清华大学大学物理 功能原理 机械能守恒定律
大学物理：2-1 机械能守恒定律
26
例2 求使物体不仅摆脱地球引力作用, 而且脱离太 阳引力作用的最小速度。(第三宇宙速度）
解 根据机械能守恒定律有
1 2
mv22
G
m ms r0
0
v2
2Gms 42.1103 m s-1 r0
地球公转速度 v1 物体相对于地球速度
Gms 29.7 103 m s-1 r0
v v2 v1 (42.1103 29.7 103 )m s- 1 12.4 103 m s-1
y
A
小mg球和在F滚N 两动个过力程的中作受用到。 h
合力为
F mg FN
O
FN
mg
B
x
根据动能定理有
B A
F
d
r
1 2
mvB2
1 2
mv
2 A
即
B mg d r
A
B A FN
d
r
1 2
mvB2
1 2
mv2A
12
因
FN
始终垂直于
dr
，
所以
B A FN dr 0
(2)功和动能都是与参照系有关的量。但动能定理 在不同惯性系中都成立，这是力学相对性原理的必 然结果。在一般情况下，如无特别声明，就是指以 地面为参照系。
11
例3 小球以初速率vA 沿光滑曲面向下滚动,
如图所示。问当小球滚到距出发点A的垂直距离
为h 的B 处时, 速率为多大 ?
解 建立右图的坐标系，
F3 F3n Fn3 Fn
所以 A外 + A非保内 = (EkQ +EpQ ) (EkP + EpP ) 22
系统的动能与势能之和称为系统的机械能，用E表示 于是有 A外 + A非保内 = E(Q) E(P)
大学物理第六讲 势能、功能原理、机械能守恒 (1)
弹力的功与路径无关
2
万有引力的功
mM ˆ F G 2 r r dA F ds F cos ds
设M相对 于m静止.
ds dr m
b
a
F
Fds cos Fdr mM G 2 dr r
Aab dA
a b
ra
r
M
rb
一对相互作用力 的功只决定于两 者间的相对位移.
得
s
s+
m2 g
a
v
g 2 [( L l02 ) ( L l0 )2 ] L
18
例：宇宙速度 第一宇宙速度 ●物体绕地球作圆周运动所需的最小速度 此时
GM v mg m 2 m R R
2 1
GM v1 7.9km/s R
M和R分别为地球质量和半径。
19
第二宇宙速度
黑洞是大质量恒星在一定条件下演化的结果。恒星通过其内 部的热核反应不断燃烧演化。若恒星晚期经过质量抛失后所剩 余的质量大于3倍太阳质量，则就具备了坍缩为黑洞可能性。
坍缩核质量小于1.4倍太阳质量—白矮星；2-3倍太阳质量—中子星。
21
太阳属于小质量恒星, 不可能演化为黑洞。根据太阳的质量 条件，推算出太阳晚期演化的结局是白矮星（质量在1至8倍太 阳质量的孤立恒星也是如此）。
mM mM Aab ( G ) ( G ) ra rb
末
3
◎万有引力的功与路径无关。 初
摩擦力的功
A f r dS N dS
L L
mgds mgL
L
与路径相关
结论：
◎重力、弹力、万 有引力做功与路径 无关； ◎摩擦力做功与路 径有关。
大学物理复习第四章知识点总结
大学物理复习第四章知识点总结大学物理复习第四章知识点总结一．静电场：1.真空中的静电场库仑定律→电场强度→电场线→电通量→真空中的高斯定理qq⑴库仑定律公式：Fk122err适用范围：真空中静止的两个点电荷F⑵电场强度定义式：Eqo⑶电场线：是引入描述电场强度分布的曲线。
曲线上任一点的切线方向表示该点的场强方向，曲线疏密表示场强的大小。
静电场电场线性质:电场线起于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷远，不闭合，在没有电荷的地方不中断，任意两条电场线不相交。
⑷电通量：通过任一闭合曲面S的电通量为eSdS方向为外法线方向1EdS⑸真空中的高斯定理：eSoEdSqi1int只能适用于高度对称性的问题：球对称、轴对称、面对称应用举例：球对称：0均匀带电的球面EQ4r20(rR)(rR)均匀带电的球体Qr40R3EQ240r(rR)(rR)轴对称：无限长均匀带电线E2or0(rR)无限长均匀带电圆柱面E(rR)20r面对称：无限大均匀带电平面EE⑹安培环路定理：dl0l2o★重点：电场强度、电势的计算电场强度的计算方法：①点电荷场强公式+场强叠加原理②高斯定理电势的计算方法：①电势的定义式②点电荷电势公式+电势叠加原理电势的定义式：UAAPEdl(UP0)B电势差的定义式：UABUAUBA电势能：WpqoPP0EdlEdl(WP00)2.有导体存在时的静电场导体静电平衡条件→导体静电平衡时电荷分布→空腔导体静电平衡时电荷分布⑴导体静电平衡条件:Ⅰ.导体内部处处场强为零,即为等势体。
Ⅱ.导体表面紧邻处的电场强度垂直于导体表面，即导体表面是等势面⑵导体静电平衡时电荷分布:在导体的表面⑶空腔导体静电平衡时电荷分布:Ⅰ.空腔无电荷时的分布：只分布在导体外表面上。
Ⅱ.空腔有电荷时的分布(空腔本身不带电，内部放一个带电量为q的点电荷)：静电平衡时，空腔内表面带-q电荷，空腔外表面带+q。
3.有电介质存在时的静电场⑴电场中放入相对介电常量为r电介质，电介质中的场强为：E⑵有电介质存在时的高斯定理：SDdSq0,intE0r各项同性的均匀介质D0rE⑶电容器内充满相对介电常量为r的电介质后，电容为CrC0★重点：静电场的能量计算①电容：②孤立导体的电容C4R电容器的电容公式C0QQUUU举例：平行板电容器C圆柱形电容器C4oR1R2os球形电容器CR2R1d2oLR2ln()R1Q211QUC(U)2③电容器储能公式We2C22④静电场的能量公式WewedVE2dVVV12二.静磁场：1.真空中的静磁场磁感应强度→磁感应线→磁通量→磁场的高斯定理⑴磁感应强度：大小BF方向：小磁针的N极指向的方向qvsin⑵磁感应线：是引入描述磁感应强度分布的曲线。
机械能守恒
碰撞前 碰撞后
5/15/2011 11:41 AM
r v1'
r v2'
16
3.7 碰撞 如果在两物体碰撞之后， 如果在两物体碰撞之后，由于非保守内力作功 将动能转化为其它形式的能量（如热能，光能）， 将动能转化为其它形式的能量（如热能，光能）， 它们的动能之和将减少，这类碰撞称作非弹性碰撞 非弹性碰撞。 它们的动能之和将减少，这类碰撞称作非弹性碰撞。 如果两物体作非弹性碰撞后以同一速度运动， 如果两物体作非弹性碰撞后以同一速度运动，这类 碰撞称作完全非弹性碰撞 完全非弹性碰撞。 碰撞称作完全非弹性碰撞。
