高考数学一轮复习第十四单元椭圆双曲线抛物线高考达标检测三十九抛物线命题3角度__求方程研性质用关系理

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高中数学高考试卷考点之椭圆双曲线抛物线和圆锥曲线的综合应用知识汇总,带参考答案共五十六页

数学高考试卷椭圆双曲线抛物线和圆锥曲线的综合应用，带参考答案本文收集整理了高中数学高考试卷椭圆、双曲线、抛物线和圆锥曲线的综合应用知识知识，并配上详细参考答案，内容全共五十六页。

同学们认真完成这些练习，并对过答案，对学习高中椭圆、双曲线、抛物线和圆锥曲线的综合应用知识知识，一定有很大的帮助，希望大家喜欢这份文档。

一、椭圆知识1．（2018全国Ⅱ，12）已知F 1，F 2是椭圆C ： x 2a +y 2b =1 (a >b >0)的左，右焦点，A是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120°，则C 的离心率为( )A ．23 B ．12 C ．13 D ．141.答案：D 因为△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120°，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP 斜率为√36得，tan∠PAF 2=√36,∴sin∠PAF 2=√13cos∠PAF 2=√12√13，由正弦定理得PF 2AF 2=sin∠PAF 2sin∠APF 2,所以2c a+c =1√13sin(π3−∠PAF 2)1√13√32⋅√12√13−12⋅1√1325∴a =4c,e =14，选D.2.（2017•新课标Ⅲ,10）已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1 ， A 2 ，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay+2ab=0相切，则C 的离心率为（）A. B. C. D.2. 答案：A 以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay+2ab=0相切， ∴原点到直线的距离=a ，化为：a 2=3b 2 ． ∴椭圆C 的离心率e= = = ．故选A ．3.（2017•浙江,）椭圆+=1的离心率是（）A. B. C. D.3. 答案：B 椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c==，所以椭圆的离心率为： =．故选B ．4.(2016·浙江，7)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A.m ＞n 且e 1e 2＞1B.m ＞n 且e 1e 2＜1C.m ＜n 且e 1e 2＞1D.m ＜n 且e 1e 2＜14.答案： A [由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2，又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n . 又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1.] 5.(2016·全国Ⅲ，11)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.345.A [设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am2（a －c ），又B ，D ，M 三点共线，所以m 2（a －c ）＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13.]6.(2014·大纲全国，6)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点.若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 6.A [由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， ∴△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝ 3.又e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.]7．（2018浙江，17）已知点P (0，1)，椭圆x24+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP⃑⃑⃑⃑⃑ =2PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．7.5 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，由AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =2PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 得−x 1=2x 2,1−y 1=2(y 2−1),∴−y 1=2y 2−3, 因为A ,B 在椭圆上,所以x 124+y 12=m,x 224+y 22=m, ∴4x 224+(2y 2−3)2=m,∴x 224+(y 2−32)2=m4，与x 224+y 22=m 对应相减得y 2=3+m 4,x 22=−14(m 2−10m +9)≤4，当且仅当m =5时取最大值.8.(2016·江苏，10)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.8.63 [联立方程组⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B 、C 两点坐标为B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2,C ⎝⎛⎭⎫32a ，b2,又F (c ,0),则FB →＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝⎛⎭⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得：c 2－34a 2＋b 24＝0①，又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝ca＝23＝63. 9.(2014·辽宁，15)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.9.12 [设MN 交椭圆于点P ，连接F 1P 和F 2P (其中F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN |＋|BN |＝2|F 1P |＋2|F 2P |＝2×2a ＝4a ＝12.] 10.(2014·安徽，14)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________. 10.x 2＋3y 22＝1 [设点A 在点B 上方，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3（x 0＋c ），－b 2＝3y 0，即⎩⎨⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25（1－b 2）9＋19b 2＝1，得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1.] 11.(2014·江西，15)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________. 11.22 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＝0，根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2得c a ＝22，所以e ＝22.] 12．（2018全国Ⅲ，20）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ： x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB的中点为M(1 ， m)(m >0)．（1）证明：k <−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP ⃑⃑⃑⃑⃑ +FA ⃑⃑⃑⃑⃑ +FB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0．证明：|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |，|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |，|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |成等差数列，并求该数列的公差． 12.（1）设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 124+y 123=1,x 224+y 223=1.两式相减，并由y 1−y2x 1−x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23⋅k =0. 由题设知x 1+x 22=1,y 1+y 22=m ，于是k =−34m .①由题设得0<m <32，故k <−12. （2）由题意得F(1,0)，设P(x 3,y 3)，则 (x 3−1,y 3)+(x 1−1,y 1)+(x 2−1,y 2)=(0,0).由（1）及题设得x 3=3−(x 1+x 2)=1,y 3=−(y 1+y 2)=−2m <0. 又点P 在C 上，所以m =34，从而P(1,−32)，|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=32. 于是|FA⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 124)=2−x 12. 同理|FB⃑⃑⃑⃑⃑ |=2−x 22.所以|FA⃑⃑⃑⃑⃑ |+|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=4−12(x 1+x 2)=3. 故2|FP⃑⃑⃑⃑⃑ |=|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，即|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |成等差数列. 设该数列的公差为d ，则2|d|=||FB⃑⃑⃑⃑⃑ |−|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ||=12|x 1−x 2|=12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2.② 将m =34代入①得k =−1.所以l 的方程为y =−x +74，代入C 的方程，并整理得7x 2−14x +14=0.故x 1+x 2=2,x 1x 2=128，代入②解得|d|=3√2128. 所以该数列的公差为3√2128或−3√2128. 13．（2018天津，19）设椭圆22221x x a b+= (a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的点A 的坐标为(),0b，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ： (0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若sin 4AQ AOQ PQ=∠ (O 为原点) ，求k 的值. 13.（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得， FB a =，AB =，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（Ⅱ）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12PQ sin AOQ y y ∠=-．又因为2y AQ sin OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由4AQ sin AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2．由方程组22{ 194y kx x y =+=，，消去x，可得1y =．易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组{20y kx x y =+-=，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）= 两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =．所以，k 的值为12或1128．14.（2017•江苏,17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ： =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1 ， F 2 ，离心率为，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1 ，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2 ．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 1 ， l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．14.（1）设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =， 228a c =，解得2,1a c ==，于是b ==因此椭圆E 的标准方程是22143x y +=. （2）由（1）知， ()11,0F -， ()21,0F . 设()00,P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>. 当01x =时， 2l 与1l 相交于1F ，与题设不符. 当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为001y x -.因为11l PF ⊥， 22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y -+，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程： ()0011x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程： ()0011x y x y -=--. ② 由①②，解得2001,x x x y y -=-=，所以20001,x Q x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即2201x y -=或22001x y +=. 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=. 由22002201{ 143x y x y-=+=，解得00x y ==； 220022001{ 143x y x y +=+=，无解.因此点P的坐标为⎝⎭15.(2016·全国Ⅱ，20)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围.15.解 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1,A (-2,0).由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)，当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0.由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2).16.(2016·四川，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |，并求λ的值. 16.(1)解由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2，1).(2)证明由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎨⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3.所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫2－2m 3，1＋2m 3.|PT |2＝89m 2. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎨⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)，由Δ>0，解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|P A |＝⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 12＋⎝⎛⎭⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2.所以|P A |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m3－x 1⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3（x 1＋x 2）＋x 1x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3⎝⎛⎭⎫－4m 3＋4m 2－123＝109m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |.17.(2015·重庆，21)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .17.解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23，即c ＝3，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一如图设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c .由|PF 1|＝|PQ |＞|PF 2|得x 0＞0，从而 |PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义,|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,|QF 1|＋|QF 2|＝2a , 从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|,有|QF 1|＝4a －2|PF 1|. 又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 法二如图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝ca ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a ＝（2－2）2＋（2－1）2＝9－62＝6－ 3. 18.(2015·福建，18)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，2)，且离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝⎛⎭⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.18.解法一 (1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝2，b＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0).⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0.所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋942＋y 20＝⎝⎛⎭⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516. |AB |24＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24 ＝（1＋m 2）（y 1－y 2）24＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22（m 2＋2）－3（1＋m 2）m 2＋2＋2516＝17m 2＋216（m 2＋2）＞0，所以|GH |＞|AB |2.故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0在以AB 为直径的圆外. 法二 (1)同法一.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94，y 1，GB →＝⎝⎛⎭⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而GA →·GB →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94⎝⎛⎭⎫x 2＋94＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫my 1＋54⎝⎛⎭⎫my 2＋54＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋2516＝－3（m 2＋1）m 2＋2＋52m2m 2＋2＋2516＝17m 2＋216（m 2＋2）＞0，所以cos 〈GA →，GB →〉＞0.又GA →，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角. 故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0在以AB 为直径的圆外. 19.(2015·陕西，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E的方程.19.解 (1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bc a,由d ＝12c ,得a ＝2b ＝2a 2－c 2,解得离心率c a ＝32.(2)法一由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10，易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1,代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b 21＋4k 2，由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12，从而x 1x 2＝8－2b 2，于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2），由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3，故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.法二由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2，②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB |＝10，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0，易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12，因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0，所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2，于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）.由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3，故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.20.(2015·北京，19)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由.20.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c2解得a 2＝2，故椭圆C 的方程为x22＋y 2＝1.设M (x M ，0).因为m ≠0，所以－1＜n ＜1.直线P A 的方程为y －1＝n －1m x .所以x M ＝m 1－n，即M ⎝⎛⎭⎫m 1－n ，0. (2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n ). 设N (x N ，0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”，等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1.所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2). 21.(2015·江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22,且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若PC ＝2AB ,求直线AB 的方程. 21.解 (1)由题意,得c a ＝22且c ＋a 2c＝3,解得a ＝2,c ＝1,则b ＝1,所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时,AB ＝2,又CP ＝3,不合题意.当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y ＝k (x －1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 将AB 的方程代入椭圆方程,得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0, 则x 1,2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2,C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2,且 AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝22（1＋k 2）1＋2k 2.若k ＝0,则线段AB 的垂直平分线为y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而k ≠0,故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2,则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2）,从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）.因为PC ＝2AB ,所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2,解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.二、双曲线知识1．（2018浙江，2）双曲线x 23−y 2=1的焦点坐标是( ) A ．(−√2，0)，(√2，0) B ．(−2，0)，(2，0) C ．(0，−√2)，(0，√2) D ．(0，−2)，(0，2)1.B 因为双曲线方程为x 23−y 2=1，所以焦点坐标可设为(±c,0)，因为c 2=a 2+b 2=3+1=4,c =2，所以焦点坐标为(±2,0)，选B. 2．（2018全国Ⅰ，11）已知双曲线C ：x 23−y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |=( ) A ．32 B ．3 C ．2√3 D ．42.B 根据题意，可知其渐近线的斜率为±√33，且右焦点为F(2,0)，从而得到∠FON =30°，所以直线MN 的倾斜角为60°或120°，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，可以得出直线MN 的方程为y =√3(x −2)，分别与两条渐近线y =√33x 和y =−√33x 联立，求得M(3,√3),N(32,−√32)，所以|MN |=2)√2)=3，故选B.3．（2018全国Ⅱ，5）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0, b >0)的离心率为√3，则其渐近线方程为( )A ．y =±√2xB ．y =±√3xC ．y =±√22x D ．y =±√32x 3.A ∵e =ca =√3,∴b 2a 2=c 2−a 2a 2=e 2−1=3−1=2,∴ba =√2,因为渐近线方程为y =±ba x ，所以渐近线方程为y =±√2x ，选A. 4．（2018全国Ⅲ，11）设F 1,F 2是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若|PF 1|=√6|OP |，则C 的离心率为( ) A ．√5 B ．√3 C ．2 D ．√24.B 由题可知|PF 2|=b,|OF 2|=c ,∴|PO |=a ,在Rt △POF 2中，cos∠PF 2O =|PF 2||OF 2|=bc, ∵在△PF 1F 2中,cos∠PF 2O =|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2−(√6a)22b∙2c=bc ⇒c 2=3a 2,∴e =√3.故选C.5．（2018天津，7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为( )A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22193x y -=5.C 设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设： 22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为： 0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==，则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得： 23a =，则双曲线的方程为22139x y -=. 本题选择C 选项.6.（2017•新课标Ⅱ,9）若双曲线C ： ﹣ =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A.2B.C.D.6. A 双曲线C ： ﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x ﹣2）2+y 2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C ： ﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为： = ，解得：，可得e 2=4，即e=2．故选A ．7.（2017•新课标Ⅲ,5）已知双曲线C ：﹣ =1 （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y= x ，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C 的方程为（）A.﹣ =1B.﹣ =1C.﹣=1 D.﹣=17. B 椭圆 +=1的焦点坐标（±3，0），则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3，双曲线C ：﹣ =1 （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y=x ，可得，即，可得 = ，解得a=2，b= ，所求的双曲线方程为： ﹣ =1．故选B ．8.（2017·天津,5）已知双曲线 ﹣ =1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，离心率为．若经过F 和P （0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（） A.=1 B.=1 C.=1 D.=18. B 设双曲线的左焦点F （﹣c ，0），离心率e= =，c=a ，则双曲线为等轴双曲线，即a=b ，双曲线的渐近线方程为y=±x=±x ，则经过F 和P （0，4）两点的直线的斜率k= =，则=1，c=4，则a=b=2，∴双曲线的标准方程：；故选B ．9.(2016·全国Ⅰ，5)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A.(－1，3)B.(－1，3)C.(0，3)D.(0，3)9.A [∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A.]10.(2016·全国Ⅱ，11)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A.2B.32C.3D.210.A [离心率e ＝F 1F 2MF 2－MF 1，由正弦定理得e ＝F 1F 2MF 2－MF 1＝sin Msin F 1－sin F 2＝2231－13＝ 2.故选A.]11.(2015·福建，3)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A.11B.9C.5D.311.B [由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ,∵|PF 1|＝3,∴P 在左支上,∵a ＝3,∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B.]12.(2015·安徽，4)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A.x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D.y 2－x 24＝112.C [由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12x ，只有C 符合，故选C.]13.(2015·广东，7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 216－y 29＝1C.x 29－y 216＝1D.x 23－y 24＝1 13.B [因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选B.] 14.(2015·四川，5)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.433B.2 3C.6D.4 314.D [焦点F (2，0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，y ＝±23，∴|AB |＝23－(－23)＝4 3.选D.]15.(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B.2 C. 3 D. 2 15.D [如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0),则|AB |＝2a ,由双曲线的对称性,可设点M (x 1，y 1)在第一象限内,过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝2，选D.] 16.(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 16.A [由题意知M 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上，又在x 2＋y 2＝3内部，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22－y 2＝1，x 2＋y 2＝3，得y ＝±33，所以－33<y 0<33.] 17.(2014·天津，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 17.A [由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y ＝b a x 与直线y ＝2x ＋10平行，所以ba ＝2且左焦点为(-5,0),所以a 2＋b 2＝c 2＝25,解得a 2＝5,b 2＝20,故双曲线方程为x 25－y 220＝1.选A.]18.(2014·广东，4)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A.离心率相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.焦距相等18.D [由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等，选D.]19.(2014·新课标全国Ⅰ，4)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B.3 C.3m D.3m19.A [∵双曲线的方程为x 23m －y 23＝1，∴焦点F 到一条渐近线的距离为 3.]20.(2014·重庆，8)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D.3 20.B [由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||＝2a ,又|PF 1|＋|PF 2|＝3b ,所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|-|PF 2|)2＝9b 2-4a 2,即4|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 2，又4|PF 1|·|PF 2|＝9ab ，因此9b 2－4a 2＝9ab ，即9⎝⎛⎭⎫b a 2-9b a －4＝0,则⎝⎛⎭⎫3b a ＋1⎝⎛⎭⎫3b a －4＝0，解得b a ＝43⎝⎛⎭⎫b a ＝－13舍去，则双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝53.]21.(2014·山东，10)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C.x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝021.A [椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ,双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.]22.(2014·大纲全国，9)已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1、F 2，点A 在C 上.若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( ) A.14 B.13 C.24 D.2322.A [由双曲线的定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ，又|AF 1|＝2|AF 2|，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a . ∵e ＝ca ＝2，∴c ＝2a ，∴|F 1F 2|＝4a .∴cos ∠AF 2F 1＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2－|AF 1|22|AF 2|·|F 1F 2|＝（2a ）2＋（4a ）2－（4a ）22×2a ×4a＝14，故选A.]23．（2018江苏，8）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为√32c ，则其离心率的值是________．23.2 因为双曲线的焦点F(c,0)到渐近线y =±ba x,即bx ±ay =0的距离为√a 2+b2=bc c=b,所以b =√32c ，因此a 2=c 2−b 2=c 2−34c 2=14c 2, a =12c,e =2.24.（2017•山东,14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py （p ＞0）交于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．24. y=± x 把x 2=2py （p ＞0）代入双曲线=1（a ＞0，b ＞0），可得：a 2y2﹣2pb 2y+a 2b 2=0，∴y A +y B =，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A +y B +2× =4× ，∴ =p ，∴ = ．∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x ．故答案为：y=± x ．25.（2017•北京,9）若双曲线x 2﹣=1的离心率为，则实数m=________．25.2 双曲线x 2﹣=1（m ＞0）的离心率为，可得：，解得m=2．故答案为：2．26.（2017•江苏,8）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ， F 2 ，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________． 26.2双曲线﹣y 2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y= x ，所以P （，），Q （，﹣ ），F 1（﹣2，0）．F 2（2，0）．则四边形F 1PF 2Q 的面积是： =2．故答案为：2．27.(2016·山东，13)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.27.2 [由已知得|AB |＝2b 2a ,|BC |＝2c ,∴2×2b 2a ＝3×2c ,又∵b 2＝c 2-a 2,整理得：2c 2-3ac -2a 2=0，两边同除以a 2得2⎝⎛⎭⎫c a 2－3c a－2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去).] 28.(2015·浙江，9)双曲线x 22－y 2＝1的焦距是______，渐近线方程是______.28.23 y ＝±22x [由双曲线方程得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝3，∴焦距为23，渐近线方程为y ＝±22x .]29.(2015·北京，10)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.29.33 [双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，∴b a ＝3，又b ＝1，∴a ＝33.] 30.(2015·湖南，13)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________.30.5 [不妨设F (c ，0)，则由条件知P (－c ，±2b )，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得c 2a 2＝5，∴e ＝ 5.]31.(2015·江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________. 31.22[双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋12＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22.] 32.(2014·浙江，16)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________. 32.52 [联立直线方程与双曲线渐近线方程y ＝±bax 可解得交点为 ⎝⎛⎭⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，而k AB ＝13，由|P A |＝|PB |，可得AB 的中点与点P 连线的斜率为－3，即bm 3b －a ＋bm3b ＋a2－0am3b －a ＋－am 3b ＋a2－m＝－3，化简得4b 2＝a 2，所以e ＝52.]33.(2014·江西，20)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点). (1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值.33.(1)解设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，解得B ⎝⎛⎭⎫c 2，－c 2a . 又直线OA 的方程为y ＝1a x ，则A ⎝⎛⎭⎫c ，c a ，k AB ＝c a －⎝⎛⎭⎫－c 2a c －c 2＝3a.又因为AB ⊥OB ，所以3a ·⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)证明由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0.因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ⎝⎛⎭⎫2，2x 0－33y 0；直线l 与直线x ＝32的交点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32x 0－33y 0. 则|MF |2|NF |2＝（2x 0－3）2（3y 0）214＋⎝⎛⎭⎫32x 0－32（3y 0）2＝（2x 0－3）29y 204＋94（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）23y 20＋3（x 0－2）2，因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得 |MF |2|NF |2＝43·（2x 0－3）2x 20－3＋3（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）24x 20－12x 0＋9＝43，所求定值为|MF ||NF |＝23＝233.三、抛物线1．（2018全国Ⅰ，8）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FN ⃑⃑⃑⃑⃑ =( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．81.D 根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为y =23(x +2)，与抛物线方程联立{y =23(x +2)y 2=4x ，消元整理得：y 2−6y +8=0，解得M(1,2),N(4,4)，又F(1,0)，所以FM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2),FN ⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,4)，从而可以求得FM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FN ⃑⃑⃑⃑⃑ =0×3+2×4=8，故选D. 2.(2016·全国Ⅰ，10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.82.B [不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0),如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5，点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，① 点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，② 点D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝⎛⎭⎫p22＝r 2，③ 联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.]3.(2015·天津，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 3.D [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba ＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7②，联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D.] 4.(2015·浙江，5)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋14.A [由图象知S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x B x A ，由抛物线的性质知|BF |＝x B ＋1，|AF |＝x A ＋1，∴x B ＝|BF |-1，x A ＝|AF |－1，∴S △BCF S △ACF ＝|BF |－1|AF |－1.故选A.]5．（2018全国Ⅲ，16）已知点M(−1 ， 1)和抛物线C ： y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB =90°，则k =________．5.2 设A (x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{y 12=4x 1y 22=4x2,所以y 12−y 22=4x 1−4x 2,所以k =y 1−y 2x 1−x 2=4y 1+y 2.取AB 中点M′(x 0，y 0),分别过点A,B 作准线x =−1的垂线，垂足分别为A ′,B′,因为∠AMB =90°,∴|MM ′|=12|AB |=12(|AF |+|BF |)=12(|AA ′|+|BB′|),因为M’为AB 中点，所以MM’平行于x 轴,因为M(-1,1),所以y 0=1，则y 1+y 2=2即k =2.6.（2017•新课标Ⅱ,16）已知F 是抛物线C ：y 2=8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则|FN|=________．6. 6 抛物线C ：y 2=8x 的焦点F （2，0），M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，可知M 的横坐标为：1，则M 的纵坐标为：，|FN|=2|FM|=2 =6．故答案为：6．7.(2016·浙江，9)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________. 7.9 [抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0).准线为x ＝-1,由M 到焦点的距离为10,可知M 到准线x ＝-1的距离也为10,故M 的横坐标满足x M ＋1＝10,解得x M ＝9,所以点M 到y 轴的距离为9.] 8.(2015·陕西，14)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________.8.22 [由于双曲线x 2－y 2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p ＝2 2.]9.(2014·湖南，15)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ， b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a ＝________.9.1＋2 [由正方形的定义可知BC ＝CD ，结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点，所以|AD |＝p ＝a ，D ⎝⎛⎭⎫p 2，0，F ⎝⎛⎭⎫p2＋b ，b ，将点F 的坐标代入抛物线的方程得b 2＝2p⎝⎛⎭⎫p 2＋b ＝a 2＋2ab ，变形得⎝⎛⎭⎫b a 2－2b a －1＝0，解得b a ＝1＋2或b a＝1－2(舍去)，所以ba ＝1＋ 2.]10.(2014·上海，3)若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为______________. 10.x ＝-2[∵c 2＝9-5＝4,∴c ＝2.∴椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为(2，0),∴p2＝2,即p ＝4. ∴抛物线的准线方程为x ＝-2.]。

