2021年数学同步提分教程第一册“函数”：第三章 3.1 3.1.1 第1课时 课后课时精练(人教B版)
2021年高中数学必修第一册3.1.1《函数的概念》同步课件（含答案）
2021年高中数学必修第一册3.1.1《函数的概念》同步课件（含答案）1、人教2021A版必修第一册第三章函数概念与性质n1.初中学习的函数的定义是什么？设在一个改变过程中有两个变量x和y，假如对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x 的函数.其中x叫自变量，y叫因变量.n2.回顾初中学过哪些函数？〔1〕一次函数〔2〕正比例函数〔3〕反比例函数〔4〕二次函数n问题1.某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。
这段时间内，列车行进的路程S〔单位：km〕与运行时间t〔单位：h〕的关系可以表示为S=350t。
思索：依据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km，这个说法正确吗？不正确。
对应关系应为S=350t，其中，n问题2某电气修理告知要求工人每周工作至少1天，至多不超过62、天。
假如公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w〔单位：元〕是他工作天数d的函数吗？是函数，对应关系为w=350d,其中，n思索：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？不是。
自变量的取值范围不一样。
n问题3如图，是北京市2021年11月23日的空气质量指数改变图。
如何依据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？是，t的改变范围是，I 的范围是n问题4国际上常用恩格尔系数反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。
上表是我国某省城镇居民恩格尔系数改变状况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。
你认3、为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？y 的取值范围是恩格尔系数r是年份y的函数n思索：上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？共同特征有：〔1〕都包含两个非空数集，用A，B来表示；〔2〕都有一个对应关系；〔3〕尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，根据对应关系，在数集B 中都有唯一确定的数y和它对应。
高中数学第三章基本初等函数(ⅰ)3.1.1实数指数幂及其运算bb高一数学
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计算：
(1)(－1．8)0＋32－2·3
3382－
1＋ 0.01
93；
(2)14－12·0.1（－2·4（aba－31b）－33）12(a＞0，b＞0)．
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解：(1)原式＝1＋232·28732－10＋923 ＝1＋232·322－10＋27＝29－10＝19． (2)原式＝412·0．12·23·a32·a32·b－b32 －32
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条件求值问题的解法 (1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的 式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系， 可考虑使用整体代换法． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完 全平方公式及其变形公式．
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4 （－3）4×2． A．0 个 C．2 个
B．1 个 D．3 个
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解析：选 A．3 6a3＝3 6·a≠2a；3 －2<0，而6 （－2）2>0； －34 2<0，而4 （－3）4×2>0．
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3．把根式 a a化成分数指数幂是( )
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2．把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示 为根式的形式：
3
(1)(a－b)－4(a＞b)；(2)
5
（ab）2；(3)
3
（x－1）5；
(4) 1 ；(5)(a－b)37． 3 a2
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2020年数学同步提分教程第一册“函数”课件讲义测试：第三章 3.1 3.1.3 第1课时(人教B版)
3.1.3函数的奇偶性第1课时函数的奇偶性(教师独具内容)课程标准：1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和奇偶函数图像的特征.2.会根据函数奇偶性的概念判断和证明函数的奇偶性．教学重点：函数奇偶性的概念，判断函数奇偶性的方法．教学难点：函数奇偶性的判断.【情境导学】(教师独具内容)毕达哥拉斯曾说：“一切平面图形中，最美的是圆形．”那是因为圆在各个方向上都是对称的，是一种极致的美．可以这样说，大自然便是用对称来组织与生成的．如我们人体则更是这种高度对称的代表．请大家再举几个对称的例子(更好地激发学习热情)．由于函数是用来揭示自然界的奥秘的，因此有些函数便天然地具有这种对称性．我们还知道，对称有轴对称和中心对称两种，如果这个对称轴变成了坐标系中的y轴，对称中心变成了原点，那么此时的函数具有哪些性质呢？这些性质是否一样能给我们带来美的享受呢？【知识导学】知识点一函数奇偶性的概念(1)偶函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有□01－x∈D，且□02f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数．(2)奇函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有□03－x∈D，且□04f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数．知识点二奇偶函数的图像特征(1)偶函数的图像关于□01y轴对称；反之，图像关于□02y轴对称的函数一定是偶函数．(2)奇函数的图像关于□03原点对称；反之，图像关于□04原点对称的函数一定是奇函数．【新知拓展】理解函数的奇偶性要注意的四点(1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇(或偶)函数．(2)函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称，换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．例如，函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－1,2]上却无奇偶性可言．(3)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.(4)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空实数集．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．()(2)函数f(x)＝x2的图像关于原点对称．()(3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝－f(1)，则函数f(x)一定是奇函数．()(4)函数f(x)＝x3，x∈[－1,1)是奇函数．()答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝______.(2)函数f(x)＝x在定义域R上是________函数(填“奇”或“偶”)．(3)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，若f(2)＝4，则f(－2)＝________.答案(1)0(2)奇(3)4题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x4＋2x2；(2)f(x)＝x3＋1 x；(3)f(x)＝x2－1＋1－x2；(4)f(x)＝2－|x|；(5)f(x)＝x；(6)f(x)＝x3＋x2.[解](1)因为f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝(－x)4＋2(－x)2＝x4＋2x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数．(2)因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝(－x)3＋1－x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x3＋1x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)因为f(x)的定义域为{－1,1}，是两个具体数，但它关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)＝x2－1＋1－x2既是奇函数，又是偶函数．(4)因为f(x)的定义域是R，关于原点对称，且f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(5)因为f(x)＝x的定义域是{x|x≥0}，它不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．(6)因为f(x)＝x3＋x2的定义域是R，关于原点对称，f(－x)＝－x3＋x2，所以f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数．金版点睛判断函数奇偶性的方法(1)定义法根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下：①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步．②验证．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)．③下结论．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．(2)图像法①若f(x)图像关于原点对称，则f(x)是奇函数．②若f(x)图像关于y轴对称，则f(x)是偶函数．③若f(x)图像既关于原点对称，又关于y轴对称，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．④若f(x)的图像既不关于原点对称，又不关于y轴对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)性质法①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．[跟踪训练1]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)；(2)f(x)＝1 x；(3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；(4)f(x)＝x－1·x＋1.解(1)因为函数的定义域关于坐标原点不对称，即存在－4∈[－4,4)，而4∉[－4,4)，所以，函数f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)既不是奇函数也不是偶函数．(2)因为函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于坐标原点对称，且对任意的x(x≠0)有f(－x)＝1－x＝－1x＝－f(x)，所以，函数f(x)＝1x是奇函数．(3)函数的定义域为实数集R，定义域关于坐标原点对称，且对任意的x∈R，都有f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，所以，函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．(4)函数的定义域为[1，＋∞)，由于函数f(x)的定义域不关于坐标原点对称，故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.题型二奇偶函数的图像特征及应用例2(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图像，试作出y轴右侧的图像并求出f(3)的值．(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图像，试作出它在y轴右侧的图像，并比较f(1)与f(3)的大小．[解](1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图像上任一点P(－x，－f(x))关于原点的对称点是P′(x，f(x))．下图为补充后的图像．易知f(3)＝－2.(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图像上任一点P(－x，f(x))关于y轴的对称点是P′(x，f(x))，如图为补充后的图像，易知f(1)>f(3)．金版点睛用奇偶函数图像的对称性作图。
3高中数学必修第一册第三章课后答案
第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念P63练习1.一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标，炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为21305h t t =-.①求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数.【答案】定义域为{|026}t t ≤≤，值域为{|0845}h h ≤≤，对于数集{|026}t t ≤≤中的任一个数t ，在数集{|0845}h h ≤≤中都有唯一确定的数21305h t t =-与之对应.2.2016年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度走势如图所示.（1）求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；（2）根据图象，求这一天12时所对应的温度.【答案】（1）由图可知，设从今日8点起24小时内，经过时间t 的温度为C y ︒，则定义域为{|024}t t，值域为{|212}y y .（2）由图知，11时的温度为8C ︒，14时的温度为12C ︒，3.集合,A B 与对应关系f 如图所示：:f A B →是否为从集合A 到集合B 的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？【答案】由图知，A 中的任意一个数，B 中都有唯一确定的数与之对应，所以:f A B →是从A 到B 的函数.定义域是{1,2,3,4,5}A =，值域{2,3,4,5}C =.4.构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y =来描述.定义域为{|0}x x >，值域为{|0}y y >.P67练习1.求下列函数的定义域：（1）1()47f x x =；（2）()1f x =. 2.已知函数3()32f x x x =+，（1）求(2)f ，(2)f -，(2)(2)f f +-的值；（2）求()f a ，()f a -，()()f a f a +-的值.【答案】（1）(2)28f =，(2)28f -=-，(2)(2)0f f +-=；（2）3()32f a a a =+，()3()32f a a a -=-+，()()0f a f a +-=.3.判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-；（2）()1f x =和0()g x x =.【答案】（1）不相等，前者的定义域为{|026}t t，而后者的定义域为R .（2）不相等，前者的定义域为R ，而后者的定义域为{|0}x x ≠.3.1.2函数的表示法P69练习1.如图，把直截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x （单位：cm ），面积为y （单位：2cm ），把y 表示为x 的函数.2.画出函数|2|y x =-的图象.【答案】解法1：由绝对值的概念，知2,2,2,2,x x y x x -≥⎧=⎨-<⎩所以函数|2|y x =-的图象如图所示.解法2：（翻折法）先画出2y x =-的图象，然后把图象中位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上面，其他不变.3.已知函数()1f x x =-+，()()21g x x =-，x ∈R ．（1）在图1中画出函数()f x ，()g x 的图象；（2）定义：x R ∀∈，用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，请分别用图象法和解析式法表示函数()m x ．（注：图象法请在图2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）【答案】（1）()f x ，()g x 的图象如下图所示：（2）当0x ≤时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；当01x <<时，()211x x -<-+，则()()()21m x g x x ==-；当1≥x 时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；综上所述：()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩.()m x 图象如下图所示：P71练习1.下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事.（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.A. B.C. D.