21．（1）连结AC 交DE 于F ，连结PF.∵CD ∥AB,∴∠BAC=∠ACD. 又∵AD=CD ， ∴∠DAC=∠ACD. ∴∠BAC=∠DAC. 即CA 平分∠BAD.∵△ADE 是正三角形， ∴AC ⊥DE.即PF ⊥DE ，CF ⊥DE. ∴DE ⊥平面PCF. ∴DE ⊥PC.（2）过P 作PO ⊥AC 于O ，连结OD. 设AD=DC=CB=a,则AB=2a. ∵DE ⊥平面PCF ，∴DE ⊥PO. ∴PO ⊥平面BCDE.∴∠PDO 即为直线PD 与平面BCDE 所成的角.∵∠PFC 是二面角P-DE-C 的平面角，∴∠PFO=60°在Rt △POF 中，∵∠PFO=60°， ∴PO=34a. 在Rt △POD 中，sin ∠PDO=3,4PO PD = ∴直线PD 与平面BCDE 所成角是arcsin34. (3) ∵DE ∥BC ，DE 在平面PBC 外， ∴DE ∥平面PBC.∴点D 到平面PBC 的距离即为点F 到平面PBC 的距离. 过点F 作FG ⊥PC ，垂足为G.∵DE ⊥平面PCF ，∴BC ⊥平面PCF. ∴平面PBC ⊥平面PCF. ∴FG ⊥平面PBC.∴FG 的长即为点F 到平面PBC 的距离.在菱形ADCE 中，AF=FC, ∴ ∵∠PFC=120°, ∴∠FPC=∠FCP=30°.∴FG=12PF=.4a22.(1)设P （x 0,y 0）,M(x,y),则00(,),OP x y =0(,0),OQ x OM OP OQ =+=（2x 0,y 0）∴002,.x x y y =⎧⎨=⎩化为001,2.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∵x 22001,y +=∴22 1.4x y +=(2)设向量.OP OM α和的夹角为则cos α=||||OP OMOPOM22=令t=3x 21,cos α+==则3 当且仅当t=2时，即P 点坐标为(,.时等号成立 ∴OP OM 与夹角的最大值是23.(1)∵曲线C 在点A n (a n ,a 2)n n n 处的切线l 的斜率是2a ,∴切线l n 的方程是y-a 22().n n n a x a =-由于点B n 的横坐标等于点A n+1的横坐标a n+1，所以，令y=0，得a n+1＝12a n 。

江苏省苏州市2018-2019学年高三(下)3月段考数学试卷(精品解析)

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为：36． 先求出基本事件总数������ = 6 × 6 = 36，再由列举法求出“点数之和等于 6”包含的基本 事件的个数，由此能求出“点数之和等于 6”的概率．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 一支田径队有男运动员 28 人，女运动员 21 人，现按性别用分层抽样的方法，从 中抽取 14 位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取______人.
5.
【答案】205 【解析】解：模拟程序语言的运行过程，得： ������ = 1， 满足条件������ < 100，执行循环体������ = 3，������ = 9 满足条件������ < 100，执行循环体������ = 5，������ = 13 … 满足条件������ < 100，执行循环体������ = 99，������ = 201 满足条件������ < 100，执行循环体������ = 101，������ = 2 × 101 + 3 = 205 此时，不满足条件������ < 100，退出循环，输出 S 的值为 205． 故答案为：205． 根据已知中的程序代码，可知本程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值， 模拟程序的运行过程，分析各个变量的变化规律，可得答案． 本题考查了程序语言的应用问题，解题时应模拟程序语言的运行过程，以便得出输出
7.
【答案】
������ = 2������������������(2������ + 6)
������
【解析】解： ∵ 由图知������ = 2，������ = 2������������������(������������ + ������)， ∵ 点(0,1)，在函数的图象上， ∴ 2������������������������ = 1，解得：������������������������ = 2， ∴ 由|������| < ������，可得：������ = 6，或 6 ， ∵ 点(−12,0)，在函数的图象上，可得：2������������������(−12������ + 6) = 0，或2������������������(−12������ + ∴ 可得：−12������ + 6 = 2������������ + ������，������ ∈ ������，或−12������ + 解得： ������ = − 7 ������− 7

江苏省苏州市2018届高三调研测试数学试题(理)

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注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第 1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）.本卷满分160 分，考试时间为120分钟•考试结束后，请将答题卡交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答， 在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米 黑色墨水的签字笔•请注意字体工整，笔迹清楚.4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损•一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.参考公式：球的表面积公式 S=4 n 2，其中r 为球的半径一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答 案直接填在答题卡相应位置上 .1已知i 为虚数单位，复数z 诗弓的模为 2. 已知集合 A 二｛1,2a ｝，B =｛ -1,1,4｝，且 A 5B ，则正整数 a 二 ▲23.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y =-8x 的焦点坐标为 ▲苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台 立即能乘上车的概率为 ▲ .已知 4a =2，log a x=2a ，则正实数 *=▲_.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中 提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法. 右边的流程图是秦九韶算法的一个实例.若输入 n ，x 的值分别 为3，3，则输出v 的值为▲.苏州市2018届高三调研测试数学试题2018. 14. 5.开始：'（第6题图）I0 < x < 3, 7.已知变量x , y 满足x y > 0, 则z=2x-3y 的最大值为▲x - y 3 < 0,已知等比数列｛ an ｝的前n 项和为S n ，且詈「罟，a「a2鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为 5,底面正方形的边长为 1,现将该鲁 班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为 _▲忽略不计，结果保留 n AB , CD 的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角.CAD =45，则这两座建筑物 AB 和CD 的底部之间的距离BD 二 ▲ m .11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知过点A （2, -1）的圆C 和直 线x y =1相切，且圆心在直线 y- _2x 上，则圆C 的 标准方程为 ▲ .11 1 112.已知正实数a ， b ， c 满足 1， 1，则c的取值范围是▲a b a +b c13. 如图，△ ABC 为等腰三角形，• BAC=120，AB = AC =4，以A 为圆心，1为半径的圆分别交AB ，AC 与点E ，F ，点P 是劣弧EF 上的BC一点，贝U PB PC 的取值范围是▲ .（第13题图）14 •已知直线y = a 分别与直线y =2x -2，曲线y =2e x - x 交于点A ，B ，则线段AB 长度的 最小值为▲.、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出1515，则33的值为 ▲9. 10.如图，两座建筑物（第10题图）（第 9题图）（容器壁的厚文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)已知函数f (x) =(. 3cosx sin x)2-2 3sin2x .(1)求函数f(x)的最小值，并写岀f(x)取得最小值时自变量x的取值集合;(2)若x ■，匸，求函数f (x)的单调增区间.IL 2 216. (本小题满分14分)如图，在正方体ABCD -A1BQ1D1中，已知E, F, G,H 分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C 的中点.(1)求证：EF //平面ABHG ;(2)求证：平面ABHG丄平面CFED .17. (本小题满分14分)如图，B,C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之间的距离为100km，海岛A在城市B的正东方50km处.从海岛A到城市C,先乘船按北偏西B角(w n，21其中锐角：•的正切值为-)航行到海岸公路P处登陆，再换乘汽2车到城市 C .已知船速为25km/h，车速为75km/h.(1 )试建立由A经P到C所用时间与二的函数解析式；(2)试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由.18. (本小题满分16分)北•.东2x 2 yxOy 中，椭圆C ：p 牙=1(a b . 0)的离心率为a b点P 到一个焦点的距离的最小值为3(、. 2 —1).(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M(0, —1)的动直线I 与椭圆C 交于A , B 两点，试判断以 AB 为直径的圆是 否恒过定点，并说明理由.19. (本小题满分16分)已知各项是正数的数列｛a n ｝的前n 项和为S n .a 2 +2(1 )若 S n= -----------------5迂N *, n 》2),且 a t =2 .3① 求数列｛a n ｝的通项公式；②若S n w ■・2n1对任意n N *恒成立，求实数■的取值范围；(2)数列｛a n ｝是公比为q (q >0, q -1)的等比数列，且｛a n ｝的前n 项积为10Tn •若 存在正整数k ,对任意N *，使得卫3 为定值，求首项a 1的值.T kn20. (本小题满分16分)'32x x ,x ：： 0,已知函数f(x)二x、e x —ax, x > 0.(1 )当a =2时，求函数f(x)的单调区间;(2)若方程f (-X )• f (x)二e* _3在区间(0,+ ：：)上有实数解，求实数 a 的取值范围;在平面直角坐标系，椭圆上动(3)若存在实数m,n [0,2],且|m-n| >1 ,使得f (m) = f (n),求证：1 w 旦w e . e —122018届高三调研测试数学n （附加题）2018. 1注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷只有解答题，供理工方向考生使用.本试卷第21题有A、B、C、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题•若学生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分•第22、23题为必答题•每小题10分，共40分•考试时间30分钟•考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效•作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔•请注意字体工整，笔迹清楚.4.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损•一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选•其中两题.，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A .选修4 -1:几何证明选讲（本小题满分10分）如图，AB，AC与圆O分别切于点B，C，点P为圆O上异于点B，C的任意一点，PD_AB 于点D，PE_AC 于点E，PF _ BC 于点F.B .选修4 - 2:矩阵与变换（本小题满分10分）C .选修4 - 4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）求证：PF—PDPE.DBPFOCEAi x =1 t,在平面直角坐标系 xOy 中，直线I 的参数方程为(t 为参数)，以原点0为』=t -3极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 亍=竺二，若直线Isin 日与曲线C 相交于A ，B 两点，求△ AOB 的面积. D .选修4 - 5:不等式选讲(本小题满分10分)已知 a , b , c € R , a 2 b 2c 2 =1，若 |x -1| |x 1|> (a -b • c)2 对一切实数 a , b ,c 恒成立，求实数x 的取值范围.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答题卡指定区域.内作答，解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分10分)如图，已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE AB 二BP =2, AD=AE=1 , AE 丄 AB , 且 AE // BP . (1) 求平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角的余弦值； (2)线段PD 上是否存在一点 N ,使得直线BN 与2平面PCD 所成角的正弦值等于 -?若存在，试确定5点N 的位置；若不存在，请说明理由.23. (本小题满分10分)在正整数集上定义函数 y = f( n)，满足f( n)[ f(n • 1) • 1] =2[2 - f (n • 1)]，且f(1)=2 .9(1) 求证：f (3) - f (2p101(2) -------------------------------------------------------- 是否存在实数a , b ,使f(n) = 1，对任意正整数n 恒成立，并证a(-3)n -b 2明你的结论.z CB苏州市2018届高三调研测试数学试卷参考答案、填空题(共70 分)15.解(1) f (x) =( 3cosx sinx)2 -2 3sin 2x亠2 .3sin xcosx 亠sin? x -2 . 3sin 2x= cos2x - ■ 3sin2x 2 =2cos(2x )2 . 3■TT-TT当2x 2k 二•二，即x =k (k ・Z )时，f (x)取得最小值0.3 3此时，f (x)取得最小值时自变量 x 的取值集合为』xx=k^+上，k € Z 》.I3 J....................................................................... •分(注：结果不写集合形式扣 1分) (2)因为 f(x) =2cos(2x ) 2 ,3设 BH P]CF =P , △ BCH ◎△ CC 1F ，所以 HBC =”FCC 1, 因为/ HBC + Z PHC=90，所以 ZFCC 1 + / PHC=90 .11.3 2. 2 3. (-2,0)4.102 210. 1811. (x -1) (y 2) =2二、解答题(共90分)195.6. 487. -9 8.9.2443 In 2 12. (1-] 13. [-11,-9]14.322二 3cos3(1 cos2x) 1 -cos2x2 2i£：3sin 2x令〔2k 二 w 2x< ^;：>2^:(^= Z ), (3)解得 k 二 w x w k 二(k Z ),.....................................................................3 6又 x ・［一二 T ，令 k 「1, x -匸二，令 k=0 , x 二二，2 2 126」 13 2」口丿〕和徑兰］ .............IL 2, 6. IL 3,21分，其中写对一个区间给 2分)B 1C 1的中点，所以EFJi Ji•10分所以函数在的单调增区间是 2 2(注：如果写成两区间的并集，扣 16.证明：(1)因为E , F 是A 1D 1 ,在正方体 ABCD - A 1BQD 1中， (注：缺少 A 1B 1 / AB 扣1分)所以 EF // AB . .......................Ji Ji14分A 1B 1 // AB ,又EF 二平面ABHG , AB 平面 ABHG , (注：缺少 AB 二平面ABHG 不扣分) 所以EF //平面 ABHG ........................................ 6分(2)在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，CD —平面 BB 1C 1C , 又BH 平面BB 1C 1C ，所以BH — CD .①.........C 1H3分C11分所以.HPC =90，即 BH _CF •② ................由①②，又 DC "CF =C , DC , CF 平面 CFED , 所以BH —平面CFED • 又BH 平面ABHG ,所以平面 ABHG 丄平面 CFED •............................................................................. 14分（注：缺少BH 平面ABHG ，此三分段不给分）（注：AP , BP 写对一个给 2分） 由A 至U P 所用的时间为右二塑 —25 si n 日50cos J100 -si n 日75所以由A 经P 到C 所用时间与9的函数关系为函数f （力的定义域为（:•，匸］，其中锐角:-的正切值为-2 2（2）由（1）, f （®=6：4日十 朕（口£ ,3sin 日 32f G ） =6H，令 f （刃“，解得 COST -1 , •9si n 日311设 (0, —)，使 COS^o :312分所以，当v - -0时函数f （9）取得最小值，此时 BP=50cos 玉二经2胡7.68 km ,sin 日0 2 答：在BC 上选择距离B 为17.68 km 处为登陆点，所用时间最少. (14)（注：结果保留根号，不扣分 ）17•解（1）由题意，轮船航行的方位角为9,所以 N BAP = 90“一日,AB=50 ,贝U AP =•50cos(90 -力50BP = 50ta n(90 -^)=50sin(90 - ^) cos(90 - RPC =100 - BP =100 -50cos v2cos 3sin r由P 到C 所用的时间为t 2 f (力二t 1 t 2 二4 2cos v3 3sin 二 6 - 2cos 二 4一 3si nr 310分1分解得 c=3, a = 3.. 2，所以 b 2 =a 2 _c 2 =9,...............................................2 2所以椭圆C 的标准方程为 —•X=1. ..........................................................................18 9(2)当直线l 的斜率为0时，令y = _1，则x = 4 ,此时以AB 为直径的圆的方程为 X 2 (y • 1)=16 •...........................................当直线I 的斜率不存在时，以 AB 为直径的圆的方程为 x 2 • y 2 =9 , ...........................『x 2 +(y +1) =16,联立 解得x=0,y=3，即两圆过点T(0,3) •[x 2 +y 2 =9,猜想以AB 为直径的圆恒过定点 T(0,3) • .........................................................对一般情况证明如下：设过点M(0,-1)的直线I 的方程为y=kx-1与椭圆C 交于A(x 1,y 1), B(x 2,y 2),f y 二kx -1,22则 2 2 整理得(1 - 2k )x-4kx -16 =0 ,x 2y =18,所以 E +x 2=—, x 1x 21 +2k②-①得an -an 4(a2 -a 2)，即时记a +2当 n =2 时，由①知 a a 2 a 12，即 a ； -3a 2 T0 = 0 , 解得a 2 =5或a 2 ■ -2（舍）, 所以a 2 =3，即数列｛a .｝为等差数列，且首项 印=3, 所以数列｛a .｝的通项公式为a .=3n -1.18.解(1)由题意一,故 a,a 2又椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为 3(.. 2 一1)，所以a - c = 3'.空-3 ,2分 4分16 ~21 2k12分3分） (注果不猜想，直接写出上面的联立方程、韦达定理，正确的给 因为 TA TB 二区，％-3)化』2 -3) 7X 2 丫必 -3(% y 2)92= )^X 2(kjq-1)(kx 2 T) 一3(心-1 kx 2 一 1) 9 =(k"X 1X 2 -4k (X 1 X 2) 16-16(k 2 1) 16k 2 -16(1 2k 2)2 … 2 16- 1+2k 2 1 +2k 2所以TA_TB • 所以存在 以AB 为直径的圆恒过定点1 2k 216 =0 , 19•解（1）①当 n > 2 时，由 S n S n 1 =T ,且定点 a ： 2 3，T 的坐标为(0,3) •16分(注：不验证a ? -a<i =3扣1分)S n3n 2 + n■ >扩2^对一切n N *恒成立,②由①知,2an=3n -1，所以"込口UJ ,记c -汇 记 c n - _n 2 n，则 C n tWZ), n > 2 ,2n 12所以c n ③「忙4，n > 2 , n 2当n 4时,13C n <C n!，当 n =4 时，C 4，且 1615C3 :16 所以当n =3时, 2 3n 亠 n 15 代取得最大值一，2 16 15 所以实数•的取值范围为右；).• 11分(2)由题意，设 n 」 an 二 a 1q(q >0,q 式1), a 1 a^10Tn ，两边取常用对数,T n =lga i Iga 2 Hl Iga n • 令 b n =lga n =n Igq lg 印-lg q , 则数列｛0｝是以lga i 为首项，lgq 为公差的等差数列, 13分(k +1)nlga 十(k+1)n[(k+1)n_ 1]T T(k 1) nlga 1 lgq若上少为定值，令上少一I ,贝V T kn T kn kn lg a 1 如第一1)lg q 2 即{[( k 1)2 - 'k 2]lg q}n [(k 1) -」k](lg aL)lg q =0对 n N * 恒成立, q l7k +1)2 _“2 =0 因为q 〉0,q 右，问题等价于广l) k O ， i (k 1)-」k =0或a ； = q. 将-—=\、1 代入(k ■ 1) - "k =0 ,解得」=0或"=1. k因为k ・N *，所以J0/-1, 所以a ； =q ，又a n - 0,故耳=.q.16分由题意可得20.解(i )当 …时，e +2x, x > 0,322当 X ：：：0 时，f(x)二-x x ,则 f(x)=—3x 2x =「x(3x -2),2令 f (x) =0，解得 X = 0 或 X 丄(舍)，所以 x ：：：0时，f (x) ::： 0,3所以函数f(x)在区间(亠,0)上为减函数. ...................................... •分 当 x > 0 时，f(x) =e x -2x , f (x) =e x —2 ,令 f (x) =0，解得 x = In2，当 0 ：：： x ：：： ln2 时，f (x) ：：：0，当 x In2 时，f(x) . 0 , 所以函数f(x)在区间(0,ln2)上为减函数，在区间(In2,；)上为增函数，且 f (0) =1>0................................................................................................... •分综上，函数f(x)的单调减区间为(-：：,0)和(0,1 n 2)，单调增区间为(I n2,；)............................................................................................................................ 5分(注：将单调减区间为 (-：：,0)和(0,ln2)写出(-：,ln2)的扣1分) (2)设 x • 0 ,则-X ：：： 0 ,所以 f (-x) • f (x) = x 3 • x 2 • e x —ax , 由题意，x 3 x 2 e x -ax =e x -3在区间(0,；)上有解， 等价于 x 2 x 3在区间(0,；)上有解.x记 g(x) =x 2 x 3(x 0),则 g (x) =2x ・1 -2 -2-2xxx令g (x) =0，因为x • 0 ,所以2x 2 3x 3 0，故解得x =1 , 当 x^(0,1)时，g(x)c0，当 x^(1,亦)时，g(x)n0,所以函数g(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,=)上单调递增， 故函数g(x)在x =1处取得最小值 g(1) = 5. .................................................... 9分要使方程a =g(x)在区间(0,；)上有解，当且仅当a > g(x)min 二g(1)=5 ,综上，满足题意的实数 a 的取值范围为［5, ；). ............................ 10分 (3)由题意，f (x) =e x -a ,当a <0时，f (x)・0，此时函数f (x)在［0,；)上单调递增，由f (m) = f (n)，可得m = n ,与条件| m - n |> 1矛盾，所以a 0 . ........................ 11分 令 f (x) =0，解得 x = lna ,x3 2x 3 x 2 -3 (x -1)(2x 2 3x 3)当x (0,ln a)时，f (x) ：：0,当x (l n a,；)时，f (x) 0 ,所以函数f (x)在(0,l n a)上单调递减，在(I na,；)上单调递增.若存在m, n可0,2］, f(m)=f( n)，则lna介于m, n之间， (12)不妨设 0 < m ：：： In a ::: n < 2,因为f(x)在(m,l n a)上单调递减，在(I na, n)上单调递增，且 f(m)=f( n), 所以当 m < x < n 时，f (x) < f (m) = f (n),由 0 < m ::: n < 2 , | m -n 1，可得 1 二［m, n ］，故 f (1)< f (m) = f (n), 又f (x)在(m,lna)上单调递减，且0匕m ：：： Ina ，所以f (m) < f (0).所以f ⑴w f (0)，同理f ⑴w f(2) . (14)e _a w 1即-； 解得 e-1 w a w e 2 -e ,|e -a w e -2a,所以1 w 旦w e. (16)e —12018届高三调研测试数学附加题参考答案21A 选修4— 1几何证明选讲证明连PB , PC ,因为.PCF,. PBD 分别为 同弧BP 上的圆周角和弦切角， 所以.PCF =/PBD. ......................... 2 分因为 PD _BD , PF _ FC ,所以△ PDBPFC ，故 匹二EB ................. 5分PF PC 同理， PBF =PCE , 又 PE _EC , PF _FB , PF所以△ PFB PEC ，故竺PEPD PF 2所以——=——，即PF =PD PE . (10)PF PE21B 选修4— 2矩阵与变换九 _1 -2解矩阵M 的特征多项式为f 仏)==丸2—2k —3 , .......................... 2分一2 九 一1令f( ■) =0，解得'1 =3,匕二-1，解得所以 M 4 ：二 M 4(4 打 _3： 2) =4(M " J -3(M 4 2) =4(人4円)一3(财 口PB PC属于入的一个特征向量为 令：二m ： 1 • nd ,即 了=¥ "，属于甩的一个特征向量为«2】1」 1 w 1n 1，所以 m n^7 1 <1m-n=7, 解得 m = 4, n - -3.卜(町擋］ 10分8分2) =4 汉34fl21C选修4—4坐标系与参数方程所以曲线C 的直角坐标方程是 \ =1 由直线I 的参数方程一'l y =t -3所以直线l 的普通方程为x _y -4 =0 ...........................................将直线I 的参数方程代入曲线 C 的普通方程y 2=2x ,得t 2 -8t • 7 = 0, 设A , B 两点对应的参数分别为 t 1, t 2, 所以 AB = .2 出—t 2 |= .2 馆 t 2)2 -4址2 二 2 . 82 -4 7 =6.2 , 因为原点到直线x —y —4=0的距离d= 2^2 ,42所以△ AOB 的面积是 AB d 二1(6 2) (2、一 2) =12 . ..................2 221D 选修4— 5不等式选讲解因为 a , b , c € R , a 2 b 2 c 2 =1,2 2 2 2由柯西不等式得(a-b ・c)< (a b c )(1 11^3, ...............因为|x-1| Tx ，1p (a -b c)2对一切实数a , b , c 恒成立， 所以 | x -1| | x 1|> 3 . 3 当 x ：：： -1 时，-2x > 3，即 x < - 3 ； 2 当_K x <1时，2 > 3不成立； 3 当x ・1时，2x > 3，即x > 3；2综上，实数x 的取值范围为(亠一勻山？讼).，2 2，22. 解( 1)因为平面 ABCD 丄平面 ABEP ，平面 ABCD 门平面 ABEP 二AB , BP 丄AB , 所以BP 丄平面ABCD ，又AB 丄BC ,所以直线 BA , BP , BC 两两垂直，以B 为原点，分别以 BA , BP , BC 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 P ( 0, 2, 0), B ( 0,生 0), D (・2, 0, 因为BC 丄平面ABPE ，所以BC =(0,0,1)为平面 ABpE 的一个法向量， ..................... 2分 PD =(2, -2,1),CD =(2,0,0),设平面 PCD 的一个 法向量为n =(x,y,z),2x =0,令y 日，则2x -2y z =0,解 由曲线C 的极坐标方程是「= 2°°：，得p 2sin 2 (=2 pcos 0.sin 0y 2=2x. .......................................(t 为参数)，得x -y —4 = 0 ,10分10分n CD =0,则n PD =0,z =2 ,故 n二(0,1,2) ,...............................................4分设平面PCD 岂平面ABPE 所成的二面角为 二，则a n BC 2 2^5 cos^| n | | BC | 1 755n显然0 '—,所以平面PCD与平面ABPE所成二面角的余弦值2(2)设线段PD上存在一点N ,使得直线BN与平面PCD所成角设詣= ?JD=(2 打—2 扎知(0 =(2 九,2—2九,九).•••—分由(1)知，平面PC巳的一个法向量为n二(0,1,2),BN n 2 2所以cos ：：BN, n i：| BN | |n| 亦J9九2—8厂+4 51即9 ' -8 '-1=0，解得，-1或(舍去).92 当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为 -.••…54- f (n) 23•解(1)因为f(n)[f(n 1) 1]=2[2-f(n 1)]，整理得f(n 1)=f (n) + 24 一2由f(1)=2，代入得f⑵二—2+2以下用数学归纳法证明1- 1成立.5 2 5①当n =1时，显然成立.②当n = k时，假设存在a 4 1 1,b ，使得f (k) 1成立, 5 5 _4(_3)」5(2)54-_-那么，当时，吐"恭」14 3 k 1 (一5)(一3)飞11 25 2 512(3)k 8养匕)律―J12/ 3、k 2 6/ 3、k 1 4/ 3k 1 () () () 5 2 5 5 2 5 5 2a的正弦值等于-510分丄f(3)=——=—2，1 5，22 5 27 1所以f (3) -f (2)= -----------5 2 (2)由f ⑴=2 , f (2)910 .1，可得a二-里,b二12 5 5存在实数，a —£b」，使f(n)二5 5即当4 1 1n =k J时，存在a二—,b=-，使得f (k -1) 1成立•5 5 4( _3)k + —~~5^~2"5由①，②可知，存在实数, 数n恒成立. ......... a=，b=［，使f (n)= _________ 1_______ +1对任意正整5 5吨―•10分。

