工程力学第七章 圆轴的扭转
工程力学之扭转
x
②计算并校核剪应力强度
max
T Wt
1.55 103
0.073 16
23MPa
[ ]
③此轴满足强度要求。
材料力学讲义（扭 转 ）
§3–5 圆轴扭转时旳变形
一、扭转时旳变形
由公式
d T
dx GI p
知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角φ 为
l
d
T
dx
0 GI p
Tl (若T 值不变） GI p
[]=30MPa，试设计杆旳外径；若[φ]=2º/m ，试校核此杆旳刚
度，并求右端面转角。
解：①设计杆旳外径
Wt
Tmax
[ ]
Wt 1D6（3 1 4）
1
D
16Tmax
（1义（扭 转 ）
T 40Nm
1
D
16Tmax
（1 4）[
]
3
代入数值得： D 0.0226m。
tg
G1G dx
d
dx
d
dx
距圆心为 任一点处旳与到圆心旳距离成正比。
d —— 扭转角沿长度方向变化率。
dx
材料力学讲义（扭 转 ）
2. 物理关系：
虎克定律：
G
代入上式得：
G
G
d
dx
G
d
dx
G
d
dx
材料力学讲义（扭 转 ）
3. 静力学关系：
T A dA
A
G
2
d
dx
dA
G
2 0
0.033 (弧度）
T
40Nm
x
材料力学讲义（扭 转 ）
[例4] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：
圆轴扭转的计算(工程力学课件)
9 549 20 637 300
Nm
318 N.m 1 477 N.m 2 1432 N.m 3 637 N.m
B
1C
A 2
D 3
扭矩图（T图）
318 N.m
477 N.m
1432 N.m
637 N.m
B
C
A
D
练习1
画扭矩图！
5
3
＋
A
B
C
练习2
3000N.m
3000
＋
1200
T图（N.m）
G E
材料的三个弹性常数
2(1 ) 由三个中的任意两个，求出其第三个
扭转的概念 扭矩和扭矩图
扭转变形
角应变
扭转角
受力特点
大小相等、方向相反， 作用面垂直于杆件轴线的外力偶矩
变形特点 任意横截面绕杆轴线产生转动
典型构件
以扭转变形为主的杆件通常称为轴 最常用的是圆截面轴
扭转的工程实例
螺丝刀杆工作时受扭
输出功率： PB 10 kW PC 15 kW PD 20 kW
M eA
9
549
PA n
9 549 45 1 432 300
Nm
M eB
9
549 PB n
9
549 10 318 300
Nm
M eC
9 549 PC n
9 549 15 477 300
Nm
M eD
9 549 PD n
（1）条件 （2）求约束力
扭矩 T图
T
Ip
Tl l FN l
GI P
EA
扭转
拉压
max
Tmax Wp
《工程力学：第七章+圆轴扭转时的应力变形分析与强度和刚度设计》
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
背 景
材
料
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
背 景
材
料
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 一、扭转的概念 复习 Me
mA
阻抗力 偶
主动力 偶
me
受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。 主要发生扭转变形的杆——轴。
Mx 16M x 16 1.5kN m 103 max＝ ＝ 3 ＝ ＝50.9MPa 3 4 -3 4 WP πD 1 π 90mm 10 1 0.9传动轴的强度是安全的。
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 2．确定实心轴的直径 根据实心轴与空心轴具有同样数值的最大剪应力的要求， 实心轴横截面上的最大剪应力也必须等于 50.9MPa 。若设实 心轴直径为d1，则有
b b
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 T 一、 扭转强度计算 变截面圆轴: max W [ ] 1、强度条件： p
max
max
对脆性材料 [ ] 对韧性材料 [ ]
b
nb
工程力学教学课件模块7扭转
所以
τρ=
（7-9）
31
7.4.1 横截面上的剪应力
式（7-9）为圆轴扭转时横截面上任意一点的剪应力计算公
式。式中，T为横截面上的扭矩（kN•m）；ρ为所求剪应
力处到圆心的距离（mm）；Ip为横截面对形心的极惯性矩
(m4或mm4)，其与横截面的几何形状和尺寸有关。
（1）对于直径为d的圆形截面杆，其极惯性矩为
理对剪应力和正应力同时存在的应力状态也适用。
20
21
7.3.3 剪切胡克定律
现在进一步研究单元体的受力情况。在剪应力τ的作用
下，截面发生相对滑动，原来的直角有了微小的变化，
这个直角的改变量称为剪应变γ，此时直角六面体变为
斜平行六面体，如图7-8（a）所示。剪应力越大，单
元体的歪斜程度越严重。
τ与γ的关系如同σ与ε。如图7-8（b）所示，实验证明，
32
