高考数学复习考点知识专题讲解课件8---函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性和周期性高考复习课件
1 x
思维启判迪断函数的奇偶性,应先检查定义域是 否关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x)之间是否 相等或相反.
解 (1) 1 x 0 1 x 1, 定义域关于原点对称. 1 x
又f (x) lg 1 x lg(1 x )1 1 x 1 x
函数f(x)在R上恒有f(x)=f(x+1)+f(x-1),且f(0)=1,f(1)=2,求f(2012)的值. 【解析】∵f(x)=f(x+1)+f(x-1), ∴f(x+1)=f(x+2)+f(x), ∴f(x+2)=-f(x-1), ∴f(x+3)=-f(x), ∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x), ∴f(x)是周期为6的周期函数. 又∵f(x+1)=f(x)-f(x-1),
(1)证明 ∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称. ∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x, ∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, ∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0. ∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. （2）解 设x,y为正实数， ∵f（x+y）=f（x）+f（y）， ∴f（x+y）-f（x）=f（y）. ∵x为正实数，f（x）<0, ∴f(x+y)-f(x)<0,
lg 1 x f (x), 1 x
故原函数是奇函数.
(2) 1 x ≥0且1-x≠0 -1≤x<1, 1 x
2.(2009·陕西文，10)定义在R上的偶函数f(x)，对
任意x1,x2∈［0,+∞)(x1≠x2)，有f (x2 ) f (x1) 0, x2 x1
高考一轮复习函数的奇偶性与周期性课件
常见周期函数的举例
正弦函数和余弦函数是常见的周期函 数。例如，y=sin(x)的最小正周期为 2π，y=cos(x)的最小正周期为2π。
函数y=sin(ax)和y=cos(ax)的周期为 2π/a，其中a是常数。
函数y=tan(x)也是周期函数，它的最 小正周期为π。
函数y=tan(ax)的周期为π/a，其中a 是常数。
举一反三
通过练习多种形式的题目， 提高对奇偶性和周期性问 题的应变能力。
反思提高
反思自己在解题过程中的 不足，针对性地加强薄弱 环节的训练。
THANKS.
02
与性
周期函数的定 义
周期函数的定义
如果存在一个非零常数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)， 则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期。
周期函数的定义还可以表述为
如果存在一个非零常数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，当x增加T时，函数 值重复出现，即f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期。
高考一复函数的奇 偶性与周期性件
• 函数奇偶性的定义与性质 • 函数周期性的定义与性质 • 奇偶性与周期性的应用 • 高考真题解析 • 复习建议与策略
函数奇偶性的定
01
与性
奇函数与偶函数的定 义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任 意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$， 则称$f(x)$为奇函数。
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任 意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$， 则称$f(x)$为偶函数。
奇偶函数的性 质
01
奇函数在原点有定义， 即$f(0)=0$。
函数的奇偶性与周期性课件-2025届高三数学一轮复习
，那么函数 且f（－x）＝
，那
定义
么函数f（x）就叫做奇函数
f（x）就叫做偶函数
图象
关于
y轴
对称
关于
原点
特征
提醒 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.
对称
目录
2.函数的周期性
（1）周期函数：设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对
每一个x∈D，都有x＋T∈D，且 f（x＋T）＝f（x） ，那么函数f（x）就叫做
函数f（x），可考虑列等式f（0）＝0求解.
目录
周期函数与图像相结合的问题
左加右减，f(x)向右平移1之后关于（1，0)对称
目录f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；如果函
数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（｜x｜）；
（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间
义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.
提醒 对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f（－x0）＝－f
（x0），不能判定函数f（x）是奇函数.
目录
｜解题技法｜
函数周期性的判定与应用
（1）判定：判断函数的周期只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）便可证明函数
是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题；
（2）应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性
质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.
