高三数学一轮复习 简单线性规划2教案
高三数学一轮复习精品教案2：7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第3课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考纲传真1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.1．二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线Ax＋By＋C＝0分成三类：(1)满足Ax＋By＋C＝0的点；(2)满足Ax＋By＋C>0的点；(3)满足Ax＋By＋C<0的点．2．二元一次不等式表示平面区域的判断方法直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，当点在直线l的同一侧时，点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号，当点在直线l的两侧时，点的坐标使Ax＋By＋C的值具有相反的符号．3．线性规划中的基本概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1．(人教A 版教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0x －y ＋2<0表示的平面区域是( )『解析』 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及左下方部分，x －y ＋2<0表示直线x －y ＋2＝0右上方部分．故不等式组表示的平面区域为选项B 所示部分． 『答案』 B2．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( )A ．2B ．1C ．3D ．0『解析』 由题意知(6－8b ＋1)(3－4b ＋5)＜0，即(b －78)(b －2)＜0，∴78＜b ＜2，∴b 应取的整数为1. 『答案』 B3．(2012·广东高考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1『解析』 可行域如图中阴影部分所示．先画出直线l 0：y ＝－3x ，平移直线l 0，当直线过A 点时z ＝3x ＋y 的值最大，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.∴A 点坐标为(3，2)．∴z 最大＝3×3＋2＝11. 『答案』 B4．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤0，x －y －4≤0表示的平面区域的面积是________．『解析』 不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ＋y ＝0得A (1，－1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －y －4＝0得B (1，－3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0x －y －4＝0得C (2，－2)， ∴|AB |＝2，∴S △ABC ＝12×2×1＝1.『答案』 15．(2012·山东高考改编)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是______．『解析』 作不等式组表示的可行域，如图所示，作直线l 0：3x －y ＝0，并上下平移．当直线过点A 、B 时，z 分别取得最大值、最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －4＝0，得A (2，0)．由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0.得点B (12，3)，∴z max ＝3×2－0＝6，z min ＝3×12－3＝－32.故z 的取值范围是『－32，6』．『答案』 『－32，6』二元一次不等式(组)表示的平面区域若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，求k 的值．『审题视点』 画出不等式组表示的平面区域，直线y ＝kx ＋43过定点(0，43)，利用面积相等确定直线经过的区域边界上的点，然后代入求k 值． 『尝试解答』 由图可知，线性规划区域为△ABC 边界及内部．y ＝kx ＋43恰过A ⎝⎛⎭⎫0，43，y ＝kx ＋43将区域平均分成面积相等两部分， ∴直线y ＝kx ＋43一定过线段BC 的中点D ，易求C (0，4)，B (1，1)，∴线段BC 的中点D 的坐标为(12，52)．因此52＝k ×12＋43，k ＝73.,1．解答本题的关键是根据直线y ＝kx ＋43过定点(0，43)，利用面积相等确定直线所经过的边界上的点．2．二元一次不等式(组)表示平面区域的判定方法：(1)同号上，异号下．当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方，当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方．(2)直线定界、特殊点定域．应注意是否包括边界，若不包括边界，则应将边界画成虚线；若直线不过原点，特殊点常选取原点．(2012·福建高考)若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2『解析』 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由下图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.『答案』 B求目标函数的最值(2012·安徽高考改编)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3.(1)求z ＝x －y 的最小值和最大值； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．『审题视点』 明确目标函数z 的几何意义，数形结合找最优解，代入求值． 『尝试解答』 作约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3.满足的可行域，如下图所示为△ABC 及其内部．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，2x ＋y ＝3.得A (1，1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，2x ＋y ＝3，得点B (0，3)． (1)由z ＝x －y ，得y ＝x －z .平移直线x －y ＝0，则当其过点B (0，3)时，截距－z 最大；当过点A (1，1)时，截距－z 最小，即z 最大．∴z min ＝0－3＝－3；z max ＝1－1＝0. (2)过O (0，0)作直线x ＋2y ＝3的垂线l 交于点N .观察可行域知，可行域内的点B 、N 到原点的距离分别达到最大与最小． 又|ON |＝|0＋0－3|12＋22＝355，|OB |＝3.∴z 的取值范围是『355，3』．1．本题求解的关键在于：(1)准确作出可行域；(2)明确目标函数的几何意义．2．(1)线性目标函数z＝ax＋by的几何意义与直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距有关，当b＞0时，直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距越大，z值越大；当b＜0时，情况相反．(2)常见的非线性目标函数的几何意义：y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率；（x－a）2＋（y－b）2表示点(x，y)与点(a，b)的距离．(2012·课标全国卷)已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C 在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是() A．(1－3，2) B．(0，2) C．(3－1，2) D．(0，1＋3)『解析』如下图，根据题意得C(1＋3，2)．作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移，过点B(1，3)和C(1＋3，2)时，z＝－x＋y取范围的边界值，即－(1＋3)＋2<z<－1＋3，∴z＝－x＋y的取值范围是(1－3，2)．『答案』A一种方法确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”．(1)直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域：当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1，0)或者(0，1)作为测试点．一个程序利用线性规划求最值的步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数求最值． 两个防范1.画平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y ＝－a b x ＋zb 的截距z b 的最值间接求出z 的最值．要注意：当b ＞0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距zb取最小值时，z 也取最小值．当b ＜0时，结论与b ＞0的情形恰好相反．从近两年的高考试题来看，二元一次不等式(组)表示的平面区域，求线性目标函数的最值是高考命题的热点，难度中等偏下，主要考查可行域的画法、目标函数最值的求法、由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及数形结合的思想．求解的常见错误是忽视题目的约束条件与目标函数的几何意义导致错误．。
高中数学简单线性规划教案
高中数学简单线性规划教案
目标：学生能够理解和应用简单线性规划概念，解决实际问题
一、引入
1. 引导学生回顾线性规划的基本概念：目标函数、约束条件等。
2. 引导学生思考以下问题：什么是线性规划？线性规划在生活中有哪些应用？
二、知识点讲解
1. 线性规划的定义：将问题转化为目标函数和约束条件的最优化问题。
2. 线性规划的基本步骤：确定目标函数、列出约束条件、求解最优解等。
3. 简单线性规划的例子：例如生产某种产品时的最优生产数量、销售某种商品时的最大利润等。
三、练习与应用
1. 让学生通过实际例子练习简单线性规划的求解过程。
2. 给学生一个生活中的实际问题，让他们尝试用线性规划方法解决。
四、总结与反思
1. 总结本节课所学的内容，强调线性规划的重要性和应用价值。
2. 让学生思考如何将线性规划应用到更复杂的实际问题中，并鼓励他们多做练习。
五、作业
1. 布置相关练习题和应用题作为作业，巩固本节课所学的知识。
2. 提醒学生在做作业时要注意思考问题的建模和求解方法。
六、拓展
1. 可以邀请专业人士或相关领域的学者给学生讲解线性规划在实际中的应用和发展趋势。
2. 可以组织学生参加线性规划竞赛或实践活动，增强他们的动手能力和实际应用能力。
高考文数一轮复习经典教案(带详解)第七章 第2节：线性规划
第2节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【最新考纲】 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.【高考会这样考】 1.考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围)；2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围；3.利用线性规划方法设计解决实际问题的最优方案．要点梳理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的有关概念[友情提示]1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.2.在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值.基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方.( ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )(4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距.( )解析 (1)不等式x －y ＋1>0表示的平面区域在直线x －y ＋1＝0的下方. (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是zb . 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A .(0，0)B .(－1，1)C .(－1，3)D .(2，－3)解析 把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C. 答案 C3.不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B. 答案 B4.设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________.解析不等式组⎩⎨⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0表示的平面区域如图所示.由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2，当直线y ＝32x －z2过图中点A 时，纵截距最大，此时z 取最小值.由⎩⎨⎧2x ＋y ＝－1，x ＋2y ＝1解得点A 坐标为(－1，1)，此时z ＝3×(－1)－2×1＝－5.答案 －55.若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝yx的最大值为________.解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示阴影部分，z ＝y x ＝y －0x －0，表示区域内的点与原点连线的斜率，易知z max ＝k OA ，由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，得A ⎝⎛⎭⎫12，32，k OA ＝3212＝3，∴z max ＝3.答案 3题型分类 考点突破考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()(2)若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A .－3B .1C.43D .3解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎨⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有C 符合题意.(2)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，则m ＞－1，由⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m ，1＋m ). 由⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ⎝⎛⎭⎫23－43m ，23＋23m ，所围成的区域为△ABC ，则S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )(1＋m )－12(2＋2m )·23(1＋m )＝13(1＋m )2＝43， 解得m ＝－3(舍去)或m ＝1.故选B. 答案 (1)C (2)B规律方法 1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域. 2.求平面区域的面积：(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和.【变式练习1】 若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________.