人教版七年级下册数学精编系列与垂线有关的角度计算
人教版七年级数学下册5.1.2垂线
(2)垂直公理是什么? 答案：在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂 直.
(3)垂线段公理是什么? 答案：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最 短,简单说成:垂线段最短.
(4)点到直线的距离的定义是什么? 答案：直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线 的距离.
(5)垂线段和点到直线的距离的区别与联系.
D C
35°
解：∵又O∵A∠⊥BOOBE,∴＝∠2∠AAOOBE＝,∠∴AO∠E＋AO∠E＝BO9E0＝°9×0°1 . 30
∴∠AOF＝180°－∠AOE＝150°.
3
又∵OD平分∠AOF,
∴∠AOD＝ 1∠AOF＝75°, 2
∴∠EOD=∠AOD＋∠AOE=30°＋75°=105°.
本课时学习了垂线和点到直线的距离的概念, 以及垂直公理、垂线段公理.
90° 垂足
垂线 且只有
垂线段最短
垂线段最短 长度
[生活中的垂线]
[生活中的垂线]
[生活中的垂线]
[生活中的垂线]
[生活中的垂线]
[生活中的垂线]
在相交线模型中,固定木条a,转动木条b,当b的位 置变化,a、b所成的角也会发生变化.当∠α=90°,此 时,a与b的位置关系如何呢?
(1)垂线的定义是什么?举例说明怎样记两直线垂直. 答案：两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另 一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.例如: 右图中,两条直线互相垂直,可记作:AB⊥CD,垂 足为O.
例3：如图所示,已知直线AB、CD、 EF相交于点O,且CD⊥AB,∠AOE:∠AOD=2:5. 求∠BOF、∠DOF的度数.
解析：根据∠AOE:∠AOD=2:5,∠AOD=90°,先求出∠AOE的 度数,由此求出∠BOF、∠DOF的度数. 解：∵CD⊥AB, ∴∠AOD=∠BOD=90°,
人教版七年级数学下册相交线,垂线(基础)知识讲解
相交线，垂线（基础）知识讲解【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.【高清课堂：相交线两条直线垂直】知识点二、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．要点诠释：⊥；(1)记法：直线a与b垂直，记作：a b直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：∠=°判定90AOCCD⊥AB．性质2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1．如图所示，M、N是直线AB上两点，∠1＝∠2，问∠1与∠2，∠3与∠4是对顶角吗? ∠1与∠5，∠3与∠6是邻补角吗？【答案与解析】解：∠1和∠2，∠3和∠4都不是对顶角．∠1与∠5，∠3与∠6也都不是邻补角．【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角．举一反三：【变式】判断正误：（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角. （）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（）(3)有一条公共边的两个角是邻补角. （）(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互补. （）(5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（）【答案】(1)×（2）×（3）×（4）√（5）×，反例：∠AOC为120°，射线OB为∠AOC的角平分线，∠AOB与∠AOC互补，且有边公共为AO，公共顶点为O，但它们不是邻补角.2.如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数【答案与解析】解：∵∠1是∠2的邻补角，∠1＝65°，∴∠2＝180°－65°＝115°．又∵∠1和∠3是对顶角，∠2与∠4是对顶角∴∠3＝∠1＝65°，∠4＝∠2＝115°．【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角；(2)求出∠2后用“对顶角相等”，求∠3和∠4．举一反三：【变式】（2015•梧州）如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC=110°，则∠AON的度数为度．【答案】145．解：∵∠BOC=110°，∴∠BOD=70°，∵ON为∠BOD平分线，∴∠BON=∠DON=35°，∵∠BOC=∠AOD=110°，∴∠AON=∠AOD+∠DON=145°.3. 任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类．【答案与解析】解：如图，任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；②有公共顶点，角的两边互为反向延长线．这6对角为∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4，∠3与∠4，其中∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∠1+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°．在位置上∠1与∠3，∠2与∠4是对顶角，∠1与∠2，∠3与∠4，∠l与∠4，∠2与∠3是邻补角．【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角类型二、垂线4．下列语句中，正确的有 ( )①一条直线的垂线只有一条；②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交，则交点叫垂足；④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】正确的是：②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式1】直线l外有一点P，则点P到直线l的距离是( ).A．点P到直线l的垂线的长度.B．点P到直线l的垂线段.C．点P到直线l的垂线段的长度.D．点P到直线l的垂线.【答案】C5.（2015•河北模拟）如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C．【解析】解：∵∠1=145°，∴∠2=180°﹣145°=35°，∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°.【总结升华】本题考查了垂线和邻补角的定义；弄清两个角之间的互补和互余关系是解题的关键．【高清课堂：相交线403101经典例题3】举一反三：【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40 ,则∠EOF=_______.【答案】130°．6.（2016春•抚州校级期中）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【思路点拨】根据垂线段最短可得答案．【答案】A．【解析】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，故选：A．【总结升华】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．举一反三：【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条?【答案】解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．。
人教版七年级下册数学5.1.2垂线知识点训练
人教版七年级上册数学5.1.2垂线知识点训练垂线的知识点一、定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足。
二、垂线的性质1.在连接直线外一点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短。
简称垂线段最短。
2.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂足：1.如果两直线的夹角为直角,那么就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
2.一条直线垂直交于另一直线，其交点称为该直线的垂足。
课时训练一、选择。
1、下列四个条件：①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角；②两条直线相交所成的四个角相等；③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻的角相等；④两条直线相交所成的四个角中有一组对顶角的和为180°，其中，能判定两条直线互相垂直的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2、到直线L 的距离等于2cm的点有（）A、0个B、1个C、无数个D、无法确定3、已知线段AB长为10cm,点A,B到直线l的距离分别为6cm和4cm,则符合条件的直线l有( )A.1条B.2条C.3条D.4条4、如下图所示，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2的度数是( )A．35°B．40°C．45°D．60°二、填空。
1、点P是直线l外一点,点A,B,C,D是直线l上的点,连PA,PB,PC,PD.其中只有PA与l垂直,若PA=7,PB=8,PC=10,PD=14则点P到直线l的距离是_____________.2、如图，直线AB、CD相交于点O，OE是射线，∠1＝35°，∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是________．3、直线外＿＿＿＿与直线上各点连结的所有线段中，＿＿＿＿＿＿最短。
4、如图所示，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，AB＝6 cm，AD＝5 cm，则点B到直线AC的距离是，点A到直线BC的距离是 .三、解答。
人教版七年级数学下册：垂线【精品课件】
AD
B
C
课堂检测
2.如图, AC⊥BC, ∠C=90° ,线段AC、BC、CD中最短的是（ ) C
A. AC B. BC
C. CD
D. 不能确定
C
A
D
B
课堂检测
3.若点P是直线m外一点，点A，B，C分别是直线m上不同的
三点，且PA＝5，PB＝6，PC＝7，则点P到直线m的距离不 可能是 ( D)
垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点， 另一端是垂足.
垂线
P
垂线段
A
B
D
探究新知
点到直线的距离的概念：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到
直线的距离.
P
例如：如图，PA⊥m于点A ，垂线段
PA的长度叫做点P到直线m的距离.
m
例 如图，是一个同学跳远的位 置，跳远成绩怎么表示?
A
m
课堂小结 两 条 直 线 相 交
一 般 情 况
特殊 情况 垂 相交成 线 直角
对顶角：相等 邻补角：互补
垂线的存在 性和唯一性
人教版 数学 七年级 下册
导入新知
在灌溉时，要把河里的水引到农田里的P处，如何挖渠能 使渠道最短呢？
素养目标
3. 掌握垂线段最短的性质，并会利用所学知识解 决简单的实际问题. 2. 掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直 线的距离. 1. 理解垂线段的概念，会用三角尺或量角器 过一点画已知直线的垂线段 .
根据以上操
1.放
作，你能得
2.靠
B
出什么结论？
3.移
4.画
l
C
0
1
2
3
4
初一数学下册：垂线(含知识点、练习和答案)
初一数学下册：垂线（含知识点、练习和答案）知识点总结一、定义1、垂直：两条直线相交所成的四个角中，如果如果有一个角为90度，那么这两条直线互相垂直。
2、垂线：垂直是相交的一种特殊情形，如果两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
3、垂足：两条垂线的交点叫垂足。
4、垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足。
5、垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
二、三角形的高1、做直角三角形的高：两条直角边即是钝角三角形的高，只要做出斜边上的高即可。
2、做钝角三角形的高：最长的边上的高只要向最长边引垂线即可，另外两条边上的高过边所对的顶点向该边的延长线做垂线。
三、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
四、垂线段最短；点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
五、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
同步练习1、如图，OA⊥OB，若∠1=55°，则∠2的度数是( )A、35°B、40°C、45°D、60°2、如图,直线AB与直线CD相交于点O,已知OE⊥AB,∠BOD=45°,则∠COE的度数是( )A、125°B、135°C、145°D、155°3、过线段外一点,画这条线段的垂线,垂足在( )A、这条线段上B、这条线段的端点4、在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( )A、1个B、2个C、3个D、4个5、下列说法正确的有( )①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线;④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线。
七年级数学垂线的概念、画法、性质与角度计算
相交线之垂线在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b。
当b的位置变化时，a、b所成的∠α也会发生变化。
当∠α＝90°时（如图1），你能得到什么结论？我们说a与b互相垂直，记作a⊥b。
（图1）【知识梳理1】垂线的相关概念及推理1.当∠α＝90°时（如图1）此时，我们说a与b互相垂直，记作a⊥b。
（图2）2.垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。
如图2，AB⊥CD，垂足为O。
注：（1）∠α可以是四个角中的任意一个角，不是限定不变的某一个角。
（2）在画图时，要标记直角符号“┐”，垂线是一条直线而不是线段或射线。
3.推理格式∵∠AOC＝90°（已知）∴AB⊥CD（垂直的定义）反过来也成立：∵AB⊥CD于点O（已知）∴∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90°（垂直的定义）注：垂直的定义既是垂直的性质，也是垂直的判定方法。
【重点剖析】遇到线段、射线的垂直问题，指的是它们所在的直线互相垂直，画线段或射线的垂线是指画它们所在直线的垂线，垂足可能在线上，也可能在其延长线上。
【知识梳理2】垂线的画法经过一点作（已知直线上或直线外），画已知直线的垂线，步骤如下：①靠线：让直角三角板的一条直角边（或某条刻度线）与已知直线重合；②靠点：沿直线移动，使直角三角板的另一条直角边经过已知点；③画线：沿直角边画线，则这条直线就是经过这个点的已知直线的垂线。
例：1.在下列各图中，过点P 画出射线AB 或线段AB 的垂线 2.过点P 作∠AOB 两边的垂线【例题精讲】例1.下列说法正确的有（ ）①两条直线相交，交点叫垂足；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，一条直线有且只有一条垂线；④在同一平面内，一条线段有无数条垂线；⑤过任意一点不可能向一条射线或线段所在的直线作垂线；⑥若直线1l ⊥2l ，则1l 是2l 的垂线，2l 不是1l 的垂线。
人教版七年级数学下册课件垂线
难点名称 ：用垂线定义判断两条直线是否垂直及垂线的画法。
已知直线 和 外的一点A ,作 的垂线.
