第二十一讲(+题)

1-α
0
θα
θ ,( X
σ

n
U( 1θ )α
Uθα
Uθα ) .
都是 α置性区间 都是的1α置性区间 但θ=1/2时区间长 α置性区间.但 时区间长 最短. 最短
求正态总体参数置信区间的解题步骤
(1)根据实际问题构造样本的函数,要求仅含 根据实际问题构造样本的函数, 根据实际问题构造样本的函数 待估参数且分布已知-----枢轴量; 枢轴量; 待估参数且分布已知 枢轴量 (2)令枢轴量落在由分位点确定的区间里的概 令枢轴量落在由分位点确定 落在由分位点确定的区间里的概 率为给定的置信度 α,要求区间按几何对称或 率为给定的置信度1α,要求区间按几何对称或 给定的置信度 α 概率对称; 概率对称; (3)解不等式得随机的置信区间; 解不等式得随机的置信区间; 解不等式得随机的置信区间 (4)由观测值及α值查表计算得所求置信区间 由观测值及α值查表计算得所求置信 置信区间 由观测值及 .
三,双正态总体均值差的置信区间
设 X 1, X n1 ~ N ( 1, σ ), Y1, , Yn2
2 1 iid
N ( 2 , 2 ), σ2 ~
iid
两样本独立. 的置信区间. 两样本独立.给定置信 度 1 α ,求 1 2的置信区间.
2 假定 σ 12 = σ 2 = σ 2未知
2 x 的置信区间. 观测值 x1, ,n,推求 σ (或 σ)的置信区间. iid
假定 假定未知,
引进 r.v
令
可得
η=
(n - 1)S 2
σ
2
~ χ 2 ( n 1)
2 p{ χ 12-α /2 ( n 1 ) < η < χ α /2 ( n 1 )} = 1 α
(n - 1)s 2 p{ 2 <σ χ α /2 ( n 1 )
S S (X tα / 2 ( n 1), X + tα / 2 ( n 1)) n n
P139,27 (2)解: 解 α的置信区间为 σ未知时,的置信度为 α的置信区间为 未知时 的置信度为1α
S S ( X tα / 2(n 1), X + tα / 2(n 1). n n
这里
x=6
2
s = 0.574
X Y ( 1 2 ) ~ t (n1 + n2 2) 引进 T = Sw 1 / n1 + 1 / n2
令 p{ T < tα / 2 (n1 + n2 2)} = 1 α
可解得 可解得1- 2 的置信区间
X Y ± tα / 2 ( n1 + n2 2) S w 1 / n1 + 1 / n2
这里
2
s = 121
χ 2 0.975 (9) = 2.7
(n 1)s 2 ( ( 2 , χα/2 (n 1)
2 α = 0.05 χ 0.025 (9) = 2.2622 n=9
,σ的置信度为 ,σ的置信度为95%的置信区间为 的置信度为 的置信区间为
8 × 11 8 × 11 (n 1)s 2 , ) ) =( 2 χ 1α/2 (n 1) 2.7 2.2622
P {θ < θ < θ } = 1 α
*
置信度为1α α的 则称随机区间 (θ , θ ) 为θ的置信度为 α的置信区间
θ , 和θ 分别称为置信度为1 α的置信上限和置信下限 .
