创新教程2016年高考数学大一轮复习第八章第3节椭圆课时冲关理新人教A版
2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第8章 第1节 直线与方程
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(2)直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角 α 的 ______ 正切值叫做这条直线的斜 率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ ______ tanα ，倾斜角是90°的 直线斜率不存在． ②过两点的直线的斜率公式
第八章
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第1节 直线与方程
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越大，斜率就越大； 越大，斜率也越大．
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2．直线方程的五种形式 名称 点斜式 已知条件 方程 适用范围
斜率k与点 (x0，y0)
y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝ _____________ x0 y＝kx＋b ___________ 不含垂直于x 轴的直线
经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式 y2－y1 为 k＝ . x2－x1
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质疑探究1：任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？ 提示：每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直 线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．
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第八章 第6节对应学生用书课时冲关 理(四十五)/第319页文(四十二)/第283页一、选择题1．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A ，B ，则|AB |等于( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解析：设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋3，y ＝x ＋b ⇒x 2＋x ＋b －3＝0⇒x 1＋x 2＝－1， 得AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫－12，－12＋b . 又M ⎝⎛⎭⎫－12，－12＋b 在直线x ＋y ＝0上，可求出b ＝1， 则|AB |＝ 1＋12·(－1)2－4×(－2)＝3 2.答案：C2．(2015·泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)解析：因为斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1恒有两个公共点，所以ba >3，所以e ＝ca＝1＋b 2a2> 1＋(3)2＝2.所以双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)． 答案：B3．(2015·西安模拟)已知任意k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m ＝1(m >0)恒有公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,5)C ．[1,5)∪(5，＋∞)D ．[1,5)解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，只要(0,1)在椭圆x 25＋y 2m ＝1上或其内部即可．从而m ≥1，又因为椭圆x 25＋y 2m＝1中m ≠5，所以m 的取值范围是[1,5)∪(5，＋∞)．答案：C4．(2015·衡水模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(m >b >0)的离心率之积等于1，则以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：设双曲线离心率为e 1，椭圆离心率为e 2， 所以e 1＝ a 2＋b 2a 2，e 2＝ m 2－b 2m 2， 故e 1·e 2＝(a 2＋b 2)(m 2－b 2)a 2m2＝1，⇒(m 2－a 2－b 2)b 2＝0， 即a 2＋b 2－m 2＝0，所以，以a ，b ，m 为边长的三角形为直角三角形． 答案：B5．(2015·嘉定模拟)过点P (1,1)作直线与双曲线x 2－y 22＝1交于A ，B 两点，使点P 为AB中点，则这样的直线( )A ．存在一条，且方程为2x －y －1＝0B ．存在无数条C ．存在两条，方程为2x ±(y ＋1)＝0D ．不存在解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， 则x 21－12y 21＝1，x 22－12y 22＝1， 两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，所以x 1－x 2＝12(y 1－y 2)，即k AB ＝2，故所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－12y 2＝1可得2x 2－4x ＋3＝0，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在．故选D. 答案：D6．(2015·杭州模拟)F 为椭圆x 25＋y 2＝1的右焦点，第一象限内的点M 在椭圆上，若MF⊥x 轴，直线MN 与圆x 2＋y 2＝1相切于第四象限内的点N ，则|NF |等于( )A.213 B.45 C.214 D.35解析：因为MF ⊥x 轴，F 为椭圆x 25＋y 2＝1的右焦点，所以F (2,0)，M ⎝⎛⎭⎫2，55，设l MN ：y －55＝k (x －2)， N (x ，y )，则O 到l MN 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪－2k ＋55k 2＋1＝1，解得k ＝255(负值舍去)．又因为⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y －55＝255(x －2)⇒⎩⎨⎧x ＝23，y ＝－53，即N ⎝⎛⎭⎫23，－53，所以|NF |＝ ⎝⎛⎭⎫2－232＋⎝⎛⎭⎫532＝213. 答案：A 二、填空题7．已知两定点M (－2,0)，N (2,0)，若直线上存在点P ，使得|PM |－|PN |＝2，则称该直线为“A 型直线”，给出下列直线：①y ＝x ＋1；②y ＝3x ＋2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x .其中是“A 型直线”的序号是________．解析：由条件知考虑给出直线与双曲线x 2－y 23＝1右支的交点情况，作图易知①③直线与双曲线右支有交点，故填①③.答案：①③8．(2015·无锡模拟)若直线mx ＋ny ＝4与☉O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是________．解析：由题意知：4m 2＋n 2>2，即m 2＋n 2<2，所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2个．答案：29．已知双曲线左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为其右支上一点，∠F 1PF 2＝60°，且S△F 1PF 2＝23，若|PF 1|，14|F 1F 2|2，|PF 2|成等差数列，则该双曲线的离心率为________．解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m >n )，双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因此有m －n＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，S △PF 1F 2＝12·m ·n ·32＝23，m ·n ＝8.又m ＋n ＝12×4c 2＝2c 2⇒(m ＋n )2＝4c 4.①由余弦定理cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·|PF 2|＝m 2＋n 2－4c 22mn ＝12⇒m 2＋n 2＝8＋4c 2⇒(m ＋n )2＝4c 2＋24. ②①②两式联立解得c 2＝3⇒c ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ·n ＝8，m ＋n ＝6，m >n⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝2，⇒2a ＝2，a ＝1，e ＝c a ＝ 3.答案： 3 三、解答题10．(2015·衡水模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率e ＝32，且椭圆C 上一点N 到点Q (0,3)的距离最大值为4，过点M (3,0)的直线交椭圆C 于点A ，B .(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|AB |<3时，求实数t 的取值范围．解析：(1)因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2，则椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋4y 2＝4b 2.设N (x ，y )，则|NQ |＝ (x －0)2＋(y －3)2＝ 4b 2－4y 2＋(y －3)2 ＝ －3y 2－6y ＋4b 2＋9 ＝－3(y ＋1)2＋4b 2＋12.当y ＝－1时，|NQ |有最大值为4b 2＋12＝4， 解得b 2＝1，所以a 2＝4，椭圆方程是x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)， AB 方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)，x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0. 由Δ＝(24k 2)2－16(9k 2－1)(1＋4k 2)>0，得k 2<15.x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，x 1·x 2＝36k 2－41＋4k 2.所以OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x 0，y 0)， 则x 0＝1t (x 1＋x 2)＝24k 2t (1＋4k 2)，y 0＝1t (y 1＋y 2) ＝1t [k (x 1＋x 2)－6k ]＝－6k t (1＋4k 2). 由点P 在椭圆上，得(24k 2)2t 2(1＋4k 2)2＋144k 2t 2(1＋4k 2)2＝4，化简得36k 2＝t 2(1＋4k 2) ①又由|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|<3，即(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<3，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤242k 4(1＋4k 2)2－4(36k 2－4)1＋4k 2<3， 化简，得(8k 2－1)(16k 2＋13)>0， 则8k 2－1>0，k 2>18，所以18<k 2<15②由①，得t 2＝36k 21＋4k 2＝9－91＋4k 2， 联立②，解得3<t 2<4， 所以－2<t <－3或3<t <2.11．(2015·石家庄模拟)椭圆x 2b 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，过F 1作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于A 、B 两点．(1)若△ABF 2为正三角形，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的离心率满足0＜e ＜5－12，O 为坐标原点，求证：|OA |2＋|OB |2＜|AB |2.(1)解：由椭圆的定义知|AF 1|＋|AF 2|＝ |BF 1|＋|BF 2|，∵|AF 2|＝|BF 2|，∴|AF 1|＝|BF 1|，即F 1F 2 为边AB 上的中线， ∴F 1F 2⊥AB .在Rt △AF 1F 2中，cos 30°＝2c4a 3， 则c a ＝33，∴椭圆的离心率为33. (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵0＜e ＜5－12，c ＝1，∴a ＞1＋52. ①当直线AB 与x 轴垂直时，1a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝b 4a 2， OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－b 4a 2＝－a 4＋3a 2－1a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2－322＋54a 2，∵a 2＞3＋52，∴OA →·OB →＜0，∴∠AOB 恒为钝角，∴|OA |2＋|OB |2＜|AB |2.②当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为： y ＝k (x ＋1)，代入x 2a 2＋y 2b2＝1，整理得，(b 2＋a 2k 2)x 2＋2k 2a 2x ＋a 2k 2－a 2b 2＝0， ∴x 1＋x 2＝－2a 2k 2b 2＋a 2k 2，x 1x 2＝a 2k 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝x 1x 2(1＋k 2)＋k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(a 2k 2－a 2b 2)(1＋k 2)－2a 2k 4＋k 2(b 2＋a 2k 2)b 2＋a 2k 2＝k 2(a 2＋b 2－a 2b 2)－a 2b 2b 2＋a 2k 2＝k 2(－a 4＋3a 2－1)－a 2b 2b 2＋a 2k 2令m (a )＝－a 4＋3a 2－1，由①可知m (a )＜0， ∴∠AOB 恒为钝角，∴恒有|OA |2＋|OB |2＜|AB |2. 12．(2015·长春三校调研)在直角坐标系xOy 中，点M ⎝⎛⎭⎫2，－12，点F 为抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)的焦点，线段MF 恰被抛物线C 平分． (1)求m 的值；(2)过点M 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线F A ，FM ，FB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问k 1，k 2，k 3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由．解：(1)由题得抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，14m ，线段MF 的中点N ⎝⎛⎭⎫1，18m －14在抛物线C 上，∴18m －14＝m,8m 2＋2m －1＝0， ∴m ＝14⎝⎛⎭⎫m ＝－12舍去. (2)由(1)知抛物线C ：x 2＝4y ，F (0,1)． 设直线l 的方程为y ＋12＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＝k (x －2)，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋8k ＋2＝0， Δ＝16k 2－4(8k ＋2)＞0， ∴k ＜2－62或k ＞2＋62.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8k ＋2，假设k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列，则k 1＋k 3＝2k 2.而k 1＋k 3＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝x 2y 1＋x 1y 2－x 2－x 1x 1x 2＝x 2x 214＋x 1x 224－x 2－x 1x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫x 1x 24－1(x 1＋x 2)x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫8k ＋24－1·4k 8k ＋2＝4k 2－k4k ＋1，k 2＝－12－12－0＝－34，∴4k 2－k 4k ＋1＝－32，8k 2＋10k ＋3＝0，解得k ＝－12(符合题意)或k ＝－34(不合题意，舍去)．∴直线l 的方程为y ＋12＝－12(x －2)，即x ＋2y －1＝0.∴k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列，此时直线l 的方程为x ＋2y －1＝0.[备课札记]。
创新教程2016年高考数学大一轮复习冲关集训6理新人教A版
【创新教程】2016年高考数学大一轮复习 冲关集训6 理 新人教A版1．某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．(1)求该公司决定对该项目投资的概率；(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率． 解：(1)该公司决定对该项目投资的概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝727. (2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票，有以下四种情形：P (A )＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝27，P (B )＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝9， P (C )＝C 13C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝29，P (D )＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝19. ∵A 、B 、C 、D 互斥，∴P (A ＋B ＋C ＋D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1327.2．(2015·青岛市一模)2013年6月“神舟”发射成功．这次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、授课、返回．据统计，由于时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为34、13、12、23，并且各个环节的直播收看互不影响．(1)现有该班甲、乙、丙三名同学，求这3名同学至少有2名同学收看发射直播的概率； (2)若用X 表示该班某一位同学收看的环节数，求X 的分布列与期望． 解析：(1)设“这3名同学至少有2名同学收看发射直播”为事件A ，则P (A )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫342×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2732.(2)由条件可知X 可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝136； P (X ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23＝1372，P (X ＝2)＝34×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＝718； P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－34×13×12×23＋34×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＋34×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×23＋34×13×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝2372； P (X ＝4)＝34×13×12×23＝112；即X 的分布列X 的期望E (X )＝0×36＋1×72＋2×18＋3×72＋4×12＝4.3．(2015·昆明模拟)气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下：t (单位：℃)天数612Y Z六月份的日最高气温不高于32 ℃的频率为0.9.某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t (单位：℃)对西瓜的销售影响如下表：日最高气温t (单位：℃) t ≤2222＜t ≤2828＜t ≤32t ＞32日销售额X (单位：千元) 2568(1)求Y ，Z 的值；(2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差； (3)在日最高气温不高于32 ℃时，求日销售额不低于5千元的概率． 解：(1)由已知得：P (t ≤32)＝0.9， ∴P (t ＞32)＝1－P (t ≤32)＝0.1， ∴Z ＝30×0.1＝3，Y ＝30－(6＋12＋3)＝9.(2)P (t ≤22)＝630＝0.2，P (22＜t ≤28)＝1230＝0.4，P (28＜t ≤32)＝930＝0.3，P (t ＞32)＝330＝0.1，∴六月份西瓜日销售额X 的分布列为X 2 5 6 8 P0.20.40.30.1∴E (X )D (X )＝(2－5)2×0.2＋(5－5)2×0.4＋(6－5)2×0.3＋(8－5)2×0.1＝3.(3)∵P (t ≤32)＝0.9，P (22＜t ≤32)＝0.4＋0.3＝0.7， ∴由条件概率得：P (X ≥5|t ≤32)＝P (22＜t ≤32|t ≤32)＝P 22<t ≤32P t ≤32＝0.70.9＝79.4．(2015·揭阳市二模)下表是某市从3月份中随机抽取的10天空气质量指数(AQI)和“PM2.5”(直径小于等于2.5微米的颗粒物)24小时平均浓度的数据，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良.日期编号 A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 10空气质量指数1794098124291332414249589(2)在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取两个对其当天的数据作进一步的分析，设事件M 为“抽取的两个日期中，当天‘PM2.5’的24小时平均浓度不超过75”，求事件M 发生的概率；(3)在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取3天，记ξ为“PM2.5”24小时平均浓度不超过75 μg /m 3的天数，求ξ的分布列和数学期望．解：(1)由上表数据知，10天中空气质量指数(AQI)小于100的日期有A 2 、A 3 、A 5 、A 9 、A 10共5天，故可估计该市当月某日空气质量优良的概率P ＝510＝12.(2)由(1)知10天中表示空气质量为优良的天数为5，当天“PM2.5”的24小时平均浓度不超过75 μg /m 3有编号为A 2 、A 9 、A 10，共3天，故事件M 发生的概率P (M )＝C 23C 25＝310.(3)由(1)知，ξ的可能取值为1,2,3. 且P (ξ＝1)＝C 13C 22C 35＝310，P (ξ＝2)＝C 23C 13C 35＝35，P (ξ＝3)＝C 33C 35＝110，故ξ的分布列为：ξ的数学期望Eξ＝1×10＋2×5＋3×10＝5.5．(2015·济南市一模)一个袋中装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每次随机取1个，直到取出3次红球即停止．(1)从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P 1； (2)从袋中有放回地取球． ①求恰好取5次停止的概率P 2；②记5次之内(含5次)取到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 解：(1)P 1＝C 13C 16A 33A 49＝128.(2)①P 2＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝881.②随机变量ξ的取值为0,1,2,3；由n 次独立重复试验概率公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k，得P (ξ＝0)＝C 05×⎝⎛⎭⎪⎫1－135＝32243； P (ξ＝1)＝C 15×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－134＝80243； P (ξ＝2)＝C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝⎛⎭⎪⎫1－133＝80243； P (ξ＝3)＝1－32＋80×2243＝1781随机变量ξ的分布列是ξ的数学期望是Eξ＝32243×0＋80243×1＋80243×2＋1781×3＝13181. [备课札记]___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________。
2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第8章 第5节 抛物线
Ⅰ.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性 质 ( 范围、对称性、顶点、离心率 ) ． Ⅱ. 理解数形结合的思
想． Ⅲ.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．
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第八章
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整合· 主干知识
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2．抛物线的标准方程与几何性质 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
标准方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
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解得－1≤k≤1. 答案：C
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4．若点 P 到直线y ＝－ 1的距离比它到点 (0,3) 的距离小 2 ，
则点P的轨迹方程是________．
解析： 由题意可知点 P 到直线 y ＝－ 3 的距离等于它到点 (0,3) 的距离，故点 P 的轨迹是以点 (0,3) 为焦点，以 y ＝－ 3 为准 线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为 x2＝12y.