分布图［已知空心圆轴的极惯性矩为Ip=
(D4－d4)］。
【解】（1）计算极惯性矩。
Ip=
(D4-d4)= ×(904-854)=1.32×106（mm4）
32
32
7.4.1 横截面上的剪应力
（2）计算剪应力。内外边缘处的剪应力分别为
85
−
3
T
−
τ1=τA= • =
Ip 2 1.32×106×10 12
时，剪应力最大，即圆轴横
截面边缘点处的剪应力最大，
其值为τmax=TR/Ip。令
Wp=Ip/R，则
τmax=
（7-12）
式中，Wp为扭转截面系数
（m3或mm3），其只与截
面形状、尺寸有关。式（79）和式（7-12）均只适用
工程力学 扭转
第7章 扭转7．1 扭转的概念和工程实际中的扭转问题扭转变形是杆件的基本变形之一。
它的外力特点是杆件受力偶作用，力偶作用在与轴线垂直的平面内，如图7-1所示。
杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动，杆件的这种变形形式称为扭转。
扭转时杆件两个横截面绕轴线相对转动的角度称为扭转角（angle of twist ）ϕ。
以扭转变形为主的杆件通常称为轴。
工程上有很多圆截面等直杆，受到一对大小相等、方向相反的外力偶矩作用。
如图7-2所示的驾驶盘轴，在轮盘边缘作用一对方向相反的切向力构成一力偶。
根据平衡条件，在轴的另一端，必存在一反作用力偶，在此力偶矩作用下，各横截面绕轴线作相对旋转。
此轴产生的变形即为扭转变形。
在工程中，受扭杆件是很常见的，比如机械中的传动轴（图7-3）、攻螺纹所用丝锥的锥杆（图7-4）以及钻杆等，它们的主要变形都是扭转，但同时还可能伴随有拉压、弯曲等变形。
如果后者不大，往往可以忽略，或者在初步设计中，暂不考虑这些因素，将其视为扭转构件。
圆轴是最常见的扭转变形构件，本章主要讨论圆轴的扭转。
BAMAB ϕ图7-1图7-2图7-3图7-47. 2 杆件扭转时的内力要研究受扭杆件的应力和变形，首先需要计算杆件横截面上的内力。
一、外力偶矩的计算作用于圆轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，通常是给出轴的转速n 和轴所传递的功率P 。
此时需要根据功率、转速、力矩三者之间的关系来计算外力偶矩的大小。
以工程中常用的传动轴为例，已知它所传递的功率P 和转速n ，作用在轴上的外力偶矩可以通过功率P 和转速n 换算得到。
因为功率是每秒钟内所做的功，有602101033πωn M M P e e ⨯⨯=⨯⨯=−− 于是，作用在轴上的外力偶矩为nPM e 9550= (7-1) 式中:M e —作用在轴上的外力偶矩，单位为N·mP —轴传递的功率， 单位为kW ω—转轴的角速度，单位为rad/s n —轴的转速，单位为是r/min 。
工程力学第7章
7.1
扭转的概念
工程中有些杆件如车床中的主轴、传动轴,汽车方向盘下的转向轴 AB(图7-1a)、攻螺纹用丝锥的锥杆(图7-1b)等,均属于受扭转的杆件。
图
7-1
它们都有相同的受力特点和变形形式,从而均可抽象为如图7-2所示的 力学模型。由图可见,它们的受力和变形特点是:在杆件的两端作用有两 个大小相等、转向相反,且作用面垂直于杆件的轴线的力偶,致使杆件的 任意两个横截面发生绕杆轴作相对转动的变形。这种变形称为扭转。 扭转时两个横截面相对转动的角度,称为扭转角,一般用φ表示(图7-2)。 以扭转变形为主的杆件通常称为轴。截面形状为圆形的轴称为圆轴,圆 轴在工程上是常见的一种受扭转的杆件。
7.3.3 剪切胡克定律
从薄壁圆筒的扭转试验可以得到与拉伸图相似的T-φ图(图7-8),其中有 一部分是直线,利用式(7-2)、式(7-3)即可以从此图得到切应力τ与切应变 γ间的关系图线(图7-9),其中,直线部分说明τ与γ成正比,即有 τ=Gγ(7-5)
图
7-8
图
7-9
这一关系称为剪切胡克定律。式中,比例常数G称为材料的切变模量, 它反映了材料抵抗剪切变形的能力。G值也随材料而异,可由试验测定。 G和E的单位和量纲相同。
图
7-2
7.2
外力偶矩的计算
扭矩和扭矩图
7.2.1 功率、转速和外力偶矩间的关系
工程中作用于轴上的外力偶矩有时并不直接给出,而往往给出轴的转速和 所传递的功率,它们的换算关系为
PkW {M e }N · (7 1) m 9 549 n r / min
式中,Me为外力偶矩,单位为N· m(牛· 米);P为轴传递的功率,单位为kW(千 瓦);n为轴的转速,单位为r/min(转/分)。
工程力学—扭转变形
第四章 扭转4.1预备知识一、基本概念 1、扭转变形扭转变形是杆件的基本变形之一，扭转变形的受力特点是：杆件受力偶系的作用，这些力偶的作用面都垂直于杆轴。
此时，截面B 相对于截面A 转了一个角度ϕ，称为扭转角。
同时，杆件表面的纵向直线也转了一个角度γ变为螺旋线，γ称为剪切角。
2、外力偶杆件所受外力偶的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。
若己知轴传递的功率P(kW)和转速n(r/min)，则轴所受的外力偶矩)(9549Nm nPT =。
3、扭矩和扭矩图圆轴扭转时，截面上的内力矩称为扭矩，用T 表示。
扭矩的正负号，按右手螺旋法则判定。
