2018-2019版高中数学苏教版必修五课件：3章末复习课
高中数学苏教版必修5课件：第三章 不等式 3.3.3
x＋y≤2， 1．若变量 x，y 满足约束条件x≥1， y≥0， 别为________．
则 z＝2x＋y 的最大值和最小值分
【解析】
可行域为直角三角形 ABC(如图)，
由 z＝2x＋y，得 y＝－2x＋z，由图象可知， 当直线 y＝－2x＋z 过点 B(2,0)和点 A(1,0)时， z 分别取到最大值 4 和最小值 2.
【自主解答】 (1)先作出可行域(如图)，目标函数表示的是可行域中 P(x，y)与 M(－1,1)连线 1 的斜率，由图形易求得 kMA＝－2.
当 P 在可行域中很远很远的地方时，kMP 有一种与直线 x－y＝0 的斜率 1 相等
1 y－1 的趋势，但是永远也取不到 1，因此 ω＝ 的取值范围为－2，1. x＋1
y≥0， 已知实数 x，y 满足不等式x－y≥0， 2x－y－2≥0， y－1 (1)求 ω＝ 的取值范围； x＋1 (2)求 ω＝ x－22＋y－22的取值范围． y－1 【精彩点拨】 (1)ω＝ 表示的是可行域内的点与(－1,1)点连线的斜率． x＋1
(2)ω＝ x－22＋y－22表示的是可行域内的点与(2,2)点的距离．
[再练一题] 2．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含 12 个单 位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这 两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个单 位的维生素 C.如果一个单位的午餐、 晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元． 那么要满足 上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚 餐？
高中数学 第3章 不等式整合提升课件 苏教版必修5
专题一
专题二
解:设f(x)=7x2-(a+13)x+a2-a-2,则 ∵x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,且0<x1<1,1<x2<2, ∴f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0. 下面解不等式组求a的范围.
������2 -������-2 > 0, ������(0) > 0, 由 ������(1) < 0, ⇒ 7-(������ + 13) + ������2 -������-2 < 0, ������(2) > 0 28-2(������ + 13) + ������2 -������-2 > 0 ������ < -1 或������ > 2, ������2 -������-2 > 0, ⇒ ������2 -2������-8 < 0, ⇒ -2 < ������ < 4, ⇒-2<a<-1 或 3<a<4. ������2 -3������ > 0 ������ < 0 或������ > 3 故 a 的取值范围是{a|-2<a<-1 或 3<a<4}.
������
解: 画出可行域(如下图所示的△ABC 及其内部). ������-4������ + 3 = 0, 由 ������ = 1, 解得:A(1,1); ������-4������ + 3 = 0, 由 3������ + 5������-25 = 0, 22 3������ + 5������-25 = 0, 解得:B(5,2);由 解得:C 1, . 5 ������ = 1,
苏教版高中数学必修5全册完整课件
思考题：
(06江西)在△ABC中设
a
b命题p: c
s命i题nqB: △ABsCi是n等C边三s角i形n，A那么
命题p是命题q的( )
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既充分也不必要条件
结论
12
“正边弦角定互理化和” 是余解弦决定三理角的 问题应常用用的
一个策略
3
正余定理掌握住 三角地带任漫步 边角转化是关键 正余合璧很精彩
B
π 2
即为△ABC等腰三角形或直角三角形
b2sinAc分o析：sB a2cosAsinB
b a a b 思路二：2 a2 c2 b2 2ac
2 b2 c2 a2 2bc
sbi2(n2aB2 sci2nAbc2 )osaB2(sb2in2cA2coas2 )AsinB
bs2ci2 nbA4 sai2cn2 Ba04
(1)当B 64时，C 180 ( A B) 180 (40 64 ) 76,
c a sin C 20sin 76 30(cm). sin A sin 40
(2)当B 116时，C 180 ( A B) 180 (40 116 ) 24,
c a sin C 20sin 24 13(cm). sin A sin 40
3
3 2
练习：
1. (05天津)已知ΔABC中， b2 c2 - bc a2 ,
c 1 3,求A和 tanB的值 . b2
A
3
tan
B
1 2
例题分析：
例3.在△ABC中，
22
22
(a +b )sin(A-B)=(a -b )sin(A+B)
2018版高中数学第一章解三角形章末复习课课件苏教版必修5
正弦定理及其推论
2.a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C .
b c a 3.sin A＝ 2R ，sin B＝ 2R ，sin C＝ 2R .