【答案】解：（1）根据回家后，离家的距离又变为0，对应（D ）；（2）由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化，对应（A ）；（3）由为了赶时间开始加速，可判断函数的图象上升速度越来越快，对应（B ）.剩下的图象（C ）为：我出发后越走越累，所以速度越来越慢.2.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里),票价2元；(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数关系式,并画出函数的图像.【答案】当05x <≤时，()2f x =；当510x <≤时，()3f x =；当1015x <≤时，()4f x =；当1520x <≤时，()5f x =；综上：函数解析式为2,053,510()4,10155,1520x x f x x x <≤⎧⎪<≤⎪=⎨<≤⎪⎪<≤⎩按照分段函数画出图像，如下图：习题3.1P72复习巩固13.求下列函数的定义域：（1）3()4x f x x =-；（2）()f x =（3）26()32f x x x =-+；（4）()1f x x =-.【答案】（1）{|4}x x ≠；（2）R ；（3）{|1x x ≠，且2}x ≠；（4）{|4x x ≤且1}x ≠2.下列哪一组中的函数()f x 与()g x 是同一个函数？（1）2()1,()1x f x x g x x=-=-；（2）24(),()f x x g x ==；（3）2(),()f x x g x ==【答案】解：（1）()f x 定义域为R ，()g x 定义域为{|0}x x ≠，∵定义域不同，()f x ∴与()g x 不是同一函数.（2）()f x 定义域为R ，()g x 定义域为{|0}x x ≥，∵定义域不同，()f x ∴与()g x 不是同一函数.函数.3.画出下列函数的图象，并说出函数的定义域､值域：（1）3y x =；（2）8y x=；（3）45y x =-+；（4）267y x x =-+.【答案】一次函数3y x =的图形如图所示，定义域为R ，值域为R .【小问2详解】【小问3详解】一次函数45y x =-+的图形如图所示，定义域为R ，值域为R .【小问4详解】二次函数267y x x =-+的图形如图所示，定义域为R ，值域为[)2,-+∞.4.已知函数2()352f x x x =-+，求((),(3),()(3)f f a f a f a f -++的值.22()3()5()2352f a a a a a -=---+=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=+-++=++；222()(3)352335323516f a f a a a a +=-++⨯-⨯+=-+.5.已知函数g(x)＝26x x +-，(1)点(3，14)在函数的图像上吗？(2)当x ＝4时，求g(x)的值；(3)当g(x)＝2时，求x 的值.6.若()2f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值.【答案】因为()2f x x bx c =++,且()10f =,()30f =则10930b c b c ++=⎧⎨++=⎩,解方程组可得43b c =-⎧⎨=⎩则()243f x x x =-+所以()()()2114138f -=--⨯-+=7.画出下列函数的图象：（1）0,0()1,0x f x x ⎧=⎨>⎩ （2）()31,{1,2,3}G n n n =+∈.【答案】解：（1）函数()f x 是一个分段函数，函数图象如图（1）所示.（2）函数()G n 的图象是三个离散的点，如图（2）所示.P73综合运用8.如图，矩形的面积为10.如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d ，周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？【答案】解：答案不唯一.如：1010,xy y x=∴=，这是y 关于x 的函数，其中10(0,),2()2x l x y x x ⎛⎫∈+∞=+=+ ⎪⎝⎭，这是l 关于x 的函数，其中22222100(0,).x d x y x x ∈+∞=+=+，22100d x x∴=+，这是d 关于x 的函数，其中(0,)x ∈+∞.9.一个圆柱形容器的底部直径是dcm ，高是hcm .现在以3/v cm s 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x （单位：cm ）关于注入溶液的时间t （单位：s ）的函数解析式，并写出函数的定义域和值域.【答案】解：∵容器内液体的体积22d V x v t π⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，24vx t d π∴=⋅.定义域20,4d h t v π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，值域[0,]x h ∈.10.一个老师用5分制对数学作业评分，一次作业中，第一小组同学按座位序号1，2，3，4，5，6的次序，得分依次是5，3，4，2，4，5，你会怎样表示这次作业的得分情况？用x ，分别表示序号和对应的得分，y 是x 的函数吗？如果是，那么它的定义域、值域和对应关系各是什么？【答案】解：用列表法表示：用x ，y 分别表示序号和对应的得分，y 是x 的函数，其中，定义域是{12,3,4,5,6}，，值域是{2,3,4,5}，对应关系如上表所示.11.函数()r f p =的图象如图所示，（1）函数()r f p =的定义域､值域各是什么？（2）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？图中，曲线l 与直线m 无限接近，但永不相交.【答案】解：由函数()r f p =的图象可得，函数()r f p =的定义域为：[][)5026- ，，，值域为：[)0+∞，；解：由已知中函数()r f p =的图象可得：当[)()0,25,r ∈+∞ 时，只有唯一的p 值与之对应．12.画出定义域为{|38x x -≤≤，且5}x ≠，值域为{|120}y y y ，-≤≤≠的一个函数的图象.（1）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？（2）如果平面直角坐标系中点(,)P x y 的坐标满足3812x y -≤≤-≤≤，，那么其中哪些点不能在图象上？【答案】（1）由题意可知：定义域为{|38x x -≤≤，且5}x ≠，值域为{|120}y y y ，-≤≤≠，图象可以是如下图所示：（2）由题意可知中：线段:5(12)AB x y =-≤≤，和线段:0(38)CD y x =-≤≤上的点不在图象上如下图所示：13.函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[3.5]4-=-，[2.1]2=.当( 2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并画出函数的图象.【答案】解：3,2.522,211,10()0,011,122,233,3x x x f x x x x x --<<-⎧⎪--<-⎪⎪--<⎪=<⎨⎪<⎪<⎪⎪=⎩函数图象如图所示：14构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式21(0)2y ax a =>来描述.【答案】在不考虑空气阻力的情况下，一个物理从空中从静止状态作自由落体运动，经x 秒时的位移为y ，则21(0)2y gx x =.P73拓广探索15.如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇.（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度是5/km h ，t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距点P 的距离，请将t 表示为x 的函数.（2）如果将船停在距点P 4km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h ）？16.给定数集,(,0]A R B ==-∞，方程220u v +=，①（1）任给u A ∈，对应关系f 使方程①的解v 与u 对应，判断()v f u =是否为函数；（2）任给v B ∈，对应关系g 使方程①的解u 与v 对应，判断()u g v =是否为函数.()u g v =不是函数.17.探究是否存在函数(),()f x g x 满足条件：（1）定义域相同，值域相同，但对应关系不同；（2）值域相同，对应关系相同，但定义域不同.【答案】解（1）(),()2f x x g x x ==，定义域与值域分别相同，但对应关系不同.（2）22(),,()(0)f x x x R g x x x =∈=.18.在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．如果记圆周率π小数点后第n 位上的数字为y ，那么你认为y 是n 的函数吗？如果是，请写出函数的定义域、值域与对应关系；如果不是，请说明理由．【答案】根据函数的定义可知，每一个圆周率π小数点后第n 位上的数字是唯一的y ，即n 对应唯一的y ，故y 是n 的函数.定义域为{}|1200n N n *∈≤≤，值域为{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，对应关系：数位n 对应数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大（小）值P79练习1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.【答案】解：该装配线的生产效率是关于生产线上工人数的函数，当工人数为零时，生产效率为零；在一定范围内，随着工人数的增加，生产效率随之升高；超出这个范围时，随着工人数的增加，生产效率反而随之降低.2.根据定义证明函数()32f x x =+是增函数.【答案】证明：12,R x x ∀∈，且12x x <，则()()()()()12121232323f x f x x x x x -=+-+=-.12x x < ，120x x ∴-<，()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <.∴函数()32f x x =+在R 上是增函数.3.证明函数2()f x x=-在区间(,0)-∞上单调递增.【答案】证明：12,(,0)x x ∀∈-∞，且12x x <，12,(,0)x x ∈-∞ ，120x x ∴>.又12x x < ，120x x ∴-<.()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <.4.画出反比例函数ky x=的图象.（1）这个函数的定义域I 是什么？（2）它在定义域Ⅰ上的单调性是怎样的？证明你的结论.【答案】解：当0k >时，图象如图（1）.当0k <时，图象如图（2）.（1）定义域为(,0)(0,)-∞+∞ .12,(,0)x x ∈-∞ ，12x x <，120x x ∴>.210x x ->.()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >.P81练习1.整个上午（8:00～12:00）天气越来越暖，中午时分（12:00～13:00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18:00）才又开始转凉.画出这天8:0～20:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图），并说出所画函数的单调区间.【答案】解：依题意可得函数的一个可能图象如下图所示.单调增区间：[8,12)，[13,18)；单调减区间：[12,13)，[18,20].2.设函数()f x 的定义域为[6,11]-.如果()f x 在区间[6,2]--上单调递减，在区间[2,11]-上单调递增，画出()f x 的一个大致的图象，从图象上可以发现(2)f -是函数()f x 的一个______.【答案】解析：依题意，()f x 在区间[6,2]--上单调递减，在区间[2,11]-上单调递增从函数图象上可得，图象在[6,2]--上从左至右下降，在[2,11]-上从左至右上升，从而可得()f x 在[6,11]-上的大数图象如图所示.由图可知(2)f -是函数()f x 的一个最小值故答案为：最小值.3.已知函数1()f x x=，求函数在区间[2,6]上的最大值和最小值.12,[2,6]x x ∈ ，120x x ∴>.又12x x < ，210x x ∴->.()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >.3.2.2奇偶性P85练习1.已知()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,试将下图补充完整.【答案】解:因为奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，所以补充后图象如图所示.2.判断下列函数的奇偶性：（1）()4223f x x x =+；（2）()22f x x x =-．【答案】（1）函数()4223f x x x =+的定义域为R ，()()()()42422323f x x x x x f x -=-+-=+=，所以，函数()f x 为偶函数；（2）函数()22f x x x =-的定义域为R ，()()()2222f x x x x x -=---=+，则()()f x f x -≠且()()f x f x -≠-，所以，函数()f x 为非奇非偶函数.3.(1)从偶函数的定义出发,证明函数()y f x =是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称;(2)从奇函数的定义出发,证明函数()y f x =是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.【答案】证明:(1)充分性:若()y f x =的图象关于y 轴对称,设()()00,M x f x 为图象上任意一点,则M 关于y 轴的对称点()()'00,M x f x -仍在该图象上,即()()00f x f x -=.所以()y f x =为偶函数,必要性:若()y f x =为偶函数,设()()'00,M x f x 为()f x 图象上任意一点,M 关于y 轴的对称点为()()'00,M x f x -,由于()f x 为偶函数,所以()()00f x f x =-,所以()()00,M x f x '--在()f x 的图象上,所以()f x 的图象关于y 轴对称.(2)充分性:若()y f x =的图象关于原点对称,设()()00,M x f x 为其图象上任意一点,则M 关于原点的对称点()()'00,M x f x --仍在该图象上,所以()()00f x f x -=-,所以()y f x =为奇函数.必要性:若()y f x =为奇函数,设()()00,M x f x 为其图象上任意一点,则M 关于原点的对称点为()()'00,M x f x --,由于()y f x =为奇函数,所以()()00f x f x -=-,所以()()'00,M x f x --仍在()y f x =的图象上,所以()y f x =的图象头于原点对称.习题3.2P85复习巩固1.根据下图说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性.【答案】由图象可知该函数的单调区间为：[1,0)[0,2),[2,4),[4,5]-，；其中在区间[0,2)和[4,5]上单调递增，在区间[1,0)-和[2,4)上单调递减.2.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间及在每一单调区间上的单调性.（1）256y x x =--；（2）29y x =-.【答案】解：（1）函数256y x x =--的图象如图（1）所示.（2）函数29y x =-的图象如图（2）所示.由图象可知：单调区间有(,0],(0,)-∞+∞.其中()y f x =在区间(,0]-∞上是增函数，在区间(0,)+∞上是减函数.3.证明：（1）函数()21f x x =-+是减函数；（2）函数2()1f x x =+在(0,)+∞上单调递增；（3）函数1(1)f x x=-在(,0)-∞上单调递增.【答案】证明：（1）12,x x R ∀∈且12x x <，则()()()()12122121212f x f x x x x x -=-+--+=-，即()()12f x f x >.()21f x x ∴=-+是减函数.（2）120x x ∀<<，则()()()()()()221212121211f x f x x x x x x x -=+-+=+-.()()121212120,0,0,0x x x x x x f x f x <<∴+>-<∴-< ，即()()12f x f x <，2()1f x x ∴=+在(0,)+∞上单调递增.1212120,0,0x x x x x x <<∴-<> ，4.某汽车租赁公司的月收益y （单位：元）与每辆车的月租金x （单位：元）间的关系为21622100050x y x =-+-，那么，每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？5.判断下列函数的奇偶性：（1）2()1f x x =+；（2）2()1xf x x =+.【答案】解：（1）定义域为R ，22()()11()f x x x f x -=-+=+= ，2()1f x x ∴=+为偶函数.P86综合运用6.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.【答案】解：心率关于时间的一个可能的图象如图所示.7.已知函数()22f x x x =-，[]()2()22,4g x x x x =-∈.（1）求()f x 、()g x 的单调区间；（2）求()f x 、()g x 的最小值.【答案】（1） 函数()22f x x x =-的图象开口向上，对称轴为直线1x =，所以，函数()y f x =的减区间为(],1-∞，增区间为()1,+∞，函数()y g x =的增区间为[]2,4；（2）由（1）知，函数()y f x =在1x =处取得最小值1-，由于函数()y g x =在定义域[]2,4上单调递增，则函数()y g x =在2x =处取得最小值0.8.（1）根据函数单调性的定义证明函数9y x x=+在区间[3,)+∞上单调递增.（2）讨论函数9y x x =+在区间(0,)+∞上的单调性.（3）讨论函数(0)ky x k x =+>在区间(0,)+∞上的单调性.