数学中符号化思想方法共32页
符号化思想
3月20号接到学校的通知，我们组对《符号化思想》在教材中的体现进行了集体讨论，重点从符号化思想在小学数学教材中的体现、符号化思想在小学数学教学中的渗透两方面进行了讨论学习，并把讨论结果整理如下：一、符号化思想在小学数学教材中的体现1、在教学中引入数学符号（1 ）个体符号：如数字：1 、2 、3 、4 …, 0 ；字母：a 、b 、c …，已知量：a 、b 、c …，常量：π变量：x（2 ）表示一类数的符号：表示小数、分数、负数、百分数（“ . ”、“——”、“－”、“％”）（3 ）数的运算符号：＋, －, ?, ?( / 、∶)（4 ）关系符号: =, ≈, >, <, ≠等。
（5 ）结合符号（体现运算等级）：( ) 、[ ] 、{ }（6 ）表示角度的计量单位和等符号。
2、用符号代表数到小学四年级, 在“简易方程”这一部分内容向学生提出用字母表示数，引入了用字母表示数的思想。
它的实质是一种抽象化，其目的是为了更深刻地探索、揭示数学规律，达到更准确、更简洁地表达数学规律，在较大范围内肯定数学规律的正确性。
这部分内容关键是要让学生理解用字母表示数的思想。
在数学语言中，像数字以及表示数字的字母，都是用数学语言刻画各种现实问题的基础。
用具体的数和运算符号所组成的式子只能表示个别具体的数量之间的关系，而用字母表示，既简单明了，又能概括出数量关系的一般规律，在较大范围内肯定了数学规律的正确性。
使学生明白用字母表示数的好处,然后帮助学生实现观点的转变,理解字母的抽象化、一般化的特点,为以后列方程解应用题打下扎实的基础.在数学中各种数量之间的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都可以用字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息，如乘法分配律(a＋b)×c＝a×c＋b×c，这里的a、b、c不仅可以表示1、2、3……等这些整数，也可以表示小数或者分数，另外在乘法交换律和结合律时也运用了字母表达式。
离散数学符号化技巧
离散数学符号化技巧离散数学符号化技巧是指在离散数学中,使用符号和符号语言来表达数学概念和运算,以提高表达清晰度、可读性和可理解性。
以下是一些离散数学符号化技巧的例子和拓展。
1. 符号表示变量和常量:在离散数学中,常量和变量可以使用符号来表示。
例如,用符号“x”表示变量“x”,用符号“c”表示常量“c”。
符号的使用可以提高表达清晰度,使得读者更容易理解变量和常量的含义。
2. 符号表示逻辑运算:在离散数学中,逻辑运算可以使用符号来表示。
例如,用符号“”表示否定,用符号“→”表示逻辑关系,用符号“?”表示疑问。
符号的使用可以提高表达清晰度和可读性,使得读者更容易理解逻辑运算的含义。
3. 符号表示代数运算:在离散数学中,代数运算可以使用符号来表示。
例如,用符号“+”表示加法,用符号“-”表示减法,用符号“*”表示乘法,用符号“/”表示除法。
符号的使用可以提高表达清晰度和可读性,使得读者更容易理解代数运算的含义。
4. 符号表示图论中的概念:在离散数学中,图论中的概念可以使用符号来表示。
例如,用符号“Edge”表示边,用符号“Node”表示节点,用符号“path”表示路径。
符号的使用可以提高表达清晰度和可读性,使得读者更容易理解图论中的概念。
5. 符号表示集合的概念:在离散数学中,集合的概念可以使用符号来表示。
例如,用符号“{x|x=k}"表示集合“{x|x=k}"中包含的元素“x”,其中“k”表示一个常数。
