江苏省无锡市2019-2020学年高二下学期数学期末考试备考限时训练(二)Word版含答案
2019-2020学年无锡市数学高二下期末预测试题含解析
2019-2020学年无锡市数学高二下期末预测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．．设，…，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是（ ）A ．和的相关系数为直线的斜率B ．和的相关系数在0到1之间C ．当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同D ．直线过点【答案】D 【解析】因回归直线一定过这组数据的样本中心点，故选D ．点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.2．已知函数()cos sin +63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．函数()f x 3，其图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．函数()f x 的最大值为2，其图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 36x π=对称D ．函数()f x 的最大值为2，其图象关于直线6x π=对称【答案】D 【解析】分析：由诱导公式化简函数()f x ，再根据三角函数图象与性质，即可逐一判断各选项.详解：由诱导公式得，sin()sin()cos()3626x x x ππππ+=-+=- ()cos()sin()2cos()636f x x x x πππ∴=-++=-max 2y ∴=，排除A ，C.将6x π=代入6x π-，得0()66k k z πππ-==∈，6x π∴=为函数图象的对称轴，排除B.故选D.点睛：本题考查诱导公式与余弦函数的图象与性质，考查利用余弦函数的性质综合分析判断的能力.3．设2012(1)n n n x a a x a x a x -=++++，若12127n a a a +++=，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A ．第4项 B ．第5项C ．第4项和第5项D ．第7项【答案】C 【解析】 【分析】先利用二项展开式的基本定理确定n 的数值，再求展开式中系数最大的项 【详解】令0x =，可得01a =，令1x =-，则()01212nn n a a a a -+++-=，由题意得12127n a a a +++=，代入得2128n =，所以7n =，又因为3477C C =，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项，故选C 【点睛】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了赋值法求二项式的次数的应用问题，属于基础题。
2020年无锡市数学高二第二学期期末考试试题含解析
2020年无锡市数学高二第二学期期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．函数f （x ）＝Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象如图所示，为了得到g （x ）＝Acosωx 的图象，只需把y ＝f （x ）的图象上所有的点（ ）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度 2．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．343．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且以2为周期，当[0,1)x ∈时，()31x f x =-，则13(log 12)f 的值为（） A ．13-B ．13C ．53-D ．534．已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，对任意的12,[1,1]x x ∈-，均有2121()(()())0x x f x f x --≥.当[0,1]x ∈时，2()(),()1(1)5xf f x f x f x ==--，则290291314315()()()()2016201620162016f f f f -+-++-+-=L （ ）A ．112-B ．6-C ．132- D ．254-5．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =u u u u v u u u u v ，则AB AM ⋅u u u v u u u u v等于（ ）A ．10B ．9C ．8D ．76．若对任意的0x >，不等式()22ln 10x m x m -≥≠恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．{}1B ．[)1,+∞C ．[)2,+∞D ．[),e +∞7．曲线的极坐标方程4sin ρθ=化为直角坐标为（ ） A ．()2224x y ++= B ．()2224x y +-= C ．()2224x y -+=D ．()2224x y ++=8．以(1,3)A ，(5,1)B -为端点的线段的垂直平分线方程是A ．38=0+x y -B ．3=+0+4x yC ．36=0+x y -D ．3=+0+3x y9．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则 A ．r 2<r 1<0B ．r 2<0<r 1C ．0<r 2<r 1D ．r 2＝r 110．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．73B ．83C ．3D ．10311．2019年5月31日晚，大连市某重点高中举行一年一度的毕业季灯光表演.学生会共安排6名高一学生到学校会议室遮挡4个窗户，要求两端两个窗户各安排1名学生，中间两个窗户各安排两名学生，不同的安排方案共有（ ） A ．720B ．360C ．270D ．18012．函数sin 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一个单调增区间是（ ） A ．[],0π-B ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πC ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）133__________．14．已知函数22,()3,x ax a f x x ax x a +<⎧=⎨-+⎩…，存在唯一的负数零点，则实数a 的取值范围是________.15．已知矩阵2103A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则矩阵A 的逆矩阵为_________. 16．连续抛掷同一颗骰子3次，则3次掷得的点数之和为9的概率是____． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 012345≥保费0.85aa1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 5≥概率0.300.150.200.200.100.05（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）已知一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.18．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长2AB =，若异面直线1A A 与1B C 所成角的大小为1arctan2，求正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积.19．（6分）已知函数21()log 1xf x x+=-. (1)判断()f x 的奇偶性并证明你的结论; (2)解不等式()1f x <-20．（6分）已知,a b 为正实数，函数()|3||2|f x x a b x =+--. （1）求函数()f x 的最大值；（2）若函数()f x 的最大值是6(0)c c ->，求222a b c ++的最小值.21．（6分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，且//,AD BC AB BC ⊥，2,3,6,22,10PA AD BC AB PD PB ======．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）求平面PBC 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值．22．（8分）为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：cm），经统计其增长长度均在区间[19,31]内，将其按[19,21)，[21,23)，[23,25)，[25,27)，[27,29)，[29,31]分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为27cm及以上的产品为优质产品．（1）求图中a的值；（2）已知这120件产品来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：将联表补充完整，并判断是否有99.99%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系，并说明理由；下面的临界值表仅供参考：（参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）（3）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数X的分布列和数学期望E(X)．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．B【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再利用函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【详解】根据函数f （x ）＝Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象，可得A ＝1， 1274123w πππ⋅=-，∴ω＝1．再根据五点法作图可得1×3π+φ＝π，求得φ＝3π，∴函数f （x ）＝sin （1x+3π）． 故把y ＝f （x ）的图象上所有的点向左平移12π个单位长度，可得y ＝sin （1x+6π+3π）＝cos1x ＝g （x ）的图象. 故选B ． 【点睛】确定y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝2M m -，b ＝2M m +；(1)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πω；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝2π；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝32π. 2．B 【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为201402=，选B. 【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等. 3．A 【解析】 【分析】根据题意可得：1334(log 12)(log )3f f =-，代入()f x 中计算即可得到答案。
江苏省无锡市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题含解析
江苏省无锡市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知定义在R 上的函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()02f =，则不等式()2x f x e >的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),2-∞D ．()2,+∞2．已知双曲线方程为22221(0)x y a b a b-=>>，它的一条渐近线与圆()2222x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．223．已知空间向量(3,a =1，0)，(),3,1b x =-，且a b ⊥，则(x = )A ．3-B ．1-C ．1D ．24．若{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆则满足条件的集合A 的个数是( )A ．6B ．7C ．8D ．95．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（ ）A ．1712π+B ．2012π+C ．1212π+D ．1612π+6．曲线4sin y x x =+在43x π=处的切线的斜率为（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．1 7．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3=6，S 3=12，则公差d 等于（ ）A ．1B ．C ．2D ．38．下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞内单调递增的函数是（ ）A ．3y x =-B ．cos y x =C ．1y x x =+D ．||y x x =9．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（ ）A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种10．2018年平昌冬奥会期间，5名运动员从左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为（ ）A ．21B ．36C ．42D ．8411．已知某次数学考试的成绩服从正态分布2(102,4)N ，则114分以上的成绩所占的百分比为（ ） （附()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤）A ．0.3%B ．0.23%C ．0.13%D ．1.3%12．已知一袋中有标有号码1、2、3的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取5次卡片时停止的概率为（ ）A ．585B ．1481C ．2281D ．2581二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若1x =是函数()()25x x a e f x x =+-的极值点，则()f x 在[]22-,上的最小值为______. 14．假设每一架飞机的每一个引擎在飞行中出现故障概率均为1p -，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎飞机正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行.要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p 的取值范围是__________．15．在直角坐标系中，已知1,0A ，()4,0B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得2PA PB =，则实数m 的取值范围是______．16．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()9f =______．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在平面直角坐标系中，射线:(0)l y kx x =≥ 的倾斜角为α ，且斜率k ∈.曲线1C 的参数方程为1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩ 为参数）；在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ= .(1)分别求出曲线1C 和射线l 的极坐标方程；(2)若l 与曲线1C ，2C 交点(不同于原点)分别为A,B ，求|OA||OB|的取值范围.18．已知函数32()2f x x ax =-+（1）讨论()f x 的极值；（2）当0<<3a 时，记()f x 在区间[0,2]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -．19．（6分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3423x t y t =+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 80ρρθ+-=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点p 是直线l 的一点，过点p 作曲线C 的切线，切点为Q ，求PQ 的最小值.20．（6分）某育种基地对某个品种的种子进行试种观察，经过一个生长期培养后，随机抽取n 株作为样本进行研究．株高在35cm 及以下为不良，株高在35cm 到75cm 之间为正常，株高在75cm 及以上为优等．下面是这n 个样本株高指标的茎叶图和频率分布直方图，但是由于数据递送过程出现差错，造成图表损毁．请根据可见部分，解答下面的问题：（1）求n 的值并在答题卡的附图中补全频率分布直方图；（2）通过频率分布直方图估计这n 株株高的中位数（结果保留整数）；（3）从育种基地内这种品种的种株中随机抽取2株，记X 表示抽到优等的株数，由样本的频率作为总体的概率，求随机变量X 的分布列（用最简分数表示）．21．（6分）已知等比数列的前项和，满足，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，记数列的前项和，求的最大值.22．（8分）设命题:p 函数2()16a f x ax x =-+的值域为R ；命题:39x x q a -<对一切实数x 恒成立，若命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．A【解析】 分析：先构造函数()()xf xg x e =，再根据函数单调性解不等式. 详解：令()()x f x g x e =，因为()()()0x f x f x g x e '-'=<，(0)2g = 所以()2()(0)0x f x e g x g x >⇒>⇒<因此解集为(),0-∞ ，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 2．A【解析】 方法一：双曲线的渐近线方程为bx y a=±，则0bx ay ±=，圆的方程()2222x y -+=，圆心为()2,0,r ==a b =，则离心率e =方法二：因为焦点()2,0F c -到渐近线的0bx ay ±=距离为b ，2c =，即,c =则离心率为e =选A.3．C【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件，利用向量的数量积公式列出关于x 的方程，即可求解x 的值．【详解】由题意知，空间向量a (3,=1，0)，()b x,3,1=-，且a b ⊥，所以a b 0⋅=，所以31(3)010x +⨯-+⨯=，即3x 30-=，解得x 1=.故选C ．【点睛】 本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量垂直的条件和数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4．C【解析】【分析】根据题意A 中必须有1，2这两个元素，因此A 的个数应为集合{3,4，5}的子集的个数．【详解】解：{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，∴集合A 中必须含有1，2两个元素，因此满足条件的集合A 为{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共8个．故选C ．【点睛】本题考查了子集的概念，熟练掌握由集合间的关系得到元素关系是解题的关键.有n 个元素的集合其子集共有2n 个.5．B【解析】【分析】根据三视图可确定几何体为一个底面半径为3的半圆柱中间挖去一个底面半径为1的半圆柱；依次计算出上下底面面积、大圆柱和小圆柱侧面积的一半以及轴截面的两个矩形的面积，加和得到结果.【详解】由三视图可知，几何体为一个底面半径为3的半圆柱中间挖去一个底面半径为1的半圆柱∴几何体表面积：()221112312332132231220222S ππππ=⨯-+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=+ 本题正确选项：B【点睛】本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够通过三视图确定几何体，从而明确表面积的具体构成情况. 6．B【解析】【分析】【详解】因为'14cos y x =+，所以434|14cos14133x y cos πππ=='=+-=-. 故选B.7．C【解析】试题分析：设出等差数列的首项和公差，由a 3=6，S 3=11，联立可求公差d ．解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3=6，S 3=11，得：解得：a 1=1，d=1．故选C ．考点：等差数列的前n 项和．8．D【解析】【分析】由基本初等函数的单调性和奇偶性，对A 、B 、C 、D 各项分别加以验证，不难得到正确答案．【详解】解：对于A ，因为幂函数y ＝x 3是R 上的增函数，所以y ＝﹣x 3是（0，+∞）上的减函数，故A 不正确； 对于B ，cos y x =为偶函数，且在(0,)+∞上没有单调性，所以B 不正确；对于C ，1y x x=+在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数，故C 不正确； 对于D ，若f （x ）＝x|x|，则f （﹣x ）＝﹣x|x|＝﹣f （x ），说明函数是奇函数，而当x ∈（0，+∞）时，f （x ）＝x 2，显然是（0，+∞）上的增函数，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了函数奇偶性和单调性的判断与证明，属于基础题．9．A【解析】试题分析：分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆最至少1个，只有2种分法． 三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆最至少1个，只有2种分法．三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的．考点：本题主要考查分类计数原理的应用．点评：本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始，分别计算不同分法，然后求和．用列举法也可以，形象、直观易懂．10．C【解析】分析：根据题意，分两种情况讨论：①最左边排甲；②最左边排乙，分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类计数原理计算即可得到答案.详解：根据题意，最左端只能排甲或乙，则分两种情况讨论：①最左边排甲，则剩下4人进行全排列，有4424A =种安排方法；②最左边排乙，则先在剩下的除最右边的3个位置选一个安排甲，有3种情况，再将剩下的3人全排列，有336A =种情况，此时有1863=⨯种安排方法，则不同的排法种数为241842+=种.故选：C.点睛：解决排列类应用题的策略(1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．