广东佛山一中2020级高一上学期期中考试数学试题(含答案)

佛山一中高一级期中考试数学题第1页 共4页2020—2021学年度上学期高一期中考试数学试题2020.11说明：1.本试题共4页，共22题.全卷满分150分，考试用时120分. 2.请将答案填写在答题卡上相应位置.一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|13},{|4}A x x B x x =-≤<=≥，则AB =A.[1,2]-B. [1,2]C. [2,3)D. [2,)+∞2. 命题“0,1x x e x ∀>>+ ”的否定形式是（其中 2.718e =为常数）A ．0,1x x e x ∀><+ B. 0,1x x e x ∀>≤+C. 0,1x x e x ∃><+D. 0,1x x e x ∃>≤+3. 若函数21()(22)m f x m m x -=--是幂函数，且()y f x = 在(0,)+∞上单调递增，则(2)f = A. 1 4B.12C. 2D. 44. “1a =-”是“方程2210a x x +-=只有一个解”的A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 非充分必要条件5. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，则(1)f =佛山一中高一级期中考试数学题第2页 共4页A. 3-B. 1-C. 1D. 36. 已知120.50.620.30.3,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a b c 、、的大小关系为A. a b c <<B.c a b <<C. b a c <<D. c b a <<7. 已知()f x 是定义在[2,2]b - 上的偶函数，且在[2,0]b -上为增函数，则不等式(21)(1)f x f +≤ 的解集为A.(1,0)- B. 31,10,22⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C. (,1][0,)-∞-+∞ D. 31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8. 已知0ax b -> 的解集为{|2}x x >，关于x 的不等式2056ax bx x +≥-- 的解集为 A ．[2,1)(6,)--+∞ B. [2,6)(1,)--+∞ C. (,1)(6,)-∞-+∞ D. (,2](6,)-∞-+∞二、不定项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9．下列命题为真命题的是 A ．若0a b >>，则22a c b c >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若00a b c >><且，则22c ca b > D ．若a b >且，则11a b< 10.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：oC )满足函数关系k x b y e +=( 2.718e =，,k b 为常数)若该食品在0oC 的保鲜时间是192小时，在22oC 的保鲜时间是48小时，则关于该食品保鲜的描述正确的结论是佛山一中高一级期中考试数学题第3页 共4页A ．0k > B. 储存温度越高保鲜时间越长 C. 在11o C 的保鲜时间是96小时 D. 在33oC 的保鲜时间是24小时11.已知函数1()(1)()2(1)(1)x x f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩，则下列正确的是A.1[(0)]2f f =B. [(1)]f f =C.3[()]22f f =D. ()f x 的值域为1(0,]212.已知不等式20ax bx c ++< 的解集为{|13}x x x <->或，则下列结论正确的是 A. 0a < B. 0a b c ++>C. 0c >D. 20cx bx a -+<的解集为1{|1}3x x x <->或三、填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分 13.不等式223112x x --⎛⎫>⎪⎝⎭的解集是______．14.计算()()1223021360.63 1.548--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=_______.15.研究表明，函数()()g x f x a b =+- 为奇函数时，函数()y f x = 的图象关于点(,)P a b 成中心对称，若函数32()=3f x x x -的图象对称中心为(,)P a b ，那么____;_____.a b ==佛山一中高一级期中考试数学题第4页 共4页16.对于实数1,0a b >> ，且2a b += ，则141a b+- 的最小值为________. 四、解答题: 本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本题满分10分）设集合11|4322x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}|121B x m x m =-≤≤+． （Ⅰ）若3m =，求()RA B ；（Ⅱ）若B A ⊆，求实数m 的取值范围． 18. （本题满分12分）设函数2()ax bf x x+=，且5(1)2,(2)2f f == ．（Ⅰ）求()f x 解析式；（Ⅱ）判断()f x 在区间[1,)+∞上的单调性，并利用定义证明． 19. （本题满分12分）已知函数()(1)1f x a a =≠- （Ⅰ）若0a > ，求()f x 的定义域;（Ⅱ）若()f x 在区间(0,1] 上是减函数，求实数a 的取值范围.20. （本题满分12分）已知函数()33()xxf x R λλ-=-∈.佛山一中高一级期中考试数学题第5页 共4页（Ⅰ）若f(x)为偶函数，求λ的值；（Ⅱ）若不等式()6f x ≤对[0,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围．21.