最新八年级数学冀教版上册同步课件：16.3 角的平分线 (共14张PPT)
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冀教版初中八年级数学上册16-3角的平分线第一课时角平分线的性质定理课件
解析 ∵AD∥BC,∠DBC=45°,∴∠ADB=∠DBC=45°, ∵∠A=90°, ∴∠ABD=180°-∠A-∠ADB=180°-90°-45°=45°,
∴∠ABD=∠DBC,即BD平分∠ABC, 如图,过点D作DE⊥BC于E,
∴DE=AD=2,
∴S△BCD=
1 2
1
BC×DE=2
×4×2=4.
图①
图②
(1)如图①,当PC⊥OA,PD⊥OB时,PC与PD的数量关系是 PC=PD ;
(2)如图②,点C、D在射线OA、OB上滑动,且∠AOB=90°,当 PC⊥PD时,PC与PD在(1)中的数量关系还成立吗?说明理由.
解析 (1)PC=PD. 理由:∵OM是∠AOB的平分线, ∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等). (2)成立,理由如下:
△ADF的面积为14,则 1 AF·DF=14,即1 ×7×DF=14,解得DF=4,
2
2
∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,DF⊥AB,∴DE=DF=4,∵△ADC
的面积为22,∴ 1 AC×4=22,解得AC=11.
2
5.(新独家原创)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°, ∠DBC=45°,AD=2,BC=4,求△BCD的面积.
DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF=1,∵AC=2,∴S△ACD= 1 AC·DF=
2
1 ×2×1=1.
2
4.(2024吉林舒兰期末)如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB, 垂足为F,若AF=7,△ADF和△ADC的面积分别为14,22,则AC的 长为 11 .
解析 如图,过点D作DE⊥AC于点E,在直角△ADF中,AF=7,
∴PF=PG,PE=PG,∴PE=PF= 1 EF=2,∴PG=2,即点P到AB的距
∴∠ABD=∠DBC,即BD平分∠ABC, 如图,过点D作DE⊥BC于E,
∴DE=AD=2,
∴S△BCD=
1 2
1
BC×DE=2
×4×2=4.
图①
图②
(1)如图①,当PC⊥OA,PD⊥OB时,PC与PD的数量关系是 PC=PD ;
(2)如图②,点C、D在射线OA、OB上滑动,且∠AOB=90°,当 PC⊥PD时,PC与PD在(1)中的数量关系还成立吗?说明理由.
解析 (1)PC=PD. 理由:∵OM是∠AOB的平分线, ∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等). (2)成立,理由如下:
△ADF的面积为14,则 1 AF·DF=14,即1 ×7×DF=14,解得DF=4,
2
2
∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,DF⊥AB,∴DE=DF=4,∵△ADC
的面积为22,∴ 1 AC×4=22,解得AC=11.
2
5.(新独家原创)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°, ∠DBC=45°,AD=2,BC=4,求△BCD的面积.
DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF=1,∵AC=2,∴S△ACD= 1 AC·DF=
2
1 ×2×1=1.
2
4.(2024吉林舒兰期末)如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB, 垂足为F,若AF=7,△ADF和△ADC的面积分别为14,22,则AC的 长为 11 .
解析 如图,过点D作DE⊥AC于点E,在直角△ADF中,AF=7,
∴PF=PG,PE=PG,∴PE=PF= 1 EF=2,∴PG=2,即点P到AB的距
冀教版八年级数学上册16.3《角平分线》课件
符号语言
探究新知
学生活动三 【一起探究】
已知：∠AOB. 求作：尺规作出∠AOB的平分线.
探究新知
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径 画弧，交OA于点D，交O于点E;
（2）分别以点D、E为圆心，大于
1 2
DE长
பைடு நூலகம்
为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；
（3）画射线OC;
所以射线OC即为所求
巩固练习
符号语言： ∵ OC平分∠AOB，点P在C上，
PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD=PE
探究新知
学生活动二 【一起探究】
角平分线性质定理的逆定理成立吗？
事实上，角平分线的性质定理的逆命题是 一个真命题！（证明方法将在第十七章给出）
探究新知
角平分线的性质的逆定理： 到角的两边距离相等的点在角平分线上.
