运用数列的单调性求最大(小)项

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数列的最大与最小项问题20140525

数列的最大与最小项问题学习要点：数列的最大与最小项问题是一类常见的数列问题，也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有下面一些方法：1．直接求函数)(n f a n =的最大值或最小值，根据)(n f 的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据)(n f 本身的性质求出)(n f 的最值， 2．考察)(n f 的单调性：)0(0)()1(<>-+或n f n f ，然后根据)(n f 的单调判断)(n f 的最值情况.3．研究数列)(n f a n =的正数与负数项的情况，这是求数列}{n a 的前n 项和n S 的最大值或最小值的一种重要方法.[例1]首项为正数的等差数列}{n a ，它的前4项之和与前11项之和相等，问此数列前多少项之和最大？[例2]设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知,0,0,1213123>>=S S a （I ）求公差d 的取值范围；（II ）指出n S S S ,,,21 中哪一个最大？说明理由；（III ）指出nn a S a S a S ,,,2211 中哪一个最小？说明理由.[例3]已知数列}{n a 的通项)10,(22*≤∈+=n N n nn a n ，求数列}{n a 中的最大项和最小项。

[例4]已知数列}{n a 的通项公式nn n a )109)(1(+=，)(N n ∈，求}{n a 的最大值。

《训练题》一、选择题：1．数列),3,2,1}(!12)2)(1(100{ =⋅⋅⋅--=n n n n a nn 中（）A ．1a 最大，而无最小项B ．1a 最小，而无最大项C ．有最大项，但不是1aD ．有最小项，但不是1a2．已知}{),(1562n n a N n n na 则数列+∈+=的最大项是（）A ．第12项B ．第13项C ．第12项或第13项D ．不存在3．数列}{n a 的通项公式是}{,32922n n a n n a 则++-=中最大项的值是（）A ．83107B ．108C ．81108D ．109 4．已知数列}{n a 的通项公式为中则}{,20032002n n a n n a --=（）A ．存在最大项与最小项，且这两项的和大于2B ．存在最大项与最小项，且这两项的和等于2C ．存在最大项与最小项，且这两项的和小于2D ．既不存在最大项，也不存在最小项 5．设)}({*∈N n a n 是等差数列，n S 是其前n 项和，且65S S <，876S S S >=，则下列结论错误的是（）A ．0<dB ．07=aC ．59S S >D ．n S S S 均为和76的最大值 6．设等差数列}{n a 的前n 项和为0,1>a S n 若，并且存在一个大于2的自然数k ，使,k k S a = 则（）A ．}{n a 递增，n S 有最小值B ．}{n a 递增，n S 有最大值C ．}{n a 递减，n S 有最小值D ．}{n a 递减，n S 有最大值二、填空题：7．设1)32()(,,321+*+=∈++++=n nn S n S n f N n n S 则的最大值为8．}{n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，,0,0983<>+S a a则在9321,,,,S S S S 中最小的是9．等比数列}{n a 中，首项用公比,21,15361-==q a n ∏表示它的前n 项的乘积，则n ∏)(*∈N n 最大时，n =10．设等差数列}{n a 满足：)(,,0,531138*∈>=N n S n S a a a n n 则项和为其前且最大时， n = 三、解答题：11．已知数列}{n a 的通项公式}{),510lg(15n n n a a 问数列-⋅=的前多少项之和最大？并求其最大值.（取3010.02lg =）12．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知k k k S S S S S d a 2211221,,,,0,0,0,0 求<><>+中的最大值.13．数列}{n a 为正项等比数列，它的前n 项和为80，前n 项中数值最大的项为54，而前2n 项的和为6560，试求此数列的首项1a 和公比q . 14．已知数列}{n a 中：)(2,111++∈==N k a a a n n n ，（I ）求n a （II ）若}{),4(log 2n nnn b a b 求数列=最小项的值；（III ）设数列{n c }的前n 项为n b ，求数列{||n c }的前n 项和n S .15．数列}{n a 中，)(5431++∈-=+N n n a a n n . （I ）若}{,201n a a 求-=的通项公式n a ；（II ）设n n n S a n a S 求时当项和的前为,27,}{1->的最小值.《答案与解析》一、1．C 2．C 3．B 4．A 5．C 6．D二、7．5018．5S 9．12 10．20 11．]5lg )1(5[)5lg 5()510lg()510lg(1551n n a a n n n n -+--=⋅-⋅=---+05lg }{,5lg <-=∴-=d a n 是公差的等差数列，而∴>=,051a 所有的正数项之和最大，令15lg 55lg 505lg 505lg )1(5001+≤<⇒⎩⎨⎧<-≥-+⇒⎩⎨⎧<≥+n n n a a n n.428.205lg 27885,8}{,8153.8153.713010.0153010.0158=⨯-⨯=∴=⇒≤<⇒+-≤<-⇒S a n n n n 且项之和最大的前12．,00)(0)12(1112112⎩⎨⎧>-><⇒⎩⎨⎧>+=<+=+++++k k k k k k k k a a a a a k S a k S,0,0,021211 >>>>>>>∴<>++k k k a a a a a d ak k k k k S S S S S S S 故而,,2121 >>><<<∴++为最大值.13．812=-=nn n nS S S q （也可由公式得到），n a q ∴>∴,1为最大项，即.3,280,32,541111=====-q a S q a qa n n 得代入得 14．（I ）;22)1(1121--=⋅⋅⋅=n n n n n a a a a a a（II ）;3)(32,85)25(2125min 22-==∴--=-=n n b n n n n b 时或当（III ）,3-=n c n ①当3≤n 时，;252n n S n -=②当.21252,423+-=-=≥n n b b S n n n 时 15．（I ）,3,5135432121=-⎩⎨⎧-=+-=+++++n n n n n n a a n a a n a a 两式相减得 ,21,3,,,,,,,1642531-==∴a d a a a a a a 的等差数列都是与,312-=∴a ①当n 为奇数时，;24333)121(20-=⨯-++-=n n a n ②当n 为偶数时，;26833)12(31-=⨯-+-=n n a n （II ）①当n 为偶数时，)()()(14321n n n a a a a a a S ++++++=-=（3×1－54）+（3×3－54）+…+[3（n －1）－54]=3[1+3+5+…+（n －1）])()(,;243)(,18,243)18(4327435421321min 22n n n n a a a a a S n S n n n n n +++++=-==∴--=-=⨯-- 为奇数时当时当 .243)(18,;243216)(1917,43216)18(4341052743min 1min 1212-==->-==∴+--=++-=n n S n a S n a n a n n 时当综上时或当思考：1、已知数列}{n a 的通项)(1110*N n n n a n ∈--=，求数列}{n a 中的最大项和最小项。

利用数列单调性求解相关数列问题

利用数列单调性求解相关数列问题数列的单调性问题是高考中的难点也是热点．本专题通过研究数列的单调性来解决例题：数列{a n }的通项公式a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，若数列{a n }为递增数列，求实数λ的取值范围．变式1已知数列{a n }，a n ＝n 2＋λn ＋3(其中λ为实常数)，且a 3数列{a n }的最小项，求实数λ的取值范围．变式2已知数列{b n }满足b n ＝2λ(－12)n －1－n 2，若数列{b n }是单调递减数列，求实数λ的取值范围．串讲1已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N *，设f (n )＝S 2n ＋1－S n ＋1，试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n ，不等式f (n )>mm ＋2恒成立．串讲2在数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝3a n＋2n－1.(1)求证：数列{a n＋n}为等比数列；(2)记b n＝a n＋(1－λ)n，且数列{b n}的前n项和为T n，若T3为数列{T n}中的最小项，求λ的取值范围．(2018·南京市、盐城市高三第一次模拟考试)设数列{a n}满足a n2＝a n＋1a n－1＋λ(a2－a1)2，其中n＝2，且n∈N，λ为常数．(1)若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；(2)若a1＝1，a2＝2，a3＝4，且存在r∈[3，7]，使得m·a n≥n－r0对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；(3)若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n＋T＝a n对任意的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值．(2018·苏州市高三调研测试)已知各项是正数的数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＋S n －1＝a n 2＋23(n ∈N *，n ≥2)，且a 1＝2.①求数列{a n }的通项公式；②若S n ≤λ·2n ＋1对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围；(2)数列{a n }是公比为q (q >0，q ≠1)的等比数列，且{a n }的前n 项积为10T n .若存在正整数k ，对任意n ∈N *，使得T （k ＋1）nT kn为定值，求首项a 1的值．答案：(1)①a n ＝3n －1，②⎣⎡⎭⎫1516，＋∞；*(2)q . 解析：(1)①当n ≥2时，由S n ＋S n －1＝a n 2＋23，(*)，则S n ＋1＋S n ＝a n ＋12＋23，(**)1分(**)－(*)得a n ＋1＋a n ＝13(a n ＋12－a n 2)，即a n ＋1－a n ＝3，n ≥2，3分当n ＝2时，由(*)知a 1＋a 2＋a 1＝a 22＋23，即a 22－3a 2－10＝0，解得a 2＝5或a 2＝－2(舍去)，所以a 2－a 1＝3，即数列{a n }为等差数列，且首项a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.4分②由①知，a n ＝3n －1，所以S n ＝n （3n －1＋2）2＝3n 2＋n2，由题意可得λ≥S n 2n ＋1＝3n 2＋n2n ＋2对一切n ∈N *恒成立，5分记c n ＝3n 2＋n 2n ＋2，则c n －1＝3（n －1）2＋（n －1）2n ＋1，n ≥2，所以c n －c n －1＝－3n 2＋11n －42n ＋2， n ≥2.当n >4时，c n <c n －1，当n ＝4时，c 4＝1316，且c 3＝1516，c 2＝78，c 1＝12，所以当n ＝3时，c n ＝3n 2＋n 2n ＋2取得最大值1516，7分所以实数λ的取值范围为⎣⎡⎭⎫1516，＋∞.8分(2)由题意，设a n ＝a 1q n －1(q >0，q ≠1)，a 1·a 2……a n ＝10T n ，两边取常用对数，T n ＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n .9分令b n ＝lg a n ＝n lg q ＋lg a 1－lg q ，则数列{b n }是以lg a 1为首项，lg q 为公差的等差数列，11分若T （k ＋1）n T kn 为定值，令T （k ＋1）nT kn ＝μ，则（k ＋1）n lg a 1＋（k ＋1）n [（k ＋1）n －1]2lg qkn lg a 1＋kn （kn －1）2lg q＝μ，即{[(k ＋1)2－μk 2]lg q }n ＋[(k ＋1)－μk ]⎝⎛⎭⎫lg a 12q lg q ＝0对n ∈N *恒成立，因为q >0，q ≠1，问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧（k ＋1）2－μk 2＝0，（k ＋1）－μk ＝0或a 12＝q .将k ＋1k ＝μ代入(k ＋1)－μk ＝0，解得μ＝0或μ＝1.13分因为k ∈N *，所以μ>0，μ≠1，所以a 12＝q ，又a n >0，故a 1＝q .14分专题49例题答案：(－3，＋∞)．解法1数列{a n }为递增数列a n <a n ＋1(n∈N *)恒成立，即n 2＋λn <(n ＋1)2＋λ(n ＋1)化简得λ>－2n －1恒成立，即λ>(－2n －1)max ，因为{－2n －1}为单调递减数列，当n ＝1时，取得最大值－3，所以λ>－3，即实数λ的取值范围为(－3，＋∞)．解法2函数f (x )＝x 2＋λx 的对称轴为x ＝－λ2，考虑到数列自变量n ∈N *，所以|－λ2－1|<|2－(－λ2)|，解得λ>－3，即实数λ的取值范围为(－3，＋∞)．变式联想变式1答案：[－7，－5]．解法1a n ≥a 3对任意n∈N *恒成立，即λ(n －3)≥－(n －3)(n ＋3)．当n ≥4时，λ≥－(n ＋3)，所以λ≥－7；当n ≤2时，λ≤－5；当n ＝3时，λ∈R ；综上所述，－7≤λ≤－5，即实数λ的取值范围为[－7，－5]．解法2函数f (x )＝x 2＋λx ＋3的对称轴为x ＝－λ2，考虑到数列自变量n ∈N *：52≤－λ2≤72，所以－7≤λ≤－5，即实数λ的取值范围为[－7，－5]．变式2答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，103. 解析：由题意可知对任意n∈N *，数列{b n }单调递减，所以b n ＋10，所以数列{(2n ＋1)·2n}单调递增，当n 是奇数时，λ>－（2n ＋1）2n6，因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫－（2n ＋1）2n6单调递减，所以当n ＝1时，－（2n ＋1）2n6取得最大值－1，所以λ>－1；当n 是偶数时，λ<（2n ＋1）2n6，因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫（2n ＋1）2n6单调递增，所以当n ＝2时，（2n ＋1）2n6取得最小值103，所以λ<103.综上可知，－1<λ<103，即实数λ的取值范围是(－1，103)．说明：解决数列单调性问题主要有两个方法，(1)数列是个特殊的函数，可以借助初等函数的单调性来解决数列的单调性问题，必须注意数列的自变量是正整数；(2)作差a n ＋1－a n ，作商a n ＋1a n来比较相邻两项的大小，研究数列的单调性．串讲激活串讲1答案：⎝⎛⎭⎪⎫－2，1811. 解析：由题意可知，f(n)＝S 2n ＋1－S n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋1.所以f(n ＋1)－f(n)＝(1n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3)－(1n ＋2＋1n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋1)＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋2＝(12n ＋2－12n ＋4)＋(12n ＋3－12n ＋4)>0.所以 f(n)在(2，＋∞)单调递增，从而f(n)min ＝f(2)＝920，从而－2<m<1811.串讲2答案：(1)略；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤9，814.解析：(1)∵a n ＋1＝3a n ＋2n －1，∴a n ＋1＋n ＋1＝3(a n ＋n)．又a 1＝2，∴a n >0，a n ＋n>0，故a n ＋1＋n ＋1a n ＋n＝3，∴{a n ＋n}是以3为首项，公比为3的等比数列． (2)由(1)知a n ＋n ＝3n，∴b n ＝3n －nλ.∴T n ＝31＋32＋ (3)－(1＋2＋3＋…＋n)λ＝32(3n －1)－n （n ＋1）2λ.若T 3为数列{T n }中的最小项，则对n ∈N *有32(3n －1)－n （n ＋1）2λ≥39－6λ恒成立．即3n ＋1－81≥(n 2＋n －12)λ对n ∈N *恒成立.1°当n ＝1时，有T 1≥T 3，得λ≥365；2°当n＝2时，有T 2≥T 3，得λ≥9；3°当n ≥4时，n 2＋n －12＝(n ＋4)(n －3)>0恒成立，∴λ≤3n ＋1－81n 2＋n －12对n ≥4恒成立．令f (n )＝3n ＋1－81n 2＋n －12，则f (n ＋1)－f (n )＝3n ＋1（2n 2－26）＋162（n ＋1）（n 2＋3n －10）（n 2＋n －12）>0对n ≥4恒成立．∴f (n )＝3n ＋1－81n 2＋n －12在n ≥4时为单调递增数列．∴λ≤f (4)，即λ≤814.综上，9≤λ≤814，即实数λ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤9，814.新题在线答案：(1)1；(2)1128；*(3)3.解析：(1)由题意，可得a n 2＝(a n ＋d )(a n －d )＋λd 2，化简得(λ－1)d 2＝0，又d ≠0，所以λ＝1.(2)将a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4代入条件，可得4＝1×4＋λ，解得λ＝0，所以a n 2＝a n ＋1a n－1，所以数列{a n }是首项为1，公比q ＝2的等比数列，所以a n ＝2n －1.欲存在r ∈[3，7]，使得m ·2n －1≥n －r ，即r ≥n －m ·2n －1对任意n ∈N *都成立，则7≥n －m ·2n －1，所以m ≥n －72n －1对任意n ∈N *都成立．令b n ＝n －72n －1，则b n ＋1－b n ＝n －62n－n －72n －1＝8－n2n，所以当n >8时，b n ＋1b n .所以b n 的最大值为b 9＝b 8＝1128，所以m 的最小值为1128. *(3)因为数列{a n }不是常数列，所以T ≥2.①若T ＝2，则a n ＋2＝a n 恒成立，从而a 3＝a 1，a 4＝a 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 22＝a 12＋λ（a 2－a 1）2.a 12＝a 22＋λ（a 2－a 1）2，所以λ(a 2－a 1)2＝0，又λ≠0，所以a 2＝a 1，可得{a n }是常数列．矛盾．所以T ＝2不合题意．②若T ＝3，取a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝3k －2.2，n ＝3k －1（k ∈N *）－3，n ＝3k(*)，满足a n ＋3＝a n 恒成立．由a 22＝a 1a 3＋λ(a 2－a 1)2，得λ＝7.则条件式变为a n 2＝a n ＋1a n －1＋7.由22＝1×(－3)＋7，知a 3k －12＝a 3k －2a 3k ＋λ(a 2－a 1)2；由(－3)2＝2×1＋7，知a 3k 2＝a 3k －1a 3k ＋1＋λ(a 2－a 1)2；由12＝(－3)×2＋7，知a 3k ＋12＝a 3k a 3k ＋2＋λ(a 2－a 1)2.所以，数列(*)适合题意．所以T 的最小值为3.。