5/15/2011 11:41 AM
Wint,cons = −∆Ep Wint = Wint,n−cons − ∆Ep
2
3.6 功能原理 机械能守恒
1 1 2 2 Wext +Wint = ∑ mi vi − ∑ mi vio =∆Ek 2 2
Wext +Wint,n−cons − ∆Ep = ∆Ek
mmS 1 2 mv'3 −G =0 2 RS
v' = v'3 −vE
5/15/2011 11:41 AM
12
3.6 功能原理 机械能守恒 抛体在脱离了地球的束缚后， 抛体在脱离了地球的束缚后，要再脱离太阳的束 缚，相对于地球参照系的速度不能小于
v' = v'3 −vE =
(
GmS 2 −1 RS
问题 如果两物体作完全非弹性碰撞， 如果两物体作完全非弹性碰撞，损失的 动能到哪去了? 动能到哪去了?
5/15/2011 11:41 AM 17
3.7 碰撞 小球作完全弹性对心碰撞，取速度方向为 轴正向 轴正向， 小球作完全弹性对心碰撞，取速度方向为x轴正向， 沿x轴方向系统的动量和动能守恒 轴方向系统的动量和动能守恒
功能原理(大学物理)
va a
4R E
RE
2R E
∵G
m Em R2
E
＝m
g
设：卫星在a 点的速率为va
所受的向心力是由万有引力
提供，由牛顿第二定律可得：
b vb
F向心力＝ m a ＝m
v2 R
G （m2RE mE）2 ＝m
v2 a
2R E
∴
Gm R2
E
E
＝g
代入上式得：
∴ va＝
gR E 2
va a
≥
5 2
R
C
(2)小球在 A 点受重力mg 及
A
轨道对小球的正压力N 作用。
H
B
·R
N0
(3)如果小球由H =2R 的高处滑下
mg 小球将不能到达A点就掉下来了。
本题结束
例题： 如图所示，子弹水平地射入一端固定在弹簧上
的木块内，已知：子弹质量是0.02kg ，木块质量是 8.98kg。弹簧的劲度系数是100N/m，子弹射人木块 后，弹簧被压缩10cm。设木块与平面间的滑动摩擦系 数为0.2，求:子弹的速度。
和轨道对小 球的正压力
N
+mg
=
m
v2 A
R
(1 )
不脱轨的条件为： N = mRvA2－m g ≥ 0
m
v2 A
R
≥
mg
(2)
N
+mg
=
m
v2 A
R
(1)
m
v2 A
R
≥
mg
(2)
0＋mg( H
-
2R
)=
1 2
m
v
大学物理(3.4.2)--功能原理机械能守恒定律能量守恒定律
第四讲功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律k k k i i i i ii e E E E v m v m W W ∆=-=-=+∑122122)2121(系统的外力和内力作功的总和等于系统动能的增量。
回顾前面学过的知识点：1. 质点系动能定理P1p 2p )(E E E W ∆-=--=2. 保守力作功等于势能的减少3. 成对力的功只与作用力和相对位移有关:r d F dW '⋅= 22/16※ 质点系功能原理1、系统的机械能: 动能与势能的总和称为机械能3、由势能的定义，保守内力的功总等于系统势能的减少pin c E W ∆-= 2、内力的功可分为： 保守内力的功和非保守内力功pk E E E +=（保守内力的功由势能代替）第四讲 功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律 in ncin c in in W W W W i i+==∑非保守内力的功将导致机械能与其他形式的能量转换。
inncex p k W W E E E +=∆+∆=∆k in ncp ex in nc in c ex in ex E W E W W W W W W ∆=+∆-=++=+ 4、系统的功能原理 （由质点系动能定理）在选定的质点系内，在任一过程中，质点系总机械能的增量等于所有外力的功与非保守内力的功的代数和。
4/16※ 机械能守恒定律问题1：有非保守内力作功，系统的机械能不守恒 ？例如：摩擦力作功，机械能转变成热能。
0=+in nc ex W W 0=∆+∆=∆p k E E E 常量=+p k E E 由功能原理:则：或:如果： 如果系统内只有保守内力作功，其他内力和一切外力都不作功，或元功之和恒为零，则系统内各物体的动能和势能可以相互转换，但总机械能保持不变。
问题2：有摩擦力作功：机械能守恒？in nc ex p k W W E E E +=∆+∆=∆力 f 作正功，f ' 作负功，总和为零，机械能守恒。
大学物理第三章动量守恒定律和能量守恒定律
动量守恒定律的表述
总结词
动量守恒定律表述为系统不受外力或所 受外力之和为零时，系统总动量保持不 变。
VS
详细描述
动量守恒定律是自然界中最基本的定律之 一，它表述为在一个封闭系统中，如果没 有外力作用或者外力之和为零，则系统总 动量保持不变。也就是说，系统的初始动 量和最终动量是相等的。
动量守恒定律的适用条件
能量守恒定律可以通过电磁学 的基本公式推导出来。
能量守恒定律可以通过相对论 的质能方程推导出来。
能量守恒定律的应用实例
01
02
03
04
机械能守恒
在无外力作用的系统中，动能 和势能可以相互转化，但总和
保持不变。
热能守恒
在一个孤立系统中，热量只能 从高温物体传递到低温物体，
最终达到热平衡状态。
电磁能守恒
详细描述
根据牛顿第三定律，作用力和反作用力大小相等、方向相反。如果将一个物体施加一个力F，则该力会产生一个 加速度a，进而改变物体的速度v。由于力的作用是相互的，反作用力也会对另一个物体产生相同大小、相反方向 的加速度和速度变化。因此，在系统内力的相互作用下，系统总动量保持不变。
02
能量守恒定律
能量守恒定律的表述
感谢观看
01
能量守恒定律表述为：在一个封闭系统中，能量不能被创造或消灭， 只能从一种形式转化为另一种形式。
02
能量守恒定律是自然界的基本定律之一，适用于宇宙中的一切物理过 程。
03
能量守恒定律是定量的，可以用数学公式表示。
04
能量守恒定律是绝对的，不受任何物理定律的限制。
能量守恒定律的适用条件
能量守恒定律适用于孤立系统，即系统与外界没有能量 交换。
能量守恒定律——清华大学物理
v1=? R h1
h2
( R h1 )mv1 ( R h2 )mv2 v2=?
