空间向量2

空间向量
一、向量基础运算 例1 解 =++2||c b a 3617)(2||||||222+=⋅+⋅+⋅+++c b c a b a c b a
例2 解 59225||22≥
+-=-t t b a 例3 解 c b a OA OC OB OM ON MN 2
1213232)(21++-=-+=-= 例5 解
c b a OC OB OA OD OA OE 4
141214*********++=++=+=
例6 解
C C BC AB C A '++='，则25)(||22='++='C C BC AB C A ，故5||='C A
例8 解
⋅+)(b a 0)(=-b a ，则⊥+)(b a )(b a - 例9 解 a 在b 方向上投影为
33
4|
|=⋅b b a 例10 解
9
4
,cos >=
<c a ，则65,sin ||||>=<=c a b a s 二、向量综合应用 例1 方法1 取
AB
中点为M ，则
F D M A M A AD M A AE '''⊥'⊥//,,，故⊥'F D 面ADE
方法2 令b D D c C D a A D ='=''='',,，则b c BE AB AE a DA 21,-=+==且c b DF D D F D 2
1
+=+'='
于是021=⋅+⋅=⋅a c a b DA F D 且=⋅'AE F D ⋅-)21(b c 02
121)21(2
2=-=+b c c b ，即AE F D ⊥'且
AD F D ⊥'，故⊥'F D 面ADE 方法3 建系如图
例2 方法1令c AP b AD a AB ===,,，则=++=PN AP MA MN PC AP MA 2
1
++
c b c b a c a 2
1
21])[(2121+=-+++-=，即MN 与AP AD ,共面，故//MN 面PAD
方法2 取PD 中点为O ，则AO MN //，故//MN 面PAD 方法3建系如图
例3 方法1
0,0=⋅=⋅BD AC CD AB ，则=+⋅+=⋅)()(DC BD CD AC BC AD +⋅+⋅DC AC BD AC
=⋅+⋅DC CD BD CD +⋅DC AC =+⋅)(DC BD CD +⋅DC AC BC CD ⋅=+⋅=)(CA BC CD 0=⋅BA CD ， 故AD BC
⊥
方法2 令⊥AO 面O BCD =，则由BD AC CD AB ⊥⊥,得BD CO CD BO ⊥⊥,，于是BC
AO ⊥，故AD BC ⊥
例4 方法1 1、取AC 中点为O ，则⊥PO 面ABC
，因2===PC PB PA
，则OC
OB OA ==，故AB BC ⊥
2、取BC 中点为M ，则⊥BC
面POM ，做N PM ON
=⊥，则AC
与面PBC 成角为030=∠OCN
方法2 1、令),0,0(),0,,0(),0,,(),0,,0(z P a C y x B a A -，则9,922222
=++=+z y x z a ，于是222y x a +=，
即0)(222
=+-=⋅y x a AB BC ，故AB BC ⊥
2、)0,6,6(),3,0,6(
-=-=BC PB 且)0,0,62(=AC ，则面PBC 法向量为)2,1,1(=n ，于是
2
1|,cos |sin =
><=N AC θ，故AC 与面PBC 成角为0
30=θ 方法3 例5 方法1 作平行四边形ACBD ，则异面直线AC PB ,成角为θ
=∠PBD ，直角PBD ∆中a BD a PD ==
,2，
2
故2tan =θ 方法2 建系如图，故=
><=|,cos |cos AC PB θ3
1
方法3
CB AC PA PB ++=，则2223)(||a CB AC PA PB =++=且=⋅AC PB
22||)(a AC AC CB AC PA ==⋅++，于是=
><=|,cos |cos AC PB θ3
1
例6 方法1
1、 取BD 中点为O ，
G C O C A ='⋂'，则
2
1
='=''C G OG C A OC ，于是G 为D C B '∆的重心，故C G A ,,'三点共线 2、⊥'A A 面ABCD ，BD AC ⊥，则BD C A ⊥'，同理C B C A '⊥'，故⊥'A C 面D C B '
3、BD C C C BD C V V -''-=，则点C 到面D C B '的距离3
3a d =
方法2 3、面⊥'A ACC 面D C B 'C O '=，做C O MC '⊥，则⊥MC 面D C B '，故点C 到面D C B '的距离
3
3a
MC d =
= 方法3 建系如图，故 例7 方法1令c A A b AD a AB ='==,,，则=++=M B B A A D M
D c m b a +-，='+'=N C C C CN
c b m +，于是0)(2
2
=-=⋅'b c m CN M D ，故M
D NC '⊥ 方法2 建系如图，故
方法3
≅''∆C B M C C N '∆，则C M B ''∠NC C '∠=，于是M
C NC '⊥，⊥'
'C D 面B C BC ''，故M
D NC '⊥
例8 方法1 取AB 四等分点为F ，则AM E B ⊥'，于是AM CN ,成角为=∠=FNC θ5
2
arccos
方法2 建系如图，故AM CN ,成角为=θ52arccos 方法3 令，故AM CN ,成角为=θ5
2
arccos
例9方法1 1、取
AB 中点为M ，则BF M A //'，取B D ''中点为N ，则AE N A //'，故BF AE ,成角为='∠=N A M θ
4
2
arccos
2、做O BF AO =⊥，则由⊥AD 面A B AB ''得BF
DO ⊥，故面A B AB ''与面BDF
成的角为
=∠=AOD θ5
15
arccos
3、ABF D BDF A V V --=，则点A 到BDF 面的距离为5
52=
d
方法2 建系如图，则1、BF AE ,成角为=θ
4
2arccos
方法3 1、BF AE ,成角为=θ4
2arccos
例10 方法1令c C C ='，b D C =''，a B C =''，则a c C B -='，)(2
1
b a O C +=
'，于是 c a b D D D O OD +-=
'+'=)(2
1
，即O C OD C B '-='，则O C OD C B '',, 方法2令C D C D M '⋂'=，则C B OM '=21
//，故//C B '面C OD '共面。