数列的函数性质-2023届高三数学一轮复习专题

2023高考数列专题——数列的函数性质一、数列的单调性解决数列单调性问题的三种方法(1)作差比较法：根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列； (2)作商比较法：根据a n ＋1a n (a n>0或a n <0)与1的大小关系进行判断；(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断．例1(2022·滕州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．[1，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－92，＋∞ 例2 若数列{a n }满足a n ＝－2n 2＋kn －1，且{a n }是递减数列，则实数k 的取值范围为跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列2、请写出一个符合下列要求的数列{a n }的通项公式：①{a n }为无穷数列；②{a n }为单调递增数列；③0<a n <2．这个数列的通项公式可以是________．3、(2022·绵阳模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值．二、数列的周期性解决数列周期性问题的方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．例3、若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 023项的乘积是( )A ．2B ．－6C ．3D ．1例4 (2021·福建福清校际联盟期中联考)已知S n 为数列{a n }前n 项和，若a 1＝12，且a n ＋1＝22－a n(n ∈N *)，则6S 100＝( )A ．425B ．428C ．436D ．437跟踪练习1、(2022·福州模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 023＝( )A ．－1B ．12C ．1D ．2三、数列的最大(小)项求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1 (n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1 (n ≥2)确定最小项；(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＞0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1＞a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＜0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1＜a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．例5(2022·金陵质检)已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a nn的最小值为( )A ．293B ．47－1C ．485D ．274例6已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，则数列{a n }中的最大项是第项．跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －22n －11，前n 项和为S n ，则当S n 取得最小值时n 的值为________．2、已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．63、(2022·重庆模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足S 2 018>0，S 2 019<0，对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则k 的值为( )A ．1 008B ．1 009C ．1 010D ．1 0114、(多选)已知数列{a n }满足a n ＝n ·k n (n ∈N *,0<k <1)，下列命题正确的有( )A ．当k ＝12时，数列{a n }为递减数列B ．当k ＝45时，数列{a n }一定有最大项C ．当0<k <12时，数列{a n }为递减数列D ．当k1－k为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项5、已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．四、数列与函数的综合问题例7（2022·珠海模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项之和为( )A ．0B ．252C ．21D ．42跟踪练习1、(2022·青岛模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，a 5，a 6是函数f (x )＝13x 3－3x 2＋8x ＋1的极值点，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝( )A ．3＋log 25B ．8C ．10D ．15 2、已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列．(1)求出数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．3、 (2022·东莞模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差为d ，前n 项和为S n ．若S n ≤S 8恒成立，则公差d 的取值范围是________．高考数列专题——数列的函数性质（解析版）一、数列的单调性解决数列单调性问题的三种方法(1)作差比较法：根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列；(2)作商比较法：根据a n ＋1a n (a n>0或a n <0)与1的大小关系进行判断；(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断．例1(2022·滕州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( B )A ．[1，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－92，＋∞ 解： ∵数列{a n }是单调递增数列，∴对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋b (n ＋1)>n 2＋bn ，即b >－(2n ＋1)对任意的n ∈N *恒成立，又n ＝1时，－(2n ＋1)取得最大值－3，∴b >－3，即实数b 的取值范围为(－3，＋∞)．例2 若数列{a n }满足a n ＝－2n 2＋kn －1，且{a n }是递减数列，则实数k 的取值范围为(－∞，6).解：解法一：由数列是一个递减数列，得a n ＋1<a n ，又因为a n ＝－2n 2＋kn －1，所以－2(n ＋1)2＋k (n ＋1)－1<－2n 2＋kn －1，k <4n ＋2，对n ∈N *，所以k <6.解法二：数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，∵数列是递减数列，∴k 4<32，∴k <6.跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列解析：A 由a n ＝n 3n ＋1，可得a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n 3n ＋1＝1(3n ＋1)(3n ＋4)>0，∴a n ＋1>a n ，故选A ．2、请写出一个符合下列要求的数列{a n }的通项公式：①{a n }为无穷数列；②{a n }为单调递增数列；③0<a n <2．这个数列的通项公式可以是________．解析：因为函数a n ＝2－1n 的定义域为N *，且a n ＝2－1n 在N *上单调递增，0<2－1n <2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是a n ＝2－1n．答案：a n ＝2－1n(答案不唯一)3、(2022·绵阳模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值．解：(1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n ，两式相减得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ，即(n ＋1)a n ＋1na n＝3(n ≥2)，∵a 1＝1，∴1＝1＋12a 2，即a 2＝1，∴2·a 21·a 1＝2≠3．∴数列{na n }是从第二项开始的等比数列， ∴当n ≥2时，有na n ＝2×3n －2， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n×3n －2，n ≥2.(2)存在n ∈N *使得a n ≤(n ＋1)λ成立⇔λ≥a nn ＋1有解，①当n ＝1时，a 12＝12，则λ≥12，即λmin ＝12；②当n ≥2时，a nn ＋1＝2×3n －2n (n ＋1)，设f (n )＝2×3n －2n (n ＋1)，∴f (n ＋1)f (n )＝3nn ＋2>1，∴f (n )单调递增，∴f (n )min ＝f (2)＝13，∴实数λ的最小值是13．由①②可知实数λ的最小值是13．二、数列的周期性解决数列周期性问题的方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．例3、若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 023项的乘积是( 3 )A ．2B ．－6C ．3D ．1解因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，所以a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，同理可得a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，…所以数列{a n }每四项重复出现，即a n ＋4＝a n ，且a 1·a 2·a 3·a 4＝1，而2 023＝505×4＋3，所以该数列的前2 023项的乘积是a 1·a 2·a 3·a 4·…·a 2 023＝1505×a 1×a 2×a 3＝3．例4 (2021·福建福清校际联盟期中联考)已知S n 为数列{a n }前n 项和，若a 1＝12，且a n ＋1＝22－a n(n ∈N *)，则6S 100＝( A )A ．425B ．428C ．436D ．437解：由数列的递推公式可得：a 2＝22－a 1＝43，a 3＝22－a 2＝3，a 4＝22－a 3＝－2，a 5＝22－a 4＝12＝a 1，据此可得数列{a n }是周期为4的周期数列，则：6S 100＝6×25×⎝⎛⎭⎫12＋43＋3－2＝425．跟踪练习1、(2022·福州模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2 023＝( )A ．－1B ．12C ．1D ．2解析：B 由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n得a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝2，…，可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 023＝a 3×674＋1＝a 1＝12．五、数列的最大(小)项求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1 (n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1 (n ≥2)确定最小项；(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＞0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1＞a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＜0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1＜a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．例5(2022·金陵质检)已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a nn 的最小值为( C )A ．293B ．47－1C ．485D ．274解：由a n ＋1－a n ＝2n ，可得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝28＋2＋4＋…＋2(n －1)＝28＋n (n －1)＝n 2－n ＋28，∴a n n ＝n ＋28n －1，设f (x )＝x ＋28x ，可知f (x )在(0，28 ]上单调递减，在(28，＋∞)上单调递增，又n ∈N *，且a 55＝485<a 66＝293．例6已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，则数列{a n }中的最大项是第9、10项．解：解法一：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， ∴该数列中有最大项，为第9、10项，且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119.解法二：根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)，即⎩⎨⎧n ×⎝⎛⎭⎫1011n －1≤(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n≥(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，∴n ＝9或n ＝10，∴该数列中有最大项，为第9、10项，且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119. 跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －22n －11，前n 项和为S n ，则当S n 取得最小值时n 的值为________．解析：当a n ＝n －22n －11>0⇒n ＝1或n ≥6，∴a 2＝0，a 3<0，a 4<0，a 5<0，故当S n 取得最小值时n 的值为5．2、已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：C 因为数列{a n }是递增数列，又t 2－a 2n －3t －3a n ＝(t －a n －3)(t ＋a n )≤0，t ＋a n >0，所以t ≤a n＋3恒成立，即t ≤(a n ＋3)min ＝a 1＋3＝3，所以t max ＝3．3、(2022·重庆模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足S 2 018>0，S 2 019<0，对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则k 的值为( )A ．1 008B ．1 009C ．1 010D ．1 011解析：C 因为S 2 018>0，S 2 019<0，所以a 1＋a 2 018＝a 1 009＋a 1 010>0，a 1＋a 2 019＝2a 1 010<0，所以a 1 009>0，a 1 010<0，且a 1 009>|a 1 010|，因为对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，所以k ＝1 010，故选C ．4、(多选)已知数列{a n }满足a n ＝n ·k n (n ∈N *,0<k <1)，下列命题正确的有( )A ．当k ＝12时，数列{a n }为递减数列B ．当k ＝45时，数列{a n }一定有最大项C ．当0<k <12时，数列{a n }为递减数列D ．当k1－k为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项解析：BCD 当k ＝12时，a 1＝a 2＝12，知A 错误；当k ＝45时，a n ＋1a n ＝45·n ＋1n ，当n <4时，a n ＋1a n>1，当n >4时，a n ＋1a n <1，所以可判断{a n }一定有最大项，B 正确；当0<k <12时，a n ＋1a n ＝k n ＋1n <n ＋12n ≤1，所以数列{a n }为递减数列，C 正确；当k 1－k 为正整数时，1>k ≥12，当k ＝12时，a 1＝a 2>a 3>a 4>…，当1>k >12时，令k 1－k ＝m ∈N *，解得k ＝mm ＋1，则a n ＋1a n ＝m (n ＋1)n (m ＋1)，当n ＝m 时，a n ＋1＝a n ，结合B ，数列{a n }必有两项相等的最大项，故D 正确．故选B 、C 、D ．5、已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．解析：a n ＝632n ，当n ≤5时，a n >1；当n ≥6时，a n <1，由题意知，a 1·a 2·…·a k 是{a n }的前n 项乘积的最大值，所以k ＝5．六、数列与函数的综合问题例7（2022·珠海模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项之和为( C )A ．0B ．252C ．21D ．42解：由函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，可得y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，由数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，可得a 4＋a 18＝2，又{a n }是等差数列，所以a 1＋a 21＝a 4＋a 18＝2，可得数列的前21项和S 21＝21(a 1＋a 21)2＝21，则{a n }的前21项之和为21．故选．跟踪练习1、(2022·青岛模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，a 5，a 6是函数f (x )＝13x 3－3x 2＋8x ＋1的极值点，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝( )A ．3＋log 25B ．8C ．10D ．15解析：D f ′(x )＝x 2－6x ＋8，∵a 5，a 6是函数f (x )的极值点，∴a 5，a 6是方程x 2－6x ＋8＝0的两实数根，则a 5·a 6＝8，∴log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝log 2(a 5·a 6)5＝5log 28＝15，故选D ．2、已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列． (1)求出数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．[解] (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0，所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)． (2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以1a n ＋11a n ＝a n a n ＋1＝13，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34，因为任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34．3、(2022·东莞模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差为d ，前n 项和为S n ．若S n ≤S 8恒成立，则公差d 的取值范围是________．解析：根据等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ≤S 8恒成立，可知a 8≥0且a 9≤0，所以1＋7d ≥0且1＋8d ≤0，解得－17≤d ≤－18．答案：⎣⎡⎦⎤－17，－18。

数列的最大与最小项问题

（III）指出 S1 , S2 , , Sn 中哪一个最小？说明理由.
a1 a2
an
数列an f (n) 最大与最小项问题是一类常见的数列问题，也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有下面一些方法：
三．研究数列 an f (n) 的正数与负数项的情况，分类或缩小范围研究，这是
求数列{an}的前 n 项和 Sn 的最大值或最小值的一种重要方法.
②求数列{an}的通项公式；（2）若（nbn＋n－2）Tn≤kn 对 n∈N*恒成立，求实数 k 的取值范围．
3．已知数列 {an } 的通项公式为 an
n 中
，下列说法正确的是
___A____
A．存在最大项与最小项.
B．存在最大项,不存在最小项.
C．存在最小项，不存在最大项. D．既不存在最大项，也不存在最小项.
4．数列 {an
100n n!
}(n
1,2,3,
)
的最大项是a_9_9___a_10_0__.19090!99
例：首项为负数的等差数列 {an}，它的前4项之和与前11项之和相等，问此数列前多少项之和最小？
变式：设等差数列{an } 的前 n 项和为 S n ，已知 a3 12, S12 0, S13 0,
（I）求公差 d 的取值范围；
（II）指出 S1, S2 , , Sn 中哪一个最大？说明理由；
数列的最大与最小项问题
数列an f (n) 最大与最小项问题是一类常见的数列问题，也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有下面一些方法：
一、研究 an+1与 an的关系：
(1)作差法,主要是作差之后的变形,与零的大小比较是关键,
(2)作商法,主要是作商后能够约掉因式进行变形,再与1比较

第二章专题突破二数列的单调性和最大(小)项

专题突破二数列的单调性和最大(小)项一、数列的单调性(1)定义：若数列{a n }满足：对一切正整数n ，都有a n ＋1＞a n (或a n ＋1＜a n )，则称数列{a n }为递增数列(或递减数列)．(2)判断单调性的方法①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性． ②利用定义判断：作差比较法，即作差比较a n ＋1与a n 的大小；作商比较法,即作商比较a n ＋1与a n 的大小，从而判断出数列{a n }的单调性．例1 已知函数f (x )＝1－2x x ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N *)．试判断数列的单调性．解 f (x )＝1－2x x ＋1＝－2＋3x ＋1. 方法一 ∵a n ＝－2＋3n ＋1(n ∈N *)，a n ＋1＝－2＋3n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝3n ＋2－3n ＋1＝3(n ＋1－n －2)(n ＋1)(n ＋2)＝－3(n ＋1)(n ＋2)＜0. ∴a n ＋1＜a n .∴数列{a n }是递减数列．方法二设x 1＞x 2≥1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 2＋1 ＝3x 1＋1－3x 2＋1＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵x 1＞x 2≥1，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴a n ＝f (n )为递减数列．反思感悟研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x 1<x 2，而数列只需研究相邻两项a n ＋1，a n ，证明难度是不一样的．另需注意，函数f (x )在[1，＋∞)上单调，则数列a n ＝f (n )一定单调，反之不成立．跟踪训练1 数列{a n }的通项公式为a n ＝－3×2n －2＋2×3n －1，n ∈N *.求证：{a n }为递增数列．证明 a n ＋1－a n ＝－3×2n －1＋2×3n －(－3×2n －2＋2×3n －1)＝3(2n －2－2n －1)＋2(3n －3n －1)＝－3×2n －2＋4×3n －1 ＝2n －2⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3， ∵n ≥1，n ∈N *，∴⎝⎛⎭⎫32n －2≥⎝⎛⎭⎫321－2＝23，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2≥8＞3，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3＞0，又2n －2＞0， ∴a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ，n ∈N *.∴{a n }是递增数列．二、求数列中的最大(或最小)项问题常见方法：(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1(n ≥2)求数列中的最大项a n ；利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1(n ≥2)求数列中的最小项a n .当解不唯一时，比较各解大小即可确定．例2 在数列{a n }中，a n ＝n － 2 018n － 2 019，求该数列前100项中的最大项与最小项的项数．解 a n ＝n － 2 018n － 2 019＝1＋ 2 019－ 2 018n － 2 019，设f (x )＝1＋ 2 019－ 2 018x － 2 019，则f (x )在区间(－∞， 2 019)与( 2 019，＋∞)上都是减函数．因为44< 2 019<45，故数列{a n }在0<n ≤44，n ∈N *时递减，在n ≥45时递减，借助f (x )＝1＋2 019－ 2 018x － 2 019的图象知数列{a n }的最大值为a 45，最小值为a 44.所以最大项与最小项的项数分别为45,44.反思感悟本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝411－2n，则{a n }的最大项是( ) A ．a 3B ．a 4C ．a 5D ．a 6 答案 C解析 f (x )＝411－2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，112，⎝⎛⎭⎫112，＋∞上都是增函数．且1≤n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.∴{a n }的最大值为a 5.例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，n ∈N *.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出其最小值．解 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，且n ∈N *， ∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.反思感悟有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．跟踪训练3 已知(－1)n a ＜1－12n 对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫－12，34 解析设f (n )＝1－12n ，n ≥1，则f (n )单调递增．当n 为奇数时，有－a ＜1－12n 又f (n )min ＝f (1)＝1－12＝12. ∴－a ＜12即a ＞－12. 当n 为偶数时，a ＜1－12n . f (n )min ＝f (2)＝1－14＝34. ∴a ＜34.综上，－12＜a ＜34. 例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1，n ∈N *，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫79n ＋2－n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1＝⎝⎛⎭⎫79n ＋1·7－2n 9，且n ∈N *，∴当n >3，n ∈N *时，a n ＋1－a n <0；当1≤n ≤3，n ∈N *时，a n ＋1－a n >0.综上，可知{a n }在n ∈{1,2,3}时，单调递增；在n ∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最大项．又a 3＝3×⎝⎛⎭⎫793＋1<a 4＝4×⎝⎛⎭⎫794＋1，所以第4项为最大项．反思感悟如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦．跟踪训练4 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －92n ，n ∈N *，求{b n }的最大值．解 ∵b n ＋1－b n ＝2n －72n ＋1－2n －92n ＝－2n ＋112n ＋1，且n ∈N *， ∴当n ＝1,2,3,4,5时，b n ＋1－b n ＞0，即b 1＜b 2＜b 3＜b 4＜b 5.当n ＝6,7,8，…时，b n ＋1－b n ＜0，即b 6＞b 7＞b 8＞…，又b 5＝132＜b 6＝364. ∴{b n }的最大值为b 6＝364. 三、利用数列的单调性确定变量的取值范围常利用以下等价关系：数列{a n }递增⇔a n ＋1＞a n 恒成立；数列{a n }递减⇔a n ＋1＜a n 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．例5 已知数列{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *.(1)若{a n }是递增数列，求λ的取值范围．(2)若{a n }的第7项是最小项，求λ的取值范围．解 (1)由{a n }是递增数列⇔a n <a n ＋1⇔n 2＋λn <(n ＋1)2＋λ(n ＋1)⇔λ>－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ>－3. ∴λ的取值范围是(－3，＋∞)．(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 7≤a 6，a 7≤a 8，即⎩⎪⎨⎪⎧72＋7λ≤62＋6λ，72＋7λ≤82＋8λ，解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13]．反思感悟注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足⎩⎪⎨⎪⎧a 7≤a 6，a 7≤a 8，不一定a 7最小．跟踪训练5 数列{a n }中，a n ＝2n －1－k ·2n －1，n ∈N *，若{a n }是递减数列，求实数k 的取值范围．解 a n ＋1＝2(n ＋1)－1－k ·2n ＋1－1＝2n ＋1－k ·2n ，a n ＋1－a n ＝2－k ·2n －1.∵{a n }是递减数列，∴对任意n ∈N *，有2－k ·2n －1＜0，即k ＞22n －1恒成立， ∴k ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22n －1max ＝2， ∴k 的取值范围为(2，＋∞)．1．设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，n ∈N *，则数列{a n }的最大项是( )A ．103B.8658C.8258D ．108答案 D解析 ∵a n ＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋2×29216＋3，而n ∈N *， ∴当n ＝7时，a n 取得最大值，最大值为a 7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1，则数列{a n }( )A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项答案 C解析 a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23n －12－⎝⎛⎭⎫23n －1，令⎝⎛⎭⎫23n －1＝t ，则t 是区间(0,1]内的值，而a n ＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14，所以当n ＝1，即t ＝1时，a n 取最大值．使⎝⎛⎭⎫23n －1最接近12的n 的值为数列{a n }中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项． 3．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大( )A ．10B ．11C ．10或11D ．12答案 C解析 ∵a n ＝－n 2＋10n ＋11是关于n 的二次函数，∴数列{a n }是抛物线f (x )＝－x 2＋10x ＋11上的一些离散的点，∴{a n }前10项都是正数，第11项是0，∴数列{a n }前10项或前11项的和最大．故选C.4．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *,2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项的值为．答案 1 024解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1，∴a n >0，∴a n a n －1＝2＞1， ∴a n ＞a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝22a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024.5．已知数列{a n }中，a n ＝1＋12n －1＋m.若a 6为最大项，则实数m 的取值范围是．答案 (－11，－9)解析根据题意知，y ＝1＋12x －1＋m 的图象如下：由a 6为最大项，知5＜1－m 2＜6.∴－11＜m ＜－9.一、选择题1．已知数列{a n }满足a 1>0,2a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不对答案 B解析 ∵a 1>0，a n ＋1＝12a n ，∴a n >0，∴a n ＋1a n ＝12<1，∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列．2．在数列{a n }中，a n ＝n ，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不是答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－n ＝1>0，∴数列{a n }是递增数列．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－9n －100，则其最小项是() A ．第4项 B ．第5项C ．第6项D ．第4项或第5项答案 D解析 f (x )＝x 2－9x －100的对称轴为x ＝92，且开口向上．∴a n ＝n 2－9n －100的最小项是第4项或第5项．4．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]答案 C解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.5．函数f (x )满足f (n ＋1)＝f (n )＋3(n ∈N *)，a n ＝f (n )，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定答案 A解析 a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＝3>0.6．已知p >0，n ∈N *，则数列{log 0.5p n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．增减性与p 的取值有关D ．常数列答案 C解析令a n ＝log 0.5p n .当p >1时，p n ＋1>p n ，∴log 0.5p n ＋1<log 0.5p n ，即a n ＋1<a n ；当00)在区间(0，6)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，故数列a n ＝1n ＋6n(n ∈N *)在区间(0，6)上递增，在区间(6，＋∞)上递减．又2<6<3，且a 2＝a 3，所以最大项为第2项或第3项．8．已知数列a n 的通项公式a n ＝n ＋k n，若对任意的n ∈N *，都有a n ≥a 3，则实数k 的取值范围为( )A ．[6,12]B ．(6,12)C ．[5,12]D ．(5,12)答案 A解析 n ＋k n ≥3＋k 3对任意的n ∈N *恒成立，则k ⎝⎛⎭⎫1n －13≥3－n ， k (3－n )3n≥3－n ，当n ≥4时，k ≤3n ，所以k ≤12，当n ＝1时，k ≥3，当n ＝2时，k ≥6，以上三个要都成立，故取交集得6≤k ≤12.二、填空题9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }的各项中的最小项是第项．答案 5解析易知，a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎫n －1432－1963，故当n 取143附近的正整数时，a n 最小．又4<143<5，且a 4＝－64，a 5＝－65，故数列{a n }的各项中的最小项是第5项． 10．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为 (填序号)．①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n . 答案 ①③解析可以通过画函数的图象一一判断，②有增有减，④是摆动数列．11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是．答案 (2,3)解析由题意，得点(n ，a n )分布在分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7的图象上．因此当3－a >0时，a 1<a 2<a 3<…<a 7；当a >1时，a 8<a 9<a 10<…；为使数列{a n }递增还需a 7<a 8.故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f (7)<f (8)，解得2<a <3，故实数a 的取值范围是(2,3)．三、解答题12．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }递增，求实数k 的取值范围．解因为a n ＋1＝(n ＋1)2－k (n ＋1)，a n ＝n 2－kn ，所以a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k . 由于数列{a n }递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0，n ∈N *恒成立，分离变量得k <2n ＋1，故需k <3即可，所以k 的取值范围为(－∞，3)．13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋11n .(1)判断{a n }的单调性； (2)求{a n }的最小项．解 (1)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)＋11n ＋1－⎝⎛⎭⎫n ＋11n ＝1＋11n ＋1－11n ＝n (n ＋1)－11n (n ＋1)，且n ∈N *，当1≤n ≤2时，a n ＋1－a n ＜0，当n ≥3时，a n ＋1－a n ＞0，即n ＝1，n ＝2时，{a n }递减， n ≥3时，{a n }递增．(2)由(1)知{a n }的最小项从a 2，a 3中产生．由a 2＝152＞a 3＝203，∴{a n }的最小项为a 3＝203.14．已知数列a n ＝n ＋13n －16，则数列{a n }中的最小项是第项．答案 5解析 a n ＝n ＋13n －16＝n －163＋1933n －16＝13＋1933n －16，令3n －16<0，得n <163.又f (n )＝a n 在⎝⎛⎭⎫0，163上单调递减，且n ∈N *，所以当n ＝5时，a n 取最小值．15．作出数列{a n }：a n ＝－n 2＋10n ＋11的图象，判断数列的增减性，若有最值，求出最值．解列表图象如图所示．由数列的图象知，当1≤n≤5时数列递增；当n>5时数列递减，最大值为a5＝36，无最小值．。