“垂直”与“垂线”的区别：
(2)AO⊥BO.理由如下：
则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.
∵ ∠3＝36°，∠2＝54°
∴∠3＋∠2＝90°
∴AO⊥BO（垂直的定义）
丈夫清万里，谁能扫一室。
不为穷变节，不为贱易志。
鹰爱高飞，鸦栖一枝。
志坚者，功名之柱也。登山不以艰险而止，则必臻乎峻岭。
雄鹰必须比鸟飞得高，因为它的猎物就是鸟。
大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎?
古顶①之天经立 立大地过事奇一者男，子点不，惟要画有把已超乾世坤知之扭材转直，来线亦。必的有坚垂忍线不拨有之志几。种情况 ？②通过画图，你发现过一点可以画几条直
人教版数学教材七年级下5.1相交线
已知直线 和 外的一点A ,作 的垂线.
垂直的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角(90°)时，叫做这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂
线，
要找到两条直线相交所成的四个交角中任意一个角
如图，已知DO⊥CO，∠1＝36°，∠3＝36°.
解：(1)∵ DO⊥CO
（2）已知点在直线AB上
不为穷变节，不为贱易志。
P 在年轻人的颈项上，没有什么东西能比事业心这颗灿烂的宝珠。
学做任何事得按部就班，急不得。
A
B
A
P
B
知识讲解： 二、垂线的性质
如图：已知直线 l 和 l外的一点A ,作 l 的垂线.
A
请同学们画一下
B
l
0
1
2
3
部编数学七年级下册专题1与垂线有关的计算与证明(解析版)含答案
专题1 与垂线有关的计算与证明（解析版）第一部分典例精析+变式训练类型一运用垂直的定义直接计算典例1（2020•谷城县校级模拟）如图所示，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠COE＝55°，则∠BOD的度数是（ ）A．40°B．45°C．30°D．35°思路引领：先根据垂直的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等即可求出∠BOD的度数．解：∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵∠COE＝55°，∴∠AOC＝90°﹣∠COE＝35°，∴∠BOD＝∠AOC＝35°．故选：D．总结提升：本题考查了对顶角相等的性质，垂直的定义，根据图形找出角的关系代入数据进行计算即可，比较简单．变式训练1．（2021春•江夏区期中）如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝37°，则∠2的度数是（ ）A．37°B．53°C．43°D．63°思路引领：利用垂线的定义得∠BOC＝90°，从而得出∠BOE＝90°﹣37°＝53°，再根据对顶角相等可得答案．解：∵AB⊥CD，∴∠BOC＝90°，∵∠1＝37°，∴∠BOE＝90°﹣37°＝53°，∴∠2＝∠BOE＝53°，故选：B．总结提升：本题主要考查了垂线的定义，对顶角的性质，角的和差关系等知识，熟练掌握各性质是解题的关键，属于基础题．典例2 （2021秋•松阳县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°．（1）若OE⊥CD，求∠BOE的度数；（2）若OA平分∠COE，求∠DOE的度数．思路引领：（1）先根据对顶角相等得出∠BOD的度数，再由OE⊥CD得出∠DOE＝90°，进而可得出结论；（2）根据角平分线的定义得出∠AOE的度数，再由对顶角相等得出∠BOD的度数，根据平角的定义即可得出结论．解：（1）∵∠AOC＝40°，∴∠BOD＝40°．∵OE⊥CD，∴∠DOE＝90°，∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝40°+90°＝130°；（2）∵OA平分∠COE，∠AOC＝40°．∴∠AOE＝∠AOC＝40°，∠BOD＝∠AOC＝40°，∴∠DOE＝180°﹣∠AOE﹣∠BOD＝180°﹣40°﹣40°＝100°．总结提升：本题考查了角平分线，邻补角．解题的关键是掌握角平分线的定义．邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．变式训练22．（2021秋•盱眙县期末）如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON ＝25°，求∠COD的度数．解：∵∠BON＝25°，∴∠AOM＝25°，∵OA平分∠MOD，∴∠AOD＝∠MOA＝25°，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠COD＝90°﹣25°＝65°．典例3（2022春•阳高县月考）如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON＝21°，求∠AOM的度数．思路引领：利用角平分线定义可得∠BON＝2∠EON＝42°，然后根据垂直定义可得∠AOC＝90°，进而可得∠AOM的度数．解：∵OE平分∠BON，∠EON＝21°，∴∠BON＝2∠EON＝42°，∴∠MOC＝42°，∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM＝90°﹣42°＝48°．总结提升：此题主要考查了垂线，以及角平分线的定义，关键是掌握角平分线把这个角分成相等的两个角．变式训练1．（2022春•东莞市月考）如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，∠COE＝53°，求∠DOF 与∠BOF的度数．思路引领：利用垂直定义可得∠BOD＝90°，然后再利用对顶角相等可得∠DOF＝53°，再利用角的和差关系计算出∠BOF的度数即可．解：∵AB⊥CD，∴∠BOD＝90°，∵∠COE＝53°，∴∠DOF＝53°，∴∠BOF＝90°+53°＝143°．总结提升：此题主要考查了垂线，关键是掌握对顶角相等，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．类型二运用方程思想进行计算典例4（2021春•集贤县期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE＝4：1，求∠DOE和∠AOF的度数．思路引领：利用角平分线及比例式求出角的关系，利用平角是180°，求出∠BOE＝∠DOE＝30°，OF 平分∠COE得到∠EOF＝75°，求出∠BOF＝45°，根据邻补角的和等于180°求出∠AOF．解：∵∠AOD：∠BOE＝4：1，∴∠AOD＝4∠BOE，∵OE平分∠BOD，∴∠D0E＝∠EOB，∵∠AOD+∠DOE+∠BOE＝180°，∴6∠BOE＝180°，∴∠BOE＝∠DOE＝30°，∴∠COE＝180°﹣30°＝150°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF＝75°，∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝75°﹣30°＝45°，∠AOF＝180°﹣45°＝135°．总结提升：本题考查了邻补角的定义，对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图并熟记性质与概念是解题的关键．变式训练1．如图，AO⊥BO，CO⊥DO，∠AOC=13∠BOC，求∠BOD的度数．思路引领：先设∠AOC＝x，根据题意可得∠BOC＝3x，∠AOB＝2x，再由AO⊥BO，运用垂直的定义可得2x＝90°，进而求解出x的值，再运用周角的定义即可求解．解：设∠AOC＝x，∠BOC＝3x，∴∠AOB＝2x，∵AO⊥BO，∴2x＝90°，∴x＝45°，∴∠BOD＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°．总结提升：本题主要考查了角的运算，正确理解垂直的定义是本题的解题关键．典例5 （2021秋•泊头市期末）如图，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；（2）如图2，若∠COE=13∠DOB，求∠AOC的度数．思路引领：（1）已知∠COD，欲求∠DOE，需求∠COE．由∠AOC＝40°，得∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°．由OE平分∠BOC，得∠COE=12∠BOC=12×140°=70°，进而解决此题．（2）欲求∠AOC，需求∠BOC．由∠COE=13∠DOB，得∠DOB＝3∠COE．由OE平分∠BOC，得∠BOC＝2∠COE．由∠COD＝90°，得∠BOC+∠BOD＝2∠COE+3∠COE＝5∠COE＝90°，故∠COE＝18°，进而可求得∠AOC．解：（1）∵∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°．∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠BOC=12×140°=70°．∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣70°＝20°．（2）∵∠COE=13∠DOB，∴∠DOB＝3∠COE．∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE．∵∠COD＝90°，∴∠BOC+∠BOD＝2∠COE+3∠COE＝5∠COE＝90°．∴∠COE＝18°．∴∠BOC＝2∠COE＝36°．∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣36°＝144°．总结提升：本题主要考查角的和差关系、角平分线的定义以及直角的定义，熟练掌握角的和差关系、角平分线的定义以及直角的定义是解决本题的关键．变式训练1．如图，AB、CD、EF相交于点O，EF⊥AB，OG、OH分别为∠COF、∠DOG的平分线，若∠AOC：∠COG＝4：7，则∠DOF＝ ，∠DOH＝ ．思路引领：利用垂直定义结合已知设∠AOC＝4x，∠COG＝7x，则∠GOF＝7x，进而求出x的值，再利用角平分线的性质得出答案．解：∵EF⊥AB，OG为∠COF的平分线，∴∠COG＝∠FOG，∵∠AOC：∠COG＝4：7，∴设∠AOC＝4x，∠COG＝7x，则∠GOF＝7x，∴4x+7x+7x＝18x＝90°，解得：x＝5°，故∠AOC＝∠DOB＝20°，∠COG＝∠GOF＝35°，则∠DOF＝90°+20°＝110°，故∠DOG＝20°+90°+35°＝145°，故∠GOH＝∠DOH＝72.5°，故答案为：110°，72.5°．总结提升：此题主要考查了角平分线的定义以及垂线的定义，熟练应用角平分线的定义是解题关键．2．（2021秋•城厢区校级期末）如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD 内的一条射线，∠MON＝70°．