解析 作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.答案 π24考点二 求目标函数的最值问题(多维探究) 命题角度1 求线性目标函数的最值【例2－1】设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为()A .0B .1C .2D .3解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数z ＝x ＋y 经过A (3，0)时取得最大值，故z max ＝3＋0＝3，故选D.答案 D命题角度2 求非线性目标函数的最值【例2－2】 (1)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是()A .4B .9C .10D .12(2)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋5y ≥4，则xy 的最小值是________.解析 (1)作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(包括边界)，x 2＋y 2表示平面区域内的点与原点的距离的平方.由图易知平面区域内的点A (3， －1)与原点的距离最大，所以x 2＋y 2的最大值是10，故选C.(2)作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又xy 表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率的倒数.由图知，直线OA 的斜率最大，此时x y 取得最小值，所以⎝⎛⎭⎫x y min ＝1k OA ＝32.答案 (1)C (2)32命题角度3 求参数的值或范围【例2－3】 已知实数x ，y 满足：⎩⎨⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( ) A .1B .2C .4D .8解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2，选B.答案 B规律方法 1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值. 2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；(2)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率.3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.【变式练习2】 (1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是()A .0B .2C .5D .6(2)若实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，2x ＋y －6≤0，0≤y ≤3，且z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，则m 等于()A.54B .－56C .1D.13解析 (1)由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数z ＝x ＋2y 经过点C (－3，4)时取最大值z max ＝－3＋2×4＝5.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，可知目标函数的最优解过点A ，由⎩⎨⎧y ＝3，2x －y ＋2＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫12，3，∴－52＝m2－3，解得m ＝1.答案 (1)C (2)C考点三 实际生活中的线性规划问题【例3】 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).答案 216 000规律方法 解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答.【变式练习3】 一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15千克，用时1小时.现库存白糖10千克，果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________.解析 设生产甲、乙两种饮料分别为x 桶、y 桶，利润为z 元，则得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，6x ＋5y ≤22，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝200x ＋100y .作出可行域(如图阴影部分所示)，当直线z ＝200x ＋100y 经过可行域上点B 时，z 取得最大值，解方程组⎩⎨⎧4x ＋y ＝10，6x ＋5y ＝22，得点B 的坐标(2，2)，故z max ＝200×2＋100×2＝600. 答案 600错误! 课后练习A 组 (时间：30分钟)一、选择题1.不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为()A .1B.12C.13D.14解析 作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.答案D2.若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为()A .1B .3C .5D .9解析 画出可行域，设z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z 2，当直线y ＝－12x ＋z2过B (3，3)时，z 取得最大值9，故选D. 答案 D3.设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是()A .－15B .－9C .1D .9解析 作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点B (－6，－3)处取得最小值z min ＝－12－3＝－15.故选A.答案 A4.设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是()A .[－3，0]B .[－3，2]C .[0，2]D .[0，3]解析 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3)处取得最小值z ＝0－3＝－3，在点B (2，0)处取得最大值z ＝2－0＝2.答案 B5.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，x ＋y ≥0，x ＋2y －4≥0，则z ＝x －2y 的最大值为()A .－12B .－1C .0D.32解析 作出可行域，如图阴影部分，作直线l 0：x －2y ＝0，平移直线l 0，可知经过点A 时，z ＝x －2y 取得最大值，由⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，x －y －1＝0，得A (2，1)，所以z max ＝2－2×1＝0， 故选C.答案 C6.若1≤log 2(x －y ＋1)≤2，|x －3|≤1，则x －2y 的最大值与最小值之和是( ) A .0B .－2C .2D .6解析 1≤log 2(x －y ＋1)≤2，|x －3|≤1即变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2≤x －y ＋1≤4，2≤x ≤4，即⎩⎨⎧x －y －3≤0，x －y －1≥0，2≤x ≤4，作出可行域(图略)，可得x －2y 的最大值、最小值分别为4，－2，其和为2. 答案 C7.若x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为()A.13B.23C .1D .2解析 若z ＝3x －y 的最大值为2，则此时目标函数为y ＝3x －2，直线y ＝3x －2与3x －2y ＋2＝0和x ＋y ＝1分别交于A (2，4)，B ⎝⎛⎭⎫34，14，mx －y ＝0经过其中一点，所以m ＝2或m ＝13，当m ＝13时，经检验不符合题意，故m ＝2，选D. 答案 D8.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为()A.322B. 5C.92D .5解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方，由图知C ，D 间的距离最小，此时z 最小.由⎩⎨⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选D. 答案 D 二、填空题9.若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________.解析 画出可行域如图阴影部分所示. 由z ＝3x －4y ，得y ＝34x －z4，作出直线y ＝34x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (1，1)处取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1.10.已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2，1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x 上的一个动点，则OM →·ON →的最大值是________.解析 依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A ⎝⎛⎭⎫12，12，B ⎝⎛⎭⎫12，32，C (1，1). 设z ＝OM →·ON →＝2x ＋y ，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1，1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值3. 答案 311.(一题多解)已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示).解析 法一 设2x －3y ＝a (x ＋y )＋b (x －y )，则由待定系数法可得⎩⎨⎧a ＋b ＝2，a －b ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝52，所以z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y ).又⎩⎨⎧－2＜－12（x ＋y ）＜12，5＜52（x －y ）＜152，所以两式相加可得z ∈(3，8). 法二 作出不等式组⎩⎨⎧－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3表示的可行域，如图中阴影部分所示.平移直线2x －3y ＝0，当相应直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3，1)时，z取得最小值，z min ＝2×3－3×1＝3；当相应直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈(3，8).12.x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________.解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a ＞0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a ＜0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 答案 2或－1B 组 (时间：15分钟)13.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B .16万元 C .17万元D .18万元解析 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎨⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值.由⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12得A (2，3).则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元). 答案 D14.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是()A.⎣⎡⎦⎤53，5B .[0，5)C .[0，5]D.⎣⎡⎭⎫53，5解析 作出可行域如图所示：易求得A ⎝⎛⎭⎫2，32，B ⎝⎛⎭⎫13，23，C (2，－1)，令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u ＋12，当直线y ＝x－u ＋12过点C (2，－1)时，u 有最大值5，过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，u 有最小值－53，因为可行域不包括x ＝2的边界，所以z ＝|2x －2y －1|的取值范围是[0，5).故选B. 答案 B15.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是________. 解析 画出x ，y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3，0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞16.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤ln x ，x －2y －3≤0y ＋1≥0，，则z ＝y ＋1x 的取值范围为________.解析 作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分.z ＝y ＋1x 表示区域内的点(x ，y )与A (0，－1)连线的斜率k ，由图可知，k min ＝0，k max ＝k AP ，P 为切点，设P (x 0，ln x 0)，k AP ＝1x 0，∴ln x 0＋1x 0＝1x 0，∴x 0＝1，k AP ＝1，即z ＝y ＋1x 的取值范围为[0，1].答案 [0，1]。
高三数学一轮复习 简单线性规划教案
本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。
三、教学过程：
（一）组织教学
让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。
（二）引入新课，
通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！
早在5000年以前我们中华民族的祖先就在龟甲、兽骨上刻出了许多用于记载占卜、天文历法、医术的原始文字“甲骨文”；到了夏商周时期，由于生产力的发展，人们掌握了金属的治炼技术，便在金属器皿上铸上当时的一些天文，历法等情况，这就是“钟鼎文”（又名金文）；秦统一全国以后为了方便政治、经济、文化的交流，便将各国纷杂的文字统一为“秦篆”，为了有别于以前的大篆又称小篆。（请学生讨论这几种字体的特点？）古文字是一种以象形为主的字体。
4．由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的
5. 填表：线性规划中的基本概念
二、基础练习
1．满足如图所示的平面区域(阴影部分)的不等式是___________．
2．不等式组 所表示的平面区域的
面积为________．
3．画出下列不等式(组)表示的平面区域．
(1)2x＋y－10＜0；
四、课堂练习
如图，△ABC中，A(0,1)，B(－2,2)，C(2,6)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．
2014届高三数学复习 简单线性规划20130908
域的公共部分.
2.线性规划
线性目标函数在线性约束条件下，最值问题的讨论.
