【全国百强校】重庆市第八中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
重庆市巴蜀中学2017-2018学年高一(上)期末数学试卷(有答案)
重庆市巴蜀中学2017-2018学年高一(上)期末数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟 第I 卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合合题目要求的1.设集合A={x>2}B={x|x-3<0},则A ∩B=( ) A.),3(+∞ B.]3,2( C.)3,2(- D.)3,2(2.lg2+lg5+421=( )A.1B.2C.3D.4 3.已知cos α=31,α∈(0,π), 则tan α=( ) A.42 B. −42 C. −22 D.22 4半径为3,圆心角为60°的扇形的弧长为( ) A.4π B. 2π C.π D.2π5.已知函数f(x)=x 2+2ax+b 在(2,+∞)单调递增,则实数a 的范围为( )A.（−2，＋∞）B.（−∞，−2）C.（−∞，−3）D.（−3，＋∞）6.已知sin(α−6π)=,则cos(α+3π)=( ) A.135 B. −135 C. 1312 D.−1312 7.已知函数f(x)=sin 2x+ btanx+c,则f(x)的最小正周期( )A. 与b 有关且与c 有关B. 与b 有关但与c 无关C. 与b 无关但与c 有关D. 与b 无关且与c 无关 8.函数f(x)=x x cos 2⋅的图像大致为( )A. B. C. D.9若a=sin1°+cos1°,b=√2sin47°,c=︒+︒-1tan 11tan 1,d=tan45°,则a 、b 、c 、d 的大小顺序是( )A. a>b>c>dB. a>b>d>c C b>a>c>d D. b>a>d>c. 10.已知4π<β<α<2π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=53,则sin α-cos α=( )A.65657-B. 65657C. 65653-D. 6565311.函数f(x)=x 2+ax+b(a,b ∈R)在x ∈[-1,1]上最大值的绝对值不大于2,则|a|+|b|的的最大值为( )A.4B.3C.2D.1 12.函数f(x)⎩⎨⎧>+-≤+=0340|1|2x x x x x ,若函数y=f 2(x)-mf(x)+1有7个不同的零点,则m 的范围是( ) A. )310,2( B.]3,2( C.]3,25[ D. ]310,25[ 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题每小题5分共20分 13.=32sinπ____________. 14已知函数f(x)= log a x+3(a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[1,b],则a b=__________. 15已知函数f(x)=sin2x.若将其图像沿x 轴向左平移a (a >0)个单位所得图像关于x=6π对称,则实数a 的最小值为__________. 16.函数f(x)=14+xe +sinx,则f(-2017)+f(-2016)+…+f(0)+…:+f(2016)+f(2017)= __________. 三、解答题:本大题共6小题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本小题满分10分)角α的终边经过点P(b,3)且cos α=21 (1)求b 的值;(2)写出所有满足条件的角α的集合S.18.(本小题满分12分)函数f(x)=xx a24+是R 上的奇函数(1)求a 的值并判断函数f(x)的单调性(不要求证明); (2)若f(x-2)>f(x 2)求x 的范围.19(本小题满分12分)已知θ∈[0,π],且sin θ+cos θ=55(1)求tan θ的值;(2)求2)2sin()2cos()cos(3sin 2+++-+θπθπθπθ的值.20.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=4sinxcos(x+6π) (1)f(x)的最小正周期及单调增区间; (2)g(x)=f(x)+cos2x+1,求g(x)在x ∈[0, 2π]上的值域.21.(本小题满分12分)如图是函数f(x)= Asin(ωx+ϕ)(A>0, ω>0,0<ϕ<2π)的部分图像,M 、N 是它与x 轴的两个相邻交点,D 是M 、N 之间的最高点点,F(0,1)是线段MD 的中点,三角形MDN 的面积是S △MDN =6. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若对任意的实数x ∈[-1,1],2232-+x x -f(a)≤0恒成立求a 的范围.22.(本小题满分12分)定义在(0, ＋∞)上的函数f(x),如果对任意x ∈(0,+∞)恒有f(x+k))=kf(x)(k ≥2,k ∈N),x ∈(0,k]时函数f(x)=log a (3x+1)+1(a >0且a ≠1)(1)若a =k=2求f(7)值;(2)若a =4,当x ∈(0,2k]时,f(x)的最大值为15, 求k 的值(3)存在k,当x ∈(0, ＋∞) 时,f(x)的值域是(1, ＋∞), 求a 的范围1-5 DCDCA 6-10 BDADB 11-12 BA17.18.19.20.21.\22.。
【名校试卷】2017-2018学年重庆市第八中学高一下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2017-2018学年重庆市第八中学 高一下学期期末考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．设a,b,c ∈R ，且a >b ，则下列说法正确的是 A ．ac >bc B ．2a>2bC ．a 2>b 2D ．1a <1b2．设集合A ={x |x 2−2x −3≤0 }，B ={x |0<x <4 }，则A ∩B = A ．[-1,4 ） B ．[-1,3 ） C ．（0,3 ] D ．( 0,4 ) 3．已知F 1,F 2是椭圆x 216+y 29=1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M,N 两点，则ΔMNF 2的周长为A ．16B ．8C ．25D ．324．已知m ≠0，若直线mx +2y +m =0与直线3mx +(m −1)y +7=0平行，则m 的值为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．95．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？A ．6B ．5C ．4D ．36．下列函数中，既是偶函数，又在(−∞,0)内单调递增的为 A ．y =x 2+2x B ．y =2|x | C ．y =2x −2−xD ．y =log 12|x |−17．已知平面向量a ⃑,b ⃑⃑的夹角为23π且|a ⃑|=1 , |b ⃑⃑|=12，则(a ⃑+2b⃑⃑)•b ⃑⃑= A ．−14 B ．14 C ．12 D ．−328．已知实数x,y 满足约束条件{3x −y −3≤0x −2y +4≥03x +4y +12≥0 ，则z =2x −y 的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．59．在平面直角坐标系中，记d 为点P(cosθ,sinθ)到直线mx +y −3=0的距离，当θ,m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．410．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1=3且a n +16=S n +nSn+1−S n +1，则以下说法中正确的个数是①a 2=5； ②当n 为奇数时，a n =3n ； ③a 2+a 4+...+a 2n =3n 2+2n A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．若正数a ，b 满足1a +1b =1，则1a−1+9b−1的最小值为 A ．1 B ．6 C ．9 D ．1612．已知向量a ⃑=(3,0),b ⃑⃑=(−5,5),c ⃑=(2,k)，若b ⃑⃑⊥(a ⃑+c ⃑)，则k =__________ 13．直线x +√3y −2=0与圆x 2+y 2=4相交于A,B 两点，则弦AB 的长度等于________ 14．在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且C =23π，若ΔABC 的面积S =√312c ，则ab 的最小值为___________15．设点M 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于不同的两点P,Q ,且满足|MP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+MQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|PQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|,则椭圆的离心率为________。
【全国百强校】重庆市第八中学2017届高三上学期第二次调研考试理数(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}2|7A x x =≤，Z 为整数集，则集合A Z 中元素的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】试题分析：由题意得{}77<<-=x x A ，则{}2,1,0,1,2--=Z A ，故A Z 中元素的个数是5个，故选C.考点：集合的运算. 2.） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B考点：复数的意义.3.设x R ∈，向量(,1)a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则||a =（ ）A B ．C ．10D 【答案】A 【解析】试题分析：由a b ⊥得02=-x ，得2=x ，则()1,2=5，故选A. 考点：（1）向量的模；（2）向量数量积的坐标运算.4.高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n 层时楼，环境不满意度为8n，则同学们认为最适宜的教室应在（ ） A ．2楼 B ．3楼C ．4楼D ．8楼【答案】B 【解析】试题分析：总的不满意度：nn y 8+=，由对勾函数的性质可知，当3=n 时，其值最小，故选B. 考点：根据实际问题选择函数类型. 5.函数()sin cos()6f x x x π=--的值域为（ ）A ．⎡⎢⎣B ．⎡⎣C ．[]2,2-D ．[]1,1-【答案】D考点：（1）两角和与差的正弦函数；（2）三角函数的值域.【方法点晴】本题考查三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的定义域和值域，考查计算能力，利用两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式是关键．求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x by c x d+=+的可化为sin ()x y φ=的形式性求最值；③sin cos y a x b x =+型，可化为)y x φ=+求最值；④形如()sin cos sin cos y a x x b x x c =±++可设sin cos ,x t ±=换元后利用配方法求最值.6.如图所示的程序框图，若()x x f πlog =，()ln g x x =，输入2016x =，则输出的()h x =（ ） A ．2016B ．2017C ．2016log πD ．2017log π【答案】C考点：程序框图.7.在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，23A π=，且cos 3cos b C c B =，则b c的值为（ ）A B C D 【答案】B 【解析】试题分析：∵cos 3cos b C c B =，∴ac b c a c ab c b a b 232222222-+⨯=-+⨯，即22222c b a -=．又∵212cos 222-=-+=bc a c b A ，∴0222=+-+bc a c b ，∴0322=+-bc b c ，即032=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-cbc b ，解得2113+=c b ，故选B ． 考点：余弦定理.8.函数()f x 的导函数为'()f x ，对x R ∀∈，都有'()()f x f x >成立，若2(2)f e =，则不等式()xf x e >的解是（ ） A ．(2,)+∞ B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(0,ln 2)【答案】A考点：利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性，难度中档．一般情况下，当出现()()x f x f +'时，构造()xe xf ⋅，在该题中，出现()()x f x f +'，构造函数()()xe xf xg =，利用导数可判断()x g 的单调性，再根据2(2)f e =，求得()12=g ，继而求出答案．9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．50B ．50.5C ．51.5D ．60【答案】D 【解析】试题分析：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图，三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∵⊥AB 平面BEFC ，∴BC AB ⊥，5=BC ，2=FC ，5==BE AD ，5=DF ，∴几何体的表面积60535225422553214321=⨯+⨯++⨯++⨯⨯+⨯⨯=S ．故选：D ．考点：由三视图求面积、体积.【方法点晴】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键，难度中档．几何体是底面是直角边为3和4的直角三角形的直三棱柱消去一个同底的三棱锥且三棱锥的高为3，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算，在求各面面积之和即可．10.用半径为R 的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高于底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（ ） ABCD【答案】C 【解析】试题分析：设圆柱的高为x ，则其内接矩形的一边长为x ，那么另一边长为2222⎪⎭⎫⎝⎛-=x R y ，所以圆柱的体积为()())20(42423222R x x R x x x R x y x V <<+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==πππ，()()2243R x x V +-='π，令()0>'x V ，得R x 3320<<；令()0<'x V ，得R x R 2332<<，即在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛R 332,0内单调递增，在 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛R R 2,332内单调递减，所以当R x 332=时，此圆柱体积最大，那么另一边长为R 362，故圆铁皮的面积和其内接矩形的面积比为8233623322ππ=⨯R R R ，故选C. 考点：导数在实际中的应用.11.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP OA OB λμ=+（λ，R μ∈），116λμ=，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．