符号的使用可以提高表达清晰度和可读性,使得读者更容易理解集合的概念。
符号化是离散数学中非常重要的概念,可以提高表达清晰度、可读性和可理解性。
在离散数学中,使用符号来表示变量、逻辑运算、代数运算、图论中的概念和集合的概念等,都是非常常见的符号化技巧。
小学数学符号化
小学数学符号化数学符号化思想主要有下面的几层含义：1.人们有意识地、普遍地运用符号去概括、表述、研究数学；2.研究符号能够生存的条件，即反复选择用怎样的符号才能简洁、准确地反映数学概念的本质，有利于数学的发现和发展，且方便于打字、印刷等等；3.数学符号已经过人工筛选与改造，形成一种约定的、规范的、形式化的系统。
符号化思想的渗透在小学数学教科书中是根据不同的教学阶段的具体情况进行的。
渗透主要是从如下几方面作了有计划、有步骤的安排。
即：1.变元的思想。
变元思想是根据小学生的年龄特点和知识水平，采取不同的形式进行渗透，旨在让学生逐步了解变元的思想。
例如，九年义务教育五年制小学教科书数学第一册第10页就有“□”出现在算式中。
第二册教科书中，就出现借用方格子“□”或括号“（）”等代替变元符号“x”，让小学生在其中填上合适的数。
例如，6-□＞4 8＜14-□12＞7+□ 8+□＜118＜14-□ 10+□＜13诚然，这样的题目我们教师只要求小学生在“方格中”填进一个合适的数，但我们必须明白，如果把“□”换成“x”，那么，上述的算式是不等式，变元x有确定的取值范围。
我们应当明白编教科书的意图，符号“□”在这里只起着“位置占有者”的作用。
目的是引导学生去思考问题，解决一些有趣的问题，借此，发展学生的思维能力。
2.用字母表示数的思想。
小学数学教科书中的“简易方程”这一部分内容向学生提出用字母表示数。
它的实质是一种抽象化。
其目的是为了更深刻地探索、揭示数学规律，达到更准确、更简洁地表达数学规律，在较大范围内肯定数学规律的正确性。
比如，加法的交换律用a+b=b+a，圆面积用S=πr2表示等。
3.列方程解应用题的思想。
用方程解法来解答应用题，解法本身蕴含着符号化思想，它主要体现在如下几个方面：（1）代数假设，用字母代替未知数，与已知数平等地参与运算；（2）代数翻译。
把题中自然语言表述的已知条件，译成用符号化语言表述的方程。
数学符号化思想
（3）一个表达式中的数学符号体系要统一。
60°”，因为这样就把弧度制和角度制两种不同的表示角度的符号混写在一起了。
（4）遵守数学符号书写的大小的习惯，不要把常用的数学符号写得过大或过小，或与一般写法不同。一般的习惯写法是：
“+”、“-”、“×”、“÷”、“=”都在数行中占据一个字的位置。比如3+4=7，有的学生把“=”这个符号写成“”或“==”都是不符合书写要求的。
二、小学数学中的符号。
知识领域Hale Waihona Puke 数与代数知识点数的表示
数的运算应用举例
阿拉伯数字：0～9
中文数字：一～十
百分号：％
用数轴表示数应用拓展千分号：‰+、－、×、÷、( )﹝﹞
﹛﹜²（平方）³（立方）
数的大小关系
运算定律
方程
数量关系＝、≈、>、<
加法交换律：a+b=b+a
加法结合律：a+b+c=a+(b+c)
1.变元的思想。
变元思想是根据小学生的年龄特点和知识水平，采取不同的形式进行渗透，旨在让学生逐步了解变元的思想。例如，九年义务教育五年制小学教科书数学第一册第10页就有“□”出现在算式中。第二册教科书中，就出现借用方格子“□”或括号“（）”等代替变元符号“x”，让小学生在其中填上合适的数。
例如，
几种小学数学中常用的思想方法.
