河北省石家庄市2017届高三冲刺模考数学(理)试题
河北省石家庄市2017届高三毕业班第二次模拟考试数学(理)试题扫描版含答案
2016-2017 学年度石家庄市第二次模 考数学理科答案一、1-5DDACA 6-10 DADBA 11-12AB二、填空13.54014 .22x 2 y 2 1315.52016.5三、解答17. 解： (1)当n1，a 1 2a 2na n ( n 1)2n 1 2 ①a 1 2a 2 （n-1)a n 1 (n 2)2n2②⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分① -②得na n (n 1)2 n 1 (n 2)2 n n 2 n所以a n2n ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分当n1， a 12 ，所以a n2n ， nN * ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分(2) 因 a n2n ，b n111 1 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分log 2 a n log 2 a n 2n( n2)( n n ) .2 2所以T1 1 11 1 11 1 111 1 1 1 1 .n2 3 2 2 42 3 52 n 1 n 12 n n 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分1 1 11 1 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分2 2 n n 231 11 3 42 n 1 n 24所以，随意 n N *， T n3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分418． (1) 明 : 取AD中点M，接EM，AF=EF=DE=2，AD=4，可知EM= 1AD，∴ AE⊥2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分DE又 AE⊥EC，DE EC E ∴AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，又 CD⊥ AD，AD AE A,∴ CD⊥平面 ADEF，CD平面 ABCD，∴平面 ABCD⊥平面 ADEF；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）如，作EO⊥ AD， EO⊥平面 ABCD，故以 O原点，分以OA, DC , OE的方向 x 、 y 、 z 的正方向成立空平面直角坐系，依意可得E(0,0,3) ， A(3,0,0) ，C (1,4,0) ， F (2,0,3)，所以EA(3,0,3)， AC( 4,4,0)，CF(3, 4,3) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分n( x, y, z)平面 EAC的法向量，n EA03z0不如 x=1，即 3xn AC04x4y0可得 n(1,1,3)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分所以cos CF , n CF n25140 =35 ，| CF | | n |287035⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分直与平面所成角的正弦35⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分CF EAC35419. 解：（ 1）四天均不降雨的概率P1381 ，56253216，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯四天中恰有一天降雨的概率P 21 32 2 分C 4 55625所以四天中起码有两天降雨的概率P 1 P 1 P 2181 216 328 625625⋯⋯⋯4分1 2 34 5625（ 2）由 意可知 x3 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分5y50+85+115+140+160 =110 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分55(x i x)( y iy ) 275 ，bi 1= =27.58 分510 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯( x i x)2i 1a= y bx =27.5所以， y 对于 x 的回 方程 ：? 27.5x 27.5 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分y将降雨量 x 6代入回 方程得： y27.5 627.5192.5193 .?所以 当降雨量6 毫米 需要准 的快餐份数 193份. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分20. （Ⅰ）方法一： M （x ， y ），由 意可知， A （1-r ， 0），因 弦 AM 的中点恰巧落在 y 上，所以 x=r-1>0, 即 r=x+1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分所以 ( x1)2 y 2 ( x 1)2 ，化 可得 y2=4x （x>0）所以，点 M 的 迹 E 的方程 ： y 2=4x （ x>0）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分方法二：M （ x ， y ），由 意可知，A （ 1-r ， 0）， AM 的中点,x>0 ，因 C （1， 0），，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分在⊙ C 中，因 CD ⊥ DM ，所以，，所以．所以， y 2=4x （ x>0）所以，点 M 的 迹 E 的方程 ： y 2=4x （ x>0）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（Ⅱ）直 MN的方程x my 1 ，M ( x1, y1)，N (x2, y2)，直BN的方程y k (x y22)y24x my1y24my40 ，可得 y1y24m, y1 y2 4 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分y24x由（ 1）可知，r1x1，点 A(x1 ,0) ，所以直AM的方程y 2 x y 1 ，y12y k( x y22)y2ky2 4 y 4 y2 ky222 40 ，0 ，可得 k，y24x y2直 BN的方程y2x y2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分y22y 2 x y1 ,y12立y12可得 x B44my12m，2 x y2,1, y By 2 y1 2 y1 y22所以点 B（ -1 ， 2m）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分|BC| 44m2，d| 2 2m2 |4m2 4 =2m2 1 ，m21e B 与直MN相切⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分21. 【解】（ 1）f ()e xa ．x若 a ≤ 0 ， f( x)0 ，函数 f (x) 是增函数，与矛盾．所以 a0 ，令 f ()x 0，x ln a ． .................................................................................2分当 x ln a ， f(x)0 ， f (x) 是减函数； x ln a ， f ( x)0 ， f (x) 是增函数；于是当 x ln a ， f (x) 获得极小．因 函数 f (x) e x ax a (a R ) 的 象与 x 交于两点 A(x 1 ，0)， B( x 2 ，0) ( x 1＜ x 2) ，所以 f (ln a)a(2ln a) 0 ，即a e 2 ． (4)分此 ，存在 1ln a ， f (1)e 0 ；（或 找f （0））存在 3ln aln a ， f (3ln a)332，a 3a ln a a a 3aa 0又由 f ( x) 在 (，ln a) 及 (ln a ，) 上的 性及曲 在R 上不 断，可知 ae 2 所求取 范. .......................................................................... (5)分（2）因e x 1ax 1a 0 ，x 2x 1． (7)分ex2两式相减得 aeeax 2 a 0 ，x 2 x 1x 2 x 1x 1 x 2x 1 x 2x xx 1x 2e2s( s 0) ， fe2e 2 e 1ss，22x 2x 12 s (ee )2s⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分g ( ) 2 (e s e s ) ，g (s)2 (ese s) 0 ，所以 g( s) 是 减函数，s sx 1 x 2x 1 x 2有 g( s)g(0)0 ，而e20 ，所以 f0 ．22 s又 f ( x) e xa 是 增函数，且x 1 x 2 2 x 1 x 2 ，2 3所以f '(2x13 x2 )0 。
【河北省石家庄市】2017届高三冲刺模考理科数学试卷-答案
河北省石家庄市2017届高三冲刺模考理科数学试卷答 案一、选择题1~5．BADDC ． 6~10．DBACC ． 11~12．DD ．二、填空题13． 14． 15． 16．．三、解答题17．解析：（Ⅰ）由()cos2cos22sin sinA sin B A C C -=- ，可得222sin sin sin sin sin A B C A C +-= ． 根据正弦定理得222a c b ac +-= ， 由余弦定理，得2221cos 22a cb B ac +-== ， 0,.3B B <<∴=ππ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得：22sin b B==R ，其中，πsin cos 03ϕϕϕ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 220,,33A A ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ， ∴ 当π=2A ϕ+当2π3A ϕϕ+=+当A ϕ=ϕ+所以()].A ϕ+∈18．（Ⅰ）证明：由顶点在上投影为点，可知，． 取的中点为，连结，．4521038F AC G FG AC ⊥AC O OB GB在中，，所以． 在 中，，所以． 所以，，即．∵ ∴面．又面，所以面面．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，且 所以 面，且面．以所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：，，， 设平面，的法向量分别为，则，则， ，则Rt FGC∆FG=2CF =32CG =Rt GBO ∆OB=12OG=2BG =222BGGF FB +=FG BG ⊥,,FG AC FG GB AC BG G ⊥⊥=FG ⊥ABC FG ⊆FGB FGB ⊥ABC OB FG ⊥OB AC ⊥AC FG G =OB ⊥AFC FG ⊥ABC OB x OC y O ABC z 1(0,1,0),(0,2A B F --32E -(1,0)BA =--351(,,3),(3,442BE BF =--=--ABE ABF ,m n 00m BA m BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩(1,1)m =--00n BA n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，所以二面角的余弦值为．19．解析：根据列联表中的数据，可得所以，在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”． （Ⅱ）由表可知在8 的可能取值为：0，1，2，3，∴ ∴ 20．解析：（Ⅰ）依题意有，， 且，1(1,3,)2n =-785cos 85m nm n θ⋅==E AB F --8522⨯0.025X 4EA QE EQ PE +=+=4QA <所以点（Ⅱ）依题意设直线的方程为：，代入椭圆方程得： 且：①，② ∵直线：，直线： 由题知，的交点的横坐标为4，得：，即即：，整理得：③将①②代入③得： 化简可得：当变化时，上式恒成立，故可得：所以直线恒过一定点．21．解析：（Ⅰ）． ①当0a ≤ 时，则()0f x '> ，则函数在是单调增函数．②当0a > 时，令()0f x '= ，则， 若ln x a < ，()0f x '<，所以()f x 在上是单调减函数； 若ln x a >，()0f x '>，所以()f x 在上是单调增函数． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，函数其图像与轴交于两点，则有E CD x my n =+2244x y +=222(4)2(4)0m y mny n +++-=12224mn y y m +=-+212244n y y m -=+TM 11(2)2y y x x =++TN 22(2)2y y x x =--TM TN T 1212322y y x x =+-12213(2)(2)y x y x -=+12213(2)(2)y my n y my n +-=++12212(2)3(2)my y n y n y =+--211222(4)2(2)()3(2)44m n mn n y n y m m --=+---++21(1)[(2)(4)]0n m n y m -+++=1,m y 1n =CD (1,0)()e x f x a '=-()f x (,)-∞+∞ln x a =(ln )a -∞，(ln )a +∞，0a >()y f x =xe 0i x i ax a -+= ，则()()1e 01i 1,2i x i i a x x -=>⇒>= ． 于是122e x x += ，在等腰三角形ABC 中，显然C = 90°，所以，即 ()00=0y f x < ，由直角三角形斜边的中线性质，可知， 所以，即()12+12212e +022x x x x a x x a --++= ， 所以， 即． 因为，则，，所以， 即，则所以． 22．解析：（Ⅰ）因为圆的极坐标方程为π=4cos 6ρθ-⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 所以21=4+sin 2ρρθθ⎫⎪⎪⎝⎭所以圆的普通方程 （Ⅱ）由圆的方程 所以圆的圆心是，半径是2，将11+2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又直线，圆的半径是2，所以22t -≤≤ ， 的取值范围是．12012()2x x x x x +=∈，2102x x y -=-21002x x y -+=2112()022x x a x x a --+++=2112(1)(1)[(1)(1)]022x x a x x ----+-+=110x -≠()2211111110212x x x a x ----++=-t 221(1)(1)022a at t t -++-=211a t =+-(1)(1) 2.a t --=()1at a t -+=C C C C 4u t =-l C [2,6]23．解析：（Ⅰ）因为()+1+x 5156f x x x x =-≥+-+= ， 所以．（Ⅱ）∵ 2222222,2,2a b a b a c a c c b c b +≥+≥+≥ ∴ ()()2222+2a b c a b a c b c +≥++ ．∴ ()()22222223222+a b c a b c a b a c b c a b c ++≥+++++=+ ， 又，所以，∴ 22212a b c ++≥ ．6m =6m =6a b c ++=。
河北省石家庄市2017届高三冲刺模考试题(理数)
河北省石家庄市2017届高三冲刺模考试题数学（理科）本试卷共23小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数21i i=+ A ．i - B ．1i + C ．i D ．1i -2．设集合1{|216}4xA x =≤≤，23{|1}3x B x x -=>-，则A B = A ．{|2034}x x x -≤<<≤或 B ．{|2034}x x x -≤≤≤≤或 C ．{|24}x x -<≤ D ．{|03}x x << 3．已知a =16125b =，161log 7c =，则下列不等关系正确的是 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<4．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为 A ．(,),63k k k Z ππππ-+∈ B ．(2,2),63k k k Z ππππ-+∈ C. 5(2,2),36k k k Z ππππ++∈ D ．5(,),36k k k Z ππππ++∈ 5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知151015192a a a a a ---+=，则19S 的值为 A ．38 B ．-19 C. -38 D ．196．执行右图的程序框图，如果输入的6,4a b ==，那么输出的S 的值为 A ． 17 B ．22 C. 18 D ．207．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过点(3,6)P 的直线l 与C 相交于,A B 两点，且AB 的中点为(12,15)N ，则双曲线C 的离心率为A ． 2B ．32 C. D 8．某多面体的三视图如下图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该多面体的表面积为A ．8+B ．6+C ．12D ．8+9．正三角形ABC 的两个顶点,A B 在抛物线22(0)x py p =>上，另一 个顶点C 是此抛物线焦点，则满足条件的三角形ABC 的个数为 A ． 0 B ．1 C ． 2 D ．310．在抛物线2y x =与直线2y =围成的封闭图形内任取一点A ，O 为坐标原点，则直线OA 被该A B C. D 11．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈3.14159π= 判断，下列近似公式中最精确的一个是A ．d ≈B ．d ≈ C. d ≈ D ．d ≈ 12．已知函数222()ln 32(3ln3)10f x x x a x x a =+-++，若存在0x 使得01()10f x ≤成立，则实数a 的值为A ．110B ．25C ．15D ．130第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．10(1的展开式中4x 的系数是 ．（用数字作答）14．已知菱形ABCD 的边长为2，60BAC ∠=，则BC AC ∙=．15．设实数,x y 满足约束条件202612x y x y y ⎧⎪-≥⎪+≤⎨⎪⎪≥⎩，则12y x +的最大值为 ．16．已知数列{}n a 满足112a =-，+11n n n n n a b b a b +=+，且1(1)52nn b +-=*()n N ∈，则数列{}n a 的前2n 项和2n S 取最大值时，n = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，且cos 2cos 22sin (sin sin )B A C A C -=∙-. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b =2a c +的取值范围. 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥A BCFE -中，四边形EFCB 为梯形，//EF BC ，且34EF BC =，ABC ∆是边长为2的正三角形，顶点F 在AC 上的射影为点G，且FG，CF =52BF =.（Ⅰ）证明：平面FGB ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角E AB F --的余弦值.19．（本小题满分12分）棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取20根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记（Ⅰ）由以上统计数据，填写下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.附：（1）22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++；（2）临界值表；8根进行检测，在这8根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为X，求X的分布列及数学期望.20．（本小题满分12分）已知点A，点P是圆22(16x y+=上的任意一点，设Q为该圆的圆心，并且线段PA的垂直平分线与直线PQ交于点E.（Ⅰ）求点E的轨迹方程；（Ⅱ）已知,M N两点的坐标分别为(2,0)-，(2,0)，点T是直线4x=上的一个动点，且直线,TM TN分别交（1）中点E的轨迹于,C D两点（,,,M N C D四点互不相同），证明：直线CD恒过一定点，并求出该定点坐标.21．（本小题满分12分）已知函数()()xf x e ax a a R=-+∈，其中e为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论函数()y f x=的单调性；（Ⅱ）函数()y f x=的图象与x轴交于12(,0),(,0)A xB x两点，12x x<，点C在函数()y f x=的图象上，且ABC∆t=，求()at a t-+的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为112xy t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4cos()6πρθ=-.（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若(,)P x y是直线l与圆面4cos()6πρθ≤-的公共点，求yμ=+的取值范围.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||5|f x x x=++-的最小值为m.（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若,,a b c为正实数，且a b c m++=，求证：22212a b c++≥.数学（理科）参考答案一、选择题：1．B ． 2．A ． 3．D ． 4．D ． 5．C ． 6．D ． 7．B ． 8．A ． 9．C ． 10．C ． 11．D 12．D ． 二、填空题：13．45 14．2 15．10316．8． 三、解答题：17．解析：（Ⅰ）由cos 2cos 22sin (sin sin )B A C A C -=⋅-，可得222sin sin sin sin sin A B C A C +-=⋅．…………2分根据正弦定理得222a cb ac +-=，…………………4分 由余弦定理，得…………6分………………8分(0,)3πϕ∈2(,)3A πϕϕϕ+∈+， …………10 分∴ 当2A πϕ+=当23A πϕϕ+=+当A ϕϕ+=分 18．（Ⅰ）证明：由顶点F 在AC 上投影为点G ，可知，FG AC ⊥．取AC 的中点为O ，连结OB ，GB ．在Rt FGC ∆中，FG ，CF =32CG =．在Rt GBO ∆中，OB =12OG =，所以BG =所以，222BG GF FB +=，即FG BG ⊥．…………3分 ∵ ,,FG AC FG GB AC BG G ⊥⊥=∴ FG ⊥面ABC ．又FG ⊆面FGB ，所以面FGB ⊥面ABC ．…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OB FG ⊥，OB AC ⊥，且AC FG G =所以 OB ⊥面AFC ，且FG ⊥面ABC ．以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过点O 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示： …………8分1(0,1,0),(0,2A B F --，32E -，(1,0)BA =- ，51(,(442BE BF =-=-设平面ABE ，ABF 的法向量分别为,m n，则0m BA m BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则(1,1)m =- ， 00n BA n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则 1(1,)2n = ， …………10分cos m n m nθ⋅==所以二面角E AB F --．…………12分 19．解析： …………2分根据22⨯列联表中的数据，可得…………4分所以，在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”． …………6分（Ⅱ）由表可知在8根中乙地“短纤维”X 的可能取值为：0,1,2,3， …………8分…………10分 ∴∴45…………12分 20．解析：（Ⅰ）依题意有，4EA QE EQ PE +=+=，……2分 且4QA <，所以点E …………4分（Ⅱ）依题意设直线CD 的方程为：x my n =+，代入椭圆方程2244x y +=得：222(4)2(4)0m y mny n +++-=且：12224mn y y m +=-+①，212244n y y m-=+② …………6分 ∵直线TM ：11(2)2y y x x =++，直线TN ：22(2)2yy x x =-- …………8分由题知TM ，TN 的交点T 的横坐标为4，得：1212322y yx x =+-，即12213(2)(2)y x y x -=+ 即：12213(2)(2)y my n y my n +-=++，整理得：12212(2)3(2)my y n y n y =+--③将①②代入③得：211222(4)2(2)()3(2)44m n mnn y n y m m --=+---++…………10分 化简可得：21(1)[(2)(4)]0n m n y m -+++= 当1,m y 变化时，上式恒成立，故可得：1n =所以直线CD 恒过一定点(1,0). …………12分 21．解析：（Ⅰ）()e x f x a '=-．①当0a ≤时，则()0f x '>，则函数()f x 在(,)-∞+∞是单调增函数． ………2分②当0a >时，令()0f x '=，则ln x a =，若ln x a <，()0f x '<，所以()f x 在(ln )a -∞，上是单调减函数； 若ln x a >，()0f x '>，所以()f x 在(ln )a +∞，上是单调增函数．……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当0a >时，函数()y f x =其图象与x 轴交于两点，则有e 0i x i ax a -+=，则(1)e 0i x i a x -=>⇒112i x i >=（，）．于是122ex x +=在等腰三角形ABC 中，显然C = 90°，所以12012()2x x x x x +=∈，，即00()0y f x =<，…………6分由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-， 所以21002x x y -+=，即122112e ()022x x x xa x x a +--+++=，…………8分所以2112()022x x a x x a -+++=，即2112(1)(1)[(1)(1)]0x x a x x ----+-+=．因为110x -≠，则()2211111110212x x x a x ----++=-，…………10分t ，所以221(1)(1)022a at t t -++-=，即21a =+，则(1)(1) 2.a t --=所以()1at a t -+=．…………12分22．解析：（Ⅰ）因为圆C 的极坐标方程为分 所以圆C 的普通方程…………4分（Ⅱ）由圆C 的方程所以圆C的圆心是，半径是2，……………6分4u t =-，…………8分 又直线l 过，圆C 的半径是2，所以22t -≤≤， 的取值范围是[2,6]．…………10分23．解析：（Ⅰ）因为()15156f x x x x x =++-≥+-+=， 所以6m =． …………4分（Ⅱ）∵ 222a b ab +≥，222a c ac +≥，222c b cb +≥ ∴ 2222()2()a b c a b a c b c ++≥++．…………6分 ∴ 2222223()222()a b c a b c a b a c b c a b c++≥+++++=++， ……………8分又6m =，所以6a b c ++=，∴ 22212a b c ++≥．…………10分。
河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测 数学理
石家庄市2017届高三复习教学质量检测（二）高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设{}{},3,2,1,0,1,2,|1U R A B x x ==---=≥，则U AC B = （ ）A ．{}1,2B ．{}1,0,1,2-C ．{}3,2,1,0---D ．{}2 2.在复平面中，复数()2111i i +++对应的点在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，则“sin sin A B >”是“a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ． 即不充分也不必要条件4.若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为 （ ）A ．． D 5.执行下面的程序框图，则输出K 的值为 （ ）A ．98B ．99 C. 100 D ．1016. 李冶（1192--1279 ），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等.其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（ ）A ．10步，50步B ．20步，60步 C. 30步，70步 D ．40步，80步 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）A ． 16B ．20 C. 52 D ．60 8. 已知函数()()sin 2,12f x x f x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭是()f x 的导函数，则函数()()2y f x f x '=+的一个单调递减区间是（ ） A ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.若()332a x x dx -=+⎰，则在a的展开式中，x 的幂指数不是整数的项共有（ ） A ．13项 B ．14项 C. 15项 D ．16项10.在平面直角坐标系中，不等式组22200x y x y x y r +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩（r 为常数）表示的平面区域的面积为π，若,x y 满足上述约束条件，则13x y z x ++=+的最小值为 （ ）A ．-1 B． C. 13 D ．75- 11.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过点1F 且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A B 、两点，22AF BF 、分别交y 轴于P Q 、两点，若2PQF ∆的周长 12，则ab 取得最大值时该双曲线的离心率为（ ）A B C. D 12.已知函数()221xf x eax bx =-+-，其中,,a b R e ∈为自然对数的底数.若()()10,f f x '=是()f x 的导函数，函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．()223,1e e -+ B ．()23,e -+∞ C. ()2,22e -∞+ D ．()2226,22e e -+第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.设样本数据122017,,,x x x 的方差是4，若()211,2,,2017i i y x i =-=，则122017,,,y y y 的方差为 ．14.在平面内将点()2,1A 绕原点按逆时针方向旋转34π，得到点B ，则点B 的坐标为 ． 15.设二面角CD αβ--的大小为45°，A 点在平面α内，B 点在CD 上，且045ABC ∠=，则AB 与平面β所成的角的大小为 ． 16.非零向量,m n 的夹角为3π，且满足()0n mλλ=>，向量组123,,x x x 由一个m 和两个n 排列而成，向量组123,,y y y 由两个m 和一个n 排列而成，若112233x y x y x y ++所有可能值中的最小值为24m ，则λ= ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*124,0,142,m m m S S S m m N -+=-==≥∈且. （1）求m 的值； （2）若数列{}n b 满足()*2log 2nn a b n N =∈，求数列(){}6n n a b +的前n 项和.18.如图，三棱柱ABC DEF -中，侧面ABED 是边长为2的菱形，且,3ABE BC π∠==.四棱锥F ABED -的体积为2，点F 在平面ABED 内的正投影为G ，且G 在AE 上，点M 是在线段CF 上，且14CM CF =.（1）证明：直线//GM 平面DEF ； （2）求二面角M AB F --的余弦值.19.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，950a =.记X 为某同学家里的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X 的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字） （2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率； ②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值.20.设M N T 、、椭圆2211612x y +=上三个点，M N 、在直线8x =上的射影分别为11,M N .（1）若直线MN 过原点O ，直线MT NT 、斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值；（2）若M N 、不是椭圆长轴的端点，点L 坐标为()3,0，11M N L ∆与MNL ∆面积之比为5，求MN 中点K 的轨迹方程.21.已知函数()()()()ln 1,11xf x m xg x x x =+=>-+. （1）讨论函数()()()F x f x g x =-在()1,-+∞上的单调性；（2）若()y f x =与()y g x =的图象有且仅有一条公切线，试求实数m 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x a a y a ββ=+⎧⎨=⎩（0,a β>为参数）.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程3cos 32πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）若曲线C 与l 只有一个公共点，求a 的值； （2）,A B 为曲线C 上的两点，且3AOB π∠=，求OAB ∆的面积最大值.23.选修4-5：不等式选讲设函数()121f x x x =--+的最大值为m . （1）作出函数()f x 的图象；（2）若22223a c b m ++=，求2ab bc +的最大值.2016-2017学年度石家庄市质检二检测（数学理科答案）一、选择题：1-5CDCAB 6-10 BBACD 11-12DA 二、填空题13. 16 14. ⎛ ⎝ 15. 30° 1683三、解答题：（解答题只给出一种或两种答案，在评卷过程中遇到的不同答案，请参照此标准酌情给分） 17.解：（Ⅰ）由已知得14m m m a S S -=-=, 且12214m m m m a a S S ++++=-=，设数列{}n a 的公差为d ，则有2314m a d +=， ∴2d =由0m S =，得()11202m m ma -+⨯=，即11a m =-， ∴()11214m a a m m =+-⨯=-= ∴5m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知14,2a d =-=，∴26n a n =- ∴23log n n b -=，得32n n b -=． ∴()32222n n n n a b b n n --+=⨯=⨯．