基本概念 名 称 线性约束条件 目标函数 意 义 由x、y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x、y的 约束条件 关于x、y的解析式，如：z=2x+y，z=x2+y2等
Байду номын сангаас
线性目标函数
可行解
关于x、y的一次解析式
满足线性约束条件x、y的解(x，y)叫做可行解
第二课时 简单的线性规划
1.一元二次不等式表示平面区域 在直角坐标系中，Ax+By+C=0将平面分成三部分.直线上的点满足Ax+By+C=0 ，当B=0时，直接从坐标系上看出范围，当B≠0时，满足B(Ax+By+C)＞0表示直线 上方的区域，满足B(Ax+By+C)＜0表示直线下方的区域.口诀是：同号在上，异号
在下.或采用“以线定界，以点定域”的原则.
判别不等式Ax+By+C＞0(或Ax+By+C＜0)表示的平面区域时，只要在直线 Ax+By+C=0的一侧任取一点(x0，y0)，将它的坐标代入不等式，如果该点的坐标满
足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示
这个点所在区域的另一侧平面区域. 由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区
可行域
最优解 线性规划问题
所有可行解组成的集合叫做可行域
使目标函数达到最大值或最小值的可行解 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题
解线性规划的问题，一般用图解法，其步骤如下： (1)设出变量x、y； (2)找出约束条件，找出线性目标函数； (3)画出可行域； (4)利用线性目标函数作平行直线系； (5)求出最值，还原成实际问题的解.
高三数学下册《线性规划》教案、教学设计
3.单纯形法应用题：
-利用单纯形法求解以下线性规划问题：
-问题1：某公司生产三种产品，产品1、产品2和产品3。生产一个单位产品1、产品2和产品3分别需要2小时、3小时和1小时的工时，以及3单位、2单位和1单位的原料。如果每天有18小时的工时和12单位的原料，如何分配生产三种产品的时间，使得公司每天的总利润最大？
（二）过程与方法
1.探究式学习：引导学生通过观察、分析、归纳等过程，发现线性规划问题的特点，激发学生的学习兴趣。
2.合作学习：组织学生进行小组讨论，共同解决线性规划问题，提高学生团队协作能力。
3.实践操作：鼓励学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的动手操作能力和创新能力。
4.方法指导：引导学生掌握线性规划问题的解题方法，培养学生的逻辑思维能力和解题技巧。
二、学情分析
本章节的教学对象为高三学生，他们在前两年的数学学习中，已经掌握了基本的数学知识和技能，具备了一定的逻辑思维能力和解题技巧。在此基础上，学生对线性规划的学习具备以下特点：
1.学生对数学建模有一定的了解，但线性规划作为数学建模的一种方法，学生在实际应用中可能存在一定的困难，需要教师在教学中加强引导和指导。
3.导入新课：在此基础上，引出本节课的主题——线性规划，并简要介绍线性规划在生活中的广泛应用。
（二）讲授新知
在讲授新知阶段，我将从以下几个方面展开：
1.线性规划的定义：介绍线性规划的基本概念，包括线性约束条件、线性目标函数等。
2.线性规划模型的建立：以导入新课中的问题为例，引导学生建立线性规划模型，包括目标函数和约束条件的表示。
-单纯形法的理解和应用，尤其是对于初始基的选取和迭代过程的掌握。
2020届高三数学一轮复习 《简单线性规划问题》学案
《简单的线性规划问题》学案课前准备【考纲要求】1．从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【知识梳理】1．一元二次不等式(组)表示的平面区域22【基础自测】1．(2019厦门质检)已知实数,x y满足1,20,21,x yxx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则目标函数2z x y=+的最大值等于（）A．2B．3C．52-D．7-【答案】A2．（2019华师附中）实数,x y满足220110x yx yy-+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，且2z x y=-，则z的最大值为（）A．7-B．1-C．5D．7【答案】C3．（2019衡水中学）若,x y满足不等式组201050yx yx y-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则yx的最大值是（）A．32B．1C．2D．3【答案】C4．（2018广州一模）若,x y 满足约束条件20,210,10,x y y x ≥≥≤-+⎧⎪-⎨⎪-⎩则222z x x y =++的最小值为（ ）A ．12B ．14C ．12-D ．34-【答案】D【解析】画出约束条件表示的区域，如图，22(1)1z x y =++-， 点(1,0)-到直线210y -=的距离为12． ∴22(1)x y ++的最小值为14，∴22(1)1z x y =++-的最小值为34-． 课堂互动【典例剖析】考点一 平面区域问题【例1】（2019郑州质检）如果实数,x y 满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线)1(-=x k y 将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为______． 【答案】3-【解析】直线)1(-=x k y 恒过点(1,0)，∴当直线过BC 的中点(0,3)时符合条件， ∴3AD k k ==-．【方法技巧】确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法 (1)当不等式中带等号时，边界为实线； 不带等号时，边界应画为虚线．(2)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．【变式】曲线xy 2=上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,.x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（ ）A ．2B ． 32C ．1D ．1- 【答案】C【解析】由302xx y y +-=⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩∴1m ≤，∴m 的最大值为1．考点二 求目标函数的值或范围 命题点1 求线性目标函数的最值【例2】（2019南昌质检）若,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6,)+∞D ．[4,)+∞【答案】D【解析】可行域为一开放区域，∴直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值． 【方法技巧】求线性目标函数的最值方法（1）先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值． （2）可行域为封闭图形，最值在端点处取得，故只需比较端点值．【变式】（2019济南质检）设,x y 满足约束条件1,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数3z ax y =+仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围为（ ）A ．(6,3)-B ．(6,3)--C ．(0,3)D ．(6,0]- 【答案】A【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为(0,1),(1,0),(3,4)A B C ,3,,312A B C z z a z a ===+，∴3312a a a <⎧⎨<+⎩，解得63a -<<．命题点2 求非线性目标的最值【例3】(2019兰州质检)已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则22x y +的取值范围是___________．【答案】4[,13]5【解析】画出约束条件表示的区域，如图， 原点到直线220x y +-=的距离为5． 原点到点(2,3)的距离为13， ∴22x y +的取值范围是4[,13]5．【方法技巧】非线性的函数时，常见代数式的几何意义有： （1）yx 表示点(,)x y 与原点(0,0)连线的斜率； y bx a--表示点(,)x y 与点(,)a b 连线的斜率． （2）22x y +表示点(,)x y 与原点(0,0)的距离；22()()x a y b -+-表示点(,)x y 与点(,)a b 的距离．【变式】(2019晋城一模)若,x y 满足约束条件20,40, 2,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则1y x +的取值范围为__________．【答案】2[,2]3【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．1yx +表示可行域内的点(,)M x y 与点(1,0)P -连线的斜率． 由40 2x y y +-=⎧⎨=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，故得(2,2)B ；由202x y y -+=⎧⎨=⎩，解得0 2x y =⎧⎨=⎩，故得(0,2)A ．因此可得2PA k =，23PB k =， 结合图形可得1y x +的取值范围为2[,2]3． 考点三 线性规划的实际应用【例4】（2019河师附中）某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：在最合理的安排下，获得的最大利润的值为 ． 【答案】62【解析】设租甲、乙两种货物的数量分别为,x y ，则20101101020100,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈⎩N，即211210,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈⎩N ， 利润810z x y =+， 由211210x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩， 当直线8100x y z +-=过点(4,3)A 时，z 取得最大值， ∴max 8410362z =⨯+⨯=．【谨记通法】解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．