两方程联立可解出：
R h2 v1 2GM e ; ( R h1 )(2 R h1 h2 )
R h1 v2 v1 R h2 25
例3 如图，桌面水平光滑，初m作半径为l0的 圆运动，速率v0，重物M静止，后放手， M下落。 求：下落h(< l0)时重物速度。 v0
与参考系无关！ 7
一对力的功取决于两受力 质点的相对位移。
推论： ◆一对正压力的功恒为零 N d r12 0
◆一对滑动摩擦力的功恒为负。
d Wd f r d rr f r d sr 0
例：如图，物体沿斜面向上， 地面参考系：f物作负功； 物体参考系： f物不作功。
弹性力 f kx 2. 弹力 B 1 1 2 2 WA B k xdx kx A kxB A 2 2 相对） 取决于始末形变（ 3. 重力 P mg 重力并不是地球表面附近的万有引力。 三. 非保守力 作功与路径有关的力称为非保守力。 例如： ▲ 摩擦力（耗散力）： 一对滑动摩擦力作功恒为负； ▲ 爆炸力：作功为正。
r1 r1
O
f1
r2
B2
r2
d Wd f1 d r1 f 2 d r2 f 2 (d r2 d r1 ) f 2 d(r2 r1 )
A2
r21
A1
f2
f 2 d r21 f1 d r12
一个力；受力质点相对另一质点的位移。
B
二. 质点系的动能定理
非力的作用点的位移！ （易证）
W外 W内 EKB EKA
大学物理机械能守恒定律
弹性碰撞中，两物体之间的相互作用力是保守力，因此系统机械能守恒。通过分析碰撞前 后的速度、动量等物理量，可以求解碰撞过程中的能量转化和损失情况。
03 弹性碰撞中机械能守恒
Байду номын сангаас
完全弹性碰撞过程描述
碰撞前后动能守恒
在完全弹性碰撞中，两个物体碰撞前后的总动能保持不变。
碰撞前后动量守恒
同时，两个物体碰撞前后的总动量也保持不变。
例题3
一质量为 $m$ 的匀质球体，半径为 $R$， 绕通过其中心且与球面垂直的轴以角速度 $omega$ 转动。若在球面上挖去一个质 量为 $Delta m$ 的小球体，求剩余部分 的动能和势能变化。
06 振动系统中机械能守恒
简谐振动过程中能量转化关系
简谐振动中，动能和势能不断相 互转化，但总机械能保持不变。
在平衡位置，动能最大，势能最 小；在最大位移处，动能最小，
势能最大。
简谐振动的能量与振幅的平方成 正比。
受迫振动和共振现象中能量传递特点
受迫振动中，驱动力的频率接 近系统固有频率时，振幅显著 增大，能量传递效率提高。
共振现象是系统固有频率与外 界驱动力频率相等时发生的， 此时能量传递效率最高。
在共振现象中，系统的振幅达 到最大值，能量在驱动力和系 统之间高效传递。
典型例题分析
例题1
一弹簧振子在光滑水平面上做简谐振动，分析其在振动过程中的能 量转化关系。
例题2
一单摆受到周期性驱动力作用，分析其在受迫振动过程中的能量传 递特点。
例题3
一RLC振荡电路在共振状态下工作，分析电路中的能量转化和传递过 程。
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大学物理-功能原理 机械能守恒定律
1
二 质点系的功能原理
W ex W in Ek Ek0
W in Wiin Wcin Wnicn
i
非保守力 的功
Wcin ( Epi Epi0 ) (Ep Ep0 )
i
i
W ex
W in nc
(
Ek
Ep
) ( Ek0
Ep0
பைடு நூலகம்
)
2
W ex
W in nc
(Ek
Ep ) (Ek0
1 R
） h
GMmh R（R h）
17
（2）取陨石为研究对象，由动能定理
R（GMRm hh）
1 2
mv2
得
v
2GM
h R（R
h）
18
例：求质量 M长 的l均匀细棒与质点
（1）质点 在细棒延m长线上； （2）质点 在m细棒中垂线上；
间的引m力势能。
解（1）质点 m在细棒延长线上，如图在细棒上任取一微
y
Oy 轴。
设链条下落长度 y =b0 时，处于临界状态
b0 g 0(l b0 )g 0
b0
0 1 0
l
当 y >b0 ，拉力大于最大静摩擦力时，链
条将开始滑动。 10
(2) 以整个链条为研究对象，链条在运动过程中 各部分之间相互作用的内力的功之和为零，
重力的功
W
l
b
ygdy
1 g(l2
2
b2 )
摩擦力的功
W
'
l
b
(l
y)gdy
1
2
g(l
b)2
11
根据动能定理有
1 g(l 2 b2 ) 1 g(l b)2 1 lv 2 0
机械能守恒大学物理中动能与势能的转化与守恒
机械能守恒大学物理中动能与势能的转化与守恒在大学物理中，机械能守恒是一个非常重要的概念。
它描述了一个系统中动能与势能之间的转化与守恒关系。
在本文中，我们将详细探讨机械能守恒的原理和应用。
1. 机械能的定义和表达式机械能是指一个物体的动能和势能之和。
动能是物体由于运动而具有的能量，通常用K表示。
势能是物体由于位置而具有的能量，通常用U表示。
因此，一个物体的机械能E可以表示为E = K + U。
2. 动能与势能的转化动能和势能之间存在一种转化关系。
当物体进行运动时，它的动能会增加，而势能会减少。
当物体停止运动时，动能消失，而势能达到最大值。
这个过程可以通过一个简单的例子来解释。
假设有一个小球从某个高度释放，下落到地面。