4.在△ABC 中，A>B⇔ a>b ⇔ sin A>sin B .
知识点二
余弦定理及其推论
1.a2＝ b2＋c2－2bccos A ，b2＝ c2＋a2－2cacos B ， c2＝ a2＋b2－2abcos C .
本课结束
由A＋B＋ C＝π求C，再由正弦定理或余ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定理求 c，要注意解可能有多
种情况.
(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.
跟踪训练 1
π 如图，在△ABC 中，∠B＝3，AB＝8，点
1 D 在 BC 边上，CD＝2，cos∠ADC＝7. (1)求 sin∠BAD；
解答
(2)求BD，AC的长.
b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 2bc 2.cos A＝ ；cos B＝ ； 2ca
a2＋b2－c2 cos C＝ . 2ab
3.在△ABC 中，c2＝a2＋b2⇔C 为 直角 ；c2>a2＋b2⇔C 为 钝角 ；c2<a2＋ b2⇔C 为 锐角 .
知识点三
三角形面积公式
1 1 1 1.S＝2aha＝2bhb＝2chc. 1 1 1 2.S＝2absin C ＝2bcsin A＝2casin B.
答案 解析
1
2
3
4
3 3 2.在△ABC 中，AB＝3，BC＝ 13，AC＝4，则边 AC 上的高为 2 .
答案 解析
AB2＋AC2－BC2 32＋42－13 1 由余弦定理得 cos A＝ ＝ ＝2， 从而 sin A＝ 2· AB· AC 2×3×4 3 3 3 3 ，则边 AC 上的高为 AB · sin A ＝ 3· ＝ . 2 2 2
2018版高中数学苏教版必修5学案：3章末复习提升
章末复习提升I、本章知识网络 二、知识要点归纳 1•不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据 •因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质 2•—元二次不等式的求解方法(1) 图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集 (2) 代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解 当 m<n 时，若(x — m)(x — n)>0，则可得 x>n 或 x<m ;若(x — m)(x — n)<0，则可得m<x<n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间3. 二元一次不等式(组)表示的平面区域(1) 二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式 (组)表示的平面区域.(2) 二元一次不等式表示的平面区域的判定： 对于任意的二元一次不等式 Ax + By + C>0(或<0), 无论B 为正值还是负值，我们都可以把 y 项的系数变形为正数.当B>0时，①Ax + By + C>0 表示直线 Ax + By + C = 0上方的区域；②Ax + By + C<0表示直线 Ax + By + C = 0下方的区域. 4. 求目标函数最优解的两种方法薜式二元线fi 堰划问题 屮，最优解的■求爸(1) 平移直线法•平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点 到另一条直线的距离相等；(2) 代入检验法.通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具 有必然性•于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求 解• 5•运用基本不等式求最值，把握三个条件 (1) “一正”一一各项为正数；(2) “二定”一一“和”或“积”为定值； (3) “三相等”一一等号一定能取到. 三、题型探究 题型一“三个二次”之间的关系对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：①相应的二次函数图象及与 x轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数 (二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根 (相应的二次函数的图象及与x 轴的交点).例1 不等式2X 2 + mx + n > 0的解集是｛x|x > 3或x v — 2｝，则二次函数y = 2X 2+ mx + n 的表 达式是 ____________ .答案 y = 2x 2 — 2x — 12题型二恒成立问题对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种 (1) 变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元 (2) 分离参数法：若 f(a)<g(x)恒成立，则 f(a)<g(x)min . 