高考数学一轮复习第十四单元椭圆、双曲线、抛物线高考达标检测(三十八)双曲线命题3角度——用定义

高考达标检测（三十八）双曲线命题3角度——用定义、求方程、研性质一、选择题1．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 由题意得，ba＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4.2．椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的公共焦点为F 1，F 2，若P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －aB ．m 2－a 2C.m －a2D.m －a解析：选B 由题意，不妨设P 在双曲线的右支上，则|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ， ∴|PF 1|·|PF 2|＝m 2－a 2.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积为( )A.24B.22 C.28D.216解析：选C 双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，即x 212－y 2＝1，所以左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程y ＝±2x ，过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12，所以该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积S ＝12|OA |·|y |＝12×22×12＝28. 4．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝6，P 是E 右支上一点，PF 1与y 轴交于点A ，△PAF 2的内切圆在边AF 2上的切点为Q ，若|AQ |＝3，则E 的离心率为( )A ．2 3 B. 5 C. 3D. 2解析：选C 如图，设△PAF 2的内切圆在边PF 2上的切点为M ，在AP 上的切点为N ，则|PM |＝|PN |，|AQ |＝|AN |＝3，|QF 2|＝|MF 2|，由双曲线的对称性可得，|AF 1|＝|AF 2|＝|AQ |＋|QF 2|＝3＋|QF 2|，由双曲线的定义可得，|PF 1|－|PF 2|＝|PA |＋|AF 1|－|PM |－|MF 2| ＝3＋|QF 2|＋|AN |＋|NP |－|PM |－|MF 2| ＝23＝2a ，解得a ＝3，又|F 1F 2|＝6，则c ＝3，故离心率e ＝c a＝ 3.5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为( )A.52B. 5C. 2D ．2解析：选C 将x ＝c 代入双曲线方程可得|y |＝b 2a，因为以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，所以圆的半径为b 2a，又双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，所以bc b 2＋a 2＝b 2a，化简可得a ＝b ，则双曲线的离心离为 2.6．(2018·东北四校联考)已知点F 1，F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|PF 2|＝|F 1F 2|，∠F 1F 2P ＝120°，则双曲线的离心率为( )A.3＋12B.5＋12C. 3D. 5解析：选A 如图，在△PF1F 2中，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1F 2P ＝120°，由余弦定理可得|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2－2|F 1F 2|·|PF 2|·cos 120°＝12c 2，所以|PF 1|＝23c .由双曲线的定义可得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝23c －2c ＝2(3－1)c . 故双曲线的离心率e ＝2c2a＝2c 3－c＝3＋12. 7．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，A 为右顶点，P 为双曲线左支上一点，若|PF 2|2|PF 1|－|OA |存在最小值为12a ，则双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为( )A.15B.12C.265D.35解析：选A 设|PF 1|－|OA |＝m ，则|PF 2|2|PF 1|－|OA |＝a ＋m 2m＝m ＋9a2m＋6a ≥12a ，当且仅当m ＝3a 时取等号，∴|PF 1|＝4a ， ∴4a ≥c －a ，∴5a ≥c ， ∴25a 2≥a 2＋b 2，∴b a≤26，设双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角为α，则0＜tan α≤26，∴cos α≥15，∴双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为15.8．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P ，Q ，若∠PAQ ＝60°且OQ ―→＝5OP ―→，则双曲线C 的离心率为( )A ．2 B.213C.72D ．3解析：选B 如图，因为∠PAQ ＝60°，|AP |＝|AQ |，所以△QAP 为等边三角形．设|AQ |＝2R ，因为OQ ―→＝5OP ―→，所以|PQ |＝2R ，|OP |＝12R .又渐近线方程为y ＝b ax ，A (a,0), 取PQ 的中点M ，则|AM |＝|ab |a 2＋b 2，由勾股定理可得(2R )2－R 2＝⎝⎛⎭⎪⎫|ab |a 2＋b 22，所以(ab )2＝3R 2(a 2＋b 2)． ①在△OQA 中，⎝ ⎛⎭⎪⎫52R 2＋2R 2－a22·52R ·2R ＝12，所以214R 2＝a 2. ②联立①②并结合c 2＝a 2＋b 2，可得c 2＝74b 2＝74(c 2－a 2)，即3c 2＝7a 2，所以e ＝ca ＝ 73＝ 213. 二、填空题9．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．解析：由题意得，双曲线的右准线x ＝32与两条渐近线y ＝±33x 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±32.不妨设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，则F 1(－2,0)，F 2(2,0)，故四边形F 1PF 2Q 的面积是12|F 1F 2|·|PQ |＝12×4×3＝2 3.答案：2 310．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知 |AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b2＝1，x 2＝2py消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 答案：y ＝±22x 11．已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2作双曲线渐近线的垂线，垂足为P ，若|PF 1|2－|PF 2|2＝c 2，则双曲线的离心率e ＝__________.解析：设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝bax ，F 2(c,0)到渐近线的距离为d ＝|PF 2|＝bc a 2＋b 2＝b ，cos ∠POF 2＝c 2－b 2c ＝ac ，在△POF 1中，|PF 1|2＝|PO |2＋|OF 1|2－2|PO |·|OF 1|·cos∠POF 1 ＝a 2＋c 2－2ac ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a c ＝3a 2＋c 2，则|PF 1|2－|PF 2|2＝3a 2＋c 2－b 2＝4a 2＝c 2， ∴e ＝c a＝2. 答案：212．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35|CD |，则双曲线的离心率e 的取值范围为__________．解析：设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为(c,0)，将x ＝c 代入双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ， ∴|AB |＝2b 2a .将x ＝c 代入y ＝±b a x ，得y ＝±bca，令C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，D ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－bc a，∴|CD |＝2bca.∵|AB |≥35|CD |，∴2b 2a ≥35·2bc a ，即b ≥35c ，则b 2＝c 2－a 2≥925c 2，即1625c 2≥a 2，∴e 2＝c 2a 2≥2516，即e ≥54. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞三、解答题13．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 26＝1，y ＝33x －，得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13× ⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝1635. 14．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ―→·OB ―→＞2，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，故双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2＞0，∴k 2＜1且k 2≠13.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA ―→·OB ―→＞2，即x 1x 2＋y 1y 2＞2，∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.1．(2018·江西吉安一中测试)在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且|AB |＝2，|AD |＝1，|CD |＝2x ，其中x ∈(0,1)，以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，若对任意x ∈(0,1)，不等式t <e 1＋e 2恒成立，则t 的最大值为( )A. 3B. 5 C ．2D. 2解析：选B 由平面几何知识可得|BD |＝|AC |＝1＋4x ，所以e 1＝21＋4x －1，e 2＝2x1＋4x ＋1，所以e 1e 2＝1. 因为e 1＋e 2＝e 1＋1e 1＝21＋4x －1＋1＋4x －12在x ∈(0,1)上单调递减，所以e 1＋e 2>21＋4－1＋1＋4－12＝ 5. 因为对任意x ∈(0,1)，不等式t <e 1＋e 2恒成立，所以t ≤5，即t 的最大值为 5.2．设A 1，A 2分别为双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的上、下顶点，若双曲线上存在点M 使得两直线斜率kMA 1·kMA 2>2，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，62 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，62 C.⎝⎛⎭⎪⎫62，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32解析：选B 设M (x 0，y 0)，A 1(0，a )，A 2(0，－a )，则k MA 1＝y 0－a x 0，k MA 2＝y 0＋ax 0， ∴k MA 1·k MA 2＝y 20－a2x 20>2.(*)又点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a 2－x 2b2＝1上，∴y 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20b 2＋1，代入(*)式化简得，a 2b 2＞2，∴b 2a 2＜12， ∴c 2－a 2a 2＝e 2－1＜12，解得1＜e ＜62.3．已知双曲线x 29－y 227＝1与点M (5,3)，F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，则|PM |＋12|PF |的最小值为__________．解析：双曲线x 29－y 227＝1，焦点在x 轴上，a ＝3，b ＝33，c ＝a 2＋b 2＝6. ∴双曲线的离心率e ＝c a ＝2，右准线l ：x ＝a 2c ＝32，过P 作PN ⊥l 于点N ，由双曲线的第二定义可知：|PF ||PN |＝e ， ∴|PF |＝e |PN |＝2|PN |, ∴|PN |＝12|PF |，因此|PM |＋12|PF |＝|PM |＋|PN |，当且仅当M ，N ，P 三点共线时，|PM |＋12|PF |＝|MN |时取得最小值，∴|PM |＋12|PF |的最小值为5－32＝72.答案：72。