【答案】（1）证明12,[3,)x x ∀∈+∞且12x x <，则12121299y y x x x x ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭()()()1212121212999x x x x x x x x x x --⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭.121212,[3,),0,9x x x x x x ∈+∞∴>> .又121212,0.0x x x x y y <∴-<∴-< 即12y y <.9y x x∴=+在区间[3,)+∞上单调递增.（2）解：12,(0,)x x ∀∈+∞且12x x <.①当12,(0,3]x x ∈时，12120,90x x x x >-<，又120x x -<，9.设函数()y f x =的定义域为I ，区间D I ⊆，记()()1212,x x x y f x f x ∆=-∆=-.证明：（1）函数()y f x =在区间D 上单调递增的充要条件是：1212,x x D x x ∀∈≠，，都有0yx∆>∆；（2）函数()y f x =在区间D 上单调递减的充要条件是：1212,x x D x x ∀∈≠，，都有0y x∆<∆.【答案】证明：（1）充分性：不妨设12x x <，则120x x x ∆=-<即()()12,f x f x >()f x ∴在D 上单调递增.必要性：若()y f x =在D 上单调递增.则12,x x D ∀∈，不妨设1212,0x x x x x <∆=-<，则1212,0y y y y y <∆=-<.必要性：若()y f x =在D 上单调递减.20.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？11.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =+，画出函数()f x 的图像，并求出()f x 的解析式．【答案】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以图像关于原点对称且()()f x f x -=-，图像如图所示当0x ≥时，()()1f x x x =+，所以当0x <时，0x ->，则()()()()1f x x x f x -=--=-，整理有()()21f x x x x x =-=-+，所以()f x 的解析式为()22,0,0x x x f x x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩P87拓广探索12.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上单调递减，判断()f x 在(,0)-∞上单调递增还是单调递减，并证明你的判断.【答案】解：()f x 在(,0)-∞上单调递增任取120x x <<，则120x x ->->.()f x 在(0,)+∞上单调递减，()()12f x f x ∴-<-.()f x 是偶函数，()()()()1122,f x f x f x f x ∴-=-=.()()12f x f x ∴<，故()f x 在(,0)-∞上单调递增.13.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.（1）求函数32()3f x x x =-图象的对称中心；（2）类比上述推广结论，写出“函数()y f x =的图象关于y 轴成轴对称图形的充要条件是函数()y f x =为偶函数”的一个推广结论.【答案】解：（1）3233()3(1)3(1)2,(1)23f x x x x x y f x x x =-=----∴=++=- .设3()3g x x x =-，则33()()3()3()g x x x x x g x -=---=-+=-.()g x ∴为奇函数.32()3f x x x ∴=-的图象关于点(1,2)-对称.即32()3f x x x =-的图象的对称中心是点(1,2)-.（2）函数()y f x =的图象关于直线x a =成轴对称图形的充要条件是函数()y f x a =+为偶函数.第三章函数的概念与性质3．3幂函数P91练习1.已知幂函数y xα=的图象过点，试求出这个函数的解析式.2α=，得12α=，即12y x=.2.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：（1）3(1.5)-，3(1.4)-；（2）11.5-，11.4-.【答案】解：（1）设3()f x x=，则()f x在R上为增函数.1.5 1.4-<-，33(1.5)(1.4)∴-<-.3.根据单调性和奇偶性的定义证明函数3()f x x=的单调性和奇偶性.【答案】证明：3()f x x=的定义域为R.任取12,Rx x∈，且12x x<，则()()12f x f x∴-<，即()()12f x f x<.3()f x x∴=在R上为增函数.又33()()()f x x x f x-=-=-=-，3()f x x∴=为奇函数.习题3．3P91复习巩固1.画出函数y =的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.12,[0,)x x ∈+∞ ，且设任意的12,(,0]x x ∈-∞，且12x x <，则P91综合运用2.在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v ，（单位：3/cm s ）与管道半径r （单位：cm ）的四次方成正比.（1）写出气体流量速率v ，关于管道半径r 的函数解析式；（2）若气体在半径为3cm 的管道中，流量速率为3400/cm s ，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率v 的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm ，计算该气体的流量速率（精确到31/cm s ）.【答案】解：（1）设比例系数为k ，气体的流量速率v 关于管道半径r 的函数解析式为4v kr =.3.试用描点法画出函数2()f x x -=的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.描点，连线.图象如图所示.定义域：{|0}x x ≠，值域：{|0}y y >.2()f x x -=在(,0)-∞上是增函数，在(0,)+∞上是减函数.证明如下：设任意的12,(,0)x x ∈-∞，且12x x <.则22121212210,0,0,0x x x x x x x x <<∴+<>-> .()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，2()f x x -∴=在(,0)-∞上是增函数.120x x << ，222112210,0,0x x x x x x ∴+>>->()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >.2()f x x -∴=在(0,)+∞上是减函数.22()()()f x x x f x ---=-== 2()f x x -∴=是偶函数.第三章函数的概念与性质3.4函数的应用（一）P95练习1.若用模型2y ax =来描述汽车紧急刹车后滑行的距离y m 与刹车时的速度x /km h 的关系，而某种型号的汽车的速度为60/km h 时，紧急刹车后滑行的距离为20m .在限速100/km h 的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50m ，问这辆车是否超速行驶？【答案】由题意知点()60,20在函数2y ax =的图象上，∴这辆车没有超速行驶．2.某广告公司要为客户设计一幅周长为l （单位：m ）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？3.某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元.若该公司所生产的产品全部销售出去，则：（1）设总成本为1y （单位：万元），单位成本为2y （单位：万元），销售总收入为3y （单位：万元），总利润为4y （单位：万元），分别求出它们关于总产量x （单位：件）的函数解析式；（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析.（2）画出40.1150y x =-的图象如图.由图象可知，当1500x <时，该公司亏损；当1500x =时，公司不赔不赚；当1500x >时，公司赢利.P95习题3.4综合运用1.某人开汽车以60/km h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50/km h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路程()x km 表示为时间()t h （从A 地出发是开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速v /km h 表示为时间()t h 的函数，并画出函数的图象．【答案】由题意得：路程()x km 表示为时间的函数：60,0 2.5,150,2.5 3.5,15050( 3.5),3.5 6.5.t t x t t t ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪--<≤⎩图像如图：车速v()表示为时间的函数：60,0 2.5,0,2.5 3.5,50,3.5 6.5.t v t t ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪<≤⎩图像如图2.要建造一个容积为31200m ，深为6m 的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/2m ，池底的造价为135元/2m ，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在7万元以内（精确到0.1m ）？【答案】解：设水池的长为xm ，宽为ym ；总造价为z 元；解得，6.431.3x；故水池的长在6.4m 到31.3m 时，才能使水池的总造价控制在7万元以内．3.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过312m 3元3/m 超过312m 但不超过318m 的部分6元3/m 超过318m 的部分9元3/m 若某户居民本月交纳的水费为48元，求此户居民本月用水量．【答案】设此户居民本月用水量为x ，当012x <≤时，348x =，解得16x =，不满足题意；当1218x <≤时，()31261248x ´+´-=，解得14x =，满足题意；P96拓广探索4.图（1）是某条公共汽车线路收支差额y 关于乘客量x 的图象.（1）试说明图（1）上点A ，点B 以及射线AB 上的点的实际意义；（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，你能根据图象，说明这两种建议是什么吗？【答案】解：（1）点A 的实际意义为：当乘客量为0时，公司亏损1（单位）；点B 的实际意义为：当乘客量为1.5时，公司收支持平；射线AB 上的点的实际意义为：当乘客量小于1.5时，公司将亏损；当乘客量大于1.5时，公司将赢利.（2）题图（2）的建议是：降低成本而保持票价不变；题图（3）的建议是：提高票价而保持成本不变.5.下表是弹簧伸长长度x （单位：cm ）与拉力F （单位：N ）的相关数据：x 14.228.841.357.570.2F12345描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图像，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式．【答案】如图，结合表中数据绘出函数图像：结合函数图像选择一次函数建立函数模型，设函数解析式为x kF b =+，取点()1,14.1、()4,57.5代入函数解析式中，得14.157.54k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得14.4k »，0.2b »-，故函数解析式为()14.40.20x F F =-³，经检验满足题意.复习参考题3P100复习巩固1.求下列函数的定义域：（1）y =（2）4||5y x =-.解得2x，故函数的定义域为[)2,+∞．故函数的定义域为{|4x x且5}x ≠．2.已知函数1()1xf x x-=+，求：（1）()1(1)f a a +≠-；（2）(1)(2)f a a +≠-.3.设221()1x f x x +=-，求证：（1）()()f x f x -=；（2）1()()f f x x=-．4.已知函数2()48f x x kx =--在[]5,10上具有单调性，求实数k 的取值范围.5.已知幂函数()y f x =的图象过点22,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，试求出此函数的解析式，并画出图象，判断奇偶性、单调性.()f x 既不是奇函数也不是偶函数，函数()f x 在()0,∞+上递减.6.某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数()()()214000400280000400x x x R x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪⎩，＝，＞，其中x 是“玉兔”的月产量.（1）将利润f (x )表示为月产量x 的函数；（2）当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？(总收益＝总成本＋利润)【答案】由题意，当0400x时，2()4000.520000100f x x x x =---23000.520000x x =--；当400x >时，()8000010020000f x x =--60000100x =-；当0400x时，2()3000.520000f x x x =--；当300x =时，max ()(300)25000f x f ==(元)当400x >时，max ()(400)20000f x f <=(元)2500020000> ，∴当300x =时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元．P101综合运用7.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩，求(1),(3),(1)f f f a -+的值.【答案】(1)1(14)5,(3)3(34)21f f =⨯+=-=-⨯--=.当10a +≥即1a ≥-时，(1)(1)(14)(1)(5)f a a a a a +=+++=++.当10a +<即1a <-时，(1)(1)(14)(1)(3)f a a a a a +=++-=+-.(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧∴+=⎨+-<-⎩8.证明：（1）若()f x ax b =+，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭.（2）若2()g x x ax b =++，则()()121222g x g x x x g ++⎛⎫≤⎪⎝⎭.9.请解决下列问题：（1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上单调递减，那么它在[,]b a --上单调递增还是单调递减？（2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上单调递减，那么它在[,]b a --上单调递增还是单调递减？【答案】1）奇函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：任取12b x x a -≤<-≤，则21a x x b ≤-<≤-.因为()f x 在[,]a b 上是减函数，所以()()21f x f x ->-.又()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，于是()()21f x f x ->-，即()()12f x f x >.所以()f x 在[,]b a --上是减函数.（2）偶函数()g x 在[,]b a --上是增函数，证明如下：任取12b x x a -≤<-≤，则21a x x b ≤-<≤-.因为()g x 在[,]a b 上是减函数，所以()()21g x g x ->-.又()g x 是偶函数，所以()()g x g x -=.于是()()12g x g x <.所以()g x 在[,]b a --上是增函数.10.某地区上年度电价为0.8元/（kW h ⋅），年用电量为kW h a ⋅，本年度计划将电价下降到区间[]0.55,0.75（单位：元/（kW h ⋅）内，而用户期望电价为0.4元/（kW h ⋅）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k ）.该地区的电力成本价始终为0.3元/（kW h ⋅）.（1）写出本年度电价下调后电力部门的利润y （单位：元）关于实际电价x （单位，元/()kW h ⋅）的函数解析式；（2）设0.2k a =，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门本年度的利润比上年至少增长20%？整理得：2 1.10.300.550.75x x x ⎧-+≥⎨≤≤⎩，解得0.60.75x ≤≤所以当电价最低定为0.6元/（kW h ⋅）时，仍可保证电力部门本年度的利润比上年至少增长20%P101拓广探索11.经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？【答案】题图（1）中的曲线表示厂商希望的供应曲线；题图（2）中的曲线表示客户希望的需求曲线.从题图（1）观察，随着产品数量的上升，单价越来越高，可见是厂商希望的供应曲线；而题图（2）恰恰相反，当产品数量逐渐上升时，单价越来越低，由此判断是客户希望的需求曲线.12.试讨论函数1y x x=-的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象.【答案】定义域为{|0}x x ≠，值域为R .12,(,0)x x ∀∈-∞，且12x x <，则()()121212121212111x x x x y y x x x x x x -+⎛⎫-=---= ⎪⎝⎭.1212121212,(,0),0,0,10,0x x x x x x x x y y ∈-∞∴>-<+>∴-< ，即12y y <.1y x x∴=-在(,0)-∞上为增函数.12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，则()()121212121x x x x y y x x -+-=.12,(0,)x x ∈+∞ ，且12121212,0,10,0x x x x x x x x <∴>+>-<.120y y ∴-<，即12y y <.1y x x ∴=-在(0,)+∞上为增函数.设111(),()()f x y x f x x x f x x x x ⎛⎫==--=--=--=- ⎪-⎝⎭ .1()f x y x x∴==-是奇函数.13.如图，OAB 是边长为2的正三角形，记OAB 位于直线()0x t t =>左侧的图形的面积为()f t .试求函数()y f t =的解析式，并画出函数()y f t =的图象.【答案】解：（1）当01t <时，如图，设直线x t =与OAB 分别交于C 、D 两点，则||OC t =，如图，设直线x t =与OAB 分别交于M 、N 两点，则||2AN t =-，14.某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x（单位：元）与日销售量y（单位：件）之间有如下表所示的关系. x…30404550…y…6030150…（1）根据表中提供的数据描出实数对()x y ，的对应点，根据画出的点猜想y 与x 之间的函数关系，并写出一个函数解析式；（2）设经营此商品的日销售利润为P （单位：元），根据上述关系，写出P 关于x 的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？【答案】（1）如图，猜想y 与x 是一次函数关系，设(0)y ax b a =+≠.将(30,60),(40,30)代入得60303040a b a b =+⎧⎨=+⎩,解得3150a b =-⎧⎨=⎩.∴y 与x 的一次函数解析式为3150(0)y x x =-+>.max 300P =.∴销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润300元.。