三模数学DA(整理后)

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2018届江苏七市联考高三年级第三次模拟考试(十三)数学参考答案1.{3，5}2. 33. 104. －25. (－4，1)6. 0.37. 188.233 9. 6 10. 25 11. 34 12. 61－32 13. 1414. (－∞，0)∪(2，＋∞) 15. (1) 在四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中， BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1，所以四边形BDD 1B 1为平行四边形， 所以B 1D 1∥BD.(4分)又BD ⊂平面C 1BD ，B 1D 1⊄平面C 1BD ， 所以B 1D 1∥平面C 1BD.(6分)(2) 如图，设AC 与BD 交于点O ，连结C 1O. 因为底面ABCD 为平行四边形， 所以O 为BD 的中点．又C 1B ＝C 1D ，所以C 1O ⊥BD.(8分)在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，C 1C ⊥平面ABCD. 又BD ⊂平面ABCD ，所以C 1C ⊥BD.(10分) 因为C 1O ∩C 1C ＝C 1，C 1O ，C 1C ⊂平面AA 1C 1C ， 所以BD ⊥平面AA 1C 1C.(12分) 因为BD ⊂平面C 1BD ，所以平面C 1BD ⊥平面AA 1C 1C.(14分)16. (1) 如图，因为图象在一个周期内的最低点为Q(－2，－3)，与x 轴的交点为P(－6，0)，所以A ＝3，T ＝4×(－2＋6)＝16，所以ω＝2πT ＝π8，所以f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ.(3分)将点Q(－2，－3)代入，得－3＝3sin ⎝⎛⎭⎫－2×π8＋φ，所以－π4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝－π4＋2k π，k ∈Z .(5分)又|φ|≤π2，所以φ＝－π4，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4.(7分)(2) 点R 的横坐标x R ＝x Q ＋12T ＝－2＋8＝6，所以R (6，3)．(9分)因为α，β均为锐角，从而tan α＝14，tan β＝34，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×141－⎝⎛⎭⎫142＝815，(12分) 所以tan(2α＋β)＝tan 2α＋tan β1－tan 2αtan β＝815＋341－815×34＝7736.(14分)17. (1) 过点D 作DD′垂直于线段AB ，垂足为D′.在Rt △ABC 中，因为AB ⊥BC ，∠BAC ＝π6，AB ＝3，所以BC ＝ 3.在Rt △ADD′中，因为AD′＝1，DD′＝3，所以AD ＝2，所以sin ∠DAD′＝32，所以∠DAD′＝π3. 因为∠BAC ＝π6，所以∠DAP ＝π6.(2分)在△ADP 中，由正弦定理得AD sin θ＝DPsinπ6， 所以DP ＝1sin θ，π6<θ<5π6.(6分)(2) 在△ADP 中，由正弦定理得AP sin ∠ADP ＝ADsin θ，所以AP ＝2sin ∠ADPsin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π6－θsin θ，所以S △APD ＝12AP·PD·sin θ＝12·2sin ⎝⎛⎭⎫5π6－θsin θ·1sin θ·sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎫5π6－θsin θ.S △ADC ＝12AD·DC·sin ∠ADC ＝12×2×2sin 2π3＝3，所以S △DPC ＝S △ADC －S △APD ＝3－sin ⎝⎛⎭⎫5π6－θsin θ.(8分)设三项费用总和为f(θ)，则f(θ)＝sin ⎝⎛⎭⎫5π6－θsin θ×2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－sin ⎝⎛⎭⎫5π6－θsin θ×1＋1sin θ×1 ＝3＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＋1sin θ，＝12cos θ＋1sin θ＋332，π6<θ<5π6，(10分)所以f′(θ)＝－12－cos θsin 2 θ.令f′(θ)＝0，则θ＝2π3.当θ变化时，f′(θ)，f(θ)的变化情况如下：所以当θ＝2π3时，f(θ)min ＝2 3.故以上三项费用总和的最小值为23万元．(14分) 18. (1) ①设椭圆的焦距为2c.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，2b ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，(2分)所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)②由①得焦点F(1，0)，准线方程为x ＝4，设焦点P(4，t)，Q(x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，所以y 20＝3－34x 2. 所以FQ →＝(x 0－1，y 0)，FP →＝(3，t)，因为FP ⊥FQ ，所以FQ →·FP →＝3(x 0－1)＋ty 0＝0， 所以－ty 0＝3(x 0－1)．(6分)所以k 1·k 2＝y 0x 0·y 0－t x 0－4＝y 20－ty 0x 20－4x 0＝3－34x 20＋3（x 0－1）x 20－4x 0＝－34.(10分)(2) 设P ⎝⎛⎭⎫a2c ，t ，Q(x 0，y 0)．因为FP ⊥FQ ， 所以△FPQ 的外接圆即为以PQ 为直径的圆⎝⎛⎭⎫x －a2c (x －x 0)＋(y －t)(y －y 0)＝0.(12分) 由题意知焦点F 、原点O 均在该圆上，所以⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫c －a2c （c －x 0）＋ty 0＝0，a2c x 0＋ty 0＝0，消去ty 0得⎝⎛⎭⎫c －a 2c (c －x 0)－a2c x 0＝0， 所以x 0＝c －a 2c .(14分)因为点P ，Q 均在x 轴上方， 所以－a<c －a 2c <c ，即c 2＋ac －a 2>0，所以e 2＋e －1>0. 因为0<e<1，所以5－12<e<1.(16分) 19. (1) 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝3， ①a 3＋a 2＝72， ② ②－①得a 1＋a 3＝12.(3分)(2)①因为a n ＋1＋(－1)n a n ＝n ＋52， 所以⎩⎨⎧a 2n －a 2n －1＝2n ＋42， ③a 2n ＋1＋a 2n ＝2n ＋52， ④④－③得a 2n －1＋a 2n ＋1＝12，(6分)所以1＝12＋12＝(a 1＋a 3)＋(a 3＋a 5)＝4a 3，所以a 3＝14，从而a 1＝14.(8分)所以a 2n －1－14＝－⎝⎛⎭⎫a 2n －3－14＝…＝(－1)n －1·(a 1－14)＝0， 所以a 2n －1＝14，将其代入③式，得a 2n ＝n ＋94，所以a 2(n ＋1)－a 2n ＝1(常数)，所以数列{a 2n }为等差数列．(10分)②注意到a 1＝a 2n ＋1，所以S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋a 2n ＋1)＝＝n 22＋3n.(12分) 由S 2p ＝4S 2m 知p 22＋3p ＝4⎝⎛⎭⎫m 22＋3m . 所以(2m ＋6)2＝(p ＋3)2＋27，即(2m ＋p ＋9)(2m －p ＋3)＝27. 又p ，m ∈N *，所以2m ＋p ＋9≥12且2m ＋p ＋9，2m －p ＋3均为正整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋p ＋9＝27，2m －p ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝10，m ＝4， 所以所求数对为(10，4)．(16分)20. (1) 因为f(x)＝a|x|是D(3)型函数，所以13＜a|x|＜3在[－3，－1]∪[1，3]上恒成立，即13|x|＜a ＜3|x|在[－3，－1]∪[1，3]上恒成立．(2分) 又|x|的取值范围为[1，3]，所以⎩⎨⎧a ＜⎝⎛⎭⎫3|x|min＝1，a ＞⎝⎛⎭⎫13|x|max＝13，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.(4分) (2) g(x)是D(2)型函数．证明如下：①先证明g(x)＜2，记h(x)＝x 2＋x ＋2e x ，0＜x ＜2，所以h′(x)＝－（x 2－x ＋1）e x＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋34e x＜0，所以h(x)在(0，2)上为单调减函数，(6分) 所以h(x)＞h(2)＝8e2＞1，所以x 2＋x ＋2e x＞1，即e x －x 2－x ＜2，所以g(x)＜2成立．(8分) ②再证明g(x)＞12.记r(x)＝x 2＋x ＋12e x ，0＜x ＜2，所以r′(x)＝－⎝⎛⎭⎫x 2－x －12ex. 令r′(x)＝0，得x ＝1＋32∈(0，2)，记x 0＝1＋32，则x 0＋12＝x 20.当0＜x ＜x 0时，r′(x)＞0；当x 0＜x ＜2时，r′(x)＜0，所以r(x)在(0，x 0)上为单调增函数，在(x 0，2)上为单调减函数， 所以r(x)max ＝r(x 0)＝x 20＋x 0＋12e x 0＝2x 20e x 0.(12分)要证g(x)＞12，只要证r(x)＜1，只要证r(x)max ＜1，即证2x 20e x 0＜1，即证(2x 0)2＜e x 0，即证2ln 2＋2ln x 0＜x 0.(*) 要证明(*)式，先证当x ＞1时，ln x ＜x 2－12x .记p(x)＝ln x －x 2－12x，x ＞1，所以p′(x)＝1x －12－12x 2＝－（x －1）22x 2＜0，所以p(x)在(1，＋∞)上为单调减函数，所以p(x)<p(1)＝0，即ln x<x 2－12x 得证，所以2ln 2<2×2－122＝12，2ln x 0<2·x 20－12x 0＝x 0－1x 0，故要证明(*)式，只需证明12＋x 0－1x 0<x 0，即证x 0< 2.又x 0＝1＋32<2，从而g(x)>12.由①②得12<g(x)<2，即g(x)是D(2)型函数．(16分)21. A. 因为过点A ，B ，D 的圆O 与AC 相切，所以∠CAD ＝∠ABC . 又∠ACD ＝∠BCA ，所以△ACD ∽△BCA ，(5分) 所以AD AB ＝AC BC.因为AB ＝3，BC ＝6，AC ＝4， 所以AD 3＝46，所以AD ＝2.(10分)B. (1) C ＝AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤1203＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－11.(4分)(2) 设直线l 1：x ＋y ＝0上任意一点(x ，y)在矩阵C 对应的变换作用下得到点(x′，y′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 其坐标变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋2y ，y′＝－x ＋2y.(6分)由此得⎩⎨⎧x ＝x′－2y′3，y ＝x′＋y′3，代入x ＋y ＝0，得2x′－y′3＝0，即2x′－y′＝0,所以直线l 2的方程为2x －y ＝0.(10分) C. 直线l 的普通方程为 4x ＋3y －15＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝r 2.(4分)因为圆心C(0，0)到直线 l 的距离d ＝|－15|5＝3，又直线l 被圆C 截得的弦长为4， 所以r ＝32＋22＝13.(10分)D. 由柯西不等式得[a 2＋(2b)2＋c 2]·⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫222＋12≥(a ＋b ＋c)2.(6分) 因为a ＋b ＋c ＝5，所以(a 2＋2b 2＋c 2)×52≥25，所以a 2＋2b 2＋c 2≥10，当且仅当a ＝2b ＝c 时取等号．(10分)22. (1) 将4本不同的书放入编号为1，2，3，4的四个抽屉中，共有44＝256(种)不同放法．记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件A ， 事件A 共包含A 44＝24(个)基本事件，所以P(A)＝24256＝332，所以4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为332.(3分)(2) X 的可能取值为0，1，2，3，4，P(X ＝0)＝3444＝81256，P(X ＝1)＝C 14×3344＝2764，P(X ＝2)＝C 24×3244＝27128，P(X ＝3)＝C 34×344＝364，P(X ＝4)＝C 4444＝1256.所以X(8分)所以X 的数学期望E(X)＝0×81256＋1×2764＋2×27128＋3×364＋4×1256＝1.(10分)23. (1) 由题意，焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0在直线l 上， 所以43×p 2－23＝0，解得p ＝1.所以抛物线的方程为 y 2＝2x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x －23，y 2＝2x消去x 得 2y 2－3y －2＝0，所以y ＝2或y ＝－12.因为点A 在第一象限， 所以点A 的坐标为(2，2)， 所以直线OA 的斜率为1.(3分)(2) 依题意，直线l 的斜率存在，且不为零．设直线l 的方程为 y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(－p ，y 3)，AB 的中点为M(x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝⎛⎫x －p 2消去 y 得k 2x 2－(k 2p ＋2p)x ＋14k 2p 2＝0， Δ＝4p 2＋4k 2p 2>0，x 1，2＝（k 2p ＋2p ）±Δ2k 2，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＋2pk 2＝2p ＋3， 即2pk2＝3.(5分) MC ＝（x 0＋p ）2＋（y 0－y 3）2＝1＋1k2|x 0＋p|. 因为x 0＝x 1＋x 22＝k 2p ＋2p 2k 2＝12p ＋pk 2， 所以MC ＝1＋1k 2⎝⎛⎭⎫32p ＋p k 2，将1k 2＝32p代入得MC ＝1＋32p ⎝⎛⎭⎫32p ＋32.(8分) 因为△ABC 是边长为2p ＋3的正三角形， 所以MC ＝32(2p ＋3)， 所以1＋32p ⎝⎛⎭⎫32p ＋32＝32(2p ＋3)， 解得p ＝3，所以抛物线的方程为y 2＝23x.(10分)。