3 D ．2【答案】D考点：双曲线的简单性质. 12.对于函数1()1x f x x -=+，设[]2()()f x f f x =，[]32()()f x f f x =，…，[]1()()n n f x f f x +=（*n N ∈，且2n ≥），令集合{}2036|(),M x f x x x R ==∈，则集合M 为（ ） A ．空集 B ．实数集C ．单元素集D ．二元素集【答案】B 【解析】试题分析：由题设可知()x x f 12-=，()113-+-=x x x f ，()x x f =4，()115+-=x x x f ，()xx f 16-=，故从()x f 2开始组成了一个以()x f 为首项，以周期为4重复出现一列代数式，由50942036⨯=得()()x x f x f ==42036，故x x =的解为R ，故选B ．考点：（1）元素与集合关系的判断；（2）集合的表示法.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若x ，y R ∈，且满足1,230,,x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则23z x y =+的最大值等于 ．【答案】15考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆225x y +=上有且仅有三个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的值是 ．【答案】1)±- 【解析】试题分析：由圆的方程225x y +=，可得圆心坐标为()0,0，圆半径5=r ，∵圆心到直线1250x y c -+=的距离1=d ，∴()1551222-=-+=c d ，即()1513-=c ，解得()1513-±=c ．故答案为：()1513-±=c .考点：直线与圆的位置关系.【方法点晴】此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生会根据圆的标准方程找出圆心坐标和半径，灵活运用点到直线的距离公式解决问题．由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r ，将圆225x y +=上有且仅有三个点到直线1250x y c -+=的距离为1结合图形将其转化为圆心到直线的距离为15-，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d 列出关于C 的方程，求出方程的解即可得到C 的值． 15.已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，设12n n T S S S =+++…，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则4T = ． 【答案】98考点：（1）等比数列的性质；（2）数列的和. 16.若α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列关系式： ①αβ>；②αβ<；③0αβ+>；④22αβ>；⑤22αβ≤． 其中正确的序号是 ． 【答案】④ 【解析】试题分析：令()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,2,sin ππx x x x f ，∵()()()()x f x x x x x f ==--=-sin sin ，∴()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,2,sin ππx x x x f 为偶函数．又()x x x x f cos sin +='，∴当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，()0≥'x f ，即()x x x f sin =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 单调递增；同理可证偶函数()x x x f sin =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,2πx 单调递减；∴当20παβ≤<≤时，()()βαf f >，即sin sin 0ααββ->，反之也成立；故只有22αβ>正确，故答案为④．考点：正弦函数的单调性.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 中，14a =，1123n n n a a --=++（2n ≥，*n N ∈）． （1）证明数列{}2n n a -是等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设2nn na b =，求n b 的前n 和n S ． 【答案】（1）231n n a n =+-；（2）3552n nn S n +=+-.故{}2n n a -是以2为首项，3为公差的等差数列， ∴22(1)331n n a n n -=+-⨯=-， ∴231n n a n =+-．（2）231311222n n n n n na n nb +--===+，∴22531(1)(1)(1)222n n n S -=++++++ (22531)()222n n n -=++++…，令2531222n n nn T -=+++…，①则231125312222n n n T +-=+++…，② ①-②得：231133331122222n n n n T +-=++++-…，11111()3142131212n n n -+⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦=+⨯--153522n n ++=-，∴3552n nn S n +=+-． 考点：（1）数列的通项公式；（2）数列的前n 项和.【方法点晴】本题主要考查了构造等比数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n b a c +=，其中{}na 和{}nb 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11+=n n an，错位相减法类似于n n n b a c ⋅=，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.18.如图所示的三棱台中，1AA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，11AA =，2AB =，4BC =，145ABB ∠=︒． （1）证明：1AB ⊥平面11BCC B ；（2）若点D 为1CC 中点，求二面角A BD C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）过点1B 作1B N AB ⊥，由已知条件知△1BNB 为等腰直角三角形，结合勾股定理得11AB BB ⊥，利用BC ⊥平面11ABB A ，得1BC AB ⊥，可证得结果；（2）建立空间直角坐标系A xyz -．平面11BCC B 的一个法向量为1(1,0,1)AB =，平面ABD 的一个法向量为(0,1,6)n =-，计算出法向量的夹角即可得二面角的余弦值.（2）解：如图，建立空间直角坐标系A xyz -．∴(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,4,0)C ，1(1,0,1)B ，1(1,2,1)C ，∴31(,3,)22D ， ∴(2,0,0)AB =，31(,3,)22AD =．由（1）知，平面11BCC B 的一个法向量为1(1,0,1)AB =． 设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0,AB n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,3130,22x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令1y =，则0,6,x z =⎧⎨=-⎩∴(0,1,6)n =-，111cos ,||||2ABn AB n AB n ⋅<>===⋅故二面角A BD C --的余弦值为考点：（1）线面垂直的判定；（2）空间向量在立体几何中的应用.19.如图所示，小波从A 街区开始向右走，在每个十字路口都会遇到红绿灯，要是遇到绿灯则小波继续往前走，遇到红灯就往回走，假设任意两个十字路口的绿灯亮或红灯亮都是相互独立的，且绿灯亮的概率都是23，红灯亮的概率都是13． （1）求小波遇到4次绿灯后，处于D 街区的概率；（2）若小波一共遇到了3次红绿灯，设此时小波所处的街区与A 街区相距的街道数为ξ（如小波若处在A 街区则相距零个街道，处在D ，E 街区都是相距2个街道），求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）274；（2）分布列见解析，()2746=ζE . 【解析】试题分析：（1）设小波遇到4次红绿灯之后处于D 街区为事件A ，则事件A 共有三个基本事件，即四次遇到的红绿灯情况分别为{红红绿绿，绿红红绿，绿绿红红}，由相互独立事件同时发生的概率可得结果；（2）ξ可能的取值为0,1,2,3，分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列并求数学期望．试题解析：（1）设小波遇到4次红绿灯之后处于D 街区为事件A ，则事件A 共有三个基本事件， 即四次遇到的红绿灯情况分别为{红红绿绿，绿红红绿，绿绿红红}． 故22214()3()()3327P A =⨯⨯=． （2）ξ可能的取值为0,1,2,3，312125(0)()333327P ξ==+⨯⨯=，2111121216(1)33333333327P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，2211228(1)33333327P ξ==⨯⨯+⨯⨯=，328(3)()327P ξ===． 故分布列为∴()01232727272727E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 考点：（1）相互独立事件同时发生的概率； （2）离散型随机变量的分布列与期望.20.已知抛物线C ：22(0)y px p =>过点(1,)A m ，B 为抛物线的准线与x 轴的交点，若||AB = （1）求抛物线的方程；（2）在抛物线上任取一点00(,)P x y ，过点P 作两条直线分别与抛物线另外相交于点M 和点N ，连接MN ，若直线PM ，PN ，MN 的斜率都存在且不为零，设其斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1231112y k k k +-=．【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析.试题解析：（1）解：(1,A ，22||(1)22p AB p =++， ∵||AB =2p =或14p =-（舍去）， 所以抛物线的方程为24y x =．∴1014y y k =-，22011121(4)44y k y x k -==，2010211(4)4(,)4y k M y k k --，同理可得2020222(4)4(,)4y k N y k k --． 00123220102221244()(4)(4)44y y k k k y k y k k k ---=---，化简得1231201222()k k k k k y k k =+-，故03121112y k k k =+-， ∴1231112y k k k +-=． 考点：（1）抛物线的方程；（2）直线的性质. 21.已知函数2()()xf x x ax a e =--． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若(0,2)a ∈，对于任意1x ，[]24,0x ∈-，都有212|()()|4a f x f x e me --<+恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）若2-<a ，则()x f 在()()+∞-∞-,2,,a 上单调递增，在()2,-a 单调递减，若2-=a ，则()x f 在()+∞∞-,上单调递增，若2->a ，则()x f 在()()+∞-∞-,,2,a 上单调递增，在()a ，2-单调递减；（2）321ee m +>.【解析】试题分析：（1）先根据导数乘法的运算法则求出函数的导函数，然后讨论()0='x f 时两根大小，然后分别解不等式()0<'x f 与()0>'x f ，从而求出函数的单调区间；（2）对于任意1x ，[]24,0x ∈-，都有212|()()|4a f x f x e me --<+恒成立，即()()()()ame e f f x f x f +<--=--2max 21402，利用分离参数求出m 的范围.（2）由（1）知，当(0,2)a ∈时，()x f 在()2,4--上单调递增，在()02，-单调递减， 所以()()()()()()01634,4242max f a e a f e a f x f =->+=-+=-=--， 故()()()()()()222max 2141402---++=++=--=-e e a a ea f f x f x f ，212|()()|4a f x f x e me --<+恒成立，即()a me e e e a +<++---122441恒成立即()12+>-e e a m a 恒成立， 令()()2,0,∈=x e x x g x ，易知()x g 在其定义域上有最大值()eg 11=，所以321e e m +>.考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）函数恒成立问题.请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程：cos ,sin ,x a y b αα=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线C 上的点M 对应的参数4πα=．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点P 的极坐标是)2π，直线l 过点P ，且与曲线C 交于不同的两点A ，B ． （1）求曲线C 的普通方程； （2）求||||PA PB ⋅的取值范围．【答案】（1）1222=+y x ；（2）[]2,1.试题解析：（1）由曲线C 的参数方程：cos ,sin ,x a y b αα=⎧⎨=⎩（α为参数）可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==4sin 224cos 1ππb a ，解得2=a ，1=b ．∴曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x ，其直角坐标方程为：1222=+y x ；（2）由题意得P 点坐标为()2,0，故直线l 的参数⎩⎨⎧+==θθsin 2cos t y t x （t 为参数），代入曲线C 的方程可得()02sin 22cos 222=-++θθt t ，即()02sin 24sin 122=+++t t θθ，令()()0sin 18sin 2422>+-=∆θθ，得31sin 2>θ， 设点A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ， 所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈+=-=⋅231sin 12221，θt t PB PA .考点：（1）参数方程化为普通方程；（2）参数的意义.【方法点晴】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的参数直角方程极坐标方程的互化及其应用、直线的参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．椭圆的参数方程化为普通方程即利用三角恒等式1cos sin 22=+θθ消去参数；在直线的参数方程中，参数的意义即为参数t 对应的为动点到定点的距离，常结合韦达定理进行求解. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数1()|1|||2f x x x =++（x R ∈）的最小值为a ． （1）求a ；（2）已知p ，q ，r 是正实数，且满足3p q r a ++=，求222p q r ++的最小值． 【答案】（1）1=a ；（2）3.试题解析：（1）因为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤--<<-+-≥+=++=2,12302,1210,123121x x x x x x x x x f ，故其最小值为1，得1=a ；（2）：由（1）知3=++r q p ，又p ，q ，r 是正实数， 所以()()()311131111312222222222=⨯+⨯+⨯≥++++=++r q p r q p r q p ， 即3222≥++r q p ．当且仅当1===r q p 等号成立，即222p q r ++的最小值为3. 考点：（1）绝对值函数；（2）柯西不等式的应用.：。