（1）若∠BOD=12∠COD，求∠BON的度数；（2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．思路引领：（1）根据对顶角的定义可得∠COD的度数，再根据∠BOD=12∠COD可得∠BOD的度数，然后根据邻补角互补可得答案；（2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，利用角的和差运算即可解得x，进而可得∠BON的度数．解：（1）∵∠MON＝70°，∴∠COD＝∠MON＝70°，∴∠BOD=12∠COD=12×70°=35°，∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠BOD＝180°﹣70°﹣35°＝75°；（2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，∵∠COD＝∠MON＝70°，∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝3x°﹣70°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝x°+70°，∵∠AOD＝2∠BOD，∴x+70＝2（3x﹣70），解得x＝42，∴∠BOD＝3x°﹣70°＝3×42°﹣70°＝56°，∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠DOB＝180°﹣70°﹣56°＝54°．总结提升：此题主要考查了角的计算，关键是掌握邻补角互补．类型三用计算的方法证明两直线垂直典例6（2022春•郾城区校级月考）如图，已知∠1＝142°，∠ACB＝38°，CD平分∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H．试判断AB与CD有什么位置关系？并说明理由．思路引领：先证DE∥BC，证明HF∥CD，所以∠BDC＝∠BHF＝90°，即可证明解：AB与CD垂直．理由如下：∵∠1＝142°，∠ACB＝38°，∴∠1+∠ACB＝180°．∴DE∥BC．∴∠2＝∠DCB．又∵∠2＝∠3，∴∠3＝∠DCB．∴HF∥CD．∴∠BHF＝∠BDC，又∵FH⊥AB，∴∠BDC＝∠BHF＝90°，∴CD⊥AB．总结提升：本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，熟悉以上性质是解题关键．变式训练1．（2021春•秦都区月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠BOE，∠DOF＝25°，∠AOC＝40°，OE与CD垂直吗？为什么？思路引领：根据对顶角的定义和角平分线的定义即可得到结论．解：OE⊥CD，理由如下：∵∠AOC＝40°，∴∠DOB＝∠AOC＝40°，∵∠DOF＝25°，∴∠BOF＝∠DOB+∠DOF＝65°，又∵OF平分∠BOE，∴∠EOF＝∠BOF＝65°，∴∠DOE＝∠EOF+∠DOF＝65°+25°＝90°，∴OE⊥CD．总结提升：本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角的性质，正确识别图形是解题的关键．典例7 （2019•衢江区校级开学）如图，点O是直线AB上一点，∠AOC＝30°，OD平分∠AOC，∠COE＝75°．（1）则DO⊥OE，请说明理由；（2）OE平分∠BOC吗？请说明理由．思路引领：（1）利用角平分线的定义求出∠COD＝15°，然后利用∠COE的度数即可解决问题；（2）利用平角的定义可以求出∠EOB的度数即可判断．解：（1）∵∠AOC＝30°，OD平分∠AOC，∴∠COD＝15°，而∠COE＝75°，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝15°+75°＝90°，∴DO⊥OE；（2）平分．∵∠EOB＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣30°﹣75°＝75°，∴∠COE＝∠EOB，即OE平分∠BOC．总结提升：本题主要考查了垂直的定义、平分线的定义和互补的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．变式训练1．（蔡甸区期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝28°，∠BOF＝59°，OF平分∠DOE，OE 与AB垂直吗？为什么？思路引领：根据对顶角的性质和角平分线的定义即可得到结论．解：OE⊥AB，理由如下：∵∠AOC＝28°，∴∠DOB＝∠AOC＝28°，∴∠DOF＝∠BOF﹣∠DOB＝59°﹣28°＝31°，又OF平分∠DOE，∴∠EOD＝2∠DOF＝62°，∴∠EOB＝∠EOD+∠DOB＝62°+28°＝90°，∴EO⊥AB．总结提升：本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角的性质，正确的识别图形是解题的关键．第二部分专题提优训练1．（2022•桐柏县一模）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝40°，求∠AOD 的度数（ ）A．110°B．120°C．130°D．140°思路引领：根据垂直的定义和对顶角相等得出答案．解：∵EO⊥AB，∴∠EOB＝90°，又∵∠EOC＝40°，∴∠AOD＝∠BOC＝∠EOB+∠EOC＝90°+40°＝130°，故选：C．总结提升：本题考查垂直的定义，对顶角相等的性质，掌握垂直的定义是解决问题的关键．2．（2022春•福清市期中）如图，点O在直线CD上，已知∠1＝25°，OB⊥OA，则∠BOD等于（ ）A．25°B．65°C．75°D．90°思路引领：利用互余的两角的关系计算即可．解：∵OB⊥OA，∠1＝25°，∴∠BOD＝90°﹣25°＝65°．故选：B．总结提升：本题考查的是余角的定义，解题的关键是从图中找到互余的两个角．3．（2020秋•南岗区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，若∠AOD＝132°，则∠EOC＝ °．思路引领：根据对顶角相等可得∠COB＝132°，再根据垂直定义可得∠EOB＝90°，再利用角的和差关系可得答案．解：∵∠AOD＝132°，∴∠COB＝132°，∵EO⊥AB，∴∠EOB＝90°，∴∠COE＝132°﹣90°＝42°，故答案为：42．总结提升：此题主要考查了垂线，以及对顶角，关键是掌握对顶角相等．4．（2020春•兴国县期末）如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，OG⊥CD，∠BOD＝24°．（1）求∠AOG的度数；（2）若OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠AOF的平分线吗？说明你的理由．思路引领：（1）由对顶角的性质可得∠AOC＝∠BOD＝24°，由垂线的性质可得∠COG＝90°，即可求解；（2）由垂线的性质和对顶角的性质可求∠AOG＝∠GOF，可得结论．解：（1）∵AB、CD相交于点O，∴∠AOC＝∠BOD＝24°，∵OG⊥CD，∴∠COG＝90°，即∠AOC+∠AOG＝90°，∴∠AOG＝90°﹣∠AOC＝90°﹣24°＝66°；（2）OG是∠AOF的角平分线，理由如下：∵OC是∠AOE的角平分线，∴∠AOC＝∠COE，又∵∠DOF＝∠COE，∵OG⊥CD，∴∠COG＝∠DOG＝90°，∴∠AOG＝∠GOF，∴OG平分∠AOF．总结提升：本题考查了垂线，对顶角的定义，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．5．（2021春•双辽市期末）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，OG平分∠BOE，若∠EOG=13∠AOE，求∠DOF的度数．思路引领：首先根据角平分线的性质可得∠EOG＝∠BOG，设∠EOG＝x°，进而得到∠EOG=13∠AOE=x°，再根据平角为180°可得x+x+3x＝180，解出x可得∠EOG，进而可得∠DOF的度数．解：∵OG平分∠BOE，∴∠EOG＝∠BOG，设∠EOG＝x°，∵∠EOG=13∠AOE，∴∠AOE＝3x°，∵x+x+3x＝180，解得：x＝36，∴∠AOE＝3×36°＝108°，∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝180°﹣108°＝72°，∵AB⊥CD，∴∠DOF＝∠AOD﹣∠AOF＝90°﹣72°＝18°．所以∠DOF的度数18°．总结提升：此题考查了垂线、角平分线，关键是掌握角平分线可以把角分成相等的两部分．6．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，请将下面的解题过程补充完整，在括号内填写理由．解：ON CD．理由如下：因为OM⊥AB，所以∠AOM＝ 90 °（ ）所以∠1+∠AOC＝90°．又因为∠1＝∠2，所以 +∠AOC＝90°（等量代换），即∠CON＝90°，所以 （ ）（2）若∠BOC＝4∠1，求∠MOD的度数．思路引领：（1）根据垂直定义即可得结论；（2）由OM⊥AB，可得∠BOM＝90°根据∠1+90°＝4∠1，得∠1＝30°，再根据对顶角相等得∠BOD ＝∠AOC＝60°，进而求解．解：（1）ON⊥CD．理由如下：因为OM⊥AB，所以∠AOM＝90°（垂直定义）所以∠1+∠AOC＝90°．又因为∠1＝∠2，所以∠2+∠AOC＝90°（等量代换），即∠CON＝90°，所以ON⊥CD（垂直定义）故答案为：⊥、90、垂直定义、∠2、ON⊥CD、垂直定义．（2）因为OM⊥AB，所以∠BOM＝90°因为∠BOC＝∠1+∠BOM所以∠1+90°＝4∠1，所以∠1＝30°所以∠AOC＝90°﹣∠1＝90°﹣30°＝60°所以∠BOD＝∠AOC＝60°所以∠MOD＝∠MOB+∠BOD＝90°+60°＝150°答：∠MOD的度数为150°．总结提升：本题考查了垂线、对顶角、邻补角，解决本题的关键是掌握垂线定义．7．（2020秋•和平区期末）平面内两条直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，OB平分∠COF．（1）如图1：①若∠AOE＝20°，则∠DOF＝ °；②请写出∠DOF和∠AOE的数量关系，并说明理由．（2）如图2，∠DOF与∠AOE的数量关系是 ．思路引领：（1）①先利用平角求出∠BOF，再利用角平分线的定义求出∠FOC即可，②设∠AOE＝x，然后按照①的思路表示∠DOF即可；（2）设∠AOE＝y，然后按照上题的思路表示∠DOF即可．