高考最新-2018届苏州市高三教学调研测试数学(附答案) 精品

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2018届苏州市高三教学调研测试（数学）2018．9一、选择题1、设全集{01234}U =，，，，，集合{1,2,3}A =，集合{2,3,4}B =，则U AB =ðA 、{1}B 、{01}，C 、{0123}，，，D 、{01234}，，，， 2、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3(1)n n S a =-，则1a 等于A 、12-B 、12C 、32-D 、323、,a b R ∈，a b >，0ab >是11a b<成立的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数与方差的变化情况为A 、平均数和方差都不变B 、平均数不变，方差改变C 、平均数改变，方差不变D 、平均数和方差都改变 5、函数21()cos (0)3f x x ωω=->的周期与函数()tan 2xg x =的周期相等，则ω等于 A 、2 B 、1 C 、12 D 、146、已知l m n 、、是直线，αβγ、、是平面，给出下列命题：（1）若//m l ，且m α⊥，则l α⊥； （2）若//m l ，且//m α，则//l α （3）若l αβ=，m βγ=，n γα=，则////l m n （4）若m αβ=，l βγ=，且//αβ，则//m l其中两个真命题的是A 、（1）（2）B 、（1）（3）C 、（1）（4）D 、（2）（4） 7、直线y kx =与圆22(4)4x y -+=相切，则直线的倾斜角为A 、6π，6π- B 、6π，56π C 、3π，3π- D 、3π，23π-8、在ABC ∆中，,,a b c 分别为三内角,,A B C 所对的边，若2B A =，则:2b a 的取值范围是A 、(2,2)-B 、(0,2)C 、(1,1)-D 、(0,1) 9、已知函数()21xf x =+的反函数为1()fx -，则1()0f x -<的解集为A 、(,2)-∞B 、(1,2)C 、(2,)+∞D 、(,1)-∞10、若动点P 的横坐标为x 、纵坐标为y 使lg lg ||lgy xy x -、、成等差数列，则点P 的轨A 、B 、C 、D 、11、若点O 为ABC ∆的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC ∆的内角C 等于A 、45B 、60C 、90D 、12012、某校高三8个班级的师生为庆祝第二十一个教师节，每个班学生准备了一个节目，已排成节目单。