在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）
高考数学复习考点知识与结论专题讲解8 函数的周期性
高考数学复习考点知识与结论专题讲解第8讲 函数的周期性通关一、周期概念理解1.定义:设()f x 的定义城为D ,若对x D ∀∈,存在一个非零常数T ,有()f x T +()f x =,则称函数()f x 是一个周期函数,称T 为()f x 的一个周期.2.若()f x 是一个周期函数,则()()f x T f x +=,那么(2)()f x T f x T +=+()f x =,即2T 也是()f x 的一个周期,进而可得(,0)kT k k ∈≠Z 也是()f x 的一个周期.3.最小正周期:若T 为()f x 的一个周期,(,0)kT k k ∈≠Z 也是()f x 的一个周期,则在某些周期函数中,往往存在周期中最小的正数,称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期,比如常值函数()f x C =就没有最小正周期.通关二、常见周期性结论结论一、()()(0)f x a f x a ±=≠型()()(0)()f x T f x T y f x ±=≠⇔=的周期为T .(,0)kT k k ∈≠Z 也是函数的周期.【例1】定义在R 上的函数()f x 满足:(6)()f x f x +=,当31x -<-…时,()f x =2(2)x -+;当13x -<…时,()f x x =,则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=（）A ．336B ．337C ．338D ．339【答案】C【解析】因为(6)()f x f x +=,当31x -<-…时,2()(2)f x x =-+;当13x -<…时,()f x x =, 所以(1)1,(2)2,(3)(3)1,(4)(2)0,(5)(1)f f f f f f f f ===-=-=-==-1,(6)(0)0f f =-==, 所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)1f f f f f f +++++=,因为(6)f x +()f x =,所以()f x 的周期为6, 所以(1)(2)(3)(2019)336(1)(2)(3)338f f f f f f f ++++=+++=.故选C .【变式】函数()f x 的定义域为R ,且()(3)f x f x =-,当20x -<…时,2()(1)f x x =+;当01x <…时,()21f x x =-+,则(1)(2)(3)(2018)f f f f ++++=（）A ．671B ．673C ．1343D ．1345【答案】D【解析】因为()(3)f x f x =-,所以(3)()f x f x +=,所以函数()f x 是周期为3的周期函数. 又当20x -<…时,2()(1)f x x =+;当01x <…时,()21f x x =-+, 所以(1)(2)(3)(2)(1)(0)1012f f f f f f ++=-+-+=++=,所以(f +(202)f ffff fff =⨯++++=⨯++134411345=+=.故选D .结论二、()()f x a f x +=-型()()()f x a f x y f x +=-⇔=的周期为2T a =.【例2】已知()f x 在R 上是奇函数,且满足(5)()f x f x +=-,当(0,5)x ∈时, 2()f x x x =-,则(2016)f =（）A ．12-B ．16-C ．20-D ．0【答案】A【解析】因为(5)()f x f x +=-,所以(10)(5)(),()f x f x f x f x +=-+=的周期为10, 因此(2016)(4)(4)(164)12f f f =-=-=--=-.故选A .【变式】设函数()f x 是定义在R 上的周期函数,且3()2f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,若(1)2f >-,3(2017)f m m =-,则实数m 的取值范围是（）A ．(1,3)B ．(,1)(0,3)-∞C ．(,1)(3,)-∞-+∞D ．(0,3)【答案】B【解析】因为3()2f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以3(3)()2f x fx f x ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭,即()(3)f x f x =+, 所以f (x )是周期为3的函数，所以f (2017)=f (1)=3m m -，又f (1)>-2，所以3m m -+>-2,所以223m m m--＜0,所以m (m +1)(m -3)<0,所以m <-1或0<m <3.故选B. 结论三、f (x +a )=f (x ±b )型f (x +a )=f (x -b ) ⇔y =f (x )的周期为T =a +b . f (x +a )=f (x +b ) ⇔y =f (x )的周期为T =b -a .【例3】已知函数f (x )的定义域为R ,当x <0时f (x )=x 3-1,当-1≤x ≤1时，f (-x )＝-f (x ),当x >12时，f (x -12)=f (x +12)，则f (6)=（）.A. 2B. 0C. -1D. -2【答案】A 【解析】因为当x >12时，f (x -12)=f (x +12) ⇒T =1，所以f (6)=f (1)=-f (-1)＝-(-1-1)=2.故选A. 【变式】已知f (x )是定义在R 上的函数，满足f (x )+f (-x )=0，f (x -1)=f (x +1)，当x ∈(0, 1)时，f (x )=-x 2+x ，则函数f (x )的最小值为（）A .14B. 14-C. 12-D.12【答案】B【解析】由f (x −1)=f (x +1)可得f (x )是周期为2的周期函数，所以只需要求出一个周期内的最值即可。
高考复习课件：函数的奇偶性与周期性
图像与原 若奇函数f(x)在原点有 0 点的关系 意义，则f(0)=__
2.周期性 (1)周期函数：若T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件： ①T≠0; f(x+T)=f(x) ②____________对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 最小的正数 ___________，那么这个___________就叫做它的最小正周期． (3)周期不唯一：若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期，则 nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期.