第二章数列专题突破二数列的单调性和最大(小)项

专题突破二数列的单调性和最大(小)项一、数列的单调性(1)定义：若数列{a n }满足：对一切正整数n ，都有a n ＋1＞a n (或a n ＋1＜a n )，则称数列{a n }为递增数列(或递减数列)．(2)判断单调性的方法①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性． ②利用定义判断：作差比较法，即作差比较a n ＋1与a n 的大小；作商比较法,即作商比较a n ＋1与a n 的大小，从而判断出数列{a n }的单调性．例1 已知函数f (x )＝1－2x x ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N *)．试判断数列的单调性．解 f (x )＝1－2x x ＋1＝－2＋3x ＋1. 方法一 ∵a n ＝－2＋3n ＋1(n ∈N *)，a n ＋1＝－2＋3n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝3n ＋2－3n ＋1＝3(n ＋1－n －2)(n ＋1)(n ＋2)＝－3(n ＋1)(n ＋2)＜0. ∴a n ＋1＜a n .∴数列{a n }是递减数列．方法二设x 1＞x 2≥1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 2＋1 ＝3x 1＋1－3x 2＋1＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵x 1＞x 2≥1，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴a n ＝f (n )为递减数列．反思感悟研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x 1<x 2，而数列只需研究相邻两项a n ＋1，a n ，证明难度是不一样的．另需注意，函数f (x )在[1，＋∞)上单调，则数列a n ＝f (n )一定单调，反之不成立．跟踪训练1 数列{a n }的通项公式为a n ＝－3×2n －2＋2×3n －1，n ∈N *.求证：{a n }为递增数列．证明 a n ＋1－a n ＝－3×2n －1＋2×3n －(－3×2n －2＋2×3n －1)＝3(2n －2－2n －1)＋2(3n －3n －1)＝－3×2n －2＋4×3n －1＝2n －2⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3， ∵n ≥1，n ∈N *，∴⎝⎛⎭⎫32n －2≥⎝⎛⎭⎫321－2＝23，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2≥8＞3，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3＞0，又2n －2＞0， ∴a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ，n ∈N *.∴{a n }是递增数列．二、求数列中的最大(或最小)项问题常见方法：(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1(n ≥2)求数列中的最大项a n ；利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1(n ≥2)求数列中的最小项a n .当解不唯一时，比较各解大小即可确定．例2 在数列{a n }中，a n ＝n － 2 018n － 2 019，求该数列前100项中的最大项与最小项的项数．解 a n ＝n － 2 018n － 2 019＝1＋ 2 019－ 2 018n － 2 019，设f (x )＝1＋ 2 019－ 2 018x － 2 019，则f (x )在区间(－∞， 2 019)与( 2 019，＋∞)上都是减函数．因为44< 2 019<45，故数列{a n }在0<n ≤44，n ∈N *时递减，在n ≥45时递减，借助f (x )＝1＋2 019－ 2 018x － 2 019的图象知数列{a n }的最大值为a 45，最小值为a 44.所以最大项与最小项的项数分别为45,44.反思感悟本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝411－2n，则{a n }的最大项是( ) A ．a 3B ．a 4C ．a 5D ．a 6 答案 C解析 f (x )＝411－2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，112，⎝⎛⎭⎫112，＋∞上都是增函数．且1≤n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.∴{a n }的最大值为a 5.例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，n ∈N *.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出其最小值．解 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，且n ∈N *， ∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.反思感悟有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．跟踪训练3 已知(－1)n a ＜1－12n 对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫－12，34 解析设f (n )＝1－12n ，n ≥1，则f (n )单调递增．当n 为奇数时，有－a ＜1－12n 又f (n )min ＝f (1)＝1－12＝12. ∴－a ＜12即a ＞－12. 当n 为偶数时，a ＜1－12n . f (n )min ＝f (2)＝1－14＝34. ∴a ＜34.综上，－12＜a ＜34. 例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1，n ∈N *，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫79n ＋2－n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1＝⎝⎛⎭⎫79n ＋1·7－2n 9，且n ∈N *， ∴当n >3，n ∈N *时，a n ＋1－a n <0；当1≤n ≤3，n ∈N *时，a n ＋1－a n >0.综上，可知{a n }在n ∈{1,2,3}时，单调递增；在n ∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最大项．又a 3＝3×⎝⎛⎭⎫793＋1<a 4＝4×⎝⎛⎭⎫794＋1，所以第4项为最大项．反思感悟如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦．跟踪训练4 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －92n ，n ∈N *，求{b n }的最大值．解 ∵b n ＋1－b n ＝2n －72n ＋1－2n －92n ＝－2n ＋112n ＋1，且n ∈N *， ∴当n ＝1,2,3,4,5时，b n ＋1－b n ＞0，即b 1＜b 2＜b 3＜b 4＜b 5.当n ＝6,7,8，…时，b n ＋1－b n ＜0，即b 6＞b 7＞b 8＞…，又b 5＝132＜b 6＝364. ∴{b n }的最大值为b 6＝364. 三、利用数列的单调性确定变量的取值范围常利用以下等价关系：数列{a n }递增⇔a n ＋1＞a n 恒成立；数列{a n }递减⇔a n ＋1＜a n 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．例5 已知数列{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *.(1)若{a n }是递增数列，求λ的取值范围．(2)若{a n }的第7项是最小项，求λ的取值范围．解 (1)由{a n }是递增数列⇔a n <a n ＋1⇔n 2＋λn <(n ＋1)2＋λ(n ＋1)⇔λ>－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ>－3. ∴λ的取值范围是(－3，＋∞)．(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 7≤a 6，a 7≤a 8，即⎩⎪⎨⎪⎧72＋7λ≤62＋6λ，72＋7λ≤82＋8λ，解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13]．反思感悟注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足⎩⎪⎨⎪⎧a 7≤a 6，a 7≤a 8，不一定a 7最小．跟踪训练5 数列{a n }中，a n ＝2n －1－k ·2n －1，n ∈N *，若{a n }是递减数列，求实数k 的取值范围．解 a n ＋1＝2(n ＋1)－1－k ·2n ＋1－1＝2n ＋1－k ·2n ，a n ＋1－a n ＝2－k ·2n －1.∵{a n }是递减数列，∴对任意n ∈N *，有2－k ·2n －1＜0，即k ＞22n －1恒成立， ∴k ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22n －1max ＝2， ∴k 的取值范围为(2，＋∞)．1．设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，n ∈N *，则数列{a n }的最大项是( )A ．103B.8658C.8258D ．108答案 D解析 ∵a n ＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋2×29216＋3，而n ∈N *， ∴当n ＝7时，a n 取得最大值，最大值为a 7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1，则数列{a n }( )A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项答案 C解析 a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23n －12－⎝⎛⎭⎫23n －1，令⎝⎛⎭⎫23n －1＝t ，则t 是区间(0,1]内的值，而a n ＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14，所以当n ＝1，即t ＝1时，a n 取最大值．使⎝⎛⎭⎫23n －1最接近12的n 的值为数列{a n }中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项． 3．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大( )A ．10B ．11C ．10或11D ．12答案 C解析 ∵a n ＝－n 2＋10n ＋11是关于n 的二次函数，∴数列{a n }是抛物线f (x )＝－x 2＋10x ＋11上的一些离散的点，∴{a n }前10项都是正数，第11项是0，∴数列{a n }前10项或前11项的和最大．故选C.4．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *,2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项的值为．答案 1 024解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1，∴a n >0，∴a n a n －1＝2＞1，∴a n ＞a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝22a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024.5．已知数列{a n }中，a n ＝1＋12n －1＋m.若a 6为最大项，则实数m 的取值范围是．答案 (－11，－9)解析根据题意知，y ＝1＋12x －1＋m 的图象如下：由a 6为最大项，知5＜1－m 2＜6.∴－11＜m ＜－9.一、选择题1．已知数列{a n }满足a 1>0,2a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不对答案 B解析 ∵a 1>0，a n ＋1＝12a n ，∴a n >0，∴a n ＋1a n ＝12<1，∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列．2．在数列{a n }中，a n ＝n ，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不是答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－n ＝1>0，∴数列{a n }是递增数列．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－9n －100，则其最小项是() A ．第4项 B ．第5项C ．第6项D ．第4项或第5项答案 D 解析 f (x )＝x 2－9x －100的对称轴为x ＝92，且开口向上． ∴a n ＝n 2－9n －100的最小项是第4项或第5项．4．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]答案 C解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.5．函数f (x )满足f (n ＋1)＝f (n )＋3(n ∈N *)，a n ＝f (n )，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定答案 A解析 a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＝3>0.6．已知p >0，n ∈N *，则数列{log 0.5p n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．增减性与p 的取值有关D ．常数列答案 C解析令a n ＝log 0.5p n .当p >1时，p n ＋1>p n ，∴log 0.5p n ＋1<log 0.5p n ，即a n ＋1<a n ；当00)在区间(0，6)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，故数列a n ＝1n ＋6n(n ∈N *)在区间(0，6)上递增，在区间(6，＋∞)上递减．又2<6<3，且a 2＝a 3，所以最大项为第2项或第3项．8．已知数列a n 的通项公式a n ＝n ＋k n，若对任意的n ∈N *，都有a n ≥a 3，则实数k 的取值范围为( )A ．[6,12]B ．(6,12)C ．[5,12]D ．(5,12)答案 A解析 n ＋k n ≥3＋k 3对任意的n ∈N *恒成立，则k ⎝⎛⎭⎫1n －13≥3－n ， k (3－n )3n≥3－n ，当n ≥4时，k ≤3n ，所以k ≤12，当n ＝1时，k ≥3，当n ＝2时，k ≥6，以上三个要都成立，故取交集得6≤k ≤12.二、填空题9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }的各项中的最小项是第项．答案 5解析易知，a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎫n －1432－1963，故当n 取143附近的正整数时，a n 最小．又4<143<5，且a 4＝－64，a 5＝－65，故数列{a n }的各项中的最小项是第5项． 10．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为 (填序号)．①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n . 答案 ①③解析可以通过画函数的图象一一判断，②有增有减，④是摆动数列．11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是．答案 (2,3)解析由题意，得点(n ，a n )分布在分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7的图象上．因此当3－a >0时，a 1<a 2<a 3<…<a 7；当a >1时，a 8<a 9<a 10<…；为使数列{a n }递增还需a 7<a 8.故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3－a >0，a >1，f (7)<f (8)，解得2<a <3，故实数a 的取值范围是(2,3)．三、解答题12．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }递增，求实数k 的取值范围．解因为a n ＋1＝(n ＋1)2－k (n ＋1)，a n ＝n 2－kn ，所以a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k . 由于数列{a n }递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0，n ∈N *恒成立，分离变量得k <2n ＋1，故需k <3即可，所以k 的取值范围为(－∞，3)．13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋11n. (1)判断{a n }的单调性；(2)求{a n }的最小项．解 (1)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)＋11n ＋1－⎝⎛⎭⎫n ＋11n ＝1＋11n ＋1－11n ＝n (n ＋1)－11n (n ＋1)，且n ∈N *，当1≤n ≤2时，a n ＋1－a n ＜0，当n ≥3时，a n ＋1－a n ＞0，即n ＝1，n ＝2时，{a n }递减，n ≥3时，{a n }递增．(2)由(1)知{a n }的最小项从a 2，a 3中产生．由a 2＝152＞a 3＝203，∴{a n }的最小项为a 3＝203.14．已知数列a n ＝n ＋13n －16，则数列{a n }中的最小项是第项．答案 5解析 a n ＝n ＋13n －16＝n －163＋1933n －16＝13＋1933n －16，令3n －16<0，得n <163.又f (n )＝a n 在⎝⎛⎭⎫0，163上单调递减，且n ∈N *，所以当n ＝5时，a n 取最小值．15．作出数列{a n }：a n ＝－n 2＋10n ＋11的图象，判断数列的增减性，若有最值，求出最值．解列表图象如图所示．由数列的图象知，当1≤n ≤5时数列递增；当n >5时数列递减，最大值为a 5＝36，无最小值．。

数列中的最大最小项问题20题解析

数列中的最大最小项问题20题一、单选题1．（2022·江西赣州·高三期中（理））设公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且11a >，202120221a a >，20212022101a a -<-，则下列结论正确的是（）A ．1q >B ．2021202210S S ->C ．2022T 是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值2．（2022·贵州·黔西南州义龙蓝天学校高三阶段练习（理））设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202020211a a >，()()20202021110a a --<，则下列选项错误的是（）A ．01q <C ．2020T 是数列{}n T 中的最大项D ．40411T >【答案】D【分析】根据题意，分析可得20201a >，20211a <，从而有11a >，01q <<，则等比数列{}n a 为正项的递减数列．再结合等比数列的性质逐一判断即可．【详解】等比数列{}n a 的公比为q ，若202020211a a >，则2019202024039111()()()()1a q a q a q =>，由11a >，可得0q >，则数列{}n a 各项均为正值，若20202021(1)(1)0a a --<，当1q ≥时，由11a >则1n a >恒成立，显然不适合，故01q <<，且20201a >，202101a <<，故A 正确；因为202101a <<，所以20202020202120211S S a S +>+=，故B 正确；根据122020202110a a a a >>⋯>>>>⋯>，可知2020T 是数列{}n T 中的最大项，故C 正确；由等比数列的性质可得21404124040202020222021a a a a a a a ==⋯==，202101a <<所以4041404112404120211T a a a a =⋯=<，故D 错误．故选：D ．3．（2022·安徽·蒙城县第六中学高三开学考试（文））设数列{}m A ：1a ，2a ，…，()2m a m ≥，若存在公比为q 的等比数列{}1m B +：1b ，2b ，…，1m b +，使得1k k k b a b +<<，其中1k =，2，…，m ，则称数列{}1m B +为数列{}m A 的“等比分割数列”.若数列{}10A 的通项公式为()21,2,,10n n a n == ，其“等比分割数列”{}11B 的首项为1，则数列{}11B 的公比q 的取值范围是（）A ．()9102,2B ．()10112,2C ．()1092,2D ．()11102,24．（2021·北京房山·高三开学考试）已知等比数列{}n a 中，1n n a q +=，那么“01q <<”是“1a 为数列{}n a 的最大项”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质判断即可【详解】当01q <<时，可知1n n a q +=递减，所以1a 为数列{}n a 的最大项，当1a 为数列{}n a 的最大项时，则12a a >，所以23q q >，解得1q <且0q ≠，所以“01q <<”是“1a 为数列{}n a 的最大项”的充分而不必要条件，故选：A二、多选题5．（2022·江苏盐城·模拟预测）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a >，201920201a a ⋅>，20192020101a a -<-，下列结论正确的是（）A ．20192020S S ，则n 最大为4038．【答案】ABD【分析】先根据题意可确定01q <<，根据20200a >可判断A ；根据等比数列的性质结合6．（2020·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-．给出下列结论其中正确的结论是（）A ．01q <，公比1q >，且1220211a a a ⋅⋅⋅<，1220221a a a ⋅⋅⋅>，则（）A ．20211a >B ．当2021n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小C ．当1011n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小D ．存在1011n <，使得12n n n a a a ++=8．（2023·全国·高三专题练习）设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n T 是其前n 项的积，且67T T <，789T T T =>，则下列结论正确的是（）A ．1q >B ．81a=C ．106T T >D ．7T 与8T 均为nT 的最大值【答案】BD【分析】结合等比数列的性质依次分析选项即可.【详解】由题意知，9．（2022·山东·邹平市第一中学高三期中）已知等差数列{}n a ，前n 项和为202312022,0,1n a S a a ><-，则下列结论正确的是（）A ．20220a >B ．n S 的最大值为2023S C ．n a 的最小值为2022a D ．40440S <10．（2022·浙江省常山县第一中学高二期中）公差为d 的等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若1089S S S <<，则下列选项，正确的有（）A ．d ＞0B ．0n a >时，n 的最大值为9C ．n S 有最小值D ．0n S >时，n 的最大值为1711．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为67,n S S S <，且78S S >，则（）A ．在数列{}n a 中，1a 最大B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <【答案】AD【分析】根据67S S <，且78S S >，可推出70a >，8780a a a <>，，故0d <，可判断AD 正确，B 错误，结合等差数列的性质可判断103770S S a -=>，判断C.【详解】{}n a 为等差数列，∵67S S <，且78S S >，∴7678787800S S a S S a a a -=>-=<>，，，即0d <，∴{an }是递减等差数列，1a 最大，当7n ≤时，0n a >，当8n ≥时，0n a <，故AD 正确，B 错误，10310987654770S S a a a a a a a a ++++=++-=>，则103S S ≠，故C 错误，故选：AD ．12．（2022·河北·石家庄二中高二期末）等差数列{}n a 中，6778,S S S S <>，则下列命题中为真命题的是（）A ．公差0d 得：780,0a a ><，进而再等差数列的性质逐个判断即可【详解】由6778,S S S S <>得：780,0a a ><，所以870d a a =-<，且各项中最大的项为1a ，故A 正确，C 错误；96987830S S a a a a -=++=<，所以96S S <，故B 正确；因为780,0a a ><，等差数列{}n a 递减，所以7S 最大，故D 正确；故选：ABD13．（2022·辽宁·沈阳二中高二阶段练习）已知数列{}n a 为等差数列，若981a a <-，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则下列结论正确的是（）A ．{}n a 中的最大值为8aB ．n S 的最大值为8SC ．170S >D ．160S <14．（2022·黑龙江·哈九中高二期末）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，已知312a =，120S >，70a <，则（）A ．60a >B ．43d -<<-C ．0n S <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项15．（2021·全国·高二专题练习）已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，0d <，则（）A ．数列{}n a 单调递减B ．数列{}n a 没有最小值C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值16．（2020·江苏省句容高级中学高二阶段练习）已知等差数列{}n a 的首项是正数，记n S 为数列的前n 项和，若1232020a a a S ++=，则下列结论中正确的有（）A ．0d 0②a 4<0③a 5>0④S 7<0⑤S 8>018．（2020·广东·大沥高中模拟预测）已知等差数列{}n a 的通项公式为31()n a tn t Z =-∈，当且仅当10n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 最大.则当10k S =-时，k =___________.19．（2020·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若180S >，190S <，当n S 取得最大值时，n 的值为_______．20．（2020·江西·宜丰中学高二开学考试（文））等差数列{}n a 中，设n S 为其前n 项和，且10a >，311S S =，则当n 为______时，n S 最大.【答案】7【分析】方法一:因为公差不为零的等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数,由311S S =可知对称轴为7n =,又开口向下,即可得出结果.方法二:由311S S =,10a >可得780+=a a ,0d <,则70a >，80a <,即可得出结果.【详解】解法一：由于()2f x ax bx =+是关于x 的二次函数，且(),n n S 在二次函数()f x 的。