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质疑探究 1 ： 若抛物线定义中定点 F 在定直线 l 上时，动点 的轨迹是什么图形？ 提示： 当定点 F在定直线 l 上时，动点的轨迹是过点 F且与
2016年《创新教程》高考数学(理科)一轮(人教A新课标)精讲课件：第8章 第6节 直线与圆锥曲线的位置关系
Ⅰ. 掌握解决直线与椭圆 、抛物线的位置关系的思想方 法． Ⅱ. 了解圆锥曲线的简单应用． Ⅲ. 理解数形结合的思
想．
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整
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2 ．过点 (0,1) 作直线，使它与抛物线 y2 ＝ 4x 仅有一个公共 点，这样的直线有( )
A．1条
C．3条 故选C. 答案：C
B．2条
D．4条
解析：与抛物线相切有2条，与对称轴平行有1条，共3条.
个公共点，是相交，但不相切．
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④正确， |AB|＝ x1－x22＋y1－y22， 又 x1＝ty1＋a， x2＝ty2 ＋a， 所以|AB|＝ [ty1＋a－ty2＋a]2＋y1－y22 ＝ t2y1－y22＋y1－y22＝ 1＋t2|y1－y2|.⑤错误，应是以 l 为垂直平分线的线段 AB 所在的直线 l′与抛物线方程联立，消 元后所得一元二次方程的判别式 Δ>0. 故选 C. 答案：C
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解析：①正确，直线l与椭圆C只有一个公共点，则直线l与 椭圆C相切，反之亦成立． ②错误，因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一 个公共点，是相交，但并不相切．
2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)课时冲关第8章解析几何4
第八章 第4节对应学生用书课时冲关 理(四十三)/第315页 文(四十)/第279页一、选择题1．(2014·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 解析：∵b a＝2,0＝－2c ＋10，∴c ＝5，a 2＝5，b 2＝20， ∴双曲线的方程为x 25－y 220＝1. 答案：A2．(2015·济南期末)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )A.32B.62C.233D.33解析：依题意可知圆C ：(x －2)2＋y 2＝1，设双曲线的渐近线方程为y ＝±kx ，则|2k |1＋k 2＝1，解得k 2＝13，即b 2a 2＝13，所以该双曲线的离心率e ＝ 1＋13＝233.故选C. 答案：C3．(2015·浙江温州适应性测试)已知F 1，F 2为双曲线Ax 2－By 2＝1的焦点，其顶点是线段F 1F 2的三等分点，则其渐近线的方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±24xC ．y ＝±xD ．y ＝±22x 或y ＝±24x 解析：依题意c ＝3a ，∴c 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2，∴b 2a 2＝8，b a ＝22，a b ＝24. 答案：D4．(2015·哈师大附中模拟)与椭圆C ：y 216＋x 212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B ．y 2－2x 2＝1C.y 22－x 22＝1 D.y 23－x 2＝1 解析：椭圆y 216＋x 212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为y 2m －x 2n＝1(m ＞0，n ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3m －1n ＝1，m ＋n ＝4，解得m ＝n ＝2，故选C. 答案：C5．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A ．m ＞12B ．m ≥1C ．m ＞1D ．m ＞2解析：用m 表示出双曲线的离心率，并根据离心率大于2建立关于m 的不等式求解．∵双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率e ＝1＋m ， 又∵e ＞2，∴1＋m ＞2，∴m ＞1.答案：C6．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则b 2＋13a的最小值为( ) A.233B.33 C ．2 D ．1 解析：因为双曲线的离心率为2，所以c a＝2， 即c ＝2a ，c 2＝4a 2.又因为c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2＝4a 2，即b ＝3a ，因此b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a ≥213＝233，当且仅当 a ＝13a 时等号成立．即b 2＋13a 的最小值为233.答案：A7．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→|＋|PF 2→|＝( ) A.10 B ．210 C.5 D ．219解析：∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝40，又||PF 1→|－|PF 2→||＝2a ＝2，∴||PF 1→|－|PF 2→||2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2－2|PF 1→|×|PF 2→|＝4，∴|PF 1→|×|PF 2→|＝18，||PF 1→|＋|PF 2→||2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2|PF 1→|×|PF 2→|＝76，∴|PF 1→|＋|PF 2→|＝219.答案：D8．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A.2 B.3 C.3＋12 D.5＋12解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，而k BF ＝－b c ， ∴b a ·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1，整理得b 2＝ac . ∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D. 答案：D9．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2，＋∞)解析：根据双曲线的对称性，若△ABE 是钝角三角形，则只要0<∠BAE <π4即可．直线AB ：x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a 2，取点A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |>|EF |就能使∠BAE <π4，故b 2a>a ＋c ，即b 2>a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2>0，即e 2－e －2>0，得e >2或e <－1，又e >1，故e >2.故选D.答案：D10．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1 (a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 解析：由a 2＋1＝4，得a ＝3，则双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设点P (x 0，y 0)，则x 203－y 20＝1，即y 20＝x 203－1. OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 20＋2x 0＋x 203－1 ＝43⎝⎛⎭⎫x 0＋342－74，∵x 0≥3， 故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)，故选B.答案：B11．(2015·临沂联考)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，2)C ．(3，2)D ．(2,3)解析：由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF <π4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a 2，取点A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |<|EF |就能使∠AEF <π4，即b 2a<a ＋c ，即b 2<a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2<0，即e 2－e －2<0，即－1<e <2.又e >1，故1<e <2.答案：A二、填空题12．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.解析：由题意知a 2＝1，b 2＝－1m，则a ＝1，b ＝ －1m .∴ －1m ＝2，解得m ＝－14. 答案：－1413．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________．解析：如图，∠B 1F 1B 2＝60°，则c ＝3b ，即c 2＝3b 2，由c 2＝3(c 2－a 2)，得c 2a 2＝32，则e ＝62. 答案：62三、解答题14．(2014·山东高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|F A |＝c ，求双曲线的渐近线方程．解析：由题意可知，抛物线的焦点F 为⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2.因为|F A |＝c ，所以⎝⎛⎭⎫p 22＋a 2＝c 2，即＝⎝⎛⎭⎫p 22＝b 2.联立⎩⎨⎧ y ＝－p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1，消去y ，得x ＝± a 2＋a 2p 24b 2，即x ＝±2a .又因为双曲线截抛物线的准线所得的线段长为2c ，所以22a ＝2c ，即2a ＝c ，所以b ＝a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±x .15．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，求此双曲线的离心率e 的最大值．解析：由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a .又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理， 得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53， 即e 的最大值为53.[备课札记]。
2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)课时冲关第3章三角函数、解三角形1
第三章 第1节对应学生用书课时冲关 理(十六)/第263页文(十五)/第229页一、选择题1．(2014·全国大纲版高考)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析：根据题意，cos α＝－4(－4)2＋32＝－45.答案：D2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α<0 B ．tan α－sin α<0 C ．cos α－tan α<0D ．tan αsin α<0解析：在第三象限，sin α<0，cos α<0，tan α>0，则可排除A 、C 、D ，故选B. 答案：B3．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：设扇形的半径为R ，则12R 2|α|＝2，∴R 2＝1，∴R ＝1，∴扇形的周长为2R ＋|α|·R ＝2＋4＝6，故选C. 答案：C4．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32B.32C ．－12D.12解析：因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.答案：D5．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C ．－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12 解析：由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足 x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.答案：A6．(2015·温州八校一联)已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ⎝⎛⎭⎫12，y ，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α等于( ) A ．－12B ．1 C.12D ．－32解析：因为角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝⎛⎭⎫12，y ，所以cos α＝x r ＝121＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2α＝2cos 2 α－1＝2×⎝⎛⎭⎫122－1＝－12.故选A. 答案：A7．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B.12 C ．－32D.32解析：∵r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12. 答案：B8．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4D.7π4解析：由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ是第四象限的角，∵tan θ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.答案：D9．在(0,2π)内使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，πC.⎝⎛⎭⎫π4，5π4D.⎝⎛⎭⎫π4，π∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2解析：用单位圆内正弦线和余弦线来解． 答案：C10．(2015·福建莆田质检)已知α为第二象限角，则4π＋α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限解析：因为α为第二象限角，所以π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，所以π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z ，所以π4＋(k ＋4)π<4π＋α2<π2＋(k ＋4)π，k ∈Z ，所以4π＋α2在第一或第三象限．故选C.答案：C11．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4D ．2或4解析：设此扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.答案：C12．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )解析：如图，取AP 的中点为D ，设∠DOA ＝θ，则d ＝2r sin θ＝2sin θ，l ＝2θr ＝2θ，∴d ＝2sin l2，故选C.答案：C 二、填空题13．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)14．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.解析：由条件可求得r ＝5m ，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以2sin α＋cos α＝25.答案：2515．(2015·合肥调研)函数y ＝lg(3－4sin 2 x )的定义域为________． 解析：∵3－4sin 2 x ＞0， ∴sin 2 x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )． 答案：⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z ) 16．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________． 解析：设扇形半径为R ，内切圆半径为r . 则(R －r )sin 60°＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎫1＋233r .又S 扇＝12αR 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，∴S 扇πr 2＝7＋439. 答案：(7＋43)∶9 [备课札记]。
2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)课时冲关第8章解析几何2
第八章 第2节对应学生用书课时冲关 理(四十一)/第312页文(三十八)/第275页一、选择题1．“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.但当a ＝3时，直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8一定相切，故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件．答案：A2．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定解析：圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－m2，0，即－m2＋3＝0，∴m ＝6. 答案：C3．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为⎝⎛⎭⎫a ，－32b ， 则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，k ＝－1a >0，－ba >0，直线不经过第四象限．答案：D4．(2014·浙江高考)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r 2＝2－a ，则圆心(－1,1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝ 2.由22＋(2)2＝2－a ，得a ＝－4, 故选B. 答案：B5．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：⊙C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4， 圆心C 1(－1，－1)，半径r 1＝2.⊙C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C 2(2,1)，半径r 2＝2. ∴|C 1C 2|＝13，∴|r 1－r 2|＝0<|C 1C 2|<r 1＋r 2＝4， ∴两圆相交，有两条公切线． 答案：B6．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：设圆心为C (m,0) (m >0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2，整理得|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝22，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选A.答案：A7．(2015·郑州第一次质检)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析：抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，选项A 中圆的圆心坐标为(－1,0)，排除A ；选项B 中圆的圆心坐标为(－0.5,0)，排除B ；选项C 中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排除C.答案：D8．已知圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝1上一点P 到直线3x －4y －3＝0距离为d ，则d 的最小值为( )A ．1B.45C.25D ．2解析：∵圆心C (－1,1)到直线3x －4y －3＝0距离为|3×(－1)－4－3|5＝2，∴d min ＝2－1＝1.答案：A9．(2015·温州模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．4B ．3C ．2D. 2解析：圆C 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，因为四边形P ACB 的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，即51＋k 2＝5，解得k ＝±2，又k ＞0，所以k ＝2.答案：C10．(2015·成都模拟)直线l ：mx ＋(m －1)y －1＝0(m 为常数)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝4，则下列说法正确的是( )A ．当m 变化时，直线l 恒过定点(－1,1)B ．直线l 与圆C 有可能无公共点C ．对任意实数m ，圆C 上都不存在关于直线l 对称的两点D ．若直线l 与圆C 有两个不同交点M 、N ，则线段MN 的长的最小值为2 3解析：直线l 可化为m (x ＋y )－(y ＋1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴l 过定点(1，－1)，故A 错；又(1－1)2＋(－1)2＝1＜4，∴点(1，－1)在⊙C 内部，∴l 与⊙C 恒相交，故B 错；当l 过圆心C (1,0)，即m ＝1时，圆心上存在关于直线l 对称的两点，故C 错．故选D.答案：D11．设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( ) A ．4 B ．4 2 C ．8D ．8 2解析：∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)， ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等． 设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2， 即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17. ∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32， ∴|C 1C 2|＝ (a －b )2＋(a －b )2＝32×2＝8.答案：C12．(2015·吉林模拟)已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)解析：当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)的距离为1，此时k ＝2；当k ＞2时||OA →＋OB →＞33||AB→，又直线与圆x 2＋y 2＝4存在两交点，故k ＜22，综上，k 的取值范围为[2，22)，故选C.答案：C 二、填空题13．(2015·金华十校联考)已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，且AB ＝3，则该圆的标准方程是________．解析：依题可设⊙C ：(x －1)2＋(y －b )2＝1(b ＞0)，且⎝⎛⎭⎫322＋b 2＝1，可解得b ＝12，所以⊙C 的标准方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1. 答案：(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1 14．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．解析：圆的方程化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称， ∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4<1. 答案：(－∞，1)15．(2014·重庆高考)已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．解析：∵圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，∴圆心为C (－1,2)，半径为3.∵AC ⊥BC ，∴|AB |＝3 2.∵圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋a |2＝|a －3|2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝2 9－⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －3|22＝32，即(a －3)2＝9，∴a ＝0或a ＝6. 答案：0或616．(2015·吉林长春一调)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关系直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值为________．解析：将圆化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，圆心坐标为C (－1,2)，代入直线2ax ＋by ＋6＝0，得－2a ＋2b ＋6＝0，即点(a ，b )在直线l ：－x ＋y ＋3＝0上，过C (－1,2)作l 的垂线，垂足设为D ，过D 作圆C 的切线，切点设为E ，则切线长DE 最短，于是有|CE |＝2，|CD |＝|6|2＝32，∴由勾股定理得|DE |＝4. 答案：417．已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为________．解析：如图，取AC 的中点F ，BD 的中点E ， 则OE ⊥BD ，OF ⊥AC .又AC ⊥BD ， ∴四边形OEMF 为矩形，设|OF |＝d 1，|OE |＝d 2，∴d 21＋d 22＝|OM |2＝3. 又|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝24－d 21·4－d 22＝2(1＋d 22)·(4－d 22)＝2－⎝⎛⎭⎫d 22－322＋254. ∵0≤d 22≤3.∴当d 22＝32时，S 四边形ABCD 有最大值是5. 答案：5[备课札记]。