第十六章 轴对称和中心对称
16.3 角平分线
学习目标
1.经历探索角的轴对称性的过程，体会用尺规作已知角的 平分线的作图原理.
2.经历合情推理发现结论,探索角平分线的性质定理及其逆 定理的证明，进一步体会合情推理与演绎推理的不同作用.
3.体会转化的数学思想，提高分析和解决问题的能力.
导入新课 在半透明的纸任画一个角，怎样得到这个角的平分线？
探究新知
学生活动一 【一起探究】
请同学们把上述角沿角平分线折叠，任意剪一刀后 再展开，有什么发现？
探究新知 深入研究 PD，PE的大小关系？
探究新知
如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D、E，猜想PD，PE的大小关系.
PD＝PE
探究新知
探究新知
角平分线性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
探究新知
学生活动三 【一起探究】
已知：∠AOB. 求作：尺规作出∠AOB的平分线.
探究新知
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径 画弧，交OA于点D，交O于点E;
（2）分别以点D、E为圆心，大于
1 2
DE长
பைடு நூலகம்
为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；
（3）画射线OC;
所以射线OC即为所求
巩固练习
符号语言： ∵ OC平分∠AOB，点P在C上，
PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD=PE
探究新知
学生活动二 【一起探究】
角平分线性质定理的逆定理成立吗？
事实上，角平分线的性质定理的逆命题是 一个真命题！（证明方法将在第十七章给出）
探究新知
角平分线的性质的逆定理： 到角的两边距离相等的点在角平分线上.
第十六章 轴对称和中心对称
16.3 角平分线
学习目标
1.经历探索角的轴对称性的过程，体会用尺规作已知角的 平分线的作图原理.
2.经历合情推理发现结论,探索角平分线的性质定理及其逆 定理的证明，进一步体会合情推理与演绎推理的不同作用.
3.体会转化的数学思想，提高分析和解决问题的能力.
导入新课 在半透明的纸任画一个角，怎样得到这个角的平分线？
探究新知
学生活动一 【一起探究】
请同学们把上述角沿角平分线折叠，任意剪一刀后 再展开，有什么发现？
探究新知 深入研究 PD，PE的大小关系？
探究新知
如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D、E，猜想PD，PE的大小关系.
PD＝PE
探究新知
探究新知
角平分线性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
冀教版数学八年级上册 16.3《角的平分线》ppt课件教学课件
HＤ
Ｃ
F ＰＥ
Ａ
ＢG
1：画一个已知角的角平分线； 及画一条已知直线的垂线；
2：角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3：角平分线的判定结论： 到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
当你的才华还撑不起你的野心时，你就该努力。心有猛虎，细嗅蔷薇。我TM竟然以为我竭尽全力了。能力是练出来的，潜能是逼出来的，习惯是养成的，我的 成功是一步步走出来的。不要因为希望去坚持，要坚持的看到希望。最怕自己平庸碌碌还安慰自己平凡可贵。
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两 边的距离相等．
结论：
到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
角平分线
尺规作角的平分线
观察领悟作法，探索思考证明方法：
画法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
Ｍ
交ＯＢＮ于．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣC．得直线CD， PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/ 科学课件：/kejian/kexu e/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/
冀教版数学八上16.3《角的平分线》ppt-课件4
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D 、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
（在角平分线上的点到角=PE=PF. 即点P到边AB、BC、
D F
N PM
CA的距离相等
B
E
C
作业（必做题）：课本：P29页 2、3、4
问题探讨
在V型公路（∠AOB） 内部，有两个村庄C、D。
你能选择一个纺织厂的厂 址P，使P到V型公路的距 O 离相等，且使C、D两村的 工人上下班的路程一样吗？
A
D
C
.
.