高考数学总复习椭圆、双曲线、抛物线单元测试题

高考数学总复习椭圆、双曲线、抛物线单元测试题一.选择题(1) 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ( )A 2B 3C 4D 5 (2) 若焦点在x轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m=( )ＡＢ32 Ｃ83Ｄ23(3) 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆, 那么实数k 的取值范围是 ( )A (0, +∞)B (0, 2)C (1, +∞)D (0, 1)(4) 设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF( )A 1或 5B 6C 7D 9(5) 对于抛物线y 2=2x 上任意一点Q, 点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |, 则a 的取值范围是( )A [0, 1]B (0, 1)C (]1，∞- D (-∞, 0)(6) 若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为( )A1716B 17174C 54D 552(7) 已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为 ( )A23 B23C 26D 332(8) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,并且满足OA ⊥OB. 则y 1y 2等于( )A – 4p 2B 4p 2C – 2p 2D 2p 2(9) 已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为( )A43B53C 3 (10) 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A2B C 2 1 二.填空题(11) 若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.(12)设中心在原点的椭圆与双曲线2 x 2-2y 2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 .(13) 过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．(14) 以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若),(21OB OA OP +=则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）三.解答题(15)点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥.求点P 的坐标； .(16) 已知抛物线C: y=-21x 2+6, 点P （2, 4）、A 、B 在抛物线上, 且直线PA 、PB 的倾斜角互补. (Ⅰ)证明:直线AB 的斜率为定值;(Ⅱ)当直线AB 在y 轴上的截距为正数时, 求△PAB 面积的最大值及此时直线AB 的方程.(17) 双曲线12222=-by a x (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥54c.求双曲线的离心率e 的取值范围(18) 已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.（1）求抛物线方程；（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.参考答案一选择题:1.D[解析]：点A 与抛物线焦点的距离就是点A 与抛物线准线的距离，即5)1(4=-- 2.B[解析]：∵焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，∴2122=-m 则m=233.D[解析]： ∵方程x 2+ky 2=2，即12222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆 ∴22>k故10<<k 4.C[解析]：双曲线19222=-y ax 的一条渐近线方程为023=-y x ，故2=a 又P 是双曲线上一点，故4||||||21=-PF PF ，而3||1=PF ，则=||2PF 75.C[解析]：对于抛物线y 2=2x 上任意一点Q, 点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |,若,0≤a 显然适合若0>a ，点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |就是2222)2(y y a a +-≤ 即1142≤+≤y a ，此时10≤<a 则a 的取值范围是(]1，∞- 6.D[解析]：3522=-+b c bc ，5245222==∴=∴=a c e a c b c 7.D[解析]：双曲线)0(1222>=-a y a x 的准线为122+±=a a x抛物线x y 62-=的准线为23=x 因为两准线重合，故122+a a =23，2a =3，则该双曲线的离心率为328.A[解析]：∵A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,并且满足OA ⊥OB.∴04)(0,12122212121=+∴=+∴-=⋅y y py y y y x x k k OBOA 则y 1y 2 = – 4p 29.C[解析]：∵120,MF MF ⋅=∴点M 在以F 1F 2为直径的圆322=+y x 上故由32||1232222=⎪⎩⎪⎨⎧=-=+y y x y x 得则点M 到x 轴的距离为332 10.D[解析]：不妨设点P 在 x 轴上方，坐标为),(2ab c ,∵△F 1PF 2为等腰直角三角形∴|PF 2|=|F 1F 2|，即c a b 22=，即e e a c ac a 2122222=-∴=- 故椭圆的离心率e1二填空题:11. 1922=-y x [解析]：因为双曲线的渐近线方程为x y 3±=，则设双曲线的方程是λ=-922y x ，又它的一个焦点是()0,10 故1109=∴=+λλλ12. 1222=+y x [解析]：双曲线2 x 2-2y 2=1的焦点为（)0,1±，离心率为2故椭圆的焦点为（)0,1±，离心率为22, 则1,2,1===b a c ，因此该椭圆的方程是1222=+y x 13. 2[解析]：设双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1，右顶点为A ，因为以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，故|F 1M|=|F 1A|，∴c a ab +=2∴2112=∴+=-e e e 14. ③④[解析]：根据双曲线的定义必须有||||AB k ≤，动点P 的轨迹才为双曲线，故①错 ∵),(21OB OA OP +=∴P 为弦AB 的中点，故090=∠APC 则动点P 的轨迹为以线段AC 为直径的圆。

全国通用版高考数学一轮复习第十四单元椭圆双曲线抛物线高考研究课二双曲线命题3角度__用定义求方程研性质

高考研究课(二) 双曲线命题3角度 ——用定义、求方程、研性质
[全国卷 5 年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
双曲线的定义及标准方程
5年1考
求双曲线的标准方程
双曲线的几何性质
5年7考
由离心率求渐近线、求离心率、求实轴长范围问题
直线与双曲线未独立考查
的位置关系
01 题型一双曲线的定义及标准方程
题型二双曲线的几何性质
02
（渐近线与离心率问题）
03 题型三直线与双曲线的位置关系
04 课堂真题集中演练
目
录
05 高考达标检测
双曲线的定义及标准方程
[典例] (1)设 F1，F2 是双曲线 x2－2y42 ＝1 的两个焦点，P 是
双曲线上的一点，且|PF1|＝43|PF2|，则△PF1F2 的面积等于(
|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋ 4－12＋0－42
＝4＋5＝9，当且仅当 A，P，B 三点共线且 P 在 A，B 之间
时取等号．答案：B
2．已知双曲线ax22－2y02 ＝1(a＞0)的一条渐近线方程为 y＝2x，则该双曲线的焦距为__________．解析：由双曲线xa22－2y02 ＝1(a＞0)的一条渐近线方程为 y＝2x，可得2a02＝4，解得 a＝ 5，则 b＝2 5，c＝5. 故双曲线的焦距为 10. 答案：10
[解] (1)设双曲线 C 的焦距为 2c, 由题意得 2c＝4，ac＝233，所以 c＝2，a＝ 3，b＝ c2－a2＝1，所以双曲线 C 的方程为x32－y2＝1.
y＝kx＋m，
(2)联立x32－y2＝1
消去 y，
得(3k2－1)x2＋6kmx＋3(m2＋1)＝0,

高考数学复习：椭圆、双曲线、抛物线

高考数学复习：椭圆、双曲线、抛物线1.以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长问题、双曲线的渐近线等，可能会与数列、三角函数、平面向量、不等式结合命题，若与立体几何结合，会在定值、最值、定义角度命题．2.每年必考一个大题，相对较难，且往往为压轴题，具有较高的区分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本部分还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识结合进行综合考查．一、椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)定点F和定直线l，点F不在直线l上，P到l距离为d，|PF|＝d标准方程焦点在x轴上x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)焦点在x轴上x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)焦点在x轴正半轴上y2＝2px(p>0)图象几何性质范围[来源学科网ZXXK]|x|≤a，|y|≤b[来源:]|x|≥a，y∈R[来源:学#科#网Z#X#X#K][来源:]x≥0，y∈R 顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)⎝⎛⎭⎫p2，0轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝ca＝1－b2a2(0<e<1) e＝ca＝1＋b2a2(e>1)e＝1准线x＝－p2通径|AB|＝2b2a|AB|＝2p渐近线y ＝±b ax【误区警示】1．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中c 2＝a 2＋b 2，双曲线中c 2＝a 2－b 2的区别． 2．注意焦点在x 轴上与y 轴上的双曲线的渐近线方程的区别．3．平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点；平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅有一个交点．高频考点一椭圆的定义及其方程例1．（2018年天津卷）设椭圆(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若(O 为原点) ，求k 的值. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，由已知有，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，，，由，可得ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故．又因为，而∠OAB =，故．由，可得5y 1=9y 2．由方程组消去x ，可得．易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组消去x ，可得．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=，两边平方，整理得，解得，或．所以，k 的值为或【变式探究】(2017·北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.学=科网 (1)解：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n )，由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n ，所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n(x －m )，直线BN 的方程为y ＝n2－m(x －2)．联立⎩⎨⎧y ＝－m ＋2n （x －m ），y ＝n2－m （x －2），解得点E 的纵坐标y E＝－n （4－m 2）4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.【变式探究】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A 【解析】由题意知，即222m n =+，由于m ＞1，n ＞0，可得m ＞n ，又=，故121e e >．故选A ．【变式探究】已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵A ，B 在椭圆上，∴⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1 ②①－②，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2＝0，即b 2a 2＝－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）（x 1＋x 2）（x 1－x 2）， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而y 1－y 2x 1－x 2＝k AB ＝0－（－1）3－1＝12，∴b 2a 2＝12.又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1，故选D.答案 D高频考点二椭圆的几何性质例2．（2018年全国Ⅱ卷理数）已知，是椭圆的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C 的离心率为A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为为等腰三角形，，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP 斜率为得，，由正弦定理得,所以，选D.【变式探究】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A【解析】由题意设直线l 的方程为，分别令x c =-与0x =得，||OE k a =.设OE 的中点为N ，则，则，即，整理，得13c a =，所以椭圆C 的离心率13e =，故选A ．【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P (0，1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )．设N (x N ，0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”，等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |. 因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1.所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2. 所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或 (0，－2)．高频考点三双曲线的定义及标准方程例3．（2018年天津卷）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 A. B.C.D.【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c >0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择C 选项.【变式探究】(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2D.233解析：取渐近线y ＝b a x ，化成一般式bx －ay ＝0，圆心(2，0)到直线的距离为22－12＝|2b |a 2＋b 2，又由c 2＝a 2＋b 2得c 2＝4a 2，e 2＝4，e ＝2. 答案：A【变式探究】已知双曲线2224=1x y b-（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（）（A ）22443=1y x -（B ）（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y -【答案】D【解析】根据对称性，不妨设A 在第一象限，(,)A x y ，∴，∴，故双曲线的方程为221412x y -=，故选D. 【变式探究】若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ，∵|PF 1|＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3，∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B. 答案 B高频考点四双曲线的几何性质例4．（2018年全国I 卷理数）已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=A. B. 3 C. D. 4【答案】B【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.【变式探究】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )（A ）()1,3- （B ）()1,3- （C ）()0,3 （D ）()0,3 【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以，解得21m =，因为方程表示双曲线，所以1030nn+>⎧⎨->⎩，解得13nn>-⎧⎨<⎩，所以n的取值范围是()1,3-，故选A．【变式探究】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()学科=网A. 5 B．2 C. 3 D. 2解析如图，设双曲线E的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1，0)，∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2a sin 60°＝3a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2a cos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入x2a2－y2b2＝1，可得a2＝b2，∴e＝ca＝a2＋b2a2＝2，选D.答案 D高频考点五抛物线的定义及方程例5．（2018年全国I卷理数）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.【变式探究】(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A. 5 B．2 2C．2 3 D．3 3【变式探究】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )（A ）33 （B ）23（C ）22 （D ）1 【答案】C【解析】设（不妨设0t ），则，故选C.【变式探究】过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( ) A.22 B. 2 C.322D ．2 2 解析设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＝3及抛物线定义可得，x 1＋1＝3，∴x 1＝2. ∴A 点坐标为(2，22)，则直线AB 的斜率 k ＝22－02－1＝2 2.∴直线AB 的方程为y ＝22(x －1)，即为22x －y －22＝0，则点O 到该直线的距离为d ＝223.由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22（x －1），消去y 得，2x 2－5x ＋2＝0，解得x 1＝2，x 2＝12.∴|BF |＝x 2＋1＝32，∴|AB |＝3＋32＝92.∴S △AOB ＝12|AB |·d＝12×92×223＝322.学-科网答案 C高频考点六抛物线的几何性质例6．（2018年浙江卷）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+=1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知所以，．因此，的面积．因为，所以．因此，面积的取值范围是．【变式探究】(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． (1)证明：设l ：x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝my ＋2，得y 2－2my －4＝0，Δ＝4m 2＋16恒大于0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－4. OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4 ＝－4(m 2＋1)＋2m ·2m ＋4＝0，所以OA →⊥OB →，即O 在圆M 上．(2)解：由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝（m 2＋2）2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0，故(x 1－4)·(x 2－4)＋(y 1＋2)·(y 2＋2)＝0，即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝8516.【变式探究】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=42,|DE|=25,则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B【解析】如图,设抛物线方程为22y px =,,AB DE 交x 轴于,C F 点,则22AC =,即A 点纵坐标为22,则A 点横坐标为4p ,即4OC p=,由勾股定理知, ,即,解得4p =,即C 的焦点到准线的距离为4,故选B.【变式探究】已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba ＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7②，联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D. 答案 D1. （2018年浙江卷）双曲线的焦点坐标是A. (−，0)，(，0)B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−)，(0，)D. (0，−2)，(0，2)【答案】B【解析】因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，因为，所以焦点坐标为，选B.2. （2018年天津卷）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择C选项.3. （2018年全国I卷理数）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A. B. 3 C. D. 4【答案】B【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.4. （2018年全国Ⅲ卷理数）设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A. B. 2 C. D.【答案】C5. （2018年全国Ⅱ卷理数）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.6. （2018年江苏卷）在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．【答案】2【解析】先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率。

