四边形复习

A E
F H C
G
D
方法1 方法2
课堂练习
一、判断题： 1）两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形. ( ╳ ) 2）两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形. ( √) 3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形. ( √) 4）两条对角线相等的菱形是正方形. ( √) 5）两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形.( √ ) 6）两条对角线垂直且相等的四边形是正方形. ( ╳) 二、填空题： (1) 已知平行四边形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶2， 则∠C＝ 60 °，∠D＝ 120 °。 (2)顺次连结菱形四边中点所得的四边形是 矩形 。 (3)梯形的高为6,面积为42,则梯形的中位线的长是 7 。 (4)梯形的上底长为6cm,中位线长为8cm,则下底长为 10cm 。
三、选择题： (1)菱形ABCD的周长为20cm，∠ABC＝120°, 则对角线BD等于（ C ） （A）4cm（B）6cm（C）5cm（D）10cm A
D C B
(2)下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( B ) (A)等腰三角形 (B)矩形 (C)平行四边形 (D)等腰梯形
(3)矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ B ） （A）对角线相等 （B）对角线互相平分 （C）对角线平分一组对角 （D）对角线互相垂直
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，
A D B E C
并且等于第三边的一半。
DE∥BC，DE＝1/2 BC
梯形中位线定理
梯形的中位线定理平行于两底，
A E B D F C
并且等于两底和的一半。
EF∥AD∥BC， EF＝1/2 (AD+BC)
1.已知，矩形ABCD的对角线相交于 O，PC∥BD，PD∥AC，PC，PD 相交于点P。四边形PDOC是什么四 边形？请加以证明.
例1.如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在 与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P。 若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行。 （1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是 否变化，并简述理由。 （2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时， △AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值。
性质：
D A O B C
1）对边平行，四条边都相等 。
2）对角相等。
3）两条对角线互相垂直平分 ，
每条对角线平分一组对角。 4）轴对称和中心对称。
判定方法：
1）四条边都相等的四边形。 2）是平行四边形，并且有一组邻边相等。 3）是平行四边形，并且两条对角线互相垂直。
性质：
A O B C D 1）对边平行，四条边都相等 。 2）四个角都是直角。
E
A
B
5.如图，在△ABC中，点O为AC边上一个动点， 过点O儿直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分 线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。
①求证：OE＝OF ②当点O运动到何处时，四边形AECF为矩形. ③当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为 正方形。 A
M B E O C F N
4.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC， AB＝CD，AC，BD相交于点O，∠BOC＝ 600，G、E、F分别为AB、OC、OD的中点. 求证：△GEF为等边三角形.
N A
P
O
h
B
M
例2.已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝ 90°，点D、E分别是AC、AB的中点，点F 在BC的延长线上，且∠CDF＝∠A． 求证：四边形DECF是平行四边形．
例 3. 如 图 ， 等 腰 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC ， M 、 N 分别是 AD 、 BC 的中点， E、F分别是BM、CM的中点． ⑴求证：四边形MENF是菱形． ⑵若四边形 MENF 是正方形，请探索等 腰梯形 ABCD 的高和底边 BC 的数量关系， 并说明你的结论。
3）两条对角线互相垂直平分且相等，
每条对角线平分一组对角。
判定方法：
4）轴对称和中心对称。
1）是矩形，并且有一组邻边相等。
2）是菱形，并且有一个角是直角。