【变式】某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件25,2,6.x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩则该校招聘的教师最多是 名． 【答案】10【解析】依题意可知z x y =+， 不等式组表示的平面区域如下：易知(3,1),(6,4),(6,7)A B C ，满足条件的整点为(3,1),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4),(5,5)，∴今年计划招聘教师最多5510z =+=名．【课后作业】1．（2018广州调研）已知变量,x y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．6D ．0 【答案】B2．（2019南昌质检）变量(,)x y 满足约束条件20,20,1.x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则目标函数3z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6 【答案】B 【解析】画出可行域如图， 当直线过(1,1)A 时，min 4z =3．（2019华师附中）已知0a >，,x y 满足约束条件3,(3),x y y a x ⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ） A ．12 B ．13C ．1D ．2 【答案】A【解析】目标函数在(1,2)a -处取得最小值，∴2121a ⨯-=，∴12a =． 4．（2019江师附中）已知实数,x y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩,若目标函数z y ax =-取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞ 【答案】C【解析】不等式组表示的可行域的角点坐标分别为(1,3),(3,1),(7,9)A B C ， ∴3,13,57A B C z a z a z a =-=-=-，由A B AC z z z z >⎧⎨>⎩，即313397a a a a ->-⎧⎨->-⎩，解得1a >．5．（2019华师附中）已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若z ax y =-+取得最大值的最优解有无数多个，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．2C ．1-或2D ．12【答案】C【解析】画出约束条件表示的区域，如图， 由z ax y =-+，得y ax z =+， 即直线的截距最大，z 最大．∴直线y ax z =+必过点A ，∴a =2或1-．6．（2019重庆一中）,x y 满足约束条件40,240,240,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若z ax y =-取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A ．1- B ．2C ．12D ．2或1-【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图： 由z ax y =-，得z ax y -=， 即直线的截距最小，z 最大．要使z ax y =-取得最大值的最优解不唯一，则直线z ax y -=与直线042=--y x 平行，此时21=a ． 7．（2019南充质检）设,x y 满足约束条件22026020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则x z y =的取值范围是（ ）A ．[1,4]B ．7[1,]2C ．1[,1]4D ．2[,1]7【答案】A【解析】依题意可得1[,1]4y x ∈， ∴xz y=的取值范围是[1,4]． A BCO yx8．(2019太原三模)设不等式组310,3 6.x y x y +≥⎧⎨+≤⎩表示的平面区域为D ，若在区域D 上存在函数log (1)a y x a =>图象上的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(3,)+∞B ．(1,3)C ． [3,【答案】C【解析】由31036x y x y +=⎧⎨+=⎩，得(3,1)A ．依题意log 31log a a a ≤=，∴3a ≥．9．（2018新课标Ⅰ）若x y ,满足约束条件10,0,x y y ⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为________．【答案】610．（2018北京高考）若,x y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是_________． 【答案】3【解析】不等式可转化为1,2.x y y x +≤⎧⎨≤⎩∴画出约束条件表示的区域，如图： 令2y x z -=，1122y x z =+， 由图象可知，当2y x z -=过点(1,2)A 时，z 取最小值，此时2213z =⨯-=．11．（2019沈阳质检）已知实数,x y 满足约束条件110x y y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，若目标函数(1)z a x ay =-+在点(1,0)-处取得最大值，则实数a 的取值范围为_________． 【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为(1,0),(1,0),(0,1)A B C -． ∴1A z a =-，1B z a =-，C z a =． ∴111a a a a-≥-⎧⎨-≥⎩，解得12a ≤．。
高中生数学线性规划教案
高中生数学线性规划教案教学内容：1. 了解线性规划的基本概念和应用领域。
2. 掌握线性规划的解题思路和方法。
3. 在实际问题中运用线性规划进行分析和解决。
教学目标：1. 理解线性规划的定义和特点。
2. 能够根据具体问题建立线性规划模型。
3. 能够运用线性规划解决实际生活中的问题。
教学重点：1. 线性规划的基本概念和特点。
2. 线性规划模型的建立和求解方法。
3. 实际问题中线性规划的应用。
教学难点：1. 将实际问题抽象成线性规划模型。
2. 运用线性规划方法解决问题的能力。
教学过程及教学方法：1. 导入（5分钟）通过介绍一个生活中的实际问题，引出线性规划的概念和应用场景。
2. 理论讲解（15分钟）讲解线性规划的定义、目标函数、约束条件等基本概念，并介绍线性规划的解题思路和方法。
3. 示例分析（20分钟）通过具体的例题演示，引导学生理解如何建立线性规划模型，并运用线性规划方法解决问题。
4. 练习与讨论（15分钟）组织学生进行练习题目，引导学生思考问题的建模和解决方法，并开展讨论分享。
5. 拓展应用（10分钟）介绍线性规划在实际生活中的广泛应用领域，启发学生深入思考线性规划的实际意义。
6. 总结归纳（5分钟）对本节课的内容进行总结归纳，梳理线性规划的重点和难点，强调学生需要掌握的知识点。
教学资源：1. PPT课件；2. 课堂练习题目；3. 实际问题案例。
教学评估：1. 课堂练习成绩；2. 参与讨论的表现；3. 课后作业完成情况。
教学反馈：及时对学生在课堂练习和课后作业中存在的问题进行指导和辅导，帮助他们提高线性规划解题能力。
高三数学一轮复习教案全套
高三数学一轮复习教案全套教案标题：高三数学一轮复习教案全套教学目标：1. 复习和巩固高三数学知识点，提高学生的数学应用能力和解题技巧；2. 培养学生的数学思维和逻辑推理能力，提高解决问题的能力；3. 帮助学生理解数学知识与实际生活的联系，培养数学兴趣。
教学内容：本教案全套包含以下内容：1. 整式与分式2. 二次函数与二次方程3. 三角函数与解三角形4. 空间几何与立体几何5. 概率与统计6. 导数与微分7. 积分与定积分8. 向量与解析几何9. 数列与数学归纳法10. 线性规划与简单优化教学步骤：第一课：整式与分式1. 复习整式的基本概念和运算法则；2. 复习分式的基本概念和运算法则；3. 练习整式与分式的综合运用。
第二课：二次函数与二次方程1. 复习二次函数的基本概念和性质；2. 复习二次方程的解法和应用；3. 练习二次函数与二次方程的综合运用。
第三课：三角函数与解三角形1. 复习三角函数的基本概念和性质；2. 复习解三角形的基本方法和技巧；3. 练习三角函数与解三角形的综合运用。
第四课：空间几何与立体几何1. 复习空间几何的基本概念和性质；2. 复习立体几何的基本概念和性质；3. 练习空间几何与立体几何的综合运用。
第五课：概率与统计1. 复习概率的基本概念和计算方法；2. 复习统计的基本概念和分析方法；3. 练习概率与统计的综合运用。
第六课：导数与微分1. 复习导数的基本概念和计算方法；2. 复习微分的基本概念和应用方法；3. 练习导数与微分的综合运用。
第七课：积分与定积分1. 复习积分的基本概念和计算方法；2. 复习定积分的基本概念和应用方法；3. 练习积分与定积分的综合运用。
第八课：向量与解析几何1. 复习向量的基本概念和运算法则；2. 复习解析几何的基本概念和性质；3. 练习向量与解析几何的综合运用。
第九课：数列与数学归纳法1. 复习数列的基本概念和性质；2. 复习数学归纳法的基本原理和应用方法；3. 练习数列与数学归纳法的综合运用。
届高考数学一轮复习讲义课件：二元一次不等式与简单的线性规划问题(共59张PPT)
1．二元一次不等式表示平面区域 (1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C＞0 在平面直角坐标系 中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域．我们把 直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画 不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直 线，则把边界直线画成实线． (2)用二元一次不等式表示平面区域，常有一定的规律性，大致 可分为以下四种情况(如图所示)．
点评 线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界上取 得，具体方法是：将表示目标函数的直线平行移动，最先(或最后) 通过的区域内的点便是最优解．特别地，当表示线性目标函数的直 线与可行域的某边重合时，其最优解可能有无数个 .
变式迁移 2
设 z＝2y－2x＋4，式中 x、y 满足条件00≤≤xy≤ ≤21， ， 2y－x≥1.