解：（1）①∵∠EOF＝90°，∠AOE＝20°，∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝70°，∵OB平分∠COF，∴∠COF＝2∠BOF＝140°，∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝40°，故答案为：40°，②∠DOF＝2∠AOE，理由是：设∠AOE＝x，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣x，∵OB平分∠COF，∴∠COF＝2∠BOF＝180°﹣2x，∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝2x，∴∠DOF＝2∠AOE；（2）∠DOF＝2∠AOE，理由是：设∠AOE＝y，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣y，∵OB平分∠COF，∴∠COF＝2∠BOF＝180°﹣2y，∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝2y，∴∠DOF＝2∠AOE．总结提升：本题考查了邻补角，对顶角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．8．如图，已知钝角∠ABC．（1）在钝角∠ABC外，过点B作射线BE，射线BD，使BE⊥AB，BD⊥BC．（2）在（1）的情况下，若∠EBD=57∠ABC，试求∠EBD和∠ABC的度数．思路引领：（1）直接画出垂线即可；（2）根据比例关系，利用周角是360°求解即可．解：（1）作出的图形如图所示；（2）∵∠EBD=57∠ABC，∴∠EBD：∠ABC＝5：7．设∠EBD＝5k，则∠ABC＝7k．∵∠ABE＝∠CBD＝90°．∴∠ABC+∠EBD＝180°，即7k+5k＝180°，解得k＝15°．∴∠EBD＝5k＝5×15°＝75°，∠ABC＝7k＝7×15°＝105°．总结提升：本题考查的是垂线的作法、角度的求法，解题的关键就是看准作谁的垂线、周角是360°．9．（2019秋•未央区期末）如图，∠BOC＝2∠AOC，OD是∠AOB的平分线，且∠COD＝18°，求∠AOC 的度数．思路引领：设∠AOC＝x，用x表示出∠BOC、∠AOB及∠AOD，利用角的和差关系及∠COD＝18°得到关于x的方程，求解即可．解：设∠AOC＝x，∵∠BOC＝2∠AOC，∴∠BOC＝2x．∴∠AOB＝3x．又∵OD 平分∠AOB ，∴∠AOD ＝1.5x ．∵∠COD ＝∠AOD ﹣∠AOC ，∴1.5x ﹣x ＝18°，解得x ＝36°．∴∠AOC ＝36°．总结提升：本题考查了角平分线的性质及角的计算，掌握角的和差关系列出方程是解决本题的关键．10．（2022春•大荔县期末）如图，已知直线AB ，CD 相交于点O ，∠COE ＝90°．若∠BOD ：∠BOC ＝1：5，求∠AOE 的度数．思路引领：根据对顶角、邻补角的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可．解：∵∠BOD ：∠BOC ＝1：5，∠BOD +∠BOC ＝180°，∴∠BOD ＝180°×115=30°，∠BOC ＝180°×515=150°，∴∠AOC ＝∠BOD ＝30°，∵∠COE ＝90°．∴∠AOE ＝90°+30°＝120°．总结提升：本题考查对顶角、邻补角，理解对顶角相等以及邻补角的定义是正确简单的前提．11．（2019春•工业园区期末）如图，已知∠ADB ＝∠BCE ，∠CAD +∠E ＝180°．（1）判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由；（2）若CA 平分∠BCE ，EF ⊥AF 于点F ，∠ADB ＝80°，求∠BAD 的度数．思路引领：（1）根据平行线的判定得出AD∥CE，根据平行线的性质得出∠CAD＝∠ACE，求出∠E+∠ACE＝180°，根据平行线的判定得出即可；（2）根据∠ADB＝∠BCE求出∠BCE＝80°，根据角平分线的定义求出∠ACE=12∠BCE＝40°，根据平行线的性质得出∠CAD＝∠ACE＝40°，∠BAC＝∠EFA＝90°，即可得出答案．解：（1）AC∥EF，理由是：∵∠ADB＝∠BCE，∴AD∥CE，∴∠CAD＝∠ACE，∵∠CAD+∠E＝180°，∴∠E+∠ACE＝180°，∴AC∥EF；（2）∵∠ADB＝∠BCE，∠ADB＝80°，∴∠BCE＝80°，∵AC平分∠BCE，∴∠ACE=12∠BCE＝40°，∵AD∥CE，∴∠CAD＝∠ACE＝40°，∵FE⊥AB，∴∠EFA＝90°，∵AC∥EF，∴∠BAC＝∠EFA＝90°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝90°﹣40°＝50°．总结提升：本题考查了平行线的性质和判定和角平分线的定义，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．12．（2022秋•江阴市期末）如图，直线AB与CD相交于O，OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．∠AOD＝74°（1）求∠BOE的度数；（2）试说明OF平分∠AOC．思路引领：（1）根据角平分线的性质解答；（2）根据邻补角的性质、角平分线的定义解答．解：（1）∵直线AB与CD相交于O，∴∠BOC＝∠AOD＝74°，∵OE是∠COB的平分线，∴∠BOE＝∠COE=12∠BOC＝37°；（2）∵∠AOC+∠AOD＝180°，∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣74°＝106°，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠COF＝90°﹣∠COE＝90°﹣37°＝53°．又∵∠AOF＝∠AOC﹣∠COF＝106°﹣53°＝53°，∴∠COF＝∠AOF，∴OF平分∠AOC．总结提升：本题考查的是角平分线的定义、对顶角的性质、邻补角的性质，掌握对顶角相等、垂直的定义是解题的关键．13．（2022秋•滑县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD．如果∠AOD＝40°，求∠POF的度数．思路引领：根据对顶角相等，可得∠BOC的度数，根据角平分线的定义，可得∠COP，根据余角的定义，可得答案．解：由对顶角相等，得∠BOC＝∠AOD＝40°，由OP是∠BOC的平分线，得∠COP=12∠BOC＝20°．由余角的定义，得∠POD＝∠COD﹣∠COP＝90°﹣20°＝70°．总结提升：本题考查了对顶角、邻补角，利用对顶角相等得出∠BOC＝∠AOD，又利用余角的定义得∠POD 是解题关键．14．（2020春•石城县期中）平面内两条直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，OC恰好平分∠AOF．（1）如图1，若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；（2）在图1中，若∠AOE＝x°，请求出∠BOD的度数（用含有x的式子表示），并写出∠AOE和∠BOD 的数量关系；（3）如图2，当OA，OB在直线EF的同侧时，∠AOE和∠BOD的数量关系是否会发生改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．思路引领：（1）根据邻补角的定义和角平分线的定义解答即可；（2）根据垂线的定义、邻补角的定义和角平分线的定义解答即可；（3）根据（1）（2）解答即可．解：（1）∵∠AOE ＝40°，∴∠AOF ＝180°﹣∠AOE ＝140°，∵OC 平分∠AOF ，∴∠AOC =12∠AOF =70°，∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，∴∠BOD ＝180°﹣∠AOB ﹣∠AOC ＝20°；（2）∵∠AOE ＝x °，∴∠AOF ＝180°﹣∠AOE ＝（180﹣x ）°，∵OC 平分∠AOF ，∴∠AOC =12∠AOF =(90−12x)°，∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，∴∠BOD =180°−∠AOB−∠AOC =180°−90°−(90°−12x)°=12x°；∴∠AOE ＝2∠BOD ；（3）不变，∠AOE ＝2∠BOD ．总结提升：本题考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．。
人教版数学七年级下册1.与垂线有关的角度计算-课件
典例精讲
类型二：利用方程思想求角度
例：如图，直线AB与CD相交于D，OE⊥AB，OF⊥CD. （1）图中与∠COE互补的角是___________________；（把符合条件的角 都写出来） （2）如果∠AOC= ∠EOF，求∠AOC的度数．
典例精讲
解：（1）∵∠COE+∠DOE=180°，∠DOE=BOF， ∴与∠COE互补的角是∠DOE、∠BOF．
（2）设∠AOC=x°，则∠EOF= x°，∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴∠AOE=∠COF=90°；∴∠COE=90°-x°， ∴∠EOF=（90°-x°）+90°=180°-x°； 又∵∠EOF= x°，∴180°-x°= x°； 解得x=40． 即∠AOC=40°．
课堂小结
Байду номын сангаас
初中数学知识点精讲课程
与垂线有关的角度计算
在相交线中含垂直求角的度数时，就要考虑使用对顶角相等 或邻补角互补的性质.若已知关系较复杂，比如出现比例或 倍分关系时，可列方程解决角度问题.
典例精讲
类型一：直接计算求角度
例：如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥OF，OC平分∠AOE，且
∠BOF=2∠BOE，则∠BOD= __7_5°____．
人教版数学七年级下册：5.1.2 垂线 (共15张ppt)
A
问题：
这样画l的
垂线可以
画几条？
O
l
无数条
1放、 2靠、 3画线、
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
1.垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
B
则所画直线AB
是过点A的直线l的
垂线.
A
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
0 2靠1 :靠2 三3 角板4 ,把5 三6 角7板的8 一9直角10 边11 靠在直尺上;
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
3移:移动三角板到已知点;
4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
1.垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
A 请同学们 画一下
则所画直线AB 是过点A的直线l的 垂线.
B
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
0 2靠1 :靠2 三3 角板4 ,把5 三6 角7板的8 一9直角10 边11 靠在直尺上;
1、观察图1，思考下列问题
∠1的对顶角是哪个角？这两个角的关系
怎样？
∠1的邻补角是哪个角？
C2 B
13
O4
A
D
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
b
当α ≠90°时,a与b不 b 垂直，叫斜交.