如扭矩矢量与截面外向法线一致，为正扭矩，反之为负；求扭矩时仍采用截面法。
扭矩图是扭矩沿轴线变化图形，与轴力图的画法是相似4、纯剪切 切应力互等定理单元体的左右两个侧面上只有切应力而无正应力，此种单元体发生的变形称为纯剪切。
在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线、方向到共同指向或共同背离积这一交线，这就是切应力互等定理。
5、切应变 剪切虎克定律 对于纯剪切的单元体，其变形是相对两侧面发生的微小错动，以γ来度量错动变形程度，即称切应变。
当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力τ和切应变γ成正比，即τ=G γG 称材料的剪切弹性模量，常用单位是GPa 。
6、圆杆扭转时的应力和强度计算(1) 圆杆扭转时，横截面上的切应力垂直于半径，并沿半径线性分布，距圆心为ρ处的切应力为ρτρpI T =图式中T 为横截面的扭矩，I p 为截面的极惯性矩。
(2) 圆形截面极惯性矩和抗扭截面系数实心圆截面324D I p π=， 163D W p π=（D 为直径） 空心圆截面)1(3244a D I p -=π， )1(1643απ-=D W p （D 为外径，d 为内径，D d /=α）(3)圆杆扭转时横截面上的最大切应力发生在外表面处tW T =max τ 式中W t =I p /R ，称为圆杆抗扭截面系数（或抗抟截面模量）。
3-2圆轴扭转时的内力和扭矩图
轴扭转时的内力和扭矩图课时计划：讲授3学时教学目标：1.本节课以扭转变形为例，分析在外力作用下产生的内力。
2 •使学生理解并掌握采用截面法计算扭矩的方法。
教材分析：1.重点为分析扭转变形受力和变形的特点；2 •难点是利用截面法计算圆轴上的扭矩并绘制出扭矩图。
教学设计：本节课的主要内容是让学生理解外力和内力的区别及联系，并讲解工程力学中常采用截面法计算变形过程中产生的内力。
以扭转变形为例，分析该种变形的受力和变形的特点, 在此基础上利用截面法分析轴上的扭矩，掌握扭矩的计算方法及正负号的规定，进而掌握扭矩图的绘制方法。
教学过程：第1学时教学内容：本节课的主要内容是让学生理解圆轴扭转的概念以及外力偶矩的计算。
以扭转变形的圆轴为例分析其受力和变形的特点，全面理解圆轴扭转的概念。
一、圆轴扭转的概念构件受外力偶的作用，当外力偶作用面和构件的轴线垂直时，就发生扭转变形。
机械工程中常见的扭转构件，如图3-7a所示的汽车方向盘的转轴，图3-7b所示的汽车发动机与后轮轴之间的传动轴，图3-7c 所示用于加工小孔径内螺纹的丝锥CD,图3-7d 所示的电动机转轴CD,这些构件都受到外力偶作用，外力偶的作用面都和轴线垂直，都发生扭转变形。
本书分析扭转承载能力的构件，其截面都是圆形的，这样的构件称为圆轴。
二、外力偶矩的计算机器的轮轴多数由电动机或内燃机等动力设备带动，轮轴把动力设备的功率传递给工作机械。
可查得这些设备的功率P和转速n,作用在轮轴上的外力偶矩为：pM=9550—n式中：P——圆轴传递的功率，（KW）；n---- 圆轴的转速，（r/min）；M——作用在轮轴上的外力偶矩，N・m。
第2学时教学内容：本次课讲解扭转变形杆件的扭矩计算方法。
分析发生此变形所受外力的特点，利用截面法计算轴上产生的扭矩，根据平衡条件建立扭矩与外力的关系。
从而求得扭矩的大小，并对扭矩的正负做出规定，进而求出扭矩的具体数值。
三、扭矩和扭矩图3・8a所示的圆轴，密外力假、眩的作用下处于平觴假想在…截面将圆轴截成两段，任取左段为研究对象，截面上分布着内九它和该段的外力平亂由于该段圆轴受外力偶皿作用，其作用面和轴线垂直，所以内力也是力佻其作用面就在横就面匕这样的内力称为扭矩，用符号丁表示。
工程力学教案-圆轴扭转
工程力学教案【理、工科】§4-1 扭转的概念和实例工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如图4-1所示的攻丝丝锥，图4-2所示的桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。
扭转有如下特点：1. 受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面作用一对大小相等，方向相反的外力偶--扭转力偶。
其相应力分量称为扭矩。
2. 变形特点横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。
若杆件横截面上只存在扭矩这一个力分量则这种受力形式称为纯扭转。
§4-2 扭矩扭矩图1.外力偶矩如图4-3所示的传动机构，通常外力偶矩不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率和转速n计算得到的。
如轴在m作用下匀速转动角，则力偶做功为，由功率定义角速度(单位：弧度/秒，rad/s)与转速n(单位：转/分，r/min)的关系为。
因此功率N的单位用千瓦（KW）时有关系，即(4-1a)式中：-传递功率（千瓦，KW），-转速（r/min）如果功率单位是马力(PS)，由于1KW =1000 N·m/s =1.36 PS，式（4-1a）成为(4-1b)式中：-传递功率（马力，PS）-转速（r/min）2. 扭矩求出外力偶矩后，可进而用截面法求扭转力--扭矩。