创新教程高考数学大一轮复习 冲关集训5 理 新人教A版
【创新教程】2016年高考数学大一轮复习 冲关集训5 理 新人教A版1．(2015·咸阳市一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b ≥1)的离心率e ＝32，且椭圆C 过点P (2,1)． (1)求椭圆C 的方程；(2)直线的l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点．求△PAB 面积的最大值．解：(1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2，则椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1，即x 2＋4y 2＝4b 2.∵椭圆过点P (2,1)，∴b 2＝2，a 2＝8 椭圆方程为x 28＋y 22＝1(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，代入椭圆方程中整理得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4，Δ＝4m 2－4(2m 2－4)>0⇒m 2<4.则|AB |＝1＋14×x 1＋x 22－4x 1x 2＝ 54－m 2.点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5.因此S △＝12d |AB |＝12·2|m |554－m2m24－m2≤m 2＋4－m 22＝2当且仅当m 2＝2∈[0,4)，即m ＝±2时取得最大值2.2．(2015·邢台市二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为63，且过点(3，－1)． (1)求椭圆C 的方程；(2)若动点P 在直线l ：x ＝－22上，过P 作直线求椭圆C 于M ，N 两点，使得PM ＝PN ，再过P 作直线l ′⊥MN ，证明：直接l ′恒过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意知点(3，－1)在椭圆C 上， 即9a 2＋1b2＝1, ①又椭圆的离心率为63，所以c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫632＝23，②联立①②可解得a 2＝12，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)因为直线l 的方程为x ＝－22，设P (－22，y 0)，y 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233，当y 0≠0时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，显然x 1≠x 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2112＋y 214＝1，x 2212＋y224＝1，则x 21－x 2212＋y 21－y 224＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－13·x 1＋x 2y 1＋y 2， 又PM ＝PN ，即P 为线段MN 的中点， 故直线MN 的斜率为－13·－22y 0＝223y 0，又l ′⊥MN ，所以直线l ′的方程为y －y 0＝－3y 022(x ＋22)，即y ＝－3y 022⎝⎛⎭⎪⎫x ＋423，显然l ′恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－423，0；当y 0＝0时，直线MN 即x ＝－22，此时l ′为x 轴亦过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－423，0.综上所述，l ′恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－423，0.3．(理)(2015·菏泽市一模)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 、N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；(3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与轴交于点R ，S ，O 为坐标原点. 试问；是否存在使S △POS ·S △POR 最大的点P ，若存在求出P 点的坐标，若不存在说明理由．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a ＝2，解之得：a ＝2，c ＝3，由c 2＝a 2－b 2得b ＝1，故椭圆C 方程为x 24＋y 2＝1. (2)点M 与点N 关于x 轴对称，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1>0, 由于点M 在椭圆C 上，∴y 21＝1－x 214，由已知T (－2,0)，则TM →＝(x 1＋2，y 1)，TN →＝(x 1＋2，－y 1)，∴TM →·TN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋852－15. 由于－2<x <2，故当x 1＝－85时，TM →·TN →取得最小值为－15，当x 1＝－85时，y 1＝35，故M ⎝⎛⎭⎪⎫－85，35，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r 2＝1325，故圆T 的方程为：(x ＋2)2＋y 2＝1325；(3)假设存在满足条件的点P ，设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)，令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21； 又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)， 得x R ·x S ＝41－y 21y 20－41－y 20y 21y 20－y 21＝4y 20－y 21y 20－y 21＝4， ∴|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值， ∵S △POS ·S △POR ＝12|OS ||y p |·12|OR ||y P |＝14×4×y 2P ＝y 2P ， 由P 为椭圆上的一点，∴要使S △POS ·S △POR 最大，只要y 2P 最大，而y 2P 的最大值为1，故满足条件的P 点存在其坐标为P (0,1)和P (0，－1)．3．(文)(2015·菏泽市一模)如图，已知椭圆C: x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(t >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 、N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；(3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与轴交于点R ，S ，O 为坐标原点．求证：|OR |·|OS |为定值．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a ＝2，解之得：a ＝2，c ＝3，由c 2＝a 2－b 2得b ＝1，故椭圆C 方程为x 24＋y 2＝1. (2)点M 与点N 关于x 轴对称， 设M (x 1，y 1)，N (x 1－y 1)不妨设y 1>0. 由于点M 在椭圆C 上，∴y 21＝1－x 214，由已知T (－2,0)，则TM →＝(x 1＋2，y 1)， TN →＝(x 1＋2，－y 1)，∴TM →·TN →＝(x 1＋2，y 1)(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21， (x 1＋2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝54⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋852－15，由于－2<x <2，故当x 1＝－85时，TM →·TN →取得最小值为－15，当x 1＝－85时，y 1＝35，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，35，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r 2＝1325，故圆T 的方程为：(x ＋2)2＋y 2＝1325.(3)证明：设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)， 令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1， 故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21，又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝ 4(1－y 21)， 得x R ·x S ＝41－y 21y 20－41－y 20y 21y 20－y 21＝4y 20－y 21y 20－y 21＝4， ∴|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值． 对应学生用书理173页 文159页4．(2015·南阳市三模)已知圆C 1：x 2＋y 2＝45，直线l ：y ＝x ＋m (m >0)与圆C 1相切，且交椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)于A 1，B 1两点，c 是椭圆的半焦距，c ＝3b .(1)求m 的值；(2)O 为坐标原点，若OA 1→⊥OB 1→，求椭圆C 2的方程；(3)在(2)的条件下，设椭圆C 2的左右顶点分别为A ，B ，动点S (x 0，y 0)∈C 2(y 0>0)，直线AS ，BS 与直线x ＝3415分别交于M ，N 两点，求线段MN 的长度的最小值．解析：(1)直线l ：y ＝x ＋m (m >0)与圆C 1：x 2＋y 2＝45相切，所以|m |2＝45，m ＝2105. (2)将l ：y ＝x ＋2105代入得C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1得：(b 2＋a 2)x 2＋4105a 2x ＋85a 2－a 2b 2＝0 ①设A 1(x 1，y 1)，B 1(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－410a 25b 2＋a 2；x 1x 2＝8a 2－5a 2b25b 2＋a 2； y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2105⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2105＝40b 2－25a 2b 225a 2＋b 2因为OA 1→⊥OB 1→⇒4(a 2＋b 2)－5a 2b 2＝0 ②由已知c ＝3b ；a 2＝4b 2代入②b 2(1－b 2)＝0⇒b 2＝1，a 2＝4，所以椭圆C 2的方程为x 24＋y 2＝1.(3)显然直线AS 的斜率存在，设为k 且k >0则AS ：y ＝k (x ＋2)依题意M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3415，64k 15，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2x 24＋y 2＝1得：(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，设S (x 0，y 0)则x 0·(－2)＝16k 2－41＋4k 2⇒x 0＝2－8k 21＋4k 2，y 0＝k (x 0＋2)即S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2，又B (2,0)所以k BS ＝y 0x 0－2＝－14k，BS ： y ＝－14k(x －2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14k x －2x ＝3415⇒N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3415，－115k .∵k >0⇒|MN |＝64k 15＋115k ≥264k 15·115k ＝1615， 当且仅当64k 15＝115k ，即k ＝18时，等号成立．所以k ＝18时，|MN |min ＝1615.5．(理)(2015·广州市二模)已知定点F (0,1)和直线l ：y ＝－1，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)若点A 的坐标为(2,1), 直线l 1：y ＝kx ＋1(k ∈R ，且k ≠0)与曲线E 相交于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线l 于点S ，T .试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．解析：(1)解法1：由题意，点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离， 故点M 的轨迹是以点F 为焦点， l 为准线的抛物线．∴曲线E 的方程为x 2＝4y .解法2：设点M 的坐标为(x ，y )，依题意， 得|MF |＝|y ＋1|， 即x 2＋y －12＝|y ＋1|，化简得x 2＝4y .∴曲线E 的方程为x 2＝4y .(2)解法1: 设点B ，C 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，依题意得，x 21＝4y 1，x 22＝4y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx －4＝0，解得x 1,2＝4k ±4k 2＋12＝2k ±2k 2＋1.∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.直线AB 的斜率k AB ＝y 1－1x 1－2＝x 214－1x 1－2＝x 1＋24，故直线AB 的方程为y －1＝x 1＋24(x －2)．令y ＝－1，得x ＝2－8x 1＋2， ∴点S 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－8x 1＋2，－1. 同理可得点T 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－8x 2＋2，－1. ∴|ST |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－8x 1＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8x 2＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8x 1－x 2x 1＋2x 2＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8x 1－x 2x 1x 2＋2x 1＋x 2＋4 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8x 1－x 28k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2k .∴|ST |2＝x 1－x 22k 2＝x 1＋x 22－4x 1x 2k 2＝16k 2＋1k 2.设线段ST 的中点坐标为(x 0，－1)， 则x 0＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8x 1＋2＋2－8x 2＋2 ＝2－4x 1＋x 2＋4x 1＋2x 2＋2＝2－44k ＋4x 1x 2＋2x 1＋x 2＋4＝2－44k ＋48k ＝－2k.∴以线段ST 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k 2＋(y ＋1)2＝14|ST |2＝4k 2＋1k 2.展开得x 2＋4kx ＋(y ＋1)2＝4k 2＋1k 2－4k2＝4. 令x ＝0，得(y ＋1)2＝4，解得y ＝1或y ＝－3.∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点(0,1)，(0，－3)． 解法2：由(1)得抛物线E 的方程为x 2＝4y .设直线AB 的方程为y －1＝k 1(x －2)，点B 的坐标为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝k 1x －2，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2k 1，y ＝－1.∴点S 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－2k 1，－1.由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x －2，x 2＝4y ，消去y ，得x 2－4k 1x ＋8k 1－4＝0，即(x －2)(x －4k 1＋2)＝0，解得x ＝2或x ＝4k 1－2.∴x 1＝4k 1－2，y 1＝14x 21＝4k 21－4k 1＋1.∴点B 的坐标为(4k 1－2,4k 21－4k 1＋1)． 同理，设直线AC 的方程为y －1＝k 2(x －2)，则点T 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－2k 2，－1，点C 的坐标为(4k 2－2,4k 22－4k 2＋1)．∵点B ，C 在直线l 1：y ＝kx ＋1上， ∴k ＝4k 22－4k 2＋1－4k 21－4k 1＋14k 2－2－4k 1－2＝k 22－k 21－k 2－k 1k 2－k 1＝k 1＋k 2－1.∴k 1＋k 2＝k ＋1.又4k 21－4k 1＋1＝k (4k 1－2)＋1，得4k 21－4k 1＝4kk 1－2k ＝4(k 1＋k 2－1)k 1－2k ， 化简得k 1k 2＝k2.设点P (x ，y )是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则SP →·TP →＝0， 得⎝⎛⎭⎪⎫x －2＋2k 1⎝⎛⎭⎪⎫x －2＋2k2＋(y ＋1)(y ＋1)＝0， 整理得，x 2＋4kx －4＋(y ＋1)2＝0.令x ＝0，得(y ＋1)2＝4，解得y ＝1或y ＝－3.∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点(0,1)，(0，－3)．5．(文)(2014·广州市二模)已知点A (2,1)在抛物线E ：x 2＝ay 上，直线l 1：y ＝kx ＋1(k ∈R ，且k ≠0)与抛物线E 相交于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线l 2：y ＝－1于点S ，T .(1)求a 的值；(2)若|ST |＝25，求直线l 1的方程；(3)试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．解：(1)∵点A (2,1)在抛物线E ：x 2＝ay 上，∴a ＝4.第(2)、(3)问提供以下两种解法： 解法1：(2)由(1)得抛物线E 的方程为x 2＝4y .设点B ，C 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，依题意，x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx －4＝0，解得x 1,2＝4k ±4k 2＋12＝2k ±2k 2＋1.∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.直线AB 的斜率k AB ＝y 1－1x 1－2＝x 214－1x 1－2＝x 1＋24，故直线AB 的方程为y －1＝x 1＋24(x －2)．令y ＝－1，得x ＝2－8x 1＋2， ∴点S 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－8x 1＋2，－1. 同理可得点T 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－8x 2＋2，－1. ∴|ST |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－8x 1＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8x 2＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8x 1－x 2x 1＋2x 2＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8x 1－x 2x 1x 2＋2x 1＋x 2＋4 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8x 1－x 28k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2k .∵|ST |＝25，∴|x 1－x 2|＝25|k |.由|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，得20k 2＝16k 2＋16，解得k ＝2，或k ＝－2， ∴直线l 1的方程为y ＝2x ＋1，或y ＝－2x ＋1.(3)设线段ST 的中点坐标为(x 0，－1)， 则x 0＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8x 1＋2＋2－8x 2＋2 ＝2－4x 1＋x 2＋4x 1＋2x 2＋2＝2－44k ＋4x 1x 2＋2x 1＋x 2＋4＝2－44k ＋48k ＝－2k.而|ST |2＝x 1－x 22k 2＝x 1＋x 22－4x 1x 2k 2＝16k 2＋1k 2，∴以线段ST 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k 2＋(y ＋1)2＝14|ST |2＝4k 2＋1k 2.展开得x 2＋4kx ＋(y ＋1)2＝4k 2＋1k 2－4k2＝4. 令x ＝0，得(y ＋1)2＝4，解得y ＝1或y ＝－3.∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点(0,1)，(0，－3)． 解法2：(2)由(1)得抛物线E 的方程为x 2＝4y .设直线AB 的方程为y －1＝k 1(x －2)，点B 的坐标为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝k 1x －2，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2k 1，y ＝－1.∴点S 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－2k1，－1.由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x －2，x 2＝4y ，消去y ，得x 2－4k 1x ＋8k 1－4＝0，即(x －2)(x －4k 1＋2)＝0，解得x ＝2或x ＝4k 1－2.∴x 1＝4k 1－2，y 1＝14x 21＝4k 21－4k 1＋1.∴点B 的坐标为(4k 1－2,4k 21－4k 1＋1)． 同理，设直线AC 的方程为y －1＝k 2(x －2)，则点T 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－2k2，－1，点C 的坐标为(4k 2－2,4k 22－4k 2＋1)．∵点B ，C 在直线上l 1：y ＝kx ＋1上， ∴k ＝4k 22－4k 2＋1－4k 21－4k 1＋14k 2－2－4k 1－2＝k 22－k 21－k 2－k 1k 2－k 1＝k 1＋k 2－1.∴k 1＋k 2＝k ＋1.又4k 21－4k 1＋1＝k (4k 1－2)＋1，得4k 21－4k 1＝4kk 1－2k ＝4(k 1＋k 2－1)k 1－2k ， 化简得k 1k 2＝k2.|ST |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2k 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2k 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k 1－k 2k 1k 2， ∵|ST |＝25，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k 1－k 2k 1k 2＝2 5.∴(k 1－k 2)2＝5(k 1k 2)2.由(k 1＋k 2)2＝(k 1－k 2)2＋4k 1k 2＝5(k 1k 2)2＋4k 1k 2， 得(k ＋1)2＝54k 2＋2k ，解得k ＝±2.∴直线l 1的方程为y ＝2x ＋1，或y ＝－2x ＋1.(3)设点P (x ，y )是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则SP →·TP →＝0， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2＋2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2＋2k 2＋(y ＋1)(y ＋1)＝0，整理得，x 2＋4kx －4＋(y ＋1)2＝0.令x ＝0，得(y ＋1)2＝4，解得y ＝1或y ＝－3.∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点(0,1)，(0，－3)．6．(理)(2015·揭阳市二模)已知抛物线的方程为y ＝ax 2－1，直线l 的方程为y ＝x2，点A (3，－1)关于直线的对称点在抛物线上．(1)求抛物线的方程；(2)已知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1516是抛物线的焦点，M 是抛物线上的动点，求|MP |＋MF |的最小值及此时点M 的坐标；(3)设点B 、C 是抛物线上的动点，点D 是抛物线与x 轴正半轴交点，△BCD 是以D 为直角顶点的直角三角形．试探究直线BC 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.解：(1)设点A (3，－1)关于直线l 的对称点为坐标为A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32－2·y －12＝0y ＋1x －3＝－2解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3把点A ′(1,3)代入y ＝ax 2－1，解得a ＝ 4， 所以抛物线的方程为y ＝4x 2－1(2)∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1516是抛物线的焦点，抛物线的顶点为(0，－1)，∴抛物线的准线为y ＝－1716，过点M 作准线的垂线，垂足为A ，由抛物线的定义知|MF |＝|MA |，∴|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MA |≥|PA |，当且仅当P 、M 、A 三点共线时“＝”成立，即当点M 为过点P 所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时，|MP |＋|MF |取最小值，∴(|MP |＋|MF |)min ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1716＝3316，这时点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.(3)BC 所在的直线经过定点，该定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，令y ＝4x 2－1＝0，可得D 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)显然x 1≠x 2，则k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4x 21－x 22x 1－x 2＝4(x 1＋x 2)，k DB ＝4⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12，k DC ＝4⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋12， ∵BD ⊥CD ，∴k DB ·k DC ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＝－1，即x 1x 2＝－516－12(x 1＋x 2)， 直线BC 的方程为y －y 1＝4(x 1＋x 2)(x －x 1)，即y ＝4(x 1＋x 2)x －4x 1x 2－1＝2(x 1＋x 2)(2x ＋1)＋14.所以直线BC 经过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.6．(文)(2015·厦门市质检)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)与椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)在第一象限的公共点为A (22，1)，设抛物线C 1的焦点为F ，椭圆C 2的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，△F 1F 2F 面积为6.(1)求抛物线C 1和椭圆C 2的方程；(2)设A 1，A 2为椭圆C 2的左、右顶点，P 为椭圆C 2上异于A 1，A 2的任意一点，直线l ：x＝a 2c ，l 与直线A 1P ，A 2P 分别交于点M ，N ，试探究：在x 轴上是否存在定点D ，使得以线段MN 为直线的圆恒过点D ，若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)推广(2)，得椭圆一般性的正确命题，据此类比，得到双曲线的一般性正确命题，请直接写出这个双曲线的正确命题(不必证明)．解：(1)点A (22，1)代入x 2＝2py 得，(22)2＝2p ，∴p ＝4，∴抛物线C 1的方程为x 2＝8y ，∴抛物线的焦点为F (0,2)，依题意，S △FF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|OF |＝12×2c ×2＝6，∴c ＝3.方法一：∴椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－9＝1，点A (22，1)代入得，222a 2－1a 2－9＝1， 解得a 2＝12或a 2＝6，∵a 2＝6时，a ＝6<3＝c ，不合题意，舍去． ∴a 2＝12，∴椭圆C 2的方程为x 212＋y 23＝1.综上得，抛物线C 1的方程为x 2＝8y ，椭圆C 2的方程为x 212＋y 23＝1. 方法二：∴F 1(－3,0)，F 2(3,0)， ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝22＋32＋12＋22－32＋12＝43，∴a ＝23，∴b 2＝a 2－c 2＝12－9＝3，∴椭圆C 2的方程为x 212＋y 23＝1，综上得，抛物线C 1的方程为x 2＝8y ，椭圆C 2的方程为x 212＋y 23＝1. (2)设P (x 0，y 0)，则x 2012＋y 203＝1，由(1)知，A 1(－23，0)，A 2(23，0)，直线l ：x ＝4，kPA 1＝y 0x 0＋23，kPA 2＝y 0x 0－23，直线PA 1：y －0＝y 0x 0＋23(x ＋23)，直线PA 2：y －0＝y 0x 0－23(x －23)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，y 0x 0＋234＋23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，y 0x 0－234－23，假设存在定点D (m,0)符合题意，则DM →·DN →＝0， 又DM →＝⎝⎛⎭⎪⎫4－m ，y 0x 0＋234＋23，DN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，y 0x 0－234－23，∴DM →·DN →＝(4－m )2＋y 20x 20－12(42－12)＝0，即(4－m )2＋4×y 20x 20－12＝0，∵x 2012＋y 203＝1，∴y 203＝1－x 2012＝12－x 2012，即y 20x 20－12＝－14，代入得(4－m )2＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝0，解得m ＝3或m ＝5，∴存在定点(3,0)或(5,0)符合题意． 方法二：取点P 为上顶点(0，3)， ∵A 1(－23，0)，A 2(23，0)， ∴直线PA 1：y ＝12(x ＋23)，直线PA 2：y ＝－12(x －23)，∵直线l ：x ＝－4.∴M (4,2＋3)，N (4，－2＋3)，∴MN 为直径的圆为：(x －4)2＋(y －3)2＝4， 令y ＝0代入解得，x ＝3或x ＝5，∴猜想存在定点D (3,0)或(5,0)符合题意，证明如下：设P (x 0，y 0)，则x 2012＋y 203＝1，则y 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2012，kPA 1＝y 0x 0＋23，kPA 2＝y 0x 0－23，直线PA 1：y －0＝y 0x 0＋23(x ＋23)，直线PA 2：y －0＝y 0x 0－23(x －23)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，y 0x 0＋234＋23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，y 0x 0－234－23，当D 为(3,0)时，DM →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，y 0x 0＋234＋23，DN →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，y 0x 0－234－23，∴DM →·DN →＝1＋y 20x 20－12(42－12)＝1＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2012x 20－12×4＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－112×4＝0，同理可证，当D 为(5,0)时，也符合DM →·DN →＝0，∴DM →⊥DN →＝0，∴以MN 为直径的圆恒过点D (3,0)或(5,0)， 综上得，存在定点D (3,0)或(5,0)符合题意．(3)所得双曲线的一般结论为：设A 1，A 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，P为双曲线上异于A 1，A 2的任意一点，直线l ：x ＝a 2c(其中c 为半焦距)，l 与直线A 1P ，A 2P 分别交于点M ，N ，则在x 轴上存在定点D ，使得以线段MN 为直径的圆恒过点D ，且定点D 的坐标为(c,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2－c 2c ，0.⎣⎢⎡⎝⎛ 注：定点写成“c ，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－b 2c ，0”或“⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2c ，0⎦⎥⎥⎤或⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－b 2c ，0”均可另：若直线l 方程为x ＝m m >a ，⎭⎪⎫则所得定点D 的坐标为c ，0或⎝⎛⎭⎪⎫m ±b a m 2－a 2，0.[备课札记]___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________。
2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第1章 集合与常用逻辑用语 1
Hale Waihona Puke 1 ．设集合 U ＝ {1,2,3,4,5,6} ， M ＝ {1,2,4} ，则 ∁ U M 等于 ( )
A．U B．{1,3,5}
C．{3,5,6} D．{2,4,6}
解析：∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}， ∴∁UM＝{3,5,6}． 答案：C
2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝a÷b， a∈P，b∈Q}，若P＝{－1,0,1}，Q＝{－2,2}，则集合P*Q中 元素的个数是( ) A．2 C．4 B．3 D．5
1 1 P*Q＝0，－2，2，该集合中共有
3 个元素．
答案：B
3 ． (2014 · 重庆高考 ) 已知集合 A ＝ {3,4,5,12,13} ， B ＝ {2,3,5,8,13}，则A∩B＝________. 解析：由集合交集的定义知，A∩B＝{3,5,13}． 答案：{3,5,13}
集合A中任意一元素均为集合B的元素， 真子 B A A B 或_____ 至少有一个元素不是集合A中 _____ 且集合B中_______________ 集 的元素
空集是任意一个集合的子集，是任何 空集 非空集合 的真子集 _________ ∅⊆A ，∅ _____ B(B≠∅)
3.
集合的运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集
②a＝－2时，a2＋3a＋3＝1与(a＋1)2相同，不符合题意． 当a2＋3a＋3＝1，即a＝－2或a＝－1.
①当a＝－2时，a2＋3a＋3＝(a＋1)2＝1，不符合题意．
创新教程高考数学大一轮复习 冲关集训1 理 新人教A版
【创新教程】2016年高考数学大一轮复习冲关集训1 理新人教A版1．(2015·武威市凉州区一诊)已知函数f(x)＝(ax－2)e x在x＝1处取得极值．(1)求a的值；(2)求函数f(x)在[m，m＋1]上的最小值；(3)求证：对任意x1，x2∈[0,2]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e.解：(1)解：f′(x)＝a e x＋(ax－2)e x＝(ax＋a－2)e x.由已知得f′(1)＝0，即(2a－2)e x＝0，解得a＝1.当a＝1时，在x＝1处函数f(x)＝(x－2)e x取得极小值，所以a＝1.(2)解：f(x)＝(x－2)e x，f′(x)＝e x＋(x－2)e x＝(x－1)e x.所以函数f当m≥1时，f(x)在[m，m＋1]单调递增，f min(x)＝f(m)＝(m－2)e m.当0<m<1时，m<1<m＋1，f(x)在[m,1]上单调递减，在[1，m＋1]上单调递增，f min(x)＝f(1)＝－e.当m≤0时，m＋1≤1，f(x)在[m，m＋1]上单调递减，f min(x)＝f(m＋1)＝(m－1)e m＋1.综上，f (x )在[m ，m ＋1]上的最小值f min (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m －2e m，m ≥1，－e ，0<m <1，m －1e m ＋1，m ≤0.(3)证明：由(Ⅰ)知f (x )＝(x －2)e x，f ′(x )＝e x ＋(x －2)e x ＝(x －1)e x .令f ′(x )＝0得x ＝1.因为f (0)＝－2，f (1)＝－e ，f (2)＝0，所以f max (x )＝0，f min (x )＝－e ，所以，对任意x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤f max (x )－f min (x )＝e.2．(2015·常州市监测)已知函数f (x )＝ln x －x －ax，a ∈R . (1)当a ＝0时，求函数f (x )的极大值； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)当a >1时，设函数g (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －1＋x －1＋a x －1，若实数b 满足b >a 且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫b b －1＝g (a )，g (b )＝2g ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，求证：4<b <5.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝0时，f (x )＝ln x －x ，f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0得x ＝1.列表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － f (x )↗极大值↘所以f (x )(2)f ′(x )＝1x －1＋a x 2＝－x 2＋x ＋ax2. 令f ′(x )＝0，得－x 2＋x ＋a ＝0，记Δ＝1＋4a .(ⅰ)当a ≤－14时，f ′(x )≤0，所以f (x )单调减区间为(0，＋∞)；(ⅱ)当a >－14时，由f ′(x )＝0得x 1＝1＋1＋4a 2，x 2＝1－1＋4a2，①若－14<a <0，则x 1>x 2>0，由f ′(x )<0，得0<x <x 2，x >x 1；由f ′(x )>0，得x 2<x <x 1.所以，f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1＋4a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋4a 2，1＋1＋4a 2；②若a ＝0，由(1)知f (x )单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)； ③若a >0，则x 1>0>x 2，由f ′(x )<0，得x >x 1；由f ′(x )>0，得0<x <x 1.f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋4a 2. 综上所述：当a ≤－14时，f (x )的单调减区间为(0，＋∞)；当－14<a <0时，f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1＋4a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1－1＋4a 2，1＋1＋4a 2； 当a ≥0时，f (x )单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋4a 2. (3)证明： g (x )＝|ln(x －1)|(x >1)． 由g ⎝⎛⎭⎪⎫b b －1＝g (a )得⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln 1b －1＝|ln(a －1)|.∵1<a <b ，∴b －1＝a －1(舍)，或(a －1)(b －1)＝1. ∵1＝(a －1)(b －1)<(b －1)2，∴b >2. 由g (b )＝2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2得|ln(b －1)|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b －1＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln 12[a －1＋b －1]，(*)因为a －1＋b －12≥a －1b －1＝1，所以(*)式可化为ln(b －1)＝2ln 12[(a －1)＋(b －1)]，即b －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1＋b －12.令b －1＝t (t >1)，则t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2，整理得t 4－4t 3＋2t 2＋1＝0，从而(t －1)(t 3－3t 2－t －1)＝0，即t 3－3t 2－t －1＝0.记h (t )＝t 3－3t 2－t －1，t >1.h ′(t )＝3t 2－6t －1，令h ′(t )＝0得t ＝1－233(舍去)，t ＝1＋233，列表：t ⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋233⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋233，＋∞h ′(t ) － ＋ h (t )↘↗所以，h (t )在 ⎛⎪⎫1，1＋23单调减，在 ⎛⎪⎫1＋23，＋∞单调增，又因为h (3)<0，h (4)>0，所以3<t <4，从而4<b <5.对应学生用书理55页 文52页3．(2015·临沂市质检)已知函数f (x )＝ln x .(1)若直线y ＝x ＋m 与函数f (x )的图象相切，求实数m 的值； (2)证明曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x －1x有唯一的公共点；(3)设0<a <b ，比较f b －f a2与b －ab ＋a的大小，并说明理由． 解：(1)f ′(x )＝1x，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝1x 0＝1，∴x 0＝1，y 0＝ln x 0＝ln 1＝0， 代入y ＝x ＋m ，得m ＝－1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－34x2<0， ∴h (x )在(0，＋∞)内单调递减．又h (1)＝ln 1－1＋1＝0，∴x ＝1是函数h (x )唯一的零点，故点(1,0)是两曲线唯一的公共点．(3)ln b －ln a 2－b －a b ＋a ＝12 ln b a －ba －1ba＋1，∵0<a <b ，∴b a>1.构造函数φ(x )＝12ln x －x －1x ＋1，(x >1)，则φ′(x )＝12x －x ＋1－x －1x ＋12＝12x －2x ＋12＝x －122x x ＋12>0，∴φ(x )在(1，＋∞)内单调递增， 又当x ＝1时，φ(1)＝0，∴x >1时，φ(x )>0，即12ln x >x －1x ＋1，则有12ln b a >b a －1b a＋1成立，即ln b －ln a 2>b －a b ＋a.即f b －f a2>b －ab ＋a. 4．(2015·湖北省八市联考)定义在R 上的函数g (x )及二次函数h (x )满足g (x )＋2g (－x )＝e x ＋2ex －9，h (－2)＝h (0)＝1且h (－3)＝－2.(1)求g (x )和h (x )的解析式；(2)对于x 1，x 2∈[－1,1]，均有h (x 1)＋ax 1＋5≥g (x 2)－x 2g (x 2)成立，求a 的取值范围；(3)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g x ，x >0h x ，x ≤0，讨论方程f [f (x )]＝2的解的个数情况．