几种小学数学中常用的思想方法：⑴符号化思想数学发展到今天，已成为一个符号化的世界。
符号就是数学存在的具体化身。
英国著名数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。
”数学离不开符号，数学处处要用到符号。
怀特海曾说：“只要细细分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便，甚至是必不可少的。
”数学符号除了用来表述外，它也有助于思维的发展。
如果说数学是思维的体操，那么，数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。
现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透。
教材从一年级就开始用“□”或“（）”代替变量 x ，让学生在其中填数。
例如：1 +2 = □ ，6 +（）=8 ，7 = □+□+□+□+□+□+□再如：学校有7个球，又买来4个。
现在有多少个？要学生填□ ○ □ = □ （个）。
10 - □ 6 ，12 □+ 8等等。
到小学四年级，在教学“加、减法各部分间的关系”这部分内容时，出现用字母 x 表示数的思想。
如：求 x + 15 = 40中的未知数 x 。
这部分内容关键是要让学生理解用字母x表示数的思想。
教师可通过实例，使学生明白用字母表示数的好处，然后帮助学生实现观点的转变，理解字母抽象化、一般化的特点，为以后列方程解应用题打下扎实的基础。
符号化思想在小学数学内容中随处可见，教师要有意识地进行渗透。
数学符号是抽象的结晶与基础，如果不了解其含义与功能，它如同“天书”一样令人望而生畏。
因此，教师在教学中要注意学生的可接受性。
⑵极限思想战国时代的《庄子·天下》篇中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”充满了极限思想。
古代杰出的数学家刘徽的“割圆术”就是利用极限思想来求得圆的周长的，他首先作圆内接正多边形，当多边形的边数越多时，多边形的周长就越接近于圆的周长。
刘徽总结出：“割之弥细，所失弥少。
割之又割以至于不可割，则与圆合体无所失矣。
”正是用这种极限的思想，刘徽求出了π，即“徽率”。
现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透。
谓词逻辑-符号化_
□
表示三:
] x(^ y(x$y3m)[^ y(x$y3n)>x31).
□
□
全部
□
例子2.4: 在自然数范围内, 假定m,n 是两个自然数, 使用逻辑符号、常元符 号 0,1,m,n , 加法符号 + , 乘法符号 $ 、等号 3 , 将以下事实 符号化:
n 是 m 的平方 n 是 m 的立方 n 是 m 的 k 次方. 其中 k 是常数 n 是 m 的 x 次方,其中 x 是变量
□
例子2.5: 在实数范围内, 使用逻辑符号、一元函数符号 f 、加法符号 + 、小
于符号 <、 等号 3 , 将以下事实符号化:
f 有两个零点
f 有三个零点
f 有无限多个零点 □
例子2.6: 在实数范围内, 使用逻辑符号、 常元符号 0 、常元符号 a 及 b 、 一元函数符号 f 、 绝对值符号 || 、减号 - 、 小于符号 <、 等 号3,将
谓词逻辑描述: ] x] y(x<y>^ z(x<z[z<y)). □
例子2.3: 在自然数范围内, 假定 m,n 是两个自然数,, 使用逻辑符号、常元 符号 0,1,m,n , 加法符号 + , 乘法符号 $ 、等号3 , 将以下事
实符号化:
m 小于等于 n 表示一: m5n. □ 表示二: ^ x(m+x3n). □ □
常见的数学事实可以表示为谓词逻辑语句这种表示有时是比较复杂一个命题有不同形式的符号化表示不同命题可能有相同的符号化表自然语言与形式语言是有差别的适当的技巧可以避免自然语言中的无界描述无限描述
符号化
要点 符号化的基本要点及数学技巧 逻辑公式的初步性质 □
小学数学教材中符号化思想体现在哪些方面
小学数学教材中符号化思想体现在哪些方面?新课程标准中指出“: 课程内容的学习, 强调学生的数学活动, 发展学生的数感, 符号感, 空间观念, 统计观念, 以及应用意识与推理能力。