高考数学第一轮复习单元试卷-椭圆、双曲线、抛物线

实用文案椭圆、双曲线、抛物线•选择题匚38 A .3B -C -2 32 D -3⑶ 若方程x 2+k y 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是( )A [0, 1]D (- a , 0)A (0, + m )B (0, 2)C(1, + m )D (0, 1)2 2⑷设xP 疋双曲线y 1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x 2y0,F 1、 F 2a 9分别是双曲线的左、右焦点，若| PF 1 |3 , 则 |PF 2|()A 1或5B 6C 7D 9(5)对于抛物线y 2=2x 上任意一点(1)抛物线x 2 4y 上一点A 的纵坐标为 ( )A 2B 32x ⑵若焦点在x 轴上的椭圆 -24 , 则点A 与抛物线焦点的距离为C 4D 52y1的离1心率为一，贝U m=m2Q,点P(a, 0)都满足|PQ| >|a|,则a 的取值范围是B (0, 1)实用文案2XA - 4p 2B4p 2)C - 2p 2D 2p 222y_xuuuur UUULT(9)已知双曲线 1的焦点为 F 1、 F 2 ,点M 在双曲线上且 MF 1 MF 20,则点M2至Ux轴的距离为(8) 若椭圆飞 a焦占八'、A 1617 2 • 5 D— 5已知双曲线线的离心率为A02 2.3 D —31(a b 0)的左、右焦点分别为 F i 、F 2,线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx3 两段，则此椭圆的离心率为B —17C451(a 设 A(x i ,y i ),B(X 2,y 2)是抛物线20)的一条准线与抛物线 y6x 的准线重合，则该双曲y 2=2px(p>0) 上的两点，并且满足0A 丄OB.则y i y 2等于(4A -3B 53C兰3D、、3(10)设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△ F1PF2为等腰直角三角形，贝y椭圆的离心率是()A辽 B 2 1 C 2 .22 2D 2 1二.填空题(11) 若双曲线的渐近线方程为y 3x，它的一个焦点是•. 10,0，则双曲线的方程是(12) 设中心在原点的椭圆与双曲线 2 x2-2y 2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数则该椭圆的方程是________________ .x2 y2(13) 过双曲线—亍1(a> 0,b > 0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、a bN两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________________(14) 以下同个关于圆锥曲线的命题中①设A、B为两个定点，k为非零常数，|PA| | PB | k，则动点P的轨迹为双曲线；1②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB , O为坐标原点，若OP -(OA OB),则动2 点P的轨迹为椭圆；③方程2x2 5x 2 0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；2 2 2④双曲线—1 1与椭圆—y2 1有相同的焦点•25 9 35其中真命题的序号为 ___________________ (写出所有真命题的序号) 标准文档三.解答题2 2(15) 点A、B分别是椭圆——1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在36 20椭圆上，且位于x轴上方，PA PF •求点P的坐标;1(16) 已知抛物线C: y=- — X2+6,点P( 2, 4 )、A、B在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜2角互补•(I )证明:直线AB的斜率为定值；(II )当直线AB在y轴上的截距为正数时，求APAB面积的最大值及此时直线AB的方程.2(18)已知抛物线y 2px(p 0)的焦点为F,A 是抛物线上横坐标为4、且位于X 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作(17)双曲线 2x-2ab 21 (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线I 的距离之和s >4 c •求双曲线的离心率5e 的取值范围AB 垂直于y 轴，垂足为B，OB 的中点为M.1)求抛物线方程；2 ）过M 作MN FA ，垂足为N ，求点N 的坐标；3 )以M 为圆心，MB为半径作圆M ,当K(m,O)是x轴上一动点时, 讨论直线AK 与圆M 的位置关系参考答案一选择题:1.D［解析］：点A 与抛物线焦点的距离就是点A 与抛物线准线的距离，即4 ( 1) 52.B标准文档2 2［解析］:•焦点在x 轴上的椭圆 — '2 m则m= 322 2［解析］:双曲线笃 —1的一条渐近线方程为 3x 2y 0,故a 2a 9又P 是双曲线上一点，故|| PF 1 | | PF 2 || 4，而| PF j | 3，则|PF 2| 75.C［解析］:对于抛物线y 2=2x 上任意一点Q,点P(a, 0)都满足|PQ| >|a|,若a0,显然适合2若a 0,点 P(a, 0)都满足 |PQ| >|a|就是 a 2 (a —)2 y 222即a 》11，此时0 a 14则a 的取值范围是,6.D1的离心率为3.D2 2［解析］:T 方程x 2+ky 2=2，即亍号 1表示焦点在y 轴上的椭圆 k22 故 0 k 1k4.C2 .57.D8.A9.C10.Dc -23, °2b5c 2 4a 2c e -ab c —2［解析］:［解析］:双曲线［解析］:［解析］:2x~2a1(a 0)的准线为抛物线y 26x 的准线为因为两准线重合，故T A (X 1 ,y i ),B(X 2,y 2)是抛物线--k oA k OB1,贝U y 1y 2 = - 4p 2uuur uuuir •/MF 1 MF 2 故由a 2y 2=2px(p>0)x 1x 2 0, •••点 Mx 22 y2_y_2则点M 到x 轴的距离为［解析］:不妨设点P 在x 轴上方，坐标为y i y 2=3，则该双曲线的离心率为电v'3上的两点，并且满足OA 丄 OB.(ym)2 4p 2y i y 2在以F 1F 2为直径的圆x 2y 2 3上3 得|y|1b 2(c,), a2 ,3•••△1PF 2为等腰直角三角形二填空题：11. x2冃b2 2 2a c c“ 2 _|PF2|=|F 1F2|，即——2c，即—2- 1 e 2ea a a故椭圆的离心率e是.2 1［解析］:因为双曲线的渐近线方程为则设双曲线的方程是x2y2y93x，，又它的一个焦点是.10,0故9 102x12.2［解析］:双曲线2 x2-2y 2=1 的焦点为（1,0），离心率为213. 2故椭圆的焦点为（1,0），离心率为丄2则c 1, a 、、2,b1，因此该椭圆的方程是y2 12x［解析］:设双曲线—a2y_b21(a > 0, b > 0)的左焦点F1, 右顶点为A，因为以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点, 故|F1M|=|F 1A| ,b2a c /.e2 1 1 e14.③④［解析］:根据双曲线的定义必须有 | k | | AB |，动点P 的轨迹才为双曲线,故①错■ 1 ・ ■•••OP 2(OA OB)「P为弦 AB 的中点，故 APC 900三解答题2x A =-4(k+1) -k 2-4k+4).由于PA 与PB 的倾斜角互补，故PB 的斜率为-k. 同理可得 B(-2(-k+1), -k 2+4k+4) --k AB =2.11 (n ) TAB 的方程为 y=2x+b, b>0. 代入方程 y=-x 2+6 消去 y 得 x 2+2x+b-6=0.22|AB|=2 (1 22)[4 2( b 6)]2.5(16 2b).11 ------------------- •••S= |AB|d= • 5(16 2b )则动点 P 的轨迹为以线段 AC 为直径的圆。

(全国通用版)2019版高考数学一轮复习第十四单元椭圆、双曲线、抛物线高考研究课(七)圆锥曲线

探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面： 1探索是否存在常数的问题； 2探索是否存在点或直线的问题； 3探索最值或定值的存在性问题.
角度一：探索是否存在常数的问题 1.如图，椭圆E：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率是
22，点P(0,1)在短轴CD上，且―P→C ·―PD→＝－1. (1)求椭圆E的方程． (2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得―O→A ·―O→B ＋λ―PA→·―P→B 为定值？若存在，求 λ的值；若不存在，请说明理由．
故直线 BC 恒过定点(2，－3).
[典例]
定值问题
已知椭圆
C
：ax22
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)
的
离
心
率
为
3 2
，
A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB 的面积为 1.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线
PB 与 x 轴交于点 N.求证：|AN|·|BM|为定值．
(2)证明：由题意得，直线 AB 的方程为 y＝k1x＋1－2k1，直线 AC 的方程为 y＝k2x＋1－2k2，联立xy＝2＝k41xy，＋1－2k1，消去 y，得 x2－4k1x－4(1－2k1)＝0，解得 x＝2 或 x＝4k1－2，因此点 B4k1－2，2k1－12，同理可得 C4k2－2，2k2－12.
ac＝ 23， [解] (1)由题意得12ab＝1，
a2＝b2＋c2，所以椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1.
解得ab＝＝21，， c＝ 3.

高考数学总复习课件第十四单元椭圆、双曲线、抛物线高考研究课(一) 椭圆命题3角度——求方程、研性质、

高考研究课(一) 椭圆命题3角度——求方程、研性质、判关系
[全国卷5年命题分析]
考点
椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程
椭圆的几何性质
椭圆的定义及标准方程
[典例] (1)若椭圆 C：x92＋y22＝1 的焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆
C 上，且|PF1|＝4，则∠F1PF2＝
()
π
π
A.6
B.3
2π C. 3
椭圆的几何性质
[典例]
(1)(2017·兰
州一
模
)
已
知
椭
圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a
＞
b
＞
0)的
左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，O 为坐标原点，若|OP|
＝12|F1F2|，且|PF1||PF2|＝a2，则该椭圆的离心率为
()
ห้องสมุดไป่ตู้
3 A.4
[解析]
3
2
1
B. 2
C. 2
D.2
(1)由|OP|＝12|F1F2|，且|PF1||PF2|＝a2，可得点 P
由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，进而|PF1|＋ |PQ|＋|QF1|＝4a.于是(1＋λ＋ 1＋λ2)|PF1|＝4a，解得PF1＝1＋λ＋4a 1＋λ2，故|PF2|＝2a－|PF1|＝2a1＋λ＋λ＋1＋1λ＋2－λ21. 由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，从而1＋λ＋4a 1＋λ22＋2a1＋λ＋λ＋1＋1＋λ2－λ212＝4c2，两边除以4a2，得1＋λ＋4 1＋λ22＋λ1＋＋λ＋1＋λ12＋－λ1222＝e2. 若记t＝1＋λ＋ 1＋λ2，则上式变成e2＝4＋tt2－22＝81t －142＋12. 由34≤λ＜43，并注意到t＝1＋λ＋ 1＋λ2关于λ单调递增，得3≤t＜4，

圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线一轮复习专题练习(三)附答案新教材高中数学

高中数学专题复习
《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明评卷人
得分一、选择题
1．(汇编全国3文)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）
（A ）22 （B ）212
- （C ）22- （D ）21- 2．(汇编辽宁理)曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线22
1(59)59x y m m m
+=<<--的（）
(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同
3．（汇编上海春13）抛物线y =－x 2的焦点坐标为（）
A ．（0，41）
B ．（0，－41）
C ．（41，0）
D ．（－41，0）。