2．简单的线性规划问题 (1)求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是： ①作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的 平行直线系中的任意一条直线 l. ②平移：将直线 l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置． ③求值：解有关的方程组求出最优解，再代入目标函数，求出 目标函数的最值． (2)关于线性规划的几点说明： ①最优解有时唯一，有时不唯一，甚至是无穷多． ②对于二元一次不等式组所表示的区域，如果存在使线性目标 函数达到最大或最小的点，那么最值一定是在该区域的顶点或边界 上达到．
所以，原不等式组表示的区域如图所示．
题型二 线性目标函数的最值问题
例 2.已知 x，y 满足条件
35xx＋ ＋83yy＋ －16≤ 5≥00，， 2x－5y＋10≥0，
则 z＝x－y 的取值范围是________．
解析 先画出约束条件的可行域，如图所示，
高三数学一轮复习精品教案1：7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
7.3二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式 表示区域Ax ＋By ＋C ＞0 直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线 Ax ＋By ＋C ≥0 包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2．线性规划中的基本概念名称 意义约束条件 由变量x ，y 组成的不等式(组)线性约束条件由x ，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有． 『试一试』1．如图所示的平面区域(阴影部分)满足的不等式是______．『答案』x ＋y －1>02．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是________．『解析』作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x －3y 过点C 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，∴z min ＝2×3－3×4＝－6. 『答案』－61．确定二元一次不等式表示平面区域的方法二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧． 2．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值的方法将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(1)当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；(2)当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．『练一练』(2014·南京一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ≥0，x ≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．『解析』作出可行域，如图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点(－1,1)时，z 取得最小值－1.『答案』－1考点一二元一次不等式(组)表示平面区域1.由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，y ≥0，y ≤x －1所确定的平面区域的面积等于________.『解析』作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分，可知其面积为2.『答案』22．(2014·苏锡常镇调研)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，0＜x ≤3，y ＞1x所表示的平面区域内的所有格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的三个顶点的概率为________．『解析』当x ＝1时，1＜y ≤1，此时无解；当x ＝2时，12＜y ≤2，此时y ＝1,2；当x ＝3时，13＜y ≤3，此时y ＝1,2,3.所以在可行域中共有5个格点，从中任取3个点共计10种方法．若在直线x ＝2上取一点，则在直线x ＝3上三个点中取两个，此时有2×3＝6(种)；若在直线x ＝2上取两点，则直线x ＝3上三个点中取一个，此时有3种，故所求概率为910.『答案』9103．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．『解析』两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0.由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0，又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域．『答案』⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0『备课札记』『类题通法』二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．考点二求目标函数的最值线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有：1求线性目标函数的最值； 2求非线性目标的最值； 3求线性规划中的参数.角度一 求线性目标函数的最值1．(1)(2014·徐州摸底)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则z ＝2x －y 的最大值是________．『解析』在平面直角坐标系中作出满足条件的可行域，如图，即等腰直角三角形ABC ，其中A (5,3)，B (2,0)，C (－1,3)，过原点O 作直线l 0：y ＝2x ，将l 0平移至点A 时，可取最大值，即z max ＝2×5－3＝7.『答案』7(2)(2013·南京、盐城一模)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y的最大值为________．『解析』画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)．由图可知，y ＝－23x ＋z3，过点(4,6)时，z 取得最大值，为26.『答案』26角度二 求非线性目标的最值2．(1)(2014·苏北四市二调)在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤22y －x ≥1下，x －12＋y 2的最小值为________．『解析』画出线性约束条件下的可行域(如图阴影部分)，所求的22(1)x y -+的几何意义就是点(1,0)与阴影部分内的点之间的距离，其最小值为点(1,0)到直线x －2y ＋1＝0的距离，可求得22(1)x y -+的最小值为2212011(2)-⨯++-＝255. 『答案』255(2)(2014·南通一模)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y x －xy的取值范围是________．『解析』作出可行域(如图阴影部分)，则区域内的点与原点连线的斜率取值范围是⎣⎡⎦⎤13，2.令t ＝y x ，则z ＝t －1t ，根据函数z ＝t －1t在t ∈⎣⎡⎦⎤13，2上单调递增，得z ∈⎣⎡⎦⎤－83，32.『答案』⎣⎡⎦⎤－83，32 角度三 求线性规划中的参数3．(1)(2013·苏北三市调研)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ＋1，x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是113，则实数k ＝________.『解析』由题意得当k ＜－1时满足题意，此时该不等式组表示的平面区域如下图所示，平移直线2x ＋y ＝0经过点P 时，目标函数z ＝2x ＋y 取得最大值，是113，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x ＋y ＋k ＝0，得⎩⎨⎧x ＝－k ＋13，y ＝1－2k3，即点P ⎝⎛⎭⎫－k ＋13，1－2k 3， 所以2⎝⎛⎭⎫－k ＋13＋1－2k 3＝113，解得k ＝－3.『答案』－3(2)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －8≤0，x ≤3.若点⎝⎛⎭⎫3，52是使ax －y 取得最小值的唯一的可行解，则实数a 的取值范围为________．『解析』记z ＝ax －y ，注意到当x ＝0时，y ＝－z ，即直线z ＝ax －y 在y 轴上的截距是－z .在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，满足题意的实数a 的取值范围为a <－12.『答案』⎝⎛⎭⎫－∞，－12 『备课札记』 『类题通法』1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2.(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a .注意：转化的等价性及几何意义．考点三线性规划的实际应用『典例』 某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为________元．『解析』 设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，y ＋x ≤21，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．『答案』 36 800『备课札记』 『类题通法』求解线性规划应用题的注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式． 『针对训练』某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________元．『解析』设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A (4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值，最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．『答案』2 800『课堂练通考点』1．(2014·扬州期末)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤5，则z ＝2x －y 的最大值是________．『解析』由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤5，可以画出可行域如下图阴影部分所示，故当直线经过点A (2,1)时，目标函数z ＝2x －y 的最大值为3.『答案』32．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0，表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为________．『解析』注意到直线kx －y ＝0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合题意得直线kx －y ＝0与直线x ＋y －4＝0垂直时满足题意，于是有k ×(－1)＝－1，由此解得k ＝1. 『答案』13．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA ·OP的最大值为________． 『解析』如图作可行域，z ＝OA ·OP ＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2. 『答案』24．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a－b 的值是________． 『解析』约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)为顶点的四边形区域，检验四个顶点的坐标可知，当x ＝4，y ＝4时，a ＝z max ＝5×4－4＝16；当x ＝8，y ＝0时，b ＝z min ＝5×0－8＝－8，∴a －b ＝24. 『答案』245．(2013·安徽高考)若非负变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为________．『解析』画出可行域是如下图所示的四边形OABC 的边界及内部，令z ＝x ＋y ，易知当直线y ＝－x ＋z 经过点C (4,0)时，直线在y 轴上截距最大，目标函数z 取得最大值，即z max ＝4.『答案』46．(2013·北京高考)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．『解析』作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为255.『答案』255。
新高考数学一轮复习第七章不等式3第3讲二元一次不等式组及简单的线性规划问题教学案