(2)分排问题直排法处理．(3)“小集团”排列问题中先集中后局部的处理方法．11．C【解析】分析：先求出u,σ,再根据(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=和正态分布曲线求114分以上的成绩所占的百分比.详解：由题得u=102,4,σ=3114.u σ∴+=因为(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=， 所以10.9974(114=0.00130.13%2P X ->==）. 故答案为：C. 点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线和概率的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)利用正态分布曲线求概率时，要画图数形结合分析，不要死记硬背公式.12．B【解析】分析：由题意结合排列组合知识和古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：根据题意可知，取5次卡片可能出现的情况有53种；由于第5次停止抽取，所以前四次抽卡片中有且只有两种编号，所以总的可能有()24322C -种；所以恰好第5次停止取卡片的概率为()24352214381C p -==. 本题选择B 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．3e -【解析】【分析】先对f(x)求导，根据()'10f =可解得a 的值，再根据函数的单调性求出区间[]22-,上的最小值． 【详解】()()()25'2x x x a e e f x x x a =+++-2(2)5x e x a x a ⎡⎤=+++-⎣⎦，则()()'1220f e a =-=，解得1a =，所以()()25x f x x x e =+-， 则()()2'34x e x f x x =+-()()41x e x x =+-.令()'0f x >，得4x <-或1x >；令()'0f x <，得41x -<<.所以()f x 在[)2,1-上单调递减；在(]1,2上单调递增.所以()()min 13f x f e ==-.【点睛】本题考查由导数求函数在某个区间内的最小值，解题关键是由()'10f =求出未知量a ．14．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】分析：由题意知各引擎是否有故障是独立的，4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，4引擎飞机可以正常工作的概C 43p 3（1﹣p ）+p 4，2引擎飞机可以正常工作的概率是p 2，根据题意列出不等式，解出p 的值． 详解：每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1﹣p ，不出现故障的概率是p ，且各引擎是否有故障是独立的，4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；4引擎飞机可以正常工作的概率是C 43p 3（1﹣p ）+p 4，2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行，2引擎飞机可以正常工作的概率是p 2要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，依题意得到C 43p 3（1﹣p ）+p 4＞p 2，化简得3p 2﹣4p+1＜0， 解得13＜p ＜1． 故选：B ．点睛：本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，考查一元二次不等式的解法，是一个综合题，本题也是一个易错题，注意条件“4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行”的应用．15．(),-∞⋃+∞【解析】【分析】设点P 的坐标为(),x y ，根据条件2PA PB =求出动点P 的轨迹方程，可得知动点P 的轨迹为圆，然后将问题转化为直线10x my +-=与动点P 的轨迹圆有公共点，转化为圆心到直线的距离不大于半径，从而列出关于实数m 的不等式，即可求出实数m 的值.【详解】设点P 的坐标为(),x y ，2PA PB == 化简得()2254x y -+=，则动点P 的轨迹是以()5,0为圆心，半径为2的圆，由题意可知，直线10x my +-=与圆()2254x y -+=有公共点，2≤，解得m ≤m ≥.因此，实数m 的取值范围是(),-∞⋃+∞.故答案为：(),-∞⋃+∞.【点睛】本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了利用直线与圆的位置关系求参数，解题的关键就是利用距离公式求出动点的轨迹方程，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.16．3【解析】【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数()y f x =的解析式，再求()9f 的值.【详解】设()a y f x x ==，由于图象过点(,12,2a a ==， ()12y f x x ∴==，()12993f ∴==，故答案为3.【点睛】本题考査幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）1:2cos ;:,(,]43C l ππρθθαα==∈ （2）2,23]（ 【解析】试题分析：(1)结合题中所给的方程的形式整理可得曲线1C 和射线l 的极坐标方程分别是：1:2cos ;:,,43C l ππρθθαα⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦. (2)联立12,C C 的方程，结合题意可求得|OA||OB|的取值范围是(2,23]. 试题解析：(1)的极坐标方程为， 的极坐标方程为， (2)联立2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得联立2cos sin ρθθθα⎧=⎨=⎩， 得 ∴2tan 22,3]k α==∈（18．（1）答案不唯一，具体见解析（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）求导函数'()f x ，由导函数确定函数的单调性后可确定极值；（2）由（1）可知()f x 在区间(0,2]上的单调性，从而可求得极值和最值．【详解】（1）2()32(32)f x x ax x x a '=-=-当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在(-,)∞+∞上单增，无极值当0a >时，2()03a f x x '>⇒>， ()f x ∴单减区间是2-,3a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，单增区间是2,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 所以324()2327a a f x f ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭极小，无极大值．（2）203,023a a <<∴<< 由（1）知()f x 在20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单减，2,23a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单增 3min 24()2327a a f x f m ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭max ()max{(0),(2)}max{2,104}f x f f a ==-当02a <≤时，34104,104227a M a M m a =--=--+348427a a =-- 当23a <<时，33442,222727a a M M m =-=-+= 【点睛】本题考查用导数研究函数的极值与最值．解题时可求出导函数后确定出函数的单调性，然后可确定极值、最值．19．（1）34170x y --=，22(1)9x y ++=；（2）见解析【解析】【分析】（1）消去t,得直线l 的普通方程，利用极坐标与普通方程互化公式得曲线C 的直角坐标方程；（2）判断l 与圆A 相离，连接,AQ AP ，在Rt APQ ∆中，22222||||437PQ PA AQ =-≥-=，即可求解【详解】 （1）将l 的参数方程3423x t y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）消去参数，得34170x y --=. 因为x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩，22cos 80ρρθ+-=， 所以曲线C 的直角坐标方程为()2219x y ++=.（2）由（1）知曲线C 是以()1,0-为圆心，3为半径的圆，设圆心为A ，则圆心A 到直线l 的距离317435d --==>，所以l 与圆A 相离，且4PA ≥.连接,AQ AP ，在Rt APQ ∆中，22222||||437PQ PA AQ =-≥-=，所以，PQ ≥PQ .【点睛】本题考查参数方程化普通方程，极坐标与普通方程互化，直线与圆的位置关系，是中档题20．（1）20n =，补图见解析（2）估计这n 株株高的中位数为82（3）见解析【解析】【分析】根据茎叶图和频率直方图，求出中位数，得离散型随机变量的分布列．【详解】解：（1）由第一组知10.002520n=，得20n =， 补全后的频率分布直方图如图（2）设中位数为0x ，前三组的频率之和为0.050.10.20.350.5++=<，前四组的频率之和为0.050.10.20.450.80.5+++=>，∴[)075,95x ∈， ∴()0750.02250.15x -⨯=，得0245823x =≈， ∴估计这n 株株高的中位数为82. （3）由题设知132,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则()22749020400P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭ ()127139112020200P X C ==⋅⋅= ()22213169220400P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭X的分布列为X0 1 2P 4940091200169400【点睛】本题考查频率直方图及中位数，离散型随机变量的分布列，属于中档题.21．（1）（2）166【解析】【分析】（1）将题目中的条件转化为首项和公比的式子，于是可得到通项公式；（2）通过条件先求出数列的通项，要想的值最大，只需找出即可.【详解】解：（1）所以（2）当时，当时，将代入成立，所以，当时，，当时，所以【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，数列的最值问题，意在考查学生的基础知识，计算能力和分析能力，难度不大.22．1(,](2,)4a∈-∞+∞【解析】试题分析：分别求出命题p ，q 成立的等价条件，利用p 且q 为假．确定实数a 的取值范围．试题解析：p 真时，0a =合题意.0a >时，210024a a ∆=-≥⇒<≤． 02a ⇒≤≤时，P 为真命题.q 真时：令3(0,)x t =∈+∞，故2a t t >-在(0,)+∞恒成立14a ⇒>时，q 为真命题. p q ⇒∧为真时，124a <≤. p q ∴∧为假命题时，1(,](2,)4a ∈-∞+∞.考点：复合命题的真假.。
2019-2020学年江苏省无锡市高二(下)期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省无锡市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣B．i C．D．2．（x﹣2）10展开式中第6项的二项式系数为（）A．B．C．D．3．抛掷一颗质地均匀的骰子的基本事件构成集合S＝{1，2，3，4，5，6}，令事件A＝{1，3，5}，B＝{1，2，4，5，6}，则P（A|B）的值为（）A．B．C．D．4．已知随机变量X服从正态分布N（4，δ2），且P（X≤8）＝0.8，则P（0＜X≤4）等于（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.55．某医院医疗小组共有甲乙丙丁戊己庚7名护士，每名护士从7月1日到7月7日安排一个夜班，则甲的夜班比丙晚一天的排法数为（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）＝﹣x+2sin x，x∈[0，]．则下列叙述正确的有（）A．函数f（x）有极大值B．函数f（x）有极小值C．函数f（x）有极大值D．函数f（x）有极小值7．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥P﹣ABCD为阳马，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝4，二面角P﹣BC﹣A为60°，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为（）A．16πB．20πC．πD．32π8．回文联是我国对联中的一种．用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读．不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”．如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（）A．30B．36C．360D．1296二、多项选择题（共4小题）.9．已知三个正态分布密度函数（x∈R，i＝1，2，3）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．σ1＝σ2＝σ3B．σ1＝σ2＜σ3C．μ1＝μ2＞μ3D．μ1＜μ2＝μ3 10．随机变量ξ的分布列是ξ123P a b若E（ξ）＝，随机变量ξ的方差为V（ξ），则下列结论正确的有（）A．a＝，b＝B．a＝，b＝C．V（ξ）＝D．V（ξ）＝11．随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的有（）A．每次出现正面向上的概率为0.5B．第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.25C．连续出现n次正面向上的概率为D．连续出现n次正面向上的概率为12．关于函数f（x）＝e x﹣ax，x∈R，下列说法正确的是（）A．当a＝1时，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增B．当a＝0时，f（x）﹣lnx≥3在x∈（0，+∞）上恒成立C．对任意a＜0，f（x）在（﹣∞，0）上一定存在零点D．存在a＞0，f（x）有唯一极小值三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．欧拉公式e iθ＝cosθ+i sinθ将自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”．若复数z满足（e iπ+i）•z＝2i，则|z|＝．14．一个袋中装有6个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，现从袋中任意取出3个球，至少有2个红球的概率为（用数字作答）．15．某种圆柱形饮料罐的容积为定值，当底面半径R与它的高h的比值为时，可以使它的用料最省．16．函数f（x）＝x2﹣tlnx的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝kx+m，则k+m＝；若方程f（x）＝0有两个不等的实数解，则t的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知复数z使得z+2i∈R，∈R，其中i是虚数单位．（1）求复数z的共轭复数；（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．18．某企业广告费支出与销售额（单位：百万元）数据如表所示：广告费x64825销售额y5040703060（1）求销售额y关于广告费x的线性回归方程；（2）预测当销售额为76百万元时，广告费支出为多少百万元．回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b＝，a＝﹣b．19．根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围．为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：得分[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]男性人数4912131163女性人数122211042（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率．现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为X，求X的概率分布和数学期望．不太了解比较了解合计男性女性合计附：X2＝，（n＝a+b+c+d）．临界值表：P（X2≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001x0）x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 20．如图四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PB⊥底面ABCD，BA＝BD ＝，AD＝2，PB ＝，E，F分别是棱AD，PC的中点．（1）求异面直线EF与AB所成角的正切值；（2）求三棱锥P﹣BAD外接球的体积．21．为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛．比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．（1）求甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率；（2）请通过计算说明，哪两个人进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大？22．已知函数．（1）当a＝2时，求过坐标原点且与函数y＝f（x）的图象相切的直线方程；（2）当a∈（0，2）时，求函数f（x）在[﹣2a，a]上的最大值．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣B．i C．D．【分析】利用虚部的定义即可得出．解：由复数（i为虚数单位），则z的虚部为．故选：C．2．（x﹣2）10展开式中第6项的二项式系数为（）A．B．C．D．【分析】写出展开式的通项T k+1，然后将k＝5代入通项即可．解：由已知得通项为：，∴，故第六项的二项式系数为：．故选：C．3．抛掷一颗质地均匀的骰子的基本事件构成集合S＝{1，2，3，4，5，6}，令事件A＝{1，3，5}，B＝{1，2，4，5，6}，则P（A|B）的值为（）A．B．C．D．【分析】套用条件概率计算公式，，根据题目已知条件，求出n（AB），n（B）代入即可．解：因为A＝{1，3，5}，B＝{1，2，4，5，6}，∴AB＝{1，5}，所以n（B）＝5，n（AB）＝2，故P（A|B）＝＝．故选：B．4．已知随机变量X服从正态分布N（4，δ2），且P（X≤8）＝0.8，则P（0＜X≤4）等于（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5【分析】易知，对称轴为x＝4，因此P（0＜X≤4）＝P（4＜X≤8），再结合已知条件，即可求解．解：因为X服从正态分布N（4，δ2），且P（X≤8）＝0.8，易知，对称轴为x＝4，所以P（0＜X≤4）＝P（4＜X≤8）＝P（X≤8）﹣P（X≤4）＝0.8﹣0.5＝0.3．故选：B．5．某医院医疗小组共有甲乙丙丁戊己庚7名护士，每名护士从7月1日到7月7日安排一个夜班，则甲的夜班比丙晚一天的排法数为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分2步进行分析：①分析可得甲乙相邻，且乙在甲的前面，②将甲乙看成一个整体，与剩下的5名护士全排列，由分布计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①甲的夜班比丙晚一天，则甲乙相邻，且乙在甲的前面，有1种情况，②将甲乙看成一个整体，与剩下的5名护士全排列，有A66种情况，则有1×A66＝A66种安排方法；故选：A．6．已知函数f（x）＝﹣x+2sin x，x∈[0，]．则下列叙述正确的有（）A．函数f（x）有极大值B．函数f（x）有极小值C．函数f（x）有极大值D．函数f（x）有极小值【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值判断即可．解：f（x）＝﹣x+2sin x，x∈[0，]，f′（x）＝﹣1+2cos x，令f′（x）＞0，解得：0≤x＜令f′（x）＜0，解得：＜x≤，故f（x）在[0，）递增，在（，]递减，故f（x）极大值＝f（）＝﹣，故选：C．7．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥P﹣ABCD为阳马，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝4，二面角P﹣BC﹣A为60°，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为（）A．16πB．20πC．πD．32π【分析】由题意可得∠PBA为二面角P﹣BC﹣A是60°，进而由题意可得PA的长度，再由题意可得四棱锥P﹣ABCD的外接球就是以AB，AD，AP为邻边的长方体的三条棱的外接球，有长方体的对角线等于外接球的直径求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．解：因为底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，AB⊥BC，而PA∩AB ＝A，所以BC⊥面PAB，所以BC⊥PB，所以∠PBA为面角P﹣BC﹣A为60°，即∠PBA＝60°，在△PAB中，PA＝AB•tan60°＝2•＝2，由题意可得四棱锥P﹣ABCD的外接球就是以AB，AD，AP为邻边的长方体的三条棱的外接球，设外接球的半径为R，则2R＝＝＝，所以四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积S＝4πR2＝32π，故选：D．8．回文联是我国对联中的一种．用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读．不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”．如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（）A．30B．36C．360D．1296【分析】根据题意，分2种情况讨论：①4位“回文数”中数字全部相同，②4位“回文数”中有2个不同的数字，求出每种情况下4位“回文数”的数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①4位“回文数”中数字全部相同，有6种情况，即此时有6个4位“回文数”；②4位“回文数”中有2个不同的数字，有A62＝30种情况，即此时有30个4位“回文数”；则一共有6+30＝36个4位“回文数”；故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．已知三个正态分布密度函数（x∈R，i＝1，2，3）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．σ1＝σ2＝σ3B．σ1＝σ2＜σ3C．μ1＝μ2＞μ3D．