高考数学一轮复习第十四单元椭圆、双曲线、抛物线高考达标检测(三十七)椭圆命题3角度——求方程、

高考达标检测（三十七）椭圆命题3角度——求方程、研性质、用关系一、选择题1．如果x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选A x 2＋ky 2＝2转化为椭圆的标准方程，得x 22＋y 22k＝1，∵x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆， ∴2k＞2，解得0＜k ＜1.∴实数k 的取值范围是(0,1)．2．已知直线2kx －y ＋1＝0与椭圆x 29＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围为( )A ．(1,9]B ．[1，＋∞)C ．[1,9)∪(9，＋∞)D ．(9，＋∞)解析：选C ∵直线2kx －y ＋1＝0恒过定点P (0,1),直线2kx －y ＋1＝0与椭圆x 29＋y 2m＝1恒有公共点，即点P (0,1)在椭圆内或椭圆上， ∴09＋1m≤1，即m ≥1, 又m ≠9，∴1≤m ＜9或m ＞9.3．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的中心在原点，F 1，F 2分别为左、右焦点，A ，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率为( )A.13B.12C.22D.55解析：选D 如图所示，把x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，可得P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，又A (0，b )，B (a,0)，F 2(c,0)，∴k AB ＝－b a ，kPF 2＝－b 22ac，∵PF 2∥AB ，∴－b a ＝－b 22ac，化简得b ＝2c .∴4c 2＝b 2＝a 2－c 2，即a 2＝5c 2，∴e ＝c 2a 2＝55. 4.如图，椭圆与双曲线有公共焦点F1，F 2，它们在第一象限的交点为A ，且AF 1⊥AF 2 ，∠AF 1F 2＝30°，则椭圆与双曲线的离心率之积为( )A ．2 B. 3 C.12D.32解析：选A 设椭圆的长轴长为2a 1，双曲线的实轴长为2a 2，焦距为2c, 由椭圆与双曲线的定义可知， |AF 1|＋|AF 2|＝2a 1, |AF 1|－|AF 2|＝2a 2,在Rt △AF 1F 2中，∠AF 1F 2＝30°，则|AF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|AF 1|＝32|F 1F 2|＝3c,所以2a 1＝(3＋1)c,2a 2＝(3－1)c ，即e 1＝c a 1＝23＋1，e 2＝c a 2＝23－1，所以e 1·e 2＝23＋1×23－1＝2,即椭圆与双曲线的离心率之积为2.5．已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的左、右焦点，若PF 1―→·PF 2―→<0，则x 0的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，63 解析：选A ∵F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴PF 1―→·PF 2―→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3.又∵x 204＋y 2＝1，∴PF 1―→·PF 2―→＝x 20＋1－x 204－3<0，解得－263<x 0<263.6．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为( ) A.2x 275＋2y225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y275＝1 解析：选C 由已知得c ＝52，设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a2＝1，y ＝3x －2消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由根与系数关系得x 1＋x 2＝a 2－10a 2－450，由题意知x 1＋x 2＝1，即a 2－10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以该椭圆方程为y 275＋x 225＝1.二、填空题7．若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________________．解析：设点A 在点B 上方，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1―→＝3F 1B ―→，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝x 0＋c ，－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得－b 29＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y22＝1.答案：x 2＋3y22＝18．已知过点M (1，－1)的直线l 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，若点M 是AB 的中点，则直线l 的方程为____________________．解析：法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2), 由中点坐标公式可知：x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2,则⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得：x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 23＝0，则y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2＝34，所以直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝34，所以直线l 的方程y ＋1＝34(x －1)，即3x －4y －7＝0.法二：由点M 是AB 的中点，可设A (1＋m ，－1＋n )，B (1－m ，－1－n ),则＋m 24＋－1＋n 23＝1，① －m 24＋－1－n 23＝1，②两式相减得：m －43n ＝0，即n m ＝34，所以直线AB 的斜率k ＝n m ＝34，则直线l 的方程y ＋1＝34(x －1)，即3x －4y －7＝0. 答案：3x －4y －7＝09．椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆的右焦点F 2作一条直线l 交椭圆于P ，Q 两点，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是________．解析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F 1PQ 的周长是定值8，所以只需求△F 1PQ 面积的最大值．设直线l 的方程为x ＝my ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my ＋1消去x ，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0,设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，于是S △F 1PQ ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝12m 2＋1m 2＋2.设m 2＋1＝t ，则t ≥1，即S△F 1PQ＝＝12t t ＋2＝1219t ＋1t＋6. 因为g (t )＝9t ＋1t在[1，＋∞)上为单调递增函数，所以g (t )≥g (1)＝10，所以S △F 1PQ ＝≤3，所以内切圆半径r ＝2S △F 1PQ ＝8≤34，因此△F 1PQ 内切圆面积的最大值是916π.答案：916π三、解答题10．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (－1，e )在椭圆上，e 为椭圆的离心率，且点M 为椭圆短半轴的上顶点，△MF 1F 2为等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 2作不与坐标轴垂直的直线l ，设l 与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2相交于A ，B 两点，与椭圆相交于C ，D 两点，当F 1A ―→·F 1B ―→＝λ且λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1时，求△F 1CD 的面积S 的取值范围．解：(1)由△MF 1F 2是等腰直角三角形，得b ＝c ，a 2＝2c 2＝2b 2，从而得到e ＝22，故而椭圆经过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，22，代入椭圆方程得12b 2＋12b 2＝1，解得b 2＝1，a 2＝2，故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意，设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，x 2＋y 2＝3消去x ，得(t 2＋1)y 2＋2ty －2＝0，则y 1＋y 2＝－2t t 2＋1，y 1y 2＝－2t 2＋1， ∴F 1A ―→·F 1B ―→＝(x 1＋1，y 1)·(x 2＋1，y 2) ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2 ＝(ty 1＋2)(ty 2＋2)＋y 1y 2 ＝(t 2＋1)y 1y 2＋2t (y 1＋y 2)＋4 ＝－2－4t 2t 2＋1＋4＝2－2t2t 2＋1.∵F 1A ―→·F 1B ―→∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，∴23≤2－2t 2t 2＋1≤1，解得t 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，x 22＋y 2＝1消去x ，得(t 2＋2)y 2＋2ty －1＝0.设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－2t t 2＋2，y 3y 4＝－1t 2＋2， ∴S △F 1CD ＝12|F 1F 2|·|y 3－y 4|＝y 3＋y 42－4y 3y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2t t 2＋22＋4t 2＋2＝ t 2＋t 2＋2.设t 2＋1＝m ，则S ＝8m m ＋2＝8m ＋1m＋2，其中m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，32， ∵S 关于m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，32上为减函数， ∴S ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤435，467，即△F 1CD 的面积的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤435，467.11．已知F 1，F 2分别是长轴长为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 1，A 2是椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆上异于A 1，A 2的一个动点，O 为坐标原点，点M 为线段PA 2的中点，且直线PA 2与OM 的斜率之积恒为－12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，点N 的横坐标的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，求线段AB 长的取值范围．解：(1)由题意可知2a ＝22，则a ＝2，设P (x 0，y 0)， ∵直线PA 2与OM 的斜率之积恒为－12，∴y 02x 0＋22·y 0x 0－2＝－12，∴x 202＋y 20＝1，∴b ＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点Q (x 0，y 0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 22＋y 2＝1消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0, 则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，∴x 0＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，∴AB 的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 22k 2＋1，k 2k 2＋1，∴QN 的直线方程为y －k2k 2＋1＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k 22k 2＋1.令y ＝0，得x ＝－k 22k 2＋1，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 22k 2＋1，0，由已知得－14＜－k 22k 2＋1＜0，∴0＜2k 2＜1， ∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 22k 2＋12－4×2k 2－22k 2＋1 ＝1＋k 2·221＋k 22k 2＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k 2＋1. ∵12＜12k 2＋1＜1， ∴|AB |∈⎝⎛⎭⎪⎫322 ，22，故线段AB 长的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫322 ，22. 12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，焦距为22，过点D (1,0)且不过点E (2,1)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M .(1)求椭圆C 的方程；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线MB 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．解：(1)由题意可得2c ＝22，即c ＝2，又e ＝ca ＝63，解得a ＝3， b ＝a 2－c 2＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由直线l 过点D (1,0)且垂直于x 轴，设A (1，y 1)，B (1，－y 1)，则直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)．令x ＝3，可得M (3,2－y 1)，所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1－－y 13－1＝1.(3)直线BM 与直线DE 平行．理由如下：当直线AB 的斜率不存在时，由(2)知k BM ＝1. 又因为直线DE 的斜率k DE ＝1－02－1＝1，所以BM ∥DE; 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),则直线AE 的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2)．令x ＝3，得M ⎝⎛⎭⎪⎫3，x 1＋y 1－3x 1－2，所以直线BM 的斜率k BM ＝x 1＋y 1－3x 1－2－y 23－x 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 2＋3y 2＝3消去y ，得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0，则x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k 2，因为k BM －1 ＝k x 1－＋x 1－3－kx 2－x 1－－－x 2x 1－－x 2x 1－＝k －－x 1x 2＋x 1＋x 2－3]－x 2x 1－＝k －⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3k 21＋3k 2＋12k 21＋3k 2－3－x 2x 1－＝0，所以k BM ＝1＝k DE ，即BM ∥DE . 综上所述，直线BM 与直线DE 平行.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 的坐标为(1,0)，P ，Q 为椭圆上位于y 轴右侧的两个动点，使PF ⊥QF ，C 为PQ 中点，线段PQ 的垂直平分线交x 轴，y 轴于点A ，B (线段PQ 不垂直x 轴)，当Q运动到椭圆的右顶点时，|PF |＝22.(1)求椭圆M 的方程；(2)若S △ABO ∶S △BCF ＝3∶5，求直线PQ 的方程．解：(1) 当Q 运动到椭圆的右顶点时，PF ⊥x 轴，∴|PF |＝b 2a ＝22，又c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝1. ∴椭圆M 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，联立椭圆方程得：(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2(b 2－1)＝0，设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4kb2k 2＋1>0， ①x 1x 2＝b 2－2k 2＋1>0， ②Δ＝k 2－b 2＋， ③由PF ―→·QF ―→＝0，得(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0，即(k 2＋1)x 1x 2＋(kb －1)(x 1＋x 2)＋b 2＋1＝0，代入化简得3b 2－1＋4kb ＝0.④ 由y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2b ＝2b2k 2＋1，得C ⎝⎛⎭⎪⎫－2kb 2k 2＋1，b 2k 2＋1，∴线段PQ 的中垂线AB 的方程为y －b2k 2＋1＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2kb 2k 2＋1. 令y ＝0，x ＝0，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－kb 2k 2＋1，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 2k 2＋1，则A 为BC 中点，故S △BCF S △ABO ＝2S △ABF S △ABO ＝2|AF ||AO |＝－x Ax A＝2⎝⎛⎭⎪⎫1x A－1.由④式得，k ＝1－3b 24b ，则x A ＝－kb 2k 2＋1＝6b 4－2b29b 4＋2b 2＋1， ∴S △BCF S △ABO ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x A －1＝6b 4＋8b 2＋26b 4－2b 2＝53，解得b 2＝3.∴b ＝3，k ＝－233或b ＝－3，k ＝233. 经检验，满足条件①②③，故直线PQ 的方程为y ＝233x －3或y ＝－233x ＋ 3.。

高考数学一轮复习讲义：椭圆、双曲线及抛物线(无答案)

椭圆、双曲线及抛物线知识点一、椭圆1、椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{MMF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)当2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；(3)当2a＜|F1F2|时，P点不存在．2、椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)x2b2＋y2a2＝1(a＞b＞0)图形性质范围－b≤y≤b－a≤y≤a－a≤x≤a，－b≤x≤b，对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0，0)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca，e∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2小题速通1．(2019·浙江高考)椭圆x29＋y24＝1的离心率是()A.133B.53 C.23 D.592．在平面直角坐标系xOy中，△ABC上的点A，C的坐标分别为(－4，0)，(4，0)，若点B在椭圆x225＋y29＝1上，则sin A＋sin Csin A＋C＝()A.43B.53C.45D.54 3．已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m ＞0)的焦距为8，则m 的值为( )A ．3或41B ．3 C.41 D ．±3或±41 4．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________.清易错1、求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．2、注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上点的坐标为P (x ，y )时，|x |≤a ，|y |≤b ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．变式训练1．已知椭圆x 29＋y 24－k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或－212．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为( )A.32 B.332 C.94 D.154知识点二、双曲线1、双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |MF 1|－|MF 2＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在． 2、标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．3、双曲线的性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长小题速通1．(2019·天津高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为 2.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.x24－y24＝1 B.x28－y28＝1 C.x24－y28＝1 D.x28－y24＝12．已知双曲线过点(2，3)，其中一条渐近线方程为y＝3x，则双曲线的标准方程是()A.7x216－y212＝1 B.y23－x22＝1 C．x2－y23＝1 D.3y223－x223＝13．(2019·张掖一诊)如图，F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B，A.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为()A.7 B．4C.233 D.34．已知F为双曲线C：x29－y216＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．清易错1、注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b 2.2、易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±ba ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±ab .变式训练1．双曲线x 236－m 2－y 2m 2＝1(0＜m ＜3)的焦距为( )A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 22．已知直线l ：4x ＋3y －20＝0经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，且与双曲线C 的一条渐近线平行，则双曲线C 的实轴长为( )A ．3B ．4C ．6D ．8知识点三、抛物线1、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2、抛物线的标准方程与几何性质O (0，0)1．已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线x 213－y 212＝1的右焦点，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝10xD ．y 2＝20x 2．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A.1716B.1516C.78D ．0 3．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( )A ．2 B.12 C.14 D.184．已知抛物线y 2＝6x 上的一点到焦点的距离是到y 轴距离的2倍，则该点的横坐标为__________．清易错1、抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2、抛物线标准方程中的参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．变式训练1、动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为______________．2、抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________．知识点四、直线与圆锥曲线的位置关系1、直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0△直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0△直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0△直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2、圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.小题速通1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定2．过抛物线x 2＝8y 的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点M 的纵坐标为4，则|AB |＝________. 3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是________．清易错1、直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．2、直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与抛物线的对称轴平行时也相交于一点．变式训练1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．02．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条过关检测练习一、选择题1．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，若其上一点P (m ，1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为( )A ．y ＝8x 2B ．y ＝16x 2C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y2．椭圆x 216＋y 2m＝1的焦距为27，则m 的值为( )A ．9B ．23C ．9或23D ．16－7或16＋73．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( )A ．9B ．8C ．7D ．64．若双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上一点，满足PF 1―→·PF 2―→＝0的点P 依次记为P 1，P 2，P 3，P 4，则四边形P 1P 2P 3P 4的面积为( )A.855B ．25C.865D ．265．若双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±13x6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B的周长为43，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 7．已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.()－3，3 C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.[]－3，38．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A.12B.22C ．1 D. 2二、填空题9．(2019·北京高考)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________. 10．(2019·全国卷△)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.11．与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程为__________．12．(2019·西安中学模拟)如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y －1)2＝1交于A ，B ，C ，D四点，则AB ―→·DC ―→＝________. 三、解答题13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为2，且函数y ＝x 2－6516的图象与椭圆C 仅有两个公共点，过原点的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 为线段MN 的中垂线与椭圆C 的一个公共点，求△PMN 面积的最小值，并求此时直线l 的方程． 14.已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．高考研究课一、椭圆命题3角度——求方程、研性质、用关系全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度椭圆的标准方程 5年2考求椭圆的标准方程椭圆的几何性质 5年3考求离心率，求参数直线与椭圆的位置关系5年6考弦长问题、面积最值、斜率范围例、(1)若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝( )A.π6B.π3 C.2π3D.5π6(2)(2019·大庆模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中左焦点为F (－25，0)，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 236＋y 216＝1 C.x 230＋y 210＝1 D.x 245＋y 225＝1 方法技巧(1)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．(2)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．即时演练1．在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 23＝1上的一个动点，点A (1，1)，B (0，－1)，则|P A |＋|PB |的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．52．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1―→⊥PF 2―→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.题型二、椭圆的几何性质例、(1)(2019·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．(2)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.①若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； ②若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜43，求椭圆离心率e 的取值范围．方法技巧椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形． (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0＜e ＜1，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．即时演练1．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△F 1PF 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为__________．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，点P 为椭圆C 与y 轴的交点，若以F 1，F 2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．题型三、直线与椭圆的位置关系例、(2019·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程．方法技巧(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． [提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式． 1．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，斜率为k 的直线过右焦点F 2，与椭圆交于A ，B ，与y 轴交于C ，B为CF 2的中点，若|k |≤255，则椭圆离心率e 的取值范围为__________． 2．(2019·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．高考真题演练1．(2019·全国卷△)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63 B.33 C.23 D.132．(2019·全国卷△)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0，1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0，1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)3．(2019·全国卷△)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.344．(2019·全国卷△)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k ＞0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积；(2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3＜k ＜2.5．(2019·全国卷△)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝⎛⎭⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．高考达标检测一、选择题1．如果x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞) 2．已知直线2kx －y ＋1＝0与椭圆x 29＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围为( )A ．(1，9]B ．[1，＋∞)C ．[1，9)∪(9，＋∞)D ．(9，＋∞)3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的中心在原点，F 1，F 2分别为左、右焦点，A ，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率为( )A.13B.12C.22D.554.如图，椭圆与双曲线有公共焦点F 1，F 2，它们在第一象限的交点为A ，且AF 1⊥AF 2 ，∠AF 1F 2＝30°，则椭圆与双曲线的离心率之积为( )A ．2 B.3 C.12D.325．已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的左、右焦点，若PF 1―→·PF 2―→<0，则x 0的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－263，263B.⎝⎛⎭⎫－233，233C.⎝⎛⎭⎫－33，33 D.⎝⎛⎭⎫－63，63 6．中心为原点，一个焦点为F (0，52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为( )A.2x 275＋2y 225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y 275＝1 二、填空题7．若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________________．8．已知过点M (1，－1)的直线l 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，若点M 是AB 的中点，则直线l 的方程为____________________．9．椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆的右焦点F 2作一条直线l 交椭圆于P ，Q 两点，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是________．三、解答题10．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (－1，e )在椭圆上，e 为椭圆的离心率，且点M 为椭圆短半轴的上顶点，△MF 1F 2为等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 2作不与坐标轴垂直的直线l ，设l 与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2相交于A ，B 两点，与椭圆相交于C ，D 两点，当F 1A ―→·F 1B ―→＝λ且λ∈⎣⎡⎦⎤23，1时，求△F 1CD 的面积S 的取值范围．11．已知F 1，F 2分别是长轴长为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 1，A 2是椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆上异于A 1，A 2的一个动点，O 为坐标原点，点M 为线段P A 2的中点，且直线P A 2与OM 的斜率之积恒为－12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，点N 的横坐标的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14 ，0，求线段AB 长的取值范围． 12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，焦距为22，过点D (1，0)且不过点E (2，1)的直线l 与椭圆C交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M .(1)求椭圆C 的方程；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线MB 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．能力提高训练题已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 的坐标为(1，0)，P ，Q 为椭圆上位于y 轴右侧的两个动点，使PF ⊥QF ，C 为PQ 中点，线段PQ 的垂直平分线交x 轴，y 轴于点A ，B (线段PQ 不垂直x 轴)，当Q 运动到椭圆的右顶点时，|PF |＝22. (1)求椭圆M 的方程；(2)若S △ABO ∶S △BCF ＝3∶5，求直线PQ 的方程．高考研究课二、双曲线命题3角度——用定义、求方程、研性质全国卷5年命题分析例、(1)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|＝43|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．42 B ．8 3 C ．24 D ．48(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，且右焦点到一条渐近线的距离为3，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 23＝1 B ．x 2－y 23＝1 C ．y 2－x 23＝1 D ．x 2－y 24＝1 方法技巧解双曲线定义及标准方程有关问题的2个注意点(1)应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一非零常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混．即时演练1．若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1，4)，则|PF |＋|P A |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．122．已知双曲线x 2a 2－y 220＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则该双曲线的焦距为__________．题型二、双曲线的几何性质(渐近线与离心率问题)双曲线的渐近线与离心率问题是高考命题的热点．常见的命题角度有：(1)已知离心率求渐近线方程； (2)由离心率或渐近线求双曲线方程； (3)利用渐近线与已知直线位置关系求离心率．角度一：已知离心率求渐近线方程1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x角度二：由离心率或渐近线求双曲线方程2．(2019·全国卷△)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 角度三：利用渐近线与已知直线位置关系求离心率3．双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线x ＝a 与双曲线M 的渐近线交于点P ，若sin∠PF 1F 2＝13，则该双曲线的离心率为__________．方法技巧解决有关渐近线与离心率关系问题的2个注意点(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝b a 或|m |＝ab 讨论．(2)注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用．题型三、直线与双曲线的位置关系例、已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为4，离心率为233.(1)求双曲线C 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点C ，D ，如果C ，D 都在以点A (0，－1)为圆心的同一个圆上，求实数m 的取值范围．方法技巧直线与双曲线的位置关系判断方法和一个技巧(1)判断方法直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为0的判断．(2)一个技巧对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验．即时演练已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c ，0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)经过原点且倾斜角为30°的直线l 与双曲线右支交于点A ，且△OAF 是以AF 为底边的等腰三角形，求双曲线的离心率e 的值．高考真题演练1．(2019·全国卷△)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.322．(2019·全国卷△)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D.2333．(2019·全国卷△)若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1，2)4．(2019·全国卷△)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)5．(2019·全国卷△)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D.26．(2019·全国卷△)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1―→·MF 2―→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 7．(2019·全国卷△)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．8．(2019·全国卷△)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．9．(2019·全国卷△)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．高考达标检测一、选择题1．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．82．椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的公共焦点为F 1，F 2，若P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －aB ．m 2－a 2C.m －a 2D.m －a3．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积为( )A.24 B.22 C.28 D.2164．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝6，P 是E 右支上一点，PF 1与y 轴交于点A ，△P AF 2的内切圆在边AF 2上的切点为Q ，若|AQ |＝3，则E 的离心率为( )A ．2 3 B. 5 C. 3 D.25．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为( )A.52B. 5C. 2 D ．2 6．(2019·东北四校联考)已知点F 1，F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|PF 2|＝|F 1F 2|，∠F 1F 2P ＝120°，则双曲线的离心率为( )A.3＋12 B.5＋12C. 3D.5 7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，A 为右顶点，P 为双曲线左支上一点，若|PF 2|2|PF 1|－|OA |存在最小值为12a ，则双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为( )A.15B.12C.265D.358．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P ，Q ，若∠P AQ ＝60°且OQ ―→＝5OP ―→，则双曲线C 的离心率为( )A ．2 B.213 C.72D ．3 二、填空题9．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．10．(2019·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．11．已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2作双曲线渐近线的垂线，垂足为P ，若|PF 1|2－|PF 2|2＝c 2，则双曲线的离心率e ＝__________.12．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35|CD |，则双曲线的离心率e 的取值范围为__________．三、解答题13．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |. 14．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ―→·OB ―→＞2，求k 的取值范围．能力提高训练题1．(2019·江西吉安一中测试)在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且|AB |＝2，|AD |＝1，|CD |＝2x ，其中x ∈(0，1)，以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，若对任意x ∈(0，1)，不等式t <e 1＋e 2恒成立，则t 的最大值为( )A. 3B. 5 C ．2 D.22．设A 1，A 2分别为双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的上、下顶点，若双曲线上存在点M 使得两直线斜率kMA 1·kMA 2>2，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，62 B.⎝⎛⎭⎫1，62 C.⎝⎛⎭⎫62，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫1，32 3．已知双曲线x 29－y 227＝1与点M (5，3)，F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，则|PM |＋12|PF |的最小值为__________．高考研究课三、抛物线命题3角度——求方程、研性质、用关系全国卷5年命题分析直线与抛物线的位置关系 5年2考抛物线的切线、存在性问题例、(1)(2019·宜宾诊断)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y(2)(2019·兰州双基过关考试)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．4B ．8C ．16D ．32 方法技巧1．求抛物线方程的3个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种． (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．(3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 2．记住与焦点弦有关的5个常用结论如图所示，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，有以下结论： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为直线AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．即时演练1．(2019·辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2 B.12 C.32 D.522．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝2|BF |，则直线AB 的斜率为( )A ．2 2B ．2 3C ．±2 2D ．±23题型二、抛物线的定义及应用与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等.，常见的命题角度有：1、到焦点与定点距离之和最小问题；2、到焦点与动点距离之和最小问题；3、焦点弦中距离之和最小问题.角度一：到焦点与定点距离之和最小问题1．(2019·赣州模拟)若点A 的坐标为(3，2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )A ．(0，0) B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2，2)角度二：到焦点与动点距离之和最小问题2．(2019·邢台摸底)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．角度三：焦点弦中距离之和最小问题3．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．方法技巧与抛物线有关的最值问题的2个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．题型三、直线与抛物线的位置关系例、(2019·浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围；(2)求|P A |·|PQ |的最大值．方法技巧直线与抛物线位置关系问题的求解策略(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．即时演练在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，交x 轴于点D ，B 到x 轴的距离比|BF |小1.(1)求C 的方程；(2)若S △BOF ＝S △AOD ，求l 的方程．高考真题演练1．(2019·全国卷△)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )。