B
练习：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角 的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线
ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三
边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距
精品模板
学习就要掌握技巧，也不是死学要与世界上的万物联系在一起， 古人说的好活到老学到老，学习是无止境的。多观察、多吃苦、 多研究学识是不断深化人的精神，三字经说过“自不教父之过 教不严师之惰”看来我国在很久以前就非常注意教育，教育是 一个国家是一个国家民族进步的标准，人是在失败中长大，每 一个名人背后都有不为人知的故事寒窗苦的读圣贤书，既然我 们没在哪社会而感到高兴，既然古人为我们创造知识何必不去 珍惜古人的汗水。
教案下载：/jiaoan/
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PPT课件：/kejian/
语文课件：/kejian/yuw en/ 数学课件：-/kejian/shuxue/
英语课件：/kejian/ying yu/ 美术课件：/kejian/me ishu/
历史课件：/kejian/lish i/
CD，则直线CD与直线AB是什么关系？
则我们得到作一条直线垂线的方法．
冀教版八年级上册数学教学课件 第十六章 轴对称和中心对称 角的平分线
等三角形的对应角相等.所以AE就是角平分线
想一想：能够运用这种方法作出任意角的角平分 D 线吗？
B E
尺规作角平分线
问题2 已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧， 分别交OA，OB于点D，E.
（2）分别以点D，E为圆心，适当长为半O
径，在∠AOB内部画弧，两弧相交于点C. （3）作射线OC.射线OC即为所求.
4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，
DE＝2，AB＝4，则AC的长是( D )
A．6 B．5 C．4
A E
D．3
B
D
C
5.求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.
A 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′,
∠BAC=∠B′A′C′,AD,A′D′分别是∠BAC,∠B′A′C′的
角平分线的性质定理(几何语言)：
∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥_O_A__,PE⊥_O_B__，
O
∴PD = _P_E__．
DA PC
EB
角平分线的性质定理
练一练：如图，OP平分∠AOB,PC⊥OA,垂足为C,PD⊥OB，垂足为 D,则PC与PD的大小关系是( B )
A.PC>PD B.PC=PD C.PC<PD D.不能确定
∠B=∠B′,
B
D
C
A'
AB=A′B′,
∠BAC=∠B′A′C′, ∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
B'
D'
C'
CONTENTS
4
角平分线的性 质定理
数学八年级上册 16.3《角的平分线》ppt课件
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两 边的距离相等．
结论：
到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
PPT素材：/sucai/ PPT图表：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ 范文下载：/fanwen/ 教案下载：/jiaoan/ PPT课件：/kejian/ 数学课件：/kejian/shu xue/ 美术课件：/kejian/me ishu/ 物理课件：/kejian/wul i/ 生物课件：/kejian/she ngwu/ 历史课件：/kejian/lish i/
角平分线
尺规作角的平分线
观察领悟作法，探索思考证明方法：
画法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
Ｍ交Biblioteka ＢＮ于．Ｃ２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
练习：
平分平角∠AOB．反向延长OC．得直线CD， PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/ 科学课件：/kejian/kexu e/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/
16.3 角的平分线 课件 2024-2025学年冀教版数学八年级上册
感悟新知
知识点 4 三角形的角平分线的性质（拓展） 知4－讲
1. 性质定理 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条
边的距离相等，这一点叫三角形的内心 .
2. 几何语言 如图 16 -3-10，在△ ABC 中， ∵ AD，
BM， CN 分别是∠ BAC， ∠ ABC， ∠ ACB 的 平分线， ∴ AD， BM， CN 交于一点 O，且点 O 到三边 BC， AB， AC 的距离(OE， OG， OF 的长)相等，即 OE=OG=OF.
知4－讲
知4－讲
要点解读 三角形的三条角平分线相交于三角形内
一点，且该点到三角形三边的距离相等.反之， 三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条 角平分线的交点.
例5 如图 16-3-11，△ ABC 的三边 AB， BC， AC 的 长 知分4－练 别为 10 cm， 15 cm 和 20 cm，三条角平 分 线的交 点 为 O，则S △ AOB∶ S △ BOC∶ S △ COA=( ) A. 2∶ 3∶ 4 B. 3∶ 4∶ 5 C. 1∶ 2∶ 3 D. 5∶ 12∶ 13
∠BEO＝∠CDO， 在△ BEO 和△ CDO 中，∠BOE＝∠COD，
BO＝CO， ∴△BEO≌△CDO(AAS)，∴OE＝OD. 又∵OD⊥AC，OE⊥AB，∴AO 平分∠BAC.