μ1＜μ2＝μ3【分析】根据正态分布曲线的性质，即对称轴为x＝μ；σ表示的是标准差，反映在图象的“高瘦”或“矮胖”，由此作出选择．解：因为x＝μ是对称轴，观察图象可知：μ1＜μ2＝μ3，而y＝φ1（x）与y＝φ2（x）的图象可以相互平移得到，且y＝φ3（x）的图象显得更“矮胖”，故σ1＝σ2＜σ3．故选：BD．10．随机变量ξ的分布列是ξ123P a b若E（ξ）＝，随机变量ξ的方差为V（ξ），则下列结论正确的有（）A．a＝，b＝B．a＝，b＝C．V（ξ）＝D．V（ξ）＝【分析】利用分布列求出a，的b方程，结合期望列出方程，求解a，b，然后求解方差．解：由题意可得：，解得a＝，b＝，随机变量ξ的方差为V（ξ）＝（1﹣）2+（2）2+×（3）2＝．故选：AC．11．随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的有（）A．每次出现正面向上的概率为0.5B．第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.25C．连续出现n次正面向上的概率为D．连续出现n次正面向上的概率为【分析】每次出现正面向上的概率都是0.5，连续出现n次正面向上的概率为＝．解：随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，对于A，每次出现正面向上的概率都是0.5，故A正确；对于B，第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.5，故B错误；对于C，连续出现n次正面向上的概率为＝，故C正确；对于D，连续出现n次正面向上的概率为＝，故D 错误．故选：AC．12．关于函数f（x）＝e x﹣ax，x∈R，下列说法正确的是（）A．当a＝1时，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增B．当a＝0时，f（x）﹣lnx≥3在x∈（0，+∞）上恒成立C．对任意a＜0，f（x）在（﹣∞，0）上一定存在零点D．存在a＞0，f（x）有唯一极小值【分析】对于A，代入a的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间判断即可；对于B，代入a的值，问题转化为e x﹣lnx≥3在x∈（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝e x﹣lnx﹣3，结合函数的单调性得到矛盾，判断选项即可；对于C，D，求出函数的导数，结合函数的单调性判断即可．解：对于A：a＝1时，f（x）＝e x﹣x，f′（x）＝e x﹣1，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，故A错误；对于B：a＝0时，问题转化为e x﹣lnx≥3在x∈（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝e x﹣lnx﹣3，则g′（x）＝e x﹣，g″（x）＝e x+＞0，g′（x）在（0，+∞）递增，g′（）＝﹣2＜0，g′（1）＝e﹣1＞0，故存在x0∈（，1），使得g′（x0）＝0，即＝，故g（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，故g（x）min＝g（x0）＝﹣lnx0﹣3＝﹣lnx0﹣3＜2+ln2﹣3＝ln2﹣1＜0，故B错误；对于C：a＜0时，f′（x）＝e x﹣a＞0，f（x）在R递增，而f（0）＝1＞0，x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，故对任意a＜0，f（x）在（﹣∞，0）上一定存在零点，故C正确，对于D：a＞0时，f′（x）＝e x﹣a，令f′（x）＞0，解得：x＞lna，令f′（x）＜0，解得：x＜lna，故f（x）在（﹣∞，lna）递减，在（lna，+∞）递增，故f（x）极小值＝f（lna），存在a＞0，f（x）有唯一极小值，故D正确；故选：CD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．欧拉公式e iθ＝cosθ+i sinθ将自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”．若复数z满足（e iπ+i）•z＝2i，则|z|＝．【分析】利用欧拉公式，可得e iπ＝cosπ+i sinπ，代入（e iπ+i）•z＝2i，再利用复数模的运算性质即可得出．解：e iπ＝cosπ+i sinπ＝﹣1．∵复数z满足（e iπ+i）•z＝2i，∴（﹣1+i）z＝2i，∴|﹣1+i||z|＝|2i|，∴|z|＝2，∴|z|＝．故答案为：．14．一个袋中装有6个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，现从袋中任意取出3个球，至少有2个红球的概率为（用数字作答）．【分析】从袋中任意取出3个球，基本事件总数n＝＝120，至少有2个红球包含的基本事件个数m＝＝80，由此能求出至少有2个红球的概率．解：一个袋中装有6个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，现从袋中任意取出3个球，基本事件总数n＝＝120，至少有2个红球包含的基本事件个数m＝＝80，∴至少有2个红球的概率为p＝＝．故答案为：．15．某种圆柱形饮料罐的容积为定值，当底面半径R与它的高h的比值为时，可以使它的用料最省．【分析】由题意可得V＝πR2h，则表面积S＝2πR2+2πRh，代入后结合基本不等式即可求解．解：由题意可得V＝πR2h，则表面积S＝2πR2+2πRh＝2πR2+2πR×＝2πR2+＝≥3＝3，当且仅当2＝πRh即h＝2R，此时R：h＝．故答案为：16．函数f（x）＝x2﹣tlnx的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝kx+m，则k+m＝1；若方程f（x）＝0有两个不等的实数解，则t的取值范围为（2e，+∞）．【分析】先利用导数求出f（x）在（1，f（1））处的切线方程，整理成斜截式，即可得到k+m；对原函数求导数，得到f（x）的极小值点，并令极小值小于0，即可求出结果．解：由已知得：（x＞0），∴f′（1）＝2﹣t，f（1）＝1，故切线方程为：y﹣1＝（2﹣t）（x﹣1），即y＝（2﹣t）x﹣（1﹣t），所以k+m＝2﹣t﹣（1﹣t）＝1．当t≤0时，显然f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）＝0至多有一个根；当t＞0时，令f′（x）＝0得，当x时，f′（x）＜0，f（x）此时单调递减；当时，f′（x）＞0，f（x）此时单调递增．易知，当x→0，或x→+∞时，都有f（x）→+∞．所以，要使f（x）＝0有两个根，只需，即，∴，故t的范围为（2e，+∞）．故答案为：1，（2e，+∞）．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知复数z使得z+2i∈R，∈R，其中i是虚数单位．（1）求复数z的共轭复数；（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．【分析】（1）设z＝x+yi（x，y∈R），则z+2i＝x+（y+2）i，由虚部为0求得y值．再把利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得x值，则z可求，可求；（2）把（z+mi）2变形为复数的代数形式，再由实部大于0且虚部小于0列不等式组求解m的范围．解：（1）设z＝x+yi（x，y∈R），则z+2i＝x+（y+2）i，∵z+2i∈R，∴y+2＝0，即y＝﹣2．又∈R，∴x﹣4＝0，即x＝4．∴x＝4﹣2i，则；（2）∵m为实数，且（z+mi）2＝[4+（m﹣2）i]2＝（12+4m﹣m2）+8（m﹣2）i，由题意，，解得﹣2＜m＜2．∴实数m的取值范围为（﹣2，2）．18．某企业广告费支出与销售额（单位：百万元）数据如表所示：广告费x64825销售额y5040703060（1）求销售额y关于广告费x的线性回归方程；（2）预测当销售额为76百万元时，广告费支出为多少百万元．回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b＝，a＝﹣b．【分析】（1）由已知求得与的值，可得销售额y关于广告费x的线性回归方程；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取y＝76求得x值即可．解：（1），．＝＝，．∴销售额y关于广告费x的线性回归方程为；（2）当时，代入回归方程，求得x＝9．故预测当销售额为76百万元时，广告费支出为9百万元．19．根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围．为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：得分[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]男性人数4912131163女性人数122211042（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率．现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为X，求X的概率分布和数学期望．不太了解比较了解合计男性女性合计附：X2＝，（n＝a+b+c+d）．临界值表：P（X2≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001x0）x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）完成列联表，求出X2≈11.29＞10.828，从而有99.9%的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关．（2）推导出X～B（3，），由此能求出X的概率分布和数学期望．解：（1）由题意得到列联表如下：不太了解比较了解合计男性253358女性53742合计3070100X2＝＝≈11.29．∵11.29＞10.828，∴有99.9%的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关．（2）由题意得该校1名学生家长“比较了解”的概率为，且X～B（3，），P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X0123PE（X）＝＝．20．如图四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PB⊥底面ABCD，BA＝BD＝，AD＝2，PB＝，E，F分别是棱AD，PC的中点．（1）求异面直线EF与AB所成角的正切值；（2）求三棱锥P﹣BAD外接球的体积．【分析】（1）取BC的中点，连接FM，EM，由题意可得∠FEM即为异面直线EF与AB所成角或补角，在Rt△EMF中可得其正切值；（2）由△ABD的边长，可得AB⊥BD，可得过P，A，B，D四点的球即以BP，BD，BA为三条邻边的长方体的外接球，再由2R＝＝，由球的体积公式可得外接球的体积．解：（1）取BC的中点M，连接FM，ME，因为F为PC的中点，所以FM∥PB，且FM＝PB＝，又E为AD的中点，所以ME∥AB，且EM＝AB＝，所以∠FEM即为异面直线EF与AB所成角或补角，因为PB⊥面AC，所以FM⊥面AC，可得FM⊥EM，所以tan∠FEM＝＝＝；（3）在△ABD中，AB2+BD2＝4＝AD2，所以可得AB⊥BD，所以过P，A，B，D四点的球即以BP，BD，BA为三条邻边的长方体的外接球，设球的半径为R，则2R＝＝，即R＝，所以三棱锥P﹣BAD外接球的体积V＝πR3＝π．21．为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛．比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．（1）求甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率；（2）请通过计算说明，哪两个人进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大？【分析】（1）设事件M为“甲和乙先赛且共进行4场比赛”，则有两类：第一种是甲和乙比赛，甲胜乙，再甲与丙比赛，丙胜甲，再丙与乙比赛，乙胜丙，再进行第四场比赛，第二种是甲和乙比赛，乙胜甲，再乙与丙比赛，丙胜乙，再丙与甲比赛，甲胜丙，进行行第四场比赛，由此利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率计算公式能求出甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率．（2）设事件A表示甲与乙先赛且赛且甲获得冠军，事件B表示甲与丙先赛且甲获得冠军，事件C表示乙与丙先赛且甲获得冠军，分别求出对应的概率，由此能求出甲与乙进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大．解：（1）设事件M为“甲和乙先赛且共进行4场比赛”，则有两类：第一种是甲和乙比赛，甲胜乙，再甲与丙比赛，丙胜甲，再丙与乙比赛，乙胜丙，再进行第四场比赛，第二种是甲和乙比赛，乙胜甲，再乙与丙比赛，丙胜乙，再丙与甲比赛，甲胜丙，进行行第四场比赛，∴甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率为：P（M）＝+（1﹣）×（1﹣）×＝．（2）设事件A表示甲与乙先赛且赛且甲获得冠军，事件B表示甲与丙先赛且甲获得冠军，事件C表示乙与丙先赛且甲获得冠军，P（A）＝×+（1﹣）×＝，P（B）＝+＝，P（C）＝＝，∵，∴甲与乙进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大．22．已知函数．（1）当a＝2时，求过坐标原点且与函数y＝f（x）的图象相切的直线方程；（2）当a∈（0，2）时，求函数f（x）在[﹣2a，a]上的最大值．【分析】（1）设出切点坐标，代入a的值，表示出切线方程，根据切线过（0，0），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．解：（1）设切点坐标为（x0，y0），当a＝2时，f（x）＝x3+2x2+4x，则f′（x）＝x2+4x+4，故切线方程为y﹣﹣2﹣4x0＝（+4x0+4）（x﹣x0），又过原点（0，0），故﹣﹣2﹣4x0＝﹣﹣4﹣4x0，解得：x0＝0或x0＝﹣3，当x0＝0时，切线方程是y＝4x，当x0＝﹣3时，切线方程是y＝x；（2）∵f（x）＝x3+x2+2ax，故f′（x）＝x2+（a+2）x+2a＝（x+2）（x+a），令f′（x）＝0，解得：x＝﹣a或x＝﹣2，①当﹣2a≥﹣2即0＜a≤1时，f（x）在（﹣2a，﹣a）递减，在（﹣a，a）递增，故f（x）max＝max{f（﹣2a），f（a）}，∵f（﹣2a）＝﹣a3＜0，f（a）＝a3+3a2＞0，∴f（﹣2a）＜f（a），故f（x）的最大值是f（a）＝a3+3a2；②当﹣2a＜﹣2即1＜a＜2时，f（x）在（﹣2a，﹣2）递增，在（﹣2，﹣a）递减，在（﹣a，a）递增，故f（x）max＝max{f（﹣2），f（a）}，而f（﹣2）＝﹣2a，f（a）＝a3+3a2；由f（a）﹣f（﹣2）＝a2（a+3）+（2a﹣）＞0，得f（a）＞f（﹣2），故f（x）max＝f（a）＝a3+3a2；综上，函数f（x）在[﹣2a，a]上的最大值是f（a）＝a3+3a2．。
无锡市2019-2020学年数学高二第二学期期末预测试题含解析
无锡市2019-2020学年数学高二第二学期期末预测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知01a <<，则方程log xa a x =的实根个数为n ，且()()()()()()11210110121011112222n x x a a x a x a x a x +++=+++++⋅⋅⋅++++，则1a =（ ）A ．9B ．10-C ．11D ．12-2．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）．A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式 3．已知直线20mx y --=与直线30++=x ny 垂直，则,m n 的关系为（ ） A ．0m n +=B ．10++=m nC ．0-=m nD ．10-+=m n4．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ） A ．310πB ．320π C ．3110π-D ．3120π-5．方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件是 A ．01a <≤B ．1a <C ．1a ≤D ．01a <≤或0a <6．若,αβ均为第二象限角，满足3sin 5α=，5cos 13β=-，则cos()αβ+=（ ）A ．3365-B ．1665-C ．6365D ．33657．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若函数2()ln =++af x x x x在1x =处取得极小值，则()f x 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．69．设a b c >>，且0a b c ++=，则下列不等式恒成立的是() A ．ab bc > B ．ac bc > C ．a b c b >D ．ab ac >10．下列命题中正确的是（ ）A ．1y x x=+的最小值是2 B．222y x =+的最小值是2C ．()4230y x x x =-->的最大值是243- D ．()4230y x x x=-->的最小值是243-11．已知曲线42:1C x y +=，给出下列命题：①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 关于y 轴对称；③曲线C 关于原点对称；④曲线C 关于直线y x =对称；⑤曲线C 关于直线y x =-对称，其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M∪X＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．把一个大金属球表面涂漆，共需2.4公斤油漆，若把这个大金属球融化成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，把这些小金属球表面都涂漆，需要这种油漆_______公斤.14．刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛.如数式12122+++⋅⋅⋅是一个确定值x (数式中的省略号表示按此规律无限重复)，该数式的值可以用如下方法求得：令原式x =，则12x x+=，即2210x x --=，解得12x =±，取正数得21x =+.用类似的方法可得666+++⋅⋅⋅=_____________.15．如图为一个空间几何体的三视图，其主视图与左视图是边长为2的正三角形，俯视图轮廓是正方形，则该几何体的侧而积为_______.16．若函数 在上存在单调增区间，则实数的取值范围是_______.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数f （x ）＝alnx ﹣ex （a∈R）．其中e 是自然对数的底数． （1）讨论函数f （x ）的单调性并求极值；（2）令函数g （x ）＝f （x ）+e x ，若x∈[1，+∞）时，g （x ）≥0，求实数a 的取值范围．18．已知点P(2,2),圆22:80C x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A,B 两点,线段AB 的中点为M,O 为坐标原点.(1)求点M 的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l 的方程及△POM 的面积.19．（6分）大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关．为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了100名魔方爱好者进行调查，得到的部分数据如表所示：已知在全部100人中随机抽取1人抽到喜欢盲拧的概率为35． 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计 男 10 女 20 总计100表（1）并邀请这100人中的喜欢盲拧．．．．的人参加盲拧三阶魔方比赛，其完成时间的频率分布如表所示： 完成时间（分钟） [0，10） [10，20） [20，30） [30，40] 频率 0.20.40.30.1表（2）（Ⅰ）将表（1）补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？（Ⅱ）现从表（2）中完成时间在[30，40] 内的人中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，记完成时间在[30，40]内的甲、乙、丙3人中恰有一人被抽到为事件A ，求事件A 发生的概率．（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）P （K 2≥k 0）0.100.050.0250.0100.0050.00120．（6分）已知函数()22ln 3f x x x x ax =+-+ （1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线;（2）若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（e 是自然对数的底数），使不等式()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围.21．（6分）某医药开发公司实验室有()*n n N ∈瓶溶液，其中()m m N ∈瓶中有细菌R ，现需要把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案： 方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n +. (1)假设52n m ==，，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率； (2)现对n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为(01)P p ≤≤. 若采用方案一.需检验的总次数为ξ,若采用方案二.需检验的总次数为η. (i)若ξ与η的期望相等.试求P 关于n 的函数解析式()P f n =;(ii)若14P 1e -=-,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求n 的最大值.参考数据：ln 20.69,ln3 1.10,ln5 1.61,ln 7 1.95≈≈≈=22．（8分）已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b ∈R)是复平面上的四个点,且向量,AB CD 对应的复数分别为z 1,z 2.(1)若z 1+z 2=1+i,求z 1,z 2;(2)若|z 1+z 2|=2,z 1-z 2为实数,求a,b 的值.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】由xy a =与log a y x =的图象交点个数可确定2n =；利用二项式定理可分别求得()()1111121x x +=+-和()()22121x x +=+-的展开式中()2x +项的系数，加和得到结果.【详解】当01a <<时，xy a =与log a y x =的图象如下图所示：可知xy a =与log a y x =有且仅有2个交点，即log xa a x =的根的个数为22n ∴= ()()()()()()1121121111112121n x x x x x x ∴+++=+++=+-++-()1121x +-的展开式通项为：()11112rrC x -+∴当111r -=，即10r =时，展开式的项为：()112x +又()()()22212221x x x +-=+-++11129a ∴=-=本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的系数的问题，涉及到函数交点个数的求解；解题关键是能够将二项式配凑为展开项的形式，从而分别求解对应的系数，考查学生对于二项式定理的综合应用能力. 