2018苏锡常镇高三三模数学试题

2018苏锡常镇高三三模数学试题

2018届苏锡常镇高三年级第三次模拟考试(十五)数学(满分160分，考试时间120分钟)方差公式：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 若复数z 满足(1＋i )z ＝2(i 是虚数单位)，则z 的虚部为________．2. 设集合A ＝{2，4}，B ＝{a 2，2}(其中a<0)，若A ＝B ，则实数a ＝________．3. 在平面直角坐标系xOy 中，点P(－2，4)到抛物线y 2＝－8x 的准线的距离为________．4. 一次考试后，从高三(1)班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如下图所示，则这五人成绩的方差为________．5. 上图是一个算法流程图，若输入值x ∈[0，2]，则输出值S 的取值范围是________．6. 欧阳修在《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是________．7. 已知函数f(x)＝sin (πx ＋φ)(0<φ<2π)在x ＝2时取得最大值，则φ＝________．8. 已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10S 5＝4，则4a 1d ＝________．9. 在棱长为2的正四面体PABC 中，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，D 是线段PN 上一点，且PD ＝2DN ，则三棱锥DMBC 的体积为________．10. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos B －b cos A ＝35c ，则tan Atan B ＝________.11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2，点A(2，0)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2≤10，则点M 的纵坐标的取值范围是________．12. 如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP →·OQ →的取值范围为________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12（|x ＋3|＋1），x ≤0，ln x ， x>0，若存在实数a<b<c ，满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则af(a)＋bf(b)＋cf(c)的最大值是________．14. 已知a ，b 为正实数，且(a －b)2＝4(ab)3，则1a ＋1b的最小值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，∠ADB ＝90°，CB ＝CD ，E 为棱PB 的中点． (1) 若PB ＝PD ，求证：PC ⊥BD ； (2) 求证：CE ∥平面PAD.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，且4S ＝3(a 2＋c 2－b 2)．(1) 求角B 的大小；(2) 设向量m ＝(sin 2A ，3cos A )，n ＝(3，－2cos A )，求m·n 的取值范围．下图1是一座斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图2所示的数学模型，索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60 m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21∶4，且点P对两塔顶的视角为135°.(1) 求两索塔之间桥面AC的长度；(2) 研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比(比例系数为正数a)，且与该处到索塔的距离的平方成反比(比例系数为正数b)．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1，点A ，B ，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x 轴于点M(x 1，0)，直线AC 与直线BD 交于点N(x 2，y 2)．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若CM →＝2MD →，求直线l 的方程； (3) 求证：x 1·x 2为定值．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，a，b∈R.(1) 若a2＋b＝0.(ⅰ) 当a>0时，求函数f(x)的极值(用a表示)；(ⅱ) 若f(x)有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出实数a的值；若不存在，请说明理由；(2) 函数f(x)的图象在点A处的切线l1与f(x)的图象相交于另一点B，函数f(x)的图象在点B处的切线为l2，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k2＝4k1，求a，b满足的关系式．已知等差数列{a n }的首项为1，公差为d ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，6S n ＝9b n －a n －2恒成立．(1) 如果数列{S n }是等差数列，求证：数列{b n }也是等差数列；(2) 如果数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋12为等比数列，求d 的值．(3) 如果d ＝3，数列{c n }的首项为1，c n ＝b n －b n －1(n ≥2)，求证：数列{a n }中存在无穷多项可表示为数列{c n }中的两项之和．2018届高三年级第三次模拟考试(十五)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为圆O 的直径，AE 平分∠BAC 交圆O 于点E ，过点E 作圆O 的切线交AC 于点D ，求证AC ⊥DE .B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤214x 的一个特征值为3，求M －1.C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos t ，y ＝－2＋2sin t (t 为参数)．以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a (a ∈R )，已知圆心C 到直线l 的距离等于2，求实数a 的值.D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)已知实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，求证：－23≤c ≤1.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为13，乙、丙做对该题的概率分别为m ，n(m>n)，且三位学生能否做对相互独立，设X 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(1) 求m ，n 的值； (2) 求X 的数学期望．23. (本小题满分10分)已知函数f(x)＝(x ＋5)2n ＋1(n ∈N *，x ∈R )．(1) 当n ＝2时，若f (2)＋f (－2)＝5A ，求实数A 的值； (2) 若f (2)＝m ＋α(m ∈N *，0<α<1)，求证：α(m ＋α)＝1.2018届苏锡常镇高三年级第三次模拟考试(十五)数学参考答案1. －12. －23. 44. 20.85. [0，1]6. 14π 7. π28. 2 9. 29 10. 4 11. ⎣⎡⎦⎤－72，72 12. [2－1，1] 13. 2e 2－12 14. 2 215. 证明：(1) 取BD 的中点O ，连结CO ，PO. 因为CD ＝CB ，所以△CBD 为等腰三角形， 所以BD ⊥CO.(2分)因为PB ＝PD ，所以△PBD 为等腰三角形， 所以BD ⊥PO.(4分)又PO ∩CO ＝O ，所以BD ⊥平面PCO.(6分) 因为PC ⊂平面PCO ，所以PC ⊥BD.(7分)(2) 连结EO ，因为E 为PB 的中点，所以EO ∥PD. 又EO ⊄平面PAD ，所以EO ∥平面PAD.(9分) 因为∠ADB ＝90°，BD ⊥CO ，所以CO ∥AD ， 又CO ⊄平面PAD ，所以CO ∥平面PAD.(11分)又CO ∩EO ＝O ，所以平面CEO ∥平面PAD.(13分) 因为CE ⊂平面CEO ，所以CE ∥平面PAD.(14分)16. 解：(1) 由题意，有4×12ac sin B ＝3(a 2＋c 2－b 2)，(2分)则sin B ＝3×a 2＋c 2－b 22ac ，所以sin B ＝3cos B ．(4分)因为sin B ≠0，所以tan B ＝ 3.(4分)又0<B<π，所以B ＝π3.(6分)(2) 由m ＝(sin 2A ，3cos A )，n ＝(3，－2cos A )，得m·n ＝3sin 2A －6cos 2A ＝3sin 2A －3cos 2A －3＝32sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4－3.(8分) 由(1)知B ＝π3，所以A ＋C ＝2π3，所以0<A <2π3，所以2A －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，13π12，(10分) 所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1，(12分) 所以m·n ∈(－6，32－3]，即取值范围是(－6，32－3]．(14分)17. 解：(1) 设AP ＝21t ，CP ＝4t(t>0)，设∠APB ＝α，∠CPD ＝β，则tan α＝6021t ＝207t ，tan β＝604t ＝15t，(2分)由tan (α＋β)＝tan 45°＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝207t ＋15t1－3007t 2＝1，(4分)化简得7t 2－125t －300＝0， 解得t ＝20或t ＝－157(舍去)，所以AC ＝AP ＋PC ＝25×20＝500(米)．(6分) 故两索塔之间的距离AC ＝500米．(2) 设桥面某处为点M ，AM ＝x 米，点M 处的承重强度之和为L(x)， 则L(x)＝60⎣⎡⎦⎤ab x 2＋ab（500－x ）2，且x ∈(0，500)，即L(x)＝60ab ⎣⎡⎦⎤1x 2＋1（500－x ）2，x ∈(0，500)．(9分)记l(x)＝1x 2＋1（500－x ）2，x ∈(0，500)，则l′(x)＝－2x 3＋2（500－x ）3，(11分) 令l′(x)＝0，解得x ＝250.当x ∈(0，250)，l′(x)<0，l(x)单调递减； 当x ∈(250，500)，l′(x)>0，l(x)单调递增，所以当x ＝250时，l(x)取到最小值，L(x)也取到最小值6ab3 125.(13分)故两索塔对桥面AC 中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为6ab3 125.(14分)18. 解：(1) 由椭圆的离心率为22，焦点到对应准线的距离为1. 得⎩⎨⎧c a ＝22，a 2c －c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，(2分)所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 由(1)知C(0，1)，设D(x 0，y 0)，因为CM →＝2MD →，得2y 0＝－1，所以y 0＝－12，(6分)代入椭圆方程得x 0＝62或x 0＝－62， 所以D ⎝⎛⎭⎫62，－12或D ⎝⎛⎭⎫－62，－12， 所以l 的方程为y ＝62x ＋1或y ＝－62x ＋1.(9分) (3) 设点D 的坐标为(x 3，y 3)，由C(0，1)，M(x 1，0)可得直线CM 的方程为y ＝－1x 1x ＋1，联立椭圆方程得⎩⎨⎧y ＝－1x 1x ＋1，x22＋y 2＝1，解得x 3＝4x 1x 21＋2，y 3＝x 21－2x 21＋2.(12分)由B(2，0)，得直线BD 的方程y ＝x 21－2－2x 21＋4x 1－22(x －2)， ① 直线AC 的方程为y ＝22x ＋1， ② 联立①②得x 2＝2x 1，(15分)从而x 1x 2＝2为定值．(16分)19. 解：(1) (ⅰ)由f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b 及a 2＋b ＝0， 得f′(x)＝3x 2＋2ax －a 2.(1分) 令f′(x)＝0，解得x ＝a3或x ＝－a.由a>0知，当x ∈(－∞，－a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－a ，a3时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增，(3分)所以f(x)的极大值为f(－a)＝1＋a 3，f(x)的极小值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝1－5a327.(4分) (ⅱ)当a ＝0时，b ＝0时，此时f(x)＝x 3＋1不存在三个相异零点；当a<0时，与(ⅰ)同理可得f(x)的极小值为f(－a)＝1＋a 3，f(x)的极大值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝1－5a 327. 要使f(x)有三个不同零点，则必须有(1＋a 3)·⎝⎛⎭⎫1－5a 327<0， 解得a 3<－1或a 3>275.(6分)不妨设f(x)的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则f(x 1)＝x 31＋ax 21－a 2x 1＋1＝0，①f(x 2)＝x 32＋ax 22－a 2x 2＋1＝0，②f(x 3)＝x 33＋ax 23－a 2x 3＋1＝0，③②－①得(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 21)＋a(x 2－x 1)·(x 2＋x 1)－a 2(x 2－x 1)＝0， 因为x 2－x 1>0，所以x 22＋x 1x 2＋x 21＋a(x 2＋x 1)－a 2＝0， ④(8分)同理x 23＋x 3x 2＋x 22＋a(x 3＋x 2)－a 2＝0， ⑤⑤－④得x 2(x 3－x 1)＋(x 3－x 1)(x 3＋x 1)＋a(x 3－x 1)＝0. 因为x 3－x 1>0，所以x 2＋x 3＋x 1＋a ＝0.(9分) 又x 1＋x 3＝2x 2，所以x 2＝－a3，(10分)所以f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝0，解得a 3＝－2711<－1，所以存在这样实数a ＝－3311满足条件．(12分)(2) 设A(m ，f(m))，B(n ，f(n))，则k 1＝3m 2＋2am ＋b ，k 2＝3n 2＋2an ＋b.又k 1＝f （m ）－f （n ）m －n ＝（m 3－n 3）＋a （m 2－n 2）＋b （m －n ）m －n＝m 2＋mn ＋n 2＋a(m ＋n)＋b ，(13分)所以3m 2＋2am ＋b ＝m 2＋mn ＋n 2＋a(m ＋n)＋b ，化简得n ＝－a －2m ，所以k 2＝3(－a －2m)2＋2a(－a －2m)＋b ＝12m 2＋8am ＋a 2＋b ，(15分)所以12m 2＋8am ＋b ＋a 2＝4(3m 2＋2am ＋b)，所以a 2＝3b.(16分)20. 解：(1) 设数列{S n }的公差为d′.由6S n ＝9b n －a n －2，①6S n －1＝9b n －1－a n －1－2(n ≥2)，②①－②得6(S n －S n －1)＝9(b n －b n －1)－(a n －a n －1)，③(2分)即6d′＝9(b n －b n －1)－d ，所以b n －b n －1＝6d′＋d 9为常数， 所以数列{b n }为等差数列．(3分)(2) 由③得6b n ＝9b n －b n －1－d ，即3b n ＝9b n －1＋d ，(4分)所以b n ＋12b n －1＋12＝3b n －1＋d 3＋12b n －1＋12＝3⎝⎛⎭⎫b n －1＋12＋d 3－1b n －1＋12＝3＋d 3－1b n －1＋12是与n 无关的常数， 所以d 3－1＝0或b n －1＋12为常数．(6分) 当d 3－1＝0时，d ＝3，符合题意；(7分) 当b n －1＋12为常数时， 在6S n ＝9b n －a n －2中令n ＝1，则6b 1＝9b 1－a 1－2.又a 1＝1，解得b 1＝1，(8分)所以b n －1＋12＝b 1＋12＝32， 此时3＋d 3－1b n －1＋12＝3＋d 3－132＝1，解得d ＝－6. 综上，d ＝3或d ＝－6.(10分)(3) 当d ＝3时，a n ＝3n －2.(11分)由(2)得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列， 所以b n ＋12＝32·3n －1＝12·3n ， 即b n ＝12(3n －1)．(12分)当n ≥2时，c n ＝b n －b n －1＝12(3n －1)－12(3n －1－1)＝3n －1， 当n ＝1时，也满足上式，所以c n ＝3n －1(n ∈N *)．(13分)设a n ＝c i ＋c j (1≤i ≤j )，则3n －2＝3i －1＋3j －1，即3n －3i －1(3j －i ＋1)＝2，如果i ≥2，因为3n 为3的倍数，3i －1(3j －i ＋1)为3的倍数，所以2也为3的倍数，矛盾，(15分)所以i ＝1，所以3n ＝3＋3j －1，即n ＝1＋3j －2(j ＝2，3，4，…)，所以数列{a n }中存在无穷多项可表示为数列{c n }中的两项之和．(16分)21. 解：A. 连结OE ，因为ED 是圆O 的切线，所以OE ⊥ED .因为OA ＝OE ，所以∠OAE ＝∠OEA .(6分)又因为∠OAE ＝∠EAD ，所以∠EAD ＝∠OEA ，(8分)所以OE ∥AC ，所以AC ⊥ED .(10分)B. 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－1－4λ－x ＝0， 得(λ－2)(λ－x )－4＝0的一个解为3，(3分)代入得x ＝－1，(5分)因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤214－1，所以M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤161623－13.(10分) C . 消去参数t ，得到圆的普通方程为(x －3)2＋(y ＋2)2＝4.(3分) 由2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 得ρcos θ＋ρsin θ－a ＝0， 所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y －a ＝0.(6分)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|3－2－a |2＝2，解得a ＝－1或a ＝3.(10分) D. 因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.(3分)由柯西不等式得(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2，(6分)即5(1－c 2)≥(1－c )2，整理得3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1，(9分) 所以－23≤c ≤1.(10分) 22. 解：(1) 由题意得⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫1－13（1－m ）（1－n ）＝13，13mn ＝136.(3分) 又m>n ，解得m ＝13，n ＝14.(5分)(2) 由题意得a ＝13×23×34＋23×13×34＋23×23×14＝49，(7分) b ＝1－P(X ＝0)－P(X ＝1)－P(X ＝3)＝1－13－49－136＝736.(9分) E(x)＝0×13＋1×49＋2×736＋3×136＝1112.(10分) 23. 解：(1) 当n ＝2时，f(x)＝(x ＋5)5＝C 05x 5＋C 15x 45＋C 25x 3(5)2＋C 35x 2(5)3＋C 45x(5)4＋C 55(5)5，(1分)所以f(2)＋f(－2)＝(2＋5)5＋(－2＋5)5＝2[C 15(5)124＋C 35(5)322＋C 55(5)520]＝2×(5×165＋10×4×55＋255)＝6105，所以A ＝610.(3分)(2) 因为f(x)＝(x ＋5)2n ＋1＝C 02n ＋1x 2n ＋1＋C 12n ＋1x 2n 5＋C 22n ＋1x2n －1(5)2＋…＋C 2n ＋12n ＋1·(5)2n ＋1，所以f(2)＝C 02n ＋122n ＋1＋C 12n ＋122n 5＋C 22n ＋122n －1·(5)2＋…＋C 2n ＋12n ＋1(5)2n ＋1＝m ＋α(m ∈N *，0<α<1)．首先证明对固定的n ∈N *，满足条件的m ，α是唯一的． 假设f (2)＝(2＋5)2n ＋1＝m 1＋α1＝m 2＋α2(m 1，m 2∈N *，0<α1<1，0<α2<1，m 1≠m 2，α1≠α2)， 则m 1－m 2＝α1－α2≠0，而m 1－m 2∈Z ，α2－α1∈(－1，0)∪(0，1)，矛盾， 所以满足条件的m ，α是唯一的．(5分)下面我们求m 及α的值： 因为f (2)－f (－2)＝(2＋5)2n ＋1－(－2＋5)2n ＋1＝(2＋5)2n ＋1＋(2－5)2n ＋1＝2[C 02n ＋1·22n ＋1＋C 22n ＋122n －1(5)2＋C 42n ＋122n －3(5)4＋…＋C 12n ＋121(5)2n ]，显然f (2)－f (－2)∈N *.(7分) 因为5－2∈(0，1)，所以(5－2)2n ＋1∈(0，1)，即f (－2)＝(－2＋5)2n ＋1＝(5－2)2n ＋1∈(0，1)，(8分)所以令m ＝2[C 02n ＋122n ＋1＋C 22n ＋122n －1(5)2＋C 42n ＋122n －3(5)4＋…＋C 12n ＋121(5)2n ]，α＝(－2＋5)2n ＋1， 则m ＝f (2)－f (－2)，α＝f (－2)．又m ＋α＝f (2)，(9分) 所以α(m ＋α)＝f (－2)·f (2)＝(2＋5)2n ＋1·(－2＋5)2n ＋1＝(5－4)2n ＋1＝1.(10分)。

届苏州市高考数学模拟试卷及答案

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届苏州市高考数学模拟试卷及答案2018届苏州市高考数学模拟试卷及答案数学不仅所占分值高，而且难度也相对较大，要想高考数学中取得高分，那就需要在备考时多做一些高考数学模拟试卷了，以下是店铺为你整理的2018届苏州市高考数学模拟试卷，希望能帮到你。