解：(1)∵g (x )＋2g (－x )＝e x＋2ex －9，①g (－x )＋2g (x )＝e －x ＋2e－x －9，即 g (－x )＋2g (x )＝2e x ＋1ex －9.②由①②联立解得：g (x )＝e x－3.∵h (x )是二次函数，且h (－2)＝h (0)＝1，可设h (x )＝ax (x ＋2)＋1，由h (－3)＝－2，解得a ＝－1.∴h (x )＝－x (x ＋2)＋1＝－x 2－2x ＋1. ∴g (x )＝e x －3，h (x )＝－x 2－2x ＋1.(2)设φ(x )＝h (x )＋ax ＋5＝－x 2＋(a －2)x ＋6，F (x )＝e x －3－x (e x －3)＝(1－x )e x ＋3x －3，依题意知：当－1≤x ≤1时，φ(x )min ≥F (x )max . ∵F ′(x )＝－e x＋(1－x )(e x－3)＋3＝－x e x＋3，F ″(x )＝－e x (1＋x )，当x ∈[－1,1]时，F ″(x )≤0，∴F (x )在[－1,1]上单调递减，∴F ′(x )min ＝F ′(1)＝3－e>0.∴F (x )在[－1,1]上单调递增，∴F (x )max ＝F (1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ－1＝7－a ≥0，φ1＝a ＋3≥0，解得－3≤a ≤7，∴实数a 的取值范围为[－3,7]． (3)f (x )的图象如图所示： 令T ＝f (x )，则f (T )＝2.∴T 1＝－1，T 2＝ln 5，f (x )＝－1有两个解，f (x )＝ln 5有3个解．∴f [f (x )]＝2有5个解．5．(理科)(2015·漳州市质检)给出定义在(0，＋∞)上的三个函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－af (x )，h (x )＝x －a x ，已知g (x )在x ＝1处取极值．(1)求实数a 的值，并确定函数h (x )的单调性； (2)求证：当1<x <e 2时，恒有x <2＋f x 2－f x成立；(3)若函数y ＝m －g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围． 解：(1)由题设，g (x )＝x 2－a ln x ，则g ′(x )＝2x －ax.由已知，g ′(1)＝0，即2－a ＝0⇒a ＝2.于是h (x )＝x －2x ，则h ′(x )＝1－1x，且x ∈(0，＋∞)． 由h ′(x )＝1－1x>0⇒x >1，h ′(x )＝1－1x<0⇒0<x <1.所以h (x )在(1，＋∞)上是增函数，在(0,1)上是减函数．(2)当1<x <e 2时，0<ln x <2，即0<f (x )<2，欲证x <2＋f x 2－f x ，只需证x [2－f (x )]<2＋f (x )，即证f (x )>2x －1x ＋1.设γ(x )＝f (x )－2x －1x ＋1＝ln x －2x －1x ＋1，则γ′(x )＝1x－2x ＋1－2x －1x ＋12＝x －12x x ＋12.当1<x <e 2时，γ′(x )>0，所以γ(x )在区间(1，e 2)上为增函数． 从而当1<x <e 2时，γ(x )>γ(1)＝0，即f (x )>2x －1x ＋1，故x <2＋f x2－f x .(3)∵y ＝2ln x －x 2＋m ，则y ′＝2x－2x ＝－2x ＋1x －1x，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，故y ′＝0时，x ＝1.当1e <x <1时，y ′>0；当1<x <e 时，y ′<0.故函数y ＝φ(x )在x ＝1处取得极大值φ(1)＝m －1. 又φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2，φ(e)＝m ＋2－e 2，φ(e)－φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e2<0，则φ(e)<φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，∴y ＝φ(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值是φ(e)． y ＝φ(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧φ1＝m －1>0，φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1<m ≤2＋1e2，∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2. 5．(文科)(2015·大连市二模)设函数f (x )＝ln x －cx (x ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若f (x )≤x 2恒成立，求c 的取值范围；(3)设函数f (x )有两个相异零点x 1、x 2，求证：x 1·x 2>e 2. 解析：(1)∵f (x )＝ln x －cx ，∴x ∈(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －c ＝1－cxx.当c ≤0时，f (x )单调增区间为(0，＋∞)；当c >0时，f (x )单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，f (x )单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.(2)∵f (x )≤x 2，∴ln x －cx ≤x 2，∴c ≥ln x x－x .设g (x )＝ln x x －x ，∴g ′(x )＝1－ln x －x 2x2， ∴g (x )在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减． ∴g (x )max ＝g (1)＝－1，∴c ≥－1.(3)证明： f (x )有两个相异零点，ln x 1＝cx 1，ln x 2＝cx 2， ①∴ln x 1－ln x 2＝c (x 1－x 2)， ∴ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝c ，② 而x 1·x 2>e 2，等价于ln x 1＋ln x 2>2，即cx 1＋cx 2>2， ③由①②③得：ln x 1－ln x 2x 1－x 2(x 1＋x 2)>2.不妨设x 1>x 2>0，则t ＝x 1x 2>1， 上式转化为ln t >2t －1t ＋1(t >1)．设H (t )＝ln t －2t －1t ＋1(t >1)，则H (t )＝t －12t t ＋12>0，故函数H (t )是(1，＋∞)上的增函数，所以H (t )－H (l )＝0，即不等式ln t >2t －1t ＋1成立，故所证不等式x 1·x 2>e 2成立.6．(理科)(2015·南平市质检)设函数g (x )＝x 2－2x ＋1＋m ln x ，(m ∈R )． (1)当m ＝1时，求过点P (0，－1)且与曲线y ＝g (x )－(x －1)2相切的切线方程； (2)求函数y ＝g (x )的单调增区间；(3)若函数y ＝g (x )有两个极值点a ，b ，且a <b ，记[x ]表示不大于x 的最大整数，试比较sin[g a ][gb ]与cos([g (a )][g (b )])的大小． 解：(1)曲线方程为y ＝ln x ，设切点为(x 0，ln x 0)．由y ′＝1x 得切线的斜率k ＝1x 0，则切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．因为切线过点P (0，－1)，所以－1－ln x 0＝－1，即x 0＝1，故所求切线方程为x －y －1＝0.(2)函数y ＝g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝2x －2＋m x ＝2x 2－2x ＋mx.令g ′(x )>0并结合定义域得2x 2－2x ＋m >0， 对应一元二次方程的判别式Δ＝4(1－2m )．①当Δ≤0，即m ≥12时，g ′(x )≥0，则函数g (x )的增区间为(0，＋∞)；②当0<m <12时，函数g (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2m 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2m 2，＋∞；③当m ≤0时，函数g (x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1－2m 2，＋∞. (3)g ′(x )＝2x －2＋m x ＝2x 2－2x ＋m x ，令g ′(x )＝0得2x 2－2x ＋m ＝0，由题意知方程有两个不相等的正数根a ，b (a <b )，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝41－2m >0，m2>0解得0<m <12， 解方程得b ＝1＋1－2m 2，则12<b <1.又由2b 2－2b ＋m ＝0得m ＝－2b 2＋2b ，所以g (b )＝b 2－2b ＋1＋m ln b ＝b 2－2b ＋1＋(－2b 2＋2b )ln b ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.g ′(b )＝2b －2＋(－4b ＋2)ln b ＋2－2b＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12ln B.当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，g ′(b )>0，即函数g (b )是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上的增函数，所以1－2ln 24<g (b )<0，故g (b )的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－2ln 24，0.则[g (b )]＝－1.同理可求0<a <12，g (a )＝a 2－2a ＋1＋(－2a 2＋2a )ln a ，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，g ′(a )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12ln a <0，即函数g (a )是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的减函数，所以1－2ln 24<g (a )<1，故g (a )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2ln 24，1， 则[g (a )]＝－1或[g (a )]＝0. 当[g (a )]＝－1时，sin[g a ][g b ]>cos([g (a )][g (b )])； 当[g (a )]＝0时，sin[ga ][gb ]<cos([g (a )][g (b )])． 6．(文科)(2015·南平市质检)已知函数f (x )＝e x－x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)已知t 为实数，求函数f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值；(3)定义在区间D 上的函数g (x )，若存在区间[a ，b ]⊆D 及实常数m ，当x ∈[a ，b ]时，g (x )的取值范围恰为[a ＋m ，b ＋m ]，则称区间[a ，b ]为g (x )的一个同步偏移区间，m 为同步偏移量．试问函数y ＝[f (x )＋x ](x 2－1)在(1，＋∞)上是否存在同步偏移区间？若存在，请求出一个同步偏移区间及对应的偏移量；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知f (1)＝e －1，f ′(x )＝e x－1. ∴函数f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝e －1， ∴切线方程为y －(e －1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x . (2)令f ′(x )＝e x－1＝0得x ＝0.①当t ≥0时，在[t ，t ＋2]上f ′(x )≥0，f (x )单调递增，f min x ＝f (t )＝e t－t . ②当－2<t <0时，在[t,0]上f ′(x )≤0，f (x )单调递减；在[0，t ＋2]上f ′(x )≥0，f (x )单调递增，∴f min (x )＝f 极小(x )＝f (0)＝1.③当t ≤－2时，在[t ，t ＋2]上f ′(x )≤0，f (x )单调递减，f min (x )＝f (t ＋2)＝et ＋2－t －2.∴f min (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e t ＋2－t －2，t ≤－21，－2<t <0e t －t ，t ≥0(3)函数y ＝[f (x )＋x ](x 2－1)在(1，＋∞)上不存在同步偏移区间． 证明如下：假设函数g (x )＝[f (x )＋x ](x 2－1)＝(x 2－1)e x存在同步偏移区间[a ，b ]， 则g ′(x )＝(x 2＋2x －1)e x.∵x >1时，g ′(x )>0，∴g (x )为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ga ＝a 2－1e a ＝a ＋m ，g b ＝b 2－1e b ＝b ＋m ，即方程(x 2－1)e x＝x ＋m 有两个大于1的相异实根．设φ(x )＝(x 2－1)e x －x －m (x >1)，则φ′(x )＝(x 2＋2x －1)e x－1. ∵x >1，φ′(x )>0，∴φ(x )在(1，＋∞)上单调递增.∴φ(x )在区间(1，＋∞)上至多有一个零点与方程(x 2－1)e x＝x ＋m 有两个大于1的相异实根矛盾，∴假设不成立，即g (x )在(1，＋∞)上不存在同步偏移区间． [备课札记]___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________。
2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)课时冲关第8章解析几何1
第八章 第1节对应学生用书课时冲关 理(四十)/第311页 文(三十七)/第273页一、选择题1．若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．60°或120°解析：由|k |＝|tan α|＝1，知：k ＝tan α＝1或k ＝tan α＝－1.又倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝45°或135°.答案：C2．如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：直线l 1的斜率角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D.答案：D3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：由题意得a ＋2＝a ＋2a，∴a ＝－2或a ＝1. 答案：D4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，∴直线l 2恒过定点(0,2)．答案：B5．(2015·江门模拟)如果A ·C ＜0，且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由题意知A ·B ·C ≠0，直线方程变为y ＝－A B x －C B .∵A ·C ＜0，B ·C ＜0，∴A ·B ＞0，∴其斜率k ＝－A B ＜0.又y 轴上的截距b ＝－C B ＞0，∴直线过第一、二、四象限．答案：C6．已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( )A ．0或－12 B.12或－6C ．－12或12D ．0或12解析：依题意得|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1，∴|3m ＋5|＝|m －7|，∴3m ＋5＝m －7或3m ＋5＝7－m .∴m ＝－6或m ＝12.故应选B.答案：B7．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为() A ．2x ＋3y －18＝0B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析：由题意设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0， 由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴k ＝2或k ＝－23. ∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.答案：D8．(2015·广州模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3， 即x ＋2y －3＝0.答案：D9．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0 (θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( )A ．[0，π)B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2； 当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4.由上知，倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤π2，3π4，故选C.答案：C10．(2015·北京海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2解析：|AB |＝ (cos α＋1)2＋sin 2 α ＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32， 所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33，选B. 答案：B11．(2014·福建高考)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y －2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：由直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，可设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0.又直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心(0,3)，则m ＝3，所以直线l 的方程为x －y ＋3＝0，故选D.答案：D12．如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．33D ．2 5解析：由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD |＝2.答案：A二、填空题13．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为________．解析：直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1. 设l 的倾斜角为α，则tan α≤1.又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 14．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析：设所求直线的方程为x a ＋y b＝1， ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1. ①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |·|b |＝1. ②由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1，ab ＝－2. 由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解． 故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y －2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝015．若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．解析：根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1， 所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据均值不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.答案：1616．一条光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为________．解析：取直线2x －y ＋2＝0上一点A (0,2)，设点A (0,2)关于直线x ＋y －5＝0对称的点为B (a ，b )，则⎩⎨⎧ a 2＋b ＋22－5＝0，b －2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5， ∴B (3,5)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4， ∴直线2x －y ＋2＝0与直线x ＋y －5＝0的交点为P (1,4)，∴反射光线在经过点B (3,5)和点P (1,4)的直线上，其直线方程为y －4＝4－51－3(x －1)，整理得x－2y＋7＝0. 答案：x－2y＋7＝0 [备课札记]。
2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第8章 第7节 曲线与方程
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5 ．已知 M( － 2,0) ， N(2,0) ，则以 MN 为斜边的直角三角形 的直角顶点P的轨迹方程是________． 解析：设P(x，y)，因为△MPN为直角三角形， ∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，
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1．曲线与方程 在平面直角坐标系中，如果曲线 C 与方程 F(x ， y) ＝ 0 之间
具有如下关系：
方程F(x，y)＝0的解 ． (1)曲线C上点的坐标都是_____________________ (2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都____________ 在曲线C上 ．那 么这个方程叫做____________ 曲线的方程 ，这条曲线叫做____________ 方程的曲线 ．
答案：D
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→ → 4．已知点 A(－2,0)、B(3,0)，动点 P(x，y)满足PA· PB＝x2 －6，则点 P 的轨迹方程是______________________．
→ → 解析：PB＝(3－x，－y)，PA＝(－2－x，－y)， → → ∴PA· PB＝(3－x)(－2－x)＋y2＝x2－x－6＋y2＝x2－6，∴y2 ＝x.
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
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2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第8章 第3节 椭圆
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1 1．已知椭圆的一个焦点为 F(1,0)，离心率 e＝2，则椭圆的 标准方程为( x2 2 A. 2 ＋y ＝1 x2 y2 C. 4 ＋ 3 ＝1 )
2 y B．x2＋ 2 ＝1
答案：C
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x2 2 2．已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 3 ＋y ＝1 上，顶点 A 是 椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是( A．2 3 C．4 3 ) B．6 D．12
A>0， 即B>0， A≠B.