如图4-4所示圆轴，由，从而可得A-A截面上扭矩T，称为截面A-A上的扭矩；扭矩的正负号规定为：按右手螺旋法则，矢量离开截面为正，指向截面为负。
或矢量与横截面外法线方向一致为正，反之为负。
【例4-4】传动轴如图4-5a所示，主动轮A输入功率马力，从动轮B、C、D输出功率分别为马力，马力，轴的转速为。
试画出轴的扭矩图。
【解】按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩从受力情况看出，轴在BC，CA，AD三段的扭矩各不相等。
现在用截面法，根据平衡方程计算各段的扭矩。
在BC段，以表示截面I-I上的扭矩，并任意地把的方向假设为如图4-5b所示。
由平衡方程，有得负号说明，实际扭矩转向与所设相反。
在BC段各截面上的扭矩不变，所以在这一段扭矩图为一水平线（图4-5e）。
第07章工程力学习题答案
七 扭 转某圆轴作用有四个外力偶矩11=m m kN ⋅，6.02=m m kN ⋅，2.043==m m m kN ⋅。
(1) 试作轴扭矩图；(2) 若1m 、2m 位置互换，扭矩图有何变化？解：(2)AC ，主动轮A 传递外扭矩11=m m kN ⋅，从C 分别传递外扭矩为4.02=m m kN ⋅，6.03=m m kN ⋅，已知轴的直径4=d cm ，各轮间距50=l cm ，剪切弹性模量80=G GPa ，试求：(1) 合理布置各轮位置；(2) 求出轮在合理位置时轴的最大剪应力、轮A 与轮C之间的解：1．由扭矩图可以看出：按原先的布置，轴的最大扭矩为m kN 0.1⋅； 当主动轮A位于中间位置时，轴的最大扭矩降低为m kN 6.0⋅，因此，将主动轮A 布置在两从动轮B 和C 中间较为合理。
2．47.7MPa Pa 10416106.0633t max =⨯⨯⨯==-πτW T AC854.0r a d 0149.01043210801050106.084923p==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==--πϕGI l T AC AC 或 22tp max d GW lT GI l T d G l AC AC AC ===τϕ一空心圆轴的外径90=D mm ，内径60=d mm ，试计算该轴的t W ；若在横截面面积不变的情况下，改用实心圆轴，试比较两者的抗扭截面模量t W ，计算结果说明了什么？ 解：1．空心圆轴的抗扭截面模量()()()34444444t mm 105.119016609016232⨯=⨯-=-=-=πππDd D D d D W2．实心圆轴的抗扭截面模量 设实心圆轴的直径为d '，由实心圆轴与空心圆轴的横截面面积相等，即()22244d Dd -='ππ，可得mm 1.6760902222=-=-='d D d 故实心圆轴的抗扭截面模量为 343t mm 109.516⨯='='d W π3．比较1和2可知：在横截面相同的情况下，空心圆截面要比实心圆截面的抗扭截面模量大，因而，在扭转变形中，采用空心圆截面要比实心圆截面合理。
清华出版社工程力学答案-第7章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
7－2 两根长度相等、直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后，轴表面上母线转过相同 的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大剪应力分别为 τ1max 和 τ 2max ，剪切弹 性模量分别为 G1 和 G2。试判断下列结论的正确性。
解： τ 轴max
=
Mx Wp1
= T1 πd 3
≤ 60 ×106
16
T1
≤
60 ×106
× π× 663 16
× 10 −9
=
3387 N·m
τ 套 max
= Mx Wp2
=
T2 πd 3 ⎜⎛1 − ( 68 )4 ⎟⎞
≤ 60 ×106
16 ⎝ 80 ⎠
T2
≤
60 ×106
× π× 803 16
8
7－12 功率为 150kW、转速为 15.4r/s(转/秒)的电机轴如图所示。其中 d1=135mm， d2=75mm，d3=90mm，d4=70mm，d5=65mm。轴外伸端装有胶带轮。试对轴的扭转强度进行 校核。
Me
Me
d5 d2 d1 d3 d4
电机轴
习题 7－12 图
解：1. 求外力偶矩
（A） τ 1max ＞ τ 2 max ； （B） τ 1max ＜ τ 2 max ； （C）若 G1＞G2，则有 τ1max ＞ τ 2 max ； （D）若 G1＞G2，则有 τ1max ＜ τ 2 max 。
解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即 γ1 = γ 2 = γ 由剪切 胡克定律 τ = Gγ 知 G1 > G2 时， τ1max > τ2 max 。因此，正确答案是 C 。
工程力学-第7章
圆轴扭转时的剪应力分析
圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式－例题 1 例题