3）是平行四边形，并且有一组邻边相等
和有一个角是直角。
A
O
来自百度文库
B
性质：
1）两底并行，两腰相等。
D 2）同一底上的两个角相等。
C
3）两条对角线相等。 4）轴对称。 判定方法： 1）是梯形，并且同一底上的两个角相等。 2）是梯形，并且两条对角线相等。
D
P
P
B P′
图1
C
B
图2
C
一、小结：
(1) 要求掌握各种特殊四边形的概念、性质 和判定定理， 知道这些图形之间的联系与区别，并能运 用有关知识进行证明和计算。 (2）做题时，常常需要添加辅助线，灵活地 添加辅助线可以把问题简化，应注意在这方 面进行积累。 (3）随着知识的丰富，解决问题的方法增多 了，当遇到一个问题有多种解法时，要注意 选取简单的解法。
例5.如图，图甲是用硬纸板做成的两个全等的直角 三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．图 乙是以c为直角边的等腰三角形，请你开动脑筋，将 它拼成一个能证明勾股定理的图形． ⑴画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形 ⑵用这个图形证明勾股定理． ⑶假设图甲中的直角三角形有若干个，你能运用图甲 中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图 形吗?请画出拼后的示意图(无需证明)．
Ｂ
Ｆ Ｅ Ｃ
∴ AD＝BC＝AE， B＝90 ， AD∥BC 。 ∴ DAE＝ AEB。
又∵ DF AE于F， ∴ AFD＝ 90 ＝ B 。 ∴ △AFD≌△EBA (AAS). ∴ AF＝BE ,

∵ AE＝BC ∴ AE－AF＝BC－BE 即 CE＝FE
例２ 已知：AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F 是BE的延长线与AC的交点。求证：AF＝1/2 FC。
四边形小结与复习
一、四边形知识结构图 二、典型例题讲解
三、课堂巩固练习 四、小结与课外作业
一、四边形知识结构图
矩形
平行 四边形
正方形
菱形
四边形
等腰梯形
梯形
直角梯形
二、1.三角形中位线定理.2.直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半.
性质：
A O D 1）对边平行且相等。 2）对角相等。
B
C
3）两条对角线互相平分。
A O B D P C
2.已知四边形ABCD，从①AB∥CD ②AB＝CD③AD∥BC④AD＝BC⑤ ∠A＝∠C⑥∠B＝∠D取两个条件加 以组合，能推出四边形ABCD是平行 四边形，有哪几种情形？
3.已知，如图平行四边形ABCD中， E、F是AC上两点，且AE＝CF。 求证：∠1＝∠2
D O 1 F 2 C
例6.已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、 PC. （1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位 置（如图1）. ①设AB的长为a，PB的长为b（b<a），求△PAB旋转 到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分 ）的面积； ②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长. （2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角 线AC上. A D A
4）中心对称 。
判定方法：
1）两组对边分别平行。 2）两组对边分别相等。
3）一组对边平行且相等。
4）两条对角线互相平分。
5）两组对角分别相等。
A O
B
性质：
1）对边平行且相等。 2）四个角都是直角。
C
D
3）两条对角线互相平分且相等。
4）轴对称和中心对称。
判定方法：
1）有三个角是直角的四边形。 2）是平行四边形，并且有一个角是直角。 3）是平行四边形，并且两条对角线相等。
例4.如图甲，四边形ABCD是等腰梯形， AB∥DC．由4个这样的等腰梯形可以拼出图 乙所示的平行四边形． ⑴求四边形ABCD四个内角的度数． ⑵试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量 关系，并说明理由． ⑶(选做)现有图甲中的等腰梯形若干个，利 用它们你能拼出一个菱形吗?若能，请你画出 大致的示意图．
证明:过点D作DG∥AC交BF于点G。 证明：过点D作DH∥BF ∴∠GDE＝∠FAE 。 交AC于点H。 ∵E是AD的中点。 ∵AD是△ABC的中线。 ∴DE＝AE。又∵∠GED＝∠FEA。 ∴D是BC的中点。 ∴△DEG≌△AEF CF。 ∴CH＝HF＝1/2 B ∴DG＝AF。 ∵E是AD的中点，EF∥DH。 ∵DG∥AC，BD＝DC。 ∴AF＝FH。 ∴BG＝GF。 FC。 ∴AF＝1/2 ∴DG是△BCF的中线。 ∴DG＝1/2 FC。 ∴AF＝1/2 FC。
A F G O D
E
B C
例１ 已知: 如图，矩形ABCD中，E是BC上一点， DF AE于F，若AE＝BC，求证: CE＝FE.
分析：从求证入手，要证CE＝FE，由已知 AE＝BC可知，只要证AF＝BE即可，而AF、 BE分别在△AFD、△EBA中，即要证明 △AFD≌△EBA . Ａ
Ｄ
证明：∵四边形ABCD是矩形，