2020年数学同步提分教程第一册“函数”课件讲义测试：第三章 3.1 3.1.3 第2课时(人教B版)
第2课时函数奇偶性的应用(教师独具内容)课程标准：会利用函数的奇偶性研究函数的定义域、值域、解析式、单调性等．教学重点：函数奇偶性的应用．教学难点：函数的奇偶性和单调性的综合应用．【情境导学】(教师独具内容)通过上节课的学习，我们知道函数的奇偶性描述了函数图像具有的对称性，这节课我们就来学习如何应用函数的奇偶性来解决问题．【知识导学】知识点一函数奇偶性的应用如果知道一个函数是□01奇函数或是□02偶函数，那么其定义域能分成□03关于原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图像，就可得出这个函数在另一部分上的□04性质和图像．知识点二偶函数的性质如果y＝f(x)是偶函数，那么其在x>0与x<0时的单调性□01相反．知识点三奇函数的性质如果y＝f(x)是奇函数，那么其在x>0与x<0时的单调性□01相同．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数的图像一定与y轴相交．()(2)奇函数的图像一定通过原点．()(3)若函数y＝f(x)是偶函数，且在[1,2]上单调递增，那么该函数在[－2，－1]上也单调递增．()(4)若函数y ＝f (x )是奇函数，且在(0,3)上单调递减，那么该函数在(－3,0)上单调递增．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2．做一做(1)函数y ＝f (x )，x ∈[－1，a ](a >－1)是奇函数，则a 等于( ) A ．－1B ．0C ．1D ．无法确定(2)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝________. (3)如果奇函数f (x )在区间[2,5]上是减函数，且最大值为8，最小值为3，那么f (x )在[－5，－2]上是________函数，最大值是________，最小值是________．答案 (1)C (2)－2 (3)减 －3 －8题型一 利用函数的奇偶性求值或求参数例1 (1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 是定义在[2b －5,2b －3]上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为( )A.13B.98 C ．1D ．无法确定(2)已知f (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________. (3)已知函数f (x )＝(x ＋a )(x ＋b )(a ，b ∈R )为R 上的偶函数． ①求a ，b 的关系式；②求关于x 的方程f (x )＝0的解集．[解析] (1)∵奇函数的定义域关于原点对称， ∴2b －5＝－(2b －3)＝－2b ＋3.解得b ＝2. ∴f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数， ∴f (0)＝c ＝0，f (－1)＝－f (1)． 即－1＋a －2＝－(1＋a ＋2)．∴a ＝0.∴f (x )＝x 3＋2x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋2×12＝18＋1＝98. (2)令g (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ，则g (x )为奇函数． ∴f (－3)＝g (－3)＋2＝－g (3)＋2. 又f (－3)＝－3，∴g (3)＝5. 又f (3)＝g (3)＋2，∴f (3)＝5＋2＝7.(3)①因为f (x )＝(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab 是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，所以(－x )2－(a ＋b )x ＋ab ＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab ， 即2(a ＋b )x ＝0对于x ∈R 恒成立， 所以a ＋b ＝0，即b ＝－a . ②由①可知，f (x )＝x 2－a 2.当a ＝0时，f (x )＝x 2＝0，解得x ＝0； 当a ≠0时，f (x )＝x 2－a 2＝0，解得x ＝±a .综上所述，当a ＝0时，方程f (x )＝0的解集为{0}； 当a ≠0时，方程f (x )＝0的解集为{－a ，a }． [答案] (1)B (2)7 (3)见解析 金版点睛利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f (x )的定义域为[a ，b ]，根据定义域关于原点对称，利用a ＋b ＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )列式，比较系数即可求解．[跟踪训练1] (1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x <0，g (x )，x >0，若f (x )是奇函数，则g (2)的值是( )A ．3B ．5C ．－5D ．－3(2)若f (x )＝ax 2＋bx ＋b ＋1是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b 的值为( )A ．－13 B.13 C ．－12 D.12答案 (1)A (2)B解析 (1)∵函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x <0，g (x )，x >0，且f (x )是奇函数，∴g (2)＝f (2)＝－f (－2)＝－(－2×2＋1)＝3.故选A.(2)∵f (x )＝ax 2＋bx ＋b ＋1是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＝－2a ，f (－x )＝ax 2－bx ＋b ＋1＝f (x )＝ax 2＋bx ＋b ＋1.∴a ＝13，b ＝0.∴a ＋b ＝13.故选B.题型二 利用函数的奇偶性求解析式例2 若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x (1－x )，求当x ≥0时，f (x )的解析式．[解] ∵当x <0时，f (x )＝x (1－x )， 设x >0，则－x <0. ∴f (－x )＝－x (1＋x )，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x (1＋x )．当x ＝0时，f (0)＝－f (0)，即f (0)＝0. ∴当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )． 金版点睛利用函数奇偶性求解析式的方法注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量x ，然后把x 转化为－x 为另一已知区间上的解析式中的变量，通过互化，求得所求区间上的解析式．[跟踪训练2] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，并且当x >0时f (x )＝x 3＋x ＋1，求f (x )的解析式．解 ∵当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1， 设x <0，∴－x >0.∴f (－x )＝(－x )3＋(－x )＋1＝－x 3－x ＋1. 又f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )． ∴－f (x )＝－x 3－x ＋1，即f (x )＝x 3＋x －1.故f (x )＝⎩⎨⎧x 3＋x ＋1(x >0)，0(x ＝0)，x 3＋x －1(x <0).题型三 函数的奇偶性与单调性的综合应用例3 (1)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，在[2,6]上是减函数，试比较f (－5)与f (3)的大小；(2)设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (m )＋f (m －1)>0，求实数m 的取值范围．[解] (1)因为f (x )是偶函数，所以f (－5)＝f (5)， 因为f (x )在[2,6]上是减函数， 所以f (5)<f (3)，所以f (－5)<f (3)． (2)由f (m )＋f (m －1)>0，得 f (m )>－f (m －1)，即f (1－m )<f (m )．又f (x )在区间[0,2]上为减函数且f (x )在[－2,2]上为奇函数， ∴f (x )在[－2,2]上为减函数．∴⎩⎨⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，1－m >m ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，m <12.解得－1≤m <12.故m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12.金版点睛奇偶性与单调性综合问题的两种类型(1)比较大小：看自变量是否在同一单调区间上． ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．(2)解不等式①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x 1)<f (x 2)或f (x 1)>f (x 2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“f ”转化为简单不等式求解．[跟踪训练3] (1)已知函数f (x )在[－5,5]上是偶函数，f (x )在[0,5]上是单调函数，且f (－4)<f (－2)，则下列不等式一定成立的是( )A ．f (－1)<f (3)B ．f (2)<f (3)C ．f (－3)<f (5)D ．f (0)>f (1)(2)设函数f (x )在R 上是偶函数，在(－∞，0)上单调递减，若f (a 2－2a ＋3)>f (a 2＋a ＋1)，求实数a 的取值范围．答案 (1)D (2)见解析解析 (1)因为函数f (x )在[－5,5]上是偶函数，所以f (－4)<f (－2)⇒f (4)<f (2)．又f (x )在[0,5]上是单调函数．所以f (x )在[0,5]上单调递减，从而f (0)>f (1)．(2)由题意，知f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 又a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0， a 2＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34>0，且f (a 2－2a ＋3)>f (a 2＋a ＋1)，所以a 2－2a ＋3>a 2＋a ＋1，即3a <2，a <23. 综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23.1．若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a 等于( )A.12B.23C.34 D ．1答案 A 解析 函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12，且x ≠a.又f (x )为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a ＝12.2．若函数f (x )＝ax 2＋(2＋a )x ＋1是偶函数，则函数f (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 A解析 因为函数f (x )为偶函数，所以a ＋2＝0，a ＝－2，即该函数f (x )＝－2x 2＋1，所以函数在(－∞，0]上单调递增．故选A.3．设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )A ．f (－π)>f (3)>f (－2)B ．f (－π)>f (－2)>f (3)C ．f (3)>f (－2)>f (－π)D ．f (3)>f (－π)>f (－2) 答案 A解析 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，∴f (π)>f (3)>f (2)，即f (－π)>f (3)>f (－2)．4．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值是4，最小值是－1，则2f (－6)＋f (－3)＝________.答案 －7解析 ∵f (x )是奇函数，且在[3,6]上是增函数，∴f (3)＝－1，f (6)＝4.∴2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×4＋1＝－7.5．已知函数f(x)＝x2＋4x＋3.(1)若g(x)＝f(x)＋bx为偶函数，求b的值；(2)求函数f(x)在[－3,3]上的最大值．解(1)g(x)＝f(x)＋bx＝x2＋(b＋4)x＋3，g(－x)＝x2－(b＋4)x＋3，∵g(x)＝g(－x)，∴b＋4＝0，∴b＝－4.(2)∵f(x)＝x2＋4x＋3的图像关于直线x＝－2对称，∴f(x)在x＝－2时取得最小值－1，在x＝3时取得最大值24.。
高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.2第1课时函数的表示法学案含解析第一册
3。
1。
2 函数的表示法第1课时函数的表示法学习目标核心素养1。
掌握函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．(重点) 2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点）1.通过函数表示的图象法培养直观想象素养．2．通过函数解析式的求法培养运算素养。
(1）已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算,火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．（2)如图是我国人口出生率变化曲线:(3）下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780。
3980.1210.050。
01问题：根据初中所学知识，请判断问题（1)、(2）、（3）分别是用什么法表示函数的?提示：解析法、图象法和列表法．函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗?提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此,图象法也不适用于所有函数，如D（x）＝错误!列表法虽在理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数个取值的情况,列表法只能表示函数的一个概况或片段．1．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”)（1)任何一个函数都可以用解析法表示．(）(2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．（）[答案](1)×(2)×2．已知函数f(x）由下表给出，则f（3）等于(）x1≤x<222<x≤4f(x)123A。
1B．2C．3D．不存在C[∵当2〈x≤4时，f(x)＝3，∴f（3）＝3。
]3．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则其定义域是______．［－2,3］［由图象可知f（x）的定义域为[－2，3］．］4．若f(x)＝x2＋bx＋c,且f（1）＝0，f（3）＝0，则f（－1)＝________。
2021年数学同步提分教程第一册“函数”课件讲义测试：第三章 3.1 3.1.1 第1课时 精练(人教B版)
2．已知函数 f(x)＝ x2－16的定义域为集合 A，函数 g(x)＝x2－2x＋a，x ∈[0,4]的值域为集合 B，若 A∪B＝R，求实数 a 的取值范围．
解 由题意，函数 f(x)＝ x2－16的定义域需满足：x2－16≥0，解得 x≤ －4 或 x≥4，
所以集合 A＝{x|x≤－4 或 x≥4}， 函数 g(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，
答案
因为 x∈[0,4]， 当 x＝1 时，函数 g(x)取得最小值为 a－1； 当 x＝4 时，函数 g(x)取得最大值为 a＋8； 所以函数 g(x)的值域为[a－1，a＋8]， 所以集合 B＝[a－1，a＋8]，
因为 A∪B＝R，如图所示：
答案
所以需满足aa－ ＋18≤ ≥－ 4，4， 解得－4≤a≤－3， 故实数 a 的取值范围为[－4，－3]．
答案
解析
8．若 f12x＝x3，则 f(1)＝________.