1.已知函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x+1)的图像的对称中 心是( ) （B）(-1,0) （C）(0,1) （D）(0,-1)
f(x)的图像关于点(0,0)对称，函数
y=f(x+1)的图像可由y=f(x)的图像向左平移1个单位得到，故
函数y=f(x+1)的图像的对称中心为（-1，0）.
此时x-2＜0,|x-2|-2=-x,≨ f x
2
lg 1 x 2 x
2
.
lg［1 x ］ lg 1 x 又≧ f x x x ≨函数f(x)为奇函数.
f x ,
(3)显然函数f(x)的定义域为：
(-≦，0)∪(0,+≦)，关于原点对称， ≧当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x =-x2-x=-f(x)；当x>0时,-x<0， 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x). 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立， ≨函数f(x)为奇函数.
【变式训练】（1）若函数f(x)=3x+3-x与 g(x)=3x-3-x的定义域
高考数学复习考点知识讲解课件8 函数的奇偶性、对称性与周期性
个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．
— 5—
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常用结论 1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区 间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则周期 T＝2a(a>0)． (2)若 f(x＋a)＝f1x，则周期 T＝2a(a>0)．
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果 奇函数 ∀x∈I，都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)__，关于___原__点_____对称
那么函数 f(x)就叫做奇函数
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2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任 何值时，都有__f(_x_＋__T_)_＝__f(_x_)__，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．
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基础知识夯实
01
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知识梳理
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果 偶函数 ∀x∈I，都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__f_(x_)，那 关于___y__轴_____对称
么函数 f(x)就叫做偶函数
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【数学】高考数学复习课件：函数的奇偶性与周期性
的积函数是____偶__函__数； v ②两个偶函数的和函数、积函数是__偶__函_数_；
v ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是
v _奇__函__数___． v (3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. v （4）若f(x)是偶函数，则f(x)=
v ∴f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－f(x＋3)＝ f(x)．
v 对于这种抽象函数周期问题，在推导 过程中应紧紧抓住题目中的已知关系 式，若能画出示意图，可利用图形先 试探，然后证明．
v 1.已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内
v 任意的x，满足f(x＋2)＝
若当
2<x<3时，f(x)＝x，则f(2007.5)＝ .
注意：当问题 比较抽象时，不妨作出符合 题 意的图形，让图 形来帮助“说 话 ”
(3)性质法判定 ①在定义域的公共部分内．两奇函数
之积(商)为偶函数；两偶函数之积(商)也 为偶函数；一奇一偶函数之积(商)为奇函 数(注意取商时分母不为零)；
②偶函数在区间(a，b)上递增(减)， 则在区间(-b，-a)上递减(增)；奇函数在区 间(a，b)与(-b，-a)上的增减性相同. （4）函数分类：奇函数、偶函数、非奇 非偶函数、既是奇函数又是偶函数
v 【答案】 C
v 4.(2009年山东高考)已知定义在R上的奇函数 f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是 增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8] 上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋ x2＋x3＋x4＝________.
v 【解析】 由已知，定义在R上的奇函 数f(x)图象一定过原点，又f(x)在[0,2] 区间上为增函数，所以方程f(x)＝m(m ＞0)在[0,2]区间上有且只有一个根， 不妨设为x1；∵f(x1)＝－f(－x1)＝－[ －f(－x1＋4)]＝f(－x1＋4)，∴－x1＋ 4∈[2,4]也是一个根，记为x2，∴x2＝ －x1＋4⇒x1＋x2＝4.
2025届高中数学一轮复习课件《函数的奇偶性、周期性》PPT
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第26页
已知函数奇偶性可以解决的几个问题 (1)求函数值：利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用函数奇偶性求出． (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x)＝0 得到关于参数的恒等 式，由系数的对等性得参数的方程(组)，进而得到参数的值． (4)画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区 间上的单调性．
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第27页
对点练 2(1)(2024·重庆一中月考)已知函数 f(x)＝ax3＋bsin x＋3，若 f(m)＝2，则 f(－m)
＝( )
A．4
B．5
C．7
D．－2
(2)已知函数 f(x)的图象为[－1,1]上连续不断的曲线，且 2 019f(－x)＝2 0119fx，f(x)在[0,1]
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第31页
(3)解：∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，且 f(x)是周期为 4 的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＋f(2 020)＋f(2 021)＝f(2 020)＋f(2 021)＝f(0)＋f(1) ＝1.
