二项式定理_课件学习PPT课件
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二项式定理ppt课件
①展开式中，每一项是怎样得到的？ （4次） ②既然这样，每一项的次数都应为几次？ 展开后具有哪些形式的项呢？ (a4，a3b，a2b2，ab3，b4) ③每一项在展开式中出现多少次，也就是展开式中各项 系数为什么？ 探索：(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)在上面4个括号中： 每个都不取b，有 C 4 恰有１个取b，有 恰有２个取b，有 恰有３个取b，有
tr12二项式系数与项的系数不同二项式系数是组合数而项的系数是该项的数字因数3通项公式可用求展开式中任意一项求时必需明确r
二 项 式 定 理
回顾：
（a b) a 2ab b 3 (a b) (a b)(a b)(a b) 2 2 (a b)(a ab ba b ) 2 2 3 2 a a b aba ab ba 3 2 bab b a b 3 2 2 3 a 3a b 3ab b 1 0 0 4 (a b) ？ (a b) ？
∴ 9-2r=3，r=3，
3 3 3 ∴ 的系数 (1)3 C9 84 , 3的二项式系数 C9 84．
例题点评
求二项展开式的某一项,或者求满足某种条
件的项,或者求某种性质的项,如含有x 3项
的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项
式的通项求解.
注意(1)二项式系数与系数的区别.
4、在定理中，令a=1，b=x，则
(1 x) C C x C x C x C x
n 0 n 1 n 2 2 n r n r n n
n
尝试二项式定理的应用：
1 4 例 1 展 开 (1 ) x 1 4 1 4 1 1 1 1 2 3 1 3 解: (1 ) 1 C4 ( ) C4 ( ) C4 ( ) ( ) x x x x x
tr12二项式系数与项的系数不同二项式系数是组合数而项的系数是该项的数字因数3通项公式可用求展开式中任意一项求时必需明确r
二 项 式 定 理
回顾：
（a b) a 2ab b 3 (a b) (a b)(a b)(a b) 2 2 (a b)(a ab ba b ) 2 2 3 2 a a b aba ab ba 3 2 bab b a b 3 2 2 3 a 3a b 3ab b 1 0 0 4 (a b) ？ (a b) ？
∴ 9-2r=3，r=3，
3 3 3 ∴ 的系数 (1)3 C9 84 , 3的二项式系数 C9 84．
例题点评
求二项展开式的某一项,或者求满足某种条
件的项,或者求某种性质的项,如含有x 3项
的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项
式的通项求解.
注意(1)二项式系数与系数的区别.
4、在定理中，令a=1，b=x，则
(1 x) C C x C x C x C x
n 0 n 1 n 2 2 n r n r n n
n
尝试二项式定理的应用：
1 4 例 1 展 开 (1 ) x 1 4 1 4 1 1 1 1 2 3 1 3 解: (1 ) 1 C4 ( ) C4 ( ) C4 ( ) ( ) x x x x x
二项式定理ppt课件
1
答案:10
课堂小结
1.二项式定理的概念、特点,用二项式定理解决整除问题.
2.通项的应用.利用通项求二项展开式的某一项,特定项和特定项的系数.
3.简单了解二项式系数.
点击进入
课时作业
(2)解:0.998 =(1-0.002) =1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002) +…+ ×(-0.002) .
2
2
由题意知 T3= ×(-0.002) =15×0.002 =0.000 06<0.001,
且第 3 项以后(包括第 3 项)的项的绝对值都远小于 0.001,
探究点一
角度1
通项公式及其应用
求二项展开式中的特定项
[例 1] ( -
10
) 的展开式中,所有的有理项为
.
解析:二项展开式的通项为
-
Tk+1= (- ) .
-
由题意知
令
∈Z,且 0≤k≤10,k∈N.
-
=r(r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r.
n
答案:(-1)n
.
4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=
.
解析:x 是(1+kx ) 的展开式的第 5 项,x 的系数为 k =15k .由已知得
4
4
15k <120,即 k <8.又 k 是正整数,故 k=1.
8
答案:1
2 6
8
4
4
课堂探究·素养培育
6
6
答案:10
课堂小结
1.二项式定理的概念、特点,用二项式定理解决整除问题.