2．C 【解析】分析：根据归纳推理、类比推理、演绎推理得概念判断选择.详解：某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人,这个是归纳推理；由三角形的性质，推测空间四面体的性质，是类比推理；平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分，是演绎推理； 在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式，是归纳推理，因此选C. 点睛：本题考查归纳推理、类比推理、演绎推理，考查识别能力. 3．C 【解析】 【分析】根据两直线垂直，列出等量关系，化简即可得出结果. 【详解】因为直线20mx y --=与直线30++=x ny 垂直， 所以110⨯-⨯=m n ， 即0-=m n 选C 【点睛】根据两直线垂直求出参数的问题，熟记直线垂直的充要条件即可，属于常考题型. 4．D 【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：815381517r ⨯==⇒++落在内切圆内的概率为2331208152r ππ⨯==⨯⨯，故落在圆外的概率为3120π- 5．C 【解析】试题分析：①0a ≠时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则0a <；若方程有两个负的实根，则必有102{001440aa aa >-<∴≤∆=-≥＜．．②若0a =时，可得12x =-也适合题意． 综上知，若方程至少有一个负实根，则1a ≤．反之，若1a ≤，则方程至少有一个负的实根， 因此，关于x 的方程2210ax x ++=至少有一负的实根的充要条件是1a ≤． 故答案为C考点：充要条件，一元二次方程根的分布 6．B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosα和sinβ的值，两角和的三角公式求得cos （α+β）的值． 【详解】 解：∵sinα35=，cosβ513=-，α、β均为第二象限角，∴cosα45==-，sinβ1213==， ∴cos （α+β）＝cosαcosβ-sinαsinβ45⎛⎫=- ⎪⎝⎭•（513-）3121651365-⋅=-，故答案为B 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，属于基础题． 7．B 【解析】当α⊥β时，平面α内的直线m 不一定和平面β垂直，但当直线m 垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件． 8．B 【解析】 【分析】先对函数求导，根据题意，得到3a =，再用导数的方法研究函数单调性，进而可求出结果. 【详解】因为2()ln =++af x x x x， 所以21()2'=-+a f x x x x ，又函数2()ln =++a f x x x x在1x =处取得极小值，所以(1)210'=-+=f a ，所以3a =，因此332222231232(1)(1)(223)(1)()2+--+-++-'=-+===x x x x x x x f x x x x x x x， 由()0f x '>得1x >；由()0f x '<得01x <<，所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增； 所以min ()(1)134==+=f x f ； 故选B 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型. 9．D 【解析】 【分析】逐一分析选项，得到正确答案. 【详解】由已知可知0,0a c ><，b 可以是正数，负数或0， A.不确定，所以不正确；B.当a b >时，两边同时乘以c ，应该ac bc <，所以不正确；C.因为b 有可能等于0，所以a b c b ≥，所以不正确；D.当b c >时，两边同时乘以a ，ab ac >，所以正确. 故选D. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于简单题型. 10．C 【解析】 因为A.1y x x=+的最小值是2，只有x>0成立。
无锡市2019-2020学年数学高二第二学期期末预测试题含解析
无锡市2019-2020学年数学高二第二学期期末预测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．三位男同学和两位女同学随机排成一列，则女同学甲站在女同学乙的前面的概率是（） A ．12B ．25C ．13D ．23【答案】A 【解析】 【分析】三男两女的全排列中女同学甲要么站在女同学乙的前面要么站在女同学的后面． 【详解】三男两女的全排列中女同学甲要么站在女同学乙的前面要么站在女同学的后面． 即概率都为12【点睛】本题考查排位概率，属于基础题．2．已知函数f(x)＝a x ，其中a>0，且a ≠1，如果以P(x 1，f(x 1))，Q(x 2，f(x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f(x 1)·f(x 2)等于( ) A ．1 B ．aC ．2D ．a 2【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得120x x +=，再根据指数运算性质得解. 【详解】因为以P(x 1，f(x 1))，Q(x 2，f(x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，所以120x x +=. 因为f(x)＝a x ，所以f(x 1)·f(x 2)=121201x x x x a a a a +⋅===. 故答案为：A 【点睛】本题主要考查指数函数的图像性质和指数运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.3．抛物线214y x =的焦点到双曲线2213x y -=的渐近线的距离为（ ）A ．12B C ．1D 【答案】B 【解析】抛物线214y x =的焦点为：()0,1， 双曲线2213x y -=的渐近线为：30y x ±=.点()0,1到渐近线30y x ±=的距离为：33231=+. 故选B.4．已知集合{3,2,0,2,4}A =--,2{|32}B x y x x ==--,则下图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{3,2,0}-B ．{2,4}C ．{0,4}D ．{3,2,4}--【答案】B 【解析】分析：根据韦恩图可知阴影部分表示的集合为()R A C B ，首先利用偶次根式满足的条件，求得集合B ，根据集合的运算求得结果即可.详解：根据偶次根式有意义，可得2320x x --≥，即2230x x +-≤，解得31x -≤≤，即{}|31B x x =-≤≤， 而题中阴影部分对应的集合为()R AC B ，所以{}()2,4R A C B ⋂=，故选B.点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在求解的过程中，首先需要明确偶次根式有意义的条件，从而求得集合B ，再者应用韦恩图中的阴影部分表示的是()R AC B ，再利用集合的运算法则求得结果.5．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于A ．0.2B ．0.8C ．0.196D ．0.804 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知发病的牛的头数为，所以；故选C ．考点：二项分布的期望与方差． 6．已知a ，b ，c 均为正实数，则a b ，b c ，ca的值（ ）A ．都大于1B ．都小于1C ．至多有一个不小于1D ．至少有一个不小于1【答案】D 【解析】分析:对每一个选项逐一判断得解.详解：对于选项A,如果a=1,b=2,则112a b =<，所以选项A 是错误的.对于选项B,如果a=2,b=1,则21a b =>，所以选项B 是错误的.对于选项C,如果a=4,b=2,c=1,则421,2a b ==>2211b c ==>，所以选项C 是错误的.对于选项D,假设1,1,1a b cb c a<<<，则33,33a b ca b c a b cb c a b c a b c a++<++≥⋅⋅=，显然二者矛盾，所以假设不成立，所以选项D 是正确的.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数,,a b c 至少有一个不小于1的否定是 1.1, 1.a b c <<<7．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N Q ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割(),M N ，下列选项中不可能成立的是 A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素 B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素 C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素 D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素 【答案】C 【解析】 试题分析：设,显然集合M 中没有最大元素，集合N 中有一个最小元素，即选项A 可能；,显然集合M 中没有最大元素，集合N 中也没有最小元素，即选项B 可能；,显然集合M 中有一个最大元素，集合N 中没有最小元素，即选项D 可能；同时，假设答案C 可能，即集合M 、N 中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的，故选C ． 考点：以集合为背景的创新题型．【方法点睛】创新题型，应抓住问题的本质，即理解题中的新定义，脱去其“新的外衣”，转化为熟悉的知识点和题型上来．本题即为，有理数集的交集和并集问题，只是考查两个子集中元素的最值问题，即集合M 、N 中有无最大元素和最小元素．8．由2，3，5，0组成的没有重复数字的四位偶数的个数是（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．14【答案】B 【解析】 【分析】根据个位是0和2分成两种情况进行分类讨论，由此计算出所有可能的没有重复数字的四位偶数的个数. 【详解】当0在个位数上时，有336A =个；当2在个位数上时，首位从5，3中选1，有两种选择，剩余两个数在中间排列有2种方式，所以有224⨯=个所以共有10个． 故选：B 【点睛】本小题主要考查简单排列组合的计算，属于基础题.9．函数f(x)＝e x －3x －1(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意，知f(0)＝0，且f′(x)＝e x －3，当x ∈(－∞，ln3)时，f′(x)<0，当x ∈(ln3，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，ln3)上单调递减，在(ln3，＋∞)上单调递增，结合图象知只有选项D 符合题意，故选D.10．已知1F 、2F 为双曲线C ：221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为 A 3B 6C 3D 6【答案】B 【解析】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000[()]12a PF e x a ex x c=--=+=+，22000[)]1a PF e x ex a c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||2PF PF F F PF PF +-，即cos 060222=2052x =，所以2200312y x =-=，故P 到x 轴的距离为0y =. 11．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，则△ABC 的内切圆半径为2Sb cr a =++.将此结论类比到空间四面体：设四面体S ABC -的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，体积为V ，则四面体的内切球半径为r ＝（ ） A ．1234VS S S S +++B ．12342VS S S S +++C ．12343VS S S S +++D ．12344VS S S S +++【答案】C 【解析】 【分析】由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可. 【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：()123413V S S S S r =+++，所以12343V S S S S r =+++.故选：C 【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，属于中档题. 12．已知集合{}250M x x x =-，{2,3,4,5,6,7,8}N =,则M N ⋂等于( )A ．{}3,4B ．5,6C ．{}2,3,4D ．{}2,3,4,5【答案】C 【解析】 【详解】分析：利用一元二次不等式的解法求出M 中不等式的解集确定出M ，然后利用交集的定义求解即可.详解：由M 中不等式变形得()50x x -<， 解得05x <<，即{}|05M x x =<<，因为{}2,3,4,5,6,7,8N =，{}2,3,4M N ∴⋂=，故选C.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥. 二、填空题：本题共4小题 13．在6()m x -的展开式中常数项为30，则实数m 的值是____． 【答案】2； 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项，当x 的次幂为0时，求得2r ，再由展开式中常数项为30，得到关于m 的方程.【详解】 因为1626322166()(1)(0,1,,6)r r rrr rrr T C xm x C xm r ---+=⋅⋅-⋅=⋅⋅-=，当2r时，23630T C m =⋅=，解得：2m =.【点睛】本题考查二项式定理中的展开式，考查基本运算求解能力，运算过程中要特别注意符号的正负问题.14．已知变量,x y 满足约束条件2823y x x y x y ≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩,则目标函数62z x y =-的最小值为 __________．【答案】4 【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义和数形结合即可得到答案 详解：作出不等式组对应的平面区域如图：由62z x y =-可得：32z y x =-平移直线32z y x =-，由图象可知当直线32zy x =-经过点A 时， 直线32zy x =-的截距最大，此时z 最小 23y x x y =⎧∴⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即()11A ，此时61214z =⨯-⨯=故目标函数62z x y =-的最小值为4点睛：本题主要考查的知识点是线性规划的应用，画出可行域，转化目标函数，将其转化为几何意义，在y 轴的截距问题即可解答。
无锡市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末预测试题含解析
无锡市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末预测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．根据下表样本数据x6 8 9 10 12 y65432用最小二乘法求得线性回归方程为ˆˆ10.3ybx =+则4x =当时，y 的估计值为 A ．6.5 B ．7C ．7.5D ．8【答案】C 【解析】 【分析】先根据回归直线方程过样本点的中点(),x y 求解出ˆb，然后再代入4x =求y 的值. 【详解】 因为6891012654329,455x y ++++++++====，所以ˆ4910.3b=+，即ˆ0.7b =-，所以回归直线方程为：ˆ0.710.3yx =-+，代入4x =，则7.5y =， 故选：C. 【点睛】本题考查依据回归直线方程求估计值，难度较易.回归直线方程一定过样本点的中心，也就是(),x y ，这一点要注意. 2．如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是区间上的“双中值函数”.已知函数是区间上的“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ）A ．（，）B ．（，3）C ．（，1）D ．（，1） 【答案】C 【解析】 试题分析：，，所以函数是区间上的“双中在区间有两个不同的实数解，令，则问题可转化为在区间上函数有两个不同的零点，所以，解之得，故选C.考点：1.新定义问题；2.函数与方程；3.导数的运算法则.【名师点睛】本题考查新定义问题、函数与方程、导数的运算法则以及学生接受鷴知识的能力与运用新知识的能力，难题.新定义问题是命题的新视角，在解题时首先是把新定义问题中的新的、不了解的知识通过转翻译成了解的、熟悉的知识，然后再去求解、运算.3．已知随机变量X 服从正态分布(4,1)N ，且(5)0.1587P x >=，则(34)P x <<=（ ） A ．0.6826 B ．0.1587C ．0.1588D ．0.3413【答案】D 【解析】分析：根据随机变量符合正态分布，知这组数据是以4x =为对称轴的，根据所给的区间的概率与要求的区间的概率之间的关系，单独要求的概率的值． 详解：∵机变量X 服从正态分布()4,1N ，，(5)0.1587P x >=，∴10.15872(34)?0.34132P x -⨯<<==.故选：D ．点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查根据正态曲线的性质求某一个区间的概率，属基础题．4．11||d x x -=⎰（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据定积分的意义和性质，111||2x dx xdx -=⎰⎰，计算即可得出.【详解】 因为11210101||2=2|12x dx xdx x -=⨯=⎰⎰，本题主要考查了含绝对值的被积函数的定积分求值，定积分的性质，属于中档题.5．甲，乙，丙，丁四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：甲：“我得第一名”；乙：“丁没得第一名”；丙：“乙没得第一名”；丁：“我得第一名”.已知他们四人中只有一个说真话，且只有一人得第一.根据以上信息可以判断得第一名的人是 （ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 【答案】B【解析】分析：分别假设甲、乙、丙、丁得第一名，逐一分析判断即可. 详解：若甲得第一名，则甲、乙、丙说了真话，丁说了假话，不符合题意； 若乙得第一名，则乙说了真话，甲、丙、丁说了假话，符合题意； 若丙得第一名，则乙、丙说了真话，甲、丁说了假话，不符合题意； 若丁得第一名，则丙、丁说了真话，甲、乙说了假话，不符合题意点睛：本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查逻辑推理能力，属于基础题． 6．若0n >，则9n n+的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】 【分析】利用均值不等式求解即可． 【详解】∵96n n+≥=（当且仅当n ＝3时等号成立） 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则． 7．已知随机变量X 的分布列为（ ）若()()013pD X p =<<，则p 的值为（ ） A ．23B ．14C ．13D ．12【答案】A先由题计算出期望，进而由()()()()22011113pD X p p p p =⨯--+-⨯--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦计算得答案。
2019-2020学年江苏省无锡市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
2019-2020学年江苏省无锡市数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x 单调递减，若120x x +>，则()()12f x f x +的值( ) A ．恒为负值 B ．恒等于零 C ．恒为正值 D ．无法确定正负【答案】A 【解析】 【分析】依据奇函数的性质，()f x 在[)0,+∞上单调递减，可以判断出()f x 在(),-∞+∞上单调递减，进而根据单调性的定义和奇偶性的定义，即可判断()()12f x f x +的符号。
【详解】因为0x ≥时，()f x 单调递减，而且()f x 是定义在R 上的奇函数，所以，()f x 在(),-∞+∞上单调递减，当120x x +>时，12x x >-，由减函数的定义可得，()()()122f x f x f x <-=-，即有()()120f x f x +<，故选A 。
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性应用。