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质疑探究 3 ：椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎 样的关系？
c 提示：离心率 e＝a越接近 1，a 与 c 就越接近，从而 b＝ a2－c2就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近 0，椭圆就 越接近于圆．
4．已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且
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范围 对称性 顶点 性 质 轴
－a≤x≤a －b≤y≤b 对称轴：坐标轴 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)
－b≤x≤b －a≤y≤a 对称中心：原点 A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
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【创新教程】2016年高考数学大一轮复习 冲关集训2 理 新人教A版1．(2015·怀化市一模)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，向量b ＝(cos x ，－sin x )，f (x )＝a ·b .(1)求函数g (x )＝f (x )＋sin 2x 的最小正周期和对称轴方程； (2)若x 是第一象限角且3f (x )＝－2f ′(x )，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的值.解：(1)∵g (x )＝cos 2x －sin 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴最小正周期T ＝2π2＝π，对称轴方程为x ＝k π2＋π8(k ∈Z )．(2)由3f (x )＝－2f ′(x )，得3cos 2x ＝4sin 2x . 3cos 2x －3sin 2x ＝8sin x cos x (cos x －3sin x )(3cos x ＋sin x )＝0， ∴cos x －sin x ＝0或3cos x ＋sin x ＝0， 又x 是第一象限角，∴cos x ＝3sin x ，故tan x ＝13，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tan π41－tan x tan π4＝1＋131－13＝2.2．(2015·南昌市一模)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12sin x ＋32cos x 与b ＝(1，y )共线，设函数y ＝f (x )．(1)求函数f (x )的周期及最大值；(2)已知△ABC 中的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若锐角A 满足f ⎝⎛⎭⎪⎫A －π3＝3，且a ＝7，sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积．解：(1)∵a 与b 共线， ∴12y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝0， 则y ＝f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴f (x )的周期T ＝2π.当x ＝2k π＋π6，k ∈Z 时，f max (x )＝2.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3＝3，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π3＋π3＝3，∴sin A ＝32. ∵0<A <π2，∴A ＝π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得sin B ＋sin C ＝b ＋c a sin A ，即13314＝b ＋c 7×32，∴b ＋c ＝13.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ， 即49＝169－3bc ，∴bc ＝40.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×40×32＝10 3.3．(2015·茂名市一模)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2b sin A .(1)求角B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求△ABC 的面积及b . 解：(1)∵a ＝2b sin A ，由正弦定理得sin A ＝ 2sin B sin A ．由于sin A ≠0，故有sin B ＝12.又∵B 是锐角，∴B ＝30°. (2)依题意得S △ABC ＝12ac sin 30°＝12×33×5×12＝1534. ∴由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 可得b 2＝(33)2＋52－2×33×5×cos 30°＝27＋25－45＝7，∴b ＝7.4．(2015·日照市一模)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)在△ABC 中，若A ＝π4，锐角C 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π6＝12，求BC AB 的值．解：(1)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以函数f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π6－π3＝sin C ，由已知，sin C ＝12，又角C 为锐角，所以C ＝π6.由正弦定理，得BC AB ＝sin Asin C ＝sinπ4sinπ6＝2212＝ 2. 5．(2015·临沂市质测)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)的最小正周期是π，将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．(1)求g (x )的解析式；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝45，b ＝2，△ABC 的面积为3，求边长a 的值．解：(1)f (x )＝32sin 2ωx ＋12(cos 2ωx ＋1)－12＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6∵f (x )的最小正周期是π，且ω>0， ∴2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象．再将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向右平移π6个单位，得到y ＝sin x 的图象，故g (x )＝sin x .(2)由(1)知g (x )＝sin x ，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A ＝45，∵0<A <π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.∵△ABC 的面积为3，∴12bc sin A＝3.又∵b ＝2，∴12×2·c ·35＝3，得c ＝5.由a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝22＋52－2×2×5×45＝13，得a ＝13.[备课札记]___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________。
创新教程高考数学大一轮复习冲关集训5理新人教A版
【创新教程】2016年高考数学大一轮复习 冲关集训5 理 新人教A版1．(2015·咸阳市一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b ≥1)的离心率e ＝32，且椭圆C 过点P (2,1)． (1)求椭圆C 的方程；(2)直线的l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点．求△PAB 面积的最大值．解：(1)∵e 2＝c 2a ＝a 2－b 2a ＝34，∴a 2＝4b 2，则椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1，即x 2＋4y 2＝4b 2.∵椭圆过点P (2,1)，∴b 2＝2，a 2＝8 椭圆方程为x 28＋y 22＝1(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，代入椭圆方程中整理得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4， Δ＝4m 2－4(2m 2－4)>0⇒m 2<4. 则|AB |＝1＋14×x 1＋x 22－4x 1x 2＝ －m2.点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. 因此S △＝12d |AB |＝12·2|m |5－m2m2－m2≤m 2＋4－m 22＝2当且仅当m 2＝2∈[0,4)，即m ＝±2时取得最大值2.2．(2015·邢台市二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为63，且过点(3，－1)． (1)求椭圆C 的方程；(2)若动点P 在直线l ：x ＝－22上，过P 作直线求椭圆C 于M ，N 两点，使得PM ＝PN ，再过P 作直线l ′⊥MN ，证明：直接l ′恒过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意知点(3，－1)在椭圆C 上， 即9a 2＋1b2＝1, ①又椭圆的离心率为63，所以c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫632＝23，②联立①②可解得a 2＝12，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)因为直线l 的方程为x ＝－22，设P (－22，y 0)，y 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233，当y 0≠0时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，显然x 1≠x 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2112＋y 214＝1，x 2212＋y224＝1，则x 21－x 2212＋y 21－y 224＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－13·x 1＋x 2y 1＋y 2， 又PM ＝PN ，即P 为线段MN 的中点， 故直线MN 的斜率为－13·－22y 0＝223y 0，又l ′⊥MN ，所以直线l ′的方程为y －y 0＝－3y 022(x ＋22)，即y ＝－3y 022⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋423，显然l ′恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－423，0；当y 0＝0时，直线MN 即x ＝－22，此时l ′为x 轴亦过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－423，0.综上所述，l ′恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－423，0.3．(理)(2015·菏泽市一模)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 、N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；(3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与轴交于点R ，S ，O 为坐标原点. 试问；是否存在使S △POS ·S △POR 最大的点P ，若存在求出P 点的坐标，若不存在说明理由．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a ＝2，解之得：a ＝2，c ＝3，由c 2＝a 2－b 2得b ＝1，故椭圆C 方程为x 24＋y 2＝1. (2)点M 与点N 关于x 轴对称，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1>0, 由于点M 在椭圆C 上，∴y 21＝1－x 214，由已知T (－2,0)，则TM →＝(x 1＋2，y 1)，TN →＝(x 1＋2，－y 1)，∴TM →·TN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋852－15. 由于－2<x <2，故当x 1＝－85时，TM →·TN →取得最小值为－15，当x 1＝－85时，y 1＝35，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，35，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r 2＝1325，故圆T 的方程为：(x ＋2)2＋y 2＝1325；(3)假设存在满足条件的点P ，设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)，令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21； 又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)， 得x R ·x S ＝41－y 21y 20－41－y 20y 21y 20－y 21＝4y 20－y 21y 20－y 21＝4， ∴|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值， ∵S △POS ·S △POR ＝12|OS ||y p |·12|OR ||y P |＝14×4×y 2P ＝y 2P ， 由P 为椭圆上的一点，∴要使S △POS ·S △POR 最大，只要y 2P 最大，而y 2P 的最大值为1，故满足条件的P 点存在其坐标为P (0,1)和P (0，－1)．3．(文)(2015·菏泽市一模)如图，已知椭圆C: x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(t >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 、N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；(3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与轴交于点R ，S ，O 为坐标原点．求证：|OR |·|OS |为定值．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a ＝2，解之得：a ＝2，c ＝3，由c 2＝a 2－b 2得b ＝1，故椭圆C 方程为x 24＋y 2＝1.(2)点M 与点N 关于x 轴对称， 设M (x 1，y 1)，N (x 1－y 1)不妨设y 1>0. 由于点M 在椭圆C 上，∴y 21＝1－x 214，由已知T (－2,0)，则TM →＝(x 1＋2，y 1)， TN →＝(x 1＋2，－y 1)，∴TM →·TN →＝(x 1＋2，y 1)(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21， (x 1＋2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝54⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋852－15， 由于－2<x <2，故当x 1＝－85时，TM →·TN →取得最小值为－15，当x 1＝－85时，y 1＝35，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，35，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r 2＝1325，故圆T 的方程为：(x ＋2)2＋y 2＝1325.(3)证明：设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)， 令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1， 故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21，又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝ 4(1－y 21)， 得x R ·x S ＝－y 21y 20－－y 2y 21y 20－y 21＝y 20－y 21y 20－y 21＝4， ∴|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值． 对应学生用书理173页 文159页4．(2015·南阳市三模)已知圆C 1：x 2＋y 2＝45，直线l ：y ＝x ＋m (m >0)与圆C 1相切，且交椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)于A 1，B 1两点，c 是椭圆的半焦距，c ＝3b .(1)求m 的值；(2)O 为坐标原点，若OA 1→⊥OB 1→，求椭圆C 2的方程；(3)在(2)的条件下，设椭圆C 2的左右顶点分别为A ，B ，动点S (x 0，y 0)∈C 2(y 0>0)，直线AS ，BS 与直线x ＝3415分别交于M ，N 两点，求线段MN 的长度的最小值．解析：(1)直线l ：y ＝x ＋m (m >0)与圆C 1：x 2＋y 2＝45相切，所以|m |2＝45，m ＝2105. (2)将l ：y ＝x ＋2105代入得C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1得：(b 2＋a 2)x 2＋4105a 2x ＋85a 2－a 2b 2＝0 ①设A 1(x 1，y 1)，B 1(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－410a 2b 2＋a 2；x 1x 2＝8a 2－5a 2b 2b 2＋a 2； y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2105⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2105＝40b 2－25a 2b 2a 2＋b 2 因为OA 1→⊥OB 1→⇒4(a 2＋b 2)－5a 2b 2＝0 ②由已知c ＝3b ；a 2＝4b 2代入②b 2(1－b 2)＝0⇒b 2＝1，a 2＝4，所以椭圆C 2的方程为x 24＋y 2＝1.(3)显然直线AS 的斜率存在，设为k 且k >0则AS ：y ＝k (x ＋2)依题意M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3415，64k 15，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋x 24＋y 2＝1得：(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，设S (x 0，y 0)则x 0·(－2)＝16k 2－41＋4k 2⇒x 0＝2－8k 21＋4k 2，y 0＝k (x 0＋2)即S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2，又B (2,0)所以k BS ＝y 0x 0－2＝－14k，BS ： y ＝－14k(x －2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14k x －x ＝3415⇒N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3415，－115k .∵k >0⇒|MN |＝64k 15＋115k ≥264k 15·115k ＝1615， 当且仅当64k 15＝115k ，即k ＝18时，等号成立．所以k ＝18时，|MN |min ＝1615.5．(理)(2015·广州市二模)已知定点F (0,1)和直线l ：y ＝－1，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)若点A 的坐标为(2,1), 直线l 1：y ＝kx ＋1(k ∈R ，且k ≠0)与曲线E 相交于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线l 于点S ，T .试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．解析：(1)解法1：由题意，点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离， 故点M 的轨迹是以点F 为焦点， l 为准线的抛物线．∴曲线E 的方程为x 2＝4y .解法2：设点M 的坐标为(x ，y )，依题意， 得|MF |＝|y ＋1|， 即x 2＋y －2＝|y ＋1|，化简得x 2＝4y .∴曲线E 的方程为x 2＝4y .(2)解法1: 设点B ，C 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，依题意得，x 21＝4y 1，x 22＝4y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx －4＝0，解得x 1,2＝4k ±4k 2＋12＝2k ±2k 2＋1.∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.直线AB 的斜率k AB ＝y 1－1x 1－2＝x 214－1x 1－2＝x 1＋24，故直线AB 的方程为y －1＝x 1＋24(x －2)．令y ＝－1，得x ＝2－8x 1＋2， ∴点S 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－8x 1＋2，－1. 同理可得点T 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－8x 2＋2，－1. ∴|ST |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－8x 1＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8x 2＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1＋x 2＋ ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋4＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 28k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2k . ∴|ST |2＝x 1－x 22k 2＝x 1＋x 22－4x 1x 2k 2＝k 2＋k 2.设线段ST 的中点坐标为(x 0，－1)， 则x 0＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8x 1＋2＋2－8x 2＋2 ＝2－x 1＋x 2＋x 1＋x 2＋＝2－k ＋x 1x 2＋x 1＋x 2＋4＝2－k ＋8k＝－2k.∴以线段ST 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k 2＋(y ＋1)2＝14|ST |2＝k 2＋k 2.展开得x 2＋4kx ＋(y ＋1)2＝k 2＋k －4k＝4.令x ＝0，得(y ＋1)2＝4，解得y ＝1或y ＝－3.∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点(0,1)，(0，－3)． 解法2：由(1)得抛物线E 的方程为x 2＝4y .设直线AB 的方程为y －1＝k 1(x －2)，点B 的坐标为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝k 1x －，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2k 1，y ＝－1.∴点S 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－2k 1，－1.由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x －，x 2＝4y ，消去y ，得x 2－4k 1x ＋8k 1－4＝0，即(x －2)(x －4k 1＋2)＝0，解得x ＝2或x ＝4k 1－2.∴x 1＝4k 1－2，y 1＝14x 21＝4k 21－4k 1＋1.∴点B 的坐标为(4k 1－2,4k 21－4k 1＋1)． 同理，设直线AC 的方程为y －1＝k 2(x －2)，则点T 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－2k2，－1，点C 的坐标为(4k 2－2,4k 22－4k 2＋1)．∵点B ，C 在直线l 1：y ＝kx ＋1上， ∴k ＝k 22－4k 2＋－k 21－4k 1＋k 2－－k 1－＝k 22－k 21－k 2－k 1k 2－k 1＝k 1＋k 2－1.∴k 1＋k 2＝k ＋1.又4k 21－4k 1＋1＝k (4k 1－2)＋1，得4k 21－4k 1＝4kk 1－2k ＝4(k 1＋k 2－1)k 1－2k ， 化简得k 1k 2＝k2.设点P (x ，y )是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则SP →·TP →＝0， 得⎝⎛⎭⎪⎫x －2＋2k 1⎝⎛⎭⎪⎫x －2＋2k2＋(y ＋1)(y ＋1)＝0， 整理得，x 2＋4kx －4＋(y ＋1)2＝0.令x ＝0，得(y ＋1)2＝4，解得y ＝1或y ＝－3.∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点(0,1)，(0，－3)．5．(文)(2014·广州市二模)已知点A (2,1)在抛物线E ：x 2＝ay 上，直线l 1：y ＝kx ＋1(k ∈R ，且k ≠0)与抛物线E 相交于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线l 2：y ＝－1于点S ，T .(1)求a 的值；(2)若|ST |＝25，求直线l 1的方程；(3)试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．解：(1)∵点A (2,1)在抛物线E ：x 2＝ay 上，∴a ＝4.第(2)、(3)问提供以下两种解法： 解法1：(2)由(1)得抛物线E 的方程为x 2＝4y .设点B ，C 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，依题意，x 21＝4y 1，x 22＝4y 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx －4＝0，解得x 1,2＝4k ±4k 2＋12＝2k ±2k 2＋1.∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.直线AB 的斜率k AB ＝y 1－1x 1－2＝x 214－1x 1－2＝x 1＋24，故直线AB 的方程为y －1＝x 1＋24(x －2)．令y ＝－1，得x ＝2－8x 1＋2， ∴点S 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－8x 1＋2，－1. 同理可得点T 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－8x 2＋2，－1.∴|ST |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－8x 1＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8x 2＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1＋x 2＋＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋4＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 28k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2k . ∵|ST |＝25，∴|x 1－x 2|＝25|k |.