若 f(a)>g(x)恒成立，则 f(a)>g(x)max . (3) 数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化例2 已知函数f(x)= mx 2— mx — 6+ m ,若对于 m € [1,3], f(x)v 0恒成立，求实数 x 的取值 范围.解方法一 f(x) v 0? mx 2— mx — 6 + m v 0? (x 2 — x + 1)m — 6 v 0.解析由根与系数的关系得m =— 2,••• y = 2x 2— 2x — 12.n =— 12.2 ••• X 2— x + 1 > 0,••• m v^"6 > 3? X 2— X — 1 v 0?x — x + 1• x 的取值范围为方法二 设 g(m)= f(x) = mx 2— mx — 6+ m = (x 2 — x + 1)m — 6. 由题意知g(m)v 0对m € ［1,3］恒成立.••• x 2 — x + 1 > 0, • g(m)是关于m 的一次函数，且在［1,3］上是单调增函数, • g(m) v 0 对 m € [1,3]恒成立等价于 g(m)max < 0,即 g(3) v 0.题型三简单的线性规划问题 关注“线性规划”问题的各种“变式”：诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出现，①“可行域”由不等式和方程共同确定(为线段或射线)，②“约束条件”由二次方程的“区间根”间接提供，③“约束条件”非线性，④目标函数非线性，如： X—a(斜率)，y — b.x — a 2+ y — b 2(距离)等.求目标函数z = ax + by + c 的最大值或最小值时， 只需把直线ax + by = 0向上(或向下)平行移 动，所对应的z 随之增大(或减少)(b>0)，找出最优解即可•在线性约束条件下，求目标函数 z =ax + by + c 的最小值或最大值的求解步骤为： (1)作出可行域；⑵作出直线10： ax + by = 0;(3) 确定I o 的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；(4) 解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值.2x + y — 2> 0,1— .5 2v x v2 2•••(X — x + 1) 3— 6v 0? x — x — 1v 0?1 — .5v x v• X 的取值范围为Jx1— ,5v x v1+ 52V x V1+ .52例3已知实数x, y满足x—2y+ 4> 0, 求w = x2+ y2的最大值和最小值.3x —y—3W 0,解画出不等式组"2x + y — 2> 0, 」x — 2y + 4>0,.3x — y — 3W 0, 及其内部.T w = x 2 + y 2= (x — 0)2+ (y — 0)2表示的是可行域内的动点 M(x,y)到原点0(0,0)的距离的平方,当点M 滑到与点B(2,3)重合时，w 取得最大值， 即 W max = ( 2 — 0 2+ 3— 0 2)2= 13, 故 w min = ~ , w max = 13・5 题型四 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”缺一不可， 可以通过拼凑、换元等手段进行变形•如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解例4 已知x >0, y >0, x + 2y + 2xy = 8,贝U x + 2y 的最小值是 _____________ . 答案 4解析 方法一 依题意得，x + 1 > 1,2y + 1 > 1，易知(x + 1) (2y + 1)= 9,则(x + 1) + (2y +1)>2 x + 1 2y + 1 = 2 9= 6，当且仅当 x + 1 = 2y + 1 = 3，即 x = 2, y = 1 时，等号成立， 因此有x + 2y >4,所以x + 2y 的最小值为4.8 — 2y — 2y + 1 + 9 2y + 12y + 1=—1 +2y + 199• x + 2y =— 1 ++ 2y =— 1+ + 2y + 1 — 12y + 1 2y + 1表示的•••当点M 在边AC 上滑动，且OM 丄AC 时，w 取得最小值, 2于是 W min = d =|0+ 0— 2,'22+ 12方法由题意△ ABC 包括边界当且仅当2y+ 1 = 3，即y= 1时，等号成立四、思想方法总结1•分类讨论思想解含有字母的不等式时，往往要对其中所含的字母进行适当的分类讨论•分类讨论的原因大致有以下三种：(1)对不等式作等价变换时，正确运用不等式的性质而引起的讨论⑵对不等式(组)作等价变换时，由相应方程的根的大小比较而引起的讨论(3) 对不等式作等价变换时，由相应函数单调性的可能变化而引起的讨论例5 解关于x的不等式△二％v 0(a € R).x—a解首先将不等式转化为整式不等式(x—a)(x—a2)v 0，而方程(x—a)(x—a2)= 0的两根为x i=a, X2= a2,故应就两根a和a2的大小进行分类讨论.原不等式等价于(x—a)(x—a2) v 0.(1) 若a = 0,贝U a = a2= 0,不等式为x2v 0，解集为？