答案 8 解析 令12x＝1，则 x＝2.∴f(1)＝23＝8.
答案
解析
三、解答题 9．已知函数 f(x)＝ x＋3＋x＋1 2， (1)求函数的定义域； (2)求 f(－3)，f23的值； (3)当 a>0 时，求 f(a)，f(a－1)的值．
故选 C.
答案
解析
二、填空题
6．设 f(x)＝2x2＋2，g(x)＝x＋1 2，则 g[f(2)]＝________.
答案
1 12
解析 ∵f(2)＝2×22＋2＝10， ∴g[f(2)]＝g(10)＝101＋2＝112.
答案
解析
7．已知函数 f(x)的定义域为[1,4]，则 f(x＋2)的定义域为________． 答案 [－1,2] 解析 由 1≤x＋2≤4，得－1≤x≤2.
2021年数学同步提分教程第一册“函数”课件讲义测试：第三章 3.1 3.1.3 第1课时 精练(人教B版)
答案
解析
二Байду номын сангаас填空题 6．函数 f(x)＝1x－x 的图像关于________对称．
答案 原点 解析 ∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且 f(－x) ＝－1x－(－x)＝x－1x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图像关于原点对称．
答案
解析
7．若函数 f(x)为奇函数，函数 g(x)为偶函数，且 f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2， 则 f(x)＋g(x)＝________.
高中数学同步课件讲义教案
[汇编整理]
一、选择题
A 级：“四基”巩固训练
1．给定四个函数：①f(x)＝x3＋3 x，②f(x)＝ 1x，③f(x)＝x3＋1，④f(x)
＝x2＋x 1，其中是奇函数的有(
)
A．①③ B．①④
C．③④
D．②④
答案 B
答案
解析 ②中函数的定义域为(0，＋∞)，故为非奇非偶函数，③也是非奇 非偶函数．
解析
3．若函数 f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有( )
A．f(x)f(－x)>0 B．f(x)f(－x)<0
C．f(x)<f(－x)
D．f(x)>f(－x)
答案 B 解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又 f(x)≠0，∴f(x)f(－x)＝－ [f(x)]2<0.
答案
解析
答案
(2)如图： (3)递增区间有：(－2,0)，(2，＋∞)，递减区间有：(－∞，－2)，(0,2)．
答案
B 级：“四能”提升训练 1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝xx＋－5522－－44，，－1≤6<x<x6≤；－1，
2021_2022学年新教材高中数学第三章函数3.1.3.1函数的奇偶性课件新人教B版必修第一册
若将本例中的条件改为函数 f(x)＝ax2＋(a－1)x＋2 是偶函数，试求 a 的值． 【解析】若 f(x)是偶函数，则 f(－x)＝f(x)，即 a(－x)2－(a－1)x＋2＝ax2＋(a－1)x＋2， 即(a－1)x＝0 对于 x∈R 恒成立，则 a－1＝0，a＝1.
利用奇偶性求函数值 【典例】1.已知函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 是 R 上的奇函数，g(x)＝f(x)＋1，已知 g(2) ＝5，则 g(－2)＝( ) A．－5 B．5 C．－3 D．3 【思路导引】根据函数的奇偶性可得 b＝0，d＝0，先利用 g(2)＝f(2)＋1＝5 得出 f(2) 和 f(－2)，然后求解 g(－2)＝f(－2)＋1 的值． 【解析】选 C.因为 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 是 R 上的奇函数，所以 b＝0，d＝0，所以 g(x)＝ax3＋cx＋1，g(2)＝8a＋2c＋1＝5，得 f(2)＝8a＋2c＝4，则 g(－2)＝f(－2)＋1 ＝－3.
2．以下函数中为奇函数的是( )
A．y＝－2x
B．y＝2－x
C．y＝x2
D．y＝，x∈(0，1)
【解析】选A.f(x)＝－2x的定义域为R，定义域关于原点对称，f(－x)＝2x＝
－f(x)，y＝－2x是奇函数，A符合题意；y＝2－x既不是奇函数又不是偶函数，
B不合题意；y＝x2是偶函数，C不合题意；y＝ 2 ，x∈(0，1)，定义域不关于原
(2021·无锡高一检测)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≤0 时，f(x)＝x2＋2x.
(1)画出 y＝f(x)在 R 上的图像，并写出函数的减区间； 【解析】画图，f(x)的减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞).
(2)求函数 f(x)在 R 上的解析式； 【解析】设 x>0，则－x<0， 所以 f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x＝－f(x)， 所以 f(x)＝－x2＋2x，所以 f(x)＝－x2＋x2＋2x，2x，x≤0x>. 0， (3)求不等式 xf(x)>0 的解集． 【解析】原不等式可化为xf（>0x，）>0 或xf（<0x，）<0，
2021年数学同步提分教程第一册“函数”课件讲义测试：第三章 3.1 3.1.1 第2课时 精练(人教B版)
二、填空题
0，x>0，
6．已知 f(x)＝－1，x＝0， 2x－3，x<0，
则 f{f[f(5)]}等于________．
答案 －5 解析 f{f[f(5)]}＝f[f(0)]＝f(－1)＝2×(－1)－3＝－5.
答案
解析
7．已知 f(x)＝x－2＋3x4xx>≤00，， 若 f(x)＝10，则 x＝________.
1．已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)．
(1)用分段函数的形式表示函数 f(x)；
(2)画出函数 f(x)的图像；
(3)写出函数 f(x)的值域． 解 (1)当 0≤x≤2 时，f(x)＝1＋x－2 x＝1，
当－2<x<0 时，f(x)＝1＋－x2－x＝1－x.
所以 f(x)＝11－，x0，≤－x≤2<2，x<0.
仿此，分段函数 f(x)＝6xxx≥<66， 可以表示为 f(x)＝________.
答案 12(x＋6＋|x－6|)
答案
解析 因为 f(x)＝x3xx≤>33， 可表示为 f(x)＝12(x＋3－|x－3|)，其分界点 为 3.从而式子中含有 x＋3 与 x－3.并通过|x－3|的前面的“－”号达到需要的 结果的形式．
答案 － 6
解析 当 x≤0 时，由 x2＋4＝10，得 x＝－ 6，x＝ 6(舍去)， 当 x>0 时，由－3x＝10，得 x＝－130(舍去)．故 x＝－ 6.