重庆市第八中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题
重庆八中2017-2018学年度（上）期末考试高一年级数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分）1.已知集合{1,2}A =，2{|4}B x x =<，则AB =（ ）A ．{2,1,0,1,2}--B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．{1}2.函数()f x = ）A ．{|02}x x <≤B ．{|2}x x ≥C ．{|2}x x ≤D ．{|4}x x ≥ 3.已知向量(2,1)a =，(3,)b m =，若(2)//a b b +，则m 的值是（ ） A ．32 B ．32- C ．12 D ．12- 4.设集合{|(1)(3)0}M x x x =+-≤，{|(3)0}N y y y =-≤，函数()f x 的定义域为M ，值域为N ，则函数()f x 的图像可以是（ ）A ．B ． C. D ．5.设0()2,0xx f x x ≥<⎪⎩，则((4))f f -=（ ）A ．116 B ．18C. 14 D ．12 6.已知()f x 在R 上是减函数，若12(log 8)a f =，131(())2b f =，12(2)c f -=，则（ ）A ．a b c <<B ．c a b << C. b c a << D ．c b a << 7.已知α是第二象限角，tan()74πα-=-，则sin()3πα+=（ ）A D 8.设定义在R 上的偶函数()f x 满足()()f x f x π+=，当[0,)2x π∈时，()sin f x x =，则11()6f π=（ ）A ．12 B 12- D ．9.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><的图像如图所示，为了得到()sin 2g x A x =的图像，则只需将()f x 的图像（ ）A ．向左平移12π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位 C. 向左平移6π个长度单位 D ．向右平移6π个长度单位10.在ABC ∆中，边BC 的中点D 满足DA AB ⊥，||1AD =，则AC AD ⋅=（ ） A ．1 B ．2 C.4 D ．811.若存在实数[ln3,)x ∈+∞，使得(3)21x a e a -<+，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(10,)+∞ B ．(,10)-∞ C. (,3)-∞ D ．(3,)+∞12.已知ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，P 为平面ABC 内一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（ ）A ．-8B ．-．-1第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知,a b 是两个相互垂直的单位向量，则|2|a b += ． 14.已知tan 4α=，则sin 2cos 3cos 2sin αααα-=+ ．15.已知3()5sin 8f x x a x =+-，且(2)4f -=-，则(2)f = ．16.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，()[]f x x x =-（符号[]x 表示不超过x 的最大整数），若方程()log ||(0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，则a 的取值范围是 ．三、解答题（共70分）17.已知()f x 是对称轴为12x =-的二次函数，且(0)1f =-，(1)3f =.（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）求()f x 在(1,1)-上的值域.18.已知角α的终边过点(,1)(0)P x x -<，且cos α=. （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求1cos2)sin()4απαπα--++的值.19.已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在[1,1]-上的最大值与最小值之差为32. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若()()()g x f x f x =--，当1a >时，解不等式2(2)(4)0g x x g x ++->.20.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0.125万元和0.5万元，如图：（Ⅰ）分别写出两类产品的收益y （万元）与投资额x （万元）的函数关系；（Ⅱ）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？21.已知函数()2sin()sin(3)sin 233f x x πππ=++-. （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若锐角ABC ∆的三个角,,A B C 满足()12Bf =，求()f A 的取值范围. 22.已知向量(3,)a x x =+，(sin 2,sin cos )b a a θθθ=---. （Ⅰ）当1x =-，θπ=时，有||2a b -=，求实数a 的值； （Ⅱ）对于任意的实数x 和任意的3[,]2πθπ∈，均有2||a b -≥，求实数a 的取值范围.重庆八中2017-2018学年度（上）期末考试高一年级数学试题试卷答案一、选择题1-5:DAABC 6-10:CCADB 11、12：BA二、填空题13.211 15.-12 16. (2,3] 三、解答题17.解（Ⅰ）设21()()2f x a x b =++213()2()22f x x ⇒=+-2()221f x x x ⇒=+- （Ⅱ）13()[(),(1))[,(1))[,3)22f x f f b f ∈-==- 18.解：由条件知cos x α==2x =-，故(2,1)P --. （Ⅰ）11tan 22α-==- （Ⅱ）∵(2,1)P --，故sin α=.∴原式2=22sin 2sin tan cos αααα=== 19.解：（Ⅰ）当1a >时，max ()f x a =，min 1()f x a =，则132a a -=，解得2a = 当01a <<时，max 1()f x a=，min ()f x a =，则132a a -=，解得12a =综上得：2a =或12（Ⅱ）当1a >时，由（Ⅰ）知2a =，()22x x g x -=-为奇函数且在R 上是增函数∴2(2)(4)0g x x g x ++->2(2)(4)(4)g x x g x g x ⇔+>--=-2241x x x x ⇔+>-⇔>或4x <- 所以，不等式2(2)(4)0g x x g x ++->的解集为(,4)(1,)-∞-+∞20.解：（Ⅰ）设1()f x k x =，()g x k =11(1)8k f ==，21(1)2k g == ∴1()(0)8f x x x =≥，()0)g x x =≥ （Ⅱ）设投资债券产品万元，则股票类投资万元.依题意得：20)8x y x =≤≤令t t =<<，则222011(2)3828t y t t -=+=--+. 所以，当2t =，即16x =万元时，收益最大为3万元. 21.解：（Ⅰ）()2sin()sin()sin 233f x x x πππ=++-12cos (sin )2x x x =+-2sin cos x x x =+1sin 222x x = sin(2)3x π=+令222232k x k πππππ-+≤+≤+⇒51212k x k ππππ-+≤≤+ 所以函数()f x 的单调增区间5[,]1212x k k ππππ∈-++，k Z ∈ （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1()sin()23Bf B π==+，锐角ABC ∆中：326B B πππ+=⇒=.于是：由锐角三角形ABC ∆知0202A C A B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=--<⎪⎩423233A A πππππ⇒<<⇒<+<，故sin(2)03A π<+<⇒()sin(2)(3f A A π+∈ 所以()f A的取值范围是(. 22.解：（Ⅰ）当1x =-，θπ=时，(2,1)a =-，(0,)b a ， ∵||2a b -=2=∴1a =- （Ⅱ）已知：任意x R ∈与3[,]2πθπ∈，有221(32sin cos )(sin cos )8x x a a θθθθ+++++≥恒成立 令32sin cos m θθ=+，sin cos n a a θθ=+，则2221()()28x m x n x +++≥⇒2212()08m n x m n ++++-≥22214()8()8m n m n ⇒∆=+-+-2110()42m n m n ≤⇒-≥⇒-≤-或12m n -≥令sin cos 2sin cos t θθθθ=+⇒=21t -且sin cos )[1]4t πθθθ=+=+∈-，即：22m t =+，n at =，22m n t at -=-+ 则：2122t at -+≤-或2122t at -+≥法一：含参分类讨论（对称轴与定义域[1]-的位置关系） 法二：参分求最值（注意单调区间）252at t ⇒≥+或232at t ≤+52a t t ⇒≤+或3([1])2a t t t≥+∈-由单调性可得72a ≤-或a ≥综上可得实数a 的取值范围为7(,]2-∞-或[)+∞.。
重庆市第八中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
重庆八中2017—2018学年度（下）期末考试高一年级数学试题（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，且，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，当c≤0时，A 显然不成立；a=1，b=-2时，,故B不正确；y=x3在R上为增函数，故C正确；当a=1，b=0时，D显然不正确.故选C.【思路点睛】判断两个式子的大小关系方法：（1）作差作商法，（2）不等式性质法、（3）函数的单调性、（4）中间量法、（5）特殊值法、（6）数形结合法等.2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先分别求出集合，根据集合交集的运算，即可求解。
【详解】由题意，集合，，所以，故选C。
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合和集合交集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
3.已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，则的周长为（）A. 16B. 8C. 25D. 32【答案】A【解析】因为椭圆的方程我，所以，由题意的定义可得的周长，故选A.4.已知，若直线与直线平行，则的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】【分析】由两直线平行的条件计算值，同时要检验是否重合．【详解】直线的斜率显然存在，因此由题意有，解得．故选B．【点睛】两直线和平行的条件是且（或），在均不为0时，条件可写为．一般可由求出参数值，然后检验是否重合即可．5.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】D【解析】【分析】设塔顶有盏灯，则由等比数列的前项公式列出方程可解得．【详解】设塔顶有盏灯，由题意得，解得．故选D．【点睛】本题考查考查等比数列的应用．关键是由实际问题抽象出数学概念，题中“红光点点倍加增”，说明每层灯盏数依次成系数，从而利用等比数列的前项和公式可计算．6.下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】可先根据奇偶性确定奇偶性，现对其中的偶函数判断单调性．【详解】根据奇偶性的定义知A即不是奇函数也不是偶函数，C是奇函数，B、D是偶函数，在上B是减函数，D是增函数．故选D．【点睛】本题考查奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性是解题关键．此类问题一般比较简单，记住基本初等函数的奇偶性与单调性可以很快得出结论．7.已知平面向量的夹角为且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积的运算，化简，即可计算，得到答案。
2017-2018学年重庆一中高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年重庆一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.计算：tan的值为（）A. B. C. D.2.函数f（x）=2a x+1-1（a＞0，且a≠1）恒过定点（）A. B. C. D.3.已知α是第三象限角，且cos＞0，则所在的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知A={x|y=ln x}，B={y|y=}，则（）A. B. C. D.5.若方程x2+ax+a=0的一根小于-2，另一根大于-2，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.6.若幂函数f（x）的图象过点（16，8），则f（x）＜f（x2）的解集为（）A. B.C. D.7.已知函数f（x）=cos（2ωx）（ω＞0），若f（x）的最小正周期为π，则f（x）的一条对称轴是（）A. B. C. D.8.若角α（0≤α≤2π）的终边过点P（sin，1-cos），则α=（）A. B. C. D.9.若不等式log a（ax2-2x+1）＞0（a＞0，且a≠1）在x∈[1，2]上恒成立，则a的取值范围是（）A. B. C. D.10.函数f（x）=x2•2-|x|-2x2+1的零点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 411.（2cos20°-tan70°）cos10°=（）A. B. C. 1 D.12.函数f（x）=2x-3-的值域是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.关于x的不等式＜2的解集是______．14.已知sin（α+）=，α∈（，π），则tan（α-）=______．15.若函数f（x）满足：对任意实数x，有f（2-x）+f（x）=0且f（x+2）+f（x）=0，当x∈[0，1]时，f（x）=-（x-1）2，则x∈[2017，2018]时，f（x）=______．16.已知函数f（x）=sin2x+|cos2x|，现有如下几个命题：①该函数为偶函数；②[-，]是该函数的一个单调递增区间；③该函数的最小正周期为π④该函数的图象关于点（，0）对称；⑤该函数的值域为[-1，2]其中正确命题的编号为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知tan（α+）=-2．（1）求tanα的值；（2）求cos（α-）[sin（π+α）-2cos（π-α）]的值．18.