知2－练
感悟新知
知识点 3 作已知角的平分线
知3－讲
尺规作角平分线的步骤 如图 16 -3- 6，已知∠ AOB. 求作： ∠ AOB 的平分线 .
求证： AD 平分∠ BAC.
知2－练
解题秘方：利用角平分线性质定理的逆定理证明 角平分线时，紧扣点在角的内部且点 到角两边的距离相等进行证明 .
1角的平分线课件冀教版数学八年级上册
为A，B. 下列结论中不一定成立的是( D )
A．PA＝PB
B．PO平分∠APB
C．OA＝OB
D．AB垂直平分OP
探究新知
做一做
知识点
2
角平分线的判定
线段垂直平分线的性质定理的逆命题是一个真命题(定理).角的
平分线的性质定理的逆命题是真命题还是假命题呢？
1.写出角平分线的性质定理的逆命题.
2.根据这个逆命题的内容，画出图形.
(3)画射线OC. 射线OC即为所求.
E
B
探究新知
你知道作角平分线的理论根据是什么？
作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法“SSS”．
折痕为直线OC；再折纸，设折痕为直线n，直线n与边OA，
OB分别交于点D，E，与折线OC交于点P；将纸展开铺平后，
猜想线段PD与线段PE，线段OD与线段OE分别具有怎样的数
量关系，并说明理由.
A
A
C
C
O
B
(1)
O
B(A)
(2)
B(A)
O
P
n
E(D)
(3)
C
D
P
O
E
(4)
B
探究新知
事实上，∠AOB是轴对称图形，它的平分线OC是
BE CF，
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴AD平分∠BAC.
探究新知
2.如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相
等，则点P是( C )
A．线段CD的中点
B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点
角的平分线冀教版八年级数学上册PPT优秀课件
证明：
4.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE 的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
E G C
M
F
A B HD
∴点F在∠DAE的平分线上.
16.3角的平分线-冀教版八年级数学上 册课件
16.3角的平分线-冀教版八年级数学上 册课件
性质 定理
一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等
证明：连接CM,CN 由作图过程知， OM=ON,CM=CN,又OC=OC
∴△OMC≌△ONC ∴∠AOC=∠BOC
O
即OC是∠AOB的角平分线.
角的平分线冀教版八年级数学上册PPT 优秀课 件
三、角平分线的性质定理
探究：
用尺规画∠AOB的平分线OC,，在OC上任取一点P,作
出点P到OA,OB的距离，即图中的垂线段PD,PE.PD与
PE有何数量关系呢？PD=PE
你能用什么方法说明你
的结论是正确的？
O
A D
C
P
E
B
角的平分线冀教版八年级数学上册PPT 优秀课 件
角的平分线冀教版八年级数学上册PPT 优秀课 件
方法一：
用刻度尺测量PD,PE，得到两条线段的长度相等. A
方法二：
D C
P
O
E
B
利用角的对称性，当沿OC所在的直线对折时，PD
B
点P在∠A的平分线上.
A
D
N
F
P
M
C E
16.3角的平分线-冀教版八年级数学上 册课件
16.3角的平分线-冀教版八年级数学上 册课件
1.如图，已知四边形ABCD中，∠BCD=90°,BD平分
4.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE 的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
E G C
M
F
A B HD
∴点F在∠DAE的平分线上.
16.3角的平分线-冀教版八年级数学上 册课件
16.3角的平分线-冀教版八年级数学上 册课件
性质 定理
一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等
证明：连接CM,CN 由作图过程知， OM=ON,CM=CN,又OC=OC
∴△OMC≌△ONC ∴∠AOC=∠BOC
O
即OC是∠AOB的角平分线.