设数列(){}nn ab b +的前n 项和为n T∴ ()1321222122n n n T n n ---=⨯+⨯++-⨯+⨯ ①()012121222122n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+⨯②① ②，得10212222n n n T n ----=+++-⨯()11212212n n n ---=-⨯-111222n n n --=--⨯∴()()1*1122n n T n n N -=-+∈18（Ⅰ）解析：因为四棱锥F ABED -的体积为2，即14223F ABED V FG -=⨯⨯=，所以FG =又BC EF ==，所以32EG =即点G 是靠近点A 的四等分点， 过点G 作//GK AD 交DE 于点K ，所以3344GK AD CF ==， 又34MF CF =，所以MF GK =且//MF GK ， 所以四边形MFKG 为平行四边形，所以//GM FK ，所以直线//GM 平面DEF . （Ⅱ）设,AE BD 的交点为O ，OB 所在直线为x 轴，OE 所在直线为y 轴，过点O 作平面ABED 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：())150,1,0,,0,,24A BF M ⎛--- ⎝ ()3513,1,0,,,3,3,42BA BM BF ⎛⎫⎛=--=--=-- ⎪ ⎪⎝⎝ 设平面,ABM ABF 的法向量为,m n ，m BA m BM ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则()1,1m =-， 00n BA n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则11,3,2n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭785cos 85m n m nθ==. 19.解：（Ⅰ）由题意可知X 的可能取值为0.9,0.8,0.7,,1.1,1.3a a a a a a ， 由统计数据可知:()()()()11110.9,0.8,0.7,612123P X a P X a P X a P X a ========，()()111.1, 1.3412P X a P X a ====.所以X 的分布列为：所以0.90.80.7 1.1 1.39426121234121212EX a a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==≈.（Ⅱ） ①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为13，三辆车中至多有一辆事故车的概率为321311220133327P C ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ② Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为5000,10000-. 所以Y 的分布列为：所以500010000500033EY =-⨯+⨯=.所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为10050EY ⨯=万元.20解：（Ⅰ）设()()()00,,,,,M p q N p q T x y --，则22012220y q k k x p-=-， 又2222001161211612p q x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得22220001612x p y q --+=，即22022034y q x p-=--，1234k k =-. （Ⅱ）设直线MN 与x 轴相交于点()1,0,32MNL M N R r S r y y ∆=--，1111152M N L M N S y y ∆=-， 由于115M N L MNL S S ∆∆=且11M N M N y y y y -=-，得1111553,422M N M N y y r y y r -=--=（舍去）或2r =. 即直线MN 经过点()2,0F .设()()()112200,,,,,M x y N x y K x y ， ① 直线MN 垂直于x 轴时，弦MN 中点为()2,0F ；② 直线MN 与x 轴不垂直时，设MN 的方程为()2y k x =-，则()()222222134161648016122x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎩. 22121222161648,3434k k x x x x k k-+==++.2002286,3434k kx y k k -==++. 消去k ，整理得()()220041103y x y -+=≠.综上所述，点K 的轨迹方程为()()2241103y x x -+=>.21.解析：（Ⅰ）()()()()()()()22111,1111m x m F x f x g x x x x x +-'''=-=-=>-+++ 当0m ≤时， ()0F x '<，函数()F x 在()1,-+∞上单调递减； 当0m >时，令()101F x x m '<⇒<-+，函数()F x 在11,1m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递减； ()101F x x m '>⇒>-+，函数()F x 在11,m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 综上所述，当0m ≤时，()F x 的单减区间是()1,-+∞； 当0m >时，()F x 的单减区间是11,1m ⎛⎫--+⎪⎝⎭， 单增区间是11,m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭（Ⅱ）函数()()ln 1f x m x =+在点()(),ln 1a m a +处的切线方程为()()ln 11my m a x a a -+=-+，即()ln 111m may x m a a a =++-++， 函数()1x g x x =+在点1,11b b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭处的切线方程为()()211111y x b b b ⎛⎫--=- ⎪+⎝⎭+，即()()222111b y x b b =+++.()y f x =与()y g x =的图象有且仅有一条公切线.所以()()()222111ln 111m a b ma b m a a b ⎧=⎪++⎪⎨⎪+-=⎪++⎩①② 有唯一一对(),a b 满足这个方程组，且0m >.由（1）得： ()211a m b +=+代入（2）消去a ，整理得： ()22ln 1ln 101m b m m m b +++--=+，关于()1b b >-的方程有唯一解. 令()()22ln 1ln 11g b m b m m m b =+++--+，()()()()2221122111m b m g b b b b +-⎡⎤⎣⎦=-=+++ 方程组有解时，0m >，所以()g b 在11,1m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭单调递减，在11,m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以()min 191ln 1g b m m m m ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭， 因为()(),,1,b g b b g b →+∞→+∞→-→+∞，只需ln 10m m m --=，令()ln 1m m m σ=--、()ln m m σ'=-在0m >为单减函数，且1m =时， ()0m σ'=，即()()max 10m σσ==，所以1m =时，关于b 的方程()22ln 1ln 101m b m m m b +++--=+有唯一解 此时0a b ==，公切线方程为y x =.22.【解析】（Ⅰ）曲线C 是以(),0a 为圆心，以a 为半径的圆；直线l的直角坐标方程为30x -=． 由直线l 与圆C 只有一个公共点，则可得32a a -=，解得： 3a =-（舍），1a =．所以：1a =（Ⅱ）曲线C 的极坐标方程为()2cos ,0a a ρθ=>，设A 的极角为θ， B 的极角为3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则213sin 2cos 2cos 3cos cos 23433OAE S OA OB a a aπππθθθθ∆⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 211cos 21111cos cos cos cos 2cos 22322222411cos 2234πθθθθθθθθθπθ⎛⎫+⎛⎫+==-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以当6πθ=-时，11cos 2234πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭取得最大值34． OAB ∆. 解法二：因为曲线C 是以(),0a 为圆心，以a 为半径的圆，且3AOB π∠=由正弦定理得：2sin3ABa =，所以AB =．由余弦定理得22223AB a OA OB OA OB OA OB ==+-≥，所以211sin 3232OAB S OA OB a π∆=≤⨯=， 所以OAB ∆23.【解析】（Ⅰ）()12,213,122,1x x f x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪--≥⎪⎪⎩（如果没有此步骤，需要图中标示出1,12x x =-=对应的关键点，否则扣分）画出图象如图,（Ⅱ）由（Ⅰ）知32m =． ∵()()22222223232242m a c b a b c b ab bc ==++=+++≥+， ∴324ab bc +≤，∴2ab bc +的最大值为34， 当且仅当12a b c ===时，等号成立．。
【河北省石家庄市】2017届高三冲刺模考理科数学试卷-答案
河北省石家庄市2017届高三冲刺模考理科数学试卷答 案一、选择题1~5．BADDC ． 6~10．DBACC ． 11~12．DD ．二、填空题13． 14． 15． 16．．三、解答题17．解析：（Ⅰ）由()cos2cos22sin sin A sin B A C C -=-g ，可得222sin sin sin sin sin A B C A C +-=g ． 根据正弦定理得222a c b ac +-= ， 由余弦定理，得2221cos 22a c b B ac +-== ， 0,.3B B <<∴=ππQ ．（Ⅰ）由（Ⅰ）得：22sin b B==R ，其中，πsin cos 03ϕϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 220,,33A A ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ， ， ∴ 当π=2A ϕ+当2π3A ϕϕ+=+当A ϕ=ϕ+所以()].A ϕ+∈18．（Ⅰ）证明：由顶点在上投影为点，可知，． 取的中点为，连结，．4521038F AC G FG AC ⊥AC O OB GB在中，，所以． 在 中，，所以． 所以，，即．∵∴ 面．又面，所以面面．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，且 所以 面，且面．以所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：，，， 设平面，的法向量分别为，则 ，则， ，则 Rt FGC∆FG=2CF =32CG =Rt GBO ∆OB=12OG=2BG =222BGGF FB +=FG BG ⊥,,FG AC FG GB AC BG G⊥⊥=I FG ⊥ABCFG ⊆FGB FGB⊥ABC OB FG ⊥OBAC ⊥AC FG G =I OB ⊥AFC FG ⊥ABC OB x OC y O ABC z 1(0,1,0),(0,2A B F --32E -(1,0)BA =-u u u r51((42BE BF =-=-u u u r u u u r ABE ABF ,m n u r r00m BA m BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u u r (1,1)m =-u r 00n BA n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，所以二面角19．解析：根据列联表中的数据，可得所以，在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”． （Ⅱ）由表可知在8 的可能取值为：0，1，2，3，∴ 的分布列为：∴ 20．解析：（Ⅰ）依题意有，， 且，1(1,)2n =r cos m n m nθ⋅==u r r u r r E AB F --22⨯0.025X X 4EA QE EQ PE +=+=4QA <所以点（Ⅱ）依题意设直线的方程为：，代入椭圆方程得： 且：①，② ∵直线：，直线： 由题知，的交点的横坐标为4，得：，即即：，整理得：③将①②代入③得： 化简可得：当变化时，上式恒成立，故可得：所以直线恒过一定点．21．解析：（Ⅰ）． ①当0a ≤ 时，则()0f x '> ，则函数在是单调增函数． ②当0a > 时，令()0f x '= ，则， 若ln x a < ，()0f x '<，所以()f x 在上是单调减函数； 若ln x a >，()0f x '>，所以()f x 在上是单调增函数． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，函数其图像与轴交于两点，则有E CD x my n =+2244x y +=222(4)2(4)0m y mny n +++-=12224mn y y m +=-+212244n y y m -=+TM 11(2)2y y x x =++TN 22(2)2y y x x =--TM TN T 1212322y y x x =+-12213(2)(2)y x y x -=+12213(2)(2)y my n y my n +-=++12212(2)3(2)my y n y n y =+--211222(4)2(2)()3(2)44m n mn n y n y m m --=+---++21(1)[(2)(4)]0n m n y m -+++=1,m y 1n =CD (1,0)()e x f x a '=-()f x (,)-∞+∞ln x a =(ln )a -∞，(ln )a +∞，0a >()y f x =xe 0i x i ax a -+= ，则()()1e 01i 1,2i x i i a x x -=>⇒>= ． 于是122e x x += ，在等腰三角形ABC 中，显然C = 90°，所以，即 ()00=0y f x < ，由直角三角形斜边的中线性质，可知， 所以，即()12+12212e +022x x x x a x x a --++= ， 所以， 即． 因为，则，，所以， 即，则所以． 22．解析：（Ⅰ）因为圆的极坐标方程为π=4cos 6ρθ-⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 所以21=4+sin 2ρρθθ⎫⎪⎪⎝⎭所以圆的普通方程（Ⅰ）由圆的方程 所以圆的圆心是，半径是2，将11+2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又直线，圆的半径是2，所以22t -≤≤ ， 的取值范围是．12012()2x x x x x +=∈，2102x x y -=-21002x x y -+=2112()022x x a x x a -+++=2112(1)(1)[(1)(1)]022x x a x x ----+-+=110x -≠()2211111110212x x x a x ----++=-t 221(1)(1)022a at t t -++-=211a t =+-(1)(1) 2.a t --=()1at a t -+=C C C C 4u t =-l C [2,6]23．解析：（Ⅰ）因为()+1+x 5156f x x x x =-≥+-+= ， 所以．（Ⅰ）∵ 2222222,2,2a b ab a c ac c b cb +≥+≥+≥ ∴ ()()2222+2a b c ab ac bc +≥++ ．∴ ()()22222223222+a b c a b c ab ac bc a b c ++≥+++++=+ ， 又，所以，∴ 22212a b c ++≥ ．6m =6m =6a b c ++=。
河北省石家庄市2017届高中毕业班第一次模拟考试(理数)剖析
河北省石家庄市2017届高中毕业班第一次模拟考试数学（理科）本试卷共23小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}|05A x x =≤≤,{}*|12B x N x =∈-≤,则A B =( )A ．{}|13x x ≤≤B ．{}|03x x ≤≤C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,32．若z 是复数,121iz i-=+,则z z ⋅=( )A ．2 B ．2C ．52D ．13．下列说法错误．．的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(,)x yB ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．在回归直线方程0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量y 平均增加0.2个单位D ．对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小4．函数()31xf x e x =--(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )5．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的最小正周期为π,其图象关于直线3x π=对称,则||ϕ的最小值为( )A ．12πB ．6π C ．512π D ．56π 6．已知三个向量c b a ,,共面，且均为单位向量，0=⋅b a ，则c b a -+的取值范围是（ ）A．1⎤⎦B．⎡⎣C．1,1⎤⎦D．7．某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ） A ．48 B ．54 C ．60 D ．648．已知函数()f x 在(1,)-+∞上单调,且函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且5051()()f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( )A ．200-B ．100-C ．50-D ．09．祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④10．已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若20x y k ++≥恒成立,则直线20x y k ++=被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长的最大值为( )A ．10B．C．D．11．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =,抛物线的准线l 与x 轴交于点C ,1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AACF的面积为则准线l 的方程为( ) A．x =B．x =-C ．1x =-D ．2x =-12．已知函数()ln f x ax e x =+与2()ln x g x x e x=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为( ) A ．a e <- B ．1a > C ．3a <-或1a > D ．a e >第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知命题p :n N ∀∈，22nn <，则p ⌝为 ．14．程序框图如图所示,若输入0s =,10n =,0i =,则输出的s 为 ．15．已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >） 的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M 为12PF F ∆的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离 心率为3，则λ= （注：1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆ 分别为1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积）． 16．已知数列{}n a 中,1a a =,1386n n a a n +=++,若{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a bA B a c+=--.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 满足2BD BC =，且线段3AD =，求2a c +的最大值. 18．（本小题满分12分）在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==， 4BA BS ==.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ；（Ⅱ）求二面角A SB C --的余弦值．19．（本小题满分12分）人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25db （分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图： （Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意 抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为 X ，求X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参 加一个更高级别的听力测试，测试规则如下： 四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1a ，2a ，3a ，4a （其中1a ，2a ，3a ，4a 为1,2,3,4的一个排列）．若Y 为两次排序偏离程度的一种描述，1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-，求2Y ≤的概率． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点． （Ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值； （Ⅱ）证明：E ，O ，D 三点共线. 21．（本小题满分12分）已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：1221()()f x f x x x >． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|24|||f x x x a =++-．（Ⅰ）当2a <-时，()f x 的最小值为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当()|4|f x x a =++时，求x 的取值范围．数学（理科）参考答案一、选择题1-5 CCDCB, 6-10ACBCB, 11-12 AB 二、填空题13 0200,2nn n ∃∈≥N 14 1024 15 3116 7a >- 三、解答题 17.（1）sin sin sin C a b A B a c +=-- 由正弦定理可得c a ba b a c+=--()()()c a c a b a b∴-=-+ 即222a c b ac +-= ………………………2分又2222cos a c b ac B +-=1cos 2B ∴=……………………………4分 ()0,3B B ππ∈∴=……………………………6分2)法一：在ABD ∆中由余弦定理知：()2202222cos 603c a a c +-⋅⋅⋅= ………………8分()222932222a c a ca c a c ∴+-=⋅⋅+⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭………………………………………………10分()()2232924a c a c ∴+-≤+ ()2236a c +≤即当且仅当2a c = 即3,32a c ==时 2a c+ 的最大值为6……………………………………12分法二：由正弦定理知23sin sin sin60oa c BAD ADB===∠∠ 2,,aBAD c ADB ∴=∠=∠2a c BAD ADB ∴+=∠+∠…………………………8分))0sin sin sin sin(120)3sin 216cos 226sin()6BAD ADB BAD BAD BAD BAD BAD BAD BAD π=∠+∠=∠+-∠⎫=∠∠⎪⎪⎭⎛⎫=∠+∠ ⎪ ⎪⎝⎭=∠+ ……………………………………10分250,,3666BAD BAD ππππ⎛⎫⎛⎫∠∈∴∠+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即当且仅当62BAD ππ∠+=即3BAD π∠=时2a c + 的最大值为6 (12)分18.（Ⅰ）在三角形ABD 中，sin sin AB AD ADB DBA=∠∠,由已知60=∠DBA，AD =4BA =，解得，sin 1ADB ∠=,所以90ADB ∠= ，…………………2分即AD BD ⊥， 可求得2=BD 在三角形SBD 中，32=SD ，4=BS ，2=BD222BS SD DB =+∴，BD SD ⊥∴……………………………4分AD BD S 面⊄ ，D AD SD =⋂AD BD S 面⊥∴…………………………5分（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为Z 轴，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）可知，平ABCD SAD ⊥面平面，∴S 在面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作AD SE ⊥于E ，则3,3==SE DE ，则）（3,0,3-S ，…………………………7分 易求）（0,0,32A ，）（0,2,0B ,）（0,2,32C -则）（3,2,3-= ,）（3,0,33-=，）（3,2,3--=……………………………8分设平面SBC 的法向量）（z y x n ,,1=，230230y z y z +-=+-=⎪⎩， 解得）（2,3,01--=n …………………………10分 同理可求平面SBA 的法向量）（3,3,12=n91273571335cos -=⋅-==∴θ…………………………12分 19（1 ）X 的可能取值为：0，1，2，3，4.4641015P 0==210C C X =（），134641080P 1==210C C C X ⋅=（），224641090P 2==210C C C X ⋅=（）， 314641024P 3==210C C C X ⋅=（），444101P 4==210C C X =（） X分 （说明：上述5个数据错一个扣1分，错两个扣2分，错3个及以上扣4分）158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.---------------- 6分 ( 2 ) 序号1234,,,a a a a 的排列总数为4424A =种， ----------------------------- 8分当=0Y 时，1234=1,=2,=3,=4.a a a a ------------------------------------------ 9分 当12341234=2Y a a a a =-+-+-+-时，1234,,,a a a a 的取值为123412341234=1,=2,=4,=3=1,=3,=2,=4=2,=1,=3,=4.a a a a a a a a a a a a ；；. 故41P 2==246Y ≤（）.------------------------------------------ 12分 20．（1）法一：设(0,)M m ， (0,)N n ， ∵MF ⊥NF ， 可得1m n =-∵12MFN S MF FN ∆=分==1≥= 当且仅当||1,|| 1.m n =⎧⎨=⎩时等号成立.∴三角形MFN 的面积的最小值为1…………………………………4分 法二：∴(0,)M m ， (0,)N n ，∵MF ⊥NF ， 可得1m n =-，1122AMFN S AF MN MN ==，…………………2分 222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⨯，当且仅当||||MF NF =时等号成立. min ||2MN ∴=∴min1=12MFN S MN =（） ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1………………………4分（2）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为：y x m =+由2222y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得：2222(1)2(1)0m x x m +++-=由222(1)1E m x m -=+，得221)1E m x m -=+，①……………………………6分同理可得：221)1D n x n -=+…………………………7分2211111D m m n x m ⎤⎛⎫-⎥ ⎪⎝⎭⎥⎣⎦=-==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，② 故由①②可知：E D x x =-，…………………………………9分代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF ⊥NF ，故,N M 分别在x 轴两侧，E D y y =-…………………………11分 ∴E DE Dy y x x =，所以,,E O D 三点共线.…………………………12分21.(Ⅰ) 法一：函数()f x 的定义域为(),1-?.由题意222'()2,111a x x a f x x x x x-+-=-=<--， 224(2)()48a a ∆=---=-……………………………………………2分①若480a ∆=-≤，即12a ≥，则2220x x a -+-≤恒成立则()f x 在(,1)-∞上为单调减函数，…………………………………3分②若480a ∆=->，即12a <，方程2220x x a -+-=的两个根为12x x ==，当()1,x x ∈-∞时/()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当11,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时/()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意。
【河北省石家庄二中】2017年高考模拟数学试卷(理科)-答案
河北省石家庄二中2017年高考模拟数学试卷（理科）答 案1~5．DBCBC 6~10．ABBAD 11~12．BC 13．240 1415．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦16．217．解：（Ⅰ）当3n ≥时,可得()()1121,424202,4n n n n n n S S S S n n a a ---------=≥∈∴=Z ．又因为12a =,代入表达式可得28a =,满足上式．所以数列{}n a 是首项为12a =,公比为4的等比数列,故：121242n n n a --=⨯=．（Ⅱ）证明：2log 21n n b a n ==-． ()21212n n n T n +-==2n ≥时,211111(1)1n T n n n n n=<=---． 111111*********-1ni KT n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑K ． 18．证明：（Ⅰ）因为,A B 是PQ 的三等分点, 所以PA AB BQ CA CB ====, 所以ABC △是等边三角形,又因为M 是AB 的中点,所以CM AB ⊥．因为,,DB AB DB BC AB BC B ⊥⊥=I 所以DB ⊥平面ABC ,又EA DB ∥, 所以EA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,所以CM EA ⊥．因为AM EA A =I ,所以CM ⊥平面EAM ．因为EA ⊂平面EAM ,所以CM EM ⊥．解：（Ⅱ）以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴, 过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M xyz -． 因为DB ⊥平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角． 由题意得tan 2BDDMB MB∠==,即2BD MB =, 从而BD AC =．不防设2AC =,又2AC AE +,则1CM AE ==． 故())()()0,1,0,,0,1,2,0,1,1B CD E -．于是)()()()1,0,0,0,2,,BC BD CE CD =-==-=u u u r u u u r u u u r u u u v1,1设平面BCD 与平面CDE 的法向量分别为()(),,,,,m x y z n a b c ==u r r,由3-020m BC x y m BD z ⎧==⎪⎨==⎪⎩u v u u u vg u v u u u v g ,令1x =,得()m =u v ．由-020n CE b c n CD b c ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩v u u u vgv u u u v g ,令1a =,得1,n ⎛= ⎝⎭v , 所以cos ,0m n <>=u v v所以二面角B CD E --的平面角大小为90︒．19．解：因为选修数学学科人数所占总人数频率为0.6,即1800.6600x+=,可得：180x =,又180********x y ++++=,所以60y =,则根据分层抽样法：抽取的10人中选修线性代数的人数为：180103600⨯=人；选修微积分的人数为：180103600⨯=人；选修大学物理的人数为：120102600⨯=人；选修商务英语的人数为：60101600⨯=人；选修文学写作的人数为：60101600⨯=人； （Ⅰ）现从10人中选3人共有310120C =种选法,且每种选法可能性都相同,令事件A ：选中的3人至少两人选修线性代数,事件B ：选中的3人有两人选修线性代数,事件C ：选中的3人都选修线性代数,且,B C 为互斥事件,()()()P A P B P C =+=2133733310101160C C C C C ⨯+= （Ⅱ）记X 为3人中选修线性代数的代数,X 的可能取值为0,1,2,3,记Y 为3人中选修微积分的人数；Y的可能取值也为0,1,2,3,则随机变量||XY ξ=﹣的可能取值为0,1,2,3； ()()()00,01,1P P X Y P X Y ξ====+===1113334433101013C C C C C C +=； ()()()()()10,11,01,22,12P P X Y P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==+===⨯121234333310109220C C C C C C +⨯=, ()()()20,22,02P P X Y P X Y ξ====+===⨯213431015C C C =,()()()33310130,33,0260C P P X Y P X Y C ξ====+===⨯=；所以ξ的分布列为：所以0123=32056010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯ 20．解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ,由题意可得：2b b =由题意的离心率3c e a ==解得：26a =,则2224c a b -==,故椭圆方程为：22162x y +=；（Ⅱ）①证明：由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程：y kx m =+, 由点()3,M t 在直线上,则3t k m =+,联立直线与椭圆方程：22360y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩,可得：()222136360k x kmx m +-++=,又直线与椭圆只有一个公共点,故0∆=,即2262m k =+；由韦达定理,可得P 点坐标223,1313km m k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭-, 由直线PQ 过椭圆右焦点为()2,0F ,则直线PQ 的斜率2326PQ PF mk k km k==---； 而直线OM 的斜率,则333OM t k m k +==： ()()22222331311••••33263333263OM PQk m m km m km m k k km k km k km m +++====------+-+．②由()1,FM t =u u u u v ,222326,1313km k mFP k k ⎛⎫---=⎪++⎝⎭u u u v ,则22326013mt km k FM FP k ---==+u u u u v u u u v g , 即FM PF ⊥, ∴三角形的面积1||||2PQM S PQ MF =△, MF =丨丨由直线FM 的斜率为t ,可得直线PQ 的方程：()()1122,2,,,,x ty P x y Q x y =-+ 与椭圆方程联立可得：222162x ty x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得：()223420t y ty +-=-,则12243t y y t +=+,12223y y t =+﹣,则)2213t PQ t +=+丨丨,则PQM S =△令()23,0t mm +=＞,则PQMS =△由函数的单调性可知：y =单调递增, 故PQM S =△,当0t =时,PQM △．