函数的奇偶性与周期性 课件(44张)
(1)定义法
判断函数奇偶性的方法
(4)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对
称．( )
(5)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)关于点(b,0)中心对 称．
(6)函数 f(x)为 R 上的奇函数，且 f(x＋2)＝f(x)，则 f(2 020)＝ 0.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√
(2)由1|x－－x22|>≠0， 2， 得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴ x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝lg1－－xx2.
又∵f(－x)＝lg[1－x－x2]＝－lg1－x x2＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数．
(3)显然函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对 称．
解析：D [因为函数 y＝ x的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对
称，所以函数 y＝ x为非奇非偶函数，排除 A 项；因为 y＝|sin x|为偶
函数，所以排除 B 项；因为 y＝cos x 为偶函数，所以排除 C 项；因
为 y＝f(x)＝ex－e－x，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，所以函数
(2)图象法
(3)性质法 ①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇” 是偶； ②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶” 是偶； ③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．
高一数学复习考点知识与题型专题讲解8---函数的概念与性质 解析版
高一数学复习考点知识与题型专题讲解函数的概念与性质知识网络重难点突破知识点一函数的概念与分段函数1．函数与映射的相关概念(1)函数与映射的概念函数映射两个集合A、B设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点． (2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域． (3)构成函数的三要素函数的三要素为定义域、值域、对应关系. (4)函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. ①解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；②列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； ③图象法：注意定义域对图象的影响.例1.（河南省金太阳2020年高一期中联考）若函数()1f x x +=，且()8f a =，则a =（ ） A.9 B.11 C.10 D.8 【答案】 A.【解析】法1（换元法）：令1t x =+，则1x t =-，所以()1f t t =-，即()1f x x =-.由()18f a a =-=，得9a =，故选A.法2（等价法）：由()8f a =，结合函数()1f x x +=，令等式右边8x =，代入19x +=，因为f 作用下的原象等价，故有19a x =+=，故选A.【变式训练1-1】、（2012·全国高一课时练习）设集合{|02}M x x =≤≤，{|02}N y y =≤≤，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．②【答案】C【解析】①图象不满足函数的定义域，不正确；②③满足函数的定义域以及函数的值域，正确；④不满足函数的定义，故选：C ．【变式训练1-2】、（2020·全国高一）已知函数(21)43(R)f x x x -=+∈，若()15f a =，则实数a 之值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】令21x a -=，则12a x +=，所以1()43252a f a a +=⨯+=+， 由2515a +=，解得5a =.故选：D ． 知识点二函数的三要素 1．函数的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： (1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R . (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}.(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R . (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞). (7)y ＝tan x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z . 2．函数的解析式(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y ＝f (x )的形式，可根据题目的条件转化为该形式.(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误. 3．函数的值域函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域： (1)一次函数y ＝kx ＋b (k 为常数且k ≠0)的值域为R . (2)反比例函数ky x=(k 为常数且k ≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)． (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数且a ≠0)，当a >0时，二次函数的值域为24[,)4ac b a -+∞； 当a <0时，二次函数的值域为24(,]4ac b a--∞. 求二次函数的值域时，应掌握配方法：2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++. (4)y ＝sin x 的值域为[−1,1]．例2.若函数()y f x =的定义域是[0，4]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[]0,8 B ．[]0,1)(1,8⋃C ．[]0,1)(1,2⋃D ．