答案
解析
8．分段函数 f(x)＝－xxx>x0≤，0 可以表示为 f(x)＝|x|，分段函数 f(x)＝
xx≤3，
3x>3
可表示为 f(x)＝12(x＋3－|x－3|)．
2020年数学同步提分教程第一册“函数”课件讲义测试：第三章 3.1 3.1.1 第1课时(人教B版)
3.1.1函数及其表示方法第1课时函数的概念(教师独具内容)课程标准：1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．教学重点：函数的概念；符号“y＝f(x)”的含义；函数的定义域和值域的求法．教学难点：符号“y＝f(x)”的含义及已知函数解析式求函数定义域的方法.【情境导学】(教师独具内容)夏天，大家都喜欢吃西瓜，而西瓜的价格往往与西瓜的重量相关．某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0.4元；6斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤以上，每斤0.6元．此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧．可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少要，反而多收了我的钱．当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱．同学们，你知道顾客是怎么晓得店主坑人的吗？【知识导学】知识点一函数的概念(1)函数的传统定义在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有□01唯一确定的值与其对应，那么就称□02y是□03x的函数．(2)函数的近代定义一般地，给定两个□04非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A 中的每一个实数x，在集合B中都有□05唯一确定的实数y与x对应，则称□06f为定义在集合A上的一个函数，记作□07y＝f(x)，x∈A.知识点二函数的定义域和值域在函数y＝f(x)，x∈A中，□01x称为自变量，□02y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的□03定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}□04值域．知识点三确定函数的两个要素(1)□01定义域；(2)□02对应关系．知识点四两个函数相同的条件(1)□01定义域相同；(2)□02对应关系相同．知识点五求函数定义域常用的依据(1)□01分式中分母不能为零；(2)□02二次根式中的被开方数要大于等于零．【新知拓展】对函数概念的理解(1)A，B都是非空实数集，因此定义域或值域为空集的函数不存在，如y＝x－1就不是函数．1－x(2)集合A就是定义域，因为给定A中的每一个x值都有唯一的y值与之对应．(3)集合B不一定是函数的值域，即B中的元素可以没有与之对应者，若将函数的值域记为C，容易得到C⊆B.(4)符号“y＝f(x)”表示“x对应的函数值”，f表示对应关系．(5)“f(x)”是一个整体，不可分开，也不能理解成“f·x”．(6)f(a)(a∈A)与f(x)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时的函数值，是值域内的一个数值，是常量；f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量．例如，f(x)＝2x 表示函数；当x＝3时，f(3)＝6，是一个常量．(7)函数的概念中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，这是因为函数定义中明确要求是对于非空实数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空实数集B 中都有(存在性)唯一确定(唯一性)的实数y和它对应，这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数值域中的每一个实数都有定义域中的实数与之对应．()(2)函数的定义域和值域一定是无限集合．()(3)定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．()(4)若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素．()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．做一做(1)对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是()A．f(a)∈BB．f(a)有且只有一个C．若f(a)＝f(b)，则a＝bD．若a＝b，则f(a)＝f(b)(2)已知f(x)＝x2＋1，则f[f(－1)]＝()A．2 B．3C．4 D．5(3)求下列函数的定义域：①f(x)＝1x＋8；②f (x )＝3x －4＋5－x .答案 (1)C (2)D (3)①{x |x ≠－8} ②⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，5题型一 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域：(1)y ＝2x ＋3；(2)y ＝x ＋1＋12－x ；(3)y ＝x －1x ＋1.[解] (1)函数y ＝2x ＋3的定义域为R .(2)要使函数有意义，则⎩⎨⎧ x ＋1≥0，2－x ≠0，即⎩⎨⎧x ≥－1，x ≠2.所以函数y ＝x ＋1＋12－x 的定义域是[－1,2)∪(2，＋∞)．(3)要使函数有意义，则⎩⎨⎧ x －1≥0，x ＋1>0，即⎩⎨⎧x ≥1，x >－1，即x ≥1，所以函数y ＝x －1x ＋1的定义域为[1，＋∞)．金版点睛求函数定义域的步骤与方法(1)求函数定义域的一般步骤①列出使函数解析式有意义的自变量的不等式(组)； ②解不等式(组)；③把解集表示成集合或区间的形式． (2)列不等式(组)的依据 ①分母不为零；②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③零指数幂的底数不为零．④几部分组成：若y ＝f (x )是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示．若用区间表示，不同区间应该用“∪”连接．[跟踪训练1] 求下列函数的定义域： (1)y ＝1x ＋1；(2)y ＝x －1＋1－x ； (3)y ＝x ＋1x 2－1；(4)y ＝(1－2x )0. 解 (1)要使函数式有意义，即分式有意义，则x ＋1≠0，x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≠－1}．(2)要使函数式有意义，则⎩⎨⎧ x －1≥0，1－x ≥0，即⎩⎨⎧x ≥1，x ≤1，所以x ＝1，从而函数的定义域为{x |x ＝1}．(3)因为当x 2－1≠0，即x ≠±1时，x ＋1x 2－1有意义，所以函数的定义域是{x |x ≠±1}．(4)∵1－2x ≠0，即x ≠12，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠12. 题型二 求函数值或求函数的值域 例2 (1)已知f (x )＝11＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )． ①求f (2)，g (2)的值； ②求f [g (3)]的值； (2)求下列函数的值域： ①y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； ②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝2x ＋1x －3； ④y ＝2x －x －1. [解] (1)①∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13. ∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6.。
2020年数学同步提分教程第一册“函数”课件讲义测试：第三章 3.1 3.1.1 第2课时(人教B版)
第2课时函数的表示方法(教师独具内容)课程标准：1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图像的作用.2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．教学重点：函数的三种表示方法；分段函数的图像及应用．教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.【情境导学】(教师独具内容)我们已经知道圆的面积A与半径r之间的关系A＝πr2是函数关系，银行里常用的“利息表”和我国人口出生率的变化曲线也是函数关系等等，既然都是函数关系，它们的表示各有什么特征？对你解决问题有哪些益处？学了本节知识，你一定有很深的体会．【知识导学】知识点一函数的表示方法(1)解析法□01用代数式(或解析式)来表示函数的方法称为解析法．(2)列表法□02用列表的形式给出函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法．(3)图像法一般地，将函数y＝f(x)，x∈A中的□03自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中□04点的横坐标与纵坐标，则□05满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图像，即F＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}．这就是说，如果F是函数y＝f(x)的图像，则□06图像上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)；反之，满足□07函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在函数图像F上．□08用函数的图像表示函数的方法称为图像法．知识点二分段函数□01如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．知识点三常数函数□01值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数．【新知拓展】1．对函数的三种表示法的说明(1)列表法：采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少，当自变量的个数较多时，使用不方便．(2)图像法：图像既可以是连续的曲线，也可以是离散的点．(3)解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域．2．关于分段函数(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．(2)研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在作分段函数的图像时，可将各段的图像分别画出来，从而得到整个函数的图像．(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集，写定义域时，区间端点应不重不漏．(4)求分段函数的函数值时，关键是看自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式求解．3．关于函数的实际应用问题，在确定出函数的解析式后，不仅要注意解析式本身对自变量的限制，还要注意自变量的实际意义．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用解析法表示．()(2)函数的图像一定是定义区间上一条连续不断的曲线．()(3)分段函数分几段，其图像就有相应的几段．()答案 (1)× (2)× (3)√2．做一做(1)已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( )x 1≤x <2 2 2<x ≤4 f (x )123A ．1B ．2C ．3D ．不存在(2)函数f (x )的图像如图所示，则f (x )的定义域是______，值域是________．(3)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≤0，0，x >0，则f (－2)＝________.(4)已知函数f (x )是一次函数，且其图像过点A (－2,0)，B (1，5)两点，则f (x )的解析式为________．答案 (1)C (2)[－1,2) (－1,1] (3)4 (4)f (x )＝53x ＋103题型一 函数的三种表示方法例1 某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x (台)与收款总额y (元)之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．[解] (1)列表法：(2)图像法：(3)解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．金版点睛函数的表示方法(1)解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．中学阶段所研究的主要是能够用解析式表示的函数．(2)图像法的优点是能直观形象地表示出随自变量的变化，相应的函数值的变化趋势，有利于我们通过图像来研究函数的某些性质．图像法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等．(3)列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，表格法在实际生产和生活中也有广泛应用，如银行利率表、列车时刻表等．[跟踪训练1]某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法、图像法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系．解(1)该函数关系用列表法表示为：x/道012345y/分50403020100(2)该函数关系用图像法表示，如图．(3)该函数关系用解析法表示为y＝50－10x(x∈{0,1,2,3,4,5}).题型二作函数的图像例2作出下列各函数的图像：(1)y＝1－x，x∈Z；(2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．[解](1)列表：x …－2－10123…y …3210－1－2…描点可得这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上，∵x∈Z，∴y∈Z，这些点称为整点，如图(1)所示．(2)列表：x －2－1012y 0－1038描点、连线可得这个函数的图像是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分，如图(2)所示．金版点睛作函数图像应注意的问题。
2020年数学同步提分教程第一册“函数”课件讲义测试：第三章 3.1 3.1.2 第1课时(人教B版)
3.1.2函数的单调性第1课时单调性的定义与证明(教师独具内容)课程标准：借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．教学重点：函数单调性的定义及其应用，函数单调性的证明．教学难点：函数单调性的证明.【情境导学】(教师独具内容)下图是某市一天24小时内的气温变化图，从图中你能发现什么？提示：从图像上可以看出0～4时气温下降，4～14时气温逐渐上升，14～24时气温又逐渐下降．学习了本节内容——函数的单调性，可以使我们更好地认识图形，并用图形中所揭示的规律与趋势来指导我们的生活与工作．【知识导学】知识点一增函数与减函数的定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D：(1)如果对任意x1，x2∈I，当x1>x2时，都有□01f(x1)>f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上□02单调递增)．(2)如果对任意x1，x2∈I，当x1>x2时，都有□03f(x1)<f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上□04单调递减)．知识点二函数的单调性和单调区间如果一个函数在I上是□01增函数或是□02减函数，就说这个函数在I上具有单调性(当I 为区间时，称I 为函数的□03单调区间，也可分别称为□04单调递增区间或□05单调递减区间)． 知识点三 函数的最大值和最小值一般地，设函数f (x )的定义域为D ，且x 0∈D ：如果对任意x ∈D ，都有□01f (x )≤f (x 0)，则称f (x )的最大值为f (x 0)，而□02x 0称为f (x )的最大值点；如果对任意x ∈D ，都有□03f (x )≥f (x 0)，则称f (x )的最小值为f (x 0)，而□04x 0称为f (x )的最小值点．最大值和最小值统称为□05最值，最大值点和最小值点统称为□06最值点． 【新知拓展】1．当函数f (x )在其定义域内的两个区间A ，B 上都是增(减)函数时，不能说f (x )在A ∪B 上是增(减)函数，如f (x )＝1x 在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数，不能说f (x )＝1x 在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，事实上，取x 1＝－1<1＝x 2，有f (－1)＝－1<1＝f (1)，不符合减函数的定义．2．函数的单调性是函数在某个区间上的性质(1)这个区间可以是整个定义域．例如，y ＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是增函数，y ＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是减函数．(2)这个区间也可以是定义域的真子集．例如，y ＝x 2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(3)有的函数不具有单调性．例如，函数y ＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，它的定义域为R ，但不具有单调性；y ＝x ＋1，x ∈Z ，它的定义域不是区间，也不能说它在定义域上具有单调性．3．区间端点的写法对于单独的一点，因为它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些无意义的点，单调区间就一定不包括这些点．例如，y＝x2的单调递增区间是[0，＋∞)，也可以记为(0，＋∞)，但函数y＝1x在(0，＋∞)上是减函数，就不能写成y＝1x在[0，＋∞)上为减函数．4．对最大(小)值定义的理解(1)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使f(x0)等于最值，如f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0.(2)对于定义域内的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”两字不可省．(3)使函数f(x)取得最大(小)值的自变量的值有时可能不止一个．(4)函数f(x)在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是其图像上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是其图像上最低点的纵坐标．