∴PQM △． 21．解：（Ⅰ）由题意可得：()()121121f x ax f a x'=-'=-=-，,可得：1a =； 又()()()2216ln 31,,0x y f x xf x x x y x x-=+'=-+'=>所以,当x ⎛∈ ⎝⎭时,0y y '>，单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时,0,y y '<单调递减；故函数的单调增区间为⎛ ⎝⎭． （Ⅱ）()()()()22111ln 12x b x g x x x b x g x x-++=++'=-，,因为12,x x 是()g x 的两个极值点,故12,x x 是方程()2110x b x ++=-的两个根,由韦达定理可知：121211x x b x x +=+⎧⎨=⎩；12x x <Q ,可知101x <<,又11111x b e x e +=+≥+,令1t x x =+,可证()t x 在()0,1递减,由()11h x h e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,从而可证110x e <≤．所以()()()()2211212121112211111lnln 0222x g x g x x x x x x x x x x e ⎛⎫-=--+<≤ ⎪⎝⎭=-+ 令()222111ln ,0,22h x x x x x e ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦-,()()22310x h x x--'=≤,所以()h x 单调减, 故()22min11222eh x h e e⎛⎫==-- ⎪⎝⎭, 所以2212,22e k e ≤--即221222max e k e=--．22．解：（Ⅰ）1C 的普通方程为24y x =,2C 的普通方程为()2211x y +-=,2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=, 与直线θα=联立可得：24cos =sin αρα,即24cos =sin OP αα, 同理可得2|i |s n OQ α=．所以|||8tan |OP OQ α=g,在π4π,6α⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减, 所以||||OP OQ g的最大值是23．解：（Ⅰ）当3a =时,不等式()6f x ≤,即||2-336,x +≤故有3233x -≤-≤,求得03x ≤≤,即不等式()6f x ≤的解集为[]0,3．（Ⅱ）()()22-13f x g x a +≥,即222121||||3x a a x a +-≥--+恒成立,()||||||||2212211x a a x x a x a a a -++-≥---+=-+Q ,2121||3a a a ∴-+≥-①．当1a ≤时,①等价于21213a a a --+≥,解得1a ≤≤；当1a >时,①等价于21213a a a --+≥,即260a a --≤,解得13a <≤,所以a 的取值范围是⎡⎤⎣⎦河北省石家庄二中2017年高考模拟数学试卷（理科）解析1．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A,B,根据集合的交集定义进行计算．【解答】解：∵log2x＞1=log22,∴x＞2,∴B=（2,+∞）,∵x2﹣4x+3＜0,∴（x﹣3）（x﹣1）＜0,解得1＜x＜3,∴A=（1,3）,∴A∩B=（2,3）,故选：D2．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z满足=i,∴z+i=﹣2﹣zi,化为：z===﹣+i．=﹣﹣i．则|+1|===．故选：B3．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意,M的坐标为（2cos（π+θ）,2sin（π+θ））,即可得出结论．【解答】解：由题意,M的坐标为（2cos（π+θ）,2sin（π+θ））,即（﹣2cosθ,﹣2sinθ）,故选C4．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据不等式的基本性质和指数函数和对数函数的性质即可判断．【解答】解：∵0＜a＜b＜1,c＞1,∴ac＜bc,abc＞bac,∴logab＞logba,logac＞logbc,故选：B5．【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值,模拟程序的运行过程,可得答案．【解答】解：当输入的x为2017时,第1次执行循环体后,x=2015,输出y=3﹣2015+1；第2次执行循环体后,x=2013,输出y=3﹣2013+1；第3次执行循环体后,x=2011,输出y=3﹣2011+1；…第1007次执行循环体后,x=3,输出y=3﹣3+1；第1008次执行循环体后,x=1,输出y=3﹣1+1；第1009次执行循环体后,x=﹣1,输出y=31+1=4；第1010次执行循环体后,x=﹣3,输出y=33+1=28；此时不满足x≥﹣1,输出y=28,故选：C6．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由于前两天大鼠打1+2尺,小鼠打1+尺,因此前两天两鼠共打3+1．5=4．5．第三天,大鼠打4尺,小鼠打尺,因此第三天相遇．设第三天,大鼠打y尺,小鼠打0．5﹣y尺,则=,解得y即可得出．【解答】解：由于前两天大鼠打1+2尺,小鼠打1+尺,因此前两天两鼠共打3+1．5=4．5．第三天,大鼠打4尺,小鼠打尺,因此第三天相遇．设第三天,大鼠打y尺,小鼠打0．5﹣y尺,则=,解得y=．相见时大鼠打了1+2+=3尺长的洞,小鼠打了1++=1尺长的洞,x=2+=2天,故选：A7．【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型求解即可．在a﹣o﹣b坐标系中,画出f（1）＞0对应的区域,和a、b都是在区间[0,4]内表示的区域,计算它们的比值即得．【解答】解：f（1）=﹣1+a﹣b＞0,即a﹣b＞1,如图,A（1,0）,B（4,0）,C（4,3）,S△ABC=,P==,故选：B8．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先求得m=sin（2•）=,故把函数y=sin2x图象上的点P（,）,向右平移n个单位,可得Q （+n,）,根据Q在函数y=cos（2x﹣）的图象上,求得n的最小值值,可得mn的最小值．【解答】解：函数y=sin2x图象上的某点P（,m）可以由函数y=cos（2x﹣）上的某点Q向左平移n（n＞0）个单位长度得到,∴m=sin（2•）=．故把函数y=sin2x图象上的点P（,）,向右平移n个单位,可得Q（+n,）,根据Q在函数y=cos（2x﹣）的图象上,∴m=cos[2（+n）﹣]=cos（2n﹣）=,∴应有2n﹣=,∴n=,则mn的最小值为,故选：B9．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC,其中侧面PAB⊥底面ABC,在平面PAB内,过点P作PD⊥AB,垂足为D,连接CD,CD⊥AD．进而得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC,其中侧面PAB⊥底面ABC,在平面PAB内,过点P作PD⊥AB,垂足为D,连接CD,CD⊥AD．该几何体的表面积S=×2++=2+2+．故选：A10．【考点】进行简单的合情推理．【分析】依题记f（m1,m2）=f（m1,m2﹣1）+5×1=f（m1,1）+5×（m2﹣1）=f（m1﹣1,1）+4×1+5×（m2﹣1）=…=f（1,1）+4×（m1﹣1）+5×f（m1,1）,将m1=60,m2=50,f（1,1）=2,代入得结论．【解答】解：依题记f（m1,m2）=f（m1,m2﹣1）+5×1=f（m1,1）+5×（m2﹣1）=f（m1﹣1,1）+4×1+5×（m2﹣1）=…=f（1,1）+4×（m1﹣1）+5×（m2﹣1）,将m1=60,m2=50,f（1,1）=2,代入得483．故选D11．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由A,B代入双曲线方程,作差整理可得k==,化简得a2=bc,即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设A（x1,y1）,B（x2,y2）,M（b,yM）,由A,B代入双曲线方程,作差整理可得k==,化简得a2=bc,即a4=（c2﹣a2）c2,有e4﹣e2﹣1=0,得e=．故选B12．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】判断f（x）的单调性,求出极值,得出方程f（x）=t的解的情况,得出关于t的方程t2﹣（2m+1）t+m2+m=0的根的分布区间,利用二次函数的性质列不等式解出m的范围．【解答】解：f（x）=,∴f′（x）=．∴当0＜x＜1或x＞e时,f′（x）＞0,当1＜x＜e时,f′（x）＜0,∴f（x）在（0,1）上单调递增,在（1,e）上单调递减,在（e,+∞）上单调递增,作出f（x）的大致函数图象如图所示：令f（x）=t,则当0＜t＜e时,方程f（x）=t有1解,当t=e时,方程f（x）=t有2解,当t＞e时,方程f（x）=t有3解,∵关于x的方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2+m=0,恰好有4个不相等的实数根,∴关于t的方程t2﹣（2m+1）t+m2+m=0在（0,e）和（e,+∞）上各有一解,∴,解得e﹣1＜m＜e．故选C．13．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x的指数为4,求出r的值,将r的值代入通项求出展开式中含x4项的系数【解答】解：展开式的通项为Tr+1=C6r（﹣2）rx,令得18﹣r=4,解得r=4,∴展开式中含x4项的系数为（﹣2）4C64=240,故答案为：240．14．【考点】向量的模．【分析】求出+2,求出|+2|的解析式,根据三角函数的运算性质计算即可．【解答】解：=（cos5°,sin5°）,=（cos65°,sin65°）,则+2=（cos5°+2cos65°,sin5°+2sin65°）,则|+2|===,故答案为：．15．【考点】利用导数研究函数的极值；分段函数的应用．【分析】由f'（x）=6x2﹣6,x＞t,知x＞t时,f（x）=2x3﹣6x一定存在单调递增区间,从而要使无论t取何值,函数f（x）在区间（﹣∞,+∞）总是不单调,必须有f（x）=（4a﹣3）x+2a﹣4不能为增函数,由此能求出a的取值范围．【解答】解：对于函数f（x）=2x3﹣6x,f'（x）=6x2﹣6,x＞t当6x2﹣6＞0时,即x＞1或x＜﹣1,此时f（x）=2x3﹣6x,为增函数当6x2﹣6＜0时,﹣1＜x＜1,∵x＞t,∴f（x）=2x3﹣6x一定存在单调递增区间要使无论t取何值,函数f（x）在区间（﹣∞,+∞）总是不单调∴f（x）=（4a﹣3）x+2a﹣4不能为增函数∴4a﹣3≤0,∴a≤．故a 的取值范围是（﹣∞,]． 故答案为：（﹣∞,]．16．【考点】三角形中的几何计算．【分析】设∠DBM =θ,在△CDA 中,由正弦定理可得=,在△AMB 中,由正弦定理可得=,继而可得=,问题得以解决【解答】解：设∠DBM =θ,则∠ADC =2θ,∠DAC =﹣2θ,∠AMB =﹣2θ,在△CDA 中,由正弦定理可得=,在△AMB 中,由正弦定理可得=,∴===,从而MA =2, 故答案为：2．17．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I ）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出． （II ）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）当3n ≥时,可得()()11214242024n n n n n n S S S S n n a a ---------=≥∈∴=Z ,．，又因为12a =,代入表达式可得28a =,满足上式．所以数列{}n a 是首项为12a =,公比为4的等比数列,故：121242n n n a --=⨯=．（Ⅱ）证明：2log 21n n b a n ==-． ()21212n n n T n +-==2n ≥时,211111(1)1n T n n n n n=<=-+-． 111111*********-1ni nT n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑K ． 18．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）推导出△ABC 是等边三角形,从而CM ⊥AB ,再由DB ⊥AB ,DB ⊥BC ,知DB ⊥平面ABC ,又EA ∥DB ,从而EA ⊥平面ABC ,进而CM ⊥EA ．由此CM ⊥平面EAM ．进而能证明CM ⊥EM ．（Ⅱ）以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴,过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M ﹣xyz ．利用向量法能求出二面角B ﹣CD ﹣E 的平面角． 【解答】证明：（Ⅰ）因为A B ，是PQ 的三等分点, 所以PA AB BQ CA CB ====, 所以ABC △是等边三角形,又因为M 是AB 的中点,所以CM AB ⊥．因为DB AB DB BC AB BC B ⊥⊥=I ,, 所以DB ⊥，平面ABC ,又//EA DB , 所以EA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,所以CM EA ⊥．因为AM EA A =I ,所以CM ⊥平面EAM ． 因为EA ⊂平面EAM ,所以CM EM ⊥．解：（Ⅱ）以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴, 过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M xyz -． 因为DB ⊥平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角． 由题意得tan 2BDDMB MB∠==,即2BD MB =, 从而BD AC =．不防设2AC =,又2AC AE +,则1CM AE ==． 故())()()0,1,00,1,20,1,1B CD E -，，，．于是)()()()100,0,2BC BD CE CD =-==-=u u u r u u u r u u u r u u u v，，,1,1,设平面BCD ，与平面CDE 的法向量分别为()(),,,m x y z n a b c ==u r r,,, 由3-020m BC x y m BD z ⎧==⎪⎨==⎪⎩u v u u u vg u v u u u v g ,令1x =,得()m =u v ．由-020n CE b c n CD b c ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩v u u u v g v u u u v g ,令1a =,得1,33n ⎛= ⎝⎭v , 所以cos 0m n <>=u v v,所以二面角B CD E --的平面角大小为90︒．19．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用分层抽样求出各个选修人数,利用互斥事件的概率求解从选出的10名学生中随机抽取3人,求这3人中至少2人选修线性代数的概率；（Ⅱ）从选出的10名学生中随机抽取3人,记ξ为选修线性代数人数与选择微积分人数差的绝对值．求出ξ的可能值,就是概率,即可得到随机变量ξ的分布列和数学期望． 【解答】解：因为选修数学学科人数所占总人数频率为0.6,即1800.6600x+=,可得：180x =,又180********x y ++++=,所以60y =,则根据分层抽样法：抽取的10人中选修线性代数的人数为：180103600⨯=人；选修微积分的人数为：180103600⨯=人；选修大学物理的人数为：120102600⨯=人；选修商务英语的人数为：60101600⨯=人；选修文学写作的人数为：60101600⨯=人；（Ⅰ）现从10人中选3人共有310120C =种选法,且每种选法可能性都相同,令事件A ：选中的3人至少两人选修线性代数,事件B ：选中的3人有两人选修线性代数,事件C ：选中的3人都选修线性代数,且B C，为互斥事件,()()()P A P B P C =+=2133733310101160C C C C C ⨯+= （Ⅱ）记X 为3人中选修线性代数的代数,X 的可能取值为0,1,2,3,记Y 为3人中选修微积分的人数；Y的可能取值也为0,1,2,3,则随机变量||XY ξ=﹣的可能取值为0,1,2,3； ()()()00,01,1P P X Y P X Y ξ====+===1113334433101013C C C C C C +=；()()()()()10,1101,22,12P P X Y P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==+===⨯，121234333310109220C C C C C C +⨯=, ()()()20,22,02P P X Y P X Y ξ====+===⨯213431015C C C =,()()()33310130,33,0260C P P X Y P X Y C ξ====+===⨯=；所以ξ的分布列为：所以0123320560E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯ 20．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）由b =,椭圆的离心率公式,即可求得a 和c 的值,求得椭圆方程；（Ⅱ）①设直线方程,代入椭圆方程,由△=0,分别求得kOM ,kPQ ,即可求得kOM •为定值； ②设直线方程,代入椭圆方程,由韦达定理,弦长公式,求得S △PQM =•,根据函数的单调性即可求得△PQM 面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ,由题意可得：2b b ==,由题意的离心率c e a ==解得：26a =,则2224c a b -==,故椭圆方程为：22162x y +=；（Ⅱ）①证明：由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程：y kx m =+, 由点()3,M t 在直线上,则3t k m =+,联立直线与椭圆方程：22360y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩,可得：()222136360k x kmx m +-++=,又直线与椭圆只有一个公共点,故0=△,即2262m k =+；由韦达定理,可得P 点坐标223,1313km m k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭-,由直线PQ 过椭圆右焦点为()20F ，,则直线PQ 的斜率2326PQ PF mk k km k ==---；而直线OM 的斜率,则333OM t k m k +==：()()22222331311••••33263333263OM PQk m m km m km m k k km k km k km m +++====------+-+．①由()1FM t =u u u u v ，,222326,1313km k mFP k k ⎛⎫---=⎪++⎝⎭u u u v ,则22326013mt km k FM FP k ---==+u u u u v u u u v g , 即FM PF ⊥, ∴三角形的面积1||||2PQM S PQ MF =△, MF =丨丨由直线FM 的斜率为t ,可得直线PQ 的方程：()()1122,,2x ty P x y Q x y =-+，，， 与椭圆方程联立可得：222162x ty x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得：()223420t y ty +-=-,则12243t y y t +=+,12223y y t =+﹣ ,则)2213t PQ t +==+丨丨,则PQM S =△令()23,0t m m+=＞,则PQMS =△, 由函数的单调性可知：y =单调递增,故PQMS =△,当0t =时,PQM △．∴PQM △． 21．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的递增区间即可； （Ⅱ）求出g （x ）的导数,求出g （x1）﹣g （x2）的解析式,令h （x ）=lnx2﹣x2+,x ∈（0,],根据函数的单调性求出k 的最大值即可． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：()()121121f x ax f a x'=-'=-=-，,可得：1a =；又()()()2216ln 310x y f x xf x x x y x x-=+'=-+'=>，所以，,当x ⎛∈ ⎝⎭时,0y y '>，单调递增；当6x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时,0y y '<，单调递减；故函数的单调增区间为⎛ ⎝⎭． （Ⅱ）()()()()22111ln 12x b x g x x x b x g x x-++=++'=-，,因为12x x ，是()g x 的两个极值点,故12x x ，是方程()2110x b x ++=-的两个根,由韦达定理可知：121211x x b x x +=+⎧⎨=⎩；12x x <Q ,可知101x <<,又11111x b e x e +=+≥+,令1t x x =+,可证()t x 在()0,1递减,由()11h x h e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,从而可证110x e <≤． 所以()()()()22111ln 12x b x g x x x b x g x x-++=++-'=，令()222111ln 0,22h x x x x x e ⎛⎤=+∈ ⎥⎝-⎦，()()22310x h x x--'=≤,所以()h x 单调减, 故()22min11222eh x h e e⎛⎫==-- ⎪⎝⎭, 所以221222e k e ≤--，即221222max e k e=--．22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法,即可求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得C1的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ,与直线θ=α联立可得：ρ=,即|OP |=,同理可得|OQ |=2sinα．求出|OP |•|OQ |=,在α∈[,]上单调递减,即可求|OP |•|OQ |的最大值．【解答】解：（Ⅰ）1C 的普通方程为24y x =,2C 的普通方程为()2211x y +-=,2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=,与直线θα=联立可得：24cos =sin αρα,即24cos =sin OP αα,同理可得2|i |s n OQ α=．所以|||8tan |OP OQ α•=,在π4π6α⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减,所以||||OP OQ •的最大值是23．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a =3时,不等式即|2x ﹣3|+3≤6,可得﹣3≤2x ﹣3≤3,由此求得不等式的解集．（Ⅱ）由题意可得|2x ﹣a |+a +|2x ﹣1|≥2a2﹣13恒成立,利用绝对值三角不等式求得|2x ﹣a |+a +|2x ﹣1|的最小值为|1﹣a |+a ,可得|1﹣a |+a ≥2a2﹣13,分类讨论,去掉绝对值,求得a 的范围． 【解答】解：（Ⅰ）当3a =时,不等式()6f x ≤,即||2-336x +≤，故有3233x -≤-≤,求得03x ≤≤,即不等式()6f x ≤的解集为[]03,． （Ⅱ）()()22-13f x g x a +≥,即222121||||3x a a x a +-≥--+恒成立,()||||||||2212211x a a x x a x a a a -++-≥---+=-+Q2121||3a a a ∴-+≥-①．当1a ≤时,①等价于21213a a a --+≥,解得1a ≤≤；当1a >时,①等价于21213a a a --+≥,即260a a --≤,解得13a <≤,所以a 的取值范围是⎡⎤⎣⎦。
【河北省石家庄二中】2017学年高考模拟数学年试题(理科)
河北省石家庄市2017届高三一模考试理科数学试卷（B 卷）答 案一、选择题1~5．DDCDB 6~10．ADBDB 11~12．AB二、填空题13．0n ∃∈N ，0202n n ≥14．102415．1316．7a -＞三、解答题17．解：（Ⅰ）∵sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a b a b a c+=--， ∴()()()c a c a b a b -=+-， 即222a c b ac +-=，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴1cos 2B =， ∵(0,π)B ∈， ∴π3B =． （Ⅱ）在ABC △中由余弦定理知：222(2)22cos603c a a c +-︒=，∴2(2)932a c ac +-=， ∵222()2a c ac +≤， ∴223(2)9(2)4a c a c +-+≤，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32a =，3c =时取等号， 所以2a c +的最大值为6．18．（Ⅰ）证明：在ABD ∆中，sin sin AB AD ADB DBA=∠∠，由已知60DBA ∠=︒，AD =4BA =， 解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥，可求得2BD =． 在SBD ∆中，∵SD =4BS =，2BD =，∴222DB SD BS +=，∴SD BD ⊥，∵BD ⊄平面SAD ，SD AD D =，∴BD ⊥平面SAD ．（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为z 轴，建立空间直角坐标系．∵由（Ⅰ）可知，平面SAD ⊥平面ABCD ，∴S 在平面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作SE AD ⊥于E，则DE =3SE =，则(S ，易求A ，(0,2,0)B，(C -， 则(3,2,3)SB =-，(33,0,3)SA =-，(3)SC =--，设平面SBC 的法向量1(,,)n x y z=，230,230,y z y z +-=+-=⎪⎩解得1(0,3,2)n =--．同理可求得平面SAB的法向量2(1,n =，∴121253cos ||||137n n n n θ===-．19．解：（Ⅰ）X 的可能取值为：0，1，2，3，4．4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090(2)210C C P X C ===，314641024(3)210C C P X C ===， 444101(4)210C P X C ===， X 的分布列为：158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）序号1a ，2a ，3a ，4a 的排列总数为4424A =种， 当0Y =时，11a =，22a =，33a =，44a =．当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，1a ，2a ，3a ，4a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =；11a =，23a =，32a =，44a =；12a =，21a =，33a =，44a =． 故41(2)246P Y ==≤． 20．解：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-， 11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥，当且仅当||||MF NF =时等号成立． ∴min ||2MN =， ∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为y m =+，由22,22,y m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=，由222(1)1E m xm -=+，得221)1E m x m-=+，① 同理可得D x ，∵1m n =-，∵221()11()1D m x m⎤-⎥⎣⎦=+=② 故由①②可知：E D x x =-，代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ，N 分别在x 轴两侧，E D y y =-，∴E D E Dy yx x =，∴E ，O ，D 三点共线．21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,1)-∞， 由题意222'()2,111a x x a f x x x x x-+-=-=--＜， 224(2)()48a a ∆=---=-．①若480a ∆=-≤，即12a ≥，则2220x x a -+-≤恒成立，则()f x 在(,1)-∞上为单调减函数； ②若480a ∆=-＞，即12a ＜，方程2220x x a -+-=的两根为1x =，2x ，当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x ＜，所以函数()f x 单调递减，当11(,)2x x ∈时，'()0f x ＞，所以函数()f x 单调递增，不符合题意． 综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为1(,)2+∞． （Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以'()0f x =在1x ＜上有两个不等的实根， 即2220x x a -+-=在1x ＜有两个不等的实根1x ，2x ， 于是102a ＜＜，12121,,2x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩且满足11(0,)2x ∈，21(,1)2x ∈， 211111*********()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-， 同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---， 令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，1(,1)2x ∈． []22'()2ln (1)1x g x x x x x =--++-，1(,1)2x ∈， ∵1(1)4x x -＜，∴[]2ln (1)0x x --＞， 又1(,1)2x ∈时，201x x x 2+-＞，∴'()0g x ＞，则()g x 在1(,1)2x ∈上单调递增， 所以1()()02g x g =＞，即1221()()0f x f x x x -＞，得证． 22．解：（Ⅰ）2214x y +=，2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点(2cos ,sin )A q q ，8cos 4sin l θθ=+))θθθϕ=+=+，且cos ϕ=sin ϕ=， 所以，当π2π2k θϕ+=+（k ∈Z ）时，l 取最大值， 此时π2π2k θϕ=+-，所以，2cos 2sin θϕ==，sin cos θϕ==此时，A ，1l 的普通方程为14y x =． 23．解：（Ⅰ）当2a -＜时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-⎧⎪=++-=----⎨⎪-+-⎩＜≤≤＞ 可知，当2x =-时，()f x 的最小值为(2)21f a -=--=，解得3a =-． （Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-+--=++≥， 当且仅当(24)()0x x a +-≤时，()|4|f x x a =++成立，所以，当2a -＜时，x 的取值范围是{}|2x a x -≤≤；当2a =-时，x 的取值范围是{}2-；当2a -＞时，x 的取值范围是{}|2x x a -≤≤．。
【河北省石家庄】2017届高三冲刺模考理科数学年试题