在初始时刻，小球具有势能，而没有动能。
随着小球下落，它的势能逐渐减少，而动能逐渐增加。
当小球触及地面时，它的势能被完全转化为动能，达到最大值。
可以通过公式来表示这个转化过程。
3. 机械能守恒定律根据机械能的定义和动能与势能的转化关系，我们可以得出一个重要的结论，即机械能守恒定律。
该定律表明，在一个封闭系统中，机械能的总量保持不变。
换句话说，机械能在系统内部的转化过程中是守恒的。
这个定律可以通过许多实际情况进行验证。
例如，当一个物体在重力场中自由下落时，它的机械能守恒。
在下落过程中，重力势能逐渐减少，而动能相应增加。
但总的机械能保持不变。
4. 机械能守恒定律的应用机械能守恒定律在物理学中有许多应用。
一个常见的应用是解决机械问题，例如弹簧振子的周期和振幅问题。
通过分析系统的机械能守恒，我们可以推导出一些与物体运动相关的量。
此外，机械能守恒定律还可以用于解释许多其他物理现象。
例如，当一个人骑自行车爬坡时，他需要将自行车的动能转化为势能来克服重力，以保持平衡。
同样地，当他下坡时，势能转化为动能，使他能够加速。
总结：在大学物理中，机械能守恒是一个重要的概念，它描述了动能和势能之间的转化与守恒关系。
大学物理 机械能守恒1
•质点系机械能守恒 质点系机械能守恒
• 功能原理与动能定理的物理本质是一致的，它们 功能原理与动能定理的物理本质是一致的， 的区别是从不同的角度处理保守内力作功。 的区别是从不同的角度处理保守内力作功。 • 只有外力和非保守内力才会引起机械能的改变； 只有外力和非保守内力才会引起机械能的改变； 保守内力作功会引起质点系动能的改变， 保守内力作功会引起质点系动能的改变，但不会 引起质点系机械能的改变 • 当外力和内非保守力都有不作功或所作功之和为 零，则质点系机械能守恒。 则质点系机械能守恒。
v dr
v L1 F
rQΒιβλιοθήκη L2QP rP保守力：做功与路径无关的力， 保守力：做功与路径无关的力，或沿闭合回路做 功等于零的力 练一练：证明重力 是保守力 练一练：证明重力mg是保守力 挑战： 挑战：证明有心力和弹性力都是保守力 •保守力的势能：引力作功与路径无关，只取决于质 保守力的势能： 保守力的势能 引力作功与路径无关，
r2 r2
v •保守力与势能的微分关系：W保 = − ∆U , → F ⋅ dr = − dU 保守力与势能的微分关系： 保守力与势能的微分关系
•保守力与势能的微分关系进一步讨论 保守力与势能的微分关系进一步讨论* 保守力与势能的微分关系进一步讨论
r r f • dr = −dU 在直角坐标系中 : f x • dx + f y • dy + f z • dz = − dU ∂U ∂U ∂U 由偏微分公式知 : f x = − ; fy = − ; fz = − ∂x ∂y ∂z r r r r 可合写为 : f = f x i + f y j + f zk = −∇U = − gradU
大学物理 功能原理 机械能守恒定律
系统动能 的增量
Ae Ai Ek
质点系统动能定理
Ae Ai Ek
质点系统的动能定理：系统的外力和内力作 功的总和等于系统动能的增量。
二. 质点组的功能原理
因为对系统的内力来说，它们有保守内力和非保 守内力之分，所以内力的功也分为保守内力的功 Aic和 非保守内力的功 Aid 。
mg m Tm k ( x0 h) k ( v0 ) mg km v0 k k 由此式可见，如果v0较大，T’m也较大。所以对 于一定的钢丝绳来说，应规定吊运速度v0不得超过 某一限值。
条件
定律 或 或
Ae Aid 0
EKa EPa EKb EPb
E EK EP 常量
EKb EKa EPa EPb
能量守恒定律
四. 能量守恒定律
一个孤立系统经历任何变化时，该系统 的所有能量的总和是不变的，能量只能从一 种形式变化为另外一种形式，或从系统内一 个物体传给另一个物体。这就是普遍的能量 守恒定律。
系统的功能原理
例题2 在图中，一个质量m=2kg的物体从静止开始， 沿四分之一的圆周从A滑到B，已知圆的半径R=4m， 设物体在B处的速度v=6m/s，求在下滑过程中，摩擦力 所作的功。 解 在物体从A到B的下滑过程中，不仅有重力 G 的作用， 而且还有摩擦力F和正压力N 的作用，F与 N 两者都是变 力N 处处和物体运动方向相垂直，所以它是不作功。正压 力的，但摩擦力所作的功却因它是变力而使计算 A R 复杂起来，比较方便的方法是采用功 O 能原理进行计算，把物体和地球作为 fr 系统，则物体在A点时系统的能量EA是 N 系统的势能mgR，而在B点时系统的能 v G 2/2，它们的差值就是 量EB则是动能mv B 摩擦力所作的功，由此
大学物理 动能 势能 机械能守恒定律
2020年4月22日星期三
力作正功； 力作负功； 力不作功。
变力的功 合力的功 = 分力的功的代数和 直角坐标系中，
功的大小与参照系有关 功的量纲和单位 2.功率：单位时间内的功 平均功率
瞬时功率
功率的单位 （瓦特）
3 保守力的功
1） 重力的功 质量为m的质点在重力G作用 下由A点沿任意路径移到B点 。重力G只有z方向的分量
B、C、D 组成的系统
（A）动量守恒，机械能守恒 . B）动量不守恒，机械能守恒 . ）动量不守恒，机械能不守恒 . 动量守恒，机械能不一定守恒 .
