《二次根式的混合运算》PPT课件
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《二次根式的混合运算》PPT课件
(2) (2 5 + 2 )2
(3) (2 2 −3 3 ) × (3 3 + 2 2)
(4) ( 2 − 2 ) × (3 + 2 2 )
化简求值：已知x= 3，
〖(x−2)〗^2−(x−2)(x+2)+2√3
求代数式( − 2)2 − − 2 + 2 + 2 3的值 .
= 2 −4 + 4 − 2 + 4 + 2 3
=-4x + 8+ 2 3
把x= 3代入，得
-4x + 8+ 2 3 = −4 3+8+ 2 3=8- 2 3
02
练一练
已知a=3+2 5， b=3-2 5 ，求2 − 2 的值 .
解：a2 b − ab2 = −
将a=3+2 5， b=3-2 5代入，得
− =(3+2 5)(3-2 5)(3+2 5- 3+2 5)
−
÷ ( −
−
)，其中a=2+ ，b=2- ．
【详解】
原式＝
+ −
·
− 2
+
=−，
当a=2+ 3 ，b=2- 3时，原式＝2
4
3
2 3
.
3
=
课后回顾
01
熟记二次根式混合运算的先后顺
序
02
熟练进行二次根式混合运算
03
注意运算结果一般是最简二次根
式
= 2 × 2 -5× 2+ 3× 2 -3×5
= 5 × 5 - 5 × 3+ 3 × 5 - 3× 3
(3) (2 2 −3 3 ) × (3 3 + 2 2)
(4) ( 2 − 2 ) × (3 + 2 2 )
化简求值：已知x= 3，
〖(x−2)〗^2−(x−2)(x+2)+2√3
求代数式( − 2)2 − − 2 + 2 + 2 3的值 .
= 2 −4 + 4 − 2 + 4 + 2 3
=-4x + 8+ 2 3
把x= 3代入，得
-4x + 8+ 2 3 = −4 3+8+ 2 3=8- 2 3
02
练一练
已知a=3+2 5， b=3-2 5 ，求2 − 2 的值 .
解：a2 b − ab2 = −
将a=3+2 5， b=3-2 5代入，得
− =(3+2 5)(3-2 5)(3+2 5- 3+2 5)
−
÷ ( −
−
)，其中a=2+ ，b=2- ．
【详解】
原式＝
+ −
·
− 2
+
=−，
当a=2+ 3 ，b=2- 3时，原式＝2
4
3
2 3
.
3
=
课后回顾
01
熟记二次根式混合运算的先后顺
序
02
熟练进行二次根式混合运算
03
注意运算结果一般是最简二次根
式
= 2 × 2 -5× 2+ 3× 2 -3×5
= 5 × 5 - 5 × 3+ 3 × 5 - 3× 3
人教版八年级下册数学：16.3 二次根式的混合运算 课件(共15张PPT)
的二次根式进行 合并
知识点一：应用类比有理数运算法则计算
复习提问(1)：有理数的运算法则有哪些？
先算乘方，再算乘除，后算加减， 有括号先算括号里面的。 在二次根式的混合运算中同样适用！ 说出下列算式的运算顺序：
+
知识点二：应用类比整式的运算法则计算
复习提问(2)：多项式乘单项式的运算法则是什么？ 多项式除以单项式呢？能用字母表示吗？
例4 计算： 在二次根式的混合运算中同样适用！
（11） 2 3 2 5
（2）(53) (53)
（3）( 5 2)2
练习2 计算
(1) ( 2 6 )( 6 2 )
(2) (2 5 2 )2
（3）(2 2)(32 2)
知识点三：拓展应用—利用“分母有理化” 进行计算
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的 积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式
(a+b)c=ac+bc (a+b)÷c=a÷c+b÷c
在二次根式的混合运算中同样适用！
例3 计算：
1 8 3 6 2 4 23 6 2 2
练习1 计算
（1） 53 2 （2） 8 04 05
（3）11 242 3 2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识点二：应用类比整式的运算法则计算