数列的最大项与最小项

数列的最大与最小项问题学习要点：数列的最大与最小项问题是一类常见的数列问题，也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有下面一些方法：1．直接求函数)(n f a n =的最大值或最小值，根据)(n f 的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据)(n f 本身的性质求出)(n f 的最值，也可以考虑求导解决，但必须注意，不能直接对)(n f 求导（因为只有连续函数才可导），而应先对)(n f 所在的函数)0)((>x x f 求导，得到)(x f 的最值，然后再分析)(n f 的最值.2．考察)(n f 的单调性：)0(0)()1(<>-+或n f n f ，然后根据)(n f 的单调判断)(n f 的最值情况.3．研究数列)(n f a n =的正数与负数项的情况，这是求数列}{n a 的前n 项和n S 的最大值或最小值的一种重要方法.[例1]首项为正数的等差数列}{n a ，它的前4项之和与前11项之和相等，问此数列前多少项之和最大？[解法一]记}{n a 的前n 项和为n S ，,114S S =∴,,87],4225)215([14)15(14)71(2)1(,07121011112344212111111最大时或n n S n n n a n n a a n n na S a d d a d a ==∴+--=+-=-⨯-+=∴<-=⇒⨯+=⨯+∴ [解法二]由解法二知}{,0711n a a d ∴<-=是首项为正数的单调递减数列，∴所有的正数项的和最大，>>>==>>>∴=⇒=+++⇒=10988721811651140,0070a a a a a a a a a a a S S 而}{7a ∴中前7项为正数项，从第9项开始各项为负数，而8787,S S S S 或∴=最大.[评析]解法一抓住了)(n f S n =是二次函数的特点，通过配方法直接求出了最大项. 而解法二通过考察}{n a 的单调性与正、负项的情况得到最大项.[例2]设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知,0,0,1213123>>=S S a （I ）求公差d 的取值范围；（II ）指出n S S S ,,,21 中哪一个最大？说明理由；（III ）指出nn a S a S a S ,,,2211 中哪一个最小？说明理由. [解析]（I ）00)(32)(60767612112>+⇒>+=+⇒>a a a a a a S ①，001307713<⇒<⇒<a a S ②，由①、②得;3724407233-<<-⇒⎩⎨⎧<+>+d d a d a（II ）由①、②得}{,0,00776n a d a a a <⎩⎨⎧<>->而为递减数列，;,,,0687662187621最大故而S S S S S S S a a a a a >>><<<∴>>>>>>∴（III ）,014131287621 >>>>>>>><<<S S S S S S S S12128877,,,,}{a Sa S a S a S n n 只有中在∴这六项为负值，而其余各项均为正数，}{nna S ∴的最小项只可能是这六项中的一项，⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->>->->>>>0111012871287a a a S S S 012128877>->>->-a S a S a S7712128877,}{,0a S a S a S a S a S n n 中故在<<<<⇒最小. [评析]通过讨论数列中的正、负项（并结合讨论单调性）是求数列前n 项和的最大、最小值的重要方法.[例3]设∈n Z ，当n 是什么数时，|100||3||2||1|-++-+-+-=n n n n S n 取最小值，并说明理由.[解析]（1）当;5050100210=+++≥≤ n S n 时（2）当1≥n 时，考察}{n S 的单调性，|,100||)100||2||1(||)99||1||(|1--=-++-+---++-+=-+n n n n n n n n S S n n①当}{,0100,1001n n n S S S n >=-≥+时单调递增，;4950,100100=≥≥∴S S n n 时当②,1002,10011-=-<≤+n S S n n n 时当;}{,4911单调递减时当n n n S S S n <≤≤∴+}{,100261n n n S S S n ><≤+时当单调递增；而当504932101474849505051+++++++++++=== S S n 时 .25002515025049=⨯+⨯=综上，当n =50或n =51时，.2500)(min =n S[评析]命题中的数列是比较特殊的数列，虽然解题方案上还是通过考察数列的单调性，但具体过程更灵活. [例4]已知函数c x x g bx x x f +=++=5)(,13)(2是偶函数是奇函数，正数数列}{n a 满足：.1)()(,12111=+-+=++n n n n n a a a g a a f a（I ）若}{n a 的前n 项和为n n n S S ∞→lim ,求；（II ）若}{),()(21n n n n b a g a f b 求+-=中的项的最大值和最小值.[解析]（I ）由条件得,5)(,13)(,02x x g x x f c b =+=∴==由条件得0)(5)(32121=+-+++n n n n n a a a a a;31lim ,32}{,32,00))(23(0311112121=-=∴=∴=∴>=+-⇒=-+⇒∞→+++++qa S q a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n 是等比数列是公比（II ）,5483)185(6)()(2)(21+-=-==+n n n n n a a g a f a b ϕ,314)(,1,211850,10,)32(1max1===∴<<≤<∴=-b b b n a a n n n n n 即最大时当.243374)278()(,4,278,1624816245162322781858116,8116,278,94,32,1,,5,4,3,2,14min =====∴<<⇒<<∴==ϕb b n a a n n n n 时即当时当[评析]由于n b 是关于n a 的二次函数，所以选择配方法完成，但与普通二次函数不同的是函数的定义域不是连续的数集，而是由间断的实数构成，这也是数列中才会出现的特点. [例5]求数列}{n n n a =的最大项与最小项.[解析]通过计算可知：当3≥n 时单调递减，由此可得最大项与最小项，但是用一般方法：nn n n a a a a 11++-或却证明不了}{n a 的单调性.考察函数)3()(1≥=x x x f x的单调性，∵ln xx f 1)]([=ln x ，两边对x 求导得：,ln 1)(,ln 1)()(1212x x x x f x x x f x f x -⋅='∴-='⋅.1,3}{,,154321,3298,1543,)(,0)(31335433543==>>>><<∴<⇒<>>>>>∴<'≥∴a a a n x f x f x n n 最小项为的最大项为故又由单调递减时当[解法二]用数学归纳法证明当,131n n n n n <+≥+时2122121111134124123)1()2()1()2()2()2()1()1(,1)3(2;34348164,31++++++++++<+⇒+<+=+<++⇒<+<+≥=<⇒<⇒<=k k k k k k k k k kk k k k k k k k kk k kk k k k k n n 即时假设当时当即1,1212+=∴+<+++k n k k k k 当时命题也成立，1543543>>>>∴ .下同解法一.[评析]这是比较困难的问题，因此采取了与前面一些例题不同的特殊方法来证明数列的单调性.《训练题》一、选择题：1．数列),3,2,1}(!100{ ==n n a nn 中（）A ．1a 最大，而无最小项B ．1a 最小，而无最大项C ．有最大项，但不是1aD ．有最小项，但不是1a2．已知}{),(1562n n a N n n na 则数列+∈+=的最大项是（）A ．第12项B ．第13项C ．第12项或第13项D ．不存在3．数列}{n a 的通项公式是}{,32922n n a n n a 则++-=中最大项的值是（）A ．83107B ．108C ．81108D ．1094．已知数列}{n a 的通项公式为中则}{,20032002n n a n n a --=（）A ．存在最大项与最小项，且这两项的和大于2B ．存在最大项与最小项，且这两项的和等于2C ．存在最大项与最小项，且这两项的和小于2D ．既不存在最大项，也不存在最小项5．设)}({*∈N n a n 是等差数列，n S 是其前n 项和，且65S S <，876S S S >=，则下列结论错误的是（）A ．0<dB ．07=aC ．59S S >D ．n S S S 均为和76的最大值6．设等差数列}{n a 的前n 项和为0,1>a S n 若，并且存在一个大于2的自然数k ，使,k k S a = 则（）A ．}{n a 递增，n S 有最小值B ．}{n a 递增，n S 有最大值C ．}{n a 递减，n S 有最小值D ．}{n a 递减，n S 有最大值二、填空题：7．设1)32()(,,321+*+=∈++++=n nn S n S n f N n n S 则的最大值为8．}{n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，,0,0983<>+S a a则在9321,,,,S S S S 中最小的是9．等比数列}{n a 中，首项用公比,21,15361-==q a n ∏表示它的前n 项的乘积，则n ∏)(*∈N n 最大时，n =10．设等差数列}{n a 满足：)(,,0,531138*∈>=N n S n S a a a n n 则项和为其前且最大时， n = 三、解答题：11．已知数列}{n a 的通项公式}{),510lg(15n n n a a 问数列-⋅=的前多少项之和最大？并求其最大值.（取3010.02lg =）12．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知k k k S S S S S d a 2211221,,,,0,0,0,0 求<><>+中的最大值.13．数列}{n a 为正项等比数列，它的前n 项和为80，前n 项中数值最大的项为54，而前2n项的和为6560，试求此数列的首项1a 和公比q . 14．已知数列}{n a 中：)(2,111++∈==N k a a a n n n ，（I ）求n a （II ）若}{),4(log 2n n nn b a b 求数列=最小项的值；（III ）设数列{n c }的前n 项为n b ，求数列{||n c }的前n 项和n S .15．数列}{n a 中，)(5431++∈-=+N n n a a n n . （I ）若}{,201n a a 求-=的通项公式n a ；（II ）设n n n S a n a S 求时当项和的前为,27,}{1->的最小值.《答案与解析》一、1．C 2．C 3．B 4．A 5．C 6．D 二、7．5018．5S 9．12 10．20 11．]5lg )1(5[)5lg 5()510lg()510lg(1551n n a a n n n n -+--=⋅-⋅=---+ 05lg }{,5lg <-=∴-=d a n 是公差的等差数列，而∴>=,051a 所有的正数项之和最大，令15lg 55lg 505lg 505lg )1(5001+≤<⇒⎩⎨⎧<-≥-+⇒⎩⎨⎧<≥+n n n a a n n.428.205lg 27885,8}{,8153.8153.713010.0153010.0158=⨯-⨯=∴=⇒≤<⇒+-≤<-⇒S a n n n n 且项之和最大的前12．,00)(0)12(1112112⎩⎨⎧>-><⇒⎩⎨⎧>+=<+=+++++k k k k k k k k a a a a a k S a k S,0,0,021211 >>>>>>>∴<>++k k k a a a a a d ak k k k k S S S S S S S 故而,,2121 >>><<<∴++为最大值.13．812=-=nnn nS S S q （也可由公式得到），n a q ∴>∴,1为最大项，即.3,280,32,541111=====-q a S q a qa n n 得代入得 14．（I ）;22)1(1121--=⋅⋅⋅=n n n n n a a a a a a（II ）;3)(32,85)25(2125min 22-==∴--=-=n n b n n n n b 时或当（III ）,3-=n c n ①当3≤n 时，;252n n S n -=②当.21252,423+-=-=≥n n b b S n n n 时 15．（I ）,3,5135432121=-⎩⎨⎧-=+-=+++++n n n n n n a a n a a n a a 两式相减得,21,3,,,,,,,1642531-==∴a d a a a a a a 的等差数列都是与,312-=∴a ①当n 为奇数时，;24333)121(20-=⨯-++-=n n a n ②当n 为偶数时，;26833)12(31-=⨯-+-=n n a n （II ）①当n 为偶数时，)()()(14321n n n a a a a a a S ++++++=- =（3×1－54）+（3×3－54）+…+[3（n －1）－54]=3[1+3+5+…+（n －1）])()(,;243)(,18,243)18(4327435421321min 22n n n n a a a a a S n S n n n n n +++++=-==∴--=-=⨯-- 为奇数时当时当 .243)(18,;243216)(1917,43216)18(4341052743min 1min 1212-==->-==∴+--=++-=n n S n a S n a n a n n 时当综上时或当 ②。

数列的最大项与最小项05

数列的最大项与最小项05数列的最大与最小项问题学习要点：数列的最大与最小项问题是一类常见的数列问题，也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有下面一些方法：1．轻易求函数an=f(n)的最大值或最小值，根据f(n)的类型，并做出适当的转换，运用配方、重要不等式性质或根据f(n)本身的性质求出f(n)的最值，也可以考虑求导解决，但必须注意，不能直接对f(n)求导（因为只有连续函数才可导），而应先对f(n)所在的函数f(x)(x>0)求导，得到f(x)的最值，然后再分析f(n)的最值.2．实地考察f(n)的单调性：f(n+1)-f(n)>0(或3．研究数列an=f(n)的正数与负数项的情况，这是求数列{an}的前n项和sn的最大值或最小值的一种关键方法.[例1]首项为正数的等差数列{an}，它的前4项之和与前11项之和相等，问此数列前多少项[数学分析一]记{an}的前n项和为sn，∴s4=s11,4⨯311⨯101d=11a1+d⇒d=-a1an(n-1)1∴sn=na1+⨯(-a1)=1(-n2+15n)2714a15225=1[-(n-)2+],1424∴n=7或n=8时,sn最小,[解法二]由解法二知d=-s4=s11⇒a5+a6++a11=0⇒7a8=0∴a1>a2>a7>a8=0,而0=a8>a9>a10>∴{a7}中前7项为正数项，从第9项开始各项为负数，而s7=s8,∴s7或s8最小.[评析]解法一抓住了sn=f(n)是二次函数的特点，通过配方法直接求出了最大项.而解法二通过考察{an}的单调性与也已、负项的情况获得最小项.[例2]设等差数列{an}的前n项和为sn，已知a3=12,s12>0,s13>0,（i）求公差d的取值范围；（ii）表示s1,s2,,sn中哪一个最小？表明理由；（iii）表示ss1s2,,,n中哪一个最轻？表明理由.a1a2an6(a1+a12)=3(a6+a7)>0⇒a6+a7>0①，[解析]（i）s12>0⇒⎧2a3+7d>0247⎧a3+4d⎧a6>-a7>0（ii）由①、②得⎧,而daa2>>a6>0>a7>a8,∴s1s7>s8>,故s6最大;（iii）s1s7>s8>>s12>0>s13>s14>,∴在snsss}中,只有7,8,,12这六项为负值，而其余各项均为正数，ana7a8a12}的最小项只可能是这六项中的一项，an⎧s7>s8>>s12>0s7s8s12⎧->->>->0⎧1⇒11a7a8a12⎧-a>-a>>-a>0s7s8sss[评析]通过探讨数列中的也已、负项（并融合探讨单调性）厚边数列前n项和的最小、最小值的关键方法.[例3]设n∈z，当n是什么数时，sn=|n-1|+|n-2|+|n-3|++|n-100|挑最小值，并表明理由.[解析]（1）当n≤0时sn≥1+2++100=5050;（2）当n≥1时，实地考察{sn}的单调性，sn+1-sn=(|n|+|n-1|++|n-99|)-(|n-1|+|n-2|++|n-100|)=n-|n-100|,①当n≥100时,sn+1-sn=100>0,{sn}单调递减，∴当n≥100时,sn≥s100=4950;∴当1≤n≤49时sn+1当26≤nsn,{sn}单调递增；而当n=50时s51=s50=49+48+47++1+0+1+2+3++49+50=49⨯5050⨯51+=250.022综上，当n=50或n=51时，(sn)min=2500.[评析]命题中的数列就是比较特定的数列，虽然解题方案上还是通过考察数列的单调性，但具有体过程更灵活.[例4]已知函数f(x)=3x+bx+1是偶函数,g(x)=5x+c是奇函数，正数数列{an}满肢：a1=1,f(an+1+an)-g(an+1an+an)=1.（i）若{an}的前n项和为sn,求limsn；（ii）若bn=2f(an)-g(an+1),谋{bn}中的项的最大值和最小值.[解析]（i）由条件得b=c=0,∴f(x)=3x2+1,g(x)=5x,2由条件得3(an+1+an)2-5(an+1an+an)=022⇒3an+1+an+1an-an=0⇒(3an+1-2an)(an+1+an)=0an>0,∴∴limsn=an+12=,an3∴{an}是公比q=就是等比数列,3=3;1-q5283)+,1854（ii）bn=ϕ(an)=2f(an)-g(an+1)=6(an-an=()n-1,∴当n=1时bn最大,即(bn)max14=b1=,当n=1,2,3,4,5,时,an=1,,,,,1658324548[**************]∴当an=,即n=4时,(bn)min=b4=ϕ()=.2727243[评析]由于bn就是关于an的二次函数，所以挑选分体式方法顺利完成，但与普通二次函数相同的就是函数的定义域不是连续的数集，而是由间断的实数构成，这也是数列中才会出现的特点.[例5]求数列{an=n}的最大项与最小项.[解析]通过排序所述：当n≥3时单调递增，由此可以得最小项与最轻项，但是用通常方法：an+1-an或却证明没法{an}的单调性.an考察函数f(x)=x(x≥3)的单调性，∵ln[f(x)]=lnx，x11-lnx1-lnxx'两边对x求导得：⋅f'(x)=,∴f(x)=x⋅,22f(x)xx∴当x≥3时f'(x)∴3>4>>>n>1,又由84>>>1,故,{an}的最大项为a3=3,最小项为a1=1.[数学分析二]用数学归纳法证明当n≥3时nn+11当n=3时,2假设当n=k(k≥3)时kk+1⇒(k+1)(k+2)=(k+2k)即k+k+2∴当n=k+1时命题也设立，∴3>4>5>>1.下同解法一.[评析]这就是比较困难的问题，因此实行了与前面一些例题相同的特定方法去证明数列的单调n=1,2,3,)中1．数列{an=n!a．a1最小，而并无最轻项c．存有最小项，但不是a1b．a1最小，而无最大项d．有最小项，但不是a12．未知an=(n∈n+),则数列{an}的最大项是n2+156b．第13项d．不存在a．第12项c．第12项或第13项3．数列{an}的通项公式是an=-2n2+29n+3,则{an}中最大项的值是4．未知数列{an}的通项公式为an=n-2002n-2021,则{an}中a．存在最大项与最小项，且这两项的和大于2b．存在最大项与最小项，且这两项的和等于2c．存在最大项与最小项，且这两项的和小于2d．既不存在最大项，也不存在最小项5．设立{an}(n∈n*)就是等差数列，sn就是其前n项和，且s5s8，则以下结a．ds5b．a7=0d．s6和s7均为sn的最大值6．设立等差数列{an}的前n项和为sn,若a1>0，并且存有一个大于2的自然数k，并使ak=sk,a．{an}递增，sn有最小值c．{an}递减，sn有最小值b．{an}递减，sn存有最大值d．{an}递增，sn存有最大值7．设sn=1+2+3++n,n∈n,则f(n)=的最大值为(n+32)sn+18．{an}是等差数列，sn是其前n项和，a3+a8>0,s9则在s1,s2,s3,,s9中最轻的就是9．等比数列{an}中，首项a1=1536,公比q=-,用∏n表示它的前n项的乘积，则2∏n(n∈n*)最小时，n10．设等差数列{an}满足：3a8=5a13,且a1>0,sn为其前n项和,则sn(n∈n*)最大时，n三、解答题：11．未知数列{an}的通项公式an=lg(105⋅51-n),问数列{an}的前多少项之和最小？ZR19其最大值.（取lg2=0.3010）12．设立数列{an}的前n项和为sn，未知a1>0,d0,s2k+113．数列{an}为正项等比数列，它的前n项和为80，前n项中数值最大的项为54，而前2n项的和为6560，试求此数列的首项a1和公比q.14．未知数列{an}中：a1=1,an+1=2nan(k∈n+)，（i）求an（ii）若bn=log2(),谋数列{bn}最轻项的值；n4（iii）设数列{cn}的前n项为bn，求数列{|cn|}的前n项和sn.15．数列{an}中，an+1+an=3n-54(n∈n+).（i）若a1=-20,求{an}的通项公式an；（ii）设sn为{an}的前n项和,当a1>-27时,谋sn的最小值.《答案与解析》一、1．c2．c3．b4．a5．c6．d二、7．8．s59．1210．205011．an+1-an=lg(105⋅5-n)-lg(105⋅51-n)=(5-nlg5)-[5+(1-n)lg5]=-lg5,∴{an}是公差d=-lg5∴所有的正数项之和最小，而a1=5>0,令⎧⎧an≥0⎧5+(1-n)lg5≥055lg5lg5⎧an+11-0.30101-0.3010∴{an}的前8项之和最大,且s8=5⨯8-lg5=20.428.⎧s2k+1=(2k+1)ak+1⎧s2k=k(ak+ak+1)>0⎧ak>-ak+1>0a1>0,da2>>ak>0>ak+1>ak+2>,∴s1sk+1>sk+2>,故sk为最大值.13．q=s2n-sn，∴q>1,∴an为最小项，=81（也可以由公式获得）=54,得a1=q,代入sn=80得a1=2,q=3.3n(n-1)ana214．（i）an=a1⋅⋅⋅=22;a1an-1n2-5n155=(n-)2-,∴当n=2或3时(bn)min=-3;（ii）bn=5n-n2;（iii）cn=n-3,①当n≤3时，sn=n2-5n+12.②当n≥4时,sn=bn-2b3=15．（i）⎧⎧an+1+an=3n-54,两式相减得an+2-an=3,⎧an+2+an+1=3n-51∴a1,a3,a5,,与a2,a4,a6,都是d=3的等差数列,∴a2=-31,①当n为奇数时，an=-20+(a1=-21,n+13n-43-1)⨯3=;22n3n-68;②当n为偶数时，an=-31+(-1)⨯3=（ii）①当n为偶数时，sn=(a1+a2)+(a3+a4)++(an-1+an)=（3×1－54）+（3×3－54）+…+[3（n－1）－54]=3[1+3+5+…+（n－1）]⨯54=n2-27n=(n-18)2-243,∴当n=18时,(sn)min=-243;②当n为奇数时,sn=a1+(a2+a3)++(an-1+an)- 3210533n-27n++a1=(n-18)2-216+a1,∴当n=17或19时(sn)min=a1-216>-243;综上,当n=18时(sn)min=-243.=。

高中数学选择性必修二(人教版)《4.1 数列的概念第二课时数列的通项公式与递推公式》课件

题型二由前 n 项和 Sn 求通项公式 an [学透用活]
[典例 2] 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 2Sn＝3n＋3,求{an}的通项公式．
[解] 因为 2Sn＝3n＋3，所以 2a1＝3＋3，故 a1＝3. 当 n≥2 时，2Sn－1＝3n－1＋3，两式相减得 2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即 an＝3n－1，所以 an＝33n，－1n，＝n1≥，2.
题型三数列中的最大项、最小项 [学透用活]
[典例 3] 已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值． [解] (1)由 n2－5n＋4<0，解得 1<n<4.
∵n∈N *，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn，若 Sn＝n2－n，则 an＝2n－2. ( ) (2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn，若 Sn＝3n－2，则 an＝2×3n－1.
答案：(1)√ (2)×
()
2．已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn＋Sm＝Sn＋m，且 a1＝1，那么 a10
(2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94，可知对称轴方程为 n＝52＝2.5.
又∵n∈N *，故 n＝2 或 3 时，an 有最小值，且 a2＝a3，其最小值为 22－5×2＋4＝－2.
法二：设第 n 项最小，由aann≤ ≤aann＋－11，，得nn22－－55nn＋＋44≤≤nn－＋1122－－55nn－＋11＋＋44， . 解不等式组，得 2≤n≤3， ∴n＝2 或 3 时 an 有最小值且 a2＝a3， ∴最小值为 22－5×2＋4＝－2.