第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组)表示区域Ax＋By＋C>0(<0) 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0(≤0)包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝x＋2y线性目标函数关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( )(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )(5)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×[教材衍化]1．(必修5P91练习T1(1)改编)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y ＋1的最大值、最小值分别是________，________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，画直线l 0：y ＝－2x ，平移l 0过点B 时，z max ＝4，平移l 0过点A 时，z min ＝－2.答案：4 －22．(必修5P91练习T2改编)投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金 1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为________________．(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)解析：用表格列出各数据A B 总数 产品吨数 xy资金 200x 300y 1 400 场地200x100y900x y x y x y 答案：⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0[易错纠偏](1)不会用代点法判断平面区域；(2)不明确目标函数的最值与等值线截距的关系； (3)不理解目标函数的几何意义； (4)对“最优解有无数个”理解有误．1．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是__________． 解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的最大值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x －y ＝0，平移直线经过点A (1，0)时，目标函数z ＝x －y 取得最大值，最大值为1.答案：13．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z＝y －1x ＋3的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，问题转化为区域上哪一点与点M (－3，1)连线斜率最大，观察知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52，使k MA 最大，z max＝k MA ＝52－1－52＋3＝3.答案：34．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a的值为________．解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，所以－a ＝k AB ＝1，所以a ＝－1.答案：－1二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)不等式组所表示平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1，1)，易得B (0，4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83.故S △ABC ＝12×83×1＝43.(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.【答案】 (1)C (2)(0，1]∪[43，＋∞)二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；(2)当不等式中带等号时，边界应画为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )解析：选 C.(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符合．故选C.求线性目标函数的最值(范围)(高频考点)线性目标函数的最值(范围)问题是每年高考的热点，属必考内容，题型多为选择题和填空题，难度适中，属中档题．主要命题角度有：(1)求线性目标函数的最值(范围)；(2)已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)； (3)求非线性目标函数的最值(范围)． 角度一 求线性目标函数的最值(范围)(2019·高考浙江卷)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．10D ．12【解析】 作出可行域如图中阴影部分所示，数形结合可知，当直线z ＝3x ＋2y 过点(2，2)时，z 取得最大值，z max ＝6＋4＝10.故选C.【答案】 C角度二 已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)(2020·嘉兴市高考模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0y －1≥0x －y ＋1≥0，若ax ＋y 的最大值为10，则实数a ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】 画出满足条件的平面区域，如图所示(阴影部分)：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x －y ＋1＝0， 解得A (3，4)，令z ＝ax ＋y ，因为z 的最大值为10，所以直线在y 轴上的截距的最大值为10，即直线过(0，10)， 所以z ＝ax ＋y 与可行域有交点， 当a ＞0时，直线经过A 时z 取得最大值．即ax ＋y ＝10，将A (3，4)代入得，3a ＋4＝10，解得a ＝2，当a ≤0时，直线经过A 时z 取得最大值，即ax ＋y ＝10，将A (3，4)代入得，3a ＋4＝10，解得a ＝2，与a ≤0矛盾，综上a ＝2.【答案】 C角度三 求非线性目标函数的最值(范围)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355 B. 2 C.322D. 5【解析】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥02x －y －3≤0x －2y ＋3≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (1，2)、B (2，1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A 与B ，又两平行直线的斜率为1，直线AB 的斜率为－1，所以线段AB 的长度就是过A 、B 两点的平行直线间的距离，易得|AB |＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2，故选B.【答案】 B(1)利用线性规划求目标函数最值的步骤 ①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最优解对应的点； ③将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值． 常见的目标函数有：(ⅰ)截距型：形如z ＝ax ＋by ；(ⅱ)距离型：形如z ＝（x －a ）2＋（y －b ）2；(ⅲ)斜率型：形如z ＝y －b x －a. (2)含参数的线性规划问题参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中，求解步骤为：①注意对参数取值的讨论、将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解．[提醒] 求目标函数的最值时，易弄错目标函数的几何意义而求错．如x 2＋y 2是距离的平方，易忽视平方而求错．1．(2020·温州七校联考)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ≥0|x ＋y |≤1，使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，则z 1＝ax ＋y ＋1的最小值为( )A ．0B ．－2C ．1D ．－1解析：选A.画出不等式组所表示的可行域如图中阴影所示，因为z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，所以－a ＝1，a ＝－1，所以当x ＝1，y ＝0或x ＝0，y ＝－1时，z ＝ax ＋y＝－x ＋y 有最小值－1，所以ax ＋y ＋1的最小值是0，故选A.2．(2020·温州市高考模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＋1≥0x ＋y －2≤0x ，y ≥0，则y 的最大值为________，y ＋1x ＋2的取值范围是________． 解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＋1≥0x ＋y －2≤0x ，y ≥0，对应的平面区域如图(阴影部分)：可知A 的纵坐标取得最大值2. 设z ＝y ＋1x ＋2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (－2，－1)的斜率，由图象知BD 的斜率最小，AD 的斜率最大，则z 的最大为2＋10＋2＝32，最小为0＋11＋2＝13，即13≤z ≤32，则z ＝y ＋1x ＋2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32.答案：2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，323．(2020·绍兴一中高三期中)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1y ≥2x －1x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx＋y (a ＞0，b ＞0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为________．解析：满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1y ≥2x －1x ≥0，y ≥0的区域是一个四边形，如图所示四个顶点分别是(0，0)，(0，1)，⎝⎛⎭⎪⎫12，0，(2，3)，由图易得目标函数在(2，3)取最大值35，即35＝2ab ＋3，所以ab ＝16，所以a ＋b ≥2ab ＝8，当a ＝b ＝4时等号成立， 所以a ＋b 的最小值为8. 答案：8线性规划的实际应用某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．【解析】 由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2 100x ＋900y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60，100)， 所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 【答案】 216 000利用线性规划解决实际问题的步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，主要变量有哪些．由于线性规划应用题中的量较多，为了了解题目中量与量之间的关系，可以借助表格或图形；(2)设元：设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数；(3)作图：准确作图，平移找点(最优解)； (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)； (5)检验：根据结果，检验反馈．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C.设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N .目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y .画出可行域(图中所示阴影中的整点部分)，可知目标函数过点N (5，12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．[基础题组练]1．二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤12，2x ＋3y ≥－6，0≤x ≤6所表示的平面区域的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．1213解析：选C.不等式组所表示的平面区域如图阴影部分，四边形ABCD 是平行四边形，由图中数据可知其面积S ＝(4＋2)×6＝36.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )A.23 B ．1 C.32D ．3解析：选D.作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B (0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合．3．(2020·浙江名校联盟联考)已知实数x ，y满足⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ）（x ＋2y ）≥0x ≥1，则2x －y ( )A ．有最小值，无最大值B ．有最大值，无最小值C ．有最小值，也有最大值D ．无最小值，也无最大值解析：选A.作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．设2x －y ＝z ，则y ＝2x －z ，z 表示直线在y 轴上的截距的相反数．平移直线y ＝2x －z ，可得当直线过点A 时z 取得最小值，z 没有最大值．故选A.4．(2020·台州高三质检)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥m 表示的平面区域的面积为2，则x ＋y ＋2x ＋1的最小值为( ) A.32 B.43 C ．2D ．4解析：选B.画出不等式组所表示的区域(阴影部分)，由区域面积为2，可得m ＝0.而x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域内任意一点与点(－1，－1)连线的斜率，所以y ＋1x ＋1的最小值为0－（－1）2－（－1）＝13，所以x ＋y ＋2x ＋1的最小值为43.5．(2020·金华十校联考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[8，10]B ．[8，9]C ．[6，9]D ．[6，10]解析：选A.