(全国通用版)高考数学一轮复习第十四单元椭圆、双曲线、抛物线高考达标检测(四十三)圆锥曲线的综

高考达标检测（四十三）圆锥曲线的综合问题——定点、定值、探索性问题1.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是32，其中一个顶点为B (0,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P ，Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点，且BP ⊥BQ .试问：直线PQ 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由.解：(1)设椭圆C 的半焦距为c .依题意，得b ＝1，且e 2＝c 2a 2＝a 2－1a 2＝34，解得a 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线PQ 恒过定点．法一：易知，直线PQ 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程代入x 2＋4y 2＝4，消去y ，整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.①因为BP ⊥BQ ，且直线BP ，BQ 的斜率均存在，所以y 1－1x 1·y 2－1x 2＝－1，整理得 x 1x 2＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0.② 因为y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m ，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ，y 1y 2＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2.③ 将③代入②，整理得(1＋k 2)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＝0.④ 将①代入④，整理得5m 2－2m －3＝0. 解得m ＝－35或m ＝1(舍去)．所以直线PQ 恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，－35. 法二：直线BP ，BQ 的斜率均存在，设直线BP 的方程为y ＝kx ＋1.将直线BP 的方程代入x 2＋4y 2＝4，消去y ，得 (1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0. 解得x ＝0或x ＝－8k1＋4k2.设P (x 1，y 1)，所以x 1＝－8k 1＋4k 2，y 1＝kx 1＋1＝1－4k21＋4k2，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋4k 2，1－4k 21＋4k 2.以－1k 替换点P 坐标中的k ，可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k k 2＋4，k 2－4k 2＋4. 从而，直线PQ 的方程是y －1－4k 21＋4k 2k 2－4k 2＋4－1－4k 21＋4k 2＝x ＋8k1＋4k28k k 2＋4＋8k1＋4k 2.依题意，若直线PQ 过定点，则定点必定在y 轴上．在上述方程中，令x ＝0，解得y ＝－35.所以直线PQ 恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，－35. 2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 为椭圆C 上任意两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB .求证：原点O 到直线AB 的距离为定值，并求出该定值．解：(1)由题意知，e ＝ca ＝32，b 2＋c 2＝2，又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，c ＝3，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝±255，此时，原点O 到直线AB 的距离为255.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.则Δ＝(8km )2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)＝16(1＋4k 2－m 2)＞0， x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k2，则y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－4k 21＋4k2，由OA ⊥OB 得k OA ·k OB ＝－1，即y 1x 1·y 2x 2＝－1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝5m 2－4－4k 21＋4k 2＝0，即m 2＝45(1＋k 2)，所以原点O 到直线AB 的距离为|m |1＋k2＝255. 综上，原点O 到直线AB 的距离为定值255.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线2x －2y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A ，B 为动直线y ＝k (x －2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得EA ―→2＋EA ―→·AB ―→为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．解：(1)由e ＝63，得c a ＝63，即c ＝63a ，① 又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且该圆与直线2x －2y ＋6＝0相切，所以a ＝|6|22＋－22＝6，代入①得c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k x －2，得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1x 2＝12k 2－61＋3k 2.根据题意，假设x 轴上存在定点E (m,0)，使得EA ―→2＋EA ―→·AB ―→＝(EA ―→＋AB ―→)·EA ―→＝EA ―→·EB ―→为定值，则EA ―→·EB ―→＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2) ＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2) ＝3m 2－12m ＋10k 2＋m 2－61＋3k2，要使上式为定值，即与k 无关，只需3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)，解得m ＝73，此时，EA ―→ 2＋EA ―→·AB ―→＝m 2－6＝－59，所以在x 轴上存在定点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0使得EA ―→2＋EA ―→·AB ―→为定值，且定值为－59. 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值X 围；(3)过椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2－53＝1上异于其顶点的任一点P ，作圆O ：x 2＋y 2＝43的两条切线，切点分别为M ，N (M ，N 不在坐标轴上)，若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m ，n ，证明：13m 2＋1n2为定值．解：(1)由题意得c ＝1，所以a 2＝b 2＋1，① 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1，② 由①②可解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋16kx ＋4＝0，因为Δ＝16(12k 2－3)>0，所以k 2>14，则x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝44k 2＋3. 因为∠AOB 为锐角，所以OA ―→·OB ―→>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0，所以x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)>0，所以(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4>0，即(1＋k 2)·44k 2＋3＋2k ·－16k 4k 2＋3＋4>0，解得k 2<43.又k 2>14，所以14<k 2<43，解得－233<k <－12或12<k <233.所以直线l 的斜率k 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，233.(3)证明：由(1)知椭圆C 1的方程为x 24＋3y 24＝1，设P (x 0，y 0)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，因为M ，N 不在坐标轴上，所以k PM ＝－1k OM＝－x 3y 3，直线PM 的方程为y －y 3＝－x 3y 3(x －x 3)，化简得x 3x ＋y 3y ＝43，③同理可得直线PN 的方程为x 4x ＋y 4y ＝43.④把P 点的坐标代入③④得⎩⎪⎨⎪⎧x 3x 0＋y 3y 0＝43，x 4x 0＋y 4y 0＝43，所以直线MN 的方程为x 0x ＋y 0y ＝43.令y ＝0，得m ＝43x 0，令x ＝0，得n ＝43y 0，所以x 0＝43m ，y 0＝43n ，又点P 在椭圆C 1上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫43m 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫43n 2＝4，即13m 2＋1n 2＝34，为定值．已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点，若MF 1―→·MF 2―→＝0，|MF 1―→|·|MF 2―→|＝8.(1)求椭圆的方程；(2)直线l 过右焦点F 2(5，0) (不与x 轴重合)且与椭圆相交于不同的两点A ，B ，在x 轴上是否存在一个定点P (x 0,0)，使得PA ―→·PB ―→的值为定值？若存在，写出P 点的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意知椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0),则c ＝5，|MF 1―→|2＋|MF 2―→|2＝(2c )2＝20.又|MF 1―→|·|MF 2―→|＝8，∴(|MF 1―→|＋|MF 2―→|)2＝|MF 1―→|2＋|MF 2―→|2＋2|MF 1―→|·|MF 2―→|＝36，解得|MF 1―→|＋|MF 2―→|＝6，即2a ＝6，则a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， ∴椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)当直线与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x －5)，代入椭圆方程并消元整理得，(9k 2＋4)x 2－185k 2x ＋45k 2－36＝0.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝185k 24＋9k 2，x 1x 2＝45k 2－364＋9k2，y 1y 2＝k 2(x 1－5)(x 2－5)＝k 2[x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋5]＝－16k24＋9k2，所以PA ―→·PB ―→＝(x 1－x 0，y 1)·(x 2－x 0，y 2) ＝(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋y 1y 2 ＝x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋y 1y 2 ＝9x 20－185x 0＋29k 2＋4x 20－364＋9k 2. 令PA ―→·PB ―→＝t ，则(9x 20－185x 0＋29)k 2＋4x 20－36＝t (4＋9k 2)，故9x 20－185x 0＋29＝9t 且4x 20－36＝4t ，解得x 0＝1159，此时PA ―→·PB ―→的值为－12481.当直线l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝5，代入椭圆方程解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－43，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，43，所以PA ―→·PB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－259，－43·⎝ ⎛⎭⎪⎫－259，43＝2081－169＝－12481，综上，在x 轴上存在一个定点P ⎝⎛⎭⎪⎫1159，0，使得PA ―→·PB ―→的值为定值.。

高考数学一轮复习讲义：椭圆双曲线及抛物线(无答案)