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三、角平分线的性质定理
探究：
用尺规画∠AOB的平分线OC,，在OC上任取一点P,作
出点P到OA,OB的距离，即图中的垂线段PD,PE.PD与
PE有何数量关系呢？PD=PE
你能用什么方法说明你
的结论是正确的？
O
A D
C
P
E
B
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方法一：
用刻度尺测量PD,PE，得到两条线段的长度相等. A
方法二：
D C
P
O
E
B
利用角的对称性，当沿OC所在的直线对折时，PD
B
点P在∠A的平分线上.
A
D
N
F
P
M
C E
16.3角的平分线-冀教版八年级数学上 册课件
16.3角的平分线-冀教版八年级数学上 册课件
1.如图，已知四边形ABCD中，∠BCD=90°,BD平分
16.3 角的平分线(课件)冀教版数学八年级上册
语言
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16.3 角的平分线
考
点
清
单
解
读
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续表
（1）角的平分线是射线，而角的对称轴是直线；
（2）根据角平分线的性质定理可由三个条件（一条
角平分线，两个“垂直”）得到一个结论（垂线段
相等），因此这个定理是证明两条线段相等的常用
注意 方法之一；
（3）“距离”是指点到直线的垂线段的长，而不是
指任意线段的长；
错
例
如图，BM 平分∠ABC，D 是 BM 上一点，过点 D
易
混 作 DE⊥AB，DF⊥BC，分别交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，
分
析 P 是 BM 上的另一点，连接 PE，PF.求证：PE=PF．
16.3 角的平分线
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［答案］ 证明：∵BM 平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
易
解
读 BC 于点 D，E；
②分别以点 D，E 为圆心，以 n 为半径画弧，两弧在
∠ABC 内部交于点 P；
③画射线BP．射线 BP 即为所求．
16.3 角的平分线
考
点
清
单
解
读
返回目录
对点典例剖析
对 m，n 的描述，正确的是 （
A. m＞0，n＞0
B. m＞0，n＜m
C. m＞0，n＞
DE
D. m＞0，n＜
角的
出结论
平分
尺规 已知：∠AOB.
线的
作图 求作：∠AOB 的平分线.
作法
作法：（1）以点 O为圆心，适当长为半
径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N；
16.3 角的平分线
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16.3 角的平分线
考
点
清
单
解
读
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续表
（1）角的平分线是射线，而角的对称轴是直线；
（2）根据角平分线的性质定理可由三个条件（一条
角平分线，两个“垂直”）得到一个结论（垂线段
相等），因此这个定理是证明两条线段相等的常用
注意 方法之一；
（3）“距离”是指点到直线的垂线段的长，而不是
指任意线段的长；
错
例
如图，BM 平分∠ABC，D 是 BM 上一点，过点 D
易
混 作 DE⊥AB，DF⊥BC，分别交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，
分
析 P 是 BM 上的另一点，连接 PE，PF.求证：PE=PF．
16.3 角的平分线
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［答案］ 证明：∵BM 平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
易
解
读 BC 于点 D，E；
②分别以点 D，E 为圆心，以 n 为半径画弧，两弧在
∠ABC 内部交于点 P；
③画射线BP．射线 BP 即为所求．
16.3 角的平分线
考
点
清
单
解
读
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对点典例剖析
对 m，n 的描述，正确的是 （
A. m＞0，n＞0
B. m＞0，n＜m
C. m＞0，n＞
DE
D. m＞0，n＜
角的
出结论
平分
尺规 已知：∠AOB.
线的
作图 求作：∠AOB 的平分线.
作法
作法：（1）以点 O为圆心，适当长为半
径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N；
16.3 角的平分线
2022年冀教版八上《角的平分线》立体课件
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
A
N
P
M
B
C
证明：过点P作PD，PE，PF分
别垂直于AB，BC，CA，垂足 分别为D，E，F.
A
D
N
F PM
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
B
∴PD=PE.同理PE=PF.
C E
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角 平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上.
1.同位角相等, 两直线平行. 2.内错角相等, 两直线平行. 3.同旁内角互补, 两直线平行. 4. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 5.平行线的定义.