( 本题满分12分)已知函数1(),[1,1]3xf x x ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，函数2()()2()3g x f x a f x =-+的最小值为()h a ．(Ⅰ)求 ()h a 求；(Ⅱ)是否存在实数m 、n ，同时满足以下条件： ①3m n >>；②当()h a 的定义域为[,]n m 时，值域为22[,]n m ． 若存在，求出,m n 的值；若不存在，说明理由．22.( 本题满分12分)为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名(x N ∈ 且4575x ≤≤ )，调整后研发人员的年人均投入增加4%x ，技术人员的年人均投入调整为2()25xa m -万元. (Ⅰ)要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人?(Ⅱ)是否存在这样的实数m ，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；佛山一中高一级期中考试数学题第6页 共4页②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入. 若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由.2020-2021学年度上学期高一期中考试数学试题答案（2020.10.11）一、选择题三、填空题 13.(−1,3)； 14.2； 15.1；2- ； 16. 9 四、解答题: 本题共6小题，共70分.17. （10分）【解】（Ⅰ）A ={x|−2≤x ≤5}， ……………………………………2分 当m =3时，B ={x|2≤x ≤7}， ……………………………………3分 ∴A ∪B =[−2,7]， ……………………………………4分 ∴C R (A ∪B)=(−∞,−2)∪(7,+∞)． …………………………5分 （Ⅱ）若B φ=，则m −1>2m +1，即m <−2，B ⊆A ； ………………7分 若B φ≠，即m ≥−2时，要使B ⊆A ，则{m −1≥−22m +1≤5，解得−1≤m ≤2，9分综上可得{|2m m m <-≤≤或-12}． ………………………………10分 18. （12分）【解】 (Ⅰ)根据题意，函数f(x)=ax 2+b x，且f(1)=2，f(2)=52．则{a+b 1=24a+b2=52， ……………………………………2分 解可得a =1，b =1，（4分） 则f(x)=x 2+1x； ……………………5分(Ⅱ)设∀x 1，x 2∈[1,+∞)且 x 1>x 2≥1， 则f(x 1)−f(x 2)=x 12+1x 1−x 22+1x 2=(x 1x 2−1)(x 1−x 2)x 1x 2， ………………7分又由x 1>x 2≥1，佛山一中高一级期中考试数学题第7页 共4页则x 1x 2>1>0，x 1−x 2>0，x 1x 2−1>0，………………………………9分 则f(x 1)−f(x 2)>0，即f (x 1)>f(x 2) …………………………11分 则函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增． ………………………………12分 19.（12分）【解】（1）当0a > 且1a ≠ 时由30ax -≥ 得3x a≤…3分 即函数()f x 定义域为3(,]a-∞ …………………………………………4分 （2）当10a ->即1a > 时，令3t ax =-要使()f x 在(0,1]上是减函数，则函数3t ax =-为在(0,1] 上为减函数 …5分 即0a -<并且310a -⨯≥解得13a <≤ ……………………………………7分 当10a -<即1a < 时，令3t ax =-要使()f x 在(0,1]上是减函数，则函数3t ax =-为在(0,1] 上为增函数 ......8分 即0a ->并且300a -⨯≥解得0a < ..........................................10分 综上所述，所求实数的取值范围为(,0)(1,3]-∞ (12)分20. （12分）【解】（Ⅰ）函数 f (x )=3x −λ⋅3−x 的定义域为R. …………………… 1分 ∵ f(x)为偶函数，∴ f(−x)−f(x)=0对∀x ∈R 恒成立， ………………………………… 2分 即3−x −λ⋅3x −3x +λ⋅3−x =(1+λ)(3−x −3x )=0 对∀x ∈R 恒成立，∴ λ=−1. ……………………………………………………………5分 （Ⅰ）由f(x)≤6得3x −λ⋅3−x ≤6，即3x −λ3x ≤6，x ∈[0, 2]，令t =3x ∈[1, 9]， …………………………………………………………………6分 原问题等价于t −λt ≤6对t ∈[1, 9]恒成立，亦即λ≥t 2−6t 在t ∈[1, 9]恒成立， ………………………………………… 7分 令g (t )=t 2−6t =(t −3)2−9，t ∈[1, 9]，∵ g(t)在[1,3] 上单调递减，在 [3,9] 上单调递增， 又∵g (1)=−5，g (3)=−9,∴ 当 t =9 时，g (t )有最大值 g (9)=27, …………………………………10分 ∴ λ≥27， …………………………………………………………11分 ∴实数λ的取值范围是[27,+∞) . …………………………………………………12分佛山一中高一级期中考试数学题第8页 共4页21.( 12分) [解] (Ⅰ)因为x ∈[－1,1]，所以⎝⎛⎭⎫13x ∈⎣⎡⎦⎤13，3. . ……………………1分 设⎝⎛⎭⎫13x ＝t ，t ∈⎣⎡⎦⎤13，3，则g (x )＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2 …….……2分 当a <13时，h (a )＝φ⎝⎛⎭⎫13＝289－2a 3； ……………………………………… 3分 当13≤a ≤3时，h (a )＝φ(a )＝3－a 2； ……………………………………… 4分 当a >3时，h (a )＝φ(3)＝12－6a . …… ……………………………………5分所以h (a )＝⎩⎨⎧289－2a 3 ⎝⎛⎭⎫a <133－a 2⎝⎛⎭⎫13≤a ≤312－6a (a >3)……………………………………………6分(Ⅱ)不存在实数,m n 满足试题条件。