（1）计算9+（log35）×（log1003）+；（2）已知a=2+，求的值．19.已知f（x）=2x+1+a•2-x（a∈R）．（1）若f（x）是奇函数，求a的值，并判断f（x）的单调性（不用证明）；（2）若函数y=f（x）-5在区间（0，1）上有两个不同的零点，求a的取值范围．20.已知f（x）=4cos4x+4sin2x-sin2x cos2x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）将f（x）的图象上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在x∈[0，]上的单调区间和最值．21.定义域为R的函数f（x）满足：对任意实数x，y均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2，且f（2）=2，又当x＞1时，f（x）＞0．（1）求f（0）、f（-1）的值，并证明：当x＜1时，f（x）＜0；（2）若不等式f（（a2-a-2）x2-（2a-1）2x+2）+4＜0对任意x∈[1，3]恒成立，求实数a的取值范围．22.已知f（x）=log2x．（1）求函数g（x）=f2（x）+2f（）的单调区间；（2）求证：x∈[π，2π]时，+sin x sin（x+）＞2成立．答案和解析1.【答案】C【解析】解：tan=tan（2π-）=-tan=-．故选：C．原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：函数f（x）=2a x+1-1（a＞0，且a≠1），令x+1=0，解得x=-1，∴y=f（-1）=2-1=1，∴f（x）恒过定点（-1，1）．故选：B．根据指数函数的图象与性质，即可求出f（x）所过的定点坐标．本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，是基础题．3.【答案】D【解析】解：∵α是第三象限角，∴，k∈Z，∴＜＜+kπ，k∈Z，∴是第二象限角或第四象限角，∵cos＞0，∴所在的象限是第四象限．故选：D．由α是第三象限角，推导出是第二象限角或第四象限角，由cos＞0，得到所在的象限是第四象限．本题考查第二象限角的一半所在的象限的求法，考查象限角的定义等基础知识，考查学生的空间想象能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：集合A={x|y=lnx}={x|x＞0}=（0，+∞），B={y|y=}={y|y≥0}=[0，+∞）；则A∩B=（0，+∞），选项A错误；A B=[0，+∞）=B，选项B错误；A=（-∞，0]，∴（R A）B=R，选项C正确；RA⊆B，选项D错误．故选：C．化简集合A、B，根据集合的运算性质判断四个选项是否正确．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．5.【答案】A【解析】解：方程x2+ax+a=0的一根小于-2，另一根大于-2，可得（-2）2-2a+a＜0，解得a＞4．故选：A．利用函数与方程的关系，结合二次函数的性质，列出不等式求解即可．本题考查函数的零点与方程根的关系，是基本知识的考查．6.【答案】D【解析】解：设幂函数的解析式是f（x）=xα，将点（16，8）代入解析式得：16α=8，解得：α=＞0，故函数f（x）在定义域是[0，+∞），故f（x）在[0，+∞）递增，故0＜x＜x2，解得：x＞1，故选：D．求出幂函数的解析式，得到函数的单调性，去掉f，得到关于x的不等式，解出即可．本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道常规题．7.【答案】C【解析】解：函数f（x）=cos（2ωx）（ω＞0），若f（x）的最小正周期为π，则：．所以：ω=1．故f（x）=cos2x．令：2x=kπ（k∈Z），解得：x=（k∈Z），当k=1时，x=．故选：C．直接利用余弦型函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：余弦型函数的性质的应用．8.【答案】D【解析】解：∵角α（0≤α≤2π）的终边过点P（sin，1-cos），∴tanα===tan，∴α=，故选：D．利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得tanα=tan，由此可得α的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：0＜a＜1时，log a（ax2-2x+1）＞0，即ax2-2x+1＜1，结合图象a＜（）min=1，a＞1时，log a（ax2-2x+1）＞0，即ax2-2x+1＞1，结合图象a＞（）max=2，综上，a∈（0，1）（2，+∞），故选：C．通过讨论a的范围，结合函数的单调性分离参数a，根据反比例函数的性质求出a的范围即可．本题考查了对数函数的单调性问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．10.【答案】B【解析】解：函数f（x）=x2•2-|x|-2x2+1的零点个数即为f（x）=0，即2-|x|=2-x-2的解的个数，即y=2-|x|，y=2-x-2的图象交点个数，分别作出函数y=2-|x|，y=2-x-2的图象，由图象可得它们有两个交点，则f（x）的零点有两个．故选：B．由题意可得f（x）=0，即2-|x|=2-x-2的解的个数，即y=2-|x|，y=2-x-2的图象交点个数，分别作出两个函数的图象，由图象即可得到交点个数，即零点个数．本题考查函数的零点个数，注意运用转化思想和数形结合思想方法，考查观察能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：（2cos20°-tan70°）cos10°====．故选：A．利用二倍角公式转化求解即可．本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力．12.【答案】A【解析】解：f（x）=2x-3-=2x-3-．由-x2+6x-8≥0，解得2≤x≤4．令t=2x-3-，则=2x-3-t，即两函数y=与y=2x-3-t的图象有交点，如图：由图可知，当直线和半圆相切时，t最小，当直线过点（4，0）时，t最大．当直线与半圆相切时，由，得t=3+（舍）或t=3-；当直线过点（4，0）时，2×4-3-t=0，得t=5．∴函数f（x）=2x-3-的值域是[3-，5]．故选：A．求出函数的定义域，令t=2x-3-，则=2x-3-t，即两函数y=与y=2x-3-t的图象有交点，作出图象，数形结合得答案．本题考查函数的值域及其求法，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属难题．13.【答案】（-∞，-1）（0，+∞）【解析】解：不等式＜2，可得，即，等价于或解得：x＞0或x＜-1∴不等式＜2的解集为（-∞，-1）（0，+∞）；故答案为：（-∞，-1）（0，+∞）；移项通分，转化为分式不等式求解即可．本题考查不等式的解法，主要考查高次不等式的解法注意转化为二次不等式，考查运算能力，属于基础题．14.【答案】-7【解析】解：已知sin（α+）=，α∈（，π），则：cos（）=-，所以：tan（）=-．故：===-7．故答案为：-7．直接利用三角函数关系式的恒等变变换和角的变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，角的变换的应用．15.【答案】（2017-x）2【解析】解：因为f（x）=-f（x+2）①，∴f（x+2）=-f（x+2+2）=-f（x+4）②，②代入①得f（x）=-（-f（x+4））=f（x+4），所以f（x）的周期T=4，∴当x∈[2017，2018]时，x-2016∈[1，2]，2-（x-2016）∈[0，1]，∴f（x）=f（x-2016）=-f（2-（x-2016））=-f（2018-x）=-（-（2018-x-1）2）=（2017-x）2故答案为（2017-x）2由f（x+2）=f（x）推出周期T=4，当x∈[2017，2018]时，x-2016∈[1，2]，2-（x-2016）∈[0，1]，∴f（x）=f（x-2016）=-f（2-（x-2016））=-f（2018-x），再代入已知解析式，可得．本题考查了函数解析式的求解及常用方法．属中档题．16.【答案】②③【解析】解：由于f（-x）=-sin2x+|cos2x|≠f（x），可得f（x）不为偶函数，故①错；当cos2x≥0时，f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）；当cos2x＜0时，f（x）=sin2x-cos2x=2sin（2x-）；由x∈[-，]，2x∈[-，]，cos2x≥0，即有f（x）=2sin（2x+），由2x+∈[-，]，可得f（x）递增，故②正确；由y=sin2x，y=|cos2x|的最小正周期为π，可得f（x）的最小正周期为π，故③正确；由f（0）=1，f（）=sin+|cos|=2，显然f（0）+f（）≠0，故④错误；由f（）=sin+|cos|=-＜-1，故⑤错误．故答案为：②③．计算f（-x），结合诱导公式可判断①；由x的范围可得2x的范围，结合正弦函数的单调性，可判断②；由正弦函数、余弦函数的周期可判断③；由正弦函数对称性可判断④；由f （）的值即可判断⑤．本题考查三角函数的图象和性质，主要是周期性、单调性和值域、对称性的判断，考查分类讨论思想方法和化简变形能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵tan（α+）==-2，∴tanα=3．，（2）cos（α-）[sin（π+α）-2cos（π-α）]=-sinα•（-sinα+2cosα）====．【解析】（1）利用两角和的正切公式，求得tanα的值．（2）由题意利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．本题主要考查两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．18.【答案】解：（1）9+（log35）×（log1003）+=+lg=4+（lg5+lg2）=．（2）∵a=2+，∴设=t，则t2=2+，∴===2++-1=3．【解析】（1）利用对数性质、运算法则直接求解．（2）设=t，则t2=2+，由此能求出的值．本题考查对数式、指数式化简求值，考查指数、对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）+f（x）=2-x+1+a•2-x+2x+1+a•2-x=（a+2）（2x+2-x）=0．∴a=-2．∴f（x）=2（2x-2-x）在（-∞，+∞）上是单调递增函数．（2）y=f（x）-5在区间（0，1）上有两个不同的零点，⇔方程2x+1+a•2-x-5=0在区间（0，1）上有两个不同的根，⇔方程a=-2•22x+5•2x在区间（0，1）上有两个不同的根，⇔方程a=-2t2+5t在区间t∈（1，2）上有两个不同的根，令g（t）=-2t2+5t=-2+，t∈（1，2）．则g（1）＜a＜g（），解得＜＜．∴a∈ ，．【解析】（1）f（x）是奇函数，可得f（-x）+f（x）=0，解得a．进而得出单调性．（2）y=f（x）-5在区间（0，1）上有两个不同的零点⇔方程2x+1+a•2-x-5=0在区间（0，1）上有两个不同的根，⇔方程a=-2•22x+5•2x在区间（0，1）上有两个不同的根，⇔方程a=-2t2+5t在区间t∈（1，2）上有两个不同的根，利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与二次函数的图象与性质、方程与不等式的解法、方程解的个数转化为函数图象交点的个数、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）f（x）=4cos4x+4sin2x-sin2x cos2x=（1+cos2x）2+2（1-cos2x）-sin4x =cos22x-sin4x+3=-sin4x+3=cos（4x+）+，所以，f（x）的最小正周期为=．（2）将f（x）=cos（4x+）+的图象上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y=cos（2x+）+的图象；再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）=cos（2x-+）+=cos（2x-）+的图象．令2kπ≤2x-≤2kπ+π，可得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．结合x∈[0，]，可得减区间为[，]．同理求得增区间为[0，]，函数的最大值为g（）=；最小值为g（）=3．【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性，得出结论．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性和最值，求得结果．本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性和最值，属于中档题．21.【答案】（1）证明：令x=y=0，得f（0）=-2，令x=y=1，得f（1）=0，令x=1，y=-1，得f（-1）=-4，设x＜1，则2-x＞1，f（2-x）＞0，∵f（2）=f（2-x+x）=f（2-x）+f（x）+2=2．∴f（x）=-f（2-x）＜0；（2）解：设x1＜x2，f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）=（f（x2-x1）+f（x1）+2）-f（x1）=f（x2-x1+1-1）+2=f（x2-x1+1）+f（-1）+4=f（x2-x1+1）．∵x2-x1+1＞1，∴f（x2-x1+1）＞0，∴f（x）为增函数．f（（a2-a-2）x2-（2a-1）2x+2）+4＜0⇔f（（a2-a-2）x2-（2a-1）2x+2）＜-4=f（-1）⇔（a2-a-2）x2-（2a-1）2x+2＜-1，即（a2-a）（x2-4x）＜2x2+x-3对任意x∈[1，3]恒成立，∵x∈[1，3]，∴x2-4x＜0，即a2-a＞=对任意x∈[1，3]恒成立，设3x-1=t∈[2，8]，=≤0（t=2时取等），∴a2-a＞0，即a＜0或a＞1．【解析】（1）令x=y=0，求得f（0）=-2，再令x=y=1，求得f（1）=0，令x=1，y=-1，求得f（-1）=-4，设x＜1，由f（2）=2即可证明f（x）＜0；（2）利用函数单调性的定义证明f（x）为增函数．则f（（a2-a-2）x2-（2a-1）2x+2）+4＜0⇔f（（a2-a-2）x2-（2a-1）2x+2）＜-4=f（-1），即（a2-a）（x2-4x）＜2x2+x-3对任意x∈[1，3]恒成立，转化为a2-a＞=对任意x∈[1，3]恒成立，利用换元法求在[1，3]上的最大值为0，则实数a的取值范围可求．本题考查函数恒成立问题，考查了函数单调性及其应用，训练了利用分离参数法求最值，是中档题．22.【答案】（1）解：g（x）=f2（x）+2f（）=+2log2x-8，g（x）=-9，令log2x=-1，解得x=，由复合函数的单调性得g（x）的增区间为，，减区间为，．（2）证明：x∈[π，2π]时，1-sin x≥1，sin2x≥0，log2x+≥4（x=4），+sin x sin（x+）=（1-sin x）f（x）++sin x sin（x+）+cos x+sin x-1≥log2x++sin2x+sin x cosx+sin x-1≥4+sin x cosx+sin x-1．设t=cos x+sin x，由x∈[π，2π]得t∈，，且sin x cosx=，从而3+sin x cosx+sin x=+t+3=+2≥2，由于上述各不等式不能同时取等号，所以原不等式成立．【解析】（1）配方可得g（x）=-9，利用二次函数的单调性、复合函数的单调性可得g（x）的增区间．（2）x∈[π，2π]时，可得1-sinx≥1，sin2x≥0，利用不等式的性质与基本不等式的性质化简+sinxsin（x+）-1，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了二次函数的单调性、三角函数的单调性与求值、基本不等式的性质、换元法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
重庆市第八中学2017-2018学年高一上学期期末考试文综政治试题
重庆市第八中学2017-2018学年高一上学期期末考试文综政治试题第Ⅰ卷（选择题共180分）本卷共35小题，每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