；(2) 若a= 1,贝U a2= 1,不等式为(x—1)2v0,解集为？;⑶若0v a v 1,则a2v a,故解集为{x|a2v x v a};2 2⑷若a v0或a> 1,贝U a >a,故解集为{x|a v x v a }.2•转化与化归思想不等与相等是相对的，在一定条件下可以相互转化•解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转化的过程•无论哪种类型的不等式，其求解思路都是通过等价转化，把它们最终归结为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)的求解•由于不等式的解集一般是无限集，因此不等式非等价变换产生的多解或少解是无法由检验而予以剔除或增补的，这就要求解不等式的每一步变换都是等价变换，而这种变换的目标应是代数化、有理化、二次化一次、高次化低次等•例6 已知奇函数f(x)在区间(—°°,+m)上单调递减，a, Y R且a+ 3> 0, B+ > 0,汁a> 0试判断f(a + f( B + f( Y的值与0的关系•解•/ f(x)为R上的减函数，2y + 1 —2= 4,且 a>— B B>— Y >— a,••• f(a )v (— B , f( B v f(— Y , f(Y< f( — a , 又f(x)为奇函数，二 f(—3)=—f(B ), f(—a )= — f(a ),f(—0= —f(Y,• f (a+ f(B )+ f( Y v f(— B + f(— Y + f(— a =-[f (®+f (Y+ f (a,••• f (a+ f(B )+ f( Yv 0.「课堂丰结 ------------------------------------ 1i •不等式的应用非常广泛，它贯穿于高中数学的始终•在集合、函数、数列、解析几何及实际 问题中多有不等式的应用•本章的重点是简单的线性规划问题，基本不等式求最值和一元二 次不等式的解法.2•考查角度通常有如下几个方面：(1) 对各类不等式解法的考查，其解题关键是对于生疏的，非规范化的题目转化为熟悉的、 规范化的问题去求解；(2) 对含参数的不等式的解法的考查，解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，应注意寻 找讨论点，以讨论点划分区间进行求解⑶与函数、三角函数、向量等知识相结合，以解题工具的面貌出现在解答题中，以求解参 数的取值范围为主，并且将更加突出对不等式的灵活性、综合性及应用性的考查。
高中数学 第3章章末复习课配套课件 苏教版必修5
∴B(2,1)； ∴M(2,3)．
当直线 y＝－2x＋z 经过可行域内点 M(2,3)时，直线在 y 轴上的 截距最大，此时 z 也最大，zmax＝2×2＋3＝7. 当直线 y＝－2x＋z 经过可行域内点 A(1,2)时，
直线在 y 轴上的截距最小，此时 z 也最小，
zmin＝2×1＋2＝4.
研一研·题型解法、解题更高效
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所以 z 的最大值为 7，最小值为 4.
试一试·双基题目、基础更牢固
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3．若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值是
___5_____．
解析 ∵x＋3y＝5xy，∴51y＋53x＝1. ∴3x＋4y＝(3x＋4y)×1＝(3x＋4y)51y＋53x ＝35xy＋95＋45＋152xy≥153＋2 35xy·152xy＝5，
当且仅当35xy＝152xy，即 x＝1，y＝12时等号成立．
试一试·双基题目、基础更牢固
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x－y≥－1， x＋y≤3， 4．设 x，y 满足约束条件x≥0， y≥0，
则 z＝x－2y 的取值
范围为________．
解析 作出不等式组的可行域，如图阴影部分，
作直线 l0：x－2y＝0，在可行域内平移知过点 A 时，z＝x－ 2y 取得最大值，过点 B 时，z＝x－2y 取得最小值．
(1)若 z＝2x＋y，求 z 的最大值和最小值； (2)若 z＝x2＋y2，求 z 的最大值和最小值； (3)若 z＝xy，求 z 的最大值和最小值． 分析 x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，xy表示点(x， y)与原点(0,0)连线的斜率．
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章末复习课
苏教版学高中数学必修五数列章末复习课讲义