还指出符号感主要表现在: 能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律并用符号来表示;理解符号所表达的数量关系和变化规律; 会进行符号间的转换, 能选择适当的程序和方法来解决用符号所表达的问题。
”从上面我们可以看出新课标非常重视符号感的培养。
现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透，这种思想的渗透是根据不同教学阶段的具体情况进行的。
一. 引入了一些数学符号（ 1 ）个体符号：如数字：1 、 2 、 3 、 4 … , 0 ；字母：a 、 b 、 c …，已知量：a 、 b 、 c …，常量：π，变量：x（ 2 ）表示一类数的符号：表示小数、分数、负数、百分数（“ . ”、“——”、“－”、“％”）（ 3 ）数的运算符号：＋ , － , ?, ?( / 、∶ )（ 4 ）关系符号 : =, ≈ , >, <, ≠等。
（ 5 ）结合符号（体现运算等级）：( ) 、 [ ] 、 { }（ 6 ）表示角度的计量单位和等符号。
这些符号的引入是根据小学生的年龄、思维特点按照一定顺序、符合一定的逻辑、有步骤的引入的。
例如，初入学儿童在学习 1―5 的认识时, 教材并没有直接呈现 1 到 5 这些数字让学生通过不断的识记背诵来记住它们，而是通过实物、画片，在具体情境中数“出 1 ”头象，“2”头犀牛, “3”只长颈鹿，“4”朵云……，然后呈现数, 这样能使学生把物和数字符号对应起来，让学生充分认识到数学符号所表示的意义，为学生以后的数学学习奠定了基础。
这就是新课标下的小学数学教材在处理符号在教材中渗透的一个亮点。
二. 用符号代表数引进用字母表示数，是用符号表示数量关系和变化规律的基础。
用符号表示具体情境中的数量关系，也像普通语言一样，首先要引进基本字母。
什么是符号化思想
什么是符号化思想?符号化思想主要指人们习惯有意识地运用特定的符号去表述研究的对象。
合旦的符号可以清晰、准确、简化地表达数学思想、概念、方法和逻辑关系，避免日常语言的繁复沉长或模糊不清。
小学数学中的符号化思想主要表现在以下两方面：1、用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。
2、符号化思想主要指人们有意识地、普遍地运用符号去表述研究的对象。
符号化思想的重要作用：1、符号的重要性——符号无处不在，且便于交流。
2、符号的重要性——符号简明，且易于推理。
例如：算式（200-10）×10÷8如果用文字表述就是200与10的差，乘以10的积，最后再除以8，商是多少？用文字表述比较繁琐，稍不注意就会出错，而用数字符号表示出来简单明了。
五年级下册讲长方体和正方体的体积时，我先让学生用准备好的体积为1立方厘米的小正方体摆出不同的长方体，把不同的长方体的相关数据填在书中的表格中，然后让学生观察长方体的体积就是它所包含的体积单位的数量。
再仔细分析，长方体的长有几个小正方体，宽包含几个小正方体，高包含几个小正方体。
找出来之后，看这个长方体一个有几个小正方体，正好就是长方体长、宽、高包含的小正方体的数量的积。
那么长方体的体积=长×宽×高因为我们前面学过用字母表示数量。
所以，我又提出问题：“如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，那么长方体的体积公式可以写成什么呢？孩子们根据体积公式很容易的写成：V=abh数与形结合思想的含义：数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，这就是数与形结合思想。
数与形结合思想在数学学习过程中的作用：1、促进了学生形象思维和抽象思维的协调发展2、沟通了数学知识之间的联系, 从复杂的数量关系中凸显最本质的特征在教学中，如学习三年级数学广角时，有一道这样的练习题，小红、小丽、小刚、小明四个孩子，要求每两个人都握一次手，需要握多少次，每两个人都握了一次手并且没有重复。
符号化思想在小学数学课堂中的渗透策略
符号化思想在小学数学课堂中的渗透策略随着时代的发展和教育理念的不断更新，符号化思想在小学数学课堂中的渗透已经成为教育教学的重要内容之一。