2.通项的应用.利用通项求二项展开式的某一项,特定项和特定项的系数.
3.简单了解二项式系数.
点击进入
课时作业
(2)解:0.998 =(1-0.002) =1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002) +…+ ×(-0.002) .
2
2
由题意知 T3= ×(-0.002) =15×0.002 =0.000 06<0.001,
且第 3 项以后(包括第 3 项)的项的绝对值都远小于 0.001,
探究点一
角度1
通项公式及其应用
求二项展开式中的特定项
[例 1] ( -
10
) 的展开式中,所有的有理项为
.
解析:二项展开式的通项为
-
Tk+1= (- ) .
-
由题意知
令
∈Z,且 0≤k≤10,k∈N.
-
=r(r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r.
n
答案:(-1)n
.
4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=
.
解析:x 是(1+kx ) 的展开式的第 5 项,x 的系数为 k =15k .由已知得
4
4
15k <120,即 k <8.又 k 是正整数,故 k=1.
8
答案:1
2 6
8
4
4
课堂探究·素养培育
6
6
人教版高中数学选修2-3二项式定理 (共16张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
–■
① 项： a 3
a 2b ab 2 b 3
a3kbk
二项式定理及应用ppt课件
• 【答案】 C
4．已知二项式(x－1x)n的展开式中含x3的项 是第4项，则n的值为________．
【解析】 ∵通项公式Tr＋1＝Crn(－1)rxn－2r， 又∵第4项为含x3的项， ∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.
• 【答案】 9
5．若(x2＋
1 ax
)6的二项展开式中x3的系数为
联立①②得
a1＋a3＋…＋a99＝(2－
3)100－(2＋ 2
3)100 .
(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋… ＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋
a99)] ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3 ＋…＋a98－a99＋a100) ＝(2－ 3)100(2＋ 3)100＝1.
52，则a＝________(用数字作答)．
【解析】 Tr＋1＝Cr6a－rx12－3r， 当12－3r＝3时，r＝3，∴C63a－3＝52，∴a＝2.
• 【答案】 2
求特定的项或特定项的系数
已知在(3 x－ 1 )n的展开式中，第6 3
2x 项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
(4)方法一：∵展开式中，a0，a2， a4，…，a100大于零，而a1，a3，…，a99小 于零，
∴原式＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋
a100 ＝(2＋ 3)100.
方法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|， 即(2＋ 3x)100展开式中各项的系数和， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝(2＋ 3)100.
• 【思路点拨】 本题给出二项式及其二项展开式求各系
4．已知二项式(x－1x)n的展开式中含x3的项 是第4项，则n的值为________．
【解析】 ∵通项公式Tr＋1＝Crn(－1)rxn－2r， 又∵第4项为含x3的项， ∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.
• 【答案】 9
5．若(x2＋
1 ax
)6的二项展开式中x3的系数为
联立①②得
a1＋a3＋…＋a99＝(2－
3)100－(2＋ 2
3)100 .
(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋… ＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋
a99)] ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3 ＋…＋a98－a99＋a100) ＝(2－ 3)100(2＋ 3)100＝1.
52，则a＝________(用数字作答)．
【解析】 Tr＋1＝Cr6a－rx12－3r， 当12－3r＝3时，r＝3，∴C63a－3＝52，∴a＝2.
• 【答案】 2
求特定的项或特定项的系数
已知在(3 x－ 1 )n的展开式中，第6 3
2x 项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
(4)方法一：∵展开式中，a0，a2， a4，…，a100大于零，而a1，a3，…，a99小 于零，
∴原式＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋
a100 ＝(2＋ 3)100.
方法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|， 即(2＋ 3x)100展开式中各项的系数和， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝(2＋ 3)100.
• 【思路点拨】 本题给出二项式及其二项展开式求各系
二项式定理(一)ppt课件
从特殊 ——一般 ——特殊 的数学思想
19
课后巩固
1、巩固型作业： 课本36页 习题1.3 A组 1、3、4 ( 1) (2) 5 2、思维拓展型作业： (查阅相关资料) (1) 查阅有关杨辉一生的主要成就。 (2) 探究二项式系数
有何性质.