高考数学一轮复习讲义：椭圆双曲线及抛物线（无答案）知识点一、椭圆1、椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1)当2a ＞|F 1F 2|时，P 点的轨迹是椭圆； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是线段； (3)当2a ＜|F 1F 2|时，P 点不存在． 2、椭圆的规范方程和几何性质规范方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) x 2b 2＋y 2a 2＝1(a ＞b ＞0)图形性质范围－b ≤y ≤b －a ≤y ≤a－a ≤x ≤a ，－b ≤x ≤b ，对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长轴A 1A 2的长为2a ，短轴B 1B 2的长为2b焦距 |F 1F 2|＝2c 离心率 e ＝ca ，e ∈(0,1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2小题速通1．(2021·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A.133 B.53 C.23 D.592．在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 上的点A ，C 的坐标区分为(－4,0)，(4,0)，假定点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，那么sin A ＋sin Csin A ＋C＝( )A.43B.53C.45D.54 3．椭圆x 225＋y 2m2＝1(m ＞0)的焦距为8，那么m 的值为( )A ．3或41B ．3 C.41 D ．±3或±414．假定焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，那么m ＝________.清易错1、求椭圆的规范方程时易无视判别焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．2、留意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上点的坐标为P (x ，y )时，|x |≤a ，|y |≤b ，这往往在求与点P 有关的最值效果中特别有用，也是容易被疏忽而招致求最值错误的缘由．变式训练1．椭圆x 29＋y 24－k ＝1的离心率为45，那么k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或－212．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点区分为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，假定点P 是椭圆C 上的动点，那么F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为( )A.32 B.332 C.94 D.154知识点二、双曲线1、双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的相对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在． 2、规范方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的规范方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的规范方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．3、双曲线的性质x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ； a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长1．(2021·天津高考)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.假定经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，那么双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1B.x 28－y 28＝1C.x 24－y 28＝1D.x 28－y 24＝1 2．双曲线过点(2,3)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，那么双曲线的规范方程是( )A.7x 216－y 212＝1B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.3y 223－x 223＝1 3．(2021·张掖一诊)如图，F 1，F 2区分是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支区分交于点B ，A .假定△ABF 2为等边三角形，那么双曲线的离心率为( )A.7 B ．4 C.233D.34．F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．假定PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ上，那么△PQF 的周长为________．清易错1、留意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2、易无视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±ba ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±ab .变式训练1．双曲线x 236－m 2－y 2m 2＝1(0＜m ＜3)的焦距为( )A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 22．直线l ：4x ＋3y －20＝0经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，且与双曲线C 的一条渐近线平行，那么双曲线C的实轴长为( )A ．3B ．4C ．6D ．8知识点三、抛物线1、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2、抛物线的规范方程与几何性质1．抛物线顶点在原点，焦点为双曲线x 213－y 212＝1的右焦点，那么此抛物线的方程为( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝10xD ．y 2＝20x 2．假定抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，那么点M 的纵坐标是( )A.1716B.1516C.78D ．0 3．假定点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，那么|PF |的最小值为( )A ．2 B.12 C.14 D.184．抛物线y 2＝6x 上的一点到焦点的距离是到y 轴距离的2倍，那么该点的横坐标为__________．清易错1、抛物线的定义中易无视〝定点不在定直线上〞这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2、抛物线规范方程中的参数p ，易无视只要p ＞0才干证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否那么无几何意义．变式训练1、动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，那么动圆的圆心的轨迹方程为______________．2、抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________．知识点四、直线与圆锥曲线的位置关系1、直线与圆锥曲线的位置关系判别直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )失掉一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，那么Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即失掉一个一次方程，那么直线l 与圆锥曲线C 相交，且只要一个交点，此时，假定C 为双曲线，那么直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；假定C 为抛物线，那么直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2、圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝ 1＋1k 2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2. 小题速通1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定2．过抛物线x 2＝8y 的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，假定线段AB 中点M 的纵坐标为4，那么|AB |＝________. 3．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相交，那么双曲线C 的离心率的取值范围是________．清易错1、直线与双曲线交于一点时，易误以为直线与双曲线相切，理想上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．2、直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易无视直线与抛物线的对称轴平行时也相交于一点．变式训练1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0 2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条过关检测练习一、选择题1．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，假定其上一点P (m,1)到焦点的距离为5，那么抛物线的规范方程为( )A ．y ＝8x 2B ．y ＝16x 2C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y2．椭圆x 216＋y 2m＝1的焦距为27，那么m 的值为( )A ．9B ．23C ．9或23D ．16－7或16＋73．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，假设x 1＋x 2＝6，那么|PQ |＝( )A ．9B ．8C ．7D ．64．假定双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点区分为F 1，F 2，P 为双曲线C 上一点，满足PF 1―→·PF 2―→＝0的点P 依次记为P 1，P 2，P 3，P 4，那么四边形P 1P 2P 3P 4的面积为( )A.855B ．25 C.865D ．265．假定双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，那么其渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±13x6．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，假定△AF 1B的周长为43，那么椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 7．双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，假定过点F 的直线与双曲线的右支有且只要一个交点，那么此直线斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.()－3，3 C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.[]－3，38．F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，那么椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A.12B.22C ．1D. 2二、填空题9．(2021·北京高考)假定双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，那么实数m ＝________.10．(2021·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，那么a ＝________.11．与椭圆x 29＋y 24＝1有相反的焦点，且离心率为55的椭圆的规范方程为__________．12．(2021·西安中学模拟)如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y －1)2＝1交于A ，B ，C ，D四点，那么AB ―→·DC ―→＝________. 三、解答题13．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为2，且函数y ＝x 2－6516的图象与椭圆C 仅有两个公共点，过原点的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的规范方程；(2)假定点P 为线段MN 的中垂线与椭圆C 的一个公共点，求△PMN 面积的最小值，并求此时直线l 的方程． 14.点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)点G (－1,0)，延伸AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．高考研讨课一、椭圆命题3角度——求方程、研性质、用关系全国卷5年命题剖析考点考察频度考察角度椭圆的规范方程 5年2考求椭圆的规范方程椭圆的几何性质 5年3考求离心率，求参数直线与椭圆的位置关系5年6考弦长效果、面积最值、斜率范围例、(1)假定椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 1|＝4，那么∠F 1PF 2＝( )A.π6B.π3 C.2π3D.5π6(2)(2021·大庆模拟)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中左焦点为F (－25，0)，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，那么椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 236＋y 216＝1 C.x 230＋y 210＝1 D.x 245＋y 225＝1 方法技巧(1)求椭圆规范方程的基本方法是待定系数法，详细进程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再依据条件树立关于a ，b 的方程组．假设焦点位置不确定，可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的方式．(2)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．处置焦点三角形效果常应用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．即时演练1．在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 23＝1上的一个动点，点A (1,1)，B (0，－1)，那么|P A |＋|PB |的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．52．F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1―→⊥PF 2―→.假定△PF 1F 2的面积为9，那么b ＝________.题型二、椭圆的几何性质例、(1)(2021·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，那么该椭圆的离心率是________．(2)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点区分为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.①假定|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的规范方程； ②假定|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜43，求椭圆离心率e 的取值范围．方法技巧椭圆几何性质的运用技巧(1)与椭圆几何性质有关的效果要结合图形停止剖析，即使画不出图形，思索时也要联想到一个图形． (2)椭圆的范围或最值效果经常触及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，在求椭圆相关量的范围时，要留意运用这些不等关系．即时演练1．椭圆E 的左、右焦点区分为F 1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，假定△F 1PF 2为直角三角形，那么椭圆E 的离心率为__________．2．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点区分为 F 1，F 2，点P 为椭圆C 与y 轴的交点，假定以F 1，F 2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不能够为钝角三角形，那么椭圆C 的离心率的取值范围是________．题型三、直线与椭圆的位置关系例、(2021·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.A 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .假定△APD 的面积为62，求直线AP 的方程．方法技巧(1)处置直线与椭圆的位置关系的相关效果，其惯例思绪是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后运用根与系数的关系树立方程，处置相关效果．触及弦中点的效果经常用〝点差法〞处置往往会更复杂．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么|AB |＝〔1＋k 2〕[〔x 1＋x 2〕2－4x 1x 2] ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[〔y 1＋y 2〕2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． [提示] 应用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的状况下停止的，不要疏忽判别式．即时演练1．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，斜率为k 的直线过右焦点F 2，与椭圆交于A ，B ，与y 轴交于C ，B为CF 2的中点，假定|k |≤255，那么椭圆离心率e 的取值范围为__________． 2．(2021·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点区分为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.(1)求椭圆E 的规范方程；(2)假定直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．高考真题演练1．(2021·全国卷Ⅲ)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点区分为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay＋2ab ＝0相切，那么C 的离心率为( )A.63 B.33 C.23 D.132．(2021·全国卷Ⅲ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．假定C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，那么m的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞) 3．(2021·全国卷Ⅲ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，假定椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，那么该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.344．(2021·全国卷Ⅲ)A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k ＞0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA⊥NA .(1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积；(2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3＜k ＜2.5．(2021·全国卷Ⅲ)椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)假定l 过点⎝⎛⎭⎫m 3，m ，延伸线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？假定能，求此时l 的斜率；假定不能，说明理由．高考达标检测一、选择题1．假设x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞) 2．直线2kx －y ＋1＝0与椭圆x 29＋y 2m＝1恒有公共点，那么实数m 的取值范围为( )A ．(1,9]B ．[1，＋∞)C ．[1,9)∪(9，＋∞)D ．(9，＋∞)3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的中心在原点，F 1，F 2区分为左、右焦点，A ，B 区分是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，那么此椭圆的离心率为( )A.13B.12C.22D.554.如图，椭圆与双曲线有公共焦点F 1，F 2，它们在第一象限的交点为A ，且AF 1⊥AF 2 ，∠AF 1F 2＝30°，那么椭圆与双曲线的离心率之积为( )A ．2 B.3 C.12D.325．P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的左、右焦点，假定PF 1―→·PF 2―→<0，那么x 0的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－263，263B.⎝⎛⎭⎫－233，233C.⎝⎛⎭⎫－33，33 D.⎝⎛⎭⎫－63，63 6．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，那么该椭圆方程为( )A.2x 275＋2y 225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y 275＝1 二、填空题7．假定F 1，F 2区分是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．假定|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，那么椭圆E 的方程为________________．8．过点M (1，－1)的直线l 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，假定点M 是AB 的中点，那么直线l 的方程为____________________．9．椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点区分为F 1，F 2，过椭圆的右焦点F 2作一条直线l 交椭圆于P ，Q 两点，那么△F 1PQ内切圆面积的最大值是________．三、解答题10．F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (－1，e )在椭圆上，e 为椭圆的离心率，且点M 为椭圆短半轴的上顶点，△MF 1F 2为等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 2作不与坐标轴垂直的直线l ，设l 与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2相交于A ，B 两点，与椭圆相交于C ，D 两点，当F 1A ―→·F 1B ―→＝λ且λ∈⎣⎡⎦⎤23，1时，求△F 1CD 的面积S 的取值范围．11．F 1，F 2区分是长轴长为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 1，A 2是椭圆C 的左、右顶点，P为椭圆上异于A 1，A 2的一个动点，O 为坐标原点，点M 为线段P A 2的中点，且直线P A 2与OM 的斜率之积恒为－12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，点N 的横坐标的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14 ，0，求线段AB 长的取值范围． 12．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，焦距为22，过点D (1,0)且不过点E (2,1)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M .(1)求椭圆C 的方程；(2)假定AB 垂直于x 轴，求直线MB 的斜率；(3)试判别直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．才干提高训练题椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 的坐标为(1,0)，P ，Q 为椭圆上位于y 轴右侧的两个动点，使PF ⊥QF ，C 为PQ 中点，线段PQ 的垂直平分线交x 轴，y 轴于点A ，B (线段PQ 不垂直x 轴)，当Q 运动到椭圆的右顶点时，|PF |＝22. (1)求椭圆M 的方程；(2)假定S △ABO ∶S △BCF ＝3∶5，求直线PQ 的方程．高考研讨课二、双曲线命题3角度——用定义、求方程、研性质全国卷5年命题剖析例、(1)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|＝43|PF 2|，那么△PF 1F 2的面积等于( )A ．42B ．8 3C ．24D ．48(2)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，且右焦点到一条渐近线的距离为3，那么双曲线的方程为( )A.x 24－y 23＝1 B ．x 2－y 23＝1 C ．y 2－x 23＝1 D ．x 2－y 24＝1方法技巧解双曲线定义及规范方程有关效果的2个留意点(1)运用双曲线的定义需留意的效果：在双曲线的定义中要留意双曲线上的点(动点)具有的几何条件，即〝到两定点(焦点)的距离之差的相对值为一非零常数，且该常数必需小于两定点的距离〞．假定定义中的〝相对值〞去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时留意定义的转化运用．(2)求双曲线方程时一是规范方式判别；二是留意a ，b ，c 的关系易错易混．即时演练1．假定双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，那么|PF |＋|P A |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．122．双曲线x 2a 2－y 220＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，那么该双曲线的焦距为__________．题型二、双曲线的几何性质(渐近线与离心率效果)双曲线的渐近线与离心率效果是高考命题的热点．罕见的命题角度有： (1)离心率求渐近线方程；(2)由离心率或渐近线求双曲线方程； (3)应用渐近线与直线位置关系求离心率．角度一：离心率求渐近线方程1．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，那么C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x角度二：由离心率或渐近线求双曲线方程2．(2021·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，那么C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 角度三：应用渐近线与直线位置关系求离心率3．双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点区分为F 1，F 2，直线x ＝a 与双曲线M 的渐近线交于点P ，假定sin ∠PF 1F 2＝13，那么该双曲线的离心率为__________．方法技巧处置有关渐近线与离心率关系效果的2个留意点(1)渐近线方程y ＝mx ，假定焦点位置不明白要分|m |＝b a 或|m |＝ab 讨论．(2)留意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的运用．题型三、直线与双曲线的位置关系例、双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为4，离心率为233.(1)求双曲线C 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点C ，D ，假设C ，D 都在以点A (0，－1)为圆心的同一个圆上，务实数m 的取值范围．方法技巧直线与双曲线的位置关系判别方法和一个技巧(1)判别方法直线与双曲线的位置关系的判别与运用和直线与椭圆的位置关系的判别方法相似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，留意二次项系数能否为0的判别．(2)一个技巧关于中点弦效果常用〝点差法〞，但需求检验．即时演练双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)假定双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)经过原点且倾斜角为30°的直线l 与双曲线右支交于点A ，且△OAF 是以AF 为底边的等腰三角形，求双曲线的离心率e 的值．高考真题演练1．(2021·全国卷Ⅲ)F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，那么△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.322．(2021·全国卷Ⅲ)假定双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，那么C的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D.2333．(2021·全国卷Ⅲ)假定a ＞1，那么双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)4．(2021·全国卷Ⅲ)方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)5．(2021·全国卷Ⅲ)A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，那么E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D.26．(2021·全国卷Ⅲ)M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．假定MF 1―→·MF 2―→<0，那么y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 7．(2021·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C的一条渐近线交于M ，N 两点．假定∠MAN ＝60°，那么C 的离心率为________． 8．(2021·全国卷Ⅲ)F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．9．(2021·全国卷Ⅲ)双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，那么该双曲线的规范方程为________．高考达标检测一、选择题1．假定双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相反，且双曲线C 2的焦距为45，那么b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．82．椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的公共焦点为F 1，F 2，假定P 是两曲线的一个交点，那么|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －aB ．m 2－a 2 C.m －a 2D.m －a3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，那么该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积为( )A.24 B.22 C.28 D.2164．双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点区分为F 1，F 2，|F 1F 2|＝6，P 是E 右支上一点，PF 1与y 轴交于点A ，△P AF 2的内切圆在边AF 2上的切点为Q ，假定|AQ |＝3，那么E 的离心率为( )A ．2 3 B. 5 C. 3 D.25．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，那么双曲线C 的离心率为( )A.52B. 5C. 2 D ．2 6．(2021·西南四校联考)点F 1，F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|PF 2|＝|F 1F 2|，∠F 1F 2P ＝120°，那么双曲线的离心率为( )A.3＋12 B.5＋12C. 3D.5 7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点区分为F 1，F 2，O 为坐标原点，A 为右顶点，P 为双曲线左支上一点，假定|PF 2|2|PF 1|－|OA |存在最小值为12a ，那么双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为( )A.15B.12C.265D.358．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P ，Q ，假定∠P AQ ＝60°且OQ ―→＝5OP ―→，那么双曲线C 的离心率为( )A ．2 B.213 C.72D ．3 二、填空题9．(2021·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线区分交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，那么四边形F 1PF 2Q 的面积是________．10．(2021·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．假定|AF |＋|BF |＝4|OF |，那么该双曲线的渐近线方程为________．11．F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2作双曲线渐近线的垂线，垂足为P ，假定|PF 1|2－|PF 2|2＝c 2，那么双曲线的离心率e ＝__________.12．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，假定|AB |≥35|CD |，那么双曲线的离心率e 的取值范围为__________．三、解答题13．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |. 14．椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点区分是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点区分是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)假定直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ―→·OB ―→＞2，求k 的取值范围．才干提高训练题1．(2021·江西吉安一中测试)在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且|AB |＝2，|AD |＝1，|CD |＝2x ，其中x ∈(0,1)，以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，假定对恣意x ∈(0,1)，不等式t <e 1＋e 2恒成立，那么t 的最大值为( )A. 3B. 5 C ．2 D.22．设A 1，A 2区分为双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的上、下顶点，假定双曲线上存在点M 使得两直线斜率kMA 1·kMA 2>2，那么双曲线C 的离心率e 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，62 B.⎝⎛⎭⎫1，62 C.⎝⎛⎭⎫62，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫1，32 3．双曲线x 29－y 227＝1与点M (5,3)，F 为右焦点，假定双曲线上有一点P ，那么|PM |＋12|PF |的最小值为__________．高考研讨课三、抛物线命题3角度——求方程、研性质、用关系全国卷5年命题剖析考点考察频度考察角度抛物线的规范方程未独立考察抛物线的几何性质 5年6考焦半径、弦长、面积等效果直线与抛物线的位置关系5年2考抛物线的切线、存在性效果例、(1)(2021·宜宾诊断)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的规范方程是( )A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y(2)(2021·兰州双基过关考试)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，那么该抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．4B ．8C ．16D ．32 方法技巧1．求抛物线方程的3个留意点(1)当坐标系已树立时，应依据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种． (2)要留意掌握抛物线的顶点、对称轴、启齿方向与方程之间的对应关系．(3)要留意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，应用它的几何意义来处置效果． 2．记住与焦点弦有关的5个常用结论如下图，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，有以下结论： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为直线AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．即时演练1．(2021·辽宁五校联考)AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，那么AB 中点C 的横坐标是( )A ．2 B.12 C.32 D.522．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝2|BF |，那么直线AB 的斜率为( )A ．2 2B ．2 3C ．±2 2D ．±23题型二、抛物线的定义及运用与抛物线定义相关的最值效果常触及距离最短、距离和最小等.,罕见的命题角度有：1、到焦点与定点距离之和最小效果；2、到焦点与动点距离之和最小效果；3、焦点弦中距离之和最小效果.角度一：到焦点与定点距离之和最小效果1．(2021·赣州模拟)假定点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2,2)角度二：到焦点与动点距离之和最小效果2．(2021·邢台摸底)M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，那么|MA |＋|MF |的最小值是________．角度三：焦点弦中距离之和最小效果3．抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 区分作y 轴的垂线，垂足区分为C ，D ，那么|AC |＋|BD |的最小值为________．方法技巧与抛物线有关的最值效果的2个转化战略转化战略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，结构出〝两点之间线段最短〞，使效果得解．转化战略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，应用〝与直线上一切点的连线中垂线段最短〞原理处置．题型三、直线与抛物线的位置关系例、(2021·浙江高考)如图，抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围；(2)求|P A |·|PQ |的最大值．方法技巧直线与抛物线位置关系效果的求解战略(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系相似，普通要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长效果，要留意直线能否过抛物线的焦点，假定过抛物线的焦点，可直接运用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，假定不过焦点，那么必需用普通弦长公式．即时演练在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，交x 轴于点D ，B 到x 轴的距离比|BF |小1.(1)求C 的方程；(2)假定S △BOF ＝S △AOD ，求l 的方程．。