等差（比）数列的基本运算【例１】n１４（１）求数列{a n}的通项公式；（２）若a３，a５分别为等差数列{b n}的第３项和第５项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n. [解] （１）设{a n}的公比为q，由已知得１6＝２q３，解得q＝２，∴a n＝２×２n—１＝２n.（２）由（１）得a３＝8，a５＝３２，则b３＝8，b５＝３２．设{b n}的公差为d，则有错误!解得错误!所以b n＝—１6＋１２（n—１）＝１２n—２8．所以数列{b n}的前n项和S n＝错误!＝6n２—２２n.在等差数列和等比数列的通项公式a n与前n项和公式S n中，共涉及五个量：a１，a n，n，d或q，S n，其中a１和d或q为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a１，d q，a n，S n，n 的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差比数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.１．已知等差数列{a n}的公差d＝１，前n项和为S n.（１）若１，a１，a３成等比数列，求a１；（２）若S５>a１a9，求a１的取值范围．[解] （１）因为数列{a n}的公差d＝１，且１，a１，a３成等比数列，所以a错误!＝１×（a１＋２），即a错误!—a１—２＝0，解得a１＝—１或a１＝２．（２）因为数列{a n}的公差d＝１，且S５>a１a9，所以５a１＋１0>a错误!＋8a１，即a错误!＋３a１—１0<0，解得—５<a１<２．求数列的通项公式【例２】n n n n（２）数列{a n}的前n项和为S n且a１＝１，a n＋１＝错误!S n，求a n.思路探究：（１）已知S n求a n时，应分n＝１与n≥２讨论；（２）在已知式中既有S n又有a n时，应转化为S n或a n形式求解．[解] （１）当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝３＋２n—（３＋２n—１）＝２n—１，当n＝１时，a１＝S１＝５不适合上式．∴a n＝错误!（２）∵S n＝３a n＋１，１∴n≥２时，S n—１＝３a n. ２１—２得S n—S n—１＝３a n＋１—３a n，∴３a n＋１＝４a n，∴错误!＝错误!，又a２＝错误!S１＝错误!a１＝错误!.∴n≥２时，a n＝错误!·错误!错误!，不适合n＝１．∴a n＝错误!数列通项公式的求法１定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目.２已知S n求a n.若已知数列的前n项和S n与a n的关系，求数列{a n}的通项a n可用公式,求解.３累加或累乘法,形如a n—a n—１＝f n n≥２的递推式，可用累加法求通项公式；形如错误!＝f n n≥２的递推式，可用累乘法求通项公式.２．设数列{a n}是首项为１的正项数列，且a n＋１—a n＋a n＋１·a n＝0（n∈N*），求{a n}的通项公式．[解] ∵a n＋１—a n＋a n＋１·a n＝0，∴错误!—错误!＝１．又错误!＝１，∴错误!是首项为１，公差为１的等差数列．故错误!＝n.∴a n＝错误!.等差（比）数列的判定【例３】数列{n n１n＋１n*（１）设b n＝a n＋１—２a n，求证：{b n}是等比数列；（２）设c n＝错误!，求证：{c n}是等差数列．思路探究：分别利用等比数列与等差数列的定义进行证明．[证明] （１）a n＋２＝S n＋２—S n＋１＝４a n＋１＋２—４a n—２＝４a n＋１—４a n.错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝２．因为S２＝a１＋a２＝４a１＋２，所以a２＝５．所以b１＝a２—２a１＝３．所以数列{b n}是首项为３，公比为２的等比数列．（２）由（１）知b n＝３·２n—１＝a n＋１—２a n，所以错误!—错误!＝３．所以c n＋１—c n＝３，且c１＝错误!＝２，所以数列{c n}是等差数列，公差为３，首项为２．等差数列、等比数列的判定方法１定义法：a n＋１—a n＝d常数⇔{a n}是等差数列；错误!＝q q为常数，q≠0⇔{a n}是等比数列.２中项公式法：２a n＋１＝a n＋a n＋２⇔{a n}是等差数列；a\o\al（２,n＋１）＝a n·a n＋２a n≠0⇔{a n}是等比数列.３通项公式法：a n＝kn＋b k，b是常数⇔{a n}是等差数列；a n＝c·q n c，q为非零常数⇔{a n}是等比数列.４前n项和公式法：S n＝An２＋Bn A，B为常数，n∈N*⇔{a n}是等差数列；S n＝Aq n—A A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠１，n∈N*⇔{a n}是等比数列.提醒：１前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.２若要判定一个数列不是等差比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等差比即可.３．数列{a n}的前n项和为S n，若a n＋S n＝n，c n＝a n—１．求证：数列{c n}是等比数列．[证明] 当n＝１时，a１＝S１.由a n＋S n＝n，１得a１＋S１＝１，即２a１＝１，解得a１＝错误!.又a n＋１＋S n＋１＝n＋１，２２—１得a n＋１—a n＋（S n＋１—S n）＝１，即２a n＋１—a n＝１，３因为c n＝a n—１，所以a n＝c n＋１，a n＋１＝c n＋１＋１，代入３式，得２（c n＋１＋１）—（c n＋１）＝１，整理得２c n＋１＝c n，故错误!