巩固一：求
的展开式并写出展开式的第k项；
解
:
展开式的第k项:
二项展开式与式子的顺序有关，是按后者的升幂排列。
巩固二：
？
解 :
(想一想) 第一天是星期一，第 8100天是星期几呢
∴ 被7除的余数是1，因此第 天是星期二.
巩固三：1.写出
的展开式；
2.上述展开式中第四项为什么？第四项的系数为什么？
9
二项式定理: 一般地，对于n N*，有：
把各项的系数
叫做二项式系数
(1)二项式系数:
式中 第k+1项，用
叫做二项展开式的通项，为展开式的 表示
(2)二项展开式的通项:
10
拓展：二项式定理，又称牛顿二项 式定理，由艾萨克 ·牛顿于16641665年间提出． 二项式定理在组合 理论、开高次方、高阶等差数列求 和，以及差分法中都有广泛的应用 ．
项的系数为： 二项式系数与数字系数的积 (除未知数以外的 所有数的乘积)
思考：求
的展开式
课堂小结
1.知识收获：二项式定理；二项式定理的表达 式及展开式的通项、二项式系数与系数的概念。
第
二项式定理：
项的二项式系数 通项
二项式
二项式展开式
2.方法收获： 正确区分“项的系数”和“二项式系数”
3.思维收获：
冬1.3.1二项式定理 (一)
课堂目标：
二项式定理ppt课件
b=29.
题型分类 深度剖析
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 ( x 1 )n 的展开式中，前三项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系
数最大的项.
思维启迪 利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n ，
探究提高 用二项式定理处理整除问题，通常把 底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的 和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面 （或者是前面）一、二项就可以了. 同时，要注意余数的范围，a=cr+b，其中余数b∈ ［0，r），r是除数，利用二项式定理展开变形后， 若剩余部分是负数要注意转换.
(
1)r x
(1)r
Crn
x2n3r ,
常数项是15，则2n=3r,且 C=rn 15，验证n=6时，r=4
合题意.
5.（2009·北京理，6）若（1+ 2）5=a+b 2(a、b为
有理数)，则a+b=
（C ）
A.45
B.55
C.70
D.80
解析 ∵(1+ 2 )5=1+5 2 +20+20 2 +20+4 2 =41+29 2 =a+b 2, 又a、b为有理数,∴ a=41, ∴a+b=41+29=70.
2)3,则a2的值为
（ B）
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 ∵x3=［2+（x-2）］3，
∴展开式中含（x-2）2项的系数为
a2=T2+1= C32 ×23-2=3×2=6.
题型分类 深度剖析
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 ( x 1 )n 的展开式中，前三项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系
数最大的项.
思维启迪 利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n ，
探究提高 用二项式定理处理整除问题，通常把 底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的 和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面 （或者是前面）一、二项就可以了. 同时，要注意余数的范围，a=cr+b，其中余数b∈ ［0，r），r是除数，利用二项式定理展开变形后， 若剩余部分是负数要注意转换.
(
1)r x
(1)r
Crn
x2n3r ,
常数项是15，则2n=3r,且 C=rn 15，验证n=6时，r=4
合题意.
5.（2009·北京理，6）若（1+ 2）5=a+b 2(a、b为
有理数)，则a+b=
（C ）
A.45
B.55
C.70
D.80
解析 ∵(1+ 2 )5=1+5 2 +20+20 2 +20+4 2 =41+29 2 =a+b 2, 又a、b为有理数,∴ a=41, ∴a+b=41+29=70.
2)3,则a2的值为
（ B）
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 ∵x3=［2+（x-2）］3，
∴展开式中含（x-2）2项的系数为
a2=T2+1= C32 ×23-2=3×2=6.