（ （C （D）
C
D
C
D
A
B
A
B
讨论
下列各物理量中，与参照系有关的物 理量是哪些？ （不考虑相对论效应）
1）质量 4）动能
2）动量 5）势能
3）冲量 6） 功
➢ 非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）
例2.9 质点所受外力
，求质点由点
(0,0)运动到点(2,4)的过程中力F所做的功：(1)先沿x
轴由点(0,0)运动到点(2,0)，再平行y轴由点(2,0)运动
到点(2,4)；(2)沿连接(0,0)，(2,4)两点的直线；(3)沿
抛物线
由点(0,0)到点(2,4)(单位为国际单位制.
2） 万有引力的功 以 为参考系， 的位置矢量为 .
对 的万有引力为
移动 时， 作元功为
3 ） 弹簧弹性力的功 F
x
O
保守力和非保守力 ➢ 保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 . 引力功
重力功 弹力功
大学物理动能势能机械能守恒定律
解
(1)由点(0,0)沿x轴到(2,0)，此时y＝0， dy＝0，所以
A1 Fx dx
0
4 4 0 0
2
2
0
8 ( x )dx J 3
2
A2 Fy dy 6 ydy 48 J
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
13
1 A A1 A2 45 J 3
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
6
3 保守力的功 1） 重力的功 质量为m的质点在重力G作用 下由A点沿任意路径移到B点。 重力G只有z方向的分量
dr dxi dyj dzk
A Fz dz mgdz (mgz mgz0 )
A12 Ek2 E k1
注意
功和动能都与 参考系有关；动能定理 仅适用于惯性系 .
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
15
例2.10 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地滑动，t ＝0时物体静止于原点，(1)若物体在力F＝3＋4t N 的作用下运动了3s，它的速度增为多大？(2)物体在 力F＝3＋4x N的作用下移动了3m，它的速度增为多 大？ 解 (1)由动量定理 Fdt mv ，得
Mm dA F dr G 2 r 0 dr r
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
B
2–4 功 动能 势能 机械能守恒定律
8
Mm A F dr G 2 r 0 dr A r
B
d ( A ) d ( A A) 2 A d A
2.4 功 动能 势能 机械能守恒
二 质点系的功能原理
W ex W in Ek Ek0
W in Wiin Wcin Wnicn
i
非保守 力的功
Wcin ( Epi Epi0 ) (Ep Ep0 )
i
i
W ex Wnicn (Ek Ep ) (Ek0 Ep0)
大学物 理学
无关，而只与质点的初末位置有关。
非保守力: 力所做的功与路
B
径有关。（例如摩擦力）
重力功 W (mgy2 mgy1)
D
L
C
弹力功
W
(
1 2
k
x22
1 2
k
x12
)
A
引力功
W
(G
F
d r
m' m) (G
rB F
d r
m' m rA
)
2
Ep mgl sin
机械能守恒 m+地球：
0 0 1 mv2 (mgl sin )
2
大学物 理学
例 一轻弹簧, 其一端 系在铅直放置的圆环的顶
PR
点P，另一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并在
30 A
o
环上运动(μ =0)．开始球
静止于点 A, 弹簧处于自然
B
状态，其长为环半径R;
Wiex Wiin Eki Eki0
外力功 内力功
对质点系，有
m1
Fiex
m2 Fiin mi
Wiex Wiin Eki Eki0 Ek Ek0
i
大学物理 2.4 功能原理 机械能守恒定律
得到
A A
外
E E E E
kA
pA
pA
k p
系统的动能和势能之和叫做系统机械能，用 E表示，则 E E E
以 E 和 E 分别表示系统初态和末态的机械能，则
A B
A A E E
外 非保 B
A
外力和非保守内力做功的总和等于系统机械能的总量。这一结 论为功能原理。
即
把
x1和 x2
1 1 2 K (x2 ) m1 gx2 K (x1 ) 2 m1 gx1 2 2 1 1 K (x 2 ) 2 K (x1 ) 2 m1 g (x1 x 2 ) 2 2
代入上式，化简可得： 所以得
F 2 (m1 g m2 g ) 2
2.4 功能原理 机械能守恒定律
由质点系动能原理
A A E E
外 内 kB
kA
内力中既有保守力也有非保守力，因此内力做功可分为保守内 力做的功和非保守内力做的功
A A A
外 保内
非保内
E E
kB
kA
保守力的功等于相应势能增量的负值，则
A E E
保内 pB 非保内 kB pB
x 2
1
如图2-12(a)所示；弹簧自然长度时的位置为弹性势能的零点，同时取作 m1 m2 g x m1 上跳过程必须使弹簧伸长 1 的零势能点，如图2-12(b)所示。撤力后 k 才能使下面的木板 m2 恰能提起，如图2-12(c)所示。
k
图2-12
把两个木块、弹簧、地球做系统，只有重力和弹力做功，所以 系统机械能守恒，初终状态动能均为零，故初始状态的弹性势能和 重力势能之和与终了状态的弹性势能和重力势能之和相等。
关于质点系功能原理和机械能守恒定律相关问题的讨论