2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得. 【详解】依题意正四棱柱的体对角线1BD 是其外接球的直径, 1BD 的中点O 是球心, 如图:依题意设AB BC ==x ,则正四棱柱的体积为:24x 16=,解得2x =, 所以外接球的直径2222444162426R x x ++=++=所以外接球的半径6R =,则这个球的表面积是2424R ππ=.故选C . 【点睛】本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题. 3．在ABC ∆中，222a b c bc =+-，则角A 为（） A ．30o B ．150o C ．120o D ．60o【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理解出即可． 【详解】2221cos ==6022b c a A A bc +-=⇒︒【点睛】本题考查余弦定理的基本应用，属于基础题．4．在四边形ABCD 中，如果0AB AD ⋅=u u u v u u u v ，AB DC =u u u v u u u v，那么四边形ABCD 的形状是（ ） A ．矩形 B ．菱形C ．正方形D ．直角梯形【答案】A 【解析】由AB DC =u u u r u u u r 可判断出四边形ABCD 为平行四边形，由0AB AD ⋅=uu u r uuu r可得出AB AD ⊥，由此判断出四边形ABCD 的形状.【详解】AB DC =uu u r uuu rQ ，所以，四边形ABCD 为平行四边形，由0AB AD ⋅=uu u r uuu r可得出AB AD ⊥，因此，平行四边形ABCD 为矩形，故选A. 【点睛】本题考查利用向量关系判断四边形的形状，判断时要将向量关系转化为线线关系，考查转化与化归思想，同时也考查了推理能力，属于中等题.5．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和都是等差数列，且公差相等，则a 6＝( ) A ．32B ．114C ．.72D ．1【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列{a n }和的公差为d ，可得a n =a 1+（n ﹣1）d （n ﹣1）d ，于是d 2d ，化简整理可得a 1，d ，即可得出．【详解】设等差数列{a n }和的公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d （n ﹣1）d ，d 2d ，平方化为：a 1+d=d 2+，2a 1+3d=4d 2+，可得：a 1=d ﹣d 2，代入a 1+d=d 2+， 化为d （2d ﹣1）=0， 解得d=0或12． d=0时，可得a 1=0，舍去．∴12d =，a 1=14． ∴a 6=11115424+⨯=．故答案为：B(1)本题主要考查等差数列的通项和前n 项和，意在考查学生岁这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)d 2d 求出d. 6．已知复数()()121z i i =+-，则其共轭复数z 对应的点在复平面上位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数的乘法求出复数z ，再根据共轭复数的定义求出复数z ，即可得出复数z 在复平面内对应的点所处的象限． 【详解】()()2121123z i i i i i =+-=+-=+Q ，3z i ∴=-，所以， 复数z 在复平面对应的点的坐标为()3,1-，位于第四象限，故选D ． 【点睛】本题考查复数的除法，考查共轭复数的概念与复数的几何意义，考查计算能力，属于基础题．7．设,x y ∈R ，且0xy ≠，则222241x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ）A ．9-B ．9C ．10D ．0【答案】B 【解析】 【分析】利用柯西不等式得出最小值． 【详解】 （x 224y +）（y 221x+）≥（x 12y x y ⋅+⋅）2＝1．当且仅当xy 2xy=即xy = 时取等号． 故选：B ． 【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题．8．甲、乙两支球队进行比赛，预定先胜 3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.结束除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立.则甲队以3：2获得比赛胜利的概率为（ ） A ．281B ．427C ．827D ．1681【答案】B 【解析】若是3:2获胜，那么第五局甲胜，前四局2:2，所以概率为2224121423327P C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 9．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（ ） A ．1 B ．13C ．12D ．3【答案】B 【解析】 【分析】利用柯西不等式得出()()()2222222111x y z x y z ++++≥++，于此可得出222x y z ++的最小值。
2019-2020学年无锡市数学高二(下)期末预测试题含解析
2019-2020学年无锡市数学高二(下)期末预测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于A ，B 两点，若AB 4=，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于（ ） A ．74B ．94C ．4D ．2【答案】B 【解析】直线4kx ﹣4y ﹣k=0可化为k （4x ﹣1）﹣4y=0，故可知直线恒过定点（14，0） ∵抛物线y 2=x 的焦点坐标为（14，0），准线方程为x=﹣74， ∴直线AB 为过焦点的直线 ∴AB 的中点到准线的距离222FA FBAB +==∴弦AB 的中点到直线x+12 =0的距离等于2+14=94. 故选B ．点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化． 2．数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，112n n n nb a a b ++-==，n *∈N ，则数列{}na b 的前n 项和为（ ）． A ．()14413n -- B ．()4413n- C ．()11413n -- D ．()1413n- 【答案】D 【解析】 【分析】由题意是数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 的等比数列，分别求出它们的通项，再利用等比数列前n 项和公式即可求得. 【详解】 因为112n n n nb a a b ++-==，111a b ==，所以数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 的等比数列， 因此()12121n a n n =+-=-，11122n n n b --=⨯=，数列{}n a b 的前n 项和为：1213521n a a a n b b b b b b b -+++=++++L L02422222n =++++L()14141143n n -==--. 故选：D . 【点睛】本题主要考查的是数列的基本知识，等差数列、等比数列的通项公式以及等比数列的求和公式的应用，是中档题.3．已知实数x ，y满足(21x y =，则x 与y 的关系是（ ）A ．0x y ==B ．0xy =C ．20x y +=D ．20x y +>【答案】C 【解析】 【分析】设a x =，2b y =+1ab =，对2a x b y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩222141a ax b by ⎧-=⎨-=⎩，代入1ab =得24a x bb y a -=⎧⎨-=⎩，两式相加即可. 【详解】设a x =，2b y =+ 则1ab =且,0a b ≠2a x b y ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩等式两边同时平方展开得：222222214441a ax x x b by y y ⎧-+=+⎨-+=+⎩， 即222141a axb by ⎧-=⎨-=⎩ 令等式中1ab =，化简后可得：24a x bb y a-=⎧⎨-=⎩ 两式相加可得20x y += 故选：C 【点睛】本题考查了代数式的计算化简求值，考查了换元法，属于中档题4．4(2)x +的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到二项展开式的通项，进而可得出结果. 【详解】因为4(2)x +的展开式的第1r +项为4142-+=r r r r T C x ，令3x =，则3334428==T C x x ，所以3x 的系数为8. 故选D 【点睛】本题主要考查求指定项的系数问题，熟记二项式定理即可，属于常考题型.5．若过点()1,P m 可作两条不同直线与曲线段C ：22y x x =+ (12)x -≤≤相切，则m 的取值范围是（ ） A ．()1,3- B ．[]1,2- C ．[]2,3 D ．[)2,3【答案】D 【解析】 【分析】设切点为()00,x y ，写出切线方程为200002(22)()y x x x x x --=+-，把(1,)m 代入，关于0x 的方程在[1,2]-上有两个不等实根，由方程根的分布知识可求解.【详解】设切点为()00,x y ，22y x '=+,则切线方程为200002(22)()y x x x x x --=+-，(1,)P m 在切线上，可得()()220000221312m x x x x +--≤≤=-+=-+，函数2()(1)3h x x =--+(12)x -≤≤在[1,1]-上递增，在[1,2]上递减，max ()3h x =，又(1)1h -=-，(22)h =，∴如果0x 有两解，则23m ≤<.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查方程根的分布问题。
江苏省无锡市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷(II)卷
江苏省无锡市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高三上·霍邱月考) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高一上·天津期中) 函数f（x）= +lg（x﹣1）+（x﹣3）0 的定义域为（）A . {x|1＜x≤4}B . {x|1＜x≤4且x≠3}C . {x|1≤x≤4且x≠3}D . {x|x≥4}3. （2分）设是实数，且是实数，则（）A .B .C .D .4. （2分）函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是（）A . －1D . 25. （2分）设曲线在点处的切线与直线平行，则实数等于（）A .B .C . 2D .6. （2分）用反证法证明“a，b，c三个实数中最多只有一个是正数”，下列假设中正确的是（）A . 有两个数是正数B . 这三个数都是正数C . 至少有两个数是负数D . 至少有两个数是正数7. （2分）(2017·黑龙江模拟) 二项式（x+1）n（n∈N*）的展开式中x2项的系数为15，则n=（）A . 4B . 5C . 6D . 78. （2分） (2016高三上·浦东期中) 我们定义渐近线：已知曲线C，如果存在一条直线，当曲线C上任意一点M沿曲线运动时，M可无限趋近于该直线但永远达不到，那么这条直线称为这条曲线的渐近线：下列函数：①y= ；②y=2x﹣1；③y=lg（x﹣1）；④y= ；其中有渐近线的函数的个数为（）A . 1D . 49. （2分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤4，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2 ， y1+y2）|（x1 ， y1）∈A，（x2 ， y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A . 49B . 45C . 69D . 7310. （2分）设连续正整数的集合I={1，2，3，…，238}，若T是I的子集且满足条件：当x∈T时，7x∉T，则集合T中元素的个数最多是（）A . 204B . 207C . 208D . 209二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2016高二下·泰州期中) 不等式＜30的解为________．12. （1分） (2019高二下·深圳月考) 函数在[0,3]上的最小值为________.13. （1分）已知函数f（x）= ，则f（f（10））的值为________ ．14. （1分） (2016高二下·赣州期末) 设z= +i，则|z|=________．15. （1分） (2019高三上·维吾尔自治月考) 函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于________.16. （1分）函数f（x）= ，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不等的实数根，则实数m的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共50分)17. （15分）四个男同学和三个女同学站成一排照相，计算下列情况各有多少种不同的站法？（1）男生甲必须站在两端；（2）女生乙不能站在女生丙的左边；（3）女生乙不站在两端，且女生丙不站在正中间．18. （5分） (2016高一上·普宁期中) 已知二次函数g（x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4，最小值0．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）设f（x）= ．若f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，求k的取值范围．19. （10分） (2017高二下·池州期末) 在二项式的展开式中，（1）若所有二项式系数之和为64，求展开式中二项式系数最大的项．（2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和．20. （15分） (2017高三上·武进期中) 在数列{an}中，，，，其中n∈N* ．（1）求证：数列{bn}为等差数列；（2）设cn=bnbn+1cosnπ，n∈N*，数列{cn}的前n项和为Tn，若当n∈N*且n为偶数时，恒成立，求实数t的取值范围；（3）设数列{an}的前n项的和为Sn，试求数列{S2n﹣Sn}的最大值．21. （5分）(2018·北京) 设函数 =[ -(4a+1)x+4a+3] .（I）若曲线y= f（x）在点(1, )处的切线与X轴平行,求a：(II)若在x=2处取得极小值，求a的取值范围。
无锡市2019-2020学年数学高二下期末预测试题含解析
无锡市2019-2020学年数学高二下期末预测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（ ）种．A ．8B ．15C ．18D ．30 【答案】A【解析】【分析】本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果．【详解】由题意知本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法，一是可以用分析法来证明，有3种方法，根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果，故选A ．【点睛】本题考查分类计数问题，本题解题的关键是看清楚完成这个过程包含两种方法，看出每一种方法所包含的基本事件数，相加得到结果．2．若，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】A【解析】【分析】通过充分必要条件的定义判定即可.【详解】 若，显然；若，则，所以“”是“”的充分而不必要条件，故选A.【点睛】 本题主要考查充分必要条件的相关判定，难度很小.3．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．命题“2 ,? 0x R x x ∃∈-≤”的否定是“2 ,? 0x R x x ∃∈->”B ．命题“p q ∨为真”是命题“ p q ∧为真”的充分不必要条件 C ．命题“若22 a m b m ≤，则a b ≤”是假命题 D ．命题“在ABC ∆中，若1sin ? 2A <,则 6A π<”的逆否命题为真命题 【答案】C【解析】对于A ，命题“20x R x x ∃∈-≤，”的否定是“20x R x x ∀∈->，”，故错误；对于B ，命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的必要不充分条件，故错误；对于C ，命题“若22am bm ≤，则a b ≤”在0m =时，不一定成立，故是假命题，故正确；对于D ，“在ABC △中，若1sin 2A <，则6A π<或56A π>”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；故选C.4．设随机变量()X B n, p ～，若EX 3,DX 2==，则n=A ．3B ．6C ．8D ．9 【答案】D【解析】【分析】根据随机变量()X B n, p ～，EX 3,DX 2==得到方程组，解得答案.【详解】随机变量()X B n, p ～，EX 3,DX (1)2np np p ===-= 解得1,93p n == 故答案选D【点睛】本题考查了二项分布的期望和方差，属于常考基础题型.5． “指数函数是增函数，函数()2x f x =是指数函数，所以函数()2x f x =是增函数”，以上推理（ ） A ．大前提不正确B ．小前提不正确C ．结论不正确D ．正确【答案】A【解析】分析：利用三段论和指数函数的单调性分析判断.详解：由三段论可知“指数函数是增函数”是大前提，但是指数函数不一定是增函数，对于指数函数(01)x y a a a =>≠且，当a>1时，指数函数是增函数，当0＜a ＜1时，指数函数是减函数.所以大前提不正确，故答案为：A.点睛：本题主要考查三段论和指数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平.6．函数()ln 2x x f x x -=的图象在点()1,2-处的切线方程为( ) A ．240x y --=B ．20x y +=C ．30x y --=D ．10x y ++= 【答案】C【解析】f′(x)＝21lnx x-，则f′(1)＝1， 故函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.故选C7．若,a b ∈R ，则复数22(610)(45)a a b b i -++-+-在复平面上对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】分析：利用二次函数的性质可判定复数的实部大于零，虚部小于零，从而可得结果.详解：因为2610a a -+=()23110a -+≥>， 245b b -+-=()21210b ---≤-<，所以复数()()2261045a a b b i -++-+-在复平面上对应的点在第四象限，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.8．已知13个村庄中，有6个村庄道路在维修，用X 表示从13个村庄中每次取出9个村庄中道路在维修的村庄数，则下列概率中等于2567913C C C 的是（ ） A ．()2P X ≥B ．()2P X =C ．()4P X ≤D ．()4P X = 【答案】D【解析】【分析】 根据古典概型的概率公式可得解.【详解】由2466C C = 可知选D.【点睛】本题考查古典概型的概率公式，容易误选B ，属于基础题.9．如图所示,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为( )A．6,8 B．6,6 C．5,2 D．6,2【答案】A【解析】【分析】根据题意，应用乘原理，即可求解甲地经乙地到丙地的走法的种数，再由加法原理，即可得到甲地到丙地的所有走法的种数.【详解】由题意，从甲地经乙地到丙地的走法，根据分步乘法计数原理可得，共有23=6⨯种；再由分类加法计数原理，可得从甲地到丙地，共有628+=种走法，故选：A.【点睛】本题主要考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用问题，其中正确理解题意，合理选择计数原理是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10．在同一直角坐标系中，函数11,log(02axy y x aa⎛⎫==+>⎪⎝⎭且1)a≠的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】本题通过讨论a的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.11．以圆M ：22460x y x y ++-=的圆心为圆心，3为半径的圆的方程为（ ）A ．()()22239x y ++-=B ．()()22239x y -++= C ．()()22233x y ++-=D ．()()22233x y -++= 【答案】A【解析】【分析】先求得圆M 的圆心坐标，再根据半径为3即可得圆的标准方程.【详解】 由题意可得圆M 的圆心坐标为()23-，， 以()23-，为圆心，以3为半径的圆的方程为()()22239x y ++-=． 故选:A.【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程转化，圆的方程求法，属于基础题.12．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1010S =，2030S =，则40S =（ ）A ．270B ．150C ．80D ．70【答案】B【解析】【分析】根据题意等比数列{}n a 的公比1q ≠-，由等比数列的性质有1010S =，20103020,,S S S S --L L 成等比数列，可得答案.根据题意等比数列{}n a 的公比1q ≠-.由等比数列的性质有1010S =，20103020,,S S S S --L L 成等比数列所以有1010S =，201020,S S -=则302040S S -=，403080S S -=所以30204070S S =+=，403080150S S =+=故选：B【点睛】本题考查等比数列的前n 项和的性质的应用,属于中档题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，()2,0C p ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，AF 与BC 相交于点E .若2AF CF =，且ACE △的面积为35，则p 的值为______. 【答案】6 【解析】 【分析】 由题意知可求F 的坐标．由于//AB x 轴，||2||AF CF =，||||AB AF =，可得13||||22CF AB p ==，1||||2CE BE =．利用抛物线的定义可得A x ，代入可取A y ，再利用13ACE ABC S S ∆∆=，即可得出p 的值. 【详解】解：如图所示，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，3||2CF p =，||||AB AF =.AB Q 与x 轴平行，||2||AF CF =， 13||||22CF AB p ∴==，1||||2CE BE =．32A p x p ∴+=，解得52A x p =，代入可取5A y p =， 1113535332ACE ABC S S p p ∆∆∴===g g g ，解得6p =．故答案为:6．本题考查了抛物线的定义及其性质、平行线的性质、三角形面积计算公式.本题的关键在于求出A 的坐标后，如何根据已知面积列出方程.14．若9()ax x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ． 【答案】1【解析】【分析】 先求出二项式9()ax x-的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 的值，即可求得展开式中3x 的项的系数，再根据3x 的系数是84-列方程求解即可.【详解】9()a x x -展开式的的通项为()992199rr r r r r r a T C x C x a x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令9233r r -=⇒=， 9()a x x-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-⇒=， 故答案为1.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15．已知随机变量ξ服从正态分布()22,σN ，()40.84ξP ≤=，则()0ξP ≤= ．【答案】0.16【解析】试题分析：因为随机变量ξ服从正态分布()22,σN ，所以正态曲线的对称轴为2x =.由()40.84ξP ≤=及正态分布的性质，()0ξP ≤=1-()410.840.16.ξP ≤=-=考点：正态分布及其性质.16．执行如图所示的流程图，则输出k 的值为_______．【答案】4【解析】【分析】根据程序框图运行程序，直到满足15S >，输出结果即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入0k =，0S =则0300S =+⨯=，1k =，不满足15S >，循环；0313S =+⨯=，2k =，不满足15S >，循环；3329S =+⨯=，3k =，不满足15S >，循环；93318S =+⨯=，4k =，满足15S >，输出结果：4k =本题正确结果：4【点睛】本题考查根据程序框图中的循环结构计算输出结果，属于常考题型.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f x y ⎛⎫⎪⎝⎭＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0。
2019-2020学年无锡市数学高二第二学期期末预测试题含解析