31.为纪念抗日战争胜利70周年，国家陆续发行中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年纪念币一套。
该套纪念币包括金银纪念币3枚、镍包钢纪念币1枚。
该套纪念币作为我国法定货币①其本质是特殊商品②长期看有增值空间③可以执行货币职能④不能用于市场流通A.①②B.②③C.①④D.③④32.下图所示n商品的需求量随着m商品的价格变动而发生变化，假定m商品是汽油，那么n商品最有可能的是A.汽车B.石油C.柴油D.电动车33.消费养老是新崛起的一种养老模式，其核心是消费者在购买企业的产品后，企业给予消费者一定的养老金回馈，在不影响企业运营和消费者日常消费的过程中，实现轻松积攒养老金。
这种养老模式①能够发挥企业规模优势，降低生产成本②能够刺激居民消费需求，拉动经济增长③是完善社会化养老服务体系的有益探索④降低当前消费成本，实现未来养老无忧A.①②B.①④C.②③D.③④34.下表是某企业的资本构成情况。
此种类型的企业①是社会主乂经济制度的基础②股东可在证券交易所转让其股份③有利于国有资本增强控制力④能促进各种所有制资本取长补短A.①②B.①③C.②③D.③④36.为响应中央“一带一路”战略，加快推进互联网+跨境物流企业经营创新和转型，全国铁路拟开发新的列车运行图。
新运行图将进一步调整优化列车运行方案，新增中欧班列和中亚班列等运行线。
由此将带来的影响是①运输成本降低→物流迅速增加→生产规模扩大→产品质量提高②游客出行方便→刺激旅游业发展→扩大内需→拉动经济增长③对外运输便利→跨境物流增加→国际合作加强→开放水平提高④运输服务加快→跨境物流发展→带动经济发展→促进社会和谐A.①②B.①③C.②④D.③④37.供给侧结构性改革很好地诠释了供给与需求的关系。
【全国百强校】重庆市第八中学2017-2018学年高一上学期期末考试物理试题(原卷版)
重庆市第八中学2017-2018学年高一上学期期末考试物理试题一.选择题1. 下列说法正确的是（）A. 游泳运动员仰卧在水面静止不动时处于失重状态B. 举重运动员在举起杠铃后静止不动的那段时间内处于超重状态C. 跳高运动员到达空中最高点时处于平衡状态D. 蹦床运动员跳离蹦床在空中上升与下降时均处于失重状态2. 做曲线运动的物体，运动过程中，下列说法正确的是（）A. 速度大小一定变化B. 速度方向一定变化C. 加速度大小一定变化D. 加速度方向一定变化3. 某质点做直线运动的图像如图所示，以下说法正确的是（）.........A. 质点始终向同一方向运动B. 质点的加速度保持不变C. 前内质点的位移为D. 前内质点的路程为4. 如图所示，在光滑水平面上，有两个相互接触的物体，已知m。
第一次用水平力F由左向右推M，物体间的相互作用力为F1；第二次用同样大小的水平力F由右向左推m，物体间的相互作用力为F2，则（）A. F1 =F2B. F1 >F2C. F1 <F2D. 无法确定5. 质点受到n个外力作用处于平衡状态，其中一个力F1=4N。
如果其他的个外力都保持不变，只将F1的方向转过900，并且大小变为3N，则质点现在所受合力的大小为（）A. 0B. 3NC. 4ND. 5N6. 如图所示，相隔一定距离的两个相同的圆柱体A、B固定在等高的水平线上，一轻绳套在两圆柱体上，轻绳下端悬挂一重物，不计轻绳和圆柱体间的摩擦。
当重物一定时，若轻绳越长，则（）A. 绳中的弹力越小B. 绳中的弹力越大C. 圆柱体A受到的绳子作用力越大D. 圆柱体A受到的绳子作用力不变7. 如图甲所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率v1顺时针运行。
小物块（可看作质点）从与传送带等高的光滑水平地面上的A处，以大小为v2的初速度水平向左滑上传送带。
若从小物块滑上传送带开始计时，小物块在传送带上运动的v-t图像（以地面为参考系）如图乙所示，已知v2>v1，则（）A. t2时刻，小物块离A处的距离达到最大B. t2时刻，小物块相对传送带滑动的距离达到最大C. 0- t2时间内，小物块受到的摩擦力方向先向右后向左D. 0- t2时间内，小物块始终受到大小不变的摩擦力作用8. 从水平地面竖直上抛一小石块，经过4s石块落回抛出点，重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力，则（）A. 石块上升的最大高度为20mB. 石块上升的最大高度为40mC. 石块的抛出速度的大小为20m/sD. 石块的抛出速度的大小为10m/s9. 如图所示，质量为m的木块A从质量为M且斜面光滑的物体B上自由滑下。
重庆市第八中学高一上学期期末考试数学试卷有答案
重庆市第八中学2013年高一上学期期末考试数学试卷数学试题共4页．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集={1,2,3,4,5,6}I ，集合={1,2,4,6}A ，={2,4,5,6}B ，则()I A B =ð（A ）{1,2,4,5,6}（B ）{1,3,5}（C ）{3}（D ）Φ2. 下列关于向量的命题，正确的是（A ）零向量是长度为零，且没有方向的向量 （B ）若b = -2a （a ≠0），则a 是b 的相反向量 （C ）若b = -2a ，则|b |=2|a |（D ）在同一平面上，单位向量有且仅有一个 3. 若sin()sin()sin()1παπαα++-+-=，则sin =α（A ）1（B ）13（C ）13-（D ）-14. 已知向量a =(1, 2)，b =(x , -6)，若a //b ，则x 的值为（A ）-3（B ）3（C ）12（D ）-125. 已知角θ为第四象限角，且3tan =4θ-，则sin cos θθ+= （A ）15（B ）75 （C ）15-（D ）75-6.要得到函数2sin(2)4y x π=+的图象，只需将函数2sin y x =的图象上所有点（A ）向左平移8π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）（B ）向左平移4π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）（C ）向左平移8π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）（D ）向左平移4π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）7. 已知4log 5a =，124b -=，sin2c =，则a 、b 、c 的大小关系是 （A ）b c a <<（B ）c a b <<（C ）a b c <<（D ）c b a <<8. 已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，3()24x f x x =+-．若存在0x I ∈，使得0()0f x =，则区间I 不可能．．．是 （A ）(2,1)-- （B ）(1,1)- （C ）(1,2) （D ）(10)-，9. 函数112211()tan()log ()|tan()log ()|4242f x x x x x ππ=+----在区间1(,2)2上的图像大致为（A ） （B ）（D ）10．如图，已知B 、C 是以原点O 为圆心，半径为1的圆与x 轴的交点，点A 在劣弧PQ （包含端点）上运动，其中60POx ∠=，OP OQ ⊥，作AH BC ⊥于H ．若记AH xAB =y AC +，则xy 的取值范围是（A ）1(0,]4（B ）11[,]164（C ）13[,]1616（D ）31[,]164第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上． 11. 已知点(0,0)O ，(1,2)A ，(3,4)B -，则2OA OB +的坐标为 ． 12. 函数3)4lg(--=x x y 的定义域是 ．13.2cos 202sin 503-=- ．14. 若实数x 满足方程(32)(12)4x x -+-=，则x = ．15. 已知定义在R 上的函数()f x 、()g x 满足：对任意,x y R ∈有()()()f x y f x g y -=()()f y g x -且0)1(≠f ．若)2()1(f f =，则=+-)1()1(g g ．三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）已知二次函数)(x f y =满足(0)(1)1f f ==，且13()24f =，求： （Ⅰ）)(x f 的解析式； （Ⅱ）)(x f 在(0,1)上的值域．17.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）已知向量a 、b 满足：|a |=1，|b |=2，且a 、b 的夹角为60． （Ⅰ）求a +b 的模；（Ⅱ）若λa -6b 与λa +b 互相垂直，求λ的值．18.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）已知函数()cos sin )f x x x x =-．求： （Ⅰ）函数)(x f y =的对称轴方程； （Ⅱ）函数)(x f y =在区间[0,]2π上的最值．19.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知sin()cos()82824παπα++=,(,)42ππα∈，3cos()45πβ-=，(,)2πβπ∈． （Ⅰ）求)4cos(πα+的值； （Ⅱ）求cos()αβ+的值．20.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知函数()lg f x kx =，()()lg 1g x x =+． （Ⅰ）当=1k 时，求函数()()y f x g x =+的单调区间；（Ⅱ）若方程()2()f x g x =仅有一个实根，求实数k 的取值集合．21.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）设(,)P x y 是角θ的终边上任意一点，其中0x ≠，0y ≠，并记r =．若定义cot x y θ=，sec rxθ=，csc r y θ=． （Ⅰ）求证222222sin cos tan cot sec +csc θθθθθθ+--+是一个定值，并求出这个定值；（Ⅱ）求函数()|sin cos tan cot sec +csc |f θθθθθθθ=++++的最小值．重庆八中2013年（上）期末考试高一年级数学试题参考答案一、选择题 BCDAA BADAC10 析：易知(1,0)B ，(1,0)C -，由三角函数定义，可设(cos ,sin )A θθ，则(cos ,0)H θ，5[,]36ππθ∈．(0,sin )AH θ=-，(1cos ,sin )AC θθ=---，(1cos ,sin )AB θθ=--，由A H x AB y AC =+0(1c o s )(1c o s s i n s i n c o s x y x y θθθθθ=--+-⎧⇒⎨-=--⎩1cos 21cos 2x y θθ-⎧=⎪⎪⇒⎨+⎪=⎪⎩，21cos 1cos 1=sin 224xy θθθ-+=⋅，由5[,]36ππθ∈，知xy ∈13[,]1616，选C ．二、填空题11.(1,8)- 12. (,3)(3,4)-∞ 13.1214.2log 3-15． 1 析：令vu x -=，则)()]()()()([)()()()()()(x f v f u g v g u f u f v g u g v f u v f x f -=--=-=-=-∴)(x f 为奇函数．)1()1()1()1()1()1()1()1()]1(1[)2(f g g f f g g f f f +-=---=--==)]1()1()[1(g g f +-．又∵0)1()2(≠=f f ，∴1)1()1(=+-g g ．三、解答题 16.（Ⅰ）由待定系数法可求得2()1f x x x =-+ ……………………………………………………..…………6分（Ⅱ）213()(),(0,1)24f x x x =-+∈；当21=x 时，min 3()4f x = ；又(1)1f =，综上，)(x f 在(0,1)上的值域是3[,1)4…………………………………………………………13分17.（Ⅰ）||7a b += …………………………………………………………6分（Ⅱ）由条件，知(6)()0a b a b λλ-⋅+=222560a a b b λλ⇒-⋅-=25240λλ⇒--=，8λ=或3λ=- ……………………………13分 18.（Ⅰ）2()sin cos f x x x x =-1cos 21sin 222x x +-1=cos 2sin 222x x -sin(2)3x π=-- …………………………………4分令2()32x k k Z πππ-=+∈，解得5()212k x k Z ππ=+∈故()y f x =的对称轴方程为5()212k x k Z ππ=+∈ ……………………………………7分（Ⅱ）由02x π≤≤22333x πππ⇒-≤-≤，所以sin(2)13x π≤-≤，从而min 1y =-，max 2y =……13分19.（Ⅰ）由题知：11sin()sin()cos()24442πππααα++=⇒+=±，因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,4ππα，所以3(,)424πππα+∈，故1co s ()42πα+=- …………………………………5分 （Ⅱ）因为3cos(),45πβ-=所以4sin()45πβ-=±，又(,)2πβπ∈，故3(,)444πππβ-∈从而4sin(),45πβ-=cos()cos[()()]44ππαβαβ+=++-134cos()cos()sin()sin()4444255ππππαβαβ=+--+-=-⨯-= ……………………………12分20.（Ⅰ）当=1k 时，()()lg lg(1)lg (1)y f x g x x x x x =+=++=+ (其中0x >) 所以，()()y f x g x =+的单调递增区间为(0,)+∞，不存在单调递减区间． ………………………………………5分（Ⅱ）由()2()f x g x =，即lg 2lg(1)kx x =+．该方程可化为不等式组()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩………………………………………8分① 若0k >时，则0x >，原问题即为：方程2(1)kx x =+在(0,)+∞上有根，解得4k =； ② 若0k <时，则10x -<<，原问题即为：方程2(1)kx x =+在(1,0)-上有根，解得0k <． 综上可得0k <或4k =为所求． ………………………………………12分 21.（Ⅰ）222222sin cos tan cot sec +csc =3θθθθθθ+--+ …………………………………………………………4分（Ⅱ）由条件，cot tan x y θθ==，1sec cos x θ=，1csc sin θθ= 令()sin cos tan cot sec +csc g θθθθθθθ=++++sin cos 11sin cos +cos sin cos sin θθθθθθθθ=++++ 1sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+=+++…………………………………………………………6分令sin cos t θθ+=，则s i n c =2s i)4t πθθ=++[2]∈，1t ≠±，且21s i n c o s 2t θθ-=，从而2222()11t g y t t t θ==++--221t t t +=+-21t t =+-2111t t =-++-，……………………………………………9分令1u t =-，则21y u u=++，[1]u ∈-，且0t ≠，2t ≠-．所以，(,1[322,)y ∈-∞-++∞．从而()||f y θ=≥，即mi n()221f θ=． …………………………………………………………12分。