[]0,2【答案】C【解析】先根据抽象函数()y f x =的定义域，求出(2)f x 的定义域，结合分式，可得选项.因为()y f x =的定义域是[0，4]，所以024x ≤≤，即02x ≤≤；由于10x -≠，所以1x ≠，故选：C.【变式训练2-1】、（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）已知函数)(x f y =的定义域为),1[+∞，则函数xx f x g -+-=41)32()(的定义域为( )A ．]4,1[-B ．)4,1[-C ．]4,2[D ．)4,2[【答案】D【解析】由题意得⎩⎨⎧>-≥-04132x x ，解得42<≤x ；选D.例3．（2020·全国高一）设函数()(0)f x kx b k =+>，满足(())165f f x x =+，则()f x =（） A ．543x --B ．543x -C ．41xD ．41x +【答案】D【解析】由题意可知2[()]()165f f x k kx b b k x kb b x =++=++=+，所以21650k kb b k ⎧=⎪+=⎨⎪>⎩，解得：4k =，1b =，所以()41f x x =+.故选：D【变式训练3-1】.（2020·河北衡水中学调研）已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式．【答案】f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R )【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R )．例4．（2019·东台创新高级中学高三月考）函数y =的值域是 _____.【答案】[0,2]【解析】2404[0,2]x y ≤-=≤∴故答案为：[0,2]【变式训练4-1】、（成都七中2020年高一上期半期考试）已知函数()()f x x x m =-，m ∈R ，若()f x 在区间[]1,2上的最大值为3，则m =_______． 【答案】12m =． 【解析】()()f x x x m =-为二次函数，开口向上，对称轴为2mx =，在闭区间上的最值肯定在区间端点处取， 故讨论对称轴与区间中点的位置关系即可，①若322m ≤，即3m ≤时，()()max 2423f x f m ==-=，解得12m =满足题意； ②若322m >，即3m >时，()()max 113f x f m ==-=，解得2m =-舍综上所述，12m =．知识点三函数的单调性 1、函数的单调性(1)单调函数的定义图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2、函数的最值前提设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得()0f x M =（3）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≥；（4）存在0x I ∈，使得()0f x M =结论 M 为最大值 M 为最小值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 3、函数单调性的常用结论（1）若()(),f x g x 均为区间A 上的增(减)函数，则()()f x g x +也是区间A 上的增(减)函数； （2）若0k >，则()kf x 与()f x 的单调性相同；若0k <，则()kf x 与()f x 的单调性相反；（3）函数()()()0y f x f x =>在公共定义域内与()y f x =-，1()y f x =的单调性相反； （4）函数()()()0y f x f x =≥在公共定义域内与()y f x =的单调性相同；（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；（6）一些重要函数的单调性： ①1y x x=+的单调性：在(],1-∞-和[)1,+∞上单调递增，在()1,0-和()0,1上单调递减； ②by ax x=+（0a >，0b >）的单调性：在,⎛-∞ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和⎛ ⎝上单调递减． 例5.（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）下列函数在(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．2()f x x =B ．2()f x x=C ．()lg(2)f x x =-D ．()24f x x =-+【答案】 A ． 【解析】2()f x x =在(0,)+∞上为增函数，A 正确；2()f x x=在(0,)+∞上为减函数，B 错误； ()lg(2)f x x =-为在(2,)+∞上为增函数，C 错误；()24f x x =-+在(0,)+∞上为减函数，D 错误； 故选A ．【变式训练5-1】、（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）已知函数()(2)46,12,1x a x a x f x a x -+-⎧=⎨+>⎩≤满足对于任意的1x ，212()x x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B ． 【解析】根据题意，对于任意的1212,()x x x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->- 成立则函数()(2)46,12,1x a x a x f x a x -+-⎧=⎨+>⎩≤在R 上是增函数∴1201(2)1462a a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-⨯+-≤+⎩，解得52,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故选B ．【变式训练5-2】、.（河南省金太阳2020年高一期中联考）已知函数2()2mf x x x =-. （1）当1m =时，判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性，并用定义法加以证明.（2）已知二次函数()g x 满足(2)4()46g x g x x =++，(1)3g =-.若不等式()()g x f x >恒成立，求m 的取值范围. 【解析】（1）当1m =时，21()2f x x x=-在(0,)+∞上单调递减.