关于质点系功能原理和机械能守恒定律相关问题的讨论袁书卿;万明理【摘要】It is demonstrated that the work-energy principle and the law of conservation of mechanical energy with external potential energy are not necessary because they are not true in general cases and contrary to common sense .It is pointed out that the work-energy principle should be replaced by the theorem of mechanical energy , and that the law of conservation of mechanical energy is the form of the law of conservation and conversion of energy in the mechanics , it is also an independent law of mechanics rather than a inference of the work-energy principle .%阐述了引入外势能质点系的“功能原理”和机械能守恒定律在一般情况下不成立，而且有悖常识，没有存在的必要；并进一步指出质点系的“功能原理”应改为质点系的机械能定理，质点系的机械能守恒定律是力学中的能量转化与守恒定律，是力学中一条独立定律，而不是“功能原理”的推论。
【期刊名称】《洛阳师范学院学报》【年(卷),期】2014(000)008【总页数】4页(P50-53)【关键词】机械能定理;机械能守恒定律;内势能;外势能【作者】袁书卿;万明理【作者单位】平顶山学院电气信息工程学院，河南平顶山467000;平顶山学院电气信息工程学院，河南平顶山467000【正文语种】中文【中图分类】O313.2质点系的“功能原理”和质点系的机械能守恒定律是关于质点系机械运动的动能和势能相互转换与守恒的重要定理和定律，无论对于理论计算还是分析解决实际问题都有重要意义.在我国现行的力学或普通物理教科书中，关于质点系的“功能原理”和质点系的机械能守恒定律有两种表述:引入外势能的表述和不引入外势能的表述.文献［1］讨论指出:引入外势能质点系的“功能原理”和机械能守恒定律是有附加条件的;文献［2］讨论指出:在特殊情况下，引入外势能质点系的“功能原理”和机械能守恒定律比质点系动能定理有优越性;文献［3］讨论指出:只能在相对于保守力场静止的参照系内引入外势能，在其它参照系引入外势能没有意义.本文在简单介绍质点系的“功能原理”和质点系的机械能守恒定律两种表述的基础上，阐述了引入外势能的质点系“功能原理”和机械能守恒定律在一般情况下不成立，而且有悖常识，没有存在的必要.此外，还就不引入外势能的质点系“功能原理”的称呼问题和不引入外势能的质点系机械能守恒定律的正确表述问题谈些个人看法，谨供同行参考.1 两种表述的讨论1.1 两种表述在我国现行的力学或普通物理教科书中，都是由质点系的动能定理推导出质点系的“功能原理”，再由质点系的“功能原理”推导出质点系的机械能守恒定律.在推导过程中有以下两种处理方法，进而得到质点系“功能原理”和机械能守恒定律的两种表述.第一种处理方法［4-9］:在推导质点系的“功能原理”时，将质点系的动能定理中的内力的功∑A内分为:内保守力的功∑A内保和内非保守力的功∑A内非，再根据势能定义ΔEp=Ep-Ep0=-A内保，推导出质点系的“功能原理”即在一过程中，质点系机械能的增量等于一切外力和一切内非保守力所做功的代数和——不引入外势能的质点系“功能原理”.由此得到质点系的机械能守恒定律:在一过程中，如果一切外力不做功，又每一对非保守内力不做功，则质点系的机械能守恒——不引入外势能的质点系的机械能守恒定律.第二种处理方法［10］:不仅把内力的功∑A内分为内保守力的功∑A内保和内非保守力的功∑A内非;而且把外力的功∑A外分为外保守力的功∑A外保和外非保守力的功∑A外非.再根据势能定义ΔE外p=E外p-E外p0=-A外保，ΔE内p=E内p-E内p0=-A内保，推导出质点系的“功能原理”即在一过程中，质点系机械能的增量等于一切外非保守力和一切内非保守力所做功的代数和——引入外势能的质点系“功能原理”.由此得到质点系的机械能守恒定律:在一过程中，如果一切非保守外力不做功，又每一对非保守内力不做功，则质点系的机械能守恒——引入外势能的质点系的机械能守恒定律.1.2 引入外势能的质点系“功能原理”和机械能守恒定律没有存在的必要1.2.1 引入外势能在一般情况下不成立引入外势能的质点系“功能原理”和机械能守恒定律在一般情况下不成立，只在特殊情况下才成立，即只有在外保守力的反作用力对外物做功为零(A对外保 =0）的条件下成立［8-9］.因为保守力总是成对出现的，对保守内力而言，ΔE内p=-A内保成立;而保守外力的反作用力是作用在系统以外的物体上，因此在一般情况下，保守外力对系统做的功不等于外势能的减少，即A外保≠-ΔE外p.应该是保守外力对系统做的功与其反作用力对系统以外物体做功之和为外势能的减少量，即当外界的保守力源不动或产生外保守力的物体质量很大，以至于外保守力的反作用力对它的影响可以忽略(如地面上的物体反作用于地球的引力）时，A对外保 =0，A外保 +A对外保 =A外保 =-ΔE外p成立，可得到式(3）及相应的机械能守恒定律，即只有在A对外保=0这种特殊条件下，引入外势能的质点系“功能原理”和质点系机械能守恒定律才成立.如果不能保证A对外保=0成立，则式(3）及相应的机械能守恒定律不成立，即在一般情况下，引入外势能的质点系“功能原理”和质点系机械能守恒定律不成立.另外，在不能保证A对外保=0成立的一般情况下，完全可以把外界的保守力源纳入质点系，让外保守力变成内保守力，进而应用不引入外势能的质点系的“功能原理”或质点系的机械能守恒定律来解决相应的的问题.1.2.2 引入外势能有悖常识在由质点系的动能定理推导出质点系的“功能原理”，再由质点系的“功能原理”推导出质点系的机械能守恒定律过程中，引入外势能进而得到引入外势能的质点系“功能原理”和机械能守恒定律，除在一般情况下不成立外，还显然有悖常识.按常识，质点系的机械能应等于质点系内部所有质点机械运动的动能与质点系内部所有质点机械运动的势能之和，而不应包括质点系之外的外势能.因为不管外力是否保守力，终归是外力，外势能是质点系与质点系以外物体之间的势能，不应包括在质点系内.2 质点系的“功能原理”应改为质点系的机械能定理按常识和物理学的惯例，由牛顿定律推导出质点系的动能定理，再由质点系的动能定理推导出的式(2）应叫质点系的机械能定理，因为它清楚地反映了质点系机械能的改变由什么决定.