2018-2019学年重庆市第八中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年重庆市第八中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．方程组326x y x y -=⎧⎨+=⎩的解构成的集合为（ ） A ．{}3,0x y ==B ．(){}3,0C ．{}3,0D ．{}0,3 【答案】B【解析】解方程组,可得方程组的解,再表示成集合即可.【详解】因为方程组326x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解方程可得30x y =⎧⎨=⎩表示成集合形式为(){}3,0 故选:B【点睛】本题考查了方程解的集合表示形式,注意要写成点坐标,属于基础题.2．点C 在线段AB 上，且23AC CB =若AB BC λ=，则λ=（ ） A ．23 B ．23- C ．53 D ．53- 【答案】D 【解析】根据点C 在线段AB 上,且23AC CB =,可得C 与AB 的位置关系,进而根据AB BC λ=即可得λ的值.【详解】因为点C 在线段AB 上,且23AC CB = 所以A 、B 、C 的位置关系如下图所示：因为AB BC λ=则53AB BC =-所以53λ=- 故选：D【点睛】本题考查了向量的数乘运算及线段关系的判断,根据题意画出各个点的位置是关键,属于基础题。
3．()sin 2019-=（ ） A ．sin39B ．sin39-C ．cos39D ．cos39-【答案】A【解析】根据三角函数诱导公式,化简即可得解。
【详解】根据三角函数诱导公式可知 ()()sin 2019sin 3605219-=-⨯-()sin 18039=--()sin 18039=-+sin39=故选:A【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的简单应用,属于基础题.4．已知函数2()22f x x x =-+的定义域和值域均为()[1,1]b b >，则b =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】由二次函数的解析式,可知二次函数关于1x =成轴对称,且()11f =,若满足定义域和值域均为[1,]b ,则()f b b =,即可求得b 的值.【详解】函数()22()2211f x x x x =-+=-+所以()f x 在[1,]b 上单调递增又因为定义域和值域均为()[1,1]b b >所以()f b b =,即222b b b -+=解得1b =或2b =因为1b >所以2b =故选:A【点睛】本题考查了二次函数在指定区间内的值域问题,二次函数性质的综合应用,属于基础题. 5．若()()sin cos 0θθ-⋅-<，则θ在第（ ）象限.A ．一、二B ．二、三C ．一、三D ．二、四【答案】C【解析】根据诱导公式化简,即可判断符号,可知θ所在象限.【详解】 ()()sin cos 0θθ-⋅-<由诱导公式化简可得sin cos 0θθ-⋅<即sin cos 0θθ⋅>所以sin θ与cos θ同号所以θ在第一或第三象限象限故选:C【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的简单应用,三角函数符号判断,属于基础题.6．把函数sin3y x =的图象向左平移6π，可以得到的函数为（ ） A ．sin(3)6y x π=+B ．sin(3)6y x π=-C ．cos3y x =D ．cos3y x =【答案】C【解析】根据三角函数平移变化可求得平移后的解析式,结合诱导公式化简即可得解.【详解】把函数sin3y x =的图象向左平移6π 可得sin 3+=sin 3+62y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由诱导公式化简可得sin 3+= cos32y x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故选:C【点睛】本题考查了三角函数图象平移变换,诱导公式的简单应用,属于基础题.7．函数11()11f x n x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5 【答案】B【解析】根据零点存在定理,根据函数值的符号即可判断零点所在区间.【详解】 函数11()11f x n x x =+- 所以()1112102212f n =+=>- ()111131133132f n n =+=+- 13112ln 123n e n =-=- 因为3133,28e e ⎛⎫⎪== ⎪⎝⎭而8e < 所以132e < 即13ln 120e n -< 函数11()11f x n x x =+-在()1,+∞上为单调递减函数 根据零点存在定理可知,在()2,3内有零点故选:B【点睛】本题考查了函数零点存在定理的应用,注意判断出函数的单调性,才能得出零点唯一性,属于基础题.8．若()sin cos f x x x =+在[,]a a -是增函数，则a 的最大值是（ ）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π【答案】A【解析】根据辅助角公式,将函数()f x 化简,结合正弦函数的单调性递增区间即可求得函数()f x 的单调递增区间.根据闭区间[,]a a -内单调递增,即可求得a 的最大值.【详解】函数()sin cos f x x x =+所以()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由正弦函数的单调递增区间可知, ()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为 22,422k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈ 解得322,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 因为在[,]a a -是增函数 所以a 的最大值是4π 故选:A【点睛】本题考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用,正弦函数单调区间的求法,属于基础题.9．函数()()log 10,1a y ax a a =->≠在定义域[]1,2上为增函数，则a 的范围（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．1[0,]2D ．1(0,)2【答案】D【解析】根据复合函数单调性及对数的定义域,即可求得a 的范围.【详解】函数()()log 10,1a y ax a a =->≠为增函数则1y ax =-为减函数由复合函数单调性的性质可知 01a <<满足10ax ->在[]1,2上恒成立,则120a ->成立即可 所以12a < 综上可知102a <<故选:D【点睛】本题考查了复合函数单调性的应用,注意对数函数定义域的要求,属于中档题. 10．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若0.52(log 0.2),(2),(4)a g b g c g ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】B【解析】根据奇函数()f x ,可知()()g x xf x =为偶函数.根据偶函数图像关于y 轴对称,可判断,,a b c 的大小.【详解】因为奇函数()f x 在R 上是增函数,所以由函数的性质可知()()g x xf x =为R 上的偶函数,且(0)0g = ()()g x xf x =在(),0-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增 因为2221log 0.2log log 55==- 而22log 53<<,所以23log 52-<-<-,即23log 0.22-<<-因为0.5122<<所以0.522log 54<<而()()()222log 0.2log 5log 5a g g g ==-=,0.5(2)b g =,(4)c g = 所以b a c <<故选:B【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用,函数大小比较,判断两个函数乘积的奇偶性是解决此类问题的关键,属于中档题.11．下列函数中,既没有对称中心，也没有对称轴的有（ ）①51x y x -=+②3sin 4cos y x x =-③1)y =④21x y =- A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 【答案】C【解析】对于①,通过函数的平移变换可求得对称中心;对于②通过辅助角公式可求得对称轴; 对于③可根据奇偶性判断出对称轴;对于④根据图像平移和翻折变化可知无对称轴或对称中心,即可判断选项.【详解】对于①,分离参数化简可得56111x y x x --==+++.把函数6y x -=向左平移一个单位,向上平移一个单位,可得611y x -=++,所以611y x -=++的对称中心为()1,1-,即①有对称中心. 对于②,由辅助角公式化简可得()43sin 4cos 5sin ,tan 3y x x x ϕϕ=-=-=,所以对称轴为,2x k k Z πϕπ-=+∈.即对称轴为,2x k k Z πϕπ=++∈,所以②有对称轴.对于③,1)y =则()1)f x =-所以函数1)y =为偶函数,关于y 轴对称,所以③有对称轴;对于④,21xy =-的图像.可由2x y =向下平移一个单位,再把图像在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方(x 轴上方的原函数图像不变).由图像可知21xy =-没有对称轴,也没有对称中心.所以④没有对称轴,也没有对称中心综上可知, 既没有对称中心,也没有对称轴的有1个故选:C【点睛】本题考查了函数图像的平移变换,奇偶性的判断,函数轴对称及中心对称的综合应用,属于基础题.12．设正实数,a b 均不为1且log 2log 2a b >，则关于二次函数()()()()(1)(1)()f x x a x b x b x x x a =--+--+--，下列说法中不正确的是（ ） A ．三点(1,(1)),(,()),(,())f a f a b f b 中有两个点在第一象限B ．函数()f x 有两个不相等的零点C ．1()()(1)()33a b f a f b f f ++++≤ D ．若a b >,则()0)(2f f >【答案】D【解析】根据不等式log 2log 2a b >,可分类讨论实数,a b 的大小关系.代入解析式即可判断A 选项;将解析式化简,根据判别式∆可判断B;根据图像形状可判断C;根据a b >,代入可判断D.【详解】正实数,a b 均不为1且log 2log 2a b >则1a b <<或01b a <<<对于A,()()()111f a b =--, ()()()1f a a b a =--,()()()1f b b b a =-- 当1a b <<时,()()()1110f a b =-->,()()()10f a a b a =--<,()()()10f b b b a =-->,则点(1,(1)),(,())f b f b 在第一象限;当01b a <<<时,()()()1110f a b =-->,()()()10f a a b a =--<,()()()10f b b b a =-->,则点点(1,(1)),(,())f b f b 在第一象限,所以A 选项正确.对于B, ()()()()(1)(1)()f x x a x b x b x x x a =--+--+--化简可得()()23222f x x a b x ab a b =-+++++ 则()()222243a b ab a b ∆=++-⨯⨯++()2241a b ab a b =+---+()()2431a b ab a b ⎡⎤=+--++⎢⎥⎣⎦ ()4431ab ab ≥-- )241≥ 当且仅当a b =时取等号,因为正实数,a b 均不为1所以>0∆即函数()f x 有两个不相等的零点,所以B 正确;对于C,当1a b <<时,二次函数图像开口向上,函数图像为”凹函数”,满足1()()(1)()33a b f a f b f f ++++≤ 当01b a <<<时,二次函数图像开口向上,函数图像为”凹函数”,满足1()()(1)()33a b f a f b f f ++++≤成立,所以C 正确; 对于D, ()0f ab b a =++,()()()()()22222f a b b a =--+-+-338ab a b =--+所以()()()()20338f f ab a b ab b a -=--+-++()48a b =-++因为a b >,即01b a <<<所以2a b +<即()480a b -++>所以()()200f f ->,即()()20f f >,所以D 错误.故选:D【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质的综合应用,对数式比较大小,注意讨论对数底数的情况,函数值大小比较的方法,计算量大,属于难题.二、填空题13．已知幂函数y x α=的图象过点(14,2)，则α=________. 【答案】12- 【解析】将点带入解析式,根据指数幂的化简即可求得α的值.【详解】幂函数y x α=的图象过点(14,2) 所以142α=,即1222α-= 所以12α=-故答案为: 12-【点睛】 本题考查了幂函数定义及解析式求法,属于基础题.14．计算:4839(log 3log 27)(log 2log 4)+⋅+=________.【答案】3【解析】根据换底公式即对数运算,化简即可求解.【详解】由换底公式及对数的运算,化简式子可得4839(log 3log 27)(log 2log 4)+⋅+322222322222log 3log 3log 2log 2log 4log 2log 3log 3⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222log 33log 3log 22log 223log 32log 3⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 223log 322log 3⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3=故答案为:3【点睛】本题考查了对数的换底公式及对数运算,属于基础题.15．设3sin(),452ππαα+=<,则cos2=α________. 【答案】2425【解析】根据正弦的和角公式展开,化简可求得sin cos αα+的值,结合同角三角函数关系式可判断出sin α与cos α的符号.再根据同角三角函数关系式求得sin cos αα-的值.由余弦的二倍角公式即可求得cos2α的值.【详解】 因为3sin()45πα+=,根据正弦的和角公式展开可得)3sin cos 5αα+=,所以sin cos 5αα+=,两边同时平方,由22sin cos 1αα+=化简可得1812sin cos 25αα+=,即72sin cos 25αα=- 所以sin α与cos α异号 因为2πα<,所以02πα-<<则sin 0,cos 0αα<>因为()2732sin cos 12sin cos 12525αααα⎛⎫-=-=--=⎪⎝⎭所以sin cos 5αα-=±而sin cos 0αα-<,即sin cos αα-=由余弦二倍角公式可知22cos 2cos sin =-ααα()()cos sin cos sin αααα=-+2425==故答案为: 2425【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,正弦和角公式及余弦二倍角公式的应用,同角三角函数式的应用,注意判断三角函数值的符号,属于中档题. 16．已知OPQ 是半径为1，圆角为6π扇形,C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的接矩形，则2AB AD +的最大值为________.【解析】设COP α∠=,用α表示出AB AD 、的长度,进而用三角函数表示出2AB AD +,结合辅助角公式即可求得最大值.【详解】设,06COP παα⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭扇形OPQ 的半径为1,ABCD 是扇形的接矩形 则sin sin AD BC OC αα==⨯=cos cos OB OC αα=⨯=tan AD DOA AO ∠==,所以AO α==则cos AB OB OA αα=-= 所以2AB AD +cos 2sin ααα=-+(2sin cos αα=+(),tan 2αϕϕ=+=因为tan 2ϕ=,所以512πϕ=所以当12πα=时, 2AB AD +故答案为:【点睛】本题考查了三角函数的应用,将边长转化为三角函数式,结合辅助角公式求得最值是常用方法,属于中档题.三、解答题17．设集合{}2320A x x x =-+<，集合2}{0|21x a B x x -=>+.