高三数学一轮复习-第七章-不等式、推理与证明第四节-基本不等式及其应用PPT课件

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(2)显然a≠2，当a>2时，a－2>0， ∴a－4 2＋a＝a－4 2＋(a－2)＋2 ≥2 a－4 2·a－2＋2＝6， 当且仅当a－4 2＝a－2，即a＝4时取等号，
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当a<2时，a－2<0，
∴a－4 2＋a＝a－4 2＋(a－2)＋2
＝－[2－4 a＋(2－a)]＋2
≤－2 2－4 a·2－a＋2＝－2，
B．y＝2xx22＋＋32(x∈R)
C．y＝ex＋4e－x
D．y＝sinx＋si4nx(0<x<π)
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解析：对于 A，当 x<0 时，最小值不存在且 y<0； B 中 y＝2xx22＋＋32＝2( x21＋2＋ x2＋2)≥4，当且仅当 x2＋2 ＝1 时等号成立，这样的实数 x 不存在，故 y＝2xx22＋＋32(x∈R)取 不到最小值 4； 同理对于 D，等号成立的条件为 sin2x＝4，这也是不可能的； 只有 C，y＝ex＋4e－x≥4，当且仅当 ex＝2，即 x＝ln2 时等号
成•答立，案函：数C有最小值 4.
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4．若a>b>1，P＝
lga·lgb
，Q＝
1 2
(lga＋lgb)，R＝lg
a＋b 2
，
则P，Q，R的大小关系为________．
解析：∵a>b>1，∴a＋2 b> ab，∴lga＋2 b>12(lga＋lgb)，
又∵12(lga＋lgb)> lga·lgb，∴R>Q>P.
∴1a＋4b＝b＋ab4a＝a1b，
由1＝4a＋b≥2 4ab＝4 ab，得ab≤116，
∴a1b≥16，
•答∴案1a＋：4b1的6最小值为16.
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(1)设 0<x<2，求函数 y＝ x4－2x的最大值． (2)求a－4 2＋a 的取值范围． (3)已知 x>0，y>0，且 x＋y＝1，求3x＋4y的最小值．
•答案：R>Q>P
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5．若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2＋8x＋2y＋ 1＝0，则1a＋4b的最小值为________．
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解析：由x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0得(x＋4)2＋(y＋1)2＝16，
∴该圆的圆心坐标为(－4，－1)，
∴－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1，
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•【方法探究】 (1)在应用基本不等式求最值 时，要把握三个方面，即“一正——各项都是 正数；二定——和或积为定值；三相等——等号 能取得”，这三个方面缺一不可。
•(2)对于求分式型的函数最值题，常采用拆项 使分式的分子为常数，有些分式函数可以拆项 分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常 数)的形式，这种方法叫分离常数法．
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•1．基本不等式
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2．几个重要的不等式
1a2＋b2≥2aba，b∈R 几个重要的不等式23aab2＋≤2 ba2≥＋2ba＋22ab，2ba∈，Rb∈ R
4ba＋ab≥2a，b同号且不为零
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•3．算术平均数与几何平均数
a＋b 2
•设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为算术平均数
，几何平均数为，基本不等式可叙述为 ab ：两个正数的 几何平均数 不小于其
•答案：D
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2．已知f(x)＝x＋1x－2(x>0)，则f(x)有( )
A．最大值为0
B．最小值为0
C．最大值为2
D．最小值为2
解析：∵x>0，∴f(x)＝x＋1x－2≥2 x·1x－2＝0，
当且仅当x＝1x，即x＝1时，“＝”成立．
•答案：B
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3．下列函数中，y的最小值为4的是( )
A．y＝x＋4x
．
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•4．利用基本不等式求最值问题
•已知x>0，y>0，则：
•(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y有 最小值是2(简记：积定和最小)．
•(2)如果和x＋y是定值P，那么当且仅当 x＝y 时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
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•1．在利用基本不等式求最值时，应注意哪些 方面？
•第四节 基本不等式及其应用
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•点 击 考 纲
•1.了解基本不等式的证明过程．
•2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值的问 题.
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•关 注 热 点
•1.主要考查不等式的应用和不等式的证明．
•2.对基本不等式的考查多以选择题和填空题的 形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难 度也不会太大.
•提示：利用基本不等式求最值时，一定要注 意“一正、二定、三相等”．“一正”即公式 中a、b必须是正数，“二定”即必须有定值( 和为定值或积为定值)，“三相等”即公式中 的等号必须成立，必要时要合理拆分项或配凑 因式，以满足上述三个条件．
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•2．如何理解基本不等式中“当且仅当”的含 义？
提示：①当 a＝b 时，a＋2 b≥ ab取等号，
即 a＝b⇒a＋2 b＝ ab. ②仅当 a＝b 时，a＋2 b≥ ab取等号，
即a＋2 b＝ ab⇒a＝b.
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1．已知ab≠0，a，b∈R，则下列式子总能成立的是( )
A.ba＋ab≥2
B.ba＋ab≥－2
C.ba＋ab≤－2
D．|ba＋ab|≥2
解析：选项 A、B、C 中不能保证ba、ab为正．
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【思路导引】 消元转化 → 构造和或积为定值 → 利用基本不等式求最值 → 确定取得最值的条件
【解析】 (1)∵0<x<2，∴2－x>0， ∴y＝ x4－2x＝ 2· x2－x ≤ 2·x＋22－x＝ 2， 当且仅当x＝2－x即x＝1时取等号， ∴当x＝1时，函数y＝ x4－2x的最大值是 2.
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• (3)为了创造条件使用基本不等式，就需要对 式子进行恒等变形，运用基本不等式求最值的 焦点在于凑配“和”与“积”，并且在凑配过 程中就应考虑到等号成立的条件，另外，可利 用二次函数的配方法求最值．
•提醒：利用基本不等式求最值一定不能忽略 取等号的条件．
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1．(1)已知x>2，求x＋x－4 2的最小值；
当且仅当2－4 a＝2－a，即a＝0时取等号，
∴a－4 2＋a的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
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(3)∵x>0，y>0，且 x＋y＝1， ∴3x＋4y＝(3x＋4y)(x＋y) ＝7＋3xy＋4yx≥7＋2 3xy·4yx＝7＋4 3， 当且仅当3xy＝4yx，即 2x＝ 3y 时等号成立， ∴3x＋4y的最小值为 7＋4 3.