实心轴 空心轴
d1=45 mm D2＝46 mm d2＝23 mm
解：确定实心轴与空心轴的重量之比 解：确定实心轴与空心轴的重量之比 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
1 A d 45×10 1 = 2 1 2 = ＝ .28 1 × 3 2 A2 D2 (1α ) 46×10 1 0.5
τ =τ′
D
z
剪应力互等定理
y
切应力互等定理
τ′
如果在微元的一对面上存在剪 应力，另一对与剪应力作用线互 相垂直的面上必然垂直大小相等 相垂直的面上必然垂直大小相等 、方向或相对(两剪应力的箭头相 x 方向或相对( 对)或相背(两剪应力的箭尾相对) 或相背(两剪应力的箭尾相对) ，以使微元保持平衡。这种相互 关系称为剪应力互等定理或 关系称为剪应力互等定理或剪应 力成对定理。 力成对定理。
圆轴扭转时的剪应力分析
弹性范围内的剪应力－剪应变关系
于是，上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中 心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。
τ = Gγ = Gρ
d dx
圆轴扭转时的剪应力分析
静力学方程
圆轴扭转时的剪应力分析
静力学方程
作用在横截面上的剪应力形成一分布力系，这一力系向 截面中心简化结果为一力偶，其力偶矩即为该截面上的扭 截面中心简化结果为一力偶，其力偶矩即为该截面上的扭 矩。于是有
平面假定
变 形 应变分布
物性关系
应力分布
静力方程
应力公式
圆轴扭转时的剪应力分析
变形协调方程 弹性范围内的剪应力－剪应变关系 静力学方程 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
工程力学基础课件：第7章 圆轴扭转时的应力变形分析及强度和刚度设计
实心圆截面
空心圆截面
薄壁圆环截面
t/R0<1/10
I p
d 2 23d D4
0
32
I
p
D4
32
(1
4)
I p R02 dA 2R03t
WT
D4
D
/ 32 2
D3
16
WT
I p D3 (1 4 )
D 2 16
WT
Ip R0
2R02t
例：由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模
3. 静力学关系
G
G
d
dx
静力等效原理（合力矩定理）
分力系：分布于横截面上的剪应力
合力系：扭矩MT
A ( dA) MT
G
G
d
dx
MT
A ( dA)
(G d dA) G d
A dx
dx
2dA
A
引入记号
Ip
2dA
A
WT
Ip R
G
d
dx
G
MT GI p
max
MT R Ip
MT Ip /R
dx
扭转圆轴时横截面上距离圆心 处的剪应变
2. 物理关系
对线性弹性材料，根据剪切胡克定律，在弹性范围内有
G
G
d
dx
tan 1 G
O
推论一：圆轴扭转时横截面上只有垂直于半径方向的剪应力， 而无正应力。
推论二：横截面上各点剪应变与该点到轴心的距离成正比。
推论三：横截面上各点剪应力与该点到轴心的距离成正比。
d MT
dx GI p
MT
Ip
max
圆轴扭转的力学模型
截面
圆轴横截面的形状，通常为圆形。
长度
圆轴的长度方向，通常远大于其截 面尺寸。
扭转的定义
01
02
03
扭转
描述圆轴受到外力矩作用 而发生转动的现象。
外力矩
作用在圆轴上的力矩，使 圆轴发生转动。
转动方向
根据右手定则确定，即右 手四指环绕方向与圆轴转 动方向一致。
圆轴扭转的物理现象
01
02
03
04
2
深入研究圆轴在不同材料属性、不同几何形状下 的扭转行为，以丰富和完善现有的力学模型。
3
结合现代科技手段，如数值模拟、人工智能等， 对圆轴的扭转行为进行更精确和深入的研究。
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其他领域中的圆轴扭转问题
航空航天
飞机和航天器的起落架在着陆时 会受到圆轴扭转的力，需要设计
合理的抗扭机构来保持稳定。
船舶工程
船舶的推进轴在推进过程中会受 到圆轴扭转的力，需要采取相应
的措施来抵抗这种力。
能源工程
风力发电机的主轴在风力作用下 会发生圆轴扭转，需要设计合理
的抗扭机构来保持稳定。
06 结论与展望
扭矩计
测量圆轴试样在扭转过 程中所受的扭矩，量程
为0-10N·m。
固定装置
测量仪器
用于固定圆轴试样，保 证试样在实验过程中不
会发生位移。
包括角度计、应变计等， 用于测量圆轴试样的角
度和应变。
实验步骤与操作
1. 将圆轴试样固定在固 定装置上，确保试样不
会发生位移。
01
3. 对圆轴试样施加逐渐 增大的扭矩，并记录下 每个扭矩值对应的角度
《工程力学》12 扭转
C
D
A
T (kN ⋅ m)
C
D
T (kN ⋅ m)
B 20
C
10
D
图示主动轮B输入的功率P 例2 图示主动轮B输入的功率 K=10.5 kW，额定转速 ， n=680 r/min，从动轮A和C输出的功率均为 K/2，不计 输出的功率均为P ， ，从动轮A 摩擦，画出车轴的扭矩图. 摩擦，画出车轴的扭矩图.