河北省石家庄二中2017年高考模拟数学试卷（理科）答 案1~5．DBCBC 6~10．ABBAD 11~12．BC 13．240 1415．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦16．217．解：（Ⅰ）当3n ≥时,可得()()1121,424202,4n n n n n n S S S S n n a a ---------=≥∈∴=Z ．又因为12a =,代入表达式可得28a =,满足上式．所以数列{}n a 是首项为12a =,公比为4的等比数列,故：121242n n n a --=⨯=．（Ⅱ）证明：2log 21n n b a n ==-．()21212n n n T n +-==2n ≥时,211111(1)1n T n n n n n=<=---． 111111*********-1ni KT n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．18．证明：（Ⅰ）因为,A B 是PQ 的三等分点, 所以PA AB BQ CA CB ====, 所以ABC △是等边三角形,又因为M 是AB 的中点,所以CM AB ⊥．因为,,DB AB DB BC ABBC B ⊥⊥=所以DB ⊥平面ABC ,又EA DB ∥, 所以EA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,所以CM EA ⊥．因为AMEA A =,所以CM ⊥平面EAM ．因为EA ⊂平面EAM ,所以CM EM ⊥．解：（Ⅱ）以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴, 过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M xyz -． 因为DB ⊥平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角． 由题意得tan 2BDDMB MB∠==,即2BD MB =, 从而BD AC =．不防设2AC =,又2AC AE +,则1CM AE =． 故())()()0,1,0,,0,1,2,0,1,1B C D E -．于是()()()()3,1,0,0,0,2,3,,3,1,2BC BD CE CD =-==-=-1,1-设平面BCD 与平面CDE 的法向量分别为()(),,,,,m x y z n a b c ==,由3-020m BC x y m BD z ⎧==⎪⎨==⎪⎩,令1x =,得()1,3,0m =． 由3-0320n CE b c n CD b c ⎧=-+=⎪⎨=-++=⎪⎩,令1a =,得31,n ⎛=- ⎝⎭, 所以cos ,0m n <>=所以二面角B CD E --的平面角大小为90︒．19．解：因为选修数学学科人数所占总人数频率为0.6,即1800.6600x+=,可得：180x =,又180********x y ++++=,所以60y =,则根据分层抽样法：抽取的10人中选修线性代数的人数为：180103600⨯=人；选修微积分的人数为：180103600⨯=人；选修大学物理的人数为：120102600⨯=人；选修商务英语的人数为：60101600⨯=人；选修文学写作的人数为：60101600⨯=人； （Ⅰ）现从10人中选3人共有310120C =种选法,且每种选法可能性都相同,令事件A ：选中的3人至少两人选修线性代数,事件B ：选中的3人有两人选修线性代数,事件C ：选中的3人都选修线性代数,且,B C 为互斥事件,()()()P A P B P C =+=2133733310101160C C C C C ⨯+= （Ⅱ）记X 为3人中选修线性代数的代数,X 的可能取值为0,1,2,3,记Y 为3人中选修微积分的人数；Y 的可能取值也为0,1,2,3,则随机变量||X Y ξ=﹣的可能取值为0,1,2,3；()()()00,01,1P P X Y P X Y ξ====+===1113334433101013C C C C C C +=； ()()()()()10,11,01,22,12P P X Y P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==+===⨯121234333310109220C C C C C C +⨯=, ()()()20,22,02P P X Y P X Y ξ====+===⨯213431015C C C =,()()()33310130,33,0260C P P X Y P X Y C ξ====+===⨯=；所以ξ的分布列为：所以0123=32056010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯20．解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ,由题意可得：2b b =由题意的离心率c e a =,解得：26a =,则2224c a b -==,故椭圆方程为：22162x y +=； （Ⅱ）①证明：由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程：y kx m =+,由点()3,M t 在直线上,则3t k m =+,联立直线与椭圆方程：22360y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩, 可得：()222136360k x kmx m +-++=,又直线与椭圆只有一个公共点,故0∆=,即2262m k =+；由韦达定理,可得P 点坐标223,1313km m k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭-, 由直线PQ 过椭圆右焦点为()2,0F ,则直线PQ 的斜率2326PQ PF mk k km k ==---；而直线OM 的斜率,则333OM t k m k +==： ()()22222331311••••33263333263OM PQk m m km m km m k k km k km k km m +++====------+-+．②由()1,FM t =,222326,1313km k m FP k k ⎛⎫---= ⎪++⎝⎭,则22326013mt km k FM FP k ---==+, 即FMPF ⊥,∴三角形的面积1||||2PQM S PQ MF =△, MF =丨丨由直线FM 的斜率为t ,可得直线PQ 的方程：()()1122,2,,,,x ty P x y Q x y =-+ 与椭圆方程联立可得：222162x ty x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得：()223420t y ty +-=-,则12243t y y t +=+,12223y y t =+﹣, 则())212213t PQ y y t ++=+丨丨,则()()3222163PQM t S t+=+△令()23,0t m m +=＞,则1326PQM S m m ⎛ =-⎝△由函数的单调性可知：y =单调递增, 故()()3222163PQM t S t+=+△,当0t =时,PQM △． ∴PQM △． 21．解：（Ⅰ）由题意可得：()()121121f x ax f a x'=-'=-=-，,可得：1a =；又()()()2216ln 31,,0x y f x xf x x x y x x-=+'=-+'=>所以,当x ⎛∈ ⎝⎭时,0y y '>，单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时,0,y y '<单调递减；故函数的单调增区间为⎛ ⎝⎭． （Ⅱ）()()()()22111ln 12x b x g x x x b x g x x-++=++'=-，,因为12,x x 是()g x 的两个极值点,故12,x x 是方程()2110x b x ++=-的两个根,由韦达定理可知：121211x x b x x +=+⎧⎨=⎩；12x x <,可知101x <<,又11111x b e x e +=+≥+,令1t x x =+,可证()t x 在()0,1递减,由()11h x h e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,从而可证110x e <≤． 所以()()()()2211212121112211111lnln 0222x g x g x x x x x x x x x x e ⎛⎫-=--+<≤ ⎪⎝⎭=-+ 令()222111ln ,0,22h x x x x x e ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦-,()()22310x h x x--'=≤,所以()h x 单调减, 故()22min11222eh x h e e⎛⎫==-- ⎪⎝⎭, 所以2212,22e k e ≤--即221222max e k e=--．22．解：（Ⅰ）1C 的普通方程为24y x =,2C 的普通方程为()2211x y +-=,2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=, 与直线θα=联立可得：24cos =sin αρα,即24cos =sin OP αα,同理可得2|i |s n OQ α=．所以|||8tan |OP OQ α=,在π4π,6α⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以||||OP OQ 的最大值是23．解：（Ⅰ）当3a =时,不等式()6f x ≤,即||2-336,x +≤故有3233x -≤-≤,求得03x ≤≤,即不等式()6f x ≤的解集为[]0,3．（Ⅱ）()()22-13f x g x a +≥,即222121||||3x a a x a +-≥--+恒成立,()||||||||2212211x a a x x a x a a a -++-≥---+=-+,2121||3a a a ∴-+≥-①．当1a ≤时,①等价于21213a a a --+≥,解得1a ≤；当1a >时,①等价于21213a a a --+≥,即260a a --≤,解得13a <≤,所以a 的取值范围是⎡⎤⎣⎦河北省石家庄二中2017年高考模拟数学试卷（理科）解析1．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A,B,根据集合的交集定义进行计算．【解答】解：∵log2x＞1=log22,∴x＞2,∴B=（2,+∞）,∵x2﹣4x+3＜0,∴（x﹣3）（x﹣1）＜0,解得1＜x＜3,∴A=（1,3）,∴A∩B=（2,3）,故选：D2．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z满足=i,∴z+i=﹣2﹣zi,化为：z===﹣+i．=﹣﹣i．则|+1|===．故选：B3．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意,M的坐标为（2cos（π+θ）,2sin（π+θ））,即可得出结论．【解答】解：由题意,M的坐标为（2cos（π+θ）,2sin（π+θ））,即（﹣2cosθ,﹣2sinθ）,故选C4．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据不等式的基本性质和指数函数和对数函数的性质即可判断．【解答】解：∵0＜a＜b＜1,c＞1,∴ac＜bc,abc＞bac,∴logab＞logba,logac＞logbc,故选：B5．【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值,模拟程序的运行过程,可得答案．【解答】解：当输入的x为2017时,第1次执行循环体后,x=2015,输出y=3﹣2015+1；第2次执行循环体后,x=2013,输出y=3﹣2013+1；第3次执行循环体后,x=2011,输出y=3﹣2011+1；…第1007次执行循环体后,x=3,输出y=3﹣3+1；第1008次执行循环体后,x=1,输出y=3﹣1+1；第1009次执行循环体后,x=﹣1,输出y=31+1=4；第1010次执行循环体后,x=﹣3,输出y=33+1=28；此时不满足x≥﹣1,输出y=28,故选：C6．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由于前两天大鼠打1+2尺,小鼠打1+尺,因此前两天两鼠共打3+1．5=4．5．第三天,大鼠打4尺,小鼠打尺,因此第三天相遇．设第三天,大鼠打y尺,小鼠打0．5﹣y尺,则=,解得y即可得出．【解答】解：由于前两天大鼠打1+2尺,小鼠打1+尺,因此前两天两鼠共打3+1．5=4．5．第三天,大鼠打4尺,小鼠打尺,因此第三天相遇．设第三天,大鼠打y尺,小鼠打0．5﹣y尺,则=,解得y=．相见时大鼠打了1+2+=3尺长的洞,小鼠打了1++=1尺长的洞,x=2+=2天,故选：A7．【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型求解即可．在a﹣o﹣b坐标系中,画出f（1）＞0对应的区域,和a、b都是在区间[0,4]内表示的区域,计算它们的比值即得．【解答】解：f（1）=﹣1+a﹣b＞0,即a﹣b＞1,如图,A（1,0）,B（4,0）,C（4,3）,S△ABC=,P==,故选：B8．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先求得m=sin（2•）=,故把函数y=sin2x图象上的点P（,）,向右平移n个单位,可得Q （+n,）,根据Q在函数y=cos（2x﹣）的图象上,求得n的最小值值,可得mn的最小值．【解答】解：函数y=sin2x图象上的某点P（,m）可以由函数y=cos（2x﹣）上的某点Q向左平移n（n＞0）个单位长度得到,∴m=sin（2•）=．故把函数y=sin2x图象上的点P（,）,向右平移n个单位,可得Q（+n,）,根据Q在函数y=cos（2x﹣）的图象上,∴m=cos[2（+n）﹣]=cos（2n﹣）=,∴应有2n﹣=,∴n=,则mn的最小值为,故选：B9．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC,其中侧面PAB⊥底面ABC,在平面PAB内,过点P作PD⊥AB,垂足为D,连接CD,CD⊥AD．进而得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC,其中侧面PAB⊥底面ABC,在平面PAB内,过点P作PD⊥AB,垂足为D,连接CD,CD⊥AD．该几何体的表面积S=×2++=2+2+．故选：A10．【考点】进行简单的合情推理．【分析】依题记f（m1,m2）=f（m1,m2﹣1）+5×1=f（m1,1）+5×（m2﹣1）=f（m1﹣1,1）+4×1+5×（m2﹣1）=…=f（1,1）+4×（m1﹣1）+5×f（m1,1）,将m1=60,m2=50,f（1,1）=2,代入得结论．【解答】解：依题记f（m1,m2）=f（m1,m2﹣1）+5×1=f（m1,1）+5×（m2﹣1）=f（m1﹣1,1）+4×1+5×（m2﹣1）=…=f（1,1）+4×（m1﹣1）+5×（m2﹣1）,将m1=60,m2=50,f（1,1）=2,代入得483．故选D11．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由A,B代入双曲线方程,作差整理可得k==,化简得a2=bc,即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设A（x1,y1）,B（x2,y2）,M（b,yM）,由A,B代入双曲线方程,作差整理可得k==,化简得a2=bc,即a4=（c2﹣a2）c2,有e4﹣e2﹣1=0,得e=．故选B12．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】判断f（x）的单调性,求出极值,得出方程f（x）=t的解的情况,得出关于t的方程t2﹣（2m+1）t+m2+m=0的根的分布区间,利用二次函数的性质列不等式解出m的范围．【解答】解：f（x）=,∴f′（x）=．∴当0＜x＜1或x＞e时,f′（x）＞0,当1＜x＜e时,f′（x）＜0,∴f（x）在（0,1）上单调递增,在（1,e）上单调递减,在（e,+∞）上单调递增,作出f（x）的大致函数图象如图所示：令f（x）=t,则当0＜t＜e时,方程f（x）=t有1解,当t=e时,方程f（x）=t有2解,当t＞e时,方程f（x）=t有3解,∵关于x的方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2+m=0,恰好有4个不相等的实数根,∴关于t的方程t2﹣（2m+1）t+m2+m=0在（0,e）和（e,+∞）上各有一解,∴,解得e﹣1＜m＜e．故选C．13．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x的指数为4,求出r的值,将r的值代入通项求出展开式中含x4项的系数【解答】解：展开式的通项为Tr+1=C6r（﹣2）rx,令得18﹣r=4,解得r=4,∴展开式中含x4项的系数为（﹣2）4C64=240,故答案为：240．14．【考点】向量的模．【分析】求出+2,求出|+2|的解析式,根据三角函数的运算性质计算即可．【解答】解：=（cos5°,sin5°）,=（cos65°,sin65°）,则+2=（cos5°+2cos65°,sin5°+2sin65°）,则|+2|===,故答案为：．15．【考点】利用导数研究函数的极值；分段函数的应用．【分析】由f'（x）=6x2﹣6,x＞t,知x＞t时,f（x）=2x3﹣6x一定存在单调递增区间,从而要使无论t取何值,函数f（x）在区间（﹣∞,+∞）总是不单调,必须有f（x）=（4a﹣3）x+2a﹣4不能为增函数,由此能求出a的取值范围．【解答】解：对于函数f（x）=2x3﹣6x,f'（x）=6x2﹣6,x＞t当6x2﹣6＞0时,即x＞1或x＜﹣1,此时f（x）=2x3﹣6x,为增函数当6x2﹣6＜0时,﹣1＜x＜1,∵x＞t,∴f（x）=2x3﹣6x一定存在单调递增区间要使无论t取何值,函数f（x）在区间（﹣∞,+∞）总是不单调∴f（x）=（4a﹣3）x+2a﹣4不能为增函数∴4a﹣3≤0,∴a≤．故a 的取值范围是（﹣∞,]． 故答案为：（﹣∞,]．16．【考点】三角形中的几何计算．【分析】设∠DBM =θ,在△CDA 中,由正弦定理可得=,在△AMB 中,由正弦定理可得=,继而可得=,问题得以解决【解答】解：设∠DBM =θ,则∠ADC =2θ,∠DAC =﹣2θ,∠AMB =﹣2θ,在△CDA 中,由正弦定理可得=,在△AMB 中,由正弦定理可得=,∴===,从而MA =2, 故答案为：2．17．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I ）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出． （II ）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）当3n ≥时,可得()()11214242024n n n n n n S S S S n n a a ---------=≥∈∴=Z ,．，又因为12a =,代入表达式可得28a =,满足上式．所以数列{}n a 是首项为12a =,公比为4的等比数列,故：121242n n n a --=⨯=．（Ⅱ）证明：2log 21n n b a n ==-． ()21212n n n T n +-==2n ≥时,211111(1)1n T n n n n n=<=-+-． 111111*********-1ni nT n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．18．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）推导出△ABC 是等边三角形,从而CM ⊥AB ,再由DB ⊥AB ,DB ⊥BC ,知DB ⊥平面ABC ,又EA ∥DB ,从而EA ⊥平面ABC ,进而CM ⊥EA ．由此CM ⊥平面EAM ．进而能证明CM ⊥EM ．（Ⅱ）以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴,过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M ﹣xyz ．利用向量法能求出二面角B ﹣CD ﹣E 的平面角． 【解答】证明：（Ⅰ）因为A B ，是PQ 的三等分点, 所以PA AB BQ CA CB ====, 所以ABC △是等边三角形,又因为M 是AB 的中点,所以CM AB ⊥．因为DB AB DB BC ABBC B ⊥⊥=,,所以DB ⊥，平面ABC ,又//EA DB , 所以EA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,所以CM EA ⊥．因为AMEA A =,所以CM ⊥平面EAM ．因为EA ⊂平面EAM ,所以CM EM ⊥．解：（Ⅱ）以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴, 过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M xyz -． 因为DB⊥平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角． 由题意得tan 2BDDMB MB∠==,即2BD MB =, 从而BD AC =．不防设2AC =,又2AC AE +,则1CM AE =． 故())()()0,1,00,1,20,1,1B C D E -，，，．于是()()()()3,100,0,23,3,1,2BC BD CE CD =-==-=，，,-1,1,-设平面BCD ，与平面CDE 的法向量分别为()(),,,m x y z n a b c ==,,, 由3-020m BC x y m BD z ⎧==⎪⎨==⎪⎩,令1x =,得()1,3,0m =．由3-0320n CE b c n CD b c ⎧=-+=⎪⎨=-++=⎪⎩,令1a =,得31,n ⎛=- ⎝⎭, 所以cos 0m n <>=,所以二面角B CD E --的平面角大小为90︒．19．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用分层抽样求出各个选修人数,利用互斥事件的概率求解从选出的10名学生中随机抽取3人,求这3人中至少2人选修线性代数的概率；（Ⅱ）从选出的10名学生中随机抽取3人,记ξ为选修线性代数人数与选择微积分人数差的绝对值．求出ξ的可能值,就是概率,即可得到随机变量ξ的分布列和数学期望． 【解答】解：因为选修数学学科人数所占总人数频率为0.6,即1800.6600x+=,可得：180x =,又180********x y ++++=,所以60y =,则根据分层抽样法：抽取的10人中选修线性代数的人数为：180103600⨯=人；选修微积分的人数为：180103600⨯=人；选修大学物理的人数为：120102600⨯=人；选修商务英语的人数为：60101600⨯=人；选修文学写作的人数为：60101600⨯=人；（Ⅰ）现从10人中选3人共有310120C =种选法,且每种选法可能性都相同,令事件A ：选中的3人至少两人选修线性代数,事件B ：选中的3人有两人选修线性代数,事件C ：选中的3人都选修线性代数,且B C，为互斥事件,()()()P A P B P C =+=2133733310101160C C C C C ⨯+= （Ⅱ）记X 为3人中选修线性代数的代数,X 的可能取值为0,1,2,3,记Y 为3人中选修微积分的人数；Y 的可能取值也为0,1,2,3,则随机变量||X Y ξ=﹣的可能取值为0,1,2,3；()()()00,01,1P P X Y P X Y ξ====+===1113334433101013C C C C C C +=；()()()()()10,1101,22,12P P X Y P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==+===⨯，121234333310109220C C C C C C +⨯=, ()()()20,22,02P P X Y P X Y ξ====+===⨯213431015C C C =,()()()33310130,33,0260C P P X Y P X Y C ξ====+===⨯=；所以ξ的分布列为：所以0123320560Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯ 20．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）由b =,椭圆的离心率公式,即可求得a 和c 的值,求得椭圆方程；（Ⅱ）①设直线方程,代入椭圆方程,由△=0,分别求得kOM ,kPQ ,即可求得kOM •为定值； ②设直线方程,代入椭圆方程,由韦达定理,弦长公式,求得S △PQM =•,根据函数的单调性即可求得△PQM 面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ,由题意可得：2b b ==,由题意的离心率c e a =,解得：26a =,则2224c a b -==,故椭圆方程为：22162x y +=；（Ⅱ）①证明：由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程：y kx m =+,由点()3,M t 在直线上,则3t k m =+,联立直线与椭圆方程：22360y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩, 可得：()222136360k x kmx m +-++=,又直线与椭圆只有一个公共点,故0=△,即2262m k =+；由韦达定理,可得P 点坐标223,1313km m k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭-,由直线PQ 过椭圆右焦点为()20F ，,则直线PQ 的斜率2326PQ PF mk k km k ==---；而直线OM 的斜率,则333OM t k m k +==：()()22222331311••••33263333263OM PQk m m km m km m k k km k km k km m +++====------+-+．①由()1FM t =，,222326,1313km k m FP k k ⎛⎫---= ⎪++⎝⎭,则22326013mt km k FM FP k ---==+, 即FMPF ⊥,∴三角形的面积1||||2PQM S PQ MF =△, MF =丨丨由直线FM 的斜率为t ,可得直线PQ 的方程：()()1122,,2x ty P x y Q x y =-+，，， 与椭圆方程联立可得：222162x ty x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得：()223420t y ty +-=-,则12243t y y t +=+,12223y y t =+﹣,则)2213t PQ t +==+丨丨,则PQM S =△令()23,0t m m +=＞,则PQMS =△, 由函数的单调性可知：y =单调递增,故PQMS =≥△,当0t =时,PQM △面积的最小值．∴PQM △． 21．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的递增区间即可； （Ⅱ）求出g （x ）的导数,求出g （x1）﹣g （x2）的解析式,令h （x ）=lnx2﹣x2+,x ∈（0,],根据函数的单调性求出k 的最大值即可． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：()()121121f x ax f a x'=-'=-=-，,可得：1a =；又()()()2216ln 310x y f x xf x x x y x x-=+'=-+'=>，所以，,当x ⎛∈ ⎝⎭时,0y y '>，单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时,0y y '<，单调递减；故函数的单调增区间为⎛ ⎝⎭． （Ⅱ）()()()()22111ln 12x b x g x x x b x g x x-++=++'=-，,因为12x x ，是()g x 的两个极值点,故12x x ，是方程()2110x b x ++=-的两个根,由韦达定理可知：121211x x b x x +=+⎧⎨=⎩；12x x <,可知101x <<,又11111x b e x e +=+≥+,令1t x x =+,可证()t x 在()0,1递减,由()11h x h e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,从而可证110x e <≤． 所以()()()()22111ln 12x b x g x x x b x g x x-++=++-'=，令()222111ln 0,22h x x x x x e ⎛⎤=+∈ ⎥⎝-⎦，()()22310x h x x--'=≤,所以()h x 单调减, 故()22min11222eh x h e e⎛⎫==-- ⎪⎝⎭, 所以221222e k e ≤--，即221222max e k e=--．22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法,即可求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得C1的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ,与直线θ=α联立可得：ρ=,即|OP |=,同理可得|OQ |=2sinα．求出|OP |•|OQ |=,在α∈[,]上单调递减,即可求|OP |•|OQ |的最大值．【解答】解：（Ⅰ）1C 的普通方程为24y x =,2C 的普通方程为()2211x y +-=,2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=,与直线θα=联立可得：24cos =sin αρα,即24cos =sin OP αα,同理可得2|i |s n OQ α=．所以|||8tan |OP OQ α∙=,在π4π6α⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减,所以||||OP OQ ∙的最大值是23．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a =3时,不等式即|2x ﹣3|+3≤6,可得﹣3≤2x ﹣3≤3,由此求得不等式的解集．（Ⅱ）由题意可得|2x ﹣a |+a +|2x ﹣1|≥2a2﹣13恒成立,利用绝对值三角不等式求得|2x ﹣a |+a +|2x ﹣1|的最小值为|1﹣a |+a ,可得|1﹣a |+a ≥2a2﹣13,分类讨论,去掉绝对值,求得a 的范围． 【解答】解：（Ⅰ）当3a =时,不等式()6f x ≤,即||2-336x +≤，故有3233x -≤-≤,求得03x ≤≤,即不等式()6f x ≤的解集为[]03,． （Ⅱ）()()22-13f x g x a +≥,即222121||||3x a a x a +-≥--+恒成立,()||||||||2212211x a a x x a x a a a -++-≥---+=-+2121||3a a a ∴-+≥-①．当1a ≤时,①等价于21213a a a --+≥,解得1a ≤；当1a >时,①等价于21213a a a --+≥,即260a a --≤,解得13a <≤,所以a 的取值范围是⎡⎤⎣⎦。
金卷：河北省石家庄市2017届高三第一次模拟考试(B)理数(解析版)
2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学数学（理科）B 卷试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}|05A x x =≤≤,{}*|12B x N x =∈-≤,则A B = ( ) A ．{}|13x x ≤≤ B ．{}|03x x ≤≤C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2,3【答案】D 【解析】试题分析：因为{*|3}{1,2,3}B x N x =∈≤=，所以{1,2,3}A B = ，故选D ． 考点：集合的交集运算．2.若z 是复数,121iz i-=+,则z z ⋅=( )A B C ．1 D ．52【答案】D考点：复数的运算．【方法点睛】复数代数形式运算问题的解题策略：(1)复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；(2)复数的除法运算关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．3. 下列说法错误的是( )A ．回归直线过样本点的中心(,)x yB ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小D ．在回归直线方程0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量 y 平均增加0.2个单位【答案】C 【解析】试题分析：根据相关定义分析知A 、B 、D 正确；C 中对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的招把握程度越大，故C 不正确，故选C ． 考点：命题真假的判断．4.函数()31x f x e x =--(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )【答案】D 【解析】试题分析：因为()3xf x e '=-，则当(,ln 3)x ∈-∞时，()0f x '<；当(ln 3,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在(,ln 3)-∞内单调递减，在(ln 3,)+∞内单调递增，结合图象知只有D 满足，故选D ． 考点：函数的图象．5.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的最小正周期为π,其图象关于直线3x π=对称,则||ϕ的最小值为( ) A ．12πB ．6πC ．56πD ．512π 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，得22T ωπ==，所以()sin(2)f x A x ϕ=+．因为函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，所以232k ϕππ⨯+=π+()k Z ∈，即6k ϕπ=π-()k Z ∈，当0k =时，||ϕ取得最小值6π，故选B ． 考点：正弦函数的图象与性质．【规律点睛】求三角函数sin()y A x ωϕ=+的性质，不论是周期性、单调性、对称性还是求三角函数的最值，都要以三角函数sin y x =的性质为基础；另外在求解时要注意所给的范围和ϕ的取值．6.已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则||a b c +-的取值范围是（ ）A ．1⎤-⎦B ．⎡⎣C ．D ．1,1⎤-⎦【答案】A 【解析】试题分析：因为0a b ⋅= ，所以222||22a b a a b b +=+⋅+= ，所以||a b += 2||a b c +- ＝22222()a b c a b a b c +++⋅-+⋅ ＝32()a b c -+⋅ ，则当c 与()a b + 同向时()a b c +⋅ 最大，2||a b c +- 最小，此时()||||cos 0a b c a b c +⋅=+︒= 2||3a b c +-=- min ||a b c +- 1-；当c 与()a b + 反向时()a b c +⋅ 最小，2||a b c +- 最大，此时()a b c +⋅ ＝||||cos a b c +π=，2||3a b c +-=+ max ||1a b c +-=+ ，所以||a b c +-的取值范围为1]-，故选A ．考点：1、向量数量积的性质及其运算；2、向量的模．7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ）A ．48B ．54C ．64D ．60【答案】D 【解析】试题分析：根据三视图还原直观图，如图所示，则该几何体的表面积163642S =⨯+⨯⨯＋11235656022⨯⨯⨯+⨯⨯=，故选D ．考点：空间几何体的三视图及表面积．8.已知函数()f x 在(1,)-+∞上单调,且函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且5051()()f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( ) A ．200- B ．100-C ．0D ．50-【答案】B 【解析】试题分析：因为函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图象关于1x =-对称，又函数()f x 在(1,)-+∞上单调，数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且5051()()f a f a =，所以50512a a +=-，所以11001005051100()50()1002a a S a a +==+=-，故选B ．考点：1、函数的图象；2、等差数列的性质及前n 项和公式．9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④【答案】D 【解析】试题分析：设截面与底面的距离为h ，则①中截面内圆半径为h ，则截面圆环的面积为22()R h π-；②中截面圆的半径为R h -，则截面圆的面积为2()R h π-；③中截面圆的半径为2hR -，则截面圆的面积为2()2hR π-；，则截面圆的面积为22()R h π-，所以①④中截面的面积相等，故选D ．考点：1、数学文化；2、空间几何体的体积．10.已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若20x y k ++≥恒成立,则直线20x y k ++=被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长的最大值为( )A ．10 B．C．D．【答案】B 【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域如图所示，不等式20x y k ++≥恒成立等价于max (2)k x y ≥--，设2z x y =--，则由图知，当目标函数2z x y =--经过点(22)A --时取得最大值，即max 2(2)(2)6z =-⨯---=，所以6k ≥．因为圆心(1,2)到直线20x y k ++=的距离d ==所以直线被圆截得的弦长L ==，所以当6k =时，L取得最大值B ．考点：1、简单的线性规划问题；2、直线与圆的位置关系11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =,抛物线的准线l 与x 轴交于点C ,1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AACF的面积为,则准线l 的方程为( ) A．x = B．x =-C ．2x =-D ．1x =-【答案】A考点：1、抛物线的几何性质；2、直线与抛物线的位置关系；3、平面向量的坐标运算．【方法点睛】求解与向量交汇的圆锥曲线问题，通常利用点的坐标对已知的或所求的向量式进行转化，然后再利用解析几何的知识求解．12.已知函数()ln f x ax e x =+与2()ln x g x x e x=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为( ) A ．a e <- B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >【答案】B 【解析】试题分析：由2ln (0)ln x ax e x x x e x +=>-，得ln 1ln 1e x a e x x x+=-．令ln ()e x h x x =且()t h x =，则11a t t +=-，即2(1)10t a t a +--+= （*）．由2(1ln )()0e x h x x -'==，得x e =，所以函数()h x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞单调递减，且x →+∞时，()0h x →，图象如图所示．由题意知方程（*）的根有一根1t 必在(0,1)内，另一根21t =或20t =或2(,0)t ∈-∞．当21t =时，方程（*）无意义；当20t =时，1a =，10t =不满足题意，所以2(,0)t ∈-∞时，则由二次函数的图象，有220(1)0101(1)110a a a a ⎧+-⋅-+<⎪⎨+-⋅-+>⎪⎩，解得1a >，故选B ．考点：1、函数的图象；2、利用导数研究函数的单调性．【技巧点睛】函数图象的应用常与函数零点、方程有关，一般为讨论函数()f x 零点（方程()0f x =的根）的个数或由零点(根)的个数求参数取值（范围），，此时题中涉及的函数()f x 的图象一般不易直接画出，但可将其转化为与()f x 有一定关系的函数()F x 和()G x 的图象问题，且()F x 与()G x 的图象易得．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题p :n N ∀∈，22n n <，则p ⌝为 ． 【答案】0n N ∃∈，0202nn ≥ 【解析】试题分析：由全称命题的否定为特称命题，得p ⌝为0200,2nn N n ∃∈≥．考点：全称命题的否定．【注意事项】求解特称命题或全称命题的否定，千万别忽视了改变量词；另外，要注意一些量词的否定的书写方法，如：“都是”的否定为“不都是”，别弄成“都不是．14.程序框图如图所示,若输入0s =,10n =,0i =,则输出的s 为 ．【答案】1024 【解析】试题分析：由程序框图的功能知，该程序执行的是01210101010101021024C C C C ++++== ．考点：程序框图．15.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M为12PF F ∆的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则λ= （注：1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆分别为1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积）． 【答案】13【解析】试题分析：设12PF F ∆内切圆的半径为r ，则由题意，有1211||||22PF r PF r ⨯⨯=⨯⨯＋121||2F F r λ⨯⨯⨯，即1212||||||2PF PF F F c λλ-==⋅，又由双曲线的定义知12||||2PF PF a -=，所以22a c λ=⋅，即113a c e λ===． 考点：双曲线的定义及几何性质．【易错点睛】不能根据三角形的内心特点，把各面积之间的关系转化为大三角形边长之间的关系，从而利用双曲线的定义建立起双曲线参数,,a b c 的等量关系，进而根据离心率求解参数．16.已知数列{}n a 中,1a a =,1386n n a a n +=++,若{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为 ． 