复习提问(3)：如何进行多项式与多项式相乘的运算？ 乘法公式有哪些？能用字母表示这些结论吗？ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (a+b)(a-b)=a2 –b2 （a+b）2 =a2+2ab+b2
的代数式互为有理化因式。
例如：
3 2 的有理化因式是 3 的有理化因式是
知识点一：应用类比有理数运算法则计算
复习提问(1)：有理数的运算法则有哪些？
先算乘方，再算乘除，后算加减， 有括号先算括号里面的。 在二次根式的混合运算中同样适用！ 说出下列算式的运算顺序：
+
知识点二：应用类比整式的运算法则计算
复习提问(2)：多项式乘单项式的运算法则是什么？ 多项式除以单项式呢？能用字母表示吗？
例4 计算： 在二次根式的混合运算中同样适用！
（11） 2 3 2 5
（2）(53) (53)
（3）( 5 2)2
练习2 计算
(1) ( 2 6 )( 6 2 )
(2) (2 5 2 )2
（3）(2 2)(32 2)
知识点三：拓展应用—利用“分母有理化” 进行计算
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的 积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式
(a+b)c=ac+bc (a+b)÷c=a÷c+b÷c
在二次根式的混合运算中同样适用！
例3 计算：
1 8 3 6 2 4 23 6 2 2
练习1 计算
（1） 53 2 （2） 8 04 05
（3）11 242 3 2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识点二：应用类比整式的运算法则计算
复习提问(3)：如何进行多项式与多项式相乘的运算？ 乘法公式有哪些？能用字母表示这些结论吗？ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (a+b)(a-b)=a2 –b2 （a+b）2 =a2+2ab+b2
的代数式互为有理化因式。
例如：
3 2 的有理化因式是 3 的有理化因式是
《二次根式的混合运算》二次根式PPT课件 (共25张PPT)
x y 与 x y 互为有理化因式.
想一想
a b 的有理化因式为 a b
;
; ;
a b 的有理化因式为
b
ab
a x b y 的有理化因式为 a x b y
a b 的有理化因式为
.
例题1 把下列各式分母有理化:
1
3 ; 3 1
1 ; 2 4 3 3 2
分子和分母 都乘以分母的有 理化因式.
2
2已知a 3 2
5, b 3 2 5, 求a b ab 的值
2 2
复习 计算
1 1 1 5 12 9 48; 3 2
2
3
2 m n;
ab a b b.
2
例题4 解下列方程和不等式:
1
2
3 2 6x 2 2;
5x 6 3 3 5x.
问题
怎样计算下式？观察所得的积是否 含有二次根式？
x y x y x y
含有二次根式
不含二次根式
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如 果它们的积不含有二次根式,就说这两个含有 二次根式的非零代数式互为有理化因式.
x y 与 x y 互为有理化因式.
复习 计算
2 1 3 40 2 0.1; 5
人教版八年级下册数学 二次根式
二次根式的混合运算
二个含有二次根式的代数式相 乘，如果它们的积不含有二次根式， 我们就说这两个含有二次根式的代 数式互为有理化因式.
例如： x y 的有理化因式是 x y 的有理化因式是
x y
x y
a x b y 的有理化因式是 a x b y
指出下列各式的有理化因式
想一想
a b 的有理化因式为 a b
;
; ;
a b 的有理化因式为
b
ab
a x b y 的有理化因式为 a x b y
a b 的有理化因式为
.
例题1 把下列各式分母有理化:
1
3 ; 3 1
1 ; 2 4 3 3 2
分子和分母 都乘以分母的有 理化因式.
2
2已知a 3 2
5, b 3 2 5, 求a b ab 的值
2 2
复习 计算
1 1 1 5 12 9 48; 3 2
2
3
2 m n;
ab a b b.
2
例题4 解下列方程和不等式:
1
2
3 2 6x 2 2;
5x 6 3 3 5x.