2019-2020学年无锡市数学高二第二学期期末预测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．给出下列三个命题:命题1：存在奇函数()f x 1()x D ∈和偶函数()g x 2()x D ∈,使得函数()()f x g x 12()x D D ∈是偶函数；命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数, 但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =0()x D ∈处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值. 那么真命题的个数是 ( )． A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】对于命题1，取()()0f x g x ==，x ∈R ，满足题意； 对于命题2，取()()f x g x x ==，(,0)x ∈-∞，满足题意； 对于命题3，取2()()f x g x x ==-，x ∈R ，满足题意； 即题中所给的三个命题均为真命题，真命题的个数是3. 本题选择D 选项.2．设函数()nf x '是()n f x 的导函数，0()(cos sin )xf x e x x =+，1()f x '=2()f x '=，*1())n f x n N '+=∈，则2018()f x =（ ）A ．(cos sin )x e x x +B ．(cos sin )x e x x -C ．(cos sin )x e x x -+D ．(cos sin )x e x x --【答案】B 【解析】分析：易得到f n （x ）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f 2008（x ）= f 2（x ），进而得到答案详解：∵f 0（x ）=e x （cosx+sinx ），∴f 0′（x ）=e x （cosx+sinx ）+e x （﹣sinx+cosx ）=2e x cosx ，∴f 1（x ）'f x e x cosx ，∴f 1′（x ）e x （cosx ﹣sinx ）， ∴f 2（x ）'f x =e x （cosx ﹣sinx ），∴f 2′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）+e x （﹣sinx ﹣cosx ）=﹣2e x sinx ，∴f 3（x ）=e x sinx ，∴f 3′（x ）=e x （sinx+cosx ）， ∴f 4（x ）=﹣e x （cosx+sinx ）， ∴f 4′（x ）=﹣2e x cosx ，∴f 5（x ）=e x cosx ， ∴f 6（x ）=﹣e x （cosx ﹣sinx ），∴f 7（x ）x sinx ， ∴f 8（x ）=e x （cosx+sinx ）， …，∴()2018f x == f 2（x ）=()cos sin xe x x -，故选：B ．点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.3．已知焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程是3y x =±，则该双曲线的离心率是（ ）A B ．C D ．3【答案】C 【解析】分析：由题意，双曲线的焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程是3y x =±，求得3ab=，利用离心率的公式，即可求解双曲线的离心率．详解：由题意，双曲线的焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程是3y x =±，即3a b =，所以双曲线的离心率为c e a ====，故选C ． 点睛：本题主要考查了双曲线的离心率的求解问题，其中熟记双曲线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．4．在等差数列{}n a 中0n a >，且122019...4038+++=a a a ，则12019⋅a a 的最大值等于( ） A ．3 B ．4C ．6D ．9【答案】B 【解析】 【分析】先由等差数列的求和公式，得到120194+=a a ，再由基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中122019...4038+++=a a a ， 所以120192019()40382+=a a ，即120194+=a a ，又0n a >， 所以2120191201942+⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭a a a a ，当且仅当120192==a a 时，12019⋅a a 的最大值为4. 故选B 。
2019-2020学年无锡市数学高二下期末预测试题含解析
2019-2020学年无锡市数学高二(下)期末预测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 2．已知全集U ＝Z ，，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于 （ ）A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}3．已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ，且()60.9P X ≤=，则()03P X <<=（ ） A ．0.4 B ．0.5 C ．0.6 D ．0.74．给出下列四个命题：①若z C ∈，则20z ³；②若,a b ∈R ，且a b >，则a i b i +>+；③若复数z 满足(1)2z i -=，则|2|z =z i =，则31z +在复平面内对应的点位于第一象限.其中正确的命题个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 5．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（ ）A ．141种B ．140种C ．51种D ．50种6．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ）A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i - 7．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（ ）A ．8种B ．15种C ．53种D ．35种8．设集合{2,1,0,1,2}A =--,{1,0,1}B =-,22(,)1,,43x y C x y x A y B ⎧⎫⎪⎪=+≤∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭,则集合C 中元素的个数为( )A ．11B ．9C ．6D ．49．定义在(1,)+∞ 上的函数f x （）满足下列两个条件：（1）对任意的(1,)x ∈+∞ 恒有22f x f x =（）（） 成立；（2）当(1,2]x ∈ 时，2f x x =-（） ；记函数()()(1)g x f x k x =-- ，若函数()g x 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[1,2)B ．[1,2]C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若2FP QF =u u u v u u u v ，则||QF =（ ）A ．8B ．4C ．6D ．311．已知函数()sin(2)12f x x π=+，'()f x 是()f x 的导函数，则函数'2()()y f x f x =+的一个单调递减区间是（ ）A ．7[,]1212ππB ．5[,]1212ππ-C ．2[,]33ππ- D ．5[,]66ππ-12．已知i 为虚数单位，15zi i =+，则复数z 的虚部为( )A ．1-B ．1C ．i -D ．i二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知某市A 社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是________人． 14．已知函数()11f x x x =++-，()21g x x x =---，则函数()()y f x g x =+的值域______． 15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sin :sin 1:3A B =，若2cos 3c C ==，则ABC ∆的周长为__________．16．若函数22cos ()1x f x x m x m x =-+++有且只有一个零点，,A B 是222O x y m +=-e ：上两个动点（O 为坐标原点），且1OA OB =-u u u r u u u r g ， 若,A B 两点到直线34100l x y +-=：的距离分别为12,d d ，则12d d +的最大值为__________.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．如图，在正三棱锥P ABC -中，侧棱长和底边长均为a ，点O 为底面中心.（1）求正三棱锥P ABC -的体积V ；（2）求证：BC PA ⊥.18．设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．19．（6分）（1）化简：122m m m n n n C C C --++；（2）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是多少?20．（6分）已知函数()ln f x x =，e 是自然对数的底数.（Ⅰ）若过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线l ，求切线l 的方程；（Ⅱ）当0a >时，不等式()()f x ax b b ≤+∈R 恒成立，求2b f a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值. 21．（6分）在六条棱长分别为2、3、3、4、5、5的所有四面体中，最大的体积是多少？证明你的结论． 22．（8分）有8名学生排成一排，求分别满足下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果.（1）甲不在两端；（2）甲、乙相邻；（3）甲、乙、丙三人两两不得相邻；（4）甲不在排头，乙不在排尾。
江苏省无锡市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题含解析
江苏省无锡市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】在第一次抽到理科题的条件下，剩余4道题中，有2道理科题，代入古典概型概率公式，得到概率． 【详解】因为5道题中有3道理科题和2道文科题，所以第一次抽到理科题的前提下，剩余4道题中，有2道理科题， 第2次抽到理科题的概率为．故选C ．【点睛】本题考查的知识点是古典概型概率公式，分析出基本事件总数和满足条件的事件个数是解答的关键，但本题易受到第一次抽到理科题的影响而出错，容易按独立事件同时发生的概率求解．2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为512y x =±，则焦点到渐近线的距离为（ ） A ．1 B 3C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】首先根据双曲线的焦距得到5c =.【详解】由题知：225c =，5c =，2(5,0)F .2F 到直线20x y -=的距离2250112d -==+.故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，同时考查了点到直线的距离公式，属于简单题. 3．将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（ ） A ．5sin(2)()12y x x R π=+∈ B ．5sin()()212x y x R π=+∈C ．sin()()212x y x R π=-∈ D ．5sin()()224x y x R π=+∈ 【答案】B 【解析】试题分析：函数sin()6y x π=+，()x R ∈的图象上所有点向左平移4π个单位长度得sin()46y x ππ=++，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得5sin()212x y π=+，选B. 考点：三角函数图像变换4．已知01a <<，则方程log xa a x =的实根个数为n ，且()()()()()()11210110121011112222n x x a a x a x a x a x +++=+++++⋅⋅⋅++++，则1a =（ ）A ．9B ．10-C ．11D ．12-【答案】A 【解析】 【分析】由xy a =与log a y x =的图象交点个数可确定2n =；利用二项式定理可分别求得()()1111121x x +=+-和()()22121x x +=+-的展开式中()2x +项的系数，加和得到结果.【详解】当01a <<时，xy a =与log a y x =的图象如下图所示：可知xy a =与log a y x =有且仅有2个交点，即log xa a x =的根的个数为22n ∴= ()()()()()()1121121111112121n x x x x x x ∴+++=+++=+-++-()1121x +-的展开式通项为：()11112rrC x -+∴当111r -=，即10r =时，展开式的项为：()112x +又()()()22212221x x x +-=+-++11129a ∴=-=本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的系数的问题，涉及到函数交点个数的求解；解题关键是能够将二项式配凑为展开项的形式，从而分别求解对应的系数，考查学生对于二项式定理的综合应用能力.5．从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派议程种数是（ ） A ．70 B ．140 C ．420 D ．840【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：先分组：“1个男2个女”或“1个女2个男”，第一种方法数有1254C C 30=，第二种方法数有215440C C =.然后派到西部不同的地区，方法数有()333040420A +⨯=种.考点：排列组合.6．若21)nx+展开式中只有第四项的系数最大，则展开式中有理项的项数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】 【分析】根据最大项系数可得n 的值，结合二项定理展开式的通项，即可得有理项及有理项的个数. 【详解】21nx ⎫⎪⎭展开式中只有第四项的系数最大， 所以6n =，则621x ⎫⎪⎭展开式通项为563216621rrr rrr T C C x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭， 因为06r ≤≤，所以当0,2,4,6r =时为有理项， 所以有理项共有4项，本题考查了二项定理展开式系数的性质，二项定理展开式通项的应用，有理项的求法，属于基础题.7．供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[)010，， [)1020，， [)2030，， [)3040，， []4050，五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是A ．12月份人均用电量人数最多的一组有400人B ．12月份人均用电量不低于20度的有500人C ．12月份人均用电量为25度D ．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[)3040，一组的概率为110【答案】C 【解析】根据频率分布直方图知，12月份人均用电量人数最多的一组是[10,20)，有1000×0.04×10=400人，A 正确；12月份人均用电量不低于20度的频率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B 正确； 12月份人均用电量为5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C 错误； 在这1000位居民中任选1位协助收费,用电量在[30,40)一组的频率为0.1， 估计所求的概率为110，∴D 正确. 故选C.8．要得到函数22cos sin y x x =-的图象，只需将函数cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位 【答案】B 【解析】22cos sin y x x =-=cos2x,cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=cos 28x π⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以只需将函数cos 24y x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象向右平移8π个单位可得到22cos sin 2,y x x cos x =-= 故选B9．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】设32()22x xx y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．10．已知函数2,0()(3),0x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(2)f =( )A ．32B ．12C ．16D ．132【答案】B 【解析】 【分析】根据自变量符合的范围代入对应的解析式即可求得结果. 【详解】()()()11223122f f f -=-=-==本题正确选项：B 【点睛】本题考查分段函数函数值的求解问题，属于基础题.11．在复平面内复数z 对应的点在第四象限，对应向量的模为3z 等于（ ）A ．3-B 3i -C 2i +D 2i【答案】C 【解析】 【分析】设复数(,0)z yi y y =+∈<R ，根据向量的模为3列方程求解即可.【详解】根据题意，复平面内复数z 对应的点在第四象限，对应向量的模为3设复数(,0)z yi y y =+∈<R ，3=，∴2y =-，复数2z i =-.故2z i =. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的代数表示及模的运算，是基础题.12．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（ ） A ．141种 B ．140种C ．51种D ．50种【答案】A 【解析】分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0、1、2、3天，共四种情况，利用组合知识可得结论．详解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有01122336656463C C C C C C C +++=141种．故选：A ．点睛：本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同是关键．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知圆锥的底面面积为9π，母线长为5，则它的侧面积为______． 【答案】15π 【解析】 【分析】圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形,沿着圆锥的母线,把圆锥的侧面展开,得到一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,而扇形的半径等于母线长,圆锥的侧面积等于展开后扇形的面积. 【详解】Q 由圆锥的底面面积为9π,∴ 底面半径为3,可得底面周长为6π扇形的面积=12⨯扇形弧长⨯扇形半径∴ 侧面积为=126π515π⨯=⨯故答案为:15π. 【点睛】解题关键是通过圆的面积求得圆的半径,然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,通过扇形的面积公式得到的答案.14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3577,13,a a S ===_____；【答案】70 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d ，由等差数列的通项公式，结合357,13,a a ==可列出两个关于1,a d 的二元一次方程，解这个二元一次方程组，求出1,a d 的值，再利用等差数列的前n 项和公式求出7S 的值.【详解】设等差数列的公差为d ，由357,13,a a ==可得：11127,1,4133a d a a d d +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，77671370.2S ⨯=⨯+⨯= 【点睛】本题考查了等差数列基本量的求法，熟记公式、正确解出方程组的解，是解题的关键.本题根据等差数列的性质，可直接求解：3547,1103a a a ===⇒，1774)7(7072a a S a ⋅===⋅+.15．过原点作一条倾斜角为θ的直线与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>交于A 、B 两点，F 为椭圆的左焦点，若AF BF ⊥，且该椭圆的离心率e ∈⎣⎦，则θ的取值范围为__________． 【答案】5[,]66ππ【解析】设右焦点F′，连结AF′，BF′，得四边形AFBF′是正方形， ∵AF+AF′=2a ，AF+BF=2a ，OF=c ，∴AB=2c ，∵∠BAF=12θ，∴AF=2c•cos 2θ，BF=2c•sin 2θ， ∴2csin 2θ+2ccos 2θ=2a，11sin cos sin()2224c a θθθπ==++∵该椭圆的离心率23e ∈⎣⎦，∴1,23sin()24θπ∈⎣⎦+∵θ∈[0，π），∴θ的取值范围为5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质．有关椭圆的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造,,a b c 的关系,解决椭圆离心率的相关问题的两种方法：（1）直接求出,a c 的值,可得e ；（2）建立,,a b c 的齐次关系式,将b 用,a c 表示,令两边同除以a 或2a 化为e 的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围． 16． “12x -<”是“3x <”的____条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要条件”、“充要”中选择填空）．【答案】充分不必要 【解析】 【分析】据题意“12x -<”解得13x -<<，由此可判断它与“3x <”的关系。
2019-2020学年江苏省无锡市新高考高二数学下学期期末综合测试试题
同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数3()21f x x x =++，若(1)1x f ax e -+>在(0,)x ∈+∞上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,)eB ．(0,1)C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞2．用数学归纳法证明()*1111N ,12321n n n n ++++<∈>-时，第一步应验证不等式（ ） A ．1122+< B ．111223++< C ．111323++< D ．11113234+++< 3．设01x <<，a ，b 都为大于零的常数，则221a bx x+-的最小值为（ ）。