γ
结论： 结论：1）刚性平截面假定：圆轴扭转变形后，横 刚性平截面假定：圆轴扭转变形后， 截面仍然保持为平面， 截面仍然保持为平面，且其形状和大小及相邻两横 截面间的距离保持不变，半径仍保持为直线（ 截面间的距离保持不变，半径仍保持为直线（横截 面刚性地绕轴线作相对转动） 面刚性地绕轴线作相对转动） 2）各横截面上没有正应力，只有剪应力 各横截面上没有正应力， 3）剪应力如何分布？ 剪应力如何分布？
n T（+） M n
正
3、扭矩图： 、扭矩图： 利用截面法每次只能求某一指定截面上的扭矩， 利用截面法每次只能求某一指定截面上的扭矩，为能 反映出扭矩的分布情况，以杆件的轴线为基线， 反映出扭矩的分布情况，以杆件的轴线为基线，用一 个图形来表示沿轴长各横截面上扭矩的变化规律， 个图形来表示沿轴长各横截面上扭矩的变化规律，称 为扭矩图
解：（1）计算扭矩 ）
d
D D
Pk m = 9550 = n 7 .5 9550 = 199 N ⋅ m 360
m A C m 由截面法，根据平衡条件，求得各截面上得扭矩： 由截面法，根据平衡条件，求得各截面上得扭矩： B
T = m = 199 N ⋅ m
（2）计算极惯性矩
I ρ AC = I ρ BC =
工程力学教学实验圆轴扭转实验
圆轴扭转实验一、试验目的⒈观察低碳钢和铸铁的扭转破坏现象, 比较其试件断口形状并分析破坏原因。
⒉测定低碳钢的剪切屈服极限, 剪切强度极限和铸铁的剪切强度极限。
⒊分析比较塑性材料（低碳钢）和脆性材料（铸铁）受扭转时的破坏特征。
二、实验设备和仪器⒈扭转实验机⒉游标卡尺三、实验原理圆轴扭转时, 横截面上各点均处于纯剪切状态, 因此常用扭转实验来测定不同材料在纯剪切作用下的机械性能。
利用实验机的自动绘图装置, 可记录T—曲线, 低碳钢的T—曲线如图3－9所示。
图 3-9扭矩在以内, 与T呈线形关系, 材料处于弹性状态, 直到试件横截面边缘处的剪应力达到剪切屈服极限, 这时对应的扭矩用表示横截面上的剪应力分布如图3-10（a）所示。
图3-10 低碳钢圆轴在不同扭矩下剪应力分布图在扭矩超过以后, 材料发生屈服形成环形塑性区, 横截面上的剪应力分布如图3-10（b）所示。
此后, 塑性区不断向圆心扩展, T—曲线稍微上升, 然后趋于平坦, 扭矩度盘上指针几乎不动或摆动所示的最小值即是扭矩, 这时塑性区占据了几乎全部截面, 横截面上剪应力分布如图3-10（c）所示。
剪切屈服极限近似等于（a）式中, , 是试件的抗扭截面系数试件继续变形, 进入强化阶段, 到达T- 趋线上的C点, 试件发生断裂。
扭矩度盘上的从动指针指出最大扭矩, 扭转剪切强度极限的计算式为(b)试件扭转时横截面上各点处于纯剪切状态如图3-11所示, 在于杆轴成±45°角的螺旋面上, 分别受到主应力为和的作用, 低碳钢的抗拉能力大于抗剪能力, 故以横截面剪断。
铸铁扭转时, 其T—曲线如图3-12所示。
从扭转开始到断裂, 近似为一直线, 故其剪切强度极限可近似地按弹性应力公式计算(c)图3-11 纯剪应力状态图3-12 铸铁T—曲线试件的断口面为与试件轴线成45°角的螺旋面。
这说明脆性材料的抗拉能力低于抗剪能力, 它的断裂是由于最大拉应力过大引起的。
空心圆轴扭转时横截面上的剪应力分布
一、概述在工程力学中，剪应力分布是一项重要的研究课题。
当圆轴扭转时，横截面上的剪应力分布对于工程设计和材料性能具有重要意义。
本文将重点讨论空心圆轴扭转时横截面上的剪应力分布规律。
二、空心圆轴扭转的基本原理1. 空心圆轴扭转的定义空心圆轴扭转是指圆柱形结构内部空心，以一定角速度扭转产生剪切变形的现象。
这种扭转形式是一种常见的结构形式，例如车辆的轴承和工业机械的传动轴都会出现这种扭转情况。
2. 剪应力的定义剪应力是指材料在受到剪切作用时产生的内部应力。
在圆轴扭转的过程中，剪应力是影响材料性能的重要因素，也是设计工程结构时需要考虑的重要参数之一。
三、空心圆轴扭转时剪应力分布的特点1. 圆轴外层和内层的剪应力分布规律在空心圆轴扭转过程中，外层和内层材料的剪应力分布存在一定的规律性。
一般来说，外层材料承担的剪应力较大，而内层材料承担的剪应力较小。
这是由于外层材料距离轴心较远，承受的弯曲应力较大，而内层材料距离轴心较近，承受的弯曲应力较小的原因所致。
2. 剪应力随距离的变化规律剪应力随着距离轴心的距离变化呈现一定的规律性。
一般来说，剪应力随着距离轴心的增加而逐渐减小，这与材料的受力情况有关。
随着距离轴心的增加，材料受到的弯曲应力逐渐减小，因此剪应力也会呈现逐渐减小的趋势。
四、空心圆轴扭转时剪应力分布的计算方法1. 剪应力分布的计算公式空心圆轴扭转时，剪应力分布可以通过一定的计算公式进行推导。
一般来说，可以利用剪应力的定义以及材料的力学性质，推导出剪应力随着距离轴心的分布规律。