2018届苏州市高考数学模拟试卷题目一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM= .2.若复数z满足z+i= ，其中i为虚数单位，则|z|= .3.函数f(x)= 的定义域为.4.如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是5.某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为.6.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为.7.从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为.8.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣ =l的右焦点，则双曲线的离心率为.9.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列.且a2+a5=4，则a8的值为.10.在平面直角坐标系xOy中，过点M(1，0)的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2 ，则直线l 的方程为.11.在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足= + ，且• =1，则实数λ的值为.12.已知sinα=3sin(α+ )，则tan(α+ )=.13.若函数f(x)= ，则函数y=|f(x)|﹣的零点个数为.14.若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为.二.解答题：本大题共6小题，共计90分15.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边.若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=(1)求边c的长;(2)求角B的大小.16.如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1(1)求证：E是AB中点;(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.17.某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图)，设计要求彩门的面积为S (单位：m2)•高为h(单位：m)(S，h为常数)，彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l.(1)请将l表示成α的函数l=f(α);(2)问当α为何值时l最小?并求最小值.18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+ =l (a>b>0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.(1)求该椭圆的方程：(2)过点D( ，﹣)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值.19.己知函数f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a (a为正实数，且为常数)(1)若f(x)在(0，+∞)上单调递增，求a的取值范围;(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.20.己知n为正整数，数列{an}满足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=(1)求证：数列{ }为等比数列;(2)若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：(3)若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值.四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分.A.[选修4一1：几何证明选讲]21.如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E.求∠DAC的度数与线段AE的长.[选修4-2：矩阵与变换]22.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[ ]，并且矩阵M对应的变换将点(﹣1，2)变换成(﹣2，4).(1)求矩阵M;(2)求矩阵M的另一个特征值.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2， .(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.[选修4-5：不等式选讲]24.已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求 + + 的最大值.四.必做题：每小题0分，共计20分25.如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且 = = .(1)求异面直线MN与PC所成角的大小;(2)求二面角N﹣PC﹣B的余弦值.26.设|θ|< ，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sin tannθ，其前n项和为Sn(1)求证：当n为偶函数时，an=0;当n为奇函数时，an=(﹣1)tannθ;(2)求证：对任何正整数n，S2n= sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ]. 2018届苏州市高考数学模拟试卷答案一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM= {6，7} .【考点】补集及其运算.【分析】解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可.【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，则∁UM={6，7}.故答案为：{6，7}.2.若复数z满足z+i= ，其中i为虚数单位，则|z|= .【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案.【解答】解：由z+i= ，得 = ，则|z|= .故答案为： .3.函数f(x)= 的定义域为{x|x> 且x≠1}.【考点】函数的定义域及其求法.【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可.【解答】解：由题意得：，解得：x> 且x≠1，故函数的定义域是{x|x> 且x≠1}，故答案为：{x|x> 且x≠1}.4.如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是24【考点】伪代码.【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案.【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3;当i=3时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4;当i=4时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5;当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24.故答案为：24.5.某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为300 .【考点】分层抽样方法.【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数.【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，∵高级中学共有900名学生，∴每个个体被抽到的概率是 =∴该校高二年级学生人数为 =300，故答案为：300.6.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA= ，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积.【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA= ，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO= AC= .在直角三角形POA中，PO= = =1.所以VP﹣ABCD= •SABCD•PO= ×4×1= .故答案为： .7.从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】先求出基本事件总数n= =6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率.【解答】解：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，基本事件总数n= =6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：(1，2)，(2，4)，共2个，∴这两个数的和为3的倍数的槪率p= .故答案为： .8.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣ =l的右焦点，则双曲线的离心率为 2 .【考点】双曲线的简单性质.【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式可得所求值.【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为(2，0)，则双曲线﹣ =l的右焦点为(2，0)，即有c= =2，不妨设a=1，可得双曲线的离心率为e= =2.故答案为：2.9.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列.且a2+a5=4，则a8的值为 2 .【考点】等比数列的通项公式.【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出a8的值.【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列.且a2+a5=4，∴ ，解得，∴a8= =(a1q)(q3)2=8× =2.故答案为：2.10.在平面直角坐标系xOy中，过点M(1，0)的`直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2 ，则直线l 的方程为x﹣y﹣1=0 .【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论.【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得(m2+1)y2+2my﹣4=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1=﹣2y2，y1+y2=﹣，y1y2=﹣联立解得m=1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，故答案为：x﹣y﹣1=0.11.在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足= + ，且• =1，则实数λ的值为﹣或1 .【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与λ表示出来，再求• 即可.【解答】解：△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足= + ，∴ ﹣=λ ，∴ =λ ;又 = ﹣=( +λ )﹣= +(λ﹣1) ，∴ • =λ •[ +(λ﹣1) ]=λ • +λ(λ﹣1)=λ×2×1×cos60°+λ(λ﹣1)×22=1，整理得4λ2﹣3λ﹣1=0，解得λ=﹣或λ=1，∴实数λ的值为﹣或1.故答案为：﹣或1.12.已知sinα=3sin(α+ )，则tan(α+ )= 2 ﹣4 .【考点】两角和与差的正切函数;两角和与差的正弦函数.【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan 的值，可得tan(α+ )的值.【解答】解：sinα=3sin(α+ )=3sinαcos +3cosαsin = sinα+ cosα，∴tanα= .又tan =tan( ﹣ )= = =2﹣，∴tan(α+ )= = = =﹣ =2 ﹣4，故答案为：2 ﹣4.13.若函数f(x)= ，则函数y=|f(x)|﹣的零点个数为 4 .【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x<1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可.【解答】解：当x≥1时， = ，即lnx= ，令g(x)=lnx﹣，x≥1时函数是连续函数，g(1)=﹣ <0，g(2)=ln2﹣ =ln >0，g(4)=ln4﹣2<0，由函数的零点判定定理可知g(x)=lnx﹣，有2个零点.(结合函数y= 与y= 可知函数的图象由2个交点.)当x<1时，y= ，函数的图象与y= 的图象如图，考查两个函数由2个交点，综上函数y=|f(x)|﹣的零点个数为：4个.故答案为：4.14.若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为1 .【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】由题意可得x> ，y>0，又x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2)，求出y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y= 时取得等号，设f(x)=x3﹣x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值.【解答】解：由正数x，y满足15x﹣y=22，可得y=15x﹣22>0，则x> ，y>0，又x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2)，其中y3﹣y2+ y=y(y2﹣y+ )=y(y﹣)2≥0，即y3﹣y2≥﹣ y，当且仅当y= 时取得等号，设f(x)=x3﹣x2，f(x)的导数为f′(x)=3x2﹣2x=x(3x﹣2)，当x= 时，f(x)的导数为×( ﹣2)= ，可得f(x)在x= 处的切线方程为y= x﹣ .由x3﹣x2≥ x﹣⇔(x﹣)2(x+2)≥0，当x= 时，取得等号.则x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2)≥ x﹣﹣y≥ ﹣ =1.当且仅当x= ，y= 时，取得最小值1.故答案为：1.二.解答题：本大题共6小题，共计90分15.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边.若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=(1)求边c的长;(2)求角B的大小.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】(1)由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c.相加即可得出c.(2)由(1)可得：a2﹣b2=8.由正弦定理可得： = = ，又A﹣B= ，可得A=B+ ，C= ，可得sinC=sin .代入可得﹣16sin2B= ，化简即可得出.【解答】解：(1)∵acosB=3，bcosA=l，∴a× =3，b× =1，化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c.相加可得：2c2=8c，解得c=4.(2)由(1)可得：a2﹣b2=8.由正弦定理可得： = = ，又A﹣B= ，∴A=B+ ，C=π﹣(A+B)= ，可得sinC=sin .∴a= ，b= .∴ ﹣16sin2B= ，∴1﹣﹣(1﹣cos2B)= ，即cos2B﹣ = ，∴﹣2 ═ ，∴ =0或 =1，B∈ .解得：B= .16.如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1(1)求证：E是AB中点;(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的性质.【分析】(1)利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论.(2)利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直.【解答】证明：(1)连结BC1，取AB中点E′，∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，∴O为AC1的中点，∵E′是AB的中点，∴OE′∥BC1;∵OE′⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴OE′∥平面BCC1B1，∵OE∥平面BCC1B1，∴E，E′重合，∴E是AB中点;(2)∵侧面AA1C1C是菱形，∴AC1⊥A1C，∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，∴AC1⊥平面A1BC，∵BC⊂平面A1BC，∴AC1⊥BC.17.某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图)，设计要求彩门的面积为S (单位：m2)•高为h(单位：m)(S，h为常数)，彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l.(1)请将l表示成关于α的函数l=f(α);(2)问当α为何值时l最小?并求最小值.【考点】函数模型的选择与应用.【分析】(1)求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f(α);(2)求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小?并求最小值.【解答】解：(1)设上底长为a，则S= ，∴a= ﹣，∴l= ﹣+ (0<α< );(2)l′=h ，∴0<α< ，l′<0，<α< ，l′>0，∴ 时，l取得最小值 m.18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+ =l (a>b>0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.(1)求该椭圆的方程：(2)过点D( ，﹣)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值.【考点】直线与椭圆的位置关系.【分析】(1)由题意可知2c=2，c=1，离心率e= ，求得a=2，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程：(2)则直线PQ的方程：y=k(x﹣ )﹣，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值.【解答】解：(1)由题意可知：椭圆 + =l (a>b>0)，焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e= = ，则a= ，b2=a2﹣c2=1，则椭圆的标准方程： ;(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A( ，0)，由题意PQ的方程：y=k(x﹣ )﹣，则，整理得：(2k2+1)x2﹣(4 k2+4 k)x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2= ，x1x2= ，则y1+y2=k(x1+x2)﹣2 k﹣2 = ，则kAP+kAQ= + = ，由y1x2+y2x1=[k(x1﹣)﹣]x2+[k(x2﹣)﹣]x1=2kx1x2﹣( k+ )(x1+x2)=﹣，kAP+kAQ= = =1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1.19.己知函数f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a (a为正实数，且为常数)(1)若f(x)在(0，+∞)上单调递增，求a的取值范围;(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求出函数f(x)的导数，问题转化为a≤lnx+ +1在(0，+∞)恒成立，(a>0)，令g(x)=lnx+ +1，(x>0)，根据函数的单调性求出a的范围即可;(2)问题转化为(x﹣1)[(x+1)lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可.【解答】解：(1)f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a，f′(x)=lnx+ +1﹣a，若f(x)在(0，+∞)上单调递增，则a≤lnx+ +1在(0，+∞)恒成立，(a>0)，令g(x)=lnx+ +1，(x>0)，g′(x)= ，令g′(x)>0，解得：x>1，令g′(x)<0，解得：0故g(x)在(0，1)递减，在(1，+∞)递增，故g(x)min=g(1)=2，故0(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立，即(x﹣1)[(x+1)lnx﹣a]≥0恒成立，①x≥1时，只需a≤(x+1)lnx恒成立，令m(x)=(x+1)lnx，(x≥1)，则m′(x)=lnx+ +1，由(1)得：m′(x)≥2，故m(x)在[1，+∞)递增，m(x)≥m(1)=0，故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意;②0令n(x)=(x+1)lnx，(0则n′(x)=lnx+ +1，由(1)n′(x)在(0，1)递减，故n′(x)>n(1)=2，故n(x)在(0，1)递增，故n(x)故a≥0，而a为正实数，故a>0.20.己知n为正整数，数列{an}满足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=(1)求证：数列{ }为等比数列;(2)若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：(3)若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值.【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.【分析】(1)数列{an}满足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，化为：=2× ，即可证明.(2)由(1)可得：= ，可得=n •4n﹣1.数列{bn}满足bn= ，可得b1，b2，b3，利用数列{bn}是等差数列即可得出t.(3)根据(2)的结果分情况讨论t的值，化简8a12Sn﹣a14n2=16bm，即可得出a1.【解答】(1)证明：数列{an}满足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，∴ = an+1，即 =2 ，∴数列{ }是以a1为首项，以2为公比的等比数列.(2)解：由(1)可得： = ，∴ =n •4n﹣1.∵b n= ，∴b1= ，b2= ，b3= ，∵数列{bn}是等差数列，∴2× = + ，∴ = + ，化为：16t=t2+48，解得t=12或4.(3)解：数列{bn}是等差数列，由(2)可得：t=12或4.①t=12时，bn= = ，Sn= ，∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，∴ × ﹣a14n2=16× ，∴ = ，n=1时，化为：﹣ = >0，无解，舍去.②t=4时，bn= = ，Sn= ，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm 成立，∴ × ﹣a14n2=16× ，∴n =4m，∴a1= .∵a1为正整数，∴ = k，k∈N*.∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2 ，n∈N*，m∈N*，且= k，k∈N*}.四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分.A.[选修4一1：几何证明选讲]21.如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E.求∠DAC的度数与线段AE的长.【考点】弦切角.【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，从而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小;考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长.【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°;又因为∠ACB=90°，得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，从而∠ABE=30°，于是 .[选修4-2：矩阵与变换]22.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[ ]，并且矩阵M对应的变换将点(﹣1，2)变换成(﹣2，4).(1)求矩阵M;(2)求矩阵M的另一个特征值.【考点】特征值与特征向量的计算;几种特殊的矩阵变换.【分析】(1)先设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点(﹣1，2)换成(﹣2，4).得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M;(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ﹣6)(λ﹣4)﹣8=λ2﹣10λ+16，从而求得另一个特征值为2.【解答】解：(1)设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R，则 =8 = ，故，由于矩阵M对应的变换将点(﹣1，2)换成(﹣2，4).则 = ，故联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M= .(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ﹣6)(λ﹣4)﹣8=λ2﹣10λ+16，故矩阵M的另一个特征值为2.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2， .(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.【考点】简单曲线的极坐标方程;相交弦所在直线的方程.【分析】(1)先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程.(2)先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可.【解答】解：(1)ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4;因为，所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即 .[选修4-5：不等式选讲]24.已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求 + + 的最大值.【考点】二维形式的柯西不等式.【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得+ + 的最大值.【解答】解：由柯西不等式可得( + + )2≤[12+12+12][( )2+( )2+( )2]=3×12∴ + + ≤3 ，当且仅当 = = 时取等号.∴ + + 的最大值是6，故最大值为6.四.必做题：每小题0分，共计20分25.如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且 = = .(1)求异面直线MN与PC所成角的大小;(2)求二面角N﹣PC﹣B的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角.【分析】(1)设AC与BD的交点为O，AB=PA=2.以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz.利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角.(2)求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N﹣PC﹣B的余弦值.【解答】解：(1)设AC与BD的交点为O，AB=PA=2.以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz.则A(1，﹣1，0)，B(1，1，0)，C(﹣1，1，0)，D(﹣1，﹣1，0)，…设P(0，0，p)，则 =(﹣1，1，p)，又AP=2，∴1+1+p2=4，∴p= ，∵ = = =( )，=( )，∴ =(﹣1，1，﹣ )， =(0，，﹣ )，设异面直线MN与PC所成角为θ，则cosθ= = = .θ=30°，∴异面直线MN与PC所成角为30°.(2) =(﹣1，1，﹣ )， =(1，1，﹣ )， =( ，﹣ )，设平面PBC的法向量 =(x，y，z)，则，取z=1，得 =(0，，1)，设平面PNC的法向量 =(a，b，c)，则，取c=1，得 =( ，2 ，1)，设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ，则cosθ= = = .∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为 .26.设|θ|< ，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sin tannθ，其前n项和为Sn(1)求证：当n为偶函数时，an=0;当n为奇函数时，an=(﹣1) tannθ;(2)求证：对任何正整数n，S2n= sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ].【考点】数列的求和.【分析】(1)利用sin = ，即可得出.(2)a2k﹣1+a2k=(﹣1) tannθ.利用等比数列的求和公式即可得出.【解答】证明：(1)an=sin tannθ，当n=2k(k∈N*)为偶数时，an=sinkπ•tannθ=0;当n=2k﹣1为奇函数时，an= •tannθ=(﹣1)k﹣1tannθ=(﹣1) tannθ.(2)a2k﹣1+a2k=(﹣1) tannθ.∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为﹣tan2θ.∴S2n= = sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ].下载全文。

2018年江苏省高考数学第三次模拟考试 (2)

2018年江苏省高考数学第三次模拟考试 (2)

江苏省2018年高考数学第三次模拟考试（数学）参考公式：一组数据的方差])()()[(1222212x x x x x x nS n -++-+-= ，其中x 为这组数据的平均数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合M ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，N ＝{y |y 2≤2，y ∈Z }，则M ∩N ＝ ▲ ． 2、若,0>>b a 则下列不等式不成立的是（ ）A.b a 11<B.b a >C.a b +<D.ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121 3.非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a 、b G ∈，都有G b a ∈⊕；（2）存在c G ∈，使得对一切a G ∈，都有a c c a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”。

现给出下列集合和运算： ①G ={非负整数}，⊕为整数的加法。

②G ={偶数}，⊕为整数的乘法。

③G ={平面向量}，⊕为平面向量的加法。

④G ={二次三项式}，⊕为多项式的加法。

其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．②4．已知函数R ∈-=x x x x f ,cos sin 3)(，若1)(≥x f ，则x 的取值范围为（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,3 B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,232 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,656 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,652625．已知向量(2,3)=a ，(1,2)=-b ，若m n +a b 与2-a b 共线，则nm等于（ ）A ．2-；B ．2C ．21-D ．216．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，x －2y ＋1≤0，则z ＝2x －y ＋4的取值范围是 ▲ ． 7．已知正四棱锥的体积是48cm 3，高为4cm ， 则该四棱锥的侧面积是 ▲ cm 2．8．如图是2008年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上， 七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个 最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 ▲ ．9．当A ，B ∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax －By ＝0中，任取一条，其倾斜角小于45︒的概率是 ▲ ．7 8 9 92 5 6 4 8 3（第（8）题图）10．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (12)＝0，则不等式f (log 2x )＜0的解集为▲ ．11．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点F 1，F 2分别在双曲线x 2b 2－y 2a2＝1的左、右准线上，则椭圆的离心率e ＝ ▲ ．12．函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图像如图所示,则(−→OB －−→OA )⋅−→OB ＝ ▲ ．13∠CAD14(x ，y )15．α)＝210．（1）求sin α的值；（2）求β的值．16．（本题满分14分）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形AA 1C 1C 为矩形，四边形BB 1C 1C 为菱形． AC ∶AB ∶CC 1＝3∶5∶4，D ，E 分别为A 1B 1，CC 1中点． 求证：（1）DE ∥平面AB 1C ；（2）BC 1⊥平面AB 1C ．（第（13）题图）B A CA 1B 1C 1 E D17．（本题满分14分）A 地产汽油，B 地需要汽油．运输工具沿直线AB 从A 地到B 地运油，往返A ，B 一趟所需的油耗等于从A 地运出总油量的1100．如果在线段AB 之间的某地C （不与A ，B 重合）建一油库，则可选择C 作为中转站，即可由这种运输工具先将油从A 地运到C 地，然后再由同样的运输工具将油从C 地运到B 地．设AC AB＝x ，往返A ，C 一趟所需的油耗等于从A 地运出总油量的x100．往返C ，B 一趟所需的油耗等于从C 地运出总油量的1－x 100．不计装卸中的损耗，定义：运油率P ＝B 地收到的汽油量A 地运出的汽油量，设从A 地直接运油到B 地的运油率为P 1，从A 地经过C 中转再运油到B 地的运油率为P 2．（1）比较P 1，P 2的大小；（2）当C 地选在何处时，运油率P 2最大？ 18．（本题满分16分）已知抛物线顶点在原点，准线方程为x ＝－1．点P 在抛物线上，以P 圆心，P 到抛物线焦点的距离为半径作圆，圆P 存在内接矩形ABCD ，满足AB ＝2CD ，直线AB 的斜率为2．（1）求抛物线的标准方程；（2）求直线AB 在y 轴上截距的最大值，并求此时圆P 的方程． 1.19．（本题满分16分）已知函数f (x )＝ln x ＋1－xax，其中a 为大于零的常数．（1）若函数f (x )在区间[1，＋∞)内不是单调函数，求a 的取值范围； （2）求函数f (x )在区间[e ，e 2]上的最小值． 20．（本小题满分16分）已知数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3n ＋5n ＋2a n ＋1－2n n ＋1a n ，其中n ∈N*．设数列{b n }满足b n ＝a n ＋1－nn ＋1a n ，n ∈N*．（1）证明：数列{b n }为等比数列，并求数列{b n }的通项公式； （2）求数列{a n }的通项公式；（3）令c n ＝(n ＋2)b n ＋2(nb n )(n ＋1)b n ＋1，n ∈N*，求证：c 1＋c 2＋…＋c n ＜2．2018年江苏省高三年级第三次模拟考试数学附加卷21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在．．答．题．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲圆的两弦AB 、CD 交于点F ，从F 点引BC 的平行线和直线AD 交于P ，再从P 引这个圆的切线，切点是Q ，求证：PF ＝PQ ．APCDF QB ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －3，求直线y ＝2x ＋1在矩阵MN 的作用下变换所得到的直线方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ，直线l ：ρ＝22cos(θ＋π4)．求⊙C 上点到直线l 距离的最小值．D ．选修4—5：不等式选讲已知关于x 的不等式∣x ＋1∣＋∣x －1∣≤b a ＋c b ＋a c对任意正实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在．．答．题．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮。

江苏省苏州市2018届高三期初调研数学试卷及答案

江苏省苏州市2018届高三期初调研数学试卷及答案

苏州市2018届高三暑假自主学习测试试卷 数学I (试题） 注意事项： 1.本试卷共4页.满分160分，考试时间120分钟。

2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效。

3.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

1.已知集合 A= {xl-2<x<l},B= {-1,0,1},则 A∩B= 。

2.已知),,(32为虚数单位i R b a i ibi a ∈+=-+，则a + b 的值是 . 3.运行如图所示的流程图，则输出的结果S 是 .4.有五条线段，其长度分别为2,3,4,5,7，现任取三条，则这三条线段可以构成三角形的的概率是.5.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据 整理后，画出了频率分布直方图（如图），巳知图中从左到右的前3个 小组的频率之比为1 : 2 : 3,第2小组的频数为12,则报考飞行员的学生人数.6.若双曲线122=-y mx ( m > 0)的右焦点与抛物线y= 8x 的焦点重合，则m 的值是 . 7. 将函数)<<0)(2sin(πϕϕ+=x y 的图象沿x 轴向左平移8π个单位，得到函数)(x f y =的图象，若函数)(x f y =的图象过原点，则ϕ的值是 .8.已知平面向量a=(2,1), a•b=10,若|a +b|=25,则|b|的值是 .9.如图，正四棱锥P -ABCD 的底面一边AB 的长为32cm ，侧面积为38cm2,则它的体积为 cm 3. 10.已知函数b a abx x x f 2)(2+++=。

若4)0(=f ,则)1(f 的最大值是 .11.等差数列{a n }的前 n 项和为S n ，且 a n -S n = n 2-16n+15(n≥2,n∈N * )，若对任意n∈N *，总有S n ≤S k ,则k 的值是. 12.已知点A(1,0)和点B(0,1)，若圆x 2 + y 2 - 4x - 2y + t = 0上恰有两个不同的点P ，使得△PA B 的面积为21，则实数t 的取值范围是 . 13.已知函数x a x x f +=)( (a > 0)，当x∈ [1,3]时，函数)(x f 的值域为A ，若A ∈[8,16]，则a 的值是 .14.设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当x > 0时，xx f 2)(=，若对任意的x∈ [a,a + 2]，不等式)()(2x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