证明如下： 设任取1x ，2(0,)x ∈+∞ ，不妨设120x x <<，则有()()2221211212212122222212121211()()2222x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+-=--+=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭由120x x <<，得210x x ->，21221220x x x x ++>，即12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，故()f x 在(0,)+∞上单调递减. （2）设()2()0g x ax bx c a =++≠，则2(2)42g x ax bx c =++，()24()4644446g x x ax b x c ++=++++，因此，由已知得 442463b b c ca b c +=⎧⎪+=⎨⎪++=-⎩，解得1a =，2b =-，2c =-，即2()22g x x x =--. 因此，()()2422()()222020m g x f x x x x x m x x x x>⇔-->-≠⇔<-≠， 而()24222111x x x -=--≥-，则1m <-， 综上，实数m 的取值范围为1m <-.知识点四函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义及图象特点（1）判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． （2）由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）．（3）若奇函数的定义域包括0，则()00f =． （4）若函数()f x 是偶函数，则()()()f x f x fx -==．（5）定义在(),-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：①函数()xxf x a a -=+为偶函数，函数()xxf x a a -=-为奇函数．②函数()2211x x x x x x a a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数． ③函数()1log 1a x f x x-=+（0a >且1a ≠）为奇函数． ④函数()(log a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数． 例6.（成都七中2020年高一上期半期考试）下列函数是偶函数的为（）A ．()33,0,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩B ．()1f x x x =-C ．())ln f x x =D ．()122x xf x =- 【答案】A ．【解析】由奇偶函数的定义得，令0x <，则0x ->，()()()33f x x x f x -=-=-=，故A 为偶函数； ()()111f x x x x f x x x x ⎛⎫-=--=-+=--=- ⎪-⎝⎭，故B 为奇函数； ())))()ln ln ln f x x x x f x -===-=-，故C 为奇函数； ()()111222222x x x x x x f x f x --⎛⎫-=-=-=--=- ⎪⎝⎭，故D 为奇函数；故选A. 【变式训练6-1】、（成都七中2020年高一上期半期考试）已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞+∞上的偶函数，当0x >时，()232f x ax ax =-+，（a ∈R ）. （1）求()f x 的函数解析式：（2）当1a =时，求满足不等式()21log f x >的实数x 的取值范围.【解析】（1）设0x <，0x ->，()232f x ax ax -=++，又∵()f x 为偶函数，()()f x f x -=， ∴()232f x ax ax =++.综上：()22302,2,03ax ax ax x x f x x a ⎧>⎪=-<++⎨+⎪⎩. （2）当1a =时，可知：0x >，()2232log 1x x -<+，原不等式等价于22320322x x x x -+>-+<⎧⎪⎨⎪⎩，解得()()0,12,3x ∈.同理可知：0x <，()2232log 1x x +<+.原不等式等价于22320322x x x x ++>++<⎧⎪⎨⎪⎩，解得()()1,03,2x ∈---.综上：实数x 的取值范围为()()()()3,21,00,12,3---.知识点五奇偶性与单调性的综合应用 例8.（河南省金太阳2020年高一期中联考）.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()2f x x =-．（1）求()()2f f -的值；（2）求()f x 在R 上的解析式．【答案】（1）0（2）()2,00,02,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩． 【解析】（1）∵()()220f f -==，∴()()()200f f f -==．（2）当0x =时，()00f =；当0x <时，0x ->，∴()()()2+2f x f x x x =--=---=，综上，()2,00,02,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩． 【变式训练5-1】、（2019·浙江湖州高一期中）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-.（1）设()()g x f x =，[]4,4x ∈-，求函数()g x 的值域；（2）当0m >时，若()3f m =，求实数m 的值.【答案】（1）[]4,4-；（2）1m =或3m =或2m =【解析】（1）设0x <时，则0x ->，()f x 为奇函数，且0x >时，2()4f x x x =-， ∴()()()()2244f x x x x x f x -=---=+=-，即2(4)=--f x x x .()00f =，∴()()224,00,04,0x x x g x f x x x x x ⎧--<⎪===⎨⎪->⎩，∴当40x -≤≤时，得()22()424g x x x x =--=-++关于2x =-对称，在[]4,2--上递增，在[)2,0-递减，∴()24g -=，()40g -=，得()04g x ≤≤；当04x <≤时，由奇函数关于原点对称，得()40g x -≤≤.∴()g x 的值域为[]4,4-；（2）由（1）知，()224,00,04,0x x x f x x x x x ⎧--<⎪==⎨⎪->⎩，∴0m >时，()224,044,4m m m f m m m m ⎧-+<≤⎪=⎨->⎪⎩，i ）当04m <≤时，令243m m -+=，解得13m m ==或；ii ）当4m >时，令24m m -=3，解得)22m m ==舍去综上：1m =或3m =或2m =。
高考数学第一轮基础复习 函数的奇偶性与周期性课件
又当 x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]， ∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数， ∴f(x)＝f(x－4)＝x2－6x＋8. 从而求得 x∈[2,4]时， f(x)＝x2－6x＋8.