质点系的“功能原理”的称呼，不仅有悖常识也不符合物理学的惯例［11］，况且在全国自然科学名词审定委员会公布的《物理学名词》［12］中并无“功能原理”一词.因此，建议在今后的力学或普通物理教科书中废去“功能原理”这一名词［13］，而将式(2）改称为质点系的机械能定理.如上所述，在质点系的动能定理式(1）中，引入势能概念，便得到质点系的机械能定理式(2），可见，质点系的机械能定理与质点系的动能定理并无本质不同，其区别仅在于机械能定理中因引入势能而无需考虑保守内力的功，这正是机械能定理的优点，也是质点系机械能定理存在的意义所在，因为计算势能增量常比直接计算功更为方便.3 质点系的机械能守恒定律是力学中的能量转化与守恒定律我国现行的力学或普通物理教科书中动力学部分内容的编排，都是从牛顿运动定律推导出质点系的动能定理，然后由质点系的动能定理推导出质点系的“功能原理”，再由质点系的“功能原理”推导出质点系的机械能守恒定律.即在这样的框架下，质点系的机械能守恒定律是质点系“功能原理”的推论.如果严格按此来推导，由式(2）推得的质点系的机械能守恒定律的数学表达式应为由此质点系的机械能守恒定律应表述为:在一过程中，如果质点系所受一切外力和一切内非保守力做功的代数和时刻为零，则质点系的机械能守恒.但现行的力学或普通物理教科书中大都没有这样表述，如文献［8］把质点系的机械能守恒定律表述为“如果一个系统内只有保守力做功，其他一切内力和外力不做功，或者它们的总功为零，则系统内各物体的动能和势能可以相互转化，但机械能的总值不变”;文献［10］把质点系的机械能守恒定律表述为“在一过程中，若外非保守力不做功，又每一对内非保守力不做功，则质点系机械能守恒.”文献［16］把质点系的机械能守恒定律表述为“如果作用在质点组上的所有外力及内力都是保守力(或其中只有保守力做功）时，才有:T+V=E，即机械能守恒等等.因为根据机械能守恒的本质意义［14-15］(在任一过程中，质点系内各质点的动能可以相互交换，动能和势能之间也可以相互转换，但总机械能保持不变，仅当质点系在某一过程中不存在非保守力或非保守力不做功或非保守力所做之功可以忽略时，才可以认为系统的机械能是守恒的），把式(4）当成机械能守恒定律的数学表达式是有问题的，而问题的根源在于把“质点系的机械能守恒定律”当成了质点系的“功能原理”的推论，这是我国现行的力学或普通物理教科书目前的理论框架(根据牛顿运动定律推导出质点和质点系的所有运动定理和守恒定律，把牛顿运动定律当成整个经典力学的基础）下难以解决的问题.从现代观念看，动量比力更具普遍意义，是更基本的概念，守恒定律是比牛顿运动定律更为基本的规律.因此，一些教科书［10］从现代观念出发，重新编排了力学内容，尝试从动量和动量守恒定律入手研究动力学，从能量转化与守恒定律出发来讲机械能守恒定律，从而不仅避免了将机械能守恒定律当成“功能原理”(牛顿定律）的推论的错误发生，而且使学生从现代的观念学习和认识物理规律.机械能守恒定律是经典力学中三大守恒定律之一，是能量转化与守恒定律在机械运动中的具体体现，是力学中的能量转化与守恒定律，可称为机械能转化与守恒定律，是力学中的一条独立定律，不是“功能原理”的推论.正因如此，机械能守恒定律的表述不应受“功能原理”或牛顿定律的制约，质点系的机械能守恒定律的正确表述应根据机械能守恒的本质意义给出.根据机械能守恒的本质意义可以给出机械能守恒定律的多种表述形式［14］，而且可表述成符合相对性原理要求的形式［14，17］.4 结论(1）引入外势能的质点系“功能原理”和机械能守恒定律在一般情况下不成立，有悖常识，而且在有外保守力存在的情况下可把外界的保守力源纳入质点系让外保守力变成内保守力，进而应用不引入外势能的质点系的“功能原理”或质点系的机械能守恒定律来解决相应的的问题.因此，引入外势能的质点系“功能原理”和机械能守恒定律完全没有存在的必要，也不必在教课书中引入，以免造成教学和学习上的混乱.(2）在力学或普通物理教科书中应废去“功能原理”名词，代之以“质点系的机械能定理”.(3）机械能守恒定律是能量转化与守恒定律在力学中的具体体现，是力学中一条独立定律，不是“功能原理”的推论，其表述不应受“功能原理”的制约，但可以根据机械能守恒的本质意义，给出多种表述形式.参考文献［1］赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程力学［M］.北京:高等教育出版社，2001. ［2］陆果.基础物理学:上册［M］.北京:高等教育出版社，2001.［3］张三慧.大学物理学［M］.北京:清华大学出版社，1999.［4］梁绍荣.普通物理学:力学［M］.北京:高等教育出版社，1995.［5］程守洙，江之永.普通物理学:第一册［M］.北京:高等教育出版社，1982. ［6］吴柳.大学物理学:上册［M］.北京:高等教育出版社，2003.［7］漆安慎，杜婵英.普通物理学教程:力学［M］.2版.北京:高等教育出版社，2005.［8］邹艳.质点系的功能原理和机械能守恒定律不应忽视的条件［J］.物理与工程，2006，16(3）:61.［9］高炳坤.由动能定理导出功能原理时的蹊跷之处［J］.大学物理，2004，23(12）:30-32.［10］谭昌炳.机械能定理与力学相对性原理［J］.三峡大学学报:自然科学版，2005，27(1）:93-96.［11］宋月丽，田明丽.也谈机械能守恒定律与功能原理［J］.平顶山学院学报，2013，28(5）:54-56.［12］全国自然科学名词审定委员会.物理学名词［S］.北京:科学出版社，1996. ［13］大学物理编辑部.编者的话［J］.大学物理，2000，19(2）:27-29.［14］周丰群，刘德星.机械能守恒定律的正确表述［J］.物理通报，1994(4）:6-8.［15］刘明成.机械能守恒定律遵从力学相对性原理［J］.松辽学刊:自然科学版，2001(1）:28-30.［16］周衍柏.理论力学［M］.2版.北京:高等教育出版社，1986.［17］高炳坤.“机械能守恒定律是否遵从相对性原理”辨［J］.大学物理，2000，19(2）:20-22.。
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径为 4RE 的另一个圆形轨道点 b上. 点 a 和点 b 处的椭
圆轨道与圆轨道的切线相切.