＝错误!（常数）．所以数列{c n}是一个首项c１＝a１—１＝—错误!，公比为错误!的等比数列.数列求和[探究问题]１．若数列{c n}是公差为d的等差数列，数列{b n}是公比为q（q≠１）的等比数列，且a n＝c n＋b n，如何求数列{a n}的前n项和？[提示] 数列{a n}的前n项和等于数列{c n}和{b n}的前n项和的和．２．有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．试用此种方法求和：１２—２２＋３２—４２＋…＋99２—１00２.[提示] １２—２２＋３２—４２＋…＋99２—１00２＝（１２—２２）＋（３２—４２）＋…＋（99２—１00２）＝（１—２）（１＋２）＋（３—４）（３＋４）＋…＋（99—１00）（99＋１00）＝—（１＋２＋３＋４＋…＋99＋１00）＝—５0５0．３．我们知道错误!＝错误!—错误!，试用此公式求和：错误!＋错误!＋…＋错误!.[提示] 由错误!＝错误!—错误!得错误!＋错误!＋…＋错误!＝１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!＝１—错误!＝错误!.【例４】已知数列{a n}的前n项和S n＝kc n—k（其中c、k为常数），且a２＝４，a6＝8a３.（１）求a n；（２）求数列{na n}的前n项和T n.思路探究：（１）已知S n，据a n与S n的关系a n＝错误!确定a n；（２）若{a n}为等比数列，则{na n}是由等差数列和等比数列的对应项的积构成的新数列，可用错位相减法求和．[解] （１）当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝k（c n—c n—１），则a6＝k（c6—c５），a３＝k（c３—c２），错误!＝错误!＝c３＝8，∴c＝２．∵a２＝４，即k（c２—c１）＝４，解得k＝２，∴a n＝２n.当n＝１时，a１＝S１＝２．综上所述，a n＝２n（n∈N*）．（２）na n＝n·２n，则T n＝２＋２·２２＋３·２３＋…＋n·２n，２T n＝１·２２＋２·２３＋３·２４＋…＋（n—１）·２n＋n·２n＋１，两式作差得—T n＝２＋２２＋２３＋…＋２n—n·２n＋１，T n＝２＋（n—１）·２n＋１.１．（变结论）例题中的条件不变，（２）中“求数列{na n}的前n项和T n”变为“求数列{n＋a n}的前n项和T n”．[解] 由题知T n＝１＋２＋２＋２２＋３＋２３＋…＋n＋２n＝（１＋２＋３＋…＋n）＋（２＋２２＋…＋２n）＝错误!＋错误!＝２n＋１—２＋错误!.２．（变结论）例题中的条件不变，将（２）中“求数列{na n}的前n项和T n”变为“求数列错误!的前n项和T n”．[解] 由题知T n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，１错误!T n＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!，２１—２得：错误!T n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!—错误!＝错误!—错误!＝１—错误!n—错误!，∴T n＝２—错误!—错误!＝２—错误!＝２—错误!.数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解．一般常见的求和方法有：（１）公式法：利用等差数列或等比数列前n项和公式．（２）分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．（３）裂项（相消）法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．（４）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．（５）倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导．。
【优质课件】苏教版必修5高二数学第3章《不等式》优秀课件.pptx
3.二元一次不等式表示的平面区域的判定 对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax ＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数 Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平 面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地， 当C≠0时，常取原点作为特殊点．
利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”缺 一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取 到最值，可以考虑用函数的单调性求解．
所以f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25.