(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝… ＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0.
• 2．分段函数(2)判断奇偶性画图判断更方便 直观．(3)中到(※)后，验证f(－x)＋f(x)＝0 更方便些．
(2010·广东理，3)若函数 f(x)＝3x＋3－x 与 g(x)＝3x －3－x 的定义域均为 R，则( )
A．f(x)与 g(x)均为偶函数 B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 C．f(x)与 g(x)均为奇函数 D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
解析：由fxx22－－fx1x1>0 知 f(x)在(－∞，0]上单调递增， 又 f(x)是偶函数，
故 f(x)在(0，＋∞]上单调递减， ∵3>2>1>0，∴f(3)<f(2)<f(1)． 又 f(x)为偶函数，∴f(3)<f(－2)<f(1)．
答案：f(3)<f(－2)<f(1)
已知函数 f(x)是以 2 为周期的偶函数，且当 x∈[0,1) 时，f(x)＝x2－1，则 f(2012)的值为________．
2．关于奇偶性的结论与注意事项 (1)函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在 函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义 的．显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性 的必要条件． (2)函数按奇偶性分类可分为：是奇函数不是偶函数、 是偶函数不是奇函数、既是奇函数也是偶函数、既不是 奇函数又不是偶函数．
高三总复习数学课件 函数的奇偶性与周期性
奇函数
2.函数的周期性
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取 周期函数 定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就
称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小 的正 最小正周期 数，那么这个 最小正数 就叫做f(x)的最小正周期
2．已知函数Biblioteka (x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝________. 答案：－52
3．(苏教版必修第一册P126·T5改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶 函数，那么a＋b 的值是________． 答案：13
4．(北师大版必修第二册P4·习题A组T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的 奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2 021)＝________.
函数的奇偶性与周期性
1.结合具体函数，了解奇、偶函数的概念和几何意义. 2.结合三角函数，了解函数周期性的概念和几何意义.
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－ 偶函数 x∈I，且 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)就叫做
关于 y轴对称
偶函数
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－ 奇函数 x∈I，且 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)就叫做 关于 原点 对称
解析：由题意知f(2 021)＝f(3×674－1)＝f(－1)，而f(－1)＝2f(10)＋3，所以 f(－1)＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3＝－2f(－1)＋3，即3f(－1)＝3，解得f(－1) ＝1，故f(2 021)＝1.
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偶性. 转化与化归思想的应用意识，题型以
3.了解函数周期性、最小正周期的含 选择、填空题为主，中等偏上难度.
义，会判断、应用简单函数的周期性.
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基础知识 自主学习
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2.周期性 (1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内 的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个 函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小 的正数，那么这 个 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期．
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新高考 大一轮复习 · 数学 方法二(图象法) 作出函数 f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数 f(x)为奇函数．
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(3)因为x42－≠x02，≥0， 所以－2≤x≤2 且 x≠0， 所以定义域关于原点对称． 又 f(－x)＝ 4－－x－2x2＝ 4x－2 x2， 所以 f(－x)＝f(x)．故函数 f(x)为偶函数．
(4)若 f(x＋a)＝－f1x，则函数的周期为 2a. (5)若 f(x＋a)＝fbx(b≠0)，则函数的周期为 2a.