在实际工程中，可以通过这些计算公式来确定空心圆轴扭转时横截面上的剪应力分布情况。
2. 数值模拟方法除了传统的计算方法外，还可以利用数值模拟方法来进行空心圆轴扭转时剪应力分布的计算。
通过有限元分析等方法，可以得到更加精确的剪应力分布情况，这对于一些复杂结构的扭转问题具有重要意义。
五、空心圆轴扭转时剪应力分布的影响因素1. 材料性质材料的硬度、强度和抗剪性能等都会对剪应力分布产生影响。
《扭矩和扭矩图》教学设计
《扭矩和扭矩图》教学设计发表时间：2018-07-19T11:42:35.833Z 来源：《教学与研究》2018年9期作者：宋雷雷[导读] 尊敬的各位评委老师好！很高兴有机会与各位老师交流我的教学思想。
我说课的内容是扭矩和扭矩图，选自中国劳动社会保障出版社（第四版）《工程力学》教材，下面我就教材、教法、学法、教学程序几个方面加以说明。
宋雷雷（威海机械工程高级技工学校山东威海 264200）中图分类号：G628.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN0257-2826 （2018）09-0080-02尊敬的各位评委老师好！很高兴有机会与各位老师交流我的教学思想。
我说课的内容是扭矩和扭矩图，选自中国劳动社会保障出版社（第四版）《工程力学》教材，下面我就教材、教法、学法、教学程序几个方面加以说明。
一、说教材教材内容工程力学是一门研究物体机械运动和构件承载能力的科学，在专业技术教育中有极其重要的地位。
本课程包括理论力学和材料力学两部分。
扭矩和扭矩图是材料力学第七章圆轴扭转中的内容。
工程中比较复杂的构件变形一般是由四种基本变形形式构成的组合变形，扭转就是四种基本变形之一。
上一节我们通过具体的实例，知道了圆轴扭转的受力特点、变形特点和哪些具体实例属于基本变形。
本节所讲的内容是对圆轴进行力学分析最基础最重要的内容。
是后续内容的基础，因此本节知识将起到承上启下的作用。
说教学目标根据教材内容和学生认知水平，我将教学目标确定如下：1、知识目标：（1）理解圆轴扭转时的内力——扭矩的概念及它与拉伸和剪切时的内力的区别。
（2）掌握扭矩的计算和扭矩图的绘制。
2、能力目标：在整个教学过程中，通过对学生的不断设疑，培养学生的观察能力和勤于思考的能力。
3、情感目标：启示学生无论在现在的学习还是将来的工作中，都应保持认真、严谨的科学态度。
说重点、难点在知识目标中，扭矩的计算和扭矩图的绘制即是重点也是难点，因为前面我们学习的拉伸（压缩）和剪切这两种基本变形的内力都是力，而扭转时的内力——扭矩是内力偶矩，学生的思维转变比较困难。
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2、求应力计算公式 （1）变形几何关系 根据几何关系
γ=cc’/dx=Rdψ/dx=R·dψ/dx 这是圆截面(nn)边缘上c点处的
剪应变（角应变）根据刚性平 γ
第七章 圆轴的扭转
7.1扭转的概念 扭转的外力和内力
7.1.1扭转的概念
扭转变形：杆件的两端作用两个大小相 等，方向相反，且作用平面垂直于杆件 轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截 面都发生绕杆件轴线的相对转动的变形 称为扭转变形。
扭转变形的受力特点 扭转变形的变形特点
γ
φ
7．1．2外力偶矩 扭矩和扭矩图
τρ=Gρ·dψ/dx
扭转变形横截面的剪应力的变化规律：
①横截面上任意点处的剪应力τρ与该点到圆心 的距成正比。
②边缘处的剪应力最大，轴心处的剪应力为零。
③距轴心等距离处的剪应力相等。
④同一截面各点处的剪应力从轴心到边缘按直 线规律变化。
（3）静力平衡关系
取距圆心为ρ的微面积dA
θmax×180/π ≤[θ]
思考题
1、当两轴，其材料相同、横截面形状相同、 在相同长度范围内受相同扭矩作用。问，它们 承受的最大剪应力、强度、刚度是否相同？为 什么？
2、当两轴，一轴材料为钢，另一轴材料为木 材，其横截面形状相同、在相同长度范围内受 相同扭矩作用。问，它们承受的最大剪应力、 强度、刚度是否相同？为什么？
7．3．1圆轴扭转的变形
计算相对转角
根据
MT =G Iρ·dψ/dx
得
dψ= MT/ G Iρ·dx
沿轴线积分得： ψ=∫0L dψ=∫0L MT/ G Iρ·dx
①若两截面之间MT保持不变，而且)（注意各单位要一致）
②若两截面之间MT的值是变化的或轴的截面是 变化的，则应分段计算各段的扭转角，然后相
1、外力偶矩的计算
用输入功率和轴的转速求外力偶矩
已知：AB轴的输入功率为Np(KW)
AB轴的转速为n（r/min）
则AB轴每分钟获得的输入功率为：
A=Np×1000×60(N.m)
AB轴由外力偶M在每分钟内做的功为：
A=2πn M(N.m)