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有函数在定义域上都具有单调性．()(2)定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么函数f(x)在(a，b)上为增函数．()(3)若函数f(x)在区间A上为减函数，在区间B上也为减函数，则函数f(x)在区间A∪B上也为减函数．()(4)若函数f(x)在实数集R上是增函数，则有f(1)<f(4)．()(5)任何函数都有最大值或最小值．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知函数f(x)＝x的图像如图1所示，①从左至右图像是上升的还是下降的：________.②在区间________上，随着x的增大，f(x)的值________，在此区间上函数是增函数还是减函数：________.(2)已知函数f(x)＝－2x＋1的图像如图2所示，①从左至右图像是上升的还是下降的：________.②在区间________上，随着x的增大，f(x)的值________，在此区间上函数是增函数还是减函数：________.(3)函数y ＝－x 2的单调递增区间为________，单调递减区间为________．(4)函数f (x )＝x 2在[0,1]上的最大值是________．答案 (1)①上升的 ②(－∞，＋∞) 增大 增函数(2)①下降的 ②(－∞，＋∞) 减小 减函数(3)(－∞，0] [0，＋∞) (4)1题型一 函数单调性的判断与证明例1 用函数单调性的定义证明：(1)函数f (x )＝－2x 2＋3x ＋3在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上是增函数； (2)函数f (x )＝x ＋4x ＋3在(－3，＋∞)上是减函数． [证明] (1)设x 1，x 2是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上的任意两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝(－2x 22＋3x 2＋3)－(－2x 21＋3x 1＋3)＝2x 21－2x 22＋3x 2－3x 1＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－3(x 1－x 2)＝[2(x 1＋x 2)－3]·(x 1－x 2)．因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，由x 1，x 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34，得x 1<34，x 2≤34， 则x 1＋x 2<32，所以2(x 1＋x 2)<3，则2(x 1＋x 2)－3<0，所以f (x 2)>f (x 1)，所以函数f (x )＝－2x 2＋3x ＋3在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上是增函数． (2)设x 1，x 2是(－3，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋4x 2＋3－x 1＋4x 1＋3＝－(x 2－x 1)(x 2＋3)(x 1＋3). 因为x 2－x 1>0，所以－(x 2－x 1)<0，由x1，x2∈(－3，＋∞)，得x1>－3，x2>－3，即x1＋3>0，x2＋3>0，所以f(x2)<f(x1)，所以f(x)＝x＋4x＋3在(－3，＋∞)上是减函数．[条件探究]若把本例(2)中的(－3，＋∞)改为(－∞，－3)，试判断函数f(x)的单调性．解设x1，x2是(－∞，－3)上的任意两个实数，且x1<x2，则x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝x2＋4x2＋3－x1＋4x1＋3＝－(x2－x1)(x2＋3)(x1＋3).因为x2－x1>0，所以－(x2－x1)<0，由x1，x2∈(－∞，－3)，得x1<－3，x2<－3，即x1＋3<0，x2＋3<0，所以f(x2)<f(x1)，所以函数f(x)＝x＋4x＋3在(－∞，－3)上是减函数．金版点睛函数单调性的判断判断函数f(x)的单调性通常有定义法和图像法两种．而证明单调性一般要用定义法，其一般步骤为：(1)设元：设x1，x2为区间上的任意两个变量，且x1<x2；(2)作差：计算f(x1)－f(x2)；(3)变形：将差式变形整理(配方、通分、因式分解)；(4)判号：结合题设判定差的符号；(5)定论：结合单调性的定义下结论．[跟踪训练1]利用定义判断函数f(x)＝xx＋2在区间(0，＋∞)上的单调性．解任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1<x2，则x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝x2x2＋2－x1x1＋2＝x2(x1＋2)－x1(x2＋2)(x2＋2)(x1＋2)＝2(x2－x1)(x1＋2)(x2＋2).。
高中数学第三章函数3.1.1函数及其表示方法(第1课时)函数的概念bb高一第一册数学
求函数值 和值域
会求简单函数的函数值和值域
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核心素养 数学抽象
数学运算 数学抽象 数学运算
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问题导学 预习教材 P85－P88 的内容，思考以下问题： 1．函数的概念是什么？ 2．函数的自变量、定义域是如何定义的？ 3．函数的值域是如何定义的？
12/11/2021
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第三章 函 数
3．1 函数的概念与性质
3．1.1 函数及其表示方法
第 1 课时 函数的概念
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第三章 函 数
考点
学习目标
Байду номын сангаас
函数的概念
理解函数的概念， 了解构成函数的三要素
求函数的 定义域
会求一些简单函数的定义域
同一个函数 掌握同一个函数的概念，并会判断
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(1)判断所给对应关系是否为函数的方法 ①先观察两个数集 A，B 是否非空； ②验证对应关系下，集合 A 中 x 的任意性，集合 B 中 y 的唯一 性． (2)根据图形判断对应关系是否为函数的步骤 ①任取一条垂直于 x 轴的直线 l； ②在定义域内平行移动直线 l； ③若 l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没 有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
下列式子中不能表示函数 y＝f(x)的是( )
A．x＝y2＋1
B．y＝2x2＋1
C．x－2y＝6
D．x＝ y
解析：选 A.对于 A，由 x＝y2＋1 得 y2＝x－1.当 x＝5 时，y＝±2， 故 y 不是 x 的函数；对于 B，y＝2x2＋1 是二次函数；对于 C，
2020-2021高中数学第一册学案：第3章 3.1 3.1.2 第2课时函数的平均变化率含解析
2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第一册学案：第3章3.1 3.1.2 第2课时函数的平均变化率含解析第2课时函数的平均变化率学习目标核心素养1.理解斜率的含义及平均变化率的概念．（重点）2．掌握判断函数单调性的充要条件．(重点、难点)通过利用函数f（x）的平均变化证明f(x)在I上的单调性，提升数学运算和培养逻辑推理素养．科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图思考下列问题:问题（1）在区间［6,17]对应的曲线上任取不同两点A(x1，y1），B(x2,y2）,ΔyΔx＝y2－y1x2－x1一定大于零吗？(2）如果在区间［2，10]对应的曲线上任取不同两点C（x3，y3）,D（x4，y4)，错误!＝错误!一定大于零吗?1．直线的斜率（1)定义:给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1）,B(x2，y2）,当x1≠x2时，称错误!为直线AB的斜率;(若记Δx＝x2－x1,相应的Δy＝y2－y1，当Δx≠0时,斜率记为ΔyΔx)，当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在．（2)作用：直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度．2．平均变化率与函数单调性若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1），y2＝f（x2)，错误!＝错误!错误!，则：（1）y＝f（x）在I上是增函数的充要条件是错误!＞0在I上恒成立；(2）y＝f(x）在I上是减函数的充要条件是错误!＜0在I上恒成立．当x1≠x2时，称ΔfΔx＝错误!为函数y＝f（x）在区间［x1，x2]（x1＜x2时)或[x2，x1]（x1＞x2时）上的平均变化率．通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量．[拓展]（1）注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx ＝x2－x1，则Δy＝f(x2）－f(x1）;若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1）－f （x2）。
2021年高中数学必修第一册第3章《函数概念与性质》同步课件（含答案）
2021年高中数学必修第一册第3章《函数概念与性质》同步课件（含答案）1、人教2021A版必修第一册第三章函数概念与性质n函数函数的概念基本性质幂函数单调性〔最值〕奇偶性概念表示法学问结构n一、基础学问整合1．函数的概念一般地，设A，B是两个非空的数集，假如根据某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做________，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做________，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．唯一确2、定的数函数自变量定义域函数值值域n2．函数的表示方法(1)解析法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法．(2)图象法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法．(3)列表法：就是________来表示两个变量之间的对应关系的方法．3．构成函数的三要素(1)函数的三要素是：________，________，________.(2)两个函数相等：假如两个函数的________相同，并且________完全一致，则称这两个函数相等．数学表达式图象列出表格定义域对应关系值域定义域对应关系3、n〔3〕.求函数的定义域应留意：②f(x)是分式，则分母不为0；①f(x)是整式，则定义域是R；③偶次方根的被开方数非负；④若f(x)=,则定义域表格形式给出时,定义域就是表格中数的集合.4．分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．n5.函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①假如对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．②假如对于定义域I4、内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．(2)单调性与单调区间假如函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)，区间D叫做y＝f(x)的．任意两个增函数任意两个减函数单调性单调区间n〔1〕.偶函数的定义：假如对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.〔2〕.奇函数的定义：假如对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么函5、数f(x)就叫做奇函数.〔3〕.几个结论:①偶函数的图象关于y轴对称.②奇函数的图象关于原点对称.③函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不行少的条件是---定义域关于原点对称,否则它是非奇非偶函数.④推断一个函数是否为奇(偶)函数还可用f(-x)±f(x)=0或.6.奇偶函数定义n7.常见幂函数的性质y=xy=x2y=x3y=x-1图象定义域值域奇偶性单调性公共点函数性质RRRRR[0,+∞)[0,+∞)[0,+∞)奇奇奇偶非奇非偶[0,+∞)增(-∞,0]减(0,+∞)减(-∞,0)减增增增(1,1)n类型6、一函数的定义域n类型二求函数的解析式nnn例3已知函数则－n类型三函数的性质及应用nn探究1.假如分段函数为定义域上的减函数，那么在每个分段区间内的单调性是怎样的？探究 2.要保证分段函数在整个定义域内单调递减，需要满足什么条件？n[解析]由x≥1时，f(x)＝－x2＋2ax－2a是减函数，得a≤1；由x＜1时，函数f(x)＝ax＋1是减函数，得a＜0.分段点x＝1处的值应满足－12＋2a×1－2a≤1×a＋1，解得a≥－2.所以－2≤a＜0.[答案]B[规律总结]在应用分段函数整体的单调性求解参数的取7、值范围时，不仅要保证分段函数的每一段上的函数是单调的，而且还要求函数的特别点——分段点处的值，也要结合函数的单调性比较大小，如本例中的分段点x＝1，即需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件．nn例7求f(x)＝2x2－4x＋1(－1≤x≤1)的值域．解：f(x)＝2(x－1)2－1，此函数在[－1,1]上单减，∴最大值f(－1)＝7，最小值f(1)＝－1，∴值域为[－1,7]．n例8.函数f(x)的定义域为R，且对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x0时，f(x)8、0，f(1)＝－2.(1)证明f(x)是奇函数；(2)证明f(x)在R上是减函数；(3)求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．[分析]给出函数关系而未给出解析式，要证明函数的奇偶性与单调性，关键是紧紧扣住条件f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x0时，f(x)0，对其中的x，y不断赋值．n[解析](1)令y＝－x，得f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，∴f(x)＋f(－x)＝f(0)．又∵f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0，∴f(x)＋f(－x)＝0，f(－x)＝－f9、(x)，∴f(x)是奇函数．n(2)任取x1，x2∈R，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]＝－f(x2－x1)．∵x1x2，∴x2－x10，又∵当x0时，f(x)0，∴f(x2－x1)0，∴－f(x2－x1)0，即f(x1)f(x2)，从而f(x)在R上是减函数．n(3)∵f(x)在R上是减函数．∴f(x)在[－3,3]上的最大值是f(－3)，最小值是f(3)．f10、(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×(－2)＝－6，∴f(－3)＝－f(3)＝6.从而f(x)在区间[－3,3]上的最大值是6，最小值是－6.nn 达标检测nnnnn所以，nnnn。
【新教材】2021版高中数学人教B版必修第一册学案：3.1.1 第1课时 函数的概念 (含解析)
第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.1函数及其表示方法第1课时函数的概念课程标准学法解读1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.1．函数概念的引入，学生应以熟悉的例子为背景进行抽象，从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图像的几何直观等角度整体认识函数的概念．2．本节重点是理解函数的定义，会求简单函数的定义域，难点是理解y＝f(x)的含义，注意加深理解.必备知识·探新知基础知识1．函数的概念(1)定义：__给定两个非空数集A与B__，以及__对应关系f__，如果对于集合A中的__每一个实数x__，在集合B中都有__唯一确定的实数y__与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数．(2)记法：y＝f(x)，x∈A.(3)定义：自变量因变量定义域值域x y A __{y∈B|y＝f(x)，x∈A}__ 思考提示：f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，也可以是图像、表格，还可以是文字描述．如f (x )＝3x ＋5，f 表示“自变量的3倍加上5”，如f (4)＝3×4＋5＝17.2．常见函数的定义域和值域 函数一次函数反比例 函数 二次函数__a ＞0__ __a ＜0__ 对应 关系 y ＝ax ＋b (a ≠0) y ＝k x (k ≠0) y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0) y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0) 定义域 R {x |x ≠0} RR值域R{y |y ≠0}⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥4ac －b 24a⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤4ac －b 24a思考2：求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域时为什么分a ＞0和a ＜0两种情况？提示：当a ＞0时，二次函数的图像是开口向上的抛物线，观察图像得值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y ≥4ac －b 24a . 当a ＜0时，二次函数的图像是开口向下的抛物线，观察图像得值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y ≤4ac －b 24a .基础自测1．下图中能表示函数关系的是__①②④__(填序号)．解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．2．已知f (x )＝3x ＋2，则f (2)＝__8__；若f (a )＝－4，则a ＝__－2__. 3．函数f (x )＝14－x的定义域是__(－∞，4)__. 解析：由4－x ＞0，解得x ＜4，所以原函数的定义域为(－∞，4)． 4．已知f (x )＝x 3－2，则f [f (－1)]＝__－29__. 