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义．由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10，故选A.6．(2020·温州适应性测试)在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则yx －a的最大值是( )A.25 B.23 C.16D.14解析：选A.易知a ≠0，那么目标函数可化为y ＝－1a x ＋1az .要使目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则－1a ＝k AC ＝1，则a ＝－1，故y x －a ＝yx ＋1，其几何意义为可行域内的点(x ，y )与点M (－1，0)的连线的斜率，可知⎝⎛⎭⎪⎫y x ＋1max＝k MC＝25，故选A.7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4则z ＝－x ＋y 的最小值是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (1，1)，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，43，C (0，4)．经过点A 时，目标函数z 达到最小值． 所以z min ＝－1＋1＝0. 答案：08．(2020·杭州中学高三期中)已知点A (3，3)，O 为坐标原点，点P (x ，y )满足⎩⎨⎧3x －y ≤0x －3y ＋2≥0y ≥0，则满足条件的点P 所形成的平面区域的面积为________，OP →在OA →方向上投影的最大值为________．解析：由已知得到平面区域如图，P 所在区域即为阴影部分，由⎩⎨⎧3x －y ＝0x －3y ＋2＝0得到C (－2，0)，B (1，3)，所以其面积为12×2×3＝ 3.令OP →在OA →方向上投影为z ＝OA →·OP →|OA →|＝3x ＋3y 23＝32x ＋12y ，所以y ＝－3x ＋2z ，过点B时z 最大，所以，OP →在OA →方向上投影的最大值为32＋32＝ 3.答案： 339．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析：画出平面区域D ，如图中阴影部分所示．作出z ＝x ＋y 的基本直线l 0：x ＋y ＝0.经平移可知目标函数z ＝x ＋y 在点A (0，1)处取得最小值，在线段BC 处取得最大值，而集合T表示z ＝x ＋y 取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC 上共有5个整点，分别为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，故T 中的点共确定6条不同的直线．答案：610．(2020·温州市高考实战模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12，则z ＝2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y的最大值为________． 解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝2x －y，令u ＝x －y ，则直线u ＝x －y 在点(4，0)处u 取得最大值，此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16.答案：1611．(2020·杭州市高三模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x ≤1x －2y ≥0.求：(1)x 的取值范围； (2)|x |＋|y |的取值范围．解：(1)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x ≤1x －2y ≥0作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，0≤x ≤1. (2)当x ≥0，y ≥0时，z ＝|x |＋|y |＝x ＋y 过(1，12)时有最大值为32，过O (0，0)时有最小值0； 当x ≥0，y ≤0时，z ＝|x |＋|y |＝x －y 过(1，－1)时有最大值为2，过O (0，0)时有最小值0.所以|x |＋|y |的取值范围是[0，2]．12．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图中阴影部分所示，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3，4)时z 取最小值－2，过C (1，0)时z 取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4，2)．[综合题组练]1．(2020·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥－2x －y ≤0x ≥－4，若不等式2x －y ＋m 2≥0恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[－6，6]B ．(－∞，－6]∪[6，＋∞)C ．[－7，7]D ．(－∞，－7]∪[7，＋∞)解析：选D.作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥－2x －y ≤0x ≥－4所对应的可行域(如图中阴影部分)，令z ＝－2x ＋y ，当直线经过点A (－4，－1)时，z 取得最大值，即z max ＝(－2)×(－4)＋(－1)＝7.所以m 2≥7，即实数m 的取值范围为(－∞，－7]∪[7，＋∞)，故选D.2．(2020·温州校级月考)已知二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≥0x －y －2≤0x －3y ＋4≥0所表示的平面区域为M .若M 与圆(x －4)2＋(y －1)2＝a (a >0)至少有两个公共点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5B ．(1，5) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，5 D ．(1，5]解析：选C.如图所示(阴影部分)，若使以(4，1)为圆心的圆与平面区域M 至少有两个交点，结合图形，当圆与直线x －y －2＝0相切时，恰有一个公共点，此时a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，当圆的半径增大到恰好过点C (2，2)时，圆与平面区域M 至少有两个公共点，此时a ＝5，故实数a 的取值范围是12<a ≤5.3．(2020·丽水模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同的实数解，则实数k 的取值范围是____________．解析：作出可行域，如图所示(阴影部分)，则目标函数z ＝x －2y 在点(1，0)处取得最大值1，在点(－1，1)处取得最小值－3，所以a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同的实数解．令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）＞0，f （1）＞0，－3＜k2＜1，Δ＝k 2－4＞0⇒－103＜k ＜－2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－2 4．设a ＞0，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y －4≤0，x －y ＋2a ≥0，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤a 2}．若“点P (x ，y )∈A ”是“点P (x ，y )∈B ”的必要不充分条件，则a 的取值范围是____________．解析：由题意知B A ，从而得到圆面的半径≤圆心到相应直线的距离，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ≤3，|1＋1－4|2≥a ，|1－1＋2a |2≥a ，解得0＜a ≤ 2.答案：0＜a ≤ 25．甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者订做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异．甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费如下表所示，求组委会订做该工艺品的费用总和最低为多少元．解：设甲厂生产一等奖奖品x 件，二等奖奖品y 件，x ，y ∈N ， 则乙厂生产一等奖奖品(3－x )件，二等奖奖品(6－y )件．则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，3－x ≥0，6－y ≥0，x ，y ≥0，设费用为z 元，则z ＝500x ＋400y ＋800(3－x )＋600(6－y )＝－300x －200y ＋6 000，作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示．由图象知当直线经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即A (3，1)，故组委会订做该工艺品的费用总和最低为z min ＝－300×3－200×1＋6 000＝4 900(元)．6．已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，求ba的取值范围． 解：条件5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c 可化为：⎩⎪⎨⎪⎧3·a c ＋b c≥5，a c ＋b c≤4，b c ≥e a c .设a c＝x ，b c＝y ，则题目转化为：已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≥5，x ＋y ≤4，y ≥e x，x ＞0，y ＞0，求yx 的取值范围．求目标函数z ＝b a ＝y x的取值范围．作出不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，过原点作y ＝e x的切线，切线方程为y ＝e x ，切点P (1，e)在区域内．故当直线y ＝zx 过点P (1，e)时，z min ＝e ；当直线y ＝zx 过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72时，z max ＝7，故b a ∈[e ，7]．。
沪教版(上海)高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习其他系列之线性规划②
沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习其他系列之 线性规划②在有限的人力、有限的设备、有限的物资等条件下，如何获得最大的效益，这就需要进行规划.反应在数学上，就是要在某种约束条件下，寻求目标函数的最优解.线性规划是一种比较简单的规划，具有广泛的应用. 教学目标1. 会用二元一次不等式表示平面区域，解决简单的问题；2. 初步掌握简单的线性规划问题的解法；知识梳理 1. 线性规划的概念线性规划是指在线性约束条件下求目标函数的最值，这里的线性约束条件是指 2. 可行解满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解. 3. 可行域所有可行解 表示的平面区域称为可行域，画可行域的方法是“直线定界，特殊点定域”. 4. 简单线性规划的图解法用图解法解简单的线性规划可分为三个步骤： （1） 画出可行域 ；（2） 作出目标函数的等值线 ； （3） 求出最值 ；典例精讲【例题讲解中要注意：1.不要直接画出可行域，要动手与学生一起或让学生单独画出可行域；2.要讲清楚目标函数的最值为什么可以转化为截距的最值问题.】例1. (★★★)在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为（ ）A ．2B ．1C ．12 D ．14分析：将x y +和x y -看成整体，设u x yv x y =+⎧⎨=-⎩，由题意列出关于,u v的约束条件，画出区域求面积即可．解：令u x y v x y =+⎧⎨=-⎩，∴100u u v u v ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，作出区域是等腰直角三角形，可求出面积1212s =⨯⨯. 选B.例2. (★★★)在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+010101x y ax y x (a 为常数)所表示的平面区域的面积为2，则a的值为( ).A 、-5B 、1C 、2D 、3【本题属于含参数的线性规划问题，有一定难度.】 解：可行域如图，根据约束条件先作出1010x y x +-≥-≤与所表示的平面区域， 然后再去处理含参数的二元一次不等式10ax y -+=，即1y ax =+， 则直线恒过(0,1)A ， 假设1y ax =+所表示的直线为L ，与1x =交于C ，过A 作BC 垂线交BC 于D ，由ABC ∆的面积为2，则4BC =， 所以(1,4)C ，因为C 在L 上，于是由41a =+,得3a =，则选D.例3. (★★★)将甲、乙两种长短不同的钢管截成A 、B 、C 三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：A 规格B 规格C 规格 甲种钢管 2 1 1 乙种钢管123现在需要A 、B 、C 三种规格的钢管分别为13、16、18根，问应分别截甲、乙两种钢管各多少根，才能使材料利用率最高？解：设截甲、乙两种钢管分别为x 根、y 根，z x y =+，依题意得xyA BCDLx+y-1=0x=1图52213316418,*.x y x y x y x y N +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩ 作可行域，由图知，当直线x y z +=过点A 时，z 为最小.由418,316x y x y +=⎧⎨+=⎩得3811,4611x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以点3846(,).1111A 因为,*x y N ∈，在可行域内与点A 邻近的整点有(4,4),(4,5).