有一块木板，怎样才能知 道它上下边缘是否平行？
1
2
C
4
P
B
1
A
23
2、台球运动中，如果母球P击中桌边点A，经桌边反弹后 击中相邻的另一条桌边，再次反弹，
AD//BE
AB//DC
B
检测一下自己吧
如图，
a b （1）从∠1=∠2，可以推出 ∥ ， 理由是 内错角相等，两直线平行
（2）从∠2=∠ 理由是
，可3以推出c∥d ，
同位角相等,两直线平行.
（3）如果∠4=75°，∠3=75 °，
c 可以推出 ∥ d
（4） 从∠4=75°，∠5= °，
可以推出a∥b.
3
.C
D
A
B
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能
说明∠AOC=∠BOC的依据是（ A ）
A.SSS
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八年级数学·上
新课标 [冀教]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ第十六章 轴对称和中心对称
学习新知
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.
在一次军事演习中,红方侦察员发现蓝方 指挥部设在A区内,到公路BC,铁路BD的距离 均为350米,又测得∠CBD=60°.你能在图中 确定出蓝方指挥部的位置吗?(比例尺为 1∶20000)
活动一:角平分线的性质定理及其逆定理
检测反馈
1.如图所示，AD是ΔABC中∠BAC的平分线， DE⊥AB于点E，SΔABC=7，DE=2，AB=4，则AC的 长是 ( A ) A.3 B.4 C.6 D.5
解析:过点D作DF⊥AC于F，∵AD是ΔABC中 ∠BAC的平分线，DE⊥AB,∴DE=DF，
1 1 ∵SΔABC=SΔABD+SΔACD，∴ 4×2+ AC×2=7，解 2 2
解:如图所示,过点M作MD⊥AB于 D，∵BC=16 cm， CM∶MB=3∶5， 3 16=6(cm)， ∴CM= 3 5 ∵∠C=90°,AM平分∠CAB， ∴DM=CM=6 cm， 即点M到AB的距离为6 cm.
D
别D，E，F. ∵BM是ΔABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.
同理PE=PF，∴PD=PE=PF, 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
[知识拓展] 利用角的平分线的性质可直接推导 出与角的平分线有关的两条线段相等,但在推导过 程中不要漏掉垂直关系的书写,同时涉及角平分线 上的点与角的两边的垂直关系时,可直接得到垂线 段相等,不必再证两个三角形全等而走弯路.
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少 了任何一个。
\
PD = PE. （在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等.）
定理 2 到一个角的两边的距离相等 的点， 在这个角的平分线上。
已知：如图，PD OA， PE OB ， 垂足分别是 D、E，PD=PE， 求证：点P在 AOB的角平分线上.
定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在角平分线上； （3）垂直距离. D A C
O 定理的作用： 证明线段相等。
已知：如图所示，OC是AOB 的平分线，P是OC上任意一点，
P E
PD OA ，PE OB ，垂足分别为D，E 。求证：PD=PE.
B
应用定理的书写格式： ∵ OP 是 AOB 的平分线， PD OA PE OB
3.如图所示,在ΔABC中，角平分线AD， BE相交于O点，连接CO,则下列结论成 立的是 ( C ) A.ΔCEO≌ΔCDO B.OE=OD C.CO平分∠ACB D.OC=OD
解析:∵角平分线AD，BE相交于O点，∴CO平分 ∠ACB.故选C.
4.如图所示,ΔABC中，∠C=90°，AM平分 ∠CAB，BC=16 cm,CM∶MB=3∶5，求点M到 AB的距离. 解析:过点M作MD⊥AB于D， 先求出CM，再根据角平分 线上的点到角的两边距离相 等可得DM=CM.
[知识拓展] (1)角平分线的判定可帮助我们证明 角相等,使证明过程简化. (2)角平分线可以看作是到角的两边距离相等的点 的集合. (3)三角形的三条角平分线相交于一点,这点到三 角形三边的距离相等.
活动二:角平分线的画法 1.以点O为圆心，适当长为 半径画弧，分别交OA，OB 于点D，E.
2.分别以点D，E为圆心,适 当长为半径，在∠AOB的内 部画弧，两弧相交于点C. 3.作射线OC,则OC为所要求 作的∠AOB的平分线. D C E
(补充例题)如图所示，ΔABC的角平分线BM，CN 相交于点P，求证点P到三边AB，BC，CA的距离 相等.