问题
怎样计算下式？观察所得的积是否 含有二次根式？
x y x y x y
含有二次根式
不含二次根式
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如 果它们的积不含有二次根式,就说这两个含有 二次根式的非零代数式互为有理化因式.
x y 与 x y 互为有理化因式.
复习 计算
2 1 3 40 2 0.1; 5
人教版八年级下册数学 二次根式
二次根式的混合运算
二个含有二次根式的代数式相 乘，如果它们的积不含有二次根式， 我们就说这两个含有二次根式的代 数式互为有理化因式.
例如： x y 的有理化因式是 x y 的有理化因式是
x y
x y
a x b y 的有理化因式是 a x b y
指出下列各式的有理化因式
二次根式的混合运算PPT教学课件
3、了解饱和一元醇的沸点和水溶性特点。 4、根据饱和一元醇的结构特征，说明醇的
化学性质及应用。
1、CH3CH2OH 2、
3、 4、 5、
CH2OH
OH
6、
左侧有机物中
属于醇的是 1 3 4 ；
属于酚的是
256
。
两者相似之处？ 体会醇与酚的区别。
CH3CH2OH
乙醇
乙二醇
丙三醇
茶多酚
苯酚
漆酚
思考●讨论 什么是醇？什么是酚？
5.饱和一元醇的水溶性
饱和一元醇分子中碳原子数1～3的醇能与水以任意 比例互溶；分子中碳原子数4～11的醇为油状液体， 仅部分溶与水；分子中碳原子更多的高级醇为固体， 不溶与水；
【规律】CnH2n+1OH可以看成是H-OH分子中的一个H 原子被烷基取代后的产物。当R-较小时，醇分子与水 分子形成的氢键使醇与水能互溶；随着分子中的R-的 增大，醇的物理性质接近烷烃。
1 羟基的反应
(1)取代反应
⊙醇与浓的氢卤酸（HCI、HBr、HI）发生反应时分
子中的碳氧键断裂，羟基被卤原子取代，生成相应
的卤代烃和水
△
C2H5OH + HBr
C2H5Br + H2O
⊙在酸做催化剂及加热下，醇发生分子间的取代生 成醚和水
(2)消去反应
含有 B－H醇在浓硫酸及一定温度下能发 生消去反应生成烯烃
2．先化简，再求值： xx－ －42＋x2－44x＋4÷x－x 2，其中 x＝ 2.
解：原式＝xx－－24＋x－422×x－x 2＝xx－ －42＋xx－4 2＝xxxx－ －42
＋xx－4 2＝xxx－－222＝x－x 2.
当 x＝
化学性质及应用。
1、CH3CH2OH 2、
3、 4、 5、
CH2OH
OH
6、
左侧有机物中
属于醇的是 1 3 4 ；
属于酚的是
256
。
两者相似之处？ 体会醇与酚的区别。
CH3CH2OH
乙醇
乙二醇
丙三醇
茶多酚
苯酚
漆酚
思考●讨论 什么是醇？什么是酚？
5.饱和一元醇的水溶性
饱和一元醇分子中碳原子数1～3的醇能与水以任意 比例互溶；分子中碳原子数4～11的醇为油状液体， 仅部分溶与水；分子中碳原子更多的高级醇为固体， 不溶与水；
【规律】CnH2n+1OH可以看成是H-OH分子中的一个H 原子被烷基取代后的产物。当R-较小时，醇分子与水 分子形成的氢键使醇与水能互溶；随着分子中的R-的 增大，醇的物理性质接近烷烃。
1 羟基的反应
(1)取代反应
⊙醇与浓的氢卤酸（HCI、HBr、HI）发生反应时分
子中的碳氧键断裂，羟基被卤原子取代，生成相应
的卤代烃和水
△
C2H5OH + HBr
C2H5Br + H2O
⊙在酸做催化剂及加热下，醇发生分子间的取代生 成醚和水
(2)消去反应
含有 B－H醇在浓硫酸及一定温度下能发 生消去反应生成烯烃
2．先化简，再求值： xx－ －42＋x2－44x＋4÷x－x 2，其中 x＝ 2.