试问: 卫星完成了变轨过程后获
得了多少能量 ?
解: 由牛顿第二定律和万有
引力定律
G
mEm (2RE )2
m va2 2RE
v a
a
o
4RE
RE
b
v b
第二宇宙速度 v2 11.2km/s
河南城建学院数理系
v
h
``````
主讲 王新练
3 – 6 功能原理 机械能守恒定律 大学物理教程（第二版）
3 飞出太阳系 第三宇宙速度
解 取抛体和地球为一系统 ，
系统的机械能 E 守恒 .
E
1 2
mv12
(G
mmE RE
)
1 mv2 (G mmE )
2
RE h
h v
``````
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主讲 王新练
3 – 6 功能原理 机械能守恒定律 大学物理教程（第二版）
E
1 2
mv12
(G
mmE RE
)
计算得第一宇宙速度 v1 7.9 103 m/s
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3 – 6 功能原理 机械能守恒定律 大学物理教程（第二版）
我国1977年发 射升空的东方红三 号通信卫星
神州六号飞船
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主讲 王新练
3 – 6 功能原理 机械能守恒定律 大学物理教程（第二版）
2 人造行星 第二宇宙速度
（A）动量守恒，机械能守恒 . （B）动量不守恒，机械能守恒 . （C）动量不守恒，机械能不守恒 . （D）动量守恒，机械能不一定守恒 .
C
D
C
D
A
B
A
B
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主讲 王新练
3 – 6 功能原理 机械能守恒定律 大学物理教程（第二版）
讨论
下列各物理量中，与参照系有关的物 理量是哪些？ （不考虑相对论效应）
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主讲 王新练
3 – 6 功能原理 机械能守恒定律 大学物理教程（第二版）
三 机械能守恒定律
功能原理
W ex
W in nc
(Ek
Ep ) (Ek0
Ep0 )
当
W ex
W in nc
0
时，有 E E0
机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下，
质点系的机械能保持不变 .
v a
a
o
b
4RE
RE
v b
Ea
1 2
mva2
G
mE m 2RE
1 4
mgRE
Eb
1 2
mvb2
G
mE m 4RE
1 8
mgRE
E
1 8
mgRE
2.35 1010 J
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主讲 王新练
3 – 6 功能原理 机械能守恒定律 * 四 宇宙速度
大学物理教程（第二版）
牛顿的《自然哲学的数学原理》插图，抛体
的运动轨迹取决于抛体的初速度
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主讲
王新练
3 – 6 功能原理 机械能守恒定律 大学物理教程（第二版）
1 人造地球卫星 第一宇宙速度
第一宇宙速度 v1，是在地面上发射人造地球卫星
所需的最小速度 .
设 地球质量 mE , 抛体质量 m , 地球半径 RE .
i
i
i
质点系动能定理 W ex W in Ek Ek0
注意
内力可以改变质点系的动能
河南城建学院数理系
主讲 王新练
3 – 6 功能原理 机械能守恒定律 大学物理教程（第二版）
二 质点系的功能原理
质点系动能定理 W ex W in Ek Ek0
W in Wiin Wcin Wnicn
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主讲 王新练
3 – 6 功能原理 机械能守恒定律 大学物理教程（第二版）
已知：RE ≈
G
mE m (2RE )2
6.4×103 km
m va2 2RE
,
G mE RE2 g
va (gRE / 2)1/ 2
同理 vb (gRE / 4)1/ 2
m = 3.0×103 kg
Ek Ek0 (Ep Ep0 )
守恒定律的意义
Ek Ep
不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是各 个守恒定律的特点和优点 .
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主讲 王新练
3 – 6 功能原理 机械能守恒定律 大学物理教程（第二版）
讨论 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上，
物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦因数均不为零，首 先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B， 使弹簧压 缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对 A、 B、C、D 组成的系统
1）质量 4）动能
2）动量 5）势能
3）冲量 6） 功
答：动量、动能、功 .
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主讲 王新练
3 – 6 功能原理 机械能守恒定律 大学物理教程（第二版）
例1 已知地球的半径为 RE ≈ 6.4×103 km, 今有质量 为 m = 3.0×103 kg 的人造地球卫星从半径为 2 RE 的圆形
3 – 6 功能原理 机械能守恒定律 大学物理教程（第二版）
一 质点系的动能定理
对第 i 个质点，有
Wiex Wiin Eki Eki0
外力功 内力功 对质点系，有
m1
Fiex
m2 Fiin mi
Wiex Wiin Eki Eki0 Ek Ek0
i
第二宇宙速度 v2 ，是抛体脱离地球引力所需的最
小发射速度 .
设 地球质量 mE , 抛体质量m , 地球半径 RE .
取抛体和地球为一系统 系统机械能 E 守恒 .
当 r , F 0; 若此时 v 0 则
E
1 2
mv22
(G
mEm ) RE
0
v2
2GmE RE
2 gRE
1 2
mv2
(G
mmE ) RE h
由牛顿第二定律和万有引力定律得
m
v2 RE
h
G
mmE (RE h)2
h v
``````
解得 v1
2GmE GmE RE RE h
g GmE RE2
v1
gRE
(2
RE RE
h
)
地球表面附近 RE h
故 v1 gRE
i
非保守 力的功
Wcin ( Epi Epi0 ) (Ep Ep0 )
iiLeabharlann W exW in nc
(Ek
Ep ) (Ek0
Ep0 )
机械能 E Ek Ep W ex Wnicn E E0
质点系的功能原理: 质点系机械能的增量等于
外力和非保守内力作功之和 .