高中数学解题方法系列：数列中求最大项或最小项的方法

高中数学解题方法系列：数列中求最大项或最小项的方法法一：利用单调性①差值比较法若有0)()1(1>-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则 <<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若有0)()1(1<-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则 >>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =.②商值比较法若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且1)()1(1>+=+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则 <<<<<+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且1)()1(1<+=+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则 >>>>>+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =.③利用放缩法若进行适当放缩，有n n a n f n f a =>+=+)()1(1，则 <<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若进行适当放缩，有n n a n f n f a =<+=+)()1(1，则 >>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =.法二：先猜后证通过分析，推测数列}{n a 的某项k a (k ∈N *)最大（或最小），再证明)(k n k n a a a a ≥≤或对于一切n ∈N *都成立即可.这样就将求最值问题转化为不等式的证明问题.例1已知函数x x x f 63)(2+-=，S n 是数列}{n a 的前n 项和，点（n ，S n ）（n ∈N *）在曲线)(x f y =上.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若1)21(-=n n b ，6nn n b a c ∙=，且T n 是数列}{n c 的前n 项和.试问T n 是否存在最大值？若存在，请求出T n 的最大值；若不存在，请说明理由.解（Ⅰ）因为点（n ，S n ）在曲线)(x f y =上，又x x x f 63)(2+-=，所以n n S n 632+-=.当n =1时，311==S a .当n >1时，1--=n n n S S a ,69)]1(6)1(3[)63(22n n n n n -=-+---+-=当n =1时，31=a 也满足上式，所以n a n 69-=.（Ⅱ）因为n n n n n n n n n b a c b )21)(23(6)21)(69(61,)21(11-=-===--①所以,21)(23()21)(3()21)(1(2132nn n T -++-+-+= ②,)21)(23(21)(3()21)(1(21(211432+-++-+-+=n n n T ③②－③得132)21)(23()21)(2(21)(2(21)(2(2121+---++-+-+=n n n n T 112)21)(23(211]21(1[)21()2(21+------+=n n n .整理得1)21)(12(-+=nn n T ④利用差值比较法由④式得121)(32(11-+=++n n n T ，所以.)21)(21()21)](12(23[)21)](12(21)(32[(21)(12(21)(32(11n n nn n n n n n n n n n T T n-=+-+=+-+=+-+=-++因为1≥n ，所以021<-n .又0)21(>n，所以01<-+n n T T 所以n n T T <+1，所以 >>>>>>+1321n n T T T T T .所以T n 存在最大值.211=T 利用商值比较法由④式得021)(12(1>+=+nn n T .因为,)12(22)12()12(232)21)(12()21)(32(1111n n n n n n T T n n n n +++=++=++=++++165)1221(21)1221(21<=++≤++=n 所以111+<++n n T T ，即n n T T <+1.所以 >>>>>>+1321n n T T T T T /所以T n 存在最大值211=T .利用放缩法由①式得0)21)(21(21)](1(23[111<-=+-=+++n n n n n c ，又因为T n 是数列}{n c 的前n项和，所以n n n n T c T T <+<++11.所以 >>>>>>+1321n n T T T T T 所以T n 存在最大值211=T .先猜后证通过分析，推测数列}{n T 的第一项211=T 最在.下面证明：*)2(1N ∈≥<n n T T n 且.方法①分析法因为121)(12(-+=nn n T ，所以只要证明21121)(12(<-+nn .即只要证明2321)(12(<+nn .只需要证明2423+>∙n n.即只要证明02423>--∙n n由二项式定理得2≥n 且*Ν∈n 时，222)1(1)11(22210++=-++=++≥+=n n n n n C C C nnnnn所以02423>--∙n n成立.所以)2(1≥<n T T n 成立.所以n T 存在最大值211=T .方法②利用数学归纳法（i）当n =2时，因为121)(12(-+=nn n T ，所以1222141121)(14(T T =<=-+=，不等式成立.（ii）假设)2(≥=k k n 时不等式成立，即1T T k <.则当1+=k n 时，.1111++++<+=k k k k c T c T T 由①式得.0)21)(21()21)](1(23[111<-=+-=+++k k k k k c 所以11T T k <+.这就是说，当n =k +1时，不等式也成立.由（i）（ii）得，对于一切2≥n 且*N ∈n ，总有1T T n <成立.所以n T 存在最大值211=T .数列是一种特殊的函数，其通项公式可以视为函数的解析式.因此可以通过判断函数单调性的方法来求函数的最大值，然后通过分析求出数列的最大项.但如果函数的单调性较难判断，那就需要探求另一种途径来解决.例若数列{}n a 的通项公式9(1)(10nn a n =+⋅，求{}n a 的最大项.解：设n a 是数列{}n a 中的最大项，则11,(2)n n n n a a n a a -+≥⎧≥⎨≥⎩，即1199(1)()(),101099(1)()(2)().1010n n n n n n n n -+⎧+⋅≥⋅⎪⎪⎨⎪+⋅≥+⋅⎪⎩解，得89n ≤≤，又∵n N +∈，∴8n =或9，9898910a a ==.当1n =时，91899510a =<，∴{}n a 的最大项为9898910a a ==.对于这种解法，不少同学可能会存在疑问.下面将可能出现的疑问一一展示，加以分析，以探究问题的实质及其解决方法.疑问1：为什么要单独讨论1n =的情况？分析：由于11,(2)n n nn a a n a a -+≥⎧≥⎨≥⎩这个不等式中出现了下标1n -，而数列中的项应该从1开始，因此11n -≥，即2n ≥。

怎样妙用数列的单调性解题

若一个数列，从第2项起，每一项都大于它的前一项，即a n +1>a n 对任意n ∈N ∗恒成立，则数列为递增数列；若从第2项起，每一项都小于它的前一项，即a n +1<a n 对任意n ∈N ∗恒成立，则该数列为递减数列.根据数列的单调性可以快速确定数列的最大（小）项，比较出数列各项之间的大小关系.数列是一类特殊的函数，其自变量为正整数N ∗，其图象由无数个间断的点构成.如同函数一样，数列具有单调性，可将数列视为特殊函数，将数列问题转化为函数单调性、最值问题，灵活运用数列的单调性，来证明数列不等式、求数列的最大（小）项.但是利用数列的单调性解题，往往要先判断出数列的单调性，可用作差法或作商法，来将a n 与a n +1作差、作商.若a n +1-a n >0(<0)，则数列{}a n 为递增（减）数列；当a n >0时，若a n +1a n >1(<1)，则数列{}a n 为递增（减）数列.下面举例加以说明.例1.（2023年江苏省盐城市三模）已知数列{}a n 、{}b n 满足4a n +1=3a n -b n +t ，4b n +1=3b n -a n -t ，t ∈R ，n ∈N ∗，且a 1=1，b 1=0.（1）求证：{}a n +b n 是等比数列；（2）若{}a n 是递增数列，求实数t 的取值范围.解：（1）由题可知4b n +1=3b n -a n -t ，4a n +1=3a n -b n +t ，可得a n +1+b n +1=12()a n +b n，又a 1+b 1=1≠0，所以a n +b n ≠0，所以a n +1+b n +1a n +b n =12，故数列{}a n +b n 是首项为1，公比为12的等比数列.（2）因为{}a n 是递增数列，所以a n +1-a n >0对任意n ∈N ∗恒成立，因为4a n +1=3a n -b n +t ，所以4()a n +1-a n =-()a n +b n +t ，则-()a n +b n +t >0对任意n ∈N ∗恒成立，即t >a n +b n 对任意n ∈N ∗恒成立，由（1）知a n +b n =æèöø12n -1，所以t >æèöø12n -1对任意n ∈N ∗恒成立，因为当n =1时，æèöø12n -1取最大值1，故实数t 的取值范围为(1,+∞).我们根据等比数列的定义判定数列{}a n +b n 为等比数列，求得数列{}a n +b n 的通项公式后，即可根据{}a n 是递增数列，得出a n +1-a n >0对任意n ∈N ∗恒成立，就能将问题转化为t >æèöø12n -1对任意n ∈N ∗恒成立问题，根据指数函数的单调性进行求解.例2.（2023届安徽省江淮十校联考）设各项均为正数的数列{}a n 满足()n +2a 2n -na 2n +1+2a n a n +1=0．（1）若a 1=2，求数列{}a n 的通项公式；（2）在（1）的条件下，设b n =1a 2n -1()n ∈N *，数列{}b n 的前n 项和为S n ，求证：S n ≥2n 3n +1．解：（1）略.（2）记c n =S n -2n3n +1，则当n ≥2时，c n -1=S n -1-2n -23n -2，因为c n -c n -1=S n -S n -1+2n -23n -2-2n3n +1=1(2n -1)2n +-2(3n -2)(3n +1)=(n -1)(n +2)(2n -1)2n (3n -2)(3n +1)>0，所以数列{}c n 为递增数列，思路探寻51故c n ≥c 1=0，所以S n ≥2n3n +1.求得数列{}c n 的通项公式后，将c n 、c n -1作差，即可通过恒等变换，比较出二者之间的大小关系，进而确定数列的单调性.然后利用数列的单调性，得出c n ≥c 1=0，即可证明S n ≥2n 3n +1.例3.（2022年新高考全国卷（II ））已知函数f (x )=xe ax -e x ．（1）当a =1时，讨论f (x )的单调性；（2）当x >0时，f (x )<-1，求a 的取值范围；（3）设n ∈N ∗，+⋯+>ln(n +1)．解：（1）略；（2）略；（3）记a n=+⋯+ln(n +1)，则当n ≥2时，a n -1=112+1+122+2+⋯+1(n -1)2+(n -1)-ln n ,则a n -a n -1=1n 2+n -ln(n +1)+ln n=1n (n +1)-ln n +1n =n-n +1-ln n +1n=--2，令t =，设h (t )=t -1t -2ln t ，其中t >1，因为h ′(t )=1+1t 2-2t =(t -1)2t 2>0，故h (t )在(1,+∞)上单调递增，所以h (t )>h (1)=0，故a n -a n -1>0，则数列{}a n 为递增数列，所以a n ≥a1=-ln 2>0，所以112+1+122+2+⋯+1n 2+n >ln(n +1).将a n 、a n -1作差后，无法直接判断出差式的符号，于是令t=，将差式构造成函数h (t )=t -1t -2ln t .根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性求得最小值0，进而得出a n -a n -1>0；再根据数列的单调性得出a n ≥a1=ln 2>0，从而证明结论.例4.若将一个池塘里的鱼的数目记为N ，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X 表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．（1）若N =5000，求X 的数学期望；（2）已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试求出N 的估计值（以使P (X =15)最大的N 的值作为N 的估计值）．解：（1）略.（2）当N <685时，P (X =15)=0，当N ≥685时，P (X =15)=C 15200C 485N -200C 500N ，记a (N )=C 15200C 485N -200C 500N，则a (N +1)a (N )=C 485N +1-200C 500NC 500N +1C 485N -200=(N +1-500)(N +1-200)(N +1)(N +1-200-485)=(N -499)(N -199)(N +1)(N -684)=N 2-698N +499×199N 2-683N -684．由于N 2-698N +499×199>N 2-683N -684，可得N <499×199+68415≈6665.7，则当685≤N ≤6665时，a (N +1)>a (N )；当N ≥6666时，a (N +1)<a (N )，故N =6666时，a (N )最大，所以N 的估计值为6666．该题中的变量为正整数，要求出N 的估计值，需讨论当N ≥685时，P (X =15)的最大值.于是记a (N )=C 15200C 485N -200C 500N，a ()N 可看作数列{a ()N }的通项公式，将a (N +1)a (N )与1的大小进行比较，即可判断出数列{a ()N }的单调性，从而根据数列的单调性求出最大项.在解答数列问题、与自然数有关的最值问题时，要去伪存真，揭示问题的本质，学会把问题变成简单的数列单调性、函数单调性问题，运用数列或函数的单调性来轻松解题.（作者单位：安徽省宿城第一中学）思路探寻52。

数列中的最值问题

问题二：数列中的最值问题数列中的最值常见题型有：求数列的最大项或最小项、与n S 有关的最值、求满足数列的特定条件的最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等. 题型一：求数列的最大项或最小项求数列中的最大项的基本方法是： (1)利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项.【例1】已知数列}{n a 的通项公式为n a =2156nn +,求}{n a 的最大项．【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 的的值.【解法一】基本不等式法.n a =2156n n +=1156n n+,因为156n n +1562n n ⨯；当且仅当156n n =,即n=156时,而,144156169<< 且n ∈N *,于是将n=12或13代人,得1213a =a 且最大．【评注】解法一是是利用基本不等式求解,解法二是通过确定满足⎩⎨⎧≥≥-+11n nn n a a a a 的的值,从而找到最大项【小试牛刀】在数列{a n }中,a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n(n ∈N *).(1)求证：数列{a n }先递增,后递减；(2)求数列{a n }的最大项.(2)解：由(1)知a 9＝a 10＝1010119最大.【点评】要证明数列{a n }是单调的,可利用“{a n }是递增数列⇔a n ＜a n ＋1,数列{a n }是递减数列⇔a n ＞a n ＋1”来证明.注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径,因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法.题型二：数列前n 项和最值问题公差不为0的等差数列的前n 项和的最值问题在高考中常出现,题型有小题也有大题,难度不大,求等差数列前n 项和最值的方法有：(1)利用{a n }中项的单调性,求出其正负转折项．(2)利用二次函数的性质求最值．公差不为0的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn(A,B 为常数)．(3)利用⎩⎨⎧S n ≥S n －1，S n ≥S n ＋1求出S n 的最值.【例2】在等差数列{a n }中,a 1＝7,公差为d,前n 项和为S n ,当且仅当n ＝8时S n 取最大值,则d 的取值范围是________．【分析】知a 1和S 8最大,可以求出S n 关于d 的表达式是关于n 的二次函数,再用二次函数的最值来解决；还可用S 8最大推出项的正负和变化规律,并利用所有正数项和最大．【解析】 (2)方法一(通法)：由于S n ＝7n ＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫7－d 2n,设f(x)＝d 2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7－d 2x,则其图象的对称轴为直线x ＝12－7d .当且仅当n ＝8时S n 取得最大值,故7.5<12－7d <8.5,解得－1<d<－78.方法二(优法)：由题意,得a 8>0,a 9<0,所以7＋7d>0,且7＋8d<0,即－1<d<－78.【小试牛刀】【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断】设等差数列{}n a 的前项和为n S ,且满足170S >,180S <,则11S a ,22S a ,…,1515S a 中最大的项为（） A ．77S a B ．88S a C ．99S a D ．1010Sa 【答案】C 【解析】117917917()17(2)000022a a a S a +>⇒>⇒>⇒>11889181091018()18()0000022a a a a S a a a ++<⇒<⇒<⇒+<⇒<,因此8910121289100,0,0,0,0,S S SS S a a a a a >>>><而1291289,S S S a a a a <<<>>>>,所以89121289S S S S a a a a <<<<,选C. 题型三：求满足数列的特定条件的最值【例3】【2016届云南师范大学附属中学高三月考四】数列{}n a 是等差数列,若981a a <-,且它的前n 项和n S 有最大值,那么当n S 取得最小正值时,n 等于（） A ．17 B ．16 C ．15 D ．14 【分析】利用等差数列的性质求前项和的最值.【解析】∵数列{}n a 的前n 项和有最大值,∴数列{}n a 为递减数列,又981a a <-, 8900a a ><∴，且890a a +<,又115116158168915()16()1508()022a a a a S a S a a ++==>==+<，,故当15n =时,n S 取得最小正值,故选C ．【小试牛刀】【四川省2017年普通高考适应性测试】设数列{}n a 各项为正数,且214a a =,()2*12n n n a a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列(){}3log 1n a +为等比数列；（Ⅱ）令()321log 1n n b a -=+,数列{}n b 的前项和为n T ,求使345n T >成立时的最小值. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）6【解析】（Ⅰ）由已知,2211124a a a a =+=,则()1120a a -=, 因为数列{}n a 各项为正数,所以12a =, 由已知,()21110n n a a ++=+>, 得()()313log 12log 1n n a a ++=+. 又()313log 1log 31a +==,所以,数列(){}3log 1n a +是首项为1,公比为2的等比数列.题型四：求满足条件的参数的最值【例4】【山东省枣庄市2017届高三上学期期末】已知n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前项和,()210,2,326n n n a a a S ∈++=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=,数列{}n b 的前项和为n T ,若对,4n n N t T *∀∈≤恒成立,求实数的最大值. 【分析】(1)首先求得1a 的值,然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 为等差数列,由此求得{}n a 的通项公式；(2)首先结合（1）求得n b 的表达式,然后用裂项法求得n T ,再根据数列{}n T 的单调性求得的最大值．【解析】(1)当1n =时,由2326n n n a a S ++=,得2111326a a a ++=,即211320a a -+=. 又()10,2a ∈,解得11a =.由2326n n n a a S ++=,可知2111326n n n a a S +++++=.两式相减,得()2211136n n n n n a a a a a +++-+-=,即()()1130n n n n a a a a +++--=.由于0n a >,可得130n n a a +--=,即13n n a a +-=,所以{}n a 是首项为,公差为的等差数列,所以()13132n a n n =+-=-.【点评】(1) 求解与参数有关的问题,一般是分离变量,再构造新函数求解.(2)使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项．要注意由于数列{}n a 中每一项n a 均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点．【小试牛刀】已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+,前项和为n S ,若对任意的正整数,不等式216n n mS S ->恒成立,则常数m 所能取得的最大整数为. 【答案】5【解析】要使216n n m S S ->恒成立,只需2min ()16n n m S S ->. 因2(1)1()n n S S ++-2222121221()()()n n n n n n n n n S S S S S S a a a +++++--=---=+-11111111022232222422224n n n n n n n n =+->+-=->++++++++,所以22113n n S S S S -≥-=,所以1161633m m <⇒<,m 所能取得的最大整数为5.题型五：实际问题中的最值【例5】为了保障幼儿园儿童的人身安全,国家计划在甲、乙两省试行政府规范购置校车方案,计划若干时间内（以月为单位）在两省共新购1000辆校车．其中甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆,以后每月的新购量比上一月增加50％；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆,计划以后每月比上一月多新购m 辆．（Ⅰ）求经过n 个月,两省新购校车的总数S(n)；（Ⅱ）若两省计划在3个月内完成新购目标,求m 的最小值．【分析】本题主要考查实际问题、等差等比数列的前n 项和公式、不等式的解法等数学知识,考查学生将实际问题转化为数学问题的能力,考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,通过对题意的分析可知甲方案能构成等比数列,而乙方案能构成等差数列,利用等差等比数列的前n 项和公式分别求和,再相加即可；第二问,利用第一问的结论,得出3n =且(3)1000S ≥,直接解不等式即可得到m 的取值范围,并写出最小值.【解析】（Ⅰ）设a n ,b n 分别为甲省,乙省在第n 月新购校车的数量．依题意,{a n }是首项为10,公比为1＋50%＝32的等比数列；{b n }是首项为40,公差为m 的等差数列． {a n }的前n 项和310[1()]2312n n A -=-,{b n }的前n 项和[4040(1)](1)4022n n n m n n mB n ++--==+. 所以经过n 个月,两省新购校车的总数为S(n)＝310[1()](1)2403212n n n n n m A B n --+=++- 3(1)20[()1]4022n n n mn -=-++2320()(40)20222n m mn n =++--.（Ⅱ）若计划在3个月内完成新购目标,则S(3)≥1000,所以323(3)20()3(40)3201000222m mS =+⨯+-⨯-≥,解得m ≥277.5.又*∈N m ,所以m 的最小值为278.【小试牛刀】某企业为节能减排,用万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加万元,该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后,年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本）,则等于（） A. B. C. D. 【答案】A【解析】设该设备第()n n N *∈的营运费用为n a 万元,则数列{}n a 是以为首项,以为公差的等差数列,则2n a n =,则该设备到第()n n N *∈年的营运费用总和为12242n a a a n +++=+++=()2222n n n n +=+,设第()n n N *∈的盈利总额为n S 万元,则()22119109n S n n n n n =-+-=-+-,因此,该设备年平均盈利额为210999*********n S n n n n n n n n n n -+-⎛⎫==--+=-++≤-⋅+= ⎪⎝⎭,当且仅当9n n =且当n N *∈,即当3n =时,该设备年平均盈利额达到最大值,此时3n =,故选A.【迁移运用】1．【2016·辽宁大连统考】数列{a n }中,如果存在a k ,使得a k ＞a k －1且a k ＞a k ＋1成立(其中k ≥2,k ∈N *),则称a k 为数列{a n }的峰值,若a n ＝－3n 2＋15n －18,则{a n }的峰值为( ) A ．0 B ．4 C.133 D.163【答案】A【解析】因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34,且n ∈N *,所以当n ＝2或n ＝3时,a n 取最大值,最大值为a 2＝a 3＝0.2.【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,n S 是其前项和,若236 a a a ，，成等比数列,且1017a =-,则2nnS 的最小值是（） A ．12- B ．58- C.38- D ．1532-【答案】A3.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛,】已知在正项等比数列{}n a 中,存在两项,m n a a 满足14m n a a a =,且6542a a a =+,则14m n+的最小值是（） A ．32 B ．2 C. 73 D ．256【答案】A【解析】设数列{}n a 的公比为(0)q q >,则由6542a a a =+得220q q --=,解之得2q =或1q =-（舍去）,因为存在两项,m n a a 满足14m n a a a =,所以1111224m n a a --=,解之得6m n +=,所以1411414143()()(5)(52)6662n m n m m n m n m n m n m n +=++=++≥+⨯=,当且仅当4,6n m m n m n =+=即2,4m n ==时等号成立,所以14m n +的最小值是32,故选A. 4.【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知数列{}n a 满足：11a =,12n n n a a a +=+()n N *∈．若11(2)(1)n n b n a λ+=-⋅+()n N *∈,1b λ=-,且数列{}n b 是单调递增数列,则实数λ的取值范围是（） A ．23λ>B ．32λ>C ．32λ<D ．23λ< 【答案】D5.设a n ＝－3n 2＋15n －18,则数列{a n }中的最大项的值是( )． A.163 B.133 C ．4 D ．0【答案】D【解析】∵a n ＝－32)25(-n ＋34,由二次函数性质,得当n ＝2或3时,a n 最大,最大为0.6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1＝13,S 3＝S 11,当S n 最大时,n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】 C【解析一】由S 3＝S 11,得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0,根据等差数列的性质,可得a 7＋a 8＝0,根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到a 7＞0,a 8＜0,故n ＝7时,S n 最大．【解析二】由S 3＝S 11,可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d,把a 1＝13代入,得d ＝－2, 故S n ＝13n －n(n －1)＝－n 2＋14n,根据二次函数的性质,知当n ＝7时,S n 最大．【解析三】根据a 1＝13,S 3＝S 11,则这个数列的公差不等于零,且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减,根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数,以及二次函数图象的对称性,得只有当n ＝3＋112＝7时,S n 取得最大值．7.在数列{a n }中,a n ＝n － 2 013n － 2 014,则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( ) A ．a 1,a 50B ．a 1,a 44C ．a 45,a 44D ．a 45,a 50【答案】C 【解析】a n ＝n － 2 013n － 2 014＝1＋ 2 014－ 2 013n － 2 014,∴当n ∈1,44]时,{a n }单调递减,当n ∈45,100]时,{a n }单调递减, 结合函数f(x)＝x － 2 013x － 2 014的图象可知,(a n )max ＝a 45,(a n )min ＝a 44,选C.8.【2016届重庆市南开中学高三12月月考】已知函数()()22812f x x a x a a =++++-,且()()2428f a f a -=-,设等差数列{}n a 的前项和为n S ,()*n N ∈若()n S f n =,则41n n S aa --的最小值为（） A ．276 B ．358 C ．143 D ．378【答案】【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式,代入由基本不等式可得．由题意可得2428a a -=-或2842822a a a +-+-=⨯-（），解得a=1或a=-4,当a=-1时,2712f x x x =+-（）,数列{a n }不是等差数列；当a=-4时,24f x x x =+（）,24nS f n n n ==+（）, ()()1257575123n a a a n n ∴===+--=+，，,()22121134416122)11(2n n n n S a n n a n n ++++-++∴==-++⨯()113113122121312121n n n n =⨯+++≥++⎡⎤⨯⎢⎥=++⎣⎦+（）（），当且仅当1311n n +=+,即131n =-时取等号, ∵n 为正数,故当n=3时原式取最小值378,故选D ． 9. 【2016届江苏省盐城市盐阜中学高三上12月月】等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为．【答案】﹣49【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d, ∵S 10=10a 1+45d=0,S 15=15a 1+105d=25, ∴a 1=﹣3,d=, ∴S n =na 1+d=n 2﹣n,∴nS n =n 3﹣n 2,令nS n =f （n ）,∴f ′（n ）=n 2﹣n,∴当n=时,f （n ）取得极值,当n ＜时,f （n ）递减；当n ＞时,f （n ）递增；因此只需比较f （6）和f （7）的大小即可． f （6）=﹣48,f （7）=﹣49, 故nS n 的最小值为﹣49．故答案为：﹣49．10.【2016届河北省正定中学高三上第五次月考】已知数列{}n a 满足151=a ,12n na a n+-=,则na n的最小值为．【答案】27411.【2016·湖南衡阳五校联考】已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1＝1－14a n,其中n ∈N *. (1)设b n ＝22a n －1,求证：数列{b n }是等差数列,并求出{a n }的通项公式a n . (2)设c n ＝4a n n ＋1,数列{c n c n ＋2}的前n 项和为T n ,是否存在正整数m,使得T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立？若存在,求出m 的最小值；若不存在,请说明理由．【解析】(1)b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a n －1－22a n －1＝4a n 2a n －1－22a n －1＝2. 所以数列{b n }是等差数列,a 1＝1,b 1＝2,因此b n ＝2＋(n －1)×2＝2n, 由b n ＝22a n －1得a n ＝n ＋12n .(2)c n ＝2n ,c n c n ＋2＝4n （n ＋2）＝2⎝ ⎛1n －⎭⎪⎫1n ＋2, 所以T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<3, 依题意要使T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立,只需m （m ＋1）4≥3, 解得m ≥3或m ≤－4(舍), 所以m 的最小值为3.12.【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知各项都是正数的数列{}n a 的前项和为n S ,212n n n S a a =+,n N *∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：11b =,12(2)n n n b b a n --=≥,数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和n T ,求证：2n T <；（3）若(4)n T n λ≤+对任意n N *∈恒成立,求λ的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12n a n =（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）29λ≥ 【解析】（1）时,是以为首项,为公差的等差数列（2）,,即2n T <（3）由得, 当且仅当时,有最大值,13.【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】设等差数列{}n a 的前项和为n S ,且55625S a a =+=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式()()282714nn n S n k a ++>-+对所有的正整数都成立,求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）34n a n =-（Ⅱ）2974k -<<14.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =,且137,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 为数列11{}n n a a +的前项和,且存在*n N ∈,使得10n n T a λ+-≥成立,求实数λ的取值范围.【答案】（1）1n a n =+；（2）1(,]16-∞. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ,则1211154520,2(2)(6),a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩即12124,2.a d d a d +=⎧⎨=⎩ 又因为0d ≠,所以12,1.a d =⎧⎨=⎩所以1n a n =+. （2）因为11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++, 所以11111111233412222(2)n n T n n n n =-+-++-=-=++++. 因为存在*n N ∈,使得10n n T a λ+-≥成立,所以存在*n N ∈,使得(2)02(2)nn n λ-+≥+成立,即存在*n N ∈,使22(2)nn λ≤+成立.又2142(2)2(4)n n n n =+++,114162(4)n n≤++（当且仅当2n =时取等号）, 所以116λ≤.即实数λ的取值范围是1(,]16-∞.15.已知等差数列{}n a 满足：12a =,且1a ,2a ,5a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前项和,是否存在正整数n,使得n S 60800n >+？若存在,求的最小值；若不存在,说明理由.【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为,依题意, ,2d +,24d +成等比数列,故有2(2)2(24)d d +=+,化简得240d d -=,解得0d =或d =. 当0d =时,2n a =；当d =时,2(1)442n a n n =+-⋅=-,从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.16.已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列,其前n 项和为S n (n ∈N *),且S 3＋a 3,S 5＋a 5,S 4＋a 4成等差数列．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设T n ＝S n －1S n (n ∈N *),求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q, 因为S 3＋a 3,S 5＋a 5,S 4＋a 4成等差数列, 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5, 即4a 5＝a 3,于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32,所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×1)21(--n ＝(－1)n －1·32n .(Ⅱ)由(Ⅰ)得S n ＝1－n)21(-＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时,S n 随n 的增大而减小, 所以1<S n ≤S 1＝32,故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时,S n 随n 的增大而增大,所以34＝S 2≤S n <1,故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上,对于n ∈N *,总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56,最小项的值为－712.17.【2016届上海市七校高三上12月联考】公差不为零的等差数列{a n }中,a 1、a 2、a 5成等比数列,且该数列的前10项和为100．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n ﹣10,求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．【答案】（1）a n =2n ﹣1；（2）﹣25．【解析】（1）∵公差不为零的等差数列{a n }中,a 1、a 2、a 5成等比数列,且该数列的前10项和为100,∴,∴解得a 1=1,d=2,∴a n =1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1．（2）∵b n =a n ﹣10=2n ﹣11, ∴=2﹣11=﹣9,b n ﹣b n ﹣1=（2n ﹣11）﹣2（n ﹣1）﹣11]=2,∴数列{b n }是首项为﹣9,公差为2的等差数列, T n ==n 2﹣10n=（n ﹣5）2﹣25．∴当n=5时,数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为﹣25． 18.已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ,136a ,且()12,18,1,2,236,18n n n n n a a a n a a +⎧==⎨->⎩,记集合{}*n M a n =∈N .（1）若16a =,写出集合M 的所有元素；（2）若集合M 存在一个元素时3的倍数,证明：M 的所有元素都是3的倍数；（3）求集合M 的元素个数的最大值. 解析：（1）6,12,24.（2）因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设k a 是3的倍数. 由12,18236,18n n n n n a a a a a +⎧=⎨->⎩,可归纳证明对任意nk ,n a 是3的倍数.如果1k =,则M 的所有元素都是3的倍数；如果1k >,因为12k k a a -=或1236k k a a -=-,所以12k a -是3的倍数,或1236k a --是3的倍数,于是1k a -是3的倍数.类似可得,2k a -,…,1a 都是3的倍数.从而对任意1n ,n a 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数. （3）由136a ,*1a ∈N ,11112,18236,18n n n n n a a a a a ----⎧=⎨->⎩,可归纳证明()362,3,na n =.因为1a 是正整数,112112,18236,18a a a a a ⎧=⎨->⎩,所以2a 是2的倍数.从而当3n时,n a 是4的倍数.如果1a 是3的倍数,由（2）知对所有正整数n ,n a 是3的倍数,因此当3n时,{}12,24,36n a ∈,这时,M 中的元素的个数不超过5.如果1a 不是3的倍数,由（2）知,对所有的正整数n ,n a 不是3的倍数,因此当3n时,{}4,8,16,20,28,32n a ∈,这时M 的元素的个数不超过8.当11a =时,{}1,2,4,8,16,20,28,32M =有8个元素. 综上可知,集合M 的元素个数的最大值为8. 19.设数列{}n a （1,2,3,n =）的前项和n S 满足12n n S a a =-,且1a ,21a +,3a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为n T ,求使得111000nT -<成立的的最小值.（2）由（1）可得112n n a =,所以211122111111222212nn n nT ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++==--.由111000n T -<,得111121000n --<,即21000n>.因为9102512100010242=<<=,所以10n .所以使111000nT-<成立的的最小值为10.。