6.3.1二项式定理课件共15张PPT
和 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3的概括和推广，
它是以多项式的乘法公式为基础，以组合知识为工具，
用不完全归纳法得到的，其证明可用数学归纳法．
（2）对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指
数、通项等方面的特征去熟悉他的展开式．通项公式
Tr 1 C a
r
率9％，按复利计算，10年后收回本金和利息。
试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资10年后大约
可多得利息多少元？
分析：本金10万元，年利率11％，按单利计算，10年后的本利和是
10×(1＋11％×10)＝21(万元);
本金10万元，年利率9％，按复利计算，10年后的本利和是10×(1＋
9％)10;
x
60 12 1
64 x 192x 240x 160
2 3
x x
x
3
2
0 n
1 n 1
a
b
C
a
C
n
例题讲评
例2： 求 (2 x
解:
1 6
) 的展开式中
x
的展开式的通项：
根据题意，得
因此， 2 的系数是
x
x 的系数。
艾萨克·牛顿 Isaac
Newton (1643—1727) 英国
科学家．他被誉为人类历史上
最伟大的科学家之一．他不仅
是一位物理学家、天文学家，
还是一位伟大的数学家．
牛顿二项式定理
新课引入
某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年
利率11％，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种是年利
第六章二项式定理
跟踪训练 2
在2
x－
1
6
x
的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
解 第 3 项的二项式系数为 C26＝15，
又 T3＝C26(2
x)4－
1x2＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)含x2的项.
解
Tk＋1＝Ck6(2
x)6－k－
1xk＝(－1)k26－kCk6x3－k，
令3－k＝2，解得k＝1，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7.如果
3
x2＋1xn
的展开式中，x2
项为第
3
项，则自然数
n＝__8__，其
x2
项
的系数为_2_8__.
解析
Tk＋1＝Ckn( 3
x2)n－k1xk＝Ckn
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.1－2C1n＋4C2n－8C3n＋…＋(－2)nCnn等于
A.1
B.－1
√C.(－1)n
D.3n
解析 原式＝(1－2)n＝(－1)n.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.
x－2x6 的展开式中的常数项为
√A.60
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 6.若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝_2__.(用数字填写答案) 解析 二项展开式的通项为 Tk＋1＝Ck10x10－kak，当 10－k＝7 时，k＝3，T4 ＝C310a3x7， 则 C310a3＝15，故 a＝12.
二项式定理 课件
解法二 2 x＋ 1x4＝2x＋x 14＝x12(2x＋1)4 ＝x12[C04(2x)410＋C14(2x)311＋C24(2x)212＋C34(2x)113＋C44(2x)014] ＝x12(16x4＋32x3＋24x2＋8x＋1) ＝16x2＋32x＋24＋8x＋x12. (2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x－1)＋C55(x－1)0－1＝ [(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
探究二 求展开式的特定项
[典例 2]
已知在3
x－ 3 3
n
的展开式中，第
6
项为常数项．
x
(1)求 n；
(2)求含 x2 的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
[解析]
nk
通项公式为 Tk＋1＝Cknx 3
(－3)kx
k 3
＝Ckn(－
3)kx
n2 3
k
.
(1)∵第 6 项为常数项，
∴k＝5 时有n－32k＝0，即 n＝10.
正用、逆用二项式定理： (1)展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确 理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．对较复杂的二项式，有时先化简再展开 会更简便． (2)逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项 数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
探究一 二项式定理的正用与逆用
[典例 1]
(1)写出2
x＋
1 4 x
的展开式；
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
[解析]
(1)解法一
直接利用二项式定理展开并化简：2
新高考数学二项式定理精品课件
5. 在的展开式中,有理项共有 项.
课前基础巩固
4
[解析] 的展开式的通项为Tr+1=·(-1)r·36-r·,若6-r为整数,则r=0,2,4,6,故有理项共有4项.
6. 已知的展开式中,各项系数的和与二项式系数的和之比为64,则n等于 .
课前基础巩固
6
[解析] 二项式的展开式中各项系数的和为(1+3)n=4n,二项式系数的和为2n.因为各项系数的和与二项式系数的和之比为64,所以=2n=64,解得n=6.
课堂考点探究
ACD
将x=-1代入(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5,故C正确;二项式(1-2x)5的展开式的通项为Tr+1=(-2)rxr,所以当r为奇数时,(-2)r为负数,即ai<0(其中i为奇数),当r为偶数时,(-2)r为正数,即ai>0(其中i为偶数),所以a0-|a1|+a2-|a3|+a4-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1,故D正确.故选ACD.
