运用数列的单调性求最大(小)项

运用数列的单调性求最大（小）项

高飞

数列是一种特殊的函数，一种定义在正整数集（或其子集）上的函数，因此也具有单调性，可用函数的思想和方法去研究。对于数列{}n a 而言，若1n n a a +<，则此数列为递增数列，若1n n a a +>，则其为递减数列，若1n n a a +=，则其为常数列，运用其单调性可求出一些常见数列的最值，下面举例说明。

一. 整式（一次，二次）函数为背景的数列

例1. 已知等差数列{}n a （d<0）其前n 项和为n S ，若179S S =，问{}n S 中哪一项最大？ 解：因为179S S =

0a a a 171110=+++∴

又因为1413151216111710a a a a a a a a +=+=+=+

0a a 1413=+∴，因为d<0

所以数列{}n a 单调递减，于是0a ,0a 1413<>

14S ∴最大

点评：等差数列中，当d<0时，⎩⎨⎧≤≥+0a 0

a 1k k 时，k S 最大。

公差⎩⎨⎧≥≤>+0a 0

a 0d 1

k k 时时，k S 最小。

二. 无理根式函数为背景的数列

例2. 设函数)1x 0(log log )x (f 2

x x

2<<-=数列{}n a 满足),2,1n (,n 2)2(f n a ==

（1）求n a 。 （2）求{}n a 的最小项 解：（1）由已知n 2log 1log n

a n

a 22

22

=-

01na 2a ,n 2a 1a n 2

n n

n =--=-

∴ 解得1n n a 2n +±= 1x 0<< ，即12n a <

可知0a n <

1n n a 2n +-=∴

（2）1

n n 11n n a 2

2n ++-

=+-=

1)1n (1n 1n n 1

)1n (1n 1

a 2221n ++++<++++++-

=+

1n n a a +<∴，可知数列{}n a 是递增数列 n a ∴的最小项为21a 1-=

点评：注意隐含条件0a n <，否则会得出n 1n a a <+的错误结论，在（2）中用到了分子有理化技巧，这是根式运算常见的一种方法。

三. 以分式函数为背景的数列 例 3. 已知)N n (98

n 97n a n *∈--=则在数列{}n a 的前30项中最大项和最小项分别是

_____。 解：98

n 9798198

n 97n a n --+

=--=

∴数列中的项是函数98

x 97981)x (f --+=上的一个个孤立点，而f(x)的图象是由

x

97

98y -=

右移98个单位再上移1个单位得到的，因此f(x)在)98,(-∞上是减函数。 在),98(+∞上也是减函数，从而可知当n=9时n a 最小，n=10时，n a 最大。

∴最大项和最小项分别为910a ,a 。

例4. 已知)N n (n

1

31211S n *∈++++

= ，记1n 1n 2n S S a ++-=，求数列{}n a 的最小值。

解：1

n 21

3n 12n 1S S a 1n 1n 2n ++

++++=-=++ ， 则2

n 1

3n 211n 21a a n 1n +-

+++=

-+ 04

n 21

2n 212n 14n 212n 21>+-+=+-+++>

n 1n a a >∴+ {}n a ∴为递增数列

{}n a 中的最小项为3

1a 1=

四. 以函数)0a ,0x (x

a

x y >>+

=为背景的数列 例5. 已知数列)N n (156

n n a 2

n *

∈+=，则该数列中的最大项是第几项？ 解：由156

n n

a 2n +=

得n

156n 1a n +=

联想函数)0x (x 156

x y >+=知函数在)156,0(上为减函数。在),156(+∞为增函数。

当且仅当156x =时，函数取最小值，而*∈N n 。 要使n

156

n +

的值最小，应使]156[n =。 通过计算验证，可得n=12或13时，n a 最大。

1312a a =∴为数列{}n a 中的最大项。

五. 混合型数列（由一个等差数列和一个等比数列的对应项的积组成的数列称为<差比混合数列>）

例6. 已知无穷数列{}n a 的通项公式n

n n 10

)

1n (9a +=，试判断此数列是否有最大项，若有，求出第几项最大，若没有，说明理由。

解：n

n 1n 1n n 1

n 10)1n (910)2n (9a a +-+=-+++

1

n n 10)

n 8(9+-=

8n 1≤≤∴当时，n 1n a a >+，即8321a a a a <<<<

当n=8时，n 1n a a =+，即98a a =

当n>8时，n 1n a a <+，即 >>>11109a a a 由函数单调性知数列{}n a 存在最大项即第8，9项。

例7. 已知数列{}n a 的通项公式为n n na a =，其中),1[]2

1,0(a +∞∈ ，数列{}n a 中是否存在最大的项？若存在，指出是第几项最大；若不存在，请说明理由。 解：]a )a 1(n [a a )1n (na a a n 1n n 1n n --=+-=-++