高中数学解题方法系列：数列中求最大项或最小项的方法

高中数学解题方法系列：数列中求最大项或最小项的方法法一：利用单调性 ①差值比较法若有0)()1(1>-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则 <<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若有0)()1(1<-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则 >>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =. ②商值比较法若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且1)()1(1>+=+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则 <<<<<+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且1)()1(1<+=+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则 >>>>>+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =.③利用放缩法若进行适当放缩，有n n a n f n f a =>+=+)()1(1，则 <<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若进行适当放缩，有n n a n f n f a =<+=+)()1(1，则 >>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =.法二：先猜后证通过分析，推测数列}{n a 的某项k a (k ∈N *)最大（或最小），再证明)(k n k n a a a a ≥≤或对于一切n ∈N *都成立即可. 这样就将求最值问题转化为不等式的证明问题.例1 已知函数x x x f 63)(2+-= ，S n 是数列}{n a 的前n 项和，点（n ，S n ）（n ∈N *）在曲线)(x f y =上.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若1)21(-=n n b ，6n n n b a c •=，且T n 是数列}{n c 的前n 项和. 试问T n 是否存在最大值？若存在，请求出T n 的最大值；若不存在，请说明理由.解（Ⅰ）因为点（n ，S n ）在曲线)(x f y =上，又x x x f 63)(2+-=，所以n n S n 632+-=.当n =1时，311==S a . 当n >1时，1--=n n n S S a,69)]1(6)1(3[)63(22n n n n n -=-+---+-=当n =1时，31=a 也满足上式，所以n a n 69-=.（Ⅱ）因为n n n n n n n n n b a c b )21)(23(6)21)(69(61,)21(11-=-===-- ① 所以,)21)(23()21)(3()21)(1(2132n n n T -++-+-+= ②,)21)(23()21)(3()21)(1()21(211432+-++-+-+=n n n T ③ ②－③得 132)21)(23()21)(2()21)(2()21)(2(2121+---++-+-+=n n n n T112)21)(23(211])21(1[)21()2(21+------+=n n n .整理得1)21)(12(-+=n n n T ④利用差值比较法由④式得1)21)(32(11-+=++n n n T ，所以.)21)(21()21)](12(23[)21)](12()21)(32[()21)(12()21)(32(11n n nn n n n n n n n n n T T n-=+-+=+-+=+-+=-++ 因为1≥n ，所以021<-n . 又0)21(>n ，所以01<-+n n T T 所以n n T T <+1，所以 >>>>>>+1321n n T T T T T . 所以T n 存在最大值.211=T 利用商值比较法由④式得0)21)(12(1>+=+n n n T .因为,)12(22)12()12(232)21)(12()21)(32(1111•n n n n n n T T nn n n +++=++=++=++++165)1221(21)1221(21<=++≤++=n 所以111+<++n n T T ，即n n T T <+1. 所以 >>>>>>+1321n n T T T T T / 所以T n 存在最大值211=T . 利用放缩法由①式得0)21)(21()21)](1(23[111<-=+-=+++n n n n n c ，又因为T n 是数列}{n c 的前n 项和，所以n n n n T c T T <+<++11. 所以 >>>>>>+1321n n T T T T T 所以T n 存在最大值211=T .先猜后证通过分析，推测数列}{n T 的第一项211=T 最在. 下面证明：*)2(1N ∈≥<n n T T n 且.方法① 分析法因为1)21)(12(-+=n n n T ，所以只要证明211)21)(12(<-+n n . 即只要证明23)21)(12(<+n n . 只需要证明2423+>•n n . 即只要证明02423>--•n n 由二项式定理得2≥n 且*Ν∈n 时，222)1(1)11(22210++=-++=++≥+=n n n n n C C C nnnnn所以02423>--•n n 成立. 所以)2(1≥<n T T n 成立. 所以n T 存在最大值211=T . 方法② 利用数学归纳法（i ）当n =2时，因为1)21)(12(-+=n n n T ，所以12221411)21)(14(T T =<=-+=，不等式成立.（ii ）假设)2(≥=k k n 时不等式成立，即1T T k <. 则当1+=k n 时，.1111++++<+=k k k k c T c T T由①式得.0)21)(21()21)](1(23[111<-=+-=+++k k k k k c 所以11T T k <+. 这就是说，当n =k +1时，不等式也成立.由（i ）（ii ）得，对于一切2≥n 且*N ∈n ，总有1T T n <成立. 所以n T 存在最大值211=T .数列是一种特殊的函数，其通项公式可以视为函数的解析式.因此可以通过判断函数单调性的方法来求函数的最大值，然后通过分析求出数列的最大项.但如果函数的单调性较难判断，那就需要探求另一种途径来解决.例若数列{}n a 的通项公式9(1)()10n n a n =+⋅，求{}n a 的最大项.解：设n a 是数列{}n a 中的最大项，则11,(2)n n n n a a n a a -+≥⎧≥⎨≥⎩，即1199(1)()(),101099(1)()(2)().1010n n n n n n n n -+⎧+⋅≥⋅⎪⎪⎨⎪+⋅≥+⋅⎪⎩解，得89n ≤≤，又∵n N +∈， ∴8n =或9，9898910a a ==.当1n =时，91899510a =<，∴{}n a 的最大项为9898910a a ==.对于这种解法，不少同学可能会存在疑问.下面将可能出现的疑问一一展示，加以分析，以探究问题的实质及其解决方法.疑问1：为什么要单独讨论1n =的情况？分析：由于11,(2)n n n n a a n a a -+≥⎧≥⎨≥⎩这个不等式中出现了下标1n -，而数列中的项应该从1开始，因此11n -≥，即2n ≥。

重难点06两种数列最值求法(核心考点讲与练新高考专用)(解析版)