(2)在的展开式中,x2的系数为 .(用数字作答)
课堂考点探究
240
[解析]的展开式的通项为Tr+1=(2x)6-r=(-1)r×26-r,令6-2r=2,解得r=2,∴的展开式中x2的系数为24=240.
考向1 二项式系数例2 (1)[2021·衡水模拟] 已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,则x3的系数为 .
课前基础巩固
◈ 知识聚焦 ◈
an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn
课前基础巩固
4
[解析] 的展开式的通项为Tr+1=·(-1)r·36-r·,若6-r为整数,则r=0,2,4,6,故有理项共有4项.
6. 已知的展开式中,各项系数的和与二项式系数的和之比为64,则n等于 .
课前基础巩固
6
[解析] 二项式的展开式中各项系数的和为(1+3)n=4n,二项式系数的和为2n.因为各项系数的和与二项式系数的和之比为64,所以=2n=64,解得n=6.
课堂考点探究
ACD
将x=-1代入(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5,故C正确;二项式(1-2x)5的展开式的通项为Tr+1=(-2)rxr,所以当r为奇数时,(-2)r为负数,即ai<0(其中i为奇数),当r为偶数时,(-2)r为正数,即ai>0(其中i为偶数),所以a0-|a1|+a2-|a3|+a4-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1,故D正确.故选ACD.
(2)在的展开式中,x2的系数为 .(用数字作答)
课堂考点探究
240
[解析]的展开式的通项为Tr+1=(2x)6-r=(-1)r×26-r,令6-2r=2,解得r=2,∴的展开式中x2的系数为24=240.
考向1 二项式系数例2 (1)[2021·衡水模拟] 已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,则x3的系数为 .
课前基础巩固
◈ 知识聚焦 ◈
an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn
二项式定理PPT教学课件
12n n
(2)当 3 q 1 时,求 lim An
n 2n
【思维点拨】：本题逆用了二项式定理及
C
0 n
C
1 n
C
n n
2n
例4、若 2x 3 4= a0 a1x a2 x 2 a3 x3 a4 x 4，
求（1） a0 a2 a4 2― a1 a3 2的值。
（2） a0 a1 a2 a3 的值。
【思维点拨】 用赋值法时要注意展开式的形式。
思考题：设
x 14x 25 a0 a1x 3 a2x 32 a9x 39
则 a0 a2 a4 a6 a8 ―2 a1 a3 a5 a7 a9 2
0
备用题：
例5已知（ (1 2x)n ,
2 （1） 若展开式中第5项、第6项与第7项的二 项式系数成等差数列，求展开式中二项式系 数最大项的系数。
稚参培育环境
• 水温 • 光照 • 盐度 • PH值 • 溶解氧
稚参敌害与病害的防治技术
• 桡足类 • 细菌
x
1120 （3）求 (1 x)3 (1 x)4 (1 x)5 … (1 x)50
的展开式中 x 3的系数。 C541
例3(优化设计P180例3)、设an＝1＋q＋q2＋… ＋qn－1(n∈N*，q≠±1)，
An＝ Cn1a1 Cn2a2 ...... Cnnan
(1) 用q 和n 表示An
即可求第五个元素。
③注意二项式系数与某一项系数的异同。
④当n不是很大，|x|比较小时可以用展开式的 前几项求 (1 x)n的近似值。
二、问题讨论
例1．（1） Cn1 3Cn2 9Cn3 3n1Cnn
等于 （ D ）
A 、4n
二项式定理课件-完美版
变式: 若(2x＋ )4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是( A )
A．1
B．－1 C．0
D．2
【规律小结】
对二项式展开式中系数、系数和问题，常用赋值法， 一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0 得常数项，令x＝1可得所有项系数和，令x＝－1可得奇数 次项系数之和与偶数次项系数之和的差，而当二项展开式 中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和．
考点三 二项式定理的灵活应用
例4
求
1 x
1 x2
10的展开式的常数项。
变式：（1）求（x2+x+1)13展开式中x5的系数； （2）求（2x-1)6(3+x)5展开式中x3的系数.
