四边形复习

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A F G O D
E
B C
例1 已知: 如图,矩形ABCD中,E是BC上一点, DF AE于F,若AE=BC,求证: CE=FE.
分析:从求证入手,要证CE=FE,由已知 AE=BC可知,只要证AF=BE即可,而AF、 BE分别在△AFD、△EBA中,即要证明 △AFD≌△EBA . A

证明:∵四边形ABCD是矩形,
3)两条对角线互相垂直平分且相等,
每条对角线平分一组对角。
判定方法:
4)轴对称和中心对称。
1)是矩形,并且有一组邻边相等。
2)是菱形,并且有一个角是直角。
3)是平行四边形,并且有一组邻边相等
和有一个角是直角。
A
O
B
性质:
1)两底并行,两腰相等。
D 2)同一底上的两个角相等。
C
3)两条对角线相等。 4)轴对称。 判定方法: 1)是梯形,并且同一底上的两个角相等。 2)是梯形,并且两条对角线相等。
证明:过点D作DG∥AC交BF于点G。 证明:过点D作DH∥BF ∴∠GDE=∠FAE 。 交AC于点H。 ∵E是AD的中点。 ∵AD是△ABC的中线。 ∴DE=AE。又∵∠GED=∠FEA。 ∴D是BC的中点。 ∴△DEG≌△AEF CF。 ∴CH=HF=1/2 B ∴DG=AF。 ∵E是AD的中点,EF∥DH。 ∵DG∥AC,BD=DC。 ∴AF=FH。 ∴BG=GF。 FC。 ∴AF=1/2 ∴DG是△BCF的中线。 ∴DG=1/2 FC。 ∴AF=1/2 FC。
例1.如图所示,一根长2a的木棍(AB),斜靠在 与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍的中点为P。 若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑行。 (1)请判断木棍滑动的过程中,点P到点O的距离是 否变化,并简述理由。 (2)在木棍滑动的过程中,当滑动到什么位置时, △AOB的面积最大?简述理由,并求出面积的最大值。
四边形小结与复习
一、四边形知识结构图 二、典型例题讲解
三、课堂巩固练习 四、小结与课外作业
一、四边形知识结构图
矩形
平行 四边形
正方形
菱形
四边形
等腰梯形
梯形
直角梯形
二、1.三角形中位线定理.2.直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半.
性质:
A O D 1)对边平行且相等。 2)对角相等。
B
C
3)两条对角线互相平分。
D
P
P
B P′
图1
C
B
图2
C
一、小结:
(1) 要求掌握各种特殊四边形的概念、性质 和判定定理, 知道这些图形之间的联系与区别,并能运 用有关知识进行证明和计算。 (2)做题时,常常需要添加辅助线,灵活地 添加辅助线可以把问题简化,应注意在这方 面进行积累。 (3)随着知识的丰富,解决问题的方法增多 了,当遇到一个问题有多种解法时,要注意 选取简单的解法。
例4.如图甲,四边形ABCD是等腰梯形, AB∥DC.由4个这样的等腰梯形可以拼出图 乙所示的平行四边形. ⑴求四边形ABCD四个内角的度数. ⑵试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量 关系,并说明理由. ⑶(选做)现有图甲中的等腰梯形若干个,利 用它们你能拼出一个菱形吗?若能,请你画出 大致的示意图.
A E
F H C
G
D
方法1 方法2
课堂练习
一、判断题: 1)两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形. ( ╳ ) 2)两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形. ( √) 3)两条对角线互相垂直的矩形是正方形. ( √) 4)两条对角线相等的菱形是正方形. ( √) 5)两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形.( √ ) 6)两条对角线垂直且相等的四边形是正方形. ( ╳) 二、填空题: (1) 已知平行四边形ABCD中,∠A∶∠B=1∶2, 则∠C= 60 °,∠D= 120 °。 (2)顺次连结菱形四边中点所得的四边形是 矩形 。 (3)梯形的高为6,面积为42,则梯形的中位线的长是 7 。 (4)梯形的上底长为6cm,中位线长为8cm,则下底长为 10cm 。