重难点06两种数列最值求法（核心考点讲与练）题型一：单调性法求数列最值一、单选题1．（2022·安徽淮南·二模（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5711125,26,n n na S a ab a +=-+==，则数列{}n b （）A ．有最大项，无最小项B ．有最小项，无最大项C ．既无最大项，又无最小项D ．既有最大项，又有最小项【答案】D【分析】根据等差数列的首项1a ,公差d 列方程,可得1a 和d ,进而可得{}n a ,{}n b 通项,进而根据{}n b 的单调性,即可得最值.【详解】等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 由571125,26,S a a =-+=得1115102511216263a d a a d d +=-=-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ ,故()1131314n a n n =-+-=-11=13-14n n n a b a n +=+ 当5,n n N ≥∈时, {}n b 单调递减,故5671b b b >>>>,且52b =当15,n n N ≤<∈时, {}n b 单调递减,故12341b b b b >>>>,且14101112b b ==，故{}n b 有最大值为2,最小值为12 故选:D2．（2022·北京·二模）已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的首项均为－3，且31a =，448a b =，则数列{}n n a b （）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】A【分析】求出等差数列和等比数列的通项公式,n n a b ，得出n n a b ，确定数列{}n n a b 中奇数项都是负数，偶数能力拓展项都是正数，然后设n n n c a b =，用作差法得出{}n c 的单调性，从而可得数列{}n n a b 的最值．【详解】13a =-，31a =，则1(3)22d --==，32(1)25n a n n =-+-=-， 4438a b ==，438b =，34118b q b ==-，12q =-，111(1)33()22n n n n b ---⋅=-⨯-=，1(1)3(25)2n n n n n a b --⋅-=，显然奇数项都是负数，偶数项都是正数，设13(25)2n n n n n c a b --==，则113(23)3(25)3(72)222n n n n nn n n c c +-----=-=， 3.5n <，即3n ≤时，10n n c c +->，1n n c c +>，4n ≥时，10n n c c +-<，1n n c c +<，即数列{}n c ，从1c 到4c 递增，从4c 往后递减，由于{}n n a b 中奇数项都是负数，偶数项都是正数，所以{}n n a b 中，44a b 最大，又334c =，5153164c =>，所以55a b 是最小项．故选：A ．3．（2022·安徽·芜湖一中三模（文））已知等差数列{}n a 的首项11a =，且4329a a =+，正项等比数列{}n b 的首项112b =，且24332b b =，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列{}n n b S 的最大项的值为（） A ．89B ．1C ．98D ．2【答案】C【分析】先求出n a ，的得到n S ，再求出n b ，从而得出n n b S ，然后分析出数列{}n n b S 的单调性，得出答案. 【详解】设等差数列{}n a 的公比为d ，由4329a a =+，则()112932a a d d =+++ 即()211329d d ++=+，故2d =，则()1121n a a n d n =+-=- 则()2112n n n n S na d -=+⨯=设正项等比数列{}n b 的公比为()0q q >，由24332b b =，则()2321132b q b q =所以232113222q q ⎛⎫⨯=⨯ ⎪⎝⎭，解得12q =，则1112n n n b b q -==22n n n b S n =，设22=n n n c ，则()221122n n n n c n c n++==当02n <≤时，11n nc c +>，即123c c c << 当3n ≥时，11n nc c +<，即345c c c >>>所以233333928c b S ===最大.故选：C4．（2022·广东·一模）已知正项数列{}n a 满足1*()n n a n n =∈N ，当n a 最大时，n 的值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【分析】先令1x y x =，两边取对数，再分析ln ()xf x x=的最值即可求解. 【详解】令1xy x =，两边取对数，有1ln ln ln xxy x x==，令ln ()xf x x=，则21ln ()x f x x -'=，当()0f x '>时，0e x <<；当()0f x '<时，e x >. 所以()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,+)∞上单调递减. 所以e x =时，()f x 取到最大值，从而y 有最大值，因此，对于1*()nn a n n =∈N ，当2n =时，1222a =；当3n =时，1333a =.而113232>，因此，当n a 最大时，3n =. 故选：B 二、多选题5．（2021·广东·高三阶段练习）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n a =，则下列结论中正确的是（） A ．()211n n n a n n ++=+B ．211n n n S n +-=+C ．32n a ≤D ．满足2021n S ≤的n 的最大值为2020 【答案】ACD【分析】A 选项，对n a =B 选项，对通项公式分离常数后利用裂项相消法求和；C 选项，{}n a 是单调递减数列，故132n a a ≤=；D 选项，在B 选项的基础上进行求解即可..【详解】()211n n n a n n +++，故A 正确；因为()1111111n a n n n n =+=+-++，所以2111111211223111n n n S n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误；因为()()()1111112n n n n +>++++，所以1n n a a +>，所以{}n a 是单调递减数列，所以132n a a ≤=，故C 正确；因为11101n a n n =+->+，所以n S 单调递增，且20202021S <，20212021S >，所以满足2021n S ≤的n 的最大值为2020，故D 正确．故选：ACD6．（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 各项均为正数，120a =，43220a a a +-=，数列{}n a 的前n 项积为n T ，则（） A ．数列{}n a 单调递增 B ．数列{}n a 单调递减 C ．当5n =时，n T 最大 D ．当5n =时，n T 最小【答案】BC【分析】由等比数列基本量求得等比数列{}n a 的公比，由0n a >可得数列{}n a 的增减性，然后由1+n nT T 判断数列{}n T 的单调性，从而得到n T 的最值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，43220a a a +-=，222220a q a q a ∴+-=，等比数列{}n a 各项均为正数，20a ∴>，2210q q ∴+-=，12q ∴=， 120a =，1202nn a ⎛⎫∴=⨯ ⎪⎝⎭，∴数列{}n a 单调递减；121n n n T a a a a -=，11211n n n n T a a a a a +-+∴=，111202nn n n T a T ++⎛⎫∴==⨯ ⎪⎝⎭，当14n ≤≤时，1112012n n n n T a T ++⎛⎫==⨯> ⎪⎝⎭；当5n ≥时，1112012nn n n T a T ++⎛⎫==⨯< ⎪⎝⎭；∴数列{}n T 中，从1T 到5T 递增，从5T 开始递减，5n ∴=时，数列{}n T 中5T 最大.故选：BC7．（2021·河北·高三阶段练习）已知d ，n S 分别是等差数列{}n a 的公差及前n 项和，798S S S >>，设12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列结论中正确的是（）A ．满足0n S >的最小n 值为17B ．89a a <C ．78910a a a a ⋅>⋅D ．8n =时，n T 取得最小值【答案】AC【分析】由已知可得80a <，90a >，890a a +<，公差0d >，利用等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可判断A ；由890a a +<可判断B ；作差结合890a a +<可判断C ；由n T 的单调性以及n b 的符号即可求出n T 的最小值可判断D ，进而可得正确选项.【详解】由题意知：8870a S S =-<，9980S a S =->，97890S S a a -=+<，选项A 中：()()89116161616022a a a a S ++==<，()117179171702a a S a +==>，所以满足0n S >的最小n 值为17，故选项A 正确；选项B 中：89890a a a a -=-->，即89a a >，故选项B 错误；选项C 中：由80a <，90a >可知公差0d >，则91078a a a a -=()()()88882a d a d a a d ++--()2882422d da d d a =+=+()8920d a a =+<所以78910a a a a ⋅>⋅，故选项C 正确；选项D 中：当8n ≤时，0n a <，当9n ≥时，0n a >，所以当6n ≤时，0n b <，1n n T T +<；77890b a a a >=，889100b a a a =<，当9n ≥时，0n b >，所以76T T >，78T T >；当8n ≥时，1n n T T +>，()()867878989108971089890T T b b a a a a a a a a a a a a a a -=+=+=+=+>，所以86T T >，所以当6n =时，n T 取得最小值，故选项D 不正确，故选：AC.8．（2022·江苏·高三专题练习）在n n n A B C （1,2,3,n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n nA B C 的面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=，则（）A ．n n n ABC 一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值D ．{}n S 有最小值【答案】ABD【解析】先结合已知条件得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系1221875=644n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】由222124n n n a c b++=，222124n n n a b c ++=得，222222112244n n n n n n a c a b bc+++++=+()2221122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，22225=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角三角形，A 正确；n n n A B C 的面积为12n n n S b c =，而()4222222222221124224416n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b b c +++++++=⨯=，故()42222222222111241875161875==1616641n n n n n n n n n n n a b c a b bS S c c S +++++++==+，故22212218751875==6446434n n n n n S S SS S +-+--，又22125=244n n n n n b c b c S +=≤（当且仅当=n n b c22121875=06344n n n S SS +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故BD 正确，C 错误. 故选：ABD.【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断. 9．（2021·江苏·盐城中学一模）对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1n n nb a a =-（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（）A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；D ．若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其“倒差数列”有最大值.【答案】ACD【分析】根据新定义进行判断．【详解】A ．若数列{}n a 是单增数列，则11111111()(1)n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ------=--+=-+，虽然有1n n a a ->，但当1110n n a a -+<时，1n n b a -<，因此{}n b 不一定是单增数列，A 正确； B ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，无最大值，B 错； C ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，有最小值，最小值为1b ，C 正确； D ．若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则111()121()2n n n b =-----，首先函数1y x x=-在(0,)+∞上是增函数，当n 为偶数时，11()(0,1)2nn a =-∈，∴10n nnb a a =-<，当n 为奇数时，11()2nn a =+1>，显然n a 是递减的，因此1n n n b a a =-也是递减的，即135b b b >>>，∴{}n b 的奇数项中有最大值为13250236b =-=>，∴156b =是数列{}(*)n b n N ∈中的最大值．D 正确．故选：ACD ．【点睛】本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值．三、填空题10．（2022·上海徐汇·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()121f x f x +=+，当[)0,1x ∈时，()3f x x =．设()f x 在区间[)()*,1N n n n +∈上的最小值为n a ．若存在*n ∈N ，使得()127n a n λ+<-有解，则实数λ的取值范围是______________．【答案】3(,)32-∞ 【分析】根据题意，利用换元法，分别求出当[)1,2x ∈，[)2,3x ∈，[),,1x n n ∈+时，()f x 的解析式，进而求出21nn a =-，然后，得到存在*n ∈N ，使得()127n a n λ+<-有解，则有272nn λ-<有解，进而必有max272n n λ-⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，进而求出max 272n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦,即可求解. 【详解】当[)0,1x ∈时，()3f x x =，因为定义在R 上的函数()f x 满足()()121f x f x +=+，()()312121f x f x x +=+=+，令11t x =+，则11x t =-，所以，当[)11,2t ∈时，有311()2(1)1f t t =-+，所以，当[)1,2x ∈时，3()2(1)1f x x =-+，()()31214(1)3f x f x x +=+=-+，令21t x =+，则21x t =-，[)22,3t ∈，有322()4(2)3f t t =-+，所以，当[)2,3x ∈时，3()4(2)3f x x =-+，同理可得，[)3,4x ∈时，3()8(3)7f x x =-+，根据规律，明显可见当[),1x n n ∈+，()2()21n n n f x x n =-+-，且此时的()f x 必为增函数，又因为n a 为()f x 在区间[)()*,1N n n n +∈上的最小值，所以，1231,3,7,21n n a a a a ===⋯=-，所以，若存在*n ∈N ，使得()127n a n λ+<-有解，则有272nn λ-<有解，进而必有max 272n n λ-⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，根据该函数的特性，明显可见，当5n =时，有max 273232n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以，此时有332λ<故答案为：3(,)32-∞ 11．（2022·浙江台州·二模）已知等差数列{}n a 的各项均为正数，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列n n S na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项为___________.（用数字作答）【答案】1【分析】由等差数列各项均为正数可判定该数列为递增数列，结合等差数列的通项公式和前n 和公式，可判定数列n n S na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列，进而可得到该数列的最大项.【详解】由题，等差数列{}n a 的各项均为正数，所以10a >，0d >，且()()111n a a n d nd a d =+-=+-，所以数列{}n a 是递增数列，又()12n n a a n S +⋅=，所以()1111222n n n n S a a a na a nd a d +==+⎡⎤+-⎣⎦，即nnSna 是递减数列，所以当1n =时，得到数列n n S na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项为1111a a =⨯，故答案为：112．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an }对任意m ，n ∈N *都满足am +n =am +an ，且a 1=1，若命题“∀n ∈N *，λan ≤2n a +12”为真，则实数λ的最大值为____.【答案】7【分析】先求出{}n a 的通项公式，然后参变分离转化为求最值【详解】令m =1，则an +1=an +a 1，an +1－an =a 1=1，所以数列{an }为等差数列，首项为1，公差为1，所以an =n ，所以λan ≤2n a +12⇒λn ≤n 2+12⇒λ≤n +12n，又函数12y x x=+在(0,上单调递减，在)+∞上单调递增，当3n =或4n =时，min 12()7n n+= 所以7λ≤ 故答案为：713．（2022·天津市新华中学高三期末）在数列{}n a 中，()71()8nn a n =+，则数列{}n a 中的最大项的n =________ . 【答案】6或7【分析】利用作商法判断数列的单调性即可求出其最大项. 【详解】()71()08nn a n =+>，令()()1172()27817181()8n n n n n a n a n n ++++==⨯≥++，解得6n ≤，即6n ≤时，1n n a a +≥，当6n >时，1n n a a +<，所以6a 或7a 最大，所以6n =或7. 故答案为：6或7.14．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，若a 1＝32，an ＋2an ＋1＝0，则Sn －1n S 的最大值与最小值的积为________. 【答案】－3572【分析】先计算出公比，求出Sn ，分奇偶性讨论得出Sn －1nS 的最大值与最小值，即可求解. 【详解】因为an ＋2an ＋1＝0，所以112n n a a +=-，所以等比数列{an }的公比为12-，因为a 1＝32，所以Sn ＝31122111212nn ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭.①当n 为奇数时，Sn ＝112n⎛⎫+ ⎪⎝⎭，Sn 随着n 的增大而减小，则1＜Sn ≤S 1＝32，又Sn －1n S 随着Sn 的增大而增大，故0＜Sn －1n S ≤56； ②当n 为偶数时，Sn ＝112n⎛⎫- ⎪⎝⎭，Sn 随着n 的增大而增大，则34＝S 2≤Sn ＜1，又Sn －1n S 随着Sn 的增大而增大，故712-≤Sn －1n S ＜0.综上，Sn －1n S 的最大值与最小值分别为56，712-.故Sn －1n S 的最大值与最小值的积为567351272⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭. 故答案为：－3572. 15．（2022·河南·模拟预测（文））已知数列{}()*n a n N ∈满足11,2,n n n n a n α-+⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则21n n n a a a ++的最大值为________．【答案】43【分析】令21n n n n a b a a ++=，n 分为奇偶性，分别求出21n n n a a a ++，通过判断{}n b 的单调性可求出其最大值【详解】令21n n n n a b a a ++=，当n 为奇数时，21112222n n n a nn n a n n b a a n n ++++++===⋅⋅，因为32214(4)(2)2124(2)2n n n n n b n n n n b n n ++++++⋅==<++⋅，所以2n n b b +<，所以当n 为奇数时，数列{}n b 为递减数列，所以当n 为奇数时，1b 最大，134b =，当n 为偶数时，11122112242(1)2(1)1n n a n n n a n n n a b a a n n n +-+++++====⋅+++，当n 增大时，n b 在减小，所以n 为偶数时，2b 最大，243b =，因为4334>，所以数列{}n b 的最大值为43，故答案为：4316．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列4021n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的首项为1，公差为1，则2n n S S -的最大值为__________. 【答案】656【分析】由题意求出n n a S 和，再求出2n S ，令2n n n M S S =-，求出n M 的单调性即可求出n M 的最大值. 【详解】由题意知4021n n a =+，则2012n a n =-，则111201232n nS n ⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭， 2111201232n S n n ⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭，令2111201222n n n nM S S n n n ⎛⎫=-=+++-⎪++⎝⎭，则111111112020232221222n n n n M M n n n n n n +⎡+⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+++--+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()111111120120202122122122221222n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=--=- ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭. 由*n ∈N ，易得当2n ≤时，12010562n n M M +-≥->⨯，所以321M M M >>；当3n ≥时，12010782n n M M +-≤-<⨯，所以345M M M >>>…，故n M 的最大值为31113652045626M ⎛⎫=⨯++-= ⎪⎝⎭，即当3n =时，2n n S S -取得最大值，为656. 故答案为 :656. 四、解答题17．（2022·湖北·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项之积．．为n b ，且()2*12122n n a a a n n n N b b b +++⋅⋅⋅+=∈． (1)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭和{}n a 的通项公式；(2)求()12212n n n n n f n b b b b b ++-=+++⋅⋅⋅++的最大值．【答案】(1)()*nn a n n N b =∈，1n n a n =+(2)56 【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥即项与和的关系方法求得nna b ，再利用1(2)n n n b a b n -=≥求得n a ；（2）再由定义求得n b ，并利用作差法得出()f n 是递减的，从而易得最大值．(1)∵212122n n a a a n n b b b +++⋅⋅⋅+=①，∴()()21121211212n n n n a a an b b b --+-++⋅⋅⋅+=≥-②，由①②可得()2n n a n n b =≥，由①111ab =也满足上式，∴()*n n a n n N b =∈③， ∴()1112n n a n n b --=-≥④，由③④可得()1121n n n n a b n n b a n --=≥-，即()1121n nn a n -=≥-，∴()112n n a n n --=≥，∴1n n a n =+． (2)由（1）可知1n na n =+，则121212311n n n b a a a n n =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++，记()121111221n n n f n b b b n n n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++， ∴()11112323f n n n n +=++⋅⋅⋅++++， ∴()()1111110222312322f n f n n n n n n +-=+-=-<+++++， ∴()()1f n f n +<，即()f n 单调递减， ∴()f n 的最大值为()121151236f b b =+=+=． 18．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足()*N n n a S n -=∈321.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记()()n n n n n b n n a ⎧⎪-+⎪=⎨⎪⎪⎩12123，为奇数，为偶数，数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，若不等式()n n n n n T n λ⎛⎫-<+⋅-⎪+⎝⎭2241132941对一切*N n ∈恒成立,求λ的取值范围. 【答案】(1)13-=n n a (2)⎛⎫- ⎪⎝⎭3546，.【分析】（1）利用n a 与n S 的关系即可求解；（2）根据裂项相消法和错位相减法求出数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，再将不等式的恒成立问题转化为求最值问题即可求解.(1)由题意,当1n = 时，1113211a a a -=⇒=, 当2n ≥ 时， 11321n n a S ---=，所以()n n n n a a S S -----=113320，即 13n n a a -=，∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，11133n n n a --∴=⨯=故数列{}n a 的通项公式为13-=n n a . (2)()()12123n n n n n b n n a ⎧⎪-+⎪=⎨⎪⎪⎩，为奇数，为偶数，由 (1)，得当n 为偶数时，13n n n n nb a -==，当n 为奇数时， 11142123n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，设数列{}n b 的前2n 项中奇数项的和为n A ，所以n nA n n n ⎛⎫=-+-+⋯+-=⎪-++⎝⎭11111114559434141，设数列{}n b 的前2n 项中偶数项的和为n B ，n n B n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1321111242333①n n B n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭352111112429333②，由-①②两，得()n n n n n n B n ++-⎛⨯⎫⎛⎫=⨯+⋯-⎛⎫=-⨯ ⎪++-⎪⎝⎭⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-21211321111139281111229332331319，整理得()nn n B +⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭38927132329，故，()nn n n n n T A B n +⎛⎫=+=+-⋅ ⎪+⎝⎭23892714132329，n nn n n T n ⎛⎫⎛⎫∴+⋅-=-⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭2241272713294132329.∴ 不等式()nnn n n T n λ⎛⎫-<+⋅-⎪+⎝⎭2241132941对一切*N n ∈恒成立, 即不等式()nnλ⎛⎫-<-⋅ ⎪⎝⎭27271132329对一切*N n ∈恒成立,()xf x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭2727132329在R 上是单调增所以，易知n⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⋅⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭2727132329在*N n ∈上为递增数列，∴ 当n 为偶数时，λ⎛⎫<-⋅ ⎪⎝=⎭2272713232956，当n 为奇数时, λ-<-⨯=272713232934，解得34λ>-，所以λ的取值范围为⎛⎫- ⎪⎝⎭3546，.19．（2022·天津·高三专题练习）设数列{}n a 的前n 项和2n n S a n =-． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若22log 13nn b a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，求n b 的前n 项和n T 取最小值时n 的值； (3)证明：1214.9ni i a =<∑【答案】(1)21nn a =-(2)5或6(3)证明见解析【分析】（1）利用递推关系，当2n ≥时，()1121n n S a n --=--，两式相减得121n n a a -=+，再用构造法得：1121n n a a -+=+，即可求出{}n a 的通项公式；（2）先求出{}n b 的通项公式，由二次函数求最值即可求出答案.（3）对21141i i a =-进行放缩得：()111111111()14144134444i i i i i ----=<=⨯--⎛⎫- ⎪⎝⎭，再求111()34i -⨯的前n 项和即可证明此题.()1因为2n n S a n =-，①1n =时，1121S a =-，11;a =2n ≥时，()1121n n S a n --=--②①-②得121n n a a -=+，所以1121n n a a -+=+，112a +=，所以数列{}1n a +是2为首项，2为公比的等比数列，故1221;n nn n a a +=∴=-(2)2222226log 13log 2113log 23322n nn n b n n a n ⎛⎫⎛⎫-=+-=-+-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()62n n n b -=，于是当15n <<时，0n b <；60b =；当6n >时，0n b >.所以当5n =或6时，n T 取最小值. (3)()12111112211111111111111441434()()()1121414413434994914444n nni n i i i i i i i i i i a a ----==-⎛⎫- ⎪⎝⎭===<=⨯<⨯==-<---⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑∑，．故1214.9ni i a =<∑20．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列{}n a 的首项10a =，()134N n n a a n n *+=+∈. (1)证明：数列{}21n a n ++是等比数列； (2)求数列{}100n a -的前n 项和n S 的最小值. 【答案】(1)证明见解析(2)304-【分析】（1）由已知等式变形得出()()1211321n n a n a n ++++=++，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）分析数列{}n b 的单调性，确定{}n b 的符号，由此可求得n S 的最小值.(1)解：因为()134N n n a a n n *+=+∈，则()()1211321n n a n a n ++++=++，且133a +=，所以，数列{}21n a n ++是以3为首项，3为公比的等比数列. (2)解：由（1）知，121333n n n a n -++=⋅=，则321n n a n =--.所以，10032101nn n b a n =-=--，所以，113322320n n nn n b b ++-=--=⋅->，故数列{}n b 为递增数列，1100b =-，296b =-，380b =-，428b =-，5132b =，，故当14n ≤≤时，0n b <；当5n ≥时，0n b >. 所以，n S 的最小值为4304S =-.21．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：()*21N n na S n n=+∈ (1)求证：数列{}n a 为等差数列； (2)若25a =，令1n nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式()122455n n T T m m +-≤-对任意*N n ∈恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)(,2][7,)m ∈-∞-⋃+∞.【分析】（1）利用,n n a S 关系可得1(2)(1)1n n n a n a --=--，即有1(1)1n n n a na +-=-，将两式相减并整理有112n n n a a a +-+=，即可证结论.（2）由（1）结论及题设可得143n b n =-，令21n n n c T T +=-、1231n n n c T T +++-=，应用作差法比较它们的大小，即可确定21}{n n T T +-的单调性并求其最大值，结合恒成立求m 的取值范围． (1)由题设，(1)2n n n a S +=，则11(1)(1)2n n n a S ---+=(2)n ≥，所以111(1)(1)(1)(1)1222n n n n n n n n a n a na n a a S S ---+-+--+=-=-=，整理得1(2)(1)1n n n a n a --=--，则1(1)1n n n a na +-=-，所以11(1)(2)1(1)1n n n n n a n a na n a +----=---+，即11(1)()2(1)n n n n a a n a +--+=-，10n -≠，所以112n n n a a a +-+=，故数列{}n a 为等差数列，得证.(2)由1121S a =+，可得11a =，又25a =，结合（1）结论知：公差214d a a =-=，所以43n a n =-，故1143n n b a n ==-，则21111 (414581)n n n n n T n c T +-=++++++=，所以123111111...4549818589n n n n n c T T n n n +++-=+++++++=+++，且*N n ∈，所以111140310858941(41)(85)(89)n n c c n n n n n n n +++-=-<++++++-=，即1n n c c +<，所以，在[1,)n ∈+∞且*N n ∈上21n n T T +-递减，则max 32111114)594(5n n T T T T +-=-=+=，要使()122455n n T T m m +-≤-对任意*N n ∈恒成立，即2514(7)(2)0m m m m --=-+≥，所以(,2][7,)m ∈-∞-⋃+∞. 题型二：不等法求数列最值一、单选题1．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知曲线()23e xy x x =+在点()0,0处的切线为l ，数列{}n a 的首项为1，点()()1,n n a a n N *+∈为切线l 上一点，则数列6nna ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中的最小项为（）A ．623-B ．523-C ．613-D ．613 【答案】C【分析】首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，则13n n a a +=，从而求出{}n a 的通项公式，再构造不等式组求出数列6n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中的最小项；【详解】因为()23e x y x x =+，所以()()()22321e 3e 3e 31x x xx x x x y x =+++++'=，所以曲线()23e xy x x =+在点()0,0处的切线的斜率03x k y ='==.所以切线l 的方程为3y x =. 所以13n n a a +=.所以数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列. 所以1663n n n na ---=. 所以由11265336733n nn n n nn n-----⎧≤⎪⎪⎨--⎪≤⎪⎩，解得131522n ≤≤.因为n *∈N ，所以7n =.所以数列6n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中的最小项为6667133-=-.故选：C.2．（2021·辽宁·建平县实验中学高三阶段练习）已知数列{}n a 满足14a =，*1144(2,N )n n n a a n n a ---=≥∈，若124(6)na n nb na -=⋅-，且存在*N n ∈，使得2460n b m m +-≥成立，则实数m 的取值范围是（） A．⎣⎦ B．1⎡⎣C ．10,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据题意，令12n n c a =-，进而证明数列{}n c 是以12-为首项，12-为公差的等差数列，故可得22n n a n+=，242n nn b -=，在结合题意将问题转化为()2max 460n b m m +-≥，再求数列{}n b 的最大值代入解一元二次不等式即可得答案. 【详解】()*11442,n n n a a n n a ---=∈N ，()()*11412,n n n a a a n n --∴=-∈N ．令12n nc a =-， 111111122422n n n n n n n n n n a a c c a a a a a a ------∴-=-=----+ ()11142241n n n n n a a a a a ----==--+-()*1112,222n n n n a a n n a a ---=-≥∈-N ，又111122c a ==--， ∴数列{}n c 是以12-为首项，12-为公差的等差数列，11(1)222n n c n ∴=---=-，即122n n a =--， 22n n a n +∴=，()1224462na n n nn b na --∴=⋅-= ∵存在*n ∈N ，使得2460n b m m +-≥成立，()2max 460n b m m ∴+-．令11,,n n n n b b b b -+≥⎧⎨≥⎩得112426,222422,22n n nn n n n n -+--⎧≥⎪⎪⎨--⎪≥⎪⎩则34n ≤≤，*n ∈N ，3n ∴=或4n =．()34max 14n b b b ∴===， 2160m m ∴+-≥，即2610m m --≤，解得1132m -≤≤，∴实数m 的取值范围是11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：D ．3．（2021·浙江·高三期中）已知数列{}n a 满足11a =，)*1n a n N +=∈，则（） A ．2021512a <，根据3311n n a a +->，利用累加法可得n a 2211n n na a a +-=，利用累加法计算化简可得13132n an +<n a <2021n =计算即可.【详解】解：显然，对任意*n N ∈，0n a >．1n a +=化简可得22110n n na a a +-=>，所以1n n a a +>，则()3322111nn n n n a a a a a ++->-=，累加可得3311n a a n->-，所以n a又2211n n n a a a +-=，所以()1221311122n n n n n na a a a a a n ++-=<<+，则()()()111121n n n n n a a a a a a a a ++--=-+-++-()()2222223333331111131112221311332n n n n ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥<+++=++++⎢⎥⎢⎥--⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，注意到()()()()11332211233333111311k k k k k k kk k --<=--+-+-，所以()1133222333311113311222231331n n n n ⎡⎤⎛⎫⎢⎥+++<+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭-⨯⎢⎥⎣⎦，则13132n a n +<，所以13132n n a a n +<<n a <当2021n =n a <<1219n a <<. 故选：B4．（2020·江西·鹰潭一中高三期中（文））数列{}n a 通项公式为：2202122021n n a n +=--，则{}n a 中的最大项为（）A ．第1项B ．第1010项C ．第1011项D ．第1012项【答案】B【分析】数列{}n a 的通项公式为2202122021n n a n +=--，所以0n a >．由1111nn n n a a a a -+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得1010n =，从而求得结果.【详解】解：依题意，数列{}n a 的通项公式为2202122021n n a n +=--，所以0n a >．由1111nn n n a a a a -+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，即220212202112201922023n n n n +--+--且220232201912202122021n n n n +--+--，n Z ∈，解得1010n =，故最大项为第1010项，故选：B ．二、多选题5．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an }中，an ＝(n ＋1)7()8n ，则数列{an }中的最大项可以是（）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项【答案】AB【分析】假设an 最大，则有11,,n n n n a a a a +-≥⎧⎨≥⎩解不等式组，可求出n 的范围，从而可得答案【详解】假设an 最大，则有11,,n n n n a a a a +-≥⎧⎨≥⎩即177(1)()(2)()88n n n n +++≥且177(1)()()88n n n n -+≥，所以7(1)(2)()87(1)()8n n n n⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，即6≤n ≤7，所以最大项为第6项和第7项．故选：AB6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足()*,01n n a n k n N k =⋅∈<<，下列命题正确的有（）A ．当12k =时，数列{}n a 为递减数列 B ．当45k =时，数列{}n a 一定有最大项 C ．当102k <<时，数列{}n a 为递减数列 D ．当1kk-为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项【答案】BCD 【分析】分别代入12k =和45k =计算判断AB 选项；再利用放缩法计算判断C 选项；按k 的范围分类，可判断D ；【详解】当12k =时，1212a a ==，知A 错误；当45k =时，1415n n a n a n ++=⋅，当4n <，11n n a a +>，4n >，11n n a a +<，所以可判断{}n a 一定有最大项，B 正确；当102k <<时，11112n n a n n k a n n +++=<≤，所以数列{}n a 为递减数列，C 正确；当1k k -为正整数时，112k >≥，当12k =时，1234a a a a =>>>，当112k >>时，令*1k m N k =∈-，解得1mk m =+，则()()111n n m n a a m m ++=+，当n m =时，1n n a a +=，结合B ，数列{}n a 必有两项相等的最大项，故D 正确；故选：BCD.7．（2020·河北·沧州市民族中学高三阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，22n n n S a a =+，著不等式()4111n nn S ka +≥-对任意的*n N ∈恒成立，则下列结论正确的为（） A ．n a n = B ．()12n n n S +=C ．k 的最大值为232D ．k 的最小值为15-【答案】ABC【分析】先用两式相减的方法消去n S ，求出n a ，判断A 选项；再代入已知求出n S ，判断B 选项；然后将恒成立问题转化为最值问题，最后利用数列的单调性，求出最值即可判断C ，D 选项.【详解】依题意得当1n =时，21112a a a =+，由于20n a >，解得11a =；当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+，因此有：22112n n n n n a a a a a --=-+-；整理得：11n n a a --=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，公差1d =的等差数列，因此n a n =，故A 正确； ()12n n n S +=，故B 正确；由()4111n nn S ka +≥-得：()11221nn k n++≥-，令1122n c n n=++，则n 取2时，n c 取最小值，所以 ①当n 为偶数时，1123222n n ++≥，232k ∴≤， ②当n 为奇数时，1135223n n ++≥， 353k ∴-≤，353k ∴≥-，352332k ∴-≤≤故C 正确，D 错误.所以A 、B 、C 正确；D 错误. 故选：ABC【点睛】知识点点睛：（1）已知n S 求n a ，利用前n 项和n S 与通项公式n a 的关系()()1*112,n nn S n a S S n n N -⎧=⎪=⎨-≥∈⎪⎩，此时一定要注意分类讨论.（2）数列与不等式的恒成立问题常用构造函数的方式，通过函数的单调性、最值解决问题，注意n 只能取正整数. 三、填空题8．（2022·安徽亳州·高三期末（理））已知数列{}n a 满足14a =，()1222nn n a a n -=+≥，若不等式()2231n n n a λ--<-对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是___________.【答案】5,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】分析可知数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得n a ，由参变量分离法可得出2312n n λ-->，利用数列的单调性求得数列232n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项的值，可得出关于实数λ的不等式，进而可求得实数λ的取值范围.【详解】当2n ≥时，在等式122nn n a a -=+两边同时除以2n 可得11122n n n n a a ---=且122a =，故数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，以1为公差的等差数列，则2112n n a n n =+-=+，()12nna n ∴=+⋅，因为()()()2123231n a n n n n λ->--=-+对任意*n ∈N 恒成立，即2312nn λ-->，令232n n n b -=，则()()1111212232123522222n nn n n n n n n n nb b ++++-------=-==. 当12n ≤≤时，1n n b b +>，即123b b b <<；当3n ≥时， 1n n b b +<，即345>>>b b b .故数列{}n b 中的最大项为333328b ==，318λ∴->，解得58λ<. 故答案为：5,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.9．（2021·湖北·高三阶段练习）已知数列{}n a 的首项119a =-，其前n 项和为n S ，且满足()11(1)110n n n n n n a a a a +++-+=，则当n S 取得最小值时，n =___________.【答案】5【分析】首先根据()11(1)110n n n n n n a a a a +++-+=得到11111111n n a n a n ++=++，令111n n b a n=+得到2n b =，从而得到211n na n =-，再求当n S 取得最小值时n 的值即可.【详解】由题意，()11(1)110n n n n n n a a a a +++-+=可得111111111(1)1n n a a n n n n +-==-++，11111111n n a n a n++=++. 令111n n b a n=+，则1n n b b +=，即{}n b 是常数列，所以111111112n n b b a n a =+==+=，故211n n a n =-. 当05n <≤时，0n a <；当6n ≥时，0n a >. 故当5n =时，n S 取得最小值. 故答案为：5 四、解答题10．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列{}n a 满足11a =，且()*123n a a a a n n N ⋅⋅⋅⋅⋅=∈⋅．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()11,221,1n nn a n n n b n n ⎧-⋅+≥⎪=⎨⨯⎪=⎩，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，若()32n S n λ≥-+恒成立，求λ的取值范围．【答案】(1)(),211,1n nn a n n ⎧≥⎪=-⎨⎪=⎩(2)23λ≥ 【分析】（1）当2n ≥时，有12211n n a a a a n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-，两式作商求得,21n na n n =≥-，进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）得到12n nn b +=，结合乘公比错位相减法求得111322nn n n S -+=--，进而求得()322n n n λ+≥+⋅，再根据()()322n n g n n +=+⋅的单调性，即可求解.(1)解：数列{}n a 满足11a =，且()*123n a a a a n n N ⋅⋅⋅⋅⋅=∈⋅，当2n ≥时，有12211n n a a a a n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-，两式作商，可得,21n na n n =≥-，又由11a =，得,211,1n nn a n n ⎧≥⎪=-⎨⎪=⎩. (2)解：当2n ≥时，()()111122n n nnn n n n b n -⋅++-==⋅，当1n =时，111212b a ===，所以对任意的*n N ∈，均有12nn n b +=，则12231222n nn S +=++⋅⋅⋅+，可得2312312222n n S n ++=++⋅⋅⋅+②，两式相减可得123111111421111131111122222222212n n n n n n n n n S n -+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+++⎢⎥⎣⎦=+++⋅⋅⋅+-=+-=---，求得111322n n n n S -+=--，由()32nS n λ≥-+，可得()322n n n λ+≥+⋅，令()()322n n g n n +=+⋅，则()()()()()()()124132********n n n g n n n n n g n n n ++++⋅++==<+++⋅，因为()0g n >，所以()()1g n g n +<，即随着n 增大，()g n 减小，所以()()max 213g n g λ≥==． 11．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足()*121224N 2n n n a a na n -+++=-∈， (1)求3a 的值；(2)求数列{}n a 前n 项和n T ； (3)令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+．【答案】(1)14；(2)1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)证明见解析.【分析】(1)根据已知条件，分别取n ＝1，2，3即可依次算出123,,a a a ； (2)用作差法求出{}n a 的通项公式，再求其前n 项和； (3)求123,,S S S ，猜想n S ，用数学归纳法证明n S ；用导数证明()ln 1(0)1x x x x<+>+，令1x n =，得11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，用这个不等式对n S 放缩即可得证. (1)依题()()312312312132223323244224a a a a a a --++⎛⎫=++-+=---= ⎪⎝⎭，314a ∴=； (2)依题当2n ≥时，()()121211212122144222n n n n n n n n nna a a na a a n a ----++⎛⎫⎡⎤=++-++-=---= ⎪⎣⎦⎝⎭， 112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又1012412a +=-=也适合此式， 112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，∴数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，故1111221212nn n T -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-； (3)111b a ==，1111S b T ∴==⨯，1221122T b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ()1212121221111112222T S S b T a T a T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2323232331111111111123232323T S S b T a T a T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，猜想：1112n n S T n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭① 下面用数学归纳法证明： (i)当n ＝1，2时，已证明①成立；(ii)假设当n k =时，①成立，即1112k k S T k ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.从而1111111112121k k k k k k T S S b T a k k k +++⎛⎫⎛⎫=+=++++++++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()111121kk T a k +⎛⎫=++++ ⎪+⎝⎭111121k T k +⎛⎫=+++⎪+⎝⎭. 故①成立. 先证不等式()ln 1(0)1xx x x<+>+ ② 令()()ln 11xg x x x=+-+，则()22110(0)1(1)(1)x g x x x x x '=-=>>+++.。