符号化思想是指用符号表示数学对象，通过符号的运算和变换来揭示数学对象间的规律和性质，这种思想不仅是数学学科的独特特征，更是数学思维的重要组成部分。
在小学数学教学中，如何有效地渗透符号化思想，激发学生学习兴趣，提高学习效果，是当前教育工作者需要思考的重要问题。
本文将从教师角度出发，探讨在小学数学课堂中实施符号化思想渗透策略的具体做法。
一、建立符号化思想导向的教学目标小学数学课程以培养学生的数学思维和解决问题的能力为核心目标，因此在课程设置上要注重符号化思想的体现和渗透。
在教学目标的确定上，应注重培养学生对符号化思想的理解和应用能力，引导学生从具体的数学对象到符号的转化，从而深化对数学知识的理解。
在具体教学中，老师可以利用课前预习、课中讲解和课后练习等环节，逐步引导学生建立符号化思想导向的学习目标，提高学生的学习动机和学习兴趣。
二、引导学生建立符号化思维模式在小学数学课堂中，符号化思维模式的建立是符号化思想渗透的关键环节。
教师可以通过讲解和示范，引导学生从具体事物的认知向符号的认知转变，培养学生抽象、逻辑和推理能力。
在教学“加法”概念时，可以通过具体的实物和图形引导学生理解加法符号的含义，逐步提高学生的符号化思维水平。
教师还可以利用教学软件和多媒体手段，丰富课堂教学方式，增强学生对符号化思维模式的认识和理解。
三、采用启发式教学方法启发式教学方法是指通过提出问题、设立情境和组织活动等方式，激发学生的思维，引导学生主动探索和发现数学规律。
在小学数学课堂中，符号化思想的渗透需要借助启发式教学方法，引导学生根据具体情境和问题，运用符号化思想进行数学推理和解决问题。
在教学“代数方程式”的概念时，教师可以提出生活中的实际问题，引导学生用符号表示未知数，通过推理和变换求解方程，从而增强学生对符号化思想的理解和应用能力。
符号化思想──小学数学思想方法的梳理
符号化思想──小学数学思想方法的梳理数学思想和数学方法既有区别又有密切联系。
数学思想的理论和抽象程度要高一些，而数学方法的实践性更强一些。
人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法；而人们选择数学方法，又要以一定的数学思想为依据。
因此，二者是有密切联系的。
我们把二者合称为数学思想方法。
数学思想方法是数学的灵魂，那么，要想学好数学、用好数学，就要深入到数学的“灵魂深处”。
数学课程标准在总体目标中明确提出：“学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。
”这一总体目标贯穿于小学和初中，这充分说明了数学思想方法的重要性。
在小学数学阶段有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法可以加深学生对数学概念、公式、法则、定律的理解，提高学生解决问题的能力和思维能力，也是小学数学进行素质教育的真正内涵之所在。
同时，也能为初中数学思想方法的学习打下较好的基础。
在小学阶段，数学思想方法主要有符号化思想、化归思想、类比思想、归纳思想、分类思想、方程思想、集合思想、函数思想、一一对应思想、模型思想、数形结合思想、演绎推理思想、变换思想、统计与概率思想等等。
为了使广大小学数学教师在教学中能很好地渗透这些数学思想方法，笔者把这些思想方法比较系统地进行概括和梳理，明晰这些思想方法的概念，整理它们在小学数学各个知识点中的应用，以及了解每个思想方法的适当拓展。
一、符号化思想1．符号化思想的概念。
数学符号是数学的语言，数学世界是一个符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用；因为数学有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数学的普及和发展；国际通用的数学符号的使用，使数学成为国际化的语言。
符号化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。
2．如何理解符号化思想。
数学课程标准比较重视培养学生的符号意识，并提出了几点要求。
符号化思想在小学数学课堂中的渗透策略
符号化思想在小学数学课堂中的渗透策略
符号化思想是指用符号和符号运算来表示数学概念、关系和运算的思维方式。
它是数
学思维的重要组成部分，也是很多数学问题解决的必要手段。