考点四 整除或余数问题
例5 求9192除以100的余数
变式题 7777－7 被 19 除所得的余数是________．
数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并 求解此不等式组求得．
考点二 二项式定课理展堂开互式的动应讲用练
利用二项展开式可以解决如整除、近似计算、不 等式证明、含有组合数的恒等式证明，以及二项式系 数性质的证明等问题．
例3 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
(2)求展开式中含 的项；
(3)求展开式中所有的有理项；
(4)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
【规律小结】 课堂互动讲练
1．根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二 项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大．
二项式定理课件ppt
二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式 ，例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理，我们可以求解一些函数的泰勒级数展 开，从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数，我们可以利用二项式定理找到 其求和的方法。
其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广 ，它具有与组合数相同的性 质，例如
1. 对称性：对于任何自然数n ，C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性：C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式：C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发 现，用于解决一些特殊的数学问题。
之后，许多数学家都对二项式定理进 行了研究和推广，使其成为现代数学 中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础，可以帮助我们理解和分 析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中，二项式定理可以用于计算样本数量较少时 的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上，通过解决 一些相对复杂的进阶题目，帮助学生深入理 解二项式定理的概念和变形方式，进一步提 高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣
高中数学二项式定理公开课精品PPT课件
1.3 二项式定理 第一课时 二项式定理
1．二项式定理 公式(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnran－rbr＋…＋Cnn－1abn－ 1＋Cnnbn所表示的规律叫作二项式定理． 2．(1)(a＋b)n的二项展开式中共有n＋1项； (2)二项式系数：Cnk(k∈N)； (3)二项展开式的通项公式：Tk＋1＝Cnkan－kbk(其中0≤k≤n， k∈N，n∈N*)它是展开式的第k＋1项．
3 2x2
)0＋C51(2x)4(－
3 2x2
)＋C52(2x)3(－
3 2x2
)2＋C53(2x)2(－
3 2x2
)3＋C54(2x)(－
3 2x2
)4＋C55(－
3 2x2
)5＝32x5－120x2
＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
例4 已知在(3 x－ 3 )n的展开式中，第6项为常数项． 3 x
(1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
【思路】 解答本题可先借助通项公式，利用第6项为常数项 求n，然后再根据通项公式即可求得(2)，(3)．
【解析】 (1)通项公式为 Tk＋1＝Cnkxn－3 k(－3)kx－k3＝Cnk(－3)kxn－32k. ∵第6项为常数项，∴k＝5时有n－32k＝0，即n＝10. (2)令n－32k＝2，得k＝12(n－6)＝2. ∴所求的系数为C102(－3)2＝405.
【答案】 C
探究3 (1)求二项展开式的特定项的常见题型： ①求第k项，Tk＝Cnk－1an－k＋1bk－1； ②求含xk的项(或xpyq的项)； ③求常数项； ④求有理项． (2)求二项展开式的特定项的常用方法： ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
1．二项式定理 公式(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnran－rbr＋…＋Cnn－1abn－ 1＋Cnnbn所表示的规律叫作二项式定理． 2．(1)(a＋b)n的二项展开式中共有n＋1项； (2)二项式系数：Cnk(k∈N)； (3)二项展开式的通项公式：Tk＋1＝Cnkan－kbk(其中0≤k≤n， k∈N，n∈N*)它是展开式的第k＋1项．
3 2x2
)0＋C51(2x)4(－
3 2x2
)＋C52(2x)3(－
3 2x2
)2＋C53(2x)2(－
3 2x2
)3＋C54(2x)(－
3 2x2
)4＋C55(－
3 2x2
)5＝32x5－120x2
＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
例4 已知在(3 x－ 3 )n的展开式中，第6项为常数项． 3 x
(1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
【思路】 解答本题可先借助通项公式，利用第6项为常数项 求n，然后再根据通项公式即可求得(2)，(3)．
【解析】 (1)通项公式为 Tk＋1＝Cnkxn－3 k(－3)kx－k3＝Cnk(－3)kxn－32k. ∵第6项为常数项，∴k＝5时有n－32k＝0，即n＝10. (2)令n－32k＝2，得k＝12(n－6)＝2. ∴所求的系数为C102(－3)2＝405.