(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值；
呈重点、现规律
1.不等式的基本性质 不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等 式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和 运用不等式的八条性质．
4.求目标函数最优解的方法 通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应 的点往往是可行域的顶点． 5.运用基本不等式求最值把握三个条件：①“一正”——各 项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三 相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
感谢各位老师！
祝： 身体健康
万事如意
例 1 设 不 等 式 x2 － 2ax ＋ a ＋ 2≤0 的 解 集 为 M ， 如 果 M⊆[1,4]，求实数a的取值范围． 解 M⊆[1,4]有两种情况： 其一是M＝∅，此时Δ<0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ>0， 下面分三种情况计算a的取值范围． 设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，
则有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)， (1)当Δ<0时，－1<a<2，M＝∅⊆[1,4]； (2)当Δ＝0时，a＝－1或2； 当a＝－1时，M＝{－1} [1,4]； 当a＝2时，M＝{2}⊆[1,4]．
苏教版高中数学必修5 (苏教版)必修5【配套备课资源】第3章3
苏教版高中数学课时精选知识汇总序言：数学是一门伟大的学科，汇集了人类的只会与结晶！高考数学主要知识点： 第一，函数与导数第二，平面向量与三角函数第三，数列及其应用第四，不等式第五，概率和统计第六，空间位置关系的定性与定量分析垂直，求角和距离第七，解析几何。
是高考的难点，运算量大，一般含参数§3.2 一元二次不等式(二) 一、基础过关1．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中元素的个数是________．2．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两个正实数根，则m 的取值范围是________．3．不等式≤3的解集为__________． x ＋1x 4．若关于x 的不等式>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________. x －a x ＋15．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝，则A ∩B ＝________. {x |x －2x≤0}6．函数y ＝ 对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是________． x 2＋mx ＋m 27．国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.8．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．二、能力提升9．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是________．10．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1 (i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是________．11．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．12．某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件，据此，问：(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定 P 值；(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值．三、探究与拓展13．已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围；(2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．答案1．6 2.0<m ≤1 3. 4．4 5.{x |0<x ≤1} 6.0≤m ≤2 {x |x <0或x ≥12}7．解 设税率调低后的“税收总收入”为y 元．y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－m (x 2＋42x －400) (0<x ≤8)． 1225依题意，y ≥2 400m ×8%×78%即－m (x 2＋42x －400) 1225≥2 400m ×8%×78%整理得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2.根据x 的实际意义，知0<x ≤8，所以0<x ≤2为所求．8．解 设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组Error! 解得－<m <－. 56129．－2≤a < 10. 65(0，2a 1)解析 由(1－a i x )2<1，得1－2a i x ＋(a i x )2<1，即a i x (a i x －2)<0.又a 1>a 2>a 3>0，∴0<x <， 2a i 即x <，x <且x <. 2a 12a 22a 3∵>>>0 2a 32a 22a 1∴0<x <. 2a 111．x <1或x >312．解 税率为P %时，销售量为(80－10P )万件，即f (P )＝80(80－10P )，税金为80(80－10P )·P %，其中0<P <8.(1)由Error!解得2≤P ≤6.(2)∵f (P )＝80(80－10P ) (2≤P ≤6)为减函数，∴当P ＝2时，f (2)＝4 800(万元)．(3)∵0<P <8，g (P )＝80(80－10P )·P %＝－8(P －4)2＋128，∴当P ＝4时，国家所得税金最高，为128万元．13．解 (1)不等式化为(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又∵|p |≤2，∴－2≤p ≤2，于是得Error!即Error!即Error! ∴x >3或x <－1.故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1，∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >＝1－x . －x 2＋2x －1x －1由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，∴p >(1－x )max .而2≤x ≤4，∴(1－x )max ＝－1，于是p >－1.故p 的取值范围是p >－1.学好高中数学不能死记硬背，要多加思考。
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类型二
规划问题
例2
x－4y≤－3， 已知变量 x，y 满足约束条件3x＋5y≤25， x≥1，
求 z＝2x＋y 的最大值
和最小值.
解答
反思与感悟
(1)因为寻找最优解与可行域的边界点斜率有关，所以画可行域要 尽可能精确；(2)线性目标函数的最值与截距不一定是增函数关系， 所以要关注截距越大，z越大还是越小.
解答
1 ∵函数 y＝x＋ x 在[2，＋∞)上是增函数且恒为正， 50 ∴f(x)＝ 1在[2，＋∞)上是减函数，且 f(2)＝20. x＋ x
∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为20.
反思与感悟
利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可，
可以通过拼凑、换元等手段进行变形 . 如不能取到最值，可以考虑
则目标函数 z＝4x＋2y 的最
10 大值为________.
答案 解析
1
2
3
4
1 －13 2.若不等式 ax ＋bx－2>0 的解集为{x|－2<x<－4}，则 a＋b＝_____.