„解析‟因为已知、求证中都没有具体 说明哪些线段是距离,而证明它们相等 必须标出它们,所以这一段话要在证明 中写出,同辅助线一样处理.如果已知中 写明点P到三边的距离是哪些线段,那么 图中画实线,在证明中就可以不写. 证明:过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为分
1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边 的距离相等.作用:直接证明两线段相等.使用的前提 是有角的平分线,关键是图中是否有“垂直”. 2.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离 相等的点在角的平分线上.作用:证明角相等. 3.区别与联系:性质说明了角平分线上点的纯粹性, 即:只要是角平分线上的点,那么它到此角两边一定 等距离,无一例外;判定反映了角平分线的完备性,即 只要是到角两边距离相等的点,都一定在角平分线上 ,绝不会漏掉一个.在实际应用中,前者用来证明线段 相等,后者用来证明角相等(角平分线).
D
A
O E
P
证明： 作射线OP,
∵
∴
PD OA
PE OB
PDO PEO 90
OP = OP （公共边） PD = PE （ 已 知 ）
B
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
∵
RtPDO≌ RtPEO （ HL） ∴ AOP BOP （全等三角形的对应角相等）
∴ 点P在 AOB 角的平分线上
得AC=3.故选A.
2.如图所示,OP平分∠AOB，PA⊥OA， PB⊥OB,垂足分别为A，B，连接AB.下列结 论中不一定成立的是( D ) A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB平分OP
解析:∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB,∴PA=PB， ∴ΔOPA≌ΔOPB，∴∠APO=∠BPO，OA=OB， ∴A,B,C正确.设PO与AB相交于E.∵OA=OB， ∠AOP=∠BOP,OE=OE，∴ΔAOE≌ΔBOE， ∴∠AEO=∠BEO=90°，∴OP垂直于AB,而不能得到 AB平分OP，故D不一定成立.故选D.
按下图所示的过程，将你画出的∠AOB依上述办法 对折后，设折痕为直线OC；再折纸,设折痕为直线n, 直线n与边OA，OB分别交于点D，E，与折线OC交于 点P；将纸展开后，猜想线段PD与线段PE,线段OD与 线段OE分别具有怎样的数量关系，并说明理由.
角平分线的性质定理：
定理 1 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
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在一次军事演习中,红方侦察员发现蓝方 指挥部设在A区内,到公路BC,铁路BD的距离 均为350米,又测得∠CBD=60°.你能在图中 确定出蓝方指挥部的位置吗?(比例尺为 1∶20000)
活动一:角平分线的性质定理及其逆定理
检测反馈
1.如图所示，AD是ΔABC中∠BAC的平分线， DE⊥AB于点E，SΔABC=7，DE=2，AB=4，则AC的 长是 ( A ) A.3 B.4 C.6 D.5
解析:过点D作DF⊥AC于F，∵AD是ΔABC中 ∠BAC的平分线，DE⊥AB,∴DE=DF，
1 1 ∵SΔABC=SΔABD+SΔACD，∴ 4×2+ AC×2=7，解 2 2
解:如图所示,过点M作MD⊥AB于 D，∵BC=16 cm， CM∶MB=3∶5， 3 16=6(cm)， ∴CM= 3 5 ∵∠C=90°,AM平分∠CAB， ∴DM=CM=6 cm， 即点M到AB的距离为6 cm.
D
别D，E，F. ∵BM是ΔABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.
同理PE=PF，∴PD=PE=PF, 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
[知识拓展] 利用角的平分线的性质可直接推导 出与角的平分线有关的两条线段相等,但在推导过 程中不要漏掉垂直关系的书写,同时涉及角平分线 上的点与角的两边的垂直关系时,可直接得到垂线 段相等,不必再证两个三角形全等而走弯路.
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少 了任何一个。
\
PD = PE. （在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等.）
定理 2 到一个角的两边的距离相等 的点， 在这个角的平分线上。
已知：如图，PD OA， PE OB ， 垂足分别是 D、E，PD=PE， 求证：点P在 AOB的角平分线上.