【答案】7a >-考点：1、数列的单调性；2、数列的通项公式三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a bA B a c+=--. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 满足2BD BC =，且线段3AD =，求2a c +的最大值.【答案】（Ⅰ）3B π=；（Ⅱ）6．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用正弦定理将已知等式中的角化为边，由此得到,,a b c 间的关系，然后由余弦定理求得cos B ，从而求角B 的大小；（Ⅱ）首先利用余弦定理得到,a c 间的关系，然后利用基本不等式即可求得最大值． 试题解析：（Ⅰ）∵sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a ba b a c+=--， ∴()()()c a c a b a b -=+-， 即222a c b ac +-=，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴1cos 2B =， ∵(0,)B π∈，∴3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中由余弦定理知：222(2)22cos 603c a a c +-⋅⋅⋅︒=，∴2(2)932a c ac +-=⋅， ∵ 222()2a c ac +≤， ∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32a =，3c =时取等号， 所以2a c +的最大值为6．考点：1、正弦定理与余弦定理；2、基本不等式．18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==，4BA BS ==.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求二面角A SB C --的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用正弦定理求得sin ADB ∠，由此可推出AD BD ⊥，然后利用勾股定理推出SD BD ⊥，从而使问题得证；（Ⅱ）以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，然后求出相关点的坐标与向量，从而求得平面SBC 与平面SAB 的法向量，进而利用空间夹角公式求解．试题解析：（Ⅰ）证明：在ABD ∆中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知60DBA ∠=︒，AD =4BA =， 解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥，可求得2BD =． 在SBD ∆中，∵SD =4BS =,2BD =, ∴222DB SD BS +=,∴SD BD ⊥,∵BD ⊄平面SAD ,SD AD D = ,∴BD ⊥平面SAD ．（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为z 轴，建立空间直角坐标系．∵由（Ⅰ）可知，平面SAD ⊥平面ABCD ，∴S 在平面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作SE AD ⊥于E，则DE =，3SE =，则(S ，易求A ，(0,2,0)B，(2,0)C -，则2,3)SB =-，3)SA =-，(2,3)SC =- ，设平面SBC 的法向量1(,,)n x y z =，230,230,y z y z +-=+-=⎪⎩解得1(0,3,2)n =-- ．同理可求得平面SAB的法向量2n = ，∴1212cos ||||n n n n θ⋅===⋅考点：1、面垂直的判定定理；2、二面角；3、法向量的应用．【思路点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型，（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25db （分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1a ，2a ，3a ，4a （其中1a ，2a ，3a ，4a 为1,2,3,4的一个排列）．若Y 为两次排序偏离程度的一种描述，1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-，求2Y ≤的概率．【答案】（Ⅰ）分布列见解析，() 1.6E X =；（Ⅱ）16． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求得X 的可能取值，然后分别求得相应概率，从而列出分布列，求得数学期望；（Ⅱ）首先求得序号1a ，2a ，3a ，4a 的排列总数，然后求出2Y ≤的排列数，从而利用古典概型概率公式求解． 试题解析：（Ⅰ）X 的可能取值为：0,1,2,3,4．4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090(2)210C C P X C ===，314641024(3)210C C P X C ===， 444101(4)210C P X C ===， X 的分布列为：()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）序号1a ，2a ，3a ，4a 的排列总数为4424A =种，当0Y =时，11a =，22a =，33a =，44a =．当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，1a ，2a ，3a ，4a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =；11a =，23a =，32a =，44a =；12a =，21a =，33a =，44a =．故41(2)246P Y ≤==． 考点：1、频率分布直方图；2、离散型随机变量的分布列与数学期望；3、古典概型．20.已知椭圆C ：2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．（Ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值；（Ⅱ）证明：E ，O ，D 三点共线.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，然后根据MF NF ⊥求得mn 的值，从而得到AMFN S 的表达式，从而利用基本不等式求出最小值，；（Ⅱ）首先设出直线AM 的方程，然后联立椭圆方程，利用韦达定理得到点,E D 坐标间的关系，从而使问题得证．试题解析：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当||||MF NF =时等号成立．∴min ||2MN =， ∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为y x m =+，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=，由222(1)1E m x m -=+，得E x =同理可得D x =， ∵1m n ⋅=-，∵D x ==② 故由①②可知：E D x x =-，代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ，N 分别在x 轴两侧，E D y y =-， ∴E D E Dy y x x =，∴E ，O ，D 三点共线．考点：1、直线与椭圆的位置关系；2、基本不等式．【方法点睛】解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法．21.已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：1221()()f x f x x x >． 【答案】（Ⅰ）1(,)2+∞；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求得函数的定义域与导函数，然后结合判别式判断导函数的符号，得到函数的单调性，从而求得a 的取值范围；（Ⅱ）首先将问题转化为2220x x a -+-=有两个不等的实根1x ，2x ，由此得到a 的范围，从而得到1x ，2x 的范围，然后根据1221()()f x f x x x -的表达式构造新函数，由此通过求导研究新函数的单调性使问题得证． （Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以'()0f x =在1x <上有两个不等的实根，即2220x x a -+-=在1x <有两个不等的实根1x ，2x ，于是102a <<，12121,,2x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩且满足11(0,)2x ∈，21(,1)2x ∈， 211111*********()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-， 同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---， 令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，1(,1)2x ∈． []22'()2ln (1)1x g x x x x x =--++-，1(,1)2x ∈，∵1(1)4x x -<，∴[]2ln (1)0x x -->， 又1(,1)2x ∈时，201x x x 2+>-，∴'()0g x >，则()g x 在1(,1)2x ∈上单调递增， 所以1()()02g x g >=，即1221()()0f x f x x x ->，得证． 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数极值与导数关系请从下面所给的22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程．【答案】（Ⅰ）2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩；（Ⅱ）14y x =． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求得2C 的普通方程，由此可求得2C 的参数方程；（Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，点(2cos ,sin )A θθ，然后得到l 与θ的关系式，从而利用辅助角公式求得点的直角坐标点，从而求得1l 的普通方程． 试题解析：（Ⅰ）2214x y +=，2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点(2cos ,sin )A θθ，8cos 4sin l θθ=+))θθθϕ==+，且cos ϕ=，sin ϕ= 所以，当22k πθϕπ+=+（k Z ∈）时，l 取最大值， 此时22k πθπϕ=+-，所以，2cos 2sinθϕ==sin cos θϕ== 此时，A ，1l 的普通方程为14y x =． 考点：1、极坐标方程与参数方程间的互化；2、辅助角的应用．【易错点睛】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的,x y (它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-．（Ⅰ）当2a <-时，()f x 的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）当()|4|f x x a =++时，求x 的取值范围．【答案】（Ⅰ）3a =-；（Ⅱ）当2a <-时， {}|2x a x ≤≤-；当2a =-时，{}2-；当2a >-时， {}|2x x a -≤≤．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用零点分段法将函数()f x 的解析式写在分段函数，然后求得()f x 的最小值，从而求得实数a 的值；（Ⅱ）首先利用绝对值三角不等式的性质求得函数()f x 的最小值，然后分2a <-、2a =-、2a >-求得x 的取值范围．考点：1、函数的最值；2、绝对值三角不等式的性质．。
2017届河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）（解析版）
2017年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|0≤x≤5}，B={x∈N*|x﹣1≤2}则A∩B=（）A．{x|1≤x≤3}B．{x|0≤x≤3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}2．若z是复数，z=．则z•=（）A．B．C．1 D．3．下列说法错误的是（）A．回归直线过样本点的中心（，）B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小D．在回归直线方程=0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时预报变量平均增加0.2个单位4．函数f（x）=e x﹣3x﹣1（e为自然对数的底数）的图象大致是（）A． B． C．D．5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的最小正周期为π，其图象关于直线x=对称，则|φ|的最小值为（）A．B．C． D．6．已知三个向量，，共面，且均为单位向量，•=0，则|+﹣|的取值范围是（）A．[﹣1， +1]B．[1，]C．[，]D．[﹣1，1]7．某几何体的三视图如图所示（在右边的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（）A．48 B．54 C．60 D．648．已知函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200 B．﹣100 C．0 D．﹣509．祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（）A．①②B．①③C．②④D．①④10．已知x，y满足约束条件，若2x+y+k≥0恒成立，则直线2x+y+k=0被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦长的最大值为（）A．10 B．2 C．4 D．311．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且=3，抛物线的准线l与x轴交于点C，AA1⊥l于点A1，若四边形AA1CF的面积为12，则准线l的方程为（）A．x=﹣B．x=﹣2C．x=﹣2 D．x=﹣112．已知函数f（x）=ax+elnx与g（x）=的图象有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为（）A．a＜﹣e B．a＞1 C．a＞e D．a＜﹣3或a＞1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知命题p：∀n∈N，n2＜2n，则￢p为．14．程序框图如图，若输入s=1，n=10，i=0，则输出的s为．15．已知F1、F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，M为△PF1F2的内心，满足S=S△+λS若该双曲线的离心率为3，则λ=、S分别为△MPF1、△MPF2、△MF1F2的面积）（注：S、S△=3a n+8n+6，若{a n）为递增数列，则实数a的取值范围为．16．已知数列{a n}中，a1=a，a n+1三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）点D满足=2，且线段AD=3，求2a+c的最大值．18．（12分）在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=60°，∠SAD=30°，AD=SD=2，BA=BS=4．（Ⅰ）证明：BD⊥平面SAD；（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的余弦值．19．（12分）人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0﹣25db（分贝），并规定测试值在区间（0，5]为非常优秀，测试值在区间（5，10]为优秀，某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为（0，10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数X，求X的分布列与数学期望．（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发声情况不同，由强到弱的次序分别为1，2，3，4，测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号a1，a2，a3，a4（其中a1，a2，a3，a4为1，2，3，4的一个排列），若Y为两次排序偏离程度的一种描述，Y=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，求Y≤2的概率．20．（12分）已知椭圆C： +y2=1的左顶点为A，右焦点为F，O为原点，M，N是y轴上的两个动点，且MF⊥NF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点．（Ⅰ）求△MFN的面积的最小值；（Ⅱ）证明；E，O，D三点共线．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣1+aln（1﹣x），a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．证明：＞．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）过原点O且关于y轴对称点两条直线l1与l2分别交曲线C2于A、C和B、D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+4|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a＜﹣2时，f（x）的最小值为1，求实数a的值．（Ⅱ）当f（x）=|x+a+4|时，求x的取值范围．2017年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|0≤x≤5}，B={x∈N*|x﹣1≤2}则A∩B=（）A．{x|1≤x≤3}B．{x|0≤x≤3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【考点】1E：交集及其运算．【分析】容易求出B={1，2，3}，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={1，2，3}，且A={x|0≤x≤5}；∴A∩B={1，2，3}．故选C．【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算．2．若z是复数，z=．则z•=（）A．B．C．1 D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出，然后代入z•计算得答案．【解答】解：由z==，得，则z•=．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．下列说法错误的是（）A．回归直线过样本点的中心（，）B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小D．在回归直线方程=0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时预报变量平均增加0.2个单位【考点】BK：线性回归方程．【分析】利用线性回归的有关知识即可判断出．【解答】解：A．回归直线过样本点的中心（，），正确；B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确；C．对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，因此不正确；D．在线性回归方程=0.2x+0.8中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，正确．综上可知：只有C不正确．故选：C．【点评】本题考查了线性回归的有关知识，考查了推理能力，属于中档题．4．函数f（x）=e x﹣3x﹣1（e为自然对数的底数）的图象大致是（）A． B． C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】利用导数判断f（x）的单调性和单调区间，根据单调性和单调区间得出答案．【解答】解：f′（x）=e x﹣3，令f′（x）=0得x=ln3．∴当x＜ln3时，f′（x）＜0，当x＞ln3时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，ln3）上单调递减，在（ln3，+∞）上单调递增．故选D．【点评】本题考查了函数单调性与单调区间的判断，属于中档题．5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的最小正周期为π，其图象关于直线x=对称，则|φ|的最小值为（）A．B．C． D．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的周期性求得ω的值，再利用它的图象的对称性，求得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的最小正周期为=π，∴ω=2．根据其图象关于直线x=对称，可得2•+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣，则|φ|的最小值为，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于基础题．6．已知三个向量，，共面，且均为单位向量，•=0，则|+﹣|的取值范围是（）A．[﹣1， +1]B．[1，]C．[，]D．[﹣1，1]【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），得|+﹣|=，结合图形求出它的最大、最小值．【解答】解：三个向量，，共面，且均为单位向量，•=0，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），则+﹣=（1﹣x，1﹣y），||==1；∴|+﹣|==，它表示单位圆上的点到定点P（1，1）的距离，其最大值是PM=r+|OP|=1+，最小值是|OP|﹣r=﹣1，∴|+﹣|的取值范围是[﹣1， +1]．故选：A．【点评】本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，是中档题．7．某几何体的三视图如图所示（在右边的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（）A．48 B．54 C．60 D．64【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是底面为矩形的四棱锥，根据图中数据计算它的表面积即可．【解答】解：由三视图可知：该几何体是底面为矩形的四棱锥，如图所示；根据图中数据，计算它的表面积为S=S矩形ABCD+S△PAB+2S△PAD+S△PCD=3×6+×6×4+2××3×5+×6×5=60．故选：C．【点评】本题考查了利用几何体三视图求表面积的应用问题，是基础题．8．已知函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200 B．﹣100 C．0 D．﹣50【考点】85：等差数列的前n项和；3F：函数单调性的性质．【分析】由函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1轴对称，平移可得y=f（x）的图象关于x=﹣1对称，由题意可得a50+a51=﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，可得y=f（x）的图象关于x=﹣1对称，由数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），可得a50+a51=﹣2，又{a n}是等差数列，所以a1+a100=a50+a51=﹣2，则{a n}的前100项的和为=﹣100故选：B．【点评】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．9．祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（）A．①②B．①③C．②④D．①④【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】利用祖暅原理分析题设中的四个图形，能够得到在①和④中的两个几何体满足祖暅原理．【解答】解：在①和④中，夹在两个平行平面之间的这两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，截面面积都相等，∴①④这两个几何体的体积一定相等．故选：D．【点评】本题考查满足祖暅原理的两个几何体的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．已知x，y满足约束条件，若2x+y+k≥0恒成立，则直线2x+y+k=0被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦长的最大值为（）A．10 B．2 C．4 D．3【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，求出2x+y的最小值，结合2x+y+k≥0恒成立求得k的范围，再由直线与圆的关系可得当k=6时，直线2x+y+k=0被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦长最大，从而求得最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，﹣2），令z=2x+y，化为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣6．由2x+y+k≥0恒成立，得﹣k≤2x+y恒成立，即﹣k≤﹣6，则k≥6．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的圆心（1，2）到直线2x+y+k=0的距离d=，当k≥6时，d．∴当d=时，直线2x+y+k=0被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦长最大，为2．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．11．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且=3，抛物线的准线l与x轴交于点C，AA1⊥l于点A1，若四边形AA1CF的面积为12，则准线l的方程为（）A．x=﹣B．x=﹣2C．x=﹣2 D．x=﹣1【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】设|BF|=m，|AF|=3m，则|AB|=4m，p=m，∠BAA1=60°，利用四边形AA1CF的面积为12，建立方程，求出m，即可求出准线l的方程．【解答】解：设|BF|=m，|AF|=3m，则|AB|=4m，p=m，∠BAA1=60°，∵四边形AA1CF的面积为12，∴=12，∴m=，∴=，∴准线l的方程为x=﹣，故选A．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查四边形面积的计算，正确运用抛物线的定义是关键．12．已知函数f（x）=ax+elnx与g（x）=的图象有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为（）A．a＜﹣e B．a＞1 C．a＞e D．a＜﹣3或a＞1【考点】6D：利用导数研究函数的极值；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可知：令f（x）=g（x），化简求得t2+（a﹣1）t﹣a+1=0，根据h（x）的单调性求得方程根所在的区间，根据二次函数的性质，即可求得a的取值范围．【解答】解：由ax+elnx=，整理得：a+=，令h（x）=，且t=h（x），则t2+（a﹣1）t﹣a+1=0，求导h′（x）==0，解得：x=e，∴h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）单调递减，则当x→+∞时，h（x）→0，如图所示，由题意可知方程有一个根t1在（0，1）内，另一个根t2=1或t2=0或t2∈（﹣∞，0），当t2=1方程无意义，当t2=0时，a=1，t1=0不满足题意；则t2∈（﹣∞，0），由二次函数的性质可知：，即，解得：a＞1，故选：B．【点评】本题考查函数零点与函数方程的关系，考查利用导数判断函数的极值，考查二次函数的性质，考查数形结合思想，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知命题p：∀n∈N，n2＜2n，则￢p为∃n0∈N，n02≥．【考点】2J：命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．【解答】解：∵命题p是全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题，可知：￢p：∃n0∈N，n02≥，故答案为：∃n0∈N，n02≥【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，比较基础．14．程序框图如图，若输入s=1，n=10，i=0，则输出的s为1025．【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得s=1，n=10，i=0，执行循环体，s=2，i=1满足条件i＜11，执行循环体，s=1++…+=1+1024=1025，故答案为：1025．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．15．已知F1、F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，M为△PF1F2的内心，满足S=S△+λS若该双曲线的离心率为3，则λ=（注：S、S、S分别为△MPF1、△MPF2、△MF1F2的面积）△【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设△PF1F2的内切圆的半径r，运用三角形的面积公式和双曲线的定义，以及离心率公式，化简整理即可得到所求值．【解答】解：设△PF1F2的内切圆的半径r，由满足S=S+λS，可得△r•|PF1|=r•|PF2|+λ•r•|F2F1|，即为|PF1|=|PF2|+λ•|F2F1|，即为|PF1|﹣|PF2|=λ•|F2F1|，由点P为双曲线右支上一点，由定义可得2a=λ•2c，即a=λc，由e===3，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的面积公式的运用，注意运用定义法解题，以及离心率公式，考查运算能力，属于中档题．16．已知数列{a n}中，a1=a，a n+1=3a n+8n+6，若{a n）为递增数列，则实数a的取值范围为（﹣7，+∞）．【考点】8H：数列递推式．【分析】a n+1=3a n+8n+6，a1=a，可得：n=1时，a2=3a+14．n≥2时，a n=3a n﹣1+8n﹣2，相减可得：a n+1﹣a n+4=3（a n﹣a n﹣1+4），a=﹣9时，可得a n+1﹣a n+4=0，数列{a n}是单调递减数列，舍去．由数列{a n+1﹣a n+4}是等比数列，首项为2a+18，公比为3．利用“累加求和”方法可得a n，根据{a n）为递增数列，因此∀n∈N*，a n+1＞a n都成立．解出即可得出．【解答】解：∵a n+1=3a n+8n+6，a1=a，∴n=1时，a2=3a1+14=3a+14．n≥2时，a n=3a n﹣1+8n﹣2，相减可得：a n+1﹣a n=3a n﹣3a n﹣1+8，变形为：a n+1﹣a n+4=3（a n﹣a n﹣1+4），a=﹣9时，可得a n+1﹣a n+4=0，则a n+1﹣a n=﹣4，是单调递减数列，舍去．∴数列{a n+1﹣a n+4}是等比数列，首项为2a+18，公比为3．∴a n+1﹣a n+4=（2a+18）×3n﹣1．∴a n+1﹣a n=（2a+18）×3n﹣1﹣4．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（2a+18）×（3n﹣2+3n﹣3+…+3+1）﹣4（n﹣1）+a=（2a+18）×﹣4n+4+a=（a+9）（3n﹣1﹣1）﹣4n+4+a．＞a n都成立．∵{a n）为递增数列，∴∀n∈N*，a n+1∴（a+9）（3n﹣1）﹣4（n+1）+4+a＞（a+9）（3n﹣1﹣1）﹣4n+4+a．化为：a＞﹣9，∵数列{}单调递减，∴n=1时取得最大值2．∴a＞2﹣9=﹣7．即a＞﹣7．故答案为：（﹣7，+∞）．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、“累加求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）（2017•安徽一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）点D满足=2，且线段AD=3，求2a+c的最大值．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理和余弦定理，即可求出cosB以及B的值；（Ⅱ）结合题意画出图形，根据图形利用余弦定理和基本不等式，即可求出2a+c的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，=，∴=，∴ac﹣c2=a2﹣b2，∴ac=a2+c2﹣b2，∴cosB===；又B∈（0，π），∴B=；（Ⅱ）如图所示，点D满足=2，∴BC=CD；又线段AD=3，∴AD2=c2+4a2﹣2•c•2acos=c2+4a2﹣2ac=9，∴c2+4a2=9+2ac；又c2+4a2≥2c•2a，∴4ac≤9+2ac，∴2ac≤9；∴（2a+c）2=4a2+4ac+c2=9+6ac≤9+3×9=36，∴2a+c≤6，即2a+c的最大值为6．【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合题．18．（12分）（2017•石家庄一模）在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=60°，∠SAD=30°，AD=SD=2，BA=BS=4．（Ⅰ）证明：BD⊥平面SAD；（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）用余弦定理求出BD=2，从而利用勾股定理得BD⊥AD，BD⊥SD，由此能证明BD⊥平面SAD．（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣SB﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵∠SAD=30°，AD=SD=2，∴∠SDA=120°，SA==6，∵底面ABCD为平行四边形，∠DBA=60°，BA=BS=4．∴cos60°=，解得BD=2，∴AD2+BD2=AB2，∴BD⊥AD，∵SD2+BD2=SB2，∴BD⊥SD，∵AD∩SD=D，∴BD⊥平面SAD．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，2，0），S（﹣，0，3），=（3，0，﹣3），=（），=（﹣，2，﹣3），设平面ABS的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，），设平面BCS的法向量=（a，b，c），则，取b=3，得=（0，3，2），设二面角A﹣SB﹣C的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣SB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、空间思维能力、运算求解能力，考查数形结合思想、转化化归思想，考查应用意识，属于中档题．19．（12分）（2017•石家庄一模）人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0﹣25db（分贝），并规定测试值在区间（0，5]为非常优秀，测试值在区间（5，10]为优秀，某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为（0，10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数X，求X的分布列与数学期望．（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发声情况不同，由强到弱的次序分别为1，2，3，4，测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号a1，a2，a3，a4（其中a1，a2，a3，a4为1，2，3，4的一个排列），若Y为两次排序偏离程度的一种描述，Y=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，求Y≤2的概率．【考点】B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据题意得X的可能值为0，1，2，3，4，求出对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望值；（Ⅱ）序号a1，a2，a3，a4的排列总数为，计算Y≤2对应的种数为Y=0或Y=2时共4种，求出对应的概率值．