F E C
∴ AD=BC=AE, B=90 , AD∥BC 。 ∴ DAE= AEB。
又∵ DF AE于F, ∴ AFD= 90 = B 。 ∴ △AFD≌△EBA (AAS). ∴ AF=BE ,

∵ AE=BC ∴ AE-AF=BC-BE 即 CE=FE
例2 已知:AD是△ABC的中线,E是AD的中点,F 是BE的延长线与AC的交点。求证:AF=1/2 FC。
例5.如图,图甲是用硬纸板做成的两个全等的直角 三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c.图 乙是以c为直角边的等腰三角形,请你开动脑筋,将 它拼成一个能证明勾股定理的图形. ⑴画出拼成的这个图形的示意图,写出它是什么图形 ⑵用这个图形证明勾股定理. ⑶假设图甲中的直角三角形有若干个,你能运用图甲 中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图 形吗?请画出拼后的示意图(无需证明).
E
A
B
5.如图,在△ABC中,点O为AC边上一个动点, 过点O儿直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分 线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F。
①求证:OE=OF ②当点O运动到何处时,四边形AECF为矩形. ③当△ABC满足什么条件时,四边形AECF为 正方形。 A
M B E O C F N
4.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC, AB=CD,AC,BD相交于点O,∠BOC= 600,G、E、F分别为AB、OC、OD的中点. 求证:△GEF为等边三角形.
例6.已知,点P是正方形ABCD内的一点,连PA、PB、 PC. (1)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位 置(如图1). ①设AB的长为a,PB的长为b(b<a),求△PAB旋转 到△P′CB的过程中边PA所扫过区域(图1中阴影部分 )的面积; ②若PA=2,PB=4,∠APB=135°,求PC的长. (2)如图2,若PA2+PC2=2PB2,请说明点P必在对角 线AC上. A D A
A O B D P C
2.已知四边形ABCD,从①AB∥CD ②AB=CD③AD∥BC④AD=BC⑤ ∠A=∠C⑥∠B=∠D取两个条件加 以组合,能推出四边形ABCD是平行 四边形,有哪几种情形?
3.已知,如图平行四边形ABCD中, E、F是AC上两点,且AE=CF。 求证:∠1=∠2
D O 1 F 2 C
4)中心对称 。
判定方法:
1)两组对边分别平行。 2)两组对边分别相等。
3)一组对边平行且相等。
4)两条对角线互相平分。
5)两组对角分别相等。
A O
B
性质:
1)对边平行且相等。 2)四个角都是直角。
C
D
3)两条对角线互相平分且相等。
4)轴对称和中心对称。
判定方法:
1)有三个角是直角的四边形。 2)是平行四边形,并且有一个角是直角。 3)是平行四边形,并且两条对角线相等。
三、选择题: (1)菱形ABCD的周长为20cm,∠ABC=120°, 则对角线BD等于( C ) (A)4cm(B)6cm(C)5cm(D)10cm A
D C B
(2)下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( B ) (A)等腰三角形 (B)矩形 (C)平行四边形 (D)等腰梯形
(3)矩形、菱形、正方形都具有的性质是( B ) (A)对角线相等 (B)对角线互相平分 (C)对角线平分一组对角 (D)对角线互相垂直
性质:
D A O B C
1)对边平行,四条边都相等 。
2)对角相等。
3)两条对角线互相垂直平分 ,
每条对角线平分一组对角。 4)轴对称和中心对称。
判定方法:
1)四条边都相等的四边形。 2)是平行四边形,并且有一组邻边相等。 3)是平行四边形,并且两条对角线互相垂直。
性质:
A O B C D 1)对边平行,四条边都相等 。 2)四个角都是直角。
N A
P
O
h
B
M
例2.已知:如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,点D、E分别是AC、AB的中点,点F 在BC的延长线上,且∠CDF=∠A. 求证:四边形DECF是平行四边形.
例 3. 如 图 , 等 腰 梯 形 ABCD 中 , AD∥BC , M 、 N 分别是 AD 、 BC 的中点, E、F分别是BM、CM的中点. ⑴求证:四边形MENF是菱形. ⑵若四边形 MENF 是正方形,请探索等 腰梯形 ABCD 的高和底边 BC 的数量关系, 并说明你的结论。
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边,
A D B E C
并且等于第三边的一半。
ห้องสมุดไป่ตู้
DE∥BC,DE=1/2 BC
梯形中位线定理
梯形的中位线定理平行于两底,
A E B D F C
并且等于两底和的一半。
EF∥AD∥BC, EF=1/2 (AD+BC)
1.已知,矩形ABCD的对角线相交于 O,PC∥BD,PD∥AC,PC,PD 相交于点P。四边形PDOC是什么四 边形?请加以证明.
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