【答案】 C
探究3 (1)求二项展开式的特定项的常见题型： ①求第k项，Tk＝Cnk－1an－k＋1bk－1； ②求含xk的项(或xpyq的项)； ③求常数项； ④求有理项． (2)求二项展开式的特定项的常用方法： ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
二项式定理ppt课件 (1)可修改文字
系数为 C40 C41
C42
C43
C
4 4
按上述规律，我们能将(a+b)n展开吗？ 二项式定理：
• (1) a bn 的展开式各项都是n次，即展开式应有下面ห้องสมุดไป่ตู้式
的各项：an , an1b,…,anrbr,…, bn
• (2)展开式各项的系数：
•
每个都不取b的情况有1种，即C
0 n
种，a
n的系数是Cn0
尝试二项式定理的发现:
观察下面两个公式，从右边的项数、每项的 次数、系数进行研究，你会发现什么规律？
(a + b)2
= a2 + 2ab + b2
C a C C b 0 2 1 ab 2 2
2
2
2
(a+b)3 = a3 + 3a2 b + 3a b2 + b3
C a C a C b C b 0 3 1 2b 2 a 2 3 3
二项式定理
回顾：
（a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
(a b)(a2 ab ba b2 )
a3 a2b aba ab2 ba2
bab b2a b3
a3 3a2b 3ab2 b3
(a b)4 ？
(a b)100 ？
1 )r
， (1)r C9r 92r
∴ 9-2r=3，r=3，
∴ 的3 系数 (1)3 C93 84, 的3 二项式系数 C93 84．
例题点评
求二项展开式的某一项,或者求满足某种条
件的项,或者求某种性质的项,如含有x 3项
的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项 式的通项求解. 注意(1)二项式系数与系数的区别.
二项式定理 课件
展开式具有以下特点 (1)项数：共有 n＋1 项； (2)二项式系数：依次为 Cn0，C1n，Cn2，…，Crn，…， Cnn； (3)每一项的次数是一样的，即为 n 次，展开式依 a 的降幂、b 的升幂排列展开； (4)通项是第 r＋1 项．
[例 1] (1)用二项式定理展开(2x－23x2)5. (2)化简：C0n(x＋1)n－Cn1(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋ (－1)rCrn(x＋1)n－r＋…＋(－1)nCnn.
[思路点拨] (1)二项式的指数为5，可直接按二项式 定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式， 逆用二项式定理求解．
[精解详析] (1)(2x－23x2)5＝C50(2x)5＋C15(2x)4·(－23x2) ＋…＋C55(－23x2)5
＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310. (2)原式＝C0n(x＋1)n＋Cn1(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－ 2(－1)2＋…＋Crn(x＋1)n－r(－1)r＋…＋Cnn(－1)n＝[(x＋1) ＋(－1)]n＝xn.
[一点通] (1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各 项的幂指数规律是：①各项的次数等于n；②字母a按降 幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按 升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体 思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形 式靠拢．
2．相关概念 (1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式． (2)各项的系数 Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项
式系数． (3)展开式中的 Crnan－rbr叫做二项展开式的通项，记作：
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(a - b)n =
C n0a n - C n1a n- 1b + C n2a n- 2b2 - L + (- 1)nC nnbn
问题探究
T k + 1 = C nka n - kbk
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
T k + 1 = C nka n - kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
-
1abn -
1
+
C nnbn
如何证明这个猜想？
形成结论
(a +
b)n
=
C n0a n
+
C
a1 n-
n
1b
+
L
+
C
ak n-
n
kbk
+
L
+ C nnbn
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，
2，…，n)叫做二项式系数.
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
是什么？
T k + 1 = (- 1)kC nka n - kbk
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
Tk+1
=
C
k 20
(2x
)20-
k
(3y
)k
问题探究
(1＋2x)7的展开式中第4项的二项式 系数和系数分别是什么？
二项式系数：C
3 7
=
35 ，
系数：8C
3 7
=
280
.
典例讲评
布置作业
P37习题1.3A组：2，3，4，5.