【解答】解：（Ⅰ）X的可能值为0，1，2，3，4，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==；∴X的分布列为数学期望为EX=0×+1×+2×+3×+4×=1.6；（Ⅱ）序号a1，a2，a3，a4的排列总数为=24种，∵Y=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，当Y=0时，a1=1，a2=2，a3=3，a4=4；当Y=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|=2时，a1，a2，a3，a4的可能取值为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=3；a1=1，a2=3，a3=2，a4=4；a1=2，a2=1，a3=3，a4=4；∴Y≤2的概率为P（Y≤2）==．【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是综合题．20．（12分）（2017•安徽一模）已知椭圆C： +y2=1的左顶点为A，右焦点为F，O为原点，M，N是y轴上的两个动点，且MF⊥NF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点．（Ⅰ）求△MFN的面积的最小值；（Ⅱ）证明；E，O，D三点共线．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（I）F（1，0），设M（0，t1），N（0，t2）．不妨设t1＞t2．由MF⊥NF，可得=0，化为：t1t2=﹣1．S△MFN=，利用基本不等式的性质即可得出．（II）A（﹣，0）．设M（0，t），由（1）可得：N（0，﹣），（t≠±1）．直线AM，AN的方程分别为：y=x+t，y=x﹣．分别与椭圆方程联立，利用一元二次方程的根与系数的关系可得k OE，k OD．只要证明k OE=k OD．即可得出E，O，D三点共线．【解答】（I）解：F（1，0），设M（0，t1），N（0，t2）．不妨设t1＞t2．∵MF⊥NF，∴=1+t1t2=0，化为：t1t2=﹣1．∴S△MFN==≥=1．当且仅当t1=﹣t2=1时取等号．∴△MFN的面积的最小值为1．（II）证明：A（﹣，0）．设M（0，t），由（1）可得：N（0，﹣），（t≠±1）．直线AM，AN的方程分别为：y=x+t，y=x﹣．联立，化为：（1+t2）x2+2t2x+2t2﹣2=0，∴﹣x E=，可得x E=，y E=×+t=，可得k OE=．联立，化为：（1+t2）x2+2x+2﹣2t2=0，可得：x D=，解得x D=，y D=×﹣=，可得k OD=．∴k OE=k OD．∴E，O，D三点共线．【点评】本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率与三点共线关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2017•石家庄一模）已知函数f（x）=x2﹣1+aln（1﹣x），a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．证明：＞．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导，由二次函数的性质，当a≥，函数f′（x）＜0恒成立，则f（x）在（﹣∞，1）上单调减函数，a＜，函数的两个极值点，根据函数的单调性即可求得实数a 的取值范围；（Ⅱ）由题意可知：﹣2x2+2x﹣a=0，在x＜1有两个不等式的实根，利用韦达定理即可求得x1，x2，分别求得﹣，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性求得﹣＞0，即可求得＞．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣∞，1），求导：f′（x）=2x﹣=，x＜1，令g（x）=﹣2x2+2x﹣a，则△=4﹣4（﹣2）（﹣a）=4﹣8a，当4﹣8a≤0时，即a≥，则﹣2x2+2x﹣a≤0恒成立，则f（x）在（﹣∞，1）上单调减函数，当4﹣8a＞0时，即a＜，则﹣2x2+2x﹣a=0的两个根为x1=，x2=，当x∈（﹣∞，x1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（x1，），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，不符合题意，综上可知：函数f（x）为定义域上的单调函数，则实数a的取值范围（，+∞）；（Ⅱ）证明：由函数有两个极值点，则f′（x）=0，在x＜1上有两个不等的实根，即﹣2x2+2x﹣a=0，在x＜1有两个不等式的实根，x1，x2，由0＜a＜，则，且x1∈（0，），x2∈（，1），则===﹣（1+x1）+2x1ln（1﹣x1），同理可得：=﹣（1+x2）+2x2ln（1﹣x2），则﹣=（x2﹣x1）+2x1ln（1﹣x1）﹣2x2ln（1﹣x2），=2x2﹣1+2（1﹣x2）lnx2﹣2x2ln（1﹣x2），令g（x）=2x﹣1+2（1﹣x）lnx﹣2xln（1﹣x），x∈（，1），求导，g′（x）=﹣2ln[x（1﹣x）]+ +，x∈（，1），由x∈（，1），则+＞0，则g′（x）＞0，则g（x）在x∈（，1），上单调递增，则g（x）＞g（）=0，则﹣＞0，∴＞成立．【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数的单调及极值的关系，二次函数的性质，考查构造法，考查计算能力，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•安徽一模）在平面直角坐标系，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）过原点O且关于y轴对称点两条直线l1与l2分别交曲线C2于A、C和B、D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）求出曲线C2的普通方程，即可求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）设四边形ABCD的周长为l，设点A（2cosα，sinα），则l=8cosα+4sinα=4sin（α+θ），cosθ=，sinθ=，由此，可求直线l1的普通方程．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2，直角坐标方程为x2+y2=4，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2： +y2=1，∴曲线C2的参数方程为（α为参数）；（Ⅱ）设四边形ABCD的周长为l，设点A（2cosα，sinα），则l=8cosα+4sinα=4sin（α+θ），cosθ=，sinθ=，α+θ=+2kπ（k∈Z）时，l取得最大值，此时cosα=sinθ=，sinα=cosθ=，A（，），∴直线l1的普通方程为y=x．【点评】本题考查求直线l1的普通方程，考查参数方程的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•安徽一模）已知函数f（x）=|2x+4|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a＜﹣2时，f（x）的最小值为1，求实数a的值．（Ⅱ）当f（x）=|x+a+4|时，求x的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a＜2时，写出分段函数，利用函数f（x）的最小值为1，求实数a的值．（Ⅱ）由条件求得（2x+4）•（x﹣a）≤0，分类讨论求得x的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+4|+|x﹣a|的零点为﹣2和a，当a＜﹣2时，f（x）=，∴f（x）min=f（﹣2）=2﹣4﹣a=1，得a=﹣3＜﹣2（合题意），即a=﹣3．（Ⅱ）由f（x）=|2x+4|+|x﹣a|，可得|2x+4|+|x﹣a|=|x+a+4|．由于|2x+4|+|x﹣a|≥|x+a+4|，当且仅当（2x+4）•（x﹣a）≤0时，取等号．当a=﹣2时，可得x=2，故x的范围为{2}；当a＞﹣2时，可得﹣2≤x≤a，故x的范围为[﹣2，a]；当a＜﹣2时，可得a≤x≤﹣2，故x的范围为[a，﹣2]．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
河北省石家庄市2017届高中毕业班第二次模拟考试(理数)
省市2017届高中毕业班第二次模拟考试数学（理科）本试卷共23小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前考生务必将自己的、号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数y =ln(1)y x =-的定义域分别为M 、N ，则MN =（ ）A ．(1,2]B ．[1,2]C ．(,1][2,)-∞+∞D ．(,1)[2,)-∞+∞2．若2iz i=+，则复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量)1,(),,1(m b m a ==，则“1m =”是“b a //”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地一次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（ ） A ．310B ．25C ．12D ．355．已知角α（0360α︒≤<︒）终边上一点的坐标为(sin 235,cos 235)︒︒，则α=（ ） A ．215︒ B ．225︒C ．235︒D ．245︒6．已知ln ()xf x x=，其中e 为自然对数的底数，则（ ） A ．(2)()(3)f f e f >> B ．(3)()(2)f f e f >> C ．()(2)(3)f e f f >>D ．()(3)(2)f e f f >>7．如图是计算11113531++++…的值的程序框图，则图中①②处 应填写的语句分别是（ ）A ．2n n =+,16?i >B ．2n n =+,16?i ≥C ．1n n =+,16i >?D ．1n n =+,16?i ≥ 8．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A ．34π B ．24π+C ．12π+D ．324π+9．实数x ，y 满足1|1|12x y x +≤≤-+时，目标函数z x my =+的最大值等于5，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为45︒，过圆柱的轴的平面截该几何体所得 的四边形''ABB A 为矩形，若沿'AA 将其侧面剪开，其侧面展 开图形状大致为（ ）11．如图，两个椭圆的方程分别为22221(0)x y a b a b+=>>和22221()()x y ma mb +=（0a b >>，1m >），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线AC 、BD ，若AC 、BD 的斜率之积恒为6251-，则椭圆的离心率为（ ）A ．35B ．34C ．45D 712．若函数32()233f x x ax bx b =+-+在(0,1)上存在极小值点，则实数b 的取值围是（ ）A ．(1,0]-B ．(1,)-+∞C ．[0,)+∞D ．(1,)+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若1(3)nx x-的展开式中二项式系数和为64，则展开式的常数项为 ．（用数字作答）14．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的图象如图所示，则(0)f 的值为 ．15．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点(3,4)M -关于一条渐进线的对称点恰为右焦点2F ，则该双曲线的标准方程为 ．16．在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为a ，b ，c ，其面积()()()S p p a p b p c =---，这里1()2p a b c =++．已知在ABC ∆中，6BC =，2AB AC =，其面积取最大值时sin A = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1122(1)22n n a a na n ++++=-+…，*n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若2211log log n n n b a a +=⋅，12n n T b b b =+++…，求证：对任意的*n N ∈，34n T <.18．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDEF 中，ABCD 为直角 梯形，//AB CD ，90DAB ∠=︒，四边形ADEF 为 等腰梯形，//EF AD ，已知AE EC ⊥， 2AB AF EF ===，4AD CD ==．（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ADEF ；（Ⅱ）求直线CF 与平面EAC 所成角的正弦值. 19．（本小题满分12分）天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关.（Ⅰ）天气预报说，在今后的四天中，每一天降雨的概率均为40%，求四天中至少有两天降雨的概率；（Ⅱ）经过数据分析，一天降雨量的大小x （单位：毫米）与其出售的快餐份数y 成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：试建立y 时需要准备的快餐份数．（结果四舍五入保留整数）附注：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-20．（本小题满分12分）已知圆C ：222(1)x y r -+=（1r >），设A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在y 轴上．（Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）延长MC 交曲线E 于点N ，曲线E 在点N 处的切线与直线AM 交于点B ，试判断以点B 为圆心，线段BC 长为半径的圆与直线MN 的位置关系，并证明你的结论． 21．（本小题满分12分） 设函数()x f x e ax a =-+，其中e 为自然对数的底数，其图象与x 轴交于A 1(,0)x ，2(,0)B x 两点，且12x x <．（Ⅰ）数a 的取值围； （Ⅱ）证明：122'()03x x f +<（'()f x 为函数()f x 的导函数）． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos a ρθ=（0a >），Q 为l 上一点，以OQ 为边作等边三角形OPQ ，且O 、P 、Q 三点按逆时针方向排列.（Ⅰ）当点Q 在l 上运动时，求点P 运动轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）若曲线C ：222x y a +=，经过伸缩变换'2'x xy y =⎧⎨=⎩得到曲线'C ，试判断点P 的轨迹与曲线'C 是否有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，没有则说明理由.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2|1||1|f x x x =+--.（Ⅰ）求函数()f x 的图象与直线1y =围成的封闭图形的面积m ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数a 、b 满足2a b abm +=，求2a b +的最小值.数学（理科）参考答案一、选择题1-5DDACA 6-10 DADBA 11-12AB二、填空题13. 540- 14 . 2215.221520x y -= 16. 35三、解答题17.解：(1)当1n >时，1121212(1)222-1)(2)22n n nn a a na n a a n a n +-+++=-++++=-+①（②……………………2分①-②得1(1)2(2)22n n n n na n n n +=---=⋅所以2nn a =，……………………3分当1n =时，12a =，所以2nn a =，*n N ∈ …………………………………………4分(2)因为2nn a =，22211111()log log (2)22n n n b a a n n n n +===-⋅++.……………………6分因此1111111111111112322423521122n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ………………………8分111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭…………………10分3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪++⎝⎭ 所以，对任意*n N ∈，34n T <．…………………12分18．(1)证明:取AD 中点M ，连接EM ，AF =EF =DE =2，AD =4，可知EM =12AD ，∴AE ⊥DE ，………………2分又AE ⊥EC ，DE EC E = ∴AE ⊥平面CDE ， ∴AE ⊥CD ， 又CD ⊥AD ， AD AE A = ,∴CD ⊥平面ADEF ，CD ⊂ 平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ADEF ；………………………………5分（2）如图，作EO ⊥AD ，则EO ⊥平面ABCD ，故以O 为原点，分别以,,OA DC OE 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间平面直角坐标系，依题意可得3)E ，(3,0,0)A ，(1,4,0)C -，3)F ，所以(3,0,3)EA =- ， (4,4,0)AC =-，(3,3)CF =-…………………………7分设(,,)n x y z = 为平面EAC 的法向量，则00n EA n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩即30440x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 不妨设x =1， 可得(1,1,3)n = ，…………………………9分所以140cos ,70||||285CF n CF n CF n <>====3535， ………………………………11分 直线CF 与平面EAC 所成角的正弦值为3535………………………………12分19.解：（1）四天均不降雨的概率413815625P ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 四天中恰有一天降雨的概率31243221655625P C ⎛⎫==⎪⎝⎭， ……………………………………2分所以四天中至少有两天降雨的概率128121632811625625625P P P =--=--=………4分 （2）由题意可知1234535x ++++==， …………………………………………5分50+85+115+140+160=1105y =………6分51521()()275==27.510()iii ii x x y y b x x ==--=-∑∑， (8)分==27.5a y bx -所以，y 关于x 的回归方程为：ˆ27.527.5y x =+. ………10分将降雨量6x =代入回归方程得： ˆ27.5627.5192.5y=⨯+=193≈. 所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份. …………………………12分20.（Ⅰ）方法一：设M （x ，y ）， 由题意可知，A （1-r ，0），因为弦AM 的中点恰好落在y 轴上，所以x=r-1>0,即r=x+1, ………………2分所以222(1)(1)x y x -+=+，化简可得y 2=4x （x>0）所以，点M 的轨迹E 的方程为：y 2=4x （x>0）………………………4分 方法二：设M （x ，y ），由题意可知，A （1-r ，0），AM 的中点,x>0， 因为C （1，0），，．……2分在⊙C 中，因为CD ⊥DM ，所以，，所以．所以，y 2=4x （x>0）所以，点M 的轨迹E 的方程为：y 2=4x （x>0）………4分 （Ⅱ） 设直线MN 的方程为1x my =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线BN 的方程为222()4y y k x y =-+2214404x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，可得12124,4y y m y y +==-，…………………6分 由（1）可知，11r x -=，则点A 1(,0)x -，所以直线AM 的方程为1122y y x y =+， 22222222()44044y y k x y ky y y ky y x ⎧=-+⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩，0∆=，可得22k y =， 直线BN 的方程为2222y y x y =+，………………………8分 联立11222,22,2y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩可得21111441,222B B y my x y m y y -=-===，所以点B （-1，2m ）………………10分||BC =，2d ===122+m ，B ∴与直线MN 相切…………12分21.【解】（1）()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾．所以0a >，令()0f x '=，则ln x a =．................................................................................. 2分当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数；ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数；于是当ln x a =时，()f x 取得极小值．因为函数()e ()x f x ax a a =-+∈R 的图象与x 轴交于两点1(0)A x ，，2(0)B x ，(x 1＜x 2)，所以(ln )(2ln )0f a a a =-<，即2e a >．................................................ 4分此时，存在1ln (1)e 0a f <=>，；（或寻找f （0））存在33ln ln (3ln )3ln a a f a a a a a >=-+，3230a a a >-+>，又由()f x 在(ln )a -∞，及(ln )a +∞，上的单调性及曲线在R 上不间断，可知2e a >为所求取值围. ................................................................................................ 5分（2）因为1212e 0e 0xx ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，两式相减得2121e e x x a x x -=-． ......................7分记21(0)2x x s s -=>，则()121221212221e e e e 2(e e )22x x x x x x s s x x f s x x s ++-+-'⎡⎤=-=--⎣⎦-， …………………9分设()2(e e )s s g s s -=--，则()2(e e )0s s g s -'=-+<，所以()g s 是单调减函数， 则有()(0)0g s g <=，而122e02x x s+>，所以()1202x xf +'<． 又()e x f x a '=-是单调增函数，且3222121x x x x +>+， 所以0)32('21<+x x f 。
【全国市级联考】河北省石家庄市2017届高三9月摸底考试理数(原卷版)
河北省石家庄市2017届高三9月摸底考试理数试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，考试时间为120分钟；考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.若集合{}2log 12＜x x P ≤=,{}3,2,1=Q ，则＝Q P ⋂ A.{}2,1 B.{}1 C.{}3,2 D.{}3,2,1 2.复数ii z +-=12在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设R a ∈,则“4=a 是“直线038:1=-+y ax l 与直线02:2=-+a ay x l 平行”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.下列函数中为偶函数又在),0(+∞上是增函数的是A.xy )21(= B.2y x = C.x y ln = D.x y -=2 5.执行右图的程序框图，如果输入3=a ，那么输出的n 的值为A.4B.3C.2D.16.将函数)64sin(3π+=x y 的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移6π个单位，所得函数图像的一个对称中心为A.)0,487(πB.)0,3(πC.)0,85(πD.)0,127(π 7.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≤+03045y x y x y x ，则下列目标函数中，在点)1,4(处取得最大值的是A.y x z -=51B.y x z +-=3C.15z x y =-- D.y x z -=3 8.若函数123)(23++-=x x a x x f 在区间)3,21(上单调递减，则实数a 的取值范围为 A.)310,25( B.),310(+∞ C.),310[+∞ D.),2[+∞ 9.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A.12)2210(++πB.12)211(++πC.12)2211(++πD.613π 10.如图所示，在一个边长为1的正方形A0BC 内，曲线)0(3＞x x y =和曲线x y =围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是A.125B.61C.41D.31 11. 已知21,F F 分别为双曲线)0,0(1:2222＞＞b a by a x C =-的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于B A ,两点，若13:12:5::22=AF BF AB ，则双曲线的离心率为 A.13 B.41 C.15 D.312.已知定义在),0(+∞上的函数)(x f ，满足0)()1(＞x f ；)(2)()()2(x f x f x f ＜＜'(其中)(x f '是 )(x f 的导函数，e 是自然对数的底数)，则)2()1(f f 的范围为 A.)1,21(2e e B.)1,1(2ee C.)2,(e e D.),(3e e第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4各小题，每小题5分，共20分）13.在83)21(x x +的展开式中4x 的系数是_______.14.设向量),4(m a =，)2,1(-=b ，且b a ⊥，则=+b a 2________.15.正项等比数列{}n a 满足：1232a a a +=，若存在n m a a ,，使得2164·a a a n m =，则nm 91+的最小值为______. 16.在直三棱柱111C B A ABC -中，BC AB ⊥，5=AC ，则直三棱柱内切球的表面积的最大值为___.三、解答题（本大题共6小题，满分70分。
(全优试卷)河北省石家庄市高三数学一模考试(理科)试题 Word版含答案
2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|05A x x =≤≤,{}*|12B x N x =∈-≤,则A B =( )A ．{}|13x x ≤≤B ．{}|03x x ≤≤C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2,32.若z 是复数,121iz i-=+,则z z ⋅=( )A B C ．1 D ．523.下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(,)x yB ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小D ．在回归直线方程0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量y 平均增加0.2个单位4.函数()31xf x e x =--(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )5.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的最小正周期为π,其图象关于直线3x π=对称,则||ϕ的最小值为( ) A ．12π B ．6π C ．56π D ．512π6.已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅=，则||a b c +-的取值范围是（ ）A ．1⎤⎦B ．⎡⎣C ．D ．1,1⎤⎦7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ）A ．48B ．54C ．64D ．608.已知函数()f x 在(1,)-+∞上单调,且函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且5051()()f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( )A ．200-B ．100-C ．0D ．50-9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④10.已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若20x y k ++≥恒成立,则直线20x y k ++=被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长的最大值为( )A ．10B．C．D．11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =,抛物线的准线l 与x 轴交于点C ,1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AA CF的面积为则准线l 的方程为( )A．x =B．x =-C ．2x =-D ．1x =-12.已知函数()ln f x ax e x =+与2()ln x g x x e x=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为( ) A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知命题p :n N ∀∈，22n n <，则p ⌝为 ．14.程序框图如图所示,若输入0s =,10n =,0i =,则输出的s 为 ．15.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M 为12PF F ∆的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则λ= （注：1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆分别为1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积）．16.已知数列{}n a 中,1a a =,1386n n a a n +=++,若{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a bA B a c+=--. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 满足2BD BC =，且线段3AD =，求2a c +的最大值.18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==，4BA BS ==.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求二面角A SB C --的余弦值．19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25db （分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1a ，2a ，3a ，4a （其中1a ，2a ，3a ，4a 为1,2,3,4的一个排列）．若Y 为两次排序偏离程度的一种描述，1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-，求2Y ≤的概率．20.已知椭圆C ：2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．（Ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值； （Ⅱ）证明：E ，O ，D 三点共线.21.已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：1221()()f x f x x x >．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-．（Ⅰ）当2a <-时，()f x 的最小值为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当()|4|f x x a =++时，求x 的取值范围．2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷答案一、选择题1-5:DDCDB 6-10:ADBDB 11、12：AB 二、填空题13.0n N ∃∈，0202nn ≥ 14.1024 15.1316.7a >- 三、解答题 17.解：（Ⅰ）∵sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a ba b a c+=--， ∴()()()c a c a b a b -=+-， 即222a c b ac +-=，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴1cos 2B =， ∵(0,)B π∈，∴3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中由余弦定理知：222(2)22cos 603c a a c +-⋅⋅⋅︒=， ∴2(2)932a c ac +-=⋅，∵ 222()2a c ac +≤， ∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32a =，3c =时取等号，所以2a c +的最大值为6．18.（Ⅰ）证明：在ABD ∆中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知60DBA ∠=︒，AD =4BA =，解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥，可求得2BD =． 在SBD ∆中，∵SD =4BS =,2BD =, ∴222DB SD BS +=,∴SD BD ⊥, ∵BD ⊄平面SAD ,SDAD D =,∴BD ⊥平面SAD ．（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为z 轴，建立空间直角坐标系．∵由（Ⅰ）可知，平面SAD ⊥平面ABCD ，∴S 在平面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作SE AD ⊥于E，则DE =3SE =，则(S ，易求A ，(0,2,0)B，(2,0)C -，则(3,2,3)SB =-，(33,0,3)SA =-，(2,3)SC =-，设平面SBC 的法向量1(,,)n x y z=，230,230,y z y z +-=+-=⎪⎩解得1(0,3,2)n =--．同理可求得平面SAB的法向量2(1n =，∴1212cos 91||||13n n n n θ⋅===-⋅.19.解：（Ⅰ）X 的可能取值为：0,1,2,3,4．4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090(2)210C C P X C ===，314641024(3)210C C P X C ===， 444101(4)210C P X C ===， X 的分布列为：X 01234P15210 80210 90210 242101210158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）序号1a ，2a ，3a ，4a 的排列总数为4424A =种，当0Y =时，11a =，22a =，33a =，44a =．当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，1a ，2a ，3a ，4a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =；11a =，23a =，32a =，44a =；12a =，21a =，33a =，44a =．故41(2)246P Y ≤==． 20.解：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当||||MF NF =时等号成立． ∴min ||2MN =， ∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为y x m =+，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=，由222(1)1E m x m -=+，得E x =，①同理可得221)1D n x n -=+，∵1m n ⋅=-，∵221()11()1D m x m⎤-⎥⎣⎦=+22),1m m -=+② 故由①②可知：E D x x =-，代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ，N 分别在x 轴两侧，E D y y =-， ∴E DE Dy y x x =，∴E ，O ，D 三点共线．21.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,1)-∞，由题意222'()2,111a x x af x x x x x -+-=-=<--， 224(2)()48a a ∆=---=-．①若480a ∆=-≤，即12a ≥，则2220x x a -+-≤恒成立， 则()f x 在(,1)-∞上为单调减函数；②若480a ∆=->，即12a <，方程2220x x a -+-=的两根为1x =，2x =，当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当11(,)2x x ∈时，'()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意．综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为1(,)2+∞．（Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以'()0f x =在1x <上有两个不等的实根， 即2220x x a -+-=在1x <有两个不等的实根1x ，2x ， 于是102a <<，12121,,2x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩且满足11(0,)2x ∈，21(,1)2x ∈， 211111*********()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-， 同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---，令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，1(,1)2x ∈． []22'()2ln (1)1x g x x x x x =--++-，1(,1)2x ∈， ∵1(1)4x x -<，∴[]2ln (1)0x x -->， 又1(,1)2x ∈时，201x x x 2+>-，∴'()0g x >，则()g x 在1(,1)2x ∈上单调递增， 所以1()()02g x g >=，即1221()()0f x f x x x ->，得证． 22.解：（Ⅰ）2214x y +=，2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点(2cos ,sin )A q q ，8cos 4sin l θθ=+))θθθϕ==+，且cos ϕ=，sin ϕ=， 所以，当22k πθϕπ+=+（k Z ∈）时，l 取最大值， 此时22k πθπϕ=+-，所以，2cos 2sin θϕ==sin cos θϕ==此时，A ，1l 的普通方程为14y x =． 23.解：（Ⅰ）当2a <-时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<⎧⎪=++-=---≤≤-⎨⎪-+>-⎩可知，当2x =-时，()f x 的最小值为(2)21f a -=--=，解得3a =-． （Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-≥+--=++， 当且仅当(24)()0x x a +-≤时，()|4|f x x a =++成立，所以，当2a <-时，x 的取值范围是{}|2x a x ≤≤-；当2a =-时，x 的取值范围是{}2-；当2a >-时，x 的取值范围是{}|2x x a -≤≤．。