在小学数学教学中，要想使学生掌握符号化思想，需要多方面的渗透策略。
以下是几
种常用的策略：
1.从实际问题出发，引入符号：教师可以借助生活中的实际问题，让学生通过思考来
发现符号化思想的存在。
例如，教师可以出一些常见的问题，如计算购物时的交钱找零等，让学生进行思考与交流。
通过这个过程，教师可以引导学生使用符号来简化运算，并将运
算规律总结成一些简单的式子和符号。
2.注重符号和概念的对应关系：在引入符号的过程中，需要注重符号和概念的对应关系。
教师应该让学生知道每个符号所代表的数学概念、性质及其相互关系。
例如，在教学
过程中，可以引导学生制定符号的使用规则及其意义。
同时，教师可以在提供具体例子的
同时，让学生参考数学定义和公理，以帮助学生理解数学符号的对象、性质和规则。
3.强调符号化思想与算式的关系：在学习数学运算的过程中，教师可以强调符号化思
想与算式之间的关系。
在教学加减乘除的运算规则时，教师可以向学生展示一些简单的例子，通过例子来让学生理解符号化思想在运算规则中的应用，从而帮助学生逐渐形成符号
化的数学思维。
5.与实际生活相结合：在日常生活中，有很多数字和符号的运用。
教师可以教给学生
这些实际中经常出现的符号和数字的运用。
例如，让学生进行银行和商业场景下的数学运
算等，让学生从实际应用中感受到符号化思想的作用。
符号化思想──小学数学思想方法的梳理
符号化思想──小学数学思想方法的梳理数学思想和数学方法既有区别又有密切联系。
数学思想的理论和抽象程度要高一些，而数学方法的实践性更强一些。
人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法；而人们选择数学方法，又要以一定的数学思想为依据。
因此，二者是有密切联系的。
我们把二者合称为数学思想方法。
数学思想方法是数学的灵魂，那么，要想学好数学、用好数学，就要深入到数学的“灵魂深处”。
数学课程标准在总体目标中明确提出：“学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。
”这一总体目标贯穿于小学和初中，这充分说明了数学思想方法的重要性。
在小学数学阶段有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法可以加深学生对数学概念、公式、法则、定律的理解，提高学生解决问题的能力和思维能力，也是小学数学进行素质教育的真正内涵之所在。
同时，也能为初中数学思想方法的学习打下较好的基础。
在小学阶段，数学思想方法主要有符号化思想、化归思想、类比思想、归纳思想、分类思想、方程思想、集合思想、函数思想、一一对应思想、模型思想、数形结合思想、演绎推理思想、变换思想、统计与概率思想等等。
为了使广大小学数学教师在教学中能很好地渗透这些数学思想方法，笔者把这些思想方法比较系统地进行概括和梳理，明晰这些思想方法的概念，整理它们在小学数学各个知识点中的应用，以及了解每个思想方法的适当拓展。
一、符号化思想1．符号化思想的概念。
数学符号是数学的语言，数学世界是一个符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用；因为数学有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数学的普及和发展；国际通用的数学符号的使用，使数学成为国际化的语言。
符号化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。
2．如何理解符号化思想。
数学课程标准比较重视培养学生的符号意识，并提出了几点要求。
符号化方法——精选推荐
符号化⽅法OI wiki 新增加的⼀页，在 GF 计数领域⾮常有⽤，所以总结⼀下。
⼀些符号约定符号化⽅法是把组合对象（⽐如树，字符串，图等我们关⼼它组合意义的东西）转化为 GF 形式表达的⼀种⽅法，考虑把在这些组合对象组成的集合上进⾏的操作，变成在 GF 上进⾏的操作，从⽽⼤⼤提升效率。
⼀般地，我们定义组合类：\[(\mathcal{A},\lvert\cdot\rvert) \]其中 \(\mathcal{A}\) 为组合对象组成的集合，\(\lvert\cdot\rvert\) 是⼀个单元操作，把⼀个组合对象映射为⼀个⾮负整数。