解：原式＝xx－－24＋x－422×x－x 2＝xx－ －42＋xx－4 2＝xxxx－ －42
＋xx－4 2＝xxx－－222＝x－x 2.
当 x＝
二次根式混合运算ppt课件
练习：
已知x
=
3
1 +2
，求 x2 - 6x +2 的值.
2
x-3
29
( 4 )( 5 + 3 2 )2 .
答案： 3 答案：5 3 - 3 答案：1 答案：43+30 2
13
二次根式运算 （提高篇）
三更灯火五更鸡，正是男儿读书时； 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。
14
一：二次根式混合运算
例1：计算：(每小题4分)
(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2
例3 已知：a＝
1 2＋
3，求aa2＋－11 －
a2－2a＋1 a2－a
的值．
学生作答
解：原式＝ a＋1a－1－ a－12
a＋1
aa－1
＝a－1－ a－1 ＝a－1－ 1 .
aa－1
a
∴当a＝ 1 时， 2＋ 3
原式＝ 1 －1－(2＋ 3 )＝－1－2 3 . 2＋ 3
规范解答
解：∵a＝ 1 <1，∴a－1<0. 2＋ 3
∴ a2－2a＋1＝ a－12 ＝|a－1|＝1－a.
∴原式＝a＋1a－1 － a＋1
1－a aa－1
＝a－1＋
1 a
.
∴当a＝ 1 时， 2＋ 3
原式＝ 1 －1＋(2＋ 3)＝3. 2＋ 3
老师忠告
(1)题目中的隐含条件为a＝ 1 2＋
<1，所以 3
a2－2a＋1 ＝
a－12 ＝|a－1|＝1－a，而不是a－1；
= x（ x y）- （ y x y） （ x y)( x y）
(2)Q a 1 5 2 , 52
b= 1 5 2. 52
人教版八年级下册数学16.3 二次根式的混合运算 课件(共19张PPT)
16.3二次根式的混合运算
自主学习 复习巩固
要进行二次根式加减运算,它们具备什么
特征才能进行合并？
同类二次根式
2, 7,51, 1, 3,28 a3b ,6 ba,32
5027 3
2 b
Page ▪ 2
学习目标
（1）掌握二次根式的运算法则，并能熟 练进行二次根式的混合运算。 （2）理解运算律和运算顺序在二次根式 的混合运算中仍然适用。
一.理解基础
课堂小测
（1）填空：根式 并的二次根式有
2,
3
75, 1 , 15, 27
个；
1 中可以与
3
3合
（2）选择：下列计算正确的是（ C ）
A 2 3 5
B2 22 2
C 632857 D 8 18 4 9
2
（3）选择：下列计算正确的是（ C ）
A 1 0 2 8 21 0 28 2 1 0 8 2
基础演练
Page ▪ 8
二、二填、空填题空题
5．计算 12－ 3( 3＋2)的结果是 －3 . 6．若 x＝ 2－1，则 x2＋2x＋1＝ 2 .
7．一个三角形的三边长分别为 8 cm， 12cm， 18cm，则 它的周长是 (5 2＋2 3) cm. 8．规定运算：a⊗ b＝|a－b|，其中 a，b 为实数，则( 7⊗ 3) ＋ 28＝ 3＋ 7 .
B 23 2 23 2 4322
C 3ab 3ab 3 a2 b2
2
Page ▪ 15 D 5 6 5611
二.巩固计算
① 8（ 2 - 1） 2
② 18 - 2 1- 2 （ 1 ）-1
2
2
③ 6 5 6- 5
④ 12 （- 2 - 3） 3
自主学习 复习巩固
要进行二次根式加减运算,它们具备什么
特征才能进行合并？
同类二次根式
2, 7,51, 1, 3,28 a3b ,6 ba,32
5027 3
2 b
Page ▪ 2
学习目标
（1）掌握二次根式的运算法则，并能熟 练进行二次根式的混合运算。 （2）理解运算律和运算顺序在二次根式 的混合运算中仍然适用。
一.理解基础
课堂小测
（1）填空：根式 并的二次根式有
2,
3
75, 1 , 15, 27
个；
1 中可以与
3
3合
（2）选择：下列计算正确的是（ C ）
A 2 3 5
B2 22 2
C 632857 D 8 18 4 9
2
（3）选择：下列计算正确的是（ C ）
A 1 0 2 8 21 0 28 2 1 0 8 2
基础演练
Page ▪ 8
二、二填、空填题空题
5．计算 12－ 3( 3＋2)的结果是 －3 . 6．若 x＝ 2－1，则 x2＋2x＋1＝ 2 .