(1)若a =求A B ；(2)若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 322xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭(2) ⎡⎣【解析】(1) 解一元二次不等式求得集合A,将a =B,解分式不等式可得集合B,即可求得AB .(2) 解分式不等式可得集合B,由集合的关系可得关于a 的不等式,解不等式即可得实数a 的取值范围.【详解】(1) 集合{}2320A x x x =-+< 解不等式可得{}12A x x =<<将a =B,得301|2x B x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭解分式不等式可得312|B x x x ⎧⎫=<->⎨⎬⎩⎭或 则{}3312|1222A B x x x x xx x ⎧⎫⎧⎫⋂=<<⋂-=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭或 所以322A B xx ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭(2) 集合2}{0|21x a B x x -=>+解分式不等式可得212|a B x x x ⎧⎫=<->⎨⎬⎩⎭或{}12A x x =<<因为A B B ⋃= 即A B ⊆所以212a ≤ ,解得a ≤≤即a ⎡∈⎣【点睛】本题考查了一元二次不等式与分式不等式的解法,集合交集的运算,根据集合间关系求参数的取值范围,属于基础题.18．已知5sin()cos tan()2()tan sin()2f πααπααπαα+⋅⋅-=⋅-. (1)求()3f π的值；(2)若1(0,),sin()263ππαα∈-=求()f α的值.【答案】(1)12-(2) 【解析】(1) 根据诱导公式,化简即可得()f α,代入即可求得()3f π的值;(2) 根据正弦的差角公式,展开后用cos α表示sin α,再根据同角三角函数关系式中22sin cos 1αα+=可解得cos α,即可求得()f α的值.【详解】(1) 根据诱导公式,化简()f α可得5sin()cos tan()2()tan sin()2f πααπααπαα+⋅⋅-=⋅-cos cos (tan )tan cos ααααα⋅⋅-=⋅cos α=-所以1cos 332f ππ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭(2) 由正弦的差角公式化简1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得11sin cos 223αα-=2cos 3αα=+两边同时平方可得 2222443sin cos cos cos 393αααα⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭因为223sin 3cos 3αα+= 即244cos 4cos 393αα++= 化简可得236cos 12cos 230αα+-=所以121cos 2366α-±-±==⨯ 因为(0,)2πα∈,所以1cos 6α-+=而()cos f αα=-所以1()cos 6f αα-=-= 【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数式中的化简应用,正弦差角公式及同角三角函数关系式的用法,本题计算量较大,属于中档题.19．己知函数3()31x x mf x -=+是定义在实数集R 上奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若x 满足不等式45240x x -⋅+≤，求此时()f x 的值域. 【答案】(1) 1m = (2) 40,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】(1) 根据实数集R 上的奇函数满足()00f =,代入即可求得实数m 的值; (2) 解指数不等式可求得自变量x 的取值范围,根据函数()f x 的单调性,即可求得()f x 的值域. 【详解】(1) 因为函数3()31x x mf x -=+是定义在实数集R 上奇函数所以()00f = 即1011m-=+ 解得1m =(2) x 满足不等式45240x x -⋅+≤ 则()()21240xx--≤ 即124x ≤≤解不等式可得02x ≤≤312()13131x x xf x -==-++ 因为2()131xf x =-+为R 上的单调递增函数,所以当02x ≤≤时 min 02()(0)1031f x f ==-=+max 224()(2)1315f x f ==-=+即()f x 的值域为40,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了奇函数的性质及简单应用,指数不等式的解法,函数单调性与值域的综合应用,属于基础题.20．已知定义在R 上的函数()()2sin 0,0,0()x A f x ωϕωϕπ=+>><<,()y f x =图象上相邻两个最低点之间的距离为π,且()012f π=.（1）求()f x 的解析式；（2）若2()4sin 20,(0,)62f x x x m x ππ--++≥∈恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）5()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）6m ≥ 【解析】（1）根据图象上相邻两个最低点之间的距离可得周期,进而求得ω的值,将()012f π=代入可得ϕ的值,进而得函数()f x 的解析式.（2）代入()f x 的解析式,根据降幂公式和辅助角公式,化简即可得不等式2sin 268m x π-⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,根据自变量x 的取值范围求得sin 26x 骣琪+琪桫p 的值域,根据恒成立问题即可求得实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为()y f x =图象上相邻两个最低点之间的距离为π 即T π= 所以22Tπω== 则()()2sin 2f x x ϕ=+ 因为()012f π=,带入可得2sin 2012πϕ⨯+⎫⎪⎝⎭=⎛,()0ϕπ<<可解得56πϕ=所以5()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）由（1）可知5()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则52sin 6236f x x πππ=-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎝+⎭⎭2sin 22co 22s x x π⎛⎫== ⎪⎝⎭+由降幂公式可知22sin 1cos 2αα=-所以不等式可化为()2cos221cos220x x m α--++≥恒成立即4cos 222x x m +≥- 由辅助角公式化简可得8sin 226x m π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭即2sin 268mx π-⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则72,666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭由正弦函数图像可知1sin 2,162x π⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦即12,128m-⎛⎤-≥ ⎥⎝⎦恒成立 所以只需1228m--≥解不等式可得6m ≥ 【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法,根据自变量取值范围求得三角函数的值域,由恒成立问题求参数的取值范围,属于中档题.21．已知函数()()2log f x mx n =+的图象经过点()(),1,04,2P Q .(1)求函数()y f x =的表达式；(2)如图所示，在函数()f x 的图象上有三点()()()()()(),,1,1,2,2A a f a B a f a C a f a ++++,其中2a ≥，求ABC ∆面积S 的最大值.【答案】(1) ()2log f x x = (2) 23log 32-【解析】(1) 将两个点的坐标代入解析式,即可求得mn 、的值,进而求得函数()y f x =的表达式.(2) 代入解析式可得、、A B C 三个点的坐标,用两个小直角梯形的面积和减去大的梯形的面积,即可表示出ABC ∆面积.将表示化简,根据函数单调性即可求得ABC ∆面积的最大值. 【详解】(1) 将点()(),1,04,2P Q 带入解析可得()()220log 2log 4m n m n ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ ,即 144m n m n +=⎧⎨+=⎩ 解方程组可得10m n =⎧⎨=⎩即()2log f x x =(2) 因为()()()()()(),,1,1,2,2A a f a B a f a C a f a ++++ 所以()()()()()222,,1,log log log 1,2,2A a B a a a C a a ++++ 则()()22211log log 11log 122AMNB S a a a a =++⨯=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()22211log 1log 21log 1222BNPC S a a a a =+++⨯=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()2221log log 22log 22AMPC S a a a a =++⨯=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以ABC AMNB BNPC AMPC S S S S =+-()()()()22211log 1log 12log 222a a a a a a =++++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()2222121log 22a a a a a ++=+()()2211log 22a a a +=+ ()()2221111log 211a a +-+=+-()2211log 1211a ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥+-⎣⎦因为()()2211log 1211g a a ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥+-⎣⎦在2a ≥时为单调递减函数, 所以当2a =时取得最大值()2max 3log 32ABC S g a ==- 【点睛】本题考查了对数的运算及应用,根据割补法表示不规则图形的面积,对数函数的图像及性质的用法,属于中档题.22．设两实数,a b 不相等且均不为0.若函数()y f x =在[],x a b ∈时，函数值y 的取值区间恰为11[,]b a，就称区间[],a b 为()f x 的一个“倒域区间”.已知函数()222,[2,0)2,[0,2]x x x g x x x x ⎧+∈-=⎨-+∈⎩.（1）求函数()g x 在[]1,2内的“倒域区间”；（2）若函数()g x 在定义域[]22-,内所有“倒域区间”的图象作为函数()y h x =的图象，是否存在实数m ，使得()y h x =与22(2)3,(0)tan 2tan ,(0)2x m x x y x x x π⎧+-+≥⎪=⎨--<<⎪⎩恰好有2个公共点?若存在，求出m 的取值范围：若不存在，请说明理由.【答案】（1）11,2⎡⎢⎣⎦（2）存在, 5m <≤【解析】（1）根据倒域区间的定义,结合函数的单调性,解方程即可求得a b 、的值,可得函数()g x 在[]1,2内的“倒域区间”.（2）结合倒域区间的定义,先求得函数()y h x =的解析式.根据两个函数有两个交点,即可得关于x 的方程,分离参数得m 的表达式,根据打勾函数的图像及性质即可求得m 的取值范围. 【详解】（1）()22,[1,2]g x x x x =-+∈由二次函数性质可知, ()22g x x x =-+在[1,2]x ∈时单调递减设12a b ≤<≤,则其值域为11[,]b a所以221212a a ab b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩,化简可得3232210210a a b b ⎧-+=⎨-+=⎩ 因式分解可得()()()()22110110a a ab b b ⎧---=⎪⎨---=⎪⎩解得1,a a ==1,b b ==因为12a b ≤<≤所以1,a b ==即倒域区间为11,2⎡⎢⎣⎦（2）两实数,a b 不相等且均不为0.且满足[],x a b ∈时,函数值y 的取值区间恰为11[,]b a则11a b b a<⎧⎪⎨<⎪⎩,所以a 与b 符号相同,即同为正数或同为负数因为定义域为[]22-,所以存在两种可能:02a b <<≤与20a b -≤<<当02a b <<≤时,由二次函数()22,[0,2]g x x x x =-+∈的图像可知()max 1g x =所以满足11a≤,即1a ≤所以12a b ≤<≤.由（1）可知其倒域区间为⎡⎢⎣⎦ 当20a b -≤<<时,由二次函数()22,[2,0)g x x x x =+∈-的图像可知()min 1g x =- 所以满足11b≥-,即1b ≤- 所以21a b -≤<≤-,根据倒域区间的定义,同理可求得其倒域区间为1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦综上可知, ()2212,1,22,1x x x y h x x x x ⎧⎡+-+∈⎪⎢⎪⎣⎦==⎨⎡⎤⎪+∈-⎢⎥⎪⎣⎦⎩因为22(2)3,(0)tan 2tan ,(0)2x m x x y x x x π⎧+-+≥⎪=⎨--<<⎪⎩当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()tan ,0x ∈-∞ 令()tan ,,0t x t =∈-∞则22(2)3,(0)2,(0)x m x x y t t t ⎧+-+≥=⎨-<⎩ 画出()y h x =与22,(0)y t t t =-<的图像 可知没有交点.若两个函数恰有2个公共点,则两个函数图像在⎡⎢⎣⎦有2个交点. 即222(2)3x x x m x -+=+-+在⎡⎢⎣⎦上有两个不同交点.化简可得32,m x x x ⎡=+∈⎢⎣⎦,即为打钩函数. 画出函数图像如下图所示.则当32x x =,即x =时取得最小值,最小值为 当1x =时,5m =,当12x +=时, 12m =5>所以为有两个交点,则m 的取值范围为5m <≤【点睛】本题考查了函数性质的综合应用,新定义内容的理解和应用,函数图像的综合用法,利用分离参数法求参数的取值范围,综合性较强,属于难题.。
【全国百强校】重庆市第八中学2018-2019学年度高一上学期期中考试数学试题