微专题数列的单调性、最值和周期性

反思感悟
要判断一个数列是否具有周期性或求一个数列的周期，主要方法便是求出该数列的前几项，通过观察得到，或者由递推公式发现规律.
分析通项(或递推)公式，多求出几项，找到规律.
一、数列单调性的判断
1－2x 例 1 已知函数 f(x)＝ x＋1 (x≥1)，构造数列 an＝f(n)(n∈N*).试判断数列的单调性.
解 f(x)＝1x－＋21x＝－2＋x＋3 1. 方法一 ∵an＝－2＋n＋3 1(n∈N*)，an＋1＝－2＋n＋3 2， ∴an＋1－an＝n＋3 2－n＋3 1＝3nn＋＋11－nn＋－22＝n＋1－3n＋2<0. ∴an＋1<an. ∴数列{an}是递减数列. 方法二设x1>x2≥1，则 f(x1)－f(x2)＝－2＋x1＋3 1－－2＋x2＋3 1 ＝x1＋3 1－x2＋3 1
例 3 已知数列{an}的通项公式为 an＝n97n＋1，n∈N*，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由.
解方法一 ∵an＋1－an＝(n＋1)·97n＋2－n·79n＋1＝79n＋1·7－92n，且 n∈N*， ∴当n>3，n∈N*时，an＋1－an<0；当1≤n≤3，n∈N*时，an＋1－an>0. 综上，可知{an}在n∈{1,2,3}时，单调递增；在n∈{4,5,6,7，…}时，单调递减. ∴存在最大项.
又 a3＝3×793＋1<a4＝4×794＋1，∴第 4 项为最大项. 方法二假设an是数列中的最大项，则有aann≥ ≥aann＋－11，， n≥2.
即n·79n＋1≥n＋1·79n＋2， n79n＋1≥n－179n，
∴nn≥≤7292，，
又∵n∈N*，故 n＝4.

数列的单调性的判断及应用

数列的单调性的判断及应用数列是指按照一定规律排列的一组数，而数列的单调性是数列中数的变化趋势的性质之一。

数列的单调性有两种情况，即单调递增和单调递减。

首先，我们来讨论单调递增的数列。

如果一个数列中的每一项都比它的前一项大（即a(n) > a(n-1)），那么这个数列就是递增的。

例如，1，2，3，4，5就是一个递增数列。

递增数列具有以下性质：1. 递增数列中的任意一项都大于或等于等差数列的对应项。

例如，递增数列1，2，3，4，5中的第2项2大于等差数列1，1，1，1，1的对应项2。

2. 递增数列的前n项和大于对应等差数列的和。

例如，递增数列1，2，3，4，5的前3项和为6，而对应的等差数列的前3项和为3。

3. 递增数列的第n项大于等于对应等差数列的第n项。

例如，递增数列1，2，3，4，5的第3项为3，而对应等差数列的第3项为3。

而对于单调递减的数列，如果一个数列中的每一项都比它的前一项小（即a(n) < a(n-1)），那么这个数列就是递减的。

例如，5，4，3，2，1就是一个递减数列。

递减数列具有以下性质：1. 递减数列中的任意一项都小于或等于等差数列的对应项。

例如，递减数列5，4，3，2，1中的第2项4小于等差数列1，1，1，1，1的对应项4。

2. 递减数列的前n项和小于对应等差数列的和。

例如，递减数列5，4，3，2，1的前3项和为12，而对应的等差数列的前3项和为3。

3. 递减数列的第n项小于等于对应等差数列的第n项。

例如，递减数列5，4，3，2，1的第3项为3，而对应等差数列的第3项为3。

数列的单调性在实际问题当中有很多应用。

以下是数列单调性的几种常见应用：1. 证明极限存在性：如果一个数列是单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么根据单调有界性定理，这个数列一定有极限。

这个定理在数学分析和计算机科学中有实际应用，在证明函数的极限存在性、算法的收敛性等方面起到重要作用。

2. 优化问题：在一些最优化问题中，数列的单调性可以帮助我们找到最优解。

数列的概念、等差与等比数列(考点串讲)高二数学上学期期中考点(湘教版2019选择性必修第一册)

由题意可知{ }为等差数列，
则数列首项1 = 2，公差 = 3，
所以 = 1 + − 1 = 2 + − 1 × 3 = 3 − 1，
1 +
(3−1+2)
由求和公式有 =
=
= 222，解得 = 12，
2
2
故选：C．
题型剖析
题型七
等比数列的定义
1
3
【例8】已知数列{ }中，1 = ，+1 =
=
．
举一反三
【变式】已知等差数列的前项和为，且28 = 56，则12 + 13 + 14 + 15 +
16 + 17 =
．
【答案】12
【解析】由28 =
1 +28 ×28
2
= 56，得1 + 28 = 4，
则12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 = 3 1 + 28 = 12．
天飞行任务．运送“神十八”的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km，以
后每秒钟通过的路程都增加3km，在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序．则
从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（）秒．
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】C
【解析】设出每一秒钟的路程为数列{ }，
技巧点拨
求数列的最大项与最小项的常用方法
（1）函数法，将数列视为函数，即当 ∈ ∗ 时所对应的一列函数值，
根据的类型作出相应的函数图象或利用求函数最值的方法，求出
的最值，进而求出数列的最大（小）项.

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运用数列的单调性求最大（小）项
高飞
数列是一种特殊的函数，一种定义在正整数集（或其子集）上的函数，因此也具有单调性，可用函数的思想和方法去研究。

对于数列{}n a 而言，若1n n a a +<，则此数列为递增数列，若1n n a a +>，则其为递减数列，若1n n a a +=，则其为常数列，运用其单调性可求出一些常见数列的最值，下面举例说明。

一. 整式（一次，二次）函数为背景的数列
例1. 已知等差数列{}n a （d<0）其前n 项和为n S ，若179S S =，问{}n S 中哪一项最大？解：因为179S S =
0a a a 171110=+++∴
又因为1413151216111710a a a a a a a a +=+=+=+
0a a 1413=+∴，因为d<0
所以数列{}n a 单调递减，于是0a ,0a 1413<>
14S ∴最大
点评：等差数列中，当d<0时，⎩⎨⎧≤≥+0a 0
a 1k k 时，k S 最大。

公差⎩⎨⎧≥≤>+0a 0
a 0d 1
k k 时时，k S 最小。

二. 无理根式函数为背景的数列
例2. 设函数)1x 0(log log )x (f 2
x x
2<<-=数列{}n a 满足),2,1n (,n 2)2(f n a ==
（1）求n a 。

（2）求{}n a 的最小项解：（1）由已知n 2log 1log n
a n
a 22
22
=-
01na 2a ,n 2a 1a n 2
n n
n =--=-
∴ 解得1n n a 2n +±= 1x 0<< ，即12n a <
可知0a n <
1n n a 2n +-=∴
（2）1
n n 11n n a 2
2n ++-
=+-=
1)1n (1n 1n n 1
)1n (1n 1
a 2221n ++++<++++++-
=+
1n n a a +<∴，可知数列{}n a 是递增数列 n a ∴的最小项为21a 1-=
点评：注意隐含条件0a n <，否则会得出n 1n a a <+的错误结论，在（2）中用到了分子有理化技巧，这是根式运算常见的一种方法。

三. 以分式函数为背景的数列例 3. 已知)N n (98
n 97n a n *∈--=则在数列{}n a 的前30项中最大项和最小项分别是
_____。

解：98
n 9798198
n 97n a n --+
=--=
∴数列中的项是函数98
x 97981)x (f --+=上的一个个孤立点，而f(x)的图象是由
x
97
98y -=
右移98个单位再上移1个单位得到的，因此f(x)在)98,(-∞上是减函数。

在),98(+∞上也是减函数，从而可知当n=9时n a 最小，n=10时，n a 最大。

∴最大项和最小项分别为910a ,a 。

例4. 已知)N n (n
1
31211S n *∈++++
= ，记1n 1n 2n S S a ++-=，求数列{}n a 的最小值。

解：1
n 21
3n 12n 1S S a 1n 1n 2n ++
++++=-=++ ，则2
n 1
3n 211n 21a a n 1n +-
+++=
-+ 04
n 21
2n 212n 14n 212n 21>+-+=+-+++>
n 1n a a >∴+ {}n a ∴为递增数列
{}n a 中的最小项为3
1a 1=
四. 以函数)0a ,0x (x
a
x y >>+
=为背景的数列例5. 已知数列)N n (156
n n a 2
n *
∈+=，则该数列中的最大项是第几项？解：由156
n n
a 2n +=
得n
156n 1a n +=
联想函数)0x (x 156
x y >+=知函数在)156,0(上为减函数。

在),156(+∞为增函数。

当且仅当156x =时，函数取最小值，而*∈N n 。

要使n
156
n +
的值最小，应使]156[n =。

通过计算验证，可得n=12或13时，n a 最大。

1312a a =∴为数列{}n a 中的最大项。

五. 混合型数列（由一个等差数列和一个等比数列的对应项的积组成的数列称为<差比混合数列>）
例6. 已知无穷数列{}n a 的通项公式n
n n 10
)
1n (9a +=，试判断此数列是否有最大项，若有，求出第几项最大，若没有，说明理由。

解：n
n 1n 1n n 1
n 10)1n (910)2n (9a a +-+=-+++
1
n n 10)
n 8(9+-=
8n 1≤≤∴当时，n 1n a a >+，即8321a a a a <<<<
当n=8时，n 1n a a =+，即98a a =
当n>8时，n 1n a a <+，即 >>>11109a a a 由函数单调性知数列{}n a 存在最大项即第8，9项。

例7. 已知数列{}n a 的通项公式为n n na a =，其中),1[]2
1,0(a +∞∈ ，数列{}n a 中是否存在最大的项？若存在，指出是第几项最大；若不存在，请说明理由。

解：]a )a 1(n [a a )1n (na a a n 1n n 1n n --=+-=-++
（1）当1a ≥时，易见0a a 1n n <-+，即 <<<321a a a ，所以数列{}n a 中不存在最大项。

（2）当0<a<1时，易见)a
1a n (a )a 1(a a n 1n n --+=-+ （i ）当1a 1a 0<-<
，即2
1a 0<<时 0a a 1n n >-+，即 >>>321a a a ，所以数列{}n a 中的第1项1a 最大。

（ii ）当
1a 1a =-，即2
1
a =时，0a a 1n n ≥-+。

（仅在n=1时等式成立）即 >>>=4321a a a a
所以数列{}n a 中的第1项和第2项最大… （iii ）当1a 1a >-即21a >时，若
a
1a
-且为整数。

记
N a
1a
=-，易知 >>=<<++2N 1N N 1a a a a 所以数列{}n a 中的第N 项和第N+1项最大。

若
a 1a -不是整数，记N 为不超过a
1a -的最大整数。

易见 >>=<<++2N 1N N 1a a a a 所以数列{}n a 中的第N+1项最大。

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