7．一个三角形的三边长分别为 8 cm， 12cm， 18cm，则 它的周长是 (5 2＋2 3) cm. 8．规定运算：a⊗ b＝|a－b|，其中 a，b 为实数，则( 7⊗ 3) ＋ 28＝ 3＋ 7 .
B 23 2 23 2 4322
C 3ab 3ab 3 a2 b2
2
Page ▪ 15 D 5 6 5611
二.巩固计算
① 8（ 2 - 1） 2
② 18 - 2 1- 2 （ 1 ）-1
2
2
③ 6 5 6- 5
④ 12 （- 2 - 3） 3
《二次根式的混合运算》二次根式PPT课件2
【针对训练】
【答案】
●总结梳理整合提高
1.本课掌握一种数学思想：类比（二次 根式的混合运算可以类比整式的混合运算） ；
2.进行二次根式的混合运算时，先算乘 除，后算加减，若有括号应先算括号里面．
●当堂检测反馈矫正
【答案】
●课后作业测评：
• 上交作业：教科书第18页第4题 ．
• 课后作业：“学生用书”的“课后评价 案”部分．
【针对训练】
【答案】
探究点二 多项式乘法法则积公式在 二次根式混合运算中的应用
➢活动二：阅读教材第16页例5，相互交 流思考下列问题 ：
（1）第（1）小题的第一步的计算依据是什么？ （2）第（2）小题的第一步的计算依据是什么？
【小组讨论2】
(1)二次根式的运算中还能使用 多项式的乘法法则和公式吗 ？
二次根式的混合运算
●激情导入
这节课我们就来学习二次根式的混合运算.
●理清学习目标
• 1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含 有二次根式的多项式乘法公式的应用．
• 2、复习整式运算知识并将该知识运用于含 有二次根式的焦主题合作探究
探究点一 运算律在二次根式混合运算 中的应用
➢活动一：阅读教材第16页例4，相互交流思 考下列问题 ：
（1）第（1）小题第一步的依据是什么？ 第二步的根据是什么？第三步为什么没有合并 ？
（2）第（2）小题第一步根据整式除法中 的什么法则？第二部应用的整式除法中的什么 运算法则？
【小组讨论1】
(1)二次根式的混合运算与 整式的混合运算有什么相 似之处 ？
要克服生活的焦虑和沮丧，得先学会做自己的主人。 用最少的浪费面对现在。 有时候，不是对方不在乎你，而是你把对方看得太重。 一句“好孩子”能让学生看到自己的进步与价值，而一句“坏孩子”学生会丧失进去的信心和斗志，甚至毁灭一生。——王玉章 人生就像骑单车，想保持平衡就得往前走。 己欲立而立人，己欲达而达人。——《论语·雍也》 人一旦觉悟，就会放弃追寻身外之物，而开始追寻内心世界的真正财富。 吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲，不逾距。——《论语·为政》 如果你能够平平安安的渡过一天，那就是一种福气了。多少人在今天已经见不到明天的太阳，多少人在今天已经成了残废，多少人在今天已经 失去了自由，多少人在今天已经家破人亡。 世间最容易的事是坚持，最难的事也是坚持。要记住，坚持到底就是胜利。 躬自厚而薄责于人，则远怨矣。——《论语·宪问》 君子成人之美，不成人之恶。——《论语·颜渊》
《二次根式的混合运算》二次根式PPT课件2 (共22张PPT)
【针对训练】
【答案】
探究点二 多项式乘法法则积公式在 二次根式混合运算中的应用
活动二：阅读教材第16页例5，相互交 流思考下列问题 ：
（1）第（1）小题的第一步的计算依据是什么？ （2）第（2）小题的第一步的计算依据是什么？
【小组讨论2】
(1)二次根式的运算中还能使用 多项式的乘法法则和公式吗 ？
活动一：阅读教材第16页例4，相互交流思 考下列问题 ：
（1）第（1）小题第一步的依据是什么？ 第二步的根据是什么？第三步为什么没有合并 ？ （2）第（2）小题第一步根据整式除法中 的什么法则？第二部应用的整式除法中的什么 运算法则？
【小组讨论1】
(1)二次根式的混合运算与 整式的混合运算有什么相 似之处 ？
二次根式的混合运算
●激情导入
这节课我们就来学习二次根式的混合运算.