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新高考 大一轮复习 · 数学 3．对称性的 3 个常用结论 (1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，即 f(a－x)＝f(a＋x)，则函数 y＝f(x)的图象关于直 线 x＝a 对称； (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象关 于直线 x＝a 对称； (3)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，即 f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数 y＝f(x)的图象关 于点(b,0)中心对称．
题型二 函数的奇偶性及其应用 例 2 (1)(2020·武汉十校联考)若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x) ＋g(x)＝ex，则 g(x)＝( )
A．ex－e－x C.12(e－x－ex)
B．12(ex＋e－x) D．12(ex－e－x)
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(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具 有相反的单调性． (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为 相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量 也互为相反数．
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解析：∵f(x)＋g(x)＝ex，① ∴f(－x)＋g(－x)＝e－x， 又 f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 所以 f(x)－g(x)＝e－x，② 由①②解得 g(x)＝ex－2e－x，故选 D. 答案：D
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(2)若 f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax 是偶函数，则 a＝________. 解析：函数 f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax 为偶函数，故 f(－x)＝f(x)，即 ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x ＋1)＋ax，化简得 lne13x＝2ax＝lne2ax，即e13x＝e2ax，整理得 e2ax＋3x＝1，所以 2ax＋ 3x＝0，解得 a＝－32. 答案：－32
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新高考 大一轮复习 · 数学 【思维升华】 (1)求解析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇 偶性构造关于 f(x)的方程(组)，从而得到 f(x)的解析式． (2)求函数解析式中参数的值 利用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x)＝0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的 对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值． (3)利用函数的奇偶性求值 首先判断函数解析式或解析式的一部分的奇偶性，然后结合已知条件通过化简、 转换求值．
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新高考 大一轮复习 · 数学
题型三 函数周期性的判断及应用
例 3 (1)函数 f(x)满足 f(x＋1)＝－f(x)，且当 0≤x≤1 时，f(x)＝2x(1－x)，则 f52的
值为( ) A.12
B．14
C．－14
D．－12
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解析：∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数 f(x)的周期为 2.∴f52 ＝f12＋2＝f12＝2×12×1－12＝12. 答案：A
高考数学复习考点知识 专题讲解
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§2.3 函数的奇偶性与周期性
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基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析
衡中作业
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最新考纲
考情分析
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含 以理解函数的奇偶性、会用函数的奇
义. 偶性为主，常与函数的单调性、周期
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2．周期性的 5 个常用结论 设函数 y＝f(x)，x∈R，a＞0. (1)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为 2a； (2)若 f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为 2a； (3)若 f(x＋a)＝f1x，则函数的周期为 2a；
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解析：由图象可知，当 0<x<2 时，f(x)>0；当 2<x≤5 时，f(x)<0，又 f(x)是奇函数， ∴当－2<x<0 时，f(x)<0，当－5≤x<－2 时，f(x)>0. 综上，f(x)<0 的解集为(－2,0)∪(2,5]． 答案：(－2,0)∪(2,5]
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x， 关于 y轴 偶函数
都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数 对称
一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x， 关于原点 奇函数
都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数 对称
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(2)已知函数 f(x)＝2x－x 1，g(x)＝2x，则下列结论正确的是(
)
A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数
B．h(x)＝f(x)＋g(x)是奇函数
C．h(x)＝f(x)g(x)是奇函数
D．h(x)＝f(x)g(x)是偶函数
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6 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋3)＝f(x)，且当 x∈0，32时，f(x)＝－x3， 则 f121＝________. 解析：由 f(x＋3)＝f(x)知函数 f(x)的周期为 3， 又函数 f(x)为奇函数， 所以 f121＝f－12＝－f12＝123＝18. 答案：18
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新高考 大一轮复习 · 数学 题组三 易错排查
5．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b 的值是( )
A．－13
B．13
C．12
D．－12
解析：∵f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝13.
又 f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝13. 答案：B
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题组二 教材改编 2．已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝x(1＋x)，则 f(－1) ＝________. 解析：f(1)＝1×2＝2，又 f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝－2. 答案：－2
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跟踪训练 1 (1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( )
A．f(x)＝x＋sin2x
B．f(x)＝x2－cosx
C．f(x)＝3x－31x
D．f(x)＝x2＋tanx
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解析：对于选项 A，函数的定义域为 R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝ －f(x)，所以 f(x)＝x＋sin2x 为奇函数；对于选项 B，函数的定义域为 R，f(－x)＝ (－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，所以 f(x)＝x2－cosx 为偶函数；对于选项 C，函 数的定义域为 R，f(－x)＝3－x－31x＝－3x－31x＝－f(x)，所以 f(x)＝3x－31x为奇函数； 只有 f(x)＝x2＋tanx 既不是奇函数也不是偶函数．故选 D. 答案：D
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解：(1)因为 f(x)有意义，则满足11－ ＋xx≥0， 所以－1＜x≤1， 所以 f(x)的定义域不关于原点对称， 所以 f(x)为非奇非偶函数．
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(2)方法一(定义法) 当 x＞0 时，f(x)＝－x2＋2x＋1， －x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)； 当 x＜0 时，f(x)＝x2＋2x－1， －x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)． 所以 f(x)为奇函数．
3 ． 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 函 数 ， 当 x ∈ [ － 1,1) 时 ， f(x) ＝