2017届石家庄第二次模拟考试数学(理科)试卷含答案
2016-2017学年度石家庄市第二次模拟考试数学理科答案一、选择题1-5DDACA 6-10 DADBA 11-12AB二、填空题13. 540- 14 . 22 15. 221520x y -= 16. 35三、解答题17.解：(1)当1n >时， 1121212(1)222-1)(2)22n n n n a a na n a a n a n +-+++=-++++=-+ ①（②……………………2分 ①-②得1(1)2(2)22n n n n na n n n +=---=⋅所以2n n a =，……………………3分当1n =时，12a =， 所以2n n a =，*n N ∈ …………………………………………4分 (2)因为2n n a =，22211111()log log (2)22n n n b a a n n n n +===-⋅++.……………………6分 因此1111111111111112322423521122n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ………………………8分111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭…………………10分 3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪++⎝⎭ 所以，对任意*n N ∈，34n T <．…………………12分18．(1)证明:取AD 中点M ，连接EM ，AF =EF =DE =2，AD =4，可知EM =12AD ，∴AE ⊥DE ，………………………………2分又AE ⊥EC ，DE EC E = ∴AE ⊥平面CDE ，∴AE ⊥CD ， 又CD ⊥AD ，AD AE A = ,∴CD ⊥平面ADEF ，CD ⊂ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ADEF ；………………………………5分（2）如图，作EO ⊥AD ，则EO ⊥平面ABCD ，故以O 为原点，分别以,,OA DC OE 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间平面直角坐标系，依题意可得E ，(3,0,0)A ，(1,4,0)C -，F ，所以(3,0,EA = ， (4,4,0)AC =- ，(3,CF =- …………………………7分设(,,)n x y z = 为平面EAC 的法向量，则00n EA n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩即30440x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 不妨设x =1，可得n = ，…………………………9分所以cos ,70||||CF n CF n CF n <>=== =3535， ………………………………11分直线CF 与平面EAC 所成角的正弦值为3535………………………………12分 19.解：（1）四天均不降雨的概率413815625P ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 四天中恰有一天降雨的概率31243221655625P C ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ……………………………………2分 所以四天中至少有两天降雨的概率128121632811625625625P P P =--=--= ………4分 （2）由题意可知1234535x ++++==， …………………………………………5分 50+85+115+140+160=1105y = …………………………………………………………6分 51521()()275==27.510()i ii ii x x y y b x x ==--=-∑∑ ，………………………………………………………8分 ==27.5ay bx - 所以，y 关于x 的回归方程为：ˆ27.527.5y x =+. ……………………………………10分将降雨量6x =代入回归方程得： ˆ27.5627.5192.5y=⨯+=193≈.所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份. …………………………12分20.（Ⅰ）方法一：设M （x ，y ），由题意可知，A （1-r ，0），因为弦AM 的中点恰好落在y 轴上，所以x=r-1>0,即r=x+1, ………………2分所以222(1)(1)x y x -+=+，化简可得y 2=4x （x >0）所以，点M 的轨迹E 的方程为：y 2=4x （x >0）………………………4分方法二：设M （x ，y ），由题意可知，A （1-r ，0），AM的中点,x >0， 因为C （1，0），，．………………………2分在⊙C 中，因为CD ⊥DM，所以，， 所以．所以，y 2=4x （x >0）所以，点M 的轨迹E 的方程为：y 2=4x （x >0）………………………4分（Ⅱ） 设直线MN 的方程为1x my =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线BN 的方程为222()4y y k x y =-+ 2214404x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，可得12124,4y y m y y +==-，…………………6分 由（1）可知，11r x -=，则点A 1(,0)x -，所以直线AM 的方程为1122y y x y =+， 22222222()44044y y k x y ky y y ky y x ⎧=-+⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩，0∆=，可得22k y =， 直线BN 的方程为2222y y x y =+，………………………8分 联立11222,22,2y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩可得21111441,222B B y my x y m y y -=-===， 所以点B （-1，2m ）………………………10分||BC =，2d==122+m，B∴e与直线MN相切………………………12分21.【解】（1）()e xf x a'=-．若0a≤，则()0f x'>，则函数()f x是单调增函数，这与题设矛盾．所以0a>，令()0f x'=，则lnx a =．................................................................................. 2分当lnx a<时，()0f x'<，()f x是单调减函数；lnx a>时，()0f x'>，()f x是单调增函数；于是当lnx a=时，()f x取得极小值．因为函数()e()xf x ax a a=-+∈R的图象与x轴交于两点1(0)A x，，2(0)B x，(x1＜x2)，所以(ln)(2ln)0f a a a=-<，即2ea>．................................................ 4分此时，存在1ln(1)e0a f<=>，；（或寻找f（0））存在33ln ln(3ln)3lna a f a a a a a>=-+，3230a a a>-+>，又由()f x在(ln)a-∞，及(ln)a+∞，上的单调性及曲线在R上不间断，可知2ea>为所求取值范围. ................................................................................................ 5分（2）因为1212e0e0xxax aax a⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，两式相减得2121e ex xax x-=-．......................7分记21(0)2x xs s-=>，则()12122121221e e ee2(e e)x xx x x xs sx xf s++-+-'⎡⎤=-=--⎣⎦，…………………9分设()2(e e)s sg s s-=--，则()2(e e)0s sg s-'=-+<，所以()g s是单调减函数，则有()(0)0g s g<=，而122e02x xs+>，所以()120x xf+'<．又()e xf x a'=-是单调增函数，且3222121xxxx+>+，所以0)32('21<+xxf。
河北省石家庄市2017届高三毕业班第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2017届石家庄市高中毕业班第二次模拟考试数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数y =ln(1)y x =-的定义域分别为M 、N ，则M N ⋃=（ ）A. (1,2]B. [1,2]C. (,1][2,)-∞⋃+∞D. (,1)[2,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】 函数y =的定义域为[2,),+∞函数ln(1)y x =-的定义域为(,1),-∞所以(,1][2,),M N ⋃=-∞⋃+∞选D.2.若2iz i=+，则复数z 对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】(2)1212,,2(2)(2)5555i i i z i z i z i i i -===+=-++-对应的点12(,)55- 在第四象限，选D. 3.向量(),1a m =r ，()1,b m =r ，则“1m =”是“//a b r r ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】向量(),1a m =r ，()1,b m =r ，若//a b ，则21m =，解得1m =±.所以“1m =”是“//a b ”的充分不必要条件. 故选A.4.现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地一次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（ ）A.310B.25C.12D.35【答案】C 【解析】因为5道题中有3道理科题和2道文科题，所以第一次抽到理科题的前提下，第二次抽到理科题的概率为21.42P ==选C. 5.已知角α（0360α︒≤<︒）终边上一点的坐标为(sin 235,cos 235)︒︒，则α=（ ） A. 215︒ B. 225︒C. 235︒D. 245︒【答案】A 【解析】0000000sin 235sin(18055)sin 550,cos 235cos(18055)=+=-<=+0cos550,=-<所以α 为第三象限的0000cos 235tan cot 235cot 55tan 35sin 235y x α===== 0tan 215=，选A.6.已知ln ()xf x x=，其中e 为自然对数的底数，则（ ） A. (2)()(3)f f e f >> B. (3)()(2)f f e f >> C. ()(2)(3)f e f f >> D. ()(3)(2)f e f f >>【答案】D 【解析】21ln (),xf x x-'=当()0,x e ∈时，'()0,()f x f x >单调递增，当(,)x e ∈+∞时， '()0,()f x f x <单调递减，max ln 2ln 3ln8ln 9()(),(2)(3)0,236f x f e f f -=-=-=<所以(2)(3),f f <故有()()()32.f e f f >>选D.7.如图是计算11113531+++⋯+的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是（ ）A. 2=+n n ,16?i >B. 2=+n n ,16?i ≥C. 1=+n n ,16i >?D. 1=+n n ,16?i ≥【答案】A 【解析】 该程序是求数列1{}21n - 的前16项和，①处变量n 每次增加2，②处是循环控制条件，循环体共执行了16次，故16i >时，退出循环，选A.8.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A.34π B.24π+ C.12π+ D.324π+ 【答案】D 【解析】【详解】该几何体的体积为34的圆锥体积与三棱锥p ADB V -的体积之和，即2311113+2=13+3=.43234V ππ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯几何体选D.9.实数x ，y 满足1|1|12x y x +≤≤-+时，目标函数z x my =+的最大值等于5，则实数m 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】由1x y +≤ 知0,y ≥故1,y x y -≤+≤所求目标区域为1{1112y x y x y x -≤+≥+≤-+如图，目标函数1,,0zz x my y x m m m =+=-+> 时，将1y x m=-向上平移得到最优点为B 或C ，若B 为最优点，则5,z m ==目标函数为155z y x =-+，因为11,52->-将15y x =-向上平移最优点应该为C ，这将产生矛盾，若C 为最优点，(4,3)C -代入435,3z x my m m =+=-+==符合题意，选B.10.如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为45︒，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形''ABB A 为矩形，若沿'AA 将其侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（ ）A. B. C.D.【答案】A 【解析】截面方程为2212y x += ,截面在轴截面A ABB ''上的投影为圆221x y +=,沿'AA 剪开起展开图不可能是B 、C 、D.选A.11.如图，两个椭圆的方程分别为22221(0)x y a b a b+=>>和22221()()x y ma mb +=（0a b >>，1m >），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线AC 、BD ，若AC 、BD 的斜率之积恒为1625-，则椭圆的离心率为（ ）A.35B.34C.45D.7 【答案】A 【解析】由题意知，外层椭圆方程为22221()()x y ma mb += ，设切线AC 的方程为1()y k x ma =-代入内层椭圆消去y 得: 22222322422111()20k a b x mk a x m k a a b +-+-=由0∆=化简得221221,1b k a m =⋅-同理得22222(1),b k m a =⋅-所以44221244,5b k k a ⎛⎫== ⎪⎝⎭243.1(),55b c b e a a a ===-=选A.点睛:求椭圆的离心率一般只需要找到关于,,a b c 的方程，方程1625AC BD K K ⋅=- 中的斜率,AC BD K K 都可以用,,a b m 来表示，从而找到了关于,,a b m 的方程.12.若函数32()233f x x ax bx b =+-+在(0,1)上存在极小值点，则实数b 的取值范围是（ ） A. (1,0]- B. (1,)-+∞C. [0,)+∞D. (1,)+∞【答案】B 【解析】当203-<时，()f x 在(0,1)上存在极小值，则(1)0{(0)00,0f f b ><⇒>∆>''当2013a <-<时，即302a -<<时，(1)01{1,03f b >⇒-<<∆>'当213a ->时，()f x 无极小值.综上可知实数b 的取值范围是()1,.-+∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若1(3)nx x-的展开式中二项式系数和为64，则展开式的常数项为__________．（用数字作答） 【答案】540-【解析】由题意知，264,6,n n ==所以61(3)x x-的展开式通项为6261661()(3)(3),rrr rr r r T C x C x x--+=⋅⋅-=⋅⋅-令260,3r r -== ，常数项为3346(3)540.T C =-=-14.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的图象如图所示，则(0)f 的值为__________．2【解析】 由图知3(),2,1,()sin(),244T T w f x x ππππϕ=--====+ 且()0,4f π= ,,44k k ππϕπϕπ+==- 因为0,ϕπ<< 所以33,()sin(44f x x ϕππ==+），32(0)sin 4f π==15.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点4()3,M -关于一条渐进线的对称点恰为右焦点2F ，则该双曲线的标准方程为__________．【答案】221520x y -=【解析】设MF 与双曲线渐近线 :b l y x a =交于点,H 则3(,2)2c H -点H 代入b y x a=中，32,2b c a -=⨯①401,3MF l b K K c a -⋅=⋅=---②由①②得5,c =将点4()3,M -代入双曲线22221x y a b-=中，2220,5,b a ==双曲线方程为22 1.520x y -=点睛：求双曲线的标准方程就是求,a b 的值，已知条件中MF 中点H l ∈且,MF l K K ⊥点M 在双曲线上，这些 条件可以计算出a b 、的值.16.在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为a ， b ， c ，其面积S =()12p a b c =++．已知在ABC ∆中， 6BC =， 2AB AC =，其面积取最大值时sin A =__________． 【答案】35【解析】 设,AC b =132,(63)3,22AB c b p b b ===⨯+=+S ===当220b =时，S有最大值，故22243,sin .255b c a b c A A bc +-=====点睛：将ABC ∆的面积表示成关于b 的函数，换元之后为关于2b的二次函数，故S 有最大值时，b 取值为再应用余弦定理求出cos A 的值，进一步求sin .A三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 满足1122(1)22n n a a na n +++⋯+=-+，*n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若2211log log n n n b a a +=⋅，12n n T b b b =++?，求证：对任意的*n N ∈，34n T <. 【答案】（1）2nn a =（2）见解析【解析】试题分析:(1)设数列{}n na 前n 项和为,n S 表示出1n S -两式相减得到关于n a 的表达式,从而求出.n a (2) nb 化简之后裂项相消求出.n T 试题解析:（Ⅰ）当1n >时，()()11212121222-1)222n n n n a a na n a a n a n +-+++=-++++=-+L L ①（②①-②得()()112222n n n n na n n n +=---=⋅，所以2nn a =，当1n =时，12a =，所以2nn a =，*n N ∈．（Ⅱ）因为2nn a =，()22211111log log 222n n n b a a n n nn +⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭.因此1111111111111112322423521122n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪++⎝⎭ 所以，对任意*n N ∈，34n T <． 18.在如图所示的多面体ABCDEF 中，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90DAB ∠=︒，四边形ADEF 为等腰梯形，//EF AD ，已知AE EC ⊥，2AB AF EF ===，4AD CD ==．（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ADEF ； （Ⅱ）求直线CF 与平面EAC 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）3535【解析】试题分析:(1)连接,EM 在等腰梯形中可证得,EM EA DM ==从而,AE ED ⊥且,,,AE EC ED EC E AE EDC ⊥⋂=⊥面再证DC ⊥面ADEF ，DC ⊂面ADEF ，所以平面ABCD ⊥平面ADEF ．(2)先建立空间直角坐标系求出面EAC 的法向量，直线CF 与面EAC 所成角的正弦值即为向量CF uuu r与面EAC 法向量夹角的余弦值的绝对值.（Ⅰ）证明：取AD 中点M ，连接EM ，2AF EF DE ===，4AD =，可知12EM AD =， ∴AE DE ⊥，又AE EC ⊥，DE EC E ⋂= ∴AE ⊥平面CDE ， ∴AE CD ⊥， 又CD AD ⊥，AD AE A ⋂=，∴CD ⊥平面ADEF ，CD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ADEF ．（Ⅱ）如图，作EO AD ⊥，则EO ⊥平面ABCD ，过O 作//,OH DC 交BC 于H 点，故以O 为原点，分别以,OH,OA OE u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间平面直角坐标系，依题意可得()0,0,3E ，()3,0,0A ，()1,4,0C -，()2,0,3F ，所以()3,0,3EA =-u u u r ， ()4,4,0AC u u u r=-，()3,4,3CF u u u r=-．设(),,n x y z =r为平面EAC 的法向量，则·0{·0n EA n AC ==u u u r r u u u r r 即330{440x z x y -=-+= 不妨设1x =，可得()1,1,3n =r，所以·140cos ,28?5·CF n CF n CF n===u u u r r u u u r r u u u r r 35=，直线CF 与平面EAC 所成角的正弦值为35．19.天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关.（Ⅰ）天气预报说，在今后的四天中，每一天降雨的概率均为40%，求四天中至少有两天降雨的概率； （Ⅱ）经过数据分析，一天内降雨量的大小x （单位：毫米）与其出售的快餐份数y 成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：试建立y 关于x 的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．（结果四舍五入保留整数）附注：回归方程y bx a =+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，$ay bx =-$ 【答案】（1）328625（2）当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份 【解析】试题分析：（1）四天中至少有两天降雨的对立事件为四天均不降雨或四天中恰有一天降雨，用1减去其对立事件的概率就是四天中至少有两天降雨的概率.（2）应用最小二乘法估计公式计算出线性回归方程，再将降雨量6x =代入回归方程得到降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数.试题解析：（Ⅰ）四天均不降雨的概率413815625P ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 四天中恰有一天降雨的概率31243221655625P C ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭，所以四天中至少有两天降雨的概率128121632811625625625P P P =--=--=. （Ⅱ）由题意可知1234535x ++++==，50851151401601105y ++++==， ()()()51521ˆ275==27.510iii ii x x y y bx x ==--=-∑∑，Q 所以，y 关于x 的回归方程为：27.525ˆ7.yx =+． 将降雨量l 代入回归方程得：P .所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份．20.已知圆C ：222(1)x y r -+=（1r >），设A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在y 轴上． （Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）延长MC 交曲线E 于点N ，曲线E 在点N 处的切线与直线AM 交于点B ，试判断以点B 为圆心，线段BC 长为半径的圆与直线MN 的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1）24y x =（0x >）．（2）见解析 【解析】试题分析：（1）由题意得(1,0)A r - ，设(,),M x y AM 中点为(0,),2y D 则0CD AM CD AM ⊥⇔⋅=u u u r u u u u r得到关于,x y 的方程就是点M 的轨迹E 的方程.（2）设直线MN 的方程为1,x my =+求出直线AM BN 、的方程并联立得到B 点坐标，由两点距离公式求出||BD ，再由点B 到直线MN 的距离公式求出距离,,d d BD =则线段BC 长为半径的圆与直线MN 相切.试题解析：（Ⅰ）设(,)M x y ，由题意可知，(1,0)A r -，AM 的中点(0,)2y D ，0x >，因为(1,0)C ，(1,)2y DC =-u u u r ，(,)2yDM x =u u u u r ．在⊙C 中，因为CD DM ⊥，∴0DC DM ⋅=u u u r u u u u r，所以204y x -=，即24y x =（0x >）， 所以点M 的轨迹E 的方程为：24y x =（0x >）．（Ⅱ） 设直线MN的方程为1cos sin 2a ρθθ=，Q ，l ，直线BN 的方程为P ，20x a --=，可得222x y a +=，//2{x x y y ==，则点A //{2x x y y ==，所以直线AM 的方程为//224x y a +=， 2224x y a +=，0∆=，可得22k y =， 直线BN 的方程为2222yy x y =+，联立11222,2{2,2y y x y y y x y =+=+可得21111441,222B B y my x y m y y -=-===， 所以点(1,2)B m -，BC =d ===∴B e 与直线MN 相切．点睛：在确定以BC 为直径的圆与直线MN 的位置关系中，巧妙地观察圆与直线MN 相切，这就可以选择用圆心到直线的距离等于半径来证明，避免了联立方程组，判断∆ 的代数法.21.设函数()x f x e ax a =-+，其中e 为自然对数的底数，其图象与x 轴交于A 1(,0)x ，2(,0)B x 两点，且12x x <．（Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）证明：122'()03x x f +<（'()f x 为函数()f x 的导函数）． 【答案】（1）l （2）见解析 【解析】试题分析：（1）(),x f x e a =-' 当0a ≤时，()0,()f x f x ≥'为R 上的单调函数与x 轴交点只有一个或零个，不满足题意；当0a >时，讨论()f x 的单调性，()f x 有极小值点，只要保证()f x 的极小值小于零，则会满足题意.（2）注意到(),xf x e a =-'为单调增函数，若能证明12()0,2x x f '+< 且1212223x x x x++> 必有 122()0.3x x f '+< 试题解析：（Ⅰ）OPQ ．若O 、，则P 、，则函数Q 是单调增函数，这与题设矛盾．所以Q ，令l ，则P ． 当C 时，222x y a +=，2{x xy y=''=是单调减函数；'C 时，P ，'C 是单调增函数；于是当()211f x x x =+--时，()f x 取得极小值． 因为函数1y =的图象与m 轴交于两点a b 、，2a b abm +=(x 1＜x 2)， 所以2+a b ，即(,)ρθ． 此时，存在Q ；（或寻找f （0）） 存在(,)3πρθ+Q ，又由,0a a >在cos()3a πρθ+=及Q 上的单调性及曲线在R 上不间断，可知l 为所求取值范围．（Ⅱ）因为P 两式相减得cos()3a πρθ+=．记cos()3a πρθ+=，则1cos sin 2a ρθθ=， 设Q ，则l ，所以P 是单调减函数，则有20x a -=，而222x y a +=，所以//2{x x y y==． 又//{2x x y y ==是单调增函数，且//224x y a +=，所以2224x y a +=．点睛：证明122()03x x f +<' 的过程中，要研究导函数'()f x 的单调性及特殊值点 122x x + 的导函数值，从而应用函数的单调性比较出函数值的大小关系解决问题. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos =a ρθ（0a >），Q 为l 上一点，以OQ 为边作等边三角形OPQ ，且O 、P 、Q 三点按逆时针方向排列. （Ⅰ）当点Q 在l 上运动时，求点P 运动轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）若曲线C ：222x y a +=，经过伸缩变换'2{'x xy y==得到曲线'C ，试判断点P 的轨迹与曲线'C 是否有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，没有则说明理由. 【答案】（1）20x a -=（2）2(,),(2,0)7a a ． 【解析】试题分析：考虑到,OP OQ = 则,P Q 点的极坐标可以表示为(,),(,)3P Q πρθρθ+将Q 点代入直线l 的极坐标方程中得到关于,ρθ的方程即为P 点的极坐标方程，再转化为P 点的直角坐标方程.（2）将曲线'C 的普通方程与直线l 普通方程联立0,∆> 故必有两个交点. 试题解析：（Ⅰ）设点P 的坐标为(),ρθ，则由题意可得点Q 的坐标为,3πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 再由点Q 的横坐标等于a ，0a >， 可得cos 3a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得1cos sin 2a ρθθ=， 故当点Q 在l 上运动时点P的直角坐标方程为20x a -=． （Ⅱ)曲线C ：222x y a +=，'2{'x x y y ==，即'{2'x x y y ==，代入22''4x y a +=，即2224x y a +=， 联立点P 的轨迹方程，消去x得270y +=，0,0a >∴∆>Q有交点，坐标分别为()2,,2,07a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2|1||1|f x x x =+--.（Ⅰ）求函数()f x 的图象与直线1y =围成的封闭图形的面积m ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数a 、b 满足2a b abm +=，求2+a b 的最小值. 【答案】（1）6（2）43【解析】试题分析：（1）画出分段函数()f x 的图像，则它与函数1y = 的图像围成的封闭图形为三角形.（2）将26a b ab += 变形为 126,b a+=在基本不等式中应用“配1法”解决.试题解析：（Ⅰ）函数f 3,1,()211{31,11,3, 1.x x f x x x x x x x --≤-=+--=+-<<+≥它图象如图所示：函数()f x 的图象与直线1y =的交点为()4,1-、()0,1， 故函数()f x 的图象和直线1y =围成的封闭图形的面积14362m =⨯⨯=． （Ⅱ）26a b ab +=Q 126,b a∴+= ()124242448a ba b b a b a ⎛⎫++=++≥=⎪⎝⎭， 当且仅当4a b b a =， 可得21,33a b ==时等号成立，2a b ∴+的最小值是43。
河北省石家庄市2017届高三第一次复习教学质量检测理数试题