当α =90°时,a与b垂直.
b bb
α ）α
a
斜交 两条直线相交
垂直
一、垂直的定义
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角
部编数学七年级下册专题03由垂直求角(解析版)含答案
专题03 由垂直求角【例题讲解】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．(1)若∠AOF＝50°，求∠BOE的度数；(2)若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数．1．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE．(1)判断OF与OD的位置关系，并说明理由；(2)若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．【答案】(1)OF⊥OD，理由见解析；(2)∠EOF＝60°【分析】（1）利用角平分线的定义结合已知求出∠FOD＝90°即可得出答案；（2）求出∠AOC的度数，再利用对顶角的性质和角平分线的定义求出∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝2．如图，AB交CD于O，OE⊥AB．(1)若∠EOD＝30°，求∠AOC的度数；(2)若∠EOD：∠EOC＝1：3，求∠BOC的度数．【答案】(1)60°(2)135°【分析】(1) 利用垂直定义和对顶角的性质可得答案；(2) 设∠EOD=a，∠EOC=3a，利用邻补角互补可得方程，然后解出a的值，进而可得∠AOD的度数，再利用对顶角的性质可得答案．（1）解：∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵∠AOC＋∠AOE＋∠DOE＝180°，∠EOD＝30°，∴∠AOC＝180°－∠AOE－∠DOE＝180°－90°－30°＝60°（2）设∠EOD＝α，∵∠EOD：∠EOC＝1：3，∴∠EOC＝3α，∵∠EOD＋∠EOC＝180°，∴α＋3α＝180°，∴∠EOD＝α＝45°，∴∠AOD＝∠AOE＋∠DOE＝135°∵∠AOD与∠BOC为对顶角，∴∠BOC＝∠AOD＝135°【点睛】此题主要考查了垂线，以及对顶角，关键是掌握对顶角相等，理清图中角之间的关系．3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD．(1)若∠EOF＝55°，OD⊥OF，求∠AOC的度数；(2)若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠DOE的度数．【答案】(1)70°(2)50°【分析】（1）根据∠EOF＝55°，OD⊥OF，可知∠DOE＝35°，由于OE平分∠BOD，可知∠BOE＝35°，即可得出答案；（2）设∠DOE ＝∠BOE ＝x ，可知x +15°+x +15°+x ＝180°，解得：x ＝50°．（1）解：∵OE 平分∠BOD ，∴∠BOE ＝∠DOE ，∵∠EOF ＝55°，OD ⊥OF ，∴∠DOE ＝35°，∴∠BOE ＝35°，∴∠AOC ＝70°；（2）∵OF 平分∠COE ，∴∠COF ＝∠EOF ，∵∠BOF ＝15°，∴设∠DOE ＝∠BOE ＝x ，则∠COF ＝x +15°，∴x +15°+x +15°+x ＝180°，解得：x ＝50°，故∠DOE 的度数为：50°．【点睛】本题主要考查的是角度的基础运算，利用角平分线以及垂直的性质进行计算是解题的关键．4．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE 平分BOC Ð，OF 平分COA Ð，OG OC ^．(1)求证：COF EOG ÐÐ=；(2)若42BOD Ð=°，求FOG Ð的度数．5．如图，AB、CD相交于点O，OE⊥OF，∠BOF=2∠BOE，OC平分∠AOE．(1)求∠BOE的度数；(2)求∠EOC的度数．6．如图，OA⊥OB,∠BOC=50°，且∠AOD：∠COD=4:7，OE为∠BOC的平分线，求出∠DOE的度数．【答案】165°7．已知直线AB和CD相交于O点，射线OE⊥AB于O，射线OF⊥CD于O，且∠BOF＝25°，求∠AOC 与∠EOD的度数．【答案】∠AOC＝115°，∠EOD＝25°【分析】由OF⊥CD，得∠DOF =90°，根据条件可求出∠BOD的度数，即可得到∠AOC的度数；由OE⊥AB，得∠BOE =90°，可以推出∠EOF和∠EOD的度数．【详解】解：∵OF⊥CD，∴∠DOF＝90°，又∵∠BOF＝25°，∴∠BOD＝∠DOF+∠BOF=90°+25°＝115°，∴∠AOC＝∠BOD＝115°，又∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∵∠BOF＝25°，∴∠EOF＝∠BOE -∠BOF =65°，∴∠EOD＝∠DOF﹣∠EOF＝90°－65°=25°．【点睛】此题考查的知识点是垂线、角的计算及对顶角知识，关键是根据垂线的定义得出所求角与已知角的关系．8．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OG⊥OC．（1）求证：∠COF＝∠EOG；（2）若∠BOD＝32°，求∠EOG的度数．9．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=20°，求∠BOE和∠AOG的度数.【答案】∠BOE=70°；∠AOG=55°.【分析】先求出∠AOF，根据对顶角的性质得出∠BOE，再根据邻补角的性质求出∠AOE，由角平分线即可求出∠AOG．【详解】解：∵AB⊥CD，∴∠AOD=∠AOC=90°，∵∠FOD=20°，∴∠AOF=90°-20°=70°，∴∠BOE=70°；∴∠AOE=180°-70°=110°，∵OG平分∠AOE，∴∠AOG=110°÷2=55°.【点睛】本题考查了垂线、对顶角、邻补角的定义，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键. 10．如图，直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，OC平分∠AOF．(1)直接写出∠DOF的对顶角和邻补角；(2)若∠AOE＝30°，求∠BOD的度数．【答案】(1)对顶角有∠COE；邻补角有∠DOE，∠COF；(2)15°【分析】（1）根据对顶角和邻补角的定义，即可求解；（2）根据领补角的定义可得∠AOF =150°，从而得到∠DOE =75°，再由OA ⊥OB ，可得∠BOE =60°，即可求解．（1）解：根据题意得：∠DOF 的对顶角有∠COE ；邻补角有∠DOE ，∠COF ；（2）解：∵∠AOE ＝30°，∴∠AOF =180°-∠AOE =150°，∴∠AOC =∠COF =75°，∴∠DOE =75°，∵OA ⊥OB ，∴∠AOB =90°，∴∠BOE =90°-∠AOE =60°，∴∠BOD =∠DOE -∠BOE =15°．【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的性质，角的和与差，明确题意，准确找到角与角间的关系是解题的关键．11．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OM ⊥AB ．（1）若∠1=∠2，证明：ON ⊥CD ；（2）若∠1=14∠BOC ，求∠BOD 的度数．【答案】（1）ON ⊥CD ．（2）60°．【分析】（1）利用垂直的定义得出290AOC Ð+Ð=°，进而得出答案；（2）根据题意得出1Ð的度数，即可得出BOD Ð的度数.【详解】（1）ON ⊥CD ．理由如下：∵OM ⊥AB ，∴90AOM BOM Ð=Ð=°，∴∠1+∠AOC=90°，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°，12．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°．求∠BOD的度数．【答案】55°【分析】先根据垂线的定义求出∠AOE=90°，则∠AOC=∠AOE-∠EOC=55°，再根据对顶角相等即可得到∠BOD=∠AOC=55°．【详解】解：∵EO⊥AB，∴∠AOE=90°，∵∠EOC=35°，∴∠AOC=∠AOE-∠EOC=55°，∴∠BOD=∠AOC=55°．【点睛】本题主要考查了垂线的定义，几何中角度的计算，对顶角相等，熟知垂线的定义和对顶角相等是解题的关键．13．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，∠2：∠1＝4：1．(1)求∠AOF的度数．(2)判断OE 与OF 的位置关系并说明理由．【答案】(1)108°(2)OE OF ^，理由见解析【分析】（1）设∠1=x °，则∠2=4x °，求出212BOD x Ð=Ð=°，228BOC x Ð=Ð=°，根据∠BOC +∠BOD =180°，求出x =18，代入∠AOF =∠AOC +∠COF 求出即可．（2）根据（1）的结论得出()18012=90EOF Ð=°-Ð+а，即可求解．（1）解：设∠1=x °，则∠2=4x °，∵OE 平分∠BOD ，OF 平分∠BOC ，∴212BOD x Ð=Ð=°，228BOC x Ð=Ð=°∵∠BOC +∠BOD =180°，∴8x +2x =180，∴x =18，∴∠AOC =∠DOB =2x =36°，∠1=18°，∠2=72°，∴∠AOF =∠AOC +∠2=36°+72°=108°．（2）由（1）可得∠1=18°，∠2=72°，∴()18012=90EOF Ð=°-Ð+а,∴OE OF ^．【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．14．如图，点A 表示小明家，点B 表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路最短，请画出行走路径，并说明理由．【答案】见解析【分析】根据两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短即可得到答案.【详解】解；如图所示：连接AB，是两点之间线段最短；作BC垂直于河岸，是垂线段最短．【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.15．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥CD于点O．（1）若∠BOF＝68°30′，求∠AOE的度数；（2）若∠AOD：∠AOE＝1：4，求∠BOF的度数．∵OE平分∠AOC，∴∠AOC=2∠AOE=8α，∴α+8α=180°，∴α=20°，∴∠AOD=20°，∴∠BOC=∠AOD=20°，∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，∴∠BOF=90°-∠BOC=70°．【点睛】本题主要考查相交线的相关知识，涉及垂直的定义，角平分线的性质，对顶角相等以及角的和差计算．弄清楚角之间的和差关系是解题关键．16．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O．（1）若∠1＝∠2，求∠NOC的度数；（2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC的度数．【答案】（1）∠NOC＝90°；（2）∠AOC＝60°．【分析】（1）根据垂直的定义计算即可；（2）根据互余的性质和已知等量关系求解即可；【详解】（1）∵OM⊥AB于点O，∴∠AOM＝∠BOM＝90°，∵∠1+∠AOC＝90°，∵∠2＝∠1，∴∠2+∠AOC＝90°，∴∠NOC＝90°；（2）∵OM⊥AB于点O，∴∠AOM＝∠BOM＝90°，∵∠BOC＝4∠1，∴∠BOM＝∠BOC﹣∠1＝4∠1﹣∠1＝90°，∴∠1＝30°，∴∠AOC＝∠AOM﹣∠1＝90°﹣30°＝60°．【点睛】本题主要考查了与垂直有关的角度求解，准确计算是解题的关键．17．作图，如图已知三角形ABC内一点P（1）过P点作线段EF∥AB，分别交BC，AC于点E，F（2）过P点作线段PD使PD⊥BC垂足为D点．【答案】见解析.【详解】试题分析：（1）根据过直线外一点作已知直线平行线的方法作图即可；（2）利用直角三角板，一条直角边与BC重合，沿BC平移，使另一条直角边过点P画垂线即可．（1）如图，EF即为所求．(2) 如图，PD即为所求．考点：作图—基本作图．。
七年级 垂线 ,角度计算,最新版-带答案