定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在角平分线上； （3）垂直距离. D A C
O 定理的作用： 证明线段相等。
已知：如图所示，OC是AOB 的平分线，P是OC上任意一点，
P E
PD OA ，PE OB ，垂足分别为D，E 。求证：PD=PE.
B
应用定理的书写格式： ∵ OP 是 AOB 的平分线， PD OA PE OB
3.如图所示,在ΔABC中，角平分线AD， BE相交于O点，连接CO,则下列结论成 立的是 ( C ) A.ΔCEO≌ΔCDO B.OE=OD C.CO平分∠ACB D.OC=OD
解析:∵角平分线AD，BE相交于O点，∴CO平分 ∠ACB.故选C.
4.如图所示,ΔABC中，∠C=90°，AM平分 ∠CAB，BC=16 cm,CM∶MB=3∶5，求点M到 AB的距离. 解析:过点M作MD⊥AB于D， 先求出CM，再根据角平分 线上的点到角的两边距离相 等可得DM=CM.
[知识拓展] (1)角平分线的判定可帮助我们证明 角相等,使证明过程简化. (2)角平分线可以看作是到角的两边距离相等的点 的集合. (3)三角形的三条角平分线相交于一点,这点到三 角形三边的距离相等.
活动二:角平分线的画法 1.以点O为圆心，适当长为 半径画弧，分别交OA，OB 于点D，E.
2.分别以点D，E为圆心,适 当长为半径，在∠AOB的内 部画弧，两弧相交于点C. 3.作射线OC,则OC为所要求 作的∠AOB的平分线. D C E
(补充例题)如图所示，ΔABC的角平分线BM，CN 相交于点P，求证点P到三边AB，BC，CA的距离 相等.
„解析‟因为已知、求证中都没有具体 说明哪些线段是距离,而证明它们相等 必须标出它们,所以这一段话要在证明 中写出,同辅助线一样处理.如果已知中 写明点P到三边的距离是哪些线段,那么 图中画实线,在证明中就可以不写. 证明:过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为分
1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边 的距离相等.作用:直接证明两线段相等.使用的前提 是有角的平分线,关键是图中是否有“垂直”. 2.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离 相等的点在角的平分线上.作用:证明角相等. 3.区别与联系:性质说明了角平分线上点的纯粹性, 即:只要是角平分线上的点,那么它到此角两边一定 等距离,无一例外;判定反映了角平分线的完备性,即 只要是到角两边距离相等的点,都一定在角平分线上 ,绝不会漏掉一个.在实际应用中,前者用来证明线段 相等,后者用来证明角相等(角平分线).
D
A
O E
P
证明： 作射线OP,
∵
∴
PD OA
PE OB
PDO PEO 90
OP = OP （公共边） PD = PE （ 已 知 ）
B
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
∵
RtPDO≌ RtPEO （ HL） ∴ AOP BOP （全等三角形的对应角相等）
∴ 点P在 AOB 角的平分线上
得AC=3.故选A.
2.如图所示,OP平分∠AOB，PA⊥OA， PB⊥OB,垂足分别为A，B，连接AB.下列结 论中不一定成立的是( D ) A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB平分OP
解析:∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB,∴PA=PB， ∴ΔOPA≌ΔOPB，∴∠APO=∠BPO，OA=OB， ∴A,B,C正确.设PO与AB相交于E.∵OA=OB， ∠AOP=∠BOP,OE=OE，∴ΔAOE≌ΔBOE， ∴∠AEO=∠BEO=90°，∴OP垂直于AB,而不能得到 AB平分OP，故D不一定成立.故选D.
按下图所示的过程，将你画出的∠AOB依上述办法 对折后，设折痕为直线OC；再折纸,设折痕为直线n, 直线n与边OA，OB分别交于点D，E，与折线OC交于 点P；将纸展开后，猜想线段PD与线段PE,线段OD与 线段OE分别具有怎样的数量关系，并说明理由.
角平分线的性质定理：
定理 1 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.