2018届高三第三次全国大联考(江苏卷)数学卷

2018届高三第三次全国大联考(江苏卷)数学卷

2018年第三次全国大联考【江苏卷】数学Ⅰ（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．） 1．已知集合{|ln(21)}A x y x ==-,2{|230}B x x x =--≤,则A B = ___________． 2．设复数z 满足(1i)(43i)(1i)z +=+-,其中i 是虚数单位,则z =___________． 3．已知一组数据12,14,16,,20a ,其平均数是16,则该组数据的方差为___________． 4．若实数x ,y 满足约束条件4210y xy x y ≤-⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩,则可行域的面积为___________．5．过双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的左焦点1F 作直线l 与双曲线C 的左支交于,M N 两点．当l x ⊥轴时,||3MN =,则右焦点2F 到双曲线C 的渐近线的距离是___________．6．若向量(,1),(1,2)x =-=a b ,且|2||2|+=-a b a b ,则||x +=a b ___________．7．已知集合{|A x y =,{|B y y =．在集合A 中随机取一个数a ,则a B ∈的概率是___________．8．有一个半径为4的球是用橡皮泥制作的,现要将该球所用的橡皮泥重新制作成一个圆柱和一个圆锥,使得圆柱和圆锥有相等的底面半径和相等的高,若它们的高为8,则它们的底面圆的半径是___________．9．设向量1(,sin )2α=a,2)3α=+b ,若a b ,则5sin(2)6απ-的值是___________．10．《张丘建算经》是中国古代数学著作．现传本有92问,比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算,各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等．某数学爱好者根据书中记载的一个女子善织的数学问题,改编为如下数学问题：某女子织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她第一天织了3尺布．若要使所织的布的总尺数不少于300尺,那么该女子至少需要织多少天？并将该问题用以下的程序框图来解决,若输入的300T =,则输出n 的值是___________．11．已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若sin cos c B C ,且6a b +=,则边长c 的最小值为___________．12．若函数2()|4|21f x x x m =--+在区间9[1,]2-上有3个不同零点,则实数m 的取值范围为___________．13．已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>,过其左焦点(,0)F c -的直线交椭圆M 于,A B 两点,若弦AB 的中点为(4,2)D -,则椭圆M 的方程是___________．14．已知函数2()cos e e x x f x x x -=+++(e 是自然对数的底数)．若(3)(21)f a f a -≥+,则实数a 的取值范围是___________．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）设向量(2cos )x x =m ,(sin ,2sin )x x =-n ,记()f x =⋅m n ． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）求函数()f x 在[,]36ππ-上的值域．16．（本小题满分14分）如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,已知AC BC ⊥,E 是侧面对角线1B C 的中点,,D F 分别为侧棱11,B B A A 的中点,连接11,,,EF DE DA EA ． （1）求证：EF 平面ABC ； （2）求证：平面1A DE ⊥平面11AA C C ．17．（本小题满分14分）用一根长为144分米的铁丝制作一个长方体框架(由12条棱组成),使得长方体框架的底面长是宽的2倍．在制作时铁丝恰好全部用完且损耗忽略不计．现设该框架的底面宽是x 分米,用()V x 表示该长方体框架所占的空间体积(即长方体的体积)． （1）试求函数()V x 的解析式及其定义域；（2）当该框架的底面宽x 取何值时,长方体框架所占的空间体积最大,并求出最大值． 18．（本小题满分16分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数,若294a 是12a 与3a 的等差中项,且212123a a a a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n b =求数列{}n b 的前n 项和n S ．19．（本小题满分16分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ,直线260x y +-=交抛物线C 于,A B 两点,M 是线段AB 的中点,过M 作y 轴的垂线交抛物线C 于点N ． （1）若直线AB 过焦点F ,求||||||AF BF AB ⋅的值；（2）是否存在实数p ,使ABN △是以N 为直角顶点的直角三角形?若存在,求出p 的值,若不存在,说明理由． 20．（本小题满分16分）设函数23()ln(1)f x x x a x =-++,其中0a ≠．（1）若4a =-,求曲线y =()f x 在点(0,(0))A f 处的切线方程；（2）若函数23()()2g x f x x =+在定义域内有3个不同的极值点,求实数a 的取值范围；（3）是否存在最小的正整数N ,使得当n N ≥时,不等式311ln n n n n+->恒成立？若存在,求出N ,若不存在,请说明理由．数学Ⅱ（附加题）（考试时间：30分钟试卷满分：40分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第21题~第23题）。