显然(4,4)是最优解，且min 8z =.故分别截取甲、乙两种钢管各4根，才能使材料利用率最高. 【（1）解线性规划应用题的一般步骤：① 设出未知数；② 列出约束条件（要注意考虑数据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一）； ③ 建立目标函数； ④ 求最优解．（2）若实际问题要求的最优解是整数解,而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解),应作适当的调整．】 课堂检测1. (★★)已知实数,x y 满足约束条件110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则其围成的平面区域的面积为（ ）A ．8 B.4 C.2 D.1 【画出约束条件表示的可行域，然后求出可行域的面积即可．】解：因为实数,x y 满足约束条件110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，所以它表示的可行域为：则其围成的平面区域的面积为：1212s =⨯⨯；故选D ． 2. (★★)已知实数x 、y 满足条件490103x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则3x y -的最大值为________.解：-13.(★★★)某班举行晚会，布置会场要制作“中国结”，班长购买了甲、乙两种颜色不同的彩绳，把它们截成A、B、C三种规格.甲种彩绳每根8元，乙种彩绳每根6元，已知每根彩绳可同时截得三种规格彩绳的根数如下表所示：A规格B规格C规格甲种彩绳 2 1 1乙种彩绳 1 2 3今需要A、B、C三种规格的彩绳各15、18、27根，问各截这两种彩绳多少根，可得所需三种规格彩绳且花费最少？解：设需购买甲种彩绳x根、乙种彩绳y根，共花费z元,则215218,327,x yx yx yx y N+≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩且86z x y=+.作可行域，由图可知，直线l经过可行域内的点A时，z最小.由215,327x yx y+=⎧⎨+=⎩得3.6,7.8xy=⎧⎨=⎩所以点(3.6,7.8)A.因为,x y N∈，在可行域内与点A邻近的整点有(3,9),(4,8).显然(3,9)是最优解，且min 78z=.答：班长应购买3根甲种彩绳、9根乙种彩绳，可使花费最少.回顾总结1.解线性规划应用题的一般步骤：①设出变量，找出约束条件和线性目标函数；②利用图像在约束条件下找出变量使目标函数达到最大或最小.2.若实际问题要求的最优解是整数解,而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解),应作适当的调整.。
高三数学一轮复习 简单的线性规划学案
山东省乐陵市第一中学2012届高三数学一轮复习学案主备人：张志同 审核人：李新国 批准人：郭毅一、考试要求： 会从实际情景中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式组的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能解决 二、基础检测：1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3x －y ≥－1，则目标函数z ＝y ＋2x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0kx －y ＋2≥0，所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为( )A ．1B ．－3C ．1或－3D ．03．(2010·浙江高考)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥02x －y －3≤0x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．设O 为坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y )满足不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤02x ＋y －12≤0x ≥1，则使OM ·ON取得最大值的点N 的个数( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥02x ＋y ≤2y ≥0x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1 C．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥436．)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥03x －y ＋3≥05x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞)7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0x ＋y≥0x≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为________．8．如果实数x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0y ＋1≥0x ＋y ＋1≤0，则3x ＋2y －5x －1的取值范围是________．三、解答题10．已知关于x ，y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0.(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (2)求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值．11．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元． (1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？。
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江苏省徐州市贾汪区建平中学高三数学一轮复习教案：简单线性规划2教 学目 标 1、理解二元一次不等式组与平面图形之间的联系2、掌握可行域的作图方法教 学重 难点 培养数形结合的思想教 学参 考 优化探究授 课方 法 自学引导 类比 教学辅助手段 多 媒 体专用教室教学过程设计 教 学 二次备课一、知识回顾线性规划中的基本概念：1约束条件？2目标函数？线性目标函数？3可行解，可行域，最优解？思考：1．可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？二、基础练习1．(2010·浙江高考)若实数x ，y 满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为 .2．(2010·陕西高考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为____学生自己阅读、理解练习：P2084 ，52．若变量x ，y 满足约束条件则z ＝x －2y 的最大值为 .教学过程设计 教 学 二次备课三、例题讲解例1已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2，(1)若z ＝2x ＋y ，求z 的最大值和最小值； (2)若z ＝y x ，求z 的最大值和最小值． 例2．(2010·四川高考改编)某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为甲车间加工原料________箱，乙车间加工原料________箱．四、课堂练习1、若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b且z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b 的值为________．五、课堂小结六、课后作业 1．(2010·全国卷Ⅱ改编)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥－1，y ≥x ，3x ＋2y ≤5，则z ＝2x ＋y 的最大值为 .鼓励学生大胆进行猜测学生练习：2、一项装修工程需要木工和瓦工共同完成，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人的约束条件是____________．课外作业优化探究第90页考题探究1，,2教学小结第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
（老师读，学生读，加深理解。
）3、书写教学“杏花春雨江南”6个字。
杏：上大下小，上面要写得大，大在哪里？（大在撇捺）写的时候撇捺要舒展，象燕子张开的翅膀；下面的“口”要写得小，左右两竖要内斜，稍扁；“木”的竖写在竖中线上。
花：也是上下结构，草字头两竖要内斜；下面单人旁起笔对准上面的左竖，竖弯钩起笔对准上面的右竖；竖弯钩要舒展，（用红笔描竖弯钩，并在旁边书写一个大的竖弯钩）要求弯处圆转，不能僵硬（书写僵硬的竖弯钩，并在旁边打×）。
春：上部三横都是短横，收笔处不要顿；撇画最长，捺画从哪里起笔？从第三横下面起笔，不能碰到撇；下面“日”的两竖要竖直，不能斜。
雨：旁边两竖要内斜，上横短，中竖写在竖中线上；从下面看，哪一笔最低？钩最低，中竖最短；四个点都是斜点。
江：左右结构，左窄右宽左边三点水第二点略向外展；右边“工”字上横是短横，下横是长横；中竖略斜。
南：上横短；下边两竖内斜；框架中两横都是短的，中间一竖悬针；三个竖画左、中差不多长，右竖钩最低；横折钩要写出弯势。
4、学生练习，教师巡回指导。
三、讲评：收上学生的作业，进行批改和评比，对写得好的进行表扬，并加盖☆符号章，然后贴在展示板上，向学生展示。
板书设计：书写练习1、杏花春雨江南我的思考：进一步加强写字姿势训练，这是根本。
在了解字结构的基础上更好的把握每个字的书写。
及时对书写情况进行反馈，同时通过奖励激发学生兴趣。
课后反思：通过字形的比较，学生基本上学会了笔画位置的比较，但是还需要不断的引导。
第（3）课时课题：书写练习2课型：新授课教学目标：1、掌握车字旁写法，并能把“轻”字写端正。
2、完成书写练习。
重点：正确地书写“轻”字难点：“车”字旁的书写。
教学过程：一、讲评上一课作业情况。
1、表扬书写优秀者，展示其作业。
2、指出存在的主要缺点并进行针对性的练习。
二、指导“车”字旁写法：1、出示范字，观察“车”字旁写法。
2、讨论明确其书写要领：“车”字旁分四笔完成，整个偏旁左重右轻，不超过竖中线。
第一笔横稍短。
第二笔撇折收笔于横中线。
第三笔垂露竖，应在第一笔横下的正中位置起笔。
最后一笔，比第一横长一些，离折笔稍近一些。
3、练写“车”字旁。
三、指导临写“轻”字。
1、观察范字。
2、明确写法。
“轻”字的写法：“轻”字左窄右宽，右边的第一笔起笔与左边的第一笔短横相齐平，底部大体相齐，右边上下两部分基本相等。
四、课后延伸书写：斩、转板书设计：书写练习2、轻、斩、转我的思考：以复习巩固导入，并有针对地进行纠正。
明确字的重心及每个笔画在田字格中分布的位置，使学生初步掌握字的结构特点。
在练习书写“车”字旁的基础上，更好的把握整个字的字形。
课后及时巩固，拓展。
课后反思：学生基本上能把握好字在田字格中的位置，处理好左右的布局。
第（4）课时课题:结构特点（六）课型:新授课教学目标: 1、懂得以宝盖头、穴字头等作为字头的字宜上大而下小。
2、通过练习，写好课文中的例字。
重点:掌握以宝盖头、穴字头等作为字头的字宜上大而下小难点:把握好字的结构。
教学过程：一、复习巩固二、教学新课1.讲解以宝盖头、穴字头等作为字头的字（1）教师讲解字头的书写。
（2）学生练习书写，教师指导书写。
（3教师根据实际情况小结，提出要求。
2.指导书写例字（1）出示例字：“宝”：首先要控制好字头，摆正位置，下面的“玉”字占格子的一半以上，特别是最后一横宜稍长，使整个字立正。
“穷”：下面的力字宜正，不宜写得太小。
（其余字略）（2）学生练习，师巡回指导。
3、提出注意点三、讲评：收上学生的作业，进行批改和评比，对写得好的进行表扬，并加盖☆符号章，然后贴在展示板上，向学生展示。
板书设计：结构特点（6）宝、穷、写、会、奔我的思考：使学生更好的把握好字的结构，同时在教师的指导下提高学生辨别能力。
激励学生更好的书写。
第（5）课时课题：怎样写好字课型：复习课教学目标：1、让学生能够正确认识，端正态度。
教学过程：一、正确的学书之路1．临帖临帖是学习书法的最根本的方法。
古往今来，没有一个书法家是不经临习而成功的，没有一个字写得好的人是不经过临帖的。
只有临帖，取法唐楷、晋行、汉隶、秦篆等传统的东西，才会有所获。
2．专一学书首先应师承一家，建立根据地，然后再发展。
这就有一个选帖的问题，选帖的标准：①好帖；②喜欢。
选定帖后专心致志，认真临习，坚持不懈，直至形同神似。
这个时期检验你学习得怎样，首先看临得像不像，再看笔法笔意。
3．博采众长当对一本帖或一家书体临习达到形同神似之后，就要广涉其他好帖，取其营养加以吸收消化，融会贯通。
4．字外功夫练字的同时经常要多读书，多掌握方方面面的知识，加强自身修养。
总之一句话，加强字外功夫的训练。
在此基础上，逐步形成自己的风格，便自成一家。
综上所述，我们可以把正确的学书之路概括为：二、科学的学书方法明确了正确的学书之路之后，我们还要掌握科学的学习方法，有了科学的学习方法，就可得到较好的学习效果。
1．临帖和摹帖这既是正确学书之路的开端，又是正确学书方法中的根本点，必须坚信不疑，坚定不移。
摹帖和临帖各有优点，效果各异。
姜夔《续书谱》中说：“临书易失占人位置，而多得古人笔意，摹书易得古人位置，而多失古人笔意，临书易进，摹书易忘。
”其中的“笔意”即指笔法、笔势及线条意趣。
“临”的方法就是看着字帖，照着写。
只要仔细地临，便容易掌握笔法笔意．从而把范本的精髓学到手。
“摹”的方法，就是用薄纸蒙在帖上，直接地描画。
所以字形基本上不会走样，多摹几遍，有利于把握结构。
但摹书看不清笔法，“易失笔意”，虽然间架不错．但没有笔法，字就僵化。
所以，初学者可以临摹并用，相互补充。
2．每天定量事实证明，任何事情都有一个由量变到质变的过程，练字也一样，写得太少，练习量跟不上，就谈不上进步；当然盲目机械地多写，疲倦了效果也不好。
一定的量才能达到的一定的效果，较佳的量才能达到较佳的效果。
3．循序渐进学习书法，在勤学苦练的基础上，还应该懂得它是一个循序渐进的过程：第一，先正楷，后行草。
苏轼说：“真生行，行生草。
真如立，行如行，草如走。