举个例⼦，⽐如对于⼀棵树，我们关⼼它的结点数，所以就定义 \(|t|\) 为 \(t\)这棵树的结点数量。
我们定义 \(\mathcal{A}_n=\{\alpha\in\mathcal{A}||\alpha|=n\}\)。
对于组合类 \((\mathcal{A},\lvert\cdot\rvert)\) ，其对应的 OGF 为：\[A(z)=\sum_{\alpha\in \mathcal{A}}z^{|\alpha|}=\sum_{n\ge 0}a_nz^n \]对应的 EGF 为：\[\hat{A}(z)=\sum_{\alpha\in \mathcal{A}}\dfrac{z^{|\alpha|}}{|\alpha|!}=\sum_{n\ge 0}\dfrac{a_nz^n}{n!} \]其中 \(a_n=\operatorname{card}(\mathcal{A}_n)\)，\(\operatorname{card}\) 表⽰集合的基数。
⼀般来说，OGF ⽤于⽆标号的情况，EGF ⽤于有标号的情况。
定义中性对象 \(\epsilon\) 满⾜ \(|\epsilon|=0\)，和中性集合 \(\mathcal{E}=\{\epsilon\}\)，其对应的 OGF，EGF 为：\[\mathcal{E}(z)=\hat{\mathcal{E}}(z)=1 \]定义原⼦对象 \(\circ\) 满⾜ \(\lvert\circ\rvert=1\)，和原⼦集合 \(\mathcal{Z}=\{\circ\}\)，其对应的 OGF，EGF 为：\[\mathcal{Z}(z)=\hat{\mathcal{Z}}(z)=z \]显然我们能得到结论，\(\forall\mathcal{A}\)，都有 \(\mathcal{A}\cong\mathcal{A}\times\mathcal{E}\cong\mathcal{E}\times \mathcal{A}\)，其中我们称两个组合集 \(\mathcal{A},\mathcal{B}\) 满⾜ \ (\mathcal{A}\cong\mathcal{B}\) 当且仅当它们不平凡同构。
浅谈符号化的数学思维(全文)
浅谈符号化的数学思维数学符号是数学抽象思维的产物,数学的符号语言有助于思维。
研究数学符号的思维功能是提示大脑的数学思维机能和特性的需要。
那么本文试就数学符号的思维功能谈几点认识。
一、数学符号是思维活动的物质载体数学符号按一定的规则组织起来,就成为数学思维活动的物质载体。
数学符号的载体功能大致表现于以下三个方面:1.表示一般规律数学符号是抽象思维的产物,它可以表示一般的数量关系及变化规律。
如(,b):(1)表示平面直角坐标系中点的坐标,为横坐标,b为纵坐标;(2)表示实数开区间;(3)表示,b二数的最大公约数。
符号Δ:在代数中表示一元二次方程的判别式;在平面解析几何中Δ=b2-4c表示二元二次方程x2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的判别式。
根据Δ的值为负为正为零,直接判定是椭圆,双曲线或抛物线的曲线方程。
2.建立数学模型面对一个符号化的数学问题,例如我们熟悉的方程,函数的表达式等等我们要意识到它们可能是某种数学模型的符号表达式。
因为任何符号形式,在某种意义上都是对存在的描述。
寻找数学模型的思考过程,被一些学者称之为“火热的思考”。
数学模型既能够揭示一个符号形式结构的问题背景,又能够具体,形象地解释这种冰冷的符号形式结构。
一个抽象的,甚至枯燥乏味的符号化的数学问题,一旦通过想象联系上了具体,形象的数学模型,冰冷的符号问题一下子就变成一个熟悉、亲切、生动、丰富的具体问题。
数学问题解答的一个关键就是:把所要解的问题不断转化成解决过的问题。
因此,为符号化的数学问题寻找合适的模型是数学问题解决的一个隐含的要求。
例1.求不定方程x+y+z+t=8的正整数解的个数。
分析:学生一看到题,一般不能马上解出这道题,因为它需要分类讨论,很不简单。
如果我们把它想成投篮模型:可以解释x+y+z+t=8的正整数解个数的问题模型。
把8个篮球投入4个球筐中,每个球筐都至少要投一个球,也就是相当于在这8个篮球的7个间隔中插入3个“+”号的状态,而在7个间隔中插入3个“+”号的方法个数是■=35。