∵ 这两种功相等。
∴Np×1000×60=2πn M
注意：
（1）本公式只适用于等直圆杆（变截面 杆要分段计算）
（2）公式只适用于τmnx不超出材料的剪 切比例极限τp的情况
7．2．2圆截面的极惯性矩和抗扭截面模 量
1、实心轴
距圆心ρ处，取一微面积
dA=2πρdρ
∵极惯性矩Iρ=∫Aρ2dA
∴Iρ=∫Aρ22πρdρ
3、当两轴，其材料相同，横截面直径相 同，但一轴为实心轴，另一轴为空心轴， 它们在相同长度范围内受相同扭矩作用。 问，它们承受的最大剪应力、强度、刚度 是否相同？为什么？
4、当两轴，其材料相同，横截面面积相 同，但一轴为实心轴，另一轴为空心轴， 它们在相同长度范围内受相同扭矩作用。 问，它们承受的最大剪应力、强度、刚度 是否相同？为什么？
解：（1）外力偶矩的计算。
作用在A,B,C轮上的外力偶矩分别为：
MA=9550NA/n=9550•4/500
=76.4N•m
MB=9550NB/n=9550•10/500
=191N•m
MC=9550NC/n=9550•6/500
=114.6 N•m
（2）扭矩计算
1——1截面，取左段列平衡方程
加求代数和。
例 题 ： 一 传 动 轴 ， 已 知 ， M1=640N.m,M2=840N.m,M3=200N.m,轴材料的剪切弹 性模量G=80GPa，试求截面C相对于截面A的扭转角。
400mm 150mm 200N.m
-640N.m
7.3.2 刚度条件 单位长度扭转角 θ=ψ/L= MT/ G Iρ(red/m) 扭转的刚度条件 θmax= MTmax/ G Iρ≤[θ]
∴MT =Gρ·dψ/dx·Iρ
把dψ/dx=τρ/ Gρ代入MT =Gρ·dψ/dx·Iρ
得：MT=τρ·Iρ/ρ τρ= MTρ/ Iρ
这就是横截面上距圆心为ρ的任意点的剪应力计算公式
当ρ=R时，剪应力有最大值
τmnx= MTR/ Iρ=MT/ Iρ/R= MT/WT WT叫抗扭截面模量， 单位为（长度单位）3
∴ M=60000/2π•Np/n
=9550 Np/n (N•m)
Np—— KW n ——r/min
2、圆轴扭转时的内力——扭矩
用截面法：
在平衡状态下，截面m-m内必有一个内力偶矩MT与外 力偶矩M平衡，我们把这内力偶矩称为扭矩。
且MT=M
为了使轴的各段扭矩方向不
会混乱，用右手螺旋法则来
=2πρ4/4∣0D/2
Iρ=πD4/32
抗扭截面模量：WT= Iρ/R=πD3/16
2、空心轴 取α=d/D，取一微面积dA=2πρdρ 极惯性矩:
Iρ=∫Aρ2dA =∫D/2d/22πρ3dρ =2πρ4/4∣d/2D/2 =π/32（D4-d4） =πD4/32（1-α4） 抗扭截面模量：
③ 剪应变发生在垂直于半径的平面内。
（2）变形的物理关系 扭转变形与应力的关系： ① 横截面上沿半径方向无剪应力作用。
② 横截面上 无正应力作用。
③ 与半径垂直方向有剪应力存在。
τρ=Gγρ——剪切虎克定律 将γρ=ρ·dψ/dx代入τρ=Gγρ 得τρ=Gρ·dψ/dx
WT= Iρ/R=πD3/16（1-α4）
7．2．3圆轴扭转的强度条件
等直圆轴扭转的强度条件
τmnx= MTmnx /WT≤[τ]
一般：
塑性材料[τ] =(0.5∽0.6) [σ]
脆性材料 [τ] =( 0.8 ∽1.0) [σ]
[σ]为材料的拉伸许用应力
7．3圆轴扭转的变形及刚度条
确定扭矩MT的正负号。 以右手的四指表示扭矩的
方向，拇指的方向离开截面，
扭矩为正，反之为负。
3、扭矩图
画法与轴力图一样。
例题：如图所示传动轴，其转速n=500rpm(r/min)，B 轮输出为功主率动分轮别，为其N输A=入1的0K功W率, NNCB==1100KKWW试，计A,算C为轴从的动扭轮矩，。
ΣMx=0 MA- M1=0 ∴ M1= MA=76.4 N•m 2——2截面，取右段列平衡方程
ΣMx=0 MC+M2=0 ∴ M1=- MC=-114.6 N•m （3）画扭矩图
7.2圆轴扭转时横截面上的应力及强度条 件
7．2．1圆轴扭转时横截面上的应力 1、圆轴扭转变形的情况分析
面假设，用同样方法可求出距 圆心为ρ的e处的剪应变为：
γρ=ρ·dψ/dx 这两式中dψ/dx为常数。 扭转变形横截面的剪应变的变化规律: ①正比横。截面上任意点的剪应变γρ与该点到圆心的距离ρ成 ②轴心处剪应变为零，圆轴表面剪应变γ最大，而所有
距圆心等距离的点，剪应变都相等。
则Fρ=τρ·dA 横截面的内力偶矩：
MT=∫Aρ·Fρ=∫Aρ·τρ·dA
将τρ=Gρ·dψ/dx代入MT =∫Aρ·τρ·dA
得：MT =∫AGρ2dψ/dx·dA=G dψ/dx∫Aρ2dA
∫IAρ叫ρ2d极A惯只性与矩截，面单的位形为状（、长大度小单有位关）的4几何量，用Iρ表示，