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式且系 与a数，依b无次关为.C
0 n
,C
1 n
,
C
2 n
,
L
,C
n n
问题探究
特例：(1＋x)n (n∈N*)等于什么？
(1 + x )n =
C
0 n
+
C n1x
+ C n2x 2 +
L
+
Cபைடு நூலகம்
k n
x
k
+
L
+
C
n n
x
n
(a－b)n(n∈N*)的展开式是什么？
问题探究
(a + b)4 = C 40a 4 + C 41a 3b + C 42a 2b2 + C 43ab3 + C 44b4
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a + b)n =
C n0a n
+
C n1a n- 1b +
C
a2 n -
n
2b2
+
L
+
C
n n
例1 求 (2 x - 1 )6 的展开式.
x
64x 3 -
192x 2 + 240x -
160 +
60 x
12 x2 +
1 x3
例2 求 (x - 1 )9 的展开式中x3的
系数.
x
－84
课堂小结
1.二项式定理是以公式的形式给出 的一个恒等式，其中n是正整数，a，
b可以任意取值，也可以是代数式.
2.(a＋b)n的展开式统一规定按a的 降 幂排列，各项的系数与a，b的取值有关， 各项的二项式系数与a，b的取值无关.
课堂小结
3.二项展开式的通项
Tk+1
=
C
ak n -
n
kbk
是研究二项展开式问题的重要工具，但 需注意通项是表示二项展开式中的第 k ＋1项.对于求展开式中某些特定的项， 一般要分析通项中字母的幂指数来解决.
1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上 统称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
（n∈N*）.
问题探究
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 (a + b)2 = C 20a 2 + C 21ab + C 22b2
问题探究
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) C 30a 3 + C 31a 2b + C 32ab2 + C 33b3
C n0a n - C n1a n- 1b + C n2a n- 2b2 - L + (- 1)nC nnbn
问题探究
T k + 1 = C nka n - kbk
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
T k + 1 = C nka n - kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
-
1abn -
1
+
C nnbn
如何证明这个猜想？
形成结论
(a +
b)n
=
C n0a n
+
C
a1 n-
n
1b
+
L
+
C
ak n-
n
kbk
+
L
+ C nnbn
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，
2，…，n)叫做二项式系数.
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
是什么？
T k + 1 = (- 1)kC nka n - kbk
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
Tk+1
=
C
k 20
(2x
)20-
k
(3y
)k
问题探究
(1＋2x)7的展开式中第4项的二项式 系数和系数分别是什么？
二项式系数：C
3 7
=
35 ，
系数：8C
3 7
=
280
.
典例讲评
布置作业
P37习题1.3A组：2，3，4，5.
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式且系 与a数，依b无次关为.C
0 n
,C
1 n
,
C
2 n
,
L
,C
n n
问题探究
特例：(1＋x)n (n∈N*)等于什么？
(1 + x )n =
C
0 n
+
C n1x
+ C n2x 2 +
L
+
Cபைடு நூலகம்
k n
x
k
+
L
+
C
n n
x
n
(a－b)n(n∈N*)的展开式是什么？
问题探究
(a + b)4 = C 40a 4 + C 41a 3b + C 42a 2b2 + C 43ab3 + C 44b4
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a + b)n =
C n0a n
+
C n1a n- 1b +
C
a2 n -
n
2b2
+
L
+
C
n n
例1 求 (2 x - 1 )6 的展开式.
x
64x 3 -
192x 2 + 240x -
160 +
60 x
12 x2 +
1 x3
例2 求 (x - 1 )9 的展开式中x3的
系数.
x
－84
课堂小结
1.二项式定理是以公式的形式给出 的一个恒等式，其中n是正整数，a，
b可以任意取值，也可以是代数式.
2.(a＋b)n的展开式统一规定按a的 降 幂排列，各项的系数与a，b的取值有关， 各项的二项式系数与a，b的取值无关.
课堂小结
3.二项展开式的通项
Tk+1
=
C
ak n -
n
kbk
是研究二项展开式问题的重要工具，但 需注意通项是表示二项展开式中的第 k ＋1项.对于求展开式中某些特定的项， 一般要分析通项中字母的幂指数来解决.
1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上 统称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
（n∈N*）.
问题探究
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 (a + b)2 = C 20a 2 + C 21ab + C 22b2
问题探究
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) C 30a 3 + C 31a 2b + C 32ab2 + C 33b3