A ．2()a b - B ．2()a b +C ．22a bD ．2a4．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．A ．2nB ．22n n -+C ．2(1)(2)(3)n n n n ----D ．325104n n n -+-5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>和直线:60l x y --=，过点(2,0)且与直线l 垂直的直线交抛物线C 于,P Q 两点，若点,P Q 关于直线l 对称，则p =( ) A ．1B ．2C ．4D ．66．5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数是 A ．－20B ．－5C ．5D ．207．某射手每次射击击中目标的概率是(01)p p <<，且各次射击的结果互不影响.设随机变量X 为该射手在n 次射击中击中目标的次数，若()3E X =，() 1.2D X =，则n 和p 的值分别为（ ）A ．5，12B ．5，35 C ．6，12 D ．6，35 8．用数学归纳法证：11112321nn ++++<-…（*n N ∈时1n >）第二步证明中从“k 到1k +”左边增加的项数是（ ） A ．21k +项B ．21k -项C ．12k -项D ．2k 项9．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝13，k ＝1，2，3，则D(3ξ＋5)＝( ) A ．6B ．9C ．3D ．410．已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，，则( )A ．-1B ．1C ．D ．11．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．27912．已知函数f （x ）＝（mx ﹣1）e x ﹣x 2，若不等式f （x ）＜0的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m 的取值范围（ ） A ．2211,12e e ⎛⎫++⎪⎝⎭ B ．2211,12e e ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭ C ．323121,32e e⎡⎫++⎪⎢⎣⎭ D ．323121,32e e⎛⎫++⎪⎝⎭ 二、填空题：本题共4小题13．不等式4x x >的解集为__________． 14．若复数11ii z+=-，则3z i +=__________．（z 是z 的共轭复数） 15．在下列命题中：①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若()()22132xx x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充要条件；⑥复数12120z z z z >⇔->；⑦复数z 满足22z z =；⑧复数z 为实数z z ⇔=.其中正确命题的是______.（填序号）16．五名毕业生分配到三个公司实习，每个公司至少一名毕业生，甲、乙两名毕业生不到同一个公司实习，则不同的分配方案有__种．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年江苏省无锡市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
2019-2020学年江苏省无锡市数学高二第二学期期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值， 因此函数()1,0122,0xxx f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A.2．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，22AC =PB ⊥面ABC ，M ，N ，Q 分别为AC ，PB ，AB 的中点，3MN =，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为（ ）A 10B 15C ．35D ．45【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知AB BC ⊥，以B 为原点，BC ，BA ，BP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法求角即可. 【详解】∵2,2,AB BC AC === ∴AB BC ⊥，以B 为原点，BC ，BA ，BP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，∴()()()()()B 0,0,0C 2,0,0,0,2,0,110,Q 0,1,0A M ，，，， 设()P 002x ，，，则()N 00x ，，， ∵3MN =，∴2113x ++=，解得x 1=∴()()0,12,11,1PQ MN =-=--，， ∴15cos 53PQ MN PQ MN PQMN===⨯，，∴异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为15 故选B 【点睛】本题考查了异面直线所成角的余弦值求法问题，也考查了推理论证能力和运算求解能力，是中档题． 3．已知全集{1,3,5,7},{3,5}U A ==，则U C A =A ．{1}B ．{7}C ．{1,7}D ．{1357}，，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集定义直接求得结果. 【详解】由补集定义得：{}1,7U C A = 本题正确选项：C 【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题. 4．已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为A ．1B ．2C ．-1D ．-2 【答案】B 【解析】 设切点，则，又，故答案选B 。
2019-2020学年江苏省无锡市数学高二(下)期末综合测试试题含解析
2019-2020学年江苏省无锡市数学高二(下)期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x(个)为每天商品的销量，y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】分别计算每个销量对应的利润，选出日利润不少于96元的天数，再利用排列组合公式求解. 【详解】 当时： 当时：当时： 当时：日利润不少于96元共有5天，2天日利润是97元 故故答案选A 【点睛】本题考查了频率直方图，概率的计算，意在考查学生的计算能力.2．在等差数列{}n a 中0n a >，且122019...4038+++=a a a ，则12019⋅a a 的最大值等于( ） A ．3 B ．4C ．6D ．9【答案】B 【解析】【分析】先由等差数列的求和公式，得到120194+=a a ，再由基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中122019...4038+++=a a a ， 所以120192019()40382+=a a ，即120194+=a a ，又0n a >， 所以2120191201942+⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭a a a a ，当且仅当120192==a a 时，12019⋅a a 的最大值为4. 故选B 。
【点睛】本题主要考查基本不等式求积的最大值，熟记等差数列的求和公式以及基本不等式即可，属于常考题型. 3．设()f x 是可导函数,且满足()()11lim 22x f f x x∆→-+∆=∆,则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．-1C ．1D ．-4【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件推导得到f′（1）=-4，由此能求出曲线y=f （x ）在（1，f （1））处切线的斜率． 【详解】 由()()11lim22x f f x x∆→-+∆=∆，得()()()()()()001111=limlim 2421x x f f x f f x f x x∆→∆→-+∆-+∆=⋅-∆∆'=--， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为-4， 故选：D. 【点睛】本题考查导数的几何意义及运算，求解问题的关键，在于对所给极限表达式进行变形，利用导数的几何意义求曲线上的点的切线斜率，属于基础题.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，756S =，则7a =（ ）A ．10B ．12C ．16D ．20【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式以及通项公式即可求出. 【详解】()177477562a a S a +===Q ， 48a ∴=，34a =Q ，434d a a ∴=-=， 73420a a d ∴=+=故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式以及通项公式，考查了学生的计算，属于较易题. 5．设,M N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若,M N 为互斥事件，且()15P M =，()14P N =，则()920P M N =U ；（2）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（3）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（4）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（5）若()12P M =，()13P N =，()56P MN =，则,M N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件的加法公式，易判断（1）的正误；根据相互对立事件的概率和为1 ，结合相互独立事件,M N 的概率满足()()()P MN P M P N =⋅，可判断（2）、（3）、（4）、（5 ）的正误. 【详解】若,M N 为互斥事件，且()()11,54P M P N ==， 则()1195420P M N =+=U ，故（1）正确； 若()()()111,,236P M P N P MN === 则由相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件， 故（2）正确；若()()()111,,236P M P N P MN ===，则()()()()()11,2P M P M P MN P M P N =-==⋅由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件， 故（3）正确； 若()()()111,,236P M P N P MN === ， 当,M N 为相互独立事件时，()()()11211,=2233P N P N P MN =-==⨯ 故（4）错误；若()()()115,,236P M P N P MN === 则()()()()()1,16P MN P M P N P MN P MN =⋅==-由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件， 故（5）正确. 故选D. 【点睛】本题考查互斥事件、对立事件和独立事件的概率，属于基础题.6．某个几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆），则该几何体的体积为（ ）A ．8010π+B ．8020π+C ．9214π+D ．12010π+【答案】A 【解析】 【分析】【详解】试题分析：由三视图可知该几何体的体积等于长方体体积和半个圆柱体积之和，214542580102V ππ=⋅⋅+⋅⋅⋅=+．考点：三视图与体积．7．已知*,,,m n p q N ∈，且m n p q +=+，由“若{}n a 是等差数列，则m n p q a a a a +=+”可以得到“若{}n a 是等比数列，则m n p q a a a a ⋅=⋅”用的是（ ）A ．归纳推理B ．演绎推理C ．类比推理D ．数学证明【答案】C 【解析】分析：根据类比推理的定义，结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，可得结论.详解：根据类比推理的定义，结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，故选C.点睛：本题主要考查等差数列类比到等比数列的类比推理，类比推理一般步骤：①找出等差数列、等比数列之间的相似性或者一致性．②用等差数列的性质去推测物等比数列的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．8．在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1AC 的一个平面交1BB 于E ，交1DD 于F 得四边形1AEC F ，则下列结论正确的是（ ） A ．四边形1AEC F 一定为菱形B ．四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影不一定是正方形 C ．四边形1AEC F 所在平面不可能垂直于平面11ACC A D ．四边形1AEC F 不可能为梯形 【答案】D 【解析】对于A ，当与两条棱上的交点都是中点时，四边形1AEC F 为菱形，故A 错误； 对于B, 四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影一定是正方形,故B 错误；对于C, 当两条棱上的交点是中点时，四边形1AEC F 垂直于平面11ACC A ,故C 错误； 对于D ，四边形1AEC F 一定为平行四边形，故D 正确. 故选：D9．设直线0x y a +-=与圆22(2)4x y -+=交于A ，B 两点，圆心为C ，若ABC ∆为直角三角形，则a =（ ） A ．0 B ．2C ．4D ．0或4【答案】D 【解析】 【分析】ABC ∆是等腰三角形，若为直角三角形，则90ACB ∠=︒，求出圆心到直线的距离d ，则d =． 【详解】圆心为(2,0)C ，半径为2r =，d =，∵ABC ∆为直角三角形，∴90ACB ∠=︒，而CA CB r ==，∴2d r=22=，0a =或4. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．在直线与圆相交问题中垂径定理常常要用到．10．已知椭圆22214x y a +=，对于任意实数k ，椭圆被下列直线所截得的弦长与被直线:1l y kx =+所截得的弦长不可能相等的是（ ） A ．0kx y k ++= B ．10kx y --= C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-=【答案】D 【解析】分析：当l 过点10-（，）时，直线l 和选项A 中的直线重合，故不能选 A ． 当l l 过点（1，0）时，直线l 和选项D 中的直线关于y 轴对称，被椭圆E 所截得的弦长相同， 当k=0时，直线l 和选项B 中的直线关于x 轴对称，被椭圆E 所截得的弦长相同．排除A 、B 、D ．详解：由数形结合可知，当l 过点10-（，）时，直线l 和选项A 中的直线重合，故不能选 A ． 当l 过点（1，0）时，直线l 和选项C 中的直线关于y 轴对称，被椭圆E 所截得的弦长相同，故不能选C ． 当0k =时，直线l 和选项B 中的直线关于x 轴对称，被椭圆E 所截得的弦长相同，故不能选B ． 直线l l 斜率为k ，在y 轴上的截距为1；选项D 中的直线20kx y +-=斜率为k -，在y 轴上的截距为2，这两直线不关于x 轴、y 轴、原点对称，故被椭圆E 所截得的弦长不可能相等． 故选C ．点睛：本题考查直线和椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．11．已知平面向量a r ，b r 的夹角为23π，(0,1)a =-r ，2=r b ，则2a b +=r r （ ）A ．4B ．2C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】将2a b +rr 两边平方，利用向量数量积的运算求解得出数值，然后开方得到结果.【详解】依题意2a b +==r r2===.故选B.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量模的坐标表示，属于基础题. 12．函数 2,(,]1xy x m n x -=∈+的最小值为0，则m 的取值范围是( ) A ．(1，2) B ．(－1，2) C ．[1，2) D ．[－1，2)【答案】B 【解析】 【分析】 化简函数为311y x =-+，根据函数的单调性以及y 在(,]x m n ∈时取得最小值0，求出m 的范围. 【详解】 函数23(1)31111x x y x x x --+===-+++在区间(－1，＋∞)上是减函数． 当x ＝2时，y ＝0.根据题意x ∈(m ，n]时，min 0y =. 所以m 的取值范围是－1＜m ＜2，故选B. 【点睛】该题所考查的是利用函数在某个区间上的最值，来确定区间对应的位置，涉及到的知识点有反比例型函数的单调性，确定最值在哪个点处取，从而求得对应的参数的取值范围，属于简单题目. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若901(1)x a a x =+-+2929(1)(1)a x a x -++-L ，则3a 的值为__________．【答案】84. 【解析】分析：根据原式右边的展开情况可将原式左边写成：9(11)x +-然后根据二项式定理展开求（x-1）3的系数即可.详解：由题可得：9(11)x +-()011a a x =+-+ ()()292911a x a x -++-L ，故根据二项式定理可知：33984a C ==故答案为84.点睛：本题考查二项式定理的运用，注意运用变形和展开式的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14．如图，在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，90ABC ∠=o ，BA BC =，球心O 到平面ABC 的距离是322，则B 、C 两点的球面距离是______．【答案】π 【解析】试题分析：由已知，AC 是小圆的直径．所以过球心O 作小圆的垂线，垂足O'是AC 的中点．223232O'C (3)()22=-=，2，∴BC=3，即BC=OB=OC ．∴∠BOC=3π， 则B 、C 两点的球面距离=3π×3=π． 考点：球的几何特征，球面距离．点评：中档题，解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系．15．现有3位男学生3位女学生排成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有两位相邻，则不同的排法种数是_____．（用数字作答） 【答案】72 【解析】 【分析】对6个位置进行16～编号，第一步，两端排男生；第二步，2，3或4，5排两名女生，则剩下位置的排法是固定的. 【详解】第一步：两端排男生共236A =，第二步：2，3或4，5排两名女生共2232212C A ⨯=， 由乘法分步原理得：不同的排法种数是61272⨯=. 【点睛】本题若没有注意2位相邻女生的顺序，易出现错误答案36.16．已知集合1,2,3,{}4,5,6X Y Z ⋃⋃=，若1,21,2,3,4,5}{},3{,X Y X Y X ⋂=⋃=∉，则集合X Y Z 、、所有可能的情况有_________种.【答案】128 【解析】 【分析】通过确定X,Y,Z 的子集，利用乘法公式即可得到答案. 【详解】根据题意，可知1,2,1,236{}{},{}Z X Y ⊆⊆⊆，，由于{6}Z ⊆，可知Z 共有 52=32种可能，而(){4},5X Y ⊆⋃有4种可能，故共有432=128⨯种可能，所以答案为128.【点睛】本题主要考查子集相关概念，乘法分步原理，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度较大. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．如图所示，已知ABCD 是直角梯形，90ABC ∠=︒，//,2,1,AD BC AD AB BC PA ABCD 平面===⊥．（1）证明：PC CD ⊥；（2）若3PA =，求三棱锥B PCD -的体积． 【答案】（1）见解析；（2）12【解析】 【分析】（1）由题可得：2AC =2CD =，可得：222AC CD AD +=，即可证得AC CD ⊥，再利用PA ABCD ⊥平面证得PA CD ⊥，即可证得CD ⊥平面PAC ，问题得证．（2）利用B PCD P BCD V V --=及锥体体积公式直接计算得解． 【详解】（1）由题可得：2AC =2CD =所以222AC CD AD += 所以AC CD ⊥ 又PA ABCD ⊥平面所以PA CD ⊥，又PA AC A =I所以CD ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC 所以PC CD ⊥ （2）11111133322B PCD P BCD BCD V V S PA --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明，考查了转化能力及线面垂直的定义，还考查了锥体体积公式及计算能力，属于中档题．18．某单位为了了解用电量y (度)与气温()xC o之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表中数据得线性回归方程^^^y b x a =+，其中ˆ2b=-.现预测当气温为－4C o 时，用电量的度数约为多少？ 用电量y (度) 24 34 38 64 气温()xC o181310-1【答案】68. 【解析】分析：先求均值，代入求得ˆa，再求自变量为-4所对应函数值即可. 详解：由题意可知x ＝14 (18＋13＋10－1)＝10，y ＝14 (24＋34＋38＋64)＝40，ˆb ＝－2. 又回归方程ˆy＝－2x ＋ˆa 过点(10,40)，故ˆa ＝60. 所以当x ＝－4时，ˆy＝－2×(－4)＋60＝68. 故当气温为－4℃时，用电量的度数约为68度．点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求$,a b$，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .19．如图（A ），（B ），（C ），（D ）为四个平面图形:（A ）（B ）（C ）（D ）（I ）数出每个平面图形的交点数、边数、区域数，并将列联表补充完整； 交点数 边数 区域数 （A ） 4 5 2 （B ） 5 8 （C ） 12 5 （D ）15（II ）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为,,E F G ，试猜想,,E F G 间的数量关系（不要求证明）.【答案】（I ）列联表见解析；（II ）1E+G F = . 【解析】 【分析】（I ）数出结果填入表格即可．（II ）观察一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为E ，F ，G ，即可猜想E ，F ，G 之间的等量关系． 【详解】（I ）（II ）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为,,E F G ，猜想,,E F G 之间的数量关系为1E+G F =-. 【点睛】本题考查归纳推理，实际上本题考查的重点是给出几个平面图形的交点数、边数、区域数写猜想E ，F ，G 之间的等量关系，本题是一个综合题目，知识点结合的比较巧妙．20．如图,在四棱锥P ABCD -中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,π2ABC BAD ∠∠＝＝，42PA AD AB BC Q ＝＝，＝＝，是PB 中点。