2
答案
解析
1 ∵－2 和－4是方程 ax2＋bx－2＝0 的两根.
－2＋－1＝－b， a 4 ∴ 1 2 －2×－4＝－a， a＝－4， ∴ b＝－9，
知识点三
基本不等式
利用基本不等式证明不等式和求最值的区别.
利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件.
利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；
三相等.
题型探究
类型一 例1
“三个二次”之间的关系
设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M⊆[1,4]，求实数a
的取值范围.
用函数的单调性求解.
跟踪训练 3
答案 解析
5 1 1 已知 x<4，则 f(x)＝4x－2＋ 的最大值为____. 4x－5
5 因为 x<4，所以 5－4x>0， 1 1 则 f(x)＝4x－2＋ ＝－(5－4x＋ )＋3≤－2＋3＝1. 4x－5 5－4x 1 当且仅当 5－4x＝ ，即 x＝1 时，等号成立. 5 －4 x 1 故 f(x)＝4x－2＋ 的最大值为 1. 4x－5
∴a＋b＝－13.
1 2 3 4
1 1 4 3.设 a>b>0，则 a ＋ab＋ 的最小值是_____. aa－b
2
答案
2
解析
1 1 1 1 2 a ＋ab＋ ＝a －ab＋ab＋ab＋ a a －b aa－b 1 1 ＝a(a－b)＋ ＋ab＋ab≥2＋2＝4. aa－b 当且仅当 a(a－b)＝1 且 ab＝1， 2 即 a＝ 2，b＝ 2 时取等号.
反思与感悟
当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用 这个等式消元，化为角度1的类型；一个是直接利用该等式代入， 或构造定值.
跟踪训练 4
解答
1＋y 的最小值.
当堂训练
x＋y≤3， 1.设变量 x，y 满足约束条件x－y≥－1， y≥1，
跟踪训练2
某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个.现有
两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；
乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原
料各用多少张才能使得总用料面积最小.
解答
类型三
利用基本不等式求最值
解答
(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值.
解答
反思与感悟
(1)三个二次之间要选择一个运算简单的方向进行转化， 如 1≤x1<x2≤4，
f1≥0且f4≥0， 要是用求根公式来解就相当麻烦，用 则可化归为 1＜a＜4且Δ>0
简单的一元一次不等式组. (2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想.
跟踪训练 1 2 ____.
命题角度 2 例4
有附加条件的最值问题
函数 y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx＋
1 1 4 ny－1＝0(mn＞0)上，则m＋n的最小值为________.
答案 解析
y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)，
∵点A在直线mx＋ny－1＝0上，
∴m＋n＝1， 1 1 m＋n 1 1 1 ∴m＋n＝ mn ＝mn≥ ＝4，当且仅当 m＝n＝2时，取等号. m＋n 2 2
第3章 不等式
章末复习课
学习目标
1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.
2. 能熟练运用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不
等式.
3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.
4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.
5.会用基本不等式求解函数最值.
内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
1 2 3 4
4.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围.
解答
当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，
知识梳理
知识点一
“三个二次”之间的关系
所谓三个二次，指的是①二次 函数 图象及与x轴的交点；②相应的一
元二次 方程 的实根；③一元二次 不等式 的解集端点.
解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化.
知识点二 1.规划问题的求解步骤如下：
(1)把问题要求转化为约束条件；
规划问题
答案 解析
若关于 x 的不等式 ax2 － 6x ＋ a2<0 的解集是 (1 ， m) ，则 m ＝
因为ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)， 所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m>1，
m>1， 6 ⇒1＋m＝a， 1· m＝a m＝2， ⇒ a＝2.
(2)根据约束条件作出可行域；
(3)对目标函数变形并解释其几何意义；
(4)移动目标函数寻找最优解；
(5)解相关方程组求出最优解.
2.关注非线性：
(1)确定非线性约束条件表示的平面区域 .可类比线性约束条件，以曲
线定界，以特殊点定域.
y－b (2)常见的非线性目标函数有① ， 其几何意义为可行域上任一点(x， x－a y)与定点(a，b)连线的斜率；② x－a2＋y－b2，其几何意义为可行 域上任一点(x，y)与定点(a，b)的距离.