解析：∵f (x )＝x 3－2，∴f (－1)＝(－1)3－2＝－3， ∴f [f (－1)]＝f (－3)＝(－3)3－2＝－29.5．给出下列三组函数，其中表示同一函数的是__③__(填序号)．①f (x )＝x ，g (x )＝x 2x ；②f (x )＝2x ＋1，g (x )＝2x －1； ③f (x )＝x ，g (x )＝3x 3.解析：①中f (x )＝x 与g (x )＝x 2x 的定义域不同；②中f (x )＝2x ＋1，g (x )＝2x －1的对应关系不同．关键能力·攻重难函数的概念 类型 ┃┃典例剖析__■典例1 设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}给出下列4个图形，其中能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个思路探究：由函数的定义知，图中过x 轴上区间[0,2]内任取一点作y 轴的平行线，与图形有且只有一个交点才可．解析：由函数的定义知，(1)不是，因为集合M 中1<x ≤2时，在N 中无元素与之对应； (3)中x ＝2对应元素y ＝3∉N ，所以(3)不是；(4)中x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，所以(4)不是； 显然只有(2)是，故选B ．归纳提升：1.判断一个对应关系是不是函数关系的方法：(1)A 、B 必须都是非空数集；(2)A 中任意一个数在B 中必须有并且是唯一的实数和它对应．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．2．函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两个变量x、y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．┃┃对点训练__■1．在下列从集合A到集合B的对应关系中，能确定y是x的函数的是(D)①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，f为“除以3”；②A＝{x|x＞0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，f为“求3x的平方根”；③A＝R，B＝R，f为“求平方”；④A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，f为“乘以0”．A．①④B．②③④C．②③D．③④解析：①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数；②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数；③④符合函数的定义．类型同一函数的判断┃┃典例剖析__■典例2下列各组函数是否表示同一函数？为什么？(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝t2；(2)y＝x2，y＝(x)2；(3)f(x)＝x·x＋1与g(x)＝x(x＋1)；(4)f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1；(5)f(x)＝1与g(x)＝x0(x≠0)．思路探究：判断每一对函数的定义域是否相同，对应法则是否相同即可．解析：对于(1)，在公共定义域R上，f(x)＝|x|和φ(t)＝t2＝|t|的对应法则完全相同，只是表示形式不同；对于(2)，前者x∈R，后者x≥0，两者定义域不同；对于(3)，前者定义域为[0，＋∞)，后者定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)；对于(4)，尽管两个函数的自变量一个用x表示，另一个用t表示，但它们的定义域相同，对应法则相同，对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一个函数值，因此二者为同一函数；对于(5)，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}．故以上各对函数中，(1)(4)表示同一函数，(2)(3)(5)表示的不是同一函数．归纳提升：同一函数的判断方法定义域和对应法则，是确定一个函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则分别相同时，这两个函数才是同一函数．┃┃对点训练__■2．下列四组函数，表示同一函数的是( D ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝x B ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xC ．f (x )＝x 2－4，g (x )＝x －2·x ＋2D ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3解析：选项A 中，f (x )＝|x |，g (x )＝x ，故两函数的对应法则不同；选项B 中，函数f (x )的定义域为R ，函数g (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；选项C 中，函数f (x )的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，函数g (x )的定义域为[2，＋∞)；选项D 中，函数f (x )与g (x )的定义域和对应法则均相同，故选 D ．类型 求函数的定义域 ┃┃典例剖析__■典例3 求下列函数的定义域：(1)f (x )＝1x －2； (2)f (x )＝3x ＋2； (3)f (x )＝－x 2＋2(x ∈Z )．思路探究：本题主要考查函数的定义域．只给出函数的关系式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是使函数关系式有意义的实数的全体构成的集合．解析：(1)要使1x －2有意义，x 需满足x －2≠0，即x ≠2，故该函数的定义域为{x |x ≠2}． (2)要使3x ＋2有意义，x 需满足3x ＋2≥0，即x ≥－23，故该函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥－23.(3)要使－x 2＋2有意义，x 需满足－x 2＋2≥0，即－2≤x ≤2，又结合x ∈Z ，则x 等于－1,0,1，故该函数的定义域为{－1,0,1}．归纳提升：函数定义域的求法1．求函数的定义域之前，不能对函数的解析式进行变形，否则可能会引起定义域的变化． 2．求函数定义域的基本原则有：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．(3)如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．(4)如果f (x )是由几个数学式子构成的，那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的集合(即求各部分定义域的交集)．(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约． ┃┃对点训练__■ 3．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝x 2－x ； (2)f (x )＝(x ＋2)0； (3)f (x )＝x ＋1x －2； (4)f (x )＝x ＋4＋1－x (x ∈Z )．解析：(1)f (x )为整式函数，x 取任意实数时，f (x )都有意义，故函数f (x )的定义域为R . (2)要使函数f (x )有意义，应满足x ＋2≠0，即x ≠－2，故函数f (x )的定义域为{x |x ≠－2}．(3)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －2≠0，即⎩⎨⎧x ≥－1，x ≠2.故函数f (x )的定义域为{x |x ≥－1，且x ≠2}．(4)要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4≥0，1－x ≥0，即－4≤x ≤1，又x ∈Z ，则x 只能取值－4，－3，－2，－1,0,1. 故函数f (x )的定义域为{－4，－3，－2，－1,0,1}． 类型 简单函数值域的求法 ┃┃典例剖析__■典例4 求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1x －3；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (3)y ＝2x －x －1.思路探究：求函数的值域没有统一的方法，如果函数的定义域是有限个值，那么就可将函数值都求出得到值域；如果函数的定义域是无数个值，那么可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，如，观察法、配方法、换元法等．解析：(1)(观察法)y ＝2x ＋1x －3＝2＋7x －3.因为x ≠3，所以7x －3≠0，所以y ≠2.故所求函数的值域为{y |y ≠2}． (2)(配方法)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2.因为1≤x ＜5，所以函数的值域为{y |2≤y ＜11}． (3)(换元法)设t ＝x －1，则t ≥0，且x ＝t 2＋1.所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2⎝⎛⎭⎫t －142＋158. 因为t ≥0，所以y ≥158.故函数y ＝2x －x －1的值域为{y |y ≥158}． 归纳提升：求函数值域的常用方法1．观察法：通过对函数关系式的简单变形，利用熟知的一些函数的值域，观察求得函数的值域．2．配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量的取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．3．换元法：通过对函数的关系式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而求出函数的值域．求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要通过自己在解题过程中逐渐探索和积累． ┃┃对点训练__■4．(1)已知f (x )＝11＋x 2，g (x )＝x 2－2，则f (3)＝__110__，f [g (3)]＝__150__.(2)求下列函数的值域： ①y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ②y ＝3x －1x ＋1.解析：(1)∵f (x )＝11＋x 2，∴f (3)＝11＋32＝110.又g (x )＝x 2－2，∴g (3)＝32－2＝7.∴f [g (3)]＝f (7)＝11＋72＝150.(2)①(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图像(如图)，可得函数的值域数[2,6)．②(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y ≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．易混易错警示 求函数定义域时非等价化简解析式 ┃┃典例剖析__■典例5 求函数y ＝x ＋1x 2－1的定义域．错因探究：在求函数的定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形处理，以免导致定义域的变化．如本题易得错解：y ＝x ＋1x 2－1＝1x －1，故x －1≠0，x ≠1，即函数的定义域为{x |x ≠1}．解析：因为当x 2－1≠0，即x ≠±1时，函数有意义，所以函数的定义域为{x |x ≠±1}． 误区警示：求函数的定义域时，一定要根据最原始的解析式来求解，否则可能会改变原函数的定义域．学科核心素养 复合函数定义域的求法 ┃┃典例剖析__■复合函数：如果函数y ＝f (t )的定义域为A ，函数t ＝g (x )的定义域为D ，值域为C ，则当C ⊆A 时，称函数y ＝f [g (x )]为f 与g 在D 上的复合函数，其中t 称为中间变量，t ＝g (x )称为内函数，y ＝f (t )称为外函数．复合函数的定义域是由外函数的定义域、内函数的值域以及内函数的定义域共同确定的． 若已知复合函数f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域，可令t ＝g (x )，由x 的范围推出t 的范围，再以x 换t 即得f (x )的定义域．若已知f (x )的定义域求复合函数f [g (x )]的定义域，令g (x )在已知范围内解出x 的范围就是复合函数的定义域．典例6 (1)函数f (x )的定义域为[2,3]，求函数f (x －1)的定义域；(2)函数f(x－1)的定义域为[2,3]，求函数f(x)的定义域．解析：(1)函数f(x)的定义域为[2,3]，则函数f(x－1)中，2≤x－1≤3，解得3≤x≤4，即函数f(x－1)的定义域为[3,4]．(2)函数f(x－1)的定义域为[2,3]，即2≤x≤3，则1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域为[1,2]．课堂检测·固双基1．已知函数f(x)＝－1，则f(2)的值为(B)A．－2B．－1C．0D．不确定解析：∵函数f(x)＝－1，∴不论x取何值其函数值都等于－1，故f(2)＝－1.2．下列图形可作为函数y＝f(x)的图像的是(D)解析：选项D中，对任意实数x，都有唯一确定的y值与之对应，故选D．3．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为__{－1,0,_3}__.解析：x＝0时，y＝0；x＝1时，y＝－1；x＝2时，y＝0；x＝3时，y＝3.故函数的值域为{－1,0,3}．4．函数y＝8x2－4x＋5的值域是__(0,8]__.解析：通过配方可得函数y＝8x2－4x＋5＝8(x－2)2＋1，∵(x－2)2＋1≥1，∴0＜8(x－2)2＋1≤8，故0＜y≤8.故函数y＝8x2－4x＋5的值域为(0,8]．5．已知函数f(x)＝6x－1－x＋4.(1)求函数f(x)的定义域；(2)求f(－1)，f(12)的值．解析：(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，所以x≥－4且x≠1，即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．(2)f(－1)＝6－2－－1＋4＝－3－3，f(12)＝612－1－12＋4＝611－4＝－3811.。
2021届高中数学新教材同步必修第一册 第3章 3
解 当 x≥1 或 x≤－1 时，
f(x)＝x2＋x－1＝
x＋t;1 时，
f(x)＝－x2＋x＋1＝－
x－1 2
2＋5.
4
作出函数 f(x)的图象(如图实线部分)．
由图可知函数 f(x)的单调递增区间为
－1，1 2
，[1，＋∞)．
三、函数单调性的应用
例 3 (1)若函数 f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3 在区间(－∞，3]上单调递增，则实数 a 的取值范围
x 调递增．
(2)当 x≥1 时，f(x)单调递增，当 x<1 时，f(x)单调递减，所以 f(x)的单调区间为(－∞，1)， [1，＋∞)，并且函数 f(x)在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
－x2＋2x＋3，x≥0， (3)因为 f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝ －x2－2x＋3，x<0. 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
一、函数单调性的判断与证明
例1
用定义判断函数
f(x)＝ax＋1
a≠1 2
在(－2，＋∞)上的单调性．
x＋2
解 设－2<x1<x2，
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『高中数学』
教学课件‖课时训练‖讲义测试‖
A 级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列函数中，与函数y ＝1
x 有相同定义域的是( )
A ．f (x )＝x
x B ．f (x )＝1
x C ．f (x )＝|x | D ．f (x )＝x －1
x
答案 A 解析 函数y ＝
1x
的定义域为{x |x >0}；函数f (x )＝x
x 的定义域为{x |x >0}；函数f (x )＝1
x 的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }；函数f (x )＝|x |的定义域为R ；函数f (x )＝
x －1x 的定义域为{x |x ≥1}．所以与函数y ＝
1x
有相同定义域的是f (x )＝x x . 2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 2－9
x －3与y ＝x ＋3
B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1
C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)
D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 答案 C
解析 A 中两函数的定义域不同；B ，D 中两函数的对应关系不同；C 中定义域与对应关系都相同．故选C.
3．函数y ＝x ＋1的值域为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，－1]
答案 B
解析 由于x ＋1≥0，所以函数y ＝x ＋1的值域为[0，＋∞)．
4．已知f (x )＝(x －1)2＋1，则f (x ＋1)等于( ) A ．(x ＋2)2＋1 B ．x 2＋1 C ．(x －2)2＋1 D ．4x 2＋1
答案 B
解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋1，∴f (x ＋1)＝[(x ＋1)－1]2＋1＝x 2＋1.故选B. 5．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－254，－4，则m 的取
值范围是( )
A ．(0,4] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
32，3 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞ 答案 C
解析 ∵当x ＝0或x ＝3时，y ＝－4；当x ＝32时，y ＝－254，∴m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.
故选C.
二、填空题
6．设f (x )＝2x 2
＋2，g (x )＝1
x ＋2
，则g [f (2)]＝________.
答案 1
12
解析 ∵f (2)＝2×22＋2＝10， ∴g [f (2)]＝g (10)＝
110＋2
＝112. 7．已知函数f (x )的定义域为[1,4]，则f (x ＋2)的定义域为________． 答案 [－1,2]
解析 由1≤x ＋2≤4，得－1≤x ≤2. 8．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x ＝x 3，则f (1)＝________.
答案 8
解析 令1
2x ＝1，则x ＝2.∴f (1)＝23＝8. 三、解答题。