无锡市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末预测试题含解析
无锡市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末预测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A BC D ．13【答案】A 【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b ，即()2223,a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率3c e a ===， 故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.2====，则,a b 的值分别是（ ） A ．48，7 B ．61，7C ．63，8D ．65，8【答案】C 【解析】 【分析】仔细观察已知等式的数字可发现=根据此规律解题即可. 【详解】===,=故当8n =时,28,8163b a ==-=, 故选C. 【点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 3．若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式22ln 30x x x mx +-+≥成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．132e e+- B ．32e e++ C ．4 D ．2e 1-【答案】A 【解析】2230xlnx x mx +-+≥32m lnx x x∴≤++设()32h x lnx x x =++，则()()()2231231x x h x x x x +='-=+- 当11x e≤<时，()0h x '<，()h x 单调递减 当1x e <≤时，()0h x '>，()h x 单调递增存在1x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，32m lnx x x ≤++成立 ()max m h x ∴≤，1123h e e e ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()32h e e e =-++()1h h e e ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭132m e e∴≤+-故选A点睛：本题利用导数求解不等式问题，在解答此类问题时的方法可以分离参量，转化为最值问题，借助导数，求出新函数的单调性，从而求出函数的最值，解出参量的取值范围，本题较为基础．4．设三次函数()f x 的导函数为()f x '，函数()y x f x '=⋅的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）A ．()f x 的极大值为(3)f ，极小值为(3)f -B ．()f x 的极大值为(3)f -，极小值为(3)fC ．()f x 的极大值为(3)f ，极小值为(3)f -D ．()f x 的极大值为(3)f -，极小值为(3)f 【答案】C 【解析】 【分析】由()y x f x '=⋅的图象可以得出()y f x '=在各区间的正负，然后可得()f x 在各区间的单调性，进而可得极值. 【详解】 由图象可知：当3x =-和3x =时，()=0x f x ⋅'，则(3)=(3)=0f f ''-； 当3x <-时，()0x f x '⋅>，则()0f x '<； 当30x -<<时，()0x f x '⋅<，则()0f x '>； 当03x <<时，()0x f x '⋅>，则()0f x '>； 当3x >时，()0x f x '⋅<，则()0f x '<.所以()f x 在(,3)-∞-上单调递减；在(3,0),(0,3)-上单调递增；在(3,)+∞上单调递减. 所以()f x 的极小值为(3)f -，极大值为(3)f . 故选C. 【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系，解题的突破点是由已知函数的图象得出()f x '的正负性. 5．命题 ，；命题，函数的图象过点，则（ ）A ．假真B ．真假C ．假假D ．真真【答案】A 【解析】 试题分析：∵，∴，∴或，∴不存在自然数，∴命题P 为假命题；∵，∴函数的图象过点，∴命题q 为真命题．考点：命题的真假．6．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则1F AB ∆的内切圆半径为( ) A 2B 22C 32D 42【答案】C 【解析】分析：根据韦达定理结合三角形面积公式求出1F AB ∆的面积S ，利用椭圆的定义求出三角形的周长c ，代入内切圆半径2Sr c=，从而可得结果. 详解：椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，则2F 的坐标为()1,0，过2F 且斜率为1的直线为1y x =-，即1x y =+，代入22143x y +=，得27690y y +-=，则2126479122y y +⨯⨯-==， 故1F AB ∆的面积1212227S c y y =⋅⋅-=， 1F AB ∆的周长48c a ==，故1F AB ∆的内切圆半径2327S r c ==，故选C. 点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质与椭圆定义的应用，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.7．下列关于曲线24:14x y Γ+=的结论正确的是（ ）A ．曲线Γ是椭圆B ．关于直线y x =成轴对称C ．关于原点成中心对称D ．曲线Γ所围成的封闭图形面积小于4【答案】C 【解析】 【分析】A 根据椭圆的方程判断曲线24:14x y Γ+=不是椭圆；B 把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(y ，x )，判断曲线Γ是否关于直线y x =对称； C 把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(x -，y -)，判断曲线Γ是否关于原点对称； D 根据||2x ，||1y ，判断曲线24:14xy Γ+=所围成的封闭面积是否小于1．【详解】曲线24:14x C y +=，不是椭圆方程，∴曲线Γ不是椭圆，A ∴错误；把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(y ，x )，方程变为2414yx +=，∴曲线Γ不关于直线y x =对称，B 错误；把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(x -，y -)，方程不变，∴曲线Γ关于原点对称，C 正确；||2x ，||1y ，∴曲线24:14x C y +=所围成的封闭面积小于428⨯=，令x y =∴=所以曲线Γ上的四点,,（,（围成的矩形面积为4>， 所以选项D 错误. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了方程所表示的曲线以及曲线的对称性问题，解题时应结合圆锥曲线的定义域性质进行解答，是基础题．8．中国古代数学著作《算法统宗》巾有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难 日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了 A ．60里 B ．48里C ．36里D ．24里【答案】C 【解析】 【分析】每天行走的里程数{}n a 是公比为12的等比数列，且前6和为378，故可求出数列的通项n a 后可得45a a +. 【详解】设每天行走的里程数为{}n a ，则{}n a 是公比为12的等比数列， 所以16126112378112a a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==-，故1192a =（里），所以4534111921923622a a +=⨯+⨯=（里），选C. 【点睛】本题为数学文化题，注意根据题设把实际问题合理地转化为数学模型，这类问题往往是基础题. 9．设复数z 满足(1)3i z i -=+，则||z =( ) ABCD【答案】C 【解析】由()13i z i -=+，得()()()()31312111i i i z i i i i +++===+--+，则z ==，故选C.10．设S 为复数集C 的非空子集，若对任意,x y S ∈，都有,,x y x y xy S +-∈，则称S 为封闭集．下列命题：①集合{|,S a bi a b =+为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0S ∈；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集.其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】由题意直接验证①的正误；令x ＝y 可推出②是正确的；举反例集合S ＝{0}判断③错误；S ＝{0}，T ＝{0，1}，推出﹣1不属于T ，判断④错误．【详解】解：由a ，b ，c ，d 为整数，可得（a+bi ）+（c+di ）＝（a+c ）+（b+d ）i ∈S ；（a+bi ）﹣（c+di ）＝（a ﹣c ）+（b ﹣d ）i ∈S ；（a+bi ）（c+di ）＝（ac ﹣bd ）+（bc+ad ）i ∈S ； 集合S ＝{a+bi|（a ，b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集，①正确； 当S 为封闭集时，因为x ﹣y ∈S ，取x ＝y ，得0∈S ，②正确； 对于集合S ＝{0}，显然满足所有条件，但S 是有限集，③错误；取S ＝{0}，T ＝{0，1}，满足S ⊆T ⊆C ，但由于0﹣1＝﹣1不属于T ，故T 不是封闭集，④错误． 故正确的命题是①②， 故选B ． 【点睛】本题是新定义题，考查对封闭集概念的深刻理解，对逻辑思维能力的要求较高.11．已知直线l 倾斜角是arctan 2π-，在y 轴上截距是2，则直线l 的参数方程可以是（ ）A ．22x t y t =+⎧⎨=-⎩B ．2x ty t =+⎧⎨=-⎩C ．22x ty t =⎧⎨=-⎩D ．22x ty t =⎧⎨=-⎩【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角求得斜率,由斜截式得直线方程,再将四个选项中的参数方程化为普通方程,比较可得答案. 【详解】因为直线l 倾斜角是arctan 2π-,所以直线l 的斜率tan(tan 2)tan arctan 22k arc π=-=-=-, 所以直线l 的斜截式方程为:22y x =-+,由22x ty t =+⎧⎨=-⎩消去t 得24y x =-+,故A 不正确;由2x t y t=+⎧⎨=-⎩消去t 得2y x =-+,故B 不正确; 由22x t y t=⎧⎨=-⎩消去t 得122y x =-+,故C 不正确;由22x ty t=⎧⎨=-⎩消去t 得22y x =-+,故D 正确; 故选:D. 【点睛】本题考查了直线方程的斜截式,参数方程化普通方程,属于基础题.12．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．516B ．38C ．716D ．12【答案】B 【解析】 【分析】设出大正方形的面积，求出阴影部分的面积，从而求出满足条件的概率即可． 【详解】设“东方魔板”的面积是4， 则阴影部分的三角形面积是1， 阴影部分平行四边形的面积是12则满足条件的概率113248P +== 故选：B 【点睛】本题考查了几何概型问题，考查面积之比，是一道基础题． 二、填空题：本题共4小题 13．用数学归纳法证明2135(21)n n ++++-=，则当1n k =+时左端应在n k =的基础上加上的项为_______． 【答案】21k + 【解析】 【分析】分n=k 和n=k+1写出等式左边的项，对比可得增加的项。
无锡市2019-2020学年高二下学期期末2份数学预测试题
同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．自2020年起,高考成绩由“33+”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目，某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．92．若函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ） A ．51[,)8+∞ B ．(],3-∞C ．51,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[)3,+∞ 3．正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是（ ） A ．[,]43ππB ．[,]42ππC ．[,]62ππD ．[,]63ππ4．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有（ ） A ．250个B ．249个C ．48个D ．24个5．若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞)B ．[，2)C ．[1,2)D ．[1，)6．函数()1ln1x f x sin x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的图象大致为 A ． B ．C ．D ．7．以下几个命题中：①线性回归直线方程y bx a =+恒过样本中心(),x y ；②用相关指数2R 可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好；③随机误差是引起预报值y 和真实值y 之间存在误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差； ④在含有一个解释变量的线性模型中，相关指数2R 等于相关系数r 的平方. 其中真命题的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．若命题00:,1x P x Z e∃∈<，则p ⌝为（ ）A ．,1x x Z e ∀∈<B ．,1x x Z e ∀∈≥C ．,1x x Z e ∀∉<D ．,1x x Z e ∀∉≥9．若复数z 满足 2 5z i i +=（），则复数z 的虚部为. A ．-2B ．-1C ．1D ．2.10．已知函数()()()10xf x e ax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，则a 的取值范围为（ ）A ．1,121e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭B ．21,12e -⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．211,22e -⎛⎤ ⎥-⎝⎦D ．11,212e ⎛⎤⎥-⎝⎦ 11．已知空间不重合的三条直线l 、m 、n 及一个平面α，下列命题中的假命题．．．是（ ）． A ．若l m ，m n ，则ln B ．若l α，n α，则l nC ．若l m ⊥，m n ，则l n ⊥D ．若l α⊥，n α，则l n ⊥12．设随机变量服从正态分布，若，则实数的值为A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题 13．已知X 的分布列如图所示，则 X -11P0.2 0.3 a（1）()0.3E X =， （2）()0.583D X =，（3）(1)0.4P X ==，其中正确的个数为________. 14．将三项式展开，当时，得到以下等式：……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k 行共有2k+1个数.若在的展开式中，项的系数为75，则实数a 的值为.15．若直线12{23x t y t=-=+（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k = ．16．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列五个命题：①若a ，b 与平面α，β都平行，则//αβ；②若a α⊥，//a b ，b β⊂，则αβ⊥；③若//a α，αβ⊥，则a β⊥；④若a β⊥，αβ⊥，则//a α；⑤若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥.其中所有真命题的序号是________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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江苏省无锡市2019-2020学年高二下学期数学期末考试
备考限时训练
本试卷满分100分，考试时间90分钟
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，共计24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对x，y两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r，如表：
相关系数甲
乙
丙
丁
r ﹣0.82 0.78 0.69 0.87 则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性？
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．某医院计划从3名医生，9名护士中选派5人参加湖北新冠肺炎疫情狙击战，要求选派的5人中至少要有2名医生，则不同的选派方法有
A．126种B．252种C．288种D．495种
3．已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是
A．
1
4
B．
5
16
C．
3
8
D．
1
2
4．函数
sin
()
e e
x x
x x
f x
-
-
=
+
在[﹣π，π]上的图象大致为
A B C D
5．已知三棱锥P—ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB ＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为
A．86πB．46π C．6πD6π
6．已知函数
2
(0)
1
()
ln
(0)
x
x
x
f x
x
x
x
⎧
≤
⎪⎪-
=⎨
⎪>
⎪⎩
，若关于x的方程2()(1)()0
f x m f x m
+--=有且只有两个不同实数根，
则m的取值范围是
A．(
1
e
，2) B．(-∞，0)(
1
e
，2)
C．(-∞，﹣1)(﹣1，0)(
1
e
，2) D．(-∞，0)(
1
e
，1)(1，2)
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共计10分．在每小题给出的四个选项中，至少有两
个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 7．对于复数i z a b =+(a ，b ∈R)，下列结论错误的是
A ．若a ＝0，则a ＋b i 为纯虚数
B ．若a ﹣b i ＝3＋2i ，则a ＝3，b ＝2
C ．若b ＝0，则a ＋b i 为实数
D ．纯虚数z 的共轭复数是﹣z 8．下列等式中，正确的是 A ．1
1m
m m n n
n A mA A -++= B ．11r r n n rC nC --= C ．11
1111m m m m n n
n n C C C C +--+--=++ D ．1
1m m n n m C C n m
++=
- 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相．．．．应的位置上．．．．．
．） 9．某种牛肉干每袋的质量m (kg)服从正态分布，质检部门的检测数据显示：该正态分布为N(2，2
σ)，P(1.9≤m ≤2.1)＝0.98．某旅游团游客共购买这种牛肉干100袋，估计其中质量低于 1.9kg 的袋数大约是 袋．
10．北京大兴国际机场为4f 级国际机场、大
型国际枢纽机场、国家发展新动力源， 于2019年9月25日正式通航．目前建 有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一 跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道， 如图所示；若有2架飞往不同目的地的
飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西 第10题
一跑道、西二跑道至少有一道被选取，则共有 种不同的安排方法．（用数字作答） 11．已知正实数x ，y 满足14xy <
，且2
441y y xy x ++=，则13x y x
+-的最小值为 ． 12．已知函数2
()f x x ax =-，2
()ln g x a x =，若对任意的x ∈(0，+∞)，不等式()f x ≥()g x 恒成立，
则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共4小题，共计46分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 13．（本题满分8分）
如图，在四边形ABCD 中，BC ＝CD ，BC ⊥CD ，AD ⊥BD ，以BD 为折痕把△ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且PC ⊥BC ．若M 为PB 的中点，二面角P —BC —D 等于60°，求直线PC 与平面MCD 所成角的正弦值．
14．（本题满分12分）
已知2
012(1)n
n n x a a x a x a x λ+=+++
+，N n *∈．
（1）若2λ=，7n =，求最大的系数i a ； （2）定义
1211
n
k
n n k a
a a a a -==++
++∑，若1λ=，化简1
(1)n
i i i a =+∑．
15．（本题满分12分）
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得﹣1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得﹣1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为
α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．
（1）求X 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，i p (i ＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(i ＝1，2，…，7)，其中
(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设α＝0.5，β＝0.8．（i ）证明：{}1i i p p +-(i ＝1，
2，…，7)为等比数列；（ii ）求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性． 16．（本题满分14分）
已知函数1ln ()x
f x a x
+=
-(a ∈R)． （1）若()0f x ≤在(0，+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围，并证明：对任意的N n *
∈，都有
111
1ln(1)23
n n
++++
>+； （2）设2
()(1)e x
g x x =-，讨论方程()()f x g x =实数根的个数．
江苏省无锡市2019-2020学年高二下学期数学期末考试
备考限时训练参考答案
1．D 2．C 3．B 4．A 5．D 6．C
7．AB 8．BD 9．1 10．10 11．22 12．[
3
4
2e
，1]
13．
14．（1）解：
（2）
15．
16．。