也可换成概率密度或分布律. 注:F(x;θ)也可换成概率密度或分布律. θ 也可换成概率密度或分布律
7.4 正态总体参数的区间估计
2 σ2
的1 α置信区间
2 1 2 2 2 1 2 2
S S S S ( , ) Fα / 2 ( n1 1, n2 1 F1-α/2 ( n1 1, n2 1) )
小结
总总 样本 统计量
抽样分布定理
矩估计 极大似然估计
相相相 无无相 有效性
区间估计
习题课
1.设总体 的概率密度为 设总体X的概率密度为
2e 2( x θ ) f ( x) = 0
x >θ x ≤θ
其中θ 未知 未知,从总体中抽取简单随机样本 其中θ>0,未知 从总体中抽取简单随机样本 X 1 ,..., X n (1)求θ的矩估计与极大似然估计 求 (2)求极大似然估计量的分布函数 求极大似然估计量的分布函数. 求极大似然估计量的分布函数 (3)判断所得估计量的无偏性 判断所得估计量的无偏性. 判断所得估计量的无偏性
概率与 概率与统计
第二十一讲 区间估计
开课系: 开课系:理学院 统计与金融数学系 e-mail:probstat@ 主页
7.3
区间估计
一,概念 设总体X的分布函数 ;θ)含有未知参 的分布函数F(x; 含有未知参 定义 设总体 的分布函数 对于给定值α 若由样本 数θ,对于给定值α(0< α<1),若由样本 1, …, Xn 若由样本X 确定的两个统计量 确定的两个统计量 使,θ θ
n=3
α = 0.05
tα ( n 1) = t 0.025 (8) = 2.306
S S (X tα / 2 (n 1), X + tα / 2 (n 1 ) = (5.559, 6.441 ) n n
二,单正态总体方差的置信区间
X 设X 1, , n ~ N ( ,σ 2 ) ,给定置信度 1 α ,由
1 2n 求统计量 X 1 ,..., X 2 n , n > 2, X = ∑ X i ,求统计量 2n i =1 Y = ∑ ( X i + X n +i 2 X )
n i =1 2
的数学期望. 的数学期望
4.设总体 的概率分布为 设总体X的概率分布为 设总体 X P 0 1
2
2
3
θ
2θ (1 θ ) θ 2
2
(n - 1)s 2 } = 1α < 2 χ 1 α /2 ( n 1 )
的置信度为1α α的置信区间为 σ2的置信度为 α的置信区间为
(n 1)s 2 (n 1)s 2 ( 2 , 2 ) χα/2 (n 1) χ 1α/2 (n 1)
α的置信区间为 σ的置信度为1α的置信区间为 的置信度为 α
1 2θ
其中θ 未知,利用总体 的如下样本观察值: 其中θ (0< θ <0.5)未知 利用总体 的如下样本观察值 未知 利用总体X的如下样本观察值 3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3, 求θ的矩估计与极大似然估计 的矩估计与极大似然估计.
�
可取
σ
< U < a n } = 1α
σ
b n
σ
σ
= Uα b =
2
σ
n
Uα
1-α
2
Uα
0
2
Uα
2
a n
= Uα a =
2
σ
n
Uα
2
α的置信区间为 的置信度为1α的置信区间为 的置信度为 α
(X
σ
n
Uα / 2 , X +
σ
n
Uα / 2 ) .
(1-θ)α
注:的1α置信区间不唯一. α置 区间不唯一. α
2,σ2未知 ,
X ~ t ( n 1) 由 T= s/ n
1-α
令
即得
p{ T < tα / 2 ( n 1)} = 1 α
tα (n 1) 0 ,
2
tα (n1)
2
p{ X tα / 2 ( n 1) S
n
< < X + tα / 2 ( n 1) S
n
} = 1α
的1α置信区间为
求出 的1 α置信区间. X 设X 1, , n ~ N ( ,σ 2 ), 给定α ,由观测值x1 , , xn,
iid
1,σ2已知 ,
令 : p{ X a < < X + b} = 1 α p{b < X < a } = 1 α
∵ U=
X
σ
~ N (0,1)
n
p{ b n
σ 12 y 1, ,n ,求出 y
2
σ 22
假定 假定1,2未知
2 S1 σ 12 引进 F = 2 2 ~ F ( n1 1, n2 1) S2 σ 2
令 p{F1-α/2 ( n1 1, n2 1) < F < Fα / 2 ( n1 1, n2 1)} = 1 α
可解得
2 σ1
P139,27 (1)解: 解 α的置信区间为 σ已知时,的置信度为 α的置信区间为 已知时 的置信度为1α
(X
这里
σ
n
Uα / 2 , X +
σ
n
Uα / 2 ) .
x=6
2
σ = 0 .6
zα / 2 , X +
n=3
σ
n
α = 0.05
zα = z0.025 = 1.96
(X
σ
n
zα / 2 ) = (5.608, 6.392)
2.从正态总体 从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为 的样本 如果要求 中抽取容量为n的样本 从正态总体 中抽取容量为 的样本,如果要求 其样本均值位于区间(1.4,5.4)之间的概率不小于 之间的概率不小于0.95,问 其样本均值位于区间 之间的概率不小于 问 样本容量n至少取多大 至少取多大? 样本容量 至少取多大 3.设总体 X ~ N ( , σ 2 ) ,从该总体中抽取简单随机样本 设总体 从该总体中抽取简单随机样本
(n 1)s 2 ( 2 , χα/2 (n 1) (n 1)s 2 ) 2 χ 1α/2 (n 1)