高三数学寒假作业专题14 椭圆、双曲线、抛物线背试题

〔寒假总发动〕2021年高三数学寒假作业专题14 椭圆、双曲线、抛物线〔背〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日1．椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的间隔的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的间隔叫做椭圆的焦距．2．椭圆的HY方程和几何性质HY方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)3．双曲线的定义平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的间隔之差的绝对值为常数2a(2a＜2c)，那么点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的间隔叫焦距．4．双曲线的HY方程和几何性质HY 方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)性质范围x≥a或者x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或者y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)5．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的间隔相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的间隔)．6．抛物线的HY方程与几何性质图形续表制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。

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高考达标检测（三十九）抛物线命题3角度——求方程、研性质、用关系一、选择题1．若点P 到直线x ＝－3的距离比它到点(2,0)的距离大1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：选D 依题意，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线．2．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16，则p ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可得x 1＋x 2＝6，x 1＋x 2＋p ＝8，所以p ＝2.3．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA ―→|＋|FB ―→ |＋|FC ―→|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA ―→|＋|FB ―→|＋|FC ―→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.4．已知F 是抛物线x 2＝8y 的焦点，若抛物线上的点A 到x 轴的距离为5，则|AF |＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选D ∵F 是抛物线x 2＝8y 的焦点，∴F (0,2), ∵抛物线上的点A 到x 轴的距离为5， ∴|AF |＝5＋p2＝7.5.已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，一条长度为4p 的线段AB 的两个端点A ，B 在抛物线C 上运动，则线段AB 的中点M 到y 轴距离的最小值为( )A ．2p B.52p C.32p D ．3p解析：选C 由题意可得抛物线的准线l ：x ＝－p2，分别过A ，B ，M 作AC ⊥l ，BD ⊥l ，MH ⊥l ，垂足分别为C ，D ，H .在直角梯形ABDC 中， |MH |＝|AC |＋|BD |2.由抛物线的定义可知|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |(F 为抛物线的焦点)， ∴|MH |＝|AF |＋|BF |2≥|AB |2＝2p ，即AB 的中点M 到抛物线的准线的最小距离为2p ，∴线段AB 的中点M 到y 轴的最短距离为2p －p 2＝3p2.6．已知O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，直线l ：y ＝m (x －1)与抛物线交于A ，B 两点，点A 在第一象限，若|FA |＝3|FB |，则m 的值为( )A ．3 B. 3 C.33D.13解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m x －，y 2＝4x消去x ，得my 2－4y －4m ＝0，则y 1＋y 2＝4m，y 1y 2＝－4.由|AF |＝3|BF |，可得y 1＝－3y 2，所以－2y 2＝4m，－3y 22＝－4，解得m ＝3(m ＝－3舍去)．二、填空题7．(2017·天津高考)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为______________．解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C (－1，a )(a ＞0)，则A (0，a )．又F (1,0)，所以AC ―→＝(－1,0)，AF ―→＝(1，－a )，由题意得AC ―→与AF ―→的夹角为120°，故cos 120°＝－11×1＋－a2＝－12，解得a ＝3，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1. 答案：(x ＋1)2＋(y －3)2＝18．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，P ，Q 是C 上任意两点，点M (0，－1)满足MP ―→·MQ ―→≥0，则p 的取值范围是________．解析：过M 点作抛物线的两条切线，设切线方程为y ＝kx －1，切点坐标为A (x 0，y 0)，B (－x 0，y 0)，由y ＝x 22p ，得y ′＝1px ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＝2py 0，y 0＝kx 0－1，x 0p ＝k ，解得k ＝±2p.∵MP ―→·MQ ―→≥0恒成立，∴∠AMB ≤90°，即∠AMO ≤45°， ∴|k |≥tan 45°＝1，即 2p≥1，解得p ≤2，由p ＞0，则0＜p ≤2， ∴p 的取值范围为(0,2]．答案：(0,2]9．已知点P 在抛物线y ＝x 2上，点Q 在圆C ：(x －4)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝1上，则|PQ |的最小值为__________．解析：∵点P 在抛物线y ＝x 2上，∴设P (t ，t 2)， ∵圆(x －4)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝1的圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－12，半径r ＝1，∴|PC |2＝(4－t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－t 22＝t 4＋2t 2－8t ＋654，令y ＝|PC |2＝t 4＋2t 2－8t ＋654，则y ′＝4t 3＋4t －8，由y ′＝0，可得t 3＋t －2＝0，解得t ＝1.当t ＜1时，y ′＜0，当t ＞1，y ′＞0，可知函数在t ＝1时取得最小值，|PC |2min ＝454，∴|PQ |的最小值为352－1.答案：352－1三、解答题10.如图，抛物线的顶点在原点，圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心恰是抛物线的焦点．(1)求抛物线的方程；(2)一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A ，B ，C ，D 四点，求|AB |＋|CD |的值．解：(1)设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，∵圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心恰是抛物线的焦点，∴p ＝4. ∴抛物线的方程为y 2＝8x .(2)依题意，直线AB 的方程为y ＝2x －4.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝8x ，得x 2－6x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝6，∴|AD |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋4＝10. ∴|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |＝10－4＝6.11．已知动点P 到点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到直线x ＝－52的距离小2.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)记P 点的轨迹为E ，过点S (2,0)，斜率为k 1的直线交E 于A ，B 两点，Q (1,0)，延长AQ ，BQ 与E 交于C ，D 两点，设CD 的斜率为k 2，证明：k 2k 1为定值．解：(1)∵动点P 到点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到直线x ＝－52的距离小2， ∴动点P 到点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线x ＝－12的距离相等，∴动点P 的轨迹是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为焦点的抛物线， ∴动点P 的轨迹方程为y 2＝2x .(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4),则直线AB 的方程为y ＝k 1(x －2)，代入抛物线方程消去x ，得y 2－2k 1y －4＝0,∴y 1＋y 2＝2k 1，y 1y 2＝－4.直线AC ，BD 过点Q (1,0)，同理可得y 1y 3＝y 2y 4＝－2, ∴y 3＝－2y 1，y 4＝－2y 2，∴k 2＝y 4－y 3x 4－x 3＝2y 4＋y 3＝－y 1y 2y 1＋y 2＝2k 1， ∴k 2k 1＝2.12．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 29＝1(a >0)的左、右焦点，点P 是双曲线上任一点，且||PF 1|－|PF 2||＝2，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为E .(1)求双曲线C 的渐近线方程和抛物线E 的方程；(2)过抛物线E 的准线与x 轴的交点作直线，交抛物线于M ，N 两点，当直线的斜率等于多少时，以线段MN 为直径的圆经过抛物线E 的焦点？解：(1)由双曲线的定义可知，2a ＝2，即a ＝1. ∴双曲线的方程为x 2－y 29＝1，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .又双曲线的右顶点坐标为(1,0)，即抛物线E 的焦点坐标为(1,0)， ∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴的交点为(－1,0)．设直线MN 的斜率为k ，则其方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，y 2＝4x ，得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0.∵直线MN 与抛物线交于M ，N 两点， ∴k ≠0，且Δ＝4(k 2－2)2－4k 4＞0，解得－1＜k ＜1，且k ≠0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，抛物线焦点为F (1,0), ∵以线段MN 为直径的圆经过抛物线焦点，∴MF ⊥NF . ∴y 1x 1－1·y 2x 2－1＝－1，即y 1y 2＋x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0. 又x 1＋x 2＝－k 2－k 2，x 1x 2＝1，y 21y 22＝4x 1·4x 2＝16且y 1，y 2同号，∴y 1y 2＝4，∴k 2－k 2＝－6，解得k ＝±22. 即直线的斜率等于±22时，以线段MN 为直径的圆经过抛物线的焦点．1．过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作斜率为43的直线l ，与抛物线C 及其准线分别相交于A ，B ，D 三点，则|AD ||BD |的值为( )A ．2或12B ．3或13C ．1D ．4或14解析：选D 抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，过A 和B 分别做准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，则直线AB 的方程为y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px消去x ，整理得y 2－32py －p 2＝0，则y 1＋y 2＝32p ，y 1y 2＝－p 2，设AF ―→＝λFB ―→，则⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2，即－y 1＝λy 2，由y 1＋y 22y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94， ∴－λ－1λ＋2＝－94，整理得4λ2－17λ＋4＝0，解得λ＝4或λ＝14.当λ＝4时，如图所示，|AF |＝4|BF |，则|AB |＝5|BF |.由抛物线的定义可知：|BF |＝|BB ′|，由直线AB 的斜率为43，得sin ∠BDB ′＝35，即sin ∠BDB ′＝|BB ′||BD |＝35，∴|BD |＝53|BB ′|＝53|BF |，|AD |＝|AB |＋|BD |＝203|BF |，∴|AD ||BD |＝4.当λ＝14时，如图所示，4|AF |＝|BF |，则|AB |＝5|AF |，由抛物线的定义可知：|AF |＝|AA ′|，由直线AB 的斜率为43，得sin ∠ADA ′＝35，即sin ∠ADA ′＝|AA ′||AD |＝35，∴|AD |＝53|AA ′|＝53|AF |，|BD |＝|AB |＋|AD |＝203|AF |，∴|AD ||BD |＝14.2．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点D (1，y 0)是抛物线上的点，且|DF |＝2. (1)求抛物线C 的方程；(2)过定点M (m,0)(m ＞0)的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点N ，且满足：NA ―→＝λAM ―→，NB ―→＝μBM ―→.①当m ＝p2时，求证：λ＋μ为定值；②若点R 是直线l ：x ＝－m 上任意一点，三条直线AR ，BR ，MR 的斜率分别为k AR ，k BR ，k MR ，是否存在常数s ，使得k AR ＋k BR ＝s ·k MR 恒成立？若存在求出s 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵点D (1，y 0)是抛物线上的点，且|DF |＝2， ∴1＋p2＝2，解得p ＝2.∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)①证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当m ＝p2＝1时，M (1,0)，直线AB 的斜率存在且不为0，可设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1(t ≠0)，可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1t .联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x 消去x ，可得y 2－4ty －4＝0，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4.∵NA ―→＝λAM ―→，NB ―→＝μBM ―→， ∴y 1＋1t ＝λ(－y 1)，y 2＋1t＝μ(－y 2)，∴λ＋μ＝－1－1ty 1－1－1ty 2＝－2－y 1＋y 2ty 1y 2＝－2－4t－4t＝－1.即λ＋μ为定值． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，R (－m ，y 3)，直线AB 的斜率不等于0，可设直线AB 的方程为x ＝ty ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x消去x ，可得y 2－4ty －4m ＝0，∴y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m . 则k AR ＝y 1－y 3x 1＋m ，k MR ＝y 3－2m ，k BR ＝y 2－y 3x 2＋m，则k AR ＋k BR ＝y 1－y 3x 1＋m ＋y 2－y 3x 2＋m＝y 1x 2＋y 1m －y 3x 2－y 3m ＋y 2x 1＋y 2m －y 3x 1－y 3mx 1x 2＋m x 1＋x 2＋m 2，又y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，代入可得k AR ＋k BR ＝y 1y 24y 1＋y 2＋m y 1＋y 2－y 34y 21＋y 22－2my 3y 1y 2216＋m ·y 21＋y 224＋m2，把y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m ，代入化简可得k AR ＋k BR ＝－y 3m＝2·k MR .综上可得，存在常数s ＝2，使三条直线AR ，BR ，MR 的斜率满足k AR ＋k BR ＝2·k MR .。

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