2018年江苏省苏州市高考数学三模试卷

2018年江苏省苏州市高考数学三模试卷

2018年江苏省苏州市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1. 已知集合A={−1, 3, m}，B={3, 5}，若B⊆A，则实数m的值为________．2.已知i是虚数单位，复数1+ai2−i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．3. 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现用电量都在50度到350度之间，由此制成频率分布直方图如图所示．在这些用户中，用电量落在区间[200, 250)内的户数为________．4. 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是________．5. 如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为________．6. 已知双曲线x2m −y24=1(m>0)的离心率为√3，则其渐近线方程为________．7. 若不等式组{x≥0,x+3y≥4,3x+y≤4,所表示的平面区域被直线y=kx+43分为面积相等的两部分，则k的值是________．8. 若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =32(1+a n )(n ∈N ∗)，则a 4的值为________．9.现用一半径为10cm ，面积为80πcm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为________cm 3．10. 已知向量a →=(1,2)，b →=(−2,−4)，|c →|=√5，若(a →+b →)c →=52，则a →与c →的夹角为________．11. 设正实数x ，y 满足xy =x+9y y−x ，则y 的最小值是________．12. 已知圆C:x 2+(y −4)2=4和点Q(2, 2)，过点P(0, 3)作直线l 交圆于A ，B 两点，则|QA →+QB →|的取值范围是________．13. 如果函数y =f(x)在其定义域内总存在三个不同实数x 1，x 2，x 3，满足|x i −2|f(x i )=1(i =1, 2, 3)，则称函数f(x)具有性质Ω．已知函数f(x)=ae x 具有性质Ω，则实数a 的取值范围为________．14. 已知实数a ，b ，c ∈[−2, 2]，且满足a +b +c =0，则a 3+b 3+c 3的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．已知△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，满足a +1a +4cosC =0，b =1．(1)若△ABC 的面积为√32，求a ；(2)若A =π6，求△ABC 的面积．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，点P 为DN 的中点，点E 为AB 的中点．(1)求证：BD ⊥MC ；(2)求证：AP // 平面NEC ．如图是一“T ”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m ，东西向渠宽√2m （从拐角处，即图中A ，B 处开始）．假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）．(1)在水平面内，过点A 的一条直线与水渠的内壁交于P ，Q 两点，且与水渠的一边的夹角为θ(0<θ<π2)，将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数；(2)若从南面漂来一根长为7m 的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x =2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 的坐标为(0, b)，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程；(3)若F 1P →=λQF 1→，且λ∈[12, 2]，求OP →⋅OQ →的最大值．已知数列{a n }，{b n }满足：对于任意的正整数n ，当n ≥2时，a n 2+b n a n−12=2n +1．(1)若b n =(−1)n ，求a 12+a 22+⋯+a 82的值；(2)若数列{a n }的各项均为正数，且a 1=2，b n =−1，设S n =14∑n i=12a i ，T n =√a 1a 2⋯a n ，若对任意n ∈N ∗，Sn T n ≤λ恒成立，求λ的最小值．已知函数f(x)=x 3−3x 2+ax +3，f(x)在x 1处取极大值，在x 2处取极小值．(1)若a =0，求函数f(x)的单调区间和零点个数；(2)在方程f(x)=f(x 1)的解中，较大的一个记为x 3；在方程f(x)=f(x 2)的解中，较小的一个记为x 4，证明：x 4−x 1x 3−x 2为定值；(3)证明：当a ≥1时，f(x)>lnx ．参考答案与试题解析2018年江苏省苏州市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1.【答案】5【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：∵A={−1,3,m}，B={3,5}，若B⊆A，可得m∈B，∴m=5．故答案为：5．2.【答案】−3【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部加虚部为0求解．【解答】解：∵1+ai2−i =(1+ai)(2+i)(2−i)(2+i)=2−a5+2a+15i的实部与虚部互为相反数，∴2−a5+2a+15=0，即a=−3．故答案为：−3.3.【答案】22【考点】频率分布直方图【解析】此题暂无解析【解答】解：由频率分布直方图得用电量落在区间[200,250)内的频率为：1−(0.0024+0.0036+0.0060+0.0024+0.0012)×50=0.22，∴用电量落在区间[200,250)内的户数为100×0.22=22．故答案为：22．4.【答案】13【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】根据题意，首先用列举法列举从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案．【解答】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(2, 3)，(2, 4)，(3, 4)，共6种情况，其中一个数是另一个的两倍的有两种，即(1, 2)，(2, 4)，则其概率为26=13.故答案为：13.5.【答案】7【考点】程序框图【解析】直接利用程序框图的循环结构求出结果．【解答】解：在执行循环前：k=1，S=1，执行第一次循环时：S=1，k=3，执行第二次循环时，S=3，k=5，执行第三次循环时，S=15，k=7．由于：S>10，输出k=7.故答案为：7.6.【答案】y=±√2x【考点】双曲线的渐近线【解析】离心率公式计算可得m，再由渐近线方程即可得到所求方程．【解答】解：双曲线x2m −y24=1(m>0)的离心率为√3，可得a=√m，b=2，c=√m+4，由题意可得e=ca =√m+4m=√3，解方程可得m=2，即双曲线的方程为x22−y24=1，即有渐近线方程为y=±√2x．故答案为：y =±√2x ．7.【答案】73【考点】含参线性规划问题简单线性规划【解析】先根据约束条件，画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可【解答】解：不等式组{x ≥0,x +3y ≥4,3x +y ≤4,所表示的平面区域如图所示：由图可知，直线y =kx +43恒经过点A(0, 43)，当直线y =kx +43在经过BC 的中点D(12, 52)时，平面区域被直线y =kx +43分为面积相等的两部分，当x =12，y =52时，代入直线y =kx +43的方程得k =73.故答案为：73.8.【答案】−81【考点】等比数列的通项公式【解析】n =1时，a 1=S 1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1，结合等比数列的定义和通项公式，计算可得所求值．【解答】解：数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =32(1+a n )(n ∈N ∗)，可得n =1时，a 1=S 1=32(1+a 1)，解得a 1=−3，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=32(1+a n )−32(1+a n−1)，即有a n =3a n−1，可得{a n }为以−3为首项，3为公比的等比数列，综上有a n =−3⋅3n−1=−3n ，则a 4=−81.故答案为：−81.9.【答案】128π【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由圆锥的几何特征，我们可得用半径为10cm ，面积为80πcm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，圆锥的母线长等于扇形的半径，由此计算出圆锥的高，代入圆锥体积公式，即可示出答案．【解答】解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R ,l ，圆锥形容器的高和底面半径分别为ℎ,r ， 则由题意得R =10，由 12Rl =80π得l =16π，由2πr =l 得r =8,由R 2=r 2+ℎ2得ℎ=6,由V 锥=13πr 2ℎ=13×π×64×6=128π(cm 3)．所以该容器最多盛水128πcm 3．故答案为：128π.10.【答案】2π 【考点】平面向量数量积的性质及其运算律数量积表示两个向量的夹角【解析】设c →=(x, y)，根据题中的条件求出x +2y =−52，即a →∗c →=−52，再利用两个向量的夹角公式求出cosθ的值，由此求得θ的值．【解答】解：设c →=(x, y)，由向量a →=(1, 2)，b →=(−2, −4)，|c →|=√5，且(a →+b →)c →=52， 可得−x −2y =52，即有x +2y =−52，即a →⋅c →=−52，设a →与c →的夹角为等于θ，则cosθ=a →c →|a →||c →|=−52√5×√5=−12． 再由0≤θ≤π，可得 θ=2π3，故答案为：2π3.11.【答案】3+√10【考点】一元二次不等式的解法函数的最值及其几何意义【解析】正实数x ，y 满足xy =x+9yy−x ，化为yx 2+(1−y 2)x +4y =0，由于关于x 的方程有正实数根，可知△≥0．又x 1x 2=9>0，可知x 1与x 2同号，必有x 1+x 2=y 2−1y >0，解得y >1．再利用△≥0．解出即可得到y 的最小值．【解答】解：设正实数x ，y 满足xy =x+9yy−x ，化为yx 2+(1−y 2)x +9y =0，x 1x 2=9>0，x 1+x 2=y 2−1y >0，解得−1<y <0（舍）或y >1．∵ 关于x 的方程有正实数根，∴ Δ=(1−y 2)2−36y 2≥0，∴ (y 2+6y −1)(y 2−6y −1)≥0．∵ y >1，解得y ≥3+√10．∴ 实数y 的最小值为3+√10．故答案为：3+√10．12.【答案】[4, 6]【考点】直线与圆的位置关系【解析】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线l 的方程为y =kx +3，代入圆x 2+(y −4)2=4，再由韦达定理和向量的模的公式，结合分式函数的值域求法：判别式法，计算即可得到所求范围．【解答】解：设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则|QA →+QB →|=|(x 1+x 2−4, y 1+y 2−4)|，设直线l 的方程为y =kx +3，代入圆x 2+(y −4)2=4可得(1+k 2)x 2−2kx −3=0，Δ=4k 2+12(1+k 2)>0恒成立，即有x 1+x 2=2k 1+k 2，y 1+y 2=k ⋅2k 1+k 2+6=6+8k 21+k 2， 则|QA →+QB →|=√(2k 1+k 2−4)2+(2k 21+k 2+2)2 =√4k 21+k 2−16k 1+k 2+8k 21+k 2+20 =√12k 2−16k1+k 2+20，由t =12k 2−16k 1+k ，可得(12−t)k 2−16k −t =0，t =12时，k =−34；t ≠12时，Δ≥0，即为162+4t(12−t)≥0，解得−4≤t ≤16，则|QA →+QB →|的取值范围是[4, 6]．故答案为：[4, 6]．13.【答案】(1e,+∞) 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题函数与方程的综合运用【解析】首先将由三个实数满足等式问题转化为两个函数图象交点个数有3个的问题，对复杂函数求导，由单调性得到函数的走势，由此得到a 在哪一范围内才能有三个交点问题．【解答】解：∵ f(x)=ae x 具有性质Ω，∴ 存在三个不同实数x 1，x 2，x 3，满足|x i −2|f(x i )=1(i =1, 2, 3)，即存在三个不同实数x 1，x 2，x 3，满足|x i −2|ae x i =1(i =1, 2, 3)，等价于a =1|x−2|e x 有三个解，等价于y =a 与y =1|x−2|e x 的图象有三个交点问题，y=1|x−2|e =1(x−2)e(x>2)，y=1|x−2|e x =1(2−x)e x(x<2)，∴y′=1−x(x−2)2e x(x>2)，y′=x−1(x−2)2e x(x<2)，由导函数的正负得到原函数的增减知：y=1|x−2|e x 的图象在(−∞, 1)单调递减，极小值是x=1时，y=1e，在(1, 2)上单调递增，在(2, +∞)单调递减，由+∞减到与x轴无限接近，永不相交，如图：∴若y=a与y=1|x−2|e x 的图象有三个交点，即a>1e.故答案为：(1e，+∞).14.【答案】[−6, 6]【考点】基本不等式【解析】由条件可得c=−a−b，代入原式化简可得a3+b3+c3=a3+b3−(a+b)3=3abc，由基本不等式求得ab≤(a+b2)2=c24，结合c的范围，可得结论．【解答】解：实数a，b，c∈[−2, 2]，且满足a+b+c=0，可得a+b=−c，a3+b3+c3=a3+b3−(a+b)3=a3+b3−a3−b3−3ab(a+b) =3abc，由ab≤(a+b2)2=c24，由−2≤c≤2可得c2≤4，c>0时，3abc≤3c34≤6；c=0，abc=0；c<0，3abc≥3c34≥−6；3abc∈[−6, 6]，故答案为：[−6, 6].二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】解：(1)由b=1，S=12absinC=12asinC=√32得asinC=√3，即sinC=√3a．又a+1a =−4cosC，那么(a+1a)2=16cos2C=16(1−sin2C)=16−48a2，即a4−14a2+49=0，得到a2=7，即有a=√7．(2)由题意有a+1a=−4cosC，b=1，由余弦定理cosC=a2+b2−c22ab ，有a+1a=−4a2+b2−c22ab=−2(a2+1−c2)a，即a2+1=23c2①，又由b2+c2−a2=2bccosA可知c2−a2+1=√3c②，由①②得到c2−3√3c+6=0，亦即(c−√3)(c−2√3)=0，可知c=√3或c=2√3．经检验，c=√3或c=2√3均符合题意；那么△ABC的面积为S=12bcsinA=√32，或S=12bc⋅sinA=√34．【考点】三角形的面积公式余弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】（1）由题意利用三角形的面积公式建立关于a的方程，解方程求得a的值．（2）由题意利用余弦定理解方程求得c的值，可得△ABC的面积S=12∗bc∗sinA的值．【解答】解：(1)由b=1，S=12absinC=12asinC=√32得asinC=√3，即sinC=√3a．又a+1a =−4cosC，那么(a+1a)2=16cos2C=16(1−sin2C)=16−48a，即a4−14a2+49=0，得到a2=7，即有a=√7．(2)由题意有a+1a=−4cosC，b=1，由余弦定理cosC=a2+b2−c22ab ，有a+1a=−4a2+b2−c22ab=−2(a2+1−c2)a，即a2+1=23c2①，又由b2+c2−a2=2bccosA可知c2−a2+1=√3c②，由①②得到c2−3√3c+6=0，亦即(c−√3)(c−2√3)=0，可知c=√3或c=2√3．经检验，c=√3或c=2√3均符合题意；那么△ABC的面积为S=12bcsinA=√32，或S=12bc⋅sinA=√34．【答案】证明：(1)连结AC，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，所以AM⊥平面ABCD．因为BD⊂平面ABCD，所以AM⊥BD．因为AC∩AM=A，所以BD⊥平面MAC．又MC⊂平面MAC，所以BD⊥MC．(2)取NC的中点S，连结PS，SE．DC，因为PS // DC // AE，PS=AE=12所以四边形APSE是平行四边形，所以AP // SE．又SE⊂平面NEC，AP平面NEC，所以AP // 平面NEC．【考点】两条直线垂直的判定直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）连接AC，推出AC⊥BD，得到AM⊥平面ABCD．AM⊥BD．证明BD⊥平面MAC．即可证明BD⊥MC．（2）取NC的中点S，连接PS，SE．证明AP // SE．然后证明AP // 平面NEC．【解答】证明：(1)连结AC，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，所以AM⊥平面ABCD．因为BD⊂平面ABCD，所以AM⊥BD．因为AC∩AM=A，所以BD⊥平面MAC．又MC⊂平面MAC，所以BD⊥MC．(2)取NC的中点S，连结PS，SE．DC，因为PS // DC // AE，PS=AE=12所以四边形APSE 是平行四边形，所以AP // SE ．又SE ⊂平面NEC ，AP 平面NEC ，所以AP // 平面NEC ．【答案】解：(1)由题意，PA =√2sinθ，QA =4cosθ， 所以l =PA +QA ，即l =√2sinθ+4cosθ(0<θ<π2)． (2)设f(θ)=√2sinθ+4cosθ，θ∈(0,π2)． 由f ′(θ)=−√2cosθsin θ+4sinθcos θ=√2(2√2sin 3θ−cos 3θ)sin θcos θ， 令f ′(θ)＝0，得tanθ0=√22． 且当θ∈(0, θ0)，f ′(θ)<0；当θ∈(θ0,π2)，f ′(θ)>0，所以，f(θ)在(0, θ0)上单调递减；在(θ0,π2)上单调递增，所以，当θ=θ0时，f(θ)取得极小值，即为最小值．当tanθ0=√22时，sinθ0=√3，cosθ0=√2√3， 所以f(θ)的最小值为3√6，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3√6m ．因为3√6>7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．【考点】利用导数研究函数的最值三角函数模型的应用利用导数研究函数的单调性三角函数线【解析】（1）求出PA ，QA ，即可将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数；（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．【解答】解：(1)由题意，PA =√2sinθ，QA =4cosθ， 所以l =PA +QA ，即l =√2sinθ+4cosθ(0<θ<π2)． (2)设f(θ)=√2sinθ+4cosθ，θ∈(0,π2)．由f ′(θ)=−√2cosθsin 2θ+4sinθcos 2θ=√2(2√2sin 3θ−cos 3θ)sin 2θcos 2θ， 令f ′(θ)＝0，得tanθ0=√22． 且当θ∈(0, θ0)，f ′(θ)<0；当θ∈(θ0,π2)，f ′(θ)>0，所以，f(θ)在(0, θ0)上单调递减；在(θ0,π2)上单调递增，所以，当θ=θ0时，f(θ)取得极小值，即为最小值．当tanθ0=√22时，sinθ0=√3，cosθ0=√23， 所以f(θ)的最小值为3√6，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3√6m ．因为3√6>7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．【答案】解：(1)由题意得，{2c =2,a 2c=2, 解得：c =1，a 2=2，∴ b 2=a 2−c 2=1．∴ 椭圆C 的方程为：x 22+y 2=1.(2)∵ P(0, 1)，F 1(−1, 0)，∴ 直线PF 1的方程为x −y +1=0．由{x −y +1=0,x 22+y 2=1, 解得{x =0,y =1, 或{x =−43,y =−13, ∴ 点Q 的坐标为(−43,−13)．设过P ，Q ，F 2三点的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，则{1+E +F =0,1+D +F =0,179−43D −13E +F =0, 解得{D =13,E =13,F =−43, ∴ 所求圆的方程为x 2+y 2+13x +13y −43=0；(3)设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则F 1P →=(x 1+1,y 1),QF 1→=(−1−x 2,−y 2)，∵ F 1P →=λQF 1→，∴ {x 1+1=λ(−1−x 2),y 1=−λy 2,即{x 1=−1−λ−λx 2,y 1=−λy 2,∴ {(−1−λ−λx 2)22+λ2y 22=1,x 222+y 22=1,解得：x 2=1−3λ2λ． ∴ OP →⋅OQ →=x 1x 2+y 1y 2=x 2(−1−λ−λx 2)−λy 22=−λ2x 22−(1+λ)x 2−λ =−λ2(1−3λ2λ)2−(1+λ)⋅1−3λ2λ−λ =74−58(λ+1λ)． ∵ λ∈[12, 2]，∴ λ+1λ≥2√λ⋅1λ=2， 当且仅当λ=1λ，即λ=1时取等号．∴ OP →⋅OQ →≤12． 即OP →⋅OQ →的最大值为12．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程基本不等式在最值问题中的应用圆的一般方程【解析】（1）根据椭圆的焦距为2，一条准线方程为x =2，求出a ，b ，即可求椭圆C 的方程； （2）直线PF 1的方程为x −y +1=0，代入椭圆方程，求出Q 的坐标，利用圆的一般方程，建立方程组，即可求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程；（3）由F 1P →=λQF 1→，可得P ，Q 坐标之间的关系，利用向量的数量积公式，结合λ∈[12, 2]，利用基本不等式，即可求OP →⋅OQ →的最大值．【解答】解：(1)由题意得，{2c =2,a 2c=2, 解得：c =1，a 2=2，∴ b 2=a 2−c 2=1．∴ 椭圆C 的方程为：x 22+y 2=1.(2)∵ P(0, 1)，F 1(−1, 0)，∴ 直线PF 1的方程为x −y +1=0．由{x −y +1=0,x 22+y 2=1, 解得{x =0,y =1, 或{x =−43,y =−13,∴ 点Q 的坐标为(−43,−13)．设过P ，Q ，F 2三点的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，则{1+E +F =0,1+D +F =0,179−43D −13E +F =0, 解得{D =13,E =13,F =−43, ∴ 所求圆的方程为x 2+y 2+13x +13y −43=0；(3)设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则F 1P →=(x 1+1,y 1),QF 1→=(−1−x 2,−y 2)，∵ F 1P →=λQF 1→，∴ {x 1+1=λ(−1−x 2),y 1=−λy 2,即{x 1=−1−λ−λx 2,y 1=−λy 2,∴ {(−1−λ−λx 2)22+λ2y 22=1,x 222+y 22=1,解得：x 2=1−3λ2λ． ∴ OP →⋅OQ →=x 1x 2+y 1y 2=x 2(−1−λ−λx 2)−λy 22=−λ2x 22−(1+λ)x 2−λ =−λ2(1−3λ2λ)2−(1+λ)⋅1−3λ2λ−λ =74−58(λ+1λ)．∵ λ∈[12, 2]，∴ λ+1λ≥2√λ⋅1λ=2， 当且仅当λ=1λ，即λ=1时取等号．∴ OP →⋅OQ →≤12． 即OP →⋅OQ →的最大值为12．【答案】解：(1)由题意a n 2+b n a n−12=2n +1，由于b n =(−1)n ，所以：a n 2+(−1)n a n−12=2n +1，则有a 2k 2+a 2k−12=4k +1，则：a 22+a 12=4×1+1，a 42+a 32=4×2+1，a 62+a 52=4×3+1，a 82+a 72=4×4+1，所以：a 12+a 22+a 32+⋯+a 82 =4(1+2+3+4)+4=44．(2)a n 2−a n−12=2n +1，所以a 22−a 12=5，a 32−a 22=7，a 42−a 32=9，…a n 2−a n−12=2n +1，则a n2−a 12=(2n+1+5)(n−1)2， 所以a n 2=(2n+1+5)(n−1)2+4=(n +1)2(n ≥2)，由于数列的各项为正值，所以：a n =n +1．由于a 1=2（符合上式），故：a n =n +1．所以S n =2n −1，T n =√2×3×4×⋯×(n +1)，下面比较S n 和T n 的大小．有S 1T 1=√22，S 2T 2=√62，S 3T 3=7√612， 当n ≥3时，设c n =S n T n， 所以c n+12c n 2=T n 2T n+12⋅S n+12S n 2=(2n+1−1)2(n+2)(2n −1)2， 记2n =t ≥8，(n +2)(2n −1)2−(2n+1−1)2≥5(t −1)2−(2t −1)2=t 2−6t +4>0， n ≥3,c n+12c n 2<1，故数列{c n 2}为递减数列．n ∈N +,(S n T n )max =7√612．综上所述：λ≥7√612, 所以λ最小值为7√612． 【考点】函数恒成立问题数列的求和【解析】（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出关系式的值． （2）利用比较法和赋值法求出数列的各项的和，进一步确定参数的值．【解答】解：(1)由题意a n 2+b n a n−12=2n +1，由于b n =(−1)n ，所以：a n 2+(−1)n a n−12=2n +1，则有a 2k 2+a 2k−12=4k +1，则：a 22+a 12=4×1+1，a 42+a 32=4×2+1，a 62+a 52=4×3+1，a 82+a 72=4×4+1，所以：a 12+a 22+a 32+⋯+a 82 =4(1+2+3+4)+4=44．(2)a n 2−a n−12=2n +1，所以a 22−a 12=5，a 32−a 22=7，a 42−a 32=9，…a n 2−a n−12=2n +1，则a n2−a 12=(2n+1+5)(n−1)2， 所以a n 2=(2n+1+5)(n−1)2+4=(n +1)2(n ≥2)，由于数列的各项为正值，所以：a n =n +1．由于a 1=2（符合上式），故：a n =n +1．所以S n =2n −1，T n =√2×3×4×⋯×(n +1)，下面比较S n 和T n 的大小．有S 1T 1=√22，S 2T 2=√62，S 3T 3=7√612， 当n ≥3时，设c n =S n T n， 所以c n+12c n 2=T n 2T n+12⋅S n+12S n 2=(2n+1−1)2(n+2)(2n −1)2， 记2n =t ≥8，(n +2)(2n −1)2−(2n+1−1)2≥5(t −1)2−(2t −1)2=t 2−6t +4>0， n ≥3,c n+12c n 2<1，故数列{c n 2}为递减数列．n∈N+,(S nT n )max=7√612．综上所述：λ≥7√612,所以λ最小值为7√612．【答案】(1)解：当a=0时，f(x)=x3−3x2+3，f′(x)=3x2−6x；当f′(x)>0时，x>2或x<0；当f′(x)<0时，0<x<2；即函数f(x)的单调增区间为(−∞, 0)，(2, +∞)；单调减区间为(0, 2)；又f(−1)=−1<0，f(0)=3>0，f(2)=−1<0，f(3)=3>0，所以f(x)有3个零点．(2)证明：因为f(x)=f(x1)，则x3−3x2+ax+3=x13−3x12+ax1+3，可知x3−3x2+ax=x13−3x12+ax1．因为f′(x1)=0，即a=6x1−3x12，即x3−x13+3x12−3x2+ax−ax1=(x−x1)[x2+x(x1−3)−2x12+3x1]=(x−x1)2(x+2x1−3)=0．可知x3=3−2x1，同理，由f(x)=f(x2),可知x3−x23+3x22−3x2+ax−ax2=(x−x2)[x2+x(x2−3)−2x22+3x2]=(x−x2)2(x+2x2−3)=0；得到x4=3−2x2；x4−x1 x3−x2=3−2x2−x13−2x1−x2=1−x21−x1=1−(2−x1)1−x1=−1．(3)证明：要证f(x)=x3−3x2+ax+3>lnx，即要证x3−3x2+3>lnx−ax．设u(x)=x3−3x2+3(x>0)，则u′(x)=3x2−6x；当u′(x)>0时，x>2；当u′(x)<0时，0<x<2；可知[u(x)]min=u(2)=−1；再设v(x)=lnx−ax(x>0)，则v′(x)=1x−a；当v′(x)>0时，0<x<1a；当v′(x)<0时，x>1a；可知，[v(x)]max=v(1a)=−lna−1．因为a≥1，≤1，−lna−1≤−1，所以1a和2处取最大值和最小值，且v(x)和u(x)分别在1a因此v(x)<u(x)恒成立，即当a≥1时，f(x)>lnx．【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）当a=0时，求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得f(x)的单调区间及函数的零点的个数；（2）由题意可知：f(x)=f(x1)，由a=6x1−3x12，即可求得x3=3−2x1，同理求得x4=3−2x2，即可求得x4−x1为定值；x3−x2（3）方法1：由题意可知：要证f(x)=x3−3x2+ax+3>lnx，即要证x3−3x2+ 3>lnx−ax，构造函数，求导，根据函数单调性与导数的关系，即可求证当a≥1时，f(x)>lnx．方法2：由题意可知：当x>0时，lnx≤x−1，当a≥1时，x3−3x2+ax+3≥x3−3x2+x+3，采用放缩法，即可证明f(x)>lnx．【解答】(1)解：当a=0时，f(x)=x3−3x2+3，f′(x)=3x2−6x；当f′(x)>0时，x>2或x<0；当f′(x)<0时，0<x<2；即函数f(x)的单调增区间为(−∞, 0)，(2, +∞)；单调减区间为(0, 2)；又f(−1)=−1<0，f(0)=3>0，f(2)=−1<0，f(3)=3>0，所以f(x)有3个零点．(2)证明：因为f(x)=f(x1)，则x3−3x2+ax+3=x13−3x12+ax1+3，可知x3−3x2+ax=x13−3x12+ax1．因为f′(x1)=0，即a=6x1−3x12，即x3−x13+3x12−3x2+ax−ax1=(x−x1)[x2+x(x1−3)−2x12+3x1]=(x−x1)2(x+2x1−3)=0．可知x3=3−2x1，同理，由f(x)=f(x2),可知x3−x23+3x22−3x2+ax−ax2=(x−x2)[x2+x(x2−3)−2x22+3x2]=(x−x2)2(x+2x2−3)=0；得到x4=3−2x2；x4−x1 x3−x2=3−2x2−x13−2x1−x2=1−x21−x1=1−(2−x1)1−x1=−1．(3)证明：要证f(x)=x3−3x2+ax+3>lnx，即要证x3−3x2+3>lnx−ax．设u(x)=x3−3x2+3(x>0)，则u′(x)=3x2−6x；当u′(x)>0时，x>2；当u′(x)<0时，0<x<2；可知[u(x)]min=u(2)=−1；再设v(x)=lnx−ax(x>0)，则v′(x)=1x−a；当v′(x)>0时，0<x<1a；当v′(x)<0时，x>1a；可知，[v(x)]max=v(1a)=−lna−1．因为a≥1，所以1a≤1，−lna−1≤−1，且v(x)和u(x)分别在1a和2处取最大值和最小值，因此v(x)<u(x)恒成立，即当a≥1时，f(x)>lnx．。

江苏省苏州市2018届高三期初调研数学试卷(含答案)

江苏省苏州市2018届高三期初调研数学试卷(含答案)