垂线一、知识梳理二、教学重、难点三、作业完成情况四、典题探究例1、如图所示，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，若∠EOF=45°，求∠BDO的度数.图7EOA BCD例2.如图所示,直线AB,CD,EF交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF,∠AOE=70°,•求∠DOG的度数.GOFEDCBA例3.如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，求∠BOD的度数.例4.如图，直线AB、CD互相垂直，垂足为O，直线EF过点O，∠DOF∶∠BOF＝2∶3，求∠AOE的度数．五、演练方阵A档（巩固专练）1．________的角平分线互相垂直．A．互补的两个角B．邻补角C．对顶角D．两直角2．直线e外一点P，则点P到直线e的距离是指（）A．点P到直线e的垂线的长度B．点P到e的垂线C．点P到直线e的垂线段的长度 D．点P到e的垂线段3．如图5－1－2－7中，点C到直线AB的距离可用哪条线段的长来表示（）图5－1－2－7A．CA B．CD C．CB D．AD4.如图1所示,下列说法不正确的是( )毛A.点B到AC的垂线段是线段AB;B.点C到AB的垂线段是线段ACC.线段AD是点D到BC的垂线段;D.线段BD是点B到AD的垂线段D CBADCBAO DCA图(1) 图(2) 图35.如图1所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段有( )A.2条B.3条C.4条D.5条6.下列说法正确的有( )①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图2所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=acm,BC=bcm,则BD的范围是( )A.大于acmB.小于bcmC.大于acm或小于bcmD.大于bcm且小于acm8.直线外一点到这条直线的_________,叫做点到直线的距离.9.过一点有且只有________直线与已知直线垂直.10.如图3所示,直线AB与直线CD的位置关系是_______,记作_______,此时,•∠AO D=∠_______=∠_______=∠_______=90°.B档（提升精练）1.到直线L的距离等于2cm的点有( )A.0个B.1个;C.无数个D.无法确定2.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线m的距离为( )A.4cmB.2cm;C.小于2cmD.不大于2cm3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠DOE＝55°．则∠BOD的度数是________．58，则OE与AB________．4．如图，直线AB、CD相交于点O，OE为射线，∠1＝32°，∠2＝︒∠＝________．5．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠2＝2∠1，则AOC6．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠BOD＝25°，则∠AOE＝________，∠COF＝________．7．如图，OA⊥OB，∠AOC＝∠BOD，请把判断OC⊥OD的推理过程补充完整．∵OA⊥OB∴________＝90°（）∵________＝∠AOC－∠BOC，________＝∠BOD－∠BOC又∵∠AOC＝∠BOD ∴________＝________（等量代换）∴________＝90°∴OC⊥CD（）．8．过钝角三角形的三个顶点作对边的高，如图．9．如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥AB，且∠COE＝3∠EOD，求∠BOC．10.如图所示,村庄A要从河流L引水入庄,需修筑一水渠,请你画出修筑水渠的路线图.C档（跨越导练）1．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，FOD＝28°．求（1）∠BOE的度数；（2）∠AOG的度数．2．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB，若∠1＝∠2．求（1）∠NOD的度数；（2）若∠1＝41∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．3．如图，是建筑工人用来检查所砌墙面的一种方法，试说明其中的道理.l A4．一个人从A 地到河边某处挑水，问这人沿什么方向走路最近？画图说明，为什么？如图5．如图，一辆汽车在直线形的公路上由A 到B 行驶，M 、N 分别是位于公路两侧的村庄，设汽车行驶到点P 的位置时，离村庄M 最近；行驶到点Q 位置时，距离村庄N 最近，请在图中公路AB 上分别画出P 、Q 两点的位置．6．如图，已知∠AOC ＝∠BOC ＝90°，∠l ＝∠2，则图中互余的角共有 （ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对7．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，EO ⊥AB 于O ，则图中∠1与∠2的关系是 （ ）A ．对顶角B ．互补的两个角C ．互余的两个角D ．一对相等的角8.如图所示,O 为直线AB 上一点,∠AOC=13∠BOC,OC 是∠AOD 的平分线.(1)求∠COD 的度数;(2)判断OD 与AB 的位置关系,并说明理由.ODC BA9.如图所示,一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶,M,N•分别是 位于公路AB 两侧的村庄,设汽车行驶到P 点位置时,离村庄M 最近,行驶到Q 点位置时,•离村庄N 最近,请你在AB 上分别画出P,Q 两点的位置.N MBA答案四、典题探究例1、如图7所示，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，若∠EOF=45°，求∠BDO的度数图7E OA BCD【答案】解：如图，∵OE⊥CD，OF⊥AB∴∠BOD＋∠1=90°，∠BOD+∠2=90°.∴2∠BOD＋∠1＋∠2=180°…………①∵∠EOF＝145°∴∠BOD＋∠1＋∠2=135°……………②－②得∠BOD=45°例2 如图所示,直线AB,CD,EF交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF,∠AOE=70°,•求∠DOG的度数.GOF EDCBA【答案】解：∵ EF ⊥CD ， ∠EOA=70° ∴ ∠EOC=90°,∠COA=90°-70° =20° ∠BOD =∠COA =20°∵ ∠EOF=∠EOA=70°，OG 平分∠BOF ， ∴ ∠BOG= 70°/2 =35°∴∠GOD =∠BOG+ ∠BOD =20°+35°=55°例3如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，∠COE 是直角，OF 平分∠AOE ，∠COF=34°，求∠BOD的度数．【答案】解：∵∠COE 是直角，∠COF=34° ∴∠EOF=90°-34°=56° 又∵OF 平分∠AOE ∴∠AOF=∠EOF=56° ∵∠COF=34°∴∠AOC=56°-34°=22° 则∠BOD=∠AOC=22°．例4 如图5—1—2—15中，直线AB 、CD 互相垂直，垂足为O ，直线EF 过点O ，∠DOF ∶∠BOF＝2∶3，求∠AOE的度数．【答案】∵AB⊥CD∴∠BOD＝90°（垂直的定义）90∴∠DOF＋∠BOF＝︒又∵∠DOF∶BOF＝2∶3∴∠BOF＝54°∴∠AOE＝∠BOF＝54°（对顶角相等）A档（巩固专练）1．B 2．C 3．B 4.C 5.D 6.C 7.D8.垂线段的长度9..一条10.垂直 AB⊥CD DOB BOC COAB档（提升精练）1.C2.D 3．35° 4．互相垂直5．60°点拨∠1＋∠2＝90°，∠2＝2∠1，∴∠2＝60°＝∠AOC6．115°，115°∠AOE＝∠AOC＋90°，∠COF＝∠AOC＋90°且∠AOC＝∠BOD（对顶角相等）7．∠AOB，垂直的定义，∠AOB，∠COD，∠COD，∠AOB，∠COD垂直的定义8．如图所示9．∠COE＝3∠EOD又∵∠COE＋∠EOD＝180°．∠＝135°∴COE又∵OE⊥AB∴∠AOE＝90°（垂直的定义）∴∠AOC＝45°又∵ ∠AOC ＋∠BOC ＝180°（邻补角定义） ∴ ∠BOC ＝135° 10.如图所示.lC 档（跨越导练）1．（1）∠COE ＝∠DOF ＝28°（对顶角相等） 又∵ AB ⊥CD∴ ∠BOC ＝90°（垂直的定义） ∴ ∠COE ＋∠BOE ＝90°． 故∠BOE ＝90°－ 28＝62°（2）∠AOE ＋∠BOE ＝180°（邻补角的定义） ∴ ∠AOE ＝118° 又∵ OG 平分∠AOE∴ ∠AOG ＝59°（角平分线的定义） 2．（1） ∵ OM ⊥AB∴ ∠AOM ＝90°（垂直的定义） ∵ ∠1＝∠2∴ ∠CON ＝∠AOC ＋∠2＝∠AOC ＋∠1＝90° ∴ ∠NOD ＝180°－90°＝90°． （2） ∵ OM ⊥AB ∴ ∠BOM ＝90°． ∴ ∠BOC ＝90°＋∠1又∵ ∠1＝41∠BOC∴ ∠1＝30°∴ ∠AOC ＝60°，∠MOD ＝150°3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．4..过点A 作l 的垂线．根据：垂线段最短．（图略）5.如图所示．6．【C 】∠1与∠COD ，∠1与∠AOE ，∠2与∠COD ，∠2与∠AOE ． 7．【C 】∠1＋∠2＋∠AOE ＝180°，∠AOE ＝90°，∴ ∠1＋∠2＝90°． 8.解:(1)∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=180°,∴ 13∠BOC+∠BOC=180°, ∴ 43∠BOC=•1 80°,∴∠BOC=135°,∠AOC=45°, 又∵OC 是∠AOD 的平分线, ∴∠COD=∠AOC=45°.• (2)∵∠AOD=∠AOC+∠COD=90°, ∴OD ⊥AB.9解:如图4所示.毛QNPM A。
七年级 垂线 ,角度计算,最新版-带答案
垂线一、知识梳理二、教学重、难点三、作业完成情况四、典题探究例1、如图所示，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，若∠EOF=45°，求∠BDO的度数.图7EOA BCD例2.如图所示,直线AB,CD,EF交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF,∠AOE=70°,•求∠DOG的度数.GOFEDCBA例3.如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，求∠BOD的度数.例4.如图，直线AB、CD互相垂直，垂足为O，直线EF过点O，∠DOF∶∠BOF＝2∶3，求∠AOE的度数．五、演练方阵A档（巩固专练）1．________的角平分线互相垂直．A．互补的两个角B．邻补角C．对顶角D．两直角2．直线e外一点P，则点P到直线e的距离是指（）A．点P到直线e的垂线的长度B．点P到e的垂线C．点P到直线e的垂线段的长度 D．点P到e的垂线段3．如图5－1－2－7中，点C到直线AB的距离可用哪条线段的长来表示（）图5－1－2－7A．CA B．CD C．CB D．AD4.如图1所示,下列说法不正确的是( )毛A.点B到AC的垂线段是线段AB;B.点C到AB的垂线段是线段ACC.线段AD是点D到BC的垂线段;D.线段BD是点B到AD的垂线段D CBADCBAO DCA图(1) 图(2) 图35.如图1所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段有( )A.2条B.3条C.4条D.5条6.下列说法正确的有( )①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图2所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=acm,BC=bcm,则BD的范围是( )A.大于acmB.小于bcmC.大于acm或小于bcmD.大于bcm且小于acm8.直线外一点到这条直线的_________,叫做点到直线的距离.9.过一点有且只有________直线与已知直线垂直.10.如图3所示,直线AB与直线CD的位置关系是_______,记作_______,此时,•∠AO D=∠_______=∠_______=∠_______=90°.B档（提升精练）1.到直线L的距离等于2cm的点有( )A.0个B.1个;C.无数个D.无法确定2.