由|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，得20k 2＝16k 2＋16，解得k ＝2，或k ＝－2， ∴直线l 1的方程为y ＝2x ＋1，或y ＝－2x ＋1. (3)设线段ST 的中点坐标为(x 0，－1)， 则x 0＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8x 1＋2＋2－8x 2＋2 ＝2－x 1＋x 2＋x 1＋x 2＋＝2－k ＋x 1x 2＋x 1＋x 2＋4＝2－k ＋8k＝－2k.而|ST |2＝x 1－x 22k 2＝x 1＋x 22－4x 1x 2k 2＝k 2＋k 2，∴以线段ST 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k 2＋(y ＋1)2＝14|ST |2＝k 2＋k 2.展开得x 2＋4kx ＋(y ＋1)2＝k 2＋k 2－4k2＝4.令x ＝0，得(y ＋1)2＝4，解得y ＝1或y ＝－3.∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点(0,1)，(0，－3)． 解法2：(2)由(1)得抛物线E 的方程为x 2＝4y .设直线AB 的方程为y －1＝k 1(x －2)，点B 的坐标为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝k 1x －，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2k 1，y ＝－1.∴点S 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－2k1，－1.由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x －，x 2＝4y ，消去y ，得x 2－4k 1x ＋8k 1－4＝0，即(x －2)(x －4k 1＋2)＝0，解得x ＝2或x ＝4k 1－2.∴x 1＝4k 1－2，y 1＝14x 21＝4k 21－4k 1＋1.∴点B 的坐标为(4k 1－2,4k 21－4k 1＋1)． 同理，设直线AC 的方程为y －1＝k 2(x －2)，则点T 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－2k 2，－1，点C 的坐标为(4k 2－2,4k 22－4k 2＋1)．∵点B ，C 在直线上l 1：y ＝kx ＋1上， ∴k ＝k 22－4k 2＋－k 21－4k 1＋k 2－－k 1－＝k 22－k 21－k 2－k 1k 2－k 1＝k 1＋k 2－1.∴k 1＋k 2＝k ＋1.又4k 21－4k 1＋1＝k (4k 1－2)＋1，得4k 21－4k 1＝4kk 1－2k ＝4(k 1＋k 2－1)k 1－2k ， 化简得k 1k 2＝k2.|ST |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫2－2k 1－⎝⎛⎭⎪⎫2－2k 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 1－k 2k 1k 2，∵|ST |＝25，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 1－k 2k 1k 2＝2 5. ∴(k 1－k 2)2＝5(k 1k 2)2.由(k 1＋k 2)2＝(k 1－k 2)2＋4k 1k 2＝5(k 1k 2)2＋4k 1k 2， 得(k ＋1)2＝54k 2＋2k ，解得k ＝±2.∴直线l 1的方程为y ＝2x ＋1，或y ＝－2x ＋1.(3)设点P (x ，y )是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则SP →·TP →＝0， 得⎝⎛⎭⎪⎫x －2＋2k 1⎝⎛⎭⎪⎫x －2＋2k2＋(y ＋1)(y ＋1)＝0， 整理得，x 2＋4kx －4＋(y ＋1)2＝0.令x ＝0，得(y ＋1)2＝4，解得y ＝1或y ＝－3.∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点(0,1)，(0，－3)．6．(理)(2015·揭阳市二模)已知抛物线的方程为y ＝ax 2－1，直线l 的方程为y ＝x2，点A (3，－1)关于直线的对称点在抛物线上．(1)求抛物线的方程；(2)已知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1516是抛物线的焦点，M 是抛物线上的动点，求|MP |＋MF |的最小值及此时点M 的坐标；(3)设点B 、C 是抛物线上的动点，点D 是抛物线与x 轴正半轴交点，△BCD 是以D 为直角顶点的直角三角形．试探究直线BC 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.解：(1)设点A (3，－1)关于直线l 的对称点为坐标为A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32－2·y －12＝0y ＋1x －3＝－2解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3把点A ′(1,3)代入y ＝ax 2－1，解得a ＝ 4， 所以抛物线的方程为y ＝4x 2－1(2)∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1516是抛物线的焦点，抛物线的顶点为(0，－1)，∴抛物线的准线为y ＝－1716，过点M 作准线的垂线，垂足为A ，由抛物线的定义知|MF |＝|MA |，∴|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MA |≥|PA |，当且仅当P 、M 、A 三点共线时“＝”成立，即当点M 为过点P 所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时，|MP |＋|MF |取最小值，∴(|MP |＋|MF |)min ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1716＝3316，这时点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.(3)BC 所在的直线经过定点，该定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，令y ＝4x 2－1＝0，可得D 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)显然x 1≠x 2，则k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 21－x 22x 1－x 2＝4(x 1＋x 2)，k DB ＝4⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12，k DC ＝4⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋12，∵BD ⊥CD ，∴k DB ·k DC ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＝－1，即x 1x 2＝－516－12(x 1＋x 2)， 直线BC 的方程为y －y 1＝4(x 1＋x 2)(x －x 1)，即y ＝4(x 1＋x 2)x －4x 1x 2－1＝2(x 1＋x 2)(2x ＋1)＋14.所以直线BC 经过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.6．(文)(2015·厦门市质检)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)与椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)在第一象限的公共点为A (22，1)，设抛物线C 1的焦点为F ，椭圆C 2的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，△F 1F 2F 面积为6.(1)求抛物线C 1和椭圆C 2的方程；(2)设A 1，A 2为椭圆C 2的左、右顶点，P 为椭圆C 2上异于A 1，A 2的任意一点，直线l ：x＝a 2c ，l 与直线A 1P ，A 2P 分别交于点M ，N ，试探究：在x 轴上是否存在定点D ，使得以线段MN 为直线的圆恒过点D ，若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)推广(2)，得椭圆一般性的正确命题，据此类比，得到双曲线的一般性正确命题，请直接写出这个双曲线的正确命题(不必证明)．解：(1)点A (22，1)代入x 2＝2py 得，(22)2＝2p ，∴p ＝4，∴抛物线C 1的方程为x 2＝8y ，∴抛物线的焦点为F (0,2)，依题意，S △FF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|OF |＝12×2c ×2＝6，∴c ＝3.方法一：∴椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－9＝1，点A (22，1)代入得，22a2－1a 2－9＝1， 解得a 2＝12或a 2＝6，∵a 2＝6时，a ＝6<3＝c ，不合题意，舍去． ∴a 2＝12，∴椭圆C 2的方程为x 212＋y 23＝1.综上得，抛物线C 1的方程为x 2＝8y ，椭圆C 2的方程为x 212＋y 23＝1. 方法二：∴F 1(－3,0)，F 2(3,0)， ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝2＋2＋12＋2－2＋12＝43，∴a ＝23，∴b 2＝a 2－c 2＝12－9＝3，∴椭圆C 2的方程为x 212＋y 23＝1，综上得，抛物线C 1的方程为x 2＝8y ，椭圆C 2的方程为x 212＋y 23＝1. (2)设P (x 0，y 0)，则x 2012＋y 203＝1，由(1)知，A 1(－23，0)，A 2(23，0)，直线l ：x ＝4，kPA 1＝y 0x 0＋23，kPA 2＝y 0x 0－23，直线PA 1：y －0＝y 0x 0＋23(x ＋23)，直线PA 2：y －0＝y 0x 0－23(x －23)，∴M ⎝⎛⎭⎪⎫4，y 0x 0＋23＋23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，y 0x 0－23－23，假设存在定点D (m,0)符合题意，则DM →·DN →＝0， 又DM →＝⎝⎛⎭⎪⎫4－m ，y 0x 0＋23＋23，DN →＝⎝⎛⎭⎪⎫4－m ，y 0x 0－23－23，∴DM →·DN →＝(4－m )2＋y 20x 20－12(42－12)＝0，即(4－m )2＋4×y 20x 20－12＝0，∵x 2012＋y 203＝1，∴y 203＝1－x 2012＝12－x 2012，即y 20x 20－12＝－14，代入得(4－m )2＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝0，解得m ＝3或m ＝5，∴存在定点(3,0)或(5,0)符合题意． 方法二：取点P 为上顶点(0，3)， ∵A 1(－23，0)，A 2(23，0)， ∴直线PA 1：y ＝12(x ＋23)，直线PA 2：y ＝－12(x －23)，∵直线l ：x ＝－4.∴M (4,2＋3)，N (4，－2＋3)，∴MN 为直径的圆为：(x －4)2＋(y －3)2＝4， 令y ＝0代入解得，x ＝3或x ＝5，∴猜想存在定点D (3,0)或(5,0)符合题意，证明如下：设P (x 0，y 0)，则x 2012＋y 203＝1，则y 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2012，kPA 1＝y 0x 0＋23，kPA 2＝y 0x 0－23，直线PA 1：y －0＝y 0x 0＋23(x ＋23)，直线PA 2：y －0＝y 0x 0－23(x －23)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，y 0x 0＋234＋23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，y 0x 0－234－23，当D 为(3,0)时，DM →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，y 0x 0＋234＋23，DN →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，y 0x 0－234－23，∴DM →·DN →＝1＋y 20x 20－12(42－12)＝1＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2012x 20－12×4＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－112×4＝0，同理可证，当D 为(5,0)时，也符合DM →·DN →＝0，∴DM →⊥DN →＝0，∴以MN 为直径的圆恒过点D (3,0)或(5,0)， 综上得，存在定点D (3,0)或(5,0)符合题意．(3)所得双曲线的一般结论为：设A 1，A 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，P为双曲线上异于A 1，A 2的任意一点，直线l ：x ＝a 2c(其中c 为半焦距)，l 与直线A 1P ，A 2P 分别交于点M ，N ，则在x 轴上存在定点D ，使得以线段MN 为直径的圆恒过点D ，且定点D 的坐标为(c,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2－c 2c ，0.⎣⎢⎡⎝⎛注：定点写成c ，或⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－b 2c ，0”或“⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2c ，0⎦⎥⎥⎤或⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－b 2c ，0”均可另：若直线l 方程为x ＝m m >a ，⎭⎪⎫则所得定点D 的坐标为c ，或⎝⎛⎭⎪⎫m ±b a m 2－a 2，0.[备课札记]___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________。
创新教程高考数学大一轮复习 冲关集训3 理 新人教A版
【创新教程】2016年高考数学大一轮复习 冲关集训3 理 新人教A版1．(2015·常德期末)在1和2之间依次插入n (n ∈N *)个正数a 1，a 2，a 3，…，a n ，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，令b n ＝2log 2T n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝2n，设S n ＝b 1c 1＋b 2c 2＋…＋b n c n，求S n .解：(1)方法一：设等比数列1，a 1，a 2，a 3，…，a n,2的公比为q ，则2＝1·qn ＋1，∴qn＋1＝2，∴T n ＝1·a 1·a 2·…·a n ·2＝1·q ·q 2·…·q n ·qn ＋1＝q1＋2＋3＋…＋(n ＋1)＝qn ＋1n ＋22＝2n ＋22，∴b n ＝2log 2T n ＝2log 22n ＋22＝n ＋2.故数列{b n }的通项公式为b n ＝n ＋2.方法二：设等比数列1，a 1，a 2，a 3，…，a n,2的公比为q ， 则2＝1·qn ＋1，∴q ＝21n ＋1，∴a m ＝1·q m＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21n ＋1m ＝2m n ＋1， ∴T n ＝1·a 1·a 2·…·a n ·2＝1×21n ＋1×22n ＋1×…×2n n ＋1×2＝21＋1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝2n ＋22， ∴b n ＝2log 2T n ＝2log 22n ＋22＝n ＋2.故数列{b n }的通项公式为b n ＝n ＋2.方法三：由T n ＝1·a 1·a 2·…·a n ·2，T n ＝2·a n ·a n －1·…·a 1·1，得T 2n ＝(1×2)(a 1×a n )(a 2×a n －1)…(2×1)，由等比数列的性质得T 2n ＝2n ＋2，∴T n ＝2n ＋22，∴b n ＝2log 2T n ＝2log 22n ＋22＝n ＋2.故数列{b n }的通项公式为b n ＝n ＋2.(2)由c n ＝2n，得S n ＝32＋422＋523＋…＋n ＋22n ，∴12S n ＝322＋423＋524＋…＋n ＋22n ＋1. 由错位相减法求得12S n ＝32＋122＋123＋124＋…＋12n －n ＋22n ＋1，∴S n ＝4－n ＋42n .2．(2015·湖南师大附中月考)对于数列{x n }，若对任意n ∈N *，都有x n ＋x n ＋22＜x n ＋1成立，则称数列{x n }为“减差数列”．设数列{a n }是各项都为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＝74.(1)求数列{a n }的通项公式，并判断数列{S n }是否为“减差数列”；(2)设b n ＝(2－na n )t ＋a n ，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，求实数t 的取值范围．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则1＋q ＋q 2＝74，即4q 2＋4q －3＝0，所以(2q －1)(2q ＋3)＝0. 因为q >0，所以q ＝12，所以a n ＝12n －1，S n ＝1－12n1－12＝2－12n －1，所以S n ＋S n ＋22＝2－12n －12n ＋2<2－12n ＝S n ＋1，所以数列{S n }是“减差数列”．(2)由题设知，b n ＝2t －n 2n －1t ＋12n －1＝2t －tn －12n －1.由b n ＋b n ＋22<b n ＋1，得t －tn －12n＋t －t n ＋2－12n ＋2<2t －t n ＋1－12n，即tn －12n＋t n ＋2－12n ＋2>t n ＋1－12n，化简得t (n －2)>1.又当n ≥3时，t (n －2)>1恒成立，即t >1n －2恒成立，所以t >⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2max＝1. 故t 的取值范围是(1，＋∞)． 对应学生用书理103页 文100页3．(2015·青岛一模)已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋－1n2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n .数列{b n }为公比大于1的等比数列，且b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实根．(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)将数列{b n }中的第a 1项、第a 2项、第a 3项、…、第a n 项删去后，将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2013项的和．解：(1)∵d n ＝3＋－1n2，∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ＝3×2n2＝3n . ∵b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实数根， ∴b 2＋b 4＝20，b 2·b 4＝64，又b 4>b 2，∴b 2＝4，b 4＝16，∴q 2＝b 4b 2＝4，∵q >1，∴q ＝2， ∴b n ＝b 2·qn －2＝2n.(2)由题意知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项、……删去后构成的新数列{c n }中，奇数项与偶数项分别成等比数列，首项分别是b 1＝2，b 2＝4，公比均是8，T 2013＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2013)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2012)＝2×1－810071－8＋4×1－810061－8＝20×81006－67.4．(理科)(2015·鹰潭市模拟)已知数列{}a n 满足：na n ＋1＝()n ＋2a n ＋n ，n ∈N *且a 1＝1.(1)求数列{}a n 的通项公式； (2)令b n ＝()－1n ＋1()a n －12，数列{}b n 的前项和为T n ，求证：n ≥2时，T 2n －1<ln2且T 2n >ln2解：(1)易知：a n ＋1()n ＋1()n ＋2＝a nn ()n ＋1＋1()n ＋1()n ＋2，n ∈N *令c n ＝a n n ()n ＋1得，c n ＋1＝c n ＋1n ＋1－1n ＋2，c 1＝12若n ≥2，则c n ＝()c n －c n －1＋()c n －1－c n －2＋…＋()c 2－c 1＋c 1＝1－1n ＋1＝nn ＋1当n ＝1时，c 1＝12也满足上式，故c n ＝n n ＋1，n ∈N *所以 a n ＝n 2，(n ∈N *) (2)易知：b n ＝()－1n ＋11n()n ∈N *T 2n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n＝1＋12＋13＋14＋…＋12n －1＋12n－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋16＋…＋12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，T 2n －1＝T 2n ＋12n ＝1n ＋1n ＋1＋…＋12n －1， 先证不等式x >0时，xx ＋1<ln ()x ＋1<x令f ()x ＝ln ()x ＋1－x ，()x >0，则f ′()x ＝－xx ＋1<0，()x >0∴f ()x 在()0，＋∞上单调递减，即f ()x <0 同理：令g ()x ＝ln ()x ＋1－xx ＋1，()x >0，则g ′()x ＝x x ＋12>0，()x >0∴g ()x 在()0，＋∞上单调递增，即g ()x >0，得证． 取x ＝1n ，得1n ＋1<ln n ＋1n <1n，所以T 2n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <ln n ＋1n ＋ln n ＋2n ＋1＋…＋ln 2n 2n －1＝ln2，T 2n －1＝1n ＋1n ＋1＋…＋12n －1>ln n ＋1n ＋ln n ＋2n ＋1＋…＋ln 2n 2n －1＝ln24．(文科)(2015·温州十校联考) 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N *，数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，且a 1＝4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)f ′(x )＝2ax ＋b .由题意知f ′(0)＝b ＝2n,16n 2a －4nb ＝0， ∴a ＝12，b ＝2n ，∴f (x )＝12x 2＋2nx ，n ∈N *.又数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，f ′(x )＝x ＋2n ，∴1a n ＋1＝1a n＋2n ，∴1a n ＋1－1a n＝2n .由叠加法可得1a n －14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n 2－n ，化简可得a n ＝42n －12(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝4也符合上式，∴a n ＝42n －12(n ∈N *)．(2)∵b n ＝a n a n ＋1＝42n －12n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝4n2n ＋1. 5．(2015·广州调研)已知数列{a n }满足a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ∈N *.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1为等比数列．(2)是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且a m －1，a s －1，a t－1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝13a n ＋23，所以1a n ＋1－1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1. 因为a 1＝35，所以1a 1－1＝23，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为23，公比为13的等比数列．(2)由(1)知，1a n －1＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n ，所以a n ＝3n3n ＋2.假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋t ＝2s ，a s －12＝a m －1a t －1.由a n ＝3n3n ＋2与(a s －1)2＝(a m －1)(a t －1)，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3s3s ＋2－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3m3m ＋2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫3t3t ＋2－1， 即3m ＋t＋2×3m ＋2×3t ＝32s ＋4×3s.因为m ＋t ＝2s ，所以3m＋3t＝2×3s. 又3m＋3t≥23m ＋t＝2×3s，当且仅当m ＝t 时，等号成立，这与m ，s ，t 互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件．6．(2015·景德镇质检)已知递增数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝12(a 2n ＋n )．(1)求a 1及数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＋1，a n －1·2a n －1＋1，n 为奇数，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和T 2n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝12(a 21＋1)，解得a 1＝1.当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝12(a 2n －1＋n －1)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝12(a 2n ＋n )，所以a n ＝12(a 2n －a 2n －1＋1)，即(a n －1)2－a 2n －1＝0，所以a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1(n ≥2)． 又因为数列{a n }为递增数列，所以a n －a n －1＝1， 所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列， 所以a n ＝n .(2)由c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＋1，a n －1·2a n －1＋1， n 为奇数，n 为偶数，得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋1，n －12n －1＋1，n 为奇数，n 为偶数，则T 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋[1×21＋3×23＋…＋(2n －1)×22n －1]＋n ＝n (n ＋1)＋[1×21＋3×23＋…＋(2n －1)×22n －1]＋n .记S n ＝1×21＋3×23＋…＋(2n －1)×22n －1，①则4S n ＝1×23＋3×25＋…＋(2n －1)×22n ＋1.②由①－②，得－3S n ＝2＋24＋26＋ (22)－(2n －1)22n ＋1，＝22＋24＋26＋ (22)－(2n －1)22n ＋1－2， 所以－3S n ＝41－4n1－4－(2n －1)22n ＋1－2，所以S n ＝41－4n9＋2n －122n ＋13＋23， 即S n ＝6n －522n ＋19＋109， 故T 2n ＝6n －522n ＋19＋n 2＋2n ＋109.[备课札记]___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________。