●理清学习目标
• 1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含 有二次根式的多项式乘法公式的应用． • 2、复习整式运算知识并将该知识运用于含 有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
●自主预习练习
●聚焦主题合作探究
探究点一 运算律在二次根式混合运算 中的应用
•
1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职 责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志》刘备语 译：对任何一件事，不要因为它是很小的、不显眼的坏事就去做；相反，对于一些微小的。却有益于别人的好事，不要因为它意义不大就不去做它。 3．见善如不及，见不善如探汤。 ——《论语》 译：见到好的人，生怕来不及向他学习，见到好的事，生怕迟了就做不了。看到了恶人、坏事，就像是接触到热得发烫的水一样，要立刻离开，避得远远的。 4．躬自厚而薄责于人，则远怨矣。 ——《论语》 译：干活抢重的，有过失主动承担主要责任是“躬自厚”，对别人多谅解多宽容，是“薄责于人”，这样的话，就不会互相怨恨。 5．君子成人之美，不成人之恶。小人反是。 ——《论语》 译：君子总是从善良的或有利于他人的愿望出发，全心全意促使别人实现良好的意愿和正当的要求，不会用冷酷的眼光看世界。或是唯恐天下不乱，不会在别人有失败、 错误或痛苦时推波助澜。小人却相反，总是“成人之恶，不成人之美”。 6．见贤思齐焉，见不贤而内自省也。 ——《论语》 译：见到有人在某一方面有超过自己的长处和优点，就虚心请教，认真学习，想办法赶上他，和他达到同一水平；见有人存在某种缺点或不足，就要冷静反省，看自己 是不是也有他那样的缺点或不足。 7．己所不欲，勿施于人。 ——《论语》 译：自己不想要的（痛苦、灾难、祸事……），就不要把它强加到别人身上去。 8．当仁，不让于师。 ——《论语》 译：遇到应该做的好事，不能犹豫不决，即使老师在一旁，也应该抢着去做。后发展为成语“当仁不让”。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。 18．君子坦荡荡，小人长戚戚。 ——《论语》 译：君子心胸开朗，思想上坦率洁净，外貌动作也显得十分舒畅安定。小人心里欲念太多，心理负担很重，就常忧虑、担心，外貌、动作也显得忐忑不安，常是坐不定， 站不稳的样子。ຫໍສະໝຸດ 【针对训练】【答案】
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求a2 ab b2的值.
解：原式
3
2
2 3
2 3
2 3
2
2
5 2 6 3 2 5 2 6
5 2 6 15 2 6 9
想一想：还有其他方法吗？
已知a 3 2, b 3 2，
求a2 ab b2的值.
解二：a2 ab b2
a2 2ab b2 ab (a b)2 ab
23 3 2
结论
二次根式的混合 运算是根据实数的运 算律进行的.
2 计算
解：（原1）式 （ 2 3）( 解2 ：5原) 式
2
2 3 2 5 2 15
2 (22)2（155 3）(
2
5
5 5 3)3 2
2
3
13 2 2
（3）（3 2 5）2
解：原式 32 23 2
4 2 32 32 2
6 2 3 3
计算
1、注意运算顺序 2、运用运算律
(1). 27 3 6 2
(2).