苏州市2018届高三暑假自主学习测试试卷数学I (试题）注意事项：1.本试卷共4页.满分160分，考试时间120分钟。

2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效。

3.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

1.已知集合 A= {xl-2<x<l},B= {-1,0,1},则 A∩B= 。

2.已知),,(32为虚数单位i R b a i ibi a ∈+=-+，则a + b 的值是 . 3.运行如图所示的流程图，则输出的结果S 是 .4.有五条线段，其长度分别为2,3,4,5,7，现任取三条，则这三条线段可以构成三角形的的概率是.5.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据 整理后，画出了频率分布直方图（如图），巳知图中从左到右的前3个 小组的频率之比为1 : 2 : 3,第2小组的频数为12,则报考飞行员的学生人数 . 6.若双曲线122=-y mx ( m > 0)的右焦点与抛物线y= 8x 的焦点重合，则m 的值是 .7. 将函数)<<0)(2sin(πϕϕ+=x y 的图象沿x 轴向左平移8π个单位，得到函数)(x f y =的图象，若函数)(x f y =的图象过原点，则ϕ的值是 .8.已知平面向量a=(2,1), a•b=10,若|a +b|=25,则|b|的值是 .9.如图，正四棱锥P -ABCD 的底面一边AB 的长为32cm ，侧面积为38cm 2 ,则它的体积为 cm 3.10.已知函数b a abx x x f 2)(2+++=。

若4)0(=f ,则)1(f 的最大值是 .11.等差数列{a n }的前 n 项和为S n ，且 a n -S n = n 2-16n+15(n≥2,n∈N * )，若对任意n∈N *，总有S n ≤S k ,则k 的值是. 12.已知点A(1,0)和点B(0,1)，若圆x 2 + y 2 - 4x - 2y + t = 0上恰有两个不同的点P ，使得△PA B的面积为21，则实数t 的取值范围是 . 13.已知函数x a x x f +=)( (a > 0)，当x∈ [1,3]时，函数)(x f 的值域为A ，若A ∈[8,16]，则a 的值是 .14.设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当x > 0时，xx f 2)(=，若对任意的x∈ [a,a + 2]，不等式)()(2x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

江苏省苏州市数学高考理数三模考试试卷

江苏省苏州市数学高考理数三模考试试卷

江苏省苏州市数学高考理数三模考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知，为虚数单位，若，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知集合P={log2x4，3}，Q={x，y}，若P∩Q={2}，则P∪Q等于（）A . {2，3}B . {1，2，3}C . {1，﹣1，2，3}D . {2，3，x，y}3. （2分）下图所示的程序的输出结果为sum＝132，则判断框中应填（）A . i≥10B . i≥11C . i≤11D . i≥124. （2分）(2017·平谷模拟) 若将函数的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一上·武汉期末) 对于任意向量、、，下列命题中正确的有几个（）（1）| • |=| || |（2）| + |=| |+| |（3）（• ） = （• ）（4）• =| |2 ．A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分）设等差数列满足，则m的值为（）A . 6B . 12C . 13D . 267. （2分） (2016高二上·郴州期中) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 24B . 16+C . 40D . 308. （2分） (2019高一上·九台期中) 函数的图象大致是（）A .B .C .D .9. （2分）已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（）A .B . 100πC .D . 50π10. （2分）不等式组的解集是{x|x＞2}，则实数a的取值范围是（）A . a≤﹣6B . a≥﹣6C . a≤6D . a≥611. （2分）(2018·商丘模拟) 高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区，每名同学任选一个景区游览，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有（）A . 种B . 种C . 种D . 种12. （2分） (2017高三上·韶关期末) 设双曲线以椭圆 =1长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点，则双曲线的渐近线的斜率为（）A . ±B . ±C . ±D . ±二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·阿拉善盟模拟) 在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率，则在内取值的概率为________.14. （1分）的展开式中x2项的系数是15，则展开式的所有项系数的和是________15. （1分）(2017·南阳模拟) 双曲线C：与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，直线AB恰好经过它们的公共焦点F，则双曲线的离心率为________．16. （1分）函数f(x)=-2tanx+m,x[,]有零点，则实数m的取值范围是________ ．三、解答题 (共7题；共45分)17. （5分） (2019高三上·和平月考) 设椭圆的右顶点为，上顶点为 .已知椭圆的离心率为， .（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线：与椭圆交于，两点，且点在第二象限. 与延长线交于点，若的面积是面积的3倍，求的值.18. （5分）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．求该射手恰好命中一次得的概率.19. （10分）如图，在矩形ABCD中，，沿对角线BD将三角形ABD向上折起，使点A移至点P，且点P在平面BCD上的射影O在DC上，（1）求证：BC⊥PD；（2）若M为PC的中点，求二面角B﹣DM﹣C的大小．20. （5分）设三个数， 2，成等差数列，其中（x，y）对应点的曲线方程是C．（1）求C的标准方程；（2）直线l1：x﹣y+m=0与曲线C相交于不同两点M，N，且满足∠MON为钝角，其中O为直角坐标原点，求出m的取值范围．21. （5分） (2016高一上·温州期末) 已知函数（a∈R）．（Ⅰ）当时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意的x＞0恒成立，求a的取值范围．22. （10分）(2017·仁寿模拟) 以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线A与曲线C相交于A，B两点，已知定点P（，0），当α= 时，求|PA|+|PB|的值．23. （5分）已知函数f（x）=|x﹣m|+|x+6|（m∈R）（Ⅰ）当m=5时，求不等式f（x）≤12的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥7对任意实数x恒成立，求m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共45分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、。

江苏省苏州市2018-2019学年高三(下)3月段考数学试卷(原创解析)

江苏省苏州市2018-2019学年高三(下)3月段考数学试卷(原创解析)

1100223I While I I I S I End While ←<←+←+江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试（解析版）2019.3数 学 Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合A = {1，m }，B = {2，3}，若A ∩B ={3}，则m = ▲ ． 答案： 3解析：因为A ∩B ={3}，所以m =32．已知复数z 满足()12i 3i z +=-（其中i 为虚数单位），则||z 的值为 ▲ ． 答案解析：3i (3)(12)1712555i i z i i ---===-+，||z ==3．将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的的概率是 ▲ ． 答案： 536解析：点数之和是6包括(15)(24)(33)(42)(15)，，，，，，，，，共5种情况，则所 求概率是536．4．一支田径队有男运动员人,女运动员人,现按性别用分层抽样的方法,从中抽取位运动员进行健康检查,则男运动员应 抽取 ▲ 人. 答案： 8 解析：略282114x 0 5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．答案： 205解析：21013205S =⨯+=6．命题“存在x ∈R ，使x 2+ax ﹣4a ＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 答案： 160a -≤≤解析：命题：“存在x ∈R ，使x 2+ax ﹣4a ＜0”为假命题，所以命题的否定是真命题，即240x ax a +-≥恒成立，0160a ∴∆≤∴-≤≤.7．已知函数sin(),(0,0,)y A x A ωφωφπ=+>><的图象如图所示，则该函数的解析式是___▲__. 答案：解析：略8．若函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f ln )(=，则不等式e x f -<)(的解集为 ▲ ． 答案： (,-∞-e).解析： 11()ln 1,(0,,(,),().f x x f e e e e'=++∞=为减区间为增区间 由于)(x f 是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是(,-∞-e) .9．四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，PA = 点E 为棱CD 上一点，则三棱锥E －PAB 的体积为 ▲ . 答案：解析：11123332ABE V S AD ∆=⋅=⨯⨯⨯=10．若函数 0,2,()0ln ,≤x x x f x x ax x ⎧+=⎨>-⎩在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为 ▲ ．答案： 1e解析：易知函数()f x 在(],0-∞上有一个零点，所以由题意得方程ln 0ax x -=在()0+∞，上恰有一解，即ln x a x =在()0+∞，上恰有一解. 令ln ()x g x x =，21ln ()0x g x x-'==，得e x =，当()0,e x ∈时，()g x 单调递增，当()e,+x ∈∞时，()g x 单调递减，所以()1e ea g ==.11．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，1a =110p q -=，则p q a a -= ▲ .答案： 15解析：等差数列公差为d ，由题意知0d >，因为04536442=--d d所以，12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ， AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为 ▲ . 答案：[,22)3解析：设CA=x,则PQ=2CPcos<CAP=([3,))x ∈+∞,据此可得2PQ ≤< .13．若x y z ,,均为正实数，且2221x y z ++=，则2(1)2z xyz+的最小值为 ▲ ．答案：3+解析：注意到：222x y xy +≥，考虑保留z ，构造关于z 的一元二次不等式；设2(1)2z t xyz +=，则2(1)2z xy tz+=，且0t >；结合题设，有22(1)1z z tz+-≥，即2(1)(1)(1)t z z z z -+≥+；再由题设知：01z <<；有10z +>，10z ->,∴(1)1tz z z -≥+即2211112(1)(1)3(1)23[(1)]1z z z t z z z z z z z z +++≥===--+-+++--+++；∴考察上式右端分母的最小值为3-，从而右端的最大值为3+；故所求式子的最小值为3+．14．设集合{,222,xy t x y M a a t+==+=其中,,,x y t a 均为整数}，则集合M = ▲ . 答案： {0,1,3,4}解析：由222x y t +=得1221y x t x --+=>，则t x >，且指数均为整数，因此右边一定为偶数，则左边21y x -=即y x =，且1222t x -==即1t x =+. 22211x y x a t x x +===-++为整数，则1x +为2的约数，则3,2,0,1x =--，3,4,1,0a =.故M ={0，1，3，4}.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15. （本小题满分14分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。

江苏省苏州市2018-2019学年高三(下)3月段考数学试卷--含答案解析

江苏省苏州市2018-2019学年高三(下)3月段考数学试卷--含答案解析

1100223Pr int I While I I I S I End While S←<←+←+（第5题）江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试数 学 Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合A = {1，m }，B = {2，3}，若A ∩B ={3}，则m = ▲ ． 答案： 3解析：因为A ∩B ={3}，所以m =32．已知复数z 满足()12i 3i z +=-（其中i 为虚数单位），则||z 的值为 ▲ ． 答案 解析：3i (3)(12)1712555i i z i i ---===-+，149||22525z =+=3．将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的的概率是 ▲ ． 答案： 536解析：点数之和是6包括(15)(24)(33)(42)(15)，，，，，，，，，共5种情况，则所 求概率是536．4．一支田径队有男运动员人,女运动员人,现按性别用分层抽样的方法,从中抽取位运动员进行健康检查,则男运动员应 抽取 ▲ 人. 答案： 8 解析：略5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．282114x y 21 -20 712π-答案： 205解析：21013205S =⨯+=6．命题“存在x ∈R ，使x 2+ax ﹣4a ＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 答案： 160a -≤≤解析：命题：“存在x ∈R ，使x 2+ax ﹣4a ＜0”为假命题，所以命题的否定是真命题，即240x ax a +-≥恒成立，0160a ∴∆≤∴-≤≤.7．已知函数sin(),(0,0,)y A x A ωφωφπ=+>><的图象如图所示，则该函数的解析式是___▲__. 答案：解析：略8．若函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f ln )(=，则不等式e x f -<)(的解集为 ▲ ． 答案： (,-∞-e).解析： 11()ln 1,(0,),(,),().f x x f e e e e'=++∞=为减区间为增区间 由于)(x f 是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是(,-∞-e) .9．四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，3PA = 点E 为棱CD 上一点，则三棱锥E －PAB 的体积为 ▲ . 答案：解析：1112333332ABE V S AD ∆=⋅=⨯⨯⨯= 10．若函数 0,2,()0ln ,≤x x x f x x ax x ⎧+=⎨>-⎩在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为 ▲ ．答案： 1e解析：易知函数()f x 在(],0-∞上有一个零点，所以由题意得方程ln 0ax x -=在()0+∞，上恰有一解，即ln x a x =在()0+∞，上恰有一解. 令ln ()x g x x =，21ln ()0x g x x -'==，得e x =，当()0,e x ∈时，()g x 单调递增，当()e,+x ∈∞时，()g x 单调递减，所以()1e ea g ==.11．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，1a =1，且34115,,2a a a +成等比数列．若10p q -=，则p q a a -= ▲ .答案： 15解析：等差数列公差为d ，由题意知0d >，因为34115,,2a a a +成等比数列，所以243115()2a a a +=，所以，04536442=--d d 所以315(),222d d ==-舍去 所以312n n a -=.所以，12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ， AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为 ▲ . 答案：[,22)3解析：设CA=x,则PQ=2CPcos<CAP=2221([3,))x x -∈+∞,据此可得214222PQ ≤< .13．若x y z ,,均为正实数，且2221x y z ++=，则2(1)2z xyz+的最小值为 ▲ ．答案： 322+解析：注意到：222x y xy +≥，考虑保留z ，构造关于z 的一元二次不等式；设2(1)2z t xyz +=，则2(1)2z xy tz+=，且0t >；结合题设，有22(1)1z z tz+-≥，即2(1)(1)(1)t z z z z -+≥+；再由题设知：01z <<；有10z +>，10z ->,∴(1)1tz z z -≥+即2211112(1)(1)3(1)23[(1)]1z z z t z z z z z z z z +++≥===--+-+++--+++； ∴考察上式右端分母的最小值为322-，从而右端的最大值为322+；故所求式子的最小值为3+．14．设集合{,222,xy t x y M a a t+==+=其中,,,x y t a 均为整数}，则集合M = ▲ .答案： {0,1,3,4}解析：由222x y t +=得1221y x t x --+=>，则t x >，且指数均为整数，因此右边一定为偶数，则左边21y x -=即y x =，且1222t x -==即1t x =+. 22211x y x a t x x +===-++为整数，则1x +为2的约数，则3,2,0,1x =--，3,4,1,0a =.故M ={0，1，3，4}.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15. （本小题满分14分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。

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2018年江苏省苏州市高考数学三模试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.
1．(★)已知集合A={-1，3，m}，B={3，5}，若B⊆A，则实数m的值为．
2．(★)已知i是虚数单位，复数的实部与虚部互为相反数则实数a的值为．
3．(★)从某小区抽取100户居民进
行月用电量调查，发现其用电量都在50度到350度之间，频率分布直方图如图所示．则在这些用户中，用电量落在区间[200，250）内的户数为．
4．(★★)从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是．
5．(★★★)如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为．
6．(★★)已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为．
7．(★★★)若不等式组，所表示的平面区域被直线y=kx+ 分为面积相等的两
部分，则k的值是．
8．(★★★)若数列{a n}的前n项和S n满足（n∈N *），则a 4的值
为．
9．(★★★)现用一半径为10cm，面积为80πcm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假
定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 cm 3．
10．(★★★)已知向量=（1，2），=（-2，-4），| |= ，若（+ ）= ，
则与的夹角为．
11．(★★★)设正实数x，y满足，则y的最小值是．
12．(★★★)已知圆C：x 2+（y-4）2=4和点Q（2，2），过点P（0，3）作直线l交圆于A，B两点，则的取值范围是．
13．(★★★)如果函数y=f（x）在其定义域内总存在三个不同实数x 1，x 2，x 3，满足|x i-
2|f（x i）=1（i=1，2，3），则称函数f（x）具有性质Ω．已知函数f（x）=ae x具有性质Ω，则实数a的取值范围为．
14．(★★★)已知实数a，b，c∈[-2，2]，且满足a+b+c=0，则a 3+b 3+c 3的取值范围
是．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要
的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(★★★)已知△ABC中，若角A，B，C对应的边分别为a，b，c，满足
，b=1．
（1）若△ABC的面积为，求a；
（2）若，求△ABC的面积．
16．(★★★)如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，
ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，点P为DN的中点，点E为AB的中点．
（1）求证：BD⊥MC；
（2）求证：AP∥平面NEC．
17．(★★★★)如图是一“T”型水渠的平面
视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m，东西向渠宽（从拐角处，即图中A，B处开始）．假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）．（1）在水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两点，且与水渠的一边的夹角为
，将线段PQ的长度l表示为θ的函数；
（2）若从南面漂来一根长为7m的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由．
18．(★★★)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0）的左、右焦点
分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x=2．P为椭圆C上一点，直线PF 1交椭圆C于另一点Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P的坐标为（0，b），求过P，Q，F 2三点的圆的方程；
（3）若=λ，且λ∈[ ，2]，求•的最大值．
19．(★★★★)已知数列{a n}，{b n}满足：对于任意的正整数n，当n≥2时，
．
（1）若，求的值；
（2）若数列{a n}的各项均为正数，且a 1=2，b n=-1，设，
，若对任意n∈N *，恒成立，求λ的最小值．
20．(★★★★)已知函数f（x）=x 3-3x 2+ax+3，f（x）在x 1处取极大值，在x 2处取极小值．
（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间和零点个数；
（2）在方程f（x）=f（x 1）的解中，较大的一个记为x 3；在方程f（x）=f（x 2）的解中，较小的一个记为x 4，证明：为定值；
（3）证明：当a≥1时，f（x）＞lnx．。

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