【创新大课堂】(新课标)2016高考数学一轮总复习 第八章 第3节 椭圆练习
【创新大课堂】（新课标）2016高考数学一轮总复习 第八章 第3节椭圆练习一、选择题1．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为( )A ．9B ．1C ．1或9D ．以上都不对[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c a ＝45a 2＝b 2＋c2，解得a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为a ＋c ＝9或a －c ＝1. [答案] C2．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ∶x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 [解析] 由 x 2＋y 2－2x －15＝0，知r ＝4＝2a ⇒a ＝2.又e ＝c a ＝12，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3.[答案] A3．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点P 的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为( )A.2－22B.22－12C.3－1D.2－1[解析] 依题意有P (c,2c )，点P 在椭圆上，所以有c 2a 2＋ 2c 2b2＝1，整理得b 2c 2＋4a 2c 2＝a 2b 2， 又因为b 2＝a 2－c 2，代入得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝3－22(3＋22舍去)， 从而e ＝2－1. [答案] D4．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→²MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233 B.263C.33D. 3[解析] 法一 由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→²MF 2→＝(－3－x ，－y )²(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2＝3① 又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.法二 由题可知b 2＝1，θ＝π2，c ＝3，代入焦点三角形的面积公式S ＝b 2tan θ2＝c |y P |可得，|y P |＝13，代入椭圆方程得|x P |＝263.[答案] B5．(2015²昆明一中检测) 已知直线x ＝t 与椭圆x 225＋y 29＝1交于P ，Q 两点．若点F 为该椭圆的左焦点，则使FP →²FQ →取得最小值时，t 的值为( )A ．－10017B ．－5017C.5017D.10017[解析] 易知椭圆的左焦点F (－4,0)．根据对称性可设P (t ，y 0)，Q (t ，－y 0)，则FP →＝(t ＋4，y 0)，FQ →＝(t ＋4，－y 0)，所以FP →²FQ →＝(t ＋4，y 0)²(t ＋4，－y 0)＝(t ＋4)2－y 20.又因为y 2＝91－t 225＝9－925t 2，所以FP →²FQ →＝(t ＋4)2－y 20＝t 2＋8t ＋16－9＋925t 2＝3425t 2＋8t ＋7，所以当t ＝－5017时，FP →²FQ →取得最小值．故选B.[答案] B6．在椭圆x 216＋y 24＝1内，通过点M (1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为( )A ．x ＋4y －5＝0B ．x －4y －5＝0C ．4x ＋y －5＝0D ．4x －y －5＝0[解析] 设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y224＝1，①②由①－②，得 x 1＋x 2 x 1－x 2 16＋ y 1＋y 2 y 1－y 2 4＝0，因⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－4 x 1＋x 2 16 y 1＋y 2 ＝－14， 所以所求直线方程为y －1＝－14(x －1)，即x ＋4y －5＝0. [答案] A 二、填空题7．(2015²嘉兴模拟)已知椭圆x 216＋y 225＝1的焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上一点，若连接F 1，F 2，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是________．[解析] 依题意：F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 又因为3＜4，所以∠F 1F 2P ＝90°或∠F 2F 1P ＝90°， 设P (x,3)，代入椭圆方程得：x ＝±165，即点P 到y 轴的距离为165.[答案]1658．分别过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点F 1，F 2所作的两条互相垂直的直线l 1，l 2的交点在此椭圆的内部，则此椭圆的离心率的取值范围是________．[解析] 由已知得交点P 在以F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2上． 又点P 在椭圆内部，所以有c 2＜b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以有c 2＜a 2－c 2，即2c 2＜a 2，亦即：c 2a 2＜12，所以0＜c a ＜22.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，229．如图所示，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且|OF |＝2，若MF ⊥OA ，则椭圆的方程为________．[解析] 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)，则A (a,0)，B (0，b )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，F (a 2－b 2，0)．依题意，得a 2－b 2＝2，FM 的直线方程是x ＝2，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫2，b a a 2－2. 由于O ，C ，M 三点共线，所以b a 2－2a 2＝b2a 2，即a 2－2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2.所求方程是x 24＋y 22＝1.[答案]x 24＋y 22＝1 三、解答题10．(2015²莆田模拟)点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．[解] (1)由题意可知点A (－6,0)，F (4,0) 设点P 的坐标为(x ，y )，则 AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )，且y ＞0，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，x ＋6 x －4 ＋y 2＝0.即2x 2＋9x －18＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝532或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝0.(舍)∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，532.(2)直线AP 的方程为x －3y ＋6＝0，设点M 的坐标为(m,0)，由题意可知|m ＋6|2＝|m－6|.又－6≤m ≤6，∴m ＝2，∴d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋15.∴当x ＝92时，d 取得最小值15.11．(2015²兰州模拟)已知椭圆方程为y 22＋x 2＝1，斜率为k (k ≠0)的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点M (0，m )．(1)求m 的取值范围； (2)求△MPQ 面积的最大值．[解] (1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 22＋x 2＝1，可得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. 可得y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2. 设线段PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－k k 2＋2，2k 2＋2， 由题意有k MN ²k ＝－1，可得m －2k 2＋2k k 2＋2²k ＝－1，可得m ＝1k 2＋2，又k ≠0，所以0＜m ＜12. (2)设椭圆的焦点为F ，则S △MPQ ＝12²|FM |²|x 1－x 2|＝2m 1－m 3，所以△MPQ 的面积为2m 1－m 3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜m ＜12. 设f (m )＝m (1－m )3，则f ′(m )＝(1－m )2(1－4m )．可知f (m )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上递减．所以，当m ＝14时，f (m )有最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝27256.即当m ＝14时，△MPQ 的面积有最大值3616.12．(2015²黄山模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．[解] (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)， 因为|PF 2|＝|F 1F 2|， 所以 a －c 2＋b 2＝2c . 整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1＝0.即2e 2＋e －1＝0，所以e ＝12或－1(舍)．(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2， 直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3 x －c .消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y ＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0，得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.。
2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)课时冲关第3章三角函数、解三角形2
第三章 第2节对应学生用书课时冲关 理(十七)/第265页文(十六)/第231页一、选择题1．(2015·日照校际联考)已知α为第二象限角，且sin α＝35，则tan (π＋α)的值是( )A.43 B.34 C ．－43D ．－34解析：因为α为第二象限角，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45，所以tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－34. 答案：D2．(2015·济南质检)α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)的值为( ) A ．－45B.45C.35D ．－35解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，sin α＝－35， 所以cos α＝45，即cos(－α)＝45，故选B.答案：B3．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：∵f (α)＝sin αcos α－cos α·(－tan α)＝cos α，∴f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＝cos π3＝12.答案：A4．(2015·皖北模拟)若sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝( ) A ．－35B.35 C.45D ．－45解析：cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，故选B. 答案：B5．(2015·青岛评估)若△ABC 的内角A 满足sin 2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝( )A.153B ．－153C.53D ．－53解析：∵0<A <π，∴0<2A <2π. 又∵sin 2A ＝23，即2sin A cos A ＝23，∴0<A <π2.∴(sin A ＋cos A )2＝53，∴sin A ＋cos A ＝153.答案：A6．当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x 的最小值是( )A.14 B.12 C ．2D ．4解析：当0<x <π4时，0<tan x <1，f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x ＝1tan x －tan 2x ，设t ＝tan x ，则0<t <1，y ＝1t －t 2＝1t (1－t )≥4. 当且仅当t ＝1－t ，即t ＝12时等号成立．答案：D7．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( ) A ．－79B ．－13C.13D.79解析：∵⎝⎛⎭⎫π3＋α＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13. 则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α－1＝－79. 答案：A8．已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2α及题意可得cos α≠0且1－sin α≠0， ∴1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，∴cos α1－sin α＝－12， 即cos αsin α－1＝12.答案：A9．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2解析：由cos α＋2sin α＝－5可知，cos α≠0，两边同时除以cos α得1＋2tan α＝－5cos α，平方得(1＋2tan α)2＝5cos 2α＝5(1＋tan 2α)，∴tan 2α－4tan α＋4＝0，解得tan α＝2. 答案：B10．(2015·山西四校二联)已知tan α＝－12，则sin 2α－2cos 2 α－1等于( )A ．－175B ．－174C ．－165D ．－2解析：∵tan α＝－12，∴sin 2α－2cos 2α－1＝2sin αcos α－2cos 2 α－sin 2 α－cos 2 αsin 2 α＋cos 2 α＝2tan α－2－tan 2 α－1tan 2α＋1＝－175. 答案：A11．(2015·石家庄模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )A.355B.377C.31010D.13解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010. 答案：C12．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f ⎝⎛⎭⎫－313π的值为( ) A.12 B ．－13C ．－12D.13解析：∵f (α)＝sin αcos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝⎛⎭⎫－313π＝－cos ⎝⎛⎭⎫－313π＝－cos ⎝⎛⎭⎫10π＋π3 ＝－cos π3＝－12.答案：C 二、填空题13．如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝________. 解析：∵sin α＝15，且α为第二象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝－1－125＝－265， ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－cos α＝265.答案：26514．(2015·成都一模)已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________．解析：sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，得cos α＝1－sin 2α＝53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.答案：25515．(文科)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则 cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 解析：cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a . sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 答案：015．(理科)已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________． 解析：由题意得sin α－cos α＝12，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2 ，即(sin α＋cos α)2＋⎝⎛⎭⎫122＝2，故(sin α＋cos α)2＝74；又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，因此有sin α＋cos α＝72，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 答案：－142[备课札记]。
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【创新教程】2016年高考数学大一轮复习 第八章 第3节 椭圆课时冲关 理 新人教A 版对应学生用书课时冲关理四十二第313页 文三十九第277页一、选择题1．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为( )A ．9B ．1C ．1或9D ．以上都不对 解析：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c a ＝45a 2＝b 2＋c2，解得a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为a ＋c ＝9或a －c ＝1. 答案：C2．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 解析：由x 2＋y 2－2x －15＝0，知r ＝4＝2a ⇒a ＝2.又e ＝c a ＝12，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3.答案：A3．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点P 的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为( )A.2－22B.22－12C.3－1D.2－1解析：依题意有P (c,2c )，点P 在椭圆上，所以有c 2a＋c 2b ＝1，整理得b 2c 2＋4a 2c 2＝a 2b 2，又因为b 2＝a 2－c 2，代入得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝3－22(3＋22舍去)，从而e ＝2－1. 答案：D4．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233 B.263C.33D. 3解析：方法一：由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2＝3 ① 又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.方法二：由题可知b 2＝1，θ＝π2，c ＝3，代入焦点三角形的面积公式S ＝b 2tan θ2＝c |y P |可得，|y P |＝13，代入椭圆方程得|x P |＝263.答案：B5．(2015·昆明一中检测)已知直线x ＝t 与椭圆x 225＋y 29＝1交于P ，Q 两点．若点F 为该椭圆的左焦点，则使FP →·FQ →取得最小值时，t 的值为( )A ．－10017B ．－5017C.5017D.10017解析：易知椭圆的左焦点F (－4,0)．根据对称性可设P (t ，y 0)，Q (t ，－y 0)，则FP →＝(t＋4，y 0)，FQ →＝(t ＋4，－y 0)，所以FP →·FQ →＝(t ＋4，y 0)·(t ＋4，－y 0)＝(t ＋4)2－y 20.又因为y 20＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 225＝9－925t 2，所以FP →·FQ →＝(t ＋4)2－y 20＝t 2＋8t ＋16－9＋925t 2＝3425t 2＋8t ＋7，所以当t ＝－5017时，FP →·FQ →取得最小值．故选B.答案：B6．在椭圆x 216＋y 24＝1内，通过点M (1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为( )A ．x ＋4y －5＝0B ．x －4y －5＝0C ．4x ＋y －5＝0D ．4x －y －5＝0解析：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 214＝1， ①x 2216＋y 224＝1， ②由①－②，得x1＋x 2x 1－x 216＋y 1＋y 2y 1－y 24＝0，因⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2＝－14，所以所求直线方程为y －1＝－14(x －1)，即x ＋4y －5＝0. 答案：A 二、填空题7．(2015·嘉兴模拟)已知椭圆x 216＋y 225＝1的焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上一点，若连接F 1，F 2，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是________．解析：依题意：F 1(0，－3)，F 2(0,3)．又因为3<4，所以∠F 1F 2P ＝90°或∠F 2F 1P ＝90°， 设P (x,3)，代入椭圆方程得：x ＝±165，即点P 到y 轴的距离为165.答案：1658．分别过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1，F 2所作的两条互相垂直的直线l 1，l 2的交点在此椭圆的内部，则此椭圆的离心率的取值范围是________．解析：由已知得交点P 在以F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2上． 又点P 在椭圆内部，所以有c 2<b 2， 又b 2＝a 2－c 2，所以有c 2<a 2－c 2，即2c 2<a 2，亦即：c 2a 2<12，所以0<c a <22.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 9．如图所示，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且|OF |＝2，若MF ⊥OA ，则椭圆的方程为________．解析：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，则A (a,0)，B (0，b )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2，F (a 2－b 2，0)．依题意，得 a 2－b 2＝2，FM 的直线方程是x ＝2，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫2，b aa 2－2.由于O ，C ，M 三点共线，所以b a 2－2a 2＝b 2a 2，即a 2－2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2.所求方程是x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝1三、解答题10．(2015·莆田模拟)点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解：(1)由题意可知点A (－6,0)，F (4,0) 设点P 的坐标为(x ，y )，则 AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )，且y ＞0，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，x ＋x －＋y 2＝0.即2x 2＋9x －18＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝532或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝0.(舍)∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，532.(2)直线AP 的方程为x －3y ＋6＝0，设点M 的坐标为(m,0)，由题意可知＝|m ＋6|2＝|m－6|.又－6≤m ≤6，∴m ＝2，∴d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎪⎫x －922＋15.∴当x ＝92时，d 取得最小值15.11．(2015·兰州模拟)已知椭圆方程为y 22＋x 2＝1，斜率为k (k ≠0)的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点M (0，m )．(1)求m 的取值范围； (2)求△MPQ 面积的最大值．解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 22＋x 2＝1，可得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2kk 2＋2， x 1x 2＝－1k 2＋2.可得y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2. 设线段PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k 2＋2，2k 2＋2， 由题意有k MN ·k ＝－1，可得m －2k 2＋2k k 2＋2·k ＝－1，可得m ＝1k 2＋2，又k ≠0，所以0<m <12.(2)设椭圆的焦点为F ，则S △MPQ ＝12·|FM |·|x 1－x 2|＝ 2m－m3，所以△MPQ 的面积为2m－m3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<m <12. 设f (m )＝m (1－m )3，则f ′(m )＝(1－m )2(1－4m )．可知f (m )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上递减．所以，当m ＝14时，f (m )有最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝27256.即当m ＝14时，△MPQ 的面积有最大值3616.12．(2015·黄山模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)， 因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c2＋b 2＝2c .整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1＝0.即2e 2＋e －1＝0， 所以e ＝12或－1(舍)．(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2， 直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0，得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.[备课札记]。