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并且毫不畏惧地，过着我理想中的生活 成功，会在不期然间忽然降临！
有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。 一个人的价值在于他的才华，而不在他的衣饰。 生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。 读一切好的书，就是和许多高尚的人说话。 最聪明的人是最不愿浪费时间的人。
解 ( 1) ( 2 + 1)( 2 - 1 )
= ( 2 )2- 12
( 2 ) ( 2 - 3 )2 = 1 ；
= ( 2 )2-2 2 3+( 3 )2
= 2-2 23+3
= 5-2 6.
动脑筋如何计算
？
2 +1
2 +1 2 -1
= ((
2 +1)( 2 -1)(
2+1) 2-1 2 +1)
请学生举例.
例5 把下列各式分母有理化
（1） 3 3 1
（2） 1 4 33 2
（4） 2 1 3
（5） 1 m n
（3） m n （m n）（6）2 x 3 y
m n
2 x 3 y
（1）选择：下列计算正确的（ C ）
A 102 82 102 82 10 8 2
B 2 3 2 2 3 2 4 32 2
3 2 3 2 2
3 2 3 2 2
2 2 1 81 9
1.若x 1 ,则 x2 2x 1 ( D )
2 1
A. 2
B. 2 2
C.2 2
D.2
2. 已知：x2 y2 19, xy 3,
求
x y
y 的值。 x
5 3
3
梦想的力量 当我充满自信地，朝着梦想的方向迈进
5 2
2
5
观察题目的特点
9 12 5 20 是否能应用
12 5 29
乘法公式
从例2可以看到，二次 根式相乘，与多项式的乘 法相类似.
我们可以利用多项式 的乘法公式，对某些二次 根式的乘法进行简便运算.
例3 计算：
( 1)( 2 + 1)( 2 - 1) ； ( 2 )( 2 - 3 )2 .
3 6
(3).(4 2 3 6) 2 2
整式运算的运算律在 二次根式的运算中仍然适应.
(1). 27 3 6 2 (2). 8 3 6
解：原式 3 3 3 12 解：原式
3 36 3 8 6 3 6
3 3
48 18 3 33 2
(3).(4 2 3 6) 2 2
解：原式 4 2 2 2 3 6 2 2
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二次根式的混合运算
要进行二次根式加减运算,它们 具备什么特征才能进行合并？同类二次根式
(1)说出 2 5 的三个同类二次根式;
(2)试举出一组同类二次根式.
(3)下列各式中哪些是同类二次根式?
2x, 75 , 1 , 1 , 3x, 2 8ab3 ,6b a , 3 2
50 27
3
2b
彗眼识真: 下列计算哪些正确，哪些不正确？
=(
2)2+2 2+1 ( 2)2-1
= 2+2 2+1
从例3的第(1)小题的结 果受到启发，把分子与
分母都乘以( 2 +1)，就
可以使分母变成1.
= 3+2 2.
二:问题:
( x y)( x y)
两个含有二次根式的非零代数式相乘， 如果它们的积不含有二次根式，我们 就说这两个含有二次根式的非零代数式 互为有理化因式。
⑴ 3 2 5 （不正确）
⑵ a b a b （不正确） ⑶ a b a b （不正确）
⑷ a a b a (a b) a （正确）
⑸ 1 3a 1 2a a a 0（不正确）
3
2
计 算
32 3 1 3
解：原式
1 2
48 10 0.08
4 2 3 2 3 2 2
C 3a b 3a b 3a2 b2
2
D 5 6 5 6 11
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
提高题
比较根式的大小.
6 14和 7 13
解: ∵（ 6 14）2 6+2√ 84 +14=20+2√ 84
（ 7 13 ）2 20+2 91
又 ∵ 6 14 0
7 13 0
6 14 7 13
已知a 3 2, b 3 2，