绝密★启用前【全国百强校】重庆市第八中学2018-2019学年度高一上学期期中考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，B ={2，3，4}，则（∁U A ）∩（∁U B ）=（ ） A ．B ．C ．D ． 2，3，2．函数f （x ）=2+a x -1（a ＞0，且a ≠1）恒过定点（ ） A ．B ．C ．D ．3．已知函数f （x ）满足f （x +1）=x 2+2x +3，则f （2）=（ ） A ．2B ．3C ．6D ．84．已知函数f （x ）=，若f （f （0））=3a ，则a =（ ）A ．B ．C ．D ．15．下列函数中，与函数y =x 是同一个函数的是（ ） A ．B ．C ．D ．6．16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算而发明了对数，我们来估计2100有多大，2100为乘方运算，我们对2100取常用对数，将乘方运算降级为乘法运算：lg2100=1001g 2≈100×0.3010=30.10，所以2100≈1030.10=1030×100.10，则2100是几位数（ ） A ．29B ．30C ．31D ．327．函数y =2|x |-x 2-2的图象可能是（ ）…………线…………○………………线…………○……A ． B ．C ．D ．8．设a =lg e ，b =（lg e ）2，c =lg ，则（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2-x ），且对任意的x 1，x 2∈（-∞，1]（x 1≠x 2）有（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））＜0．则（ ） A ． B ． C ．D ．10．函数y =ln （4-x ）+1n （2+x ）的单调递增区间为（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递减，且f （-2）=0，则关于x 的不等式（x -1）f （x -1）＜0的解集是（ ） A ． B ．C ．D ．12．已知定义在R 上的函数f （x ）=， ＜， ＞，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，满足f （a ）=f （b ）=f （c ）=m ，则mabc 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．设集合M满足M∪{1，2，3}={1，2，3，4}，则符合题意的M的个数为______．14．函数y=在（-∞，1）∪[2，5]上的值域为______．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=3x+m（m为常数），则f （0）+f（-1）的值为______．16．设函数f（x）=，则满足f（f（a））=的实数a取值范围是______．三、解答题17．（1）化简求值：（）6+（-2018）0-4×（）+；（2）化简求值：+5log32-log3．18．已知集合A={x|x2-（a-1）x-a＜0，a∈R}，集合B={x|＜0}．（1）当a=3时，求A∩B；（2）若A∪B=R，求实数a的取值范围．19．已知二次函数f（x）=x2+bx+c，f（2）=3，且函数f（x+1）为偶函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）=|f（x）|，求g（x）在区间[0，4]上的值域．20．国庆假期是实施免收小型客车高速通行费的重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队，该车队是由31辆身长约为5m（以5m计算）的同一车型组成，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过隧道的车速不超过25/m s），匀速通过该隧道，设车队的速度为/xm s，根据安全和车流的需要，当012x<≤时，相邻两车之间保持20m 的距离；当1225x<≤时，相邻两车之间保持进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间()y s．（1）将y表示成为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．21．已知函数f（x）=log a x（a＞1）在[a，2a]上的最大值是最小值的2倍．（2）设函数F（x）=f（）•（2x），且关于x的方程F（x）=k在[，4]上有解，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2•3x．（1）证明：f（x）-g（x）=2•3-x，并求函数f（x），g（x）的解析式；（2）解关于x不等式：g（x2+2x）+g（x-4）＞0；（3）若对任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）-4恒成立，求实数m的最大值．参考答案1．B【解析】【分析】先根据补集的含义求C U A和C U B，再根据交集的含义求（C U A）∩（C U B）．【详解】解：C U A={2，4，5}，C U B={1，5}，（C U A）∩（C U B）={5}，故选：B．【点睛】本题考查集合的基本运算，较简单．2．C【解析】【分析】令幂指数等于零，求得x、y的值，可得函数图象经过的定点坐标．【详解】解：对于函数f（x）=2+a x-1（a＞0，且a≠ ），令x-1=0，求得x=1，y=3，可得函数图象恒过定点（1，3），故选：C．【点睛】本题考查函数图象过定点问题，属于基础题．3．C【解析】【分析】函数f（x）满足f（x+1）=x2+2x+3，则f（2）=f（1+1），可求得结果．【详解】解：∵函数f（x）满足f（x+1）=x2+2x+3，∴f（2）=f（1+1）=12+2×1+3=6．故选：C．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．A【解析】【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.【详解】解：由题意，f（0）=2，f（f（0））=f（2）=1+a=3a，∴a=．故选：A．【点睛】本题考查分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2) 求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则.5．B【解析】【分析】只需判断函数定义域和对应法则是否相同即可.【详解】解：A.与y=x的解析式不同，不是同一个函数；B.的定义域为R，y=x的定义域为R，定义域和解析式都相同，是同一个函数；C.的定义域为 x x≠ ，与y=x的定义域不同，不是同一函数；D．的定义域为（0，+∞），与y=x的定义域不同，不是同一函数．故选：B．【点睛】本题考查函数的定义，考查判断两函数是否为同一函数的方法：看定义域和解析式是否都相同．6．B【解析】【分析】先阅读题意、理解即时运算，再结合指数函数性质可得答案.【详解】解：由100.1∈（1，2），所以1030×100.1∈（1030，2×1030），即2100是30位数，故选：B．【点睛】本题考查对即时运算的理解及进行简单的合情推理,考查指数函数的性质，属中档题.7．D【解析】试题分析：易知函数为偶函数，故排除A；因为当时，，时，，故排除B、C，故选D.考点：函数的图象.【技巧点睛】如果函数解析式较复杂，通过图象变换不易得到函数图象，对于选择题，可以采用特殊值法，抓住指数函数的图象过定点（0,1）这一特点；否则需研究函数的定义域、单调性、奇偶性等性质获取大致图象，辅助解题.8．C【解析】【分析】利用函数y=lgx的单调性即可判断出大小关系.【详解】解：函数y=lgx在（0，）上单调递增，∵1＜e＜3＜，∴0＜lge＜，∴lge＞lge=lg＞（lge）2．∴a＞c＞b．故选：C．【点睛】本题考查利用对数函数的单调性比较大小问题，属于基础题.9．B【分析】由已知得函数f（x）图象关于x=1对称且在（-∞，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，从而可判断出大小关系.【详解】解：∵当x1，x2∈（-∞，1]（x1≠x2）时有（x1-x2）（f（x1）-f（x2））＜0，∴f（x）在（-∞，1]上单调递减，∵f（x）=f（2-x），∴函数f（x）的图象关于x=1对称，则f（x）在∈（1，+∞）上单调递增，∴f（-1）=f（3）>f（2）＞f（1）即f（-1）＞f（2）＞f（1）故选：B．【点睛】本题考查函数的对称性及单调性的应用，解题的关键是函数性质的灵活应用。
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重庆八中2017-2018学年度（上）期末考试高一年级
数学试题
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】集合，，
则.
故选D.
2. 函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】要使函数有意义，则，解得.
所以函数的定义域为.
故选A.
3. 已知向量，，若，则的值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】向量，，
若，得，解得.
故选A.
4. 设集合，，函数的定义域为，值域为，则函数的图像可以是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】集合. 由此排除A,D.
由函数的定义知，每一个x只能唯一对应一个y值，故排除C.
故选B.
5. 设，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得.
所以.
故选C.
6. 已知在上是减函数，若，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为且在上是减函数，
所以，即.
故选C.
7. 已知是第二象限角，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，解得.
又是第二象限角，可得.
则.
故选C.
8. 设定义在上的偶函数满足，当时，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
..................
又为偶函数，所以.
故选A.
9. 函数的图像如图所示，为了得到的图像，则只需将的图像（）
A. 向左平移个长度单位
B. 向右平移个长度单位
C. 向左平移个长度单位
D. 向右平移个长度单位
【答案】D
【解析】由图可知，，得，所以.
当时，，得.
由，得.
所以图像故选D向右平移个长度单位即可得到的图像，
故选D.
点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩变换的规律：（1）把函数的图像向左平移个单位长度，则所得图像对应的解析式为，遵循“左加右减”；（2）把函数图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍（），那么所得图像对应的解析式为.
10. 在中，边的中点满足，，则（）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
【答案】B
【解析】在中，为边的中点，所以，所以
.
由，得.
所以.
故选B.
11. 若存在实数，使得，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，
存在实数，使得，即.
当时，即时，为增函数，只需.
解得.即；
当时，，满足题意；
当时，即时，为减函数，不等式显然有解.
综上：.
故选B.
点睛：研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，同时也可以转化为两个函数的图象关系.
12. 已知中，，，为平面内一点，则的最小值为（）
A. -8
B.
C. -6
D. -1
【答案】A
【解析】
如图所示建立平面直角坐标系,其中:，设，
则.
则.
当且仅当，即时的最小值为-8.
故选A.
点睛：数量积的计算有两种不同的方式，一是根据定义计算，二是用向量的坐标计算，其中用坐标进行运算可使得数量积的计算变得简单易行．在本题的解法中通过建立坐标系将数量积的最小值问题转化为函数的最值问题处理，体现了转化方法在数学解题中的应用.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知是两个相互垂直的单位向量，则__________．
【答案】
【解析】是两个相互垂直的单位向量，
所以，.
所以.
故答案为：.
14. 已知，则__________．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
15. 已知，且，则__________．
【答案】-12
【解析】由，令.
则有即为奇函数，
所以.
即，所以.
故答案为：-12.
16. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，（符号表示不超过的最大整数），若方程
有6个不同的实数解，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】作出函数的图像，如图所示：
当时，显然不成立；
当时，只需解得.
故答案为：.
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
三、解答题（共70分）
17. 已知是对称轴为的二次函数，且，.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）求在上的值域.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由二次函数的对称轴可设函数为，进而待定系数求解即可；（Ⅱ）由二次函数的图像特征，即对称轴与区间的关系可求值域.
试题解析：
（Ⅰ）设
（Ⅱ）.
18. 已知角的终边过点，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由任意角的三角函数定义知，进而得，即可得；（Ⅱ）由两角和的展开式及二倍角公式化简求值即可.
试题解析：
由条件知，解得，故.
（Ⅰ）
（Ⅱ）∵，故.
∴原式.
19. 已知函数（且）在上的最大值与最小值之差为.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若，当时，解不等式.
【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）结合指数函数的单调性由最值求参数即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，为奇函数且在上是增函数，所以等价于
，进而得，求解即可.
试题解析：
（Ⅰ）当时，，，则，解得
当时，，，则，解得
综上得：或
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，为奇函数且在上是增函数
∴或
所以，不等式的解集为.
点睛：本题主要考查了函数的图象与性质等知识点的综合应用，对于解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注
意与的取值应在外层函数的定义域内，试题有一定的难度，属于中档试题.
20. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0.125万元和0.5万元，如图：
（Ⅰ）分别写出两类产品的收益（万元）与投资额（万元）的函数关系；
（Ⅱ）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）万元时，收益最大为3万元.
【解析】试题分析：（1）根据题意，得，，代入点的坐标，求的的值，即可可得到两种产品的收益与投资的函数关系；（2）投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，令
，换元利用二次函数的性质，即可求解其最大收益．
试题解析：（1），，
，，
（2）设：投资债券类产品万元，则股票类投资为万元．
令，则
所以当，即万元时，收益最大，万元．
考点：函数的实际应用问题．
视频
21. 已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调增区间；
（Ⅱ）若锐角的三个角满足，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）化简函数得，令，即可得单调增区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，锐角中：，得，由锐角三角形得，进而可得的取值范围..
试题解析：
（Ⅰ）
.
令
所以函数的单调增区间，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，锐角中：.
于是：由锐角三角形知，
故
所以的取值范围是.
22. 已知向量，.
（Ⅰ）当，时，有，求实数的值；
（Ⅱ）对于任意的实数和任意的，均有，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由，可得；
（Ⅱ）任意与，有恒成立，令
，，则，结合二次函数性质求解即可.
试题解析：
（Ⅰ）当，时，，，
∵∴∴
（Ⅱ）已知：任意与，有恒成立
令，，则
或
令且，
即：，，
则：或
法一：含参分类讨论（对称轴与定义域的位置关系）
法二：参分求最值（注意单调区间）
或
或
由单调性可得或
综上可得实数的取值范围为或.。