高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合()(){}{}|130,|24A x x x B x x =+-<=<<，则AB =（ ）A ．{}|13x x -<<B ．{}|14x x -<<C ．{}|12x x <<D ．{}|23x x <<2.若复数z 满足23zi i =-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为 （ ） A ．32i -- B ．32i -+ C ．23i + D ．32i -3. 下列选项中，说法正确的是（ ） A ．若0a b >>，则ln ln a b <B ．向量()()()1,,,21a m b m m m R ==-∈垂直的充要条件是1m =C ．命题“()*1,322nn n N n -∀∈>+”的否定是“()*1,322nn n N n -∀∈≥+”D ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b <，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点()f x ”的逆命题为假命题4. 已知等差数列{}n a 的公差为5，前n 项和为n S ，且125,,a a a 成等比数列，则6S =（ ） A ．80 B ．85 C. 90 D ．955.如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的12S =-，则输出的S 的值为 （ ）A ．4B ．5 C. 8 D ．96. 某几何体的三视图如图所示（在下边的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（ ）A ． 2B ． 3 C. 4 D ．67. 若函数()()()()2cos 20f x x x θθθπ=+++<<的图象关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则函数()f x 在,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ） A ．-1 B． C. 12-D．8. 若,x y 满足103220x y mx y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩且3z x y =-的最大值为2，则实数m 的值为（ ）A ．13 B ． 23C. 1 D ．2 9.若,a b 是正数，直线220ax by +-=被圆224x y +=截得的弦长为，则t =取得最大值时a 的值为 （ ）A ．12 B．3410. 已知函数()132,1,1x e x f x x x x -⎧<=⎨+≥⎩，则()()2f f x <的解集为（ ）A ．()1ln 2,-+∞B ．(),1ln 2-∞- C. ()1ln 2,1- D ．()1,1ln 2+ 11.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且,BD CD AB BD CD ⊥==，点P 在棱AC 上运行，设CP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为()f x ，则()f x 的图象大致是（ ）A ．B ． C.D ．12.若存在正实数m ，使得关于x 的方程()()224ln ln 0x a x m ex x m x ++-+-=⎡⎤⎣⎦有两个不同的根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(),0-∞ B ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ()1,0,2e ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.若二项式21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开工的二项式系数之和为64，则含3x 项的系数为 ．14.已知AB 与AC 的夹角为90°，()2,1,,AB AC AM AB AC R λμλμ===+∈，且0AM BC =，则λμ的值为 ． 15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n a 为1121231234121,,,,2334445555n n nn-,,,,,,,,,,,，若14k S =，则k a = ．16.已知F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，过原点的直线l 与双曲线交于,M N 两点，且0,MF NF MNF =∆的面积为ab ，则该双曲线的离心率为 ．三、解答题 （本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且()2234a cb ac -=-.（1）求cos B 的值；（2）若b =，且sin sin sin A B C 、、成等差数列，求ABC ∆的面积. 18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//,,2,3,4,AD BC CD BC AD AB BC PA M ⊥====为AD 的中点，N 为PC 上一点，且3PC PN =.（1）求证：//MN 平面PAB ； （2）求二面角P AN M --的余弦值. 19. （本小题满分12分）为了调查某地区成年人血液的一项指标，现随机抽取了成年男性、女性各20人组成的一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得到了如下茎叶图.根据医学知识，我们认为此项指标大于40为偏高，反之即为正常.（1）依据上述样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列出二维列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系？（2）以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机抽取成年男性、女性各2人，求此项血液指标为正常的人数X 的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点()1,0F ，直线:1l x =-，动直线l '垂直l 于点H ，线段HF 的垂直平分线交l '于点P ，设点P 的轨迹为C . （1）求曲线C 的方程；（2）以曲线C 上的点()()000,0P x y y >为切点作曲线C 的切线1l ，设1l 分别与,x y 轴交于,A B 两点，且1l 恰与以定点()(),02M a a >为圆心的圆相切，当圆M 的面积最小时，求ABF ∆与PAM ∆面积的比.21. （本小题满分12分） 已知函数()()()()()221ln ,1,,x f x x a bx g x bx e x a a b R e b=+-=-++∈为自然对数的底数，且()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为1ln 22y x =-+.（1）求实数,a b 的值；（2）若0x ≥，求证：()()f x g x ≤.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 2sin 12ρθρθ+=，且直线l 与曲线C 交于,P Q 两点.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 恒过的定点A 的坐标； （2）在（1）的条件下，若6AP AQ =，求直线l 的普通方程. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()3f x x x m x R =-++∈. （1）当1m =时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若不等式()5f x ≤的解集不是空集，求参数m 的取值范围.石家庄市2017届高三复习教学质量检测（一）数学（理科答案）一、选择题：1-5 DBDCC 6-10 ABDDB 11-12AD二、填空题:13. 20 14.15．16..三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由，可得……………2分∴，……………4分即．………………6分（Ⅱ）∵，由余弦定理，得又∵、、的值成等差数列，由正弦定理，得∴，解得．……………8分由，得，……………10分∴△的面积．……………12分18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在平面PBC内作NH∥BC交PB于点H,连接AH,在△PBC中,NH∥BC,且 ,∴MN∥平面PAB.…………………4分（II）在平面ABCD内作AE∥CD交BC于E，， .分别以AE，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 则，，，……………6分设平面AMN 的法向量则……………8分设平面PAN 的法向量……………10分则二面角……………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由茎叶图可得二维列联表……………2分…………4分所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系．………………………5分（II）由样本数据可知，男性正常的概率为，女性正常的概率为．…………6分此项血液指标为正常的人数X的可能取值为====所以X的分布列为………………11分所以EX==2.8此项血液指标为正常的人数X的数学期望为2.8……………12分20.（本小题满分12分）.解：（Ⅰ）由题意得，点到直线的距离等于它到定点的距离，…………2分点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，点的轨迹的方程为…………………4分（Ⅱ）解法一：由题意知切线的斜率必然存在，设为，则．由，得，即由，得到．∴，……………………6分解法二：由，当时，，以为切点的切线的斜率为以为切点的切线为即，整理………………6分令则，令则，………………7分点到切线的距离(当且仅当时，取等号)．∴当时，满足题意的圆的面积最小．………………9分∴，．，．……………11分∴．△与△面积之比为．………………12分21．（本小题满分12分）解：（I），，且以点为切点的切线方程为即：…………………2分由得，代入得：又为单调递增函数……………………4分所以可得；……………………………5分（II）由（I）可知，思路：易知：，证明如下：令则当时，,即：……………………………7分思路：易知：，证明如下：，显然，当，，即又，（当时取等号）. ……………………7分要证：，即：只需证：，即证：令则，令……………………………9分则（只有时，等号成立）在为增函数，在为增函数，，即.…………………………12分请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请把所选题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：.解：（I）……..2分恒过的定点为…….4分（II）把直线方程代入曲线C方程得：分由的几何意义知.因为点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以………………7分，，，……………9分因此，直线直线的方程或分23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）解：分分解得：分（II）法1.化简得当时……..6分当时……..7分由于题意得：即…….8分或即…….9分……..10分法2.分分分。
【试题】河北省石家庄市2017届高三下学期模拟联考理数试题Word版含答案
【关键字】试题河北省石家庄市第二中学2017届高三下学期模拟联考数学（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1.设集合，，则（）A．B．C．D．2.若复数满足，则（）A．B．C．D．13.已知点在角终边的延长线上，且，则的坐标为（）A. B. C. D.4.若，，则（）A. B. C. D.5.根据如图的程序框图，当输入为2017时，输出的为28，则判断框中的条件可以是（）A．B． C. D．6.在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.问几天后两鼠相遇？（）A．B． C. D．7. 已知函数，若，都是从任取的一个数，则满足时的概率（）A．B． C. D．8.函数图象上的某点可以由函数上的某点向左平移个单位长度得到，则的最小值为（）A．B． C. D．9. 如图所示，网络纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B． C. D．10. 某计算器有两个数据输入口，一个数据输出口，当分别输入正整数1时，输出口输出2，当输入正整数，输入正整数时，的输出是；当输入正整数，输入正整数时，的输出是；当输入正整数，输入正整数时，的输出是；当输入60，输入50时，的输出是（）A. 494B.485 D.48311.已知直线与双曲线交于，两点，且中点的横坐标为，过且与直线垂直的直线过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为（）A．B． C. D．12.已知，若关于的方程，恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知二项式展开式中，则项的系数为.14.已知向量，，则．15.已知函数，无论取何值，函数在区间总是不单调.则的取值范围是．16.已知中，角为直角，是边上一点，是上一点，且，，则．三、解答题17. 已知数列前项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）令，为的前项和，求证：.18. 已知中，，分别为边上的两个三等分点，为底边上的高，，如图1.将，分别沿，折起，使得，重合于点，中点为，如图2.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角的正切值为2，求二面角的大小.19. 某中学高二年级开设五门大学先修课程，其中属于数学学科的有两门，分别是线性代数和微积分，其余三门分别为大学物理，商务英语以及文学写作，年级要求每名学生只能选修其中一科，该校高二年级600名学生各科选课人数统计如下表：其中选修数学学科的人数所占频率为0.6，为了了解学生成绩与选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行分析.（1）从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少2人选修线性代数的概率；（2）从选出的10名学生中随机抽取3人，记为选择线性代数人数与选择微积分人数差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.20. 已知椭圆的离心率为，短轴长为，右焦点为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线过点且与椭圆有且仅有一个公共点，过点作直线交椭圆与另一点.①证明：当直线与直线的斜率，均存在时，为定值；②求面积的最小值.21. 已知函数在处的切线与直线垂直.（1）求函数（为的导函数）的单调递加区间；（2）记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别是244x t y t ⎧=⎨=⎩（t 是参数）和cos ,1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程； （2）射线:OM ([,])64ππθαα=∈与曲线1C 的交点为O ，P ，与曲线2C 的交点为O ，Q ，求||||OP OQ ⋅的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当3a =时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x R ∈时，2()()213f x g x a +≥-，求a 的取值范围.2017届普通高中毕业班第一次适应性测试数学试卷参考答案（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1-5:DBCBC 6-10:ABBAD 11、12：BC 二、填空题（每小题5分，共20分）15. 34a £ 16. 2 三、解答题17.解：（1）当3n ≥时，可得112(42)(42)0n n n n S S S S --------=14n n a a -⇒= 又因为12a =，代入已知等式，可得28a =，满足上式.所以数列{}n a 是首项为12a =，公比为4的等比数列，故：121242n n n a --=⋅=.（2）212log 221n n b n -==-，213(21)n T n n =+++-=.111111(1)()()2231n n =+-+-++--122n=-<.18.解：（1）因为A ，B 是PQ 的三等分点，所以PA AB BQ CA CB ====， 所以ABC ∆是等边三角形，又因为M 是AB 的中点， 所以CM AB ⊥.因为DB AB ⊥，DB BC ⊥，ABBC B =，所以DB ⊥平面ABC ，又//EA DB ，所以EA ⊥平面ABC ；CM ⊂平面ABC ，所以CM EA ⊥.因为AMEA A =，所以CM ⊥平面EAM . 因为EM ⊂平面EAM ， 所以CM EM ⊥.（2）以点M 为坐标原点，MC 所在直线为x 轴，MB 所在直线为y 轴，过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系M xyz -. 因为DB ⊥平面ABC ，所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角. 由题意得tan 2DBDMB MB∠==，即2BD MB =， 从而BD AC =.不妨设2AC =，又2AC AE =，则CM =，1AE =.故(0,1,0)B ，C ，(0,1,2)D ，(0,1,1)E -.于是(3,1,0)BC =-，(0,0,2)BD =，(1,1)CE =--，(2)CD =-， 设平面BCD 与平面CDE 的法向量分别为111(,,)m x y z =，222(,,)n x y z =，由00m BC m BD ⎧=⎪⎨=⎪⎩••得111020y z -==⎪⎩，令11x =，得1y =，所以(1,3,0)m =.由00n CE n CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩••得222222020y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，令21x =得23y =-，23z =.所以3(1,33n =-. 所以cos ,0||||m nm n m n ==•.所以二面角B CD E --的平面角的大小为90°.19.解：（1）因为选修数学学科人数占总人数频率为0.6，即1800.6600x+=，可得：180x =， 又180********x y ++++=，所以60y =，则根据分层抽样法：抽取10人中选修线性代数的人数为：180103600⨯=人；选修微积分的人数为：180103600⨯=人；选修大学物理的人数为：120102600⨯=人；选修商务英语的人数为：60101100⨯=人；选修文学写作的人数为：60101100⨯=人；（1）现从10人中选3人共有310120C =种选法，且每种选法可能性相同，令事件:A 选中的3人至少两人选修线性代数，事件:B 选中的3人有两人选修线性代数，事件:C 选中的3人都选修线性代数，且,B C 为互斥事件，()()()P A P B P C =+=2133733310101160C C C C C ⨯+=. （2）记X 为3人中选修线性代数的人数，X 的可能取值为0,1，2,3，记Y 为3人中选修微积分的人数；Y 的可能取值也为0,1,2,3，则随机变量||x X Y =-的可能取值为0,1,2,3； (0)(0,0)P P X Y ξ====(1,1)P X Y +==1113334433101013C C C C C C =+=••； 1212343333101092220C C C C C C =+=••••， (2)(0,2)(2,0)P P X Y P X Y ξ====+==2134310125C C C ==••，(3)(0,3)(3,0)P P X Y P X Y ξ====+==333101260C C ==•； 所以x 的分布列为 所以19(3)01320E ξ==⨯+⨯1192356010+⨯+⨯=. 20.解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意可得：32c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得26a =，22b =，24c =，故椭圆方程为：22162x y +=. （2）①由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程：y kx m =+，因为点(3,)M t 在直线上，所以3t k m =+，联立直线与椭圆方程：由22360y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩可得222(13)6360k x kmx m +++-=， 又直线与椭圆有且只有一个公共点，故0D =，即2262m k =+. 由韦达定理，可得P 点坐标223(,)1313km mP k k-++. 因为直线PQ 过椭圆右焦点为(2,0)F ，所以直线PQ 的斜率2326PQ PF mk k km k ==---；而直线OM 的斜率333OM t k mk +==， 所以： 233263OM PQm k m k k km k +==---••22313263km m km k +=---•2311333km km m =---•. ②因为(1,)FM t =，222326(,)1313km k mFP k k ---=++，所以22326013mt km k FM FP k ---==+•，即FM PF ⊥；所以三角形PQM 的面积1||||2DPQM S PQ MF =；||MF =FM 的斜率为t ，可得直线PQ 的方程：2x ty =-+，与椭圆方程联立可得：||PQ =.所以DPQM S =23(3)t m m +=•，则PQM S ∆=，单调递增，故3PQMS ∆=当且仅当0t =时成立.21.解：（1）由题意可得：1'()2f x ax x=-，'(1)121f a =-=-，可得：1a =； 又2()'()ln 31y f x xf x x x =+=-+，所以2116'6x y x x x-=-=(0)x >；当x ∈时，'0y >，y 单调递增；当时)x ∈+∞，'0y <，y单调递减；故函数的单调增区间为x ∈. （2）21()ln (1)2g x x x b x =+-+，1'()(1)g x x b x=+-+2(1)1x b x x -++=，因为1x ，2x 是()g x 的两个极值点，故1x ，2x 是方程2(1)10x b x -++=的两个根，由韦达定理可知：121211x x b x x +=+⎧⎨=⎩，12x x <，可知101x <<，又11111x b e x e +=+≥+， 令1t x x=+，可证t 在(0,1)递减，由11()()h x h e ≥，从而可证110x e <≤. 所以11212122ln 1()()()()ln 2x g x g x x x x x x -=+-+12(1)()b x x -+-= 112122ln 1()()ln 2x x x x x x =+-+-1212()()x x x x +-=112122ln 1()()ln 2x x x x x x --+. 22211221111ln 222x x x x =--+11(0)x e<≤.令222111()ln (0,]22h x x x x x e=-+∈，321'()h x x x x=--=42223321(1)0x x x x x -+---=≤， 所以()h x 单调减，故2min211()()222e h x h e e ==--，所以221222e k e≤--，即2max21222e k e=--. 22.解：（1）1C 的普通方程为24y x =，2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （2）由（1）可得1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，与直线a θ=联立可得：24cos sin ar a=，即24cos sin aOP a=，同理可得2sin OQ a =. 所以8cos 8||||sin tan OP OQ ααα⋅==，在[,]64ππα∈上单调递减，所以max ||||OP OQ ⋅=.23.（1）解：当3a =，()|23|3f x x =-+. 解不等式|23|36x -+≤，得03x ≤≤， 因此，()6f x ≤的解集为{|03}x x ≤≤. （2）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212||1|x a x a a a ≥-+-+=-+，当12x =时等号成立， 所以当x R ∈时，2()()213f x g x a +≥-等价于2|1|213a a a -+≥-.①当1a ≤时，①等价于21213a a a -+≥-，解得a ≥，当1a >时，①等价于260a a --≤，解得13a <≤，所以a 的取值范围是[.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
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河北省石家庄市2017届高三冲刺模考数理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知．故本题答案选．2. 设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题，．可得．故本题答案选．3. 已知，，，则下列不等关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题．又．故本题答案选．4. 函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由图知最小值为，则，，则，所以．函数为过点．则．可令函数为．单调递减区间为即为．故本题答案选．5. 等差数列的前项和为，已知，则的值为（）A. 38B. -19C. -38D. 19【答案】C【解析】由等差数列的性质可知．即．．故本题答案选．6. 执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的的值为（）A. 17B. 22C. 18D. 20【答案】D【解析】由题可知输出．故本题答案选．点睛：本题主要考查程序框图中的循环结构.循环结构中都有一个累计变量和计数变量,累计变量用于输出结果,计算变量用于记录循环次数,累计变量用于输出结果,计数变量和累计变量一般是同步执行的,累加一次计数一次,哪一步终止循环或不能准确地识别表示累计的变量,都会出现错误.计算程序框图的有关的问题要注意判断框中的条件,同时要注意循环结构中的处理框的位置的先后顺序,顺序不一样,输出的结果一般不会相同.7. 已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且的中点为，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】由题意可知直线斜率显然存在．，可设直线方程为，与双曲线联立消去可得．由根系数的关系与的中点为知，又，可得离心率．故本题答案选．8. 某多面体的三视图如下图所示格纸上小正方形的边长为1），则该多面体的表面积为（）A. B. C. 12 D.【答案】A【解析】由三视图知多面体放在棱长为的正方体中．如图，则表面积为．故本题答案选．点睛：本题主要考查几何体的三视图.已知几何体的三视图,求组成此几何体的的实物图问题,进一步求几何体的表面积,体积等.一般都是结合正视图和侧视图在俯视图上操作,这是因为正视图反映了物体的长与高,侧视图反映了物体的宽与高,俯视图反映了物体的长与宽,但要注意组合体是由哪几个基本几何体生成的,并注意它们的生成方式,特别是它们的交线位置. 9. 正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点，则满足条件的三角形的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】由题可知其焦点为作倾斜角为与倾斜角为的直线，分别与抛物线相交天两点．如图，则均为正三角形．故本题答案选．10. 在抛物线与直线围成的封闭图形内任取一点，为坐标原点，则直线被该封闭图形解得的线段长小于的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图圆的方程为，由圆方程，直线方程，抛物线方程知，．整个密闭区域的面积为，满足条件的区域面积为．由几何概型知所求概率为．故本题答案选．11. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式，人们还用过一些类似的近似公式，根据判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由V=，解得d=,设选项中的常数为，则π=;...选项A代入得π==3.375；选项B代入得π==3；选项C代入得π==3.14；选项D代入得π==3.142857由于D的值最接近π的真实值;故选：D．考点：进行简单的演绎推理．12. 已知函数，若存在使得成立，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】表示点与点距离的平方，点的轨迹是函数的图象，的轨迹是直线．则．作的图象平行于直线的切线，切点为，则，所以，切点为，所以，若存在使得成立，则，此时恰好为垂足，所以，解得．故本题答案选．点睛：本题主要考查函数性质,利用数形结合的方法求参数取值.函数有零点(方程有根),求参数取值常用以下方法(1)直接法:直接根据题目所给的条件,找出参数所需要满足的不等式,通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离成参数与未知量的等式,将含未知量的等式转化成函数,利用求函数的值域问题来解决;(3)数形结合法:先对解析变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后结合图像求解.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中的系数是__________．（用数字作答）【答案】【解析】由二项展开式公式知，对于有，即．则系数．故本题填．点睛：本题主要考查二项展开式定理,二项展开式的通项公式.二项展开式的通项公式与数列的通项公式类似,它可以表示二项展开式的任意一项,只要确定,该项也就随之确定.利用二项展开式的通项可以求出展开式中任意的指定项,如常数项,,含项,系数最大的项,次数为某一确定的项,有理项等.对于二项式系数最大项,当为偶数时,中间的一项最大,当为奇数时,中间两项的系数最大且相等.14. 已知菱形的边长为2，，则__________．【答案】【解析】对于菱形，由题意知．由菱形的性质可得，，且的夹角是．则．故本题应填．15. 设实数满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】【解析】作出可行域如图，令，则，令，作出图象，平移至点时取最大值，由两直线方程解得．代入可得．故本题答案填．点睛：本题为线性规划问题.掌握常见的几种目标函数的最值的求法:①利用截距的几何意义;②利用斜率的几何意义;③利用距离的几何意义.往往是根据题中给出的不等式,求出的可行域,利用的条件约束,做出图形.数形结合求得目标函数的最值.16. 已知数列满足，，且，则数列的前项和取最大值时，__________．【答案】．【解析】由题知当为奇数时，，当为偶数时，．又，可得．当时，有即，当时，有，即，当时，有，即．由可得，由可得，则都是等差数列．．则当时，取最大值．故本题填．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，角的对边长分别为，且....（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由正弦定理将角的关系式转化为边的关系式，再利用余弦定理和特殊角的三角函数值可得值；（2）由值，结合正弦定理，可将的值用角为变量的三角函数表示，可得其取值范围．试题解析：（Ⅰ）由，可得．根据正弦定理得，由余弦定理，得，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，其中，，，∴ ，∴ 当时，，当时，，当时，．所以．即点睛：本题主要考查倍角公式,正余弦定理.在利用正,余弦定理解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角.18. 如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，且，是边长为2的正三角形，顶点在上的射影为点，且，，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）取的中点为，连接利用直角三角形的性质，可分别求出的值，由勾股定理得．可得面，可证平面平面；（2）以所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出两个半平面的法向量，利用法向量的夹角与二面角的夹角的关系，可求二面角的余弦值．试题解析：（Ⅰ）证明：由顶点在上投影为点，可知，．取的中点为，连结，．在中，，，所以．在中，，，所以．所以，，即．∵∴ 面．...又面，所以面面．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，且所以面，且面．以所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：，，，设平面，的法向量分别为，则，则，，则，，所以二面角的余弦值为．点睛：若分别为二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足，二面角的平面角的大小是的夹角(或其补角，需根据观察得出结论)．在利用向量求空间角时，建立合理的空间直角坐标系，正确写出各点坐标，求出平面的法向量是解题的关键．19. 棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、（记纤维长度不低于300乙两地的棉花中各随机抽取20根棉花纤维进行统计，结果如下表：的为“长纤维”，其余为“短纤维”）（1）由以上统计数据，填写下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.附：（1）；（2）临界值表；（2）现从上述40根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测，在这8根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．（2）见解析【解析】试题分析：（1）可以根据所给表格填出列联表，利用列联表求出，结合所给数据，应用独立性检验知识可作出判断；（2）写出的所有可能取值，并求出对应的概率，可列出分布列并进一步求出的数学期望．试题解析：（Ⅰ）根据已知数据得到如下列联表：根据列联表中的数据，可得所以，在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”． ...（Ⅱ）由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为，的可能取值为：0,1,2,3，，，，．∴ 的分布列为：∴ ．20. 已知点，点是圆上的任意一点，设为该圆的圆心，并且线段的垂直平分线与直线交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）已知两点的坐标分别为，，点是直线上的一个动点，且直线分别交（1）中点的轨迹于两点（四点互不相同），证明：直线恒过一定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）（2）直线恒过一定点.【解析】试题分析：（1）利用垂直平分线的性质可得，再结合椭圆的定义，可得点的轨迹方程；（2）设直线的方程为与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系可得，利用两直线方程，及，的交点的横坐标为，可得，结合前面两式，化简可得．则当时，恒成立，直线过定点．试题解析：（Ⅰ）依题意有，，且，所以点的轨迹方程为：．（Ⅱ）依题意设直线的方程为：，代入椭圆方程得：且：①，②∵直线：，直线：由题知，的交点的横坐标为4，得：，即...即：，整理得：③将①②代入③得：化简可得：当变化时，上式恒成立，故可得：所以直线恒过一定点.21. 已知函数，其中为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性；（2）函数的图象与轴交于两点，，点在函数的图象上，且为等腰直角三角形，记，求的值.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）对函数求导，利用导数与函数单调性的关系，对进行分类讨论可得结果；（2）由函数图象交轴于两点，两点横坐标满足方程．又根据直角三角斜边的中线性质可得三者间关系，最后利用将方程转化成只含有两个变量，可求得两变量关系，进一步求得的值．试题解析：（Ⅰ）．①当时，则，则函数在是单调增函数．②当时，令，则，若，，所以在上是单调减函数；若，，所以在上是单调增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，函数其图象与轴交于两点，则有，则．于是，在等腰三角形ABC中，显然C= 90°，所以，即，由直角三角形斜边的中线性质，可知，所以，即，所以，即．因为，则，又，所以，即，则所以．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围.... 【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由平面直角坐标系与极坐标系间的关系，可将圆的极坐标方程转化为平面直角坐标系下的普通方程；（2）由圆的普通方程可得圆心与半径，将直线的参数代，可得间关系．再结合圆中参数的范围可得的范围．试题解析：（Ⅰ）因为圆的极坐标方程为，所以所以圆的普通方程．（Ⅱ）由圆的方程，可得，所以圆的圆心是，半径是2，将，代入，得，又直线过，圆的半径是2，所以，即的取值范围是．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数的最小值为.（1）求的值；（2）若为正实数，且，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）由绝对值的性质可得函数的最小值；（2）由重要不等式，累加后利用可证．试题解析：（Ⅰ）因为，所以．（Ⅱ）∵ ，，∴ ．∴ ，又，所以，∴ ．。