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线m的距离为( )A.4cmB.2cm;C.小于2cmD.不大于2cm3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠DOE＝55°．则∠BOD的度数是________．58，则OE与AB________．4．如图，直线AB、CD相交于点O，OE为射线，∠1＝32°，∠2＝︒∠＝________．5．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠2＝2∠1，则AOC6．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠BOD＝25°，则∠AOE＝________，∠COF＝________．7．如图，OA⊥OB，∠AOC＝∠BOD，请把判断OC⊥OD的推理过程补充完整．∵OA⊥OB∴________＝90°（）∵________＝∠AOC－∠BOC，________＝∠BOD－∠BOC又∵∠AOC＝∠BOD ∴________＝________（等量代换）∴________＝90°∴OC⊥CD（）．8．过钝角三角形的三个顶点作对边的高，如图．9．如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥AB，且∠COE＝3∠EOD，求∠BOC．10.如图所示,村庄A要从河流L引水入庄,需修筑一水渠,请你画出修筑水渠的路线图.C档（跨越导练）1．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，FOD＝28°．求（1）∠BOE的度数；（2）∠AOG的度数．2．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB，若∠1＝∠2．求（1）∠NOD的度数；（2）若∠1＝41∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．3．如图，是建筑工人用来检查所砌墙面的一种方法，试说明其中的道理.l A4．一个人从A 地到河边某处挑水，问这人沿什么方向走路最近？画图说明，为什么？如图5．如图，一辆汽车在直线形的公路上由A 到B 行驶，M 、N 分别是位于公路两侧的村庄，设汽车行驶到点P 的位置时，离村庄M 最近；行驶到点Q 位置时，距离村庄N 最近，请在图中公路AB 上分别画出P 、Q 两点的位置．6．如图，已知∠AOC ＝∠BOC ＝90°，∠l ＝∠2，则图中互余的角共有 （ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对7．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，EO ⊥AB 于O ，则图中∠1与∠2的关系是 （ ）A ．对顶角B ．互补的两个角C ．互余的两个角D ．一对相等的角8.如图所示,O 为直线AB 上一点,∠AOC=13∠BOC,OC 是∠AOD 的平分线.(1)求∠COD 的度数;(2)判断OD 与AB 的位置关系,并说明理由.ODC BA9.如图所示,一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶,M,N•分别是 位于公路AB 两侧的村庄,设汽车行驶到P 点位置时,离村庄M 最近,行驶到Q 点位置时,•离村庄N 最近,请你在AB 上分别画出P,Q 两点的位置.N MBA答案四、典题探究例1、如图7所示，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，若∠EOF=45°，求∠BDO的度数图7E OA BCD【答案】解：如图，∵OE⊥CD，OF⊥AB∴∠BOD＋∠1=90°，∠BOD+∠2=90°.∴2∠BOD＋∠1＋∠2=180°…………①∵∠EOF＝145°∴∠BOD＋∠1＋∠2=135°……………②－②得∠BOD=45°例2 如图所示,直线AB,CD,EF交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF,∠AOE=70°,•求∠DOG的度数.GOF EDCBA【答案】解：∵ EF ⊥CD ， ∠EOA=70° ∴ ∠EOC=90°,∠COA=90°-70° =20° ∠BOD =∠COA =20°∵ ∠EOF=∠EOA=70°，OG 平分∠BOF ， ∴ ∠BOG= 70°/2 =35°∴∠GOD =∠BOG+ ∠BOD =20°+35°=55°例3如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，∠COE 是直角，OF 平分∠AOE ，∠COF=34°，求∠BOD的度数．【答案】解：∵∠COE 是直角，∠COF=34° ∴∠EOF=90°-34°=56° 又∵OF 平分∠AOE ∴∠AOF=∠EOF=56° ∵∠COF=34°∴∠AOC=56°-34°=22° 则∠BOD=∠AOC=22°．例4 如图5—1—2—15中，直线AB 、CD 互相垂直，垂足为O ，直线EF 过点O ，∠DOF ∶∠BOF＝2∶3，求∠AOE的度数．【答案】∵AB⊥CD∴∠BOD＝90°（垂直的定义）90∴∠DOF＋∠BOF＝︒又∵∠DOF∶BOF＝2∶3∴∠BOF＝54°∴∠AOE＝∠BOF＝54°（对顶角相等）A档（巩固专练）1．B 2．C 3．B 4.C 5.D 6.C 7.D8.垂线段的长度9..一条10.垂直 AB⊥CD DOB BOC COAB档（提升精练）1.C2.D 3．35° 4．互相垂直5．60°点拨∠1＋∠2＝90°，∠2＝2∠1，∴∠2＝60°＝∠AOC6．115°，115°∠AOE＝∠AOC＋90°，∠COF＝∠AOC＋90°且∠AOC＝∠BOD（对顶角相等）7．∠AOB，垂直的定义，∠AOB，∠COD，∠COD，∠AOB，∠COD垂直的定义8．如图所示9．∠COE＝3∠EOD又∵∠COE＋∠EOD＝180°．∠＝135°∴COE又∵OE⊥AB∴∠AOE＝90°（垂直的定义）∴∠AOC＝45°又∵ ∠AOC ＋∠BOC ＝180°（邻补角定义） ∴ ∠BOC ＝135° 10.如图所示.lC 档（跨越导练）1．（1）∠COE ＝∠DOF ＝28°（对顶角相等） 又∵ AB ⊥CD∴ ∠BOC ＝90°（垂直的定义） ∴ ∠COE ＋∠BOE ＝90°． 故∠BOE ＝90°－ 28＝62°（2）∠AOE ＋∠BOE ＝180°（邻补角的定义） ∴ ∠AOE ＝118° 又∵ OG 平分∠AOE∴ ∠AOG ＝59°（角平分线的定义） 2．（1） ∵ OM ⊥AB∴ ∠AOM ＝90°（垂直的定义） ∵ ∠1＝∠2∴ ∠CON ＝∠AOC ＋∠2＝∠AOC ＋∠1＝90° ∴ ∠NOD ＝180°－90°＝90°． （2） ∵ OM ⊥AB ∴ ∠BOM ＝90°． ∴ ∠BOC ＝90°＋∠1又∵ ∠1＝41∠BOC∴ ∠1＝30°∴ ∠AOC ＝60°，∠MOD ＝150°3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．4..过点A 作l 的垂线．根据：垂线段最短．（图略）5.如图所示．6．【C 】∠1与∠COD ，∠1与∠AOE ，∠2与∠COD ，∠2与∠AOE ． 7．【C 】∠1＋∠2＋∠AOE ＝180°，∠AOE ＝90°，∴ ∠1＋∠2＝90°． 8.解:(1)∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=180°,∴ 13∠BOC+∠BOC=180°, ∴ 43∠BOC=•1 80°,∴∠BOC=135°,∠AOC=45°, 又∵OC 是∠AOD 的平分线, ∴∠COD=∠AOC=45°.• (2)∵∠AOD=∠AOC+∠COD=90°, ∴OD ⊥AB.9解:如图4所示.毛QNPM A。
人教版七年级数学下册5.1.2 垂线3
5.1.2 垂线【知识与技能】1.能结合具体图形理解垂直的概念，能经过一点画已知直线的垂线.2.通过画图，理解垂直公理及“垂线段最短”这个公理.3.理解点到直线的距离这一重要概念.4.初步锻炼作图能力，能运用本节的两个公理进行简单的说理或应用.【过程与方法】通过画图探究出两个公理，在不同的情况下过一点作已知直线的垂线，通过看图会找出点到直线的距离，在此基础上深入理解本节的两个公理，进而运用它们进行简单的说理或应用.【情感态度】进一步进行画图、探究、归纳等数学活动，特别强调动手画几何图形，体验数学的严密性、科学性、美观性.【教学重点】垂直定义、垂直公理的理解与运用.【教学难点】点到直线距离与垂线段的区别与联系.一、情境导入，初步认识问题1教具：在相交线模型中，固定木条a,转动木条b，当b的位置变化时，a、b所成的角也会发生变化.体验当α=90°时，a与b互相垂直的位置关系.问题2已知点P和直线l,过点P画直线a⊥l.问题3在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？若比例尺为1∶100000，水渠大约要挖多长？【教学说明】在问题1中，教师可只作演示，从而引出互相垂直的定义，同时给出垂线、垂直等相关概念以及垂直符号的运用与读法.在问题2中，要引导学生得出过一点只能画一条直线与已知直线垂直这一重要结论.在问题3中，要提示学生把河中的水引到农田P处，有无数种挖渠方法，但只有一种方法挖渠最短，从而引出垂线段最短的重要结论.要完成问题3中的第2个问题，可先提醒学生复习小学已学过的“比例尺=图距∶实距”这一重要知识.二、思考探究，获取新知思考 1.两条直线相交，所成的4个角中.如果有一个角是90°，那么其余各角分别是多少度？，A2，2.连接直线l外一点P与直线l上各点O，AA3……,其中PO⊥l(PO称为P到直线l的垂线段)，比较线段PO，PA1,PA2,PA3……的长短，这些线段中，哪一条最短？3.垂线段和点到直线的距离有哪些区别和联系？【归纳结论】1.定义：互相垂直：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是90°，那么这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.2.两条重要公理：垂直公理：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.垂线段公理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，可简单说成：垂线段最短.3.垂线段和点到直线的距离的区别与联系：三、运用新知，深化理解1.如图，CO⊥AB于O，OD⊥OE，∠AOE=42°，求∠DOC的度数.2.小刚牵着一头小牛从A先到B拿东西，再到河边让小牛饮水，请画出小刚的最佳行走路线，并说明这种画法的理由.3.如图，PR⊥l,QR⊥l,R为垂足，那么P，Q，R在同一直线上吗？4.如图，已知AOB为一条直线，OC为一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，试判断OD与OE的位置关系，并说明理由.【教学说明】本环节可采用先让学生独立思考，再以小组交流的方式展开，其中题2、3、4鼓励学生用自己的语言叙述，逐步渗透用数学语言进行说明的能力.【答案】1.解：CO⊥AB于O，OD⊥OE，由垂直的定义可得∠AOC=90°，∠DOE=90°.则∠COE=∠AOC-∠AOE=90°-42°=48°，∠DOC=∠DOE-∠COE=90°-48°=42°.2.解：小刚的最佳行走路线如图.理由：两点间的线段最短；点到直线的垂线段最短.3.解：P、Q、R在同一直线上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4.解：OD⊥OE，理由如下：AOB为一条直线，∠AOB=180°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，所以∠DOC=12∠BOC，∠EOC=12∠AOC，所以∠DOE=∠DOC+∠EOC=12(∠BOC+∠AOC）=12∠AOB=90°，即OD⊥OE.四、师生互动，课堂小结垂直定义，点到直线的距离，垂直公理，垂线段公理.1.布置作业：从教材“习题5.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.在这堂课中，学生的主体地位突出了，真正亲历了知识形成的全过程.在自主学习、同桌合作交流的活动中升华了对知识的理解.教学实践也证明，在自由探索与合作交流的学习方式中，学生认识活动的强度和力度要比单纯接受知识大得多.在本节课实施中的每一个学习活动，都以学生个性思维、自我感悟为前提多次设计了让学生自主探索、合作交流的时间与空间.通过学生和谐有效地互动，强化了学生的自主学习意识.。
最新人教版数学七年级下册_5.1.2-垂线__课件
立定跳远中，体育老师是如何 测量运动员的成绩的？
沙坑
.
.
B
A
起跳线
拓展应用1
如图：在铁路旁边有
张庄
一张庄，现在要建一火车
站，为了使张庄人乘火车
最方便（即距离最近），
请你在铁路上选一点来建
火车站，并说明理由。
垂线段最短
拓 展 应 用2
思考： （1）你能将这个实际问题转化成数学问题吗？
（2）在直线上有无数个点，试着取几个点与点P 相连，比较一下它们的大小关系．你有什么发现？
（3）你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一 吗？为什么？
（4）你能用一句话总结出观察得出的结论吗？
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所 有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短．
不能，因为垂直是相交的特殊情况
问题2： （3）如何判定两条射线垂直？两条线段呢？
两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线 垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直， 都是指它们所在的直线垂直．
（4）你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗？
问题3：用三角尺或量角器画已知直线l的垂线．
（１）用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这 样的垂线能画出几条？
5.1.2 垂线
问题1： 取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a， 转动木条b． （1）当a与b所成锐角α为35º时，其余的角分别为多少？
35º, 145º, 145º
（2）当a与b所成角α为90 º时，其余角的分别为多少？ 均为90º
问题1： 取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木 条a，转动木条b．
A
【初中数学】部编本新人教版七年级下册数学5.1.2 垂线 1
5．1.2垂线1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；(重点)2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理．(难点)一、情境导入大家都看到过跳水比赛，下面几幅图片中是几种不同的入水方式，你知道哪个图片中运动员获得的分数最高吗？在获得分数最高的图片中你知道运动员的身体和水面之间的关系吗？这节课我们将要学习有关这种关系的知识．二、合作探究探究点一：垂线的概念【类型一】利用垂直的定义求角的度数如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1＝150°，则∠3的度数为()A．30°B．40°C．50°D．60°解析：先根据邻补角关系求出∠2＝180°－150°＝30°，再由CO⊥DO得出∠COD＝90°，最后由互余关系求出∠3＝90°－∠2＝90°－30°＝60°.故选D.方法总结：两条直线垂直时，其夹角为90°；由一个角是90°也能得到这个角的两条边是互相垂直的．【类型二】垂直与对顶角、邻补角结合求角的度数如图，∠1＝30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O.求∠2、∠3的度数．解析：首先根据垂直的概念得到∠BOD＝90°，然后根据∠1与∠3是对顶角，∠2与∠3互为余角，从而求出角的度数．解：由题意得∠3＝∠1＝30°(对顶角相等)．∵AB⊥CD(已知)，∴∠BOD＝90°，(垂直的定义)，∴∠3＋∠2＝90°，即30°＋∠2＝90°，∴∠2＝60°.方法总结：解决本题的关键是根据垂直的概念，得到度数为90°的角，然后根据对顶角、邻补角的性质解决．探究点二：垂线的画法(1)如图①，过点P画AB的垂线；(2)如图②，过点P分别画OA、OB的垂线；(3)如图③，过点A画BC的垂线．解析：分别根据垂线的定义作出相应的垂线即可．解：如图所示．方法总结：垂线的画法需要三步完成：一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．探究点三：垂线的性质(垂线段最短)如图，是一条河，C是河边AB外一点．现欲用水管从河边AB将水引到C处，请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短，并说明理由．解析：根据垂线的性质可解，即过C作CE⊥AB，根据“垂线段最短”可得CE最短．解：如图所示，沿CE铺设水管能让路线最短，因为垂线段最短．方法总结：在利用垂线的性质解决生活中最近、最短距离的问题时，要依据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”来解决．探究点四：点到直线的距离如图，在△ABC 中，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则点C 到直线AB 的距离是()A ．线段CA 的长B ．线段CDC ．线段AD 的长 D ．线段CD 的长解析：根据点到直线的距离的定义：直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，可得点C 到直线AB 的距离是线段CD 的长．故选D.方法总结：点到直线的距离是直线外一点到直线的垂线段的长度，而不是垂线段．三、板书设计垂线⎩⎪⎨⎪⎧垂线的定义 ⎭⎪⎬⎪⎫垂线的作法⎩⎪⎨⎪⎧一落二移三画垂线的性质：垂线段最短求最短距离本节课主要研究两条直线相交时的特殊情况——垂直，可类比前面两条直线相交时的一般情况学习新知识．经历合作探究过程获得新知，并能用所学的新知识来解决实际问题．这样教学更能激发学生学习数学的兴趣，使每个学生在数学的学习上都能得到不同的发展。
人教版七年级数学下册_5.1.2垂线
感悟新知
知1－练
解：OE⊥AB.理由如下：因为∠AOC＝45°， 所以∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－45°＝135°. 因为∠AOD＝3∠DOE， 所以3∠DOE＝135°，所以∠DOE＝45°， 所以∠AOE＝∠AOD－∠DOE＝135°－45°＝90°， 所以OE⊥AB.
感悟新知
知识点 2 垂线的画法及性质
AB·CD，
所以AC·BC=AB·CD，进而可得CD=2.4 cm.
感悟新知
知3－练
(2)点P 为直线m 外一点，点A，B，C 为直线m 上的三点，
PA=4 cm，PB=5 cm，PC=2 cm，则点P 到直线m 的距
离( D )
A. 等于4 cm
B. 等于2 cm
C. 小于2 cm
D. 不大于2 cm
Hale Waihona Puke 感悟新知知3－练解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段.
解：根据点到直线的距离的定义可知，
点A 到直线BC 的距离是线段AC 的长，面积法求直角
点B 到直线AC 的距离是线段BC 的长，三角形斜边上
的高
点C 到直线AB 的距离是线段CD 的长.
因为三角形ABC
的面积S=
1 2
AC·BC=
1 2
知3－讲
(1)定义：过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点 与垂足之间的线段，叫做这点到已知直线的垂线段.
(2)性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
感悟新知
知3－讲
2. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长 度，叫做点到直线的距离.
(1)垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一个几何图 形，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度.
垂线、同位角、内错角、同旁内角-七年级数学下册同步考点知识清单+例题讲解+课后练习(原卷版)
第2课时—垂线、同位角、内错角、同旁内角知识点一：垂直：1.垂直的定义：两条直线相交形成的四个角中，有一个角是时，就说这两条直线，其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫做。
若直线a与直线b垂直，表示为。
由邻补角与对顶角可知，若相交线形成的角的中有一个角是直角，则四个均是。
【类型一：与垂直有关的计算】1．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂直为点O，∠BOD＝50°，则∠COE＝（）第1题第2题A．30°B．50°C．120°D．140°2．如图，平面内∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．其中正确结论的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．0个3．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，若∠AOC＝120°38'，则∠BOD的大小为．第3题第4题4．如图，在∠AOB内部作OC⊥OB，OD平分∠AOB．若∠AOB＝130°，则∠COD＝（）A．65°B．25°C．35°D．20°5．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15°30'，则下列结论中不正确的是（）第5题第6题A．∠2＝45°B．∠1＝∠3C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75°30'6．如图，∠PQR＝132°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，则∠SQT＝（）A．48°B．32°C．24°D．66°知识点二：垂直的画法（尺规作图）：过一点作已知直线的垂线：具体步骤：①将直尺的一条边与已知直线。
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与垂线有关的角度计算
在相交线中含垂直求角的度数时，就要考虑使用对顶角相等 或邻补角互补的性质.若已知关系较复杂，比如出现比例或 倍分关系时，可列方程解决角度问题.
典例精讲
类型一：直接计算求角度
例：如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥OF，OC平分∠AOE，且
∠BOF=2∠BOE，则∠BOD= __7_5°____．
（2）设∠AOC=x°，则∠EOF= x°，∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴∠AOE=∠COF=90°；∴∠COE=90°-x°， ∴∠EOF=（90°-x°）+90°=180°-x°； 又∵∠EOF= x°，∴180°-x°= x°； 解得x=40． 即∠AOC=40°．
课堂小结
直接计算求角度 利用方程思想求角度
解：∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°， ∵∠BOF=2∠BOE，∴3∠BOE=90°， ∴∠BOE=90°÷3=30°， ∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-30°=150°， 又∵OC平分∠AOE，∴∠AOC= 1 ∠AOE= 1 ×150°=75°， ∵∠BOD和∠AOC互为对顶角，∴2 ∠BOD=∠2 AOC=75°．
典例精讲
类型二：利用方程思想求角度
例：如图，直线AB与CD相交于D，OE⊥AB，OF⊥CD. （1）图中与∠COE互补的角是___________________；（把符合条件的角 都写出来） （2）如果∠AOC= ∠EOF，求∠AOC的度数．
பைடு நூலகம் 典例精讲
解：（1）∵∠COE+∠DOE=180°，∠DOE=BOF， ∴与∠COE互补的角是∠DOE、∠BOF．